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Mehrdimensionale Integration Dr. Christian Lagemann Mitschrift: Philipp Drössler Stand: 5. Mai 2012 Inhaltsverzeichnis 1 Das Lebesgue-Integral im R n 2 1.1 Treppenfunktionen und deren Integral .................... 2 1.2 Das Integral von Treppenfunktionen ..................... 5 1.3 Konvergenzsätze und der Satz von Fubini .................. 12 2 Der Transformationssatz 22 3 Parameterabhängige Integrale 25 4 Differenzierbare Untermannigfaltigkeiten des R n 27 Stichwortverzeichnis 30 Logbuch 31 1

Mehrdimensionale Integration - apostroph-online.de · 1.2 Das Integral von Treppenfunktionen Definition 6 (Integral von Treppenfunktionen) Sei f: Rn → Reine Treppenfunktion. f(x)

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  • Mehrdimensionale IntegrationDr. Christian Lagemann

    Mitschrift: Philipp Drssler

    Stand: 5. Mai 2012

    Inhaltsverzeichnis

    1 Das Lebesgue-Integral im Rn 2

    1.1 Treppenfunktionen und deren Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Das Integral von Treppenfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3 Konvergenzstze und der Satz von Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

    2 Der Transformationssatz 22

    3 Parameterabhngige Integrale 25

    4 Differenzierbare Untermannigfaltigkeiten des Rn 27

    Stichwortverzeichnis 30

    Logbuch 31

    1

  • 1 Das Lebesgue-Integral im Rn

    1.1 Treppenfunktionen und deren Integral

    Definition 1 (Quader)Einbeschrnkter Quader Q im Rn ist das Produkt von n beschrnkten nicht leeren Inter-vallen Q = I1 I2 In

    Die Intervalle knnen offen, abgeschlossen oder halboffen sein. Wir nennen den Quaderoffen bzw. abgeschlossen, wenn alle Ij offen bzw. abgeschlossen sind.

    Das Volumen von Q gegeben durch vol(Q) =n

    i=1(bi ai) fr Qj = (aj , bj), Qj = [aj, bj ]

    oder Qj = (aj , bj ], Qj = [aj , bj)n mit jeweils aj bj.

    Bemerkung 1 Unsere Quader sind achsparallet zu den jeweiligen e1, e2, . . . , enAchsen

    Sei M Rn eine beliebige Menge, dann bezeichnen wir M (x)

    {

    1 x M

    0 sonstals cha-

    rakteristische Funktion von M .

    Definition 2 (Treppenfunktion)Eine Funktion f : Rn R heit Treppenfunktion falls es x1, . . . , cm und eine Menge

    {Q1, . . . , Qm} paarweiser disjunkter1 nicht leerer Quader gibt mit: f(x) =m

    j=1cjQj(x).

    Definition 3 (Trger)Sei f : Rn R eine beliebige Funktion. Wir nennen supp(f) = {x R|f(x) 6= 0} 2 denTrger von f

    Definition 4 (passend)Wir nennen die Menge {Q1, . . . , Qm} von Quadern zu Treppenfunktionen passend,

    falls f auf jedem Qj konstant ist undm

    j=1Qj supp(f) gilt.

    Bemerkung 2 Sei {Q1, . . . , Qm} eine Menge von paarweise disjunkten Quadern, pas-

    send zur Treppenfunktion f : Rm R dann ist f(x) =m

    j=1cjQj(x) fr c1, . . . , cm R

    geeignet.

    Definition 5 (Verfeinerung)Wir nennen eine Menge von Quadern {Q1, . . . , Qm} im Rn Verfeinerung einer anderenMenge von Quadern {K1, . . . ,Kl} falls gilt:

    1A und B sind disjunkt A B = 2supp bedeutet support, und ist nicht zu verwechseln mit sup dem Supremum!

    2

  • i {1, . . . , l}Mi {Q1, . . . , Qm} : Ki =

    QMi

    Q

    und i {1, . . . ,m}i {1, . . . , l} : Qj Ki

    und j {1, . . . ,m}i {1, . . . , l} : (Qj Ki) (Qj Ki = )

    Bemerkung 3 Sei{Q1, . . . , Qm} Verfeinerung von {K1, . . . ,Kl} m

    i=1Qi =

    l

    j=1Kj

    Lemma 1 (Verfeinerungslemma)Ist {Q1, . . . , Qm} eine Menge von nicht leeren Quadern im Rn, so existiert eine Verfei-nerung in eine Menge von nicht leeren paarweise disjunkten Quadern.

    Beweis: Induktion ber n

    Induktionsanfang: n = 1Sei Qi = [ai, bi] (bzw. (ai, bi], [ai, bi), (ai, bi)) mit ai bi.Wir ordnen die Menge reeller Zahlen {ai, bi|i = 1, . . . ,m} der Gre nach und erhalteneine Sequenz c1 < c2 < < cl, l 2m

    | | | | | |a1 b1a2 b2a3 b3a4 b4

    c1 c2 c3 c4 c5 c6

    M := {[ci, ci]|i = 1, . . . , l j {1, . . . ,m} : cj Qj} {(ci, cj)|i = 1, . . . , l 1 j {1, . . . ,m} : (ci, cj) Qj}

    Da Qj =(ci, ci+1)

    [ci, cj ] gilt3, ist Qj =

    KMi

    K fr Mi M geeignet.

    Weiterhin ist per Konstruktion fr alleK M, j {1, . . . ,m} : K Qj oderKQj = .Per Definition existiert zu jedem K M ein Qj {Q1, . . . , Qm} mit K Qj.Also ist M die gesuchte Verfeinerung.

    Korollar 1 Sind f, g : Rn R Treppenfunktionen und ist M eine zu f , und N eine zug passende Menge von nicht leeren Quadern, so gibt es eine Menge X 6= , von paarweisedisjunkten Quadern, die zu MN eine Verfeinerung ist und zu f und g passend ist.

    Beweis:Nach Lemma 1 existiert eine Verfeinerung von M N in paarweise disjunkten, nichtleeren, Quadern. Diese ist zu f unf g passend.

    Induktionsvoraussetzung: Sei die Behauptung fr n N bewiesen.

    Induktionsschritt: n n+ 1

    3(ci, ci+1) Qj und [ci, cj ] Qj

    3

  • Sei Q = {Q1, . . . , Qn} eine Menge von, nicht leeren, Quadern. Qj Rn+1, j = 1, . . . ,m.Also Qj = I

    j1 I

    j2 I

    jn+1 fr I

    ji ist ein nicht leeres Intervall.

    Nach Induktionsvoraussetzung gibt es eine Menge, paarweise disjunkter,Quader K = {K1, . . . ,Kl} mit Ki Rn

    die Verfeinerung von {Ij1 Ij2 I

    jn+1}, j {1, . . . ,m} (Ki 6= ) ist.

    Nach Induktionsanfang gibt es eine Menge, paarweise disjunkter,Quader L = {L1, . . . Lr} mit Li R, Li 6= und die Verfeinerung von{Ijn+1|j {1, . . . ,m}} ist.

    Wir definieren:M := {Ki Ls|i {1, . . . , l}, s {1, . . . , r},j {1, . . . ,m} : Li Ls Qj}

    Per Definition existiert fr jedes M M ein j {1, . . . ,m} mit M Qj

    Zu jedem j {1, . . . ,m} gibt es ein Kj K und Lj L mitIj1 I

    jn =

    KKj

    K, Ijn+1 =

    LLj

    L.

    Also gilt:Qj = I

    j1 I

    jn+1 =

    KKj ,LLj

    KL =

    MMj

    M mit Mj = {M M|M Qj}

    Sei M Mj und Qj {Q1, . . . , Qm} mit M Qj 6= . Dann gilt: M = Ki Lsmit (Li Ls) (I

    j1 I

    jn+1) 6= .

    Also Ki (Ij1 I

    jn) 6= und Ls I

    jn+1 6= .

    Da K und L Verfeinerungen der jeweiligen Mengen von Intervallen ist, gilt:M = Ki (I

    j1 I

    jn), Ls (I

    j1 I

    jn+1) = Qj

    Satz 1 Die Menge der Treppenfunktionen bildet einen R-Vekrorraum

    Beweis: bung

    4

  • 1.2 Das Integral von Treppenfunktionen

    Definition 6 (Integral von Treppenfunktionen)Sei f : Rn R eine Treppenfunktion.

    f(x) =m

    j=1cjQj(x), cj R, Qj paarweise disjunkte nicht leere Quader.

    Dann ist

    Rn

    f(x)dx =m

    j=1cjvol(Qj) das Integral von f (ber Rn)

    Satz 2 Das Integral fr Treppenfunktionen ist wohldefiniert.

    Beweis:

    Sei f(x) =m

    j=1cjQj (x) eine Treppenfunktion,

    cj R, Q1, . . . , Qm Rn paarweise disjunkte nicht leere Quader.Sei K = {K1, . . . ,Kl} eine Verfeinerung von {Q1, . . . , Qm}, Ki paarweise disjunkt undnicht leer.

    Dann passt K zu f und f(x) =l

    i=1biKi(x)

    Satz 3 Sind f, g : Rn R Treppenfunktionen, R, so gilt:

    1)

    Rn(f + g)(x)dx =

    Rnf(x)dx+

    Rng(x)dx (Linearitt)

    2)

    Rnf(x)dx

    Rn|f(x)|dx

    3) Gilt fr alle x R f(x) g(x), so gilt:

    Rnf(x)dx

    Rng(x)dx

    Konvention 1x R x 0, Qj R

    n offene Quader

    Hllreihe von f falls fr alle x R gilt:|f(x)| (x)

    Wir definieren den Inhalt von I() als I() :=

    j=1cjvol(Qj)

    5

  • Definition 8 (L1 Halbnorm)Sei f : Rn R {} eine Funktion. Wir definieren die L1-Halbnorm von f :||L||1 := {I()| ist Hllreihe von f}

    Bemerkung 4

    Jede Hllreihe definiert eine Funktion: Rn R {}

    Zu jeder Funktion existiert eine Hllreihe4

    ||f ||1 ist fr jede Funktion definiert.5

    ||f ||1 0 f : Rn R {}

    Satz 4 Sind f, g : Rn R {} Funktionen R, so gilt:

    ||f ||1 = || ||f ||1

    ||f + g||< ||f ||1 + ||g||1

    Ist x Rn |f(x) |g(x)|, so gilt: ||f ||1 ||g||1

    Sei K = {K1, . . . ,Kl} eine Verfeinerung von {Q1, . . . , Qm}; Kj paarweise disjunkt

    f(x) =l

    i=1biKi(x)

    Zu jedem Qj gibt es ein Kj K und Qj =

    KKK, also Qj(x) =

    K=Kj

    K(x) und

    vol(Qj) =

    KKj

    vol(K) 6

    Also f(x) =m

    j=1cjQj(x) =

    m

    j=1

    KKj

    cjK(x) =l

    i=1biKi(x)

    Da die Ki und Kj paarweise disjunkt sind7 ist bi = cj fr Ki Kj .Da jedes K K in einem Qj enthalten ist, haben wir:l

    i=1bivol(Ki) =

    l

    i=1

    m

    j=1

    KiKj

    bivol(Ki) =m

    j=1

    l

    i=1KiKj

    bivol(Ki) =m

    j=1

    l

    i=1KiKj

    cjvol(Ki) =

    m

    j=1cj

    l

    i=1KiKj

    vol(Ki) =m

    j=1cjvol(Qj)

    Also liefert die Verfeinerung K den gleichen Wert fr das Integral von f .

    4z.B eine Hllreihe die berall unendlich ist.5u.U. 6da die Kj paarweise disjunkt sind7Qj paarweise disjunkt

    6

  • Sind M und N zu F passende Mengen von paarweise disjunkten Quadern - qir kn-nen o.B.d.A. annehmen, dass f auf keinem der Quader den Wert 0 annimmt8. Also:supp(f) =

    NNN =

    MMM

    Sei Keine Verfeinerung von MN in paarweise disjunkte Quader.Wegen ist K eine Verfeinerung von M und Verfeinerung von N . Nach dem Verfei-nerungslemma existiert ein K. Nach obigen Argument liefert K den gleichen Wert fr

    Rnf(x)dx wie M und auch wie N . Also liefern M und N den gleichen Wert fr

    Rnf(x)dx.

    Beispiel 1 f(x) =

    {

    1, x Q [0, 1]

    0, sonst

    Sei k(x) =

    j=1

    j

    l=0

    Ili,j mit Ili,j =(l

    j

    1

    2(j + 1)kj,l

    j+

    1

    2(j + 1)kj

    )

    Fr k > 1:

    I(k) =

    j=1

    j

    l=0

    1

    (j + 1)kj=

    j=1

    j + 1

    (j + 1)kj=

    j=1

    (1

    k

    )j

    =1

    k 1k 0

    Da die k Hllreihen von f sind und I(k)k 0 gilt: ||f ||1 0

    Wegen || ||1 0 gilt: ||f ||1 = 0

    Lemma 2 Ist f0, f1, . . . eine Folge von Funktionen Rn R{}, alle f nicht negativ,so gilt:

    k=0

    1

    k=0

    ||fk||1

    Beweis:Fr alle k N und > 0 gibt es eine Hllreihe von fk, k : Rn R {}, mit

    I(k,) ||fk||1 + 1

    (k + 1)2.

    Sei k, =

    j=0cj,k,lQj,k,(x), cj,k,l 0, Qj,k, offene Quader.

    Sei f : Rm R {} definiert durch f(x) =

    k=0

    fk(x), dann ist

    =

    k=0

    k

    j=0cj,kj,Qj,kj,(x) =

    k=0

    k

    j=0cj,k,Qj,k,(x) =

    k=0

    k,(x)

    Hllreihe von f , denn fr alle x Rn gilt:

    f(x) =

    k=0

    fk(x)

    k=0

    k,(x) = (x)

    I() =

    k=0

    k

    j=0cj,kj,vol(Qj,kj,) =

    k=0

    j=0cj,k,vol(Qj,k,) =

    k=0

    I(k,) Also: ||f ||1

    I() =

    k=0

    k,

    k=0

    (

    ||fk||1 + 1

    (k + 1)2

    )

    =

    (

    k=0

    )

    +

    k=0

    1

    (k + 1)2

    Konstante in R

    8Diese Quader knnen wir in der Definition des Integrals weglassen

    7

  • Da > 0 beliebig isdt haben wir: ||f ||1

    k=0

    ||fk||1

    Definition 9 (Lebesgue-integrierbar)Sei f : Rn R{} eine Funktion. Wir nennen f Lebesgue-integrierbar ber Rn, fallses eine Folge von Treppenfunktionen gibt mit:||f fk||1 0 fr k In diesem Fall ist das Lebesgue-Integral

    Rn

    f(x)dx = limk

    Rn

    fk(x)dx.

    Lemma 3 Ist f : Rn R eine Treppenfunktion, so gilt:

    Rn

    |f(x)|dx = ||f ||1

    Beweis:

    Sei o.B.d.A. 0 f(x) x Rn

    Sei f(x) :=m

    j=1cjQj(x), cj > 0, Qj paarweise disjunkte Quader.

    Zu jedem > 0, j {1, . . . ,m} gibt es offene Quader Qj Qj mitvol(Qj) vol(Qj) +

    Damit ist =m

    j=1cjQj(x) Hllreihe von f und

    I((x)) =m

    j=1cjvol(Q

    j)

    m

    j=1cjvol(Qj) + =

    Rn

    f(x)dx+ m

    j=1

    cj

    Konstante

    in R+0

    Da > 0 beliebig ist, ist||f ||1 = inf{I()| ist Hllreihe von f} inf{I()| > 0} =

    Rn

    f(x)dx

    Betrachte den abgeschlossenen Quader K Rn. Da K beschlnkt und abgeschlos-sen ist, ist K kompakt.

    Sei (x) =

    j=1bjPj Hllreihe von K , bj 0, Pj R

    n offene Quader.

    Sei < 0 beliebig. Fr alle x K existiert einmx N mit K(x) mx

    j=1bjPj (x).

    Da die Pj offen sind, ist U(x) =mx

    j=1Pj offen und nicht leer.

    Fr y U(x) ist dann K(y) mx

    j=1bjPj(x) =

    mx

    j=1bjPj (y)

    Da K kompakt ist, kann man K durch endlich vieleU(x1), . . . , U(xl), x1, . . . , xl K berdecken.Sei m := max{mx1 , . . . ,mxl}, dan gilt fr alle y K:

    (1 )K(y) = K(y) m

    j=1bjPj(y), also:

    8

  • (1 )

    Rn

    K(x)dx m

    j=1bj

    Rn

    Pj(x)dx =m

    j=1bjvol(Pj) I((x))

    Damit: (1 )

    Rn

    K(x)dx = inf{I()| ist Hllreihe von K} = ||K ||1 9

    Da > 0 beliebig gilt:

    Rn

    K(x)dx ||K ||1

    Betrachte wieder die Treppenfunktion f .Sei K ein abgeschlossener Quader mit supp(f) K, setze M := max

    xKf(x). Dann

    ist g(x) :=MK(x) f(x) eine nicht negative Treppenfunktion, und||g(x)||1 M ||K(x)||1 ||f ||1 M

    Rn

    K(x)dx ||f ||1

    ||g(x)||1

    Rn

    g(x)dx =M

    Rn

    K(x)dx

    Rn

    f(x)dx.

    Also gilt: ||f ||1

    Rn

    f(x)dx

    Satz 5 Fr eine Lebesgue-integrierbare Funktion f : Rn R {} ist das Lebesgue-Integral wohldefiniert

    Beweis:Sei fk eine Folge von Treppenfunktionen mit ||f fk|| 0, dann gilt:

    Rn

    fm(x)dx

    Rn

    fl(x)dx

    =

    Rn

    (fm(x) fl(x)) dx

    Rn

    |fm(x) fl(x)|dxLemma 3

    =

    = ||fm fl||1 = ||fm f + f fl||1 ||fm f ||1

    0m

    + ||f fl||1

    0l

    Also: ak :=

    Rn

    fk(x)dx ist eine reelle Cauchy-Folge und daher konvergent.

    Sind fk, gk Folgen von Treppenfunktionen mit ||fk f ||1k 0, ||gl f ||1

    l 0

    Dann:

    Rn

    fk(x)dx

    Rn

    gk(x)dx

    s.o. ||fk gk||1 ||f fk||1

    0

    k

    + ||f gk||1

    0k

    Satz 6 Sind f, g : Rn R {} Lebesgue-integrierbar, , R, dann gilt:

    1. f + g ist Lebesgue-integrierbar mit

    Rn

    (f + g)dx =

    Rn

    fdx+

    Rn

    gdx

    2. |f | ist Lebesgue-integrierbar und es gilt: 0

    Rn

    f(x)dx

    Rn

    |f(x)| dx

    3. ||f ||1 =

    Rn

    |f(x)|dx

    4. Ist f(x) g(x)x Rn so ist

    Rn

    f(x)dx

    Rn

    g(x)dx.

    5. Ist g beschrnkt f g ist Lenbesgue-integrierbar.

    9da beliebige Hllreihe von K ist.

    9

  • Beweis: 1. 4. und 5. als bung

    2) Sei fk eine Folge von Treppenfunktionen mit fk f1 0x R : |f(x)| |fk(x)| |f(x) fk(x)|Monotonie der L1-Halbnorm:||f | |fk|| |f fk| 0Also: |f(x)| |fk(x)|1 0 und |f | ist Lebesgue-integrierbar.

    Da

    Rn

    fk(x)dx

    Rn

    |fk(x)|dx folgt die Ungleichung durch Grenzbergang k

    3) Sei fk eine Folge von Treppenfunktionen mit f fk1 0Da |fk|1 |f | |fk|1 |fk|+ |f | |fk|1 = f1 fk1 + |f | |fk|1 ist

    Rn

    |fk|dx

    k

    Rn|f(x)|dx

    |f | |fk|1

    k0

    f1

    Rn

    |fk(x)|dx

    k

    Rn|f(x)|dx

    + |f | |fk|1

    k0

    Also: f1 =

    Rn

    |f(x)|dx

    Definition 10 Sei f : Rn R {} eine Funktion, M,N RnMengen mit M N .Wir nennenfLebesgue-integrierbar ber M , falls fM : Rn R

    fM (x) =

    {

    f(x), x M

    o, sonstber RnLebesgue-integrierbar ist.

    Setze:

    M

    f(x)dx :=

    Rn

    fM(x)dx.

    Weiterhin setze: f1,M := fM1

    Korollar 2 Die Eigenschaften der L1-Halbnorm und des Lebesgue-Integrals ber Rn gel-ten auch fr das Lebesgue-Integral ber M und 1,M .

    Satz 7 Ist f : [a, b] R ber [a, b] Riemann-Integrierbar, so ist f ber [a, b] Lebesgue-Integrierbar, a, b R, und

    [a,b]

    f(x)dx

    Lebesgue-Integral

    =

    b

    a

    f(x)dx

    Riemann-Integhral

    Definition 11 (Messbarkeit)Wir nennen eine Menge M Rn Lebesgue-messbar, fallszu jedem r > 0 die FunktionMBr(0)(x) Lebesgue-integrierbar ist.

    10

    10Br(0) = {x Rn|x < r} - Kugel um den Punkt 0 mit Radius r

    10

  • Ist M messbar so definieren wir:

    vol(M) =

    Rn

    M (x)dx, falls M Lebesgue-integrierbar ist.

    +, sonst

    Lemma 4 Ist M Rn messbar mit vol(M)

  • 1.3 Konvergenzstze und der Satz von Fubini

    Definition 13 (L1-Grenzwert)Sei fk eine Folge von Funktionen Rn R {}. Dann heit fk konvergent, in derL1-Halbnorm, gegen f : Rn R {}, falls f fk1 0 fr k . f heit dannL1-Grenzwert von fk

    L1-Grenzwerte sind nicht eindeutig.

    Lebesgue-integrierbare Funktionen sind L1-Grenzwerte von Folgen von Treppen-funktionen.

    Definition 14 (L1-Cauchy-Folge)Eine Folge von Funktionen fk : Rn R {} heit L1-Cauchy-Folge falls gilt: > 0N N : k,m > N ; k,m N, fk fm1 < .

    Satz 11 (Riesz-Fischer)Jede L1-Cauchy-Folge fk, Lebesgue-integrierbarer Funktionen Rn R {} besitzt

    einen Lebesgue-integrierbaren L1-Grenzwert f : Rn R {}. Es gilt dann:

    limk

    Rn

    fk(x)dx =

    Rn

    f(x)dx

    Es gibt eine Teilfolge von fk, die fast berall punktweise gegen f konvergiert.

    Bemerkung 5 Auf den bergang zu einer Teilfolge fr die punktweise Konvergenz kannnicht verzichtet werden.

    Beweis:Sei (fk) eine L1-Cauchy-Folge, fk : Rn R {}.Whle eine Teilfolge fkl von fk mit fk fkl1 < 2

    l fr alle k kl.

    Setze gl := fkl+1 fkl und g(x) :=

    l=1

    |gl(x)|.

    Es gilt: |gl|1 = gl1 = fkl+1 fkl1 < 2l also g1

    l=1

    gl1

    l=1

    2l = 1

    Also ist N = {x R|g(x) = 0} eine Nullmenge und

    l=1

    gl(x) konvergiert fast berall

    absolut.

    Definiere: f(x) =

    liml

    fkl = liml

    fk1 +l

    j=1

    gj(x)

    fklfk1

    = fk1 +l

    j=1gj(x) , fr x / N

    0 , fr x NBeobachtung: per definition konvergiert fkl fast berall gegen f .Zeige: Lebesgue-integrierbarkeit von f .Es reicht zu zeigen: Zu jedem > 0 Treppenfunktion : Rn R mit f 1 <

    12

  • Sei > 0 Whle ein q N mit

    l=q

    gl1 >

    2 dies ist mglich, da:

    l=1gl1=1

    und fk fkq1 2 fr k kq.

    Sei eine Treppenfunktion mit fk 1 kq ist f fk1 fk fkq1 < Also f ist L1-Grenzwert von fk. Insbesondere gilt fr k > kq:

    Rn

    f(x)dx

    Rn

    fk(x)dx

    Rn

    |f(x) fk(x)|dx = f fk1 < .

    Satz 12 (Monotonie Konvergenz / Beppo-Levi)Sei fk eine monoton wachsende Folge von Funktionen Rn R {},d.h. x Rn, k N : fk+1(x) fk(x). Seien alle fk Lebesgue-integrierbar.Definiere: f : Rn R {}, f(x) = lim

    kfk(x) (ggf. = +).

    Dann ist f genau dann Lebesgue-integrierbar, wenn

    Rn

    fk(x)dx beschrnkt ist.

    In diesem Fall gilt:

    Rn

    f(x)dx = limk

    Rn

    fk(x)dx

    Beweis:

    Die Beschrnktheit von

    Rn

    fk(x)dx ist notwendig fr die Lebesgue-integrierbarkeit

    von f , da

    Rn

    fk(x)dx

    Rn

    f(x)dx fr alle k N

    Sei die Folge

    Rn

    fk(x)dx beschrnkt. Da die Folge monoton ist12, konvergiert sie.

    Also > 0N N : k > m > N ; k,m N :

    >

    Rn

    fk(x)dx

    Rn

    fm(x)dx

    =

    Rn

    |fk(x) fm(x)|dx =

    =

    Rn

    |fk(x) fN (x)|dx = fk fN1

    Also ist fk L1-Cauchy-Folge und nach Riesz-Fischer existiert der L1-Grenzwertg : Rn R {} von fk und eine Teilfolge fkl , die punktweise fast berall gegeng konvergiert.Also ist f fast berall gleich g und da g Lebesgue-integrierbar ist, ist f Lebesgue-integrierbar.Weiterhin gilt:

    Rn

    f(x)dx =

    Rn

    g(x)dx = limk

    fk(x)dx

    11eine solche existiert, da fkq Lebesgue-integrierbar ist.12Monotonie des Lebesgue-Integrals

    13

  • Satz 13 (Ausschpfungsprinzip)Sei f : A R {}, A Rn, An eine Folge von Teilmengen des Rn

    mit Ak Ak+1 fr k N und

    k=1

    Ak = A.

    Sei weiterhin f ber Ak Lebesgue-integrierbar, fr alle k N.Dann ist f genau dann Lebesgue-integrierbar ber A,wenn die Folge

    Ak

    |f(x)|dx beschrnkt ist.

    In diesem Fall gilt:

    A

    f(x)dx = limk

    Ak

    f(x)dx.

    Beweis:

    Ist f Lebesgue-integrierbar in A, so ist |f | Lebesgue-integrierbar ber A.Es gilt |fAk(x)| |fA(x), fr x R

    n13

    Monotonie des Lebesgue-Integrals

    Ak

    |f(x)|dx =

    Rn

    |fAk(x)|dx

    A

    |f(x)|dx

    Also

    A

    |f(x)|dx ist obere Schranke fr die Folge

    Ak

    |f(x)|dx

    Sei

    Ak

    |f(x)|dx eine beschrnkte Folge in R.

    Betrachte

    Ak

    f+(x)dx, f+(x) =

    {

    f(x) falls f(x) > 0

    0 sonst14

    Dann ist 0

    Ak

    f+(x)dx

    Ak

    |f(x)|dx beschrnkt.

    Weiterhin sind die f+Ak

    (

    d.h.f+Ak(x) =

    {

    f(x), falls x Ak0, sonst

    )

    monoton wachsend.

    Da

    Rn

    f+Ak(x)dx =

    Ak

    f+(x)dx knnen wir den Satz von Beppo-Levi anwenden auf

    die Funktionenfolge f+Ak und erhalten f+Ak

    ist Lebesgue-integrierbar15 mit

    limk

    Rn

    f+Ak(x)dx =

    Rn

    fA(x)dx

    13da Ak A14nach bung 5 ist f+ ber Ak Lebesgue-integrierbar.15x Rn : lim

    kf+Ak (x) = f

    +

    A (x)

    14

  • Analog ist fA Lebesgue-integrierbar mit

    Rn

    fA (x)dx = limk

    Rn

    fAk(x)dx

    fA (x) =

    {

    f(x), fallsf(x) < 0

    0, sonst

    Da fA = f+a + fA und fAk = f

    +Ak

    + fAk ist f ber A Lebesgue-integrierbar und

    A

    f(x)dx =

    Rn

    fA(x)dx =

    Rn

    (f+A (x) + fA (x))dx =

    Rn

    f+A (x)dx+

    Rn

    fA (x)dx =

    = limk

    Rn

    f+Ak(x)dx+ limk

    Rn

    fAk(x)dx = limk

    Rn

    (f+Ak(x)+fAk

    (x))dx = limk

    Rn

    fAk(x)dx

    Satz 14 (Majorisierte Konvergenz - Lebesgue)Sei fk eine Folge von Lebesgue-integrierbaren Funktionen fk : Rn R {}, die fastberall punktweise gegen f : Rn R{} konvergiert. Gibt es ein Lebesgue-integrierbares: Rn R {} mit |f(x)| (x) fr alle x Rn, k N, dann ist f Lebesgue-integrierbar mit:

    Rn

    f(x)dx = limk

    fk(x)dx

    Beweis:Definiere: gk : Rn R {} durch gk(x) = sup{fj(x)|g k}.Dann ist gk punktweiser Grenzwert der Folge von Funktionen(gk,l)

    k=1,... gk,l(x) := max{fk(x), . . . , fk+l(x)}

    Die gk,l sind Lebesgue-integrierbar16 und die Folge ist monoton wachsend. Weiterhin ist

    Rn

    gk,l(x)dx

    Rn

    |gk,l(x)|dx

    Rn

    (x)dx max{fk(x), . . . , fk+l(x)} max{(x), . . . ,(x)}.

    Nach dem Satz von Levi ist gk Lebesgue-integrierbar mit

    Rn

    gk(x)dx

    lim

    l

    Rn

    |gk,l(x)|dx

    Rn

    (x)dx.

    Die Folge (gk)k=1,... ist monoton fallend und

    Rn

    gk(x)dx ist nach unten beschrnkt durch

    Rn

    (x)dx.

    Weiterhin sind die gk Lebesgue-integrierbar. Nach dem Satz von Levi istf : Rn R {}, f(x) := lim

    kgk(x) Lebesgue-integrierbar mit:

    Rn

    f(x)dx = limk

    Rn

    gk(x)dx. Da f(x) = limk

    gg fast berall gilt, stimmen f und f fast

    berall berein und nach dem Modifikationssatz ist f Lebesgue-integrierbar und

    Rn

    f(x)dx =

    Rn

    gk(x)dx.

    Sei hk eine Folge von Funktionen Rn R {} definiert durch: hk(x) = inf{fj|j k}Ein analoges Argument zeigt:

    Rn

    f(x)dx = limk

    hk(x)dx

    16s. bung Blatt 5 Nr. 17 unsicher!

    15

  • Da fr alle k N, x Rn hk(x) fk(x) gk(x) folgt

    Rn

    hk(x)dx

    Rn

    f(x)dx

    Rn

    gk(x)dx

    existiert limk

    Rn

    f(x)dx und ist gleich

    Rn

    f(x)dx.

    Definition 15 (lokal Lebesgue-integrierbar)Sei A Rn eine abzhlbare Vereinigung kompakter Mengen. Wir nennen f : A R {} lokal integrierbar falls f ber jedes kompakte K A, Lebesgue-integrierbar ist.

    Satz 15 (Majorantenkriterium)Sei A Rn eine abzhlbare Vereinigung kompakter Mengen,und f : A R {} lokal integrierbar.Sei F : A R {} ber A Lebesgue-integrierbar mit |f(x)| F (x) fr alle x A.Dann ist f ber A Lebesgue-integrierbar.

    Beweis:bung.

    Satz 16 Dei f : Rn R {} stetig, K Rn kompakt.Dann ist fber K Lebesgue -integrierbar.

    Beweis:Da K kompakt und f stetig ist, ist f auf K gleichmig stetig.zu jedem k N gibt es ein k > 0 mitx, y K mit x y < k |f(x) f(y)| r.Da k 0 gibt es ein Nr N mit k < r fr alle k > NrDamit: x / supp(k) fr k > Nr, also k(x) = 0 fr k > Nr.

    17der Schnitt mit K ist ntig, da fauerhalb von K nicht definiert ist.18dist : euklidischer Abstand

    16

  • Somit limk

    = 0 = fk(x), fk(x) =

    {

    f(x), x K

    0, sonst

    Sei x K. Fr alle k N gibt es jk {1, . . . , lk} mit x Qk,jk

    Also k(x) =lk

    j=1ck,jQk,j(x)

    Qk,jpaarw. disj. fr festes k= ck,jk = sup

    yQk,jkKf(y)

    Da x Qk,jk und y x k2 k fr alle Qk,jkfolgt :

    |k(x) fK(x)| = |k(x) f(x)| supyQk,jkK

    |f(y) f(x)| 1k

    Also: 0 limk

    |k(x) fK(x)| limk

    1k= 0 somit gilt: lim

    kk(x) = fK(x)

    Damit konvergiert k punktweise gegen fK . Da K beschrnkt ist gibt es Quader Q Rn

    mit {y Rn|dist(y,K) < supkN

    k} Q19

    Es gilt fr alle x Rn, k N|k(x)| max

    yK|f(y)| Q(x)

    Also (x) := maxyK

    |f(y)|Q(x) ist Lebesgue-integrierbare Majorante der k.

    Nach dem Satz von der majorisierten Konvergenz ist die punktweise GrenzfunktionLebesgue-integrierbar.

    Satz 17 f : (a, b) R, a, b R {}, a < b mit f auf jedem Intervall [c, d] (a, b) Riemann-integrierbar. Dann ist f ber (a, b) genau dann Lebesgue-integrierbar,wenn |f | ber (a, b) uneigentlich Riemann-integrierbar ist.

    Satz 18 (Satz von Fubini)Sei f : Rn R {} unf f Lebesgue-integrierbar. Dann gilt:

    a) Die Funktion fy : Rn R{}, fy(x) = f(x, y) ist fr fast alle y Rn Lebesgue-integrierbar. D.h. {y Rn|fy nicht Lebesgue-integrierbar} ist eine Nullmenge.

    b) Sei F : Rn R definiert durch:

    F (y) =

    Rn

    f(x, y)d(x) =

    Rn

    fy(x)dx, falls fy Lebesgue-integrierbar

    0, sonstDann ist F Lebesgue-integrierbar mit:

    RnRmf(x, y)d(x, y) =

    Rn

    F (y)dy =

    Rn

    (

    Rm

    f(x, y)dx

    )

    dy20

    Beispiel 2 f : R R Rf(x, y) = x y [0,1]2(x, y) = x y [0,1](x) [0,1](y) Lebesgue-integrierbar.

    19Dieses Supremum ist endlich, da k 0 gilt20iteriertes Integral oder Mehrfachintegral genannt

    17

  • RR

    f(x, y)d(x, y) =

    R

    R

    f(x, y)dxdy =

    R

    R

    xy[0,1](x)[0,1](y) =

    R

    y[0,1](y)

    (

    R

    x[0,1](x)dx

    )

    dy =

    R

    y[0,1](y)1

    0

    xdxdy =

    R

    y[0,1](y) 12 1dy =

    12

    R

    y[0,1](y)dy =12

    1

    0

    ydy =1

    4

    Lemma 5 Sei A Rm Rn eine Nullmenge.Dann gibt es eine Nullmenge N Rn, so dass fr alle y Rn\N die MengeAy = {y R

    n|(x, y) A} eine Nullmenge ist.

    [TODO: Graphik einfgen!]Beweis:Ist A eine Nullmenge, so gilt: A1 =

    RmRnA(x, y)d(x, y) = 0 Sei > 0 beliebig.

    Dann gibt es eine Hllreihe (x, y) =

    j=1cjQj(x, y),

    cj 0 Qj Rm Rn offene Quader, von A(x, y) d.h.

    |A(x, y)|A0= A(x, y) (x, y), mit I() <

    Es gilt Qj = Qj Qj mit Q

    j R

    m, Qj Rn offene Quader, fr alle j N.

    Definiere a : Rn R {}, a(y) = Ay(x, y)1 (Ay := {x Rm|(x, y) A})

    Dann haben wir: Ay(x) = A(x, y)

    j=1cjQj(x, y) =

    j=1cj QjQj (x, y)

    =Qj(x)Q

    j(y)

    =

    j=1cjQj(x)Qj (y)

    a(y) = Ay1Monotonie

    j=1cjQj(x)Qj (y)1

    UG

    j=1|cj | Qj (x) Qj (y)

    Konstante

    1x =

    =

    j=1Qj (y)Qj (x)1x

    a(y)1yMonotonie

    j=1cjQ

    j(y)Q

    j(x)1x

    1y

    UG

    j=1cj

    Q

    j(y)Q

    j(x)1x

    1y

    =

    =

    j=1cj volm(Q

    j)

    Volumen im Rm

    vol(Qj )

    Volumen im Rn

    =

    j=1cjvol(Q

    j Q

    j

    =Qj

    ) =

    j=1cjvol(Qj) = I() <

    Da > 0 beliebig ist, ist also a(y)1 = 0. Damit ist a fast berall gleich Null.Also: Ay1 ist fr fast alle y gleich Null. Damit ist Ay fr fast alle y eine Nullmenge.

    Beweis: (Satz von Fubini)f ist Lebesgue-integrierbar Es gibt eine Folge k von Treppenfunktionen, die gegenf , in der L1-Halbnorm, konvergiert. Nach Riesz-Fischer gibt es eine Teilfolge, die fastberall punktweise gegen f konvergiert. Nach dem Beweis vom Satz von Riesz-Fischer

    gilt fr diese Teilfolge kl sogar

    l=1

    kk+1 kl

  • Es gibt also eine Folge von Treppenfunktionen mit k : Rm Rn R {} mit:

    k f1 0

    limk

    k(x, y) = f(x, y), fr (x, y) Rm Rn\A, mit A ist Nullmenge

    k=1

    k+1 k

  • Rn

    Hk(y)dy =lk

    j=1|ck+1,j ck,j| vol(Q

    k,j)vol(Q

    k,j)

    Qk,j

    Qk,j

    =Qk,j

    =lk

    j=1|ck+1,j ck,j|vol(Qk,j) =

    =

    RmRn|k+1(x, y) k(x, y)|d(x, y) = k+1 k1

    Da wir fr jedes feste k N dieses Argument durchfhren knnen, ist Hk fr alle k Neine Treppenfunktion und

    k=1

    Rm

    Hk(y)dy

    k+1 k1

  • Also:

    k=1

    k+1 k1

    k=1

    Rn

    Hk(y)dy

  • 2 Der Transformationssatz

    Zur Erinnerung:Ein C1Diffeomorphismus ist eine Abbildung : U V , U, V Rn offen, die bijektivund stetig differenzierbar mit stetig differenzierbarer Inversen 1, ist.

    Satz 20 (Transformationssatz)Seien U, V Rn offen und T : U V ein Diffeomorphismus. Dann ist f : V R{}Lebesgue-integrierbar genau dann wenng : U R {[}, g(y) = f(T (y)) |det(DT (y))| Lebesgue-integrierbar ber U ist.Im Fall der Lebesgue-integrierbarkeit gilt:

    V

    f(x)dx =

    U

    f(T (y)) |det(DT (y))|dy

    Korollar 4 Seien U, V Rn offen, T : U V ein Diffeomorphismus.. Sei K V undf : K R {}. Dann ist f ber K genau dann Lebesgue-integrierbar wenny 7 f(T (y)) |det(DT (y))| Lebesgue-integrierbar ist ber T1(K) ist. Im Falle derLebesgue-integrierbarkeit gilt:

    K

    f(x)dx =

    T1(K)

    f(T (y))|det(DT (y))|dy

    Beweis:

    Wende den Transformationssatz auf fk(x) :=

    {

    f(x), x K

    0 , sonstan.

    Bemerkung 6 |det(DT (y))| =

    det

    T1x1

    (y) . . . T1xn

    (y)...

    ...Tnx1

    (y) . . . Tnxn

    (y)

    bezeichnet man auch als Funktionaldeterminante.

    Beispiel: Volumen des Ellipsoids E = {(x1, . . . , xn) Rn|n

    j=1

    x2ja2j

    1} mit a1, . . . , an > 0

    Transformation: T : Rn Rn T (y) =

    a1. . .

    an

    y

    T ist eine invertierbarte Abbildung.

    |det(DT (y))| =

    det

    a1. . .

    an

    =n

    j=1aj

    E ist kompakt, alo messbar und vol(E)

  • Damit istvol(E) =

    E

    1dx =

    B1(0)

    1 |det(DT (y))|dy =

    =

    B1(0)

    n

    j=1ajdy =

    nj=1 aj

    B1(0)

    1dy =n

    j=1ajvol(B1(0))

    23

    Einschub/NachtragUnpdate zur zweiten VorlesungDefinition:Sei f : M R, M Rn eine beliebige Menge.Dann bezeichnen wir die Mengesuppo.A.(f) = {x M |f(x) 6= 0} als Trger ohne Abschluss von fBemerkung:Im Allgemeinen definiert man den Trger fr Funktionen auf topologischen (bzw. metri-schen) Rumen als Abschluss der Nichtnullmenge.z.B.:f : M R M Rn

    supp(f) = {x M |f(x) 6= 0}Wir verwenden hier also einew nicht-standart-Definition.

    Beweis:(Beweisskizze fr den Transformationssatz)24

    Lemma 6 Das Volumen P ={

    n

    i=1tiai|ti [0, 1]

    }

    ai Rn i = 1, . . . , n ist:

    vol(P ) = |det(a1, . . . , an)|

    Lemma 7 Ein Diffeomorphismus : U V, U, V Rn offen,bildet eine Nullmenge von U auf Nullmenge in V ab.

    Lemma 8 Sind U, V Rn offen, Q U ein abgeschlossener Wrfel und ist: U V ein Diffeomorphismus, so ist:vol((Q)) max

    xQ|det(D(x))| vol(Q)

    Lemma 9 Sind U, V Rn offen : U V ein DiffeomorphismusIst K U kompakt , so gilt:vol(K) min |det(D(x))| vol((K)) max

    kK|det(D(x))| vol(K)

    Lemma 10 Die Transformationsformel gilt fr Q mit Q V , Q ist Quader.(Damit gilt die Transformationsformel fr jede Treppenfunktion mit suppo.A.() V )

    Lemma 11 Ist f Lebesgue-integrierbar ber V (f : V Rn R {}).Dann gibt es zu jedem > 0 eine Treppenfunktion mitsuppo.A.() V und f 1,V <

    23da Br(0) Nullmenge ist (bung)24der komplette Beweis wrde den zeitlichen Rahmen der Vorlesung sprengen

    23

  • Beweis:(Transformationssatz)

    approximiere f durch eine Treppenfunktion mit suppo.A.(k) V (im L1-Sinne)

    (Riesz-Fischer) o.B.d.A. konvergiert k punktweise gegen f (bergang zur Teil-folge)

    k(x) := |det(DT (x))| k(x) ist L1-Cauchy-Folge.

    k konvergiert punktweise gegen f(x) = |det(DT (x))| f(T (x))

    (Riesz-Fischer): f ist Lebesgue-integrierbar mit:

    U

    f(y)dy = limk

    U

    k(y)dy = limk

    V

    k(x)dx =

    V

    f(x)dx

    Korollar 5 Sei T (x) = Ax+ b, A GL(n), b Rn undf : Rn R Lebesgue-integrierbar. Dann gilt:

    Rn

    f(x)dx = |det(A)|

    Rn

    f(Ay + b)dy und

    y 7 f(T (y)) ist Lebesgue-integrierbar.

    Korollar 6 Sei M Rn messbar mit vol(M)

  • 3 Parameterabhngige Integrale

    Satz 21 (Stetigkeitssatz)Sei X Rn offen, Y Rm, f : X Y R mit

    x X : y 7 f(x, y) ist ber Y Lebesgue-integrierbar

    y Y : x 7 f(x, y) stetig.

    es existiert, : Y R ber Y Lebesgue-integrierbar mit:(x, y) X Y : |f(x, y)| (y)

    Dann ist F (x) =

    Y

    f(x, y)dy stetig

    Beweis:bung.

    Satz 22 Sei X Rn offen, Y Rm, f : X Y R mit

    x X : y 7 f(x, y) ist ber Y Lebesgue-integrierbar

    y Y : x 7 f(x, y) stetig differenzierbar.

    es existiert, : Y R ber Y Lebesgue-integrierbar mit:(x, y) X Y, i {1, . . . , n} : |

    xif(x, y)| (y)

    Dann ist F (x) =

    Y

    f(x, y)dy stetig differenzierbar und

    xif(x, y) ist Lebesgue-integrierbar und es gilt:

    xiF (x) =

    Y

    xif(x, y)dy fr i = 1, . . . , n

    Beweis:Sei x0 X, i {1, . . . , n} fest und (hk)k=1,... R\{0} eine Nullfolge mit x0+hkei X.

    Definiere k(y) :=f(x0 + hkei, y) f(x0, y)

    hk.

    Dann ist, wegen den Bedingungen an f , k Lebesgue-integrierbar und fr alle y Y istlimk

    k(y) =xif(x0, y).

    Nach den Bedingungen an xif und dem Schrankensatz25 ist |k(y)| (y) fr alle

    k N.Also: Nach dem Satz der majorisierten Konvergenz ist y 7

    xif(x0, y) Lebesgue-integrierbar

    mit

    Y

    xif(x0, y)dy = lim

    kk(y)dy = lim

    k

    Y

    f(x0+hkei,y)f(x0.y)hk

    dy =

    = limk

    1hk

    (

    Y

    f(x0 + hkei, y)dy

    Y

    f(x0, y)dy

    )

    = limk

    1hk

    (F (x0 + hkei) F (xo))

    25Alternativ: mit Taylor

    25

  • Da (hk)1,... R beliebig mit x0 + hkei X und X offen, ist gilt:

    limhk0

    F (x0hkei)F (xo)hk

    =

    Y

    xif(xo, y)dy

    Damit ist F fr alle x X, i {1, . . . , n} partiell differenzierbar nach xi, mitxiF (x) =

    Y

    xif(x, y) = dy.

    xiF (x) ist stetig nach Satz 21. Also: alle partiellen Ableitiungen sind stetig auf X und

    damit ist F stetig differenzierbar.

    26

  • 4 Differenzierbare Untermannigfaltigkeiten des Rn

    Intuitiv:Eine differenzierbare Untermannigfaltigkeit M des Rn der Dimension m ist eine Teil-menge des Rn, die man lokal um jeden Punkt von M zu einer offenen Teilmenge des Rm

    glattziehen kann.26.

    M U

    Rm

    Rnm

    x

    M

    Umgebung U von x in Rn

    Rm {0}nm

    (x)

    V

    : U V Rn

    : Karte (engl: chart)

    Definition 16 Eine Menge M Rn heit m-dimensionale Ck-Untermannigfaltigkeitdes Rn falls, zu jedem Punkt x M, offene Mengen U, V Rn (x U) und ein Ck-Diffeomorphismus27 : U V existieren mit:(M U) = (Rm {0}nm) V (x U also ist M U 6= )Wir nennen Karte von M um x und M U Kartengebiet.Eine Fammilie {i : Ui Vi|i I} (I Indexmenge) von Ck-Karten von M heitCk-Atlas falls die Ui die Untermannigfaltigkeit M berdeckt also M

    iIUi gilt.

    Beispiel 3 (Einheitskreis im R2)S1 = {x R2|x1 = 1}

    1(x1, x2) = (x1

    1 x22, x2)U1 = {(x1, x2) R

    2||x2| < 1, x1 > 0}V1 = {(y1, y2) R

    2||y2| < 1, y1 >

    1 y22}1 : U1 V1, 1 C

    , bijektiv11 C

    26m < n27d.h. ist eine Bijektion und sowohl als auch 1 sind in Ck

    27

  • 2(x1, x2) = (x1 +

    1 x22, x2)U2 = {(x1, x2) R

    2 : |x2| < 1, x1 < 0}V2 = {(y1, y2) R

    2 : |y2| < 1, y1 >

    1 y22}2 : U2 V2, 2 C

    , bijektiv12 C

    3(x1, x2) = (x1, x2

    1 x21)U3 = {(x1, x2) R

    2 : |x1| < 1, x2 > 0}V3 = {(y1, y2) R

    2 : |y1| < 1, y2 >

    1 y21}3 : U3 V3, 3 C

    , bijektiv13 C

    4(x1, x2) = (x1, x2 +

    1 x21)U4 = {(x1, x2) R

    2 : |x1| < 1, x2 < 0}V4 = {(y1, y2) R

    2 : |y1| < 1, y2 >

    1 y21}4 : U4 V4, 4 C

    , bijektiv14 C

    1(U1 S1) = ({0} R) V1) analog fr i i = 2, 3, 4.

    Also sind i i = 1, 2, 3, 4 Karten. {12, 3, 4} ist Atlas.Also ist S1 Untermannigfaltigkeit.

    Wiederholung; Definition:Sei U Rn offen. Eine C1-Abbildung : U Rm heit Submersion fallsrang(D(x)) = m fr alle x U . heit Immersion falls rang(D(x)) = n fr alle x U

    Satz 23 Sei U Rn offen, : U Rm eine Submersion.Dann ist fr alle c (U) die Menge 1(c) eine C1-Untermannigfaltigkeit des Rn derDimension nm.

    Beweis:Sei x0 1(c). Da rang(D(x)) = m knnen wir o.B.d.A. annehmen, dassD(x0) = (A#), A R

    mm, rang(A) = m.Wir schreiben nun fr x Rn : x = (y, z), y Rm, z Rnm

    und fr xo : x0 = (y0, z0), y0 Rm, z0 Rnm.Definiere: : Rm Rnm durch (y, z) = ((y, z) c, z)T .

    Dann ist D(y0, z0) =

    (Dy(yo, zo) Dz(yo, z0)

    0 1nm ) = (A #0 1nm).Also ist rang(D(y0, z0)) = m+ (nm) = nNach dem Umkehrsatz gibt es eine offene Umgebung U U von (y0, z0) = x0 und eineoffene Umgebung V von (y0, z0) = (0, z0) dso dass, : U V eine Bijektion mit stetigdifferenzierbarer Inversen 1 ist, also ist ein Diffeomorphismus.Weiter ist 1(c) U 6= (da x0 U) und (1(c) U) = ({0}m Rnm) V(fr geeignete U und V ).Also ist Karte von M in x0.

    28

  • Da die Konstruktion fr alle x0 1(c) mglich ist, ist 1(c) Untermannigfaltigkeitder Dimension nm.

    Definition 17 (kritische/regulre Werte)Sei : U Rm stetig differenzierbar, U Rn offen.Ein Punkt x U heit kritischer Punkt, falls rang(D(x)) < m ist.Wir nennen c Rm regulren Wert falls 1(c) keine kritischen Punke enthlt; ansonstenkritischen Wert.

    Korollar 7 (Satz vom regulren Wert)Sei : U Rm C1 c Rm regulrer Wert mit 1(c) 6= . Dann ist 1(c) eineC1-Untermannigfaltigkeit.

    29

  • INDEX

    Stichwortverzeichnis

    A

    Atlas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27Ausschpfungsprinzip. . . . . . . . . . . . . . . . 14

    C

    Charakteristische Funktion . . . . . . . . . . . 2

    F

    fast berall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11Funktionaldeterminante . . . . . . . . . . . . . 22

    H

    Hllreihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

    I

    Inhalt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5Integral

    von Treppenfunktionen . . . . . . . . . . . 5

    K

    Karte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27kritischer Punkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

    L

    L1-Cauchy-Folge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12L1-Grenzwert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12L1-Halbnorm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6Lebesgue-integrierbar . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

    lokal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16Lemma

    Verfeinerungs- . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

    M

    Messbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

    N

    Nullmenge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

    P

    passend zu Treppenfunktion . . . . . . . . . . 2

    Q

    Quader . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

    S

    SatzBeppo-Levi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17Majorantenkriterium . . . . . . . . . . . . 16Majorisierte Konvergenz . . . . . . . . . 15Modifikations- . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11Riesz-Fischer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12Stetigkeits- . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25Tonelli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21Transformations- . . . . . . . . . . . . . . . . 22vom regunren Wert. . . . . . . . . . . . .29

    T

    Trger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2Treppenfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

    V

    Verfeinerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

    30

  • Logbuch

    01. 17.10, 2302. 24.10, 3603. 31.10, 61004. 07.11, 101105. 14.11, 111406. 21.11, 141607. 28.11, 161808. 05.12, 182009. 12.12, 202310. 19.12, 232611. 19.12, 2911. 9.1, 26

    31