Embed Size (px)
Citation preview
Matthias BeckGerald MarchesiDennis PixtonLucas Sabalka
Version 1.53
z 7! z 2
0 1 1 + i i
�1
x 2 + 1 = 0 .
ii 2 + 1 = 0 i 2 = �1
i
�1
x 3 + px + qq
q2
4 +p3
27
p q
C := {(x , y ) : x , y 2R} ,
(x , y ) + (a, b ) := (x + a, y + b )
(x , y ) · (a, b ) := (xa � y b , x b + ya) .
C R(x , 0)
(x , 0) + (y, 0) = (x + y, 0) (x , 0) · (y, 0) = (x y, 0) .
C
(C,+, ·) (x , y ), (a, b ), (c , d ) 2C
(x , y ) + (a, b ) 2C�
(x , y ) + (a, b )�
+ (c , d ) = (x , y ) +�
(a, b ) + (c , d )�
(x , y ) + (a, b ) = (a, b ) + (x , y )
(x , y ) + (0, 0) = (x , y )
(x , y ) + (�x ,�y ) = (0, 0)
(x , y ) ·�
(a, b ) + (c , d )�
= (x , y ) · (a, b ) + (x , y ) · (c , d )
(x , y ) · (a, b ) 2C�
(x , y ) · (a, b )�
· (c , d ) = (x , y ) ·�
(a, b ) · (c , d )�
(x , y ) · (a, b ) = (a, b ) · (x , y )
(x , y ) · (1, 0) = (x , y )
(x , y ) 2C \ {(0, 0)} : (x , y ) ·Ä
xx 2+y2 , �y
x 2+y2
ä
= (1, 0)
(C,+) (0, 0)(C \ {(0, 0)}, ·) (1, 0)
R
(x , y ) + (�x ,�y ) = (x + (�x ), y + (�y )) = (0, 0) .
(0, 1) · (0, 1) = (�1, 0) .
(a, 0) · (x , y ) = (ax , a y )
(x , y ) = (x , 0) + (0, y ) = (x , 0) · (1, 0) + (y, 0) · (0, 1) .
R C (x , 0)(y, 0) x y
(x , y ) (1, 0) (0, 1)x y (1, 0)(0, 1) i (x , y )
x · 1+ y · ix + i y .
x yx + i y Re(x + i y ) = x Im(x + i y ) = y
i 2 = �1 .
�1C
d d C
x + i y
(x , y )
R2 x y
R2
DD
kk
WW
z1
z2
z1 + z2
R2
z = x + i y
r = |z | :=∆
x 2 + y2 ,
z = x + i y φ 2R
x = r cosφ y = r sinφ .
z = x + i y1 = 1+0i 0
2π 4π �2π 2πkk 0 = 0+ 0i 0 φ
0 zz 2π z = 1
z1, z2 2CR2 d (z1, z2)R2
d (z1, z2) = |z1 � z2| = |z2 � z1| .
z1 = x1 + i y1 z2 = x2 + i y2
d (z1, z2) =∆
(x1 � x2)2 + (y1 � y2)2 .
|z1 � z2| (x1 � x2)2 = (x2 � x1)2 (y1 � y2)2 =(y2 � y1)2 |z2 � z1|
DD
kk
44
z1
z2
z1 � z2
|z1 � z2| = |z2 � z1| z1 z2z2 z1
x1 + i y1r1 φ1 x2 + i y2 r2
φ2 x1 + i y1 = (r1 cosφ1) + i (r1 sinφ1) x2 + i y2 =(r2 cosφ2) + i (r2 sinφ2)
(x1 + i y1)(x2 + i y2) = (r1 cosφ1 + i r1 sinφ1) (r2 cosφ2 + i r2 sinφ2)
= (r1 r2 cosφ1 cosφ2 � r1 r2 sinφ1 sinφ2) + i (r1 r2 cosφ1 sinφ2 + r1 r2 sinφ1 cosφ2)
= r1 r2�
(cosφ1 cosφ2 � sinφ1 sinφ2) + i (cosφ1 sinφ2 + sinφ1 cosφ2)�
= r1 r2�
cos(φ1 +φ2) + i sin(φ1 +φ2)�
.
r1 r2 φ1 +φ2
FF
ff
xx
...............
..........
.............
........................................
.............
........
.........
....................................................................
z1z2
z1z2
φ1
φ2
φ1 +φ2
cosφ + i sinφ φ
e iφ := cosφ+ i sinφ .
2π
s
s se 7πi
8
e� πi2 = �i
e πi4 = 1p
2+ i 1p
2
e iφ
φ,φ1,φ2 2R
e iφ1 e iφ2 = e i (φ1+φ2)
e i0 = 1
1e iφ = e�iφ
e i (φ+2π) = e iφ
|e iφ| = 1
ddφ e iφ = i e iφ.
e iφ
ddφ
e iφ =ddφ(cosφ+ i sinφ) = � sinφ+ i cosφ = i (cosφ+ i sinφ) = i e iφ.
e2πi = 1sin(2π) = 0 cos(2π) = 1 π i 1
e
(e2πi mn )n = 1 m n > 0
e2πi q q 2Qz n = 1
e2πi mn m
n > 0 ζζ n = 1 n ζ nth
n ζ n = 1 ζ nth
4th ±1 ±i = e± πi2
4th
x + i yr φ
x + i y = r e iφ.
�px 2 + y2 �p
x 2 x p
x 2 px 2 + y2
�|z | Re(z ) |z | � |z | Im(z ) |z | .
|x + i y |2 = x 2 + y2 = (x + i y )(x � i y ) .
(x , y )
x + i y r e iθ
rθ
xy
zz
x + i y x � i y
x � i y x + i y
x + i y := x � i y .
z z
z , z1, z2 2C
z1 ± z2 = z1 ± z2
z1 · z2 = z1 · z2Ä
z1z2
ä
= z1z2
z = z
|z | = |z |
|z |2 = z z
Re(z ) = 12 (z + z )
Im(z ) = 12i (z � z )
e iφ = e�iφ.
z1 = x1 + i y1 z2 = x2 + i y2
z1 · z2 = (x1x2 � y1 y2) + i (x1 y2 + x2 y1) = (x1x2 � y1 y2)� i (x1 y2 + x2 y1)
= (x1 � i y1)(x2 � i y2) = z1 · z2 .
z�1 =1z=
z|z |2
.
Rn
z1, z2 2 C |z1 + z2| |z1|+ |z2| .
|z1 + z2|2 = (z1 + z2) (z1 + z2) = (z1 + z2) (z1 + z2) = z1z1 + z1z2 + z2z1 + z2z2
= |z1|2 + z1z2 + z1z2 + |z2|2 = |z1|2 + 2Re (z1z2) + |z2|2
|z1|2 + 2 |z1z2|+ |z2|2 = |z1|2 + 2 |z1| |z2|+ |z2|2
= |z1|2 + 2 |z1| |z2|+ |z2|2 = (|z1|+ |z2|)2 ,
z1, z2, . . . , zn 2C
|±z1 ± z2| |z1|+ |z2| .
|±z1 ± z2| ��
�|z1|� |z2|�
� .
�
�
�
�
�
nX
k=1zk
�
�
�
�
�
nX
k=1|zk | .
|±z | = |z |
CR2
x
y
C [2+ i , 2]
D[�2, 13 ] ~
|z �w |z w a
r z 2 C |z � a| = rr a a r
C [a, r ] := {z 2C : |z � a| = r } .
a r
D[a, r ] := {z 2C : |z � a| < r } .
D[a, r ] C [a, r ]
C
G C
a 2 G G aG
b 2 C G bG G
c 2C G cG c
d 2 G G dG d
GG
GG
r > 0 a 2 C {z 2C : |z � a| < r } = D[a, r ]{z 2C : |z � a| > r }
D[a, r ] := {z 2C : |z � a| r }
C?
∂G G GG G G G [ ∂G
D[a, r ] D[a, r ]D[a, r ] C [a, r ]
G G ✓ D[0, r ] r
R
x
y
[0, 1) (1, 2]
X , Y ✓C A, B ⇢CX ✓ A Y ✓ B G ✓ C
G
A B X Y
X = [0, 1) Y = (1, 2]A B A = D[0, 1]
B = D[2, 1] X [Y = [0, 2]\{1}
C γ : [a, b ]!C[a, b ] R γ
γ(t ), a t b
γ γ 0
γ : [a, b ]!C t0 2 [a, b ]
limt!t0
γ(t ) = γ(t0) ,
γ t0
γ 0(t0) = limt!t0
γ(t )� γ(t0)t � t0
.
x
y
γ1(t ) = �2+ 2 e i t , π2 t 2π γ2(t ) =
®
3+ i (t � 2) 0 t 36� t + i
2 (t � 1) 3 t 5
γ1 γ2
γ1
γ3(t ) = �2+ 2 e�i t , 0 t 3π2 ,
γ1 γ3 γ1γ3
γ γ : [a, b ]!Cγ 0(t ) a < t < b limt!a+ γ 0(t ) limt!b� γ 0(t )
[a, b ] C R2
x (t ) y (t )γ(t ) = x (t ) + i y (t )
γ : [a, b ]!C γ(t )γ(a) = γ(b )
γ : [a, b ]!C γ(a) = γ(b )
C [0, 1] γ(t ) = e i t , 0 t 2π
G ✓C GG G ✓C
G G GG
G z0 z1zn zk zk+1 G
k = 0, 1, . . . , n � 1
D[0, 1] D[0, 1]D[0, 1] D[0, 1]
G = D[0, 1] \ {0}D[0, 1] G
� 12
12 0
G
S ⇢CS
z = 1+ 2i w = 2� i
z + 3w
w � z
z 3
Re(w2 +w )
z 2 + z + i
z�az+a a 2R3+5i7i+1
Ä
�1+ip
32
ä3 i n n 2 Z
�2+ i
(2+ i )(4+ 3i )
3�ip2+3i
(1+ i )6
2i
1+ i
�3+p
3 i
�i
(2� i )2
|3� 4i |
p5� i
Ä
1�ip3
ä4
p2 e i 3π
4
34 e i π2
�e i250π
2 e4πi
e ln(5)i ddφ eφ+iφ
a, b , c 2 R a 6= 0az 2 + b z + c = 0
�b ±p
b2 � 4ac2a
.
pb2 � 4ac = i
p�b2 + 4ac b2 � 4ac
z 2 + 25 = 0
2z 2 + 2z + 5 = 0
5z 2 + 4z + 1 = 0
z 2 � z = 1
z 2 = 2z
z 2 + 2z + (1� i ) = 0
a 2 C b 2 R |z 2|+Re(az ) + b = 0|a2| � 4b
z 6 = 1
z 4 = �16
z 6 = �9
z 6 � z 3 � 2 = 0
|z | = 1 1z = z
z z = z
z (z )2 = z 2
z1 z2 = 0 z1 = 0 z2 = 0
n z n = 1z = e 2πi m
n m 2 Z z n = 1z = e2πi a
n a 2Ra = m + b m 0 b < 1
b
z 5 � 1 = (z � 1)�
z 2 + 2z cos π5 + 1
� �
z 2 � 2z cos 2π5 + 1
�
cos π5 cos 2π
5
n w z n = ww
cos(3φ) = cos3 φ� 3cosφ sin2 φ
sin(3φ) = 3cos2 φ sinφ� sin3 φ
x , y 2R M (x , y ) :=ñ
x y�y x
ô
M (x , y ) +M (a, b ) = M (x + a, y + b )
M (x , y )M (a, b ) = M (xa � y b , x b + ya) .
{M (x , y ) : x , y 2 R}C = {(x , y ) : x , y 2R}
{z 2C : |z � 1+ i | = 2}
{z 2C : |z � 1+ i | 2}
{z 2C : Re(z + 2� 2i ) = 3}
{z 2C : |z � i |+ |z + i | = 3}
{z 2C : |z | = |z + 1|}
{z 2C : |z � 1| = 2 |z + 1|}�
z 2C : Re(z 2) = 1
�
z 2C : Im(z 2) = 1
p
p(z ) = p (z )
p(z ) = 0 p (z ) = 0
|z1 � z2| � |z1|�|z2| .
�
�
�
�
1z 2 � 1
�
�
�
�
13
z C [0, 2]
|z + 3| < 2
|Im(z )| < 1
0 < |z � 1| < 2
|z � 1|+ |z + 1| = 2
|z � 1|+ |z + 1| < 3
|z | � Re(z ) + 1
G z 2C z �2 < z < �1|z | < 1 z = 1 z = 2
G G
G
G
G
G
A ✓ B B ∂ A ✓ B A ✓ B AA B
C [1+ i , 1]
�1� i 2i
C [0, 34]
±1± 2i
{z 2C : |z � 1|+ |z + 1| = 4}
G 2 < |z | < 3
G G
34 = i = �π = 2+ 2i = �12�p
3+ i�
=
2 e i0 = 3 eπi2 = 1
2 e iπ = e�3πi
2 = 2 e3πi
2 =
z + 1z + 2� i
2z�z
z2
i zzz 2
Re(z )Im(z )i Im(z )|z |
1z
f G ✓ C Cf : G ! C G f
z 2 Gz f (z )
Rm Rn
f (z ) = zf (z ) = 2z + i f (z ) = z 3 f (z ) = 1
zC z = 0
z f (x , y ) = x � 2i y f (x , y ) = y2 � i xf (r ,φ) = 2r e i (φ+π)
f : G !C z0 G w0ε > 0 δ > 0 z 2 G
0 < |z � z0| < δ | f (z )�w0| < ε w0 f zz0
limz!z0
f (z ) = w0 .
z0z z0
0 < |z � z0|z0 f z0 f
f (z0)
limz!i
z 2 = �1ε > 0 δ > 0 0 < |z�i | < δ |z 2+1| < ε
�
�
�
z 2 + 1�
�
�
= |z � i | |z + i | < δ |z + i | .
δ |z + i |δ <min{ ε3 , 1}
0 < |z � i | < δ
�
�
�
z 2 + 1�
�
�
< 3δ < ε .
ε > 0 0 < δ <min{ ε3 , 1} 0 < |z � i | < δ
|z + i | = |z � i + 2i | |z � i |+ |2i | < 3 ,�
�
�
z 2 � (�1)�
�
�
=�
�
�
z 2 + 1�
�
�
= |z � i | |z + i | < 3δ < ε .
limz!i z 2 = �1
w0z z0
f : G !C limz!z0f (z ) = w0
eG ✓ Gz0
eG ef f eG limz!z0ef (z )
w0
zz z ! 0
z ! 0z = x 2R
limz!0
zz= lim
x!0
xx= lim
x!0
xx= 1 .
z = i y y 2R
limz!0
zz= lim
y!0
i yi y= lim
y!0
�i yi y= �1 .
zz z ! 0
f g G z0G c 2 C limz!z0
f (z ) limz!z0g (z )
limz!z0( f (z ) + c g (z )) = lim
z!z0f (z ) + c lim
z!z0g (z )
limz!z0( f (z ) · g (z )) = lim
z!z0f (z ) · lim
z!z0g (z )
limz!z0
f (z )g (z )
=limz!z0
f (z )limz!z0
g (z )
limz!z0g (z ) 6= 0
c 6= 0L = limz!z0
f (z ) M = limz!z0g (z ) ε > 0
δ1,δ2 > 0
0 < |z � z0| < δ1 | f (z )� L| < ε2
0 < |z � z0| < δ2 | g (z )�M | < ε2|c | .
δ =min{δ1,δ2} 0 < |z � z0| < δ
|( f (z ) + c g (z ))� (L+ c M )| | f (z )� L|+ |c | | g (z )�M | < ε .
limz!z0( f (z ) +
c g (z )) = L+ c M
f : G !C z0 2 G z0 G
limz!z0
f (z ) = f (z0)
f z0 f E ✓ G fz 2 E
ε δ
f : G ! C z0 2 G f z0ε δ
| f (z )� f (z0) | < ε z 2 G | z � z0 | < δ .
f : C! Cf (z ) = z 2 z = i
C
g :C!C
g (z ) :=
8
<
:
zz z 6= 0 ,
1 z = 0 .
g z = 0
g : G !C { g (z ) : z 2 G} .g f : H !C
f � g : G !C
( f � g )(z ) := f ( g (z )) .
g : G !C H f : H !Cz0 G limz!z0
g (z ) = w0 2 H fw0 limz!z0
f ( g (z )) = f (w0)
limz!z0
f ( g (z )) = fÅ
limz!z0
g (z )ã
.
ε > 0 η > 0
|w �w0| < η | f (w )� f (w0)| < ε .
η δ > 0
0 < |z � z0| < δ | g (z )�w0| < η .
0 < |z � z0| < δ | f ( g (z ))� f (w0)| < ε .
limz!z0f ( g (z )) = f (w0)
zz
f (z ) z ! 0z 0
0
f : G !C z0G f z0
f 0(z0) := limz!z0
f (z )� f (z0)z � z0
,
f z0 fz0 f
z0 f E ✓ GE
C
f : C ! C f (z ) = z 3
C z0 2C
limz!z0
f (z )� f (z0)z � z0
= limz!z0
z 3 � z 30
z � z0= lim
z!z0
(z 2 + z z0 + z 20 )(z � z0)
z � z0= 3z 2
0 .
f 0(z0) = limh!0
f (z0 + h)� f (z0)h
.
h
f :C!C f (z ) = (z )2 0f 0 z = z0+ r e iφ
z 2 � z02
z � z0=
�
z0 + r e iφ�2 � z0
2
z0 + r e iφ � z0=(z0 + r e�iφ)2 � z0
2
r e iφ
=z0
2 + 2 z0 r e�iφ + r 2e�2iφ � z02
r e iφ=
2 z0 r e�iφ + r 2e�2iφ
r e iφ
= 2 z0 e�2iφ + r e�3iφ.
z0 6= 0 f (z ) z ! z02 z0 e�2iφ + r e�3iφ r ! 0 2 z0 e�2iφ φ
z z0z0 = 0 r e�3iφ =
|z | e�3iφ
limz!0
�
�
�
�
�
z 2
z
�
�
�
�
�
= limz!0
�
�
�
|z | e�3iφ�
�
�
= limz!0|z | = 0 ,
limz!z0
z 2 � z02
z � z0= lim
z!0
z 2
z= 0 .
f :C!C f (z ) = z
limz!z0
z � z0z � z0
= limz!z0
z � z0z � z0
= limz!0
zz
,
f g z 2C hg (z )
�
f (z ) + c g (z )�0 = f 0(z ) + c g 0(z ) c 2C
�
f (z ) g (z )�0 = f 0(z ) g (z ) + f (z ) g 0(z )
✓
f (z )g (z )
◆0=
f 0(z ) g (z )� f (z ) g 0(z )g (z )2
g (z )2 6= 0
�
z n�0 = n z n�1 n
g z�
h( g (z ))�0 = h 0( g (z )) g 0(z ) .
�
f (z ) g (z )�0 = lim
h!0
f (z + h) g (z + h)� f (z ) g (z )h
= limh!0
f (z + h) ( g (z + h)� g (z )) + ( f (z + h)� f (z )) g (z )h
= limh!0
f (z + h)g (z + h)� g (z )
h+ lim
h!0
f (z + h)� f (z )h
g (z )
= f (z ) g 0(z ) + f 0(z ) g (z ) .
f (z ) γ(t )
f a 2C f 0(a) 6= 0γ1 γ2 a φ
f γ1 γ2 f (a)φ
γ1(t ) γ2(t ) γ1(0) =γ2(0) = a γ 01(0) γ1a γ 02(0) γ2 a γ1 γ2f f (γ1) f (a)
ddt
f (γ1(t ))�
�
�
�
t=0= f 0(γ1(0))γ
01(0) = f 0(a)γ 01(0) ,
f (γ2) f (a) f 0(a)γ 02(0)f γ 01(0) γ 02(0)
f 0(a)| f 0(a)|
f 0(a)
f : G ! H w 2 Hz 2 G f (z ) = w w 2 Hz 2 G z 2 G f (z ) = w
f : G ! Hg : H ! G f f ( g (z )) = z z 2 H
f � g H
G , H ✓ C f : G ! Hg : H ! G f z0 2 H f g (z0)
f 0( g (z0)) 6= 0 g z0 g z0
g 0(z0) =1
f 0 ( g (z0)).
f ( g (z )) = z z 2 H
g 0(z0) = limz!z0
g (z )� g (z0)z � z0
= limz!z0
g (z )� g (z0)f ( g (z ))� f ( g (z0))
= limz!z0
1f ( g (z ))� f ( g (z0))
g (z )� g (z0)
.
w0 = g (z0)
φ(w ) :=
8
>
<
>
:
f (w )� f (w0)w �w0
w 6= w0
f 0(w0) w = w0 .
w0 limz!z0g (z ) = w0 g
g 0(z0) = limz!z0
1φ ( g (z ))
=1
φÅ
limz!z0
g (z )ã =
1f 0(w0)
=1
f 0( g (z0).
f :R2!R
∂ f∂ x (x0, y0)
∂ f∂ y (x0, y0)
(x0, y0) 2 R2
f (z ) f 0(z0)z0 = (x0, y0) 2C
f 0(z0)
∂ f∂ x(z0) := lim
x!x0
f (x , y0)� f (x0, y0)x � x0
∂ f∂ y(z0) := lim
y!y0
f (x0, y )� f (x0, y0)y � y0
f z0 = x0 + i y0f
∂ f∂ x(z0) = �i
∂ f∂ y(z0) .
f ∂ f∂ x
∂ f∂ y
z0 z0f z0
f 0
f 0(z0) =∂ f∂ x(z0) .
ff (z ) = f (x , y ) = u(x , y ) + i v (x , y )
u f vfx =
∂ f∂ x fy =
∂ f∂ y
fx = ux + i vx � i fy = �i (uy + i vy ) = vy � i uy .
ux (x0, y0) = vy (x0, y0)uy (x0, y0) = �vx (x0, y0) .
f z0 = x0 + i y0u v z0
f = u + i v G u vG
u v
ux x (x0, y0) = vy x (x0, y0) = vx y (x0, y0) = �uy y (x0, y0) ,
ux x (x0, y0) + uy y (x0, y0) = 0
vG ⇢ C
Gf G
u v
f :C!C
f (z ) = z 3 = (x + i y )3 =�
x 3 � 3x y2�+ i�
3x 2 y � y3� .
fx (z ) = 3x 2 � 3y2 + 6i x y fy (z ) = �6x y + 3i x 2 � 3i y2
C fx = �i fy f (z ) = z 3
f :C!C
f (z ) = (z )2 = (x � i y )2 = x 2 � y2 � 2i x y .
fx (z ) = 2x � 2i y fy (z ) = �2y � 2i x ,
fx = �i fy z = 0f (z ) = (z )2 C \ {0}
f z0 = (x0, y0)
f 0(z0) = lim∆z!0
f (z0 +∆z )� f (z0)∆z
.
∆z∆z = ∆x
f 0(z0) = lim∆x!0
f (z0 +∆x )� f (z0)∆x
= lim∆x!0
f (x0 +∆x , y0)� f (x0, y0)∆x
=∂ f∂ x(x0, y0) .
∆z = i ∆y
f 0(z0) = limi ∆y!0
f (z0 + i∆y )� f (z0)i ∆y
= lim∆y!0
1i
f (x0, y0 +∆y )� f (x0, y0)∆y
= �i∂ f∂ y(x0, y0) .
f 0(z0) = fx (z0) = �i fy (z0)
fx fy z0f 0(z0) = fx (z0)
fx (z0) =∆x + i ∆y
∆zfx (z0) =
∆x∆z
fx (z0) +∆y∆z
i fx (z0) =∆x∆z
fx (z0) +∆y∆z
fy (z0) .
f 0(z0)
f (z0 +∆z )� f (z0)∆z
=f (z0 +∆z )� f (z0 +∆x ) + f (z0 +∆x )� f (z0)
∆z
=f (z0 +∆x + i∆y )� f (z0 +∆x )
∆z+
f (z0 +∆x )� f (z0)∆z
.
lim∆z!0
f (z0 +∆z )� f (z0)∆z
� fx (z0)
= lim∆z!0
∆y∆z
✓
f (z0 +∆x + i∆y )� f (z0 +∆x )∆y
� fy (z0)◆
+ lim∆z!0
∆x∆z
✓
f (z0 +∆x )� f (z0)∆x
� fx (z0)◆
.
0∆x∆z
∆y∆z 1
00
fx (z0) = lim∆x!0
f (z0 +∆x )� f (z0)∆x
∆z ! 0 ∆x ! 0∆x
∆y ∆z ! 0u(z ) v (z )
f (z ) 0 < a, b < 1
u(x0 +∆x , y0 +∆y )� u(x0 +∆x , y0)∆y
= uy (x0 +∆x , y0 + a ∆y )
v (x0 +∆x , y0 +∆y )� v (x0 +∆x , y0)∆y
= vy (x0 +∆x , y0 + b ∆y ) .
f (z0 +∆x + i ∆y )� f (z0 +∆x )∆y
� fy (z0)
=✓
u(x0 +∆x , y0 +∆y )� u(x0 +∆x , y0)∆y
� uy (z0)◆
+ i✓
v (x0 +∆x , y0 +∆y )� v (x0 +∆x , y0)∆y
� vy (z0)◆
=�
uy (x0 +∆x , y0 + a ∆y )� uy (x0, y0)�
+i�
vy (x0 +∆x , y0 + b ∆y )� vy (x0, y0)�
.
uy vy (x0, y0)
lim∆z!0
uy (x0 +∆x , y0 + a ∆y ) = uy (x0, y0)
lim∆z!0
vy (x0 +∆x , y0 + b ∆y ) = vy (x0, y0) ,
∆z ! 0
0
I f : I !Rf 0(x ) 0 x 2 I c 2Rf (x ) = c x 2 I
x , y 2 I
f (y )� f (x ) = f 0�
x + a(y � x )�
(y � x )
0 < a < 1 f 0(x + a(y � x )) = 0f (y ) = f (x ) x , y 2 I f
I
0f
ff
I
f : {x + i y 2C : x 6= 0}!C
f (z ) :=
8
<
:
1 Re z > 0,
2 Re z < 0,
f 0(z ) = 0 z f f
C
G ✓C f : G !Cf 0(z ) 0 z 2 G f
fG
H Gy0 2R z 2 H Im(z ) = y0
u(z ) f (z ) z 2 H Im(z ) = y0 Hu(z ) = u(x , y0) x z = x+i y0f 0(z ) = 0 z 2 H ux (z ) = Re( f 0(z )) = 0
u(z ) Hv (z ) f (z )
H vx (z ) = Im( f 0(z )) = 0 Hf (z ) H f (z ) H
fG x y G
f (x ) = f (y )f
G
zo 2C limz!z0(az+b ) = az0+b
limz!i
i z 3�1z+i lim
z!1�i(x + i (2x + y ))
f : G ! C z0 Glimz!z0
f (z ) = 0 limz!z0| f (z )| = 0
f (z ) =x 2 y
x 4 + y2z = x + i y 6= 0 .
f 0limz!0
f (z )y = x 2
f :C!C f (z ) = z 2 C
g :C!C
g (z ) =
8
<
:
zz z 6= 0 ,
1 z = 0
C \ {0}
f :C!C
f (z ) =
8
<
:
0 z = 0 |z |1q |z | = p
q 2Q \ {0}
f (z ) =
8
<
:
0 z = 0,
sinφ z = r e iφ 6= 0.
z0 G z0G
f : C \ {0} ! C f (z ) = 1z
f 0(z ) = � 1z 2
T (z ) := az+bc z+d a, b , c , d 2 C
ad � b c 6= 0 T 0(z ) = 0
f (z ) z ff (z ) x = Re z y = Im z
u v f (z ) =u(x , y )+ i v (x , y ) u v f
f (z ) = e�x e�i y
f (z ) = 2x + i x y2
f (z ) = x 2 + i y2
f (z ) = e x e�i y
f (z ) = cos x cosh y � i sin x sinh y
f (z ) = Im z
f (z ) = |z |2 = x 2 + y2
f (z ) = z Im z
f (z ) = i x+1y
f (z ) = 4(Re z )(Im z )� i (z )2
f (z ) = 2x y � i (x + y )2
f (z ) = z 2 � z 2
f (z ) = 0 Re(z ) · Im(z ) = 0 f (z ) = 1 Re(z ) · Im(z ) 6= 0f z = 0 f
z = 0
f G ✓Cf Gf 0 = 0
f (z ) f (z ) G ✓C f (z )G
f f (z ) = v (x ) + i u(y )f x = Re(z ) f
y = Im(z ) f (z ) = az + b a 2R b 2C
f u v u(z ) v (z ) =3 z f
∂ u∂ r=
1r
∂v∂φ
1r
∂ u∂φ= �∂v
∂ r.
u v u + i v
u(x , y ) = x 2 � y2
u(x , y ) = cosh(y ) sin(x )
u(x , y ) = 2x 2 + x + 1� 2y2
u(x , y ) = xx 2+y2
u(x , y ) = xx 2+y2 C u(x , y ) = x 2
x 2+y2
u(x , y ) = ax 2 +b x y + c y2 , a b c
u a = �c
uf (z ) = Az 2 A 2C A a b c
f 0
G ✓C f : G !Cf 00(z ) 0 z 2 G f (z ) = az + b a, b 2
C f 0(z ) = af (z )� az
f (z ) = az + bc z + d
a, b , c , d 2C ad � b c 6= 0 f
zf (z ) = az+b
c z+d C \ {� dc }
c = 0 f c 6= 0 az+bc z+d =
ac ad � b c = 0
f (z ) = az+bc z+d
ac
a, b , c , d 2 C c 6= 0 f : C \ {� dc } ! C \ { a
c }f (z ) = az+b
c z+d f �1 :C \ { ac }!C \ {� d
c }
f �1(z ) = d z � b�c z + a
.
f �1(z ) c = 0f C
f (z ) = z�1i z+i
C \ {�1}
z � 1i z + i
= w () z = i w + 1�i w + 1
,
f �1(z ) = i z+1�i z+1 C \ {�i}
f f (z1) = f (z2)
az1 + bc z1 + d
=az2 + bc z2 + d
,
(az1 + b )(c z2 + d ) = (az2 + b )(c z1 + d )
(ad � b c )(z1 � z2) = 0 .
ad � b c 6= 0 z1 = z2 fg (z ) = d z�b
�c z+af g
f :C \ {� dc }!C \ { a
c }
f (z ) = az+bc z+d
f 0(z ) =a(c z + d )� c (az + b )
(c z + d )2=
ad � b c(c z + d )2
f (z ) = z + b f (z ) = azf (z ) = 1
z
f (z ) = az+bc z+d
c = 0f (z ) = a
dz + b
d,
c 6= 0
f (z ) = b c � adc 2
1z + d
c
+ac
.
f (z ) = z�1i z+i φ 2R
f (e iφ) =e iφ � 1i e iφ + i
=(e iφ � 1) (e�iφ + 1)
i |e iφ + 1|2
=e iφ � e�iφ
i |e iφ + 1|2=
2Im (e iφ)|e iφ + 1|2
=2 sinφ|e iφ + 1|2
,
f
f (z ) = 1z
x0+i y0 r (x�x0)2+(y� y0)2 =r 2
α(x 2 + y2) + βx + γ y + δ = 0
α β γ δ β2 + γ2 > 4αδ
α = 0z = x + i y u + i v := 1
z
u + i v =x � i yx 2 + y2
,
0 = α+ βx
x 2 + y2+ γ
yx 2 + y2
+δ
x 2 + y2
= α+ βu � γv + δ(u2 + v2) .
u + i v
f
f : G !C
limz!z0f (z ) =1 M > 0 δ > 0
z 2 G 0 < |z � z0| < δ | f (z )| >M
limz!1 f (z ) = L ε > 0 N > 0z 2 G |z | >N | f (z )� L| < ε
limz!1 f (z ) =1 M > 0 N > 0z 2 G |z | >N | f (z )| >M
z0 G1 G
B > 0 z 2 G |z | > B
limz!01z 2 =1 M > 0 δ := 1p
M0 < |z | < δ
| f (z )| =�
�
�
�
1z 2
�
�
�
�
>1δ2= M .
f (z ) = az+bc z+d c 6= 0
limz!1 f (z ) = ac
L := |ad � b c | ε > 0N := L
|c |2ε +�
�
�
dc
�
�
�
|z | > N
|c z + d | � �
�|c ||z |� |d |�� � |c ||z |� |d | > L|c |ε
�
�
�
�
f (z )� ac
�
�
�
�
=�
�
�
�
�
c (az + b )� a(c z + d )c (c z + d )
�
�
�
�
�
=L
|c | |c z + d | < ε .
1 C ±1 RC 1
11
limz!z0f (z ) =1 limz!z0
g (z ) = alimz!z0
( f (z ) + g (z )) =1
C :=C[ {1}a 2C
1+ a = a +1 =1
a 6= 0 1 · a = a ·1 =1
1 ·1 =1
a1 = 0
a 6= 0 a0 =1 .
CP1
11+1
z +(�z ) = 0 z !1 0z �z 1
1f (z ) = 1
z z = 0 z =1 f (0) =1 f (1) = 0f (z ) C
f (z ) = z + bz =1 f (1) =1 + b =1 f (z ) = az
a 6= 0 z =1 f (1) = a ·1 =1
C C
ad � b c 6= 0 c 6= 0 f : C! C
f (z ) :=
8
>
>
<
>
>
:
az+bc z+d z 2C \
�
� dc
,
1 z = � dc ,
ac z =1 .
f
c = 0 f (1) =1
f (z ) = z�1i z+i f (�1) =1 f (1) = �i
f C! C
1f (z ) = z�1
i z+i�1
f C \ {�1}z = �1
f C C z = �1 f�1 1
1 C1 1
C
CC
11
f : C! C f (z ) = z�1i z+i
1 7! 0 , i 7! 1 , � 1 7!1 .
1 i �1 1C
f RC
z z1 z2 z3 C z1 z2 z3
[z , z1, z2, z3] :=(z � z1)(z2 � z3)(z � z3)(z2 � z1)
.
[z3, z1, z2, z3] =1 z z1 z2z3 1 1 [z ,1, z2, z3] =
z2�z3z�z3
f (z ) = z�1i z+i f (z ) =
[z , 1, i ,�1]
f : C! C f (z ) = [z , z1, z2, z3]
f (z1) = 0 , f (z2) = 1 , f (z3) =1 .
g g (z1) = 0 g (z2) = 1g (z3) =1 f g
1f �1
h := g � f �1
h(0) = g ( f �1(0)) = g (z1) = 0 h(1) = 1h(1) =1 h(z ) = az+b
c z+d
0 = h(0) = bd
=) b = 0
1 = h(1) = ac
=) c = 0
1 = h(1) = a + bc + d
=a + 00+ d
=ad
=) a = d
h(z ) = az + bc z + d
=az + 00+ d
=ad
z = z ,
h = g � f �1 f g
C 0 1 1
z1 z2 z3 w1 w2w3
z1 z2 z3 C w1 w2 w3C h
h(z1) = w1 h(z2) = w2 h(z3) = w3
h = g �1 � f f (z ) = [z , z1, z2, z3] g (w ) = [w, w1, w2, w3]
h zj wj
h f (zj ) = wj
a b c d
1 C
R3
C (x , y ) R3 C = {(x , y, 0) 2R3}
x + i y
S2 :=�
(x , y, z ) 2R3 : x 2 + y2 + z 2 = 1
.
{(x , y, 0) : x 2+ y2 = 1}
N := (0, 0, 1) S2 S := (0, 0,�1)
........................................................
.........
...........
......................................................
S2 C N φ : S2! CP 2 S2 \ {N } z P
N P C Qφ(P ) :=Q φ(N ) :=1
φ
φ(x , y, z ) =
8
<
:
� x1�z , y
1�z , 0�
z 6= 1 ,
1 z = 1 .
φ�1(p, q , 0) =✓
2 pp2 + q2 + 1
,2q
p2 + q2 + 1,
p2 + q2 � 1p2 + q2 + 1
◆
φ�1(1) = (0, 0, 1)
P = (x , y, z ) 2 S2 \ {N } N P
r (t ) = N + t (P �N ) = (0, 0, 1)+ t [(x , y, z )� (0, 0, 1)] = (t x , t y, 1+ t (z �1))
t 2R r (t ) C 0 t = 11�z
t r φφ�1 Q = (p, q , 0) 2
C P = (x , y, z ) 2 S2 φ(P ) = Q Px 2 + y2 + z 2 = 1 φ(P ) = Q x
1�z = py
1�z = q
p2 + q2 =x 2 + y2
(1� z )2=
1� z 2
(1� z )2=
1+ z1� z
.
p2 + q2 = 1+z1�z z x = p(1� z )
y = q (1� z ) φ �φ�1
φ�1 �φ
φ S2
C γ ⇢ S2 12φ(γ) φ(γ)C N 2 γ
S2 S2 H (x0, y0, z0)H k H
H =�
(x , y, z ) 2R3 : (x , y, z ) · (x0, y0, z0) = k
=�
(x , y, z ) 2R3 : x x0 + y y0 + z z0 = k
.
k (x0, y0, z0) 2 S2
0 k 1 k < 0 (x0, y0, z0) (�x0,�y0,�z0)k > 1 H \ S2 = ?
H \S2 (p, q , 0)φ φ�1(p, q , 0)
H φ�1(p, q , 0)
(z0 � k )p2 + (2x0)p + (z0 � k )q2 + (2y0)q = z0 + k .
z0 � k = 0 (p, q )(p, q ) z0 = k N 2 H
φz0 � k 6= 0
✓
p +x0
z0 � k
◆2+✓
q +y0
z0 � k
◆2=
1� k2
(z0 � k )2.
(p, q )k < 1 k = 1 k > 1S2
(p, q )
R3
f (z ) = e iθ z φ�1
S2
f (z ) = r z f (z ) = z + b
f (z ) = 1z
S2 (x , y, z ) 2 S2
φ fS2 φ�1
φ(x , y, z ) = ( x1�z , y
1�z , 0)
p + i q = x1� z
+ iy
1� z.
p2 + q2 = 1+z1�z x 2 + y2 =
(1+ z )(1� z )
fÅ x
1� z+ i
y1� z
ã
=1� zx + i y
=(1� z )(x � i y )
x 2 + y2=
x1+ z� i
y1+ z
.
φ�1
φ(x , y, z ) =( x
1�z , y1�z , 0) (x ,�y,�z )
f (z ) = 1z S2 (x , y, z )
(x ,�y,�z ) xf (z ) = 1
zC S2 φ�1 f (z ) = 1
zφ
f (z ) = 1z
(0, 0,�1) φ�1
C S2
xN φ C
S2 R3
S2
Cz
N 1 CS2 S2
N
e i t = cos t + i sin t
exp : C ! C z =x + i y
exp(z ) := e x (cos y + i sin y ) = e x e i y .
z , z1, z2 2C
exp (z1) exp (z2) = exp (z1 + z2)
1exp(z ) = exp (�z )
exp (z + 2πi ) = exp (z )
|exp (z )| = exp (Re z )
exp(z ) 6= 0
dd z exp (z ) = exp (z ) .
2πi
expexp
f (z ) = exp(z )
∂ f∂ x= e x (cos y + i sin y )
∂ f∂ y= e x (� sin y + i cos y ) .
e x =P
k�01k ! x k
C
∂ f∂ x(z ) = �i
∂ f∂ y(z )
z 2C f (z ) = exp(z )
f 0(z ) =∂ f∂ x(z ) = exp(z ) .
z = x 2R
exp(x ) = e x (cos 0+ i sin0) = e x .
sin z := 12i (exp(i z )� exp(�i z )) cos z := 1
2 (exp(i z ) + exp(�i z )) ,
tan z := sin zcos z
= �iexp(2i z )� 1exp(2i z ) + 1
cot z := cos zsin z
= iexp(2i z ) + 1exp(2i z )� 1
,
exp(z ) exp(�z ) = exp(0) = 1 exp sincos
z = x 2R
sin z = 12i (exp(i x )� exp(�i x ))
= 12i (cos x + i sin x � cos(�x )� i sin(�x )) = sin x .
z , z1, z2 2C
sin(�z ) = � sin z cos(�z ) = cos z
sin(z + 2π) = sin z cos(z + 2π) = cos z
tan(z + π) = tan z cot(z + π) = cot z
sin(z + π2 ) = cos z cos(z + π
2 ) = � sin z
sin (z1 + z2) = sin z1 cos z2 + cos z1 sin z2
cos (z1 + z2) = cos z1 cos z2 � sin z1 sin z2
cos2 z + sin2 z = 1 cos2 z � sin2 z = cos(2z )ddz
sin z = cos z ddz
cos z = � sin z .
sin(i y ) y ! ±1
sinh z = 12 (exp(z )� exp(�z )) cosh z = 1
2 (exp(z ) + exp(�z ))
tanh z = sinh zcosh z
=exp(2z )� 1exp(2z ) + 1
coth z = cosh zsinh z
=exp(2z ) + 1exp(2z )� 1
.
ddz
sinh z = cosh z ddz
cosh z = sinh z .
sinh(i z ) = i sin z cosh(i z ) = cos z .
exp( (z )) = z = (exp z ) .
expf (z ) = (z ) +
2πi expexp
G : G !Cexp( z ) = z G
z = r e iφ
z = u(z ) + i v (z )
exp( z ) = e u e i v = r e iφ = z ,
e u = r e i v = e iφ v =φ+ 2πkk 2 Z x
ln(x ) u = ln |z |z = ln |z |+ i z z
z
Arg z z 6= 0 (�π,π]z Log :
C \ {0}!C
Log(z ) := ln |z |+ i Arg(z ) .
Log
Log(2) = ln(2) + i Arg(2) = ln(2)
Log(i ) = ln(1) + i Arg(i ) = πi2
Log(�3) = ln(3) + i Arg(�3) = ln(3) + πi
Log(1� i ) = ln(p
2) + i Arg(1� i ) = 12
ln(2)� πi4
.
Log C\R0G G \{0}
z0 Log(z0)2πi
(exp z ) = zz = x + i y
Log(exp z ) = ln |e x e i y |+ i Arg(e x e i y ) = ln e x + i Arg(e i y ) = x + i Arg(e i y ) .
z = x + i y y 2 (�π,π]
z (exp z ) 6= z
ln(x y ) = ln(x ) + ln(y ) C
Log(i ) + Log(i � 1) = i π2 + lnp
2+ 3πi4 = 1
2 ln2+ 5πi4
Log(i (i � 1)) = Log(�1� i ) = 12 ln2� 3πi
4 .
arg z := z
log z := ln |z |+ i arg z .
arg log exp(log z ) = z
log
GG
ddz
(z ) = 1z
.
expH := { (z ) : z 2 G}
f : H ! G f (z ) = exp(z )g : G ! H g (z ) = (z ) g
f g
0(z ) = 1exp0( z )
=1
exp( z )=
1z
.
a, b 2C a 6= 0 ab
ab := exp(b Log(a)) .
ab
logab
f (z ) = e z
e e = limn!1�
1+ 1n
�n
f (x ) = e x
az
e Arg e = 0
e z = exp(z Log(e )) = exp (z (ln |e |+ i Arg(e ))) = exp (z ln(e )) = exp (z ) .
ab
ab e z 6= exp(z )
f (z ) = az+bc z+d f �1(z ) = d z�b
�c z+a
c = 0 f : C! C f (z ) = az+bd
f �1(z )
β2 + γ2 > 4αδx + i y u + i v
f (z ) = z�1i z+i
�1
f zf (z ) = z
e2πi = 1
f (z ) = 1+z1�z
z = 1
f G f (G )f
a 2C |a| < 1
fa(z ) := z � a1� az
.
fa(z )
f �1a (z ) = f�a(z )
fa(z ) D[0, 1]
A =ñ
a bc d
ô
2⇥ 2 ad � b cC TA(z ) =
az+bc z+d
TA � TB = TA·B � ·
Ca 2C
limz!z0f (z ) =1 limz!z0
g (z ) = a limz!z0( f (z )+ g (z )) =1 .
limz!z0f (z ) =1 limz!z0
g (z ) = a 6= 0 limz!z0( f (z ) · g (z )) =
1 .
limz!z0f (z ) = limz!z0
g (z ) =1 limz!z0( f (z ) · g (z )) =1 .
limz!z0f (z ) =1 limz!z0
g (z ) = a limz!z0
g (z )f (z ) = 0 .
limz!z0f (z ) = 0 limz!z0
g (z ) = a 6= 0 limz!z0
g (z )f (z ) =1 .
c0, c1, . . . , cd�1 2C
limz!1
1+cd�1
z+
cd�2z 2+ · · ·+ c0
z d= 1 .
f (z ) = 2zz+2
z w0 ±2 1 �1� i
x 1
y 1
x = y 1
2 0
1 1
1 �1
az+bc z+d
1! 0, 2! 1, 3!1
1! 0, 1+ i ! 1, 2!1
0! i , 1! 1, 1!�i .
zk
C [1+ i , 1] 1
γ γγ 0 1
2
|z | < 1 w = i z�iz+1
x > 0, y > 0 w = z�iz+i
0 < x < 1 w = zz�1
{x+ i y 2C : x+ y >0}
u = u(x , y ) v = v (x , y )2
4
∂ u∂ x
∂ u∂ y
∂v∂ x
∂v∂ y
3
5 .
f = u + i v | f 0(z )|2
C f (z ) = z 2�12z+1
f
f 0! 1 1!1 1! 0
f 1! 1 �1! i �i !�1
f x y = x y y = �x
{x + i y 2 C :x + y = 0}
{z 2C : |z | < 1}{x + i y 2C : x + y > 0}{x + i y 2C : x + y < 0} ,
a 2 R \ {0} y = a�i2a
12a
z1 z2 z3 C zz1 z2 z3 [z , z1, z2, z3] 1
φ �φ�1 φ�1 �φ
φ(0, 0,�1), (0, 0, 1), (1, 0, 0), (0, 1, 0), (1, 1, 0)
H x + y � z = 0H H \ S2 φ
CS2 φ
S2 N S N SN
sin(z ) = sin(z ) cos(z ) = cos(z )
z = x + i y
sin z = sin x cosh y + i cos x sinh y
cos z = cos x cosh y � i sin x sinh y
sin zπ
exp(z )
z = i y, 0 y 2π
z = 1+ i y, 0 y 2π
{z = x + i y 2C : 0 x 1, 0 y 2π} .
z = x + i y
|sin z |2 = sin2 x + sinh2 y = cosh2 y � cos2 x
|cos z |2 = cos2 x + sinh2 y = cosh2 y � sin2 x
cos x = 0
|cot z |2 = cosh2 y � 1cosh2 y
1 .
|y | � 1
|cot z |2 sinh2 y + 1sinh2 y
= 1+ 1sinh2 y
1+ 1sinh2 1
2 .
tan(i z ) = i tanh(z )
{z 2 C : � π2 < Re z < π
2 }
x = A sin t y = B cos tx = A cosh t y = B sinh t
Log(2i )
(�1)i
Log(�1+ i ) .
x + i y
e iπ
eπ
i i
e sin(i )
exp(Log(3+ 4i ))
(1+ i ) 12
p3 (1� i )
Ä
i+1p2
ä4.
arg(z ) = � arg(z )Arg(z ) = �Arg(z )
log(z 2) 2 log zz
z 2
sin zz 3+1
(z � 2i + 1) (z ) = ln |z |+ i (z ) 0 (z ) < 2π
exp(z )
(z � 3)i
i z�3 .
Log(z ) = πi2 Log(z ) = 3πi
2
exp(z ) = πi
sin(z ) = cosh(4)
cos(z ) = 0
sinh(z ) = 0
exp(i z ) = exp(i z )
z 12 = 1+ i .
1 < |z | < e
LogC \R0 .
G H := { (z ) : z 2 G}: G ! H
f (z ) : H ! G f (z ) = exp(z ) fH
|az | = aRe z a
c 2C \ {0} f (z ) = z c
exp(b log a) bz n
b
exp y = x
x = t , y = tt !1 t !�1
f (z ) = z 2
f
f
T 0 22 2i 2i 0 T
f (T )
f (z ) = z 2 Q0 2 2+2i 2i f (Q )
2 2+ 2i 2+ 2i 2i
z (t ) = 2+ i t u + i v = f (z (t )) (u, v )
//
exp
�5π 6�π 30π 35π 6
�10
12
R ba f (x ) dx
a ba b
a, b 2R g : [a, b ]!CZ b
ag (t ) dt :=
Z b
aRe g (t ) dt + i
Z b
aIm g (t ) dt .
R2
γ
γ γ(t ), a t b fγ f γ
Z
γf =
Z
γf (z ) dz :=
Z b
af (γ(t ))γ 0(t ) dt .
γγ(t ), a t b [a, c1] [c1, c2]
[cn�1, cn] [cn , b ] f γ
Z
γf :=
Z c1
af (γ(t ))γ 0(t ) dt +
Z c2
c1
f (γ(t ))γ 0(t ) dt + · · · +Z b
cn
f (γ(t ))γ 0(t ) dt .
f :C!C f (z ) = z 2 1+ i
γ 0 1+ iγ(t ) = t + i t , 0 t 1 γ 0(t ) = 1+ i f (γ(t )) = (t � i t )2
Z
γf =
Z 1
0(t � i t )2 (1+ i ) dt = (1+ i )
Z 1
0(t 2 � 2i t 2 � t 2) dt
= �2i (1+ i )3
=23(1� i ) .
γ y = x 2 0 1+ iγ(t ) = t + i t 2, 0 t 1 γ 0(t ) = 1+ 2i t
f (γ(t )) = (t � i t )2 = t 2 � t 4 � 2i t 3 ,
Z
γf =
Z 1
0(t 2 � t 4 � 2i t 3) (1+ 2i t ) dt =
Z 1
0(t 2 + 3t 4 � 2i t 5) dt
=13+ 31
5� 2i 1
6=
1415� i
3.
γ γ1 0 1 γ2 11+i γ1(t ) = t , 0 t 1 γ2(t ) = 1+i t , 0 t 1
ci
Z
γf =
Z
γ1
f +Z
γ2
f =Z 1
0t 2 dt +
Z 1
0(1� i t )2 i d t
=13+ i
Z 1
0(1� 2i t � t 2) dt
=13+ i
Å
1� 2i 12� 1
3
ã
=43+
23
i .
γγ(t ), a t b σ(t ), c t d
σ γ[c , d ] [a, b ] γ σ σ = γ � τ
γ(t ), a t bσ(t ), c t d γ
Z d
cf (σ(t ))σ0(t ) dt =
Z b
af (γ(t ))γ 0(t ) dt .
γ(t ) = e i t , 0 t 2π , σ(t ) = e2πi sin(t ), 0 t π2 ,
R
γ f
Z
γf = i
Z 2π
0f�
e i t � e i t d t
Z
γf = 2πi
Z
π2
0fÄ
e2πi sin(t )ä
e2πi sin(t ) cos(t ) dt .
γ
length(γ) :=Z b
a
�
�
�
γ 0(t )�
�
�
dt
γ(t ) a t b
γ 0 1+ iγ(t ) = t + i t 0 t 1 γ 0(t ) = 1+ i
length(γ) =Z 1
0|1+ i | dt =
Z 1
0
p2 dt =
p2 .
γ γ(t ) = e i t
0 t 2π γ 0(t ) = i e i t
length(γ) =Z 2π
0|i e i t | dt =
Z 2π
0dt = 2π .
γ f gγ c 2C
Z
γ( f + c g ) =
Z
γf + c
Z
γg .
γ γ(t ), a t b �γ �γ(t ) :=γ(a + b � t ), a t b
Z
�γf = �
Z
γf .
γ1 γ2 γ2 γ1γ1γ2 γ1 γ2
Z
γ1γ2
f =Z
γ1
f +Z
γ2
f .
�
�
�
�
�
Z
γf�
�
�
�
�
maxz2γ| f (z )| · length(γ) .
�γ γ
s = a + b � t
Z
�γf =
Z b
af (γ(a + b � t )) (γ(a + b � t ))0 dt
= �Z b
af (γ(a + b � t ))γ 0(a + b � t ) dt
=Z a
bf (γ(s ))γ 0(s ) ds = �
Z b
af (γ(s ))γ 0(s ) ds = �
Z
γf .
γ(t ) γ1γ2 γ1 [a1, b1]γ2 [a2, b2]
γ(t ) :=
8
<
:
γ1(t ) a1 t b1 ,
γ2(t � b1 + a2) b1 t b1 + b2 � a2 ,
[a1, b1 + b2 � a2] γ1γ2s = t � b1 + a2
Z
γ1γ2
f =Z b1+b2�a2
a1
f (γ(t ))γ 0(t ) dt
=Z b1
a1
f (γ(t ))γ 0(t ) dt +Z b1+b2�a2
b1
f (γ(t ))γ 0(t ) dt
=Z
γ1
f +Z
γ2
f .
γ [a1, b1] γ1 γ [b1, b1 +b2 � a2] γ2
φ =Ä
ArgR
γ fä
R
γ f =�
�
�
R
γ f�
�
�
e iφ�
�
�
R
γ f�
�
�
2R�
�
�
�
�
Z
γf�
�
�
�
�
= e�iφZ
γf = Re
✓
e�iφZ b
af (γ(t ))γ 0(t ) dt
◆
=Z b
aRe
�
f (γ(t ))e�iφγ 0(t )�
dt
Z b
a
�
�
�
f (γ(t ))e�iφγ 0(t )�
�
�
dt =Z b
a| f (γ(t ))|
�
�
�
γ 0(t )�
�
�
dt
maxatb| f (γ(t ))|
Z b
a
�
�
�
γ 0(t )�
�
�
dt = maxz2γ| f (z )| · length(γ) .
Z
γ
dzz �w
= 2πi ,
γ w 2 C�2πi
γ r
2π =�
�
�
�
�
Z
γ
dzz �w
�
�
�
�
�
maxz2γ
�
�
�
�
1z �w
�
�
�
�
length(γ) = 1r· 2π r .
CF G ✓ C F 0(z ) = f (z )
z 2 G F f G f G
F (z ) = z 2
f (z ) = 2z F f G ✓CF (z ) = z 2 + c c 2C
ddz
Å 12i(exp(i z )� exp(�i z ))
ã
=12(exp(i z ) + exp(�i z )) ,
F (z ) = sin z f (z ) = cos z CF (z ) = Log(z ) f (z ) = 1
zC \R0 f C \ {0}
f
G ✓C γ ⇢ Gγ(t ) a t b f G F
f GZ
γf = F (γ(b ))� F (γ(a)) .
dd t F (γ(t )) = f (γ(t ))γ 0(t )
Z
γf =
Z b
af (γ(t ))γ 0(t ) dt = F (γ(b ))� F (γ(a)) .
F (z ) = 12 z 2 f (z ) = z C
Z
γf = 1
2(1+ i )2 � 1
202 = i
γγ(a) = γ(b )
G ✓C γ ⇢ Gf G G
Z
γf = 0 .
f : C \ {0}! C f (z ) = 1z
R
γ f =2πi γ ⇢C \ {0} f
C \ {0}
G ✓ C z0 2 G f : G ! CR
γ f = 0 γ ⇢ GF : G !C
F (z ) :=Z
γz
f ,
γz G z0 z fG
F Fz0 z F 0(z ) = f (z ) z 2 G
G ✓ C z0 2 G f : G ! CR
γ f = 0 γ ⇢ GR
σ fσ ⇢ G z0 z 2 G
σ1 σ2
σ1 σ2
Z
σ1
f �Z
σ2
f =Z
σ1�σ2
f = 0 .
F (z ) :=Z
γz
f
F (z + h)� F (z ) =Z
γz+h
f �Z
γz
f =Z
γf
γ ⇢ G z z + h 1z C R
γ 1 = h
F (z + h)� F (z )h
� f (z ) = 1h
Z
γf (w ) dw � f (z )
h
Z
γdw
=1h
Z
γ( f (w )� f (z )) dw .
|h | λ z z + hG
F (z + h)� F (z )h
� f (z ) = 1h
Z
γ( f (w )� f (z )) dw = 1
h
Z
λ( f (w )� f (z )) dw .
h! 0ε > 0 δ > 0
|w � z | < δ =) | f (w )� f (z )| < ε
f z δ|h | < δ
�
�
�
�
1h
Z
λ( f (w )� f (z )) dw
�
�
�
�
1|h | max
w2λ| f (w )� f (z )| length(λ)
= maxw2λ| f (w )� f (z )| < ε .
G ✓ C z0 2 G f : G ! CR
γ f = 0 γ ⇢ GF : G !C
F (z ) :=Z
γz
f ,
γz G z0 z f G
R
γ0 γ1 G ✓Cγ0(t ), 0 t 1 γ1(t ), 0 t 1 γ0 G
γ1 h : [0, 1]2! G s , t 2 [0, 1]
h(t , 0) = γ0(t ) ,
h(t , 1) = γ1(t ) ,
h(0, s ) = h(1, s ) .
γ1 ⇠G γ2 γ1 G γ2
h(t , s ) s h(t , s )t s 0 1
γ0 γ1
(C \ {0})±3± 3i
h(t , s ) := (1� s )e2πi t + 3s ⇥
8
>
>
>
>
>
>
>
>
>
<
>
>
>
>
>
>
>
>
>
:
1+ 8i t 0 t 18 ,
2� 8t + i 18 t 3
8 ,
�1+ 4i (1� 2t ) 38 t 5
8 ,
8t � 6� i 58 t 7
8 ,
1+ 8i (t � 1) 78 t 1
h(t , s ) 6= 0 0 t , s 1 (C \{0})
(C \ {0})
⇠G
G⇠G
G ✓C fG γ0 γ1 G γ0 ⇠G γ1
Z
γ0
f =Z
γ1
f .
f
Z
γ
dzz= 2πi
γ
f (z ) = 1z G =C\{0}
γ G f2πi
f 0 G
h γ0 γ1
h
h(t , s ) =
8
>
>
>
>
>
>
<
>
>
>
>
>
>
:
h1(t , s ) 0 t t1 ,
h2(t , s ) t1 t t2 ,
hn(t , s ) tn�1 t 1 ,
hj (t , s )
0 s 1 γs h(t , s ), 0 t 1I : [0, 1]!C
I (s ) :=Z
γs
f ,
I (0) =R
γ0f I (1) =
R
γ1f I
I (0) = I (1)
dds
I (s ) = dds
Z 1
0f (h(t , s )) ∂ h
∂ tdt =
Z 1
0
∂∂ s
✓
f (h(t , s )) ∂ h∂ t
◆
dt
=Z 1
0
✓
f 0 (h(t , s )) ∂ h∂ s
∂ h∂ t+ f (h(t , s )) ∂2h
∂ s ∂ t
◆
dt
=Z 1
0
✓
f 0 (h(t , s )) ∂ h∂ t
∂ h∂ s+ f (h(t , s )) ∂2h
∂ t ∂ s
◆
dt
=Z 1
0
∂∂ t
✓
f (h(t , s )) ∂ h∂ s
◆
dt .
hf 0
h
h t = ti
dds
I (s ) =Z 1
0
∂∂ t
✓
f (h(t , s )) ∂ h∂ s
◆
dt
= f (h(1, s )) ∂ h∂ s(1, s )� f (h(0, s )) ∂ h
∂ s(0, s ) = 0 ,
h(0, s ) = h(1, s ) s
G ✓ C γ Gγ G γ ⇠G 0
(C \R)
G ✓C f G γγ ⇠G 0
Z
γf = 0 .
Log G =C\R0 γG
Z
γLog(z ) dz = 0 .
C
f γ
Z
γf = 0 .
Z
γ
dzz 2 � 2z
γ
Z
γ
dzz 2 � 2z
=12
Z
γ
dzz � 2
� 12
Z
γ
dzz
.
f (z ) = 1z�2 f C\{2} γ (C\{2})
2πi
Z
γ
dzz 2 � 2z
= �πi .
C [a, r ] = {z 2C : |z � a| = r }D[a, r ] = {z 2C : |z � a| < r }D[a, r ] = {z 2C : |z � a| r }
a 2Cr > 0 C [a, r ]
f D[w, R]
f (w ) = 12πi
Z
C [w,R]
f (z )z �w
dz .
f (z ) z C [w, R]f (w )
f = u + i v D[w, R]
f (w ) = 12π
Z 2π
0f�
w + R e i t � dt ,
u(w ) = 12π
Z 2π
0u�
w + R e i t � dt v (w ) = 12π
Z 2π
0v�
w + R e i t � dt .
fG D[w, R] f (z )
z�w H := G \ {w}0 < r < R
C [w, r ] ⇠H C [w, R] ,
�
�
�
�
�
Z
C [w,R]
f (z )z �w
dz � 2πi f (w )�
�
�
�
�
=�
�
�
�
�
Z
C [w,r ]
f (z )z �w
dz � f (w )Z
C [w,r ]
dzz �w
�
�
�
�
�
=�
�
�
�
�
Z
C [w,r ]
f (z )� f (w )z �w
dz�
�
�
�
�
maxz2C [w,r ]
�
�
�
�
f (z )� f (w )z �w
�
�
�
�
length (C [w, r ])
= maxz2C [w,r ]
| f (z )� f (w )|r
2π r
= 2π maxz2C [w,r ]
| f (z )� f (w )| .
ε > 0 f w δ > 0|z �w | < δ
| f (z )� f (w )| < ε2π
.
z 2 C [w, δ2 ] r = δ
2
�
�
�
�
�
Z
C [w,R]
f (z )z �w
dz � 2πi f (w )�
�
�
�
�
< ε .
ε
f (w ) = 12πi
Z 2π
0
f (w + R e i t )w + R e i t �w
i R e i t d t = 12π
Z 2π
0f�
w + R e i t � dt ,
u(w ) + i v (w ) = 12π
Z 2π
0u�
w + R e i t � dt + i 12π
Z 2π
0v�
w + R e i t � dt .
Z
C [i ,1]
dzz 2 + 1
.
f (z ) = 1z+i C \ {�i} D[i , 1]
Z
C [i ,1]
dzz 2 + 1
=Z
C [i ,1]
1z+i
z � idz = 2πi f (i ) = 2πi 1
2i= π .
C [w, R]γ w
f Gγ R D[w, R] ✓ G
f (z )z�w H := G \ {w} γ ⇠H C [w, R]
f (w ) = 12πi
Z
γ
f (z )z �w
dz .
γ γγ
γ f (w )� f (w )
γγ
γ D[w, R] γγ C [w, R] γ
D[w, R]
γ Gγ G
γ C [w, R]
fG γ w
γ γ ⇠G 0
f (w ) = 12πi
Z
γ
f (z )z �w
dz .
γG G γ γ ⇠G 0
G γ D[w, R]γ G γ C [w, R]
C [w, R] ⇠G 0γ ⇠G 0 G
γ w γG
g (z ) = 1z�w z 6= w g G γ ⇠G 0
R
γ g (z ) dz = 0R > 0 D[w, R] γ C\{w } γ C [w, R]
R
γ g (z ) dz = 2πi
Z
γ
dzz 2 + 1
= π
γ i(C \ {�i})
Z
C [0,3]
exp(z )z 2 � 2z
dz
Z
C [0,3]
exp(z )z 2 � 2z
dz = 12
Z
C [0,3]
exp(z )z � 2
dz � 12
Z
C [0,3]
exp(z )z
dz .
f (z ) = exp(z ) γ
Z
C [0,3]
exp(z )z 2 � 2z
dz = 12
2πi · exp(2)� 12
2πi · exp(0) = πi�
e2 � 1�
.
γ(t ) = 3t + i �1 t 1
γ(t ) = i + e iπ t 0 t 1
γ(t ) = i sin(t ) �π t π
γ(t ) = t � i e�i t 0 t 2π
C [1+ i , 1]
�1� i 2i
C [0, 34]
±1± 2i
f (z ) = z
R
γd zz γ
w 2C r > 0Z
C [w,r ]
dzz �w
= 2πi .
C [0, 2]
f (z ) = z + z
f (z ) = z 2 � 2z + 3
f (z ) = 1z 4
f (z ) = x y
R
γ x dzR
γ y dzR
γ z dzR
γ z dz
z z x ± i y
γ 0 1� i
γ = C [0, 1]
γ = C [a, r ] a 2C
R
γ exp(3z ) dz
γ 1 i
γ = C [0, 3]
γ y = x 2 x = 0 x = 1
R
γ f f γ
f (z ) = z 2 γ(t ) = t + i t 2 0 t 1
f (z ) = z γ 1 i �1
f (z ) = exp(z ) γ 0 z0
f (z ) = |z |2 γ 2 3+ i
f (z ) = z + 1z γ γ(t ) 0 t 1 Imγ(t ) >
0 γ(0) = �4+ i γ(1) = 6+ 2i
f (z ) = sin(z ) γ i π
γγ σ τ
R
σ f σ = γ � τ
f gG γ ⇢ G γ(a) γ(b )
Z
γf g 0 = f (γ(b )) g (γ(b ))� f (γ(a)) g (γ(a))�
Z
γf 0 g .
I (k ) := 12π
R 2π0 e i k t d t
I (0) = 1
I (k ) = 0 k
I ( 12 )
R
C [0,2] z12 dz .
R
γ z n dz = 0 γn 6= �1 n γ
n = �1m γ
R
γ z�1 dz = 2mπi
z0 2 C γz0 γ
n
Z
γ(z � z0)
n dz =
8
<
:
2πi n = �1 ,
0
R
γ z exp(z 2) dz = 0 γ
F (z ) = i2 Log(z + i )� i
2 Log(z � i ) 11+z 2
Re(z ) > 0 F (z ) arctan z
γ 4iZ
γ
z + 1z
dz
Z
γ
dzz 2 + z
Z
γz�
12 dz
Z
γsin2(z ) dz
Z
γ1
z i dz γ1(t ) = e i t , � π2 t π
2
Z
γ2
z i dz γ2(t ) = e i t , π2 t 3π
2
±3± 3i
a 2 C γ0 γ1 aγ0 ⇠C\{a} γ1
⇠G
γ G γ(t ), t 2 [0, 1]τ [0, 1] [0, 1] γ
G γ � τ τs (t ) =s τ(t ) + (1� s )t 0 s 1
C
C
G ✓C f G f 0 γγ ⇠G 0
Z
γf (z ) dz =
Z
γ(u + i v )(dx + i d y ) =
Z
γu dx � v d y + i
Z
γv dx + u d y
a 2C
I (r ) :=Z
C [0,r ]
dzz � a
.
r < |a| r > |a| γr
C \ {a}
p(z ) z γC R
γ p = 0 .
Z
C [0,2]
dzz 3 + 1
= 0
C [0, 2] C [0, r ]r > 1 |RC [0,r ]
d zz 3+1 |
r !1
Z 2π
0
dφ2+ sinφ
z = e iφ
0 < r < 1
12π
Z 2π
0
1� r 2
1� 2r cos(φ) + r 2dφ = 1 .
Pr (φ) := 1�r 2
1�2r cos(φ)+r 2
f g G γG f (z ) = g (z ) z 2 γ f (z ) =
g (z ) z γ
I (r ) :=Z
C [�2i ,r ]
dzz 2 + 1
r 6= 1, 3
Z
C [0,r ]
dzz 2 � 2z � 8
r = 1 r = 3 r = 5
r = 3
Z
C [�1,2]
z 2
4� z 2dz
Z
C [0,1]
sin zz
dz
Z
C [0,2]
exp(z )z (z � 3)
dz
Z
C [0,4]
exp(z )z (z � 3)
dz
f (z ) = 1z 2�1 γ = C [1, 1]
σ = C [�1, 1]R
γ f =R
σ fγ 6⇠G σ G =C \ {±1} f
G z w GG f G f 0 γ
wγ γ ⇠G 0
g : [0, 1]!C
g (t ) :=Z
γ
f (w + t (z �w ))z �w
dz .
g 0 = 0∂ f∂ t (z + t (w � z ))
g (0) g (1)
G
f 0 f 00
f G γG w γ
f 0(w ) = 12πi
Z
γ
f (z )(z �w )2
dz .
f 00(w )
f 00(w ) = 1πi
Z
γ
f (z )(z �w )3
dz .
f (w +∆w )� f (w )∆w
=1
∆w
✓
12πi
Z
γ
f (z )z � (w +∆w )
dz � 12πi
Z
γ
f (z )z �w
dz◆
=1
2πi
Z
γ
f (z )(z �w �∆w )(z �w )
dz .
∆w ! 0
f (w +∆w )� f (w )∆w
� 12πi
Z
γ
f (z )(z �w )2
dz
=1
2πi
Z
γ
✓
f (z )(z �w �∆w )(z �w )
� f (z )(z �w )2
◆
dz
=∆w2πi
Z
γ
f (z )(z �w �∆w )(z �w )2
dz .
∆w ! 0∆w ! 0 γ length(γ)
M := maxz2γ | f (z )|δ > 0 D[w,δ] \ γ = ? |z �w | � δ z γ
z 2 γ�
�
�
�
�
f (z )(z �w �∆w )(z �w )2
�
�
�
�
�
| f (z )|(|z �w |� |∆w |)|z �w |2
M(δ � |∆w |)δ2
,
∆w ! 0f 0
f 00
f
f
Z
C [0,1]
sin(z )z 2
dz = 2πi ddz
sin(z )�
�
�
�
z=0= 2πi cos(0) = 2πi .
ssγ1
γ2
/
i
^
�]
j
Z
C [0,2]
dzz 2(z � 1)
,
γ1 γ2
Z
C [0,2]
dzz 2(z � 1)
=Z
γ1
dzz 2(z � 1)
+Z
γ2
dzz 2(z � 1)
=Z
γ1
1z�1z 2
dz +Z
γ2
1z 2
z � 1dz
= 2πi ddz
1z � 1
�
�
�
�
z=0+ 2πi 1
12= 2πi
✓
� 1(�1)2
◆
+ 2πi
= 0 .
Z
C [0,1]
cos(z )z 3
dz = πi d 2
dz 2cos(z )
�
�
�
�
�
z=0= πi (� cos(0)) = �πi .
fG f 00 f 0
G f 0 f 00 f 000
f (n)
n f f (n)
f G fG f x y
f GZ
γf = 0
γ ⇢ G f G
F f G FG f G
γ ⇢ Gγ ⇢ G
G ✓ C γ ⇠G 0 γG
D[a, r ] C \R0C\R0
C \ {0} (C \{0})
ff
G ✓CG
f :C!C f (z ) = exp(z 2)F C
F
f (z ) = 1z
C \ {0}C \ {0} f (z ) = 1
zC \R0 Log(z )
f GR
γ fγ ⇢ G γ(a) γ(b )
z 2
{z 2C : |z | < 2} z 2
|z | p(z ) dz d
p(z ) dad R
12 |ad | |z |d |p(z )| 2 |ad | |z |d
z |z | � R
p(z ) d ad
ad z d
|p(z )| =�
�
�
ad z d + ad�1z d�1 + ad�2z d�2 + · · ·+ a1z + a0
�
�
�
= |ad | |z |d�
�
�
�
�
1+ad�1ad z
+ad�2ad z 2
+ · · ·+ a1ad z d�1
+a0
ad z d
�
�
�
�
�
.
1 z !112 2 |z |
C
pp(z ) 6= 0 z 2 C 1
p(z )
1p(0)
=1
2πi
Z
C [0,R]
1p(z )
zdz ,
R > 0 d p(z ) ad
R�
�
�
�
�
1p(0)
�
�
�
�
�
=1
2π
�
�
�
�
�
Z
C [0,R]
dzz p(z )
�
�
�
�
�
12π
maxz2C [0,R]
�
�
�
�
�
1z p(z )
�
�
�
�
�
2πR 2|ad |Rd
.
RR 1
p(0) = 0
pz � a a p
a p(z )z�a
C R
p(x ) = 2x 4 + 5x 2 + 3 Rp
C
p(x ) =�
x 2 + 1� �
2x 2 + 3�
= (x + i ) (x � i )Äp
2 x +p
3 iä Äp
2 x �p
3 iä
| f (z )| M z 2C w 2CC [w, R] R > 0 f
�
�
�
f 0(w )�
�
�
=�
�
�
�
�
12πi
Z
C [w,R]
f (z )(z �w )2
dz�
�
�
�
�
12π
maxz2C [w,R]
�
�
�
�
�
f (z )(z �w )2
�
�
�
�
�
2πR
=maxz2C [w,R] | f (z )|
R M
R.
Rf 0 = 0 f
pp(z ) 6= 0 z 2C f (z ) = 1
p(z )f ! 0 |z | ! 1
f fp
Z 1
�1
dxx 2 + 1
= π .
σR [�R , R]�R R γR R
R �R R > 1
ss�R R
γR
σR
Z
σR
dzz 2 + 1
= π .
R > 1 R !1
�
�
�
�
�
Z
γR
dzz 2 + 1
�
�
�
�
�
maxz2γR
�
�
�
�
1z 2 + 1
�
�
�
�
πR maxz2γR
✓
1|z |2 � 1
◆
πR = πRR2 � 1
0 R !1
π = limR!1
Z
σR
dzz 2 + 1
= limR!1
Z
[�R ,R]
dzz 2 + 1
+ limR!1
Z
γR
dzz 2 + 1
=Z 1
�1
dxx 2 + 1
.
ɱ4± 4i
Z
É
exp(z 2)z 3
dzZ
É
exp(3z )(z � πi )2
dz
Z
É
sin(2z )(z � π)2
dzZ
É
exp(z ) cos(z )(z � π)3
dz
f 00
f 0(w )
f 00(w ) f 0(w )f (z )
f 00(w )
C [0, 3]
Log(z � 4i )
1z � 1
2
1z 2 � 4
exp zz 3
⇣ cos zz
⌘2
i z�3
sin z(z 2 + 1
2 )2
1(z + 4)(z 2 + 1)
exp(2z )(z � 1)2(z � 2)
Z
C [0,2]
exp z(z �w )2
dz w |w | 6=2
f : D[0, 1]!C
f (z ) :=Z
[0,1]
dw1�w z
fD[0, 1]
f :R!R
f (x ) :=
8
<
:
x 2 sin( 1x ) x 6= 0 ,
0 x = 0
R f 0
f (z ) = z 2
exp(sin z ) C
f (z ) = exp( 1z )
f (x ) = e 1x
f C limz!1 f (z ) flimz!1 f (z ) = LR > 0 | f (z )� L| < 1 |z | > R
| f (z )| < |L|+ 1 |z | > R | f (z )||z | R
p n > 0c , z1, z2, . . . , zk j1, . . . , jk
p(z ) = c (z � z1)j1 (z � z2)
j2 · · · (z � zk )jk ,
j1 + · · ·+ jk = n
f | f (z )| p|z | z 2C f
f M > 0 | f (z )| �M z 2Cf
f f (z ) = u(z ) + i v (z )M > 0 |u(z )| M z 2 C f
exp( f (z ))
f a b | f (z )| a|z |+bz 2 C f
f : D[0, 1]! D[0, 1] |z | < 1
�
�
�
f 0(z )�
�
�
11� |z | .
Z 1
�1
dxx 4 + 1
.
f (z ) = exp(i z )z 2+1 R > 1
R
σRf = π
e σR
[�R , R]γR R R �R
|exp(i z )| 1 z| f (z )| 2
|z |2 |z |
limR!1R
γRf = 0 limR!1
R
[�R ,R] f = πe
Z 1
�1
cos(x )x 2 + 1
dx = πe
.
Z 1
�1
cos(x )x 4 + 1
dx .
G ✓Cf G γ ⇢ G \ {0}
G γ(t ) a t b
Z
γf (z ) dz =
Z
σfÅ 1
z
ã 1z 2
dz
σ(t ) := 1γ(t ) a t b
limz!0 f� 1
z
� 1z 2 = L H :=
� 1z : z 2 G \ {0}
g : H [ {0}!C
g (z ) :=
8
<
:
f� 1
z
� 1z 2 z 2 H ,
L z = 0.
g H [ {0}Z
γf =
Z
σg .
R
σ gR
γ fR
γ z n dz n 6= �1R
γ z n dz = 0 n 6= �1
G ✓ C u : G ! R GG
ux x + uy y = 0 .
u(x , y ) = x y C ux x+uy y = 0+0 =0
u(x , y ) = e x cos(y ) C
ux x + uy y = e x cos(y )� e x cos(y ) = 0 .
f = u + i v G uv G
u vu v
ux = vy uy = �vx
G
ux x + uy y = (ux )x +�
uy�
y=
�
vy�
x+ (�vx )y = vy x � vx y = 0 .
vv
GG
u(x , y ) = x yC
f (z ) = 12 z 2 = 1
2
�
x 2 � y2�+ i x y
Im( f ) = u
u(x , y ) = e x cos(y )C
f (z ) = exp(z ) = e x cos(y ) + i e x sin(y )
Re( f ) = u
GG
u Gv G f = u + i v G
v u
f v = Im f
g := ux � i uy .
gg f g
u Re g = ux
Im g = �uy u Re gIm g
(Re g )x = ux x = �uy y = (Im g )y
(Re g )y = ux y = uy x = � (Im g )x .
g Gh g G G
h h = a + i b
g = h 0 = ax + i bx = ax � i ay .
g ux ux = ax u(x , y ) = a(x , y )+ c (y )c y
g h 0 �uy = �ay u(x , y ) = a(x , y )+ c (x ) cx c u(x , y ) = a(x , y ) + c
f (z ) := h(z ) + c
G u
g
f f = u + i v
f 0 = ux + i vx = ux � i uy .
u Gux g = ux � i uy G
G
u(x , y ) = x y
g := ux � i uy = y � i x = �i z
h(z ) = � i2 z 2 = x y � i
2
�
x 2 � y2�
u
v (x , y ) := � 12
�
x 2 � y2�
u
Cu C
v (x , y ) :=Z y
0
∂ u∂ x(x , t ) dt �
Z x
0
∂ u∂ y(t , 0) dt
u
u+ i v
∂v∂ y(x , y ) = ∂ u
∂ x(x , y ) ,
u
∂v∂ x(x , y ) =
Z y
0
∂2u∂ x 2(x , t ) dt � ∂ u
∂ y(x , 0) = �
Z y
0
∂2u∂ t 2(x , t ) dt � ∂ u
∂ y(x , 0)
= �✓
∂ u∂ y(x , y )� ∂ u
∂ y(x , 0)
◆
� ∂ u∂ y(x , 0) = �∂ u
∂ y(x , y ) .
u G z0 2 G u (n)(z0)n r > 0 D[z0, r ] G
D[z0, r ]f D[z0, r ] u = Re f D[z0, r ] f
D[z0, r ] u
fG D[z0, r ] f
u G D[w, r ] ⇢ G
u(w ) = 12π
Z 2π
0u�
w + r e i t � dt .
R D[w, r ] ⇢ D[w, R] ⇢ GD[w, R] f
D[w, R] u = Re f D[w, R] f
f (w ) = 12π
Z 2π
0f�
w + r e i t � dt .
G ⇢ C u : G ! Rw 2 G D[w, r ] ✓ G u(z ) u(w )
z 2 D[w, r ] u(z0) < u(w ) z0 2 D[w, r ]
u GG
wG w z0 u(z0) < u(w )
r := |z0 �w |
u(w ) = 12π
Z 2π
0u�
w + r e i t � dt .
u(w )z0 = w + r e i t0 0 t0 < 2π u(z0) <
u(w ) u [t0, t1] ✓ [0, 2π]u(w + r e i t ) < u(w ) t0 t t1
u(w ) = 12π
Z 2π
0u�
w + r e i t � dt
=1
2π
Ç
Z t0
0u�
w + r e i t � dt +Z t1
t0u�
w + r e i t � dt +Z 2π
t1u�
w + r e i t � dtå
u(w )
u(w ) < 12π
Ç
Z t0
0u(w ) dt +
Z t1
t0u(w ) dt +
Z 2π
t1u(w ) dt
å
= u(w ) ,
uu
�u
f G | f |G
ln | f (z )| GG
| f (z )| ln
u Gw D[w, r ] ✓ G z 2 D[w, r ] u(z ) u(w )
f GG
uG
supz2G
u(z ) = maxz2∂G
u(z ) infz2G
u(z ) = minz2∂G
u(z )
∂G G
u Gu ∂G u G
u(z ) supz2G
u(z ) = maxz2∂G
u(z ) = 0
u(z ) � infz2G
u(z ) = minz2∂G
u(z ) = 0 ,
u G
u v Gu(z ) = v (z ) z 2 ∂G u(z ) = v (z )
z 2 G
u � v G Gu � v ∂G
u GG u G
u G
u
u
u�
e iφ� := u�
e iφ� u�
r e iφ� := 12π
Z 2π
0u�
e i t �Pr (φ� t ) dt r < 1 ,
Pr (φ) u
u
u(x , y ) v (x , y ) G c 2R u(x , y )+c v (x , y ) G
u(x , y ) = e x sin y
u C
f Re( f ) = u
u(x , y ) = ln�
x 2 + y2�
u C \ {0}
u C \ {0}
f G ln | f (x , y )|G
u(x , y ) R2 ! R x u
v (x , y ) x 3 + y3 + i v (x , y )
f G ✓C H := { f (z ) : z 2 G}u H u( f (z )) G
u(r ,φ) R2!Ru(r ,φ)
1r
ur + ur r +1r 2
uφφ = 0 .
u(r ,φ) = r 2 cos(2φ) C
u(r ,φ) r u
u(r ,φ) φ u
u C u
u(x , y ) x yu x y
Pr (φ) =1� r 2
1� 2r cos(φ) + r 2,
0 < r < 1 uD[0, 1] r < 1
u�
r e iφ� =1
2π
Z 2π
0u�
e i t �Pr (φ� t ) dt .
u D[0, 1]R0 > 1 u D[0, R0]
fa(z ) =z � a
1� az,
a 2C |a| < 1 u( f�a(z ))D[0, R1] D[0, 1]
u( f�a(z )) w = 0
u(a) = 12πi
Z
C [0,1]
u( f�a(z ))z
dz .
fa(z )
u(a) = 12π
Z 2π
0u�
e i t � 1� |a|2|e i t � a|2
dt .
a = r e iφ
G D[a, r ] ⇢ G R > rD[a, r ] ⇢ D[a, R] ⇢ G G = C R = r + 1
w 2 C \ G M = |w � a| K = D[a, M ] \ G Kz0 2 K
f (z ) = |z � a| K R = |z0 � a|
Z
C [2,3]
exp(z )sin(z )
dz ,
ssπ
π
0 π
an a(n) (an)1n=1 (an)n�1
(an) n
n
(an) L 2C ε > 0N n �N |an � L| < ε (an)
L
limn!1
an = L .
L (an)
limn!1
i n
n = 0 ε > 0 N > 1ε
n �N�
�
�
�
i n
n� 0
�
�
�
�
=�
�
�
�
i n
n
�
�
�
�
=|i |nn=
1n 1
N< ε .
(an)L 2C ε > 0
N n |an � L| � ε
(an = i n) L 2 C ε = 12
Re(L) � 0 N n �N an = �1a4k+2 = i 4k+2 = �1 k � 0
|an � L| = |1+ L| � 1 > 12
.
Re(L) < 0 N n � N an = 1a4k = i 4k = 1 k > 0
|an � L| = |1� L| > 1 > 12
.
(an = i n)
(an) (bn) c 2C
limn!1
an + c limn!1
bn = limn!1
(an + c bn)
limn!1
an · limn!1
bn = limn!1
(an · bn)
limn!1 anlimn!1 bn
= limn!1
✓
anbn
◆
limn!1
an = limn!1
an+1
limn!1 bn 6= 0 f : G ! CL := limn!1 an an 2 G
limn!1
f (an) = f (L) .
R
(an) an+1 � an
n an+1 an n
(an)
an := 1+ 12+
16+ · · ·+ 1
n!.
an 3(an)
e := 1+ limn!1
an .
0 r < 1 limn!1 r n = 0(an = r n) 0 L :=limn!1 r n
L = limn!1
r n = limn!1
r n+1 = r limn!1
r n = r L .
(1� r )L = 0 1� r 6= 0 L = 0
xN x
n
p(n)c 2C |c | > 1
limn!1
p(n)c n
= 0 .
c 2C
limn!1
c n
n!= 0 .
(an) an =Pn
k=1 bk
an =Pn
k=0 bk (bk ) an =Pn
k=1 bk
an =Pn
k=0 bk
R
L
limn!1
an = limn!1
nX
k=1bk = L .
ε > 0 N n �N�
�
�
�
�
nX
k=1bk � L
�
�
�
�
�
< ε .
L =1X
k=1bk L =
X
k�1bk
z 2 C |z | < 1P
k�1 z k
X
k�1z k =
z1� z
.
nX
k=1z k = z + z 2 + · · ·+ z n =
z � z n+1
1� z,
n!1 |z | < 1
X
k�1
1k2 + k
= limn!1
nX
k=1
Å 1k� 1
k + 1
ã
= limn!1
Å
1� 12+
12� 1
3+
13� 1
4+ · · ·+ 1
n� 1
n + 1
ã
= limn!1
Å
1� 1n + 1
ã
= 1 .
bk 2R�0X
k�1bk
bk =1k !
nX
k=1bk =
nX
k=1
1k !
X
k�1
1k != e � 1
R
bk � ck � 0 k � 1X
k�1bk
X
k�1ck .
Pnk=1 bk
nX
k=1ck
nX
k=1bk .
P
k�1 ckX
k�1bk lim
n!1bn = 0 .
limn!1
bn 6= 0 limn!1
bnX
k�1bk
|z | � 1P
k�1 z k
limn!1 z n
X
k�1bk
0 = limn!1
nX
k=1bk � lim
n!1
n�1X
k=1bk = lim
n!1
Ç nX
k=1bk �
n�1X
k=1bk
å
= limn!1
bn .
P
k�11k
0 L
L = 1+ 12+
13+
14+
15+
16+ · · ·
>12+
12+
14+
14+
16+
16+ · · ·
= 1+ 12+
13+ · · ·
= L ,
x
f (x )
f (1)f (2) f (3) f (4)
x
f (x )
f (1)f (2) f (3) f (4)f (5)
f : [1,1)! R�0
Z 1
1f (t ) dt
X
k�1f (k ) f (1) +
Z 1
1f (t ) dt .
f [k , k + 1] f (k ) f (k + 1)n
1 n 1 n + 1
f : [1,1) ! R�0P
k�1 f (k )R1
1 f (t ) dtR1
1 f (t ) dt = 1Pn
k=1 f (k )P
k�1 f (k )R1
1 f (t ) dtPn
k=1 f (k )P
k�1 f (k )P
k�11
k p p > 1 p < 1p = 1
Z 1
1
dxx p = lim
a!1a�p+1
�p + 1+
1p � 1
p > 1
X
k�1bk
X
k�1|bk |
P
k�1 |bk | bk
b+k :=
8
<
:
bk bk � 0,
0b�k :=
8
<
:
bk bk < 0,
0
0 b+k |bk | 0 �b�k |bk | k � 1
X
k�1b+k �
X
k�1b�k
X
k�1bk =
X
k�1b+k +
X
k�1b�k .
bk 2 C bk = ck + i dk
0 |ck | |bk | k � 1P
k�1 ckP
k�1 dkP
k�1 ckP
k�1 dk
X
k�1bk =
X
k�1ck + i
X
k�1dk .
ζ (z ) :=X
k�1
1k z
Re(z ) > 1
X
k�1
�
�k�z �� =
X
k�1k�Re(z )
z ζ (z )
ζ (z ) C\{1}
P
k�1(�1)k+1
k
X
k�1
(�1)k+1
k= 1� 1
2+
13� 1
4+
15� 1
6+ · · ·
=Å
1� 12
ã
+Å1
3� 1
4
ã
+Å1
5� 1
6
ã
+ · · ·
12k � 1
� 12k=
12k (2k � 1)
1(2k � 1)2
1k2
,
P
k�1(�1)k+1
kP
k�1(�1)k+1
k
G ✓ C fn : G ! C n � 1 ( fn)f : G !C z 2 G
limn!1
fn(z ) = f (z ) .
( fn) f : G !C ε > 0 Nz 2 G n �N
| fn(z )� f (z )| < ε .
H G ( fn) H
0 < Re(z ) < 1Re(z ) = 1
2
8 9G
8 ε > 0 8 z 2 G 9N 8 n �N | fn(z )� f (z )| < ε ,
G
8 ε > 0 9N 8 z 2 G 8 n �N | fn(z )� f (z )| < ε .
Nz N z 2 G
fn : D[0, 1]!C fn(z ) = z n
f : D[0, 1]! C f (z ) = 0z = 0 ε > 0 0 < |z | < 1
N > ln(ε)ln |z | n �N
| fn(z )� f (z )| = |z n � 0| = |z |n |z |N < ε .
fn : D[0, 12 ]!C fn(z ) = z n
f : D[0, 12 ]!C f (z ) = 0
ε > 0 |z | < 12 N > � ln(2) ln(ε) n �N
| fn(z )� f (z )| = |z |n |z |N <� 1
2
�N< ε .
( fn)G z0 2 G
limn!1
limz!z0
fn(z ) = limz!z0
limn!1
fn(z ) .
G ⇢C fn : G !C n � 1( fn) f : G !C f
z0 2 G f z0ε > 0 N z 2 G n �N
| fn(z )� f (z )| < ε3
.
fnε > 0 δ > 0 |z � z0| < δ
| fn(z )� fn(z0)| <ε3
.
| f (z )� f (z0)| = | f (z )� fn(z ) + fn(z )� fn(z0) + fn(z0)� f (z0)| | f (z )� fn(z )|+ | fn(z )� fn(z0)|+ | fn(z0)� f (z0)|< ε .
f z0
fn : [0, 1]!R fn(x ) = x n f : [0, 1]!R
f (x ) =
8
<
:
0 0 x < 1 ,
1 x = 1 .
fn : G ! C n � 1 ( fn)f : G !C γ ✓ G
limn!1
Z
γfn =
Z
γf .
γε > 0 N z 2 G n �N
| fn(z )� f (z )| < εlength(γ)
.
�
�
�
�
�
Z
γfn �
Z
γf�
�
�
�
�
=�
�
�
�
�
Z
γfn � f
�
�
�
�
�
maxz2γ| fn(z )� f (z )| · length(γ) < ε .
P
k�1 fk (z ) G γ ✓ G
Z
γ
X
k�1fk (z ) dz =
X
k�1
Z
γfk (z ) dz .
M
fk : G !C k � 1 | fk (z )| Mk z 2 GP
k�1 MkP
k�1 | fk |P
k�1 fk GP
k�1 fk
zP
k�1 fk (z )ε > 0 N
n �NX
k�1Mk �
nX
k=1Mk =
X
k>nMk < ε .
z 2 G n �N�
�
�
�
�
X
k�1fk (z )�
nX
k=1fk (z )
�
�
�
�
�
=�
�
�
�
�
X
k>nfk (z )
�
�
�
�
�
X
k>n| fk (z )|
X
k>nMk < ε ,
fk | fk |P
k�1 | fk |P
k�1 z k
z|z | < 1
X
k�1z k =
z1� z
.
fk (z ) = z k
0 < r < 1Mk = r k
| fk (z )| = |z |k r k |z | r ,P
k�1 r k P
k�1 z k
|z | r
P
k�1 z k |z | < 1|z | r r < 1
z0
X
k�0ck (z � z0)
k
c0, c1, c2, . . . 2C
X
k�0z k =
11� z
.
z0 = 0 ck = 1 k � 0|z | < 1 |z | r r < 1
P
k�0 z k |z | � 1
P
k�0 ck (z � z0)k
R � 0 R =1P
k�0 ck (z � z0)k |z � z0| < RP
k�0 ck (z � z0)k |z � z0| rr < RP
k�0 ck (z � z0)k |z � z0| > R
P
k�0 ck (z � z0)k |z � z0| = R
RP
k�0 ck (z � z0)k D[z0, R]R =1 C
P
k�0 ck (w � z0)kP
k�0 ck (z � z0)k
|z � z0| < |w � z0|
r := |w�z0|P
k�0 ck (w�z0)k limk!1 ck (w�z0)k = 0
�
�
�
ck (w � z0)k�
�
�
= |ck | r k M .
|z � z0| < |w � z0|
X
k�0
�
�
�
ck (z � z0)k�
�
�
=X
k�0|ck | r k
✓ |z � z0|r
◆k M
X
k�0
✓ |z � z0|r
◆k.
|z�z0| < rP
k�0 ck (z � z0)k
S :=®
x 2R�0 :X
k�0ck x k
´
.
0 2 SS
P
k�0 ck (z � z0)k
|z � z0| r r R =1x 2 S x > r
P
k�0 ck r k�
�
�
ck (z � z0)k�
�
�
|ck |r k
S R R = 0P
k�0 ck (z � z0)k
z = z0R > 0 |z � z0| < R R
S r 2 S
|z � z0| < r R .
P
k�0 ck (w� z0)k w = z0+ rP
k�0 ck (z � z0)k
|z � z0| r r < R x 2 S r < x RP
k�0 |ck | r k P
k�0 ck (z�z0)k
|z � z0| r|z � z0| > R r /2 S
R r < |z � z0| .P
k�0 ck r k P
k�0 |ck | r kP
k�0 ck (z�z0)k
limk!1k∆
|ck |P
k�0 ck (z � z0)k
R =
8
<
:
1 limk!1k∆
|ck | = 0 ,1
limk!1k∆
|ck |
R R =1RP
k�0 ck (z � z0)k |z � z0| < R |z � z0| > Rr := |z � z0| < R limk!1
k∆
|ck | = 1R
2R+r >
1R
N k∆
|ck | < 2R+r k �N k
�
�
�
ck (z � z0)k�
�
�
= |ck ||z � z0|k =Ä
k∆
|ck | räk<
Å 2rR + r
ãk
P1k=N ck (z�z0)k
2rR+r < 1
P
k�0� 2r
R+r
�k P
k�0 ck (z � z0)k
r = |z � z0| > R limk!1k∆
|ck | = 1R
2R+r <
1R N k
∆
|ck | > 2R+r k �N k
�
�
�
ck (z � z0)k�
�
�
=Ä
k∆
|ck | räk>
Å 2rR + r
ãk> 1 ,
ck (z � z0)kP
k�0 ck (z � z0)k
X
k�0k z k
limk!1
k∆
|ck | = limk!1
kpk = limk!1
e1k ln(k ) = e limk!1
ln(k )k = e0 = 1 ,
X
k�0
1k !
z k .
limk!1
�
�
�
�
�
ck+1
ck
�
�
�
�
�
= limk!1
k !(k + 1)!
= limk!1
1k + 1
= 0 ,
P
k�01k ! z k
1 C
P
k�0 ck (z � z0)k
R > 0 D[z0, R]
w 2 D[z0, R] r < R w 2 D[z0, r ]R 6= 1 r = |w�z0|+R
2P
k�0 ck (z � z0)k D[z0, r ]D[z0, r ] w
P
k�0 ck (z � z0)k
R > 0 γ D[z0, R]Z
γ
X
k�0ck (z � z0)
k dz =X
k�0ck
Z
γ(z � z0)
k dz .
γZ
γ
X
k�0ck (z � z0)
k dz = 0 .
r :=maxz2γ |γ(z )� z0|γ ⇢ D[z0, r ] r < R
P
k�0 ck (z � z0)k
D[z0, r ]
an = e πi n4
an =(�1)n
n
an = cos(n)
an = 2� i n2
2n2+1
an = sin( 1n )
X
n�1
✓
1+ ip3
◆n
X
n�1nÅ1
i
ãn
X
n�1
✓
1+ 2ip5
◆n
X
n�1
1n3 + i n
X
n�1
1n2 + 2n
.
limn!1
an = a =) limn!1|an | = |a|
limn!1
an = 0 () limn!1|an | = 0
limn!1 an
M |an | M n � 1
(an) aε > 0 N 2 Z>0 n >N |an � a| < ε
1k ! 3
k (k+1) k
n
1+ 12+
16+ · · ·+ 1
n! 3 .
(cn) (Re cn) (Im cn)
Z Q
an bn cn n limn!1 an = limn!1 cn = Llimn!1 bn = L
�
Re�
e 2πi t�
: t 2Q \Z
.
(cn)P
n�0 cnP
k�0(c2k+c2k+1)
(cn) 0
X
k�1bk lim
n!1
X
k�nbk = 0 .
fn(x ) := sinn(x )
X
k�1
kk2 + 1
X
k�1
kk3 + 1
G ✓C fn : G ! C n � 1 (an) Rlimn!1 an = 0 n � 1
| fn(z )| an z 2 G .
( fn) G
G ✓C fn : G !C n � 1 ( fn)G (zn) G
limn!1
fn(zn) = 0 .
(zn = e� 1n )
fn : [0,π]!R fn(x ) = sinn(x ) n � 1 ( fn)f : [0,π]!R
f (x ) =
8
<
:
1 x = π2 ,
0 x 6= π2 ,
(n z n)� z n
n
� � 11+nz
�
Re(z ) � 0
fn(x ) = n2x e�nx
limn!1 fn(x ) = 0 x � 0 x = 0x > 0
n x
limn!1R 1
0 fn(x ) dx 0
z0z0
11+ 4z
13� z
2
z 2
(4� z )2
cos z cos(z 2) z 2 sin z (sin z )2
(ck )P
k�0 ck (z � z0)k 1
(ck ) 0P
k�0 ck (z � z0)k 1
f (z ) = 1z f (z ) = Log(z )
M
X
k�1
z k
k2D[0, 1]
X
k�0
1z k
{z 2C : |z | � 2}
X
k�0
z k
z k + 1D[0, r ] 0
r < 1
z 2 C r > |z |X
k�0
⇣ zw
⌘k
w |w | � r
R =1
limk!1�
�
�
ck+1ck
�
�
�
P
k�0 ck (z � z0)k
R =
8
<
:
1 limk!1�
�
�
ck+1ck
�
�
�
= 0 ,
limk!1�
�
�
ckck+1
�
�
�
X
k�0ak2
z k a 2CX
k�0k n z k n 2 Z
X
k�0z k !
X
k�1
(�1)k
kz k (k+1)
X
k�1
z k
k k
X
k�0cos(k ) z k
X
k�04k (z � 2)k
X
k�0
z 2k
k !
X
k�1k (z � 1)k�1 X
k�2k (k � 1) z k
f : D[0, 1]!C
f (z ) :=Z
[0,1]
dw1�w z
.
f
fn :R�0!R fn(t ) =1n e� t
n n � 1
fn(t )1n
fn(t ) R�0
R10 fn(t ) dt 0 n!1
Z
C [2,3]
exp(z )sin(z )
dz .
exp(z )sin(z )
πexp(z )sin(z ) π
f (z ) =P
k�0 ck (z � z0)k R > 0
f D[z0, R]
f D[z0, R]γ ⇢ D[z0, R]
R
γ f = 0
f (z ) =P
k�0 ck (z � z0)k R > 0
f 0(z ) =X
k�1k ck (z � z0)
k�1 z 2 D[z0, R] ,
R
z 2 D[z0, R] |z � z0| < R R1 |z � z0| <R1 < R γ := C [z0, R1] D[z0, R] z γ f
D[z0, R] f 0
f 0(z ) = 12πi
Z
γ
f (w )(w � z )2
dw = 12πi
Z
γ
1(w � z )2
X
k�0ck (w � z0)
k dw
=X
k�0ck
12πi
Z
γ
(w � z0)k
(w � z )2dw =
X
k�0ck
ddw(w � z0)
k�
�
�
�
w=z
=X
k�1k ck (z � z0)
k�1.
(z � z0)k
f 0(z ) R f 0
|z � z0| < R R f (z )(z�z0) f 0(z ) f (z )
f (z ) =X
k�0
z k
k !.
f C f (z ) = exp(z )
f 0(z ) = ddz
X
k�0
z k
k !=
X
k�1
z k�1
(k � 1)!=
X
k�0
z k
k != f (z ) .
ddz
f (z )exp(z )
=ddz( f (z ) exp(�z )) = f 0(z ) exp(�z )� f (z ) exp(�z ) = 0 ,
f (z )exp(z ) z = 0
f (z ) = exp(z )
exp(z )
sin z = 12i(exp(i z )� exp(�i z )) = 1
2i
Ç
X
k�0
(i z )k
k !�X
k�0
(�i z )k
k !
å
=12i
X
k�0
1k !
Ä
(i z )k � (�1)k (i z )kä
=12i
X
k�0
2(i z )k
k !
=1iX
j�0
(i z )2 j+1
(2 j + 1)!=
X
j�0
i 2 j z 2 j+1
(2 j + 1)!=
X
j�0
(�1) j
(2 j + 1)!z 2 j+1
= z � z 3
3!+
z 5
5!� z 7
7!+ · · · .
f 0 f 00
f (z ) =P
k�0 ck (z � z0)k
ck =f (k )(z0)
k !.
f (z0) = c0 f 0(z0) = c1f 0
f 00(z ) =X
k�2k (k � 1) ck (z � z0)
k�2
f 00(z0) = 2 c2 f 000(z0) = 6 c3 f 0000(z0) =24 c4
fD f D
P
k�0 ck (z � z0)kP
k�0 dk (z � z0)k
z0 ck = dk
k � 0
f (z ) = exp(z )z0 = π
f (k )(z0) = exp(z )�
�
�
�
z=π= eπ ,
X
k�0
eπ
k !(z � π)k ,
z 2C
f D[z0, R] fz0 � R
f (z ) =X
k�0ck (z � z0)
k ck =1
2πi
Z
γ
f (w )(w � z0)k+1
dw ,
γ D[z0, R]z0 γ
g (z ) := f (z + z0) g D[0, R]z 2 D[0, R] r := |z |+R
2
g (z ) = 12πi
Z
C [0,r ]
g (w )w � z
dw .
1w�z
w 2 C [0, r ] | zw | < 1
1w � z
=1w
11� z
w=
1wX
k�0
⇣ zw
⌘k
w 2 C [0, r ]
g (z ) = 12πi
Z
C [0,r ]
g (w )w � z
dw = 12πi
Z
C [0,r ]g (w ) 1
wX
k�0
⇣ zw
⌘kdw
=X
k�0
✓
12πi
Z
C [0,r ]
g (w )w k+1
dw◆
z k .
f (z ) = g (z � z0)
f (z ) =X
k�0
Ç
12πi
Z
C [z0,r ]
f (w )(w � z0)k+1
dwå
(z � z0)k .
Z
C [z0,r ]
f (w )(w � z0)k+1
dw =Z
γ
f (w )(w � z0)k+1
dw .
f : G !C fz0 2 G R
G
G ✓C z0 2 G z0∂G G {|z � z0| : z 2 ∂G}
z0 ∂G 1
f : G !C z0 2 G fz0
z0 ∂G
f : C \ {±i} ! C f (z ) := 1z 2+1 z0 = 0
f
±i f
f (z ) = 1z 2 + 1
=X
k�0
�
�z 2�k =X
k�0(�1)k z 2k ,
R
f G γw γ γ ⇠G 0
f (k )(w ) = k !2πi
Z
γ
f (z )(z �w )k+1
dz .
f D[w, R] | f (z )| Mz 2 D[w, R]
�
�
�
f (k )(w )�
�
�
k ! MRk
.
r < R
�
�
�
f (k )(w )�
�
�
=�
�
�
�
�
k !2πi
Z
C [w,r ]
f (z )(z �w )k+1
dz�
�
�
�
�
k !2π
maxz2C [w,r ]
�
�
�
�
�
f (z )(z �w )k+1
�
�
�
�
�
length(C [w, r ])
k !2π
Mr k+1
2π r = k ! Mr k
.
r R
Gz0 2 G
G
f : G ! C z0 2 G R > 0 c0, c1, c2, . . . 2 CX
k�0ck (z � z0)
k
D[z0, R] f (z ) D[z0, R] f z0f G f G
G GG
p(z ) d > 0a p(a) = 0 p(z ) z � a
p(z ) = (z � a) q (z ) q (z ) d � 1q (z ) a (z � a)
p(z )
p(z ) = (z � a)m g (z )
m d g (z )a m a p(z )
f : G !Cf a 2 G
f D a f (z ) = 0z 2 D
m g : G !Cg (a) 6= 0
f (z ) = (z � a)m g (z ) z 2 G .
a D[a, r ]f
m f aa
R > 0
f (z ) =X
k�0ck (z � a)k z 2 D[a, R] ,
c0 = f (a) = 0
ck = 0 k � 0
m ck = 0 k < m cm 6= 0
f (z ) = 0 z 2 D[a, R]z 2 D[a, R]
f (z ) = cm(z � a)m + cm+1(z � a)m+1 + · · · = (z � a)m (cm + cm+1(z � a) + · · · )= (z � a)m
X
k�0ck+m (z � a)k .
g : G !C
g (z ) :=
8
>
>
>
<
>
>
>
:
X
k�0ck+m(z � a)k z 2 D[a, R] ,
f (z )(z � a)m
z 2 G \ {a} .
z 2 D[a, R]\{a} g D[a, R]g G \ {a} g (a) = cm 6= 0
f (z ) = (z � a)m g (z ) z 2 G .
g (a) 6= 0 r > 0 g (z ) 6= 0 z 2 D[a, r ]D[a, r ] f m
f a
G f : G !C f (an) = 0(an) G f
G
f g G f (ak ) = g (ak )w 2 G ak 6= w k f (z ) = g (z )
z G
G
X := {a 2 G : r f (z ) = 0 z 2 D[a, r ]}Y := {a 2 G : r f (z ) 6= 0 z 2 D[a, r ] \ {a}} .
f (a) 6= 0 f af a 2 Y
f (a) = 0 a 2 X af a 2 Y
G X YX Y G X Y
limn!1 an YX G = X
u : G !Rw D[w, r ] ✓ G
z 2 D[w, r ] u(z ) u(w )
fG | f | G
f G
supz2G| f (z )| = max
z2∂G| f (z )| .
f fz0 2 G maxz2G | f (z )| = | f (z0)|
supz2G | f (z )| maxz2G | f (z )|z0 G z0
z0 62 G z0 ∂G
fG | f |
a G f (a) = 0
u GG
a 2 G R > 0 | f (a)| �| f (z )| z 2 D[a, R] f
f (a) = 0 f (z ) = 0 z 2 D[a, R] f
f (a) 6= 0g : G !C g (z ) := f (z )
f (a)
| g (z )| | g (a)| = 1 z 2 D[a, R] ,
g (a) = 1 g r R Re( g (z )) > 0z 2 D[a, r ]
h : D[a, r ]!C h(z ) := Log( g (z ))
h(a) = Log( g (a)) = Log(1) = 0
Re(h(z )) = Re(Log( g (z ))) = ln(| g (z )|) ln(1) = 0 .
h D[a, r ] g (z ) =exp(h(z )) exp(0) = 1 z 2 D[a, r ] f (z ) = f (a) g (z )
f (a) z 2 D[a, r ]f G
exp( 1z )
expÅ 1
z
ã
=X
k�0
1k !
Å 1z
ãk=
X
k�0
1k !
z�k ,
X
k2Zak :=
X
k�0ak +
X
k�1a�k .
ak 2 C
z0
X
k2Zck (z � z0)
k .
exp( 1z )0
ck = 0 k < 0
z
X
k2Zck (z � z0)
k =X
k�0ck (z � z0)
k +X
k�1c�k (z � z0)
�k .
R2 {z 2C : |z � z0| < R2}{z 2C : |z � z0| r2} r2 < R2
1|z � z0|
<1R1
R1 {z 2C : |z � z0| � r1}r1 > R1
A := {z 2C : R1 < |z � z0| < R2}
R1 < R2
{z 2C : r1 |z � z0| r2} R1 < r1 < r2 < R2 .
1sin(z )
z0 = 0 g : D[0,π]!C
g (z ) :=
8
<
:
1sin(z ) � 1
z z 6= 0 ,
0 z = 0 .
g
limz!0
1sin(z ) � 1
z
z=
16
.
g 0(z ) =
8
<
:
� cos(z )sin2(z ) +
1z 2 z 6= 0 ,
16 z = 0 ,
g D[0,π] g
g (z ) = 16
z + 7360
z 3 +31
15120z 5 + · · ·
|z | < π
1sin(z )
= z�1 +16
z + 7360
z 3 +31
15120z 5 + · · ·
0 < |z | < π
g D[0,π]1
sin(z ) � 1z D[0,π] \ {0}
ζ (z ) =P
k�11
k zC \ {1}
f
A := {z 2C : R1 < |z � z0| < R2} .
f A z0
f (z ) =X
k2Zck (z � z0)
k ck =1
2πi
Z
C [z0,r ]
f (w )(w � z0)k+1
dw ,
R1 < r < R2
C [z0, r ]γ ⇠A C [z0, r ]
γ1
γ2
γ
g (z ) = f (z + z0) g {z 2C : R1 < |z | < R2}R1 < r1 < |z | < r2 < R2 γ γ1 := C [0, r1]
γ2 := C [0, r2]
g (z ) = 12πi
Z
γ
g (w )w � z
dw = 12πi
Z
γ2
g (w )w � z
dw � 12πi
Z
γ1
g (w )w � z
dw .
γ21
w�zw 2 γ2 | zw | < 1
1w � z
=1w
11� z
w=
1wX
k�0
⇣ zw
⌘k,
w 2 γ2
Z
γ2
g (w )w � z
dw =Z
γ2
g (w ) 1wX
k�0
⇣ zw
⌘kdw =
X
k�0
Ç
Z
γ2
g (w )w k+1
dwå
z k .
γ11
w�zw 2 γ1 | wz | < 1
1w � z
= � 1z
11� w
z= � 1
zX
k�0
⇣wz
⌘k,
w 2 γ1
Z
γ1
g (w )w � z
dw = �Z
γ1
g (w ) 1zX
k�0
⇣wz
⌘kdw = �
X
k�0
Ç
Z
γ1
g (w )w k dwå
z�k�1
= �X
k�1
Ç
Z
γ1
g (w )w k+1
dwå
z k .
g (z ) = 12πi
Ç
X
k�0
Ç
Z
γ2
g (w )w k+1
dwå
z k +X
k�1
Ç
Z
γ1
g (w )w k+1
dwå
z kå
.
γ1 γ2 C [0, r ]R1 < r < R2
g (z ) = 12πi
X
k2Z
✓
Z
C [0,r ]
g (w )w k+1
dw◆
z k .
f (z ) = g (z � z0)
P
k2Z ck (z � z0)kP
k2Z dk (z � z0)k
R1 < |z � z0| < R2 ck = dk
k 2 Z
G z0 2 G f G \ {z0}f z0
0 < |z � z0| < R R z0 ∂G
k = �1
f
A := {z 2C : R1 < |z � z0| < R2}
f (z ) =X
k2Zck (z � z0)
k .
γ A z0 γ
Z
γf (z ) dz = 2πi c�1 .
R
C [2,3]exp(z )sin(z ) dz
C [2, 3]
Z
C [2,3]
exp(z )sin(z )
dz =Z
C [0,1]
exp(z )sin(z )
dz +Z
C [π,1]
exp(z )sin(z )
dz .
exp(z )sin(z ) π
exp(z )sin(z )
=Å
1+ z + 12
z 2 +16
z 3 + · · ·ãÅ
z�1 +16
z + 7360
z 3 +31
15120z 5 + · · ·
ã
= z�1 + 1+ 23
z + · · ·
R
C [0,1]exp(z )sin(z ) dz = 2πi
π sin(z ) = sin(π � z )1
sin(z ) π
1sin(z )
= � 1sin(z � π)
= �(z � π)�1 � 16(z � π)� 7
360(z � π)3 � · · ·
exp(z )sin(z )
=Å
eπ + eπ(z � π) +eπ
2(z � π)2 + · · ·
ãÅ
�(z � π)�1 � 16(z � π)� · · ·
ã
= � eπ(z � π)�1 � eπ � 23
eπ(z � π) + · · ·
R
C [π,1]exp(z )sin(z ) dz = �2πi eπ
Z
C [2,3]
exp(z )sin(z )
dz = 2πi (1� eπ) .
X
k�0
1(2k + 1)!
z 2k+1 X
k�0
Å 1z � 3
ãk
π sin(z )
exp(z )
z0
f (z ) = 11+ z 2
, z0 = 1
f (z ) = 1exp(z ) + 1
, z0 = 0
f (z ) = (1+ z ) 12 , z0 = 0
f (z ) = exp(z 2), z0 = i
f :R!R f (x ) := 1x 2+1
R
( fn)G ( fn) f
G f G
( fn) G ( fn)f G k 2N k
Ä
f (k )n
ä
f (k )
R
|ck | � 2k kP
k�0 ck z k
P
k�0 ck z k R
X
k�0ck z 2k
X
k�03k ck z k
X
k�0ck z k+5
X
k�0k2ck z k
G f : G !C
X = {a 2 G : r f (z ) = 0 z 2 D[a, r ]}Y = {a 2 G : r f (z ) 6= 0 z 2 D[a, r ] \ {a}} .
fG | f |
a G f (a) = 0
u Ga 2 G
G exp(u(z ) + i v (z )))v u u G
G uD[a, R] ⇢ G ux uy G
u
f :C!C f (z ) = z 2�2| f (z )|
fD[a, r ] | f (z )| M z 2 C [a, r ] z0 2 D[a, r ]
c 2C�
�
�
f (z0)k�
�
�
c M k .
| f (z0)| M
1(z � 1)(z + 1)
z = 1
1z (z � 2)2
z = 2
z � 2z + 1
z = �1
cn z n 1sin2(z )
z = 0
�4 n 4
tan(z )
exp(az ) 0 a 2C
exp(z ) cos(z ) = 12(exp((1+ i )z ) + exp((1� i )z )) .
exp(z ) cos(z ) 0
z � 1z � 2
=X
k�0
1(z � 1)k
|z � 1| > 1
f Im( f ) f
cos zz 2 z = 0
f :C!C
f (z ) =® cos z�1
z 2 z 6= 0 ,� 1
2 z = 0
sec(z )
f z0 f (z0) = 0 f 0(z0) 6= 0f 1 z0
f (z ) = exp(z )� 1, z0 = 2kπi k
f (z ) = sin(z )� tan(z ), z0 = 0
f (z ) = cos(z )� 1+ 12 sin2(z ), z0 = 0
(1+ z 2)4
sin2(z )
1+ exp(z )
z 3 cos(z )
X
k�1c�k (z � z0)
�k
1|z � z0|
<1R1
R1 {z 2C : |z � z0| � r1}r1 > R1
limz!0
✓
1sin(z )
� 1z
◆
= 0
limz!0
1sin(z ) � 1
z
z=
16
.
f (z ) = 3(1� z )(z + 2)
,
0 |z | < 1 1 < |z | < 2 2 < |z |
f (z ) a γ1
a = 12πi
Z
γ
z f 0(z )f (z )
dz .
f : G !C f (�z ) = f (z ) z 2 Gf f (�z ) = � f (z ) z 2 G f
f
f Da f (a) = 0 Re f (z ) > 0
z D
f (z ) = (z � a)m g (z ) m > 0 gg (a) 6= 0
g (a) c e iα G (z ) = e�iα g (z )Re G (a) > 0
δ Re G (z ) > 0 z 2 D[a,δ]
z = a + r e iθ 0 < r < δ f (z ) = r m e i mθ e iαG (z )
θ f (z )
1(z 2 � 4)(z � 2)
z = 2Z
C [2,1]
dz(z 2 � 4)(z � 2)
.
exp(z ) z = �1Z
C [�2,2]
exp(z )(z + 1)34
dz .
Z
γ
exp(z )sin(z )
dz γ
π
1r 2 r = 0
Z
C [2,3]
exp(z )sin(z )
dz .
exp(z )1
sin(z )
exp(z )�1z
1z 4 exp( 1z ) z = 0
0
z0 R
D· [z0, R] := {z 2C : 0 < |z � z0| < R} = D[z0, R] \ {z0} .
D· [z0,1] :=C \ {z0}
f D· [z0, R] R > 0z = z0 z0 f z0
g D[z0, R]f = g D· [z0, R]
limz!z0| f (z )| =1
z0
f :C \ {0}!C f (z ) = exp(z )�1z
exp(z )� 1 =X
k�1
1k !
z k ,
g :C!C
g (z ) :=X
k�0
1(k + 1)!
z k ,
C f C \ {0}f
f : C \ { jπ : j 2 Z} ! Cf (z ) = 1
sin(z ) � 1z
g : D[0,π]!C
g (z ) =
8
<
:
1sin(z ) � 1
z z 6= 0 ,
0 z = 0 .
D[0,π] f D· [0,π]
f :C \ {0}!C f (z ) = 1z 4 0
limz!0
�
�
�
�
1z 4
�
�
�
�
= 1 .
f :C\{0}!C f (z ) = exp( 1z )0
limx!0+
expÅ 1
x
ã
= 1 limx!0�
expÅ 1
x
ã
= 0
f
z0 f
z0 limz!z0(z � z0) f (z ) = 0;
z0 limz!z0(z � z0)
n+1 f (z ) = 0n
z0 fh D[z0, R] f (z ) = h(z ) z 2 D· [z0, R]
h z0
limz!z0(z � z0) f (z ) = lim
z!z0(z � z0) h(z ) = h(z0) lim
z!z0(z � z0) = 0 .
limz!z0(z � z0) f (z ) = 0 f
D· [z0, R] g : D[z0, R]!C
g (z ) :=
8
<
:
(z � z0)2 f (z ) z 6= z0 ,
0 z = z0 .
g D· [z0, R]
g 0(z0) = limz!z0
g (z )� g (z0)z � z0
= limz!z0
(z � z0)2 f (z )z � z0
= limz!z0(z � z0) f (z ) = 0 ,
g D[z0, R] g
g (z ) =X
k�0ck (z � z0)
k
c0 = g (z0) = 0 c1 = g 0(z0) = 0
g (z ) = (z � z0)2 X
k�0ck+2 (z � z0)
k
f (z ) =X
k�0ck+2 (z � z0)
k z 2 D· [z0, R] .
D[z0, R] z0
z0 f f (z )!1 z ! z0R f (z ) 6= 0 z 2 D· [z0, R] 1
fD· [z0, R]
limz!z0
1f (z )
= 0 ,
1f z0
g : D[z0, R]!C
g (z ) :=
8
<
:
1f (z ) z 2 D· [z0, R] ,
0 z = z0 ,
nh D[z0, R] h(z0) 6= 0 g (z ) = (z � z0)n h(z ) .
h(z ) 6= 0 z 2 D[z0, R] g (z ) 6= 0 z 2 D· [z0, R]
limz!z0(z � z0)
n+1 f (z ) = limz!z0
(z � z0)n+1
g (z )
= limz!z0
z � z0h(z )
=1
h(z0)limz!z0(z � z0) = 0 .
1h D[z0, R] n > 0
f (z ) = 1g (z )
=1
(z � z0)n· 1
h(z )z 2 D· [z0, R] .
z0 limz!z0(z � z0)n+1 f (z ) = 0
n n h(z ) :=(z � z0)n f (z ) z0
g D[z0, R] h D· [z0, R] n = 0 fz0 n > 0 n
n � 1 ng (z0) = limz!z0
(z � z0)n f (z ) 6= 0 gD[z0, R] z0 n > 0
f (z ) =g (z )(z � z0)n
z 2 D· [z0, R] .
z0 f
limz!z0| f (z )| = lim
z!z0
�
�
�
�
�
h(z )(z � z0)n
�
�
�
�
�
= limz!z0
�
�
�
�
�
g (z )(z � z0)n
�
�
�
�
�
= | g (z0)| limz!z0
1|z � z0|n
= 1 .
f D· [z0, R] f z0m g : D[z0, R]!C
g (z0) 6= 0
f (z ) =g (z )
(z � z0)mz 2 D· [z0, R] .
z0 m
m f (z ) = (z � z0)�m1 g1(z ) f (z ) = (z � z0)�m2 g2(z )m2 > m1 g2(z ) = (z � z0)m2�m1 g1(z ) z = z0
g2(z0) = 0 g2(z0) 6= 0
m z0
f z0 m 1f
m
z0 f rw 2 C
f (D· [z0, r ]) w 2 C ε > 0 z 2 D· [z0, r ]|w � f (z )| < ε
C
CC
w 2C ε > 0z 2 D· [z0, r ]
|w � f (z )| � ε .
g (z ) := 1f (z )�w z ! z0
limz!z0
z � z0f (z )�w
= limz!z0(z � z0) g (z ) = 0 .
g z0
limz!z0
�
�
�
�
�
f (z )�wz � z0
�
�
�
�
�
= 1
f (z )�wz�z0
z0n
limz!z0(z � z0)
n+1 f (z )�wz � z0
= limz!z0(z � z0)
n ( f (z )�w ) = 0 .
f (z )�wz0 f (z )
z0 f
f (z ) =X
k2Zck (z � z0)
k ,
z0
z0
z0k c�k 6= 0
z0
z0g : D[z0, R]!C f D· [z0, R] R > 0g z0
f z0f z0
z0
z0 n f (z ) = (z�z0)�n g (z )D· [z0, R] g D[z0, R] g (z0) 6= 0
g (z ) =P
k�0 ck (z � z0)k D[z0, R] c0 6= 0
f (z ) = (z � z0)�n X
k�0ck (z � z0)
k =X
k��nck+n(z � z0)
k ,
f
f (z ) =X
k��nck (z � z0)
k = (z � z0)�n X
k��nck (z � z0)
k+n
= (z � z0)�n X
k�0ck�n(z � z0)
k ,
c�n 6= 0 g (z ) :=P
k�0 ck�n(z � z0)k g z0g (z0) = c�n 6= 0 f n z0
0 f (z ) = sin(z )z 3
f (z ) =sin(z )
z 3=
z � z 3
3! +z 5
5! � · · ·z 3
=1z 2� 1
3!+
z 2
5!� · · ·
z �2
f (z ) =X
k2Zck (z � z0)
k
z0 f γ
z0 γ
Z
γf (z ) dz = 2πi c�1 .
z0 fP
k2Z ck (z � z0)k c�1 f z0 Resz=z0( f (z ))
Res( f (z ), z = z0)
f Gγ
f γ ⇠G 0γ
Z
γf = 2πi
X
kResz=zk( f (z ))
zk γ
✓⌘◆⇣s
s s
s
✓⌘◆⇣s ✓⌘
◆⇣s
✓⌘◆⇣s ✓⌘
◆⇣s
γ
S γ SG f
γ S SS
γγ
R
γ ff
z0 f Resz=z0( f (z )) = 0 .
z0 f n
Resz=z0( f (z )) = 1
(n � 1)!limz!z0
d n�1
dz n�1
�
(z � z0)n f (z )
�
.
z0
f (z ) =X
k��nck (z � z0)
k .
(z � z0)n f (z ) =
X
k��nck (z � z0)
k+n
c�1
exp(z )sin(z )
π
Resz=0
✓
exp(z )sin(z )
◆
= limz!0
✓
zexp(z )sin(z )
◆
= exp(0) limz!0
zsin(z )
= 1
Resz=π
✓
exp(z )sin(z )
◆
= limz!π
✓
(z � π)exp(z )sin(z )
◆
= exp(π) limz!π
z � πsin(z )
= �eπ ,
f (z ) = sin(z )z 3
Resz=0
✓
sin(z )z 3
◆
= limz!0
ddz
✓
z 2 sin(z )z 3
◆
= limz!0
✓
z cos(z )� sin(z )z 2
◆
= 0 ,
f g z0g
Resz=z0
✓
f (z )g (z )
◆
=f (z0)g 0(z0)
.
f g z0 g
f (z ) =X
k�0ak (z � z0)
k
g (z ) =X
k�1bk (z � z0)
k = (z � z0)X
k�1bk (z � z0)
k�1.
h(z ) :=X
k�1bk (z � z0)
k�1 h(z0) = b1 6= 0
f (z )g (z )
=f (z )
(z � z0) h(z ),
fh z0
Resz=z0
✓
f (z )g (z )
◆
= limz!z0
✓
(z � z0)f (z )
(z � z0)h(z )
◆
=f (z0)h(z0)
=a0b1=
f (z0)g 0(z0)
.
f (z ) = exp(z )g (z ) = sin(z )
Resz=0
✓
exp(z )sin(z )
◆
=exp(0)cos(0)
= 1
Resz=π
✓
exp(z )sin(z )
◆
=exp(π)cos(π)
= �eπ ,
z 2+2(exp(z )�1) cos(z ) z0 = 2πi
f (z ) = z 2+2cos(z ) g (z ) = exp(z )� 1
Resz=2πi
✓
z 2 + 2(exp(z )� 1) cos(z )
◆
=(2πi )2+2cos(2πi )
exp(2πi )=�4π2 + 2cosh(2π)
.
f ff 0f
f
f g
( f g )0
f g=
f 0 g + f g 0
f g=
f 0
f+
g 0
g.
fG f z1, . . . , zj n1, . . . , nj
f
f (z ) = (z � z1)n1 · · · (z � zj )
nj g (z ) ,
g Gf
f 0(z )f (z )
=
n1(z � z1)n1�1(z � z2)n2 · · · (z � zj )nj g (z ) + · · ·+ (z � z1)n1 · · · (z � zj )
nj g 0(z )(z � z1)n1 · · · (z � zj )
nj g (z )
=n1
z � z1+
n2z � z2
+ · · ·+nj
z � zj+
g 0(z )g (z )
.
f Gp1, . . . , pk f G
m1, . . . , mk f
f 0(z )f (z )
= � m1z � p1
� m2z � p2
� · · ·� mkz � pk
+g 0(z )g (z )
,
g G
f G f G
f Gγ
f γ ⇠G 0 Z ( f ,γ)f γ P ( f ,γ)f γ
12πi
Z
γ
f 0
f= Z ( f ,γ)� P ( f ,γ) .
R
γf 0f
f (z ) z γ ( f (z ))0 = f 0(z )f (z )
f γ z1, . . . , zj n1, . . . , nj
γ p1, . . . , pk m1, . . . , mk
γ GG
f 0(z )f (z )
=n1
z � z1+ · · ·+
nj
z � zj� m1
z � p1� · · ·� mk
z � pk+
g 0(z )g (z )
,
g G
Z
γ
f 0
f= n1
Z
γ
dzz � z1
+ · · · + nj
Z
γ
dzz � zj
� m1
Z
γ
dzz � p1
� · · · � mk
Z
γ
dzz � pk
+Z
γ
g 0
g
= 2πi�
n1 + · · ·+ nj � m1 � · · ·� mk�
+Z
γ
g 0
g.
g 0g G g G
Z
γ
g 0
g= 0 .
f f 0f
γf 1
2πiR
γf 0f
Z ( f ,γ) � P ( f ,γ) f 0f
γ1 γZ ( f ,γ1)� P ( f ,γ1)
ff
2πi f
f gG γγ ⇠G 0 | f (z )| > | g (z )| z 2 γ
Z ( f + g ,γ) = Z ( f ,γ) .
p(z ) = z 5+ z 4+ z 3+ z 2+ z +1f (z ) = z 5 g (z ) = z 4 + z 3 + z 2 + z + 1
z 2 C [0, 2]
| g (z )| |z |4+|z |3+|z |2+|z |+1 = 16+8+4+2+1 = 31 < 32 = |z |5 = | f (z )| .
g f f
Z (p, C [0, 2]) = Z ( f + g , C [0, 2]) = Z ( f , C [0, 2]) = 5 .
Z ( f + g ,γ) = 12πi
Z
γ
( f + g )0
f + g=
12πi
Z
γ
Ä
fÄ
1+ gf
ää0
fÄ
1+ gf
ä
=1
2πi
Z
γ
0
@
f 0
f+
Ä
1+ gf
ä0
1+ gf
1
A = Z ( f ,γ) + 12πi
Z
γ
Ä
1+ gf
ä0
1+ gf
.
| gf | < 1 γ 1+ gf
γ R0 Log(1 + gf )
γÄ
1+ gf
ä0
1+ gf
p C< 2
p
12πi
Z
γ
Ä
1+ gf
ä0
1+ gf= 0 .
f m a 1f
m a
(z 2 + 1)�3(z � 1)�4
z cot(z )
z�5 sin(z )
11� exp(z )
z1� exp(z )
f z01f
z0
ff (C) f
f ( 1z )
γ = C [0, 3]Z
γcot(z ) dz
Z
γz 3 cos( 3z ) dz
Z
γ
dz(z + 4)(z 2 + 1)
Z
γz 2 exp( 1z ) dz
Z
γ
exp(z )sinh(z )
dz
Z
γ
i z+4
(z 2 + 16)2dz
f z0 gz0
Resz=z0
�
f (z ) g (z )�
= g (z0) Resz=z0
�
f (z )�
.
0
z�3 cos(z )
csc(z )
z 2 + 4z + 5z 2 + z
exp(1� 1z )
exp(4z )� 1sin2(z )
Z
C [i�1,1]
dzz 4 + 4
Z
C [i ,2]
dzz (z 2 + z � 2)
Z
C [0,2]
exp(z )z 3 + z
dz
Z
C [0,1]
dzz 2 sin z
Z
C [0,3]
exp(z )(z + 2)2 sin z
dz
Z
C [π,1]
exp(z )sin(z ) cos(z )
dz
f Resz=0( f (z )) = 0
f z0
f 0 z0
Resz=z0( f 0)
f g z0g
Resz=z0
✓
f (z )g (z )
◆
=6 f 0(z0) g 00(z0)� 2 f (z0) g 000(z0)
3 g 00(z0)2.
Z
C [2,3]
cos(z )sin2(z )
dz .
p(x ) q (x )q (x ) 6= 0 x 2 R q (x )
p(x )R1�1
p(x )q (x ) dx 2πi
p(z )q (z )
Z 1
�1
dx(1+ x 2)2
.
R1�1
p(x ) cos(x )q (x ) dx p(x ) q (x )
Z 1
�1
cos(x )1+ x 4
dx .
f a, b 2C a 6= b |a|, |b | < R
Z
C [0,R]
f (z )(z � a)(z � b )
dz
f R
f G g G γ
f γ ⇠G 0 fγ z1, . . . , zj p1, . . . , pk
12πi
Z
γg
f 0
f=
jX
m=1g (zm)�
kX
n=1g (pn) .
3exp(z )� z D[0, 1]
13 exp(z )� z D[0, 1]
z 4 � 5z + 1 {z 2C : 1 |z | 2}
p(z ) = an z n + an�1z n�1 + · · ·+ a1z + 1f (z ) = an z n g (z ) = an�1z n�1 + an�2z n�2 + · · ·+ a1z + 1 γ
g (z )
S ⇢C SS S
z 2 S φ(z ) > 0 D[z ,φ(z )]S z φ
S φr0 > 0 r = r0/2 S D[0, M ]
M D[z , r ] z 2 SD[0, M + r ]
D[z , r ] D[0, M + r ]
P
k�11k2
P
k�1(�1)k
k2
f (z ) = π cot(πz )z 2
f
N γN N + 12 � iN
N + 12 + iN �N � 1
2 + iN �N � 12 � iN N + 1
2 � iN
| cot(πz )| < 2 z 2 γN
limN!1R
γNf = 0
P
k2Z\{0}1k2
P
k�11k2
f (z ) = πz 2 sin(πz )
X
k�1
(�1)k
k2.
1sin2(z ) = 1+cot2(z )
P
k�11k4
P
k�1(�1)k
k4
ζ (2) ζ (4) ζ ⇤(z ) :=P
k�1(�1)k
k z
�nk
�
(x + y )n =nX
k=0
✓
nk
◆
x k y n�k
x , y 2C n 2 Z�0�n
k
�
z k (z + 1)n
✓
nk
◆
=1
2πi
Z
γ
(z + 1)n
z k+1dz
γ γ
1z +1 =
z+1z
(z+1)nz k
x 2R |x | < 1/4 γ
X
k�0
✓
(z + 1)2
zx◆k
γ z
x γ
X
k�0
✓
2kk
◆
x k =1
2πiX
k�0
Z
γ
(z + 1)2k
z k+1x k dz ,
P
k�0�2k
k
�
x k
f0 = 0
f1 = 1
fn = fn�1 + fn�2 n � 2
F (z ) =P
k�0 fn z n
F
fn F (z ) = z1�z�z 2
z F (z ) z 2 F (z )
Resz=0
✓
1z n(1� z � z 2)
◆
= fn .
fn
1z n(1� z � z 2)
C [0, R] R !1
t0 = 0
t1 = 0
t2 = 1
tn = tn�1 + tn�2 + tn�3 n � 3
a bt
f (z ) = 1(1� z a) (1� z b ) z t+1
.
f
Resz=0( f ) =N (t )
N (t ) = |{(m, n) 2 Z : m, n � 0, ma + nb = t }| .
N (t )f C [0, R]
R !1
N (t ) = tab�⇢
b�1 ta
�
�⇢
a�1 tb
�
+ 1 .
{x} x a�1a ⌘ 1 b b�1b ⌘ 1a
b = 1
N (t ) = |{(m, n) 2 Z : m, n � 0, ma + n = t }| = |{m 2 Z : m � 0, ma t }|
=�
�
�
�
h
0, ta
i
\Z�
�
�
�
=ta�n t
a
o
+ 1 .
1a
a�1X
k=1
1(1� e 2πi k/a) e 2πi k t /a = �
n ta
o
+12� 1
2a.
a�1X
k=1
1(1� e2πi k b/a) e2πi k t /a =
a�1X
k=1
1(1� e2πi k/a) e2πi k b�1 t /a .
N (ab � a � b ) = 0 N (t ) > 0 t > ab � a � b
a1, a2, . . . , an
t m1, m2, . . . , mn
t = m1 a1 + m2 a2 + · · ·+ mn an .
ta1, a2, . . . , an aj
t
g (a1, . . . , an)
g (a1, a2) = a1a2 � a1 � a2n > 2 g (a1, . . . , an)
xx bx c x
{x} = x � bx ca�1 a�1a = 1+ k b k 2 Z
a b
f (z ) := cot(πaz ) cot(πb z ) cot(πz ) .
ε > 0 γR 1�ε�i R 1�ε+i R�ε + i R �ε � i R 1� ε � i R
f
f γR
cot z = 1z� 1
3z + .
limR!1R
γRf = �2i R > 0
Z
γR
f = �2i .
s (a, b ) := 14b
b�1X
k=1cot
✓
πkab
◆
cot✓
πkb
◆
.
s (a, b ) + s (b , a) = �14+
112
✓
ab+
1ab+
ba
◆
.
η
η(z ) = exp� πi z
12
�
Y
k�1(1� exp(2πi k z ))
K ⇢Rn
f : K !R f
minx2K
f (x ) maxx2K
f (x )
RI ✓R f : I !R
x , x +∆x 2 I 0 < a < 1
f (x +∆x )� f (x )∆x
= f 0(x + a ∆x ) .
f : [a, b ] ! R
F : [a, b ]! R F (x ) =R x
a f (t ) dtF 0(x ) = f (x )
F f F 0 = fR b
a f (x ) dx = F (b )�F (a)
f , g : [a, b ]!R c 2RZ b
a
�
f (x ) + c g (x )�
dx =Z b
af (x ) dx + c
Z b
ag (x ) dx .
f , g : [a, b ]!R�
�
�
�
�
Z b
af (x ) g (x ) dx
�
�
�
�
�
Z b
a| f (x ) g (x )| dx
Å
maxaxb| f (x )|
ã
Z b
a| g (x )| dx .
g : [a, b ] ! R g 0 f :[ g (a), g (b )]!R
Z b
af ( g (t )) g 0(t ) dt =
Z g (b )
g (a)f (x ) dx .
∂2 f∂ x∂ y
∂2 f∂ y∂ x
G ✓R2 (x0, y0) 2 G (x0, y0)
f [a, b ]⇥ [c , d ] ⇢R2
Z b
a
Z d
cf (x , y ) d y dx =
Z d
c
Z b
af (x , y ) dx d y .
f [a, b ]⇥ [c , d ] ⇢ R2
∂ f∂ x [a, b ]⇥ [c , d ]
ddx
Z d
cf (x , y ) d y =
Z d
c
∂ f∂ x(x , y ) d y .
F (x ) =R d
c f (x , y ) d yF (x )� F (a) f (x , y )� f (a, y )
∂ f∂ x
CR2 D C f (x , y )
g (x , y ) DZ
Cf dx + g d y =
Z
D
∂ f∂ x� ∂ g
∂ ydx d y .
I ⇢Rc I c I f gI \ { c} g 0(x )
limx!c
f (x ) = 0, limx!c
g (x ) = 0, limx!c
f 0(x )g 0(x )
= L .
limx!c
f (x )g (x )
= L .
L
I c I
limx!c f (x ) limx!c g (x )
7� i1� i�11� 2i
�2+ 3i
1925 � 8
25 i1p
5 �2� i5p
5 5� 10i∆
1011
311 (p
2� 1) + i11 (p
2+ 9)8 8i
2 e i π2p
2 e i π4
2p
3i e i 5π6
e i 3π2
�1+ i34i�1
± e i π4 � 1
z = e i π3 k , k = 0, 1, . . . , 5
z = 2 e i π4 +
π2 k , k = 0, 1, 2, 3
cos π5 =
14 (p
5+ 1) cos 2π5 =
14 (p
5� 1)
01+ i
C �e�x e�i y
{x + i y 2C : x = y} 2x
C� sin x cosh y � i cos x sinh y
0 00 0i i
C 2y � 2x i = �2i z0 00 0
2x ycos(x ) sinh(y )
C \ {�1, e i π3 , e�i π
3 }C \ {x + i y 2C : x � �1, y = 2}
C \ {x + i y 2C : x 3, y = 0}C
z = i
z = lnπ + i ( π2 + 2πk ), k 2 Zz = π
2 + 2πk ± 4i , k 2 Zz = π
2 + πk , k 2 Zz = πk i , k 2 Zz = πk , k 2 Zz = 2i
f 0(z ) = c z c�1
π
p17+ 1
4 sinh�1(4)
8πi
12 (1� i ) 1
2 (i � 1) �iπi �π 2πiπi r 2 �π r 2 2πi r 2
13 (e
3 � e3i )
13 (exp(3+ 3i )� 1)
�4+ i (4+ π2 )
ln(5)� 12 ln(17) + i ( π2 � Ar g (4i + 1))
2p
2� 1+ 2p
2 i14 sin(8)� 2+ i
�
2� 14 sinh(8)
�
0 r < |a| 2πi r > |a|2πp
3
0 r = 1 � πi3 r = 3 0 r = 5
2πi
� 2πi3
2πi3 (e
3 � 1)
πi�6πi4πi
2πi
πi
2� i2
P
k�0(�4)k z kP
k�01
3·6k z kP
k�0k+12·4k z k+2
P
k�0(�1)k(2k )! z 2k
P
k�0(�1)k(2k )! z 4k
P
k�0(�1)k(2k+1)! z 2k+3
P
k�1(�1)k+122k�1
(2k )! z 2k
P
k�0(�1)k (z � 1)kP
k�1(�1)k�1
k (z � 1)k
1 |a| < 1 |a| = 1 |a| > 1
{z 2C : |z | < 1} {z 2C : |z | r } r < 1C {z 2C : |z | r } r{z 2C : |z � 3| > 1} {z 2C : r |z � 3| R} 1 < r R
z = ±iz = ±1
P
k�0(�2)k (z � 1)�k�2 |z � 1| > 2P
k�0(�2)k (z � 2)�k�3 |z � 2| > 2
�3 (z + 1)�1 + 1 z 6= �1
P
k�0(�1)k(2k )! z 2k�2
P
k��2(�1)k4k+3 (z � 2)k 0 < |z � 2| < 4
� πi8
P
k�01
e k ! (z + 1)k2πie 33!
2πi27πi
4� 2πi
17πi3
2πi
π2
eR C
i
ab
M
