Methodenlehre II, SS 2009 - Ruhr-Universität Bochum · Methodenlehre II, SS 2009 Prof. Dr. Holger Dette 1. Grundlegende Prinzipien der schließenden Statistik am Beispiel des t-Tests

Methodenlehre II, SS2009

Prof. Dr. HolgerDette

1. GrundlegendePrinzipien derschließenden Statistikam Beispiel des t-Tests

Methodenlehre II, SS 2009

Prof. Dr. Holger Dette

Ruhr-Universitat Bochum

30. Marz 2011

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Methodenlehre II

I Prof. Dr. Holger DetteI NA 3/73I Telefon: 0234 322 8284I Email: [email protected] Internet: www.ruhr-uni-bochum.de/mathematik3/index.htmlI Vorlesung: Montag, 8.30–10.00 Uhr, HGA 10I Thema: Das allgemeine lineare Modell und seine Anwendungen

in der Psychologie

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Statistik-Team

I Ubung: Dienstag, 12.15–13.00 Uhr, HGA 30Tobias Kley: [email protected]

I Tutorium: SPSS

Lars Kuchinke: [email protected]

GAFO 04/615 Mo. 10.00–12.00 UhrGAFO 04/615 Mo. 12.00–14.00 UhrMarco Grabemann: [email protected] 1/128 Mo. 12.00–14.00 UhrGAFO 04/271 Fr. 12.00–14.00 UhrCacilia Werschmann: cilly [email protected] 04/615 Fr. 12.00–14.00 UhrIgor Ivanov: [email protected]

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Das allgemeine lineare Modell:

”Ein mathematisches Modell - viele statistischeVerfahren“

Inhaltsverzeichnis

1. Grundlegende Prinzipien der schließenden Statistik am Beispieldes t-Tests

2. Das lineare Regressionsmodell, multiple Regression undKorrelation

3. Das ”allgemeine“ lineare Modell

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Literatur

A. Aron, E.N. Aron, E.J. Coups, Statistics for Psychology,5th Edition, Pearson Prentice Hall

J. Bortz, Statistik, 6. Auflage, Springer

M. Rudolf, J. Muller, Multivariate Verfahren, Hogrefe

P. Zofel, Statistik fur Psychologen, Pearson Studium

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1. GrundlegendePrinzipien derschließenden Statistikam Beispiel des t-Tests1.1 Schatzer undKonfidenzintervalle

1.2 t-Test fur eineStichprobe

1. Grundlegende Prinzipien der schließendenStatistik am Beispiel des t-Tests

1.1 Schatzer und Konfidenzintervalle

1.2 t-Test fur eine Stichprobe

1.3 Zweistichprobenprobleme

1.4 Einfaktorielle Varianzanalyse

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1.1 Schatzer und Konfidenzintervalle

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1.1 Beispiel: IntelligenzquotientFragestellung: Haben (15-jahrige) Kinder aus Bochum einenhoheren Intelligenzquotienten als 100?

I 10 Kinder (zufallig ausgewahlt) machen einen IQ-TestDaten: y1, . . . , y10 Stichprobe

i 1 2 3 4 5yi 104 98 106 99 110i 6 7 8 9 10yi 107 100 97 108 112

I Hypothese (IQ der Kinder ist niedriger als 100):

H0 : µ ≤ 100

Alternative (IQ ist hoher als 100):

H1 : µ > 100

Dabei ist µ der (unbekannte) Erwartungswert derGesamtpopulation der (15-jahrigen) Kinder aus Bochum

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Prinzip der schließenden Statistik

Auf Grund der Stichprobe y1, . . . , y10 sollen Aussagen uber dasMerkmal der Grundgesamtheit getroffen werden. Zum Beispiel

I Wie groß ist µ (Schatzung)?

I Kann man ein Intervall bestimmen, in dem µ liegt(Konfidenzintervall)?

I Gilt

H0 : µ ≤ 100 (IQ ist nicht hoher)

oder gilt

H1 : µ > 100 (IQ ist hoher)?

(statistischer Test)

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Grundlegende Schwierigkeit:

I µ ist der Erwartungswert der Population der 15-jahrigen KinderI Auf Basis der Stichprobe soll auf die Grundgesamtheit

geschlossen werden−→ Fehler, Unsicherheiten sind moglich!

I Beispiel: ”zufallig“ wahlen wir 5 hochbegabte Kinder (IQ ≥ 130)fur die Stichprobe aus. Vermutlich wird dadurch µ uberschatzt!

I Ziel der schließenden Statistik:Quantifizierung der Unsicherheit, z. B.mit welcher Wahrscheinlichkeit macht ein statistischer Testeinen Fehler, falls (aufgrund von Daten) fur H1 (IQ ist hoher als100) entschieden wird, obwohl in Wirklichkeit H0 gilt?

I Notwendig fur diese Quantifizierung:Mathematische Modellannahmen

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Zusatzliche Modellannahme: Normalverteilung

I Allgemein gangige Annahme: Intelligenz in einer bestimmtenAltersgruppe der Bevolkerung ist normalverteilt

ϕ(x) =1√

2πσ2exp

(−1

2 (x − µσ

)2)

µ : Erwartungswertσ2 : Varianz

I Deutung: Ist Y der IQ eines zufallig aus der Populationausgewahlten Individuums, so gilt

P(a ≤ Y ≤ b) =

∫ b

aϕ(x)dx

I Diese Modellannahme sollte man stets rechtfertigen (wie mandas machen kann, sehen wir spater)

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Interpretation der Wahrscheinlichkeiten:

a b

I Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Beobachtung zwischen denWerten a und b liegt, entspricht der Flache unter der Kurve imIntervall [a, b].

I In Formeln:P(a ≤ Y ≤ b) =

∫ b

aϕ(x)dx

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Verschiedene Normalverteilungen N(µ, σ2)

Dichten der Normalverteilung mit verschiedenen Parametern

-4 -2 0 2 4 6

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

N(0,0.707)N(0,1)N(1,1.25)N(2,2)

I µ: ErwartungswertI σ2: VarianzI Beachte: unter jeder Kurve ist die Flache genau 1

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Motivation der Modellannahme derNormalverteilung

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Zusatzliche Modellannahme: NormalverteilungI Mathematisches Modell (hier n = 10): y1, . . . , yn sind

Realisierungen von Zufallsvariablen

Yi = µ+ εi , i = 1, . . . ,m

I yi : IQ-Messung fur i-tes Kind(Realisation der Zufallsvariablen Yi )

I µ: (unbekannter) Erwartungswert der Population(hier der 15-jahrigen Kinder aus Bochum)

I ε1, . . . , εn: unabhangige Zufallsvariable, normalverteilt mitErwartungswert 0 und Varianz σ2.Interpretation: Messfehler, genetische Variabilitat, Tagesform ...

I Mathematische Statistik z. B. Maximum Likelihood (in diesemBeispiel auch der gesunde Menschenverstand) liefert Schatzerfur µ:

µ = y · =1n

n∑i=1

yi = 104.1

I Wie genau ist diese Schatzung? Wie sehr streut dieseSchatzung?

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Zusatzliche Modellannahme: NormalverteilungI Maß fur die Genauigkeit: Varianz (je kleiner die Varianz, desto

”genauer“ die Schatzung)I Mathematische Statistik (Methodenlehre I): die Varianz des

Schatzers µ ist:

Var(µ) =σ2

nI Beachte:

I Je großer der Stichprobenumfang n, desto kleiner die Varianzvon µ. D.h. desto genauer ist die Schatzung.

I Fur die Beurteilung der Genauigkeit muss man die Varianz σ2

der Population kennen.

I Mathematische Statistik: Schatzung fur den Parameter σ2

σ2 =1

n − 1

n∑i=1

(yi − y ·)2 = 28.32

σ2µ =

σ2

n = 2.832

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Zusatzliche Modellannahme: NormalverteilungI Oft wird der Schatzer zusammen mit dem Standardfehler

angegeben

µ = 104.1µ+ σµ = 105.78µ− σµ = 102.42

I σµ = σ√n =

√σ2

n = 1.683 ist der Standardfehler des Schatzersµ (Schatzung fur Streuung des arithmetischen Mittels)

I σ = 5.322 ist die aus den Daten geschatzteStandardabweichung (Schatzung fur die Streuung einereinzelnen Beobachtung)

I Deutung: Vor der Datenerhebung ist µ zufallig. Falls dieNormalverteilungsannahme korrekt ist, ist auch µ normalverteiltmit:

- Erwartungswert µ- Varianz σ2

n

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40 60 80 100 120 140 160

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.12

0.14

x

Dic

hte

40 60 80 100 120 140 160

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.12

0.14

x

40 60 80 100 120 140 160

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.12

0.14

Verschiedene Normalverteilungen

x

Y1 ~ N (104.1, 28.32)

((Y1 ++ Y2)) 2 ~ N (104.1, 28.32/2)

((∑∑i==1

10Yi)) 10 ~ N (104.1, 2.832)

40 60 80 100 120 140 160

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.12

0.14

x

Dic

hte

40 60 80 100 120 140 160

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.12

0.14

x

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1.2 Schatzverfahren (Erwartungswert einer Populationunter Normalverteilungsannahme)

I Daten y1, . . . , yn (Stichprobe) mit Erwartungswert µ

I Rechtfertigung der Unabhangigkeits- undNormalverteilungsannahme

I µ = 1n∑n

i=1 yi Schatzung fur den Erwartungswert µ derPopulation

I σ2 = 1n−1

∑ni=1(yi − y ·)2 Schatzung fur die Varianz der

Population (σ Schatzung fur die Standardabweichung)

I σ2µ = σ2

n Schatzung fur die Varianz von µ

I Schatzung fur den Standardfehler von µ : σµ =√

σ2

n = σ√n

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SPSS-Output: die Schatzer fur die Daten ausBeispiel 1.1 (Intelligenzquotient)

Statistik StandardfehlerStatistik Statistik Statistik

VarianzStandardabweichungMittelwertN

Intelligenzquotient

Gültige Werte (Listenweise) 10

28,3225,3221,683104,1010

Deskriptive Statistik

µ = 104.1(Mittelwert)σµ = 1.683(Standardfehler)σ2 = 28.322(empirische Varianz)σ = 5.322(Standardabweichung)

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Beachte:I

µ =1n

n∑i=1

yi ; σ2 =1

n − 1

n∑i=1

(yi − y ·)2 ; σµ =

√σ2

n

hangen von den Daten y1, . . . , yn ab (sind also vorDatenerhebung zufallig)

I (µ− a σµ, µ+ a σµ

)ist (vor der Datenerhebung) ein zufalliges Intervall, das miteiner bestimmten Wahrscheinlichkeit den Erwartungswert µenthalt

a −→ 0 =⇒Wahrscheinlichkeit ≈ 0a −→∞ =⇒Wahrscheinlichkeit ≈ 1

I Gesucht: zufalliges Intervall, das den unbekanntenErwartungswert mit einer vorgegebenen Wahrscheinlichkeitenthalt: Konfidenzintervall

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Das KonfidenzintervallI Gebe eine Wahrscheinlichkeit 1− α vor (z. B. 1− α = 95%)I Bestimme a so, dass das zufallige Intervall

(µ− a σµ, µ+ a σµ)

den Parameter µ mit Wahrscheinlichkeit 1− α enthalt.I Mathematische Statistik liefert

a = tn−1,1−α2

(1− α2 )-Quantil der t-Verteilung mit n − 1 Freiheitsgraden

I Diese Werte sind tabelliert oder durch Software verfugbar.I Das Intervall

I =(µ− tn−1,1−α2 σµ, µ+ tn−1,1−α2 σµ

)heißt (1− α) Konfidenzintervall fur µ.

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Verschiedene t-Verteilungen

-4 -2 0 2 4

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

t t t

Dichten der t– Verteilung mit verschiedenen Freiheitsgraden

100

4

1

Dichten der t– Verteilung mit verschiedenen Freiheitsgraden

fn(t) =1√πn

Γ((n + 1)/2)

Γ(n/2)

(1 +

t2

n

)−(n+1)/2

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Das Quantil der t-Verteilung mit nFreiheitsgraden

-4 -2 0 2 4

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

Dichte der t4 -Verteilung

t 4, 0.95 = 2.132

0.95

P(T4 ≤ t4,0.95) =

∫ t4,0.95

−∞f4(t)dt = 0.95

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Beispiel 1.3 (Fortsetzung von Beispiel 1.1)

I Berechnung eines 90% Konfidenzintervalls fur µ

I n = 10, µ = 104.1, σ2 = 28.32I α = 10%

I (aus Tabelle bzw. Software) t9,0.95 = 1.833I 90% Konfidenzintervall fur µ = (101.02, 107.18)

I Beachte:I Ein (1− α)-Konfidenzintervall ist ein ”zufalliges“ Intervall, das

den (unbekannten) Erwartungswert mit Wahrscheinlichkeit1− α enthalt.

I Die Aussage ”das Intervall (101.02, 107.18) enthalt denunbekannten Erwartungswert der Population mitWahrscheinlichkeit 90%“ hat keinen Sinn!

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Erklarung des Begriffs ”zufalliges“ Intervall durchein ”fiktives“ Experiment

I Annahme: das Experiment (Untersuchung des IQ von 10Kindern) kann N mal (unabhangig) wiederholt werden (z. B.1000 mal)

I jeweils 10 Daten liefern ein (1− α)-Konfidenzintervall(z. B. 95 % Konfidenzintervall)Datensatz 1 −→ Konfidenzintervall I1Datensatz 2 −→ Konfidenzintervall I2

...Datensatz N −→ Konfidenzintervall IN

I ca. (1− α) · N (z. B. 95% · 1000 = 950) Intervalle enthalten den(unbekannten) Erwartungswert µ der Population

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1.4 Konfidenzbereich fur den Erwartungswert einer Po-pulation unter Normalverteilungsannahme

I Daten y1, . . . , yn (Stichprobe) mit Erwartungswert µ

I Rechtfertigung der Unabhangigkeits- undNormalverteilungsannahme

I Bestimme das tn−1,1−α2 Quantil der t-Verteilung mit n − 1Freiheitsgraden (aus Tabelle oder Software)

I Das Intervall

(µ− tn−1,1−α2 σµ, µ+ tn−1,1−α2 σµ)

ist ein (1− α) Konfidenzintervall fur µ

I In vielen Softwarepaketen erhalt man direkt dasKonfidenzintervall als Ausgabe (z. B. in SPSS)

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SPSS-Output: Konfidenzintervall fur die Datenaus Beispiel 1.1 (Intelligenzquotient)

MittlereDifferenzSig. (2-seitig)dfT ObereUntere

90% Konfidenzintervall der Differenz

Testwert = 100

Intelligenzquotient 7,181,024,100,03892,436

Test bei einer Sichprobe

Beachte:

I SPSS liefert nur ein Konfidenzintervall fur die Differenz µ− 100=⇒ 90% Konfidenzintervall fur den Erwartungswert µ

(101.02, 107.18)

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1.2 t-Test fur eine Stichprobe

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Beispiel 1.5 (Fortsetzung von Beispiel 1.1)

Frage: Ist der IQ der Kinder aus Bochum hoher als 100?

H0 : µ ≤ 100 H1 : µ > 100

H0 nennt man Nullhypothese und H1 heißt Alternative.I Intuitiv wurde man fur H1 entscheiden, falls der Mittelwert der

Stichprobe

µ =1

10

10∑i=1

yi

”groß“ istI Beachte: µ andert sich, falls man die Daten anders skaliert!I Besser: entscheide fur H1, falls µ groß im Verhaltnis zu dem

Standardfehler σµ ist (Invarianz bzgl. unterschiedlicherSkalierungen)

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Die Nullhypothese H0 : µ ≤ 100 wird abgelehnt falls

T =µ− 100σµ

> c

Fragen:I Wie legt man den kritischen Wert c fest?

I Bei dem Verfahren konnen 2 Fehler auftreten

I Fehler erster Art: Die Nullhypothese H0 wird abgelehnt, obwohlH0 in Wirklichkeit stimmt (d. h. der IQ ist nicht hoher als 100)

I Fehler zweiter Art: Die Nullhypothese H0 wird nicht abgelehnt,obwohl in Wirklichkeit die Alternative H1 zutrifft (d. h. der IQ isthoher als 100)

Ziel: ”kleine“ Wahrscheinlichkeiten fur Fehler erster und zweiter Art

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Grundlegendes Prinzip der TesttheorieI Der kritische Wert c wird festgelegt, indem man eine maximal

tolerierbare Wahrscheinlichkeit α fur einen Fehler erster Artvorgibt (α-Fehler)!

I Diese Wahrscheinlichkeit heißt Niveau des Tests.I Damit hat man keine Kontrolle uber die Wahrscheinlichkeit eines

Fehlers zweiter Art (β-Fehler)I Z. B. soll die Wahrscheinlichkeit fur Fehler erster Art maximalα = 5% = 0.05 sein.

=⇒ (mathematische Statistik, Tabelle, Software)

n = 10, c = tn−1,1−α = t9,0.95 = 1.833

T =µ− 100σµ

=104.1− 100√

2.832= 2.436 > 1.833

D. h. die Nullhypothese H0 : µ ≤ 100 wird zum Niveau α = 5%zu Gunsten der Alternative H1 : µ > 100 verworfen(signifikantes Ergebnis zum Niveau 5 %)

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Erklarung des Begriffs Niveau durch ein ”fiktives“Experiment

I Annahme: Das Experiment (Untersuchung des IQ von 10Kindern) kann N mal (unabhangig) wiederholt werden (z. B.1000 mal)

I jeweils 10 Daten liefern ein Ergebnis fur den Test zum Niveau α(z.B. Niveau 5 %)Datensatz 1 −→ Testergebnis 1Datensatz 2 −→ Testergebnis 2

...Datensatz N −→ Testergebnis N

I Falls die Nullhypothese H0 : µ ≤ 100 ”wahr“ ist, so wirdmaximal in ca. αN (z. B. 5% 1000 = 50) Fallen fur dieAlternative

H1 : µ > 100

entschieden.

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Fehler erster und zweiter Art

in der Population giltH0 H1

Entscheidung auf- richtige β-Fehlergrund der Stich- H0 Entscheidungprobe zugunsten richtigevon: H1 α-Fehler Entscheidung

Beachte:

I Die Wahrscheinlichkeiten fur α-Fehler und β-Fehler verandernsich gegenlaufig.

I Bei festem Niveau (Wahrscheinlichkeit fur α-Fehler) kann dieWahrscheinlichkeit fur einen β-Fehler durch Vergroßerung desStichprobenumfangs verkleinert werden.

I Bei festem Stichprobenumfang wird ”nur“ der Fehler erster Artkontrolliert.

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Die Verteilung von T falls µ = 100 ist.

-3 -2 -1 0 1 2 3

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4


α = 5 %

p– Wert

t 9, 0.95 = 1.833 T n = 2.436

I Kritischer Wert: tn−1,0.95 = 1.833 (H0 wird verworfen, falls Tgroßer als der kritische Wert ist)

I Blaue Flache: Niveau (α)I Rote Flache: p-Wert: Wahrscheinlichkeit einen Wert großer als

2.436 zu beobachten: P(T > 2.436) = 0.0188I Beachte: Ist der p-Wert < α (wie in diesem Beispiel) dann wird

H0 abgelehnt (signifikantes Ergebnis)35 / 46





Testverfahren fur den Erwartungswert einerStichprobe unter Normalverteilungsannahme

1.6 Einstichproben t-Test fur rechtsseitige Hypothesen

I Hypothesen: H0 : µ ≤ µ0 ; H1 : µ > µ0 (rechtsseitigeHypothese)

I Daten y1, . . . , yn (Stichprobe) mit Erwartungswert µI Rechtfertigung der Unabhangigkeits- und

NormalverteilungsannahmeI H0 wird zum Niveau α verworfen, falls

T =µ− µ0σµ

> tn−1,1−α

gilt, bzw. falls der p-Wert < α ist.I µ: Schatzer fur µ; σµ: Schatzer fur den Standardfehler vonµ

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Vertauschen der Hypothesen

1.7 Einstichproben t-Test fur linksseitige Hypothesen

I Hypothesen: H0 : µ ≥ µ0 ; H1 : µ < µ0 (linksseitigeHypothese)



T =µ− µ0σµ

< −tn−1,1−α = tn−1,α

gilt, bzw. falls der p-Wert < α ist.I µ: Schatzer fur µ; σµ: Schatzer fur den Standardfehler vonµ

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Tests fur zweiseitige Hypothesen

1.8 Einstichproben t-Test fur zweiseitige Hypothesen

I Hypothesen: H0 : µ = µ0 ; H1 : µ 6= µ0 (zweiseitigeHypothese)



|T | = | µ− µ0σµ

| > tn−1,1−α/2

gilt, bzw. falls der p-Wert kleiner als α ist.I µ: Schatzer fur µ; σµ: Schatzer fur den Standardfehler vonµ

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Die Verteilung von T , falls µ = 100 ist.

-3 -2 -1 0 1 2 3

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

α = 2,5 % α = 2,5 %

p– Wert p– Wert


t 9, 0.975 = 2.262 T n = 2.436 t 9, 0.025 = -2.262 -T n = -2.436

I Blaue Flache: Niveau α; Rote Flache: p-Wert(Wahrscheinlichkeit einen Wert zu beobachten, dessen Betraggroßer als 2.436 ist P(|T | > 2.436) = 0.038

I Beachte: Ist der p-Wert < α (wie in diesem Beispiel), dann wirdH0 abgelehnt!

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SPSS-Output bei Anwendung des t-Tests auf dieDaten aus Beispiel 1.1 (Intelligenzquotient)

MittlereDifferenzSig. (2-seitig)dfT ObereUntere

90% Konfidenzintervall der Differenz

Testwert = 100

Intelligenzquotient 7,181,024,100,03892,436

Test bei einer Sichprobe

Beachte:

I SPSS liefert nur den p-Wert fur den zweiseitigen t-Test ausBeispiel 1.8!

I Den p-Wert fur den einseitigen Test erhalt man als0.038/2 = 0.019.

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Beispiel: t-Test fur den Vergleich von zwei

”verbundenen“ Stichproben

I Eine der wichtigsten Anwendungen der in 1.6, 1.7 und 1.8vorgestellten Verfahren besteht in dem Vergleich von

”verbundenen“ Stichproben (vorher - nachher Untersuchungen)I Beispiel: Untersuchung der Einstellungen von 9 Jungen

gegenuber neutralen Personen vor und nach einemFrustrationserlebnis (Sundenbockfunktion).

VPn 1 2 3 4 5 6 7 8 9Einstell- vorher 38 32 33 28 29 37 35 35 34ung nachher 33 28 34 26 27 31 32 36 30

∆ -5 -4 1 -2 -2 -6 -3 1 -4

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Prinzip: ”Differenzenbildung“I Prinzip:

I Falls kein Unterschied zwischen den Einstellungen vor und nachdem Frustrationserlebnis besteht sollten die Differenzen (nachher- vorher) ”klein“ sein.

I Durch Differenzenbildung (nachher - vorher) erhalt man die

”Daten“ ∆1, . . . ,∆9I Rechtfertigung der Voraussetzungen fur den t-Test aus 1.8 fur

diese ”Daten“.I Wende den t-Test fur eine Stichprobe auf die ”Daten“

∆1, . . . ,∆9 an und teste die Hypothesen

H0 : µ = 0, H1 : µ 6= 0

I Wegen

|T | =

∣∣∣∣−2.6670.816

∣∣∣∣ = 3.27 > 2.31 = t8,0.975

besteht zum Niveau α = 0.05 ein signifikanter Unterschied.

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SPSS Output: t-Test fur gepaarte Stichproben

Standardfehlerdes Mittelwertes

Standard-abweichungNMittelwert

vorher

nachher

Paaren 1

1,1153,346930,78

1,1193,358933,44

Statistik bei gepaarten Stichproben

SignifikanzKorrelationN

vorher & nachherPaaren 1 ,025,7339

Korrelationen bei gepaarten Stichproben

Standardfehlerdes Mittelwertes

Standard-abweichungMittelwert ObereUntere

95%Konfidenzintervall

der Differenz

Gepaarte Differenzen

vorher - nachherPaaren 1 4,550,784,8162,4492,667

Test bei gepaarten Stichproben

Sig.(2-seitig)dfT

vorher - nachherPaaren 1 ,01183,266

Test bei gepaarten Stichproben

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1.9 Bemerkungen (zu den statistischen Verfahren1.2, 1.4, 1.6, 1.7, 1.8)

I Mathematische Statistik⇒ unter der Normalverteilungsannahmesind alle hier vorgestellten Verfahren optimal

I Die Normalverteilungsannahme kann (und sollte) manrechtfertigen. Mogliche Verfahren sind:

I statistische Tests fur die Hypothese

H0 : Y1, . . . ,Yn normalverteilt

In SPSS ublich sind- Kolmogorov-Smirnov-Test- Shapiro-Wilk Test

I Explorative Verfahren. In SPSS ublich: QQ-Plot

I Besteht die Normalverteilungsannahme diese Uberprufung nicht,so sind z. B. nichtparametrische Verfahren anzuwenden.

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SPSS Output: QQ-Plot fur die Daten ausBeispiel 1.1

Beobachteter Wert

11511010510095

Erw

arte

ter

Wer

t vo

n N

orm

al

115

110

105

100

95

Q-Q-Diagramm von Normal von Intelligenzquotient

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Der QQ-PlotI Unter der Modellannahme gilt: die Großen Yi sind normalverteilt

mit Erwartungswert µ und Varianz σ2

I Der QQ-Plot vergleicht grafisch die empirischen Quantile der”Daten“ y1, . . . , yn mit den Quantilen der Normalverteilung mitErwartungswert µ und Varianz σ2.(1) 1/n-Quantil der Stichprobe y1, . . . yn =⇒ kleinste der

Beobachtungen y(1) (in Beispiel 1.1 ist y(1) = 97)(1− 1/2)/n-Quantil der Normalverteilung mit Erwartungswert µund Varianz σ2 =⇒ (im Beispiel 1.1 istz(1) = 104.1− 1.64 · 5.32 = 95.37)

(2) 2/n-Quantil der Stichprobe y1, . . . , yn =⇒ zweitkleinste derBeobachtungen y(2) (in Beispiel 1.1 ist y(2) = 98)(2− 1/2)/n-Quantil der Normalverteilung mit Erwartungswert µund Varianz σ2 =⇒ (in Beispiel 1.1 istz(2) = 104.1− 1.04 · 5.32 = 98.57)

(3) usw.I Der QQ-Plot ist das Streudiagramm der Daten

(y(1), z(1)), . . . , (y(n), z(n))I In in vielen Fallen enthalt dieses Diagramm noch die

Winkelhalbierende des entsprechenden Quadranten.46 / 46

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