Mathematische Modellierungthalheim/pdffiles/ConceptualModellin… · Mathematical Modelling SS 2012 B. Thalheim Overview Liga Route Wachstum Ausbreitung Verkehr I Uberbuchunng˜ Warmzeiten

Mathematische Modellierung

CAU@Kiel, Vorlesung SS 2012

WInf-BAppE: Selected Topics in Business Application Engineering (WInf-BAppE) (080001)

Part IV

SS 2012

Bernhard ThalheimDr. rer.nat.habil.

Prof. @ Christian Albrechts University at Kiel, GermanyDepartment of Computer Science

Information Systems Engineering Group(∗) Kolmogorov Professor h.c. @ Lomonossov University Moscov, Russia

1

MathematicalModellingSS 2012

B. Thalheim

Overview

Liga

Route

Wachstum

Ausbreitung

Verkehr I

Uberbuchunng

Warmzeiten

Verkehr II

Platzierung

Concept Topic

Content

Information

c©B. Thalheim

Mathematische

ModellierungVersion 11. Januar 2011

Zweck

Lösung realer

Fragestellungen mit

mathematischen

Mitteln (carrier)

Problemdefinition

mit Problemklasse

mit Definitionsrahmennach Polya

nach ß

Lösungsdefinition

mit Definitionsrahmen

mit Rückschlußrahmen

mit Qualitätscharakterisitik

Annahmen

implizite

generelle Gesetze

Dichotomy von Original und Modellim Rückschlußverfahren

durch Original vorgegeben

umfaßt

Funktion,

Aufgaben,

Bestimmung

Funktionen von Modellen

Analyse

KonstruktionEmbedded systems

Business systems

Kommunikationsfunktion

Prüfungsfunktion

Dokumentation

Klassifikation

mathematischer

Modelle

nach

Durchsichtigkeit

Black-box-Modelle

ohne Kenntnisder innerenWirkmechanismen

Bsp. Eutrophierung von Gewässern

hinreichende genaue Reproduktion des Verhaltens

Systemidentifikation anhand von Meßdaten

Training des Modelles

White-box- Modelle mit Kenntnis der inneren Wirkmechanismen

Grey-box-Modelle

mit partieller Kenntnisbzw. mittelbarenParametern

Spielwiese desModellierers

Erklärungsansätze,-konzepte Ökonomie der Nutzung

nach

eingesetzer

Mathematik

statische oder dynamische Modelle Abstraktion vom Zeitaspekt

deterministische versus stochastische durch Zufall bestimmt

kontinuierliche versus diskreteDiskretisierung mit Vergröberung oder Abtastung

kontinuierlich zur Vereinfachung

mikroskopische versus makroskopische

approximative versus exakte Modelle mit Fehlermodell

nach

Problemkreisen

Planungsprobleme

Erklärung phänomenologischer Zusammenhänge

Separationin gute und schlechte Lösungen Optimierungsprobleme

...

Wechselwirkungsmodelle

nach Grad der

Detailisierung

Mikro(skopische) Modelle

Makro(skopische) Modelle

Mikro-Makro-Link der hierarchischen Modell-Suiten

Kriterien

Zulässigkeit

Kriteriumlogisch ohne Widersprüche

auf eindeutige Art formuliert

Richtigkeit

Validierung

an Erfahrungen überprüfen

Kriterium kein Widerspruch zu Tatsachen

Zweckmäßigkeit

Ökonomie keine weiteren überflüssigen Bestandteile

Bewertung eines Modelles

Annahmen

Datenwoher

wie repräsentativ

vernachlässigte Strukturen

Wirkungsmechanismus

Adäquatheit

Ähnlichkeit: Original Modell

Regelhaftigkeit: exakte Gebrauchsregeln

Fruchbarkeit: möglichst viele generelle Aussagen

Einfachheit: so einfach wie möglich

daraus resultierende Einsatzverbote

Modellierungs-

prozeß,

-kreislauf

was ist

die Kunst

der math.

Modellierung

Modellierungs-rezepte

Modellierungs-kreislauf

Bildung: reales Problem -> mathematisches

Analyse, Simulation: mathProbl -> mathLösung

Interpretation: mathLösung -> reale Lösung

Überprüfung: reale Lösung -> reales Problem

andere Modellierungsabläufe

Modellierungsinstrumente

I. Modell-

entwicklung

präzise Bestimmung desrealen Problems

wesentlich

Ziele

Annahmen zur Vereinfachung der Problemstellung

(vereinfachende) Modellannahmen, resultierende Modellgrenzen

Zulässigkeitskriterien, Gütekriterien, Nebenbedingungen

Gesetzmäßigkeitenbestimmende

Substanzwissenschaft

Übertragung aus anderen Modellen

benötigte, überflüssige Informationen

Modellvariablen, -parameter, Entdimensionalisierung

eindeutige Formulierung des mathematischen Problemes

Ableitung der Zielparameter anhand des Modellzweckes mit Bewertung der Umsetzbarkeit

Metaentwicklung

Einfachheit

Bewußtheit des eigenen Vorgehens

explizites Fehlermodell

Randbedingungen, Annahmen, Reduktion der Modelle auf essentielle Elemente, Grenzen

II. Analyse

und Simulation

reales Problem als Leitfaden

analytische Lösungen und qualitatives Verhalten

Spezialfälle, Vereinfachungen, Modellreduktion

Computersimulation und Parameterstudien

III. Interpretation

und Validierung

des Modelles

Redimensionalisierung

Interpretierbarkeit von Ergebnissen

Visualisierung der Ergebnisse

Vergleich mit Beobachtungsdaten und Experimenten

Glättung, Abstraktion von Lösungen

Modellierungs-

pattern

Funktionen

1. Erkenntnis: neue Informationen über das Original

2. Erklärung, Demonstration: z.B. Lernen

3. Indikation: am Modell Eigenschaften sichtbar, meßbar

4. Variation und Optimierung: quantitative Optimierung des Originals

5. Verifikation: vorhandene Konstruktion oder Hypothese überprüft

6. Steuerung: Anleitung zum Handeln, Führungsgröße

7. Projektierung, Konstruktion: zweckmäßige, rationelle, realisierbare Variante

8. Ersatzfunktion: anstelle des Originals

BeispielMathematischeModellierung mitGleichungen etc.

1. Darstellung des realen Problemes (ggf. mit mathematischen Mitteln)

2. Formulierung des mathematischen Modells

3. Analyse des mathematischen Modelles (Vereinfachungen, qualitatives Lösungsverhalten)

4. Lösung des Modells (analytisch, numerisch, ...)

5. Interpretation der Ergebnisse und Vergleich mit dem Ausgangsproblem

6. evt. Verfeinerung des Modells

Separationvon überlagerten Modellen

wesentliche, unwesentliche, treibende, ..., konstante Parameter

Kompositionaus Einzelmodellen

nach Wechselwirkungs-, Integrations-, Austauschmodell

Nebenbedingungen

DatenSchätzungen, Zählungen, Prognose

Granularität, Präzision

Kontext

systematische, systemische, zufällige Fehler

Quellen

vorläufige Version: Abgleich mit speziellen Modellen der Gruppen B, C, D, E nach 2. Runde

ModellierungMathematik.mmap - 03.05.2011 - Bernhard Thalheim

Achtung: Version 2011 ( 6= Version 2012)

2


B. Thalheim

Overview

Liga

Route

Wachstum

Ausbreitung

Verkehr I

Uberbuchunng

Warmzeiten

Verkehr II

Platzierung

Concept Topic

Content

Information

c©B. Thalheim

Zweck: Losung realer Fragestellungen mitmathematischen Mitteln (carrier)

• Problemdefinition

mit Problemklasse mit Definitionsrahmen

• Losungsdefinition

mit Definitionsrahmen

mit Ruckschlußrahmen

mit Qualitatscharakterisitik

• Annahmen

implizite z.B. generelle Gesetze

Dichotomy von Original und Modellim Ruckschlußverfahren

durch Original vorgegebenZweck & Ziel durch Anwendung determiniert

3


B. Thalheim

Overview

Liga

Route

Wachstum

Ausbreitung

Verkehr I

Uberbuchunng

Warmzeiten

Verkehr II

Platzierung

Concept Topic

Content

Information

c©B. Thalheim

Funktion, Aufgaben, Gebrauch aus Zweckheraus

Gebrauchsspiel (Funktionen) von Modellen (analog zu den Funktionen der Sprache)

• Analyse Domanenmodellierung (Probleme, Losung, Prozesse, Strukturen), Embedded,

Business, Risikobeurteilung

• Konstruktion von Systemen business: datenintensiv embedded: berechnungsintensiv

• Kommunikationsfunktion siehe auch Searle und Hausser zur Pragmatik der Sprachbenutzung,

multiple stakeholder Modelle zur Kommunikation

• Ziel: Werbung; Aufwandseinschatzung (Budget/Ressourcen); Entwicklungsvorbereitung; Entwurfsentschei-

dung; Koordination in der Entwicklung; Wissensweitergabe und Bewahrung ...• Eigenschaften: je nach Zweck und Ziel; Veranschaulichung; Durchgangigkeit; einheitliche Begriffswelt

(Glossar); Einfachheit (bzgl. Partner)(Freihandtauglichkeit; spontan erstellbar, wenige Symbole, wenige

Konzepte); beispielhaft; Prazision; Angemessenheit; Asthetik; secondary notation (Layout, Graphische Mu-

ster (Farbcodierung))• Eigene Rolle: Dolmetscher, Botschafter• Partnerrolle: Nutzer, Betreiber; Experten; Entwickelr; Zulieferer; Management (Auftragnehmer, -geber);

Support• Modelltypen: fur Prozesse; fur Objekte und Verhalten; fur Architekturen; preskriptiv und deskriptiv

• ...

4


B. Thalheim

Overview

Liga

Route

Wachstum

Ausbreitung

Verkehr I

Uberbuchunng

Warmzeiten

Verkehr II

Platzierung

Concept Topic

Content

Information

c©B. Thalheim

Funktion, Aufgaben, Gebrauch aus Zweckheraus

Gebrauchsspiel (Funktionen) von Modellen (analog zu den Funktionen der Sprache)

• ...

• Prufungsfunktion Verifikation, Implementierung; Reasoning functions; Entscheidung machen, begrunden;

Vollstandigkeit; Relevanz; weitere Qualitatskriterien; Hermangoras von Temnos;

• Dokumentation z.B. von Entwurfsentscheidungen - alternative, verwendete und abgelehnte Konzepte, Vari-

anten, zugrundegelegte Modelle, Paradigmen, Referenzentscheidungen, Referenzmodelle, Dokumentation des

modelling gaps

Ein Problem ist gut, wenn uns seine Losung zu neuen Einsichten, Methoden oder gar einer neuen Theorie fuhrt.

Matousek und Nesetril

5


B. Thalheim

Overview

Liga

Route

Wachstum

Ausbreitung

Verkehr I

Uberbuchunng

Warmzeiten

Verkehr II

Platzierung

Concept Topic

Content

Information

c©B. Thalheim

Klassifikation mathematischer Modelle

nach Durchsichtigkeit

• Black-box- Modelle: ohne Kenntnis der inneren Wirkmechanismen; hinrei-

chende genaue Reproduktion des Verhaltens; Systemidentifikation anhand

von Meßdaten; Training des Modelles

• White-box- Modelle mit Kenntnis der inneren Wirkmechanismen

• Grey-box-Modelle mit partieller Kenntnis bzw. mittelbaren Parametern;

Spielwiese des Modellierers; Erklarungsansatze, -konzepte; Okonomie der

Nutzung

nach eingesetzter Mathematik

• statische oder dynamische Modelle: Abstraktion vom Zeitaspekt

• deterministische versus stochastische: durch Zufall bestimmt

• kontinuierliche versus diskrete: Diskretisierung mit Vergroberung oder Ab-

tastung kontinuierlich zur Vereinfachung

• mikroskopische versus makroskopische

• approximative versus exakte Modelle mit Fehlermodell

..

6


B. Thalheim

Overview

Liga

Route

Wachstum

Ausbreitung

Verkehr I

Uberbuchunng

Warmzeiten

Verkehr II

Platzierung

Concept Topic

Content

Information

c©B. Thalheim

Klassifikation mathematischer Modelle

...

nach Problemkreisen

• Planungsprobleme

• Erklarung phanomenologischer Zusammenhange

• Separation in gute und schlechte Losungen z.B. Optimierungsprobleme

• ...

• Wechselwirkungsmodelle

nach Grad der Detailisierung

• Mikro(skopische) Modelle

• Makro(skopische) Modelle

• Mikro-Makro-Link der hierarchischen Modell-Suiten

7


B. Thalheim

Overview

Liga

Route

Wachstum

Ausbreitung

Verkehr I

Uberbuchunng

Warmzeiten

Verkehr II

Platzierung

Concept Topic

Content

Information

c©B. Thalheim

Kriterien fur die mathematischeModellierung

(1) Zulassigkeit (Kriterium: logisch ohne Widerspruche, auf eindeutige

Art formuliert)

(2) Richtigkeit

Validierung: an Erfahrungen uberprufen (Kriterium: kein Wider-

spruch zu Tatsachen)

(3) Zweckmaßigkeit z.B. Okonomie ( keine weiteren uberflußigen Be-

standteile)

(4) Bewertung eines Modelles: Annahmen; Daten (woher, wie re-

prasentativ); vernachlassigte Strukturen; Wirkungsmechanismus

(5) Adaquatheit: Ahnlichkeit (Original Modell) Regelhaftigkeit (exak-

te Gebrauchsregeln); Fruchtbarkeit (moglichst viele generelle Aus-

sagen); Einfachheit (so einfach wie moglich); daraus resultierende

Einsatzverbote

8


B. Thalheim

Overview

Liga

Route

Wachstum

Ausbreitung

Verkehr I

Uberbuchunng

Warmzeiten

Verkehr II

Platzierung

Concept Topic

Content

Information

c©B. Thalheim

Kunst der math. ModellierungModellierungsrezepte

Modellierungskreislauf

(1) Bildung: reales Problem y mathematisches Problem

(2) Analyse, Simulation: math. Probl y math. Losung

(3) Interpretation: math. Losung y reale Losung

(4) Uberprufung: reale Losung y reales Problem

andere Modellierungsablaufe auch moglich, aber selten anders

Ausnahme: Systemtheorie, Steuerungssysteme¨§

¥¦Mit entsprechenden Modellierungsinstrumenten!!!

9


B. Thalheim

Overview

Liga

Route

Wachstum

Ausbreitung

Verkehr I

Uberbuchunng

Warmzeiten

Verkehr II

Platzierung

Concept Topic

Content

Information

c©B. Thalheim

Modellierungsprozeß, -kreislauf,-gebrauchsspiel

Modellentwicklung: prazise Bestimmung des realen Problems; wesentliche; Zie-

le

Annahmen zur Vereinfachung der Problemstellung, (vereinfachende) Modell-

annahmen, resultierende Modellgrenzen; Zulassigkeitskriterien, Gutekriterien,

Nebenbedingungen

Gesetzmaßigkeiten: bestimmende Substanzwissenschaft

Ubertragung aus anderen Modellen

benotigte, uberflussige Informationen

Modellvariable, -parameter, Entdimensionalisierung

eindeutige Formulierung des mathematischen Problems

Ableitung der Zielparameter anhand des Modellzweckes mit Bewertung der

Umsetzbarkeit

Metaentwicklung: Einfachheit; Bewußtheit des eigenen Vorgehens; explizites

Fehlermodell; Randbedingungen, Annahmen, Reduktion der Modelle auf es-

sentielle Elemente, Grenzen

..

10


B. Thalheim

Overview

Liga

Route

Wachstum

Ausbreitung

Verkehr I

Uberbuchunng

Warmzeiten

Verkehr II

Platzierung

Concept Topic

Content

Information

c©B. Thalheim

Modellierungsprozeß, -kreislauf,-gebrauchsspiel

...

II. Analyse und Simulationreales Problem als Leitfaden

analytische Losungen und qualitatives Verhalten

Spezialfalle, Vereinfachungen, Modellreduktion

Computersimulation und Parameterstudien

III. Interpretation und Validierung des ModellesRedimensionalisierung

Interpretierbarkeit von Ergebnissen

Visualisierung der Ergebnisse

Vergleich mit Beobachtungsdaten und Experimenten

Glattung, Abstraktion von Losungen

11


B. Thalheim

Overview

Liga

Route

Wachstum

Ausbreitung

Verkehr I

Uberbuchunng

Warmzeiten

Verkehr II

Platzierung

Concept Topic

Content

Information

c©B. Thalheim

Mathematical Problem Solving Cycle

ResultsApplying results

- ¾

¾

Model validation

Computer model

Modelverification

Model checking

?

Formalmodel

Programming

?

Empiricaldata

Data spaceformation /formalisation

-

Conceptionalmodel

Formalisation/Algorithmisation(generalising abstraction)?

Real-life system

Problem and goal formulation

Structure and function analysisSystem definition

(isolating abstraction)?

?

?

12


B. Thalheim

Overview

Liga

Route

Wachstum

Ausbreitung

Verkehr I

Uberbuchunng

Warmzeiten

Verkehr II

Platzierung

Concept Topic

Content

Information

c©B. Thalheim

Vergleiche mit Prozeßmodell desKnowledge Discovery

Fokussieren: Beschaffung der Daten; Sauberung von

Inkonsistenzen und Rauschen; Verwaltung (Fi-

le/DB); Selektion relevanter Daten

Vorverarbeitung: Integration von Daten aus un-

terschiedlichen Quellen; Vervollstandigung; Konsi-

stenzprufung

Transformation: Diskretisierung numerischer Merk-

male; Ableitung neuer Merkmale; Selektion rele-

vanter Merkmale

Data Mining: Generierung der Muster bzw. Modelle

Evaluation: Bewertung der Interessantheit durch den

Benutzer; Validierung: Statistische Prufung der

Modelle

Informationsvisualisierung in unterschiedlichen

Prasentationsformaten je nach Rezeptionsmuster

13


B. Thalheim

Overview

Liga

Route

Wachstum

Ausbreitung

Verkehr I

Uberbuchunng

Warmzeiten

Verkehr II

Platzierung

Concept Topic

Content

Information

c©B. Thalheim

Kombination zu einem allgemeinerenVerfahren

Applicationdomain

understanding -

¾Founding concepts,

meta-model,purpose & goal

?

Model suitedevelopment

?

6

Problem solvingproblem through

mathematics

¾Transformingsolutions

& evaluation

6

*

Deploymentwithin theapplication

-

?¾

6

Application

model

evolution

cycle

14


B. Thalheim

Overview

Liga

Route

Wachstum

Ausbreitung

Verkehr I

Uberbuchunng

Warmzeiten

Verkehr II

Platzierung

Concept Topic

Content

Information

c©B. Thalheim

Modellierungspattern

Funktionen des Modells im Gebrauchsspiel

(1) Erkenntnis: neue Informationen uber das Original

(2) Erklarung, Demonstration: z.B. Lernen

(3) Indikation: am Modell Eigenschaften sichtbar, meßbar

(4) Variation und Optimierung: quantitative Optimierung des Originals

(5) Verifikation: vorhandene Konstruktion oder Hypothese uberpruft

(6) Steuerung: Anleitung zum Handeln, Fuhrungsgroße

(7) Projektierung, Konstruktion: zweckmaßige, rationelle, realisierbare Variante

(8) Ersatzfunktion: anstelle des Originals

Beispiel Mathematische Modellierung mit Gleichungen etc.

(1) Darstellung des realen Problemes (ggf. mit mathematischen Mitteln)

(2) Formulierung des mathematischen Modells

(3) Analyse des mathematischen Modelles (Vereinfachungen, qualitatives Losungsverhalten)

(4) Losung des Modells (analytisch, numerisch, ...)

(5) Interpretation der Ergebnisse und Vergleich mit dem Ausgangsproblem

(6) evt. Verfeinerung des Modells

...

15


B. Thalheim

Overview

Liga

Route

Wachstum

Ausbreitung

Verkehr I

Uberbuchunng

Warmzeiten

Verkehr II

Platzierung

Concept Topic

Content

Information

c©B. Thalheim

Modellierungspattern..

Separation von uberlagerten Modellen

wesentliche, unwesentliche, treibende, ..., konstante Parameter

Komposition aus Einzelmodellen nach Wechselwirkungs-, Integrations-, Austauschmodell

NebenbedingungenDaten: Schatzungen, Zahlungen, Prognose, Granularitat, Prazision

Kontext

systematische, systemische, zufallige Fehler

16


B. Thalheim

Overview

Liga

Route

Wachstum

Ausbreitung

Verkehr I

Uberbuchunng

Warmzeiten

Verkehr II

Platzierung

Concept Topic

Content

Information

c©B. Thalheim

Diversity of Variables used for Modelling¨§

¥¦e.g., static, deterministic, discrete, complex, intertwined

• Kind of system and its equations

• Predictability of behaviour

• Value domain

• Complexity of model

• Correlation within model

static dynamic

Evolution of the system

deterministic stochastic

Behaviour of variables

discrete continuous

Values for variables

one-dimensional complex, many-dimensional

Dimension of variables

independent correlated

Dependence among variables

17


B. Thalheim

Overview

Liga

Route

Wachstum

Ausbreitung

Verkehr I

Uberbuchunng

Warmzeiten

Verkehr II

Platzierung

Concept Topic

Content

Information

c©B. Thalheim

Mathematical Models of Systemsproblem-oriented mathematical

description of the coherence and correlation

of states at input, control and output

of a system or process

with its input values, parameters,

and initial conditions and states

Z, z0, p

Input vectorx

Control flow vectoru

-Output vector

y -

Model formulationM : Φ(X, Z, Y, U, z0, p) ?

Z State vectorz0 Initial state

p Parameter vectorΦ Coherence equation

?Abstraction

Real object suite withmanifold of- elements- properties

- inner and outerefficacious correlation

-Environment Environment

-

18


B. Thalheim

Overview

Liga

Route

Wachstum

Ausbreitung

Verkehr I

Uberbuchunng

Warmzeiten

Verkehr II

Platzierung

Concept Topic

Content

Information

c©B. Thalheim

Klassen mathematischer ModelleUnterscheidung nach

• Determiertheit

(deterministische oder stochastische)

• Zeitbezug

(dynamische oder statische)

• Wertetyp

(stetige oder diskrete)

Problemstellung

=⇒problembezogene mathematische Beschreibung

2 Phasen:

• Modellentwicklung (analytische, algorithmische, ...)

• Modellanalyse (je nach Losung analytisch, durch Simulation, ...)

19


B. Thalheim

Overview

Liga

Route

Wachstum

Ausbreitung

Verkehr I

Uberbuchunng

Warmzeiten

Verkehr II

Platzierung

Concept Topic

Content

Information

c©B. Thalheim

Verfahrensklassen der Modellauswertung

Analytische Modelle: funktionale Beschreibungen des Originals

durch Gleichungen (algebraische, Differential-, Integral-)

Transformation in algorithmische Modelle oder

analytische Losung (geschlossen oder approximativ)

Bestimmen allgemeingultiger Losungsformeln

Algorithmische Modelle: operationale Beschreibungen von Pro-

zessen (ablauforientierte Modelle)

erhalten direkt oder aus Transformation analytischer Modelle (ge-

ordnete Dgl., algorithmische Prozeßbeschreibung)

Losung durch Simulationsverfahren

rechnerische (numerische oder numerisch-statische) Nachbildung

des Prozesses (ausgehend von Anfangszustand)

20


B. Thalheim

Overview

Liga

Route

Wachstum

Ausbreitung

Verkehr I

Uberbuchunng

Warmzeiten

Verkehr II

Platzierung

Concept Topic

Content

Information

c©B. Thalheim

Modellierung und Simulationhochgradig komplexe Anwendungen erfordern Methoden, mit denen

die vielfaltigen Wechselwirkungen im Zusammenhang erfaßt werden

konnen

mathematische Modelle + computerunterstutzte Analyse

Modelle sind notwendig, da Experimente am Originalsystem

• zu teuer (z.B. Storung des laufenden Betriebs),

• nicht moglich (z.B. humanitare Grunde) oder

• zu langwierig (z.B. langsam ablaufende Prrozesse) sind.

Original-system

Ersatz-system

(Modell)

ModelliererExperimentator

ExperimenteValidierung

(Modellierung)

Abbildung-

I µ

ª

21


B. Thalheim

Overview

Liga

Route

Wachstum

Ausbreitung

Verkehr I

Uberbuchunng

Warmzeiten

Verkehr II

Platzierung

Concept Topic

Content

Information

c©B. Thalheim

Modellierung und Simulation

• Auswahl und Entwicklung eines Modells

• Manipulation und Analyse des Modellverhaltens

• Ubertragung der Erkenntnisse auf das Originalsystem

Modelle:

• Physische Modelle

• Biologische Modelle (Tierversuch,...)

• Technische Modelle (Windkanal,...)

• Formale Modelle

• Graphische Modelle (technische Zeichnung,...)

• Mathematische Modelle

• ...

22


B. Thalheim

Overview

Liga

Route

Wachstum

Ausbreitung

Verkehr I

Uberbuchunng

Warmzeiten

Verkehr II

Platzierung

Concept Topic

Content

Information

c©B. Thalheim

Statische Modelle: Erstellung vonLigaplanen

23


B. Thalheim

Overview

Liga

Route

Wachstum

Ausbreitung

Verkehr I

Uberbuchunng

Warmzeiten

Verkehr II

Platzierung

Concept Topic

Content

Information

c©B. Thalheim

Statische Modelle: Routenplanung:Gegenstand

Struktur, Funktion: (gewichteter) Graph G = (V,E) fur Stadtplan

Funktion: Algorithmus zur Losung

Ziel, Zweck, Gebrauch: Finden eines “optimalen” Planes entweder

fur Besuch aller Knoten, aller Kanten oder fur Weg-Ziel

Community of Practice: Postulierer, Mathematiker, Anwender fur

Resultat

24


B. Thalheim

Overview

Liga

Route

Wachstum

Ausbreitung

Verkehr I

Uberbuchunng

Warmzeiten

Verkehr II

Platzierung

Concept Topic

Content

Information

c©B. Thalheim

Statische Modelle: Routenplanung:Algorithmen fur Wegeplanung

• Dijkstra Algorithmus: Vom Startpunkt aus werden die Alternativen schrittweise

durchgerechnet, also vom Punkt S zum Punkt a und b. Dann von a und b zu allen

nachstmoglichen Zielen, hier c und d. Falls man einen Punkt durch mehrere Wege

erreicht, wird der kurzere gewahlt. Dieser Vorgang wird wiederholt, bis S in Z liegt.

Die Route und die Distanz werden berechnet.

Dieses Verfahren kann nur auf Graphen mit ausschließlich positiven

Bogengewichten angewandt werden.

sehr gut geeignet fur Bordcomputer oder andere Navigationssysteme

• Kruskal-Algorithmus: Erstellung eines Spannbaumes

hilfreich fur die Planung von Netzwerken aller Art uber großere Entfernungen

25


B. Thalheim

Overview

Liga

Route

Wachstum

Ausbreitung

Verkehr I

Uberbuchunng

Warmzeiten

Verkehr II

Platzierung

Concept Topic

Content

Information

c©B. Thalheim

Statische Modelle: Routenplanung:Algorithmen fur Wegeplanung

Travelling Salesman with 15112 node (current record)

26


B. Thalheim

Overview

Liga

Route

Wachstum

Ausbreitung

Verkehr I

Uberbuchunng

Warmzeiten

Verkehr II

Platzierung

Concept Topic

Content

Information

c©B. Thalheim

Central Property: Invariance of Purpose¨§

¥¦Deep Understanding of the Purpose

application origin model 1 model 2

application do-

main with problem

city Konigsberg

with bridges

rough topographical model with

nodes (area) and edges (bridges)

graph with degree

of incidence

application do-

main with problem

city Konigsberg

with bridges

rough topographical model with

nodes (area) and edges (bridges)

QPPPPPPR tree scan-

ning /

c©B. Mahr

¨

§

¥

¦Model 2A: an Euler path exists iff card({n | degree(n) is odd}) ≤ 2

27


B. Thalheim

Overview

Liga

Route

Wachstum

Ausbreitung

Verkehr I

Uberbuchunng

Warmzeiten

Verkehr II

Platzierung

Concept Topic

Content

Information

c©B. Thalheim

Konigsberg Bridge Problem: Model 2B

B... C... D...

A B≈C

B/

D

C

C/ B/

D

A

D/

C B/

A

D/

B/

A

C

D

B

A/ D/

B

A

B/

A D/

B

D

C

B/ C/

A

B

A/

B

A

C

D

A

C/

D/

B/ C/

A

B

A

B/

B/ D/

A

C D/

A

B

D

C

A... B... C...

D

all

¨§

¥¦And what about the general case? Write a program and verify!!!

28


B. Thalheim

Overview

Liga

Route

Wachstum

Ausbreitung

Verkehr I

Uberbuchunng

Warmzeiten

Verkehr II

Platzierung

Concept Topic

Content

Information

c©B. Thalheim

Routenplanung: Algorithmus furEulergraphen, -wege

Satz von Euler: Fur jeden bis auf isolierte Knoten zusammenhangenden Graphen G = (V,E) gilt:

(a) Es existiert genau dann ein Eulerweg in G, wenn hochstens zwei Knoten in V ungeraden Grad besitzen.

(b) Es existiert genau dann ein Eulerkreis in G, wenn alle Knoten in V geraden Grad haben.

Die Punkte mit ungerader Gradzahl mussen also ofters besucht werden. Dazu muß die Tour Sonderfahrten machen, also manche

Kanten ofters abfahren. Es ergeben sich z.B. Sonderfahrten (rot).

29


B. Thalheim

Overview

Liga

Route

Wachstum

Ausbreitung

Verkehr I

Uberbuchunng

Warmzeiten

Verkehr II

Platzierung

Concept Topic

Content

Information

c©B. Thalheim

Routenplanung: Eulerweg-ErzwingungAlgorithmus zum Chinesischen-Postboten-Problem

Input: Gewichteter Graph G = (V,E)

Output: Geschlossener Weg minimaler Lange, der jede Kante von G enthalt

1. Bestimme die Menge V’ der Knoten ungeraden Grads in G

2. Bestimme die Lange der kurzesten Wege zwischen je zwei Knoten aus V

3. Bestimme ein bezuglich dieser Abstande optimales Matching M

im vollstandigen Graphen G’ auf den Knoten in V’

4. Konstruiere aus G und den zu den Kanten des Matchings M

gehorenden Wegen von G den Multigraphen G”

5. Bestimme einen Eulerkreis in G

30


B. Thalheim

Overview

Liga

Route

Wachstum

Ausbreitung

Verkehr I

Uberbuchunng

Warmzeiten

Verkehr II

Platzierung

Concept Topic

Content

Information

c©B. Thalheim

Routenplanung: Algorithmus furEulergraphen, -wege

Zwiebelschalen-Algorithmus: schalt den Graphen Schicht um Schicht

(1) Wahle einen beliebigen Knoten als Startknoten. Markiere ihn.

(2) Gehe entlang einer Kante zum nachsten Knoten. Markiere die besuchten Kan-

ten und Knoten. Wiederhole dies solange, bis du wieder am Startknoten an-

kommst.

(3) Gehe nun entlang dem eben konstruierten Kreis, bis du einen Knoten triffst, in

den noch unmarkierte Kanten munden. Nimm diesen Knoten als neuen Start-

knoten und wiederhole 2. und 3. Gibt es in dem eben konstruierten Kreis keinen

Knoten mit noch unmarkierten Kanten, so gehe zur¨uck in den vorherigen Kreis

und wiederhole 3.

Pragmatismus: Nimm fur jede Wiederholung von 2. und 3. eine neue Farbe.

Sackgassen konnen wegabstrahiert werden.

31


B. Thalheim

Overview

Liga

Route

Wachstum

Ausbreitung

Verkehr I

Uberbuchunng

Warmzeiten

Verkehr II

Platzierung

Concept Topic

Content

Information

c©B. Thalheim

Routenplanung: EulergraphenFleurys AlgorithmusBrucke: Kante in einem Graphen, bei deren Wegnahme der Graph in zwei Komponenten

zerfallen wurde.

1. Schritt: beginne mit beliebiger Kante.

2. Schritt: wahle nachste Kante so, daß sie im Restgraphen keine Brucke bildet.

Hauschen erweitert Kreis 1Kreis 2

R

soweit so gut

R

verbotene Brucke erlaubt: 1

ª

erlaubt: 2

32


B. Thalheim

Overview

Liga

Route

Wachstum

Ausbreitung

Verkehr I

Uberbuchunng

Warmzeiten

Verkehr II

Platzierung

Concept Topic

Content

Information

c©B. Thalheim

Routenplanungsmodell: HintergrundSatz: In jedem Graphen ist die Anzahl der Knoten mit ungeradem Grad gerade.

Satz: Die Summe aller Knotengrade eines Graphen = doppelte Anzahl der Kanten,

(da jede Kante die Summe aller Knotengrade genau um 2 erhoht (Anfangs- und

Endknoten))

³ Aus jedem Graph laßt sich Eulergraph entwickeln.

Abstraktionstheorie: wovon wird abstrahiert, welche Bestandteile des Originals

determinieren nicht die Problemstellung, was ist Strukturhomomophie, es wird

keine Verhaltens homomorpie benotigt, Begradigungen ohne Auswirkung, ...

Resultierende Aussagen uber Invarianz: Original - Problem - Losung

Problemlosung verandert nicht Realitat (keine second-order cybernetics)

33


B. Thalheim

Overview

Liga

Route

Wachstum

Ausbreitung

Verkehr I

Uberbuchunng

Warmzeiten

Verkehr II

Platzierung

Concept Topic

Content

Information

c©B. Thalheim

Routenplanungsmodell: Bewertung(1) Zulassigkeit (Kriterium: logisch ohne Widerspruche, auf eindeutige Art formuliert)

Entfernungen, Optimalitat, themengebundene Wanderungen

(2) Richtigkeit

Validierung: an Erfahrungen uberprufen (Kriterium: kein Widerspruch zu Tatsachen)

Sackgassen, Wendehammer, Reduktion

(3) Zweckmaßigkeit z.B. Okonomie (keine weiteren uberflußigen Bestandteile)

Einbahnstraßen und -einmundungen, T-Einmundungen in hoher Anzahl

(4) Bewertung eines Modelles: Annahmen; Daten (woher, wie reprasentativ); vernachlassigte Strukturen; Wir-

kungsmechanismus

Postboten-Problem? analog zu Zweiseitenbedienung, Einbahnstraßen, Durch-fahrtzeiten, Bearbeitungszeit, Mittelstreifen, Schatzung

(5) Adaquatheit: Ahnlichkeit (Original Modell) Regelhaftigkeit (exakte Gebrauchsregeln); Fruchtbarkeit

(moglichst viele generelle Aussagen); Einfachheit (so einfach wie moglich); daraus resultierende Einsatz-

verbote

Eindeutigkeit, Minimalitat der Erweiterung bei Ungeradheit, Nebenbedingun-gen (Reihenfolge der Entsorgung)

34


B. Thalheim

Overview

Liga

Route

Wachstum

Ausbreitung

Verkehr I

Uberbuchunng

Warmzeiten

Verkehr II

Platzierung

Concept Topic

Content

Information

c©B. Thalheim

Routenplanungsmodelle: SWOT

Strengths: leichte Abbildbarkeit, Verstandlichkeit, wenige Begriffe, Begriffe aus

der Anschauung oder Handeln, Anwendungsbezug, Modularitat, Anpassung an

Fokus und Modellniveau, Experimentieren, Abstraktion von Geometrie, Beibe-

haltung der Topologie

Weaknesses: Ubervereinfachung, viele Sonderfalle, Induktion ohne Kontext, Op-

timalitat, Abbild der Realitat, Algorithmik ggf. undurchsichtig, keine Algebra

Opportunities: relativ einfache Losung

Threats: Nebenbedingungen, NP, Argumentieren, Beweisduftigkeit, Froschper-

spektive und Lochblende (Behebung: Knopfgraph), siehe auch Kritik Petri-

Netze, Zooming und Abstraktion, Erweiterungen resultieren oft in kombinato-

rischer Explosion

35


B. Thalheim

Overview

Liga

Route

Wachstum

Ausbreitung

Verkehr I

Uberbuchunng

Warmzeiten

Verkehr II

Platzierung

Concept Topic

Content

Information

c©B. Thalheim

Routenplanung: Ubertragbarkeit

andere Anwendungsprobleme: Raumbesuch (Visite), symmetri-

sche Routen

andere Kontexte: Hintergrund, Kultur, CoP, empirischer Hinter-

grund, Gesetzmaßigkeiten, gleiche Art von Hintergrundtheorien

Ubertragung des Modellierens: Abbildung, Eingrenzung,

Losung, Art der Abstraktion, Sprache der Graphentheorie

Ubertragung der Modellierung: Herangehensweise, Systematik,

Art der Abstraktion, Paradigmen, Status und Rolle in der Anwen-

dung, Paradigmennutzung, Fokusierung, Beschrankung auf spezi-

fischen Zweck, Abstaktionsniveau, Skalierung, Kunst der lokalen

Betrachtung, Analogiebeziehung, Kargo, empirische Gultigkeit

36


B. Thalheim

Overview

Liga

Route

Wachstum

Ausbreitung

Verkehr I

Uberbuchunng

Warmzeiten

Verkehr II

Platzierung

Concept Topic

Content

Information

c©B. Thalheim

Dynamische Modelle:Bevolkerungswachstum unter

Berucksichtigung der Altersstruktur:Gegenstand

Struktur, Funktion: Entwicklungsgleichungen fur Populationen

(partielle) Differentialgleichungen, Gleichungssysteme, Matrizen-

theorie, math. Software

Ziel, Zweck, Gebrauch: Prognose zukunftiger Entwicklung ausge-

hend

eigentlich: Herleitung von Indikatoren/Kennzeichen fur Status quo

Community of Practice: Anwender z.B. Demographen, Census,

Beratungsgremien, Numeriker

“Die Deutschen sterben aus!!’

37


B. Thalheim

Overview

Liga

Route

Wachstum

Ausbreitung

Verkehr I

Uberbuchunng

Warmzeiten

Verkehr II

Platzierung

Concept Topic

Content

Information

c©B. Thalheim

Bevolkerungswachstum: Modell

Bestandsfunktion fur Wachstum w = x bzw. w = x(t∆t)−x(t)∆t

x(t + ∆t) = x(t) + px(t) = (1 + p(t))x(t)~x(t + 1) = A~x(t) + ~u(t) d.h. x(t) = Ax(t) + u(t)

exponentielle Wachstumsrate α = lim∆t→∞p(∆t)∆t

mittlere Poulationsgroße:

Leslie-Prozeß: Alterklassen (0, 1], (1, 2], ...(89, 90], (90,∞) bzw. 1...n

Anzahl der Frauen und Manner in der Altersklasse xi(t), yi(t)Anteil der Frauen/Manner vom Alter i, die das Alter i + 1 erreicht ui(t), vi(t)Anzahl lebendgeborener Tochter/Sohne je Frau der Altersklasse i ai, bi

Gleichungen x1(t + 1) = a1x1(t) + ... + anxn(t),xi(t + 1) = ui−1xi−1(t), ~x(t + 1) = a~x(t)y1(t + 1) = b1x1(t) + ... + bnxn(t), yi(t + 1) = vi−1yi−1(t),~y(t + 1) = B~x(t) + C~y(t)

Losung als Eigenwertaufgabe ~x(t) = ~λtw = α1~λt

1 + ... + αn~λt

n

Approximation mit großten Eigenwerten z.B. α1~λt

1 + ... + αk~λt

k

limt→∞~x(t)~λt

1= α1 ~w1 mit λ als langfristiger Wachstumsfaktor und w als lang-

fristige Altersverteilung

38


B. Thalheim

Overview

Liga

Route

Wachstum

Ausbreitung

Verkehr I

Uberbuchunng

Warmzeiten

Verkehr II

Platzierung

Concept Topic

Content

Information

c©B. Thalheim

Prognosen

Faktor 0.1

c©

39


B. Thalheim

Overview

Liga

Route

Wachstum

Ausbreitung

Verkehr I

Uberbuchunng

Warmzeiten

Verkehr II

Platzierung

Concept Topic

Content

Information

c©B. Thalheim

Prognosen

c©Bevolkerungsprognose fur Mecklenburg-Vorpommern auf Kreisebene bis zum Jahr 2030

Rembrandt Scholz, Felix Roßger, Daniel Kreft, Juliane Steinberg und Gabriele Doblhammer-Reiter

40


B. Thalheim

Overview

Liga

Route

Wachstum

Ausbreitung

Verkehr I

Uberbuchunng

Warmzeiten

Verkehr II

Platzierung

Concept Topic

Content

Information

c©B. Thalheim

Bevolkerungswachstum: Annahmen

• Sterbe- und Geburtenrate konstant.

• Kein Migration, weder Einwanderung, noch Auswanderung.

• Zahl der Geburten nur von Frauen abhangig. Keine Geburtenverweigerung.

• linearer Zusammenhang

• Populationen homogen

• Schatzungen fur Modellparameter xi, yi, ai, bi, ui, vi

• konstante Zuwachse uber die Zeit ai = ai(t) ∀t

• Geburtenraten im Mittel

• Auswirkungen von Fordermaßnahmen

• Kontext wie z.B. medizinische Weiterentwicklung

• Limitationen wie z.B. Mensch selbst

41


B. Thalheim

Overview

Liga

Route

Wachstum

Ausbreitung

Verkehr I

Uberbuchunng

Warmzeiten

Verkehr II

Platzierung

Concept Topic

Content

Information

c©B. Thalheim

Bevolkerungswachstum: Hintergrund

Entwicklungstheorien: homogene und gleichverhaltende Entwicklungsprozes-

se, Evolutionstheorien, Wanderungsbewegungen, optimale Population (statt

Uber- und Unterbevolkerung)

Bevolkerungstheorien: Struktur, Entwicklung der Bevolkerung,

Abhangigkeiten, Parametrisierung, Fertilitat, Sterberaten, Haushaltstheorien,

Familienentwicklung, Singles, Partnerschaft, Bindungstheorien (Auflosung der

Familien), sozialer und Wertewandel, Geschlechterrollen, Erwerbstatigkeit,

Renten und Arbeitsintegration, Lebenserwartung

Approximationstheorien: Approximation durch Mittelwert, Wahrscheinlich-

keitsverteilung

Bewußter Mißbrauch durch verschiedene CoP, Tannenbaum als ideale Struk-

tur, Macht- und Pateienpolitik, Besteuerung, Propaganda, KKK-Erzwingung,

Mythenbildung

Wechselwirkungsmodelle: kausales Zusammenwirken, koharente Modelle

42


B. Thalheim

Overview

Liga

Route

Wachstum

Ausbreitung

Verkehr I

Uberbuchunng

Warmzeiten

Verkehr II

Platzierung

Concept Topic

Content

Information

c©B. Thalheim

Bevolkerungswachstum: Bewertung(1) Zulassigkeit (Kriterium: logisch ohne Widerspruche, auf eindeutige Art formuliert)

fur einfache Anfangsuntersuchungen

(2) Richtigkeit


Populationsdynamik hangt von absoluter Große der Bevolkerung ab u.a. kriti-sche Annahmen, Geburts- und Sterberaten andern sich nicht, keine Migration

(3) Zweckmaßigkeit z.B. Okonomie (keine weiteren uberflußigen Bestandteile)√

(4) Bewertung eines Modelles: Annahmen; Daten (woher, wie reprasentativ); vernachlassigte Strukturen; Wir-

kungsmechanismus

Inhomogenitat, Qualitat stark von Annahmen, deterministisches Modell,Wachstum/Verkleinerung verandert Faktoren (erganzen um Logistik), fehlendeWirkungszusammenhange, Wanderungsbewegungen


(moglichst viele generelle Aussagen); Einfachheit (so einfach wie moglich); daraus resultierende Einsatz-

verbote

nur fur Anfangsdiagnosen, kein Rauber-Beute oder Migrationsverhalten, ohneRandbedingungen

43


B. Thalheim

Overview

Liga

Route

Wachstum

Ausbreitung

Verkehr I

Uberbuchunng

Warmzeiten

Verkehr II

Platzierung

Concept Topic

Content

Information

c©B. Thalheim

Bevolkerungswachstum: SWOT

Strengths: leichte Nachvollfurbarkeit, Anschaulichkeit, Visualisierung, empirische

und statistische Erhebungen (z.B. altersabhangige Sterberaten, Geburtenraten)

integriert, weitere Eigenwerte fuhren zu großerer Genauigkeit

Weaknesses: Ubervereinfachung, viele Sonderfalle, Ursachen unberucksichtigt,

Unvollstandigkeit, basiert auf den Stand der aktuellen Statistiken, systemati-

sche und systemische Fehler schlagen durch, Parameter basieren auf Mittelwert

(ohne Wahrscheinlichkeitsverteilung), Zufall nicht berucksichtigt, Dynamik von

Geburt und Tod nicht erfaßt

Opportunities: relativ einfache Losung, Visualisierung, Vermittelbarkeit

Threats: Nebenbedingungen, keine Darstellung der Ursachen, Variablenspiele,

Vorhersagegenauigkeit nimmt schrittweise ab, unbeschranktes Wachstum oder

Verkleinerung, Meßwert- und Statistik-Abhangigkeit

44


B. Thalheim

Overview

Liga

Route

Wachstum

Ausbreitung

Verkehr I

Uberbuchunng

Warmzeiten

Verkehr II

Platzierung

Concept Topic

Content

Information

c©B. Thalheim

Bevolkerungswachstum: Ubertragbarkeit

andere Anwendungsprobleme: Populationen mit analogen An-

nahmen, Stoffaustausch, Ladung-Entladung von Kondensatoren,

Stoffkonzentration (z.B. in Seen), Temperaturentwicklung

andere Kontexte:

Ubertragung des Modellierens:

Ubertragung der Modellierung:

45


B. Thalheim

Overview

Liga

Route

Wachstum

Ausbreitung

Verkehr I

Uberbuchunng

Warmzeiten

Verkehr II

Platzierung

Concept Topic

Content

Information

c©B. Thalheim

Dynamische Modelle: Ausbreitung:Gegenstand

Struktur, Funktion: Ausbreitungsmodell als diskretes Modell mit-

einander in Wechselwirkung stehender Parameter mit konstanter

Anderungsrate

Ziel, Zweck, Gebrauch: Simulation von Verlaufen

Community of Practice: Mediziner

46


B. Thalheim

Overview

Liga

Route

Wachstum

Ausbreitung

Verkehr I

Uberbuchunng

Warmzeiten

Verkehr II

Platzierung

Concept Topic

Content

Information

c©B. Thalheim

Diskretes ModellMasernausbreitung

vereinfachende Annahmen:

Inkubationszeit und infektiose Zeit sind jeweils eine Woche.Ansteckung erfolgt nur am Wochenende, im Verlauf der Woche bleiben

die nachfolgend betrachteten Anzahlen unverandert.Konstante Geburtenzahl pro Woche.Jedes infektiose Kind steckt einen konstanten Bruchteil

aller empfanglichen Kinder an.

• In: Anzahl infektioser Kinder am n-ten Wochenende

• Sn: Anzahl der empfanglichen Kinder am n-ten Wochenende

• B: Anzahl Geburten pro Woche

Rekursionsgleichungen:

Sn = Sn−1 − f · Sn−1 · In−1 + B

In = f · Sn−1 · In−1

47


B. Thalheim

Overview

Liga

Route

Wachstum

Ausbreitung

Verkehr I

Uberbuchunng

Warmzeiten

Verkehr II

Platzierung

Concept Topic

Content

Information

c©B. Thalheim

Einfluß der Geburtenzahl am Verlauf derMasernepidemie

f = 0.3 · 10−4, B = 120, I0 = 20, S0 = 30000B = 360

t/S

t/I

B = 120

t/S

t/I

48


B. Thalheim

Overview

Liga

Route

Wachstum

Ausbreitung

Verkehr I

Uberbuchunng

Warmzeiten

Verkehr II

Platzierung

Concept Topic

Content

Information

c©B. Thalheim

Dynamische Modelle: Ausbreitung:Gegenstand

Struktur, Funktion: kontinuierliches Modell (SIR - susceptible; in-

fectious, recovered) der Anfalligkeit, Erkrankungen und Gesundun-

gen; Anzahl der Geburten B pro Zeiteinheit; Anteil der immunen

Gesunden nach Infektion a

S ′ = B − f · S · II ′ = f · S · I − a · I

R′ = a · I

z.B. B = 0 Ã mit S0 = S(0) > 0, I0 = I(0) > 0, R0 ≥ 0

dann auch S +I +R = S0 +I0 +R0 =: N0 wegen (S +I +R)′ = 0

⇒ limt→∞ S(t) = S∞ , limt→∞ R(t) = S∞ auch limt→∞ I(t) =

0

S(t) ist streng monoton fallend

somit dIdS

= I′S′ = −1 + a

fS

man erhalt damit Imax = af(ln a

fS0− 1) + I0 + S0

49


B. Thalheim

Overview

Liga

Route

Wachstum

Ausbreitung

Verkehr I

Uberbuchunng

Warmzeiten

Verkehr II

Platzierung

Concept Topic

Content

Information

c©B. Thalheim

Ausbreitungsmodelle: Hintergrund

Medizin: Masern werden durch Viren ubertragen und sind sehr infektios.

Es werden z.B. in den USA alle 2-3 Jahre Epidemiewellen festgestellt.

Die Epidemiewellen treten in Entwicklungslandern haufiger auf.

Betroffen sind vorwiegend Kinder. Empfanglich sind noch nicht infizierte Kinder.

Nach Infektion besteht eine etwa einwochige Inkubationszeit, in der man nicht

infektios ist. In der zweiten Woche ist man infektios.

Im Anschluss an die zweite Woche besteht lebenslange Immunitat vor.

50


B. Thalheim

Overview

Liga

Route

Wachstum

Ausbreitung

Verkehr I

Uberbuchunng

Warmzeiten

Verkehr II

Platzierung

Concept Topic

Content

Information

c©B. Thalheim

Ausbreitungsmodelle: ResultatPhasenportrait fur f = 0.3 · 10−4, B = 360, y0 = 20, x0 = 30000mit (D(x))(t) = 360 − 0.3 · 10−4 x(t) y(t), t = 0...1000 und (D(y))(t) =0.3 · 10−4 x(t) y(t) − .4 y(t)

51


B. Thalheim

Overview

Liga

Route

Wachstum

Ausbreitung

Verkehr I

Uberbuchunng

Warmzeiten

Verkehr II

Platzierung

Concept Topic

Content

Information

c©B. Thalheim

Ausbreitungsmodelle: Bewertung(1) Zulassigkeit (Kriterium: logisch ohne Widerspruche, auf eindeutige Art formuliert)

Sterberate geht nicht ein, periodischer Verlauf

(2) Richtigkeit



Schwingungskurven

(4) Bewertung eines Modelles: Annahmen; Daten (woher, wie reprasentativ); vernachlassigte Strukturen;

Wirkungsmechanismus


(moglichst viele generelle Aussagen); Einfachheit (so einfach wie moglich); daraus resultierende

Einsatzverbote

52


B. Thalheim

Overview

Liga

Route

Wachstum

Ausbreitung

Verkehr I

Uberbuchunng

Warmzeiten

Verkehr II

Platzierung

Concept Topic

Content

Information

c©B. Thalheim

Ausbreitungsmodelle: SWOT

Strengths: Darstellung des zyklischen Verhaltens; Parameter zur Anpassung des

Modells; mathematische einfachheit; Testfallcharakter

Weaknesses: kleine Storungen fuhren in der Regel zu qualitativ anderem Verlauf,

ggf. auch Verlust der Periodizitat; ggf. auch Gleichungssystem mit komplexem

Eigenwert; anfallig fur Sattigungseffekte; derzeit Wochenrhythmus

Opportunities:

Threats: Zweidimensionalitat bringt komplexes dynamisches Verhalten (Abhilfe

durch Richtungsfeld), Storungsgroßen; Flattern bei zu kleiner Ansteckungsrate

53


B. Thalheim

Overview

Liga

Route

Wachstum

Ausbreitung

Verkehr I

Uberbuchunng

Warmzeiten

Verkehr II

Platzierung

Concept Topic

Content

Information

c©B. Thalheim

Ausbreitungsmodelle: Ubertragbarkeit

andere Anwendungsprobleme: Gruppen-Screening, begrenzbare

Entwicklungen, Transportprozesse (z.B. Blei im Korper), nichtlinea-

re Szenarien (Rauber-Beute z.B.), makroparasitare Erkrankungen,

(biologische) Invasionen

andere Kontexte: Masseninteraktion, Wettbewerb, Zerfallsprozesse

Ubertragung des Modellierens: Wahl kontinuierlicher Modelle

bei Stetigkeitsannahmen; Einfuhrung von Gleichungen

Ubertragung der Modellierung: Approximation

54


B. Thalheim

Overview

Liga

Route

Wachstum

Ausbreitung

Verkehr I

Uberbuchunng

Warmzeiten

Verkehr II

Platzierung

Concept Topic

Content

Information

c©B. Thalheim

Dynamische Modelle: Verkehrsfluß:Gegenstand

Struktur, Funktion:

Ziel, Zweck, Gebrauch:

Community of Practice:

55


B. Thalheim

Overview

Liga

Route

Wachstum

Ausbreitung

Verkehr I

Uberbuchunng

Warmzeiten

Verkehr II

Platzierung

Concept Topic

Content

Information

c©B. Thalheim

Verkehrsflußmodell: Hintergrund

56


B. Thalheim

Overview

Liga

Route

Wachstum

Ausbreitung

Verkehr I

Uberbuchunng

Warmzeiten

Verkehr II

Platzierung

Concept Topic

Content

Information

c©B. Thalheim

Verkehrsflußmodell: Bewertung(1) Zulassigkeit (Kriterium: logisch ohne Widerspruche, auf eindeutige Art formuliert)

(2) Richtigkeit




Wirkungsmechanismus



Einsatzverbote

57


B. Thalheim

Overview

Liga

Route

Wachstum

Ausbreitung

Verkehr I

Uberbuchunng

Warmzeiten

Verkehr II

Platzierung

Concept Topic

Content

Information

c©B. Thalheim

Dynamische Modelle: Uberbuchunng:Gegenstand

Struktur, Funktion:



58


B. Thalheim

Overview

Liga

Route

Wachstum

Ausbreitung

Verkehr I

Uberbuchunng

Warmzeiten

Verkehr II

Platzierung

Concept Topic

Content

Information

c©B. Thalheim

Uberbuchunng: Hintergrund

59


B. Thalheim

Overview

Liga

Route

Wachstum

Ausbreitung

Verkehr I

Uberbuchunng

Warmzeiten

Verkehr II

Platzierung

Concept Topic

Content

Information

c©B. Thalheim

Uberbuchunng: Bewertung(1) Zulassigkeit (Kriterium: logisch ohne Widerspruche, auf eindeutige Art formuliert)

(2) Richtigkeit




Wirkungsmechanismus



Einsatzverbote

60


B. Thalheim

Overview

Liga

Route

Wachstum

Ausbreitung

Verkehr I

Uberbuchunng

Warmzeiten

Verkehr II

Platzierung

Concept Topic

Content

Information

c©B. Thalheim

: SWOT

Strengths:

Weaknesses:

Opportunities:

Threats:

61


B. Thalheim

Overview

Liga

Route

Wachstum

Ausbreitung

Verkehr I

Uberbuchunng

Warmzeiten

Verkehr II

Platzierung

Concept Topic

Content

Information

c©B. Thalheim

: Ubertragbarkeit

andere Anwendungsprobleme:

andere Kontexte:



62


B. Thalheim

Overview

Liga

Route

Wachstum

Ausbreitung

Verkehr I

Uberbuchunng

Warmzeiten

Verkehr II

Platzierung

Concept Topic

Content

Information

c©B. Thalheim

Dynamische Modelle: Verkehrsfluß:Gegenstand

Struktur, Funktion:



63


B. Thalheim

Overview

Liga

Route

Wachstum

Ausbreitung

Verkehr I

Uberbuchunng

Warmzeiten

Verkehr II

Platzierung

Concept Topic

Content

Information

c©B. Thalheim

Warmzeiten: Hintergrund

64


B. Thalheim

Overview

Liga

Route

Wachstum

Ausbreitung

Verkehr I

Uberbuchunng

Warmzeiten

Verkehr II

Platzierung

Concept Topic

Content

Information

c©B. Thalheim

Warmzeiten: Bewertung(1) Zulassigkeit (Kriterium: logisch ohne Widerspruche, auf eindeutige Art formuliert)

(2) Richtigkeit




Wirkungsmechanismus



Einsatzverbote

65


B. Thalheim

Overview

Liga

Route

Wachstum

Ausbreitung

Verkehr I

Uberbuchunng

Warmzeiten

Verkehr II

Platzierung

Concept Topic

Content

Information

c©B. Thalheim

: SWOT

Strengths:

Weaknesses:

Opportunities:

Threats:

66


B. Thalheim

Overview

Liga

Route

Wachstum

Ausbreitung

Verkehr I

Uberbuchunng

Warmzeiten

Verkehr II

Platzierung

Concept Topic

Content

Information

c©B. Thalheim

: Ubertragbarkeit


andere Kontexte:



67


B. Thalheim

Overview

Liga

Route

Wachstum

Ausbreitung

Verkehr I

Uberbuchunng

Warmzeiten

Verkehr II

Platzierung

Concept Topic

Content

Information

c©B. Thalheim

Dynamische Modelle: Verkehrsfluß(mikroskopisch): Gegenstand

Struktur, Funktion:



68


B. Thalheim

Overview

Liga

Route

Wachstum

Ausbreitung

Verkehr I

Uberbuchunng

Warmzeiten

Verkehr II

Platzierung

Concept Topic

Content

Information

c©B. Thalheim

Verkehrsfluß (mikroskopisch): Hintergrund

69


B. Thalheim

Overview

Liga

Route

Wachstum

Ausbreitung

Verkehr I

Uberbuchunng

Warmzeiten

Verkehr II

Platzierung

Concept Topic

Content

Information

c©B. Thalheim

Verkehrsfluß (mikroskopisch): Bewertung

(1) Zulassigkeit (Kriterium: logisch ohne Widerspruche, auf eindeutige Art formuliert)

(2) Richtigkeit




Wirkungsmechanismus



Einsatzverbote

70


B. Thalheim

Overview

Liga

Route

Wachstum

Ausbreitung

Verkehr I

Uberbuchunng

Warmzeiten

Verkehr II

Platzierung

Concept Topic

Content

Information

c©B. Thalheim

: SWOT

Strengths:

Weaknesses:

Opportunities:

Threats:

71


B. Thalheim

Overview

Liga

Route

Wachstum

Ausbreitung

Verkehr I

Uberbuchunng

Warmzeiten

Verkehr II

Platzierung

Concept Topic

Content

Information

c©B. Thalheim

: Ubertragbarkeit


andere Kontexte:



72


B. Thalheim

Overview

Liga

Route

Wachstum

Ausbreitung

Verkehr I

Uberbuchunng

Warmzeiten

Verkehr II

Platzierung

Concept Topic

Content

Information

c©B. Thalheim

Statische Modelle: Plazierung: Gegenstand

Struktur, Funktion:



73


B. Thalheim

Overview

Liga

Route

Wachstum

Ausbreitung

Verkehr I

Uberbuchunng

Warmzeiten

Verkehr II

Platzierung

Concept Topic

Content

Information

c©B. Thalheim

Plazierung: Hintergrund

74


B. Thalheim

Overview

Liga

Route

Wachstum

Ausbreitung

Verkehr I

Uberbuchunng

Warmzeiten

Verkehr II

Platzierung

Concept Topic

Content

Information

c©B. Thalheim

Plazierung: Bewertung(1) Zulassigkeit (Kriterium: logisch ohne Widerspruche, auf eindeutige Art formuliert)

(2) Richtigkeit




Wirkungsmechanismus



Einsatzverbote

75


B. Thalheim

Overview

Liga

Route

Wachstum

Ausbreitung

Verkehr I

Uberbuchunng

Warmzeiten

Verkehr II

Platzierung

Concept Topic

Content

Information

c©B. Thalheim

: SWOT

Strengths:

Weaknesses:

Opportunities:

Threats:

76


B. Thalheim

Overview

Liga

Route

Wachstum

Ausbreitung

Verkehr I

Uberbuchunng

Warmzeiten

Verkehr II

Platzierung

Concept Topic

Content

Information

c©B. Thalheim

: Ubertragbarkeit


andere Kontexte:



77


B. Thalheim

Overview

Liga

Route

Wachstum

Ausbreitung

Verkehr I

Uberbuchunng

Warmzeiten

Verkehr II

Platzierung

Concept Topic

Content

Information

c©B. Thalheim

: SWOT

Strengths:

Weaknesses:

Opportunities:

Threats:

78


B. Thalheim

Overview

Liga

Route

Wachstum

Ausbreitung

Verkehr I

Uberbuchunng

Warmzeiten

Verkehr II

Platzierung

Concept Topic

Content

Information

c©B. Thalheim

: Ubertragbarkeit


andere Kontexte:



79


B. Thalheim

Overview

Liga

Route

Wachstum

Ausbreitung

Verkehr I

Uberbuchunng

Warmzeiten

Verkehr II

Platzierung

Concept Topic

Content

Information

c©B. Thalheim

Dynamische Modelle: ???: Gegenstand

Struktur, Funktion:



80


B. Thalheim

Overview

Liga

Route

Wachstum

Ausbreitung

Verkehr I

Uberbuchunng

Warmzeiten

Verkehr II

Platzierung

Concept Topic

Content

Information

c©B. Thalheim

???: Hintergrund

81


B. Thalheim

Overview

Liga

Route

Wachstum

Ausbreitung

Verkehr I

Uberbuchunng

Warmzeiten

Verkehr II

Platzierung

Concept Topic

Content

Information

c©B. Thalheim

???: Bewertung(1) Zulassigkeit (Kriterium: logisch ohne Widerspruche, auf eindeutige Art formuliert)

(2) Richtigkeit




Wirkungsmechanismus



Einsatzverbote

82

83


B. Thalheim

Overview

Liga

Route

Wachstum

Ausbreitung

Verkehr I

Uberbuchunng

Warmzeiten

Verkehr II

Platzierung

Concept Topic

Content

Information

c©B. Thalheim

LiteraturBEGON, M. / MORTIMER, M. / THOMPSEN, D. J.: Populationsokologie, Heidelberg 1997

COLLINS, H. / PINCH, T.: Der Golem der Forschung. Wie unsere Wissenschaft die Natur erfindet,

Berlin 1999

DAVIS, P. J. / HERSH, R.: Erfahrung Mathematik, Basel 1985

FOLSING, A.: Galileo Galilei. Prozeß ohne Ende. Eine Biographie, Reinbek 1996 FRIEDMAN, M.:

it The methodology of positive economics, in M. Friedman: Essays in positive economics, 5 - 43,

Chikago 1953

GALILEI, G.: Discorsi e dimostrazioni matematiche, intorno a due novo scienze, 1638, Ubersetzung

von A. v. Oettingen 1890, Nachdruck, Frankfurt 1995

GERSHENFELD, N: The nature of mathematical modeling, Cambridge 1999

HERTZ, H.: Die Prinzipien der Mechanik in neuem Zusammenhange dargestellt. Einleitung, 1894,

mit Anmerkungen von J. KUCZERA, Frankfurt 1996

HILBERT, D.: Grundlagen der Geometrie, 1899, 10. Aufl., Stuttgart 1968

HILBERT, D.: Die Hilbertschen Probleme. Vortrag Mathematische Probleme, gehalten auf dem

2. Internationalen Mathematikerkongreß Paris 1900,, 4. Aufl., Thun 1998

KANT, I.: Kritik der reinen Vernunft, 1781, 2. Auflage 1787, Nachdruck, Hamburg 1990

KANT, I.: Metaphysische Anfangsgrunde der Naturwissenschaft, 1786, Kants Werke auf CD-

ROM, Berlin 1996

KOYRE, A.: Leonardo, Galilei, Pascal. Die Anfange der neuzeitlichen Naturwissenschaft, Frankfurt

1998

LUENBERGER, D. G.: Introduction to dynamic systems. Theory, models, and applications, New

York 1979

MANKIV, N. G.: Grundzuge der Volkswirtschaftslehre, Stuttgart 1999

MEHRTENS, H.: Moderne - Sprache - Mathematik, Frankfurt 1990

MOONEY, D. / SWIFT, R.: A course in mathematical modeling, Mathematical Association of

America 1999

NEWTON, I.: Philosophia naturalis principia mathematica, 1687, Ubersetzung von E. Dellian,

Hamburg 1988

NOBAUER, W. / TIMISCHL, W.: Mathematische Modelle in der Biologie, Braunschweig 1979

ORTLIEB, C. P. / V. DRESKY, C. / GASSER, I. / GUNZEL, S.: Mathematische Modellierung.

Eine Einfuhrung in zwolf Fallstudien, Wiesbaden 2009

PEIFFER, J. / DAHAN-DALMEDICO, A.: Wege und Irrwege - Eine Geschichte der Mathematik,

Basel 1994

PEITGEN, H.-O. / JURGENS, H. / SAUPE, D.: Chaos - Bausteine der Ordnung, Berlin 1994

ROBERTS, F. F.: Discrete Mathematical Models, Englewood Cliffs 1976

RAPOPORT, A.: Mathematische Methoden in den Sozialwissenschaften, Wurzburg 1980

SERRES, M. (Hrsg.): Elemente einer Geschichte der Wissenschaften, Frankfurt 1998

STENGERS, I.: Die Galilei-Affaren, in SERRES 1998, 395 - 443

WALDMANN, K.-H. / STOCKER, U.M.: Stochastische Modelle, Berlin - Heidelberg - New York

2004

WISSEL, C.: Theoretische Okologie, Berlin 1989

84


B. Thalheim

Overview

Liga

Route

Wachstum

Ausbreitung

Verkehr I

Uberbuchunng

Warmzeiten

Verkehr II

Platzierung

Concept Topic

Content

Information

c©B. Thalheim

Literatur

85


B. Thalheim

Overview

Liga

Route

Wachstum

Ausbreitung

Verkehr I

Uberbuchunng

Warmzeiten

Verkehr II

Platzierung

Concept Topic

Content

Information

c©B. Thalheim

Ein allgemeiner Rahmen fur dynamischeModelle

86

Documents

Mathematische Modellierungthalheim/pdffiles/ConceptualModellin… · Mathematical Modelling SS 2012 B. Thalheim Overview Liga Route Wachstum Ausbreitung Verkehr I Uberbuchunng˜ Warmzeiten