Mehrdimensionale IntegrationDr. Christian Lagemann

Mitschrift: Philipp Drössler

Stand: 5. Mai 2012

Inhaltsverzeichnis

1 Das Lebesgue-Integral im Rn 2

1.1 Treppenfunktionen und deren Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Das Integral von Treppenfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3 Konvergenzsätze und der Satz von Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2 Der Transformationssatz 22

3 Parameterabhängige Integrale 25

4 Differenzierbare Untermannigfaltigkeiten des Rn 27

Stichwortverzeichnis 30

Logbuch 31

1

1 Das Lebesgue-Integral im Rn

1.1 Treppenfunktionen und deren Integral

Definition 1 (Quader)Einbeschränkter Quader Q im R

n ist das Produkt von n beschränkten nicht leeren Inter-vallen Q = I1 × I2 × · · · × In

Die Intervalle können offen, abgeschlossen oder halboffen sein. Wir nennen den Quaderoffen bzw. abgeschlossen, wenn alle Ij offen bzw. abgeschlossen sind.

Das Volumen von Q gegeben durch vol(Q) =n∏

i=1(bi − ai) für Qj = (aj , bj), Qj = [aj, bj ]

oder Qj = (aj , bj ], Qj = [aj , bj)n mit jeweils aj ≤ bj.

Bemerkung 1 Unsere Quader sind achsparallet zu den jeweiligen e1, e2, . . . , en−Achsen

Sei M ⊂ Rn eine beliebige Menge, dann bezeichnen wir χM (x)

{

1 x ∈M

0 sonstals cha-

rakteristische Funktion von M .

Definition 2 (Treppenfunktion)Eine Funktion f : Rn → R heißt Treppenfunktion falls es x1, . . . , cm und eine Menge

{Q1, . . . , Qm} paarweiser disjunkter1 nicht leerer Quader gibt mit: f(x) =m∑

j=1cjχQj

(x).

Definition 3 (Träger)Sei f : Rn → R eine beliebige Funktion. Wir nennen supp(f) = {x ∈ R|f(x) 6= 0} 2 denTräger von f

Definition 4 (passend)Wir nennen die Menge {Q1, . . . , Qm} von Quadern ”zu Treppenfunktionen passend”,

falls f auf jedem Qj konstant ist undm⋃

j=1Qj ⊃ supp(f) gilt.

Bemerkung 2 Sei {Q1, . . . , Qm} eine Menge von paarweise disjunkten Quadern, pas-

send zur Treppenfunktion f : Rm → R dann ist f(x) =m∑

j=1cjχQj

(x) für c1, . . . , cm ∈ R

geeignet.

Definition 5 (Verfeinerung)Wir nennen eine Menge von Quadern {Q1, . . . , Qm} im R

n ”Verfeinerung” einer anderenMenge von Quadern {K1, . . . ,Kl} falls gilt:

1A und B sind disjunkt ⇔ A ∩ B = ∅2supp bedeutet ”support”, und ist nicht zu verwechseln mit sup dem Supremum!

2

• ∀i ∈ {1, . . . , l}∃Mi ∈ {Q1, . . . , Qm} : Ki =⋃

Q∈Mi

Q

• und ∀i ∈ {1, . . . ,m}∃i ∈ {1, . . . , l} : Qj ⊂ Ki

• und ∀j ∈ {1, . . . ,m}∀i ∈ {1, . . . , l} : (Qj ⊂ Ki) ∨ (Qj ∧Ki = ∅)

Bemerkung 3 Sei{Q1, . . . , Qm} Verfeinerung von {K1, . . . ,Kl} ⇒m⋃

i=1Qi =

l⋃

j=1Kj

Lemma 1 (Verfeinerungslemma)Ist {Q1, . . . , Qm} eine Menge von nicht leeren Quadern im R

n, so existiert eine Verfei-nerung in eine Menge von nicht leeren paarweise disjunkten Quadern.

Beweis: Induktion über n

Induktionsanfang: n = 1Sei Qi = [ai, bi] (bzw. (ai, bi], [ai, bi), (ai, bi)) mit ai ≤ bi.Wir ordnen die Menge reeller Zahlen {ai, bi|i = 1, . . . ,m} der Größe nach und erhalteneine Sequenz c1 < c2 < · · · < cl, l ≤ 2m

| | | | | |a1 b1a2 b2a3 b3a4 b4

c1 c2 c3 c4 c5 c6

M := {[ci, ci]|i = 1, . . . , l ∃ j ∈ {1, . . . ,m} : cj ∈ Qj} ∪{(ci, cj)|i = 1, . . . , l − 1 ∃ j ∈ {1, . . . ,m} : (ci, cj) ∈ Qj}

Da Qj =⋃(ci, ci+1) ∪

⋃[ci, cj ] gilt3, ist Qj =

⋃

K⊂Mi

K für Mi ⊂ M geeignet.

Weiterhin ist per Konstruktion für alleK ∈ M, j ∈ {1, . . . ,m} : K ⊂ Qj oderK∩Qj = ∅.Per Definition existiert zu jedem K ∈ M ein Qj ∈ {Q1, . . . , Qm} mit K ⊂ Qj.Also ist M die gesuchte Verfeinerung.

Korollar 1 Sind f, g : Rn → R Treppenfunktionen und ist M eine zu f , und N eine zug passende Menge von nicht leeren Quadern, so gibt es eine Menge X 6= ∅, von paarweisedisjunkten Quadern, die zu M∪N eine Verfeinerung ist und zu f und g passend ist.

Beweis:Nach Lemma 1 existiert eine Verfeinerung von M ∪ N in paarweise disjunkten, nichtleeren, Quadern. Diese ist zu f unf g passend.

Induktionsvoraussetzung: Sei die Behauptung für n ∈ N bewiesen.

Induktionsschritt: n→ n+ 1

3(ci, ci+1) ⊂ Qj und [ci, cj ] ∈ Qj

3

Sei Q = {Q1, . . . , Qn} eine Menge von, nicht leeren, Quadern. Qj ∈ Rn+1, j = 1, . . . ,m.

Also Qj = Ij1 × Ij2 × · · · × Ijn+1 für Iji ist ein nicht leeres Intervall.Nach Induktionsvoraussetzung gibt es eine Menge, paarweise disjunkter,Quader K = {K1, . . . ,Kl} mit Ki ∈ R

n

die Verfeinerung von {Ij1 × Ij2 × · · · × Ijn+1}, j ∈ {1, . . . ,m} (Ki 6= ∅) ist.Nach Induktionsanfang gibt es eine Menge, paarweise disjunkter,Quader L = {L1, . . . Lr} mit Li ∈ R, Li 6= ∅ und die Verfeinerung von{Ijn+1|j ∈ {1, . . . ,m}} ist.

Wir definieren:M := {Ki × Ls|i ∈ {1, . . . , l}, s ∈ {1, . . . , r},∃j ∈ {1, . . . ,m} : Li × Ls ∈ Qj}

• Per Definition existiert für jedes M ∈ M ein j ∈ {1, . . . ,m} mit M ∈ Qj

• Zu jedem j ∈ {1, . . . ,m} gibt es ein Kj ⊂ K und Lj ⊂ L mitIj1 × · · · × Ijn =

⋃

K⊂Kj

K, Ijn+1 =⋃

L∈Lj

L.

Also gilt:Qj = Ij1 ×· · ·× Ijn+1 =

⋃

K∈Kj ,L∈Lj

K×L =⋃

M∈Mj

M mit Mj = {M ∈ M|M ⊂ Qj}

• Sei M ∈ Mj und Qj ∈ {Q1, . . . , Qm} mit M ∈ Qj 6= ∅. Dann gilt: M = Ki × Ls

mit (Li × Ls) ∩ (Ij1 × · · · × Ijn+1) 6= ∅.

Also Ki ∩ (Ij1 × · · · × Ijn) 6= ∅ und Ls ∩ Ijn+1 6= ∅.

Da K und L Verfeinerungen der jeweiligen Mengen von Intervallen ist, gilt:M = Ki ∩ (Ij1 × · · · × Ijn), Ls ⊂ (Ij1 × · · · × Ijn+1) = Qj �

Satz 1 Die Menge der Treppenfunktionen bildet einen R-Vekrorraum

Beweis: Übung

4

1.2 Das Integral von Treppenfunktionen

Definition 6 (Integral von Treppenfunktionen)Sei f : Rn → R eine Treppenfunktion.

f(x) =m∑

j=1cjχQj

(x), cj ∈ R, Qj paarweise disjunkte nicht leere Quader.

Dann ist∫

Rn

f(x)dx =m∑

j=1cjvol(Qj) das Integral von f (über R

n)

Satz 2 Das Integral für Treppenfunktionen ist wohldefiniert.

Beweis:

Sei f(x) =m∑

j=1cjχQj

(x) eine Treppenfunktion,

cj ∈ R, Q1, . . . , Qm ∈ Rn paarweise disjunkte nicht leere Quader.

Sei K = {K1, . . . ,Kl} eine Verfeinerung von {Q1, . . . , Qm}, Ki paarweise disjunkt undnicht leer.

Dann passt K zu f und f(x) =l∑

i=1biχKi

(x) �

Satz 3 Sind f, g : Rn → R Treppenfunktionen, λµ ∈ R, so gilt:

1)∫

Rn(λf + µg)(x)dx = λ∫

Rn f(x)dx+ µ∫

Rn g(x)dx (Linearität)

2)∣∣∫

Rn f(x)dx∣∣ ≤

∫

Rn |f(x)|dx

3) Gilt für alle x ∈ R f(x) ≤ g(x), so gilt:∫

Rn f(x)dx ≤∫

Rn g(x)dx

Konvention 1∀x ∈ R x <∞∀x ∈ R x+∞ = ∞+ x = ∞∀x ∈ R, x 6= 0 x · ∞ = ∞ · x = ∞, 0 · ∞ = ∞ · 0 = 0Ist eine Reihe mit nicht negativen Summanden divergent,so setzen wir ihren Wert auf ∞.

Definition 7 (Hüllreihe und Inhalt)Sei f : Rn → R ∪ {∞}.Wir nennen die Reihe

ϕ(x) :=∞∑

j=1cjχQj

(x) mit cj ∈ R, cj > 0, Qj ∈ Rn offene Quader

Hüllreihe von f falls für alle x ∈ R gilt:|f(x)| ≤ ϕ(x)

Wir definieren den Inhalt von ϕ I(ϕ) als I(ϕ) :=∞∑

j=1cjvol(Qj)

5

Definition 8 (L1 −Halbnorm)Sei f : Rn → R ∪ {∞} eine Funktion. Wir definieren die L1-Halbnorm von f :||L||1 := {I(ϕ)|ϕ ist Hüllreihe von f}

Bemerkung 4

• Jede Hüllreihe definiert eine Funktion: Rn → R ∪ {∞}

• Zu jeder Funktion existiert eine Hüllreihe4

• ||f ||1 ist für jede Funktion definiert.5

• ||f ||1 ≥ 0 ∀f : Rn → R ∪ {∞}

Satz 4 Sind f, g : Rn → R ∪ {∞} Funktionen λ ∈ R, so gilt:

• ||λf ||1 = |λ| · ||f ||1

• ||f + g||< ≤ ||f ||1 + ||g||1

• Ist ∀x ∈ Rn |f(x) ≤ |g(x)|, so gilt: ||f ||1 ≤ ||g||1

Sei K = {K1, . . . ,Kl} eine Verfeinerung von {Q1, . . . , Qm}; Kj paarweise disjunkt

f(x) =l∑

i=1biχKi

(x)

Zu jedem Qj gibt es ein Kj ⊂ K und Qj =⋃

K⊂KK, also χQj

(x) =∑

K=Kj

χK(x) und

vol(Qj) =∑

K∈Kj

vol(K) 6

Also f(x) =m∑

j=1cjχQj

(x) =m∑

j=1

∑

K⊂Kj

cjχK(x) =l∑

i=1biχKi

(x)

Da die Ki und Kj paarweise disjunkt sind7 ist bi = cj für Ki ∈ Kj .Da jedes K ∈ K in einem Qj enthalten ist, haben wir:l∑

i=1bivol(Ki) =

l∑

i=1

m∑

j=1

∑

Ki∈Kj

bivol(Ki) =m∑

j=1

l∑

i=1

Ki∈Kj

bivol(Ki) =m∑

j=1

l∑

i=1

Ki∈Kj

cjvol(Ki) =

m∑

j=1cj

l∑

i=1

Ki∈Kj

vol(Ki) =m∑

j=1cjvol(Qj)

Also liefert die Verfeinerung K den gleichen Wert für das Integral von f .

4z.B eine Hüllreihe die überall unendlich ist.5u.U. ∞6da die Kj paarweise disjunkt sind7Qj paarweise disjunkt

6

Sind M und N zu F passende Mengen von paarweise disjunkten Quadern - qir kön-nen o.B.d.A. annehmen, dass f auf keinem der Quader den Wert 0 annimmt8. Also:supp(f) =

⋃

N⊂NN =

⋃

M⊂MM ⋆

Sei Keine Verfeinerung von M∪N in paarweise disjunkte Quader.Wegen ⋆ ist K eine Verfeinerung von M und Verfeinerung von N . Nach dem Verfei-nerungslemma existiert ein K. Nach obigen Argument liefert K den gleichen Wert für∫

Rn f(x)dx wie M und auch wie N . Also liefern M und N den gleichen Wert für∫

Rn f(x)dx.

Beispiel 1 f(x) =

{

1, x ∈ Q ∩ [0, 1]

0, sonst

Sei Φk(x) =∞∑

j=1

j∑

l=0

χIli,jmit Ili,j =

(l

j−

1

2(j + 1)kj,l

j+

1

2(j + 1)kj

)

Für k > 1:

I(Φk) =∞∑

j=1

j∑

l=0

1

(j + 1)kj=

∞∑

j=1

j + 1

(j + 1)kj=

∞∑

j=1

(1

k

)j

=1

k − 1

k→∞−−−→ 0

Da die Φk Hüllreihen von f sind und I(φk)k→∞−−−→ 0 gilt: ||f ||1 ≤ 0

Wegen || · ||1 ≥ 0 gilt: ||f ||1 = 0

Lemma 2 Ist f0, f1, . . . eine Folge von Funktionen Rn → R∪{∞}, alle f nicht negativ,

so gilt:∣∣∣∣

∣∣∣∣

∞∑

k=0

∣∣∣∣

∣∣∣∣1

≤∞∑

k=0

||fk||1

Beweis:Für alle k ∈ N und ǫ > 0 gibt es eine Hüllreihe von fk, Φk : R

n → R ∪ {∞}, mit

I(Φk,ǫ) ≤ ||fk||1 + ǫ ·1

(k + 1)2.

Sei Φk,ǫ =∞∑

j=0cj,k,lχQj,k,ǫ

(x), cj,k,l ≥ 0, Qj,k,ǫ offene Quader.

Sei f : Rm → R ∪ {∞} definiert durch f(x) =∞∑

k=0

fk(x), dann ist

Φǫ =∞∑

k=0

k∑

j=0cj,k−j,ǫχQj,k−j,ǫ

(x) =∞∑

k=0

k∑

j=0cj,k,ǫχQj,k,ǫ

(x) =∞∑

k=0

Φk,ǫ(x)

Hüllreihe von f , denn für alle x ∈ Rn gilt:

f(x) =∞∑

k=0

fk(x) ≤∞∑

k=0

Φk,ǫ(x) = Φǫ(x)

I(Φǫ) =∞∑

k=0

k∑

j=0cj,k−j,ǫvol(Qj,k−j,ǫ) =

∞∑

k=0

∞∑

j=0cj,k,ǫvol(Qj,k,ǫ) =

∞∑

k=0

I(Φk,ǫ) Also: ||f ||1 ≤

I(Φǫ) =∞∑

k=0

Φk,ǫ ≤∞∑

k=0

(

||fk||1 + ǫ ·1

(k + 1)2

)

=

(∞∑

k=0

)

+ ǫ ·∞∑

k=0

1

(k + 1)2

︸ ︷︷ ︸

Konstante in R

8Diese Quader können wir in der Definition des Integrals weglassen

7

Da ǫ > 0 beliebig isdt haben wir: ||f ||1 ≤∞∑

k=0

||fk||1 �

Definition 9 (Lebesgue-integrierbar)Sei f : Rn → R∪{∞} eine Funktion. Wir nennen f Lebesgue-integrierbar über R

n, fallses eine Folge von Treppenfunktionen gibt mit:||f − fk||1 → 0 für k → ∞In diesem Fall ist das Lebesgue-Integral

∫

Rn

f(x)dx = limk→∞

∫

Rn

fk(x)dx.

Lemma 3 Ist f : Rn → R eine Treppenfunktion, so gilt:∫

Rn

|f(x)|dx = ||f ||1

Beweis:

”≤” Sei o.B.d.A. 0 ≤ f(x) ∀x ∈ Rn

Sei f(x) :=m∑

j=1cjχQj

(x), cj > 0, Qj paarweise disjunkte Quader.

Zu jedem ǫ > 0, j ∈ {1, . . . ,m} gibt es offene Quader Qǫj ⊃ Qj mit

vol(Qǫj) ≤ vol(Qj) + ǫ

Damit ist Φǫ =m∑

j=1cjχQǫ

j(x) Hüllreihe von f und

I(Φǫ(x)) =m∑

j=1cjvol(Q

ǫj) ≤

m∑

j=1cjvol(Qj) + ǫ =

∫

Rn

f(x)dx+ ǫ ·m∑

j=1

cj

︸ ︷︷ ︸Konstante

in R+0

Da ǫ > 0 beliebig ist, ist||f ||1 = inf{I(Φ)|Φ ist Hüllreihe von f} ≤ inf{I(Φǫ)|ǫ > 0} =

∫

Rn

f(x)dx

”≥” Betrachte den abgeschlossenen Quader K ⊂ Rn. Da K beschlänkt und abgeschlos-

sen ist, ist K kompakt.

Sei Φ(x) =∞∑

j=1bjχPj

Hüllreihe von χK , bj ≥ 0, Pj ⊂ Rn offene Quader.

Sei ǫ < 0 beliebig. Für alle x ∈ K existiert einmx ∈ N mit χK(x)−ǫ ≤mx∑

j=1bjχPj

(x).

Da die Pj offen sind, ist U(x) =mx⋂

j=1Pj offen und nicht leer.

Für y ∈ U(x) ist dann χK(y)− ǫ ≤mx∑

j=1bjχPj

(x) =mx∑

j=1bjχPj

(y)

Da K kompakt ist, kann man K durch endlich vieleU(x1), . . . , U(xl), x1, . . . , xl ∈ K überdecken.Sei m := max{mx1

, . . . ,mxl}, dan gilt für alle y ∈ K:

(1− ǫ)χK(y) = χK(y)− ǫ ≤m∑

j=1bjχPj

(y), also:

8

(1− ǫ)∫

Rn

χK(x)dx ≤m∑

j=1bj∫

Rn

χPj(x)dx =

m∑

j=1bjvol(Pj) ≤ I(Φǫ(x))

Damit: (1− ǫ)∫

Rn

χK(x)dx = inf{I(Φ)|Φ ist Hüllreihe von χK} = ||χK ||19

Da ǫ > 0 beliebig gilt:∫

Rn

χK(x)dx ≤ ||χK ||1

Betrachte wieder die Treppenfunktion f .Sei K ein abgeschlossener Quader mit supp(f) ⊂ K, setze M := max

x∈Kf(x). Dann

ist g(x) :=MχK(x)− f(x) eine nicht negative Treppenfunktion, und||g(x)||1 ≥M · ||χK(x)||1 − ||f ||1 ≥M ·

∫

Rn

χK(x)dx− ||f ||1

||g(x)||1 ≤∫

Rn

g(x)dx =M ·∫

Rn

χK(x)dx−∫

Rn

f(x)dx.

Also gilt: ||f ||1 ≥∫

Rn

f(x)dx

Satz 5 Für eine Lebesgue-integrierbare Funktion f : Rn → R ∪ {∞} ist das Lebesgue-Integral wohldefiniert

Beweis:Sei fk eine Folge von Treppenfunktionen mit ||f − fk|| → 0, dann gilt:∣∣∣∣

∫

Rn

fm(x)dx−∫

Rn

fl(x)dx

∣∣∣∣=

∣∣∣∣

∫

Rn

(fm(x)− fl(x)) dx

∣∣∣∣≤∫

Rn

|fm(x)− fl(x)|dxLemma 3

=

= ||fm − fl||1 = ||fm − f + f − fl||1 ≤ ||fm − f ||1︸ ︷︷ ︸

→0

m→∞

+ ||f − fl||1︸ ︷︷ ︸

→0

l→∞

Also: ak :=∫

Rn

fk(x)dx ist eine reelle Cauchy-Folge und daher konvergent.

Sind fk, gk Folgen von Treppenfunktionen mit ||fk − f ||1k→∞−−−→ 0, ||gl − f ||1

l→∞−−−→ 0

Dann:

∣∣∣∣

∫

Rn

fk(x)dx−∫

Rn

gk(x)dx

∣∣∣∣

s.o.≤ ||fk − gk||1 ≤ ||f − fk||1

︸ ︷︷ ︸→0

k→∞

+ ||f − gk||1︸ ︷︷ ︸

→0

k→∞

�

Satz 6 Sind f, g : Rn → R ∪ {∞} Lebesgue-integrierbar, λ, µ ∈ R, dann gilt:

1. λf + µg ist Lebesgue-integrierbar mit∫

Rn

(λf + µg)dx = λ∫

Rn

fdx+ µ∫

Rn

gdx

2. |f | ist Lebesgue-integrierbar und es gilt: 0 ≤

∣∣∣∣

∫

Rn

f(x)dx

∣∣∣∣≤∫

Rn

|f(x)| dx

3. ||f ||1 =∫

Rn

|f(x)|dx

4. Ist f(x) ≤ g(x)∀x ∈ Rn so ist

∫

Rn

f(x)dx ≤∫

Rn

g(x)dx.

5. Ist g beschränkt ⇒ f · g ist Lenbesgue-integrierbar.

9da Φ beliebige Hüllreihe von χK ist.

9

Beweis: 1. 4. und 5. als Übung

2) Sei fk eine Folge von Treppenfunktionen mit ‖fk − f‖1 → 0∀x ∈ R : |f(x)| − |fk(x)| ≤ |f(x)− fk(x)|Monotonie der L1-Halbnorm:||f | − |fk|| ≤ |f − fk| → 0Also: ‖|f(x)| − |fk(x)|‖1 → 0 und |f | ist Lebesgue-integrierbar.

Da

∣∣∣∣

∫

Rn

fk(x)dx

∣∣∣∣≤∫

Rn

|fk(x)|dx folgt die Ungleichung durch Grenzübergang k → ∞

�

3) Sei fk eine Folge von Treppenfunktionen mit ‖f − fk‖1 → 0Da ‖|fk|‖1 − ‖|f | − |fk|‖1 ≤ ‖|fk|+ |f | − |fk|‖1 = ‖f‖1 ≤ ‖fk‖1 + ‖|f | − |fk|‖1 ist∫

Rn

|fk|dx

︸ ︷︷ ︸

k→∞−−−→∫

Rn|f(x)|dx

−‖|f | − |fk|‖1︸ ︷︷ ︸

k→∞−−−→0

≤ ‖f‖1 ≤

∫

Rn

|fk(x)|dx

︸ ︷︷ ︸

k→∞−−−→∫

Rn|f(x)|dx

+ ‖|f | − |fk|‖1︸ ︷︷ ︸

k→∞−−−→0

Also: ‖f‖1 =∫

Rn

|f(x)|dx �

Definition 10 Sei f : Rn → R ∪ {∞} eine Funktion, M,N ⊂ RnMengen mit M ⊂ N .

Wir nennenfLebesgue-integrierbar über M , falls fM : Rn → R

fM (x) =

{

f(x), x ∈M

o, sonstüber R

nLebesgue-integrierbar ist.

Setze:∫

M

f(x)dx :=∫

Rn

fM(x)dx.

Weiterhin setze: ‖f‖1,M := ‖fM‖1

Korollar 2 Die Eigenschaften der L1-Halbnorm und des Lebesgue-Integrals über Rn gel-

ten auch für das Lebesgue-Integral über M und ‖ · ‖1,M .

Satz 7 Ist f : [a, b] → R über [a, b] Riemann-Integrierbar, so ist f über [a, b] Lebesgue-Integrierbar, a, b ∈ R, und∫

[a,b]

f(x)dx

︸ ︷︷ ︸

Lebesgue-Integral

=

b∫

a

f(x)dx

︸ ︷︷ ︸

Riemann-Integhral

Definition 11 (Messbarkeit)Wir nennen eine Menge M ⊂ R

n Lebesgue-messbar, fallszu jedem r > 0 die FunktionχM∩Br(0)(x) Lebesgue-integrierbar ist.10

10Br(0) = {x ∈ Rn|‖x‖ < r} - Kugel um den Punkt 0 mit Radius r

10

Ist M messbar so definieren wir:

vol(M) =

∫

Rn

χM (x)dx, falls χM Lebesgue-integrierbar ist.

+∞, sonst

Lemma 4 Ist M ⊂ Rn messbar mit vol(M) <∞ und f : Rn → R Lebesgue-integrierbar,

so ist f über M Lebesgue-integrierbar.

Beweis:fM = χM · f χM , f sind Lebesgue-integrierbar, χM ist beschränkt.Nach Satz 6 ist dann fM = χMf Lebesgue-integrierbar.

Definition 12 (Nullmenge)Eine Menge N ⊂ R

n heißt Nullmenge, falls N messbar ist mit vol(N) = 0Eine Eigenschaft E(x) gilt fast überall falls {x ∈ R

n|E(x) gilt nicht} eine Nullmenge ist.

Satz 8

1. Jede Teilmenge einer Nullmenge ist eine Nullmenge.

2. Abzählbare Vereinigungen von Nullmengen sind Nullmengen.

3. Ist N ⊂ Rn eine Nullmenge, f : Rn → R∪{∞} so ist f über N Lebesgue-integrierbar

und∫

N

f(x) = 0.

Beweis: Übung.

Satz 9 (Modifikationssatz)Sei f, g : Rn → R ∪ {∞} und N = {x ∈ R

n|f(x) 6= g(x)} ist eine Nullmenge. Dann istf genau dann Lebesgue-integrierbar wenn g Lebesgue-integrierbar ist, und in diesem Fallgilt:

∫

Rn

f(x)dx =∫

Rn

g(x)dx

Beweis: Übung.

Satz 10 Sei f : Rn → R ∪ {∞} und ‖f‖1 <∞.Dann ist N = {x ∈ R

n|f(x) = ∞} eine Nullmenge.

Beweis:Für alle a ∈ R ist |a · χN | ≤ |f(x)| für alle x ∈ R.Monotonie der L1-Halbnorm⇒ |a| · ‖χN‖1 ≤ ‖f‖1 <∞ für alle a ∈ R.Also ‖χN‖ = 0 ⇒ χN ist Lebesgue-integrierbar mit

∫

Rn

|χN |dx = ‖χN‖1 = vol(N) (= 0)

11

1.3 Konvergenzsätze und der Satz von Fubini

Definition 13 (L1-Grenzwert)Sei fk eine Folge von Funktionen R

n → R ∪ {∞}. Dann heißt fk konvergent, in derL1-Halbnorm, gegen f : Rn → R ∪ {∞}, falls ‖f − fk‖1 → 0 für k → ∞. f heißt dannL1-Grenzwert von fk

• L1-Grenzwerte sind nicht eindeutig.

• Lebesgue-integrierbare Funktionen sind L1-Grenzwerte von Folgen von Treppen-funktionen.

Definition 14 (L1-Cauchy-Folge)Eine Folge von Funktionen fk : R

n → R ∪ {∞} heißt L1-Cauchy-Folge falls gilt:∀ǫ > 0∃N ∈ N : ∀k,m > N ; k,m ∈ N, ‖fk − fm‖1 < ǫ.

Satz 11 (Riesz-Fischer)Jede L1-Cauchy-Folge fk, Lebesgue-integrierbarer Funktionen R

n → R ∪ {∞} besitzteinen Lebesgue-integrierbaren L1-Grenzwert f : Rn → R ∪ {∞}. Es gilt dann:

• limk→∞

∫

Rn

fk(x)dx =∫

Rn

f(x)dx

• Es gibt eine Teilfolge von fk, die fast überall punktweise gegen f konvergiert.

Bemerkung 5 Auf den Übergang zu einer Teilfolge für die punktweise Konvergenz kannnicht verzichtet werden.

Beweis:Sei (fk) eine L1-Cauchy-Folge, fk : Rn → R ∪ {∞}.Wähle eine Teilfolge fkl von fk mit ‖fk − fkl‖1 < 2−l für alle k ≥ kl.

Setze gl := fkl+1− fkl und g(x) :=

∞∑

l=1

|gl(x)|.

Es gilt: ‖|gl|‖1 = ‖gl‖1 = ‖fkl+1− fkl‖1 < 2−l also ‖g‖1 ≤

∞∑

l=1

‖gl‖1 ≤∞∑

l=1

2−l = 1

Also ist N = {x ∈ R|g(x) = 0} eine Nullmenge und∞∑

l=1

gl(x) konvergiert fast überall

absolut.

Definiere: f(x) =

liml→∞

fkl = liml→∞

fk1 +l∑

j=1

gj(x)

︸ ︷︷ ︸

fkl−fk1

= fk1 +l∑

j=1gj(x) , für x /∈ N

0 , für x ∈ N

Beobachtung: per definition konvergiert fkl fast überall gegen f .Zeige: Lebesgue-integrierbarkeit von f .Es reicht zu zeigen: Zu jedem ǫ > 0∃ Treppenfunktion ϕ : Rn → R mit ‖f − ϕ‖1 < ǫ

12

Sei ǫ > 0 Wähle ein q ∈ N mit∞∑

l=q

‖gl‖1 >ǫ

2︸ ︷︷ ︸dies ist möglich, da:

∞∑

l=1

‖gl‖1=1

und ‖fk − fkq‖1 ≤ǫ2 für k ≥ kq.

Sei ϕ eine Treppenfunktion mit ‖fk − ϕ‖1 <ǫ2

11. Dann gilt:

‖f − ϕ‖1 ≤ ‖f − fkq‖1 + ‖fkq − ϕ‖1 <

∥∥∥∥∥

∞∑

j=q+1‖gj‖1

∥∥∥∥∥1

+ ǫ2 < ǫ

Also ist f Lebesgue-integrierbar. Zu zeigen bleibt: f ist L1-Grenzwert.Sei ǫ > 0 gegeben. Wähle kq, wie vorhin.Für k > kq ist ‖f − fk‖1 ≤ ‖fk − fkq‖1 < ǫAlso f ist L1-Grenzwert von fk. Insbesondere gilt für k > kq:∣∣∣∣

∫

Rn

f(x)dx−∫

Rn

fk(x)dx

∣∣∣∣≤ · · · ≤

∫

Rn

|f(x)− fk(x)|dx = ‖f − fk‖1 < ǫ. �

Satz 12 (Monotonie Konvergenz / Beppo-Levi)Sei fk eine monoton wachsende Folge von Funktionen R

n → R ∪ {∞},d.h. ∀x ∈ R

n, k ∈ N : fk+1(x) ≥ fk(x). Seien alle fk Lebesgue-integrierbar.Definiere: f : Rn → R ∪ {∞}, f(x) = lim

k→∞fk(x) (ggf. = +∞).

Dann ist f genau dann Lebesgue-integrierbar, wenn∫

Rn

fk(x)dx beschränkt ist.

In diesem Fall gilt:∫

Rn

f(x)dx = limk→∞

∫

Rn

fk(x)dx

Beweis:

”⇐” Die Beschränktheit von∫

Rn

fk(x)dx ist notwendig für die Lebesgue-integrierbarkeit

von f , da∫

Rn

fk(x)dx ≤∫

Rn

f(x)dx für alle k ∈ N

”⇒” Sei die Folge∫

Rn

fk(x)dx beschränkt. Da die Folge monoton ist12, konvergiert sie.

Also ∀ǫ > 0∃N ∈ N : ∀k > m > N ; k,m ∈ N :

ǫ >

∣∣∣∣

∫

Rn

fk(x)dx−∫

Rn

fm(x)dx

∣∣∣∣=∫

Rn

|fk(x)− fm(x)|dx =

=∫

Rn

|fk(x)− fN (x)|dx = ‖fk − fN‖1

Also ist fk L1-Cauchy-Folge und nach ”Riesz-Fischer” existiert der L1-Grenzwertg : Rn → R ∪ {∞} von fk und eine Teilfolge fkl , die punktweise fast überall gegeng konvergiert.Also ist f fast überall gleich g und da g Lebesgue-integrierbar ist, ist f Lebesgue-integrierbar.Weiterhin gilt:

∫

Rn

f(x)dx =∫

Rn

g(x)dx = limk→∞

fk(x)dx �

11eine solche existiert, da fkq Lebesgue-integrierbar ist.12Monotonie des Lebesgue-Integrals

13

Satz 13 (Ausschöpfungsprinzip)Sei f : A→ R ∪ {∞}, A ⊂ R

n, An eine Folge von Teilmengen des Rn

mit Ak ⊂ Ak+1 für k ∈ N und∞⋃

k=1

Ak = A.

Sei weiterhin f über Ak Lebesgue-integrierbar, für alle k ∈ N.Dann ist f genau dann Lebesgue-integrierbar über A,wenn die Folge

∫

Ak

|f(x)|dx beschränkt ist.

In diesem Fall gilt:∫

A

f(x)dx = limk→∞

∫

Ak

f(x)dx.

Beweis:

”⇒” Ist f Lebesgue-integrierbar in A, so ist |f | Lebesgue-integrierbar über A.Es gilt |fAk

(x)| ≤ |fA(x), für x ∈ Rn13

Monotonie des Lebesgue-Integrals⇒

∫

Ak

|f(x)|dx =∫

Rn

|fAk(x)|dx ≤

∫

A

|f(x)|dx

Also∫

A

|f(x)|dx ist obere Schranke für die Folge∫

Ak

|f(x)|dx

”⇐” Sei∫

Ak

|f(x)|dx eine beschränkte Folge in R.

Betrachte∫

Ak

f+(x)dx, f+(x) =

{

f(x) falls f(x) > 0

0 sonst14

Dann ist 0 ≤∫

Ak

f+(x)dx ≤∫

Ak

|f(x)|dx beschränkt.

Weiterhin sind die f+Ak

(

d.h.f+Ak(x) =

{

f(x), falls x ∈ Ak

0, sonst

)

monoton wachsend.

Da∫

Rn

f+Ak(x)dx =

∫

Ak

f+(x)dx können wir den Satz von Beppo-Levi anwenden auf

die Funktionenfolge f+Akund erhalten f+Ak

ist Lebesgue-integrierbar15 mit

limk→∞

∫

Rn

f+Ak(x)dx =

∫

Rn

fA(x)dx

13da Ak ⊂ A14nach Übung 5 ist f+ über Ak Lebesgue-integrierbar.15∀x ∈ R

n : limk→∞

f+

Ak(x) = f+

A (x)

14

Analog ist −f−A Lebesgue-integrierbar mit∫

Rn

−f−A (x)dx = limk→∞

∫

Rn

−f−Ak(x)dx

f−A (x) =

{

f(x), fallsf(x) < 0

0, sonst

Da fA = f+a + f−A und fAk= f+Ak

+ f−Akist f über A Lebesgue-integrierbar und

∫

A

f(x)dx =∫

Rn

fA(x)dx =∫

Rn

(f+A (x) + f−A (x))dx =∫

Rn

f+A (x)dx+∫

Rn

f−A (x)dx =

= limk→∞

∫

Rn

f+Ak(x)dx+ lim

k→∞

∫

Rn

f−Ak(x)dx = lim

k→∞

∫

Rn

(f+Ak(x)+f−Ak

(x))dx = limk→∞

∫

Rn

fAk(x)dx

�

Satz 14 (Majorisierte Konvergenz - Lebesgue)Sei fk eine Folge von Lebesgue-integrierbaren Funktionen fk : R

n → R ∪ {∞}, die fastüberall punktweise gegen f : Rn → R∪{∞} konvergiert. Gibt es ein Lebesgue-integrierbaresΦ: Rn → R ∪ {∞} mit |f(x)| ≤ Φ(x) für alle x ∈ R

n, k ∈ N, dann ist f Lebesgue-integrierbar mit:∫

Rn

f(x)dx = limk→∞

fk(x)dx

Beweis:Definiere: gk : Rn → R ∪ {∞} durch gk(x) = sup{fj(x)|g ≥ k}.Dann ist gk punktweiser Grenzwert der Folge von Funktionen(gk,l)

∞k=1,... gk,l(x) := max{fk(x), . . . , fk+l(x)}

Die gk,l sind Lebesgue-integrierbar16 und die Folge ist monoton wachsend. Weiterhin ist∣∣∣∣

∫

Rn

gk,l(x)dx

∣∣∣∣≤∫

Rn

|gk,l(x)|dx ≤∫

Rn

Φ(x)dx ≤ max{fk(x), . . . , fk+l(x)} ≤ max{Φ(x), . . . ,Φ(x)}.

Nach dem Satz von Levi ist gk Lebesgue-integrierbar mit∣∣∣∣

∫

Rn

gk(x)dx

∣∣∣∣≤ lim

l→∞

∫

Rn

|gk,l(x)|dx ≤∫

Rn

Φ(x)dx.

Die Folge (gk)∞k=1,... ist monoton fallend und

∫

Rn

gk(x)dx ist nach unten beschränkt durch∫

Rn

Φ(x)dx.

Weiterhin sind die gk Lebesgue-integrierbar. Nach dem Satz von Levi istf : Rn → R ∪ {∞}, f(x) := lim

k→∞gk(x) Lebesgue-integrierbar mit:

∫

Rn

f(x)dx = limk→∞

∫

Rn

gk(x)dx. Da f(x) = limk→∞

gg fast überall gilt, stimmen f und f fast

überall überein und nach dem Modifikationssatz ist f Lebesgue-integrierbar und∫

Rn

f(x)dx =∫

Rn

gk(x)dx.

Sei hk eine Folge von Funktionen Rn → R ∪ {∞} definiert durch: hk(x) = inf{fj|j ≥ k}

Ein analoges Argument zeigt:∫

Rn

f(x)dx = limk→∞

hk(x)dx

16s. Übung Blatt 5 Nr. 17 unsicher!

15

Da für alle k ∈ N, x ∈ Rn hk(x) ≤ fk(x) ≤ gk(x) folgt

∫

Rn

hk(x)dx ≤∫

Rn

f(x)dx ≤∫

Rn

gk(x)dx

existiert limk→∞

∫

Rn

f(x)dx und ist gleich∫

Rn

f(x)dx. �

Definition 15 (lokal Lebesgue-integrierbar)Sei A ⊂ R

n eine abzählbare Vereinigung kompakter Mengen. Wir nennen f : A → R ∪{∞} lokal integrierbar falls f über jedes kompakte K ⊂ A, Lebesgue-integrierbar ist.

Satz 15 (Majorantenkriterium)Sei A ⊂ R

n eine abzählbare Vereinigung kompakter Mengen,und f : A→ R ∪ {∞} lokal integrierbar.Sei F : A→ R ∪ {∞} über A Lebesgue-integrierbar mit |f(x)| ≤ F (x) für alle x ∈ A.Dann ist f über A Lebesgue-integrierbar.

Beweis:Übung.

Satz 16 Dei f : Rn → R ∪ {∞} stetig, K ⊂ Rn kompakt.

Dann ist füber K Lebesgue -integrierbar.

Beweis:Da K kompakt und f stetig ist, ist f auf K gleichmäßig stetig.zu jedem k ∈ N gibt es ein δk > 0 mit∀x, y ∈ K mit ‖x− y‖ < δk ⇒ |f(x)− f(y)| < 1

k

o.B.d.A. können wir δk so wählen, dass δk → 0 für k → ∞Sei Uk : {Q 1

k(x)|x ∈ K} wobei Q 1

koffene Quader sind.

Q 1

k= (x1−

δk4n , x1+

δk4n )×(x2−

δk4n , x2+

δk4n)×· · ·×(xn−

δk4n , xn+

δk4n) mit x = (x1, . . . , xn)

Jedes Uk ist eine offene Überdeckung von K. Damit gibt es zu jedem k ∈ N eine endlicheTeilmenge von Uk, die K überdeckt. Nach dem Verfeinerungslemma können wir dieseendlichen Mengen zu Mengen von paarweise disjunkten Quadern {Qk,1, . . . , Qk,lk} ver-feinern, die K überdecken.

Definiere: ϕk(x) :=lk∑

j=1ck,jχQk,j

(x) mit ck,j = supy∈Qk,j∩K

{f(y)} falls Qk,j ∩ K 6= ∅ und

ck,j = 0 sonst.17

Da f stetig ist und die ck,j endlich sind, sind die ϕk(x) Treppenfunktionen.Jedes Qk,j ist per Konstruktion in einem Quader Q ∈ Uk enthalten.Für alle Q ∈ Uk, y ∈ Q gilt dist(y,K) ≤ δk

2 .18(da, ‖x− y‖2 ≤ n‖x− y‖∞)Also supp(ϕk) ⊂ {y ∈ R

n|dist(y,K) < δk} für alle k ∈ N.Sei s ∈ R\K. Da K kompakt ist, gibt es ein r < 0 mit dist(x,K) > r.Da δk → 0 gibt es ein Nr ∈ N mit δk < r für alle k > Nr

Damit: x /∈ supp(ϕk) für k > Nr, also ϕk(x) = 0 für k > Nr.

17der Schnitt mit K ist nötig, da faußerhalb von K nicht definiert ist.18dist : euklidischer Abstand

16

Somit limk→∞

= 0 = fk(x), fk(x) =

{

f(x), x ∈ K

0, sonst

Sei x ∈ K. Für alle k ∈ N gibt es jk ∈ {1, . . . , lk} mit x ∈ Qk,jk

Also ϕk(x) =lk∑

j=1ck,jχQk,j

(x)Qk,jpaarw. disj. für festes k

= ck,jk = supy∈Qk,jk

∩Kf(y)

Da x ∈ Qk,jk und ‖y − x‖ ≤ δk2 ≤ δk für alle Qk,jkfolgt :

|ϕk(x)− fK(x)| = |ϕk(x)− f(x)| ≤ supy∈Qk,jk

∩K|f(y)− f(x)| ≤ 1

k

Also: 0 ≤ limk→∞

|ϕk(x)− fK(x)| ≤ limk→∞

1k= 0 somit gilt: lim

k→∞ϕk(x) = fK(x)

Damit konvergiert ϕk punktweise gegen fK . Da K beschränkt ist gibt es Quader Q ⊂ Rn

mit {y ∈ Rn|dist(y,K) < sup

k∈Nδk} ⊂ Q19

Es gilt für alle x ∈ Rn, k ∈ N

|ϕk(x)| ≤ maxy∈K

|f(y)| · χQ(x)

Also Φ(x) := maxy∈K

|f(y)|χQ(x) ist Lebesgue-integrierbare Majorante der ϕk.

Nach dem Satz von der majorisierten Konvergenz ist die punktweise GrenzfunktionLebesgue-integrierbar. �

Satz 17 f : (a, b) → R, a, b ∈ R ∪ {±∞}, a < b mit f auf jedem Intervall [c, d] ⊂(a, b) Riemann-integrierbar. Dann ist f über (a, b) genau dann Lebesgue-integrierbar,wenn |f | über (a, b) uneigentlich Riemann-integrierbar ist.

Satz 18 (Satz von Fubini)Sei f : Rn → R ∪ {∞} unf f Lebesgue-integrierbar. Dann gilt:

a) Die Funktion fy : Rn → R∪{∞}, fy(x) = f(x, y) ist für fast alle y ∈ Rn Lebesgue-

integrierbar. D.h. {y ∈ Rn|fy nicht Lebesgue-integrierbar} ist eine Nullmenge.

b) Sei F : Rn → R definiert durch:

F (y) =

∫

Rn

f(x, y)d(x) =∫

Rn

fy(x)dx, falls fy Lebesgue-integrierbar

0, sonstDann ist F Lebesgue-integrierbar mit:∫

Rn×Rm

f(x, y)d(x, y) =∫

Rn

F (y)dy =∫

Rn

(∫

Rm

f(x, y)dx

)

dy20

Beispiel 2 f : R× R → R

f(x, y) = x · y · χ[0,1]2(x, y) = x · y · χ[0,1](x) · χ[0,1](y) Lebesgue-integrierbar.

19Dieses Supremum ist endlich, da δk → 0 gilt20iteriertes Integral oder Mehrfachintegral genannt

17

∫

R×R

f(x, y)d(x, y) =∫

R

∫

R

f(x, y)dxdy =∫

R

∫

R

x·y·χ[0,1](x)·χ[0,1](y) =∫

R

yχ[0,1](y)

(∫

R

xχ[0,1](x)dx

)

dy =

∫

R

yχ[0,1](y)1∫

0

xdxdy =∫

R

yχ[0,1](y) ·12 · 1dy = 1

2

∫

R

yχ[0,1](y)dy = 12

1∫

0

ydy =1

4

Lemma 5 Sei A ⊂ Rm ×R

n eine Nullmenge.Dann gibt es eine Nullmenge N ⊂ R

n, so dass für alle y ∈ Rn\N die Menge

Ay = {y ∈ Rn|(x, y) ∈ A} eine Nullmenge ist.

[TODO: Graphik einfügen!]Beweis:Ist A eine Nullmenge, so gilt: ‖χA‖1 =

∫

Rm×Rn

χA(x, y)d(x, y) = 0 Sei ǫ > 0 beliebig.

Dann gibt es eine Hüllreihe Φ(x, y) =∞∑

j=1cjχQj

(x, y),

cj ≥ 0 Qj ⊂ Rm × R

n offene Quader, von χA(x, y) d.h.

|χA(x, y)|χA≥0= χA(x, y) ≤ Φ(x, y), mit I(Φ) < ǫ

Es gilt Qj = Q′j ×Q′′

j mit Q′j ⊂ R

m, Q′′j ⊂ R

n offene Quader, für alle j ∈ N.Definiere a : Rn → R ∪ {∞}, a(y) = ‖χAy(x, y)‖1 (Ay := {x ∈ R

m|(x, y) ∈ A})

Dann haben wir: χAy(x) = χA(x, y) ≤∞∑

j=1cjχQj

(x, y) =∞∑

j=1cj χQ′

j×Q′′j(x, y)

︸ ︷︷ ︸

=χQ′j(x)·χQ′′

j(y)

=∞∑

j=1cjχQ′

j(x)χQ′′

j(y)

a(y) = ‖χAy‖1Monotonie

≤ ‖∞∑

j=1cjχQ′

j(x)χQ′′

j(y)‖1

△−UG≤

∞∑

j=1|cj | · ‖χQ′

j(x) χQ′′

j(y)

︸ ︷︷ ︸

Konstante

‖1x =

=∞∑

j=1χQ′′

j(y)‖χQ′

j(x)‖1x

‖a(y)‖1yMonotonie

≤

∥∥∥∥∥

∞∑

j=1cjχQ′′

j(y)‖χQ′

j(x)‖1x

∥∥∥∥∥1y

△−UG≤

∞∑

j=1cj

∥∥∥χQ′′

j(y)‖χQ′

j(x)‖1x

∥∥∥1y

=

=∞∑

j=1cj · volm(Q′

j)︸ ︷︷ ︸

Volumen im Rm

· vol(Q′′j )

︸ ︷︷ ︸

Volumen im Rn

=∞∑

j=1cjvol(Q

′j ×Q′′

j︸ ︷︷ ︸

=Qj

) =∞∑

j=1cjvol(Qj) = I(Φ) < ǫ

Da ǫ > 0 beliebig ist, ist also ‖a(y)‖1 = 0. Damit ist a fast überall gleich Null.Also: ‖χAy‖1 ist für fast alle y gleich Null. Damit ist Ay für fast alle y eine Nullmenge.�

Beweis: (Satz von Fubini)f ist Lebesgue-integrierbar ⇒ Es gibt eine Folge ψk von Treppenfunktionen, die gegenf , in der L1-Halbnorm, konvergiert. Nach Riesz-Fischer gibt es eine Teilfolge, die fastüberall punktweise gegen f konvergiert. Nach dem Beweis vom ”Satz von Riesz-Fischer”

gilt für diese Teilfolge ψkl sogar∞∑

l=1

‖ψkk+1− ψkl‖ <∞.

18

Es gibt also eine Folge von Treppenfunktionen mit ϕk : Rm × R

n → R ∪ {∞} mit:

• ‖ϕk − f‖1 → 0

• limk→∞

ϕk(x, y) = f(x, y), für (x, y) ∈ Rm × R

n\A, mit A ist Nullmenge

•∞∑

k=1

‖ϕk+1 − ϕk‖ <∞

Nach Lemma 5 gibt es eine Nullmenge N ⊂ Rn, so dass Ay = {x ∈ R

n|(x, y) ∈ A} eineNullmenge ist, für y ∈ R

n\N .Definiere21 fy : R

m → R ∪ {∞}, fy(x) = f(x, y)ϕk,y : R

m → R ∪ {∞}, ϕk,y(y) = fy(x) fast überallDann haben wir: für y ∈ R

m\N, limk→∞

ϕk,x(y) = fy(x) fast überall.22

Sei ϕk(x, y) =lk∑

j=1ck,jχQk,j

(x, y),

ck,j ∈ R, Qk,j ⊂ Rm × R

n, für festes k paarweise disjunkte Quader.Es ist Qk,j = Q′

k,j ×Q′′k,j mit Q′

k,j ⊂ Rm, Q′′

k,j ⊂ Rn

Mittels des Verfeinerungslemmas können wir o.B.d.A. annehmen, dass für festes k undalle i ∈ {1, . . . , lk}gilt:(Q′

k,j ∩Q′k,i = ∅ ∨Q′

k,j = Q′k,i) ∧ (Q′′

k,j ∩Q′′k,i = ∅ ∨Q′′

k,j = Q′′k,i) (i)

Sei k ∈ N fest gewählt. Betrachte ϕk und ϕk+1. Mittels verfeinerungslemma könnenwir für dieses feste k annehmen, dass Qk,j = Qk+1,j, Q

′k,j = Q′

k+1,j, Q′′k,j = Q′′

k+1,j undlk = lk+1, wobei wieder (i) gelten soll.

Wir definieren (für beliebiges k ∈ N)Hy : R

n → R ∪ {∞} Hk(y) =∫

Rm

|ϕk+1,y(x)− ϕk,y(x)|dx.

Wir kehren nun zu unserem festen k ∈ N zurück. Dann ist

Hk(y) =∫

Rm

|ϕk+1,y(x)− ϕk,y(x)︸ ︷︷ ︸

ϕk+1(x,y)−ϕk(x,y)

|dx =∫

Rm

∣∣∣∣∣

lk∑

j=1(ck+1,j − ck,j)χQk,j

(x, y)

∣∣∣∣∣dx =

=∫

Rm

∣∣∣∣∣∣

lk∑

j=1

(ck+1,j − ck,j)χQ′k,j(x)χQ′′

k,j(y)

∣∣∣∣∣∣

︸ ︷︷ ︸

Treppenfunktion in x

dx =lk∑

j=1|ck+1,j − ck,j|︸ ︷︷ ︸

Konstante

χQ′′k,j(y)

︸ ︷︷ ︸

Konstante

vol(Q′k,j)

︸ ︷︷ ︸

∈R

Also: Hk : Rn → R ∪ {∞} und Hk ist Treppenfunktion.

21aus der Definition des Satzes von Fubini22Da Ay Nullmenge ist

19

∫

Rn

Hk(y)dy =lk∑

j=1|ck+1,j − ck,j| vol(Q

′′k,j)vol(Q

′k,j)

︸ ︷︷ ︸

Q′k,j

×Q′′k,j

=Qk,j

=lk∑

j=1|ck+1,j − ck,j|vol(Qk,j) =

=∫

Rm×Rn

|ϕk+1(x, y)− ϕk(x, y)|d(x, y) = ‖ϕk+1 − ϕk‖1

Da wir für jedes feste k ∈ N dieses Argument durchführen können, ist Hk für alle k ∈ N

eine Treppenfunktion und∞∑

k=1

∫

Rm

Hk(y)dy ≤∑

‖ϕk+1 − ϕk‖1 <∞.

Die Funktionenfolge

(t∑

k=1

Hk

)

t=1,2,...

ist monoton wachsend und die Funktionen sind

Lebesgue-integrierbar (Da Treppenfunktionen).

Weiterhin gilt:∫

Rn

t∑

k=1

Hk(y)dy =t∑

k=1

∫

Rn

Hk(y)dy ≤t∑

k=1

‖ϕk+1 − ϕk‖ <∞.

Nach dem Satz von Beppo-Levi konvergiertt∑

k=1

Hk fast überall gegen eine Lebesgue-

integrierbare Funktion, also∞∑

k=1

Hk(y) <∞ für alle y ∈ Rn\N2 mit N2 ist Nullmenge.

Damit gilt:∞∑

k=1

‖ϕk+1,y − ϕk,y‖1x =∞∑

k=1

∫

Rn

|ϕk+1,y(x)− ϕk,y(x)|

︸ ︷︷ ︸

Hk(y)

dx =∞∑

k=1

Hk(y) <∞

für y ∈ Rn\N2.

Sei N = N1 ∪N2. N ist Nullmenge.

Da für y ∈ Rn\N gilt ‖ϕm,y − ϕk,y‖1 <

m−1∑

j=k

‖ϕj+1,y − ϕj,y‖1 für m > k und

∞∑

j=1‖ϕj+1,y − ϕj,y‖1 <∞, ist ϕk,y für y ∈ R

n\N eine L1-Cauchy-Folge.

Wir wissen, dass ϕk,y fast überall gegen fy konvergiertr für y ∈ Rn\N . Nach Riesz-

Fischer konvergiert eine Teilfolge von ϕk,y für y ∈ Rn\N fast überall punktweise gegen

eine Lebesgue-integrierbare Funktion fy : Rn → R ∪ {∞}. Also stimmen fy und fy für

y ∈ Rn\N überein und nach dem Modifikationssatz ist fy ∈ R

n\N Lebesgue-integrierbar.

Definiere: F : Rn → R durch F (y) =

∫

Rn

fy(x)dx = limk→∞

für y ∈ Rn\N

0 für y ∈ N

Sei Φk(y) :=∫

Rm

ϕk,y(x)dx =lk∑

j=1ckjvol(Q

′kj)χQ′′

kj

(x) für k ∈ N

Φk ist eine Treppenfunktion für jedes k ∈ N. Für y ∈ Rn\N ist lim

k→∞Φk(y) = F (y), also

konvergiert Φk fast überall punktweise gegen F .

‖Φk+1 − Φk‖1 =∫

Rn

∣∣∣∣

∫

Rm

ϕk+1,y(x)dx −∫

Rm

ϕk,y(x)dx

∣∣∣∣dy =

=∫

Rn

∣∣∣∣

∫

Rm

ϕk−1(x, y)− ϕk(x, y)dx

∣∣∣∣dy ≤

∫

Rn

∫

Rm

|ϕk+1(x, y)− ϕk(x, y)| dxdy =∫

Rm

Hk(y)dy.

20

Also:∞∑

k=1

‖Φk+1 − Φk‖1 ≤∞∑

k=1

∫

Rn

Hk(y)dy <∞

Dann ist (Φk)k∈N eine L1-Cauchy-Folge und nach Riesz-Fischer konvergiert eine Teil-foge fast überall punktweise gegen eine Funktion F : Rn → R ∪ {∞}(den L1-Grenzwert von Φk). Nach dem Modifikationssatz ist F Lebesgue-integrierbar mit:∫

Rn

F (y)dy =∫

Rn

F (y)dy = limk→∞

Φk(y)dy = limk→∞

lk∑

j=1ckjvol(Q

′kj)vol(Q′′

kj) = lim

k→∞

lk∑

j=1ckjvol(Qkj ) =

limk→∞

∫

Rn×Rm

ϕk(x, y)d(x, y) =∫

Rn×Rm

f(x, y)d(x, y). �

Korollar 3 Ist f : Rm × Rn → R ∪ {∞} Lebesgue-integrierbar, so gilt:

∫

Rm×Rn

f(x, y)d(d, y) =∫

Rm

∫

Rn

f(x, y)dxdy =∫

Rm

∫

Rn

f(x, y)dydx

Beweis:Analoger Beweis von Fubini liefert:∫

Rm×Rn

f(x, y)d(x, y) =∫

Rm

∫

Rn

f(x, y)dydx

Satz 19 (Satz von Tonelli)Sei f : Rm×R

n → R∪{∞} lokal Lebesgue-inegrierbar. Dann ist f genau dann Lebesgue-integrierbar, wenn eines der iterierten Integrale∫

Rm

∫

Rn

|f(x, y)|dydx oder∫

Rn

∫

Rm

|f(x, y)|dxdy

existiert. D.h∫

Rn

|f(x, y)|dy bzw.∫

Rm

|f(x, y)|dx existiert für fast alle x ∈ Rm bzw y ∈ R

n

und die Funktion

F (x) =

∫

Rn

|f(x, y)|dy, falls existent

0 sonstbzw F (y) =

∫

Rm

|f(x, y)|dx, falls existent

0 sonstist Lebesgue-integrierbar.

Beweis:

”⇒” Ist f Lebesgue-integrierbar, so ist auch |f | Lebesgue-integrierbar und der Satz vonFubini liefert die Existenz von

∫

Rn

∫

Rm

|f(x, y)|dxdy und∫

Rm

∫

Rn

|f(x, y)|dydx.

”⇐” Definiere: fk : Rm×Rn → R∪{∞} durch fk(x, y) := min{|f(x, y)|, k·χ[−k,k]m+n(x, y)}

Da f lokal integrierbar ist, ist fk Lebesgue-integrierbar über Rm × R

n.Weiterhin ist fk monoton wachsend und punktweise konvergent gegen |f |Zudem gilt:∫

Rm×Rn

fk(x, y)d(x, y)Fubini=

∫

Rn

∫

Rm

fk(x, y)dxdy ≤∫

Rn

∫

Rm

|f(x, y)|dxdy <∞

(

bzw.∫

Rm

∫

Rn

fk(x, y)dydx ≤∫

Rm

∫

Rn

|f(x, y)|dydx <∞

)

Nach dem Satz der majorisierten Konvergenzist |f | Lebesgue-integrierbar.Damit ist nach dem Majorantenkriterium f Lebesgue-integrierbar. �

21

2 Der Transformationssatz

Zur Erinnerung:Ein C1−Diffeomorphismus ist eine Abbildung ϕ : U → V , U, V ⊂ R

n offen, die bijektivund stetig differenzierbar mit stetig differenzierbarer Inversen ϕ−1, ist.

Satz 20 (Transformationssatz)Seien U, V ⊂ R

n offen und T : U → V ein Diffeomorphismus. Dann ist f : V → R∪{∞}Lebesgue-integrierbar genau dann wenng : U → R ∪ {[∞}, g(y) = f(T (y)) · |det(DT (y))| Lebesgue-integrierbar über U ist.Im Fall der Lebesgue-integrierbarkeit gilt:

∫

V

f(x)dx =∫

U

f(T (y)) · |det(DT (y))|dy

Korollar 4 Seien U, V ⊂ Rn offen, T : U → V ein Diffeomorphismus.. Sei K ⊂ V und

f : K → R ∪ {∞}. Dann ist f über K genau dann Lebesgue-integrierbar wenny 7→ f(T (y)) · |det(DT (y))| Lebesgue-integrierbar ist über T−1(K) ist. Im Falle derLebesgue-integrierbarkeit gilt:∫

K

f(x)dx =∫

T−1(K)

f(T (y))|det(DT (y))|dy

Beweis:

Wende den Transformationssatz auf fk(x) :=

{

f(x), x ∈ K

0 , sonstan. �

Bemerkung 6 |det(DT (y))| =

∣∣∣∣∣∣∣

det

∂T1

∂x1(y) . . . ∂T1

∂xn(y)

......

∂Tn

∂x1(y) . . . ∂Tn

∂xn(y)

∣∣∣∣∣∣∣

bezeichnet man auch als Funktionaldeterminante.

Beispiel: Volumen des Ellipsoids E = {(x1, . . . , xn) ∈ Rn|

n∑

j=1

x2j

a2j≤ 1} mit a1, . . . , an > 0

Transformation: T : Rn → Rn T (y) =

a1. . .

an

· y

T ist eine invertierbarte Abbildung.

|det(DT (y))| =

∣∣∣∣∣∣∣

det

a1. . .

an

∣∣∣∣∣∣∣

=n∏

j=1aj

E ist kompakt, alo messbar und vol(E) <∞

Sei x = T (y). Dann gilt:n∑

j=1

x2j

a2j

=n∑

j=1

(ajyj)2

a2j

=n∑

j=1y2j

Also ist T (B1(0)) = E da,n∑

j=1

x2j

a2j≤ 1 ⇔

n∑

j=1y2j ≤ 1 für T (y) = x

22

Damit istvol(E) =

∫

E

1dx =∫

B1(0)

1 · |det(DT (y))|dy =

=∫

B1(0)

n∏

j=1ajdy =

∏nj=1 aj

∫

B1(0)

1dy =n∏

j=1ajvol(B1(0))

23

Einschub/NachtragUnpdate zur zweiten VorlesungDefinition:Sei f : M → R, M ⊂ R

n eine beliebige Menge.Dann bezeichnen wir die Mengesuppo.A.(f) = {x ∈M |f(x) 6= 0} als Träger ohne Abschluss von fBemerkung:Im Allgemeinen definiert man den Träger für Funktionen auf topologischen (bzw. metri-schen) Räumen als Abschluss der Nichtnullmenge.z.B.:f : M → R M ⊂ R

n

supp(f) = {x ∈M |f(x) 6= 0}Wir verwenden hier also einew nicht-standart-Definition.

Beweis:(Beweisskizze für den Transformationssatz)24

Lemma 6 Das Volumen P =

{n∑

i=1tiai|ti ∈ [0, 1]

}

ai ∈ Rn ∀i = 1, . . . , n ist:

vol(P ) = |det(a1, . . . , an)|

Lemma 7 Ein Diffeomorphismus Φ: U → V, U, V ⊂ Rn offen,

bildet eine Nullmenge von U auf Nullmenge in V ab.

Lemma 8 Sind U, V ⊂ Rn offen, Q ⊂ U ein abgeschlossener Würfel und ist

Φ: U → V ein Diffeomorphismus, so ist:vol(Φ(Q)) ≤ max

x∈Q|det(DΦ(x))| · vol(Q)

Lemma 9 Sind U, V ⊂ Rn offen Φ: U → V ein Diffeomorphismus

Ist K ⊂ U kompakt , so gilt:vol(K) ·min |det(DΦ(x))| ≤ vol(Φ(K)) ≤ max

k∈K|det(DΦ(x))| · vol(K)

Lemma 10 Die Transformationsformel gilt für χQ mit Q ⊂ V , Q ist Quader.(Damit gilt die Transformationsformel für jede Treppenfunktion mit suppo.A.(ϕ) ⊂ V )

Lemma 11 Ist f Lebesgue-integrierbar über V (f : V → Rn → R ∪ {∞}).

Dann gibt es zu jedem ǫ > 0 eine Treppenfunktion ϕ mitsuppo.A.(ϕ) ⊂ V und ‖f − ϕ‖1,V < ǫ

23da ∂Br(0) Nullmenge ist (Übung)24der komplette Beweis würde den zeitlichen Rahmen der Vorlesung sprengen

23

Beweis:(Transformationssatz)

• approximiere f durch eine Treppenfunktion mit suppo.A.(ϕk) ⊂ V (im L1-Sinne)

• (Riesz-Fischer) ⇒ o.B.d.A. konvergiert ϕk punktweise gegen f (Übergang zur Teil-folge)

• ϕk(x) := |det(DT (x))| · ϕk(x) ist L1-Cauchy-Folge.

• ϕk konvergiert punktweise gegen f(x) = |det(DT (x))| · f(T (x))

• (Riesz-Fischer): f ist Lebesgue-integrierbar mit:

∫

U

f(y)dy = limk→∞

∫

U

ϕk(y)dy = limk→∞

∫

V

ϕk(x)dx =∫

V

f(x)dx

Korollar 5 Sei T (x) = Ax+ b, A ∈ GL(n), b ∈ Rn und

f : Rn → R Lebesgue-integrierbar. Dann gilt:∫

Rn

f(x)dx = |det(A)| ·∫

Rn

f(Ay + b)dy und

y 7→ f(T (y)) ist Lebesgue-integrierbar.

Korollar 6 Sei M ⊂ Rn messbar mit vol(M) <∞ und T (x) = Ax+ b,

A ∈ GL(n), b ∈ Rn, dann gilt:

vol(T (M)) = |det(A)| · vol(M)

Beweis:vol(T (M)) =

∫

T (M)

1dx =∫

M

1◦T (y)|det((DT (y))|dy = |det(A)|∫

M

1dy = |det(A)| ·vol(M)

24

3 Parameterabhängige Integrale

Satz 21 (Stetigkeitssatz)Sei X ⊂ R

n offen, Y ⊂ Rm, f : X × Y → R mit

• ∀x ∈ X : y 7→ f(x, y) ist über Y Lebesgue-integrierbar

• ∀y ∈ Y : x 7→ f(x, y) stetig.

• es existiert, Φ: Y → R über Y Lebesgue-integrierbar mit:∀(x, y) ∈ X × Y : |f(x, y)| ≤ Φ(y)

Dann ist F (x) =∫

Y

f(x, y)dy stetig

Beweis:Übung.

Satz 22 Sei X ⊂ Rn offen, Y ⊂ R

m, f : X × Y → R mit

• ∀x ∈ X : y 7→ f(x, y) ist über Y Lebesgue-integrierbar

• ∀y ∈ Y : x 7→ f(x, y) stetig differenzierbar.

• es existiert, Φ: Y → R über Y Lebesgue-integrierbar mit:∀(x, y) ∈ X × Y, i ∈ {1, . . . , n} : | ∂

∂xif(x, y)| ≤ Φ(y)

Dann ist F (x) =∫

Y

f(x, y)dy stetig differenzierbar und

∂∂xif(x, y) ist Lebesgue-integrierbar und es gilt:

∂∂xiF (x) =

∫

Y

∂∂xif(x, y)dy für i = 1, . . . , n

Beweis:Sei x0 ∈ X, i ∈ {1, . . . , n} fest und (hk)

∞k=1,... ⊂ R\{0} eine Nullfolge mit x0+hkei ∈ X.

Definiere ϕk(y) :=f(x0 + hkei, y)− f(x0, y)

hk.

Dann ist, wegen den Bedingungen an f , ϕk Lebesgue-integrierbar und für alle y ∈ Y istlimk→∞

ϕk(y) =∂∂xif(x0, y).

Nach den Bedingungen an ∂∂xif und dem Schrankensatz25 ist |ϕk(y)| ≤ Φ(y) für alle

k ∈ N.Also: Nach dem Satz der majorisierten Konvergenz ist y 7→ ∂

∂xif(x0, y) Lebesgue-integrierbar

mit∫

Y

∂∂xif(x0, y)dy = lim

k→∞ϕk(y)dy = lim

k→∞

∫

Y

f(x0+hkei,y)−f(x0.y)hk

dy =

= limk→∞

1hk

(∫

Y

f(x0 + hkei, y)dy −∫

Y

f(x0, y)dy

)

= limk→∞

1hk

(F (x0 + hkei)− F (xo))

25Alternativ: mit Taylor

25

Da (hk)∞1,... ⊂ R beliebig mit x0 + hkei ∈ X und X offen, ist gilt:

limhk→0

F (x0−hkei)−F (xo)hk

=∫

Y

∂∂xif(xo, y)dy

Damit ist F für alle x ∈ X, i ∈ {1, . . . , n} partiell differenzierbar nach xi, mit∂∂xiF (x) =

∫

Y

∂∂xif(x, y) = dy.

∂∂xiF (x) ist stetig nach Satz 21. Also: alle partiellen Ableitiungen sind stetig auf X und

damit ist F stetig differenzierbar. �

26

4 Differenzierbare Untermannigfaltigkeiten des Rn

Intuitiv:Eine differenzierbare Untermannigfaltigkeit M des R

n der Dimension m ist eine Teil-menge des Rn, die man lokal um jeden Punkt von M zu einer offenen Teilmenge des Rm

”glattziehen” kann.26.

M ∩ U

Rm

Rn−m

×x

M

Umgebung U von x in Rn

Rm × {0}n−m

×ϕ(x)

V

ϕ : U → V ∈ Rn

ϕ: Karte (engl: chart)

Definition 16 Eine Menge M ∈ Rn heißt m-dimensionale Ck-Untermannigfaltigkeit

des Rn falls, zu jedem Punkt x ∈ M, offene Mengen U, V ⊂ R

n (x ∈ U) und ein Ck-Diffeomorphismus27 ϕ : U → V existieren mit:ϕ(M∩ U) = (Rm × {0}n−m) ∩ V (x ∈ U also ist M∩ U 6= ∅)Wir nennen ϕ Karte von M um x und M∩ U Kartengebiet.Eine Fammilie {ϕi : Ui → Vi|i ∈ I} (I Indexmenge) von Ck-Karten von M heißtCk-Atlas falls die Ui die Untermannigfaltigkeit M überdeckt also M ⊂

⋃

i∈IUi gilt.

Beispiel 3 (Einheitskreis im R2)

S1 = {x ∈ R2|‖x‖1 = 1}

• ϕ1(x1, x2) = (x1 −√

1− x22, x2)U1 = {(x1, x2) ∈ R

2||x2| < 1, x1 > 0}V1 = {(y1, y2) ∈ R

2||y2| < 1, y1 > −√

1− y22}ϕ1 : U1 → V1, ϕ1 ∈ C∞, bijektivϕ−11 ∈ C∞

26m < n27d.h. ϕ ist eine Bijektion und sowohl ϕ als auch ϕ−1 sind in Ck

27

• ϕ2(x1, x2) = (x1 +√

1− x22, x2)U2 = {(x1, x2) ∈ R

2 : |x2| < 1, x1 < 0}V2 = {(y1, y2) ∈ R

2 : |y2| < 1, y1 >√

1− y22}ϕ2 : U2 → V2, ϕ2 ∈ C∞, bijektivϕ−12 ∈ C∞

• ϕ3(x1, x2) = (x1, x2 −√

1− x21)U3 = {(x1, x2) ∈ R

2 : |x1| < 1, x2 > 0}V3 = {(y1, y2) ∈ R

2 : |y1| < 1, y2 > −√

1− y21}ϕ3 : U3 → V3, ϕ3 ∈ C∞, bijektivϕ−13 ∈ C∞

• ϕ4(x1, x2) = (x1, x2 +√

1− x21)U4 = {(x1, x2) ∈ R

2 : |x1| < 1, x2 < 0}V4 = {(y1, y2) ∈ R

2 : |y1| < 1, y2 >√

1− y21}ϕ4 : U4 → V4, ϕ4 ∈ C∞, bijektivϕ−14 ∈ C∞

ϕ1(U1 ∩ S1) = ({0} × R) ∩ V1) analog für ϕi i = 2, 3, 4.

Also sind ϕi i = 1, 2, 3, 4 Karten. {ϕ1ϕ2, ϕ3, ϕ4} ist Atlas.Also ist S1 Untermannigfaltigkeit.

Wiederholung; Definition:Sei U ⊂ R

n offen. Eine C1-Abbildung ϕ : U → Rm heißt Submersion falls

rang(Dϕ(x)) = m für alle x ∈ U .ϕ heißt Immersion falls rang(Dϕ(x)) = n für alle x ∈ U

Satz 23 Sei U ⊂ Rn offen, ϕ : U → R

m eine Submersion.Dann ist für alle c ∈ ϕ(U) die Menge ϕ−1(c) eine C1-Untermannigfaltigkeit des R

n derDimension n−m.

Beweis:Sei x0 ∈ ϕ−1(c). Da rang(Dϕ(x)) = m können wir o.B.d.A. annehmen, dassDϕ(x0) = (A#), A ∈ R

m×m, rang(A) = m.Wir schreiben nun für x ∈ R

n : x = (y, z), y ∈ Rm, z ∈ R

n−m

und für xo : x0 = (y0, z0), y0 ∈ Rm, z0 ∈ R

n−m.Definiere: Ψ: Rm × R

n−m durch Ψ(y, z) = (ϕ(y, z)− c, z)T .

Dann ist DΨ(y0, z0) =

(Dyϕ(yo, zo) Dzϕ(yo, z0)

0 1n−m

)

=

(A #0 1n−m

)

.

Also ist rang(DΨ(y0, z0)) = m+ (n−m) = nNach dem Umkehrsatz gibt es eine offene Umgebung U ⊂ U von (y0, z0) = x0 und eineoffene Umgebung V von Ψ(y0, z0) = (0, z0) dso dass, Ψ: U → V eine Bijektion mit stetigdifferenzierbarer Inversen Ψ−1 ist, also ist Ψ ein Diffeomorphismus.Weiter ist ϕ−1(c) ∩ U 6= ∅ (da x0 ∈ U) und Ψ(ϕ−1(c) ∩ U) = ({0}m × R

n−m) ∩ V(für geeignete U und V ).Also ist Ψ Karte von M in x0.

28

Da die Konstruktion für alle x0 ∈ ϕ−1(c) möglich ist, ist ϕ−1(c) Untermannigfaltigkeitder Dimension n−m. �

Definition 17 (kritische/reguläre Werte)Sei ϕ : U → R

m stetig differenzierbar, U ⊂ Rn offen.

Ein Punkt x ∈ U heißt kritischer Punkt, falls rang(Dϕ(x)) < m ist.Wir nennen c ∈ R

m regulären Wert falls ϕ−1(c) keine kritischen Punke enthält; ansonstenkritischen Wert.

Korollar 7 (Satz vom regulären Wert)Sei ϕ : U → R

m ϕ ∈ C1 c ∈ Rm regulärer Wert mit ϕ−1(c) 6= ∅. Dann ist ϕ−1(c) eine

C1-Untermannigfaltigkeit.

29

INDEX

Stichwortverzeichnis

A

Atlas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27Ausschöpfungsprinzip. . . . . . . . . . . . . . . . 14

C

Charakteristische Funktion . . . . . . . . . . . 2

F

fast überall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11Funktionaldeterminante . . . . . . . . . . . . . 22

H

Hüllreihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

I

Inhalt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5Integral

von Treppenfunktionen . . . . . . . . . . . 5

K

Karte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27kritischer Punkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

L

L1-Cauchy-Folge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12L1-Grenzwert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12L1-Halbnorm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6Lebesgue-integrierbar . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

lokal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16Lemma

Verfeinerungs- . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

M

Messbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

N

Nullmenge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

P

passend zu Treppenfunktion . . . . . . . . . . 2

Q

Quader . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

S

SatzBeppo-Levi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17Majorantenkriterium . . . . . . . . . . . . 16Majorisierte Konvergenz . . . . . . . . . 15Modifikations- . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11Riesz-Fischer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12Stetigkeits- . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25Tonelli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21Transformations- . . . . . . . . . . . . . . . . 22vom regunären Wert. . . . . . . . . . . . .29

T

Träger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2Treppenfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

V

Verfeinerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

30

Logbuch

01. 17.10, 2–302. 24.10, 3–603. 31.10, 6–1004. 07.11, 10–1105. 14.11, 11–1406. 21.11, 14–1607. 28.11, 16–1808. 05.12, 18–2009. 12.12, 20–2310. 19.12, 23–2611. 19.12, 2911. 9.1, 26

31