Mathematischer Vorbereitungskurs für das · PDF file2 K. Bräuer Mathematischer Vorbereitungskurs für das Physikstudium Natürlichen Zahlen Als natürliche Zahlen bezeichnet man

Mathematischer Vorbereitungskurs

für das Physikstudium

Kurt Bräuer Institut für Theoretische Physik

Universität Tübingen

Letztes Update: Oktober 2012

www.kbraeuer.de Tübingen, den 13.02.2013

Inhalt

1. Zahlenbereiche .................................... ............................................................ 1

2. Koordinaten und Vektoren .......................... .................................................. 15

3. Grenzwerte, Folgen und Reihen ..................... .............................................. 29

4. Reelle Funktionen einer reellen Veränderlichen .... ..................................... 37

5. Differentialrechnung .............................. ........................................................ 51

6. Integralrechnung .................................. ......................................................... 69

7. Vektorfunktionen und Felder ....................... ................................................. 82

Lösungen zu den Übungsaufgaben finden Sie unter www.kbraeuer.de bei 'Skripte und Einfüh-rungen – Mathematischer Vorbereitungskurs für das Physikstudium …'

Vorwort

Ziel des Kurses

Der 'Mathematische Vorbereitungskurs zum Studium der Physik' hat in Tübingen eine fast 40-jährige Tradition. Er soll den Physikneulingen den Einstieg in das Physikstudium erleichtern, indem eine mathematische Basis für die integrierten Physikkurse der ersten drei Semester ge-schaffen wird. Der Kurs umfasst zum Grossteil Inhalte, die vom Abitur her bekannt sein sollten, jedoch einer Auffrischung bedürfen. Die mathematische Darstellung ist auf einem etwas höheren Niveau als dem der Schulen gehalten. Sie ist jedoch eher den Bedürfnissen der Physik als dem der Mathematik angepasst.

Der Kurs hat auch eine wichtige soziale Aufgabe. Die Studenten können sich 10 Tage lang ohne Leistungsdruck an das Umfeld der Universität gewöhnen und sich gegenseitig kennen lernen. In den Kursleitern haben Sie Ansprechpartner, die selber mitten im Physikstudium stehen und mit den Problemen der Studienanfänger bestens vertraut sind.

Geschichte des Skriptes

Das ursprüngliches Skript wurde bereits in den 70'er Jahren von Prof. F. Wahl erstellt und von Prof. P. Kramer und Prof. H. Sohr weiterentwickelt. Um den Hilfskräften des Instituts für Theo-retische Physik die doch immense Mühe des Kopierens von bis zu 300 Exemplaren pro Kurs zu ersparen, entschlossen wir uns, ein aufgearbeitetes Skript in Buchform zu veröffentlichen. Daraus entstand die 'Einladung zur Physik – Eine mathematische Einführung und Begleitung zum Studi-um der Physik und Informatik', erschienen 2002 beim Logos-Verlag Berlin. Eine verbesserte Neuauflage erschien 2005.

Das Buch geht inhaltlich weit über den Stoff des Vorbereitungskurses hinaus. Es zeichnet sich vor allem durch umfangreiche Veranschaulichungen und Erklärungen aus, die in den üblichen Lehrbüchern sehr kurz kommen.

Über das vorliegende Skript

Das neue Skript entstand zum einen aus der Notwendigkeit heraus, den Inhalt des Vorberei-tungskurses den gewandelten Bedürfnissen der Integrierten Kurse der ersten Physiksemester und an den neuen Bachelor-Studiengang anzupassen. Zum anderen erscheint es heute angemessen, den Studenten ein begleitendes Online-Manuskript anzubieten, das die wesentlichen Lehrinhalte übersichtlich darstellt. Es beinhaltet im Wesentlichen die Tafelaufschriebe und sollte als Lehrma-terial nur in Verbindung mit dem Kurs oder dem oben erwähnten Lehrbuch 'Einladung zur Phy-sik …' verwendet werden..

An Themen umfasst es Vektoren, Ableiten und Integrieren, was den angehenden Studenten in Grundzügen bekannt sein sollte und im Studium vorausgesetzt wird. Das letzte Kapitel des Skripts befasst sich darüber hinaus mit Vektorfunktionen und Feldern, also mit Bahnkurven, Gradienten, Wegintegralen und ähnlichem. Diese mathematischen Mittel zur Beschreibung phy-sikalischer Zusammenhänge werden im Integrierten Physikkurs I behandelt und in den höheren Kursen vertieft. Sie stellen im Grunde eine Kombination der Kursthemen Vektoren, Ableiten und Integrieren dar. So werden am Ende des Vorbereitungskurses die Grundinhalte vertieft und die Stofffülle des Integrierten Kurses I aufgelockert.

In das vorliegende Skript nicht aufgenommen wurden Themen wie Divergenz, Rotation, Krummlinige Koordinaten und Matrizenrechnung. Diese spielen im Integrierten Kurses I nicht wirklich eine Rolle.


Dank

Zu den Vorbereitungskursen der letzten Jahre fanden regelmäßig Besprechungen der Kursleiter statt, aus denen viele konstruktive Gedanken in das neue Skript eingeflossen sind. All den Kurs-leitern danke ich für ihre Beiträge.

Tübingen, im Februar 2009

1

www.kbraeuer.de Tübingen, den 13/02/2013

1. Zahlenbereiche Natürliche, ganze, rationale, reelle und komplexe Zahlen

Vorbemerkung Ursprünglich kommt man zu Zahlen und zum Rechnen, indem man Dinge oder Weltinhalte ab-zählt. Die Anzahl beschreibt man durch Symbole 1, 2, 3,…. Das Abzählen wird dann mehr und mehr ins Gedankliche verlagert und man stellt sich die abzuzählenden Dinge nur noch vor. So kommt man etwa zu negativen Zahlen, die die Anzahl fehlender Dinge meinen, oder zu einem Symbol '0' für das Nichts oder zu '∞', was es in der dinglichen Welt nicht gibt. Das Rechnen wird mehr und mehr abstrakt und von dem ursprünglichen Abzählen von Dingen entkoppelt. Man hat reine Symbole und wendet Regeln auf diese an.

Rechnen auf der Basis des Abzählens von Objekten mit natürlichen Zahlen:

Abzählen: Das Wort 'Welt' hat 4 Buchstaben

Addieren : 'Hallo Welt' hat 5 4 9 Buchstaben

Subtrahieren: 'Hallo' hat 9 - 4 5 Buchstaben

Multiplizieren: 'Hallo Hallo' hat 2 5 10 Buchstaben

Teilen: Halbes Wort 'We' ha

+ ==

⋅ =

2

t 4 / 2 2 Buchstaben

Potenzieren: 'Welt Welt Welt Welt' hat 4 4 4 16 BuchstabenRadizieren: 'Welt' hat 16 4 Buchstaben

=⋅ ≡ =

=

(1-1)

Gedanklich kann man mit Zahlen mehr machen, als Dingen abzuzählen:

Subtrahieren: 'We' hat 2-4 2 Buchstaben mehr als 'Welt'

Teilen: 'We' hat 2/4=1/2 soviel Buchstaben wie 'Welt'

Radizieren: Die Zahl 2 multipliziert mit sich selbst ergibt die Anzahl 2

= −

(1-2)

2, 1/ 2 oder 2− sind keine natürlichen Zahlen, sie symbolisieren nicht die Anzahl existieren-der, abzählbarer Dinge. Sie sind aber zum Rechnen sehr nützlich.

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Natürlichen Zahlen

Als natürliche Zahlen bezeichnet man die Symbole 1,2,3,… für die entsprechende Anzahl von Objekten. Man fasst diese Symbole als Elemente einer Menge auf.

{ }Menge der natürlichen Zahlen: 1, 2,3,...≡ℕ

(1-3)

Ordnungsstrukutur m und n stehen jeweils für eine natürliche Zahl.

: symbolisiert eine größer Anzahl von Objekten als

: symbolisiert eine kleinere Anzahl von Objekten als

: symbolisiert eine kleinere oder gleiche Anzahl von Objekten wie

: symbolisi

n m n m

n m n m

n m n m

n m n

><≤≥ ert eine größere oder gleiche Anzahl von Objekten wie m

(1-4)

Grundrechenarten in ℕ Man kann zwei Mengen von Dingen zusammenbringen und abzählen oder aus einer Menge ei-nen Teil entfernen. Beim Abzählen von mehreren gleich großen Mengen kann man das Abzählen vereinfachen.

( )

Addition: für , ist

Subtraktion: für existiert ein , so dass

oder -

Multiplikation: für , ist

n m n m k

n m k m k n

n m k

n m n m k

∈ + = ∈> ∈ ∈ + =

= ∈∈ ⋅ = ∈

ℕ ℕ

ℕ ℕ

ℕ

ℕ ℕ

(1-5)

Die Symbole '0' und '∞': Ein Wort mit Null Buchstaben ist kein Wort! Zum Zählen braucht man keine '0'. Trotzdem ist es sinnvoll, für das Nichts ein Symbol '0' einzuführen. Ich sage etwa: 'In meinem Geldbeutel sind 0 €', oder 'Die Anzahl von Buchstaben in 'Welt' und 'Ball' unterscheidet sich um 0 Buchstaben.

Zu jeder natürlichen Zahl 'n' gibt es eine größere Zahl, etwa 'm=n+1'. Die Anzahl der Zahlen ist unbegrenzt. In unserer Welt gibt es jedoch nur endliche viele Dinge, die man abzählen kann. Beim Rechnen betrachtet man allerdings manchmal Zahlen, die sehr groß sind. Es spielt dann keine Rolle spielt, ob man noch etwas dazu zählt oder sie multipliziert. Dafür verwendet man das Symbol '∞'. Dafür gilt etwa

, oder nn + ∞ = ∞ ⋅∞ = ∞ (1-6)

Das sind nicht mehr die Rechenregeln für Zahlen und somit ist das Symbol ∞ auch keine Zahl.

1. Zahlenbereiche 3


Ganze Zahlen

Ganze Zahlen erhält man durch die Verallgemeinerung und Abstraktion der Subtraktion.

Man kann aus einem Sack nur so viele Kartoffeln herausnehmen, wie auch drin sind. Man kann allerdings unter Umständen mehr Geld ausgeben, als man hat.

{ }{ }

Subtraktion in : für existiert ein , so dass

Verallgemeinerung: für alle , existiert ein , so dass

für ist 1, 2, 3...

Ganze Zahlen: ..., -2, 1,0,1,2,...

Ordnungsrelat

n m k m k n

n m k m k n

n m k n m

> ∈ ∈ + =∈ + =

< ∈ = − ∈ − − −

≡ −

ℕ ℕ ℕ

ℕ

ℕ

ℤ

ionen: die Bedeutung von , , , ergibt sich aus der

Reihenfolge der ganzen Zahlen

Betrag: , für 0k

sonst

k k

k

> < ≥ ≤

+ >= −

(1-7)

-n ist das Symbol für das Fehlen von n Objekten.

Rationale Zahlen

Rationale Zahlen erhält man durch Verallgemeinerung oder Abstraktion des Teilens. Man teilt einen Kuchen in 5 Stücke und isst davon 2. Diesen Teil des Kuchens kann man durch einen Bruch beschreiben. Die Menge aller Brüche bilden die rationalen Zahlen.

�

�

Zähler

Nenner

Bruch: , mit , und 0

Kürzen und Erweitern: für , , , gilt : genau dann, wenn

0weitere Regeln: , 0

1

3 6 9 12 2Beispiele: , 2

2 4 6 8 1

Rationale Zahlen: , mit , und

pp q q

q

p rp q r s p s q r

q s

pp

q

pq p q

q

∈ ≠

∈ = ⋅ = ⋅

= =

−= = = =−

≡ ∈ ≠

ℤ

ℤ

ℚ ℤ 0

(1-8)

Rechenregeln: Zum Abzählen von zwei Stücken eines dreigeteilten Kuchens und einem Stück eines halben Ku-chens muss man die einzelnen Stücke weiter teilen und so zu gleichgroßen Stücken kommen. Man bringt sie auf den Hauptnenner. Die gleich großen Stücke kann man dann zusammenzählen, also 2/3=4/6 und 1/2=3/6. Zusammen hat man also (4+3)/6=7/6 oder einen ganzen Kuchen und 1/6 Stück. Ähnlich überlegt man sich das Multiplizieren und Teilen von Brüchen.


1 2, 1 2 1 2

1 2 1 2 2 1

1 2 1 2

1 2 1 2

1 2 1 2

1 2 1 2

1 2 1 2

1 2 2 1 1 21 2

11 2

für , , , , 0 :

Addition, Subtraktion:

Multiplikation:

Division:/

Ordnungsrelation: für 0 und ist gleich

p p q q q q

p p p q p q

q q q q

p p p p

q q q q

p p p q

q q q p

p q p q q qp p

p qq q

∈ ≠±± =

⋅⋅ =⋅⋅=⋅

≤ ⋅ >≤

ℤ

2 2 1 1 2für 0p q q q

≥ ⋅ <

(1-9)

Dezimaldarstellung rationaler Zahlen Wir sind gewohnt, rationale Zahlen als Dezimalzahlen darzustellen und zu verwenden. Sie erge-ben sich aus der Dezimalbruchzerlegung.

( ){ }

0 0

1, 2 3

31 20

0 1 2 3

Menge der natürlichen Zahlen und der '0'Mit:

, ,... 0,1,2,...,9

Dezimalbruchzerlegung: ...10 100 1000

Dezimalzahl: , ...

d

d d d

dd dpd

q

d d d d

∈

∈

= + + + +

ℕ

(1-10)

Die Umwandlung eines Bruches in eine Dezimalzahl ist eine der vier Grundrechenarten und wird als 'Teilen' bezeichnet. Wie die Umwandlung praktisch geschieht, lernt man in der Grundschule.

Beispiele:

1 1 10,3333... 0, 3, 0,2000... 0,20, 0,090909... 0,09

3 5 11= ≡ = ≡ = ≡

(1-11)

Die Querstriche bezeichnen die Periode, also die ständige Wiederholung derselben Sequenz. Man kann zeigen, dass alle rationalen Zahlen eine solche Periode haben.

Reelle Zahlen

Zu reellen Zahlen kommt man durch Verallgemeinerung oder Abstraktion des Wurzelziehens aus positiven rationalen Zahlen.

Für das Symbol soll gelten: Wurzelziehen:

Für Qudaratzahlen oder gilt und , dann ist

Brüchen aus Quadratzahlen:

q q q q

p rp r r q s s

q s

=

= ⋅ = ⋅ =

(1-12)

Im Allgemeinen gibt es für eine Wurzel jedoch keine rationale Zahl. Wir versuchen es mal mit der Wurzel aus 2. Welche Zahl muss man mit sich selbst multiplizieren, um 2 zu erhalten? Wir berücksichtigen dabei, dass bei einem geraden Quadrat einer natürlichen Zahl auch die natürliche Zahl selber gerade ist.

1. Zahlenbereiche 5


2

2

2

für gilt: ist 2 , dann ist auch 2Beispiele: 1 2 3 4 5 6 7 8 9

4 16 36 64 2

1 9 25 49 81 2 1

n n n

n

n

n

∈ ∈ ∈

∈∈ +

ℕ ℕ ℕ

…

… ℕ

… ℕ

(1-13)

Damit zeigt man, dass ein Bruch, dessen Quadrat die Zahl 2 ergibt, beliebig oft durch 2 gekürzt werden könnte. Das ist natürlich Unsinn und bedeutet, dass es diesen Bruch nicht geben kann.

( )2 2

2 2 2

2 2 2

Annahmen: es gäbe , , so dass 2 ist

dann wäre 2 2 Menge der geraden Zahlen

dann wäre 2 , also 2 mit

dann wäre 4 2

dann wäre 2 , also 2

dann wäre 2 ,

2also: 2

2

Wie

p pp q

q q

p q

p p m m

p m q

q m q

q n n

p m m

q n n

∈ ⋅ =

= ∈ ≡∈ = ∈

= == ∈

= ∈

= = =

ℕ

ℕ

ℕ ℕ

ℕ

ℕ

( )2 2derholung: 2 ... mit , , ,

2 2

m r r t tr s t u

n s s u u= = = = = = ∈ℕ

(1-14)

Der Bruch könnte also beliebig oft mit 2 gekürzt werden, was keinen Sinn macht. Eine rationale Zahl für die Wurzel aus 2 kann nicht existieren. Dieser Beweis stammt von Euklid. Pythagoras ließ einen Schüler, der dies als erstes herausfand, zum Tod durch Ertränken verurteilen. Er wollte nicht akzeptieren, dass eine Zahl wie die Wurzel aus 2 keine Entsprechung in der Welt der ab-zählbaren Dinge hat. Das Wurzelsymbol hat eine ausschließlich gedankliche oder abstrakte Be-deutung.

Zum praktischen Messen und Rechnen verwenden wir in der Regel Zahlen in der Dezimaldar-stellung mit einer endlichen Anzahl von Stellen hinter dem Komma. Sie haben die Periode '0' und gehören damit zu den rationalen Zahlen. Eine Bruchdarstellung lässt sich leicht angeben:

75 25 3 3etwa: 0.75=

100 25 4 431415 6283

oder: 3.1415=10000 2000

⋅= =⋅

=

(1-15)

Wir ziehen die Dezimaldarstellung zur Definition der reellen Zahlen heran.

Die Menge der reelle Zahlen umfasst alle 'Zahlen' mit

einer Dezimaldarstellung, auch solche ohne Periode

ℝ

(1-16)

Die Menge der reellen Zahlen umfasst also auch 'Zahlen' die nicht wirklich zählen. Wir haben damit einen Begriff für etwas geschaffen, der in der dinglichen Welt keine Entsprechung hat. In Mathematik und Physik sind die reellen Zahlen jedoch unverzichtbar. Sie führen allerdings zu einem, wie Goethe es ausgedrückt hat, naturwissenschaftlichen Illusionismus.


Reelle Zahlen dienen etwa als Koordinaten zur Beschreibung von Raum- und Zeitpunkten. Ma-thematisch wird so eine absolute Raum-Zeit konstruiert und wir glauben heute, in einer solchen Raum-Zeit zu existieren. Tatsächlich ist eine solche Raumzeit nicht mit Messungen der Lichtge-schwindigkeit in verschiedenen Bezugssystemen verträglich. In der Einsteinschen Relativitätsthe-orie findet man daher, dass diese absolute Raum-Zeit nicht wirklich existiert. Raum und Zeit sind nur als relative Bezüge zwischen Objekten sinnvoll.

Bahnkurven sind die Grundlage der gesamten klassischen Physik. Tatsächlich ist jedoch weder die genaue Position eines Objektes noch seine genaue Geschwindigkeit messbar. Bahnkurven sind reine Vorstellungen. Das wird bereits in der Chaostheorie deutlich, wo sensible Zusammen-hänge untersucht werden. Theoretisch kommt es dann auf alle unendlich vielen Stellen einer Po-sitionsangabe an. Hier müssen Bahnkurven durch Attraktoren ersetzt und die Idee langfristiger Vorhersage eines Systemverhaltens, etwa beim Wetter, aufgegeben werden.

In der Quantenmechanik behandelt man dann die Ungenauigkeit oder Unschärfe von Positions- und Geschwindigkeitsangaben statistisch. Die Ausbreitung von Wirkungen wird durch einen Wahrscheinlichkeitsstrom beschrieben. Dadurch werde die Atome erklärt. Das Plancksche Wir-kungsquantum, eine der wenigen Konstanten der Physik, gibt die minimale Unschärfe der Wir-kungen an.

Die Verwendung der reellen Zahlen zur Naturbeschreibung schafft also zunächst die Illusion einer absoluten und berechenbaren materiellen Welt in Raum und Zeit als Grundlage unserer Existenz. In der gibt es keine Möglichkeit für Spiritualität. Die moderne Physik überwindet diese Illusion und öffnet unser Weltbild hin zum Unbegreiflichen.

Die Zahlengerade

Aus mathematisch praktischen Gründen ordnet man gedanklich jeder reellen Zahl einen Punkt auf einer Geraden zu. Man kann das veranschaulichen, indem man Punkte auf eine Gerade ein-trägt. Praktisch kann man die Punkte wegen ihrer Ausdehnung allerdings nur sehr grob setzen.

Wir konstruieren diese Zahlengerade so:

Start: Markierung zweier beliebiger Punkte als 0 und 1

Natürliche Zahlen: Vervielfachung der Strecke 01 1,2,3,4,5,...

Ganze Zahlen: Spiegelung der Punkte 1,2,3,4,5,... an '0' -1,-2,-3,-4,-5,...

Rationale Z

→→

ahlen: ' ter Teil von 01 wir mal abgetragen

Reelle Zahlen: Annäherung durch rationale Zahlen

pq p

q→

(1-17)

1. Zahlenbereiche 7


Abbildung 1-1: Zahlengerade mit natürlichen, ganzen, rationalen und irrationalen Zahlen

Komplexe Zahlen

Komplexen Zahlen erhält man durch Verallgemeinerung und Abstraktion des Wurzelziehens.

Wurzeln Eine reelle Zahl a bezeichnet man als Wurzel aus x, wenn a mit sich selbst multipliziert die Zahl x ergibt.

2, wenn

offensichtlich: 0

a x a x

x

= =>

(1-18)

Hat man fünf mal fünf Äpfel, so sind das 25 Äpfel. Auf keinen Fall fehlen dann Äpfel. Die Wur-zel macht zunächst nur für positive Zahlen x einen Sinn.

Die imaginäre Einheit 'i' In der Welt der abzählbaren Dinge kann man die Wurzel nur aus positiven Zahlen ziehen. Beim Rechnen mit quadratischen Gleichungen stößt man jedoch auch auf Wurzeln aus negativen Zah-len.

2 2

2 2

Beispiel: 1 0 1 1

aber 1 0 1 ?

x x x

x x

− = → = → = ±+ = → = − →

(1-19)

In letzterer Gleichung kann x mit nichts aus der Welt der abzählbaren Dinge in Zusammenhang gebracht werden, es handelt sich um etwas Imaginäres. Man führt daher die imaginäre Einheit i ein:

2

2

Definition: 1

mit 1

x x i

i

= − → = ±= −

(1-20)

Damit kann man ganz allgemein mit Wurzeln aus negativen Zahlen rechnen. Eine 'Imagination' dazu entwickeln wir mit Hilfe der komplexen Zahlenebene im nächsten Abschnitt. Beim Rech-nen mit Wurzeln aus negativen Zahlen muss man jedoch vorsichtig sein!

( ) ( )2Beispiel: 1 4 4 2, 1 4 1 4 4 2i− ⋅ − = ⋅ = − − ⋅ − = − ⋅ − = =( )

(1-21)

Mit der imaginären Einheit i definiert man nun die


{ }Menge der komplexe Zahlen , mit ,

: Realteil von

: Imaginärteil von

z a ib a b

a z

b z

≡ = + ∈ℂ ℝ

(1-22)

Rechenregeln

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

�

2

1 2 1 1 2 2 1 2 1 2

1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1

1 1 1 1 1 2 2

2 2 2 2 2 2 2

0! 1

Addition:

Subtraktion:

Multiplikation:

Division:

a b

a b

z

z z a ib a ib a a i b b z

z z a ib a ib a a b b i a b a b z

z a ib a ib a ib

z a ib a ib a ib

= =

= =

≠ =

± = + ± + = ± + ± =

⋅ = + ⋅ + = − + + =

+ + −= = ⋅+ + −

��

��

�

1 2 1 2 2 1 1 22 2 2 22 2 2 2

a b

a a b b a b a bi z

a b a b= =

+ −= + =+ +

��

(1-23)

Beispiele:

( )( )

( ) ( )11 1 1 1

,1 1 1 2 2

iii i

i i i i i i

−−= = − = = −⋅ − + + ⋅ −

(1-24)

Die komplexe Zahlenebene Zur Veranschaulichung ordnen wir gedanklich jeder komplexen Zahl z=a+ib einen Punkt in der Ebene zu.

Abbildung 1-2: Die komplexe Zahlenebene

Die komplexe Zahlenebene wird auch als Gaußsche Zahlenebene bezeichnet. Addition und Sub-traktion komplexer Zahlen sind in dieser Zahlenebene einfach das aneinanderfügen der parallel-verschobenen Pfeile (Vektoren).

1. Zahlenbereiche 9


Abbildung 1-3: Addition und Subtraktion komplexer Zahlen in der Gaußschen Zahlenebene

Komplexkonjugation Die Komplexkonjugation ändert das Vorzeichen des Imaginärteils einer komplexen Zahl:

Komplexkonjugation: für ist z a ib z a ib= + = − (1-25)

In der Gaußschen Zahlenebene wird die komplexe Zahl so an der reellen Achse gespiegelt.

Abbildung 1-4: Komplexkonjugation und Betrag komplexer Zahlen, veranschaulicht in der Gaußschen Zahlen-ebene.

Der Absolutbetrag komplexer Zahlen Mit der Komplexkonjugation lässt sich die Länge oder der Betrag einer komplexen Zahl elegant angeben:

( ) ( )2 2

für

ist der Betrag:

z a ib

z a b a ib a ib zz

= +

≡ + = + − =

(1-26)

Die Interpretation des Betrages als Länge des Pfeils in der Gaußschen Zahlenebene ergibt sich nach dem Satz von Pythagoras (|z|2=a2+b2).


Das Argument komplexer Zahlen In der Gaußschen Zahlenebene kann eine komplexe Zahl durch Betrag |z| und Winkel zur reel-len Achse oder Argument α dargestellt werden:

Abbildung 1-5: Darstellung einer komplexen Zahl durch Betrag |z| und Argument α

( )

cos /mit

sin /

ist cos sin cos sin

x z

y z

z x iy z i z z i

αα

α α α α

=

=

= + = + = +

(1-27)

Der Winkel α ist nur bis auf ein Vielfaches von 2 festgelegt. Man definiert daher den Hauptwert von z:

Hauptwert: Arg ( , ]

Argument: Arg 2 ,

z

z n n

π πα π

∈ −= + ∈ℤ

(1-28)

Abbildung 1-6: Argument der komplexen Zahl z

1. Zahlenbereiche 11


Die Eulersche Formel Wir betrachten die komplexen Zahlen auf dem Einheitskreis in der Gaußschen Zahlenebene, also die komplexen Zahlen vom Betrag 1.

( )�

( ) ( )

( )

0

ˆ für 0 1 0

0

0

ˆ Êinheitskreis: cos sin , 1

ˆ cos 0 sin 0 1

ˆˆ1. Ableitung: sin cos cos sin

ˆˆn'te Ableitung:

Vergleiche: 1

1. Ableitung:

n'te Ableit

z

nn

n

i

ii

z i z

z i

dzi i i iz

d

d zi z

d

e e

deie

d

αα

ααα

α

α α

α α α αα

α

α

=

= = =

=

≡ + =

= + =

= − + = + =

=

= =

=

��

ung:n i

n in

d ei e

d

αα

α=

(1-29)

Wie sich mit dem Satz von Taylor (Kapitel 5) auch streng beweisen lässt, sind zwei Funktionen identisch, wenn ihre Ableitungen überall gleich sind und wenn sie an einer Stelle denselben Funk-tionswert haben. Damit lassen sich zum Beispiel trigonometrische Formeln sehr elegant herleiten:

( )

( ) ( )

� � �

( )( )

cos sin cos sincos sin

Eulersche Formel: cos sin

Moivresche Formel:

Realteil: cos cos cos sin sinalso:

Imaginärteil: sin cos sin sin cos

i

i i i

i ii

e i

e e e

α

α β α β

α α β βα β α β

α α

α β α β α βα β α β α β

+

= = =+ ++ + +

= +

= ⋅

+ = − + = +

(1-30)

Exponentialschreibweise komplexer Zahlen

( ) Argcos sin i i zz z i z e z eαα α= + = =

(1-31)

Damit lässt sich zum Beispiel die Multiplikation zweier komplexer Zahlen in der Gaußschen Zahlenebene veranschaulichen.

( )

1

2

1 21 2

1 1

2 2

1 2 1 2 1 2

1 2

1 2

2

komplexe Zahlen:

Produkt:

also:

speziell:

i

i

ii i

z z e

z z e

z z z z e z e z z e

z z z

zz z

α

α

α αα α

α α α

+

=

=

≡ ⋅ = =

=

= +

=

(1-32)


Übungsbeispiele

Bestimmen Sie die Dezimalzahlen:

71. zu und

82

2. zu 7

r

r

=

=

(1-33)

(Die nächste Aufgabe kann im MVK ausgelassen werden)

�

3 34 4 2

2 23 3 1

1 12 2

1

2

34

1 1

1 1

1

3. Die Umwandlung einer Dezimalzahl in1

eine rationale Zahl kann durch die ,1

'continued fraction representation' erfolgen: 1...

r dd r r

r dd r r

r r dd r

r dd

dd

≡ = −+

≡ = −+

≡ − =+

= ++

+

��

��

�

�

�

�

�

�1 1 2 2 3 3 3 3

3.245 2 2 1 3 3 2 4 4 23 4 12 44.082 12.25 41 11

0.245 0.250.0824.082 412.25

4

Zum Beispiel ist für die Zahl 3.245:

1 1 1 1 1 10

also: 1 13 3

1 44 4

1 4 12124

id

r

r r d r d r d r dd r r d r r d r r

r

= ==

∈

=

= − = = − = = − = = − =+ + +

= + = ++ +

⋅+

ℕ

��

��

�

�

160 36196

8

1 49 493 3 3

4 4 49 4 4 49 441 49

49 6493

200 2001

Führen Sie das Verfahren für die Zahl 0.5 durch. Verwenden Sie dabei 1.8 und 0.5

11.25. Können Sie für diesen Fall einen direkteren We

0.8

r

+=

= + = + = +⋅ + ⋅ ++

+

= + =

= =

= g zum Ergebnis angeben?

(1-34)

4. Bestimmen Sie für die komplexe Zahl 3 die Inverse, das Quadrat, das Absolut-

1 quadrat und die Exponentialdarstellung. Es ist arctan .

63

z i

π= +

=

(1-35)

1. Zahlenbereiche 13


1 2 1 2

1

2

5. Bestimmen Sie für die komplexen Zahlen 1 2 , 2 das Produkt und den

Quotient .

z i z i z z

z

z

= + = +

(1-36)

6. Geben Sie die folgenden komplexen Zahlen in der Exponentialform an:

) 2 , ) 1 , ) 3 3 a i b i c i− − −

(1-37)

4 3 2

7. Welche reellen und komplexen Lösungen hat

) 81, ) 3 3 ) 2 3 0 a z b z i c z iz= = − − + =

(1-38)

( )

( )( ) ( )

( )1 2

3

2 2 2

1 2 1 2

Zeigen Sie:

8. cos sin cos3 sin 3

9.cos

2

sin2

10. 2 cos , , Kosinussatz

mit Hilfe komplexer Zahlen

Betrachten Sie für , , den Ausdruck fü

ix ix

ix ix

i i i

x i x x i x

e ex

e ex

i

a b c bc b c

z be z ce z ae z zα α α

−

−

+ = +

+=

− =

= + −

= = = ≡ −

∢

( )2r z

(1-39)

2. Koordinaten und Vektoren Messgrößen in der Physik

Messen geschieht zunächst durch Vergleich mit einem Maßstab. Messbare Grundgrößen der klassischen Mechanik sind räumliche Abstände, zeitliche Abstände und Kräfte.

Interessant ist, dass auch zeitliche Abstände und Kräfte zunächst über Ortsmessungen durchge-führt werden (Lauf der Gestirne, Sanduhr, Pendeluhr, Quarzuhr, Federwaage,…).

Andere physikalische Größen werden indirekt gemessen (Geschwindigkeit, Ladung, Massen, …). Strom oder Spannung misst man beim Spuleninstrument auch über räumliche Lageveränderung des Zeigers.

Raumerfahrung und Objektivierung des Raumes

Raum ist Grundlage unserer bewussten Welterfahrung. Alle Bewusstseinsinhalte sind räumlich, also nebeneinander, hintereinander oder übereinander angeordnet. Das Raumerleben hat sich beim Menschen in den letzten paar tausend Jahren entwickelt und diese Entwicklung durchläuft jeder Mensch beim Erwachsenwerden aufs Neue.

Die Raumerfahrung wird mit Hilfe von Maßstäben objektiviert, etwa mit einem Meterstab oder Lineal. Man misst Abstände durch Vergleich mit dem Maßstab. Maßstäbe bilden die Basis der Raumbeschreibung. Abstände werden mit reellen Zahlen in Form von Koordinaten mit Bezug auf einen Maßstab oder die Basis angegeben.

1. Stufe der Raumerfahrung (Kleinkind) Topologie (Nachbarschaft: neben- hinter- übereinander).

2. Stufe der Raumerfahrung (Schulkind) Objektivierung der Raumerfahrung durch Messung:

( )Maßstab : beliebiges Objekt, Lineal

Koordinate : Strecke

e

x L x e

= ⋅

(2-1)

3. Stufe der Raumerfahrung (Erwachsener) 3-dimensionaler, relativer Raum:

( )( )1 2

1 2

,

3D-Bezug zwischen zwei Punkten , :ˆ ˆ ˆRichtungsmaßstäbe Basis , , :

ˆ ˆ ˆKoordinaten , , : x y z

P Px y z

P Pe e e

x y z R xe ye ze

= + +

�

(2-2)

Die Richtungsmaßstäbe im mehrdimensionalen Raum bezeichnet man als Basisvektoren, die Überlagerung zur Beschreibung räumlicher Beziehung zweier Punkte als Vektoren. Wir kenn-zeichnen Basisvektoren durch ein '^' und Vektoren durch einen Pfeil.

4.Stufe der Raumerfahrung (Erwachsener) 3-dimensionaler, absoluter Raum (Raum als unabhängiger Behälter für Objekte, Raum wird selbst zum Objekt):

( )( ),

ˆ ˆ ˆRichtungsmaßstäbe Basis , , :Absoluter Punkt im Raum:

Koordinaten , , :ˆ ˆ ˆ

Bezugspunkt :

x y z

P Ox y z

e e e

x y zP R xe ye ze

O

≡ = + +

� �

�

(2-3)


Koordinantensysteme und objektiver Raum

Basis, Koordinaten und Bezugspunkt oder Ursprung bilden ein Koordinatensystem. Damit kann man räumliche Bezüge quantifizieren und in Diagramme eintragen. So entsteht ein objektives Bild räumlicher Bezüge. Raum ist selber zum Objekt geworden. Wir erleben eine objektive Welt in einem objektiven Raum.

Abbildung 2-1: Punkt P im absoluten Raum, dargestellt mit Basisvektoren e und Koordinaten x, y, z.

Vektoren ( )1 2,P PR

�

beschreibt die räumliche Beziehung zwischen den Punkten P1 und P

2 mit Hilfe einer Basis

und Koordinaten. Konstruktionen wie ( )1 2,P PR�

nennt man Vektoren. Wie wir gleich sehen wer-den, kann man verschiedene Vektoren miteinander addieren oder mit einer Zahl multiplizieren. Die Wahl des Koordinatensystems ist willkürlich. Die räumliche Beziehung zwischen den Punk-ten hängt jedoch von dieser Wahl nicht ab. Wie wir später sehen werden, ergeben sich daraus konkrete Transformationsgleichungen für den Wechsel von einem Koordinatensystem zu einem anderen.

Für eine kompaktere Schreibweise ersetzt man , ,x y zgerne durch 1 2 3, ,x x x oder durch

{ }, 1,2,3ix i ∈ .

( )�

1 2

3,

1 1 2 2 3 31entspricht

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ .P Px y z i i

i

R xe ye ze x e x e x e x e=

= + + + + =∑�

≙

(2-4)

Es ist oft nicht nötig, die Basisvektoren mit aufzuschreiben, man definiert

�

( )

Spalenvektor

Zeilenvektor

ˆ ˆ ˆKoordinatentripels:

ˆ ˆ ôder , ,

x y z

x y z

x

y xe ye ze

z

x y z xe ye ze

≡ + +

≡ + +��

(2-5)

Damit kann man etwa schreiben

2. Koordinaten und Vektoren 17


( ) ( ) ( )ˆ ˆ ˆ1,0,0 , 0,1,0 , 0,0,1x y ze e e= = =

(2-6)

Rechenregeln:

Alle Regeln folgen unmittelbar aus der Bedeutung von Koordinaten als Skalierung des Maßssta-bes.

Addition

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )

( ) ( )

1 2 3 1 2 3 1 2 3

1 1 1 2 2 2 3 3 3

1 1 2 2 3 3

1 1 2 2 3 3

für , , , , , , , , :

Addition: ˆ ˆ ˆ

, ,

Subtraktion: , ,

Kommutativgesetz:

Assoziativgesetz:

a a a a b b b b c c c c

a b a b e a b e a b e

a b a b a b

a b a b a b a b

a b b a

a b c a b c

≡ ≡ ≡

+ = + + + + +

= + + +

− = − − −

+ = ++ + = + +

�

� �

�

�

�

�

� �

� �

� �

� � � �

(2-7)

Abbildung 2-2: Veranschaulichung der Addition und Subtraktion, des Kommutativ- und des Assoziativgesetzes

Multiplikation mit Skalar

( )( )

( ) ( )

1 2 3Multiplikation mit Skalar: , , ;

Distributivgesetz: ;

Assoziativgesetz: .

a a a a

a b a b

a a

λ λ λ λ

λ λ λ

λµ λ µ

≡

+ = +

=

�

� �

� �

� �

(2-8)


Abbildung 2-3: Veranschaulichung der Multiplikation von Vektoren mit einem Skalar

Inneres Produkt oder Skalarprodukt

Die Basisrichtungen sollen unabhängig voneinander sein, was durch ein so genanntes inneres Produkt ausgedrückt werden kann.

�

Inneres Produktoder Kroneckersches -Deltasymbol

Skalarprodukt

1 für ;ˆ Înneres Produkt oder Skalarprodukt:

0 für .i j ij

i je e

i jδ

=⋅ = ≡ ≠

��

(2-9)

Skalarprodukt zwischen Vektoren: Das Skalarprodukt '⋅' für die Basisvektoren in (2-9) führt unmittelbar auf das Skalarprodukt zwi-schen Vektoren.

( ) ( )

�

� � � �

1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3

3

, 1

1 1 1 1 1 2 1 2 3 2 3 2 3 3 3 3

1 0 0 1

3

1 1 2 2 3 31

Skalarprodukt: ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ îj

i j i ji j

i ii

a b a e a e a e b e b e b e

a b e e

a b e e a b e e a b e e a b e e

a b a b a b a b

δ=

=

⋅ = + + ⋅ + +

= ⋅

= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅

= + + =

∑

∑

�

�

…

(2-10)

Länge eines Vektors: Nach dem Satz des Pythagoras ergibt sich, dass das Quadrat der Länge eines Vektors die Summe über die Koordinatenquadrate ist. Wir definieren daher



32 2 2 2

1

Länge des Vektors : ii

r r r r r x x y z=

≡ ≡ ⋅ = = + +∑� � � �

(2-11)

Abbildung 2-4: Länge eines Vektors nach dem pythagoreischen Lehrsatz.

Interpretation des Skalarprodukts zwischen zwei Vektoren:

�

( )�

ˆProjektion auf -Achse: cos ;

ˆ ˆProjektion auf den speziellen Vektor : cos ;

Unabhängig vom Koordinatensystem: cos .

x xa

x x

b

x a e a a

b be a be ab

a b ab

α

α

α

⋅ = =

≡ ⋅ =

⋅ =

�

�

�

�

�

�

�

(2-12)

In (2-12) haben wir eine sehr interessante Verallgemeinerung vorgenommen. Im mittleren Aus-druck stehen Größen die weder von den Basis-Vektoren noch den Koordinaten abhängen, also Vektoren, Längen und Winkel. Der Ausdruck muss also ganz allgemein gelten, obwohl er für den

speziellen Vektor ˆxb be=�

formuliert wurde. Diese Methode wird in der Physik oft angewendet.

Man kann zur Ableitung allgemeiner Zusammenhänge spezielle Basisvektoren wählen, mit denen die Ableitung besonders einfach ist. Den Zusammenhang zwischen verschiedenen Koordinaten-systemen mit verschiedenen Basisvektoren schauen wir uns gleich noch genauer an.

Abbildung 2-5: Skalarprodukt als Produkt der Vektorenlängen und dem Cosinus des eingeschlossenen Winkels.


Rechenregeln für das Skalarprodukt

( ) ( )( )

( )( )

�

� �

( )( )

� �

Multiplikation mit Skalar:

Kommutativgesetz:

Distributivgesetz:

i i i ii i

i i i i

i i i i

i i i

a b a ba b

a b b a

a c b ca b c

a b a b a b

a b b a

a b c a c b c

λ λλ

λ λ λ

+

⋅ = ⋅ = ⋅

∑ ∑∑

⋅ = ⋅

∑ ∑

+ ⋅ = ⋅ + ⋅

∑ ∑∑

� � ��

��

� ��

� ��

��

(2-13)

Einheitsvektoren

Die Grundeinheiten des Koordinatensystems (2-3) sind durch die Basis bzw. die Richtungsmaß-stäbe ie gegeben. Wir können sie als Vektoren der Länge 1 auffassen. Das ist ja eine wesentliche

Grundlage des Skalarproduktes in (2-9). Jeder beliebige Vektor r� kann nun auf die Länge 1 'nor-

miert' werden und wird dann bezeichnet als

2

2

ˆÊinheitsvektor:

ˆ ˆ însbesondere gilt: 1

ûnd

i ii

ii

e xr

rr

x

r r r

r r r

≡ =

= ⋅ =⋅ =

∑

∑

�

�

(2-14)

Basistransformationen

Die Basisvektoren werden willkürlich ausgewählt. Man kann ganz andere Richtungen wählen, was jedoch die durch sie beschriebenen räumlichen Beziehungen nicht beeinflusst. Man sagt, ein Vek-tor hat verschiedene Darstellungen. Da alle Darstellungen jedoch denselben Vektor meinen, gibt es eine Beziehung oder Transformation zwischen ihnen, die so genannten Basistransformationen.

�

Gleichheit von übliche Schreibweiseursprüngliches transformierterVektoren, nicht für Vektor in

Koordinatensystem Koordinatensystemvon Zahlen! transfor

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′= + + = + + =� �

�� x y z x y zR xe ye ze x e y e z e R

�

mierter Basis

(2-15)

Obwohl ein Vektor unabhängig von der Basis ist, kennzeichnet man ihn in der transformierten Basis aus praktischen Gründen doch gerne mit einem Strich.

In der transformierten Basis müssen die Richtungen wieder unabhängig voneinander sein. Dies schränkt die möglichen Transformationen ein.

�

3

1

3 3 3

, 1 , 1 1

3

1

Basistransformation:ˆ ˆ

Bedingung:ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

also:kl

i ik kk

ij i j ik k jl l ik k l jl ik jkk l k l k

ik jk ijk

e T e

e e T e T e T e e T T T

T T

δ

δ

δ

=

= = ==

=

′ =

′ ′= ⋅ = ⋅ = ⋅ =

=

∑

∑ ∑ ∑

∑

(2-16)



T beschreibt eine so genannte Basistransformation, genau dann, wenn die untere Gleichung von (2-16) erfüllt ist.

Daraus ergibt sich auch, wie die Koordinaten transformiert werden müssen.

��

�

3

1

3

1

3 3 3!

Forderung1 , 1 1ˆ

3

1

3 3 3 3 3

1 , 1 1 1 1

ˆ ˆ âus:

folgt:

oder umgekehrt:

ik kk

ik jk kk

i i i ik k k ki i k k

T e

k i iki

j i ij i ik jk jk i ik jk ki i k k i k

T T x

x e x T e x e

x xT

x x xT T T xT T xδ

=

=

= = ==

=

= = = = =

′ ′ ′= =

∑

′=

′ ′ ′ ′= = = =

∑

∑ ∑ ∑

∑

∑ ∑ ∑ ∑ ∑��

(2-17)

Beispiel: Austausch zweier Achsen

( ) ( ) ( ) ( ){ }

3

1 11

3

2 21

3

3 31

3 3

1 2 1 31 1

Transformationsmatrix: 1 für , 1,2 , 2,1 , 3,3

0 sonst

Bedingung für Basis-Tranf.0 1 0 1,

1 0 0 1,

0 0 1 1,

... 0

Transformierte

=

=

=

= =

∈=

= + + =

= + + = = + + = = = =

∑

∑

∑

∑ ∑

ij

j jj

j jj

j jj

j j j jj j

i jT

T T

T T

T T

T T T T

1 1 12 2 3 2

2 21 1 2 3 1

3 1 2 33 3 3

Koordinaten: 0 0

0 0

0 0

′ = ⋅ + ⋅ + ⋅ = ′ = ⋅ + ⋅ + ⋅ = ′ = ⋅ + ⋅ + ⋅ =

x x T x x x

x T x x x x

x x x T x x

(2-18)

Zur Übung können wir noch überprüfen, dass das Skalarprodukt zwischen zwei Vektoren tat-sächlich nicht von der Basis abhängt.

( )

3 3 3 3 3

1 , , 1 , 1 1 1

Transformationsbedingungkl

j j jk k jl l k l jk jl k kj j k l k l j k

a b a b T a T b a b T T a b a b

δ

= = = = =

′ ′ ′ ′⋅ = = = = = ⋅∑ ∑ ∑ ∑ ∑� �

� �

��

(2-19)

Für das Skalarprodukt ist es also egal, welche Basis man wählt, wenn nur die Transformationsbe-dingung (2-16) erfüllt ist. Wir sehen somit, dass die Länge eines Vektors und der Winkel zwi-schen zwei Vektoren wirklich nicht vom Koordinatensystem abhängen.

Kreuzprodukt oder Vektorprodukt

Neben der Abbildung zweier Vektoren auf einen Skalar oder eine Zahl mit dem inneren Produkt kann man noch ein weiteres Produkt für Vektoren definieren, das aus zwei Vektoren einen macht, das Kreuz- oder Vektorprodukt.

Hilfsgröße:


( )( )

( )

1 für zyklisch 123,231,312 ;Antisymmetrischer Fundamental-

-1 für antizyklisch 321,213,132 ;tensor oder Levi-Civita-Tensor:

0 sonst;

also antisymmetrisch

und 0.

ijk

ijk jik

iik iik

ijk

ijkε

ε εε ε

=

= −

= − =

(2-20)

Kreuzprodukt für Basisvektoren: 3

1

ˆ ˆ ˆDefinition:

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆz.B.: , , , 0

i j ijk kk

x y z y z x x z y x x

e e e

e e e e e e e e e e e

ε=

× ≡

× = × = × = − × =

∑

(2-21)

Symmterie:

( )ˆ ˆ ˆ ˆ antisymmetrischi j j ie e e e× = − ×

(2-22)

Abbildung 2-6: Symmetrie des Kreuzproduktes. Austausch der Faktoren führt zu Vorzeichenwechsel des Ergebnisses (antysimmetrisch)

Kreuzprodukt zwischen Vektoren: Aus dem Kreuzprodukt zwischen den Basisvektoren ergibt sich sofort das



�

( ) ( ) ( )

3 3 3

, 1 , 1 , , 1ˆ

Kreuzprodukt:ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ

ijk k

i i j j i j i j ijk i j ki j i j i j k

e

y z z y x z x x z y x y y x z

y z z y

z x x z

x y y x

a b a e b e a b e e a b e

a b a b e a b a b e a b a b e

a b a b

a b a b

a b a b

ε

ε= = =

× = × = × =

= − + − + −

−

= − −

∑ ∑ ∑�

�

(2-23)

Interpretation des Kreuzproduktes Betrag:

( ) ( ) ( )�

( () )

(��

2 2

2

, , , , , , , , , ,

3

, , , 1

. . . .. . . .

ˆ ˆ ˆ ˆ

ko

im jn in jm

ijk i j k mno m n o i m j n ijk mno k oi j k m n o i j k m n o

i m j n ijk mnk i i j j i i ji j m n k

a b

zykl zykl zykl antizantizykl antiz antiz zykl

a b a b e a b e a a b b e e

a a b b a a b b a b a

δ

δ δ δ δ

ε ε ε ε

ε ε=

−− −− −

× = ⋅ = ⋅

= = −

∑ ∑

∑ ∑

��

�� ( ) ( )

)

( )( )( )

[ ]

2 22 2

2

,cos

22 2

sin

1 cos

also: sin für 0,

ji j

a b a b

b

a b

a b ab

α

α

α

α α π

⋅ =

= −

× = ∈

∑�

�

��

��

��

(2-24)

Der Betrag des Kreuzproduktes entspricht also genau Inhalt des durch die beiden Vektoren auf-gespannten Parallelogramms.

Richtung:

�

�

�

steht senk-recht auf

, , ,

, , , ,

Umbenennung, , , ,,

0

,

da:ˆ ˆ

also 0

ijk jik

i i jkl j k li j k l

i j k ijk i j k jiki j k i j k

j i k jik i j k ijki j k i j k

i j j i

x x x

c a b a b

a c a e a b e

a a b a a b

a a b a a b

a c a c

ε ε

ε

ε ε

ε ε

=−

→ →

=− ⇒ =

= × ⊥

⋅ = ⋅

= = −

= − = −

⋅ = − ⋅ =

∑

∑ ∑

∑ ∑

� ��

� �

� � � �

��

( )cos 0, / 2 rechter Winkel

analog: 0

a c ac

b c

α α π⋅ = = =

⋅ =

� �

��

(2-25)

Das Kreuzprodukt steht also senkrecht auf dem durch die beiden Vektoren aufgespannten Paral-lelogramm.


Abbildung 2-7: Das Kreuzprodukt zweier Vektoren a,b bildet einen Vektor c, der senkrecht auf dem durch a und b aufgespannten Parallelogramm steht und dessen Länge dem aufgespannten Flächenin-halt entspricht.

Das Spatprodukt gibt den Inhalt des durch die Vektoren a,b und c aufgespannten Spatkristalls an

Spatprodukt

� � �

( ) ( )

FlächeVolumen Höhe

Volumen des Spatkristalls: ;

ˆ'Orientierte Fläche': ;

ˆHöhe: ;

ˆVolumen=Spatprodukt: , , .

z

z

z

V F h

a b Fe

e c h

V a b c Fh Fe c a b c

=

× =⋅ =

= = ⋅ = × ⋅

�

�

�

� �

� � � � �

(2-26)

Hinweis: Das Koordinatensystem wurde so gewählt, dass die Fläche in der x-y-Ebene liegt und damit der Vektor c in z-Richtung zeigt.

Rechenregeln für das Kreuzprodukt

( ) ( )( )

( )( )

�

, ,, , , ,

, , , ,

ˆˆ ˆ

ˆ ˆ

wegen -

Multiplikation mit Skalar:

Antisymmetrie: Komm

ijk i j kijk i j k ijk i j ki j ki j k i j k

ijk i j k jik j i ki j k i j k

ijk jik

a b ea b e a b e

a b e b a e

a b a b a b

a b b a

ε λλ ε ε λ

ε ε

ε ε

λ λ λ

−

=

× = × = ×

∑∑ ∑

× = − ×

∑ ∑

� � ��

��

� ��

��( )

( )( )

� �

, , , ,

, ,

ˆ ˆˆ

utativgesetz gilt nicht!

Distributivgesetz:

ijk i j k ijk i j ki j k i j kijk i i j k

i j k

a c e b c ea b c e

a b c a c b c

ε εε +

+ × = × + ×

∑ ∑∑

� ��

��

(2-27)

Geraden und Ebenen im Raum

Vorausgehend haben wir die räumliche Beziehung zwischen zwei Punkten bzw. zwischen einem Bezugspunkt und einem weiteren Punkt durch Vektoren beschrieben.

Wir beschreiben nun eine gerade Linie oder ein Geradenstück, die oder das zwei vorgegeben

Punkte a� undb

�

verbindet:



( ) ( ) [ ]{ }Gerade Linie Geradenstück : , mit 0,1

also: für 0

für 1

L x a b a

x a

x b

λ λ

λλ

≡ = + − ∈

= =

= =

�

� � �

� �

�

�

(2-28)

Diese gerade Linie kann man gedanklich nach beiden Seiten gerade verlängern und kommt zur

( ){ }Geraden , mit G x a b aλ λ≡ = + − ∈��

ℝ

(2-29)

In einer genialen Vereinfachung der Verhältnisse kann man mit so einer Geraden zum Beispiel die Bewegung eines Objektes im kräftefreien Raum beschreiben. Messen kann man so eine Ge-rade jedoch nur näherungsweise! Genau genommen findet man solche Geraden in der Körper-welt nicht.

Abbildung 2-8: Gerade G, aufgespannt durch zwei Vektoren im Raum

Durch einen weiteren Punkt c� kommt man zu den drei Geradenstücken

( ) [ ]{ }( ) [ ]{ }( ) [ ]{ }

1 1 1

2 2 2

3 3 3

, mit 0,1

, mit 0,1

, mit 0,1

L x a b a

L x a c a

L x b c b

λ λ

λ λ

λ λ

≡ = + − ∈

≡ = + − ∈

≡ = + − ∈

�

� � �

� � � �

� �

� �

(2-30)

Diese bilden ein Dreieck im Raum. Wir sehen darin eine Fläche oder ein Ebenenstück und erwei-tern dieses wieder zu einer gedanklich unendlichen

( ) ( ){ }1 2 1 2Ebene: , mit ,E x a b a c aλ λ λ λ≡ = + − + − ∈��

ℝ

(2-31)

Abbildung 2-9: Ebene E, aufgespannt durch drei Vektoren a,b,c im Raum


Als eine erste Anwendung überlegen wir, wie man den Schnittpunkt einer Geraden mit der Ebe-ne berechnen kann.

( ) ( ) ( ){ }( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )( )

1 2

1 2

1 2

1 2

Schnittpunkt: und

Bedingung: 0

0

Skalare

Gleichungen:

G G G G

G G G G

G G G G G G

G G G G

S x a b a x a b a c a

a b a a b a c a

b a a b a a b a c a

b a a b a a b a c a

λ λ λ

λ λ λ

λ λ λ

λ λ λ

≡ = + − = + − + −

+ − − − − − − =

− ⋅ + − − − − − − =

− ⋅ + − − − − − − =

� �

� � � � � � � �

� �

� � � � � �

� � �

� � � � � � �

� � �

� � � � � � �

( ) ( ) ( ) ( )( )1 2

0

0G G G Gc a a b a a b a c aλ λ λ

− ⋅ + − − − − − − =

� �

� � � � � � � �

(2-32)

Man erhält so drei Gleichungen für λG, λ

1, und λ

2. Es genügt, λ

G zu bestimmen und in die Gera-

dengleichung einzusetzen.

Übungsaufgaben:

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

1. Seien 3,2,1 , 2, 3, 4 , 5, 1, 3 Vektoren. Berechnen Sie

) , ,

) , , ,

) ,

) cos , , sin , , ,

a b c

a a b c

b a b c a b c a b c a b c

c a b a b

d a b a b a b

= = − − = − −

+ + + − − + − −

⋅ ×

��

��

� � � ��

� ��

� � �� ∢ ∢ ∢

(2-33)

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

2. Zeigen Sie, dass die Vierecke Parallelogramme sind

) 2,1 , 4, 1 , 7,2 , 1,4 und

3,2,1 , 6,3,4 , 5, 1,2 , 2, 2, 1

) Wie groß sind die Flächeninhalte der Parallelogramme?

ABCD

a A B C D

A B C D

b

= − = − = =

= = = − = − −

(2-34)

( )2 2 2

3. Beweisen Sie mit Hilfe der Vektorrechnung den

) Kosinusatz: 2 cos und den

) Sinussatz:sin sin sin

a a b c bc

a b cb

α

α β γ

= + −

= =

(2-35)

( ) ( )4. Gegeben seien die Punkte 1,2,3 und 2,1,0 .

) Geben Sie die Gleichung der durch die Punkte

und gehenden Geraden an

) Bestimmen Sie den Punkt , der die Verbindungsstrecke halbiert

P Q

a P

Q

b M PQ

= =

(2-36)



( ) ( ) ( )

( )

1 2

5. ) Gegeben Sie die Parameterdarstellung der Ebene an, die durch die drei

Punkte 4,2, 1, , 3,4, 1 und 3,3,3 geht!

ˆ) Bestimmen Sie den Normaleneinheitsvektor von

) Liegt der Punkt 5,3, 13

a E

P Q Q

b n E

c X

= − = − =

= − in ?E

(2-37)

3. Grenzwerte, Folgen und Reihen Folgen

Indem wir jeder natürlichen Zahl n eine Zahl an zuordnen, bilden wir eine

( )( ) 1 2 3

Folge :

also: , , ,...

komplexe Folge:

n n

n

n

a n a

a a a a

a

∈ → ∈≡

∈

ℕ ℝ

ℂ

(3-1)

Beispiele:

( )1) 1

22) 2 3

n

n

n

a

a in

= −

= + −

(3-2)

Abbildung 3-1: Konvergente und divergente Folge nach (3-2)

Konvergente Folgen Eine komplexe Folge (a

n) konvergiert gegen den Grenzwert a, also

lim nn

a a→∞

=,

(3-3)

wenn zu jeder positiv reellen Zahl ε eine natürliche Zahl nε existiert, so dass

für alle na a n nεε− < >

(3-4)

ist.

Schlägt man also in der Gaußschen Zahlenebene um a einen Kreis mit beliebig kleinem Radius ε, so lässt sich für eine konvergente Folge immer ein nε finden, so dass alle weiteren Folgeglieder in diesem Kreis liegen.

Betrachten wir die im rechten Bild von Abbildung 3-1 dargestellte Folge.


( ) 2Folge: 2 3

Grenzwert: 2 3

Beweis:

2Bedingung für :

2 2damit: für alle

n

n

a in

a i

n n

a a n nn n

ε ε

εε

ε

ε

= + −

= +

∈ ≥

− = < < >

ℕ

(3-5)

Vor allem ist die Folge (an)=1/n konvergent.

( )

( )

1Folge:

Grenzwert: 0 Nullfolge

Beweis:

1Bedingung für :

1 1damit: für alle

n

n

an

a

n n

a a n nn n

ε ε

εε

ε

ε

=

=

∈ ≥

− = < < >

ℕ

(3-6)

Als Gegenbeispiel dient der linke Teil von Abbildung 3-1. Legt man etwa einen Kreis vom Radi-us ε=1 um 1 oder -1, so liegt das nächste Folgenglied unweigerlich außerhalb des Kreises.

Divergente Folgen Eine Folge, die keinen Grenzwert besitzt, heißt divergent. Ein Beispiel dafür ist die Folge (a

n) =

((-1)n) =-1,1,-1,… im linken Teil von Abbildung 3-1. Eine reelle Folge heißt bestimmt divergent, wenn für jede 'noch so große' positive reelle Zahl A eine natürliche Zahl N existiert, das dass alle an mit n>N größer als A (oder kleiner als –A) werden. Die Folge besitzt dann den 'uneigentlichen

Grenzwert +∞ (oder -∞)'.

( ) ( )

( ) ( )( )n

n

bestimmt divergente Folge: 2 2,4,8,16,...

Grenzwert: lim

divergente Folge: 2 2, 4, 8, 16,...

Grenzwert: lim existiert nicht

nn

n

n

n

n

a

a

a

a

→∞

→∞

= =

= ∞

= − = − + − +

(3-7)

Rechenregeln zur Bestimmung von Grenzwerten Addiert, subtrahiert, multipliziert oder dividiert man bei zwei konvergenten Folgen immer die entsprechenden Glieder, so erhält man eine neue Folge, deren Grenzwert gleich Summe, Diffe-renz, Produkt oder Quotient der Grenzwerte der ursprünglichen Folgen ist. Durch '0' darf man jedoch auch hier nicht teilen:

3. Grenzwerte und Reihen 31


Beispiele:

1 1lim 2 lim 2 lim 2 0 2

1 11 lim1 lim1 1 0 1

lim lim2 13 2 3 2 0 33 lim3 2 lim

n n n

n n

n n

n n

n n

n n nn

n n

→∞ →∞ →∞

→∞ →∞

→∞ →∞

→∞ →∞

+ = + = + =

+ + + + = = = = + + ⋅ + +

(3-8)

Reihen

Wir betrachten die komplexe Folge (an) und die Folge von Partialsummen S

n:

( )

( )1

1

Folge:

Partialsummen:

neue Folge:

existiert lim ,

dann nennen wir eine konvergente Reihe

n

N

N nn

N

N nN

n

a

S a

S

S a S

S

=

∞

→∞ =

=

= ≡

∑

∑

(3-9)

Beispiele für Reihen

( )( )

21

2

1

Reihe: 1 1 1 1 1...

4 1 3 15 35 63

1 2 3 4 ...

1 2 3 4 1...

3 5 7 9 2

0.3 0.40 0.428571 0.4 ... 0.50

Grenzwert: 1

2Beweis:

Aufspalten: 1 1 1 1 1

4 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1

neu zusammenfassen:1 1 1 1

2 2 1 2 1 2

n

N

n

n

N

S

S

n n n n n

n n

∞

=

∞

=

= + + + +−

∞

=

=

= = − − − + − +

− = − +

∑

∑1 1 1 1 1 1

1 ...3 3 5 5 7 7

1

2

− + − + − + −

=

(3-10)


( )

1

Harmonische Reihe: 1 1 1 11 ...

2 3 4

2 3 4 5 ...

3 11 25 137...

2 6 12 60

1.50 1.83 2.083 2.283 ...

divergiert bestimmt

n

N

n

N

S

∞

=

= + + + +

∞

∞

= ∞

∑

(3-11)

Potenzreihen

1

Potenzreihe: , ,nn n

n

x xα α∞

=

∈∑ ℂ

(3-12)

Beispiele

( ) ( ) ( )

1 2 3

1 0

0

2 1 2 2 1 1

2 1

Geometrische Reihe:1 ...

Grenzwert: für jedes mit 1 ist

1

1

Beweis:

1 1 ... 1 ...

1

1also: 1 ...

1

und lim

n n

n n

n

n

N N N N

N

NN

N

N

x x x x x

x x

xx

x x x x x x x x x x x

x

xS x x x

x

S S

∞ ∞−

= =

∞

=

− − −

−

→∞

= + + + + =

∈ <

=−

− ⋅ + + + + = − + − + − + −

= −−= + + + + =−

=

∑ ∑

∑

ℂ

( )0

1 lim 1für 1

1 1

für -1: 1 , divergiert unbestimmt, siehe Abbildung 3.1 links

N

NN

n

n

xx

x x

x

→∞

∞

=

−= = <

− −

= −∑

(3-13)

( )

( )

( )

2 3

0

0

0

Mit Fakultät: ! 1 2 3 , 0! 1

Exponentialreihe:1 ...

! 2 2 3

Konvergenz:für jedes ist Exponentialfunktion

!

mit 12.71828182846... keine Periode!

!

n

n

nx

n

n

n n

x x xx

n

xx e

n

en

∞

=

∞

=

∞

=

= ⋅ ⋅ ⋅ ≡

= + + + +⋅

∈ =

= =

∑

∑

∑

…

ℂ

(3-14)

Der Konvergenzbeweis kommt gleich beim Quotientenkriterium.

Mit der Exponentialreihe lässt sich auch das



�

'für alle'

Multiplikationstheorem , ,

und cos sin ,

x y x y

ix

e e e x y

e x i x x

+= ∀ ∈

= + ∀ ∈

ℂ

ℝ

(3-15)

beweisen.

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )

( )

2

0

1/ 2 2 3

Mit Binominalkoeffizienten: 1 2 1

!

Binominalreihe >0 : 11 1 ...

2

konvergiert für jedes 1

Beispiel 1/ 2: 1 1 11 1 1 ...

2 8 16

n

n

n

n n

x x x xn

x

x x x x x

α

α α α αα

α α α αα

α

∞

=

⋅ − ⋅ − ⋅ − − ≡

− + = = + + +

<= + = + = + − + +

∑

…

(3-16)

Die Reihe konvergiert sehr schnell, die Glieder werden sehr schnell klein. Man kann daher mit (3-16) auch krumme Potenzausdrücke sehr gut annähern.

Konvergenzkriterien

1

1

1'bis auf endlichviele Ausnahmen'

1 1

Majorantenkriterium

Reihe:

konvergente Reihe:, mit 0

Kriterium:gilt für fast alle : dann konvergiert

Beweis:

nn

n nn

n n nn

N n nn N n N

a

b b n

n a b a

S S a a

∞

=

∞

=

∞

=

∞ ∞

= + = +

> ∀ ∈

<

− = ≤

∑

∑

∑

∑

ℕ

��

für 1

0nN

n N

b∞

→∞= +

≤ →∑ ∑

(3-17)


1

'bis auf endlichviele Ausnahmen'

11

1

22 1 3 2

Quotientenkriterium:

konvergiert, wenn fast immer 1 ist

divergiert, wenn fast immer 1 ist

Beweis:

aus

folgt ,

+

∞

=+

+

≤ <

≥ >

≤

≤ ⋅ ≤ ⋅ ≤ ⋅

∑

��

n

n

nn

n

n

n

n

a

aa

a

a

a

a

a a a a a

δ

δ

δ

δ δ δ

�

1 1

11

1 1 1

konvergiert

, ,

Majorante:

1

∞ ∞ ∞

= = =

≤ ⋅

≤ ≤ =−∑ ∑ ∑

…n

n

nn n

n n n

a a

aa a a

δ

δδ

(3-18)

( )( )

0

1

11

Anwendung des Quotientenkriteriums:

Exponentialreihe:

!

Konvergenz:

1 ! !1 1

1 ! 1!

nx

n

n

nn

n nn

xe

n

xxna n x x

nxa n x nn

δδ

∞

=

+

++

=

+= = = ≤ < ∀ ≥ −

+ +

∑

(3-19)

Übungsaufgaben:

( )

( )

1. Berechnen Sie die Grenzwerte folgender Folgen falls sie existieren

1 2 3 ...)

1 2 3 ...)

2 2)

)

) 1

n

n

na

nn n

bn

c i

id

n

e n n n

+ + + +

+ + + + −+

+ −

(3-20)



( )14

2. Berechnen Sie 3 in 2. Ordnung einer Reihenentwicklung

Trick: 3 2 1

3. Was läßt sich mit Hilfe des Quotientenkriteriums über

Konvergenz oder Divergenz der harmonischen Reihe sagen?

= −

4. Beweisen Sie mit Hilfe der Binomialreihe, dass

1lim 1

ist.

n

ne

n→∞

+ =

( )

( )

n=0

0 0 0

5. Aus und!

folgt! ! !

Rechnen Sie dies bis zu Termen 4. Ordnung nach!

D.h. nur Terme mit 4 sollen berücksichtigt werden

∞+

∞ ∞ ∞

= = =

= ⋅ =

+⋅ =

+ ≤

∑

∑ ∑ ∑

nx x y x y

nn n

n n n

k l

xe e e e

n

x yx y

n n n

x y k l

( )0

6. Beweisen Sie die Konvergenz der Binomialreihe

1 für 1 und 0n

n

x x xn

α αα

∞

=

+ = < > ∑

4. Reelle Funktionen einer reellen Veränderlichen

Reellwertige Funktionen

Eine Funktion oder Abbildung ordnet jedem Punkt aus dem Definitionsbereich genau einen Punkt in einem Wertebereich oder Bild zu:

�

( )( ) ( ){ }

Teilmenge

Funktion bildet denDefinitionsbereich aufdie reellen Zahlen ab

Definitionsbereich:

reelle Funktionswerte:

Wertebereich: , mit ,

allgemeiner Abbildungsbegriff: :f

M

x M

y f x

f M y y f x x M

f M

∈ ⊂

== ∈ = ∈

→

ℝ

ℝ

ℝ

ℝ��

(4-1)

Geometrische Interpretation Die Funktion f kann durch Punkte in einem Koordinatensystem als Graph dargestellt werden.

( )( )Vektor

Graph oder Kurve von : , , mit f x f x x M ∈ ��

(4-2)

Oft bildet die Menge aller dieser Punkte eine zusammenhängende Kurve. Man spricht dann von einer stetigen Funktion.

Abbildung 4-1:Veranschaulichung der Funktion f als Graph oder Kurve in einem Koordinatensystem

Physikalische Beispiele

Bei einem Fallexperiment lässt man einen Körper vor einem Maßstab fallen. Eine Kamera macht alle 0.1 Sekunden ein Bild. Auf den Bildern kann man dann zu jedem Zeitpunkt t=0, 0.1, 0.2, … die Fallhöhe auf 2 cm genau ablesen.


( )

( )

( ) 2 2

Messwerte:

0 .1 .2 .3 .4 .5 .6 .7 .8 .9 1

480 480 460 440 400 360 300 240 160 80 0

500 500 480 460 420 380 320 260 180 100 0

Funktion: 500 500 /

Min

Max

t sek

h cm

h cm

h t cm t cm sek

= − ⋅

(4-3)

Die Funktion h(t) ist so gewählt, dass sie zu jedem Messzeitpunkt t=0, 0.1, …sek durch das ge-messene, 20 cm große Intervall geht.

Abbildung 4-2: Physikalische Verwendung einer Funktion h(t) zur Beschreibung von Höhenmesswerten bei einem Fallexpe-

riment. Aus den Messwerten kann man auf die mittlere Geschwindigkeit des Körpers zwischen zwei Messzeitpunkten schließen. Da die Messung der Fallhöhe jedoch mit einer Ungenauigkeit oder Unschärfe behaftet ist, erhält man aus der Messung nur eine Abschätzung über die minimale und maximale mittlere Geschwindigkeit zwischen zwei Messpunkten.

( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( ) ( )

1, 1

1, 1

1, 1

Mittlere Geschwindigkeiten:

,

Min MaxMin n n

n nn n

n n Max MinMax n n

n n

h t h tv

h t h t tvt h t h t

vt

++

++

++

−≡− ∆≡ ∆ − ≡ ∆

(4-4)

( )

( )

( )

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

200 0 0 200 200 400 400 600 600 800 /

200 400 400 600 600 -800 -800 -1000 -1000 -1000 /

Funktion: 1000

Min

Max

t sek

v cm sek

v cm sek

v t t

− − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −

= − ⋅ 2/cm sek

Wieder kann man eine Funktion der Zeit angeben, diesmal für die Geschwindigkeit v.

4. Reelle Funktionen einer reellen Veränderlichen 39


Abbildung 4-3: Physikalische Verwendung einer Funktion v(t) zur Beschreibung der Geschwindigkeit eines Körpers bei

einem Fallexperiment. Messungen sind immer mit einem Messfehler oder einer Unschärfe behaftet und können nur zu endlich vielen Zeitpunkten stattfinden. Durch die Beschreibung des Fallvorganges mit Funktio-nen wird der raum-zeitlich Prozess des Fallens zu der Bewegung auf einer Bahnkurve idealisiert. Das ist die Grundlage der gesamten klassischen Mechanik. Auf ihr lassen sich sehr viele Proble-me lösen.

Wir haben nun die Vorstellung entwickelt, dass sich der fallende Körper tatsächlich auf einer solchen 'Bahnkurve' bewegt, die wir durch die Funktionen h(t) und v(t) beschreiben. Tatsächlich kann in der Natur eine solche Bahnkurve grundsätzlich nicht beliebig genau beobachtet werden. Es gibt eine Naturkonstante, das Plancksche Wirkungsquantum h, das die maximale Genauigkeit einer solchen Messung angibt. Es gilt Grundsätzlich

�

Plancksches Wirkungsquantumgeteilt durch 2

Ortsunschärfe Geschwindigkeitsunschärfe Masse

π

⋅ ⋅ ≥ ℏ

(4-5)

Beim obigen Fallexperiment kann das ignoriert werden, bei einem Elektron in einer Brownschen Röhre wie im Praktikum allerdings nicht.

Die prinzipielle Unschärfe physikalischer Phänomene ist Grundlage etwa für die Atomstrukturen, das Periodische System der Elemente, die Gesetze der Chemie oder die Halbleiterelektronik. Bahnkurven zur Beschreibung von Bewegungsabläufen sind ein geniales mathematisches Hilfs-mittel, das die tatsächlichen Gegebenheiten jedoch nur annähernd wiedergibt.

Als weiteres Beispiel zur Beschreibung physikalischer Zusammenhänge betrachten wir eine Fahr-radpumpe, bei der wir den Gasaustritt zuhalten und dann mit Kraft den Kolben hineindrücken. Der notwendige Druck P hängt vom Volumen V des Gases ab und kann nach Van der Waals unter bestimmten Bedingungen durch die Funktion

( ) 2, , , konstant

c ap V a b c

V b V= −

−

(4-6)

beschrieben werden.


Abbildung 4-4: Physikalische Verwendung von Funktionen P(V) zur Beschreibung des Drucks auf den Kolben einer zuge-

haltenen Fahrradluftpumpe. Der Zusammenhang (4-6) gilt bei konstanter Temperatur des Gases im Kolben. Das Minimum des Druckes kommt daher, dass sich beim Zusammendrücken des Gases ab einem bestimmten Volumen zuerst die Anziehung der Atome und dann ihre Abstoßung bemerkbar machen.

Eigenschaften von Funktionen

Stetigkeit Eine reelle Funktion f heißt stetig in einem Punkt x aus M, wenn für alle Folgen x

1, x

2, x

3, ... aus

M, die x zum Grenzwert haben, auch die Bildfolgen f(x1), f(x

2), f(x

3), …alle denselben Grenzwert

f(x) haben. Ist dies für alle x aus M erfüllt, so heißt die Funktion stetig auf M.

( ) ( ) ( ) heißt stetig an der Stelle ,

wenn für jede Folge in mit lim gilt: limn n nn n

f x

x M x x f x f x→∞ →∞

= =

(4-7)

Abbildung 4-5: Funktion mit einer unstetigen Stelle bei x=X. Die Folge f(x'

n) konvergiert gegen einen anderen Grenzwert

als die Folge f(xn).

Umkehrbarkeit

( )

( )-1 1

heißt umkehrbar, wenn es

für jedes genau ein gibt mit

Umkehrfunktion oder Inverse: : ,

f

y N x M y f x

f N M y x f y−

∈ ∈ =

→ → =

(4-8)

Graphisch bedeutet die Umkehrung das Vertauschen der beiden Achsen.



Abbildung 4-6: Beispiel einer umkehrbaren Funktion und einer nicht umkehrbaren Funktion. Durch Einschränkung des

Definitionsbereichs auf a≤x≤c wird auch die Funktion rechts umkehrbar. Die Gleichung für die Umkehrfunktion erhält man durch Auflösen von y=f(x) nach x.

Beispiel:

( )214

1 912 2

: 2 , mit 0 4

: 4 2, mit

f y x x

f x y y−

= + ≤≤

= − ≤ ≤

(4-9)

Monoton wachsend und fallend

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

1 2 1 2

1 2 1 2

1 2 1 2

heißt monoton wachsend, wenn für alle auch ist

heißt streng monoton wachsend, wenn für alle auch ist

heißt monoton fallend, wenn für alle auch ist

heißt str

f x x f x f x

f x x f x f x

f x x f x f x

f

< ≤< << ≥

( ) ( )1 2 1 2eng monoton fallend, wenn für alle auch istx x f x f x< >

(4-10)

Zusammengesetze Funktionen Eine Funktion kann in mehreren Schritten aufgebaut werden:

( )( )

( ) ( )( )( ) ( ) ( )

1. Schritt: :

2. Schritt: :

Zusammen:

g z g x

h y h z

y f x h g x h g x

==

= = ≡ �

(4-11)

Es sind natürlich auch mehr als zwei Verknüpfungen möglich.

Beispiele:

( )( )

( ) ( )( )

( )( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( )

( )( ) ( )( )

3 3/ 2

3

1

1

1. ,

2. ,

sin1

3. , sin1

g x xf x g h x x x

h x x

g xf x g g x x

h x g x

g x xf x g h x

xh xx

−−

= = = ==

= ==

= = = =

(4-12)


Abbildung 4-7: Die Funktion f(x)=sin(1/x) oszilliert bei x=0 unendlich oft

Elementare Funktionen

Polynome

( ) 20 1 2

0

Polynom n'ten Grades: ... ,n

n kn k n

k

x P x a a x a x a x a x a=

= + + + + = ∈∑֏ ℝ

(4-13)

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 21

Fundamentalsatz der Jedes Polynom ' ten Grades hat komplexe Nullstellen

Algebra:

also: Es existieren , 1... , so dass 0 ist

daher: ...

Mehrfache Nullstellen:

k k

n

n k n kk

m n

n n

k n P

P x a x x x a x

λ λ

λ λ λ λ

λ λ=

∈ = =

= − ⋅ − ⋅ − = ⋅ −

=

∏ℂ

( ) ( )( )

mit

Komplexe Nullstellen: wenn Nullstelle, dann auch

0 0m n m

m n

a ib a ib

P a ib P a ib

λ λ λ≠

= + = = −+ = ⇒ − =

(4-14)

Beispiele:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

1

2 22

2

3 23

Gerade

4 4Parabel

2 2

Kurve 3. Ordnung

bP x ax b a x

a

b b ac b b acP x ax bx c a x x

a a

P x ax bx cx d

= + = +

− − + −= + + = + ⋅ +

= + + +

(4-15)



Abbildung 4-8: Die Graphen der Gerade P1, Parabel P

2 und Kurve 3. Ordnung P

3

Rationale Funktionen

( ) ( )( ) ( )

Rationale Funktion:

, , sind Polynome vom Grade und nn m

m

P xx R x P Q n m

Q x=֏

(4-16)

( ) ( )( ) ( )�

( )( )

( ) ( ) ( )

( )

0

Polynom

echt gebrochen

0 0 0

k'fache Nullstelle

echt gebrochen:

unecht gebrochen: , dann:

Pol k-ter Ordnung: 0 und 0 lim

0 für

Asymtotik: lim endlich für

n ki

m l

m n x x

x

m n

P x p xn m R x r x

Q x q x

Q x P x R x

m n

R x m

→

→∞

>

≥ = = +

= ≠ ⇒ = ∞

>= =

��

��

für

n

m n

±∞ <

(4-17)

Beispiel:

( )

( )

Hyperbel:

-Pol 1. Ordnung:

Asymtotik: limx

ax bR x

cx dd

xc

aR x

c→∞

+=+

=

=

(4-18)


Abbildung 4-9: Der Graph der Hyperbelfunktion

Irrationale Funktionen Sie entstehen zum Beispiel bei der Umkehrung von Polynomen

Beispiel

( )Funktion , 0

Irrationale Umkehrfunktion:

n

n

y x x

x y

= >

=

(4-19)

Abbildung 4-10: Die Graphen einfacher irratonaler Funktionen nach (4-19)

Transzendente Funktionen

Exponentialfunktion und Logarithmus Sie lassen sich nicht durch die Anwendung endlich vieler elementarer Rechenoperationen definie-ren, sondern nur durch unendliche Reihen.



( )

( )( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

0

0 1

Rechenr

Exponentialfunktion:

exp!

exp 0 1

exp 1 2.71828182846...

Potenzgesetze:exp exp exp

Inverse: exp exp exp 0 1

1exp

exp

Schreibweise bietet sich an: exp

1, 1, ,

n

n

x

x y x y xx

xx

n

e

x y x y

x x

xx

x e

e e e e e e ee

∞

=

+ −

≡

=

= =

⋅ = +

⋅ − = =

⇒ − =

≡

⋅ = = = =

∑

egeln für Potenzen!��

(4-20)

Umkehrfunktion der Exponentialfunktion

( )( ) ( )

( ) ( )

( )�

( ) ( ) ( )

( ) ( )

1

1

0!1exp !

exp

Exponentialfunktion: exp 0

Umkehrfunktion Logarithmus : exp ln

mit ln ln ln

ln ln ln

yy

y

y x

x y y

x y x y

xx y

y

−

−

>≠ =

= >

= ≡

⋅ = +

= −

��

(4-21)

Umrechnung in andere Grundzahl als e:

( )ln

ln

10

: , mit ln

Logarithmus zur Basis : log log log ln

Zehnerlogarithmus : log log

xx a x

a a x a

e a a e e a

a x e e x

x x

α α→ = = =

= = ⋅≡

(4-22)

Abbildung 4-11: Die Graphen von Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion


Trigonometrische Funktionen

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )� � �

( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

2 43

2 1 3 5

0

2 2 4

0

2 3 4

sin 1 ...2 1 ! 3! 5!

cos 1 1 ...2 ! 2! 4!

Eulersche Formel:cos sin 1

2! 3! 4!

und cos sin

1cos:

221

sin:22

nn

n

nn

n

ix

i ii

ix

ix ix

ix ix

x x xx x

n

x x xx

n

ix x xx i x ix i e

iix i x e

i iix e e

i ii x e eii

+∞

=

∞

=

+ +

−

−

−

≡ − = − + −+

≡ − = − + −

+ = + − − + =

− =

+ = +

− = −

∑

∑

(4-23)

Abbildung 4-12: Die Graphen der sin- und cos Funktion

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

sin 2 sinPeriode: für :

cos 2 cos

sin - sin antisymmetrischSymmetrie:

cos - cos symmetrisch

x n xn

x n x

x x

x x

ππ

+ ⋅ =∈ + ⋅ =

= − = +

ℤ

(4-24)

Ein Punkt auf dem Einheitskreis hat die Koordinaten

cos

sin

x

y

φφ

= =

(4-25)



Abbildung 4-13: Sinus und Cosinus als Koordinaten eines auf dem Einheitskreis umlaufenden Vektors

Weitere trigonometrische Funktionen

( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

3 5

2 4

sinTangens: tan

cos

cos 1Kotangens: cot

sin tan

1Sinus Hyperbolicus: sinh ...

2 3! 5!

1Kosinus Hyperbolicus: cosh 1 ...

2 2! 4!

−

−

≡

≡ =

≡ − = + + +

≡ + = + + +

x x

x x

xx

x

xx

x x

x xx e e x

x xx e e

(4-26)

Abbildung 4-14: Die Graphen der Exponential- und Hyperbelfunktionen

Trigonometrische Umkehrfunktionen

( ) ( ) [ ]( ) ( ) [ ]( ) ( )( ) ( )

1

1

1

1

1,1arcsin sin

1,1arccos cos

arctan tan

arccot cot

xx x

xx x

xx x

xx x

−

−

−

−

∈ −≡

−∈≡∈≡∈≡

ℝ

ℝ

(4-27)


Abbildung 4-15: Die Graphen der Umkehrfunktionen des Sinus und des Kosinus

Übungsaufgaben

( )( )( )( )( )

2

2

212

3

1. Suchen Sie die Nullstellen der folgenden Polynome und skizzieren Sie

die zugehörigen Graphen:

) 2 2

) 2

) 2 1

) 1

)

a f x x

b f x x x

c f x x x

d f x x x

e f x x x

= +

= − −

= − + −

= − +

= −

(4-28)

( )2. 1

Skizzieren Sie für die Funktionen aus Aufgabe 1 die Graphen vonf x

(4-29)

23. 3 7 1

Schreiben Sie die Funktion als Summe eines Polynoms1

und einer echt gebrochenen rationalen Funktion

x x

x

− +−

(4-30)

( ) ( )( ) ( )2

4. Skizzieren Sie die Graphen von

) 1 , 1

) 1 , 1

a f x x x

b f x x x

= − ≤

= − ≤

(4-31)

( ) 2

5. Skizzieren Sie den Graphen der in Physik und Statistik wichtigen Gaußfunktion

für 1 und 4xf x e λ λ λ−= = =

(4-32)



( ) ( )( ) ( )

6. Skizzieren Sie die Graphen von

) tan

) cot

Diskutieren Sie die Periodizität, Symmetrie und Stetigkeit dieser Funktionen

a f x x

b f x x

=

=

(4-33)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

7. Beweisen Sie mit der Eulerschen Formel die Additionstheoreme

) sin sin cos cos sin

) cos cos cos sin sin

) Was erhält man in beiden Fällen für -

a x y x y x y

b x y x y x y

c y x

+ = ⋅ + ⋅

+ = ⋅ − ⋅=

(4-34)

8. Beweisen Sie die Formeln

) log log ln1

) logln

a a

a

a x e x

b ea

= ⋅

=

(4-35)

( )( )( ) ( )( )( )

-1 -19. Drücken Sie die Funktionen arcsinh=sinh und arccosh=cosh durch die

Logarithmus- und Wurzelfunktionen aus. Bestimmen Sie dazu die Funktionen

f und g mit sinh ln f x x und cosh ln g x x.= =

(4-36)

5. Differentialrechnung Begriff der Ableitung

Verwendete Begriffe

Graph: Eindimensionale, gekrümmte Linie

Sekante: Gerade durch zwei Punkte eines Graphen

Tangente: Gerade, die einen Graphen in einem Punkt berührt

(5-1)

Sekante einer Funktion, Differenzenquotient

( )( )( ) ( )( )

( )( ){ }( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

1 0 0 2 0 0

1 2

0 0s 0 0

0 0s 0 0 0 0 0

0

0 0s 0 0 0

Funktion: :

Punkte auf dem Graphen: , , ,

Sekante durch und : ,

mit g

es gilt: g

g

s

f x f x

P x f x P x x f x x

P P x g x x

f x x f xx f x x x

xf x x f x

x f x x x f xx

f x x f xx x f x x x

x

=

→= = + ∆ + ∆

∈

+ ∆ −= + −

∆+ ∆ −

= + − =∆

+ ∆ −+ ∆ = + + ∆

∆

� �

� �ℝ

��

( ) ( )0 0

x

x f x x

=∆

− = + ∆��

(5-2)

( ) ( ) ( ) ( )

( )0 0 0 0Zuwachs von zu :

Steigung der Sekante: Differenzenquotient

f x f x x y f x x f x

y

x

+ ∆ ∆ ≡ + ∆ −∆∆

(5-3)

Tangente einer Funktion, Differentialquotient

( ) ( )

( )( ){ }( ) ( )

( )

0

0

0

0

wenn lim existiert:

Tangente in : , |

mit lim

Steigung der Tangente: lim Differentialquotient

x

t

t sx

x

f x x f x

x

x x g x x

g x g x

dy y

dx x

∆ →

∆ →

∆ →

+ ∆ −∆

∈

≡

∆≡∆

ℝ

(5-4)


Abbildung 5-1: Schaubild einer Funktion mit Sekante und Tangente

1. Ableitung der Funktion f

( ) ( )

( ) ( ) ( )0

0

existiert lim in ,

dann bezeichnet man lim

als erste Ableitung der Funktion in .

x

x

f x x f xx

xf x x f x

f xx

f x

∆ →

∆ →

+ ∆ −∆

+ ∆ −′ ≡

∆

(5-5)

Verschiedene Schreibweisen für die erste Ableitung:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0

lim xx

x

f x x f x df xdy d d df x f x f x f d f x

x dx dx dx dx dx∆ →

+ ∆ − ′≡ ≡ ≡ ≡ ≡ ≡ ≡ ∆

(5-6)

Die Brüche meinen dabei nicht wirklich Quotienten, sondern sind reine Symbole oder Kurz-schreibweisen für den Grenzwert!

Die erste Ableitung im Punkt x ist gleich dem Tangens des Winkels zwischen der Tangente in x und der Abszisse

( ) tanf x α′ =

(5-7)

Abbildung 5-2: Schaubild einer Funktion mit Tangente

5. Differentialrechnung 53


Gegenbeispiele für die Existenz einer Ableitung Abbildung 5-3 zeigt zwei Funktionen, in denen der Differenzenquotient in x

0 keinen eindeutigen

Grenzwert hat.

Abbildung 5-3: Schaubild von Funktionen, für die die 1. Ableitung in x0 nicht definiert ist

Höhere Ableitungen

( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( ) ( )( )( )

22

2

Ableitung der 1. Ableitung

1

Ableitung der -1 . Ableitung

2. Ableitung:

. Ableitung: n n

n

df xdd f x dxf x f x f x

dx dx

n f x f x−

′′′ ′≡ ≡ ≡ =

′≡

��

��

(5-8)

Geschwindigkeit als Ableitung einer Bahnkurve

[ ]

[ ]

�

0 0

0 0

0 0

0 0

innerhalb des Zeitinveralls, zurückgelegter Weg

,

für den Weg benötigte Zeitspanne

Gemessene Geschwindigkeit:

Interpolation des Weges durch Bahnkurve: ,

t t

t t t

t t t

x

t t t

x x xv

t t

x x x

τ+∆

+∆+∆

∆

+∆

− ∆≡ ≡∆ ∆

→

��

�( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )�

Funktion

0

Schreibweise fürZeitableitungen

:

Definition der Geschwindigkeit zum Zeitpunkt :limt

t x t

t x t t x tv t

tx t x t

∆ →

→

+ ∆ −≡

∆′≡ ≡ ɺ

(5-9)

Die Ableitungen nach der Zeit bezeichnet man üblicherweise mit einem Punkt über der Funkti-on.

Es wird klar, dass die Geschwindigkeit in einem Punkt reine Definition ist, also ein mathemati-sches Hilfsmittel der Physik. Wirklich beobachtbar oder messbar sind nur mittlere Geschwindig-keiten. Die Geschwindigkeit in einem Punkt oder die Position ist prinzipiell mit einer Unschärfe behaftet. Das wird in der Quantenmechanik wichtig und erklärt zum Beispiel die Eigenschaften von Atomen.


Beispiele für Ableitungen

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

0 0

Terme mit , 2

1 2

1 1

0 0

:lim lim

lim lim

n

n n n

x x

x n

n n n

n n

x x

f x x f x x f x x x x

x x

x nx x O x xnx O x nx

x

∆ → ∆ →

∆ ≥

−− −

∆ → ∆ →

= + ∆ − + ∆ −=

∆ ∆

+ ∆ + ∆ −= = + ∆ =

∆

��

(5-10)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( )

( ) ( )

0 0

siehe 1. Kapitel Folgerung aus Moivreschen Formel

1

0

0

sie

sin : sin sinlim lim

cos sin sin cos sinlim

sincos lim

Abschätzung: mit sin tan

x x

x

x

f x x f x x f x x x x

x x

x x x x x

xx

xx

α α α

∆ → ∆ →

→

∆ →

∆ →

= + ∆ − + ∆ −=

∆ ∆

∆ + ∆ −=

∆∆

=∆

≤ ≤

��

��

( )

( )( ) ( )

he Einheitskreis

0 0 0

0

, / 2

1ist 1

sin cos1

und 1 lim1 lim1 lim 1sin cos

also lim 1sin

also sin cos

x

x

x

x x

α α α

α π

αα α

αα α→ → →

∆ →

<

≤ ≤

= ≤ ≤ ≤

∆ =∆

′ =

��

(5-11)

und analog

( ) ( )cos sinx x′ = −

(5-12)

Abbildung 5-4: Winkel im Einheitskreis zur Abschätzung: sinα<α<tanα



( )

( )

0

Nach Definition von in Kap. 3

Terme mit , 2

2

0 0

0 0 0

:!

Nebenrechnung:

1 11lim lim 1

also: 1lim lim lim

x

n

nx

n

e

x n

x

x x

x x x x x x xx x x

x x x

xf x e

n

x O xe

x x

d e e e e e ee e e

dx x x x

∞

=

∆ ≥

∆

∆ → ∆ →

+∆ ∆ ∆

∆ → ∆ → ∆ →

= =

+ ∆ + ∆ −− = =∆ ∆

− − −= = = =∆ ∆ ∆

∑��

��

(5-13)

Rechenregeln der Differentation

Aus den beiden Funktionen

( ) ( )' aus Definitions-

bereich von '

: , : , differenzierbar für allex

f

f x f x g x g x x M→ → ∈��

(5-14)

werden neue Funktionen gebildet

Summenregel

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

0

0 0

, , konstant

Beweis:lim

lim lim

x

x x

df x g x f x g x

dx

f x x g x x f x g xdf x g x

dx xf x x f x g x x g x

x xf x g x

α β α β α β

α β α βα β

α β

α β

∆ →

∆ → ∆ →

′ ′+ ≡ + ∈

+ ∆ + + ∆ − ++ =

∆+ ∆ − + ∆ −

= +∆ ∆

′ ′= +

ℝ

(5-15)

( )

( )

( )

3 2

10 9

3 2 2

Beispiele: 4 3 12 1

2 10

1 3 2 1

dx x x

dxd

x xdxd

x x x x xdx

+ + = +

+ =

+ + + = + +

(5-16)


Kettenregel

( )( ) ( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

0 0

0 0

Beweis mit :

lim lim

lim lim

x x

g x

df g x f g g x

dxg g x x g x

f g x x f g x f g g f gd gf g x

dx x g x

f g g f g g x x g x

g x

f g g x

∆ → ∆ →

∆ → ∆ →

′ ′=

∆ = + ∆ −

+ ∆ − + ∆ − ∆≡ =∆ ∆ ∆

+ ∆ − + ∆ −=

∆ ∆′ ′= ⋅

(5-17)

( ) ( ) ( )( )

( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( )( )

( )( )( ) ( )( ) ( )( )

( )( ) ( )

( )

( )( )( ) ( )( )( ) ( )

( ) ( )

2

2 2

cos

sincos sin

2 3

Beispiele:

sin sin cos 2 cos 2

sin cos sin cos cos sin

sin cos sin sin cos sin

cos cos sin sin sin cos

sin cos

=

=

==

′ ′= ⋅ = ⋅ = ⋅

′ ′= ⋅ = ⋅ −

′ ′ ′= ⋅ ⋅

= ⋅ − ⋅

⋅ =

��

��

��

g x x

g x x

v x xu x x

dx g g x g x x x

dx

dx g g x x x

dx

dx u v x

dx

x x x

d dx x

dx( ) ( ) ( ) ( )

( )( )

( ) ( ) ( )( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( )2 3

2 3 2 3

Produktregel

2 3 2 3

2 3 2 3 2

sin cos sin cos

sin cos sin cos

cos 2 cos sin sin 3

= =

⋅ + ⋅

′ ′= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅

��

��

g x x u x x

dx x x x

dx dx

d dg x x x u x

dx dx

x x x x x x

(5-18)



Produktregel

( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

0

0

0

0 0

Beweis: lim

lim

lim lim

df x g xdf x g x

dx dx

x

x

x x

df x g x f x g x f x g x

dx

f x x g x x f x g xdf x g x

dx x

f x x g x x f x g x x f x g x x f x g x

xf x x f x g x x g x

g x x f xx x

f x g x f x g x

⋅≡ ⋅ ≡

∆ →

=

∆ →

∆ → ∆ →

′ ′⋅ = +

+ ∆ + ∆ −⋅ ≡

∆

+ ∆ + ∆ − + ∆ + + ∆ −=

∆+ ∆ − + ∆ −

= + ∆ +∆ ∆

′ ′= +

��

��

(5-19)

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

1 2 3

2

1 1

1

1 1 1

2

2 2

Beispiele: 2

sin 2sin sin 2sin cos

cos sin 2

n n n

n n

x x x

d d dx x x x x x

dx dx dx

d d d dx x x x x x x x x x x x x nx

dx dx dx dx

dx x x x x

dxd

x x x xdx

− − −

= =

−

= = =

= + =

= ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + =

′= =

= − +

��

… … … …��

��

( )cosx x

(5-20)

Quotientenregel

( )( )

( )( )

( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( )

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

(( ) )

( )

( )( )

( ) ( )( )

2

2 2

1Produktregel

Kettenregel,

2

Beweis: 1 1 1

u

g x u

f x f x f x g x f x g x f x g xd

dx g x g x g x g x

f x f xd d df x f x f x g x

dx g x g x dx g x g x du u

f x f x g x

g x g x

=−

=

′ ′ ′ ′−= − =

′ ′ ′= + = +

′ ′= −

��

(5-21)


( ) ( ) ( )( )

( )( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( )

( )( )

( ) ( )( )

( )( )

( ) ( )( )( )

( ) ( )( ) ( )

2 2 4 2 32

2 24 4 44 4

5 5 3 5 3

2 24 4

2 2

2 2

2 2

Beispiele:1 1 2 1 41 2

2 2 22 2

2 4 4 4 2 4 4

2 2

sin sinsin sin sin cos costan

cos cos coscos cos

cos sin 1

cos cos

c

d dx x x x xd x xdx dx

dx x x xx x

x x x x x x x

x x

x xx x x x xdx

dx x x xx x

x x

x x

+ + − ++ = − = −− − −− −

− − + − − −= =− −

⋅ −′ ′⋅′ = = − = −

+= =

( ) ( )( ) ( )

( )( )

( )( )( )

( )( )

( )( )

( ) ( )( )

( )

2

2 2 22

2 4

cos 1ot

sin sin

2 cos sin sin cos 2sin coscos

sin sin

f x g x f x g x

xdx

dx x x

x x x x x x x x xx xd

dx x x

′ ′

′ = = = −

− ⋅ − ⋅=

…

��

(5-22)

Inversenregel

( ) ( ) ( )( )( )

( )( ) ( ) ( )( )

( ) ( )

1 1

1

1 1

Kettenregel mit

1

mit 1 ist

Beweis:

1

1also:

x f y

dy f x f x

dx f y

y f f y

d dy f f y f x f y

dy dy

f xf y

− −

−

− −

=

−

= =′

=

′ ′= = = ⋅

′ =′

��

(5-23)

�( )

[ ]( ) ( ) ( ) ( )

[ ]�

( )[ ]

( ) ( ) ( ) ( )

�( )

( ) ( ) ( ) ( )( )

2 2

2 2

2 2, 1,1

2 20, 1,1

22

2,

Beispiele:

1 1 1 1arcsin :arcsin

sin cos 11 sin

1 1 1 1arccos :arccos

cos sin 11 cos

arctan : cos1arctan cos

tan sin c

y x

y x

y

y xx

y y xy

y xx

y y xy

y x yx y

y y

π π

π π

π

∈ − ∈ −

∈ ∈ −

∈ −

= ′ = = = =′ −−

−= ′ = = = =′ − −− −

=′ = = =

′ +

��

��

( )( )

( ) ( ) ( )

2

2

2 2 2 2

1 1 11

110

os

cos 1 1

cos sin 1 tan 1

: 1 1 1n

n n n nn

nnx nn

y

y

y y y x

y x x d x xx

ddx ny n nn xydy

−− −

−−>

= = =+ + +

= = = = = = =��

(5-24)



Die Definitionsbereiche der inversen Funktionen müssen sorgfältig berücksichtigt werden

Abbildung 5-5: Funktionen und Inversen aus (5-24)

Differentiation von Potenzreihen

( )

( ) ( )2 3 4 2 3

0

11

0 1 0

1 1

0 1 1 0

1 ... 0 1 2 3 4 ...2 2 3 2 3 4 2 2 3 2 3 4

Allgemein: wenn , ist

1

Beispiele:

! ! 1 ! !

nn

n

n n nn n n

n n n

n n n nx x

n n n n

x x x x x xx

a x

da x na x n a x

dx

d d x x x xe n e

dx dx n n n n

∞

=

∞ ∞ ∞−

+= = =

− −∞ ∞ ∞ ∞

= = = =

+ + + + + + + + + +⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

< ∞

= = +

= = = = =−

∑

∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑ ∑��

(5-25)


( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

2 4 6 83 5 7

2 1 2 2

0 0 0

1 ...... 2 2 3 4 2 3 4 5 6 2 3 4 5 6 7 82 3 2 3 4 5 2 3 4 5 6 7

2

0

1

sin 1 1 2 1 12 1 ! 2 1 ! 2 !

cos

cos 12 !

n n nn n n

n n n

x x x xx x xx

nn

n

d x x xx n

dx n n n

x

d xx

dx n

+∞ ∞ ∞

= = =

′ − + − +− + − + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

∞

=

′ = − = − + = −+ +

=

′ = −

∑ ∑ ∑

∑

��

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

3 5 72 4 6

2 1 2 1

1 0

...... 2 3 2 3 4 5 2 3 4 5 6 72 2 3 4 2 3 4 5 6

2 1 2

0 0

2

0

1 2 12 ! 2 1 !

sin

sinh cosh2 1 ! 2 !

cosh2 !

n nn n

n n

x x xx x x x

n n

n n

n

n

x xn

n n

x

d x xx x

dx n n

d xx

dx n

− +∞ ∞

= =

′ − + − + −− + − + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

+∞ ∞

= =

∞

=

= − = − −+

= −

′ = = =+

′ =

∑ ∑

∑ ∑

∑

��

( ) ( )2 1

0

sinh2 1 !

n

n

xx

n

+∞

=

= =+∑

(5-26)

Der Satz von Taylor

( ) ] [

( )

] [] [ ( ) ] [

' aus offenemIntervall'

also

0

0

Funktion : sei für alle , mal stetig differenzierbar

Entwicklungspunkt: ,

Satz von Taylor: zu jedem , existiert eine Zwischenstelle , ,

so dass

x

a x b

f x f x x a b n

x a b

x a b z x x x

< <

→ ∈

∈

∈ ∈

��

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )( ) ( )( )

( )

( ) ( ) ( )

0

200 0 0 0

110

0 0

200 0 0 0

110 0

0 0

anstatt

!

00

0

2!

1 ! !

Taylor-Polynom:

2!

1 ! !

!

n

n

nnn n

n

n nn n

f x

f z x

knk

k

f xf x f x f x x x x x

f z xf xx x x x

n n

f xp x f x f x x x x x

f x f xx x x x

n n

f xx x

k

−−

−−

=

′′′= + − + − +

+ − + −−

′′′≡ + − + − +

+ − + −−

= −∑

…

…

…

…

��

(5-27)

Nach Taylor kann man die Funktion f(x) also durch ihre Funktionswerte und Ableitungen im beliebigen Entwicklungspunkt x

0 ausdrücken. Nur im letzten Term tritt die Funktion z(x) auf.



Wählt man z(x)=x0, kommt man zum Taylor-Polynom, mit dem man Funktionen sehr gut annä-

hern kann. Wegen 1/k! werden höhere Glieder der Summe in der Regel sehr klein.

Eigenschaften des Taylor-Polynoms Unabhängig vom Entwicklungspunkt x

0 sind die Funktionswerte und die Ableitungen des Tay-

lorpolynoms und der Funktion in x0 gleich:

( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

0

11 20 00 0

1

00

0

0 00 0 0 0

0

0 00 0 0

0

,!

Taylor-Polynom:

!

Funktionswert in :

!

. Ableitung in ,1 ... 1

: !

k

kl

k knk

n nk

knk

nk

knk

nk

knk jj

nk

f x f xp k x x p

k k

f xp x x x

k

x f xp x x x f x

k

j x f xp x k k k j x x

j n k

δ

δ

−

=

=

==

−

==

= ⋅ ⋅ − =

= −

= − =

= ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − + ⋅ −≤

∑

∑

∑

∑

��

��

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

20 0

2

1 ,...!

0

!

0

1 ...2 1!

nk

k

k k x x

j

j

j

f xj j

j

f x

−

=

⋅ ⋅ − ⋅ −∑

= ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅

=

��

��

(5-28)

Taylorentwicklung 1. Ordnung Die Funktion f(x) wird durch eine lineare Funktion approximiert. Das ist in einer kleinen Umge-bung von x

0 sinnvoll und wird oft gemacht. Die Taylorentwicklung 1. Ordnung entspricht der

Tangentialgeraden gt.

( ) ( ) ( ) ( )0 0 0Taylor-Entwicklung 1. Ordnung: f x f x f x x x′+ ⋅ −≃

(5-29)

Abbildung 5-6: Die Funktion f(x) wird in einer Umgebung durch das Taylor-Polynom 1. Ordnung sehr gut angenähert


Taylor-Entwicklung höherer Ordnungen

Beispiel: Entwicklung der Cosinus-Funktion um x0=0

( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

2

3

4

ungerade

2

gerade

Ableitung der cos-Funktion:

cos 0 1

cos 0 = sin 0 0

cos 0 sin 0 cos 0 1

cos 0 cos 0 sin 0 0

cos 0 sin 0 cos 0 1

0 2 1

cos 01 2

Entwicklung der cos-Funktion um 0

nn

n

n

n

n

x

=′ − =

′= − = − = −

′= − = =

′= = =

∀ ∈ +=

− ∀ ∈

=

⋮ ⋮

ℕ��

ℕ��

( )( ) ( ) ( )

( )

( )

2 3 4 2 4

2

0 0

1 0 1 1 11 0 ... 1 ...2 2 3 2 3 4 2 2 3 4

:

cos 0 1cos

! 2 !

Entspricht der abgebrochenen Potentialreihe der cos-Funktion

kkn nk k

k k

x x x x x x

x x xk k= =

+ ⋅ − − + + − + +⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

−=∑ ∑≃

��

(5-30)

Die Güte der einzelnen Entwicklungsstufen ist Abbildung 5-7 abzulesen.

Abbildung 5-7: Taylor-Entwicklungen (durchgezogenen Linien) der Cosinus-Funktion (gepunktete Linien) um x

0=0 in

verschiedenen Ordnungen

Mittelwertsatz der Differentialrechnung

( ) ] [

] [ ( )

( ) ( ) ( )1 2 1 2

2 1

2 1

Funktion: : stetig und differenzierbar für alle ,

Mittelwertsatz:

für beliebige , : es existiert eine Zwischenstelle ,

so dass

f x f x x a b

x x a b z x z x

f x f xf z

x x

→ ∈

< ∈ < <−

′ =−

(5-31)



( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )2 1 2 1

2 1

2 1

Beweis:

nach Satz von Taylor für 1:

also:

n f x f x f z x x

f x f xf z

x x

= ′= + −

−′ =

−

(5-32)

Abbildung 5-8: Zwischentangente parallel zur Sekante (links) und lokales Maximum (rechts)

Folgerungen: Monotonie-Satz

( ) ] [( ) ] [

( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( )] [

2 1 2 1

0

2 1

1 2 1 2

0 , wächst monoton

0 , fällt monoton

Beweis:

nach Taylor:

also: Vorzeichen Vorzeichen

für alle , , und

f x x a b f

f x x a b f

f x f x f z x x

f z f x f x

x x a b x z x

>

′ > ∀ ∈ ⇒

′ < ∀ ∈ ⇒

′− = ⋅ −

′ = −

∈ < <

��

(5-33)

Lokale Minima und Maxima

Definition

[ ]

( ) ( )

( ) ( )

0 0

0

0

0

0

Intervall: , , >0

hat ein lokales Minimum in , wenn ein 0 existiert und für alle gilt:

hat ein lokales Maximum in , wenn ein 0 existiert und für alle gilt:

I x x

f x x I

f x f x

f x x I

f x f x

δ δ δδ

δ

≡ − +> ∈

≥> ∈

≤

(5-34)


Existenzkriterien

( ) ( )( ) ( )

0

0 0 0

0 0 0

sei im offenen Intervall zwei mal stetig differenzierbar und

Notwendig für lokales Minimum in : 0, 0

Notwendig für lokales Maximum in : 0, 0

Hinreichend für lokales Minimum

f I x I

x f x f x

x f x f x

∈

′ ′′= ≥′ ′′= ≤

( ) ( )( ) ( )

0 0 0

0 0 0

in : 0, 0

Hinreichend für lokales Maximum in : 0, 0

x f x f x

x f x f x

′ ′′= >′ ′′= <

(5-35)

( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )

0

0 0

0 0

0 0 0 0

0 0

Beweis für hinreichende Kriterien:

Annahmen: , , stetig in

0, 0

stetig es existiert ein 0 mit 0 für alle mit -

1Satz von Taylor

2

f x f x f x x

f x f x

f x f x x x x

f x f x f x x x f z x x

δ δ

= >

′ ′′′ ′′= >

′′ ′′⇒ > > >

′ ′′⇒ = + − + −��

[ ]

( ) ( )

2

0

0

0

0

, ,

also: für alle

hat ein lokales Minimum in

z x x

f x f x x I

f x

>

∈

> ∈

��

( ) ( )0 0

0

Annahmen: 0, 0

analog: hat ein lokales Maximum in

f x f x

f x

′ ′′= <⇒

(5-36)

( )( )

( )( )

0

0

0

0

Beweis für notwendige Kriterien:

Notwendig für Minima und Maxima: 0,

für 0 wäre in monoton wachsend

oder fallend, hätte also keine Minima oder

Maxima

Notwendig für Maximum: 0,

für 0

′ =′ ≠

′′ ≤′′ >

f x

f x f I

f x

f x

( )( )

0

0

0 0

hätte ja in ein Minimum

Notwendig für Minimum: 0,

für 0 hätte ja in ein Maximum

′′ ≥′′ <

f x

f x

f x f x

(5-37)



( ) ( ) ( )( ) ( )

4 30

2

Beispiele:

in 0 : 4 , 0 0

12 , 0 0

also: Notwendige Bedingungen für Minimum sind erfüllt

Hinreichende Bedingungen für Minimum sind nicht erfüllt

Tatsächlich liegt ein Minimum vor,

da f

′ ′= = = =′′ ′′= =

f x x x f x x f

f x x f

( ) ( ) ( )( ) ( )

4

3 20

ür alle 0 gilt: 0

in 0 : 3 , 0 0

6 , 0 0

also: Notwendige Bedingungen für Minimum sind erfüllt

Hinreichende Bedingungen für Minimum sind nicht erfüllt

Tatsächlich liegt kein Mimimum

≠ >′ ′= = = =′′ ′′= =

x x

f x x x f x x f

f x x f

( ) vor sondern ein Sattelpunkt

(5-38)

Wendepunkte

Bei einem Wendepunkt ändert der Graph einer Funktion sein Krümmungsverhalten, die zweite Ableitung einer Funktion ändert also das Vorzeichen.

( )0 0

0

hat in einen Wendepunkt, wenn in ein Extremum hat

Eine notwendige Bedingung ist also: 0

f x f x

f x

′′′ =

(5-39)

Regel von de l'Hospital

] [( ) ( )( )( )

( )( )

( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )( )

( ) ( )

( )0

Sind und stetig diffenrenzierbar in ,

und ist lim lim 0

so gilt: lim lim

Beweis:

wegen 0 :

mit : lim lim

x a x a

x a x a

x a x

f g a b

f x g x

f x f x

g x g x

f x f af x f x f a x af a g a

g x g ag x g x g a

x af a x f a

f x xx x ag a x gg x

→ →

→ →

→ ∆ →

= =

′=

′

−− −= = = =

−−−

+ ∆ −∆∆ = − =

+ ∆ − ( )( )( )

lim

x a

f x

a g x

x

→

′=

′∆

(5-40)


( ) ( )

( ) ( ) ( )x 0 x 0

2x 0 x 0 x 0

Regel von l'Hospital2. mal anwenden

x 0 x 0

Beispiele:

sin coslim lim 1

11 cos sin cos 1

lim lim lim2 2 2

lim lim 2sin cos

→ →

→ → →

− −

→ →

= =

−= = =

− += =

��

x x x x

x x

xx x x

x x

e e e e

x x

(5-41)

Das Differential einer Funktion

In (5-4) wurde der Differentialquotient definiert.

( ) ( )

0

Zuwachs:

Differentialquotient: limx

y f x x f x

dy y

dx x∆ →

∆ ≡ + ∆ −∆≡∆

(5-42)

Für viele Zwecke ist es sinnvoll, den Zähler allein zu betrachten und so vom Zuwachs zum Dif-ferential überzugehen. Damit meint man den Zuwachs der Tangente im Punkt x. Man berück-sichtigt also nur die Steigung der Funktion und lässt die Krümmung außer Acht.

Formal kann man ∆x und ∆y durch hdx und hdy ersetzen und h sehr klein werden lassen:

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

0 0

0 0

also: lim lim

undlim lim

Differential von :

h h

h hdx

y hdy f x hdx f x

f x hdx f x f x hdx f xdy dx f x dx

h hdx

f df x f x dx

→ →

→ →

∆ → ≡ + −

+ − + −′= = =

′=

(5-43)

Diese Formulierung erlaubt in Kapitel 7 die Erweiterung auf das Differential von Feldern.

Beispiele:

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

3 22 1, 6

cos , sin

f x x df x x dx

f x x df x x dx

= − =

= = −

(5-44)

Das Differential einer Funktion kann auch als Taylorentwicklung 1. Ordnung ihres Zuwachses aufgefasst werden.



Übungsaufgaben

( )

( )

( )( )

( )( )

2 2

ta

Berechnen Sie die Ableitungen der folgenden Funktionen:

1. cos

2. ln tan2 4

3. cos ln4

tan2

4. arctan

cos5.

cos

6. arctan tan

7.

axy e bx

xy

y x x

xa c

ya c

a b xy

a b x

y m x

y x

π

π

= ⋅

= +

= ⋅ −

⋅ + =

−

− ⋅=

+ ⋅= ⋅

= ( )

( ) ( )( ) ( )

( )( )

( )( ) ( )

n

2

2

2 2

sin

1 38. arctan

13

sin cos9.

sin cos

110.

2

2 211. ln 2 ln , 0

212. arctan cot

2

13. cos

x

x

xy

x

a x b xy

a x b x

ya x x

a x b b a x b by x b

a a a x b b

a b xy

a ba b

y x

⋅= −

⋅ + ⋅=

⋅ − ⋅

=⋅ −

⋅ + ⋅ + += ⋅ − + > ⋅ + −

− = ⋅ + −

=

(5-45)

( ) ( )

2

2

Berechnen Sie die 'te Ableitungen der folgenden Funktionen:

14.

15.

16. Zeigen Sie, daß für tan gilt:

x

n

xy

a b xy x e

y x y y

=+ ⋅

= ⋅

′′′= =

(5-46)


( )

( ) ( )

0

Entwickeln Sie die Funktionen

nach Taylor bis zur 3. Ordnung um

) Vergleichen Sie die Entwicklung aus ) mit der Ent

17.

) sin0.

)

wicklung von

cos sin

ix

a xx

b e

x

c b

x i

=

+

(5-47)

( ) ( ) 0Entwickeln Sie bis zur 5. Ordnung um 0.

Geben Sie auch den Definitionsbereich der Funktio

18.

an

1

ln

n !

f x xx == +

(5-48)

( )( ) 1

0

Bestimmen Sie die Taylor Reihe Entwicklung bis zur Ordnung für

um !

Geben Sie auch den Definitionsbereich de

19.

r Funktion n!

1

a

f x x x

n−= =

− = ∞

(5-49)

( )2

2

120. Bestimmen Sie für die Funktion 3

1die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen und

den Winkel zwischen Tangente und Achse an diesen Stellen

xf x

x

x

−=+

−

(5-50)

( )( )( )

0

4 3 2

4

3

21. Haben die folgenden Funktionen an der Stelle 0 ein lokales Extremum

oder einen Wendepunkt?

) 2 2 1

) 2 1

)

x

a f x x x x

b f x x x

c f x x x

=

= − + −

= − +

= +

(5-51)

6. Integralrechnung Der Integralbegriff

Geometrische entspricht das Integral über einer Funktion f dem Flächeninhalt zwischen dem Graphen von f und der x-Achse. Beiträge zum Flächeninhalt unterhalb der x-Achse sind dabei negativ. Man spricht von einem orientierten Flächeninhalt.

Die Integration erweist sich als Umkehrung der Differentiation. Das Integral einer Funktion f kann in der Regel als so genannte Stammfunktion F(x) aufgefasst werden. Die Ableitung dieser Funktion führt zurück zu f.

Das bestimmte Integral im Riemannschen Sinne

] [{ }�

] [[ ]

�

[ ] { } ( )( )

1

0

1 2 10

0 1 1

1 1

Funktion: : ,

Integrationsgrenzen: , ,

Beliebige Zahlen , ,..., , mit Zerlegung von , :

... ...

Zwischenpunkte: , , 0,1,..., ,

Integralsumme:

m

x a x b

m m

k k m

x

k k k m

m

f a b

x x a b

x x x xx x

x x x x x x

z x x k m x x

I

+

= < <

−

−≡

+ +

→

∈

< < < < < < <

∈ ∈ ≡

ℝ

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 0 0 2 1 1

10

... m m

m

k k kk

x x f z x x f z x x f z

x x f z+=

− + − + + −

= −∑��

(6-1)

Abbildung 6-1: Mögliche Integralsumme für die Funktion f

Durch Verfeinerung der Zerlegung von [x0,x] nähert sich die Integralsumme dem gesuchten Flä-

cheninhalt an. Das Integral wird dann durch einen gedanklichen Übergang zu einer unendlichen Verfeinerung der Zerlegung definiert.


( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

[ ]0

10,1,...,

1 2

0

Größte Länge eines Teilintervalls: max

Folge von feineren Zerlegungen: ... mit lim 0

Integral:lim

wenn alle möglichen Folgen heißt integrierbar über , ,

mk k

k m

m m

m

xm

mx

L x x

L L L L

I f t dt I

f x x

−=

→∞

→∞

= −

> > =

≡ ≡∫

[ ] ] [( )

0

von feineren

Zerlegungen zum selben Grenzwert führen

ist integrierbar über , , wenn auf , stetig oder monoton ist

Beweis folgt später

I

f x x f a b

(6-2)

Weitere Begriffe:

��

( )

( ) ( )0 0

0obereuntere

GrenzeGrenze

Integrationsgrenzen: ,

Integrand:

Integrationsvariable:

Uneigentliche Grenze: limx

xx x

x x

f t

t

f t dt f t dt∞

→∞≡∫ ∫

(6-3)

Beispiele

�( ) ( )

( ) ( )�

( )

0

1

0

3

2 4 55: 0 1 2 3 4 4 4 2 10

2z.B.:5 6

6: 0 1 2 3 4 5 5 5 5 152

Integral:?

Nebenrechnung:0 1 2 ... 2 1

11 1 2 2

2

Zerlegung:, ,

x

m

k

mmm m

m

m

k k k

tdt

k m m

m mm m

xt t k t z t

m

−

=

−= ⋅= =⋅ = + + + + = + + = =

⋅ = + + + + + = + + = =

=

= + + + + − + −

−= + − + + − + =

∆ = = ∆ =

∫

∑

…

��

��

( )�

2

21 1 12

20 0 00

1

2 2

also:1

lim lim lim2

kz tx m m m

km m m

k k k

m m m

xk

m

x x xtdt z t k x k

m m m

∆− − −

→∞ →∞ →∞= = =

−= →

=

= ∆ = = =∑ ∑ ∑∫

(6-4)

6. Integralrechnung 71


( )

( )

1

11

1

1

0 00

111! 1

lim lim1 1 !Geometrische Reihe

1lim lim 1 limk

mx

mnx

nx xn

m mm m

n

xkx xm m m

zt xm

m m mk k

exe

n m xe e x n m

m

x ee dt e t e e

xmm

−∞

−=

→∞ →∞ =

−

→∞ →∞ →∞= =

−

− = = = − −

−= ∆ = = −

∑

∑ ∑∫��

( )

1

1

lim 1 1

analog nach vorausgehendem Beispiel

0 0

1

lim lim 1 1

m

xO

m

x

xt t x

x x

e

e dt e dt e

−∞

−

→∞

= + =

∞− − −

→∞ →∞

∑

= −

= = − = −∫ ∫

��

��

(6-5)

1 1,

1

1

1, ,...,

1 11

0 01

1 ln

2 3

: Zerlegung: ,

lim lim 1

lim 1 lim 1

ln 1 ln 1 lnlim 1 ..

2! 3!

mx

m m

x k

mk k k

x x

x k k km mm m m m

m mk k

x

m m

m m

m

t dt t x z t

t dt x x x x

m x m e

x x xm

m m m

−

−

+−−

→∞ →∞= =

→∞ →∞

→∞

= =

= − = −

= − = −

= + + + +

∫

∑ ∑∫

��

. 1

ln x

−

=

(6-6)

Nur in günstigen Fällen kann das Integral direkt durch die Integralsumme berechnet werden. Man kann aber unbekannte Integrale auf bekannte zurückführen. Wie, lernen wir etwas später mit Hilfe der Partiellen Integration, der Substitutionsmethode, der Partialbruchzerlegung und der Reihenentwicklung.


Rechenregeln für Integrale

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

] [

( ) ( )

0 0 0

0 0

0 0

0

0

Additivität:

Homogentiät:

Aufspaltung des Integrationsintervalles:

mit ,

Umkehrung der Grenzen:

x x x

x x x

x x

x x

yx x

x x y

xx

x x

f t g t dt f t dt g t dt

f t dt f t dt

f t dt f t dt f t dt

y a b

f t dt f t dt

λ λ

+ = +

=

= +

∈

= −

∫ ∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫ ∫

∫ ∫

(6-7)

Die Regeln ergeben sich einfach aus der Definition des Integrals.

Stammfunktion und Unbestimmtes Integral

Wir können das Integral als eine Funktion F von der oberen Integrationsgrenze x auffassen und als Stammfunktion bezeichnen. Ist diese Funktion differenzierbar, so ist ihre Ableitung gleich dem Integranden.

( ) ( )( ) ( )

Wir nennen eine Funktion : eine Stammfunktion für :I

wenn differenzierbar ist

und gilt.

Dann ist auch eine Stammfunktion, wenn konstant ist

F I f

F

F x f x

G x F x c c

→ →

′ == +

ℝ ℝ

(6-8)

Satz über Stammfunktionen: Jede auf einem Intervall I stetige Funktion f besitzt dort Stammfunktionen. Man erhält für jedes c∈I eine Stammfunktion F durch das

( ) ( )unbestimmte Integralx

c

F x f t dt= ∫

(6-9)



Beweis:

�

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

0entspricht

00

1

0 00

1

0 00 0

0

Zerlegung:, , lim lim

Stammfunktion:lim

lim lim

Ableitung:lim lim

lim

und

kh N

N

kh

k

N

kh h

k

N N

k kh h

k k

h

x ax a k h h

N

F x f x h

F x h f x h

F x h F x hF x f x f x

h h

f x h f x

G x F x

→ →∞

→ =

+

→ → =

+

→ → = =

→

−= + ⋅ =

=

+ =

+ − ′ = = −

= + =

= +

∑

∑

∑ ∑

≜

( ) ( ) ( )( )also ist StammfunktionG x

c G x F x f x′ ′⇒ = =��

(6-10)

Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

( ) [ ][ ] ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

11

0

0

1 1 1

0 0

0

1 0

1 0

Schreibweise

Wenn die reelle Funktion im Intervall , stetig ist,

so gilt für alle , und für jede Stammfunktion :

Beweis:

xx

xx

x x xa

x a x a

f x x x

x x x G x

f t dt G x G x G x

f t dt f t dt f t dt f t dt

∈

= − ≡

= + = −

∫

∫ ∫ ∫ ∫

��

( ) ( ) ( )

( )�

( ) ( ) ( )

0

1 0

0

1 0 1 0

x

a

f t dt F x F x

F x c c F x G x G x=

= −

= + − − = −

∫

(6-11)

Aus jeder Stammfunktion kann man also den Wert eines bestimmten Integrals bestimmen. Stammfunktionen findet man für sehr viele Funktionen. Die unterschiedlichen Methoden lernen wir im nächsten Abschnitt kennen. Es gibt aber auch Funktionen f, für die keine Stammfunktion existiert.

( ) ( ) ( ) ( )�

( ) ( ) ( )�

( )

3 5 7

0 Sinusintegral

2 4 6

Eulersche0Konstante

Beispiele für Funktionen , für die es keine Stammfunktion gibt:

sin sin, ...

3 3! 5 5! 7 7!

cos cos, ln ...

2 2! 4 4! 6 6!

x

x

f

x t x x xf x dt x Si x

x t

x t x x xf x dt C x Ci x

x t

= = − + − + ≡⋅ ⋅ ⋅

= = + − + − + ≡⋅ ⋅ ⋅

∫

∫�

( ) ( )�

Cosinusintegral

2 3

EulerscheKonstante

exp, ln ...

1 1! 2 2! 3 3!

x tx e x x xf x dt C x

x t−∞

= = + + + + +⋅ ⋅ ⋅∫

(6-12)


Integration durch Umkehrung der Differentiation

Man kann jede stetige Funktion als Stammfunktion auffassen und durch Ableiten auf den In-tegranden schließen. So kommt man auf folgende Beispiele:

( )

1

1

3 / 2 1/ 2

1/ 2

1

1

1

1

1

1

3

23

2

11. , , ist eine sog. Integrationskonstante

1

1) , 0,1,2,...

1

2)

3

1) 2

n n

x c x

n n

x c xn

x c x

x c

x dx x c c

a x dx x c nn

b xdx x c

c dx x cx

α α

α α

α

αα

+

+

+

′ + = +

+

′ + = +

′ + =

′+

= + ∈+

= + =+

= +

= +

∫

∫

∫

∫

ℝ��

��

��

1/ 2

5 / 2 3 / 2

352

25

2)

5

x

x c x

d x dx x c

−=

′ + =

= +∫

��

��

(6-13)

Partielle Integration

Folgt aus der Produktregel der Differentiation.

] [

( ) ( ) ( )] [

Voraussetzungen für bei allen , :

kann in ein Produkt von zwei stetigen Funktionen aufgespalten werden

hat eine stetige Ableitung für alle ,

Stammfunktion von ist bekannt

dann gil

f x a b

f

f x g x h x

g x a b

H h

∈

= ⋅∈

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

t:

f x dx g x h x dx g x H x g x H x dx c′= ⋅ = ⋅ − ⋅ +∫ ∫ ∫

(6-14)

( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

( )

Stammfunktion

Beweis:

g x H x g x h x

f x dx

g x H x g x H x dx c g x H x dx g x h x dx c

′ ⋅ + ⋅

′ ′= ⋅ − = ⋅ + ⋅ −

∫

∫ ∫ ∫��

��

(6-15)



( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ] [0

0 0

0

Also:

, , ,x x

x

xx x

g t h t dt g t H t g t H t dt x x a b′⋅ = ⋅ − ⋅ ∈ ∫ ∫

(6-16)

( )�

( )( ) ( )

�( )( )

( )( )�

( )( )( )

( ) ( )( )

( ) ( )

0

sin

Beispiel:

sin cos 1 cos

cos cos cos sin

x

g xg x g x xh x H x H x

x

x x dx x x x dx c

x x x dx c x x x c

′

= − − − +

= − + + = − + +

∫ ∫

∫

��

��

(6-17)

Substitutionsmethode

Folgt aus der Kettenregel für die Differentiation.

( ) ( ) ] [

( ) ] [ ] [

Voraussetzungen:

: , für alle ,

: , , für alle ,

stetig

F u F u f u du c u a b

x x a b xϕ ϕ α βϕ

→ = + ∈

→ ∈ ∈′

∫

(6-18)

( )( ) ( ) ( )( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( )

( )( ) ( )

�

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )

Es gilt:

Beweis:

Kettenregel:

Integration:

also:

u x

u xu x

u x

u x

f u du

u xu x

f x x dx f u du F u c

F u x F x

F u x dx F u du f u du F u c

f x x dx F x c

F u c f u du c

ϕ

ϕϕ

ϕ

ϕ

ϕϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕ

ϕ ϕ ϕ

=

==

=

=

==

′⋅ = ⋅ = +

′ ′ ′⋅ =

′ ′ ′⋅ = ⋅ = ⋅ = +

′⋅ = +

= + = ⋅ +

∫ ∫

∫ ∫ ∫

∫

∫

��

(6-19)


( )( ) ( ) ( )( )

( )

( )

( ) ( )( )

0

0 0

Für bestimmte Integrale:xx

u x

u xx x

u x

f t t dx f u du F u cϕ

ϕ

ϕϕ ϕ

ϕ ϕ =

=

=

′⋅ = ⋅ = +∫ ∫

(6-20)

1. Art der Anwendung

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )( )( )

( ) ( )( )

( )( )

Voraussetzungen:

1. Der Integrand ist ein Produkt

2. Man findet ein , so dass

3. Man kennt die Stammfunktion von :

Dann istu xdug u

f x f x g x h x

x f x g x x

g G x g x dx

f x dx g x x dx g u du G xϕ

ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ=

= ⋅′= ⋅

=

′= = =

∫

∫ ∫ ∫��

(6-21)

( )�

( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

( ) ( )( )00 0 0

43 3

sin sincos

sin sin4 43 3 4

0sinsin

sin

Beispiel:

1sin cos sin

4

1 1oder sin cos sin sin

4 4

u x du u dx u xxdx

u x x xx

xx u x xu x

x xdx u du c x c

t tdt u du u x x

= ′= ==

=

= =

= + = +

= = = −

∫ ∫

∫ ∫

��

(6-22)

2. Art der Anwendung

( ) ( )

( )( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )( ) ( )( )

Man betrachtet das Integral und sucht eine Funktion so,

dass berechnet werden kann

Voraussetzung:

1. Man findet ein mit bekannter Stammfunktion

2

f u du

g x

f u du x u

f x x dx

x G x f x x dx

ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ

=

=

′⋅

∫

′= ⋅

∫

∫

∫

��

��

( )-1. Umkehrfunktion muss im vorgeschriebenen Intervall existierenx uϕ=

(6-23)



( )�

�( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1

0 0 0 0 0

1

/

/01

/

Beispiele:

sin sincos cos

sin sin sinoder cos cos

du u dx x auu x aa dx

x auu u x a

u u x a x au

x auau du x a dx

a a

x au auau du x a dx

a a

−

−

′= ===

==−

= =

= = =

− = = =

∫ ∫

∫ ∫

(6-24)

�( )

( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( )

( )

( )

2 2

2 2

2

22 2

cos arcsinsin

sin cos sin cos

cos sin

cos 1 cos

2 cos

2 2

arcsin

12

0

cos sin1 1 sin cos cos

2

1 sin sin arcsin 1

2 2

oder

1

==

′=

= −

= − −

= −

=

+− = − = =

∫∫ ∫∫ ∫∫

+ − + −= =

− =

∫ ∫ ∫

∫

��

��xdx x uu x

x x x x dx

x dx x dx

x dx x dx

x dx x

x u

x x xu du x xdx x dx

x x x u u u

u du ( )( )

�

( )( )0

arcsin 1/2

2 2

arcsin00 Hälfte des

Rechtecks/2 1

cos betrachte den Graphen von cos4

==

==

⋅

=∫

x

x

x dx xπ

π

π

(6-25)

Partialbruchzerlegung

Alle rationalen Funktionen können geschlossen integriert werden!

Ganze rationale Funktionen

( )2 1 2 10 1 2 1 0 1 1

1 1 1... ...

2 1p p p p

p p p pc c x c x c x c x dx c c x c x c x c xp p

− +− −+ + + + + = + + + + +

+∫

(6-26)

Echt gebrochene rationale Funktionen Können auf zwei Grundintegrale zurückgeführt werden

( )

( )

( )

( )

1

2

mit , , , , :

ln , für 11

1 1Grundintegral 1:für 1- 1 -

Grundintegral 2:2

nn

n

a b c A B

x a c n

dxc nx a n x a

Ax Bdx

ax bx c

−

∈

− + == − + > −

+

+ +

∫

∫

ℝ

(6-27)

Das Grundintegral 2 kann weiter reduziert und in mehreren Schritten gelöst werden.


Unecht gebrochene rationale Funktionen Sie können durch Division in eine ganze und eine echt gebrochene rationale Funktion verwandelt werden.

Numerische Integration

Vorausgehend haben wir nun sehr viele Integrale gelöst. Das darf darüber aber nicht hinwegtäu-schen, dass man immer wieder mit Integralen konfrontiert wird, für die man keine Stammfunkti-on findet. Man kann dann mit dem Computer die Integralsumme I(m) nach (6-1) für eine geeigne-te Zerlegung berechnen und erhält so in der Regel Ergebnisse von ausreichender Genauigkeit.

( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )( )

0 1 2 1

1 2 1

0 1 2 2 1

mit , ,

Untersumme:...

Obersumme:...

Trapezregel:2 2 ... 2 2

2

Mittelwerte Obersumme,Untersumme

Simpson-Re

n n n

b

N N

a

b

N N

a

b

N N N

a

b ax x a n x f f x

N

f x dx x f f f f

f x dx x f f f f

xf x dx f f f f f f

− −

−

− −

−∆ = = + ∆ =

∆ + + + +

∆ + + + +

∆= + + + + + +

∫

∫

∫

≃

≃

( ) ( )

( )

( )�

( )�

0 11

0 1 2 3 4 2 1

Gewichts- , ,...,vektor

gel:4 2 4 2 ... 2 4

3

2 !

Allgemein:

NN

b

N N N

a

b

a f f f

xf x dx f f f f f f f f

N

f x dx x w f

+

− −

∈

∆= + + + + + + + +

∈

= ∆ ⋅

∫

∫ℝ

ℕ

��

(6-28)



( )

( )

( )( )

2

1

0

Beispiel:

4 1Funktion:

1

Integral: 1

1Stützstellen: 6,

64 144 18 16 36 144 2

Funktionsvektor: , , , , , ,37 5 5 13 61

Untersumme: 1,1,1,1,1,1,0 , 1.05...

Obersumme: 0,1,1,1,1,1,1 ,

f xx

f x dx

N x

f

w x w f

w x

π

π π π π π π π

=+

=

= ∆ =

=

= ∆ ⋅ =

= ∆

∫

�

�

� �

�

0.94...

1 1Trapez: ,1,1,1,1,1, , 0.998...

2 2

1 4 2 4 2 4 1Simpson: , , , , , , , 0.9999997...

3 3 3 3 3 3 3

w f

w x w f

w x w f

⋅ =

= ∆ ⋅ =

= ∆ ⋅ =

�

�

�

� �

�

� �

(6-29)

Abbildung 6-2: Vergleich verschiedener Integrationsmethoden für N=6


Übungsaufgaben

( )( )( )

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( )

1. Geben Sie die Integrale an, für die die Funktionen Stammfunktionen sind

) ln für alle 0 und

ln für alle 0

)

) 1, für alle und 0, 1 ,

ln

) sin , cos ,

sinh

x

x

F x

a x c x

x c x

b F x e c

cF x c x

d F x x c F x x c

F x

β β ββ

+ > − + <

= +

= + ∈ > ≠

= + = − +

=

ℝ

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ] [( ) ( ) ] [

, cosh

) arctan

) arcsin , für alle 1,1

) arccos , für alle 1,1

x c F x x c

e F x x c

f F x x c x

g F x x c x

+ = +

= +

= + ∈ −

= + ∈ −

(6-30)

( )�

( )( ) ( )

�( )

( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 2

2 3

2 2

2. Berechnen Sie durch partielle Integration

).. ) cos , sin , cos

).. ) , ,

).. ) sin cos , sin , cos

).. ) ln , ln , ln

g x g xh x h x

x x x

n

a c x x dx x x dx x x dx

d f xe dx x e dx x e dx

g i x x dx x dx x dx

j l x dx x x dx x x dx

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

��

(6-31)

( ) ( ) ( )

[ ] [ ]

( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( )

23 3 2 2

2 2

2

2

3. Berechnen Sie durch Substitution der 1. Art

)... ) sin cos , sin , ,

)... ) in , , , in 1,11

)... ) , ,

)... ) sin . ,1

x

k x

a d x x dx x dx xe dx x x a dx

xe f x x a dx x a a dx x

x

f xg i dx x x dx a x dx

f x

xj l x x dx dx

x

ϕϕ ϕ ϕ

ϕϕ ϕ

ϕ

+

− ∈ − ∈ −−

′′ ′

′′

+

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫ ∫

∫( )

( )2,

1

xdx

x

ϕ

ϕ

′

−∫ ∫

(6-32)



( )

2

1/3

2/3

2

3

1 1

32

2 3 2

4. Berechnen Sie durch Substitution der 2. Art:

)... ) ,1

)... ) sin cos , tan , ln

1)... ) cos , 1 , ln

−

= == =

+

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅

−

∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

��

u

u x u x

du dx du x dxx

x

ua b ue du du

u

c e u u du u du u du x e dx

f i t t dt t dt ydyy

(6-33)

7. Vektorfunktionen und Felder Vektorfunktionen sind Vektoren, wobei jede Komponente eine Funktion der Zeit, der Bogenlän-ge oder sonst eines Parameters ist.

Unter einem Feld versteht man in der Physik die eindeutige Zuordnung einer physikalischen Größe wie Kraft, Masse, Ladung oder Wahrscheinlichkeit zu den Punkten in einem Koordinaten-system.

Bemerkung

Die folgenden Themen sind eine Vorschau auf die mathematischen Inhalte des Integrierten Kur-ses I in Physik. Der Übersichtlichkeit wegen ist die mathematische Formulierung etwas einfacher gehalten als in den vorausgehenden Kapiteln.

Bahnkurven als Beispiel für Vektorfunktionen

Bahnkurven sind die Grundlage der klassischen Mechanik (Hamiltonsches Prinzip).

Es sind Idealisierungen, sie sind nicht beobachtbar!

Jedem Objekt (Massepunkt, Punkt in kontinuierlicher Masseverteilung) wird zu jedem Zeitpunkt

t ein Ort ( )r t�

zugeordnet.

Beispiele für Bahnkurven (s ist Bahnparameter, z.B. Zeit t, Bogenlänge, …)

( ) ( ) ( )( )( )

0

1 0 2 3 0

210 2

Gerade im Raum: Waagrechter Wurf: Schraubenkurve:

cos

sinx

y

z

r r sv s

r s r vs r s v s r s r r s

v sz gs

+

= + = = + −

� � � � �

(7-1)

Unter Umständen entspricht v der Geschwindigkeit.

Gerade im Raum Waagrechter Wurf Schraubenkurve

Abbildung 7-1: Verschiedene Bahnkurven im dreidimensionalen Raum

7. Vektorfunktionen und Felder 83


Stetigkeit von Vektorfunktionen

( ) ( )

( ) ( )i

ˆ ist stetig, wenn alle Koordinaten

oder Vektorkomponenten stetig sind

i i

i

f x f x e

f x

=∑�

(7-2)

Dann ist

( ) ( ) ( ) ( )0 0

0 0ˆ ˆlim = lim i i i ix x x xi i

f x f x e f x e f x→ →

= =∑ ∑� �

(7-3)

Ableitung vektorwertiger Funktionen

Ableitung nach dem Bahnparameter:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )0 0

1 2 3

Zeilenvektor

ˆ ˆlim lim

, ,

i i ii ix x

i i

df x f x x f x f x x f x df xe e

dx x x dx

df x df x df x

dx dx dx

∆ → ∆ →

+ ∆ − + ∆ −≡ = =

∆ ∆

=

∑ ∑

� � �

��

(7-4)

Der Vektor ( )df x

dx

�

liegt in x tangential an der Kurve an. Die Bahnkurve ändert sich ja genau

entlang der Bahnkurve.

Höhere Ableitungen:

( ) ( ) ( )1

1 rekursive Definition

n n

n n

d f x d f xd

dx dx dx

−

−

≡

� �

(7-5)

Geschwindigkeitsvektor

( ) ( )( ) ( )

Für die Bahnkurve Ort als Funktion der Zeit ist

die Geschwindigkeit des Objekts zur Zeit

r t

dr tv t t

dt=

�

�

�

(7-6)

Messbar sind jedoch immer nur mittlere Geschwindigkeiten ( ) ( )r t t r t

vt

+ ∆ −≡

∆

� �

�

.


Rechenregeln:

( ) ( )

( )

( )

Summenregel:ˆ ˆ ˆ

,

Produktregel 1:

,

Produktregel 2:

i i i i i ii i

i i i i i ii i

ijk

d d d da b a b e a e b e

dx dx dx dx

d da b

dx dx

d d d da b a b a b a b

dx dx dx dx

d da b a b

dx dx

da b

dxε

+ = + = +

= +

⋅ = = +

= ⋅ + ⋅

× =

∑ ∑

∑ ∑

�

�

�

�

�

�

� �

� �

�

�

( )

( )( ) ( )( ) ( ) ( )

ˆ ˆ

,

Produktregel 3:,

Kettenregel:ˆ ,

Quotientenregel:

i j k ijk i j kijk ijk

i ii

d da b e a b e

dx dx

d da b a b

dx dx

d d dab a b a b

dx dx dx

da b db xd da b x a b x e

dx dx db dx

da

d a dxdx b

ε +

= × + ×

= +

= =

=

∑ ∑

∑

� �

� �

� � �

�

�

�

�

2

db b a

dxb

−

�

(7-7)

Tangentenvektor, Normalenvektor und Krümmung

Bogenlänge:

Für die Bogenlänge gilt: s=s d dr�

(7-8)

Dann ist der

( )Êinheitstangentialvektor dr s

tds

≡�

(7-9)

Wie oben begründet liegt jede Ableitung der Bahnkurve nach dem Kurvenparameter im entspre-chenden Punkt tangential an der Kurve an. Ferner ist nach (7-8), also nach der Definition der Bogenlänge s

( )ˆ 1dr s

tds

= =�

(7-10)

Der Tangentialvektor bleibt bei kleinen Änderungen von s in Tangentialrichtung gleich 1 (Nor-mierung). Er ändert sich genau senkrecht zur Tangente, also ist der

( ) ( )1

Normierung

ˆ ˆÊinheitsnormalenvektor

dt s dt sn

ds ds

−

≡��

(7-11)



( )ˆKrümmung: ist ein Maß für die Krümmung der Raumkurve

1Krümmungsradius:

dt s

dsκ

ρκ

≡

≡

(7-12)

Abbildung 7-2: Die Änderung des Ortsvektors dr tangiert in x die Kurve und definiert so den Tangetialvektor t. Die Ände-

rung des Tangetilavektors dt steht in x senkrecht auf der Kurve.

Beispiel:

( ) ( )( ) ( )( )( )( ) ( )( ) ( )( )( )

( )( )( ) ( )( )( )

( )

( ) ( )

( )

2 2Betrag: sin cos 1

!

Kreisbahn mit Radius : cos , sin ,0 ,

Bestimmung von : sin ,cos ,0

also:cos ,sin ,0

Tangentialvektor:ˆ

f s f s

R r s R f s R f s

f dr s f s f s Rf s ds

sdr s Rf s ds ds f

R

s sr s R

R R

+ =

=

′= −

′= = ⇒ =

=

�

�

��

�

�

( )

( )

sin ,cos ,0

Normalenvektor: 1 1ˆˆ cos ,sin ,0

cos ,sin ,0

Krümmung: 1

Krümmungsradius:

s st r s

R R

s sn t

R R R

r ss s

R R R

RR

κ κ

κ

ρ

′= = −

′= = −

= − = −

=

=

�

�

(7-13)

Vektorenfunktionen und Felder

Wir betrachten hier folgende Vektorstrukturen:


( )

( )

3

3

3

3 Koordinaten für Position im RaumVektor :Schar von Vektoren, Kurvenparameter istVektorwertige Funktion : :Zeit, Bogenlänge, ...

Skalare Funktion vonSkalarfeld: , : :Ort und Zeit (Ve

r

r t

r tϕ

∈→

× →

�ℝ

�ℝ ℝ

�ℝ ℝ ℝ

( ) 3 3

ktoren)

Vektorwertige Funktion von Vektorfeld: , : :Ort und Zeit (Vektoren)

F r t × →� �

ℝ ℝ ℝ

(7-14)

Skalare Felder: Gravitationspotential, elektrisches Potential, Temperaturfeld, Massenfeld, Wahrscheinlichkeits-feld,…

Vektorielle Felder: Kraftfeld, Geschwindigkeitsfeld, Elektrisches- und Magnetisches Feld, …

Beispiele:

( ) ()

( ) ( )( )

()

2 2 2

3 3/ 22 2 2 2

Zentralpotential: 1 1 Schwerefeld,

elektrisches Potential

Kräfte im Zentralfeld: , , Schwerkraft,ˆ

elektrisches Feld

rr x y z

x y zr rF r

r r x y z

ϕ ∝ − = −+ +

∝ = =+ +

�

�

�

�

�

��

(7-15)

Bemerkung zur Realität der Felder:

Felder sind mathematische Hilfsmittel zur Beschreibung physikalischer Phänomene aufgrund kausaler Zusammenhänge. Felder sind nicht beobachtbar oder messbar!

Wir beobachten zum Beispiel, wie ein Ball durch die Luft fliegt, oder wie sich Eisenspäne auf einer Glasplatte über einem Magneten orientieren. Schwerefelder oder magnetische Felder treten dabei nicht in Erscheinung, aber die beobachteten Phänomene können mit ihrer Hilfe berechnet werden.

Felder sind real im Sinnen gedanklicher Vorstellungen, nicht im Sinne physikalischer Objekte. Das gleiche gilt auch für Raum und Zeit.

Partielle Ableitung

Felder hängen in der Regel von drei Raumkoordinaten und einer Zeitkoordinate ab. Beim partiel-len Ableiten werden alle bis auf eine, nach der abgeleitet wird, festgehalten:



( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

0

0

0

0

0

Partielle Ableitung: ˆ, , ,lim

,etwa lim , , , sind konstant

, , ,lim

oder: ˆ, , ,lim

, ,lim

i

hi

h

h

i

hi

h

r t r he t r t

x h

r t y h yx z t

y h

r t r t h r t

t h

F r t F r he t F r t

x h

F r t F r t

t

ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ

→

→

→

→

→

∂ + −=

∂

∂ + − = ∂

∂ + −=

∂∂ + −

=∂

∂=

∂

� � �

�

� � �

� � �

� � �

� �

� �( ) ( ),h F r t

h

+ −�

�

(7-16)

Nach einer Variablen xi oder t wird also abgeleitet und die anderen Variablen werden dabei fest-

gehalten.

Beispiele für partielle Ableitungen:

( )

�

( ) ( )�

2 2 2Kettenregel mit

2 2 2

21 122

ˆ ˆ ˆ Âbleitung des Ortsvektors, z.B.:

ˆ ôder allgemein:

Ableitung des Abstandes:

ij

y x y z y

j j iji i

u x y z

u y

y

ru

rxe ye ze e

y

rx e e

x x

r yx y z u u

y y r

δ

= + +

== =

∂ = ∂ + + =∂∂ ∂= =∂ ∂

∂ ∂= + + = ∂ ∂ =∂ ∂

∑

�

�

��

��

(7-17)

Richtungsableitung:

Partielle Ableitungen nach (7-16) geben die Steigung eines Feldes in Richtung der Raum- und Zeitkoordinaten an. Für die Berechnung der Steigung in einer beliebigen Richtung ergibt sich


( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )( )( ) ( )

ˆ0

ˆ

0 00

0

0 00

ˆ ˆ

ˆRichtung :ˆ ˆ ˆ, 1

Richtungsableitung:

ˆlim

ˆ ˆlim lim

ˆ

i i j jj

i ii

uh

f r u

h h

i

i

u e e u

uu u e u

r hu rr

h

r h u r u f h f

h h

d d df r u r r

d d dr

ε ϕ ε

ε

ε

ε εεε ε

ε

ϕ ϕϕ

ϕ ε ϕ ε ε ε

ε ϕ ε ϕε ε ε

→

≡ +

→ →=

=

= ==

= = ⋅

= =

+ −∂ ≡

+ + − + + −= =

∂= = + = ∂

∑

∑

�

� �

�

��

� �

( )

( ) ( ) ( ) ( )

ˆKettenregel

, 1 2 3

ˆ ˆ ˆ , ,

r r u

i

j j ii j i

r r r ru e e u

x x x x

ε ε

ϕ ϕ ϕ ϕ

≡ +

∂ ∂ ∂ ∂ = ⋅ = ⋅ ∂ ∂ ∂ ∂

∑

∑

� �

��

��

� � � �

(7-18)

Man kann die Ableitung auch verallgemeinern für nicht normierte Vektoren und erhält

( ) ( ) ( ) ( ) ( )ˆ1 2 3

, ,u u

r r rr u u r

x x x

ϕ ϕ ϕϕ ϕ

∂ ∂ ∂ ∂ = ⋅ = ∂ ∂ ∂ ∂

�

� � �

� � � �

(7-19)

Gradienten:

Der Vektor mit den Ableitungen des Feldes ϕ unten (7-18) ist in der Physik sehr wichtig und wird als Gradient bezeichnet.

( ) ( ) ( ) ( ) ( )ˆGradient: , , ii i

r r rr e r

x y z x

ϕ ϕ ϕϕ ϕ

∂ ∂ ∂ ∂∇ ≡ = ∂ ∂ ∂ ∂ ∑

� � �

�

� �

(7-20)

Die Bezeichnung 'Gradient' ergibt sich aus der Interpretation des Vektors.

Beispiel:

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

2 2

1/ 2

1/2

1/ 2 3/ 2 2

2

3/ 2 3 22

1Gravitationspotential, elektrisches Potential:

1ˆ ˆGradient:

2

ˆˆ

jj

i

i

u r r x

i i ji i ji i

xu u

u x

i ii

r u rr

e u r e u r xx x

e xr r

r rr

ϕ

ϕ

−

≡ =

−

− −

∂ ∂∂ ∂

∑

= − = −

∂ ∂ ∇ = − = − − ∂ ∂

= = =

∑ ∑ ∑

∑

� �

��

� �

��

��

�

�

(7-21)



Rechenregeln

( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) ( )2

2

Summenregel:ˆ ˆ ˆ

Produktregel:ˆ ˆ

Quotientenregel:

Kettenregel:

i i ii ii i i

i ii ii i i

e e ex x x

e ex x x

ϕ ψ ϕ ψ ϕ ψ

ϕ ψ

ϕψ ϕψ ϕ ψ ϕ ψ

ϕ ψ ϕ ψ

ϕ ϕ ϕ ψψ ψ ψ

ϕ ψ ϕ ψψ

∂ ∂ ∂∇ + = + = + ∂ ∂ ∂

= ∇ + ∇

∂ ∂ ∂∇ = = + ∂ ∂ ∂

= ∇ + ∇

∇ ∇∇ = −

∇ − ∇=

∇

∑ ∑

∑ ∑

�

� �

�

� �

� �

�

� �

�

( ) ( ) ( )

( )

ˆ î ii ii i

dff e f e

x d x

df

d

ϕϕ ϕ ϕ

ϕϕ

ϕϕ

∂ ∂= =∂ ∂

= ∇

∑ ∑

�

(7-22)

Differential und Interpretation des Gradienten:

Am Ende von Kapitel 5 wurde das Differential einer Funktion eingeführt. Es ergab sich durch

Linearisierung des Zuwachses 0 0

, : lim , limh h

dx dy x hdx y hdy→ →

∆ ≡ ∆ ≡ .

Nun betrachten wir ganz analog das Feld ϕ als Funktion mehrer Variablen.

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

0 0

0

Richtungs-ableitung

Zuwachs:

Linearisierung: lim lim

Differential:lim

h h

h

dr ii i

r r r r

r hd r r hdr r

r hdr rd r

hr

r r dr dxx

ϕ ϕ ϕϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕϕ

ϕϕ ϕ

→ →

→

∆ ≡ + ∆ −

∆ → = + −

+ −=

∂= ∂ = ∇ ⋅ =

∂∑�

� � � �

� � � � �

� � �

�

��

� � �

��

(7-23)

Interpretation des Gradienten Das Differential dϕ gibt an, wie sehr sich das Feld ϕ bei einer Änderung des Ortes dr

� linear än-dert. Speziell entlang von Äquipotential- oder Höhenlinien ändert sich das Differential gar nicht:

( ) ( )Gradient senkrechtauf Ortsänderung

Äquipotentiallinien: 0=d r r dr drϕ ϕ ϕ= ∇ ⋅ ⇒ ∇ ⊥� �

� � � �

��

(7-24)

Daraus ergibt sich die Bedeutung. Der Gradient eines skalaren Feldes gibt die Richtung und das Maß des größtmöglichen Anstieges des Feldes an. Beschreibt das Feld etwa die Höhendaten ei-nes Berges, dann zeigt der Gradient entgegen der Falllinie. Die Länge des Gradienten drückt dann aus, wie Steil es an der Stelle des Berges ist.


Beispiel elektrisches Potential eines Dipols:

( ) 1 1

ˆ ˆ ˆ,x y x

rr a r a

r xe ye a ae

ϕ = −− +

= + =

�

� � � �

� �

Abbildung 7-3: Äquipotentiallinen (Linien) und Gradientenfeld (Pfeile) eines Dipols.

Ableitungen höherer Ordnung1

Existieren die partiellen Ableitungen eines Feldes überall, so sind diese ebenfalls Funktionen von r und können gegebenenfalls wieder partiell differenziert werden. So kommt man zur

( ) ( )mal

Partiellen Ableitung höherer Ordnung: ...k

ki i i i

k

r rx x x x

ϕ ϕ

−

∂ ∂ ∂ ∂=∂ ∂ ∂ ∂

� �

��

(7-25)

Differenziert man ein paar Mal nach verschiedenen Variablen, schreibt man entsprechend

( ) ( )2 1

1 2 11 2 1

......

n

n n

k k kk

k kk k kn n

r rx x x x dx

ϕ ϕ∂ ∂ ∂ ∂=∂ ∂ ∂ ∂

� �

(7-26)

Wichtig ist, dass die Reihenfolge der Ableitungen keine Rolle spielt, solange alle Ableitungen ste-tig sind. Etwa für die 2. Ableitungen ist

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

0

0 0

0 0

1ˆlim

1ˆ ˆ ˆ ˆlim lim

1ˆ ˆ ˆ ˆlim lim

→

→ →

→ →

∂ ∂ ∂= + −∂ ∂ ∂

= + + − + − + +

= + + − + − + +

∂=

� � �

� � � �

��

� � � �

��

ih

j i j

j i i jl h

j i j il h

r r he rx x x h

r le he r he r le rlh

r le he r le r he rlh

ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ

( ) ( )( )

( )

0

1ˆlim

→+ −

∂∂ ∂=

∂ ∂

� �

�

jl

i

i j

r le rx l

rx x

ϕ ϕ

ϕ

(7-27)

1 Kann im MVK weggelassen werden



Taylor-Entwicklung für Felder2

Mit Hilfe der Richtungsableitung nach (7-18) wird die Taylor-Entwicklung ganz zwanglos auf Felder erweitert:

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )0

00 0

00 0

0

0

22

0

ˆTaylor-Entwicklung von um mit , :

ˆ

!

1 1ˆ ˆ ˆ Restglied2 !

nN

n

n

r r

Nn

r r r r r r

r rr d r r d

r r

dr d

n

r d d d d d dN

ϕ

ϕϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ

==

= = =

−≡ − =

−

⋅∇=

= + ⋅∇ + ⋅∇ + + ⋅∇ +

∑� �

� �

� � � �

� �

�

� � �

� �

�

�

� � �

�

…

(7-28)

Beispiel: Entwicklung von r a−� �

um 0r =�

( ) ( )

( ) ( )

( )( )

( )( )

( )

2

0

2

,

2

, ,

0

2

0. Ordnung:

1. Ordnung:

ˆ ˆ

1 12

2

ˆ

âlsoˆ ˆ

2. Ordnung:ˆ ˆ

r

u r r a

i

i j i

i ij j i i

i j i ji

r

r a a

xr r a r r a u r

r x

x xx a x a

r x ru r u r

r ar

r a

a r ar r a r

a a

r r a

=

= −

=

− =

∂⋅∇ − = ⋅∇ − =∂

∂= − = −∂

−= ⋅−− ⋅⋅∇ − = ⋅ = −

⋅∇ − =

∑

∑ ∑

�

� � �

�

� �

��

� ��

� �

� �

� �

� ��

�� ( )

( )( )

( )

( ) ( ) ( )2 2.

,

ˆ ˆ ˆ

...

u r r a v r r

j jji

i j i

r ar r r a r r

r a

x axx

r x v r u r

= − =

−⋅∇ ⋅∇ − = ⋅∇ ⋅−

−∂= =∂∑

� � � � �

� ��

� �

� �

��

� �

(7-29)

Anderer Weg:

Wir wenden einen Trick an, um das Feld eindimensional zu entwickeln:

2 Kann im MVB weggelassen werden


( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

2

2

22 2 3

2

22 23

2 2

2 22 23 3

2 2 4 3

2 1 12 4

2 1 21

2 8

12 2 2 2

− ⋅≡

− = − ⋅ + = + = + − +

− ⋅ − ⋅ = + − +

⋅ ⋅⋅ ⋅= − + − + = − + − +

� �

� � � �

��

� � � �

� � � ��

r r ax

a

x xr a a r a r a x a O x

r r a r r aa O r

a a

r a r ar a r r a ra O r a O r

a a a a a a

(7-30)

( ) ( )22

33

Insgesammt:2 2

r ar a rr a a O r

a a a

⋅⋅− = − + − +� �

� �

� �

(7-31)

Wegintegrale

Einfache Integration über einen Weg bei konstantem Integranden (hier =1)

( )( ) ( ) ( )

( )

1 1 1 1 1

0 0 0 0 0

1 0 1 0 1 0

1 0

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ

Relativvektor des direkten Weges

r r r r r

x y z x y z

r r r r r

x y z

dr dxe dye dze dxe dye dze

x x e y y e z z e

r r

= + + = + +

= − + − + −

= −

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

� � � � �

� � � � �

�

� �

(7-32)

Integral über ein skalares Feld Das geht nicht so ganz analog, weil die Funktion ja im Allgemeinen von allen Koordinaten ab-hängt.

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

1 1

0 0

1

0

ˆ ˆ ˆ, ,

ˆ ˆ ˆ, , , , , , ???

r r

x y z

r r

r

x y z

r

r dr x y z dxe dye dze

x y z dxe x y z dye x y z dze

ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ

= + +

= + + =

∫ ∫

∫

� �

� �

�

�

� �

(7-33)

Man muss also angeben, welcher Wert von x zu einem bestimmten Wert von y oder z gehört. Man muss den Weg parametrisieren:

( ) ()

( )

Parametrisierung: ist etwa Bogenlänge,

Zeit oder ein anderer Parameter

Differential:

Für Zeit : ist Geschwindigkeit

r r s s

rdr ds r ds

st r

dr dt rdt vdt vt

=

∂ ′= =∂∂= = =∂

� �

��

�� ɺ

(7-34)

Damit ist



( ) ( )( ) ( )( )

( )11

0 0

s rr

r s r

r dr r s r s dsϕ ϕ ′=∫ ∫

��

� �

� � � �

(7-35)

Beim Einsetzen der Funktionen ergibt sich ein gewöhnliches, bestimmtes Integral.

Beispiel

( )

( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( )

1 1 1

0 0 0

0

2 20 0 1 0 1 0

1 0

2 21 0 0 1 0 1 0

Konstante Beschleunigung:

1

2Wegintegral:

siehe oben

1also:

2

r t t

r t t

v t v at

dr v t dt v at dt v t t a t t

r r

r r v t t a t t

= +

= = + = − + −

= −

= + − + −

∫ ∫ ∫

�

�

� � �

� � � � � �

� �

� � � �

(7-36)

Integral über ein Vektorfeld Sehr fundamental!

( )1 1

0 0

Arbeit = Kraft Weg:

also:r t

r t

dA F dr

A F dr F r s ds

× = ⋅

′= ⋅ = ⋅∫ ∫

�

�

�

�

� �

� �

(7-37)

Beispiele:

Abbildung 7-4: Wege in Kraftfeldern. Links führt der Weg Γ

1 entlang der x-Achse ins unendliche und der Weg Γ

2 von

einem Punkt auf einer Äquipotentiallinie zu einem anderen. Rechts betrachten wir zwei geschlossene Wege, Γ1 liegt neben dem Zentrum des Wirbels, Γ

2 umfasst es.

Linkes Bild in Abbildung 7-4:

2 3

ˆKraftfeld: a

r rF

r r= =

�

�

(7-38)


[ ]( ) ( )

( )( )( )

( )

( )

0 0

0 01

0

20

0

0

0 0

1 1

1 1

1 0230 0 0

1

0 20 0

, /

Weg 1 0,1 :

lim 0 , lim 0

0 0

Arbeit 1: 1lim lim

1lim l

→∞ →∞

→∞ →∞Γ →

→ +

→∞

=

+ − ∈ − ′= =

′= ⋅ = ⋅ = −+ −

= =+

∫ ∫ ∫

∫

� �

��

� �

��

��

��

x x

x xx

R x s

x

u ds du x

R x R ss x R

r r

rA F dr r ds x R ds

r R x R s

x dsR x s

00 0

0 0

0

2

0

1 1im lim

1 1 1lim

+ →

→∞ →∞

→∞

= −

= − − =

∫xR x x

x xRR

x

duu u

x R R

(7-39)

Wir erhalten das Potential ϕ.

[ ]( ) ( )

( )( )

( )( )( )

( )

�

( )

( )

2 2

12

2

2 2

2 3/ 22 2

Integratio

1 2

11

3/ 2 3/22 20 0

1 2 2

1Weg 2 0,1 : 1

, 1

0 0

Arbeit 2: 1

10

11 0

1 1 1

21

s u

u dsu

u

s s u

ss

r s r

s

s

A F dr dts s

s sds du

us s

Γ Γ

′− + =

′

− + =

− ∈ − ′= =

− −

= ⋅ = ⋅ − +

− += =

− +

∫ ∫

∫ ∫

� �

��

��

��

2n mit Substitution 2 2 1

1

1/ 21

1

0

u s s

u

= − +

= −

=

��

(7-40)

Hier bewegen wir uns von einem Punkt auf einer Äquipotentiallinie zur anderen.

Rechtes Bild in Abbildung 7-4:

2 3

ˆ ˆ ˆKraftfeld: z z

b

r e r eF

r r

× ×= =�

�

(7-41)

Eine Rechnung zeigt, dass

1

Weg 1

2

Weg 2

Weg 1: 0

Weg 2: 0

b

b

A F dr

A F dr

= ⋅ ≠

= ⋅ =

∫

∫

�

�

�

�

(7-42)

Der Unterschied zwischen den beiden Wegen ist klar:



Auf Weg 1 bewegt man sich um die Singularität herum (etwa mit einer Ladung um einen strom-führenden Leiter). Die Kraft kommt vorwiegend aus der Bewegungsrichtung.

Auf Weg 2 bewegt man sich an der Singularität vorbei. Die Kraft wechselt ihre Richtung und die Komponenten kompensieren sich.

Konservative Kraftfelder. Die Eigenschaft der Wegunabhängigkeit der Arbeit ist sehr elementar. Wenn man einen Berg besteigt, hängt die Potentielle Energie am Gipfel nicht vom Weg ab. Das Kraftfeld der Gravitati-on hat ein Potential:

2 3

ˆFür das Kraftfeld

existiert ein Potential mit

r rF

r rFϕ ϕ

= =

= −∇

�

�

� �

(7-43)

allgemeiner:

( ) ( )

( )

1 0 1 2 0 1

0 0

Für ein konservatives Kraftfeld gilt

) das Wegintegral ist unabhängig vom Weg:

) das Integral auf jeder geschlossenen Bahn 0

) für alle

r r r r

r r

F

a F dr F dr

b F dr F dr

c r

Γ → Γ →

Γ Γ →

⋅ = ⋅

⋅ ≡ ⋅ =

∫ ∫

∫ ∫

� � � �

� �

�

� �

� �

� �

� �

�

�

( ) ist die Rotation =0

) es existiert ein Potential mit

F r

d Fϕ ϕ∇×

∇ ∇ = −

� �

�

� � �

(7-44)

Die Aussagen a-d sind äquivalent und definieren den Ausdruck 'konservativ'.

In den obigen Beispielen ist das Feld Fa offensichtlich konservativ, das Feld F

b nicht.

Flächen- und Volumenintegrale

( )

( ) ( )1

0

00

01

Stützstellen: -1 ,

Fläche unter der Kurve: lim

Ni

xN

ix

i x

x xx x i x N

x

A f x x dxf x∆ → =

−= + ∆ =∆

= ∆ ≡∑ ∫

(7-45)

Man berechnet hier eine Fläche (2D-Volumen), und das kann man in x und y auch symmetrisch schreiben:

( )

( ) ( )

( ) ( )1 1,

0 0

00

0 ,

01 1 0 00

Stützstellen:-1 ,

-1 ,

Fläche unter der Kurve:lim

i

y xx i

Ni x

ij y x

f x f xx xNN

xi j x xy

x xx x i x N

xf x

y y j y Ny

A x y dy dx dydx∆ → = =∆ →

−= + ∆ =∆

= + ∆ =∆

= ∆ ∆ ≡ ≡

∑∑ ∫ ∫ ∫ ∫

(7-46)


Abbildung 7-5:

Integration als Flächenberechung. Links wird die genannte Obersumme gebildet, indem die x-Koordinate in infinitesimale Abschnitte unterteilt wird. Rechts wird zusätzlich auch die y-Koordinate in infinitesimale Ab-schnitte unterteilt. Dies führt auf die Verallgemeinerung zu Volumenintegralen.

Die Äquivalenz von (7-45) und (7-46) sieht man leicht:

( )

( )�

( )1 1

0 0

0

0

f x

f xx x

x x

y

A dy dx f x dx= =∫ ∫ ∫

(7-47)

Dies wird nun zum Volumenintegral verallgemeinert:

( )

( )

( )

( )1 11

0 0 0

,

,

y x z x yx

V x y x z x y

V dxdydz dx dy dz= =∫ ∫ ∫ ∫

(7-48)

Die Reihenfolge der Integrationen richtet sich nach der Geometrie (siehe folgendes Beispiel).

Bezeichnungen:

�

3

. . im IntgriertenKurs Physik

V V V

z B

dxdydz dV d r= =∫ ∫ ∫�

(7-49)



Beispiel Pyramide

Abbildung 7-6: Pyramide, deren Volumen in (7-50) berechnet wird.

( ) ( )( )

( ) ( ) ( )

1 1 1 121 1

1 10 1 0 0

1 112 2 3 21

3 00 0

Integrationsbereiche: 1 1 , 1 1 , 0 1;

Volumen:1 1

4 1 4 2 1 4

4

3

zz z

z zV z

x z z y z z z

V dV dz dydx dz x y dz z z

dz z dz z z z z z

−− −

− + − +− +

= − + − = − + − =

= = = = − − − +

= − = − + = − +

=

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫

… … …

(7-50)

Teilchendichte

{ }

( )

( )1 1

Anzahl von Teilchen im Volumen : , 1

Teilchendichte:

Anzahl von Teilchen im Gesamtvolumen:

k k

kk

k

K Kk

k kk k k V

V n k K

nr

V

N nN n V dV r

V

ρ

ρ= =

∆ ∈

=∆

= = ∆ →∆∑ ∑ ∫

…

�

�

(7-51)

Massendichte:

{ }

( )

( )1 1

Masse im Volumen : , 1

Massendichte:

Masse im Gesamtvolumen:

k k

kk

k

K Kk

k k kk k k V

V m n k K

m nr

V

m nM m n V dV r

V

ρ

ρ= =

∆ ⋅ ∈⋅=

∆

⋅= ⋅ = ∆ →∆∑ ∑ ∫

…

�ɶ

�ɶ

(7-52)

Ladungsdicht geht analog.

Schwerpunkt (Integration über Vektorfeld)

( )1 1

1 1 1Schwerpunkt:

K Kk

k k k k k kk k k V

m nR r m n r V dVr r

M M V Mρ

= =

⋅≡ ⋅ = ∆ →∆∑ ∑ ∫

� � � � �ɶ

(7-53)

Beispiel Geodreieck (konstante Massendichte)


Abbildung 7-7: Geodreieck, dessen Schwerpunkt in (7-54) berechnet wird.

( )

( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )13

11

0 0 1

12 21

20 0

0

1 1 12 3 2

01

Dichte:

Schwerpunkt: 1 1

11 1 2 1 2 1

12 2 1

k

yd

k k x y z

V y

d

x y z

d

y z

M Mr

V d

R dVr r dz dy dx xe ye zeM d

dz dy y y e y ye y zed

dz e zed

ρ

ρ−

− +

=

= =

= = + +

= − − − + + − + −

= − + −

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫

∫

�ɶ

� � � � � �ɶ

� � �

��

� �

��( )21 1

3 2

13

12

1

0

y zde d ed

d

= +

=

� �

(7-54)

Übungsaufgaben

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( ) ( )( )

2 2

2

2

2 2

22

sin sin sinsin sin sin

1. Berechnen Sie die partiellen Ableitungen bis zur 2. Ordnung für folgende Funktionen:

) , 2 3 , ) , sin 3 ,

) , , ) , ln sin

2. Berechnen Sie

x y

x x xx x

a f x y x y b f x y x y

c f x y e d f x y x x y+

≡≡

= + = +

= = +��

( )

( ) ( )

2 2

2 2

die gemischten partiellen Ableitungen 2. Ordnung der Funktion

,

Wie verhalten sich die Funktion und die gemischten partiellen Ableitungen

2. Ordnung beim Vertauschung der Variablen , ,

x yf x y

x y

x y y x

−=+

→

(7-55)



( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

23. Berechnen Sie für die Bahnkurve 2 , 1, 1 :

) den Geschwindigkeitsvektor

) den Beschleunigungsvektor

) Geben Sie die Komponenten von Geschwindigkeit und Beschleunigung in

Richtu

r t t t t

a v t r t

b a t r t

c

= + −

==

�

� �ɺ

� �ɺɺ

( )( ) ( ) ( )( )

( )

ng 1, 2, 2 an

4. Wir betrachten die Bahnkurve 3cos ,3sin ,4

) Welcher Bahn oder geometrischen Form entspricht diese Kurve

) Bestimmen Sie die Bogenlänge und geben Sie die Bahnkurve

in der Form

u

r t t t t

a

b s t

= − −=

�

�

� ( ) an

) Bestimmen Sie den Tangentenvektor, den Normalenvektor, die Bahnkrümmung,

und den Krümmungsradius

r s

c

(7-56)

( )-

ˆ5. Berechnen Sie mit konstantem und :

) den Gradienten

1) den Gradienten ,

-

1) die Richtungsableitung

-

i i

a r

r a

a r x e

ea

r

br a

cr a

=

∇

∇

∂

∑�

� �

� �

�

�

� �

� �

(7-57)

( ) ( )

( )

( )

( )

2

1

0,1

1,0

1 2

1 2

6. Wir betrachten das Kraftfeld , 1 ,

) Berechnen Sie die Arbeit entlang drei verschiedener Wege

1.Weg: entlang einer Geraden

2.Weg: 1,1 entlang zweier Geraden

3.W

P

P

F x y y x

a A ds F

P P

P P P

=

=

= +

= ⋅

→→ = →

∫

�

�

�

( )

1 2eg: entlang eines Kreisbogens mit Radius 1 und

Mittelpunkt 0

) Berechnen Sie das Potential , für das also ist

P P R

M

b V r V F

→ =

=∇ = −

��

� �

(7-58)

( )22 3 2 1

2

0 0 1 0 0

2 2

2 2

7. Berechnen Sie die Doppelintegrale

) , ) , )

8. Berechnen Sie den Flächeninhalt einer Ellipse mit den Halbachsen und .

Die Ellipsengleichung ist 1. Zei

y y

y

a xy x y dydx b xdxdy c y dxdy

a b

x y

a b

−

−

+ =

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

( )( ) [ ]

gen Sie, dass die Ellipse auch durch

cos, 0,2 parametrisiert wird. Nutzen Sie die Symmetrie

sin

der Ellipse.

9. Berechnen Sie Mittels eines Doppelintegrals die Fläche eines gleichs

a txt

y b tπ

= ∈

eitigen

Dreiecks der Seitenlänge a

(7-59)


( ) ( ) ( )10. Berechnen Sie die Lage des Flächenschwerpunkts eines Dreiecks,

dessen Eckpunkte durch die Koordinaten 0,0 , ,0 , , gegeben sind

11. Berechnen Sie die Masse eines Kreiskegels mit Grundflächeradius un

a a b

R

0

0

0 0

d Höhe

Die Dichte des Materials wächst dabei vom Wert an der Grundfläche bis zum

Wert 5 an der Kegelspitze linear

12. Ein Tetraeder mit Kantenlänge hat eine homoge Ladung konstanter Dichte .

H

a

ρρ

ρ) Wie groß ist die Gesamtladung ?

) Wie groß wäre die Flächenladungsdichte , wenn diese Gesamtladung

gleichmäßig auf der Oberläche des Tetzraeders verteilt wäre?

Hinweis: Berechnen Sie dazu entsprech

a Q

b σ

( )( )( )

0

end den Zeichungen

den Abstand einer Ecke zur Grundflächenmitte cos 30 3 / 2 ,

die Höhe des Tetraeders als Funktion der Kantenlänge ,

den Abstand einer Kante zur gegenüberliegenden Ecke,

den Inhalt

g

h a a

b

A

=

( )( ) ( )0

einer Seitenfläche und

das Volumen als Integral von über h=0..h a .

Damit können Sie ) und ) beantworten.

a

V A h

a b

Abbildung 7-8: Tetraeder zu Aufgabe 12

Lösungen zu den Übungsaufgaben finden Sie unter www.kbraeuer.de bei ‚Skripte und Einfüh-rungen – Mathematischer Vorbereitungskurs für das Physikstudium …’

Index

Ableitung...... 19, 51, 52, 53, 65 Ableitung vektorwertiger

Funktionen ....................... 83 Ableitungen höherer Ordnung

......................................... 90 Absolutbetrag ......................... 9 Argument komplexer Zahlen 10 Bahnkurve ...................... 39, 53 Bahnkurven als Beispiel für

Vektorfunktionen ............. 82 Basistransformationen .......... 20 Beispiel . 11, 21, 25, 30, 39, 41,

53 Beispiele:........ 8, 29, 41, 42, 66 Bestimmung von Grenzwerten

......................................... 30 Betrag ................... 9, 10, 11, 23 Cosinus ..................... 19, 47, 62 Dezimaldarstellung ............ 4, 5 Differentation ....................... 55 Differential ........................... 66 Differential und Interpretation

des Gradienten.................. 89 Differentialquotient ........ 51, 66 Differenzenquotient ....... 51, 53 Divergente Folgen ................ 30 Druck ................................... 39 Ebenen ................................. 24 Eigenschaften von Funktionen

......................................... 40 Einheitskreis ....... 11, 46, 47, 54 Einheitsvektoren .................. 20 Elementare Funktionen ........ 42 Eulersche Formel ................. 11 Exponentialfunktion ....... 44, 45 Exponentialfunktion und

Logarithmus ..................... 44 Exponentialschreibweise ...... 11 Flächen- und

Volumenintegrale ............. 95 Folgen ...................... 29, 30, 40 Ganze Zahlen ......................... 3 Geometrische Interpretation . 37 Geraden ................ 6, 24, 25, 26 Geschwindigkeit . 6, 15, 38, 39,

53 Gradienten ........................ 4, 88 Grundrechenarten ............... 2, 4 Hauptsatz der Differential- und

Integralrechnung .............. 73 Hauptwert ............................. 10

Höhere Ableitungen ............. 53 Hyperbelfunktion ................. 44 imaginäre Einheit ................... 7 Inneres Produkt .................... 18 Integral im Riemannschen

Sinne ................................. 69 Integralbegriff....................... 69 Integration durch Umkehrung

der Differentiation ............ 74 Inversenregel ........................ 58 Irrationale Funktionen .......... 44 Kettenregel ........................... 56 Komplexe Zahlen ................... 7 komplexe Zahlenebene ........... 8 Komplexkonjugation .............. 9 Konservative Kraftfelder ...... 95 Konvergente Folgen ............. 29 Konvergenzkriterien ............. 33 Koordinantensysteme ........... 16 Kreuzprodukt ...... 21, 22, 23, 24 Krümmung ..................... 66, 84 Länge eines Vektors . 18, 19, 21 Logarithmus ......................... 44 Maxima ................................ 63 Messfehler ............................ 39 Messungen .............................. 6 Minima ................................. 63 Mittelwertsatz ....................... 62 Monoton ............................... 41 Monotonie-Satz .................... 63 Naturkonstante ..................... 39 Natürlichen Zahlen ................. 2 Normalenvektor .................... 84 Numerische Integration ........ 78 objektiver Raum ................... 16 Objektivierung ...................... 15 Ordnungsstrukutur .................. 2 Partialbruchzerlegung ........... 77 Partielle Ableitung ................ 86 Partielle Integration .............. 74 Physikalische Beispiele ........ 37 Plancksche Wirkungsquantum

...................................... 6, 39 Polynome .............................. 42 Potenzreihen ................... 32, 59 Produktregel ......................... 57 Pyramide .............................. 97 Quotientenregel .................... 57 Rationale Funktionen ........... 43 Rationale Zahlen .................... 3 Raumerfahrung ..................... 15

Rechenregeln für Integrale .. 72 Reelle Zahlen ..................... 4, 6 Regel von de l'Hospital ........ 65 Reihen .......................29, 31, 44 Richtungsableitung .............. 87 Satz von Taylor .............. 11, 60 Sekante .....................51, 52, 63 Skalar ........................17, 18, 21 Skalare Felder ...................... 86 Skalarprodukt ..... 18, 19, 20, 21 Spatprodukt.......................... 24 Stammfunktion .................... 72 Stetigkeit .............................. 40 Stetigkeit von

Vektorfunktionen ............. 83 Substitutionsmethode........... 75 Summenregel ....................... 55 Tangente ...................51, 52, 66 Tangentenvektor .................. 84 Taylor .......................60, 61, 62 Taylorentwicklung ......... 61, 66 Taylor-Entwicklung für Felder

......................................... 91 Taylor-Polynom ................... 61 Transzendente Funktionen ... 44 Trigonometrische Funktionen

......................................... 46 Trigonometrische

Umkehrfunktionen ........... 47 Übungsaufgaben ..3, 26, 34, 48,

67 Umkehrfunktion der

Exponentialfunktion ........ 45 Unbestimmtes Integral ......... 72 Unschärfe ..............6, 38, 39, 53 Van der Waals ..................... 39 Vektoren .... 4, 8, 15, 16, 18, 19,

20, 21, 22, 23, 24, 25 Vektorenfunktionen und Felder

......................................... 85 Vektorielle Felder ................ 86 Vektorprodukt...................... 21 Volumen ........................ 39, 40 Wegintegrale........................ 92 Wendepunkte ....................... 65 Wurzeln ................................. 7 Zahlenbereiche ...................... 1 Zahlenebene .. 7, 8, 9, 10, 11, 29 Zahlengerade ..................... 6, 7 Zusammengesetze Funktionen

......................................... 41

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Mathematischer Vorbereitungskurs für das · PDF file2 K. Bräuer Mathematischer Vorbereitungskurs für das Physikstudium Natürlichen Zahlen Als natürliche Zahlen bezeichnet man