MATLAB Control System Toolbox - hs-augsburg.dewohlfart/download/folien_control.pdf · Bode Diagram Vorlesung Matlab/Simulink. MATLABControlSystemToolbox

MATLAB Control System Toolbox

MATLAB

Control System Toolbox

Vorlesung Matlab/Simulink

Dipl.-Ing. U. Wohlfarth 1


Umfang

Beschreibung linearer, zeitinvarianter Systeme (LTI):

zeitkontinuierlich und zeitdiskret

SingleInput/SingleOutput (SISO) und

MultipleInput/MultipleOutput (MIMO)

Umwandeln und Bearbeiten der Systeme

Analysieren der Systemeigenschaften

Entwurf und Optimierung von Reglern




Beschreibung von LTI-Systemen

Beschreibung

linearer, zeitinvarianter

Systeme (LTI-Systeme)




Lineare, zeitinvarianter Systeme (LTIModelle)

Parametrische Beschreibung

Ubertragungsfunktion/Transfer Function (TF)

NullstellenPolstellenDarstellung/ZeroPoleGain (ZPK)

Zustandsdarstellung/StateSpace (SS)

Nichtparametrische Beschreibung

FrequenzgangDatenModelle/Frequency Response Data (FRD)




Ubertragungsfunktion/Transfer Function (TF)

Ubertragungsverhalten im LaplaceBereich

Rationale Funktion in s:

h(s) =num(s)

den(s)=

am sm + am1 s

m1 + . . . + a1 s + a0

bn sn + bn1 sn1 + . . . + b1 s + b0

Zahlerpolynom num und Nennerpolynom den

Zahlerordnung m und Nennerordnung n




TFSISOUbertragungsfunktion erstellen

1. Befehl tf(num, den): num und den als Vektoren

mit Koeffizienten von s in absteigender Reihenfolge.

>> h = tf([2 -3],[1 1])

2. Rationale Funktion in s

a) Definieren von s als TFSystem

>> s = tf(s)

b) Ubertragungsfunktion als rationale Funktion in s

>> h = (s+2) / (s^2 + 5*s + 4)




TFMIMOUbertragungsfunktion

zweidimensionale NyNuMatrix H von SISOTF:

H =

h11 h12

h21 h22

=

num11

den11

num12

den12

num21

den21

num22

den22

Matrixelement hij: Ubertragungsfunktion vom

Eingang j zum Ausgang i

Ny Zeilen = Ausgange, Nu Spalten = Eingange




TFMIMOUbertragungsfunktion erstellen

1. Definieren der einzelnen SISOTF:

a) Befehl tf(num, den) / rationale Funktion in s

b) Matrix H definieren

2. Befehl tf(NUM,DEN): Cell Array NUM fur Zahler-

polynome und DEN fur Nennerpolynome (NyNu)

NUM =

num11 num12

num21 num22

DEN =

den11 den12

den21 den22




Null-/PolstellenDarstellung/ZeroPoleGain (ZPK)

Ubertragungsverhalten im LaplaceBereich

Rationale Funktion in s mit Nullstellen und Polstellen:

h (s) = k (s z1) . . . (s zm1) (s zm)

(s p1) . . . (s pn1) (s pn)

k Verstarkungsfaktor (reell)

z1, . . . , zm ZahlerNullstellen (reell/konj. komplex)

p1, . . . , pm NennerNullstellen (reell/konj. komplex)




ZPKSISOUbertragungsfunktion erstellen

1. Befehl zpk (z,p,k): Nullstellenvektor z, Polstel-

lenvektor p und Verstarkungsfaktor k.

>> h = zpk([-6 1 1],[-5 1],3)

2. Rationale Funktion in s

a) Definieren von s als ZPKSystem

>> s = zpk(s)

b) Ubertragungsfunktion als rationale Funktion in s

>> h = 2 * 1 / ((s-1)*(s+2))




ZPKMIMOUbertragungsfunktion

zweidimensionale NyNuMatrix H von SISOZPK:

H =

h11 h12

h21 h22

=

k11 z11

p11k12

z12

p12

k21 z21

p21k22

z22

p22

Matrixelement hij: Ubertragungsfunktion vom

Eingang j zum Ausgang i

Ny Zeilen = Ausgange, Nu Spalten = Eingange




ZPKMIMOUbertragungsfunktion erstellen

1. Definieren der einzelnen SISOZPK:

a) Befehl zpk(z,p,k) / rationale Funktion in s

b) Matrix H definieren

2. Befehl zpk (Z,P,K): Cell Array Z fur Nullstellen-

polynome und P fur Polstellenpolynome (NyNu),

NyNuMatrix K der Verstarkungsfaktoren

Z =

z11 z12

z21 z22

P =

p11 p12

p21 p22

K =

k11 k12

k21 k22




Zustandsdarstellung/StateSpace (SS)

DGL 1. Ordnung fur jedes Speicherelement (Integrator)

n DGLs 1. Ordnung statt eine DGL nter Ordnung

ZustandsDGL:

x = A x + B u

Ausgangsgleichung:

y = C x + D u

x: Zustandsvektor (Nx1)

u: Eingangsvektor (Nu1)

y: Ausgangsvektor (Ny1)

A: Zustandsmatrix (NxNx)

B: Eingangsmatrix (NxNu)

C: Ausgangsmatrix (NyNx)

D: Durchschaltmatrix (NyNu)




SSModell erstellen

Befehl ss(A,B,C,D):

A =

[1 2

3 4

]B =

[1 1

0 1

]C =

0 1

1 2

3 1

D =

0 0

0 0

0 0

>> ss([1 2 ; 3 4],[1 1 ; 0 1],[0 1 ; 1 2 ; 3 1],0)

Durchschaltanteil oft 0: D = 0

SISOSysteme: u u y y B b C cT




FrequenzgangDatenModelle (FRD)

FrequenzDaten aus Messung oder Simulation

SinusAnregung: y(t) = |G() | sin (t+ ())

y(t) phasenverschoben und amplitudenmoduliert

Frequenzgangfunktion: F (j) = |F (j) | e j ()

Betrag: |F (j) | =

Re{F (j)}2+ Im{F (j)}2

Phase : () = arctanIm{F (j)}

Re{F (j)}Vorlesung Matlab/Simulink



FrequenzgangDatenModelle erstellen

Befehl frd(ant, freq, eh):

ant Vektor mit den komplexen Frequenzantworten

freq Vektor mit gespeicherten Frequenzen

eh Einheit der Frequenz (rad/s oder Hz)

Beispiel: >> freq = [0.01 0.1 1 10 100 1000 10000] ;

>> ant = (1-j*freq) ./(1+freq.^2)

>> sysfrd = frd(ant,freq,Units,rad/s)

MIMOSystem: ant ist Tensor (NyNuNf)




Zeitdiskrete Modelle

Zusatzlicher Parameter: Abtastzeit Ts

tf(num,den,Ts)

ss(a,b,c,d,Ts)

zpk(z,p,k,Ts)

frd(ant,freq,Ts)

Abtastzeit unspezifiziert: Ts = -1

DSPFormat: h = filt ([1 -0.5],[1 1 -2],0.01)

Zustandsdarstellung: x(k+1) = Ax(k) + Bu(k)

y(k) = Cx(k) + Du(k)




Zeitverzogerungen

Zeitkontinuierlich:

Zwischen Ein- und Ausgangen (TF, ZPK, FRD):

set(sys,IODelay,Td)

Am Ein- oder Ausgang (SS):

set(sys,InputDelay,Tde)

set(sys,OutputDelay,Tda)

Zeitdiskret:

Pade-Approximation: pade(sys,n)




Umwandeln und Bearbeiten von LTIModellen

Umwandeln und Bearbeiten

von LTIModellen




LTIObjekte

LTIModelle gespeichert als Cell Arrays mit vordefi-

nierten ModellEigenschaften und ihren Werten

Allgemeine ModellEigenschaften:

Ts, InputDelay, OutputDelay, ioDelayMatrix, InputName,

OutputName, InputGroup, OutputGroup, Notes, Userdata

Modellspezifische ModellEigenschaften:

TF: num, den, Variable (s, p; z, q, z^-1)

ZPK: z, p, k, Variable (s, p; z, q, z^-1)

SS: a, b, c, d, StateName

FRD: Frequency, ResponseData, Units




ModellEigenschaften setzen, andern und abrufen

Setzen und Andern von ModellEigenschaften:

direkt: sys = tf(. . .,EigName,EigWert)

Befehl set: set(sys,EigName,EigWert,. . .)

.Befehl: sys.EigName = EigWert

Abrufen von ModellEigenschaften:

Befehl get: get(sys,EigName)

.Befehl: sys.EigName

Schnellabfrage: tfdata, zpkdata, ssdata, frddata




Rangfolge und Vererbung von ModellEigenschaften

Vorrangliste: FRD > SS > ZPK > TF

Umwandeln: vorher: sys = systf + tf(sysss)

nachher: sys = tf(systf + sysss)

Vererbung von ModellEigenschaften

Diskret: alle Abtastzeiten gleich bzw. unspezifiziert

Variable Variable: kont.: p > s

diskret: z^-1 > q > z




Umwandlung von ModellTypen

Explizite Umwandlung: Ubergabe des Systems an

Befehle tf(sys), ss(sys), zpk(sys) oder frd(sys,freq)

Umwandlung mit MATLABBefehlen:

zp2tf(z,p,k) tf2zp(num,den) tf2ss(num,den)

ss2tf(A,B,C,D,iu) ss2zp(A,B,C,D,i) zp2ss(z,p,k)

Automatische Umwandlung: Operationen wandeln

Modelle automatisch in benotigten Modelltyp um




Arithmetische Operatoren

Addition und Subtraktion: Parallelschaltung

y = G1 u+G2 u sys = sys1 + sys2

Multiplikation: Reihenschaltung

y = G1 v = G1 (G2 u) sys = sys1 * sys2

Matrix-Inversion: u = G1y sys = inv(sys)

links- und rechtsseitige MatrixDivision:

G11G2 sys1 \ sys2 G1G2

1 sys1 / sys2




Extrahieren und Andern von LTIModellen

Ansprechen der Ein- und Ausgange mit sys(i,j)

Teilsystem: extrahieren: subsys = systf(1,2)

andern: systf(2,1) = subsys

Ein-/Ausgange:

loschen: systf(:,1) = []

hinzufugen: systf = [systf,sys] (Typ nach Rang)

systf(:,2) = sys (Typ systf)




Verknupfen von LTIModellen

Horizontal: sys = [ sys1 , sys2 ]

Vertikal: sys = [ sys1 ; sys2 ]

Diagonal: sys = append(sys1,sys2)

Parallel und seriell:

sys = parallel(sys1,sys2,in1,in2,out1,out2)

sys = series(sys1,sys2,outputs1,inputs2)

Ruckkopplung: sys = feedback(sys1,sys2)




Zeitkontinuierliche und zeitdiskrete Systeme

Kontinuierlich diskret: sysd = c2d(sysc,Ts)

Diskret kontinuierlich: sysc = d2c(sysd,methode)

Diskretisierung: Halteglied 0. Ordnung: zoh

Halteglied 1. Ordnung: foh

TustinApproximation: tustin

Diskretisierung verzogerter Systeme

Geanderte Abtastzeit: sys = d2d(sys,Ts)




Analyse der Systemeigenschaften

Analyse der

Systemeigenschaften




Ubersicht

Allgemeine Eigenschaften

ModellDynamik

Systemantwort im Zeitbereich

Systemantwort im Frequenzbereich

Ordnungsreduktion

Zustandsbeschreibungen




Allgemeine Eigenschaften

Uberprufung und Abfrage von durch MATLAB

bestimmte Systemeigenschaften

Nutzlich fur die Programmierung komplexer Skripts

und Funktionen:

Auswerteroutinen

Komplexe Plots erstellen

Systemeigenschaften oder Boolsche Werte (ja/nein)

als Ruckgabewerte




Modelltyp, Zeitdaten, Struktur, Groe

Modelltyp: ausgeben: class(sys)

prufen: isa(sys,classname)

Zeitdaten: zeitkontinuierlich: isct(sys)

zeitdiskret: isdt(sys)

Verzogerungen: hasdelay(sys)

Struktur: Ein- & Ausgange: isempty(sys)

Ordnung: isproper(sys)

SISOModell: issiso(sys)

Groe: size(sys)




ModellDynamik

Stationare (Gleich)Verstarkung: dcgain(sys)

Frequenz ist s = 0 bzw. z = 1

Reine Integratoren: Verstarkung

Naturliche Frequenzen und Dampfungen: damp(sys)

Pole: pi = j

Frequenzen: n =2+ 2

Dampfungen: D =

2+ 2




Nullstellen und Pole eines LTIModells

Nullstellen: zero(sys)

Polstellen: Eigenwerte der Matrix A: pole(sys)

Wurzeln des Polynoms c: roots(c)

Sortieren: zeitkontinuierlich: [s,ndx] = esort(p)

zeitdiskret: [s,ndx] = dsort(p)

NullPolstellenVerteilung: [p,z] = pzmap(sys)

Linien gleicher Dampfung und naturlicher Frequenz:

kontinuierlich: sgrid

zeitdiskret: zgrid




Systemantwort im Zeitbereich

Systemantwort kontinuierlich/diskret:

y(t) = CeAtx0 +t

=0

(CeA(t)B+D

)u() d

y[k] = CAkx0 +k1

i=0

(CAki1B+D

)u[i]

Befehlsaufruf: [y,t,x] = befehl(sys,par)

Zeitvektor: t = 0:dt:Tf

Ausgang y: SIMO: length(t)Ny

MIMO: length(t)Ny Nu




Freie Bewegung, Impuls- und Sprungantwort

Freie Bewegung: [y,t,x] = initial(sys,x0,[,t])

Eingange zu Null gesetzt

Anfangswerte des Zustandsvektors x0

Impulsantwort: [y,t,x] = impulse(sys[,t])

zeitkontinuierlich: DiracImpuls (t)

zeitdiskret: Einheitsimpuls [k]

Sprungantwort: [y,t,x] = step(sys[,t])

zeitkontinuierlich: Einheitssprung (t)

zeitdiskret: Folge von [k]Vorlesung Matlab/Simulink



Systemantwort auf Testsignal

Systemantwort: [y,t,x] = lsim(sys,u,t,[,x0])

beliebiger Eingangssignalvektor u

lsim wahlt automatisch passende Abtastzeit dt

Testsignal: [u,t] = gensig(typ,tau[,Tf,Ts])

typ : sin Sinus

pulse Pulse

square Rechteck

tau : Periodendauer

Tf : Gesamtdauer

Ts : Abtastzeit




Systemantwort im Frequenzbereich

Frequenzgang: Komplexe Antwort auf sinusformige An-

regung im eingeschwungenen Zustand

Voraussetzung: System asymptotisch stabil, d.h. Real-

teile aller Eigenwerte kleiner null

FrequenzgangUF: F (j) = |F (j) | e j ()

Betrag: |F (j) | =

Re{F (j)}2+ Im{F (j)}2

Phase : () = arctanIm{F (j)}

Re{F (j)}




Frequenzantwort und BodeDiagramm

Frequenzantwort berechnen:

Einzelne Frequenz f : frsp = evalfr(sys,f)

Frequenzvektor w: H = freqresp(sys,w)

BodeDiagramm: [mag,phase,w] = bode(sys)

Frequenzvektor (w) als logarithmische x-Achse

Amplitudengang |F (j)| (mag) doppeltlogarithmisch

Phasengang () (phase) halblogarithmisch




Amplituden- und Phasenrand

Befehl [Gm,Pm,Wcg,Wcp] = margin(sys)

Amplitudenrand Gm, PhasenDurchtrittsfrequenz Wcg

Phasenrand Pm, AmplitudenDurchtrittsfrequenz Wcp

Stabilitat fur: A < FR > 1 R > 0

Struktur stabil = allmargin(sys)

Amplitudenrand: GainMargin und GMFrequency

Phasenrand: PhaseMargin und PMFrequency

Totzeitrand: DelayMargin und DMFrequency

Stabilitat: Stable, 1 bei Stabilitat, 0 sonst.




Plot des BodeDiagramms

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

Pha

se (

deg)

Mag

nitu

de (

dB)

60

40

20

0

20Gm = 6.0218 dB (at 1.7322 rad/sec), Pm = 27.142 deg (at 1.2328 rad/sec)

101

100

101

270

180

90

0




NyquistDiagramm

NyquistDiagramm: [re,im,w] = nyquist(sys)

Real- und Imaginarteil der Ubertragungsfunktion des

offenen Regelkreises von = 0 bis (Ortskurve):

F0(j) =Z0(j)

N0(j) ejTt ; n0 > m0 , Tt 0

Stabilitat:=+

=+0

soll = nr + na 2

nr, na: Anzahl in- bzw. grenzstabiler Pole

Kritischer Punkt: 1+ j 0




Plot des NyquistDiagramms

Nyquist Diagram

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

2 1 0 1 2 3 4

3

2

1

0

1

2

3




LTIView

GUI fur LTISysteme

Import und Export von

Systemen

Start mit: >> ltiview




Beobachtbarkeit

Beobachtbarkeitsmatrix: obsv(A,C)

Ob =[CT ATCT (AT)2CT . . . (AT)n1CT

]T

Rang(Ob) = Anzahl der beobachtbaren Zustande

Beobachtbarkeitsform: obsvf(A,B,C,[tol])

Transformation: A = TATT , B = TB , C = CTT

Transformiertes System:

A =

Ano A12

0 Ao

B =

Bno

Bo

C =

[0 Co

]




Steuerbarkeit

Steuerbarkeitsmatrix: ctrb(A,B)

Co =[B AB A2B . . . An1B

]

Rang(Co) = Anzahl der steuerbaren Zustande

Steuerbarkeitsform: ctrbf(A,B,C,[tol])

Transformation: A = TATT , B = TB , C = CTT

Transformiertes System:

A =

Anc 0

A21 Ac

B =

0

Bc

C =

[Cnc Cc

]




Entwurf und Optimierung von Reglern

Entwurf und Optimierung

von Reglern




Ubersicht

Wurzelortskurvenverfahren

Interaktiver Reglerentwurf mit dem SISO Design Tool

Polplazierung in Verbindung mit

Zustandsruckfuhrung und Zustandsbeobachtung

Linearquadratisch optimale Regelung

KalmanFilter als Zustandsbeobachter

fur verrauschte Signale




Reglerentwurf mit Wurzelortskurvenverfahren

Wurzelortskurve: Verhalten der Pole des geschlosse-

nen Regelkreises in Abhangigkeit des Ruckfuhrverstar-

kungsfaktors k in der komplexen NullPolstellenEbene

Ubertragungsfunktion offener Regelkreis

G0 = k GR GS GM = k nR nS nM

dR dS dM

Pole von G0 = Wurzeln des Nennerpolynoms von G

d0 + k n0 = dR dS dM + k nR nS nM = 0




Befehle zum Wurzelortskurvenverfahren

Wurzelortskurve:

rlocus(sys[,k])

[r,k] = rlocus(sys)

r = rlocus(sys,k)k GM

GR GSi t- - - -6

u y

Verstarkungsfaktoren interaktiv auslesen:

[k,r] = rlocfind(sys)

[k,r] = rlocfind(sys,p)




SISO Design Tool

SISO Design Tool

Reglerentwurf mit:

Bode-Diagramm

WOKVerfahren

Start mit:

sisotool (sys)




Zustandsregelung

Vollstandige Zustandsruckfuhrung mit Ruckfuhrmatrix K

Strecke:

x = A x + B u

y = C x + D u

h h hs s

s

- -

-

- - - - -

6

?

6B

K

A

C

D

w u

x x y

Regelgesetz (w = o): u = K x

Geschlossener Regelkreis: x = (A B K) x




Zustandsbeobachtung - LuenbergerBeobachter

Ruckfuhrung des Ausgangsfehlers uber L

Beobachter:

x=A x+B u + L e

y=C x +D u

Ausgangsfehler:

e = y y =C (x x)

h hs s-

-

- - - - -

?

6B

A

C

D

u x x y

?

Le

?h

6

h hs s-

-

- - - - -66B

A

C

D

x x y




Polplazierung

Polplazierung: Ruckfuhrmatrix K so berechnen, da

Pole des geschlossenen Regelkreis den Polen eines vor-

gegebenen Wunschpolynoms entsprechen.

ZustandsreglerRuckfuhrvektor k/Ruckfuhrmatrix K

k = acker(A,b,p)

K = place(A,B,p)

[K,prec,message] = place(A,B,p)

ZustandsbeobachterRuckfuhrmatrix L

L = acker(A,c,p) .

L = place(A,C,p) .




Zustandsregler und Zustandsbeobachter erstellen

Zustandsbeobachter erstellen

est = estim(sys,L)

est = estim(sys,L,sensors,known)

Zustandsregler mit Zustandsbeobachter erstellen

rsys = reg(sys,K,L)

rsys = reg(sys,K,L,sensors,known,controls)

ud (known)

y (sensors)-

-

-

est

(L)-

xK -

ut




Linearquadratisch optimale Regelung

Minimierung eines quadratischen Gutekriteriums:

(Q gewichtet Zustande, R gewichtet Eingange)

J (x,u) =

t=0

(xT Qx+ uT Ru+2xT Nu

)dt

Algebraische MatrixRiccatiGleichung losen

0 = AT S + SA (SB+N ) R1 (BT S+NT ) + Q

Ruckfuhrmatrix: K = R1 (BT S+NT )




LQoptimierte ReglerRuckfuhrmatrix K

LQoptimierte ReglerRuckfuhrmatrix K

[K,S,e] = lqr(A,B,Q,R[,N ])

[K,S,e] = dlqr(A,B,Q,R[,N ])

[Kd,S,e] = lqrd(A,B,Q,R[,N ],Ts)

[K,S,e] = lqry(sys,Q,R[,N ])

Befehl lqrd: Abtastzeit Ts

Befehl lqry:

J (y,u) =

t=0

(yT Qy+ uT Ru+2yT Nu

)dt




Probleme der numerischen Darstellung

Probleme der

numerischen Darstellung




Numerische Mathematik

Algorithmen zur naherungsweisen Losung mathemati-

scher Probleme, z.B. aus Mathematik, Naturwissen-

schaft, Technik, ...

Bewertung der Losungsverfahren nach verschiedenen

Kriterien, z.B.

Rechenaufwand und -geschwindigkeit

Speicherplatzbedarf

Fehleranalyse




Fehlerbegriffe in der numerischen Mathmatik

Fehlerklassen:

1. Datenfehler/Eingangsfehler Konditionierung

2. Verfahrensfehler unvollstandige Modellierung

3. Rundungsfehler numerische Instabilitat

Absoluter Fehler k und relativer Fehler k:

k = xk xk k =xk xkxk

Exakte Werte xk und Naherungswerte xk mit 1 k n




Kondition eines Problems Naturliche Instabilitat

Auswirkung von Datenfehlern auf Ergebnisse:

AnderungenKondition

Eingangsdaten Ergebnisse

gut geringe geringe

schlecht geringe groe

Konditionszahlen: MatrixInversion: cond(A[,p])condest(A)

Eigenwerte: condeig(A)

Faustregeln:

Verlorene Dezimalstellen log10(cond (A)) schlecht konditioniert cond(A) >> 1/sqrt(eps)




Numerische Instabilitat

Auswirkungen des Losungsalgorithmus auf Ergebnis

Stellen fur GleitkommaZahlen begrenzt

Rundung der Ergebnisse

Ausloschung von Stellen bei Berechnung

Fehlerfortpflanzung

Multiplikation und Division: gutartig

Addition und Subtraktion:

gutartig, bei gleichem/entgegengesetztem Vorzeichen

boartig, bei entgegengesetztem/gleichem Vorzeichen

und ungefahr gleich groen Zahlenwerten




Bewertung der LTIModelle

Zustandsdarstellung (SS)

Grundsatzlich am Besten geeignet!

Algorithmen oft fur SSLTIModelle implementiert

Ubertragungsfunktion (TF)

Nur fur Systeme niedriger Ordnung (< 10)

Oft schlecht konditioniert

NullstellenPolstellenDarstellung (ZPK)

Meist besser als TFLTIModell

Probleme: mehrfache Polstellen/Polstellen bei Null




Empfehlung zur Programmierung

Modelle moglichst als SSLTIModell beschreiben.

Hierbei moglichst eine normierte bzw. austarierte Be-

schreibung bei verwenden.

Konvertierungen zwischen Modelltypen vermeiden.

Ergebnisse auf ihre Verlalichkeit und Realitatsnahe

uberprufen.

Wichtigste Ingenieuraufgabe!



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