Mathematische Probleme lösen mit System

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    11-Jun-2015

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Der Aufsatz basiert auf der (aktuelleren und etwas umfangreicheren) Seite www.probleme-und-strategien.de.

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M ATH E M ATI S C H E P RO BL E M E LSEN MIT SYSTEM

WO Z U D I E S E R A RT I K E L ?

Warum lohnt es sich, diesen Aufsatz zu lesen? Weil hier Tipps stehen, die in der Ausbildung oft fehlen Wer im Studium, in der Oberstufe, in mathematischen Wettbewerben wie dem Bundeswettbewerb Mathematik (BWM) oder anderswo mathematische Probleme lsen soll, der bekommt nur selten Hinweise, wie das geht. Die Folge: Man hat weniger Spa am Problemlsen, braucht mehr Zeit dafr und bleibt zurck hinter dem, was man leisten knnte. Weil hier bewhrte Lsungstechniken vorgestellt werden Es gibt eine Reihe hervorragender Bcher zum Thema mathematische Heuristik - sie zeigen, mit welchen Techniken mathematische Probleme gelst werden knnen. Besonders gute Beispiele sind die klassischen Werke von George Polya und die Bcher von Paul Zeitz und Arthur Engel. (Die Titel stehen im Literaturverzeichnis). Viele dieser Lsungswerkzeuge werden in diesem Aufsatz vorgestellt. Weil hier moderne Arbeitstechniken eingesetzt werden Geschickte schriftliche Aufzeichnungen knnen beim Lsen mathematischer Probleme eine groe Hilfe sein. In diesem Aufsatz wird eine flexible und leistungsfhige Aufzeichnungsform beschrieben, die sich in vielen Bereichen bestens bewhrt hat: das Mind Mapping. Neben den einfachen Grundregeln des Mind Mapping wird vorgestellt, wie Mind Maps beim Problemlsen im Allgemeinen und beim mathematischen Problemlsen im Besonderen helfen knnen. Weil hier ein alltagstaugliches Gesamtverfahren beschrieben wird Lsungswerkzeuge und Mind Maps - es liegt nahe, diese beiden bewhrten Anstze zu verbinden. Hierfr gibt es eine Reihe von Mglichkeiten - zum Beispiel die Idee, zwei Arten von Mind Maps zu benutzen: In den sogenannten "Werkzeug- Maps" sammeln wir Lsungswerkzeuge und ordnen sie so an, dass wir fr typische Problemsituationen leicht ein Werkzeug finden, das uns weiterhilft. In der sogenannten "Problem-Map" machen wir whrend der eigentlichen Arbeit Aufzeichnungen zu dem gegebenen Problem. Bei der Suche nach ntzlichen Vorgehensweisen und Lsungsideen finden wir Anregungen in den Werkzeug-Maps. Weil der Nutzen enorm ist Vieles, was beim Lsen mathematischer Probleme hilft, lsst sich auf andere Probleme bertragen. Die Informationen in diesem Aufsatz sollen dazu anregen, die Fhigkeit zum Problemlsen ganz allgemein zu verbessern - und damit eine der wichtigsten und ntzlichsten Fhigkeiten berhaupt.

P RO B L E M L S E N : G RU N D I D E E N

Wir sitzen vor einem Matheproblem und einem leeren Blatt Papier - und haben keine Ahnung, was wir tun sollen. Hier kommt ein praktisches, alltagstaugliches Lsungsverfahren. Die Grundidee Probleme lst man am besten, indem man passende "Lsungswerkzeuge" benutzt. Hier kommen einige wenige Beispiele fr solche Werkzeuge: - Spezialflle betrachten, - eine Skizze anfertigen, - eine vollstndige Induktion durchfhren, - mit dem Ziel beginnen und rckwrts suchen, - Extremflle betrachten, - nach Symmetrien suchen, - den Satz des Pythagoras benutzen oder - eine Definition nachschlagen. All diese Werkzeuge knnen uns beim Lsen eines Problems weiterbringen. Die Menge solcher Werkzeuge ist natrlich riesig, und eine bloe Sammlung hilft nur wenig - wir brauchen eine Antwort auf die Zentrale Frage beim Problemlsen In welcher Problemsituation hilft welches Werkzeug? Diese Frage zerlegen wir in zwei Teilfragen: Teilfrage 1: Welche Problemsituationen sind wichtig? Probleme sind vielfltig, und wir knnen nicht fr jede denkbare Bearbeitungssituation ein eigenes, passendes Werkzeug bereit halten. Deshalb werden wir Problemsituationen geschickt klassifizieren. Beispiele sind die folgenden Klassifikationen: nach Problemphasen: - Orientierung zu Beginn der Bearbeitung, - Planung des Lsungswegs, - Durchfhrung der Lsung, - Rckschau nach den mathematischen Objekten, mit denen das Problem zu tun hat - Reihen, - Matrizen, - differenzierbare Funktionen oder nach typischen Schwierigkeiten, die beim Problemlsen auftauchen - keinen Anfang wissen, - feststecken, - den berblick verlieren... Teilfrage 2: Welche Werkzeuge helfen in den Problemsituationen aus Teilfrage 1? Eine solche Zuordnung "Problemsituationen - > Werkzeuge" ist ein grundlegender Teil unserer Lsungsmethode. Hier sind ein paar einfache Beispiele fr solche Zuordnungen: - Es empfiehlt es sich oft, zu Beginn der Bearbeitung eine Zeichnung anzufertigen. - Wenn die Ausgangsinformationen nicht viel hergeben, kann man versuchen, vom Ziel her rckwrts zu arbeiten. - Beim Umgang mit Folgen von Zahlen sind induktive Schlsse von einer Zahl auf ihre Nachbarn oft ntzlich.

Problemsituationen und Werkzeuge: Ordnung schaffen mit Mind Maps Diese Zuordnung "Problemsituationen ->Werkzeuge" soll nicht nur im Kopf stattfinden, sondern auch schriftlich erfasst werden - dann nmlich lassen sich Werkzeuge viel zuverlssiger und systematischer benutzen. Wir bentigen also eine Methode, um diese Zuordnung schriftlich darzustellen. Dafr besonders geeignet ist das Mind Mapping.

Mind Mapping: Wie funktioniert das? Beim Mind Mapping wird das Thema in die Mitte des Schreibblatts geschrieben, die Ideen werden hierarchisch um das Thema herum angeordnet und zeichnerisch dargestellt, sofern das sinnvoll ist. Hier kommt ein Beispiel. (Es war einfacher, eine Mind Map mit dem Computer zu erzeugen, als eine handschriftliche einzuscannen.)

Mind Maps: Flexibel und leistungsfhig Wir knnen nmlich Mind Maps auf zwei Arten benutzen: 1. Als "Werkzeug-Map" Hier ordnen wir den Problemsituationen Werkzeuge so zu, dass sich ein passendes Werkzeug leicht finden lsst. 2. Als "Problem-Map" In dieser Map bearbeiten wir das eigentliche Problem - wir sammeln und entwickeln Anstze, zerlegen das Problem in Teilprobleme, notieren spontane Ideen usw., und benutzen die Werkzeug-Maps, wenn wir Ideen zu neuen Lsungswerkzeuge brauchen. Dieser kombinierte Einsatz von Werkzeug- und Problem- Maps bekommt der Krze halber den Namen "WerkzeugMapping". So funktioniert Werkzeug-Mapping:

Das klingt umstndlich oder unntig kompliziert? Mag sein. Aber es gilt vor allem: Das Verfahren ist alltagstauglich, Werkzeug- Maps helfen beim systematischen Einsatz von Lsungswerkzeugen und Problem- Maps bringen Struktur in die Suche nach einer Lsung. Nach diesem berblick kommen wir jetzt zu den Einzelheiten. Wir beginnen mit der Frage: Wie funktioniert Mind Mapping?

MIND MAPPING: EIN SCHNELLKURS

Mind Maps: Wesentliche Eigenschaften In einer Mind Map werden die Ideen grafisch in einer Baumstruktur angeordnet. Dabei steht das Thema in der Mitte des Blattes. Die Ideen werden als Stichworte aufgeschrieben oder, besser noch, in Skizzen und Zeichnungen dargestellt. Zustzlich knnen Farben, Pfeile und Symbole benutzt werden.

Hier kommt ein Beispiel (wiederum computererzeugt und nicht handschriftlich.

Wer mindmappen will, der kann es probieren mit dem folgenden einfachen Rezept fr Mind Maps: Material: Man braucht ein unliniertes Blatt Papier, mglichst im Format DIN A4 oder grer, und Schreibstifte in verschiedenen Farben. Auch Textmarker sind ntzlich. Los geht's: Man benutzt das Papier im Querformat, schreibt das Thema der Mind Map in die Mitte des Blatts und zeichnet einen Rahmen darum. Das Thema kann in Worten oder durch eine kleine Zeichnung dargestellt werden. Ideen gliedern: ste und Zweige Man schreibt die ersten Lsungsanstze um dieses Thema herum auf und verbindet sie durch Linien mit dem Thema. Diese Ideen-ste kann man durch Ideen- Zweige und Ideen- Unterzweige verfeinern. Dadurch sortieren sich die Gedanken praktisch von selbst. Weitere Einflle kann man leicht an den passenden Stellen einfgen. Stichwrter benutzen: Man sollte Stichwrter oder mglichst knappe Formulierungen statt ganzer Stze verwenden. Dadurch vermeidet man berflssige Wrter und spart Platz und Zeit. Ein weiteres Argument fr Stichwrter: Assoziationen lassen sich leichter zu einzelnen Wrtern bilden als zu einem

ganzen Satz. (Die Mind Maps auf diesen Seiten sind entgegen diesem Ratschlag ziemlich wortreich - andernfalls wren sie fr Andere kaum verstndlich. Bei den eigenen Arbeitsaufzeichnungen spielt die Verstndlichkeit fr andere eine viel geringere Rolle.) Symbole benutzen: Man sollte mglichst oft Symbole und kleine Zeichnungen verwenden. Dadurch werden die Fhigkeiten des Gehirns zum Denken in Bildern ausgenutzt, die bei herkmmlichen Aufzeichnungen kaum eingesetzt werden knnen. Farben benutzen: Man sollte hier die eigenen Vorlieben herausfinden: Wird die Arbeit besser oder leichter, wenn man mehrere Farben benutzt? Oder ist das Hantieren mit mehreren Stiften blolstig? Die klassische Lehre empfiehlt aus guten Grnden, mehrere Farben zu verwenden: Sie gliedern die Mind Map und bringen zustzliche Informationen in die Mind Map. (Ich selbst mache fast ausschlielich einfarbige Mind Maps.) Weitere Ideen: Zahlen, Pfeile, etc. Die Ideen sind in der Mind Map hierarchisch angeordnet. Darber hinaus kann man die Gedanken gliedern, indem man sie nummeriert, Wichtiges durch Farben und Zeichnungen hervorhebt und Ideen durch Pfeile verbindet. Praktische Tipps: Wie man gut lesbare und bersichtliche Mind Maps produziert Man sollte herausfinden, was leichter fllt: Zunchst ein Wort oder eine Zeichnung an die passende Stelle schreiben und sie danach durch eine Linie verbinden oder umgekehrt. Man sollte Wrter wie blich waagerecht schreiben, aber nicht verdrehen oder senkrecht schreiben. Wer eine schlecht lesbare Handschrift hat, kann Druck- anstelle von Schreibschrift benutzen. Aufgepasst: TEXT AUS LAUTER GROSSBUCHSTABEN IST MEIST SCHLECHTER LESBAR als Text in gewhnlicher Schreibweise.

Wer hat's erfunden? Das Konzept der Mind Map wurde seit den 1970er Jahren entwickelt von dem Englnder Tony Buzan, der damals Herausgeber des Journals der Hochintelligenzler- Vereinigung "Mensa" war. Viele der Leitideen des Mind Mapping sind schon sehr alt; Buzans Verdienst besteht darin, diese Ideen zu einem leicht anwendbaren Gesamtkonzept verbunden zu haben. Funktioniert das? Die wichtige Frage lautet natrlich: Hilft mir das Mind Mapping? - eine Frage, die sich nur nach einigen eigenen Versuchen beantworten lsst. Wer diese Versuche frhzeitig aufgeben mchte, der knnte sich fragen, welche Motive ihn dazu drngen - und warum andererseits heute das Mind Mapping an fast allen Hochschulen eingesetzt wird. (Nach Informationen im Internet darunter die Universitten Oxford, Cambridge, Stanford, Yale und Harvard.)

E I N L S U N G S V E R FA H R E N

Wir wollen bei der Arbeit an einem mathematischen Problem zwei Mind Maps gleichzeitig benutzen: eine Problem-Map: Hier planen wir unser Vorgehen, sammeln Ideen, verfolgen Anstze, untersuchen systematisch Schwierigkeiten etc., und eine (oder mehrere) Werkzeug- Maps: Hier haben wir Lsungswerkzeuge gesammelt und so aufbereitet, dass wir mglichst leicht ein passendes finden. Diese Werkzeug-Maps bilden unseren "Werkzeug- Koffer", sie speichern unsere Erfahrungen aus frheren Problemen und knnen immer weiter verbessert werden.

Diese Maps werden wir jetzt genauer untersuchen. Wie knnen Problem-Maps beim Problemlsen helfen? In Problem-Maps knnen wir Ziele sammeln, ein vielsprechendes Ziel auswhlen und weiter verfolgen, Lsungsanstze sammeln, den meistversprechenden auswhlen und weiter verfolgen, ein Problem in Teilprobleme zerlegen, einen Plan fr das Vorgehen entwerfen, das Vorgehen kritisch untersuchen und anpassen, Schwierigkeiten ausfindig machen und nach Lsungen suchen usw.

Keine Sorge! Niemand will das Problemlsen in ein Korsett zwngen: Problem-Maps sollen beim Nachdenken helfen, und dabei spielt Intuition eine groe Rolle - zu viele Regeln sind hier blo schdlich. Wenn es der Lsung eines Problems dient, darf und soll natrlich jeder Ratschlag auf diesen Seiten verletzt werden. Aber gerade dann, wenn man in Schwierigkeiten steckt, ist es oft sehr ntzlich, systematischer zu arbeiten. Beim Lsen mathematischer Probleme in Mind Maps gibt es eine praktische Schwierigkeit: Immer wieder braucht man Tabellen, Termumformungen, Nebenrechnungen - all das passt nur schlecht ins klassische Layout einer Mind Map. Deshalb mein Vorschlag:

Ein Misch-Layout fr die Problem-Map

Bei dieser Aufteilung sammelt man Ideen in der Mind Map, Nebenrechnungen und Termumformungen werden in den Kstchen unter der Map ausgefhrt, einfache Ziffern verweisen von der Map auf die Kstchen. Die Mittellinie zwischen den Kstchen hilft beim Platzsparen und sorgt fr mehr bersichtlichkeit. (Die Idee zur Aufteilung in Kstchen stammt aus einem Aufsatz von Richard Rusczyk auf der Seite "www.artofproblemsolving.com".) Beispiele solcher Problem-Maps betrachten wir spter. Wie knnen Werkzeug-Maps beim Problemlsen helfen? Wir brauchen einen Weg, um in schwierigen Problemsituationen diejenigen Werkzeuge ausfindig zu machen, die uns weiterhelfen. Dazu gehen wir folgendermaen vor: 1. Wir klassifizieren Problemsituationen. 2. Wir ordnen diesen Problemsituationen ntzliche Werkzeuge zu. Wir wollen zunchst untersuchen, wie das grundstzlich aussehen knnte. Im nchsten Kapitel gibt es dann eine Sammlung von Werkzeug-Maps fr den praktischen Einsatz. Wie lassen sich Problemsituationen klassifizieren? Dies gelingt am einfachsten mit Hilfe von Dingen, die sich leicht feststellen lassen: In welcher Phase einer Problembearbeitung stecke ich gerade? Eine sinnvolle Aufteilung in Phasen sieht zum Beispiel so aus: - Orientieren, - Planen, - Durchfhren, - Rckblicken.

Diese Phasen folgen in der Praxis nicht streng aufeinander, aber es ist meist leicht festzustellen, in welcher Phase man sich gerade befindet. Jeder dieser Phasen kann man ntzliche Werkzeuge zuordnen. In welchen Schwierigkeiten stecke ich gerade? Die Schwierigkeiten, die beim Problemlsen auftauchen, sind oft sehr individuell. Beispiele fr derartige Schwierigkeiten knnten sein: Ziellosigkeit, Mangel an planvollem Vorgehen, Ungenauigkeit, Flchtigkeit, Mangel an Einfllen. Diesen Unzulnglichkeiten lassen sich wiederum Werkzeuge zuordnen. Mit welchem Teilgebiet der Mathematik und welchen mathematischen Objekten habe ich zu tun? Dieser Ansatz ist recht naheliegend: Man sammelt in einer Map Werkzeuge zum Umgang mit Polynomen, konvergierenden Reihen, stochastischen Prozessen usw. Es ist klar, dass dieser Ansatz im uersten auf die Kartographierung des gesamten mathematischen Wissens fhren wrde - wie sich entsprechende Werkzeug-Maps erstellen oder nutzen lieen, ist vllig unklar. In diesem Ansatz berhren sich Techniken des Problemlsens und die Frage nach der Aufbereitung mathematischen Wissens im Allgemeinen. Fr den praktischen Gebrauch sind allerdings schon kleinere Werkzeug- Maps mit den wichtigsten Werkzeugen sehr ntzlich. Worin besteht das Problem? Diese Frage soll folgendes bedeuten: Beim Problemlsen kann man eine ganze Reihe von abstrakteren Objekten unterscheiden, zum Beispiel Ziele, Lsungsanstze, Lsungsplne, Emotionen, die sich auf das Problemlsen beziehen, Reprsentationen: In welcher Form betrachten wir eigentlich das Problem - mittels Grafiken, durch Formeln, verbal...?...

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