Maximum-Likelihood-Schätzung für das Black-Scholes-Merton ...€¦ · Das von Black und Scholes aufgestellte Modell zur Lösung einer stochastischen Dif-ferentialgleichung brachte

Seminar: Grundlagen der Simulation und Statistik

von dynamischen Systemen

SS 2012

Maximum-Likelihood-Schätzung für das

Black-Scholes-Merton-Modell und das

Cox-Ingersoll-Ross-Modell

Thema 10

Philipp Probst

[email protected]

19. Juni 2012

Dozentin:

Prof. Dr. Christine Müller

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung 3

2 Statistische Modelle und Methoden 3

2.1 Die stochastische Differentialgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.2 Das Black-Scholes-Merton-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.3 Das Cox-Ingersoll-Ross-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.4 Die Maximum-Likelihood-Schätzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.5 Die ML-Schätzung bei stochastischen DGLs . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3 Simulationen 7

3.1 Black-Scholes-Merton-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3.2 Cox-Ingersoll-Ross-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

4 Zusammenfassung 13

A Anhang 15

Literatur 25

1 Einleitung 3

1 Einleitung

Stochastische Integral- und Differentialrechnung spielen in den Wirtschaftswissenschaften

eine immer größer werdende Rolle. Sie kann zum einen zur Modellierung von Finanz-

märkten eingesetzt werden, zum anderen baut die moderne Zeitreihenökonometrie darauf

auf. Das von Black und Scholes aufgestellte Modell zur Lösung einer stochastischen Dif-

ferentialgleichung brachte den beiden sogar den Nobelpreis und fand Anwendung auf

Aktienmärkten. Es sollte dabei nicht außer acht gelassen werden, dass Finanzmärkte sehr

schwierig zu modellieren sind und bestimmte Annahmen wie die, dass die Fluktuationen

normalverteilt sind, nicht mit der Realität übereinstimmen. Solche Fehlannahmen haben

in der Vergangenheit zu großen Verlusten im Derivatenhandel geführt (Ball, 2004, S.251).

Lösungen von anderen stochastischen Differentialgleichungen haben aber nicht nur An-

wendungen in der Wirtschaft, das Cox-Ingersoll-Ross-Modell wird beispielsweise auch zur

Modellierung von Bevölkerungswachstum oder Stickstoffoxidemissionen verwendet.

In der folgenden Arbeit werden in Kapitel 2 zunächst das Black-Scholes-Modell, das Cox-

Ingersoll-Ross-Modell sowie die Maximum-Likelihood-Schätzung vorgestellt. Daraufhin

werden in Kapitel 3 jeweils konkrete Möglichkeiten zur Maximum-Likelihood-Schätzung

der Parameter der beiden Modelle besprochen. Bei den darauf folgenden Simulationen zu

den beiden Modellen soll vor allem die Genauigkeit der Schätzungen bei unterschiedlicher

Anzahl an Realisierungen oder unterschiedlichen Zeitabständen der aufeinander folgen-

den Realisierungen ins Auge gefasst werden. Außerdem soll die asymptotische Normal-

verteilungsannahme der Maximum-Likelihood-Schätzung überprüft werden. In Kapitel 4

werden die wichtigsten Ergebnisse der Simulationen zusammengefasst.

2 Statistische Modelle und Methoden

In diesem Kapitel werden die statistischen Modelle und Methoden vorgestellt, die bei den

darauf folgenden Simulationen benutzt werden.


2.1 Die stochastische Differentialgleichung

Die Differentialgleichung dxt

dt= f(t, x) kann als Integralgleichung xt = xa +

∫ ta f(s, x(s))ds

geschrieben werden (Kuo, 2006, S.185). Wird die Funktion durch eine brownsche Bewe-

gung Bt beeinflusst, so ergibt sich die Differentialgleichung dXt

dt= f(t, X) + σ(t, X)B′

t.

Diese kann umgeschrieben werden zu dXt = f(t, X)dt + σ(t, X)dBt, die als stochastische

Integralgleichung Xt = Xa +∫ t

a f(s, Xs)ds +∫ t

a σ(s, Xs)dB(s), a ≤ t ≤ b interpretiert

werden kann. Lösungen Xt dieser Gleichungen werden Diffusionsprozesse genannt.

In den beiden folgenden Kapiteln werden zwei wichtige stochastische Differentialgleichun-

gen vorgestellt, die sich aus der allgemeinen Form

dXt = f(Xt, θ)dt + σ(Xt, θ)dB(t) (1)

ableiten lassen. θ ∈ Θ ∈ Rp ist dabei ein unbekannter p-dimensionaler Vektor, der die

Funktionen f und σ näher beschreibt und f : R × Θ → R und σ : R × Θ → (0, ∞) seien

bekannt und so gewählt, dass (1) eine Lösung besitzt.

2.2 Das Black-Scholes-Merton-Modell

Das Black-Scholes-Merton-Modell wird je nach Kontext auch Black-Scholes-Modell oder

“Modell der brownschen geometrischen Bewegung” genannt. Es löst die spezielle stochas-

tische Differentialgleichung

dXt = θ1Xtdt + θ2XtdBt, X0 = x0, θ1 ∈ R, θ2 ∈ R+. (2)

(vgl. Iacus, 2008, S.117f). Die zugehörige bedingte Dichtefunktion pθ(t, .|x) zum Zeitpunkt

t bei gegebenem Wert x ist logarithmisch normalverteilt mit Erwartungswert m(t, x) =

xeθ1t und Varianz v(t, x) = x2e2θ1t(eθ22t − 1). Daraus folgt die bedingte Dichte

pθ(t, y|x) =1

θ2y√

2πtexp

{

−(log y − (log x + (θ1 − 12θ2

2)t))2

2θ22t

}

. (3)


2.3 Das Cox-Ingersoll-Ross-Modell

Das Cox-Ingersoll-Ross-Modell löst die spezielle stochastische Differentialgleichung

dXt = (θ1 − θ2Xt)dt + θ3

√

XtdBt, X0 = x0 > 0, (4)

(vgl. Iacus, 2008, S.119), wobei θ1, θ2, θ3 ∈ R+ sind. Im Falle von 2θ1 > θ23 ist der Prozess

strikt positiv, ansonsten nur nichtnegativ. Die bedingte Dichte Yt|Y0 der Zufallsvariablen

Yt = 2cXt mit c = 2θ2/(θ23(1−e−θ2t)) verhält sich wie eine nichtzentrale χ2-Verteilung mit

4θ1/θ23 Freiheitsgraden und Nichtzentralitätsparameter y0e

−θ2t (Iacus, 2008, S.47). Daraus

lässt sich leicht die bedingte Dichte von Xt|X0 = x0 berechnen. Das Ergebnis ist

pθ(t, y|x) = ce−u−v(

v

u

)q/2

Iq(2√

uv), x, y ∈ R+ (5)

mit den Parametern c = 2θ2

θ23(1−e−θ2t) , q = 2θ1

θ23

− 1, u = cxe−θ2t, v = cy.

Iq(.) ist dabei die modifizierte Bessel-Funktion ersten Grades q, die sich als

Iq(x) =∞

∑

k=0

(x

2)2k+q 1

k!Γ(k + q + 1), x ∈ R (6)

aufschreiben lässt. Γ(.) bezeichnet die Gammafunktion Γ(z) =∫ ∞

0 xz−1e−xdx, z ∈ R.

2.4 Die Maximum-Likelihood-Schätzung

Seien X1, ..., Xn unabhängig identisch verteilte Zufallsvariablen mit gemeinsamer Dichte

f(x1, ..., xn|θ) = f(x1|θ) · · · f(xn|θ). θ ∈ Rk sei dabei ein Parametervektor, der eine be-

stimmte X1, ..., Xn zugrunde liegende Verteilung charakterisiert. Bei einer Realisierung

von Werten x1, ..., xn und unbekanntem Parametervektor θ kann die Dichte als eine Funk-

tion in Abhängigkeit von θ aufgefasst werden. Diese Funktion L(θ) = f(x1, ..., xn|θ) wird

als Likelihoodfunktion bezeichnet (Fahrmeir et al., 1999, S.372f). Sinnvoll ist es dann

als Schätzung für θ denjenigen Parameter θ̂ zu wählen, der die Likelihoodfunktion maxi-

miert, also L(θ̂) = maxθ f(x1, ..., xn|θ). Letztendlich liefert uns diese Funktion also für die


Zufallsvariablen X1, ..., Xn denjenigen Parameter θ̂, der am plausibelsten erscheint. Die

Schätzfunktion θ̂(x1, ..., xn), die uns in Abhängigkeit der Realisierungen eine Schätzung

für θ liefert, nennt man Maximum-Likelihood-Schätzer. Das Maximum dieser Funktion

kann, falls die Funktion differenzierbar ist, durch partielles Ableiten nach θ1, ..., θn und

Nullsetzen der Ableitungen berechnet werden. In vielen Fällen ist es sinnvoll die Like-

lihoodfunktion zunächst zu logarithmieren und diese dann zu maximieren, da die Terme

oft einfacher abzuleiten sind und das Maximum einer Funktion wegen der strikten Mo-

notonie des Logarithmus auch das Maximum seiner Logarithmierung ist. Diese Funktion

l(θ) = ln L(θ) =n∑

i=1ln f(xi|θ) wird Log-Likelihood-Funktion genannt.

2.5 Die ML-Schätzung bei stochastischen DGLs

Seien x1, ..., xn zeitdiskrete Beobachtungen eines stochastischen Prozesses, der über ei-

ne stochastische Differentialgleichung wie in (1) definiert ist. Sei außerdem für jede Be-

obachtung X1, ..., Xn die auf die vorhergehende Beobachtung bedingte Dichtefunktion

pθ(t, xi, |xi−1) mit unbekanntem θ bekannt. Dann kann der Parametervektor θ der sto-

chastischen Differentialgleichung mittels einer Maximum-Likelihood-Schätzung geschätzt

werden. Aufgrund der Markov-Eigenschaft von X hat nur die Beobachtung xi−1 einen

Einfluss auf xi und die Likelihoodfunktion ist dann gegeben durch

L(θ) =n

∏

i=1

pθ(t, xi, |x1, ..., xi−1)pθ(x0) =n

∏

i=1

pθ(t, xi, |xi−1)pθ(x0). (7)

Mittels Logarithmierung lässt sich daraus leicht die Log-Likelihoodfunktion l(θ) = ln(L(θ))

bilden. Problematisch ist hierbei der Wert pθ(x0), da die Dichte zu diesem Zeitpunkt oft

nicht gegeben ist. Für eine große Anzahl n an Beobachtungen wird der Einfluss von pθ(x0)

so gering, dass er vernachlässigt und auf 1 gesetzt werden kann. Um das Maximum zu

erhalten können wie bei der normalen Maximum-Likelihood-Schätzung die partiellen Ab-

leitungen nach θ1, ..., θn gleich Null gesetzt werden. Unter bestimmten Bedingungen gilt,

dass die Maximum-Likelihood-Schätzung konsistent und asymptotisch normalverteilt ist

(Iacus, 2008, S.112). Statt die Bedingungen zu überprüfen kann man dies jedoch auch

mittels Empirie feststellen. Bei bestimmten bedingten Dichten ist es nur schwer möglich

3 Simulationen 7

mittels analytischer Methoden ein Maximum zu finden. In diesen Fällen können numeri-

sche Verfahren wie das L−BFGS−B angewendet werden, das bereits im vorhergehenden

Vortrag beschrieben wurde.

3 Simulationen

In den folgenden Simulationen soll von Interesse sein, die Parameter der bedingten Dich-

ten der stochastischen Differentialgleichungen bei gegebenen Realisierungen möglichst gut

zu schätzen. Die Realisierungen eines bestimmten stochastischen Prozesse können mit der

Funktion sde.sim in R (R Development Core Team 2012) aus dem Paket sde (Iacus,

2009) simuliert werden. Dazu müssen der Drift, der Diffusionskoeffizient und ein Simulati-

onsschema oder die bedingte Dichtefunktion einer bestimmten stochastischen Differential-

gleichung angegeben werden. Außerdem sollten noch die Anzahl an Realisierungen n und

die Zeitabstände t zwischen zwei aufeinander folgenden Realisierungen angegeben wer-

den. Anhand der simulierten Daten soll daraufhin eine Maximum-Likelihood-Schätzung

(ML-Schätzung) durchgeführt werden, um die Parameter der stochastischen Differenti-

algleichungen zu schätzen. Als letztes soll evaluiert werden, wie gut die durchgeführten

Schätzungen sind. Unter bestimmten Bedingungen ist die Konsistenz und die asymptoti-

sche Normalverteilung der ML-Schätzung gegeben. Ob die Schätzungen dies erfüllen, soll

hier empirisch überprüft werden. Außerdem soll das Verhalten der Schätzer bei Variierung

der Zeitabstände t untersucht werden.

3.1 Black-Scholes-Merton-Modell

Zunächst wird das Black-Scholes-Merton-Modell betrachtet. Als erstes werden mit der

Funktion sde.sim jeweils n1 = 100, n2 = 1000 und n3 = 5000 Realisierungen einer geo-

metrischen Brownschen Bewegung mit Parametern θ1 = 0.5, θ2 = 0.2 und Zeitabständen

∆t = 0.01 erzeugt, der Anfangswert ist x0 = 1. Es werden dann zwei Funktionen zur

Berechnung des ML-Schätzers programmiert (vgl. Anhang). Es wird dazu die bedingte

Dichte dieses Modells benutzt, sie ist lognormalverteilt mit Dichte wie in (3) auf Seite 4.

3 Simulationen 8

Jede Beobachtung wird dabei auf die vorhergehende Beobachtung bedingt. Allerdings ist

das Maximum der Likelihoodfunktion von lognormalverteilten Zufallsvariablen analytisch

nicht einfach berechenbar, weswegen die numerische Methode “L-BFGS-B” verwendet

wird. Diese ist in der Funktion mle enthalten, die in R ohne Paketinstallation aufrufbar

ist. Da diese standardmäßig das Minimum einer Funktion sucht, wird das Vorzeichen der

Likelihood-Funktion umgedreht. Der Parametervektor θ̂ = (θ̂1, θ̂2) der möglichen Lösun-

gen wird auf den Raum (0.01, 0.01) ≤ θ̂ ≤ (1, 1) beschränkt. Außerdem wird mit Hilfe der

Hesse-Matrix die Standardabweichung sowie das 95%-Konfidenzintervall berechnet. Die

jeweils erhaltenen Parameterschätzer sind in Tabelle 1 zu sehen. Für eine größer werdende

Anzahl an Realisierungen liegen die Schätzungen immer näher am wahren θ = (0.5, 0.2).

Die Konfidenzintervalle überdecken bei θ1 immer den wahren Parameter, bei θ2 wird er

erst bei der letzten Schätzung mit n3 = 5000 Beobachtungen überdeckt.

Tabelle 1: ML-Schätzer, Standardabweichung und 95% Konfidenzintervalle für θ

Anzahl Realisierungen θ̂1 θ̂2

n1 = 100 ML-Schätzung 0.7311 0.2340Standardabweichung 0.2340 0.016595%-Konfidenzintervall [0.2690, 1.1953] [0.2050, 0.2706]



Um genauere Aussagen treffen zu können, werden für n = 100, 200, 300, ..., 5000 Beobach-

tungen einer brownschen Bewegung mit gleichen Einstellungen wie bei obigen Schätzun-

gen jeweils 1000 Prozesse simuliert. Für diese Prozesse wird jeweils eine ML-Schätzung

durchgeführt. Von diesen ML-Schätzung wird das arithmetische Mittel sowie das 0.025

bzw. 0.975-Quantil gebildet. Das Ergebnis für θ̂1 ist in Abbildung 1 zu sehen, für θ̂2 ist

eine analoge Grafik im Anhang zu sehen (Abbildung 3). Es ist erkennbar, dass bei θ1 und

θ2 die Mittelwerte der ML-Schätzungen immer nahe an den wahren θ1 und θ2 liegen und

die Abstände der 0.025 bzw. 0.975-Quantile immer enger werden. Es kann deshalb davon

3 Simulationen 9

ausgegangen werden, dass die Schätzungen im Mittel immer richtig sind und dass bessere

Schätzungen resultieren, wenn die Anzahl der Beobachtungen erhöht wird, da sich dann

der Abstand der 0.025-Quantilen zu den 0.975-Quantilen und damit auch die Varianz

verkleinert.

0 1000 2000 3000 4000 5000

0.2

0.4

0.6

0.8

Anzahl Realisierungen

Dur

chsc

hnitt

übe

r 10

00 W

iede

rhol

unge

n

ML−Schätzung0.025 und 0.975 Quantilewahrer Wert

Abbildung 1: Black-Scholes-Modell: Durchschnitt und 0.025 bzw. 0.975-Quantile der ML-Schätzungen von θ1 bei wachsender Anzahl an Realisierungen

Von Interesse ist außerdem, ob die asymptotische Normalverteilungsannahme richtig ist.

Dafür werden für eine große Anzahl an Beobachtungen n (n = 5000) 1000 Wiederholungen

einer ML-Schätzung für θ1 und θ2 durchgeführt, die restlichen Einstellungen bleiben gleich.

Diese Schätzungen werden dann mittels QQ-Plots, die in Abbildung 2 zu sehen sind, auf

Normalverteilung überprüft. Es ist hier keine markante Abweichung von einer Geraden

erkennbar, weshalb von asymptotischer Normalverteilung ausgegangen werden kann.

Darüber hinaus kann betrachtet werden, wie sich die ML-Schätzung verhält, wenn der

Zeitabstand t zwischen den Beobachtungen verändert wird. Für ∆t ≥ 0.3 ist die nume-

rische Berechnung des ML-Schätzers nicht mehr möglich, da die geometrische Bewegung

am Ende Werte erzeugt, die für R unendlich sind. Um das allgemeine Verhalten des ML-

Schätzers bei verschiedenen Zeitabständen ∆t zu betrachten, wird ∆t < 0.3 variiert, die

3 Simulationen 10

−3 −2 −1 0 1 2 3

0.40

0.45

0.50

0.55

Theoretische Quantile

Em

pris

che

Qua

ntile

−3 −2 −1 0 1 2 3

0.19

40.

198

0.20

2Theoretische Quantile

Em

pris

che

Qua

ntile

Abbildung 2: QQ-Plots der 1000 ML-Schätzungen für geometrische brownsche Bewegun-gen mit n = 5000 Realisierungen und θ1 (links) und θ2 (rechts)

Grenzen der möglichen Lösungen werden neu gesetzt ((−6, 0.01) ≤ θ ≤ (1, 1)). Es werden

für ∆t = e−11.4, e−11.2, e−11, ..., e−1.6 wieder jeweils 1000 Wiederholungen einer brownschen

Bewegung mit n = 1000 Beobachtungen durchgeführt und das arithmetische Mittel sowie

die 0.025 und 0.975-Quantile der ML-Schätzungen berechnet. Das Ergebnis ist in Abbil-

dung 4 im Anhang zu sehen. Die x-Achse ist logarithmiert, um eine bessere Übersicht

über die Werte zu bekommen. Für θ1 ist die Schätzung im Mittel immer richtig, mit grö-

ßer werdenden Zeitabständen ∆t wird die Schätzung immer besser, da der Abstand der

Quantile, die den wahren Wert 0.05 einschließen immer kleiner wird. Für θ2 dagegen sind

die Schätzungen unabhängig von ∆t überall gleich gut. Dies liegt vermutlich daran, dass

θ1 der Parameter für die deterministische Steigung ist. Diese wird bei größeren Zeitabstän-

den offensichtlicher, da die Schätzung nicht mehr so stark durch den zufälligen Verlauf der

Brownschen Bewegung beeinflusst wird. Der Parameter der brownschen Bewegung θ2 ist

im Gegensatz dazu unabhängig von den Zeitabständen gut berechenbar, da die Brownsche

Bewegung auf beliebig kleinen Räumen die gleiche Struktur aufweist.

3 Simulationen 11

3.2 Cox-Ingersoll-Ross-Modell

Als nächstes soll eine Schätzung der Parameter des Cox-Ingersoll-Ross-Modells (CIR-

Modell) durchgeführt werden. Dazu wird auch hier die bedingte Dichte verwendet um

eine Maximum Likelihood-Schätzung für θ durchzuführen. Problematisch ist hierbei die

in der bedingten Dichte enthaltene Bessel-Funktion Iq. Die in R implementierte Funkti-

on besselI(x,q) führt zu Overflows bei großem x und q. Overflow, auch arithmetischer

Überlauf genannt, bedeutet, dass das Ergebnis einer Rechnung für den gültigen Zahlen-

bereich (in R Absolutwerte von 2 · 10−308 bis 2 · 10308) zu groß ist, um noch richtig inter-

pretiert werden zu können. Ähnliche Probleme ergeben sich, wenn die χ2 -Verteilung zur

Likelihood-Schätzung benutzt wird, auch wenn hier seltener Overflows entstehen. Um bes-

sere Ergebnisse zu erzielen, wird die exponentiell skalierte Bessel-Funktion e−2√

uvIq(2√

uv)

verwendet, statt die normale in besselI(x,q) implementierte Funktion zu verwenden.

Diese kann mittels asymptotischer Expansion berechnet werden (siehe expBes im An-

hang). Die Log-Likelihood des CIR Modells ergibt sich zu

li(θ) = log c − (u + v) +q

2log

(

v

u

)

+ log Iq(2√

uv). (8)

Um die exponentiell skalierte Bessel-Funktion anzuwenden wird der Rechte Term von

log Iq(2√

uv) = log Iq(2√

uv) − 2√

uv + 2√

uv = log(e−2√

uvIq(2√

uv)) + 2√

uv (9)

benutzt, der sich aus dem letzten Term der Loglikelihood ergibt.

Trotz dieser Modifikation ist bei allen Alternativen die Berechnung des ML-Schätzers

aufgrund numerischer Overflows oftmals nicht möglich. Im weiteren Verlauf wird deshalb

sowohl die Variante mit der exponentiell skalierten Bessel-Funktion (CIR.lik) und die

Variante mit der χ2-Verteilung (CIR.lik2) benutzt (vgl. Anhang). Generell kommt es

wohl bei kleinen Beobachtungsanzahlen n und bei zu großen oder zu kleinen Zeitabständen

∆t vermehrt zu Fehlermeldungen. Zunächst werden 1000 CIR-Prozesse mit N = 1000

Realisierungen, Parametern θ1 = 0.2, θ2 = 0.06 und θ3 = 0.15 sowie Zeitabständen

∆t = 0.01 simuliert. Der Parametervektor θ̂ = (θ̂1, θ̂2, θ̂3) der möglichen Lösungen wird

3 Simulationen 12

auf den Raum (0.01, 0.01, 0.01) ≤ θ̂ ≤ (1, 1, 1) beschränkt. Bei CIR.lik konnte genau wie

bei CIR.lik2 132-mal keine Schätzung durchgeführt werden, da ein Fehler auftrat. Leider

traten die Fehler jeweils bei den selben CIR-Prozessen auf. Bei anderen Einstellungen

konnte es aber durchaus sein, dass eine Funktion ein Ergebnis lieferte und die andere nicht,

weswegen dennoch beide Möglichkeiten im Auge behalten werden sollten. Ein Beispiel

für eine dieser ML-Schätzungen mit den berechneten Werten, Standardabweichungen und

Konfidenzintervallen ist in Tabelle 2 zu finden. Beide Schätzungen sind hier in etwa gleich,

der Parameter θ1 wird stark überschätzt.

Tabelle 2: Maximum Likelihood-Schätzer für den Parameter θ

Funktion θ̂1 θ̂2 θ̂3

(CIR.lik) ML-Schätzung 0.2938 0.0991 0.1525Standardabweichung 0.0699 0.0801 0.003495%-Konfidenzintervall [NA,0.4311] [-0.0579, 0.2563] [0.1461, 0.1595]

(CIR.lik2) ML-Schätzung 0.2938 0.0991 0.1525Standardabweichung 0.0699 0.0801 0.003495%-Konfidenzintervall [NA,0.4311] [-0.0579, 0.2563] [0.1461, 0.1595]

Ein weiterer interessanter Aspekt ist die Dauer der Berechnungen. Einen Schätzung mit-

tels der χ2-Verteilung zu berechnen benötigt mehr als zehnmal so viel Zeit wie die Funk-

tion, welche die exponentiell skalierte Bessel-Funktion verwendet.

Eine saubere Analyse der programmierten ML-Schätzungen ist wegen der häufig auftre-

tenden Fehlermeldungen schwerlich möglich, da die Fehlermeldungen wohl bei einer spe-

ziellen Klasse von Daten auftreten. Dies kann anhand Abbildung 5 im Anhang nach-

vollzogen werden. Hier wurden mit der Funktion CIR.lik ML-Schätzungen für n =

100, 200, 300, ..., 5000 jeweils 1000 mal durchgeführt, die Parameter wurden wie oben ge-

wählt. Der Parametervektor wurde auf den Raum (−2, 0.001, 0.001) ≤ θ̂ ≤ (1, 5, 1) ein-

geschränkt. Die arithmetischen Mittel und die 0.975-Quantile über die ML-Schätzungen

von θ1 und θ2 bei kleinen n, die keine Fehlermeldung aufweisen (ca. 85%), liegen weit über

dem wahren Wert. Dies könnte daran liegen, dass die Berechnung vor allem für Daten,

die eine kleine ML-Schätzung ergeben würden, scheitert. θ3 scheint dagegen für alle n

erwartungstreu geschätzt werden zu können. Für größer werdende n werden die Schätzun-


gen besser für alle θ, dies ist an der Konvergenz der Mittelwerte gegen die wahren Werte

sowie den kleineren Abständen zwischen den Quantilen zu sehen. Auch die Anzahl an

Fehlermeldungen reduziert sich, so tritt beispielsweise für n = 5000 keine Fehlermeldung

mehr auf.

Um wieder die asymptotische Normalverteilungsannahme zu überprüfen werden für die

Ergebnisse bei n = 5000 für alle Parameter QQ-Plots erstellt, die im Anhang in den

Abbildungen 6 und 7 zu finden sind. Da auch keine Fehlermeldungen auftreten, kön-

nen Verzerrungen aus diesem Grund ausgeschlossen werden. Bei θ1 und θ2 sind leichte

Krümmungen zu erkennen. Einzig die ML-Schätzung für θ3 scheint die asymptotische

Normalverteilungsannahme zu erfüllen.

Auf eine grafische Analyse des Verhaltens bei unterschiedlichen Zeitabständen ∆t wird,

wegen der häufig auftretenden Fehlermeldungen bei zu großen und zu kleinen ∆t, verzich-

tet. Diese machen eine Überprüfung der Erwartungstreue und Varianz der ML-Schätzer

bei unterschiedlichen ∆t unmöglich.

4 Zusammenfassung

In dieser Ausarbeitung geht es darum, Methoden zur Schätzung von Parametern des

Black-Scholes-Modells und des Cox-Ingersoll-Ross-Modells vorzustellen und zu bewerten.

Beide Modelle bieten Lösungen zu speziellen stochastischen Differentialgleichungen. Die

Dichten zu einer Realisierung, bedingt auf die vorhergehende Realisierung, bei bekann-

ten Zeitabständen sind in beiden Fällen bekannt, weswegen die Parameter jeweils mit der

Maximum-Likelihood-Methode geschätzt werden können. Da eine analytische Berechnung

des Maximums wegen der Unkenntnis der partiellen Ableitungen nicht möglich ist, wer-

den numerische Methoden verwendet. Dazu muss der Lösungsraum des Parametervektors

vorab beschränkt werden.

Beim Black-Scholes-Modell werden mit dieser Methode für eine ausreichend große Anzahl

an Beobachtungen recht gute Ergebnisse erzielt, die Schätzung für beide Parameter ist

durchgehend erwartungstreu. Zusätzlich wird die ML-Schätzung bei wachsender Anzahl


an Beobachtungen immer genauer. Für eine große Anzahl an Beobachtungen kann auch

festgestellt werden, dass die ML-Schätzer normalverteilt um den wahren Wert θ streu-

en, dass also eine asymptotische Normalverteilung vorliegt. Bei konstant gehaltener An-

zahl an Beobachtungen und größer werdenden Zeitabständen wird die Schätzung für den

Steigungsparameter θ1 immer besser. Die Schätzung für den Parameter der brownschen

Bewegung θ2 bleibt dagegen konstant gut.

Die ML-Schätzung beim Cox-Ingersoll-Ross-Modell ist problematischer. Bei Benutzung

der normalen bedingten Dichte dieses Modells ergeben sich große Probleme bei der ML-

Schätzung, da es zu numerischen Overflows kommt. Deshalb werden modifizierte Versio-

nen dieser bedingten Dichte verwendet, die jedoch auch nicht immer einwandfrei funktio-

nieren und oft zu Fehler führen. Um Fehler zu vermeiden sollte die Beobachtungsanzahl

n ausreichend groß und der Zeitabstand in etwa um ∆t=0.01 gewählt werden. Die Schät-

zungen für die deterministischen Parameter θ1 und θ2 sind nicht erwartungstreu, aber

wenigstens konsistent. Auch die asymptotische Normalverteilungsannahme der Schätzer

ist bei den beiden Parametern nicht sicher gewährleistet. Die Schätzung für θ3 ist dagegen

erwartungstreu und asymptotisch normalverteilt. Auf eine Analyse bei unterschiedlichen

Zeitabständen ∆t wird verzichtet, da eine zu große Variation von ∆t nach oben oder nach

unten zu einer großen Anzahl an Fehlermeldungen führt, welche die Analyse verzerrt.

Weitergehende Untersuchungen könnten beim Cox-Ingersoll-Ross-Modell versuchen die

Gefahr von numerischen Overflows bei der Maximum-Likelihood-Schätzung einzudämmen.

Dazu existieren bereits einige Überlegungen, beispielsweise könnte die bedingte Dichte

mittels einer Poisson mixing-Gamma Charakterisierung approximiert werden (vgl. Iacus,

2008, S.121).

A Anhang 15

A Anhang

A.1 Zusätzliche Grafiken und Tabellen

0 1000 2000 3000 4000 5000

0.17

0.19

0.21

0.23


Dur

chsc

hnitt

übe

r 10

00 W

iede

rhol

unge

n

ML−Schätzung0.025 und 0.975 Quantilewahrer Wert

Abbildung 3: Black-Scholes-Modell:Durchschnitt und 0.025 bzw. 0.975-Quantile der ML-Schätzungen von θ2 bei wachsender Anzahl an Realisierungen

A Anhang 16

−10 −8 −6 −4 −2

−2

02

4

logarithmierte Zeitabstände

Dur

chsc

hnitt

übe

r 10

00 W

iede

rhol

unge

n

ML−Schätzung0.025 und 0.975 Quantilwahrer Wert

−10 −8 −6 −4 −2

0.19

00.

195

0.20

00.

205

0.21

0

logarithmierte Zeitabstände

Dur

chsc

hnitt

übe

r 10

00 W

iede

rhol

unge

n


Abbildung 4: Black-Scholes-Modell: Durchschnitt und 0.025 bzw. 0.975-Quantile der ML-Schätzungen von θ1 (oben) und θ2 (unten) bei wachsenden Zeitabständen

A Anhang 17

0 1000 2000 3000 4000 5000

0.2

0.3

0.4

0.5


Dur

chsc

hnitt

übe

r 10

00 W

iede

rhol

unge

n


0 1000 2000 3000 4000 5000

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0


Dur

chsc

hnitt

übe

r 10

00 W

iede

rhol

unge

n


0 1000 2000 3000 4000 5000

0.13

50.

145

0.15

50.

165


Dur

chsc

hnitt

übe

r 10

00 W

iede

rhol

unge

n


Abbildung 5: Cox-Ingersoll-Ross-Modell: Durchschnitt und 0.025 bzw. 0.975-Quantile derML-Schätzungen von θ1 (oben), θ2 (mittig) und θ3 (unten) bei wachsendenZeitabständen

A Anhang 18

−3 −2 −1 0 1 2 3

0.15

0.25

0.35


Em

pris

che

Qua

ntile

−3 −2 −1 0 1 2 3

0.05

0.10

0.15


Em

pris

che

Qua

ntile

Abbildung 6: QQ-Plots der 1000 ML-Schätzungen des Cox-Ingersoll-Ross-Modells mitn = 5000 Realisierungen für θ1 (links) und θ2 (rechts)

−3 −2 −1 0 1 2 3

0.14

60.

150

0.15

4


Em

pris

che

Qua

ntile

Abbildung 7: QQ-Plot der 1000 ML-Schätzungen des Cox-Ingersoll-Ross-Modells mit n =5000 Realisierungen für θ3

A Anhang 19

A.2 R-Code

# Black-Scholes Model

dcBS <- function(x,t,x0,theta,log=TRUE){

m1 <- log(x0) + (theta[1]-theta[2]^2/2)*t

s1 <- sqrt(t)*theta[2]

lik <- dlnorm(x,meanlog=m1,sdlog=s1,log=TRUE)

if(!log)

lik <-exp(lik)

lik

}

BS.lik <- function(theta1,theta2){

n <- length(X)

dt <- deltat(X)

-sum(dcBS(x=X[2:n], t=dt, x0=X[1:(n-1)], theta=c(theta1,theta2)))

}

#install.packages("sde")

library(sde)

# ex3.03.R

set.seed(216)

X <- sde.sim(model="BS", theta=c(0.5,0.2), delta=0.01)

fit <- mle(BS.lik, start=list(theta1=1, theta2=1), method="L-BFGS-B", lower=c(0.01,0.01))

coef(fit)

summary(fit)

confint(fit)

length(X)*deltat(X)

set.seed(216)

X <- sde.sim(model="BS", theta=c(0.5,0.2),N=1000, delta=0.01)

fit <- mle(BS.lik,start=list(theta1=1, theta2=1), method="L-BFGS-B", lower=c(0.01,0.01))

coef(fit)

summary(fit)

confint(fit)

length(X)*deltat(X)

set.seed(216)

X <- sde.sim(model="BS", theta=c(0.5,0.2), N=5000, delta=0.01)


coef(fit)

summary(fit)

confint(fit)

length(X)*deltat(X)

#extra (KI’s, Normalverteilung und Erwartungstreue)

# Funktion

set.seed(216)

k <- seq(100,5000,100)

e1 <- e2 <- q11 <- q12 <- q21 <- q22 <- numeric(length(k))

for (j in 1:length(k)){

f1 <- f2 <- numeric(1000)

for (i in 1:1000){

X <- sde.sim(model="BS", theta=c(0.5,0.2), N=k[j], delta=0.01)


f1[i] <- coef(fit)[[1]]

f2[i] <- coef(fit)[[2]]}

# Erwartungswert

e1[j] <- mean(f1)

e2[j] <- mean(f2)

# Quantile

q11[j] <- quantile(f1,0.025)

q12[j] <- quantile(f1,0.975)

q21[j] <- quantile(f2,0.025)

q22[j] <- quantile(f2,0.975)

}

setwd("/media/DATA/Studium/6. Semester/Nichtlineare dynamische Systeme")

# save(list(e1,e2,q11,q12,q21,q22,f1,f2),file="Realisationsanzahl.RData")

load("Realisationsanzahl.RData")

A Anhang 20

# Erwartungswerte

# theta1

par(mfrow=c(1,1))

plot(k,a[[1]],type="l",ylim=range(c(a[[1]],a[[3]],a[[4]])),main="",xlab="Anzahl Realisierungen",

ylab="Durchschnitt über 1000 Wiederholungen",col="red")

lines(k,a[[3]],col="blue")


lines(k, rep(0.5,50),lty="dashed")

legend(1000,0.32,c("ML-Schätzung","0.025 und 0.975 Quantile","wahrer Wert"),col=c("red","blue",

"black"),lty=c(1,1,2))

#theta2

plot(k,a[[2]],type="l",ylim=range(c(a[[2]],a[[5]],a[[6]])),main="",xlab="Anzahl Realisierungen",





legend(1000,0.189,c("ML-Schätzung","0.025 und 0.975 Quantile","wahrer Wert"),col=c("red","blue",

"black"),lty=c(1,1,2))

# asymptotisch normalverteilte Daten? (laut Buch)

par(mfrow=c(1,2))

qqnorm(f1,main="",ylab="Emprische Quantile",xlab="Theoretische Quantile")

qqline(f1)

qqnorm(f2,main="",ylab="Emprische Quantile",xlab="Theoretische Quantile")

qqline(f2)

# Bandbreitenveränderung

# l muss kleiner als 0.3 sein

set.seed(216)

l <- exp(seq(-11.4,-1.6,0.2))

log(l)

e1 <- e2 <- q11 <- q12 <- q21 <- q22 <- numeric(length(l))

for (j in 1:length(l)){

f1 <- f2 <- numeric(1000)

for (i in 1:1000){

X <- sde.sim(model="BS", theta=c(0.5,0.2), N=1000, delta=l[j])

fit <- mle(BS.lik,start=list(theta1=1, theta2=1), method="L-BFGS-B", lower=c(-6,0.01))

f1[i] <- coef(fit)[[1]]

f2[i] <- coef(fit)[[2]]}

# Erwartungswert

e1[j] <- mean(f1)

e2[j] <- mean(f2)

# Quantile

q11[j] <- quantile(f1,0.025)

q12[j] <- quantile(f1,0.975)

q21[j] <- quantile(f2,0.025)

q22[j] <- quantile(f2,0.975)

}


# save(list(e1,e2,q11,q12,q21,q22,f1,f2),file="Bandbreiten.RData")

load("Bandbreiten.RData")

# Erwartungswerte

# theta1

par(mfrow=c(2,1))

plot(log(l),b[[1]],type="l",ylim=range(c(b[[1]],b[[3]],b[[4]])),main="",xlab="logarithmierte

Zeitabstände",ylab="Durchschnitt über 1000 Wiederholungen",col="red")

lines(log(l),b[[3]],col="blue")


lines(log(l), rep(0.5,50),lty="dashed")

legend(log(l[20]),4,c("ML-Schätzung","0.025 und 0.975 Quantil","wahrer Wert"),

col=c("red","blue","black"),lty=c(1,1,2))

#theta2

plot(log(l),b[[2]],type="l",ylim=range(c(b[[2]],b[[5]],b[[6]])),main="",

xlab="logarithmierte Zeitabstände",ylab="Durchschnitt über 1000 Wiederholungen",col="red")

A Anhang 21



lines(log(l), rep(0.2,50),lty="dashed")

legend(log(l[20]),0.207,c("ML-Schätzung","0.025 und 0.975 Quantil","wahrer Wert"),


############################ Cox-Ingersoll-Ross model ######################################

expBes <- function(x,nu){

mu <- 4*nu^2

A1 <- 1

A2 <- A1*(mu-1)/(1*(8*x))

A3 <- A2*(mu-9)/(2*(8*x))

A4 <- A3*(mu-25)/(3*(8*x))

A5 <- A4*(mu-49)/(4*(8*x))

A6 <- A5*(mu-81)/(5*(8*x))

A7 <- A6*(mu-121)/(6*(8*x))

1/sqrt(2*pi*x)*(A1-A2+A3-A4+A5-A6+A7)

}

dcCIR <- function(x, t, x0, theta, log=FALSE){

c <- 2*theta[2]/((1-exp(-theta[2]*t))*theta[3]^2)

ncp <- 2*c*x0*exp(-theta[2]*t)

df <- 4*theta[1]/theta[3]^2

u <- c*x0*exp(-theta[2]*t)

v <- c*x

q <- 2*theta[1]/theta[3]^2-1

lik <- (log(c)- (u+v)+q/2*log(v/u)+log(expBes(2*sqrt(u*v),q))+2*sqrt(u*v))

if(!log)

lik <- exp(lik)

lik

}

CIR.lik <- function(theta1, theta2, theta3){

n <- length(X)

dt <- deltat(X)

-sum(dcCIR(x=X[2:n],t=dt,x0=X[1:(n-1)],theta=c(theta1,theta2,theta3),log=TRUE))

}

# inefficient version based on noncentral chi^2 density

dcCIR2 <- function(x,t,x0,theta,log=FALSE){

c <- 2*theta[2]/((1-exp(-theta[2]*t))*theta[3]^2)

ncp <- 2*c*x0*exp(-theta[2]*t)

df <- 4*theta[1]/theta[3]^2

lik <- (dchisq(2*x*c,df=df,ncp=ncp,log=TRUE)+log(2*c))

if(!log)

lik <- exp(lik)

lik

}

CIR.lik2 <- function(theta1,theta2,theta3){

n <- length(X)

dt <- deltat(X)

-sum(dcCIR2(x=X[2:n], t=dt, x0=X[1:(n-1)], theta=c(theta1,theta2,theta3),log=TRUE))

}

# Simulationen CIR

# Fehlersuche

set.seed(216)

f1 <- f2 <- f3 <- f21 <- f22 <- f23 <- numeric(1000)

for (i in 1:1000){

X <- sde.sim(X0=0.1, model="CIR", theta=c(0.2,0.06,0.15),N=1000,delta=0.01)

try(fit <- mle(CIR.lik, start=list(theta1=0.1,theta2=0.1,theta3=0.3),method="L-BFGS-B",

lower=c(0.001,0.001,0.001),upper=c(1,1,1)))

try(fit2 <- mle(CIR.lik2, start=list(theta1=0.1,theta2=0.1,theta3=0.3),method="L-BFGS-B",

lower=c(0.001,0.001,0.001),upper=c(1,1,1)))

f1[i] <- coef(fit)[[1]]

f2[i] <- coef(fit)[[2]]

A Anhang 22

f3[i] <- coef(fit)[[3]]

f21[i] <- coef(fit2)[[1]]

f22[i] <- coef(fit2)[[2]]

f23[i] <- coef(fit2)[[3]]}

for (i in 2:1000){

if((is.na(f1[i])|is.na(f1[i-1]))==F){

if(f1[i]==f1[i-1]){

f1[i] <- NA

f2[i] <- NA

f3[i] <- NA

}}}

for (i in 2:1000){


if(f21[i]==f21[i-1]){

f21[i] <- NA

f22[i] <- NA

f23[i] <- NA

}}}


# c <- list(f1,f21)

# save(c,file="FehlerCIR.RData")

load("FehlerCIR.RData")

length(which(is.na(c[[1]])))

length(which(is.na(c[[2]])))

which(is.na(c[[1]]))==which(is.na(c[[2]]))

set.seed(216)

X <- sde.sim(X0=0.1, model="CIR", theta=c(0.2,0.06,0.15),N=1000,delta=0.01)

fit <- mle(CIR.lik, start=list(theta1=0.1,theta2=0.1,theta3=0.3),method="L-BFGS-B",

lower=c(0.001,0.001,0.001),upper=c(1,1,1))

coef(fit)

summary(fit)

confint(fit)

length(X)*deltat(X)

set.seed(216)

fit2 <- mle(CIR.lik2, start=list(theta1=0.1,theta2=0.1,theta3=0.3),method="L-BFGS-B",

lower=c(0.001,0.001,0.001),upper=c(1,1,1))

coef(fit2)

summary(fit2)

confint(fit2)

length(X)*deltat(X)

system.time(fit <- mle(CIR.lik, start=list(theta1=0.1,theta2=0.1,theta3=0.3),method="L-BFGS-B",

lower=c(0.001,0.001,0.001),upper=c(1,1,1)))

system.time(fit <- mle(CIR.lik2, start=list(theta1=0.1,theta2=0.1,theta3=0.3),method="L-BFGS-B",

lower=c(0.001,0.001,0.001),upper=c(1,1,1)))

#extra (KI’s, Normalverteilung und Erwartungstreue)

# Funktion

set.seed(216)

k <- seq(100,5000,100)

e1 <- e2 <- e3 <- q11 <- q12 <- q21 <- q22 <- q31 <- q32<- numeric(length(k))

for (j in 1:length(k)){

f1 <- f2 <- f3 <- numeric(1000)

for (i in 1:1000){

X <- sde.sim(X0=0.1, model="CIR", theta=c(0.2,0.06,0.15),N=k[j],delta=0.01)


lower=c(-2,0.001,0.001),upper=c(1,5,1)))

f1[i] <- coef(fit)[[1]]

f2[i] <- coef(fit)[[2]]

f3[i] <- coef(fit)[[3]]}

for (i in 2:1000){


if(f1[i]==f1[i-1]){

f1[i] <- NA

f2[i] <- NA

f3[i] <- NA

A Anhang 23

}}}

# Erwartungswert

e1[j] <- mean(f1,na.rm=T)



# Quantile

q11[j] <- quantile(f1,0.025,na.rm=T)






}


d <- list(e1,e2,e3,q11,q12,q21,q22,q31,q32,f1,f2,f3)

# save(d,file="RealisationsanzahlCIR.RData")

load("RealisationsanzahlCIR.RData")

# Erwartungswerte

par(mfrow=c(3,1))

# theta1

plot(k,d[[1]],type="l",ylim=range(c(d[[1]],d[[4]],d[[5]])),main="",xlab="Anzahl Realisierungen",


lines(k,d[[4]],col="blue")



legend(3000,0.53,c("ML-Schätzung","0.025 und 0.975 Quantil","wahrer Wert"),


#theta2






legend(3000,1,c("ML-Schätzung","0.025 und 0.975 Quantil","wahrer Wert"),col=c("red","blue","black"),

lty=c(1,1,2))

#theta3








# asymptotisch normalverteilte Daten? (laut Buch)

par(mfrow=c(1,2))

qqnorm(d[[10]],main="",ylab="Emprische Quantile",xlab="Theoretische Quantile")

qqline(d[[10]])


qqline(d[[11]])

par(mfrow=c(1,1))


qqline(d[[12]])

# Bandbreitenveränderung

set.seed(216)

l <- exp(seq(-12,-2.2,0.2))

#l <- exp(seq(-10,-0.2,0.2))

e1 <- e2 <- e3 <- q11 <- q12 <- q21 <- q22 <- q31 <- q32<- numeric(length(l))

for (j in 1:length(l)){

f1 <- f2 <-f3 <- numeric(1000)

for (i in 1:1000){

X <- sde.sim(X0=0.1, model="CIR", theta=c(0.2,0.06,0.15),N=1000,delta=l[j])


lower=c(-2,0.001,0.001),upper=c(1,5,1)))

f1[i] <- coef(fit)[[1]]

A Anhang 24

f2[i] <- coef(fit)[[2]]

f3[i] <- coef(fit)[[3]]}

for (i in 2:1000){


if(f1[i]==f1[i-1]){

f1[i] <- NA

f2[i] <- NA

f3[i] <- NA

}}}

# Erwartungswert




# Quantile







}


e <- list(e1,e2,e3,q11,q12,q21,q22,q31,q32,f1,f2,f3)

# save(e,file="BandbreitenCIR.RData")

load("BandbreitenCIR.RData")

# Erwartungswerte

# theta1

plot(log(l),e[[1]],type="l",ylim=range(c(e[[1]],e[[4]],e[[5]])),main="theta_1",xlab="Bandbreite",


lines(log(l),e[[4]],col="blue")




#theta2

plot(log(l),e[[2]],type="l",ylim=range(c(e[[2]],e[[6]],e[[7]])),

main="theta_2",xlab="Bandbreite",ylab="Durchschnitt über 1000 Wiederholungen",col="red")



legend(100,0.19,c("ML-Schätzung","0.025 und 0.975 Quantil","wahrer Wert"),col=c("red","blue","black"),

lty=c(1,1,2))

#theta3

plot(log(l),e[[3]],type="l",ylim=range(c(e[[3]],e[[8]],e[[9]])),main="theta_3",xlab="Bandbreite",






A Anhang 25

Literatur

Ball, P. (2005): Critical Mass: How one thing leads to another, Arrow Books, London.

Fahrmeir, L., Künstler, R., Pigeot, I. und Tutz, G. (1999): Statistik - Der Weg zur Daten-

analyse, 2. Auflage, Springer, Berlin.

Iacus, S. M. (2008): Simulation and Inference for Stochastic Differential Equations, Sprin-

ger, New York.

Iacus, S. M. (2009): sde: Simulation and Inference for Stochastic Differential Equations,

R package version 2.0.10. URL: http://CRAN.R-project.org/package=sde

Kuo, H.-H. (2006): Introduction to Stochastic Integration, Springer, New York.

R Development Core Team (2012): A Language and Environment for Statistical Compu-

ting, R Foundation for Statistical Computing, Wien, URL: http://www.R-project.org/.

Documents

Maximum-Likelihood-Schätzung für das Black-Scholes-Merton ...€¦ · Das von Black und Scholes aufgestellte Modell zur Lösung einer stochastischen Dif-ferentialgleichung brachte