Mathematische Probleme lösen mit Mindmaps

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    06-Jun-2015

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Grundidee: Zwei Mindmaps parallel benutzen - eine Problem-Map fr das eigentliche Problem und eine Werkzeug-Map mit mathematischen Lsungsstrategien und -techniken.

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<p>Mathematische Probleme lsen mit Hilfe von MindmapsDr. Thomas Teepe Alosenweg 37 70329 Stuttgart E-Mail: thomasteepe@web.de berblick In diesem Text mchte ich eine Methode zur Bearbeitung mathematischer Probleme darstellen. Dabei geht es nicht in erster Linie um die Elemente einer mathematischen Heuristik selbst (wie etwa die Strategie der Rckwrtssuche oder die Betrachtung von Extremfllen), sondern es geht um eine Technik, mit der diese Elemente gezielt eingesetzt werden knnen. Die Methode nutzt wesentliche Ideen des Mindmapping. Diese bekannte Technik zum Sammeln und Ordnen von Ideen wird im Abschnitt I beschrieben. Sofern der Leser mit dem Mindmapping vertraut ist, kann er diesen Abschnitt berspringen. Die Grundidee der Methode besteht darin, zwei oder mehrere Mindmaps gleichzeitig zu verwenden: - Das gegebene Problem wird in einer Mindmap bearbeitet; - dabei werden Lsungswerkzeuge aus einer oder mehreren Hilfs-Mindmaps herangezogen. Dieses Vorgehen wird in Abschnitt II vorgestellt. Im Abschnitt III wird untersucht, wie die Methode auf das Lsen mathematischer Probleme angewendet werden kann. Im Mittelpunkt steht dabei der Aufbau der benutzten Mindmaps. Inhaltsverzeichnis Mindmapping .................................................................................................................................................. 2 I.1 Grundlagen.............................................................................................................................................. 2 I.2 Anleitung zur Erstellung von Mindmaps ................................................................................................ 2 I.3 Diskussion ............................................................................................................................................... 2 I.4 Bemerkungen .......................................................................................................................................... 2 II. Werkzeug-Mapping: Die gleichzeitige Verwendung mehrerer Mindmaps................................................. 3 II.1 Grundidee und Bezeichnungen ............................................................................................................... 3 II.2 Die Arbeit mit Werkzeug-Maps .............................................................................................................. 3 II.3 Diskussion ............................................................................................................................................... 4 III. Anwendung des Werkzeug-Mapping auf die Bearbeitung mathematischer Probleme ............................... 5 III.1 Gliederung der Problem-Map.................................................................................................................. 5 III.2 Gliederung der Werkzeug-Maps ............................................................................................................. 6 III.3 Diskussion ............................................................................................................................................. 12 IV. Literaturverzeichnis................................................................................................................................... 12 I.</p> <p>I.</p> <p>Mindmapping</p> <p>I.1 Grundlagen Mindmapping ist eine einfache und wirkungsvolle Technik zum Sammeln und Aufbereiten von Ideen. Entwickelt wurde diese Technik in den 1970er Jahren von dem Englnder Tony Buzan. Beim Mindmapping sollen die folgenden Fhigkeiten des menschlichen Gehirns besser genutzt werden: - Assoziationen bilden, - Hierarchien von Begriffen bilden und - sowohl in Wrtern als auch in Bildern denken. Herkmmliche Techniken zum Aufzeichnen von Ideen nutzen diese Fhigkeiten oft unzureichend oder unterdrcken sie sogar. I.2 Anleitung zur Erstellung von Mindmaps Man bentigt ein Blatt Papier, vorzugsweise im Format DIN A4 oder grer, und Schreibstifte, vorzugsweise in verschiedenen Farben. - Man benutzt das Papier im Querformat. Dies erleichtert das Layout der Mindmap. - In die Mitte des Papiers schreibt man das Thema der Mindmap und zeichnet einen Rahmen darum. Dadurch kann man die Ideen buchstblich in alle Richtungen entwickeln und behlt zugleich das zentrale Thema im Blick. - Die Hauptideen werden um dieses Zentrum herum aufgeschrieben und durch Linien mit dem Zentrum verbunden. Diese Ideen-ste werden durch Ideen-Zweige und -Unterzweige verfeinert. Durch diese Baumstrukturen entstehen Hierarchien von Begriffen. Neue Einflle knnen sachgerecht an passenden Orten eingefgt werden. - Beim Mindmapping sollte man Stichwrter anstelle ganzer Stze verwenden, um Redundanz zu vermeiden und Platz zu sparen. Zudem lassen sich Assoziationen leichter zu einzelnen Wrtern bilden als zu einem ganzen Satz. - Man sollte oft Symbole und kleine Zeichnungen verwenden, um die Fhigkeiten des Gehirns zu bildhaftem Denken auszunutzen. - Man kann die Ideen in der Mindmap ber die hierarchische Gliederung hinaus organisieren, indem man sie nummeriert, Wichtiges grafisch hervorhebt und Ideen durch Pfeile verbindet. Die genannten Regeln knnen abgendert werden, wenn dies dem Zweck der Mindmap dient. Von solchen Abweichungen wird im Folgenden hufig Gebrauch gemacht. I.3 Diskussion Vorteile: - Mindmapping ist eine sehr wirkungsvolle Methode, um Ideen zu sammeln und zu ordnen. - Es ist praktisch berall verfgbar. - Es ist auerordentlich breit einsetzbar. - Die Anwendung ist einfach, macht Spa und fhrt rasch zu Erfolgen. Nachteile: - Die Stichwrter und Symbole in einer Mindmap geben einen Gedanken oft nur skizzenhaft wieder. Deshalb eignen sich Mindmaps nur dann zur Vermittlung von Ideen, wenn sie fr diesen Zweck aufbereitet werden. - Ideen in einem intuitiven, nicht-sprachlichen und nicht-bildhaftem Stadium lassen sich in Mindmaps nicht sinnvoll erfassen. - Mindmaps knnen dazu verfhren, die wesentlichen Aspekte eines Problems unbearbeitet zu lassen und sich stattdessen mit seinen zugnglicheren Aspekten zu beschftigen oder sich in bermigen Vorplanungen zu verlieren. I.4 Bemerkungen Eine umfassende Darstellung des Mindmapping bieten Tony und Barry Buzan (Buzan/Buzan 1999). -</p> <p>2</p> <p>Es gibt eine wachsende Zahl von Computer-Programmen fr das Mindmapping. Zumindest eines dieser Programme (mit Namen Freemind) kann kostenlos im Internet heruntergeladen werden; zu anderen Programmen gibt es kostenlose Testversionen. Internet-Suchmaschinen liefern einen raschen berblick ber das Angebot an Mindmapping-Programmen.</p> <p>II. Werkzeug-Mapping: Die gleichzeitige Verwendung mehrerer MindmapsII.1 Grundidee und Bezeichnungen Die Grundidee besteht darin, zwei oder mehrere Mindmaps gleichzeitig zu verwenden. 1. Das gegebene Problem wird in der so genannten Problem-Map (PM) bearbeitet. 2. Untersttzt wird die Bearbeitung durch eine Reihe von Werkzeug-Maps (WMs). Diese WMs enthalten Operatoren, also Strategien und Techniken, die die Lsung von Problemen untersttzen. Die gleichzeitige Verwendung von PM und WMs wird im folgenden Werkzeug-Mapping genannt. II.2 Die Arbeit mit Werkzeug-Maps Im Folgenden werden die drei wesentlichen Aspekte der Arbeit mit WMs untersucht: (a) Zusammenstellung der WMs, (b) Verwendung der WMs beim Bearbeiten von Problemen und (c) Anpassung der WMs. (a) Zusammenstellung der WMs Es gibt mehrere Ausgangspunkte fr die Zusammenstellung von WMs: - Der Benutzer organisiert die heuristischen Kenntnisse, die er bereits besitzt, in WMs und entwickelt dieses System weiter. - Der Benutzer organisiert heuristische Empfehlungen aus der einschlgigen Literatur in WMs. - Der Benutzer arbeitet mit WMs, die er von einem Lehrer erhalten hat. Ein bloes Aufhufen von Operatoren in den WMs ist in jedem Fall nur wenig sinnvoll. Die Operatoren sollten vielmehr so angeordnet werden, dass diejenigen Operatoren, die in einer Bearbeitungssituation von Nutzen sind, leicht gefunden werden knnen. Damit stellt sich die Frage nach den Prinzipien fr die Gliederung der WMs. Einige werden nun vorgestellt. Gliederung nach Bearbeitungsphasen: Die Bearbeitung eines Problems lsst sich aufteilen in verschiedene Phasen, wie etwa Orientierungsteil, Ausfhrungsteil und Kontrollteil (vgl. Sell/Schimweg 2002, Kap. 4; hnlich Polya 1988, S. 5ff). Gliederung nach Operatorgruppen: Beispiele fr Operatorgruppen sind etwa Analysetechniken oder Kreativittstechniken. Gliederung nach Bearbeitungssituationen: Eine Bearbeitungssituation kann etwa darin bestehen, dass noch unklar ist, worin das Problem berhaupt besteht, welche Lsungsanstze in Frage kommen, welcher von mehreren Lsungswegen eingeschlagen werden soll oder darin, dass bei der Verfolgung eines Lsungsansatzes Hindernisse auftreten. In den WMs kann es Operatoren zur Untersuchung solcher Schwierigkeiten geben. Diesen DiagnoseOperatoren knnen dann Therapie-Operatoren zugeordnet werden, mit denen die Schwierigkeiten bewltigt werden knnen. Beispiel: Der Benutzer merkt, dass er einen Ansatz augenblicklich nicht weiter voranbringen kann. Mit einem Fragenkatalog kann er prfen, - ob die verwendeten Begriffe unklar sind, - ob unsichere Hypothesen die weitere Arbeit stren, - ob die Beziehungen von Bestandteilen des Problems unbersichtlich sind oder - ob er nicht wei, was als nchstes zu tun ist. Abhngig vom Ergebnis dieser Prfung kann er gezielt Operatoren benutzen, um die Schwierigkeiten zu beseitigen. Gliederung nach fachlichen Aspekten: Bei der Gliederung nach fachlichen Aspekten lassen sich Operatoren danach zusammenfassen, zu welcher Teildisziplin sie gehren oder auf welche Objekte sie sich anwenden lassen. Diese Gliederungen berlappen sich teilweise; dabei hat jede einzelne ihre sinnvollen Anwendungen. Es empfiehlt sich daher, sie parallel zu verwenden. Ein gewisses Ma an Redundanzen und Querverweisen zwischen den verschiedenen Gliederungen ist dabei vorteilhaft. 3</p> <p>Wenn die Zahl benutzter Gliederungen eine gewisse Grenze berschreitet, ist es sinnvoll, mehrere WMs zu erstellen. Der Nutzen eines derartigen Satzes von WMs hngt entscheidend von seiner Gesamtstruktur ab; eine Reduktion auf die einzelnen Techniken, die in den Blttern der Baumstruktur einer WM zu finden sind, ist nicht mglich. Sinnvoll ist es stattdessen, den gesamten Satz von WMs selbst als einen Super-Operator mit einer Hierarchie von Sub-Operatoren aufzufassen. (b) Verwendung der Werkzeug-Maps beim Bearbeiten von Problemen Der Benutzer kann aus den verschiedenen Gliederungen diejenigen auswhlen, die zu seinen Zielen und der augenblicklichen Bearbeitungssituation passen. Sofern die WMs, wie oben beschrieben, Operatoren zur Diagnose und Therapie von Schwierigkeiten in einer Bearbeitungssituation enthalten, kann sich der Benutzer hiervon leiten lassen. Die Verwendung von WMs ist ebenso wie die sonstige Bearbeitung eines Problems stark von der Intuition des Benutzers beeinflusst. Es erscheint deshalb nicht sinnvoll, die Verwendung von WMs in ein enges Korsett von Regeln zu zwngen. Wenn die WMs dem Benutzer bei der Bearbeitung nur wenig nutzen, so knnen ihre Mngel bei der Rckschau untersucht und beseitigt werden. (c) Anpassen der Werkzeug-Maps und die Bedeutung der Rckschau Die WMs sind nicht als statische Objekte gedacht. Der Benutzer soll sie laufend seinen Erfahrungen, Kenntnissen, Bedrfnissen und Vorlieben anpassen knnen.1 Die Anpassung der WMs kann wiederum untersttzt werden durch Operatoren in der WM, mit denen das Vorgehen beim Bearbeiten eines Problems ausgewertet werden kann. 2 Zu diesen Operatoren knnen etwa die folgenden Fragen gehren: - An welchen Stellen und aus welchen Grnden war die Bearbeitung des Problems gestrt? - Durch welche Operatoren htte sich das vermeiden lassen? - Welche neuen Operatoren sollten in die WMs aufgenommen werden, und wie sollten sie eingegliedert werden? - Was war ausschlaggebend fr den Erfolg? - Wie lsst sich das auf andere Probleme bertragen? Bei der laufenden Anpassung der WMs sollte eine berfrachtung mit Operatoren, die allzu selten genutzt werden knnen, sorgfltig vermieden werden. II.3 Diskussion Vorteile: - Werkzeug-Mapping regt dazu an, sich mit dem eigenen Verhalten bei der Bearbeitung von Problemen zu beschftigen. - Werkzeug-Mapping kann angepasst werden an verschiedene Problemtypen und an die Erfahrungen, Kenntnisse, Bedrfnisse und Vorlieben des Benutzers. Insbesondere ist eine laufende Weiterentwicklung der WMs whrend einer lngeren Lernphase sinnvoll. - Werkzeug-Mapping kann als ein sich selbst verbessernder Prozess konstruiert werden: Spezielle Operatoren fr die Nachbereitung einer Problembearbeitung knnen helfen, Schwachstellen in der eigenen Vorgehensweise und im Aufbau der WMs aufzudecken und zu beheben. - Werkzeug-Mapping nutzt alle Vorteile des gewhnlichen Mindmapping. Insbesondere bei den WMs ist die Darbietung heuristischer Operatoren in einer Mindmap gnstiger als Darbietungen etwa in Form von Listen3: Die flchige, grafische und hierarchische Anordnung erleichtert die Orientierung und das Auffinden relevanter Operatoren, und weitere Operatoren lassen sich leicht sachgerecht hinzufgen. - WMs knnen eine groe Zahl von Operatoren darbieten. Dadurch knnen WMs insbesondere weniger erfahrenen Problemlsern ntzliche Operatoren ins Gedchtnis rufen. - Die selbststndige Erstellung eigener WMs verankert heuristische Operatoren im Arbeitsgedchtnis. - Durch die Verbindung von Diagnose- mit Therapie-Operatoren kann der Benutzer sehr gezielt Abhilfe fr seine Schwierigkeiten finden. Eine Phase der Rckschau ist enorm wichtig, wenn die Fhigkeit, Probleme zu lsen, verbessert werden soll. Dies wird von zahlreichen Autoren betont, z.B. Mason 1985, S.57ff; Polya 1988, S.14ff. 2 Bei der Erstellung und nachfolgenden Anpassung der WMs ist Mindmapping-Software ntzlich. 3 Ein prominentes Beispiel einer derartigen Liste findet sich in Polya 1988, S. xvi-xvii. 41</p> <p>-</p> <p>Werkzeug-Mapping untersttzt den Transfer heuristischer Kenntnisse: Ratschlge aus der Literatur knnen in WMs aufbereitet werden; Experten knnen Teile ihrer Erfahrungen in WMs darstellen und so fr Anfnger nutzbar machen; Gruppen knnen gemeinsame WMs erstellen und damit die Erfahrungen der Einzelnen fr die Gruppe verfgbar machen.</p> <p>Nachteile: - Werkzeug-Mapping ist wie jede neue Methode gewhnungsbedrftig. - Werkzeug-Mapping ist fr Menschen mit einer stark intuitiven Denkweise, die weder ausgeprgt sprachlich noch bildlich ist, weniger geeignet. - Der Benutzer braucht zu Beginn Augenma, um die WMs nicht mit einer berflle nur scheinbar ntzlicher Operatoren zu berfrachten. Eine geringere Zahl sinnvoll ausgewhlter und strukturierter Operatoren fhrt zu besseren Ergebnissen.</p> <p>III. Anwendung des Werkzeug-Mapping auf die Bearbeitung mathematischer ProblemeIII.1 Gliederung der Problem-Map Erfasst werden sollten in der PM alle Schritte, die bei der Bearbeitung des Problems wesentlich sind, insbesondere - Operatoren, deren Anwendung versucht werden soll, und - Ideen, die durch die Anwendung der Operatoren entstanden sind. Die folgende Grafik gibt einen sinnvollen Aufbau einer PM wieder...</p>

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