Mathematische Methoden der Chemie II - tu- · PDF fileMathematische Methoden der Chemie II Bauerecker Mathematische Methoden der Chemie II apl. Prof. Dr. Sigurd Bauerecker Institut

Mathematische Methoden der Chemie IIBauerecker

Mathematische Methoden der Chemie II

apl. Prof. Dr. Sigurd Bauerecker Institut für Physikalische und Theoretische Chemie, TU Braunschweig Hans-Sommer-Strasse 10, D-38106 BraunschweigTel.: 0531/391-5336, Labor: 0531/391-7307, Fax: 0531/391-7308E-mail: [email protected]: http://tu-braunschweig.de/pci/forschung/bauerecker/lehre

Folienzusammenstellung zur Vorlesung

Achtung:

Diese Zusammenstellung von einzelnen Themen und Übersichten ist als Ergänzung zur Vorlesung gedacht. Sie deckt auch Teilbereiche nicht vollständig ab und enthält gewiss einige Fehler. So freue ich mich über jeden Hinweis. Da ich mich um innere Geschlossenheit der einzelnen Folien bemüht habe, sollte die Zusammenstellung trotzdem hilfreich sein.

mailto:[email protected]

http://tu-braunschweig.de/pci/forschung/bauerecker/lehre

Formales

Netzadressen


http://tu-braunschweig.de/chemie

Empfehlung:

• Eigeninitiative!

• Lernen für Klausur und Übungen in (kleinen) Gruppen.

• Anschaffung von Lehrbüchern, z.B. Zachmann und Netz

BauereckerMathematische Methoden der Chemie II

Formalitäten der Vorlesung (Pflicht)(Bachelor Chemie, Bachelor Biotechnologie)

Winter-Semester: 4 h Vorlesung, 2 h Übung, Klausur Bachelor Chemie (Studienleistung)

Sommer-Semester: 2 h Vorlesung, 1 h Übung, Klausur Bachelor Chemie (Prüfungsleistung, Modulabschlussklausur)


Literatur

Stand: Herbst 2010

Grundlegend für Vorlesung:

H. G. Zachmann, A. Jüngel: Mathematik für Chemiker. VCH, 6. Auflage, 2007, 641 S.

M. Stockhausen: Mathematik für Chemiker. Steinkopff, 3. Auflage, 1995,

456 S.

Weitere:

H.-D. Försterling: Mathematik für Naturwissenschaftler. Vieweg, 1988, 289

S.

B. Frank, W. Schulz, W. Tietz:Wissensspeicher Mathematik (Lernmaterialien). Volk und

Wissen, 1998, 368 S.

E. Kreyszig: Advanced Engineering Mathematics. John Wiley and

Sons, 9th Edition, 2006, 1248 S.

K. Meyberg, P. Vachenauer: Höhere Mathematik Bd. 1, Differential- und

Integralrechnung, Vektor- und Matrizenrechnung, Springer, 6. Auflage, 2001, 521 S.

W. Pavel, R. Winkler: Mathematik für Naturwissenschaftler. Pearson Studium, 2007, 592 S.

S. Singh: Fermats letzer Satz – Die abenteuerliche Geschichte eines mathematischen Rätsels. DTV, 12. Auflage, 2007, 368 S.

E. Steinre: The Chemistry Maths Book. Oxford University Press, 2nd Edition, 2008, 668 S.

Tabellenwerke:

I. N. Bronstein, K. A. Semendjajew, G. Musiol, H. Mühlig: Taschenbuch der Mathematik. Harri Deutsch, 7. Auflage, 2008, 1216 S.

J. Rast, H. Netz: Formeln der Mathematik. Hanser Fachbuch, 7. Auflage, 1992

Netz:

S. Bauerecker: Zusammenstellung einzelner Gesichtspunkte der Vorlesung in Form von Folien, http://tu-braunschweig.de/pci/forschung/bauerecker/lehre 2010, ca. 68 S., wird im Verlauf des WS bereit gestellt.


Inhalt der Vorlesungen

Mathematische Methoden der Chemie I

• Zahlen (2 h)

• Funktionen (4 h)

• Differentialrechnung von Fktn. einer Veränderlichen (12 h)

• Integralrechnung von Fktn. einer Veränderlichen (12 h)

• Folgen und Reihen (4 h)

• Differentialrechnung von Fktn. mehrerer Veränderlicher (8 h)

• Integralrechnung von Fktn. mehrerer Veränderlicher (6 h)

• Differentialgleichungen (8 h)

∑ = 56 h = 14 Wochen


• Vektoralgebra und -geometrie (6 h)

• Vektoranalysis (4 h)

• Matrizen, Determinanten (6 h)

• Koordinatentransformationen (2 h)

• Wahrscheinlichkeitsrechnung (4 h)

• Einführung in Mathematica (2 h?)

• Fehlerrechnung?

• Funktionentheorie?

• Gruppentheorie?

• Numerische Methoden?

∑ = 28 h = 14 Wochen


Definitionen zu VektorenBauerecker


Endpunkt,Kopf

Anfangspunkt,Ursprung

Länge,Betrag

Vektor aDarstellung als Pfeil

Freier Vektor Ursprung unwichtig, unspezifiziert

Gebundener V. Ursprung wichtig, spezifiziert

Betrag | a | = a

Gleichheit a = b

Nullvektor 0 Vektor mit Länge null

Vektor in Gegenrichtung zu a: − a = (−1) · a

Linear abhängig, Vektoren stehen in gleicher oderkollinear entgegengesetzter Richtung

Lin. unabhängig zwei (drei) Vektoren spannenEbene (Raum) auf

a

Zwei (drei) linear unabhängige Vektoren a, b (und c) spannen eine Ebene (einen Raum) auf. Jeder Vektor A (V), der in der Ebene (im Raum) liegt, läßt sich aus a, b (und c) eindeutig zusammensetzen:

A = x·a + y·b V = x·a + y·b + z·c x, y, z sind geeignete Skalare

BasisvektorenBauerecker


a

b

x·a

y·b

A = x·a + y·b

A ist Diagonale des Parallelogramms mitden Seiten x·a, y·b.

B ist Diagonale des Parallelepipeds mitden Seiten x·a, y·b, z·c.a, b, c heißen Basisvektoren.

Wichtige Basisvektoren sind die Einheitsvektoren i, j, k, mit Betrag von jeweils eins, entlang der positiven x, y, z – Achsen im rechtshändigen Koordinatensystem (Schraube mit Rechts-gewinde x → y ↑ z). Sie stehen senkrecht aufeinander, sind orthogonal.

Zweite Möglichkeit, zwei Vektoren miteinander zu multiplizieren:

A × B = C Vektorprodukt (Kreuzprodukt),

ist Vektor, der senkrecht auf der von A, B aufgespannten Ebene steht. A, B, C bilden rechtshändiges System, mit

| C | = | A × B | = | A | · | B | · sin θ

| C | ist die durch A und B aufgespannte Parallelogrammfläche.

Das Vektorprodukt (Kreuzprodukt)Bauerecker


A

B| C |

C

θ

Wegen sin θ = − sin (− θ) giltA × B = − B × A Kommutativgesetz gilt nicht!(t ·A) × B = t · (A × B) Assoziativgesetz undA × (B + C) = A × B + A × C Distributivgesetz gelten (ohne Beweis)

Für Einheitsvektoren gilt:i × i = j × j = k × k = 0 (Nullvektor, weil sin 0 = 0)i × j = − j × i = kj × k = − k × j = ik × i = − i × k = j

R ist eine Vektorfunktion, wenn für jedes t (Skalar) ein Vektor R(t) definiert ist. Z.B.: t Zeit,R Ortsvektor (Koordinatensatz) eines Teilchens.

Vektorfunktion in kartesischen Komponenten:

Ist R(t) stetig, so sind es auch alle Komponenten. Die Ableitung von R(t) nach t wird wie beigewöhnlichen Funktionen definiert:

Ableitung von VektorenBauerecker


tttt

dtd

t Δ−Δ+

=→Δ

)()(lim0

RRR

kjikjiR zyxdtdz

dtdy

dtdx

dtd ′+′+′=++=

In Komponenten:

Ableitungen der Produkte:

auschen!nicht vert ,)(

Funktion skalare ,)(

baba)b(abababa

aaa

′×+×′=′×

′⋅+⋅′=′⋅

′+′=′⋅ λλλλ

kjiR ⋅+⋅+⋅= )()()()( tztytxt

Der ortsgebundene Vektor R mit Ursprung im Koordinatenursprung zielt mit seinem Endpunktauf den Punkt (x, y, z) im Raum. Vektor und Punkt sind hier als gleich anzusehen. ⇒ Vektoren können in der Geometrie verwendet werden.

Ebene im RaumBauerecker


0)( =⋅− ARR 0Ebenengleichung:

BR –R 0

(x, y, z)

·R0

A

R

Wir betrachten eine Ebene im Raum, diedurch den Punkt R0 geht und senkrecht zuVektor A steht. Wenn R in der Ebene liegt, dann ist (R – R0) ⊥ A. Es folgt die

Eine Fläche im Raum sei durch u(x, y, z) = c = konst gegeben (andere Form ist z = f(x, y)). Eine Kurve K mit x = x(t), y = y(t), z = z(t) liege in dieser Fläche. Dann gilt u[x(t), y(t), z(t)] = c für alle t. Wir bilden die Ableitung mit Hilfe der Kettenregel an einem festen Punkt R0 = x0 · i + y0 · j + z0 · k :

Tangentialebene und Normalenvektor Bauerecker


0=⋅∂∂

+⋅∂∂

+⋅∂∂

=dtdz

zu

dtdy

yu

dtdx

xu

dtdu

R0Dies ist ein Skalarprodukt:

).,,(Punkt im

und )()()()(mit 0)(

000 zyxzu

yu

xu

tztytxtt

kjin

kjiRRn

∂∂

+∂∂

+∂∂

=

⋅′+⋅′+⋅′=′=′⋅

R′(t) ist Tangente an Kurve K ⇒ n steht senkrecht auf R′(t). Dies gilt für jede Kurve K in derFläche ⇒ n steht senkrecht (normal) auf der Fläche, ist Normalenvektor ⇒ Die Tangentialebene in R0 ist senkrecht (normal) zu n und hat die Gleichung:

0)( =⋅− nRR 0

K K′

n Normalen-vektor

Tangentialebene

Flächeu(x, y, z) = c

R′(t) istTangente an K

Zur Beschreibung eines Vektorfeldes brauchen wir 3 Gleichungen (Funktionen), für jede Komponente des Vektors eine:

a(x, y, z) entsprechen ax(x, y, z), ay(x, y, z), az(x, y, z)

VektorfelderBauerecker


Grafische Darstellung eines Vektorfeldes: jedem Raumpunkt wird ein Vektor(pfeil) mit Richtung und Betrag zugeordnet.

Bsp.: Strömende Flüssigkeit in Rohr

Wir interessieren uns für die zeitlichen und räumlichen Änderungen 3dimensionaler Vektorfelder, also für die Differenzial- und Integralrechnung dieser Felder. Skalare Felder werden einbezogen.

Beispiele für Vektorfelder Jedem Raumpunkt (x, y, z) ist zugeordnet

a) Strömende Flüssigkeit eine Geschwindigkeit v(x, y, z)b) Elektrisches Feld eine elektrische Feldstärke E(x, y, z)

x

z

y

Bsp.: dreidimensionales Temperaturfeld in einem Körper

Die Temperatur im Körper ändert sich kontinuierlich. Die Punkte gleicher Temperatur bildenNiveauflächen mit T = konst. Für sehr kleine Δr in einer solchen Fläche ist daher ΔT = Δr · grad T = 0 . Im allgemeinen sind jedoch ΔT, Δr, grad T ≠ 0 und damit das Skalarprodukt Δr · grad T ≠ 0 ⇒ grad T steht senkrecht auf Δr und auf den Niveauflächengleicher Temperatur! grad T gibt also die Richtung stärkster T-Änderung an.

Veranschaulichung des GradientenBauerecker


jiyf

xfyxf

∂∂

+∂∂

=),(grad

Im eindimensionalen Fall ist der Gradient mit der Ableitung identisch (natürlich nicht im zwei- und dreidimensionalen Fall).

Bsp. „Herdplatte“2dimensionales Temperaturfeld, T nimmt nach außen hin ab.

Niveaulinie mit glei-cher Temperatur

Zweidimensionaler Fall:

Definition: Ein Vektorfeld K(x, y, z), das als Gradient K = grad U, mit Kx = ∂U/∂x, Ky = ∂U/∂y, Kz = ∂U/∂z, eines skalaren Feldes U(x, y, z) geschrieben werden kann, heißt konservativ. Andernfalls heißt das Vektorfeld nichtkonservativ oder turbulent. Das skalare Feld U heißt Potential oder Potentialfunktion.

Konservatives VektorfeldBauerecker


dUdzzUdy

yUdx

xUd =

∂∂

+∂∂

+∂∂

=⋅ rKDann ist K · dr ein totales Differential von U:

Längs eines geschlossenen Weges wird keine Arbeit geleistet:

Dann ist das Integral W unabhängig vom Weg und hängt nur vom Anfangs- und Endpunkt ab:

[ ] ),,(),,( AAAC

B

ABBB

BA zyxUzyxUUdUdW ∫ ∫ −===⋅= rK

∫ =⋅ 0rK d

ya

za

xa

za

xa

ya zyzxyx

∂∂

=∂

∂

∂∂

=∂∂

∂

∂=

∂∂ , ,

Ein Vektorfeld a(x, y, z) ist dann und nur dann konservativ, wenn in einem einfachzusammenhängenden Bereich gilt:

Wir verallgemeinern von Stab auf beliebigen Körper und betrachten die Konzentrationsänderung in einem quader-förmigen Volumenelement mit Achsen parallel zu den Koordinatenachsen (Komponenten Jx, Jy, Jz des Stoffstrom-dichtevektors J(x, y, z, t) seien ungleich null). Der Stoff A ströme durch alle 6 Flächen des Würfels ein und aus.

Divergenz: 3dimensionaler FallBauerecker


ztzyxJtzzyxJ

ytzyxJtzyyxJ

xtzyxJtzyxxJ

tc zzyyxx

Δ−Δ+

−Δ

−Δ+−

Δ−Δ+

−=∂∂ ),,,(),,,(),,,(),,,(),,,(),,,(

ΔxΔy

Δzx, y, z + Δz

x, y, zEckpunkt

Stoffstrom durch die y-z-Fläche, linke Seite (herein): Jx(x, y, z, t)·Δy·ΔzStoffstrom durch die y-z-Fläche, rechte Seite (heraus): Jx(x+Δx, y, z, t)·Δy·Δz

Jx(x,y,z,t) Jx(x+Δx,y,z,t)

Für Δx, Δy, Δz → 0 ⇒ JdivzJ

yJ

xJ

tc zyx −=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂

∂+

∂∂

−=∂∂ „Divergenz von J“ ist skalares Feld. J

kann als allgemeines Vektorfeld angesehen werden. Wenn J den Flußeiner Größe angibt, so beschreibt -divJ die Konzentrationsänderungendieser Größe.

kjiJJzyxz

JyJ

xJ zyx

∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇∂∂

+∂

∂+

∂∂

=⋅∇= mit ,div

Entsprechende Ströme durch x-z- und x-y-Flächen. ⇒ Die Konzentrationsänderung ∂c/∂t ergibt sich aus den hereingeströmten Nettostoffmengen nach Division durch das Volumen Δx·Δy·Δz

Gaußscher Integralsatz (Divergenztheorem) Bauerecker

Mathem. Methoden der Chemie II

dFdxdydzFV

naa ∫∫∫∫∫ ⋅=⋅div

ndF = dydz·i + dzdx·j + dxdy·k ist der Vektor senkrecht zum Flächenstückchen dF mit Richtungsenkrecht zur Fläche. Seine Komponenten dydz, dzdx, dxdy sind die Projektionen des Flächen-stückchens auf die yz-, xz-, und xy-Ebenen.

Anschauliche Deutung: Wegen div a = − ∂c/ ∂t, steht auf der linken Seite die Abnahme der Stoffmenge im Volumen V. Auf der rechten Seite steht die insgesamt durch die Oberfläche F des Volumens abgeflosseneMenge. Beide müssen gleich sein.

oder in Komponenten geschrieben:

∫∫∫∫∫ ++=⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

FV

dxdyadzdxadydzadxdydzza

ya

xa )( 321

321

Anwendung a: Volumenintegrale (Dreifachintegrale) können in geeigneten Fällen in Oberflächenintegraleumgewandelt werden und umgekehrt. Das eine lässt sich meist leichter lösen als das andere.

Rotation und Satz von StokesBauerecker


Integralsatz von Stokes:Wir betrachten eine „glatte“ Fläche F in einem Vektorfeld a(x, y, z), die von einer glatten Kurve C umschlossen ist. Dann gilt:

Die Divergenz ist definiert als Skalarprodukt von Nabla-Operator und Vektor.Die Rotation ist definiert als Vektorprodukt von Nabla-Operator und Vektor:

zyx

xyzxyz

aaazyx

ya

xa

xa

za

za

ya

∂∂∂∂∂∂=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂

∂+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂−

∂∂

=×∇= ///rotkji

kjiaa

dFdzadyadxadFC

zyxC

⋅⋅=++=⋅ ∫∫∫∫ nara )(rot)(

mit n als Einheitsnormale auf dF. Also ist das Kurvenintegral links gleich dem Flächenintegralder Normalkomponente der Rotation von a über der Fläche F. Falls rot a = 0 für die ganzeFläche gilt, so verschwindet auch das Kurvenintegral links und a·dr muß ein totales Differenzial sein (siehe oben).

F

r

C

Matrizen sind rechteckige Anordnungen von Zahlen (Objekten), die m Zeilen und n Spaltenenthalten:

MatrizenBauerecker


⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

mnmm

n

n

aaa

aaaaaa

............

...

...

21

22221

11211

A

Matrixsymbolfettgedruckt

auch eckige Klammernmöglich

ist m × n - Matrix

Matrix-Element a22, allgemein: aij

Zeilen-index

Spalten-index

{ }ija ist weitere Schreibweise für eine Matrix. Die geschweifte Klammerdrückt aus, daß alle Matrixelemente gemeint sind.

a) Gleichheit. Zwei Matrizen A und B sind gleich, wenn sie die gleiche Zahl von Spalten undReihen haben und wenn alle Matrixelemente gleich sind: aij = bij

Rechenregeln für MatrizenBauerecker


⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++++++

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

232221

131211

232322222121

131312121111

232221

131211

232221

131211

cccccc

babababababa

bbbbbb

aaaaaa

∑ ⋅==⋅k

kjikij bac enteMatrixelem diefür heißt CBA

Schema: Man nimmt die 1. Spalte von B, dreht diese gegen den Uhrzeigersinn um 90°, legtsie auf die 1. Zeile von A, multipliziert aufeinanderliegende Matrixelemente und addiert die Produkte, erhält so c11 von C. Dann legt man die gedrehte 1. Spalte von B auf die 2. Zeilevon A und wiederholt die Prozedur, bis die 1. Spalte von C aufgebaut ist. Entsprechendbaut man mit den anderen Spalten von B und den Zeilen von A die anderen Spalten von C auf.

c) Multiplikation. Ist nur möglich, wenn Spaltenzahl der ersten gleich Reihenzahl der zweitenMatrix ist!

b) Addition (Subtraktion). Ist nur möglich, wenn A und B die gleiche Zahl von Spalten und Reihen haben. Die entsprechenden Matrixelemente werden addiert: cij = aij + bij

1. Eine Determinante ändert ihren Wert nicht, wenn man Zeilen und Spalten miteinander vertauscht (Spiegelung, Stürzen). ⇒ Eine Matrix und ihre Transponierte besitzen die gleiche Determinante, sämtlichefür Zeilen abgeleitete Sätze gelten auch für Spalten.

Rechenregeln für DeterminantenBauerecker


2. Vertauscht man zwei Zeilen (Spalten) miteinander, so ändert sich das Vorzeichen der Determinante.

3. Eine Determinanten mit zwei gleichen Zeilen (Spalten) hat den Wert Null.

4. Wenn alle Elemente einer Zeile (Spalte) gleich Null sind, so hat die Determinante den Wert Null. (Beweis: Entwicklung der Determinante).

5. Eine Determinante wird mit einem Faktor m multipliziert, indem man alle Elemente einer Zeile mit diesem Faktor multipliziert.

6. Das Produkt zweier Determinaten wird analog zum Produkt zweier Matrizen gebildet.

7. Die Summe zweier Determinaten kann nicht analog zur Summe zweier Matrizen gebildet werden. Aller-dings kann man eine Determinante in die Summe zweier Determinanten aufspalten, indem man die Elemente einer einzigen Zeile jeweils in zwei Summanden aufspaltet und anschließend zwei Determinanten bildet, die die übrigen Zeilen unverändert übernehmen.

8. Eine Determinante ändert ihren Wert nicht, wenn man zu den Elementen einer Zeile die mit dem Faktor m multiplizerten Elemente einer anderen Zeile addiert.

Beispiele siehe Vorlesung.

Rang einer Matrix und lineare AbhängigkeitBauerecker


Der Rang r einer Matrix M ist die Ordnung der größten nichtverschwindendenUnterdeterminante oder der Determinante |M| selber.

kann.erden gebildet wnicht Ordnunghöherer teDeterminan eine undgilt

05621

teDeterminan ihre z.B. weil2, Rangden hat 456321

:1 Beispiel ≠⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

gilt. 011-02-

rminate Unterdetedie z.B. unddet verschwinOrdnung 3.

teDeterminan einzige ihre z.B. weil2, Rangden hat 520411302

:2 Beispiel

≠

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−−

Die Zeilen einer m × n Matrix A sind linear abhängig, wenn es m Zahlen λ1, λ2, …, λm gibt, die nicht alle Null sind und die folgenden n Gleichungen erfüllen:Andernfalls sind die Zeilen linear unabhängig voneinander. ∑

=

==m

1k

,...,2,1 , 0 niakikλ

Entsprechendes gilt für die Spalten: ∑=

==n

1i

,...,2,1 , 0 mkakiiμ

Lineares GleichungssystemBauerecker


Definition eines linearen Gleichungssystems mit m linearen (nur Exponent 1) Gleichungen für n Unbekannte (m muß nicht gleich n sein) x1, x2, …, xn:

... ...

......

2211

22222121

11212111

mnmnmm

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxabxaxaxa

=+++

=+++=+++

abgekürzt:

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

mnmnmm

n

n

b

bb

x

xx

aaa

aaaaaa

.........

..................

2

1

2

1

21

22221

11211

Die Koeffizienten aij und die Absolutglieder bi sind konstant und müssen bekannt sein. Ein homogenes Gleichungssystem liegt vor, wenn alle bi = 0, andernfalls ein inhomogenes. DasGleichungssystem läßt sich elegant als Matrix-Gleichung schreiben (Probe durch Ausmulti-plizieren):

bxA =⋅

Die Matrix A heißt Koeffizientenmatrix (m×n Matrix), der Vektor x heißt Lösungsvektor(n×1 Matrix). Die Theorie der linearen Gleichungen zielt darauf a) festzustellen, ob Lösungen existieren und b) diese Lösungen gegebenenfalls zu bestimmen.

Cramersche RegelBauerecker


Für inhomogene n × n Gleichungssysteme, gegeben durch

deren Determinante der Koeffizientenmatrix A nicht verschwindet, lassen sich die Komponenten des Lösungsvektors x wie folgt schreiben

AA

Ax

k

nnnn

n

n

k

aba

abaaba

=⋅=

...............

......

......1

1

2221

1111

bxA =⋅

Hierbei wird in der Determinante der Koeffizientenmatrix |A| jeweils die k-te Spalte durch die Elemente des Vektors b ersetzt. Das Verfahren ist nur empfehlenswert für n § 3, weil die Berechnung von Determinanten höherer Ordnung sehr aufwendig ist. Man formt daher das Gleichungssystem erst so um, dass eine A eine Dreiecks-Form erhält.

k-te Spalte durch b ersetzt liefert |Ak|

Lösbarkeit inhomogener GleichungssystemeBauerecker


Der folgende Satz beschreibt die Anzahl der Lösungen, wenn ein allgemeines inhomogenes Gleichungssystem mit m Gleichungen und n Unbekannten vorliegt:

r sei der Rang von A, R sei der Rang von Ab.(Wiederholung: der Rang einer Matrix gibt die Anzahl der linear unabhängigen Reihen oder Spalten der Matrix und damit die Zahl unabhängiger Gleichungen an). Dann gilt R = r oder R = r + 1.

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

mmnm

n

n

baa

baabaa

...............

...

...

1

2221

1111

bA

Die Matrix A wird durch hinzufügen der Elemente des Vektors b zur Matrix Ab erweitert:

bxA =⋅

• Das Gleichungssystem besitzt Lösungen, wenn R = r ist (notwendig und hinreichend!)

• Ist außerdem die Zahl der Unbekannten n = r, so gibt es für jede Unbekannte genau eine Lösung.

• Gilt jedoch n > r, so kann man die Werte für n – r Unbekannte beliebig vorgeben und dann dierestlichen r Unbekannten aus den vorgegebenen Werten eindeutig bestimmen. Man erhält eine (n – r)-fach unendliche Lösungsmannigfaltigkeit.

Lösbarkeit homogener GleichungssystemeBauerecker


Homogene Gleichungssystememit n Gleichungen haben die Gestalt:

Der Rang r der Matrix A ist immer gleich dem Rang R der erweiterten Matrix: R = r, weil sich der Rang einer Matrix durch Hinzufügen einer Spalte Nullen nicht ändert.

0xA =⋅

a) Daher besitzt das Gleichungssystem immer Lösungen.

b) Für R = r = n ist x1 = x2 = … = xn = 0 die einzige Lösung, die triviale Lösung. Sie ist uninteressant.

c) Für R = r < n existieren nichttriviale Lösungen, die eine (n – r)-fache unendliche Lösungsmannigfaltigkeit bilden. Diese ist interessant.

d) Ist xi eine Lösung des homogenen Systems, so ist auch λ · xi eine Lösung.

e) Sind x1, x2, … Lösungen des Gleichungssystems, so ist auch die Linearkombintationλ1·x1 + λ2·x2 +, … Lösung.

f) Die allgemeine Lösung ist also: , wobei i alle linear unabhängigen

Lösungen durchläuft. Den n – r freien Konstanten werden bestimmte Werte zugewiesen.

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

=in

i

i

x

x...

1

xEine Lösung bezeichnen wir mit

∑=i

iixx λ

Inverse MatrixBauerecker


Vorbemerkung. Das Gleichungssystem A·x = b lässt sich durch Multiplikation der MatrixA mit ihrer Inversen A-1 (von links) lösen: x = A-1·b. Also muss „nur“ die inverse Matrix A-1

ermittelt werden (|A| ≠ 0).

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛⋅=−

332313

322212

3121111 1

ααααααααα

AA

Immer gilt:

Inverse Matrix:(Satz ist erweiterbar auf n × n Matrizen.)

( ) A von minanteUnterdeter1 ⋅−= +kjjkαMit den Kofaktoren:

Beachte „transponierte“Indices!

EAAAA =⋅=⋅ −1-1 E Einheitsmatrix

Inverse2 × 2 Matrix: ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−⋅=−

2221

1211

1121

12221 mit ,1aaaa

aaaa

AA

A

EigenwertgleichungBauerecker


Eigenwertprobleme sind von großer Bedeutung in den Natur- und Ingenieurwissenschaften. Hierbei ist eine gegebene n × n Matrix A mit dem Eigenvektor x (Spaltenvektor) und dem Eigenwert λ (reelle Zahl) verknüpft. Eigenvektor und Eigenwert sind gesucht.

xAx ⋅= λEigenwertgleichung: Andere Schreibweise:

x ist offensichtlich Lösung eines homogenen Gleichungssystems. Die triviale Lösung (Rang r = n) interessiert nicht. Bedingung für die Existenz einer nichttrivialen Lösung ist also r < n, d.h. die Determinante von (A – λE) muss verschwinden:

0xEA =⋅− )( λ

22112112

222112211

2,1

2112221122112

2221

1211

4)(

2

0)(

aaaaaaaa

aaaaaaaa

aa

−++

±+

=

=−++−=−

−=−

λ

λλλ

λλEA

Im allgemeinen erhält man ein Polynom n-ten Grades in λ, das nach dem Fundamentalsatz derAlgebra genau n (nicht unbedingt verschiedene) Nullstellen hat. Diese können komplexwertigsein. Eine beliebige n × n Matrix A hat also maximal n verschiedene Eigenwerte λk. Die Eigenwertgleichung hat mindestens eine nichttriviale Lösung xk.

Einige Eigenschaften von Eigenvektoren u. EigenwertenBauerecker

MM Chemie II

Eigenwertgleichung A x = λ·x, A ist n × n Matrix, x Eigenvektor, λ komplexer (reeller) EigenwertSpektrum von A: Gesamtheit der Eigenwerte λ1, λ2, …, λnSpektraler Radius: Größter Betrag |λj| aus der Reihe der n Eigenwerte.

a) Die Spur (= Summe der Diagonalelemente) der Matrix A ist gleich der Summe ihrer Eigenwerte. Sie hat eine ähnliche Bedeutung wie die Determinante, die das Produkt der Eigenwerte von A ist.

b) Die inverse Matrix A-1 hat die Eigenwerte 1/λ1, 1/ λ2, …, 1/λn und dieselben Eigenvektorenx1, x2, …, xn wie A (1, 2, … hier Indices!).

c) Die Matrix Am , (Exponent m = 1, 2, …) hat die Eigenwerte λ1m, λ2

m, …, λnm und dieselben

Eigenvektoren x1, x2, …, xn wie A.

d) Ist A eine Dreiecksmatrix (obere oder untere), so sind die Diagonalelemente die Eigenwerte von A. (Beweis: Bildung der Determinante von A – λE).

e) Die Eigenwerte einer hermiteschen (symmetrischen) Matrix, für die A+ = A (AT = A) gilt, sind rein reell.

f) Die Eigenwerte einer schief-hermiteschen (schief-symmetrischen) Matrix, für die A+ = –A(AT = –A) gilt, sind rein imaginär.

g) Die Eigenwerte einer unitären (orthogonalen) Matrix, für die A+ A= E (AT A = E) gilt, haben den Betrag 1.

Koordinatentransformation in 3 DimensionenBauerecker

MM Chemie II

Ein Koordinatensystem KS sei gegen ein anderes KS´ beliebig verdreht (ohne Verzerrung), bei gemeinsamen Ursprung. Dann spricht man von einer orthogonalen Transformationund es gelten die folgenden Beziehungen zwischen den Basisvektoren beider Systeme:

i ji'

j'

kk'

ZuordnungAchsenrichtung x y zEinheitsvektor i j kIndex-Nummer 1 2 3 333231

232221

131211

kjikkjijkjii

βββββββββ

++=′++=′++=′

332313

322212

312111

kjikkjijkjii

′+′+′=

′+′+′=

′+′+′=

βββββββββ

Hintransformation RücktransformationBasisvektoren

9 Richtungskosinus βmnsind die Kosinus der Winkel zwischen einem Basisvektor des gestrichenen und einem Basis-vektor des ungestrichenen Systems. Bsp.: β13 = cos(∠i'k)

6 Orthogona-litätsrelationengelten zwischenihnen:

000

1

1

1

332332223121

331332123111

231322122111

233

232

231

223

222

221

213

212

211

=++=++=++

=++

=++

=++

ββββββββββββββββββ

βββ

βββ

βββ

333231

232221

131211

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

βββββββββ

B

332313

322212

312111T

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

βββββββββ

B

Orthogonale Transformationsmatrix B (B-1 = BT)

Koordinatentransformation allgemeiner Vektor a aBa ⋅=′ aBa T ′⋅=

Vektortransformation in festem KS (ist formal der Koordinatentransformation gleich, wird mit gleicherDrehmatrix B beschrieben:

dBd ⋅=′ dBd T ′⋅=

Diagonalisierung einer MatrixBauerecker


Eine n × n Matrix A heißt diagonalisierbar, wenn sie ähnlich zu einer Diagonalmatrix D ist, d.h., wenn eine invertierbare Matrix B existiert, so dass D = BAB-1 Diagonalgestalt hat.

Satz a:Ähnliche Matrizen haben das gleiche charakteristische Polynom det(A – λE).

Satz b: Ist A diagonalisierbar, so ist A ähnlich zu einer Diagonalmatrix D, bei der auf der Diagonalen die Eigenwerte von A stehen.

Satz c:Eine n × n Matrix A ist genau dann diagonalisierbar, wenn sie n linear unabhängige Eigenvektoren besitzt. Diese bilden als Spaltenvektoren die n × n Matrix X = B-1

Falls A symmetrisch ist, lassen sich immer n zueinander orthogonale (linear unabhängige) Eigenvektoren finden. Damit können symmetrische Matrizen immer auf Diagonalform gebracht werden. Dagegen haben orthogonale („Dreh-“) Matrizen teilweise komplexe Eigenwerte.

Vorgehen: Man bildet das charakteristische Polynom und bestimmt die Eigenwerte und Eigenvektoren. Sind letztere linear unabhängig, ist D bestimmt: ⎟⎟

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=== −−

nλ

λλ

...00............0...00...0

2

1

AXXBABD 11

HauptachsentransformationBauerecker


Welche Kurve ist der folgenden allgemeinen Gleichung (z.B. für Kegelschnitte) zugeordnet?

1

1)(

12

2

1

2212

121121

22222112

2111

=⋅⋅

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=⋅++⋅

xAxT

xx

aaaa

xx

xaxxaxa

Matrizenform

Wir drehen das KS mit der orthogonalen Matrix B so, dass A in die Diagonalmatrix D (und xin x') transformiert wird. Die λ1, λ2 sind Eigenwerte von A, siehe oben:

⇒ A ist symmetrisch

( )

1''

10

01

00

222

211

2

1

2

121

2

1

=⋅+⋅⇒

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛′′

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛′′

=⋅⋅′

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⋅⋅=′= −

xx

xx

xx

λλ

λλ

λλ

xDx

BABAD

T

1

Neue Form der Gleichung

Die zu den Eigenwerten gehörenden normierten Eigenvektoren bilden die Spalten der Matrix B-1, siehe oben. Durch Invertierung von B-1 erhält mandie Drehmatrix B und daraus den Drehwinkel ϕ.

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=ϕϕϕϕ

cossinsincos

B

Eigenwerte bestimmen Kurvenform:λ1, λ2 > 0 Ellipseλ1·λ2 < 0 Hyperbelλ1 oder λ2 = 0 Geradenpaar

Die Umwandlung von 1 in 2 heißt Hauptachsentransformation.

1

2

PermutationenBauerecker


Eine Anordnung von n unterscheidbaren Elementen einer Menge in einer bestimmtenReihenfolge heißt Permutation dieser Elemente. Eine entsprechende Anordnung von r § n dieser Elemente heißt r-Permutation (oder auch Variation).

Satz a: Die Anzahl der r-Permutationen von n Objekten ist:

!123)...2)(1(),()!(

!)1)...(2)(1(),(

nnnnnnPrn

nrnnnnrnP

=⋅⋅−−=−

=+−−−=Es gibt also n! Permutationen von n verschiedenen Objekten. ⇒

Bsp: Es gibt P(n,r) verschiedene Möglichkeiten beim Ziehen von r Kugeln ohne Zurücklegen aus einer Urne mit n Kugeln. Beim Ziehen mit Zurücklegen gibt es nach dem fundamentalen Abzählprinzip n·n· …n = nr Möglichkeiten.

Satz b: Die Anzahl der Permutationen von n Objekten (Permutationen mit Wiederholung), von denen je n1, je n2, … und je nr gleich sind, ist:

Bsp.: Mit den 5 Buchstaben des Wortes DADDY kann man 5! = 120 verschiedene Worte bilden, sofern man die drei D‘s unterscheidet (D1, D2, D3). Die 120 Worte lassen sich in einer 6 × 20 Matrix anordnen, wobei immer nur die 6 = 3·2·1 = 3! Worte in einer Zeile stehen, die sich nur durch die Indices der D‘sunterscheiden. Ohne Unterscheidung bleiben also nur 5! / 3! = 120 / 6 = 20 Möglichkeiten über.

!!!!

21 rnnnn⋅⋅⋅

Binomischer Satz

321234

34

,1

,10

...21)1(...)1(

)!(!!

...210

)(0

2211

⋅⋅⋅⋅

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⋅⋅⋅+−⋅⋅−

=−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=+ ∑

=

−−−

nn

nnn

kknnn

knkn

kn

bakn

bnn

ban

ban

an

ban

k

knknnnnn

Binomialkoeffizienten

bilden das

n = 0 1 n = 1 1 1n = 2 1 2 1n = 3 1 3 3 1n = 4 1 4 6 4 1n = 5 1 5 10 10 5 1u.s.w.

Pascalsche Dreieckn! = 1 · 2 · ... · n „n Fakultät“

Der Satz kommt aus der Kombinatorik.Die Binomialkoeffizienten im PascalschenDreieck liefern im Grenzfall n →∞ die Normalverteilung (siehe auch GaltonschesBrett).


WahrscheinlichkeitstheorieBauerecker


Die Wahrscheinlichkeitstheorie hat sich aus dem Studium von Glücksspielen entwickelt. Sie wird mittlerweile „seriös“ in der Thermodynamik, Quantentheorie, Messwertanalyse, Biologie, Versicherungsmathematik, u.s.w., eingesetzt. Sie befasst sich mit den Gesetzmäßigkeiten von zufälligen Ereignissen.

Ereignisraum (Stichprobenraum): Menge S aller möglichen Ergebnisse eines Experiments. Elementarereignis: Ein nicht als Summe anderer Ereignisse darstellbares Ereignis (Ergebnis) a. Ereignis: Menge von Elementarereignissen. Unmögliches Ereignis: Leere Menge «. Sicheres Ereignis: Menge S. Verknüpfung von Ereignissen zu neuen Ereignissen: a) A « B „A oder B treten ein“b) A » B „A und B treten ein“c) Ac ist Komplement von A, „A tritt nicht ein“d) A und B heißen disjunkt oder unvereinbar, wenn sie sich ausschließen, also ist A … B = «ein unmögliches Ereignis. Partition: Menge von unvereinbaren Ereignissen A1, A2, …, An, deren Vereinigung S ergibt.

Bsp. Würfeln: Ereignisraum S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, Elementarereignis „Würfeln einer Vier“ {4}, Ereignisse A „ungerade Zahl“, B „gerade Zahl“, C „Primzahl“: A = {1, 3, 5}, B = {2, 4, 6}, C= {2, 3, 5},A … C = {3, 5} „ungerade Primzahl“, A … B = « „gerade und ungerade Zahl“.

Wahrscheinlichkeitsraum und Laplace-ExperimentBauerecker

MM der Chemie II

S = {a1, a2, …, an} sei eine Menge (Ereignisraum) von n Elementarereignissen ai. Wenn man jedem ai eine Wahrscheinlichkeit P(ai) zuordnet, so erhält man einen Wahrscheinlichkeits-raum falls gilt: a) P(ai) ¥ 0 für alle P(ai)

b) P(ai) + P(a2) + … + P(an) = 1.

Bsp.: Wir werfen 3 Münzen gleichzeitig und beobachten, wie oft Zahl erscheint (4 Möglichkeiten). Ereignisraum: S = {0, 1, 2, 3} Wahrscheinlichkeitsraum: P(0) = 1/8, P(1) = 3/8, P(2) = 3/8, P(3) = 1/8A = {1, 2, 3} = {„mindestens einmal Zahl erscheint“} ⇒ P(A) = 3/8 + 3/8 + 1/8 = 7/8

Falls jedes der n Elementarereignisse ai im Ereignisraum die gleiche Wahrscheinlichkeit besitzt, spricht man von einem Laplace-Experiment (Laplace-Wahrscheinlichkeitsraum). Ein Ereignis A mit genau r Elementen besitzt dann die Wahrscheinlichkeit P(A) = r / n.

Bsp.: Karte zufällig aus Kartenspiel mit 52 Karten ziehen. Ereignisse: A = {„Karte ist Karo“}, B = {„Karte ist ein Bild“} P(A) = Zahl der Karo / Zahl der Karten = 13 / 52, P(B) = Zahl der Bilder / 52 = 12 / 52,P(A … B) = Zahl der Karo-Bilder / Zahl der Karten = 3 / 52.

K K K 1K K ZK Z K 3Z K KK Z ZZ K Z 3Z Z KZ Z Z 1

Ereignisbaum Bauerecker


Mit einem Ereignisbaum kann man die Wahrscheinlichkeiten einer Folge von Experimenten (Zufallsprozess) gut darstellen.

Beispiel: Wir haben 3 Kartons mit folgendem Inhalt: Karton I enthält 6 gute und 4 defekte Lampen. Karton II enthält 5 gute und 1 defekte Lampe.Karton III enthält 5 gute und 3 defekte Lampen. Wir bestimmen zufällig einen Karton und wählen zufällig daraus eine Lampe. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit P, dass diese defekt ist?Wir führen eine Folge von zwei Experimenten aus: a) Zufallsauswahl eines Kartons; b) Zufallsauswahl einer Glühlampe (defekt = D, nicht defekt = N). Der folgende Ereignisbaum beschreibt diesen Prozess. An jedem Ast stehen die einzelnen Wahrscheinlichkeiten:

I

II

III

D

D

D

N

N

N

1/3

1/3

1/3

2/5

3/51/6

5/63/8

5/8

1/3 · 2/5 = 2/15

1/3 · 3/5 = 3/15

1/3 · 5/6 = 5/18

1/3 · 5/8 = 5/24

1/3 · 3/8 = 3/24

1/3 · 1/6 = 1/18

Wir haben jeweils drei sich ausschließende Mög-lichkeiten, eine gute/defekte Glühlampe zu wählen. Daher werden die einzelnen Wahr-scheinlichkeiten addiert:

360247

245

185

153)(

360113

243

181

152)(

=++=

=++=

NP

DP

Zufallsvariable und VerteilungsfunktionBauerecker


In den Naturwissenschaften betrachtet man oft Verteilungen von Messdaten, indem man z.B. eine Messung mehrfach wiederholt und die Messwerte der Größe nach Intervallen zuordnet. In ähnlicher Weise beschreibt eine Wahrscheinlichkeitsverteilung die Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen (Werten) eines Experiments. Dabei kann die Wahrscheinlichkeit des zufälligen Auftretens eines Ereignisses (Wertes a) sinnvollerweisedurch die Verknüpfung mit einer so genannte Zufallsvariablen X exakt ausgedrückt werden: P(X = a). Mit X kann auch die Wahrscheinlichkeit ausgedrückt werden, dass zufällig ein Ereignis (Wert) aus einem Intervall I auftritt: P(X ∈ I).

Definition Verteilungsfunktion F der Zufallsvariablen X: F(x) = P(X § x). F gibt die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass X irgendeinen Wert kleiner/gleich x annimmt. F kann abzählbar (diskrete Verteilung) oder kontinuierlich (z.B. Messwerte) sein. Wahrscheinlichkeitsfunktion bei diskreter Verteilung:

⎩⎨⎧ ==

=sonst 0

,...)3,2,1( für )(

jxxPxf jj

Hieraus erhalten wir die Verteilungsfunktion:

∑∑≤≤

==xx

jxx

jjj

PxfxF )()(

0 5 x

f(x)

0 5 x

F(x)

3/6

1

Bsp: X sei Augenzahl bei Würfelexperiment, X ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6}

1/6

Mittelwert, Varianz und StandardabweichungBauerecker

MM der Chemie II

einer Zufallsvariable X und ihrer Verteilung.

Mittelwert μ(Erwartungswert)

Varianz σ2

Standardabweichung σ

Verteilung

kontinuierlichdiskret

∑j

jj xfx )( ∫+∞

∞−

dxxfx )(

)()( 2j

jj xfx∑ −μ ∫

+∞

∞−

− dxxfx )()( 2μ

(σ ist positive Wurzel aus σ2)

GeometrischeEntsprechung

x-Koordinate desSchwerpunkts der Verteilung

x-Koordinate desTrägheitsmomentsder Verteilung um die Schwerpunktsachse

Oft ist eine Transformation von X wichtig, der Form X* = a + bX. Dann transformieren sich μ und σ2 zu μ* = a + bμ und σ*2 = b2 σ2

Für die standardisierte Zufallsvariable Z gilt μ = 0 und σ = 1

σμ−

=XZ

PoissonverteilungBauerecker


...) 2, 1, 0, (x !

)( == −μμ ex

xfx

Bei der Binomialverteilung ist der Mittelwert μ = np. Für kleine p und große n geht diese Verteilung in die Poissonverteilung über (ohne Beweis):

mit der Varianz σ2 = μ

Beispiel: Die Wahrscheinlichkeit für eine defekte Schraube ist p = 0,01. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass 100 Schrauben mehr als 2 defekte Schrauben enthalten (Ereignis A)? Lösung: Berechnung des Gegenteils „nicht mehr als 2 defekte Schrauben“ (Ereignis B). Die Anzahl der Experimente ist n = 100. Damit ist p relativ klein und n relativ groß, so dass die Poisson-Verteilung eine Approximation der Binomialverteilung darstellt, mit μ = pn = 1. P(B) = f(0) + f(1) + f(2) = e-1 ( 1 + 1 + ½) = 91,97 %. P(A) = 1 – P(B) = 8,03 % (oder 7,94 % mit der Binomialverteilung berechnet).

Wahrscheinlichkeitsfunktion f(x) der Poisson-verteilung für verschiedene Werte von μ.

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Mathematische Methoden der Chemie II - tu- · PDF fileMathematische Methoden der Chemie II Bauerecker Mathematische Methoden der Chemie II apl. Prof. Dr. Sigurd Bauerecker Institut