Matrizen und lineare Gleichungssysteme - tu-freiberg.de · 11.1 Matrizen Deﬁnition 11.2 Zwei Matrizen A = (aij) und B = (bij) heißen gleich (man schreibt dafür A = B), wenn sie

KAPITEL 11

Matrizen und lineareGleichungssysteme

11.1 Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

11.2 Lineare Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

11.3 Gauß-Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

11.4 Gauß-Jordan-Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238

11.5 Invertierbare Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240

11.6 Anwendungen von linearen Gleichungssystemen . . . . . . . . . . . . . . . . . 248

Lernziele 11• Begriffe: Matrix, Element bzw. Komponente einer Matrix, Zeilenvektor, Spaltenvektor,

Typ der Matrix,

• Rechenregeln für Matrizen: Gleichheit, Multiplikation mit Zahl, Addition bzw. Sub-traktion, Matrizenmultiplikation,

• lineares Gleichungssystem, Lösungsmenge, äquivalente Umformungen,

• Gauß-Algorithmus, Gauß-Jordan-Algorithmus,

• Zeilen-Stufen-Form eines linearen Gleichungssystems, Lösungsverhalten, Lösbar-keitsentscheidung,

• transponierte Matrix, inverse Matrix, orthogonale Matrix

223

11 Matrizen und lineare Gleichungssysteme

11.1 Matrizen

11.1.1 Was ist eine Matrix?

Definition 11.1Eine Matrix vom Typ m×n (oder eine m×n-Matrix) ist ein rechteckiges Zahlenschemamit m Zeilen und n Spalten:

A =

a11 a12 ... a1n

a21 a22 ... a2n...

......

am1 am2 ... amn

.

Die Zahlen aij ∈ R heißen Komponenten (oder Elemente) der Matrix A. Man schreibtabkürzend:

A = (aij )m ni=1, j=1 = (aij )m×n.

Die m× 1-Matrizen (bzw. 1× n-Matrizen) werden Spaltenmatrizen oder Spaltenvektoren (bzw.Zeilenmatrizen oder Zeilenvektoren) genannt, sie haben die Form

~s =

a1

a2...

am

bzw. ~z =(

a1 a2 ... an

).

Die Matrix A = (aij )m×n besteht aus m Zeilenvektoren (mit je n Komponenten)(ai1 ai2 ... ain

), 1 ≤ i ≤ m,

bzw. aus n Spaltenvektoren (mit je m Komponenten)a1j

a2j...

amj

, 1 ≤ j ≤ n.

224

11.1 Matrizen

Definition 11.2Zwei Matrizen A = (aij ) und B = (bij ) heißen gleich (man schreibt dafür A = B), wennsie vom gleichen Typ m × n und ihre Komponenten gleich sind, d.h. aij = bij für alle1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n.

11.1.2 Addition, Subtraktion und Multiplikation mit einem Skalar

Die Matrix, deren Komponenten alle gleich Null sind, heißt Nullmatrix O.

Definition 11.3Für Matrizen A = (aij ) und B = (bij ) gleichen Typs m × n und jede Zahl λ ∈ R ist dieSumme A + B und das λ-fache von A komponentenweise definiert:

A + B = (aij + bij )m×n und λA = (λaij )m×n.

Die Differenz zweier Matrizen gleichen Typs ist definiert als

A− B = A + (−1)B = (aij − bij )m×n.

Hieraus folgen die Rechenregeln:Für beliebige Matrizen A, B, C gleichen Typs m×n und beliebige reelle Zahlen λ, ν gilt:

1. A + B = B + A (Kommutativität),

2. (A + B) + C = A + (B + C) (Assoziativität),

3. A + O = A (Nullelement),

4. A + (−A) = O, (inverses Element der Addition),

5. (λµ)A = λ(µA),

6. 1 A = A

7. (λ + µ)A = λA + µA,

8. λ(A + B) = λA + λB.

225


11.1.3 Matrizenmultiplikation

Definition 11.4Das Produkt einer m × ~k -Matrix

A = (aij )m×n =

~a1

~a2...~am

(Zeilendarstellung)

mit einer ~k × n-Matrix

B = (bij )k×n =(~b1 ~b2 ... ~bn

)(Spaltendarstellung)

ist definiert durch

AB :=

~a1 · ~b1 ~a1 · ~b2 ... ~a1 · ~bn

~a2 · ~b1 ~a2 · ~b2 ... ~a2 · ~bn...

......

~am · ~b1 ~am · ~b2 ... ~am · ~bn

,

mit

~ai · ~bj =k∑

r=1

ai r br j = ai1b1j + ai2b2j + ... aik bkj

Beispiel 11.5Matrizenmultiplikation. Matrix A, vom Typ 3× 3,

1. Zeile2. Zeile3. Zeile

1 2 32 1 24 1

2 1

1. Spalte 2. Spalte 3. Spalte 1 2 3

2 1 24 1

2 1

Matrix B vom Typ 3× 2, 1 2

2 23 1

226

11.1 Matrizen

Dann ist A · B = C eine Matrix vom Typ 3× 2 und wird wie folgt berechnet: 1 2 32 1 24 1

2 1

· 1 2

2 23 1

=

1 · 1 + 2 · 2 + 3 · 3 1 · 2 + 2 · 2 + 3 · 12 · 1 + 1 · 2 + 2 · 3 2 · 2 + 1 · 2 + 2 · 14 · 1 + 1

2 · 2 + 1 · 3 4 · 2 + 12 · 2 + 1 · 1

=

14 910 88 10

Man kann das ganze auch in einem Schema darstellen:

B

A C, hier sieht man den Typ der

Matrix C sofort:1 22 23 1

1 2 32 1 24 1

2 1

14 910 88 10

Bemerkung 11.61. Man beachte, dass das Produkt „Zeile mal Spalte“ eine Zahl ist.2. Das Produkt AB zweier Matrizen ist nur dann erklärt, wenn die Spaltenzahl von A gleich derZeilenzahl von B ist.3. Auf diese Weise stellt A~x = ~b tatsächlich das lineare Gleichungssystem (11.1)(siehe später)dar.

Für die Multiplikation von Matrizen gelten die folgendenRechenregeln: Für beliebige m × n-Matrizen A, A1, A2, n × r -Matrizen B, B1, B2 und r × s-Matrix C gilt:

1. (A1 + A2)B = A1B + A2B, A(B1 + B2) = AB1 + AB2, (Distributivgesetze),

2. α(AB) = (αA)B = A(αB), α ∈ R,

3. A(BC) = (AB)C, (Assoziativität der Matrizenmultiplikation),

4. EmA = AEn = A, Einheitsmatrizen En, Em

5. Aber im Allgemeinen ist AB 6= BA.

Beispiel 11.7Es sei

A =

(1 20 1

)und B =

(1 02 3

)dann gilt

AB =

(1 20 1

)·

(1 02 3

)=

(5 62 3

)6=

(1 22 7

)=

(1 02 3

)·

(1 20 1

)= BA.

227


11.1.4 Spezielle Matrizen

Wir benötigen noch weitere spezielle Matrizen, wir kennen bereits die Nullmatrix O, deren Ele-mente alle Null sind und die Einheitsmatrix En. Die quadratische Matrix

1 0 ... 00 1 ... 0...

. . . . . . 00 ... 0 1

auf deren Hauptdiagonale Einsen stehen und alle anderen Elemente Null sind heißt Einheits-matrix oder n × n-Einheitsmatrix wenn der Typ von Bedeutung ist und wird mit E bzw. En

bezeichnet.

Es sei A eine quadratische Matrix vom Typ n × n :

A =

a11 a12 ... a1n

a21 a22 ... a2n...

......

an1 an2 ... ann

,

dann heißt die Menge der Elemente {aii}ni=1 Hauptdiagonale von A und die Menge der Ele-

mente {aj(n+1−j)}nj=1 Nebendiagonale von A. Die Matrix A ist eine obere Dreiecksmatrix, wenn

von Null verschiedene Elemente nur auf bzw. über der Hauptdiagonale stehen, d.h. aij = 0 füri > j . Dagegen ist A eine untere Dreiecksmatix, wenn von Null verschiedene Elemente nurauf bzw. unterhalb der Hauptdiagonale stehen, d.h. aij = 0 für i < j . Man kann noch stärkerunterteilen, indem man nicht nur von unterer/oberer Dreiecksmatrix sondern von rechter/linkerunterer/oberer Dreiecksmatrix spricht. Eine Matrix, wo nur auf der Hauptdiagonale von Nullverschiedene Elemente stehen, heißt Diagonalmatrix.Graphisch kann man das wie folgt ver-anschaulichen:

Neben

diago

nale

Oberes Dreieck

Unteres Dreieck

Hauptdiagonale

Hauptdiagonale

Hauptdiagonale

Hauptdiagonale

Obere Dreiecksmatrix Untere Dreiecksmatrix Diagonalmatrix

Auch bei einer „rechteckigen“ Matrix A vom Typ m× n wollen wir gelegentlich von einer oberenDreiecksmatrix sprechen,d.h., dass alle Elemente aij = 0 für i > j sind.

228

11.2 Lineare Gleichungssysteme

11.2 Lineare Gleichungssysteme

Definition 11.8Ein lineares Gleichungssystem mit m linearen Gleichungen und n unbekanntenx1, x2, ... xn hat die Form

a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1,a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2,

... ... ... ... ...am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = bm,

(11.1)

mit den Koeffizienten aij ∈ R und den Absolutgliedern bi ∈ R.

Hierfür schreibt manA~x = ~b

mit der Koeffizientenmatrix A = (aij )m×n, dem unbekannten Spaltenvektor ~x und dem Spal-tenvektor der rechten Seite ~b. Das lineare Gleichungssystem heißt homogen, wenn ~b = Ogilt, andernfalls heißt es inhomogen.

Definition 11.9Ein Spaltenvektor ~c =

c1

c2...

cn

heißt Lösung des Gleichungssystems (11.1) bzw. von

A~x = ~b,

wenn für xi = ci , i = 1, ... , n, die m Gleichungen in (11.1) bzw. (was dasselbe ist) A~c = ~bgilt.

Häufig wird eine Lösung in der Form x1 = c1, x2 = c2, ... , xn = cn angegeben. Handelt es sichum ein Gleichungssystem mit nur 2 oder 3 Unbekannten so schreibt man statt x1, x2, x3 auchoft x , y , z. Ein homogenes Gleichungssystem

A~x = O

229


besitzt stets mindestens eine Lösung, nämlich die triviale Lösung bzw. Nulllösung x1 = x2 =... = xn = 0.

Nicht jedes Gleichungssystem ist lösbar. Im Allgemeinen treten folgende Fälle auf:

1. Das Gleichungssystem besitzt keine Lösung.

−2x + y = 3,−4x + 2y = 2.

Dies kann man sich dadurch veranschaulichen, dass man die beiden Gleichungen alsGeradengleichungen interpretiert. Die Lösung des Gleichungssystems sind dann der/dieSchnittpunkt(e) der Geraden. Im vorliegenden Fall sind die beiden Geraden aber parallelund sie schneiden sich folglich nicht. Somit ist das Gleichungssystem nicht lösbar.

2. Das Gleichungssystem besitzt genau eine Lösung.

x + 3y = 9,−2x + y = −4.

Dies kann man sich dadurch veranschaulichen, dass man die beiden Gleichungen alsGeradengleichungen interpretiert. Die Lösung des Gleichungssystems sind dann der/dieSchnittpunkt(e) der Geraden. Im vorliegenden Fall schneiden sich die Geraden in genaueinem Punkt. Somit hat das Gleichungssystem die Lösung x = 3 und y = 2.

3. Das Gleichungssystem besitzt unendlich viele Lösungen.

4x − 2y = 6,−2x + y = −3.

Dies kann man sich dadurch veranschaulichen, dass man die beiden Gleichungen alsGeradengleichungen interpretiert. Die Lösung des Gleichungssystems sind dann der/dieSchnittpunkt(e) der Geraden. Im vorliegenden Fall sind die beiden Geraden aber iden-tisch und damit ist jeder Punkt der Geraden Lösung. Somit besitzt das Gleichungssystemunendlich viele Lösungen .

Eine weitere Frage ist, ob es „günstige“ Darstellungen von Gleichungssystemen gibt. Wie manleicht nachrechnet hat das Gleichungssystem

x + 3y = 9,−2x + y = −4.

die gleiche Lösungsmenge wie das Gleichungssystem

x + 3y = 9,y = 2.

Dies führt auf den Begriff der Äquivalenz von linearen Gleichungssystemen:

230

11.3 Gauß-Algorithmus

Definition 11.10Zwei Gleichungssysteme

A~x = ~b, und B~x = ~c

heißen äquivalent, wenn sie dieselbe Lösungsmenge besitzen.

Die Umformungen werden übersichtlicher, wenn sie an der sogenannten erweiterten Koeffi-zientenmatrix

(A | ~b) :=

a11 a12 ... a1n b1

a21 a22 ... a2n b2...

......

...am1 am2 ... amn bn

ausgeführt werden. Man erweitert die Koeffizientenmatrix A um die Absolutglieder (rechteSeite) und trennt sie durch einen senkrechten Strich von der Koeffizientenmatrix. Die obi-gen Gleichungsumformungen entsprechen dann den elementaren Zeilenumformungen dererweiterten Koeffizientenmatrix (A | ~b) :

1. Vertauschen zweier Zeilen,2. Multiplikation einer Zeile mit einer Zahl α 6= 0,3. Addition (bzw. Subtraktion) des Vielfachen einer Zeile zu (bzw. von) einer anderen.

Folglich gilt:

Satz 11.11Entsteht (B | ~c) durch endlich viele elementare Zeilenumformungen, dann sind A~x = ~bund B~x = ~c äquivalent.


Ziel des nach C. F. Gauß benannten Gaußschen Algorithmus ist es, die erweiterte Koeffizi-entenmatrix durch äquivalente Umformungen in eine obere Dreiecksmatrix zu überführen.Es ist am einfachsten, den Algorithmus am Beispiel zu erläutern. Dazu betrachten wir dasGleichungssystem

x1 + x2 + x3 = 2,2x1 + 3x2 + x3 = 3x1 − x2 − 2x3 = −6.

231


Man hat 3 Möglichkeiten ein solches System in „Schemaform“ zu lösen:1. Gleichungsform

x1 + x2 + x3 = 2

2x1 + 3x2 + x3 = 3

x1 − x2 − 2x3 = −6

Wir vereinfachen unser Gleichungssystem dadurch, dass wir durch äquivalente Umformungenx1 aus der 2. und 3. Gleichung bzw. Zeile eliminieren.Wir behalten die 1. Gleichung/Zeile bei und erzeugen neue 2. bzw. 3. Gleichungen/Zeilen.Die neue 2. Gleichung/Zeile entsteht durch Multiplikation der 1. Gleichung/Zeile mit (−2)und Addition des Ergebnisses zur 2. Gleichung/Zeile ((−2)erster Gleichung/Zeile + zweiteGleichung/Zeile = neue zweite Gleichung/Zeile).Analog verfahren wir mit der 3. Gleichung/Zeile indem wir die erste Gleichung/Zeile mit (−1)durchmultiplizieren und das Ergebnis zur 3. Gleichung/Zeile addieren:

x1 + x2 + x3= 2

x2 − x3= −1

−2x2 − 3x3= −8

Wir vereinfachen unser Gleichungssystem weiter indem durch äquivalente Umformungen x2

aus der 3. Gleichung/Zeile eliminiert wird.Wir behalten die 1. Gleichung/Zeile und die 2. Gleichung/Zeile bei und erzeugen eine neue3. Gleichung/Zeile indem das 2-fache der 2. Gleichung/Zeile zur 3. Gleichung/Zeile addie-ren:

x1 + x2 + x3= 2

x2 − x3= −1

−5x3= −10

Damit haben wir unser Gleichungssystem auf „Dreiecksgestalt“ gebracht und können darausablesen, dass x3 = 2 ist. 2. In Tabellenform sieht das wie folgt aus

x1 x2 x3

|1| 1 1 2 | · (−2) | · (−1)2 3 1 3 | · 11 −1 −2 −6 | · 11 1 1 20 |1| −1 −1 | · 20 −2 −3 −8 | · 11 1 1 20 1 −1 −10 0 −5 −10

232


Man kann diese Tabelle noch weiter verkürzen:

x1 x2 x3

|1| 1 1 22 3 1 31 −1 −2 −6

0 |1| −1 −10 −2 −3 −8

0 0 −5 −10

Die 3. Variante ist die Matrizenform: |1| 1 1 22 3 1 31 −1 −2 −6

∼(−2) · ~z1 + ~z2

(−1) · ~z1 + ~z3

1 1 1 20 |1| −1 −10 −2 −3 −8

∼2 · ~z2 + ~z3

1 1 1 20 1 −1 −10 0 −5 −10

Das Ergebnis kann weiter vereinfacht werden indem die 3. Gleichung/Zeile mit −1

5 durchmulti-pliziert wird.

11.3.1 Gauß-Algorithmus-Abfolge

1. Schritt:Man bringt durch eventuelle Zeilenvertau-schung eine Zahl 6= 0 (vorzugsweise eine Eins)� an die erste Stelle der ersten Spalte

x1 x2 x3 x4 ... xn−1 xn

� ∗ ∗ ∗ ... ∗ ∗ ∗∗ ∗ ∗ ∗ ... ∗ ∗ ∗∗ ∗ ∗ ∗ ... ∗ ∗ ∗...

......

......

......

∗ ∗ ∗ ∗ ... ∗ ∗ ∗

2. Schritt:Man annuliert die darunter stehenden Zahlendurch Addition (Subtraktion) eines geeignetenVielfachen der ersten Zeile von den nachfol-genden Zeilen und schreibt die entstehendenZeilen mit der führenden Null darunter.

x1 x2 x3 x4 ... xn−1 xn

� ∗ ∗ ∗ ... ∗ ∗ ∗∗ ∗ ∗ ∗ ... ∗ ∗ ∗∗ ∗ ∗ ∗ ... ∗ ∗ ∗...

......

......

......

∗ ∗ ∗ ∗ ... ∗ ∗ ∗0 ∗ ∗ ∗ ... ∗ ∗ ∗0 ∗ ∗ ∗ ... ∗ ∗ ∗

0...

......

......

...0 ∗ ∗ ∗ ... ∗ ∗ ∗

233


3. Schritt:Man führe den Algorithmus im um eine Zeileund Spalte (führende Nullen) reduzierten Sys-tem wiederum aus indem man wieder an dieerste Stelle (erste Zeile, 2. Spalte, da nach derführenden Null) eine Zahl 6= 0 und annuliere diedarunter stehenden Zahlen

x1 x2 x3 x4 ... xn−1 xn

� ∗ ∗ ∗ ... ∗ ∗ ∗∗ ∗ ∗ ∗ ... ∗ ∗ ∗∗ ∗ ∗ ∗ ... ∗ ∗ ∗...

......

......

......

∗ ∗ ∗ ∗ ... ∗ ∗ ∗0 � ∗ ∗ ... ∗ ∗ ∗0 ∗ ∗ ∗ ... ∗ ∗ ∗

0...

......

......

...0 ∗ ∗ ∗ ... ∗ ∗ ∗0 0 ∗ ∗ ... ∗ ∗ ∗

0 0...

......

......

0 0 ∗ ∗ ... ∗ ∗ ∗

Man führt den Algorithmus solange aus bis eskeine Zeilen mehr zu modifizieren gibt. Alle Zei-len, die erste Zeilen waren (mit � beginnen)ergeben nun ein zum Ausgangsgleichungssys-tem äquivalentes Gleichungssystem, dass aberin Zeilenstufenform ist.Es kann Zeilen geben, die nur aus Nullen mitAusnahme der rechten Seite bestehen.

x1 x2 x3 x4 ... xn−1 xn

� ∗ ∗ ∗ ... ∗ ∗ ∗0 � ∗ ∗ ... ∗ ∗ ∗0 0 0 � ... ∗ ∗ ∗

0 0 0 0...

...0 0 0 0 ... � ∗ ∗0 0 0 0 ... 0 0 ∗

Bemerkung 11.12Kennzeichen der Zeilenstufenform

• In jeder stehen links vor � nur Nullen.

• Liest man von oben nach unten, so rückt � um mindestens eine Stelle nachrechts.

Wenn man den Gauß-Algorithmus abgearbeitet hat, kann man nun das Ergebnis durchRückwärtseinsetzen ausrechnen. Dies ergibt den Gauß-Jordan-Algorithmus. Im Beispiel

234


und in Tabellenform sieht das wie folgt aus:

x1 x2 x3

1 1 1 20 1 −1 −10 0 −5 −10 | ÷ (−5)

1 1 1 2 | · 10 1 −1 −1 | · 10 0 |1| 2 | · 1 ·(−1)

1 1 0 0 | · 10 |1| 0 1 | · (−1)

0 0 1 2

1 0 0 −10 1 0 10 0 1 2

und in Matrixform 1 1 1 20 1 −1 −10 0 |1| 2

∼1 · ~z3 + ~z2

(−1) · ~z3 + ~z1

1 1 0 00 |1| 0 10 0 1 2

∼(−1) · ~z2 + ~z1

1 0 0 −10 1 0 10 0 1 2

Im nächsten Beispiel beantworten wir die Frage wie man am Gaußschen Algorithmus sieht,dass das Gleichungssystem unlösbar ist.

Beispiel 11.13Wir betrachten des Gleichungssystem

x1 − x2 + 2x3 = 32x1 − 2x2 + 5x3 = 4x1 + 2x2 − x3 = −3

2x2 + 2x3 = 1

Wir formen zunächst äquivalent gemäß dem Gaußschen Algorithmus um: Im ersten Schrittbehalten wir die erste Zeile bei:

©1 −1 2 32 −2 5 41 2 −1 −30 2 2 1

≈

~z2 + (−2)~z1

~z3 + (−1)~z1

1 −1 2 30 0 1 −20 3 −3 −60 2 2 1

Jetzt vertauschen wir die 2. und die 3. Zeile und dividieren anschließend die (neue) 2. Zeile

235


durch 3 und behalten nun diese Zeile bei:

≈~z2 ↔ ~z3

1 −1 2 30 3 −3 −60 0 1 −20 2 2 1

≈13~z2

1 −1 2 30 ©1 −1 −20 0 1 −20 2 2 1

Im nächsten Schritt addieren wir (−2)-fache der 2. Zeile zur 4. Zeile und behalten die 3. Zeilebei:

≈(−2)~z2 + ~z4

1 −1 2 30 1 −1 −20 0 ©1 −20 0 4 5

≈(−4)~z3 + ~z4

1 −1 2 30 1 −1 −20 0 1 −20 0 0 13

Jetzt sieht man an der letzten Zeile, dass das Gleichungssystem nicht lösbar ist. Denn dieletzte Zeile ausgeschrieben bedeutet nichts anderes als

0x1 + 0x2 + 0x3 = 13

was nie erfüllt werden kann.

Als nächstes betrachten wir das folgende homogene Gleichungssystem

Beispiel 11.14

x1 + 2x2 − 5x3 = 0−2x1 − 3x2 + 6x3 = 0

Hier sind die äquivalenten Umformungen zunächst sehr einfach, wir behalten die 1. Gleichungbei und addieren das 2-fache der ersten Gleichung zur 2. Gleichung, d.h.(

©1 2 −5 0−2 −3 6 0

)≈

(−2)~z1 + ~z2

(1 2 −5 00 1 −4 0

)

Wir führen zusätzlich einen Schritt der Rückwärtselimination aus:

≈~z1 + (−2)~z2

(1 0 3 00 1 −4 0

)

Offensichtlich können wir nicht mehr eliminieren und offensichtlich gibt es mindestens eineLösung, nämlich die triviale Lösung. Um uns einen Überblick über die Lösungsmenge zuverschaffen, schreiben wir die letzte Matrix wieder als Gleichungssystem auf:

x1 + 3x3 = 0x2 − 4x3 = 0

236


oder andres ausgedrückt, sowohl x1 als auch x2 können in Abhängigkeit von x3 dargestelltwerden:

x1 = −3x3

x2 = 4x3.

Setzt man nun x3 = r ∈ R, so sieht man, dass das Gleichungssystem unendlich vieleLösungen besitzt:

x1 = −3r , x2 = 4r , x3 = r , r ∈ R.

Oder anders geschrieben:

~x =

−341

r , r ∈ R.

Durch „Rückwärtssubstitution„ bzw. Rückwärtselimination erhält man aus der Zeilenstufenformdie Gauß-Jordan-Normalform.

Bemerkung 11.15Allgemein gilt: Die erweiterte Koeffizientenmatrix (A|~b) wird mittels Gauß-Algorithmus in(M|~d) äquivalent umgeformt, mit M in Zeilenstufenform:

(M|~d) =

1 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ... ∗ ... ∗ d1

0 1 ∗ ∗ ∗ ∗ ... ∗ ... ∗ d2

0 0 0 1 ∗ ∗ ... ∗ ... ∗ d3

0 0 0 0 0 0 ... ∗ ... ∗ d4...

......

......

... ...... ...

......

0 0 0 0 0 0 ... 1 ... ∗ dr

0 0 0 0 0 0 ... 0 ... 0 dr+1...

......

......

......

......

0 0 0 0 0 0 ... 0 ... 0 dm

(11.2)

Satz 11.16Sei A eine m × n Matrix und ~b ein Spaltenvektor der Länge m. Dann gilt:

1. Lösbarkeitsentscheidung: Ist eine der Zahlen dr+1, ... , dm von Null verschieden,so ist M~x = ~d nicht lösbar, und damit ist auch das AusgangsgleichungssystemA~x = ~b nicht lösbar.

237


2. Anzahl der freien Variablen: Ist A~x = ~b lösbar, dann enthält die allgemeineLösung n − r freie Variable, dabei ist n die Anzahl der Unbekannten.

3. Lösungsstruktur: Ist das System A~x = ~b lösbar, dann lässt sich die allgemeineLösung in der Form

~v = ~v0 + ~u,

darstellen. Dabei ist ~v0 eine spezielle Lösung des inhomogenen Gleichungssys-tems und ~u die allgemeine Lösung des zugeordneten homogenen Gleichungs-systems.

Beweis: (1) und (2) liest man aus (11.2) ab. (3): Mit A~u = ~0 und A~v0 = ~b gilt A(~v0 + ~u = ~b,andererseits folgt aus A~v = ~b und A~v0 = ~b, dass die Differenz ~u := ~v − ~v0 das homogeneGleichungssystem A~x = 0 löst. #

11.4 Gauß-Jordan-Algorithmus

Definition 11.17Eine Matrix ist in Gauss-Jordan-Normalform, wenn

1. Jede Zeile, die nur aus Nullen besteht, am unteren Ende der Matrix steht.

2. Das erste, von Null verschiedene Element einer Zeile, eine 1 ist. Dieses Elementsei „führende Eins“ genannt.

3. Die führende Eins einer jeden Zeile nach der ersten Zeile befindet sich rechts vonder führenden Eins der vorherigen Zeile.

4. Alle anderen Elemente einer Spalte, die eine führende Eins enthält, sind Null.

Es ist recht umständlich den Gauss-Algorithmus zu verwenden, um eine Gauss-Jordan-Normalform zu erhalten, da zunächst die Eliminationsschritte ausgeführt werden und dann dieRückwärtselimination erfolgt. Man kann diese beiden Teile auch zu einem Algorithmus – denwir Gauss-Jordan-Algorithmus nennen wollen – vereinen.

Beispiel 11.18Anwendung des Gauss-Jordan-Algorithmus:

238

11.4 Gauß-Jordan-Algorithmus

Wir betrachten das Gleichungssystem

2x3 − 2x4 = 23x1 + 3x2 − 3x3 + 9x4 = 124x1 + 4x2 − 2x3 + 11x4 = 12

bzw. in Matrixform 0 0 2 −2 23 3 −3 9 124 4 −2 11 12

1. Schritt: Man bringe, wenn nötig, durch Zeilenvertauschen ein von Null verschiedenesElement an die Spitze der ersten Spalte.

≈~z1 ↔ ~z2

©3 3 −3 9 120 0 2 −2 24 4 −2 11 12

2. Schritt: Wenn das von Null verschiedene Element ungleich 1 ist, so multipliziere man dieZeile in der mit der reziproken Zahl durch, um eine führende Eins zu erhalten:

≈(13

)~z1

1 1 −1 3 40 0 2 −2 24 4 −2 11 12

3. Schritt: Man erzeuge in der Spalte in der sich das Pivotelement befindet über und unterdiesem Nullen indem man geeignete Vielfache der Zeile, die die führende Eins enthält, zuallen anderen Zeilen addiert.

≈(−4)~z1 + ~z3

1 1 −1 3 40 0 2 −2 20 0 2 −1 4

4. Schritt: Man behalte die Zeile, die die führende Eins enthält und alle Zeilen darüber bei undwende den 1. und den 2. Schritt auf die Restmatrix an. Dann wende man den 3. Schritt auf diegesamte Matrix an.

Man wiederhole den 4. Schritt bis die Gauss-Jordan-Normalform entstanden ist.

≈(−4)~z1 + ~z3

1 1 −1 3 40 0 ©2 −2 20 0 2 −1 4

≈(12

)~z2

1 1 −1 3 40 0 1 −1 10 0 2 −1 4

≈

(−2)~z2 + ~z3

~z2 + ~z1

1 1 0 2 50 0 1 −1 10 0 0 ©1 2

≈~z3 + ~z2

(−2)~z3 + ~z1

1 1 0 0 10 0 1 0 30 0 0 1 2

239


Die Lösung des Gleichungssystems ist damit

x4 = 2, x3 = 3, x2 = t , x1 = 1− t , bzw.

x1

x2

x3

x4

=

1032

+ t

−1100

, t ∈ R.

11.5 Invertierbare Matrizen

In diesem Abschnitt betrachten wir quadratische n × n Matrizen. Mit E bezeichnen wir stets

die Einheitsmatrix E = (eij )n×n mit eij =

{1, wenn i = j ,0, wenn i 6= j .

.

Definition 11.19Eine n × n- Matrix A heißt invertierbar, wenn es eine n × n-Matrix B gibt, so dass gilt

AB = BA = E .

In diesem Fall ist die Matrix B eindeutig bestimmt, sie wird mit A−1 bezeichnet (d.h.B := A−1), und heißt inverse Matrix oder die Inverse von A.

Die inverse Matrix ist eindeutig bestimmt, denn es gilt:

Satz 11.20Wenn es zur n × n-Matrix A zwei n × n-Matrizen B, C gibt mit BA = AC = E , dann ist Ainvertierbar und B = C = A−1.

Beweis: Es ist B = BE = B(AC) = (BA)C = EC = C. Also gilt AB = AC = E und BA =CA = E und es gibt zu A keine andere Matrix mit dieser Eigenschaft; d.h. es ist B = A−1. #

Beispiel 11.21Die Einheitsmatrix E = EE ist invertierbar mit E−1 = E .

Für

A =

(a bc d

)a, b, c, d ∈ R, mit ad − bc 6= 0

240


ist

A−1 =1

ad − bc

(d −b−c a

).

Mit Hilfe des Gauß-Jordan-Algorithmus kann man nun einen Algorithmus zur Berechnung inver-ser Matrizen angeben. Es sei die n × n-Matrix in Zeilenform gegeben:

A =

~a1

~a2...~an

und wir suchen die inverse Matrix B = A−1 in Spaltenform

B =(~b1 ~b2 ... ~bn

).

Außerdem stellen wir die Einheitsmatrix E ebenfalls in Spaltenform dar:

B =(~e1 ~e2 ... ~en

).

Dann ist

AB = E ⇐⇒ A~bk =

~a1

~a2...~an

~bk = ~ek , k = 1, 2, ... , n,

d.h. die Spalten von A−1 sind die Lösungen des Gleichungssystems A~x = ~ek , k =1, 2, ... , n. Zur Vereinfachung des Algorithmus kann man statt nur einen Vektor anzufügenund den Gauß-Jordan-Algorithmus abzuarbeiten, sofort alle Spaltenvektoren der Einheits-matrix anfügen, also die gesamte Einheitsmatrix anfügen. Das ergibt folgenden Algorith-mus:

241


Satz 11.22 (Algorithmus zur Bestimmung der inversen Matrix)Es sei A eine n × n-Matrix.

1. Man füge die n × n Einheitsmatrix an die Matrix A an, d.h. man bilde die Matrix(A|E).

2. Man erzeuge durch äquivalente Zeilenumformungen gemäß dem Gauß-Jordan-Algorithmus die Gauß-Jordan-Normalform der Matrix (A|E).Ist die erzeugte Gauß-Jordan-Normalform von der Gestalt (E |B), so ist B die zuA inverse Matrix.Ist es nicht möglich die Gestalt (E |B) zu erhalten, dann ist A nicht invertierbar.

Beispiel 11.23Man untersuche, ob die Matrix

A =

1 −1 −22 −3 −5−1 3 5

invertierbar ist. Wir beginnen damit die Einheitsmatrix anzufügen und den Gauß-Jordan-Algorithmus abzuarbeiten:

[A|E ] =

©1 −1 −2 1 0 02 −3 −5 0 1 0−1 3 5 0 0 1

≈~z2 + (−2)~z1

~z3 + ~z1

1 −1 −2 1 0 00 ©− 1 −1 −2 1 00 2 3 1 0 1

≈

(−1)~z2

1 −1 −2 1 0 00 1 1 2 −1 00 2 3 1 0 1

≈~z1 + ~z2

~z3 + (−2)~z2

1 0 −1 3 −1 00 1 1 2 −1 00 0 ©1 −3 2 1

≈

~z1 + ~z3

~z2 + (−1)~z3

1 0 0 0 1 10 1 0 5 −3 −10 0 1 −3 2 1

Mit Hilfe des Gauß-Jordan-Algorithmus kann auf der rechten Seite eine Einheitsmatrix erzeugtwerden und damit existiert A−1 und ist gleich

A−1 =

0 1 15 −3 −1−3 2 1

.

242


Beispiel 11.24Man überprüfe, ob die Matrix

A =

1 1 51 2 72 −1 4

invertierbar ist und gebe gegebenenfalls die inverse Matrix an. Wir beginnen wiederum mitdem Gauß-Jordan-Algorithmus:

(A|E) =

©1 1 5 1 0 01 2 7 0 1 02 −1 4 0 0 1

≈~z2 + (−1)~z1

~z3 + (−2)~z1

1 1 5 1 0 00 ©1 2 −1 1 00 −3 −6 −2 0 1

≈

~z1 + (−1)~z2

~z3 + 3~z2

1 0 3 2 −1 00 1 2 −1 1 00 0 0 −5 3 1

In der letzten Zeile ist es unmöglich an der 3. Stelle eine „1“ zu erzeugen, deshalb bricht derAlgorithmus hier ab und die Matrix A ist nicht invertierbar.

Satz 11.25Es sei

A~x = ~b

ein lineares Gleichungssystem mit n Gleichungen und n Unbekannten.Wenn die zu A inverse Matrix A−1 existiert, ist die Lösung des Gleichungssystemseindeutig bestimmt durch

~x = A−1~b.

Beweis: Wir beweisen zunächst, dass ~x = A−1~b eine Lösung ist:

A~x = A(A−1~b) = (AA−1)~b = E~b = ~b.

Folglich erfüllt ~x = A−1~b das Gleichungssystem und ist damit eine Lösung.Wir zeigen nun die Eindeutigkeit: Es sei ~y eine Lösung des Gleichungssystems, d.h.

A~y = ~b,A−1(A~y ) = A~b, beide Seiten der Gleichung wurden mit der existierenden inversen

Matrix A−1 multipliziert.(A−1A)~y = A−1~b, die Matrizenmultiplikation ist transitiv

E~y = A−1~b, A−1A = E~y = A−1~b.

243


Folglich gibt es nur diese eine Lösung.

11.5.1 Transponierte Matrix

Definition 11.26Jeder m×n Matrix A = (aij )m×n zugeordnet ist die transponierte Matrix AT := (aji )n×m,deren i-te Zeile aus den Koeffizienten der i-ten Spalte von A besteht.

Aus den Spalten von A werden die Zeilen von AT und gleichzeitig werden dabei aus den Zeilenvon A die Spalten von AT .

Beispiel 11.27Sei A die folgende 4× 3-Matrix

A =

1 α 02 4 β

α x 20 β x

, dann ist AT =

1 2 α 0α 4 x β

0 β 2 x

eine 3× 4-Matrix.

Satz 11.28 (Rechenregeln)1. (A + B)T = AT + BT für Matrizen m × n-Matrizen A und B,

2. (αA)T = αAT für alle Matrizen A und α ∈ R,

3. (AT )T = A für alle Matrizen A,

4. (AB)T = BT AT , für alle m × n-Matrizen A und n × r -Matrizen B.

Beweis: (1) bis (3) ergibt sich sofort. Um (4) zu beweisen, beachte man, dass

~z~s =(α1 α2 ... αn

)

β1

β2...βn

=n∑

k=1

αkβk =(β1 β2 ... βn

)

α1

α2...αn

= ~sT~zT . #

244


Definition 11.29Eine n × n Matrix A heißt symmetrisch, wenn A = AT gilt, sie heißt schiefsymmetrisch,wenn A = −AT gilt.

Bemerkung 11.30Jede symmetrische Matrix A = AT = (aij )n×n ist wegen aij = aji symmetrisch zur Hauptdiagona-len der Matrix A.Für jede n × n Matrix A, sind die Matrizen A + AT und AAT symmetrisch. Dagegen ist dieMatrix A− AT schiefsymmetrisch.

Satz 11.31 (Rechenregeln für das Invertieren von quadratischen Matrizen)1. Die Inverse einer invertierbaren n × n-Matrix A ist invertierbar;(

A−1)−1= A.

2. Das Produkt AB zweier invertierbarer n × n-Matrizen ist invertierbar;

(AB)−1 = B−1A−1.

3. Die transponierte AT einer n × n-Matrix ist genau dann invertierbar, wenn A inver-tierbar ist. In diesem Fall ist (

AT )−1=(A−1)T

.

Beweis zu (1): Die Definition der inversen Matrix besagt, dass es zur Matrix A eine Matrix Bmit

AB = BA = E

gibt und diese eindeutig bestimmt ist, d.h. B = A−1 bzw.

AA−1 = A−1A = E . (11.3)

Lesen wir diese Gleichung nun bezogen auf A−1, so steht da, dass es eine Matrix gibt, die vonrechts und von links mit A−1 multipliziert gerade die Einheitsmatrix ergibt, also ist diese Matrixgerade die inverse Matrix zu A−1 und die Gleichung (11.3) besagt gerade, dass (A−1)−1 = Aist.

zu (2): Wie man leicht sieht gilt:

(B−1A−1)AB = B−1(A−1A)B = B−1EB = B−1B = E

245


und auchAB(B−1A−1) = A(BB−1)A−1 = AEA−1 = AA−1 = E .

Nach der Definition der inversen Matrix ist damit (AB)−1 = B−1A−1.

zu (3): Wir haben nachzuweisen, dass falls A invertierbar ist, dann ist auch AT invertierbar undumgekehrt. Außerdem haben wir zu zeigen, dass dann (A−1)T = (AT )−1 gilt. Wir nehmen dae-halb zunächst an, dass A invertierbar ist und die inverse Matrix ist A−1, d.h.

AA−1 = A−1A = E | transponieren

⇐⇒ (AA−1)T = (A−1A)T = ET

⇐⇒ (A−1)T AT = AT (A−1)T = E

d.h. auch AT ist invertierbar und (AT )−1 = (A−1)T .

Nehmen wir nun an, dass AT invertierbar ist, d.h.

AT (AT )−1 = (AT )−1AT = E | transponieren

⇐⇒(AT (AT )−1)T

=((AT )−1AT )T

= ET

⇐⇒((AT )−1)T

A = A((AT )−1)T

= E .

Folglich ist A invertierbar und es gilt A−1 =((AT )−1

)T ⇐⇒ (A−1)T = (AT )−1. #

Beispiel 11.32Man berechne, so möglich, die inverse Matrix zu

A =

(4 13 1

).

(4 1 1 03 1 0 1

)≈

(1 1

414 0

3 1 0 1

)≈

(1 1

414 0

0 14 −3

4 1

)

≈

(1 1

414 0

0 1 −3 4

)≈

(1 0 1 −10 1 −3 4

)

und wir erhalten

A−1 =

(1 −1−3 4

).

Man berechne nun (AT )−1. Wegen

(AT )−1 = (A−1)T

ergibt sich

(AT )−1 =

(1 −3−1 4

).

246


Definition 11.33Eine Matrix A heißt orthogonal, wenn gilt

AT A = E .

Das bedeutet insbesondere, dass die inverse Matrix einer orthogonalen Matrix gerade dietransponierte Matrix ist.

Beispiel 11.34Die Matrix

A =12

1 1 1 −1−1 1 1 1−1 −1 1 −11 −1 1 1

ist eine orthogonale Matrix, da

AT A =14

1 −1 −1 11 1 −1 −11 1 1 1−1 1 −1 1

1 1 1 −1−1 1 1 1−1 −1 1 −11 −1 1 1

=

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

= E .

Foglich ist

A−1 = AT =

1 −1 −1 11 1 −1 −11 1 1 1−1 1 −1 1

.

Beispiel 11.35Man löse das Gleichungssystem

x1 + 2x2 − x3 = b1

x1 + x2 − 2x3 = b2

x1 − x2 − x3 = b3

für b1

b2

b3

=

123

,

014

,

52−3

.

Dazu ist es nicht erforderlich, dass das Gleichungssystem dreimal gelöst wird. Man kann alle 3rechten Seiten auf einmal einsetzen. Man schreibt zunächst wie üblich die Koeffizientenmatrix

247


hin und fügt dann alle 3 rechten Seiten an: 1 2 −1 1 0 51 1 −2 2 1 21 −1 −1 3 4 −3

≈ 1 2 −1 1 0 5

0 −1 −1 1 1 −30 −3 0 2 4 −8

≈

1 2 −1 1 0 50 1 1 −1 −1 30 −3 0 2 4 −8

≈ 1 0 −3 3 2 −1

0 1 1 −1 −1 30 0 3 −1 1 1

≈

1 0 0 2 3 00 1 1 −1 −1 30 0 1 −1

313

13

≈ 1 0 0 2 3 0

0 1 0 −23 −4

383

0 0 1 −13

13

13

Folglich hat das Gleichungssystem für

b1

b2

b3

=

123

die Lösung

x1

x2

x3

= 13

6−2−1

,

für

b1

b2

b3

=

014

die Lösung

x1

x2

x3

= 13

9−41

und für

b1

b2

b3

=

53−2

die

Lösung

x1

x2

x3

= 13

081

.

Die Ursache hierfür ist, dass die Eigenschaft des Gleichungssystems genau eine/unendlichviele/keine Lösung besitzt nicht von der rechten Seite, sondern nur von der Koeffizienten-matrix abhängt.

11.6 Anwendungen von linearen Gleichungssystemen

11.6.1 Interpolation

Es sei eine Menge von Datenpunkten gegeben:

(x1, y1), (x2, y2), ... , (xn, yn).

Gesucht ist ein Polynom, dessen Graph durch die Datenpunkte verläuft. Man zeigen, dass esein eindeutig bestimmtes Polynom (höchstens) (n − 1). Grades gibt, dessen Graph durch alleDatenpunkte verläuft:

y = a0 + a1x + ... an−2xn−2 + an−1xn−1.

Die unbestimmten Koeffizienten a0, a1, ... , an−1 werden durch einsetzten der Datenpunktebestimmt.

248


Beispiel 11.36Datenpunkte: (1; 6), (2; 3), (3; 2). Zu bestimmen ist ein Polynom 2.Grades

y (x) = a0 + a1x + a2x2.

Wir erhalten folgendes Gleichungssystem:

y (1) = 6 = a0 + a1 + a2

y (2) = 3 = a0 + 2a1 + 4a2

y (3) = 2 = a0 + 3a1 + 9a2

Lösung des Gleichungssystems: ©1 1 1 61 2 4 31 3 9 2

≈~z2 − ~z1

~z3 − ~z1

1 1 1 60 ©1 3 −30 2 8 −4

≈(−2)~z2 + ~z3

~z1 − ~z2

1 0 −2 90 1 3 −30 0 ©2 2

≈(

12

)~z3

1 0 −2 90 1 3 −30 0 1 1

≈2~z3 + ~z1

(−3)~z3 + ~z2

1 0 0 110 1 0 −60 0 1 1

Lösung des Gleichungssystems ist a1 = 11, a2 = −6, a3 = 1, folglich verläuft die Parabel

y (x) = 11− 6x + x2

durch alle Datenpunkte.

11.6.2 Kryptographie

Unter der Kryptographie versteht man den Prozess des Ver- und Entschlüsselung von Nach-richten. Das Wort kommt vom griechischen Wort kryptos, was soviel wie „versteckt“ bedeutet.Heutzutage werden komplizierte Methoden angewandt um Nachrichten zu ver- und entschlüs-seln. Ein ziemlich schwer zu brechender Kode entsteht bei der Verwendung riesiger Kodie-rungsmatrizen. Der Empfänger entschlüsselt die Nachricht mit Hilfe der Dekodierungsmatrix,die die inverse Matrix zur Kodierungsmatrix ist. Wir erläutern das an folgendem einfachenBeispiel.

Wir wollen die NachrichtMathematik ist leicht

verschlüsseln. Dazu ordnen wir zunächst jedem Buchstaben des Alphabets eine Zahl zu, derEinfachheit halber sei das die Position des Buchstaben im Alphabet, also A ist 1, B ist 2, usw.Der Zwischenraum zwischen 2 Worten erhalte die Zahl 27.

M A T H E M A T I K I S T L E I C H T13 1 20 8 5 13 1 20 9 11 27 9 19 20 27 21 5 9 3 8 20

249


Diese Nachricht wird nun mit Hilfe der Kodierungsmatrix

A =

−3 −3 40 1 14 3 4

verschlüsselt. Da wir eine 3× 3-Matrix zur Kodierung verwenden wollen, unterteilen wir die inZahlen übertrage Nachricht in 3× 1-Matrizen: 13

120

8

513

1

209

11

279

19

2027

21

59

3

820

Wir multiplizieren nun jede der Spaltenmatrizen mit der Kodierungsmatrix, was in einem Schrittmittels Matrizenmultiplikation in der folgenden Weise gemacht werden kann: −3 −3 4

0 1 14 3 4

13 8 1 11 19 21 3

1 5 20 27 20 5 820 13 9 9 27 9 20

=

38 13 −27 −78 −9 −42 4721 18 29 36 47 14 28135 99 100 161 244 135 116

Die Nachricht wird somit als

38, 21, 135, 13, 18, 99, −27, 29, 100, −78, 36, 161, −9, 47, 244, −42, 14, 135, 47, 28, 116

übetragen. Um die Nachricht zu dekodieren benötigen wir nun die inverse der Kodierungsmatrix.Berechnung der Dekodierungsmatrix: −3 −3 4 1 0 0

0 1 1 0 1 04 3 4 0 0 1

≈−1

3~z1

1 1 −43 −1

3 0 00 1 1 0 1 04 3 4 0 0 1

≈(−4)~z1 + ~z3

1 1 −43 −1

3 0 00 1 1 0 1 00 −1 28

343 0 1

≈~z1 − ~z2

~z3 − ~z2

1 0 −73 −1

3 −1 00 1 1 0 1 00 0 31

343 1 1

≈331~z3

1 0 −73 −1

3 −1 00 1 1 0 1 00 0 1 4

313

31331

≈~z1 +

(73

)~z3

~z2 − ~z3

1 0 0 − 131 −24

31731

0 1 0 − 431

2831 − 3

31

0 0 1 431

331

331

250


und damit ist die Dekodierungsmatrix

A−1 =131

−1 −24 7−4 28 −34 3 3

Fasst man nun die kodierte Nachricht wieder in 3 × 1-Spaltenvektoren zusammen undwendet darauf die Dekodierungsmatrix an, so ergibt sich der ursprüngliche Text der Nach-richt.

251

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Matrizen und lineare Gleichungssysteme - tu-freiberg.de · 11.1 Matrizen Deﬁnition 11.2 Zwei Matrizen A = (aij) und B = (bij) heißen gleich (man schreibt dafür A = B), wenn sie