Embed Size (px)
Citation preview
Mathematische Methodender Physik
Lineare Operatoren
Peter Hertel
Universitat Osnabruck
Abschluss, absolut stetig, adjungiert, dicht, Dichteoperator, Dirac-Funktion, Distribution,
Drehimpuls, Faltungssatz, Fourier-Analyse, hermitesch, Hilbert-Raum, Impuls, Jacobi-Iden-
titat, kanonische Vertauschungsregel, Kommutator, Leiter-Operatoren, lineare Abbildung,
linearer Raum, Multiplikations-Operator, Norm, normal, normiert, Operator, Ort, orthogo-
nal, Parseval-Theorem, Pauli-Matrizen, positiv, Projektor, Quasi-Eigenfunktionen, selbst-
adjungiert, Spur, symmetrisch, Teilraum, Testfunktion, unitar, Unscharferelation, verallge-
meinerte Funktion, vollstandiges Orthonormalsystem, Zerlegung der Eins
13. Marz 2004
Inhaltsverzeichnis
Vorwort 4
1 Lineare Abbildungen 51.1 Lineare Raume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 Lineare Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3 Ring der linearen Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2 Lineare Operatoren im Hilbert-Raum 82.1 Hilbert-Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.2 Lineare Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3 Projektoren auf Teilraume 103.1 Teilraume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.2 Projektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.3 Zerlegung der Eins . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4 Normale Operatoren 124.1 Spektralzerlegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124.2 Selbstadjungierte Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134.3 Positive Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134.4 Unitare Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134.5 Dichteoperatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
5 Funktionen von Operatoren 155.1 Potenzreihe eines Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155.2 Funktion eines normalen Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . 155.3 Ein Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
6 Translationen 186.1 Periodische Randbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186.2 Definitionsbereich des Impulses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196.3 Spektralzerlegung des Impulses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
7 Fourier-Transformation 217.1 Fourier-Reihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217.2 Fourier-Entwicklung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217.3 Fourier-Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
8 Ort und Impuls 248.1 Testfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248.2 Kanonische Vertauschungsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248.3 Unscharfebeziehung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2
8.4 Quasi-Eigenfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
9 Leiter-Operatoren 279.1 Auf- und Absteigeoperatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279.2 Vakuum und angeregte Zustande . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289.3 Harmonischer Oszillator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
10 Drehgruppe 2910.1 Drehimpuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2910.2 Eigenraume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3010.3 Bahndrehimpuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3110.4 Laplace-Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
A Normale Operatoren im Cn 33
B Verallgemeinerte Funktionen 35B.1 Testfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35B.2 Distributionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36B.3 Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37B.4 Fourier-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38B.5 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
C Glossar 41
3
Vorwort
Das Studium der Physik an der Universitat Osnabruck besteht–wie fast uberall–aus einem Grundkurs und aus aufbauenden Lehrveranstaltungen. Der Grund-kurs beleuchtet die Physik aus dem Blickwinkel der Phanomene (Experimental-physik), der Praxis (Laborversuche zur Physik) und der Theorie (TheoretischePhysik). Physik ist dicht mit Mathematik verflochten, daher studiert man Phy-sik immer zusammen mit Mathematik. An der Schnittstelle zwischen Physikund Mathematik findet man jedoch oft Defizite vor, denen diese Reihe vonLehrveranstaltungen abhelfen will. Der Fachbereich Physik bietet daher dieModule ’Rechenmethoden der Physik 1 und 2’ sowie ’Mathematische Metho-den der Physik 1 und 2’ an. Jeder dieser vier Module wird mit sechs ECTS-Leistungspunkten1 gewichtet, dem entspricht ein Arbeitsaufwand von jeweilsetwa 120 Zeitstunden. Die ’Rechenmethoden’ sollen der ’Einfuhrung in die Ex-perimentalphysik’ zuarbeiten, die ’Mathematischen Methoden’ der ’Einfuhrungin die Theoretische Physik’.Auf diese Anforderung haben wir den hier dokumentierten Kurs ’Mathema-tische Methoden der Physik 2’ eingestellt. Die in Vorlesungen und Ubungengegliederte Lehrveranstaltung stutzt sich auf Vorkenntnisse, die in den ein-schlagigen Lehrmodulen der Mathematik vermittelt worden sind.In diesem mathematisch orientierten Text gibt es keine physikalischen Maßein-heiten. Alle Großen sind dimensionslos. Eine Lange ist immer das Verhaltnisder Lange zur Langeneinheit, usw. Trotzdem haben wir uns an die in der Phy-sik ubliche Notation gehalten. Das lauft fast immer auf die Festlegung ~ = 1hinaus.Das rechte Darstellungsniveau zu finden ist eine heikle Sache, denn man musseinen vernunftigen Kompromiss finden zwischen didaktischen Uberlegungen,der begrenzten Zeit und den inharenten Schwierigkeiten der Theorie auch un-beschrankter linearer Operatoren. Es einfach zu machen ohne zu schwindeln istein wirkliches Problem.Der Abschnitt uber normale Operatoren ist zentral. Selbstadjungierte Opera-toren beschreiben die Observablen eines physikalischen Systems und spielenauch in vielen anderen Zweigen der Physik eine wichtige Rolle. Positive Ope-ratoren tauchen im Zusammenhang mit Ungleichungen auf. Dichteoperatorenbeschreiben die Zustande eines physikalischen Systems, und unitare Operatorenkommen immer dann vor, wenn Symmetrien im weitesten Sinne zu beschreibensind. Dieser Abschnitt wird sorgfaltig vorbereitet und spater ausgefuhrt.Wir haben die Spektralzerlegung normaler Operatoren in den Anhang gescho-ben, ebenso die Theorie der verallgemeinerten Funktionen, um zugiger zu denfur die Theoretische Physik wichtigen Methoden zu gelangen. Ein Glossar, dassdie wichtigsten Begriffe auflistet, rundet den Text ab.Bitte benachrichtigen Sie den Autor2 uber Fehler und Verbesserungsvorschlage.
1European Credit Transfer [email protected]
4
1 Lineare Abbildungen
Wir erinnern an die Definition des linearen Raumes und gehen auf lineareTeilraume ein. Lineare Teilraume werden von Mengen linear unabhangiger Vek-toren aufgespannt, deren Machtigkeit die Dimension definiert. Im Vordergrunddes Interesses stehen lineare Abbildungen zwischen linearen Raumen. Die li-nearen Abbildungen eines linearen Raumes auf sich bilden einen Ring: lineareAbbildungen kann man addieren, mit Skalaren multiplizieren, und multiplizie-ren. Die Multiplikation ist nicht kommutativ.
1.1 Lineare Raume
Ein linearer Raum besteht aus Objekten, die man addieren und mit Zahlenmultiplizieren kann. Die Objekte heißen oft Vektoren, die Zahlen Skalare. Daskonnen reelle oder komplexe Zahlen sein. Wir bezeichnen den linearen Raummit L. Die Addition von Vektoren und die Multiplikation mit Skalaren soll denfolgenden Regeln genugen:
x + (y + z) = (x + y) + z (1.1)x + y = y + x (1.2)α(βx) = (αβ)x (1.3)α(x + y) = αx + αy (1.4)
fur x, y ∈ L und α, β ∈ C. In L gibt es einen Nullvektor 0, der durch 0x = 0fur alle x ∈ L festgelegt ist. Der Skalar vor x ist die Zahl 0.
1 Zum Nullvektor Man definiere −x und zeigen, dass x−x, eine Abkurzungfur x + (−x), den Nullvektor ergibt.
Eine Menge x1, x2, . . . , xn von Vektoren in L ist linear unabhangig, wenn dieGleichung
α1x1 + α2x2 + . . . + αnxn = 0 (1.5)
nur die Losung α1 = α2 = . . . = αn = 0 hat.Mit
L ′ = Lx1, x2, . . . , xn = x |x =n∑
i=1
αixi mit αi ∈ C (1.6)
bezeichnen wir den durch die linear unabhangigen Vektoren x1, x2, . . . , xnaufgespannten Teilraum von L. Die Menge x1, x2, . . . , xn ist eine Basis furL ′.
2 Linearer Teilraum Man zeige, dass L ′ = Lx1, x2, . . . , xn ein linearerRaum ist. Es genugt zu zeigen, dass mit x, y ∈ L ′ auch αx + βy zu L ′ gehort.
5
Wenn man denselben Teilraum L ′ einmal aus den linear unabhangigen Vektorenx1, x2, . . . xn erzeugt und zum anderen aus den linear unabhangigen Vektoreny1, y2, . . . ym, dann muss m = n gelten, und man nennt m = n die Dimensiondes Raumes. L selber ist ein endlichdimensionaler Raum, wenn er durch eineendliche Menge linear unabhangiger Vektoren erzeugt werden kann.Wenn man eine abzahlbar unendliche Menge x1, x2, . . . von Vektoren ausL angeben kann, so dass jede Teilmenge linear unabhangig ist, dann hat derlineare Raum die Dimension abzahlbar-unendlich (ℵ). Es gibt hohergradig un-endlichdimensionale lineare Raume, mit denen wir uns hier aber nicht befassenwerden.
3 Polynome Man zeige, dass die Polynome vom Grade k < n, also komplex-wertige Funktionen einer komplexen Variablen der Gestalt
p(z) = a0 + a1z + . . . + an−1zn−1 (1.7)
einen n-dimensionalen linearen Raum Pn bilden und dass der lineare Raum Paller Polynome die Dimension abzahlbar-unendlich hat.
1.2 Lineare Abbildungen
Wir betrachten zwei lineare Raume L1 und L2. Eine Abbildung L : L1 → L2
heißt linear, wenn
L(αx + βy) = αL(x) + βL(y) (1.8)
gilt fur alle x, y ∈ L1 und fur alle α, β ∈ C.
4 Differentiation von Polynomen Wenn man ein Polynom p differenziert,erhalt man wiederum ein Polynom. Also ist die Operation ’Ableiten’ eine Ab-bildung von P in sich selber. Zeigen Sie, dass es sich um eine lineare Abbildunghandelt.
C selber kann man als einen eindimensionalen linearen Raum auffassen. Damitist die Integration eines Polynoms, etwa
I[a,b](p) =∫ b
adx p(x) , (1.9)
eine lineare Abbildung P → C, wie man leicht zeigen kann. Diese Aussage giltgenerell fur Integrale.
1.3 Ring der linearen Abbildungen
Wir betrachten jetzt lineare Abbildungen eines linearen Raumes L in sich. MitA bezeichnen wir die Menge aller solcher linearen Abbildungen.Auf A kann man addieren,
(M + N)(x) = M(x) + N(x) wobei M,N ∈ A und x ∈ L . (1.10)
6
Auf A kann man auch mit Skalaren multiplizieren,
(αM)(x) = αM(x) fur M ∈ A und α ∈ C . (1.11)
A ist also ein linearer Raum, denn die entsprechenden Vertraglichkeitsregelnsind erfullt.Auf A kann man zudem multiplizieren,
(NM)(x) = N(M(x)) . (1.12)
Weil das Assoziativgesetz
N(ML) = (NM)L (1.13)
und die Vertraglichkeitsregel
L(M + N) = LM + LN (1.14)
fur lineare Abbildungen L,M,N ∈ A erfullt sind, haben wir in A einen Ringvor uns.Dieser Ring ist ab Dimension 2 nicht-kommutativ, man kann sich also nicht aufMN = NM verlassen.
5 Komplexe 2×2-Matrizen Der einfachste interessante Vektorraum hat zweiDimensionen. Die Menge A der zugehorigen linearen Transformationen kannmit den komplexen 2×2-Matrizen identifiziert werden. Geben Sie zwei MatrizenM und N an, so dass MN sich von NM unterscheidet.
7
2 Lineare Operatoren im Hilbert-Raum
Indem man den linearen Raum mit einem Skalarprodukt ausstattet, kann manBegriffe wie ’senkrecht’, ’Lange eines Vektors’, damit ’Norm’ und ’Konvergenz’,also die Topologie ins Spiel bringen. Hilbertraume haben eine reiche Struktur,der wir uns im Folgenden widmen wollen.
2.1 Hilbert-Raum
Ein Hilbert-Raum H ist ein linearer Raum, der mit einem Skalarprodukt aus-gestattet und in der entsprechenden Norm vollstandig ist.Zu je zwei Vektoren x, y ∈ H gibt es eine komplexe Zahl (y, x), das Skalarpro-dukt. Fur das Skalarprodukt gilt
(y, x) = (x, y)∗ und (z, αx + βy) = α(z, x) + β(z, y) . (2.1)
||x|| =√
(x, x) soll eine Norm sein. Daher muss man zusatzlich
(x, x) ≥ 0 und (x, x) = 0 y x = 0 (2.2)
fordern. Das Skalarprodukt eines Vektors mit sich selber ist niemals negativ,und es verschwindet nur fur den Nullvektor.Aus den Regeln fur das Skalarprodukt folgen die Dreiecksungleichung
||x + y|| ≤ ||x||+ ||y|| . (2.3)
sowie die Schwarz-Ungleichung
|(x, y)|2 ≤ ||x||2||y||2 . (2.4)
Am schwierigsten ist meistens der Beweis, dass der vermutete Hilbert-Raumabgeschlossen ist in dem Sinne, dass jede Cauchy-Folge einen Grenzwert hat.Eine Cauchy-Folge xn ist dadurch gekennzeichnet, dass fur jedes ε > 0 einenaturliche Zahl N existiert, so dass ||xm − xn|| ≤ ε ausfallt fur alle m,n ≥ N .Abgeschlossen bedeutet: zu der Cauchy-Folge gehort ein x ∈ H so dass lim xn =x gilt.
6 Stetige Funktionen Man betrachtet den linearen Raum der auf [−1, 1]stetigen Funktionen, und
(g, f) =∫ 1
−1dx g∗(x)f(x) (2.5)
soll das Skalarprodukt sein. Zeigen Sie, dass damit kein Hilbert-Raum erklartwird.
Auf einem Gebiet Ω definierte komplexwertige Funktionen heißen quadratinte-grabel, wenn∫
Ωdx |f(x)|2 < ∞ (2.6)
8
ausfallt. Wegen (2.4) existiert dann auch
(g, f) =∫
Ωdx g∗(x)f(x) (2.7)
fur quadratintegrabel Funktionen f und g. Da der Limes integrierbarer Funk-tionen integrierbar ist, haben wir einen Hilbert-Raum vor uns. Dieser Hilbert-Raum wird ublicherweise mit L2(Ω) bezeichnet.
7 Endlichdimensionaler Vektorraum Der Cn besteht aus n-Tupeln komple-xer Zahlen. Mit den ublichen Rechenoperationen ist das ein linearer Raum. Wirdefinieren das Skalarprodukt als
(y, x) =n∑
i=1
y∗i xi . (2.8)
Begrunden Sie, warum damit Cn zu einem Hilbert-Raum wird.
Wir beschaftigen uns meistens mit den Hilbertraumen Cn und L2(Ω).
2.2 Lineare Operatoren
Als linearen Operator bezeichnen wir von nun an eine lineare Abbildung desHilbert-Raumes H auf sich. Es ist ublich, das Argument nicht in Klammern zusetzen. x ∈ H wird zu y = Lx ∈ H, mit dem linearen Operator L.Die Abbildung x → (y, Lx) von H in C ist linear. Es gibt dann einen Vektorz so dass (y, Lx) = (z, x) gilt. Alle Linearformen sind Skalarprodukte, so dasLemma von Riesz. Dieses z hangt wiederum linear von y ab, z = L†y. Auf dieseWeise wird jedem linearen Operator L ein adjungierter Operator L† zugeordnet,und es gilt
(L†y, x) = (y, Lx) (2.9)
fur beliebige x, y ∈ H.
8 Adjungierte Matrix Die linearen Operatoren des Hilbert-Raumes Cn sindkomplexe n×n-Matrizen. Wie sieht die zu Lik adjungierte Matrix L†ik aus?
Fur zwei lineare Operatoren M und N gilt
(y, NMx) = (N †y, Mx) = (M †N †y, x) , (2.10)
also
(NM)† = M †N † . (2.11)
Das muss man sich merken.
9
3 Projektoren auf Teilraume
Die linearen Teilraume des Hilbert-Raumes mussen nicht abgeschlossen sein.Teilraume des Hilbert-Raumes kennzeichnet man durch entsprechende Projek-toren. Der Begriff von der Zerlegung der Eins in paarweise orthogonale Projek-toren wird spater eine wichtige Rolle spielen.
3.1 Teilraume
Unter einem Teilraum H ′ des Hilbert-Raumes H versteht man einen linearenTeilraum. Er ist also nicht unbedingt abgeschlossen.Zwei Vektoren x, y ∈ H sind zueinander orthogonal, wenn das Skalarprodukt(y, x) verschwindet. Das kann man auf Teilraume ausdehnen.Zwei Teilraume H1 und H2 des Hilbert-Raumes H sind zueinander orthogonal,wenn
(y, x) = 0 fur x ∈ H1 und y ∈ H2 (3.1)
gilt. Dafur schreiben wir auch (H2,H1) = 0.Als Basis fur einen Hilbert-Raum wahlt man zweckmaßig ein vollstandiges Or-thonormalsystem, eine Menge x1, x2, . . . von normierten und paarweise or-thogonalen Vektoren,
(xj , xk) = δjk . (3.2)
3.2 Projektoren
Wir betrachten einen n-dimensionalen TeilraumH ′ des Hilbert-Raumes.H ′ solldurch das vollstandige Orthonormalsystem x1, x2, . . . , xn aufgespannt wer-den. Einem belieben Vektor x ordnen wir die Projektion
x ′ =n∑
i=1
(xi, x) xi (3.3)
zu. Wegen (xi, x′) = (xi, x) schließen wir (xi, x−x ′) = 0. Damit haben wir den
beliebigen Vektor x in einen Anteil x ′ in H ′ und den Rest x − x ′ zerlegt, dersenkrecht auf H ′ steht.Weil x ′ linear von x abhangt, konnen wir die Projektion auf H ′ durch einenlinearen Operator beschreiben, x ′ = Πx. Π ist ein Projektor.Ein Projektor ist selbstadjungiert, Π = Π †, und idempotent, Π 2 = Π .
9 Projektoren Zeigen Sie
Π = Π † und Π 2 = Π , (3.4)
indem (Π y, x) = (y,Πx) und Π (Πx) gemaß (3.4) ausgerechnet werden.
10
Jeder Teilraum H ′ wird durch seinen Projektor Π beschrieben, und umgekehrtdefiniert ein Projektor Π gemaß (3.4) einen Teilraum H ′ = ΠH. Die Dimensiondes Teilraumes ist zugleich die Dimension des Projektors.Wir tragen nach, warum ΠH abgeschlossen ist. Wenn x1, x2, . . . → x einekonvergente Folge in H ist, dann gilt Πx1,Πx2, . . . → Πx, und zwar wegen||Π y|| ≤ ||y||. Das folgt aus 0 ≤ Π ≤ I, mit dem Null-Operator 0x = 0 und demEins-Operator Ix = x.Ein linearer Operator M ist kleiner oder gleich einem anderen linearen OperatorN wenn
(x,Mx) ≤ (x,Nx) fur alle x ∈ H (3.5)
gilt.
10 0 ≤ Π ≤ I Zeigen Sie, dass Projektoren nicht-negativ und durch denEins-Operator nach oben beschrankt sind.
3.3 Zerlegung der Eins
Π sei ein Projektor. Fur beliebiges x gilt ((I−Π )x,Πx) = 0. ΠH und (I−Π )Hstehen also senkrecht aufeinander. Das ist mit Π (I − Π ) = 0 gleichbedeutend.I = Π + (I − Π ) mit Π (I − Π ) = 0 stellt eine Zerlegung der Eins dar, eineZerlegung des Hilbert-Raumes in zwei zueinander orthogonale Teilraume.Das kann man fortsetzen, indem der zu ΠH orthogonale Teilraum weiter zerlegtwird, usw.Unter einer Zerlegung der Eins versteht man eine Menge Π1,Π2, . . . von zu-einander orthogonalen Projektoren,
ΠjΠk = δjkI , (3.6)
so dass
Π1 + Π2 + . . . = I (3.7)
gilt. Dem entspricht eine Zerlegung des Hilbert-Raumes in zueinander orthogo-nale Teilraume Hj = ΠjH.
11 Zerlegung der Eins Wir betrachten den Hilbert-Raum C2. Geben Sie eineZerlegung der Eins in zwei eindimensionale orthogonale Projektoren an.
11
4 Normale Operatoren
Ein linearer Operator heißt normal, wenn er mit seinem Adjungierten ver-tauscht. Solch ein normaler Operator kann stets als Summe uber Vielfachesvon Projektoren geschrieben werden, die eine Zerlegung der Eins bilden. DieseFaktoren, mit denen die Projektoren multipliziert werden, sind die Eigenwer-te des Operators, und die Projektoren projizieren auf Eigenraume. Sind alleEigenwerte reell, ist der Operator selbstadjungiert. Liegen die Eigenwerte aufdem Einheitskreis, hat man einen unitaren Operator vor sich. Positive Opera-toren sind durch positive Eigenwerte ausgezeichnet. Dichteoperatoren liegen imIntervall 0 ≤ W ≤ I und haben die Spur 1.
4.1 Spektralzerlegung
Wir betrachten eine Zerlegung der Eins in paarweise orthogonale Projektoren,
I =∑
j
Πj mit ΠjΠk = δjk . (4.1)
ν1, ν2, . . . sei eine Folge verschiedener komplexer Zahlen. Wir definieren
N =∑
j
νjΠj , (4.2)
einen linearen Operator. Der dazu adjungierte Operator ist
N † =∑
j
ν∗j Πj . (4.3)
Sowohl NN † als auch N †N ergeben
NN † = N †N =∑
j
|νj |2Πj , (4.4)
daher gilt N †N = NN †, N ist normal. Umgekehrt kann man zeigen, dass jederdurch N †N = NN † charakterisierte normale Operator die Gestalt (4.2) hat.Wir fuhren das im Anhang A naher aus.Man bezeichnet νj als einen Eigenwert, dazu gehort ein Teilraum Hj = ΠjHvon Eigenvektoren. In der Tat, fur x ∈ Hj gilt
Nx = νjx . (4.5)
12 Rechtsverschiebung Wir betrachten ein vollstandiges Orthonormalsystemxj (j ∈ Z) und erklaren den linearen Operator R durch Rxj = xj+1. GebenSie den adjungierten Operator L = R† an und weisen Sie nach, dass R nichtnormal ist.
12
4.2 Selbstadjungierte Operatoren
Ein selbstadjungierter Operator A stimmt mit seinem Adjungierten A† uberein,A = A†. Damit ist er auch normal und kann als
A =∑
j
ajΠj (4.6)
geschrieben werden, mit einer Zerlegung Π1,Π2 . . . in paarweise orthogonaleProjektoren. Aus (4.3) folgt, dass die Eigenwerte aj reell sind.In der Quantentheorie werden die Messgroßen (Observablen) durch selbstad-jungierte Operatoren dargestellt. Die moglichen Messwerte einer Observablensind gerade die Eigenwerte. Die sind reell, wie wir nun wissen.Ubrigens kann jeder lineare Operator W gemaß W = X + iY mit selbst-adjungierten Operatoren X und Y dargestellt werden. Man muss lediglichX = (W † + W )/2 wahlen und Y = (W † −W )/2i.
4.3 Positive Operatoren
Ein positiver3 Operator P ist durch
P = BB† (4.7)
gekennzeichnet. Damit gleichwertig ist
(x, Px) ≥ 0 fur alle x ∈ H . (4.8)
Die Eigenwerte eines positiven Operators sind niemals negativ,
P =∑
j
ajΠj mit pj ≥ 0 . (4.9)
13 Gleichwertigkeit Zeigen Sie, dass die Definitionen (4.7),(4.8) und (4.9)aquivalent sind.
4.4 Unitare Operatoren
Eine lineare Abbildung U : H ∈ H, die die Skalarprodukte nicht andert, heißtunitar. Aus (y, x) = (Uy,Ux) folgt
U †U = I . (4.10)
Weil U nur den Nullvektor in den Nullvektor abbilden kann, ist eine unitareTransformation umkehrbar. Indem man (4.10) von rechts mit U−1 und von linksmit U multipliziert, erhalt man die gleichwertige Kennzeichnung
UU † = I . (4.11)3positiv immer im Sinne von nicht-negativ
13
Damit steht fest, dass ein unitarer Operator normal ist. Er kann stets als
U =∑
j
ujΠj (4.12)
geschrieben werden, mit |uj | = 1 und der Zerlegung Π1,Π2 . . . der Eins inpaarweise orthogonale Projektoren. Unitare Operatoren kommen vor, wenn vonSymmetrien die Rede ist.
4.5 Dichteoperatoren
Dichteoperatoren W beschreiben Wahrscheinlichkeiten. Sie sind normal,
W =∑
j
wjΠj , (4.13)
mit der Zerlegung Π1,Π2 . . . der Eins in paarweise orthogonale Projektoren. DieEigenwerte sind Wahrscheinlichkeiten, 0 ≤ wj ≤ 1, die sich gemaß
trW =∑
j
wj dim(Πj) = 1 (4.14)
aufsummieren. Jeder Eigenwert wird mit der Dimension des zugehorigen Eigen-raumes multipliziert.Die Spur trL eines linearen Operators lasst sich ausrechnen, indem man einvollstandiges Orthonormalsystem f1, f2 . . . nimmt und
trL =∑
j
(fj , Lfj) (4.15)
berechnet, die Summe uber die Diagonale der Matrix Lkj = (fk, Lfj). Mankann zeigen, dass jedes andere vollstandige Orthonormalsystem denselben Wertliefert. In (4.14) hat man ein vollstandiges Orthonormalsystem benutzt, dassdie jeweiligen Eigenraume von W aufspannt.
14
5 Funktionen von Operatoren
Es gibt zwei Moglichkeiten, Funktionen von linearen Operatoren zu definie-ren: als Potenzreihe und uber die Spektralzerlegung. Wenn beide Moglichkeitengegeben sind, stimmen die Ergebnisse uberein. Wir gehen auch auf Gruppenunitarer Operatoren ein, die durch einen selbstadjungierten Operator erzeugtwerden.
5.1 Potenzreihe eines Operators
Lineare Operatoren kann man addieren, mit Skalaren multiplizieren und mul-tiplizieren. Damit lassen sich beliebige Polynome eines linearen Operators de-finieren. Um auch Potenzreihen erklaren zu konnen, braucht man Begriff desBetrages eines linearen Operators L. Wir definieren
||L|| = sup||x||≤1
||Lx|| . (5.1)
Man kann also jederzeit ||Lx|| ≤ ||L||||x|| abschatzen.Es gilt
||αL|| = |α| ||L|| , ||L1 + L2|| ≤ ||L1||+ ||L2|| , ||L1L2|| ≤ ||L1|| ||L2|| . (5.2)
Die Potenzreihe
F =∞∑
k=1
ck Lk (5.3)
erklart eine linearen Operator F , wenn
∞∑k=1
|ck| ||L||k < ∞ (5.4)
ausfallt.
5.2 Funktion eines normalen Operators
Ein normaler Operator L kann stets als
L =∑
j
λjΠj (5.5)
geschrieben werden mit einer Zerlegung I = Π1 + Π2 + . . . der Eins in or-thogonale Projektoren (ΠjΠk = δjk). Der Hilbert-Raum zerfallt in zueinanderorthogonale Teilraume Hj = Πj , und in jedem Teilraum Hj bewirkt der Ope-rator die Multiplikation der Vektoren mit dem Faktor λj . L2 bedeutet danndie Multiplikation der Vektoren x ∈ Hj mit dem Faktor λ2
j , usw. Wenn f ein
15
Polynom ist, bewirkt f(L) die Multiplikation mit f(λj) in Hj . Wir erweiterndas auf beliebige Funktionen f : C → C und erklaren
f(L) =∑
j
f(λj)Πj . (5.6)
Im Uberlappungsbereich der Definitionen (5.3) und (5.6) stimmen diese uberein.
14 Norm eines normalen Operators Zeigen Sie, dass ein normaler Operatordie Norm
||L|| = supj|λj | (5.7)
hat.
Falls f namlich eine Potenzreihe f(z) =∑
k ckzk ist, muss f(λj) fur alle λj kon-
vergieren. Die Eigenwerte λj mussen also im Konvergenzkreis der Potenzreiheliegen, und genau das besagt (5.4).
5.3 Ein Beispiel
Wir betrachten die drei Pauli-Matrizen
σ1 =
0 1
1 0
, σ2 =
0 −i
i 0
und σ3 =
1 0
0 −1
(5.8)
als Operatoren im zweidimensionalen Hilbert-Raum C2. Alle drei Operatorensind selbstadjungiert, was man an σjk = σ∗kj erkennt.σ3 beispielsweise kann als
σ3 =
1 0
0 0
−
0 0
0 1
(5.9)
geschrieben werden. Die beiden Matrizen Π+ und Π− sind zueinander orthogo-nale Projektoren, σ3 hat also die beiden Eigenwerte +1 und -1.
Wir wollen U = eiφσ3 ausrechnen. Uber die Spektralzerlegung ist das ganz
einfach:
U = eiφ
1 0
0 0
+ e−iφ
0 0
0 1
=
eiφ 0
0 e−iφ
. (5.10)
Dabei hat man die Exponentialfunktion als beliebige Funktion aufgefasst undausgenutzt, dass σ3 ein normaler Operator ist.Nun nutzen wir aus, dass die Exponentialfunktion eine Potenzreihe ist, dieimmer konvergiert. Dass σ3 auch normal ist, spielt keine Rolle.
16
Wir schreiben
U = I +iφ
1!σ3 +
(iφ)2
2!σ2
3 + . . . (5.11)
und arbeiten σ23 = I ein. Das ergibt
U = cos φ I + i sin φσ3 =
eiφ 0
0 e−iφ
. (5.12)
Wie man sieht: die Ergebnisse stimmen uberein.
15 Exponentialfunktion Rechnen Sie U = eiφσ1 und U = e
iφσ2 mit beidenMethoden aus.
17
6 Translationen
Das Kontinuum x ∈ R ist problematisch, weil der entsprechende Operator Xnicht beschrankt ist. Wir behandeln daher den Ort zuerst als einen Punkt aufeinem Kreisring mit Radius R. Mit R → ∞ nahert man sich immer mehr derWirklichkeit.
6.1 Periodische Randbedingungen
Wir beginnen unsere Untersuchungen mit dem Fall R = 1.Wir betrachten quadratintegrable komplexwertige Funktionen auf Ω = [−π, π]mit periodischen Randbedingungen, f(x) = f(x+2π). Damit wird eingebracht,dass es keinen Rand gibt und jeder Punkt a priori gleich wichtig ist. Funktion-sargumente sind grundsatzlich modulo 2π gemeint, so dass sie in das IntervallΩ fallen. Unser Hilbert-Raum ist also
H = f : [−π, π] → C | f(x) = f(x + 2π) ,
∫ π
−πdx |f(x)|2 < ∞ . (6.1)
Periodische Cauchy-Folgen von Elementen aus H konvergieren gegen Funktio-nen, die wiederum periodisch sind, deswegen ist H abgeschlossen.Wegen∫ π
−πdx g∗(x)f(x) =
∫ π
−πdx g∗(x + a)f(x + a) (6.2)
lasst die Verschiebung
f → fa = Uaf mit fa(x) = f(x + a) (6.3)
alle Skalarprodukte (ga, fa) = (g, f) ungeandert.Wir entwickeln fa nach a in eine Taylor-Reihe,
(Uaf)(x) = f(x + a) = f(x) +a
1!f ′(x) +
a2
2!f ′′(x) + . . . (6.4)
und erkennen unschwer die Potenzreihe fur die Exponentialfunktion. Mit demOperator
P = −id
dx(6.5)
durfen wir
Ua = eiaP (6.6)
schreiben.
18
6.2 Definitionsbereich des Impulses
Der durch
(Xf)(x) = xf(x) (6.7)
definierte Ortsoperator X ist auf dem gesamten Hilbert-Raum definiert, weilx ∈ [−π, π] beschrankt ist. Der Impulsoperator P , der die Verschiebungen Ua
erzeugt, kann dagegen nicht auf dem gesamten Hilbert-Raum erklart werden.Nicht jede quadratintegrable Funktion ist differenzierbar.Fur f ∈ H definieren wir
F (x) = c +∫ x
−πds f(s) . (6.8)
Solch eine Funktion, man nennt sie absolutstetig, ist stetig und im Sinne von
F ′(x) = f(x) (6.9)
differenzierbar, so dass die Ableitung in H liegt.Wir vereinbaren, dass P auf der Menge D der absolut-stetigen periodischenFunktionen definiert sein soll, einem linearen Raum. Dieser Raum D ist imHilbert-Raum dicht in dem Sinne, dass jede quadratintegrable Funktion beliebiggut durch absolutstetige Funktionen approximiert werden kann.Wir wollen nun den adjungierten Operator P † ausrechnen. Zu jedem G wirdeine quadratintegrable Funktion g gesucht, die (G, PF ) = (g, F ) bewirkt, furalle F ∈ D. Das bedeutet
−i
∫ π
−πdxG∗(x)F ′(x) = −i∆ + i
∫ π
−πdx G ′∗(x)F (x) , (6.10)
mit ∆ = G∗(π)F (π) − G∗(−π)F (−π). Die Funktion G muss periodisch sein,G(−π) = G(π), damit ∆ verschwindet. Zugleich muss G differenziert werdenkonnen, also absolut stetig sein. Damit haben wir gezeigt, dass der zu P adjun-gierte Operator P † ebenfalls auf D definiert ist und dort mit P ubereinstimmt.D ist die großte Menge, so dass fur alle G ∈ D die Beziehung (g, F ) = (G, PF )gilt, fur alle F ∈ D. Dabei ist g = −iG ′.Wir stellen hier fest: Operatoren, die nicht auf dem gesamten Hilbert-Raumdefiniert werden konnen, sondern nur auf einem dichten Teilraum, bereitenSchwierigkeiten. Verkleinert man den Definitionsbereich des Operators, wachstder Definitionsbereich des Adjungierten. Nur wenn Abbildungsvorschrift undDefinitionsbereich ubereinstimmen, sind zwei Operatoren dieselben.
6.3 Spektralzerlegung des Impulses
Wir suchen nach den Eigenfunktionen des Impulses. Das mussen absolutstetigeperiodische Funktionen f sein, die der Eigenwertgleichung
Pf = −if ′ = pf (6.11)
19
genugen. Die Losungen sind einfach auszurechnen:
fj(x) =1√2π
eijx (6.12)
fur j = . . . ,−1, 0, 1, . . .. Dazu gehoren die Eigenwerte
pj = j . (6.13)
20
7 Fourier-Transformation
Die Ergebnisse des Abschnittes 6 sind so bedeutsam, dass wir sie hier nocheinmal im Detail ausbreiten.
7.1 Fourier-Reihe
Wir betrachten quadratintegrable periodische Funktionen,
H = f : [−π, π] → C | f(x + 2π) = f(x) ,
∫ π
−πdx |f(x)|2 < ∞ . (7.1)
Der durch fa = Uaf mit fa(x) = f(x + a) definierte unitare Verschiebungsope-
rator kann als Ua = eiaP geschrieben werden, und P ist selbstadjungiert.
Die normierten Eigenfunktionen von P sind
fj(x) =1√2π
eijx (7.2)
fur j ∈ Z.Jede periodische quadratintegrable Funktion f kann als Fourier-Reihe darge-stellt werden:
f(x) =∑j∈Z
fj fj(x) =1√2π
∑j∈Z
fj eijx
. (7.3)
Mehr noch, wir wissen auch, wie die Amplituden fj auszurechnen sind,
fj = (fj , f) =1√2π
∫ π
−πdx e
−ijxf(x) . (7.4)
Dabei gilt
(f, f) =∑j∈Z
|fj |2 . (7.5)
7.2 Fourier-Entwicklung
Auf einer Rechenmachine kann man niemals mit unendlich vielen Termen rech-nen. Die Fourier-Reihe (7.3) muss durch eine endliche Summe ersetzt werden.Wir approximieren also
f(x) =∑|j|≤n
fj fj(x) + rn(x) (7.6)
durch die Beitrage |j| ≤ n und in einen Rest rn(x). Der Rest steht immersenkrecht auf der Naherung. Daher sind die Koeffizienten cj der Entwicklung
21
nicht von der Ordnung n der Naherung abhangig. Nimmt man mehr Fourier-Komponenten mit, muss man die Koeffizienten der bisherigen Beitrage nichtneu berechnen. In diesem Sinne ist die Naherung durch endlich viele Fourier-Beitrage optimal.
16 Sagezahn Die periodische Sagezahn-Funktion wird durch
f(x) = |x| − π
2(7.7)
dargestellt. Vergleichen Sie f mit der Fourier-Entwicklung in 5, 25 und 125Terme (wobei jeder zweite verschwindet).
7.3 Fourier-Integral
Wir betrachten nun auf [−πR, πR] periodische quadratintegrable Funktionenund schicken R → ∞. Das lauft auf L2(R) hinaus. Eine auf ganz R erklartequadratintegrable Funktion muss im Unendlichen verschwinden, daher ist dieForderung nach Periodizitat bedeutungslos geworden. Die Eigenwerte pj = j/Rdes Impulsoperators P rucken immer naher zusammen und bilden im Falle R →∞ das gesamte Kontinuum. Statt wie in (7.3) zu summieren, muss integriertwerden. Es gilt
f(x) =∫
dp
2πf(p) e
ipx (7.8)
mit
f(p) =∫
dx f(x) e−ipx
. (7.9)
Man bezeichnet f = f(p) als Fourier-Transformierte von f . Wie man sieht, istdie Funktion selber die Fourier-Transformierte der Fourier-Transformierten, bisauf den Vorzeichenwechsel im Argument und den Faktor 2π.Aus (7.5) wird ubrigens∫
dx |f(x)|2 =∫
dp
2π|f(p)|2 . (7.10)
Auf H = L2(R) kann man den Fourier-Operator F durch f = Ff erklaren. Erist linear und unitar4, wie man dem Parseval-Theorem (7.10) entnehmen kann.
17 Gauß-Kurve Berechnen Sie die Fourier-Transformierte der Funktion
G(x) =e−x2/2σ√
2πσ. (7.11)
4Das Skalarprodukt im Raum der Fourier-Transformierten wird mit dem Maß dp/2πerklart.
22
Was bedeutet G(0) = 1?
Ein wichtiges Theorem betrifft die Faltung
h(x) = (g ? f)(x) =∫
dy g(x− y)f(y) (7.12)
zweier quadratintegrabler Funktionen. Wegen
h(x) =∫
dy
∫dp
2πg(p) e
ip(x− y)∫
dq
2πf(q) e
iqy (7.13)
schließen wir (nachdem die Reihenfolge der Integrationen vertauscht wurde)
h(x) =∫
dp
2πg(p)f(p) e
ipx. (7.14)
Dabei wurde∫dy e
i(q − p)y = 2πδ(q − p) (7.15)
benutzt. Siehe dafur den Anhang uber Distributionen, in der auch die Dirac-sche Delta-Funktion behandelt wird, insbesondere (B.31) und (B.32) in Verbin-dung mit (B.26). Die Fourier-Transformation einer Faltung ist das Produkt derFourier-Transformierten, so ist (7.14) zu lesen,
F(g ? f) = F(g)F(f) . (7.16)
23
8 Ort und Impuls
Physik spielt sich im Raum ab, daher spielen der Ortsoperator X und der zu-geordnete Impuls P eine hervorgehobene Rolle. Beide Operatoren sind nichtbeschrankt und konnen nicht auf dem gesamten Hilbert-Raum erklart werden.Wir machen uns hier das Leben einfach und rechnen mit sehr gutartigen Test-funktionen.
8.1 Testfunktionen
Wir betrachten den Hilbert-Raum L2(R) der quadratintegrablen komplexwerti-gen Funktionen einer reellen Variablen. Wir ziehen uns auf den Teilraum S(R)der Testfunktionen zuruck, der im Hilbert-Raum dicht ist. Testfunktionen t sindbeliebig oft differenzierbar und fallen im Unendlichen so rasch ab, dass |x|nt(x)fur jedes n ∈ N im Unendlichen verschwindet.
18 Zeigen Sie, dass
t(x) = (c0 + c1x + . . . + cnxn) e−x2/2 (8.1)
Testfunktionen sind.
Vorerst werden lineare Operatoren auf dem linearen Teilraum der Testfunktio-nen erklart. Wie man diese dann gegebenenfalls erweitert, ist ein technischesProblem, dem wir uns hier nicht stellen werden. Auf dem Raum der Testfunk-tionen kann man jedenfalls unbesorgt differenzieren und mit dem Funktionsar-gument multiplizieren.
8.2 Kanonische Vertauschungsregeln
Auf dem linearen Raum der Testfunktionen sind die linearen Operatoren X undP gemaß
(Xf)(x) = xf(x) (8.2)
sowie
(Pf)(x) = −if ′(x) (8.3)
erklart. Wir nennen sie Ort und Impuls5. Diese Operatoren vertauschen nichtmiteinander. Vielmehr gilt
[X, P ] = XP − PX = iI . (8.4)
Diese Vertauschungsregel hat man mit dem Attribut ’kanonisch’ belegt, weilsie als grundlegend empfunden wird und gegenuber unitaren Transformationenstabil ist. Wir erklaren das.
5Wir erinnern an die Ubereinkunft, physikalische Maßeinheiten zu ignorieren.
24
Mit einer unitaren Transformation U : H → H ruhrt man sozusagen denHilbert-Raum um. Skalarprodukte bleiben dabei erhalten, (Ug,Uf) = (g, f).UAf = UAU †Uf stellt sicher, dass erst A, dann U dasselbe ist wie erst U ,dann A ′ = UAU †.Die kanonische Vertauschungsregel ist unter unitaren Transformationen stabil.
19 Kanonische Vertauschungsregel Zeigen Sie [X ′, P ′] = iI gilt, mit A ′ =UAU † fur unitare Transformationen U .
8.3 Unscharfebeziehung
Ort X und Impuls P konnen nicht simultan diagonalisiert werden. Eine Dar-stellung6
X =∑
j
xjΠj sowie P =∑
j
pjΠj (8.5)
mit einer gemeinsamen Zerlegung∑
j Πj = I der Eins in orthogonale Projekto-ren zoge nach sich, dass die beiden Operatoren vertauschen, was nicht der Fallist.Wir bezeichnen mit δX =
√(f,X2f)− (f,Xf)2 die Ortsunscharfe fur den auf
1 normierten Vektor f . Wenn f ein Eigenvektor von X ware, dann wurde δXverschwinden. Ebenso wird δP definiert. Weil X und P keine gemeinsamenEigenvektoren haben, konnen nicht beide Unscharfen simultan verschwinden.Es gilt vielmehr
δX δP ≥ 12
. (8.6)
Das beweist man folgendermaßen.Wir betrachten den Ausdruck (X + iαP )(X− iαP ), der fur reelles α positiv ist.Wir bilden den Erwartungswert mit einem normierten Vektor f und arbeitendie kanonische Vertauschungsregel ein. Das ergibt
(f,X2) + α2(f, P 2f) + α ≥ 0 . (8.7)
Am kleinsten wird die linke Seite, wenn man
2α(f, P 2f) + 1 = 0 (8.8)
setzt, das ergibt
(f,X2f) ≥ 14(f, P 2f)
, (8.9)
also die Heisenbergsche Unscharfebeziehung. Dafur muss man lediglich noch Xdurch X − (f,Xf) und P durch P − (f, Pf) ersetzen, aber die verschobenenOperatoren genugen ebenfalls den kanonischen Vertauschungsregeln.
6Die Summen mussten durch Integrale ersetzt werden.
25
Die Ungleichung ist optimal in dem Sinne, dass auch das Gleichheitszeichenmoglich ist.
20 Gauß-Funktion Man berechne δX und δP fur eine Gauß-Funktion.
8.4 Quasi-Eigenfunktionen
Der Erwartungswert eines selbstadjungierten Operators A in einem seiner Ei-genzustande ist schwankungsfrei. Der normierte Vektor f , fur den Af = af gilt,fuhrt auf (f,Af) = a und (f,A2f) = a2, also auf δA = 0. Die Umkehrung istebenfalls richtig, nur in Eigenzustanden verschwindet die Schwankung.δX = 0 wurde demnach auf
(Xf)(x) = xf(x) = af(x) (8.10)
fuhren, mit der Losung
ξa(x) = δ(x− a) . (8.11)
ξa ist eine verallgemeinerte Funktion, die formal die Eigenwertgleichung erfullt,aber nicht zum Hilbert-Raum gehort, erst recht nicht zum Definitionsbereichdes Operators X.Man kann allerdings der Beziehung∫
dx ξ∗b (x)ξa(x) = δ(b− a) (8.12)
durchaus einen Sinn geben. Statt δba als Kronecker-Symbol fur eine Summesteht der entsprechende Ausdruck δ(b− a) fur ein Integral.Entsprechendes gilt fur den Impuls.Die Eigenwertgleichung
(Pf)(x) = −if ′(x) = pf(x) (8.13)
wird durch
πp(x) =1√2π
eipx (8.14)
gelost. πp ist nun zwar eine Funktion, sie gehort aber trotzdem nicht zumHilbert-Raum, weil sie nicht normiert werden kann. Die Quasi-Eigenfunktionendes Impulses bilden ein vollstandiges Orthonormalsystem im Sinne von∫
dx π∗q (x)πp(x) = δ(q − p) . (8.15)
26
9 Leiter-Operatoren
Wir beziehen uns in diesem Abschnitt auf zwei selbstadjungierte OperatorenX und P , die den kanonischen Vertauschungsregeln genugen. Sie konnen irgen-detwas bedeuten, die Ergebnisse sind immer dieselben. Wir konstruieren damitAuf- und Absteigeoperatoren sowie einen Zahloperator.
9.1 Auf- und Absteigeoperatoren
Wir gehen von den selbstadjungierten Operatoren X und P aus, die der Ver-tauschungsregel
[X, P ] = iI (9.1)
genugen.Der Aufsteigeoperator A+ wird durch
A+ =X − iP√
2(9.2)
erklart, der Absteigeoperator durch
A− =X + iP√
2. (9.3)
Wir berechnen
[A−, A+] = I . (9.4)
Man beachte, dass A− und A+ nicht selbstadjungiert sind. Es gilt vielmehrA− = A†
+ und A+ = A†−. Die Auf- und Absteigeoperatoren A± sind also nicht
normal, und wir fragen daher auch nicht nach den Eigenwerten.Der Operator N = A+A− dagegen ist selbstadjungiert. Wir berechnen
[N,A+] = A+ und [N,A−] = −A− . (9.5)
21 Jacobi-Identitat Rechnen Sie (9.5) nach. Dabei hilft die Jacobi-Identitat
[AB,C] = A[B,C] + [A,C]B . (9.6)
Prufen Sie diese nach.
27
9.2 Vakuum und angeregte Zustande
Wir nehmen an, dass es einen durch A−Ω = 0 und (Ω,Ω) = 1 definiertenGrundzustand Ω gibt, das Vakuum. Im Grundzustand gibt es nichts, NΩ = 0.Mit
φn =1√n!
An+Ω (9.7)
definieren wir n-fach angeregte Zustande. Wegen
A+A−φn =1√n
A+A−A+φn−1 =1√n
A+(I + N)φn−1 (9.8)
gilt (vollstandige Induktion)
Nφn = nφn . (9.9)
Außerdem ist φn normiert.
22 Aufsteige-Operator Man zeige, dass φn dieselbe Norm wie der Grundzu-stand φ0 = Ω hat.
N ist ein Zahloperator, denn er hat als Eigenwerte gerade die naturlichen ZahlenN. Mit A+ steigt man von φ0 = Ω zu φ1, von φ1 zu φ2 usw. auf, mit A− wiederab.Man bezeichnet A+ auch als Erzeuger, weil er ein Anregungsquantum erzeugt,und dementsprechend A− als Vernichter.
23 Absteigeoperator Berechnen Sie A−φn.
9.3 Harmonischer Oszillator
In vielen Situationen hat man es mit der Energie H = (P 2+X2)/2 zu tun. Meistruhrt P 2 von der kinetischen Energie her und X2 ist die potentielle Energie inder Umgebung eines Minimums. Wegen
A+A− =12(X − iP )(X + iP ) =
12(X2 + P 2 − I) (9.10)
gilt dann
H = A+A− +12
I . (9.11)
Die Eigenwerte des Hamilton-Operators sind daher n + 1/2 mit n ∈ N. DiesesErgebnis ist ein schones Beispiel fur die algebraische Methode, sich allein aufdie Vertauschungsregeln zu stutzen.
24 Grundzustand Setzen Sie A−Ω = 0 in eine Differentialgleichung fur denGrundzustand um. Wie sieht die Funktion Ω = Ω(x) aus?
28
10 Drehgruppe
Der dreidimensionale Raum ist nicht nur durch die Verschiebungen in drei zu-einander senkrechten Richtungen gekennzeichnet. Das wird durch den Orts-operator X und den Impuls P mit jeweils drei Komponenten berucksichtigt.Hinzu kommt die Moglichkeit, um den Winkel α um eine Achse n zu drehen.Dem entsprechen drei weitere Freiheitsgrade, die Komponenten J des Drehim-pulses. Teilchen haben immer einen Bahndrehimpuls L = X × P , zusatzlichmoglicherweise einen internen Drehimpuls S, den Spin. Alle genugen denselbenVertauschungsregeln.
10.1 Drehimpuls
Ein Teilchen im dreidimensionalen Raum hat einen Ort X und einen ImpulsP . Diese vertauschen miteinander gemaß
[Xj , Pk] = iδjk . (10.1)
Der Bahndrehimpuls ist L = X × P .
25 Drehimpuls-Vertauschungsregeln Rechnen Sie
[J1, J2] = iJ3 , [J2, J3] = iJ1 und [J3, J1] = iJ2 (10.2)
fur die drei Komponenten des Bahndrehimpulses nach.
Die Vertauschungsregeln (10.2) kennzeichnen die Drehgruppe ganz allgemein.Eine Drehung um die Achse n mit dem Winkel α, also um α = αn, wird durchden unitaren Operator
U = eiα · J (10.3)
beschrieben. Die drei Komponenten Jk des Drehimpulses sind demnach selbst-adjungierte Operatoren.Nicht alle drei Komponenten des Drehimpulses konnen gemeinsam diagonali-siert werden, weil sie nicht miteinander vertauschen.
26 Quadrat des Drehimpulses Weisen Sie
[Jk,J2] = 0 (10.4)
nach.
Allerdings vertauscht das Quadrat J2 = J21 + J2
2 + J23 mit allen Komponenten
des Drehimpulses. Also darf man beispielsweise J3 und J2 gemeinsam diagona-lisieren.
29
10.2 Eigenraume
λ sei ein Eigenwert von J2 und D der zugehorige Eigenraum. Fur χ ∈ D giltalso
J2χ = λχ . (10.5)
Wir werden spater sehen, welche Werte λ moglich sind.Das Ziel besteht darin, in diesem Eigenraum auch noch J3 zu diagonalisieren.Dazu definieren wir zwei Operatoren
J+ = J1 + iJ2 und J− = J1 − iJ2 , (10.6)
die den folgenden Vertauschungsregeln genugen:
[J3, J+] = J+ , [J3, J−] = −J− sowie [J+, J−] = 2J3 . (10.7)
χ ∈ D sei ein normierter Eigenvektor von J3 mit Eigenwert µ. Wegen
J3J+χ = J+J3χ + J+χ = (µ + 1)J+χ (10.8)
und
J3J−χ = J−J3χ− J−χ = (µ− 1)J−χ (10.9)
hat man gleich zwei neue Eigenvektoren gefunden. Die Eigenwerte sind um1 gewachsen bzw. gefallen. Mit J+ kann man also in einer Drehimpulsleiteraufsteigen, mit J− absteigen.Wegen
λ = (χ,J2χ) ≥ (χ, J23χ) = µ2 (10.10)
kann man aber auf der J3-Leiter nicht beliebig weit auf- oder absteigen. Es gibtin D einen maximalen J3-Eigenwert j, zu dem der Eigenvektor χj gehoren soll.Er ist durch
J3χj = jχj und J+χj = 0 (10.11)
gekennzeichnet.Das Betragsquadrat des Drehimpulses lasst sich als
J2 = J−J+ + J3(J3 + I) = J+J− + J3(J3 − I) (10.12)
schreiben. Auf χj angewendet ergibt das
λ = j(j + 1) . (10.13)
30
Wir steigen nun von χj mit J− immer weiter ab und kommen irgendwann zumZustand χk mit dem kleinsten J3-Eigenwert k. Setzt man wieder (10.12) ein,diesmal in die zweite Gleichung, dann ergibt sich
λ = k(k − 1) . (10.14)
Wegen j ≥ k ist das nur mit j ≥ 0 und mit k = −j vertraglich. Weil aber dieDifferenz j − k eine naturliche Zahl zu sein hat, schließen wir, dass j entwederganz- oder halbzahlig sein muss.Wir fassen zusammen:
• Die Eigenraume von J2 haben die Dimension d = 2j +1 ∈ N. j kann alsohalb- oder ganzzahlig sein.
• In einem 2j + 1-dimensionalen Eigenraum von J2 hat J3 die Eigenwertem = −j,−j + 1, . . . , j.
• Die gemeinsamen Eigenvektoren χj,m von J2 und J3 sind durch
J2χj,m = j(j + 1)χj,m sowie J3χj,m = mχj,m (10.15)
charakterisiert.
• Obendrein gilt
J+χj,j = 0 und J−χj,−j = 0 . (10.16)
27 Pauli-Matrizen Man zeige, dass mit den Pauli-Matrizen durch J = σ/2eine Darstellung der Drehgruppe realisiert wird, und zwar fur j = 1/2.
10.3 Bahndrehimpuls
Wenn man uber Drehungen redet, sollte man Kugelkoordinaten benutzen:
x1 = r sin θ cos φ , x2 = r sin θ sinφ , x3 = r cos θ . (10.17)
Bei einer Drehung andert sich der Abstand r vom Koordinatenursprung nicht.Daher ist es sinnvoll, die Eigenfunktionen des Bahndrehimpulses als Funktionender beiden Winkel aufzufassen, Y = Y (θ, φ).Die Drehimpulsoperatoren sind in Kugelkoordinaten durch
L± = e±iφ
i cot θ
∂
∂φ± ∂
∂θ
und L3 = −i
∂
∂φ(10.18)
gegeben. Wie es sein muss, kommen nur die partiellen Ableitungen nach denWinkeln vor.Wir rechnen die Kugelfunktionen Y`,m fur ` = 0 und ` = 1 aus.
31
Wegen L+Y0,0 = L−Y0,0 = 0 verschwinden beide partielle Ableitungen nach denWinkeln, daher gilt Y0,0(θ, φ) ∝ 1.
Wir setzen Y1,1(θ, φ) = eiφ
f(θ) und werten L+Y1,1 = 0 aus. Das ergibt f ′ =cot θf , also f ∝ sin θ. Y1,0 ∝ L−Y1,1 fuhrt auf Y1,0 ∝ cos θ. Ebenso verfahrtman, um Y1,−1 auszurechnen.Hier eine Liste der Kugelfunktionen bis zum Bahndrehimpuls ` = 2:
Y2,2 =√
15/8 sin2 θ e2iφ
Y1,1 = −√
3/2 sin θ eiφ
Y2,1 = −√
15/2 cos θ sin θ eiφ
Y0,0 = 1 Y1,0 =√
3 cos θ Y2,0 =√
5/4 (3 cos2 θ − 1)
Y1,−1 =√
3/2 sin θ e−iφ
Y2,−1 =√
15/2 cos θ sin θ e−iφ
Y2,−2 =√
15/8 sin2 θ e−2iφ
Alle Ausdrucke sind noch durch√
4π zu dividieren.
10.4 Laplace-Operator
Wir wollen jetzt zeigen, wie man mit Hilfe des Drehimpulses den Laplace-Operator vereinfachen kann.Dafur rechnen wir um7 in
L2 = εijkεiabXjPkXaPb = XjPkXjPk −XjPkXkPj . (10.19)
Den ersten Term kann man mit PkXj = XjPk − iδkj in X2P 2 umformen.Beim zweiten Term formen wir ebenso in −XjPkPjXk− iXP um. Mit PkXk =XkPk − 3iI schließlich ergibt sich
L2 = X2P 2 − (XP )2 + iXP . (10.20)
Mit
P 2 = −∆ und XP = −ir∂
∂r(10.21)
findet man schließlich
∆ =∂2
∂r2+
2r
∂
∂r− L2
r2. (10.22)
7Einstein-Summenkonvention, εijkεiab = δjaδkb − δjbδka
32
A Normale Operatoren im Cn
Lineare Operatoren im endlichdimensionalen Hilbert-Raum H = Cn kann mandurch komplexe n× n-Matrizen N beschreiben.Die Eigenwertgleichung
Nf = νf bzw. (N − νI)f = 0 (A.1)
hat genau dann vom Nullvektor verschiedene Losungen f , wenn das charakte-ristische Polynom
χ(ν) = det(N − νI) = 0 (A.2)
eine Nullstelle besitzt. Das ist immer der Fall, wenn man ν ∈ C zulasst.Mit L bezeichnen wir den Eigenraum zum Eigenwert ν:
L = f ∈ H | Nf = νf . (A.3)
Bis jetzt war N irgendein linearer Operator. Wir verwenden nun, dass er normalist. Dann gilt fur f ∈ L namlich
NN †f = N †Nf = νN †f , (A.4)
also
N †L ⊂ L . (A.5)
Fur alle g, f ∈ L gilt
0 = (g, (N − νI)f) = ((N † − ν∗I)g, f) , (A.6)
und das heißt: L ist zugleich der Eigenraum von N † zum Eigenwert ν∗.Wir beschreiben L durch den Projektor Π . Auf L = ΠH wirkt N wie νI undN † wie ν∗I.L⊥ = (I −Π )H ist der zu L senkrechte lineare Raum.Fur g ∈ L und f ∈ L⊥ gilt
(g,Nf) = (N †g, f) = (ν∗g, f) = ν(g, f) = 0 , (A.7)
also NL⊥ ⊂ L⊥. N bildet den zum Eigenraum L senkrechten linearen RaumL⊥ in sich ab. Dasselbe gilt naturlich fur N †. Auf L⊥ ist N naturlich ebenfallsnormal.Damit kann man auf L⊥ dasselbe Spiel wie auf H beginnen, nur dass die Di-mension inzwischen kleiner geworden ist. Nach endlich vielen Schritten ist manbeim Nullraum angelangt und damit am Ziel:
N =∑
j
νjΠj und N † =∑
j
ν∗Πj (A.8)
33
mit einer Zerlegung I =∑
j Πj der Eins in paarweise orthogonale Projektoren.
Das war nachzutragen. Aus (A.8) folgt sofort N †N = NN †. Der Umkehrschlussist etwas schwieriger, wie wir gesehen haben, schon fur den endlichdimensiona-len Hilbert-Raum. Die Aussage stimmt auch fur den unendlichdimensionalenHilbert-Raum, wenn man gegebenenfalls die Summe in geeigneter Weise durchIntegrale ersetzt. Das aber wurde hier zu weit fuhren.
34
B Verallgemeinerte Funktionen
Wir haben uns aus didaktischen Grunden bemuht, von einem peinlichen Pro-blem abzulenken. Nicht alle fur die Physik interessanten linearen Operatorenkonnen wie Matrizen behandelt werden. Die Zerlegung der Eins in eine Summepaarweise orthogonaler Projektoren I =
∑j Πj reicht nicht aus. Gerade die fur
die Physik bedeutsamen Operatoren, wie Ort und Impuls eines Teilchens imunbeschrankten Raum, lassen sich nicht als X =
∑j xjΠj oder P =
∑j pjΠj
darstellen. Das stort deswegen kaum, weil die meisten wichtigen Erkenntnisseallein durch das Studium der Vertauschungsregeln gewonnen werden konnen.Die Ausfuhrungen uber Leiteroperatoren und uber den Drehimpuls sind ein-drucksvolle Beispiele.Wir betrachten den Hilbert-Raum H = L2(R) der quadratintegrablen Funk-tionen. Der Ortsoperator X bewirkt Xf(x) = xf(x). Er ist nicht auf ganzH erklart, sondern nur fur solche Funktionen, die auch nach der Multiplikati-on mit dem Funktionsargument noch quadratintegrabel sind. Fur hinreichendstark abfallende Funktionen gilt offensichtlich (g,Xf) = (Xg, f). Der Ortsope-rator stimmt also mit seinem Adjungierten uberein, wenn man bei der Fragenach dem Definitionsbereich die Augen zudruckt.Eigenfunktionen f des Ortsoperators sollen
Xf(x) = af(x) (B.1)
erfullen. Solche Funktionen mussen daher bei x 6= a verschwinden und trotzdemquadratintegrabel sein. Das gibt es nicht.Ein ahnliches Dilemma besteht fur den Impulsoperator P .Die Eigenwertgleichung
(Pf)(x) = −if ′(x) = pf(x) (B.2)
lasst sich zwar losen,
f(x) ∝ eipx
, (B.3)
das Ergebnis ist aber nicht quadratintegrabel.Den Ausweg bilden verallgemeinerte Funktionen. Man muss sich vom Begriffder Abbildung R → C losen. Verallgemeinerte Funktionen machen nur untereinem Integral einen Sinn, wenn sie mit Testfunktionen uberintegriert werden.
B.1 Testfunktionen
Wir betrachten komplexwertige Funktionen einer reellen Variablen. Eine Test-funktion ist beliebig of differenzierbar und fallt im Unendlichen starker als jedenegative Potenz ab. Genauer, bei einer Testfunktion t sind alle Ableitungen t(m)
stetige Funktionen, und
||t||m,n = supx∈R
|xnt(m)(x)| (B.4)
35
ist endlich fur jede Ordnung m = 0, 1, . . . und fur jede Potenz n = 0, 1, . . ..
t(x) = e−a(x− b)2 mit a > 0 (B.5)
ist ein Beispiel.Den Raum der Testfunktionen bezeichnen wir mit S. S ist ein linearer Raum.In S darf man beliebig differenzieren, d.h. mit t ist auch t(m) eine Testfunktion.Eine Folge t1, t2, . . . von Testfunktionen konvergiert gegen die Testfunktion t,wenn
limk→∞
||tk − t||m,n = 0 fur alle m, n ∈ N (B.6)
gilt. Wir schreiben dann tk → t.
B.2 Distributionen
Ein stetiges lineares Funktional D : S → C bezeichnet man als Distributi-on. Eine Distribution D ordnet also jeder Testfunktion t eine komplexe ZahlD(t) zu. Linear bedeutet: fur beliebige komplexe Zahlen z1, z2 und fur beliebigeTestfunktionen t1, t2 gilt
D(z1t1 + z2t2) = z1D(t1) + z2D(t2) . (B.7)
Stetig heißt, dass
limk→∞
D(tk) = D(t) (B.8)
gilt, wenn die Folge t1, t2, . . . von Testfunktionen gegen die Testfunktion t kon-vergiert.Den Raum der Testfunktionen bezeichnet man ublicherweise als S ′.Jede Testfunktion s erzeugt gemaß
D(t) =∫
dx s(x) t(x) (B.9)
ein lineares Funktional auf S. An
|D(tk)−D(t)| ≤ ||tk − t||0,0
∫dx |s(x)| (B.10)
erkennt man, dass das Funktional stetig ist. Im Sinne von (B.9) darf man alsoS ∈ S ′ schreiben: Testfunktionen erzeugen Distributionen.Lokal integrierbare, schwache wachsende Funktionen erzeugen ebenfalls Distri-butionen.Eine Funktion f heißt lokal integrierbar, wenn das Integral des Absolutwertesfur alle endlichen Intervalle definiert ist. Beispielsweise sind stuckweise stetigeFunktionen lokal integrierbar.
36
Eine Funktion f heißt schwach wachsend, wenn es eine naturliche Zahl n gibt,so dass
K = supx
|f(x)|1 + |x|n
< ∞ (B.11)
gilt.Jede lokal integrierbare schwach wachsende Funktion f kann als Gewichts-funktion herhalten, um die Testfunktion t zu integrieren. Sie erzeugt gemaßD(t) =
∫dx f(x) t(x) eine Distribution. Linearitat ist klar, und um die Stetig-
keit nachzuweisen schreiben wir
D(t) =∫
dx1
1 + |x|2f(x)
1 + |x|n(1 + |x|n)(1 + |x|2) t(x) . (B.12)
Das kann man durch
|D(t)| ≤ πKn+2∑i=0
ci ||t||0,i (B.13)
abschatzen, und daher ist D stetig.Es gibt aber auch Distributionen, die nicht durch Uberintegrieren mit einerGewichtsfunktion erzeugt werden. Trotzdem schreibt man sie dann suggestivals
D(t) =∫
dxφ(x) t(x) . (B.14)
φ ist dabei i.a. bloß ein Symbol, mit der man der Distribution einen Namengibt. Nach einiger Zeit gewohnt man sich daran, dieses Symbol selber als dieDistribution aufzufassen.Distributionen kann man linear kombinieren. D = z1D1 + z2D2, definiert durchD(t) = z1D1(t)+z2D2(t), ist wieder eine Distribution. Man schreibt dann auchφ = z1φ1 + z2φ2 fur die entsprechenden Symbole in (B.14).Wenn die Distributionen durch Funktionen erzeugt werden, dann handelt essich aber tatsachlich um die Linearkombination dieser Funktionen.
B.3 Ableitung
Distributionen kann man differenzieren. Die Ableitung D ′ der Distribution Dwird durch
D ′(t) = −D(t ′) (B.15)
definiert. Weil mit tk → t auch t ′k → t ′ konvergiert, ist D ′ tatsachlich einstetiges lineares Funktional auf dem Raum S der Testfunktionen.
37
Wenn die Distribution D gemaß (B.9) durch eine Testfunktion s erzeugt wird,dann entspricht D ′ der Testfunktion s ′. Es gilt namlich
D ′(t) = −∫
dx s(x) t ′(x) =∫
dx s ′(x) t(x) . (B.16)
Das rechtfertigt die Bezeichnung ’Ableitung’.Wird die Distribution D durch das Symbol φ dargestellt (im Sinne von (B.14)),dann soll φ ′ das Symbol fur die Distribution D ′ sein.
B.4 Fourier-Transformation
Die Fourier-Transformierte t = Ft einer Testfunktion,
t(y) =∫
dx eixy
t(x) , (B.17)
ist wieder eine Testfunktion. Einmal existiert die m-fache Ableitung,
t(m)(y) = im∫
dx eixy
xm t(x) , (B.18)
und ist stetig. Zum anderen kann man
|ynt(m)(y)| = |∫
dx eixy dn
dxnxmt(x)| (B.19)
ausrechnen. Damit ist
||t||m,n ≤∫
dx | dn
dxnxmt(x)| < ∞ (B.20)
garantiert.Aus der Fourier-Transformierten lasst sich die ursprungliche Testfunktion durch
Rt(x) = t(−x) =∫
dy
2πeixy
t(y) (B.21)
zuruckgewinnen8, also wieder durch eine Fourier-Transformation. R bezeichnetdie Reflexion am Nullpunkt. (B.21) lasst sich bundig als FF = 2πR formulieren.Die Fourier-Transformation F : S → S ist nicht nur linear und umkehrbar,sie ist auch eine stetige Abbildung im Raum der Testfunktionen. Es genugt zuzeigen, dass mit tk → 0 auch tk → 0 konvergiert. Um das einzusehen, sehenwir uns die rechte Seite von (B.20) genauer an. Sie besteht aus einer endlichenSumme von Beitragen der folgenden Art:∫
dx |xpt(q)(x)| =∫
dx |xpt(q)(x)1 + x2
1 + x2| = π ||t||q,p + ||t||q,p+2 . (B.22)
8Dieser Satz wird als bekannt vorausgesetzt
38
Das Ergebnis ||t||m,n ≤∑
amnpq||t||p,q zeigt, dass die Fourier-Transformation Fin der Tat stetig ist, weil nur endliche viele Terme zur Summe beitragen.
Man kann den Ausdruck∫ ∫
dxdy eixy
s(x) t(y) zweifach lesen:∫dy s(y) t(y) =
∫dx s(x) t(x) . (B.23)
Wir definieren deswegen die Fourier-Transformierte D einer Distribution Ddurch
D(t) = D(t) . (B.24)
D ist linear und stetig, weil die Fourier-Transformation in S stetig ist. Wirddie Distribution durch das Symbol φ dargestellt, soll φ das Symbol fur dieDistribution D sein.
B.5 Beispiele
Das erste Beispiel ist die 1-Distribution. Die 1-Abbildung 1(x) = 1 ist lokal in-tegrierbar und schwach wachsend. Folglich handelt es sich um eine Distribution.Anwenden der 1-Distribution auf eine Testfunktion ergibt deren Integral.Unser zweites Beispiel betrifft die Sprung-Funktion: θ(x) = 0 fur x ≤ 0 undθ(x) = 1 fur x > 0. Diese Funktion ist lokal integrierbar und schwach wachsend.Deswegen erzeugt sie direkt eine Distribution:∫
dx θ(x) t(x) =∫ ∞
0dx t(x) . (B.25)
Ihre Ableitung ist jedoch keine Funktion.Drittens fuhren wir die Dirac-Distribution δ an:∫
dx δ(x) t(x) = t(0) . (B.26)
δ ist sicherlich keine Funktion. Wegen
|tk(0)− t(0)| ≤ ||tk − t||0,0 (B.27)
ist das lineare Funktional t → t(0) stetig, δ also das Symbol fur eine Distribu-tion.Wegen∫
dx θ ′(x) t(x) = −∫
dx θ(x) t ′(x) = t(0) (B.28)
gilt θ ′ = δ.Die Fourier-Transformierte der Dirac-Distribution berechnet man so:∫
dx δ(x) t(x) =∫
dx δ(x) t(x) = t(0) =∫
dx t(x) , (B.29)
39
und das bedeutet δ = 1. Die Fourier-Transformierte der 1-Distribution ergibtsich aus∫
dx 1(x) t(x) =∫
dx 1(x) t(x) = 2πt(0) , (B.30)
und das bedeutet 1 = 2πδ.Wir schreiben das explizit an als∫
dp
2πeixp = δ(x) (B.31)
bzw. ∫dx e
−ipx = 2πδ(p) . (B.32)
Man beachte, dass die Dirac-Funktion eine gerade verallgemeinerte Funktionist, δ(x) = δ(−x).
40
C Glossar
Abschluss L sei ein linearer Teilraum des Hilbert-Raumes H. Der Raum Laller Grenzwerte von Cauchy-Folgen in L ist ein linearer Teilraum von H, derAbschluss von L. L ⊂ L ist evident. H = H gilt per definitionem.
Absolut stetig Eine Funktion f ist absolut stetig, wenn sie als f(x) = a +∫ x0 ds g(s) dargestellt werden kann, wobei g integrierbar sein muss. Absolut
stetige Funktionen sind stetig und gemaß f ′ = g differenzierbar, also nichtunbedingt stetig differenzierbar.
Adjungiert Jedem linearen Operator A kann ein adjungierter Operator A†
zugeordnet werden, so dass (g,Af) = (A†g, f) fur beliebige Vektoren g, f gilt.Diese Aussage muss man prazisieren, wenn A nicht auf dem gesamten Hilbert-Raum definiert ist, sondern nur auf einem dichten Teilraum.
Dirac-Funktion Auch Delta-Funktion. Eine verallgemeinerte Funktion (Dis-tribution), die
∫dx δ(x− a) f(x) = f(a) fur stetige Funktionen f bewirkt.
Dicht Ein linearer Raum L ist dicht im Hilbert-Raum H, wenn jeder Vektorx ∈ H beliebig gut durch Vektoren in L angenahert werden kann. Fur jedesε > 0 gibt es ein y ∈ L so dass ||x − y|| ≤ ε gilt. Anders ausgedruckt, derAbschluss L stimmt mit H uberein.
Dichteoperator Ein normaler Operator W , dessen Eigenwerte Wahrschein-lichkeiten beschreiben, 0 ≤ W ≤ I, und die sich (unter Berucksichtigung derVielfachheit) zu Eins aufsummieren, trW = 1.
Distribution Siehe Verallgemeinerte Funktion.
Drehimpuls Drei selbstadjungierte Operatoren J mit den Vertauschungsre-geln [J1, J2] = iJ3 usw.
Faltungssatz Die Fourier-Transformierte von∫
dy g(x− y) f(y), der Faltungvon g mit f , stimmt mit dem Produkt der Fourier-Transformierten g und fuberein.
Fourier-Analyse Die Zerlegung in Eigenfunktionen der Translation (Ver-schiebung). In L2(R) ist die Fourier-Transformation f = Ff eine unitare lineareAbbildung.
Hermitesch nach dem franzosischen Mathematiker Charles Hermite benann-te Eigenschaft einer komplexen Matrix, namlich Ajk = A∗
kj . Fur lineare Ope-ratoren bedeutet es (f,Af) = (Af, f) auf einem hinreichend kleinen dichten
41
Definitionsbereich fur A. Selbstadjungierte Operatoren sind immer hermitesch.Bei ihnen stimmen allerdings auch noch die Definitionsbereich von A und A†
uberein.
Hilbert-Raum Ein linearer Raum H, auf dem ein Skalarprodukt (g, f) defi-niert ist. f →
√(f, f) = ||f || ist eine Norm, und der Hilbert-Raum ist in dieser
Norm abgeschlossen. Bekannte Beispiele sind Cn und L2(Ω), der Raum der aufdem Gebiet Ω definierten komplexwertigen quadratintegrablen Funktionen.
Impuls Aus der Physik entlehnte Bezeichnung fur die Erzeugende P der Ver-
schiebung. fa(x) = f(x − a) wird durch fa = eiaP
f realisiert. Ort X undImpuls P genugen den kanonischen Vertauschungsregeln.
Jacobi-Identitat [AB,C] = A[B,C] + [A,C]B. Damit lassen sich Vertau-schungsregeln vereinfachen.
Kanonische Vertauschungsregel Ort X und die Erzeugende P der ent-sprechenden Translation genugen der Vertauschungsregel [X, P ] = iI.
Kommutator Den beiden Operatoren A,B : H → H wird der Kommutator[A,B] = AB−BA zugeordnet. Man spricht auch von einer Vertauschungsregel.
Leiter-Operatoren Operatoren L− und L+ = L†−, die gemaß L−L+ =L+L− + I miteinander vertauschen. L+L− ist dann ein Zahloperator mit Ei-genwerten in N.
Lineare Abbildung Eine Abbildung L : L1 → L2 zwischen linearen Teil-raumen ist linear, wenn L(x + y) = Lx + Ly und L(αx) = αLx gelten. DieBilder linearer Teilraume sind wiederum lineare Teilraume. Lineare Abbildun-gen eines Hilbert-Raumes in sich nennen wir lineare Operatoren, oder schlichtOperatoren.
Linearer Raum Eine Menge von Objekten (Vektoren), die man addieren undmit reellen oder komplexen Zahlen multiplizieren kann, wobei die ublichen Ver-traglichkeitsregeln gelten. Jeder lineare Raum hat eine Dimension, die endlichoder unendlich sein kann, und beinhaltet zumindest den Nullvektor.
Multiplikations-Operator Eine Funktion f = f(x) aus L2(Ω) wird mitV (x) multipliziert, f → V f . Dabei gilt (V f)(x) = V (x)f(x) fur x ∈ Ω. DerOrt X und jede Funktion davon sind Multiplikations-Operatoren.
42
Norm Eine Vorschrift, die jedem Element f eines linearen Raumes L einereelle Zahl ||f || zuordnet. Dabei gilt ||αf || = |α|||f || sowie ||f + g|| ≤ ||f || + ||g||(Dreiecksungleichung). Außerdem kann man sich darauf verlassen, dass ||f || = 0nur fur f = 0 gilt. Fur komplexwertige Funktionen f einer reellen Variablen sind||f ||p =
∫dx |f(x)|p1/p ubliche Normen. Der Hilbertraum ist mit der 2-Norm
f → ||f || = ||f ||2 ausgestattet.
Normal Ein linearer Operator N ist normal, wenn er mit seinem Adjungier-ten N † vertauscht. Er kann als N =
∑j νjΠj geschrieben werden, mit den
Eigenwerten νj ∈ C und der Zerlegung der Eins∑
j Πj = I in paarweise ortho-gonale Projektoren.
Normiert Ein Vektor f ∈ H ist normiert, wenn (f, f) = ||f ||2 = 1 gilt.
Operator Eine lineare Abbildung des Hilbert-Raumes in sich. Gemeint istimmer ein linearer Operator.
Ort Auf L2(Ω) ist der Ort X ein linearer Operator. Er bewirkt die Multi-plikation der Funktion f ∈ L2(Ω) mit dem Argument, (Xf)(x) = xf(x), furx ∈ Ω. Wenn Ω unbeschrankt ist, kann X nicht auf dem gesamten Hilbert-Raumerklart werden.
Orthogonal Zwei Vektoren f, g eines Hilbert-Raumes H stehen senkrechtaufeinander, wenn (g, f) = 0 gilt. Zwei Teilraume stehen senkrecht aufeinander,(L2,L1) = 0, wenn (g, f) = 0 fur alle g ∈ L2, f ∈ L1 erfullt ist. Zwei ProjektorenΠ1,Π2 sind zueinander orthogonal, wenn Π2Π1 = 0 zutrifft.
Parseval-Theorem Auf L2(R) gilt (f, f) = (f , f), wobei f = Ff die Fourier-Transformierte von f ist.
Pauli-Matrizen Darstellung des Drehimpulses im C2 durch komplexe 2× 2-Matrizen.
Positiv Ein linearer Operator P ist positiv (im Sinne von nicht-negativ),wenn (f, Pf) ≥ 0 fur alle Vektoren f ausfallt. Damit gleichwertig ist die Fest-stellung, dass er als P = BB† dargestellt werden kann. Eine dritte Alternativeist die Aussage, dass positive Operatoren normal sind und die Eigenwerte aufder positiven Halbachse liegen.
Projektor Ein selbstadjungierter Operator Π mit der Eigenschaft Π 2 = Π .L = ΠH ist ein linearer Teilraum, auf den projiziert wird. Umgekehrt gibtes zu jedem linearen Teilraum L ⊂ H einen Projektor, der ΠH = L leistet.Fur Projektoren gilt 0 ≤ Π ≤ I. Die Dimension eines Projektors ist die deszugehorigen Teilraumes. Eindimensionale Projektoren kann man durch einennormierten Vektor kennzeichnen, auf den sie projizieren.
43
Quasi-Eigenfunktion Durch reelle Zahlen a indizierte Schar fa von Funk-tionen oder verallgemeinerten Funktionen, fur die
∫dx f∗b (x)fa(x) = δ(b − a)
gilt. Quasi-Eigenfunktionen sind formale Losungen einer Eigenwertgleichung,gehoren aber nicht zum Hilbert-Raum.
Selbstadjungiert Ein Operator A ist selbstadjungiert, wenn er mit seinemAdjungierten A† ubereinstimmt. Selbstadjungierte Operatoren konnen als A =∑
j ajΠj geschrieben werden. Die Eigenwerte aj sind reell, die Projektoren Πj
bilden eine Zerlegung∑
j Πj = I der Eins in paarweise orthogonale Projektoren.
Spur Die Spur trL ist ein lineares Funktional, das linearen Operatoren Leine Zahl zuweist. Fur Matrizen ist das die Summe der Diagonalelemente. Miteinem vollstandigen Orthonormalsystem f1, f2, . . . lasst sich trL =
∑j(fj , Lfj)
berechnen, wobei ein anderes vollstandige Orthonormalsystem zum selben Er-gebnis fuhrt.
Symmetrisch siehe Hermitesch.
Teilraum Die Teilmenge L ′ ⊂ L eines linearen Raumes L ist ein Teilraum,wenn L ′ selber ein linearer Raum ist.
Testfunktionen Im Unendlichen rasch abfallende und beliebig oft differen-zierbare Funktionen. Der lineare Raum der Testfunktionen ist dicht im Hilbert-Raum.
Unitar Ein Operator U ist unitar, wenn UU † = I gilt. Das ist mit U †U = Igleichwertig. Unitare Operatoren konnen als U =
∑j ujΠj geschrieben werden.
Die Eigenwerte uj liegen auf dem Einheitskreis, die Projektoren Πj bilden eineZerlegung
∑j Πj = I der Eins in paarweise orthogonale Projektoren.
Unscharferelation Wenn X ein Ort und P der zugehorige Impuls ist, giltδX δP ≥ 1/2. Dabei sind die Unscharfen durch δA =
√(f,A2f)− (f,Af)2
erklart, mit einem normierten Vektor f . Die Unscharfebeziehung ist eine Kon-sequenz der kanonischen Vertauschungsregel.
Verallgemeinerte Funktion Eine verallgemeinerte Funktion (Distribution)macht nur unter einem Integral mit Testfunktionen einen Sinn. Stetige oderstuckweise stetige Funktionen, die im Unendlichen nicht allzu stark wachsen,sind zugleich verallgemeinerte Funktionen. Zum linearen Raum der Distribu-tionen gehort auch die Dirac-Funktion, oder Delta-Funktion. VerallgemeinerteFunktionen kann man sorglos differenzieren und Fourier-transformieren.
44
Vollstandiges Orthonormalsystem Darunter versteht man ein System (ei-ne Folge) von Vektoren, die normiert sind, paarweise aufeinander senkrecht ste-hen und vollstandig sind in dem Sinne, dass jeder Vektor des Hilbert-Raumesdanach entwickelt werden kann. Ein vollstandiges Orthonormalsystem entsprichtder Zerlegung der Eins in paarweise orthogonale eindimensionale Projektoren.
Zerlegung der Eins Darunter versteht man eine Summe Π1+Π2+. . . = I inpaarweise orthogonale Projektoren Πj . Die zueinander orthogonalen TeilraumeΠjH spannen den gesamten Hilbert-Raum auf. Eine Zerlegung der Eins in paar-weise orthogonale eindimensionale Projektoren definiert ein vollstandiges Or-thonormalsystem.
45
