Mehr inhaltliches Denken, weniger Kalkül „Textaufgaben ... · 1 „Textaufgaben kann ich nicht“ Mehr inhaltliches Denken, weniger Kalkül Dortmunder Kongress zum Jahr der Mathematik

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„Textaufgaben kann ich nicht“Mehr inhaltliches Denken, weniger Kalkül

Dortmunder Kongress zum Jahr der Mathematik – März 2007

1. Schlaglichter zur Einstimmung

Oder: Wo liegt eigentlich das Problem?

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1. Schlaglicht: Schulbus-Aufgabe

Rechnung:

1128:36=31,33333

Abrunden oder aufrunden??

Was würden Ihre Schüler tun?

Inhaltliches Denken heißt...... den außermathematischen Kontext ernstnehmen!

62,5 % falsche Lösungen (in ganz NRW)

23 % machten den Fehler, falsch zu runden(in Pilotierung bei 120 Schülerinnen und Schülern, exakt auch 23% bei 1128 Amerikaner)

Aufgabe aus Lernstandserhebung 9, NRW 2004:

1128 Schülerinnen und Schüler einer Schule sollen von der Schule aus zu einer Sportveranstaltung fahren. Ein Schulbus kann 36 Schülerinnen und Schüler befördern.

Wie viele Busse sind nötig, um alle Schülerinnen und Schüler zu der Veranstaltung zu bringen?

(Aufgabe ursprünglich von Carpenter/Lindquist/Matthews/Silver 1983)

2. Schlaglicht: Umfang

Aufgabe aus Pisa 2000

Ein Zimmermann hat 32 laufende Meter Holz und will damit ein Gartenbeet umranden. Er überlegt sich die folgenden Entwürfe für das Gartenbeet.

Können die Entwürfe mit 32 laufenden Metern Holz hergestellt werden?

A B

C D

10 m

6 m

10 m

10 m

10 m

6 m

6 m 6 m

(Datenquelle: PISA-2000)

Dafür hatten wir keine Umfangs-Formel, nur für Rechtecke!

Inhaltliches Denken heißt...... nicht an Formeln kleben,

sondern Konzepte flexibel anwenden… dazu muss Bedeutung erfasst sein!

Nein, 32m Holz reichen hier nicht, sagen fälschlich

55% der Hauptschüler/innen 38% der Gymnasiast/innen

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3. Schlaglicht: Terme aufstellen

1. Position 2. Position 3. Position 4. Position

?

a.) Wie viele Plättchen liegen an der 4. Position?b.) Wie viele Plättchen liegen an der 16. Position?c.) Geben Sie einen Term an, der die Plättchen-Zahl an

der n-ten Position beschreibt.

Aufgabe:

Erfolgsquote bei Studienanfänger/innen (im Lehramt GHR im September 2004)

beim Term aufstellen in Aufgabe c.):

Inhaltliches Denken heißt...... mathematische Objekte zur Beschreibung

von Realität nutzen können

48% Was glauben Sie?

Was wir nicht mehr ausschließlich wollen

Reiner Kalkül in grauen Päckchen

statt dessen auch: Mit Termen beschreiben

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3. Schlaglicht: Terme – vielfältige richtige Lösungen


?

Geben Sie einen Term für Plättchen-Zahl an der n-ten Position an.

Cora

4(n-1) + 10 = x

Cora

4(n-1) + 10 = xJohannes

n + (n+1) + (n+2) + (n+3)

Johannes

n + (n+1) + (n+2) + (n+3)

Florian

4n + 6

Florian

4n + 6

Karla(10 + 4⋅n)-4

Karla(10 + 4⋅n)-4

Tine10 + 4n (1. Position: n = 0, 2. Position: n=1)

Tine10 + 4n (1. Position: n = 0, 2. Position: n=1)

Rita

x = 10 + [(4⋅n)-4)]Rita

x = 10 + [(4⋅n)-4)]

3. Schlaglicht: Terme – falsche Lösungen


?

Geben Sie einen Term für Plättchen-Zahl an der n-ten Position an.

David

n + (n1 + 4) + (n2 + 4) + (n3 + 4).....

David

n + (n1 + 4) + (n2 + 4) + (n3 + 4).....

Bert

a1 + (an-1 ⋅d) = an

Bert

a1 + (an-1 ⋅d) = an

Adriana

Pn = (P1 + 4)15

Adriana

Pn = (P1 + 4)15Uwe

(x+4)n

Uwe

(x+4)n

Kernlehrplan 7/8: Schüler/innen nutzen ... Terme zur Beschreibung inner- und außer-mathematischer Zusammenhänge

Stefan

(n-1) + 4

Stefan

(n-1) + 4

Das kann nicht automatisch, wer Terme umformen kann!(umgekehrt aber auch nicht!)

Inhaltliches Denken heißt...... mathematische Objekte zur Beschreibung

von Realität nutzen können

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4. Schlaglicht: (Funktions-)Terme deuten

Stelle eine Aufgabe zum Funktionsterm y = 0,2x + 5

Quelle: Prediger / Schmerder / Bronzel 2007

Antworten von Realschülern, 9. Klasse:

4. Schlaglicht: (Funktions-)Terme deuten

• nicht nur: mit Funktionstermen rechnen

• sondern auch: Funktionsterme zu Sachsituationen aufstellenund Sachsituationen zu Termen realisieren

• absolut zentraler Bestandteil von Algebra!!!

(PM Heft 15)

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2. Was bedeutet inhaltliches Denken?

… und schon sind wir mittendrin in der Frage:

5. Schlaglicht: Division (erstmal andere Aufgabe)

Im Handballfeld (von 42m Länge) werden neue Bodenmatten (von 0,70 m Breite) ausgelegt. Wie viele Mattenbahnen passen nebeneinander?

Wie soll man das denn ausrechnen?

Meine Schüler können nicht dividieren!!

Doch, aber Textaufgaben kann ich nicht!

Inhaltliches Denken heißt...... auch Textaufgaben lösen können

(meine Klasse 6, März 06)

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5. Schlaglicht: Division – Wo liegt das Problem?

25 Bonbons werden auf 5 Kinder verteilt, wie viel bekommt jeder?

Verteilungsprozess wird beschrieben durch Division

25 : 5 ausrechnen

25 : 5 = 5

Ergebnis der Division entspricht dem Anteil der Einzelnen

Jedes Kind bekommt 5.Einfachere Aufgabe:

Wieso ist die andere Divisions-Aufgabe schwieriger?

(vom Hofe 2003)

Grundvorstellungen von der Division nutzen

Nicht lösbar, wenn Grundvorstellung der Division als Passen in fehlt!!

„Passen in“wird beschrieben durch Division

42 m : 0,70 m ausrechnen

42 m : 0,70 m = 60

Ergebnis der Division entspricht der Vielfachheit

60 Matten nebeneinander

(meine Klasse 6, März 06)


Wie soll man das denn ausrechnen?

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Grundvorstellungen von der Division nutzen

Zwei Grundvorstellung vom Dividieren wichtig: • Verteilen• Passen in

Grundschulunterricht fokussiert oft einseitig auf Verteilen

zweite Vorstellung muss erst noch aufgebaut werden

Inhaltliches Denken heißt...... über vielfältige Grundvorstellungen

zu Operationen verfügen

Sonst kann man nicht alle Textaufgaben lösen

Wieso das auch für das weitere Lernen wichtig ist:

5. Schlaglicht: Grundvorstellungen von der Division nutzen


Preisfrage bei „Der große Preis“: · Was ist 30:½? · - keine Antwort –

60 – aber fragen Sie mich nicht, wieso!

30:½

Geteilt als „Passen in“

Wie oft passt ½ in die 30?60 mal

Also ist 30 : ½ = 60

Inhaltlich bearbeiten

leerer Kalkül geht vergessen, inhaltliches Denken könnte bleiben

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5. Schlaglicht: Grundvorstellungen von der Division nutzen


Wieso das auch für das weitere Lernen wichtig ist:

Preisfrage bei „Der große Preis“: · Was ist 30:½? · - keine Antwort –

60 – aber fragen Sie mich nicht, wieso!

• beide Vorstellungen werden gebraucht, um entsprechende Situationen zu mathematisieren

• nur „passen in“ ist ausbaufähig für Brüche

Inhaltliches Denken heißt...... über vielfältige Grundvorstellungen

zu Operationen verfügen

Auswählen der richtigen Operation nicht trivialRichtige Lösungen:

Falsche Lösungen:multiplizieren

vergrößert

„abziehen“

Aufgabe 7: Mal, mit Dreisatz begründet

Multiplikation als passenden Term identifizieren 88 von 269 Gymnasiasten der Kl. 7-9, also 33%

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Zwischenfazit: Inhaltliches Denken heißt...

All das kommt nicht von selbst, sondern muss erlernt werden

• ... mathematische Objekte zur Beschreibung von Realität bzw. Rechnungen nutzen können

???Term?

• ... über vielfältige Grundvorstellungen zu mathematischen Begriffen undOperationen verfügen

• ... auch Textaufgaben verständig lösen könnenIm Handballfeld (von 42m Länge) werden neue Bodenmatten (von 0,70 m Breite) ausgelegt. Wie viele Mattenbahnen passen nebeneinander?

• ... den außermathematischen Kontext ernstnehmen!

• ... nicht an Formeln kleben, sondern Konzepte flexibel anwenden!

anders gesagt: zu überwindende Hürden bei Textaufgaben

• mathematische Objekte zur Beschreibung von Realität bzw. Rechnungen nutzen können

???Term?

• über vielfältige Grundvorstellungen zu mathematischen Begriffen undOperationen verfügen


• den außermathematischen Kontext ernstnehmenbeim Validieren

• nicht an Formeln kleben, sondern Konzepte flexibel anwenden!

bereichsspezifisches inhaltsbezogenes Wissen und Können

verständnisorientierte Haltungen (was zählt in Mathe?)

allgemeine Fähigkeiten • Fähigkeit zum sinnentnehmendnen Lesen• Weltwissen als Hintergrund für Aufgaben (z. B. Fermi-

Aufgaben)

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anders gesagt: zu überwindende Hürden bei Textaufgaben

• mathematische Objekte zur Beschreibung von Realität bzw. Rechnungen nutzen können

???Term?

• über vielfältige Grundvorstellungen zu mathematischen Begriffen undOperationen verfügen


• den außermathematischen Kontext ernstnehmenbeim Validieren

• nicht an Formeln kleben, sondern Konzepte flexibel anwenden!

bereichsspezifisches inhaltsbezogenes Wissen und Können

verständnisorientierte Haltungen (was zählt in Mathe?)

allgemeine Fähigkeiten • Fähigkeit zum sinnentnehmendnen Lesen• Weltwissen als Hintergrund für Aufgaben (z. B. Fermi-

Aufgaben)

Inhaltliches Denken und Kalkül –Das Lehrstück Bruchrechnung

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Das Beispiel Bruchrechnung

Aufgabe

(Aufgabe Hasemann 1996, Lösungshäufigkeiten aus PALMA, Wartha 2007)

a.) Färbe zuerst 1/4 des Kreises schwarz. Färbe dann noch 1/6 des Kreises schwarz. Welchen Bruchteil des Kreises hast Du insgesamt schwarz gefärbt?

b.) Berechne 1/4 + 1/6.

Lösungshäufigkeiten von Schüler/innen Ende Klasse 7 (aus Palma, n=1168)

Was glauben Sie, welche Zahlen gehören zu welcher Teilaufgabe?

b.) Formales Hantierena.) Inhaltlich Denken


Aufgabe

(aus: Hasemann 1986, S. 16)


b.) Berechne 1/4 + 1/6.

Ankes Antworten:

zu a.) [färbt zunächst 4 Zwölftel schwarz, dann 6 Zwölftel.] Ein Zehntel!

zu b.) [rechnet Anke einwandfrei]:

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b.) Berechne 1/4 + 1/6.

Ankes formales Hantieren Ankes inhaltliches Denken

Wie kann das sein, dass Anke mit so unterschiedlichen Denkwelten hantiert?


• Anke hat die formalen Verfahren und Anteils-Vorstellung im inhaltlichen Bereich unabhängig voneinander aufgebaut

• sie sind nicht automatisch verbunden, denn erfahrungsbasiert konstruiertes Wissen ist bereichsspezifisch

• Brüche beherrscht Anke in dem meist genutzten Kontext: Rechnen ohne Bedeutung

• Ankes inhaltliche Vorstellungen vom Anteil dagegen ist eigenwillig

• (Notwendigkeit der) Verknüpfung beider Welten hat Anke bisher nicht mental konstruiert


b.) Berechne 1/4 + 1/6.

Ankes formales Hantieren Ankes inhaltliches Denken

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Wie inhaltliche Vorstellungen zu Brüchen stärken? Ein Beispiel(meine Klasse 6, Dez. 05)

Wie kann man erklären, dass kleiner ist als ?2

423

Beispiel vergleichen von Brüchen:

Wie machen Sie es?

Finden Sie noch einen Weg?



423


analog:

wenn ich zwei Pizzen auf drei Kinder verteile, bekommt jedes mehr als bei vier Kindern!

Sörengreift auf Vorstellung von Verteilungssituation zurück


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423


So funktioniert eine Strategiekonferenz:

Sobald Du die Aufgabe bearbeitet hast, trägst Du Dich auf die Konferenz-Liste ein. Wenn dort vier Kinder draufstehen, setzt Ihr Euch zusammen.

Vergleicht nun Eure Strategien für Aufgabe 17 und 18:

Wie habt Ihr die Brüche verglichen? Jeder soll die Erklärungen der anderen verstehen!

Viele inhaltsbezogene Strategien vor demkalkülmäßigen Normalverfahren „Gleichnamigmachen“, z. B. • eine Zeichnung (z. B. Kreise, Rechtecke)

anfertigen und Bruchteile einzeichnen • Umrechnen in Prozente• eine Situation überlegen, in der die Brüche

vorkommen, z. B. Verteilungssituation• überlegen, wie viel bei den Brüchen zum

Ganzen fehlt• überprüfen, ob die Brüche größer oder kleiner

als 1/2 sind• schauen, ob die beiden Zähler gleich sind;

dann die Nenner vergleichen

• schauen, ob die beiden Nenner gleich sind; dann die Zähler vergleichen

• ...

Wie inhaltliches Denken zu Brüchen stärken? Ein Beispiel(meine Klasse 6, Dez. 05)

Emma auf dem Weg zum Normalverfahren „Gleichnamig machen“

Wer versteht, worauf Emma hinaus will?

Normalverfahren selbst entdecken: Prinzip der fortschreitenden Schematisierung

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Wie inhaltliches Denken zu Brüchen stärken? Ein Beispiel(meine Klasse 6, Dez. 05)

methodische Nebenbemerkung: nicht alles können Kinder untereinander klären

Grenzen der Kreisbilder als inhaltliche Vorstellung: hier braucht es formale Betrachtungen

Inhaltliches Denken in unterschiedlichen Grundvorstellungen

Die Kalkül-Sicht: • Operation

Erweitern / Kürzen

2 4

3 6=

Die inhaltliche Sicht: • Aussage über zwei Gleichwertigkeit

zweier Brüche• Was bedeutet das eigentlich inhaltlich,

dass zwei Brüche gleichwertig sind? Wieso sind sie gleichwertig?

• übersetze durch Grundvorstellung

• deute „Gleichwertigkeit“im Kontext der Grundvorstellung

hier müssen wir genauer hingucken: welche Grundvorstellung?

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Überblick über verschiedene Grundvorstellungen

Wahrschein-lichkeitenTeile eines

Ganzen

Ergebnisse von Verteilungs-situationen

Relative Anteile von Größen

Verhältnisse bei Gangschaltungen

Grundvorstellungen werden sukzessive über Jahre erworben

Verhältnisse (Steigung, Strahlensatz)

Kl. 4 Kl. 5 Kl. 6 Kl. 7 Kl. 8 / 9


Unterschiedliche Grundvorstellungen von Brüchen

Teile eines Ganzen


Kl. 4 Kl. 5 Kl. 6 Kl. 7

• Wie lässt sich die Suche gleichwertiger Brüche in den unterschiedlichen Grundvorstellungen übersetzen?

• Was bedeutet überhaupt Gleichwertigkeit in der jeweiligen Vorstellung?

Wahrschein-lichkeiten


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Suche gleichwertiger Brüche in verschiedenen Grundvorstellungen

Teile eines Ganzen


Kl. 4 Kl. 5 Kl. 6 Kl. 7


Wenn 2 Pizzen auf 3 Kinder verteilt werden, wie viel Pizzen brauchen dann 6 Kinder, wenn sie genauso viel bekommen sollen?

2 Treffer von 3 Losen haben die gleiche Chance wie wie 4 Treffer von 6 Losen

Wahrschein-lichkeiten


Bruchdenken vor Bruchrechnung (nicht „statt“)

• Bruchdenken vor Bruchrechnung heißt nicht Verzicht auf Kalkül

• auf solider inhaltlicher Basis lassen sich Erweitern und Kürzen dann verstehen als Denkentlastung (zur Suche gleichwertiger Brüche ohne Verpflichtung zur Interpretation)

• einige Kinder entdecken bei genügender inhaltlicher Vorerfahrung die Rechenregel von alleine (Prinzip der fortschreitenden Schematisierung)

Janoe (5. Klasse, Dez. 2004)

( )23

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3. Machen wir das nicht immer schon?

Inhaltliches auch beim Operieren

dies passiert in den meisten Büchern inzwischen gründlich

Hier muss es weiter gehen:

Erst inhaltliches Denken

dann Kalkül

Meiste Bücher brechen hier ab

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Die berühmte „Einführungsaufgabe“

(besser nicht benanntes Schulbuch)

• extrem schneller Übergang

• übrig bleibt nur Kalkül, ohne Bezug zum anfänglichen inhaltlichen Anker

Ähnlich bei negativen Zahlen: Einstieg zur Subtraktion

• zwar mehr Aufwand zum inhaltlichen Beginn

• übrig bleibt dennoch nur Kalkül, ohne Bezug zum anfänglichen inhaltlichen Anker

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Wie könnte es anders aussehen?

Weitere wichtige Strategien: • länger im Inhaltlichen verbleiben• immer wieder Formales auch

aufs Inhaltliche zurückbeziehen• nicht nur Zahlvorstellungen an sich,

sondern auch Operationsverständnis inhaltlich fundieren

Wie können inhaltliche Vorstellungen aufgebaut werden?

Nun thematisierte Strategien: • Nicht nur Zahlvorstellungen,

auch Operationen inhaltlich grundlegen• länger im Inhaltlichen verbleiben• immer wieder Formales auch

aufs Inhaltliche zurückbeziehen• auch in den Klassenarbeiten Inhaltliches abfragen

kommt das auch in der Arbeit dran?

natürlich!

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4. Aufgabenformate zur Diagnose inhaltlichen Denkens

Rückbezüge formaler Operationen auf inhaltliches

auch in Klassenarbeiten einfordern


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Welches andere Beispiel fällt Ihnen ein, in dem Sie schon immer inhaltlich starten, aber dies bis zur Klassenarbeit bisher „vergessen“ haben?

Wie könnte man Inhaltliches einfach einbauen?

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Rechenschichten als instruktive Lern- und Prüfungsaufgabe

• Erfinde eine Situation, die mit der Gleichung …. beschrieben werden kann:

• Schreibe eine Textaufgabe, für die man …. rechnen muss

Stelle eine Aufgabe zum Funktionsterm y = 0,2x + 5 Suchen Sie selbst andere

Beispiel, für die sich das lohnt!

Wichtige Aufgabeformate zur Diagnose inhaltlicher Vorstellungen

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Übersetzen von Deutungen von Einzelteilen

(Mathe live 8, S. 106)

Beispiel Parameter der Funktionsgleichung linearer Funktionen

Aufgabentypen: Gleichung beschreibt…, was bedeutet a, was b?

Fazit: Wie können inhaltliche Vorstellungen aufgebaut werden?

Rückblick auf thematisierte Strategien: • Nicht nur Zahlvorstellungen,

auch Operationen inhaltlich grundlegen• länger im Inhaltlichen verbleiben• immer wieder Formales auch

aufs Inhaltliche zurückbeziehen• auch in den Klassenarbeiten Inhaltliches abfragen

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