2. angew. Math. Yech. Bd. 38 Nr. 7/8 Jull/Aua. 1958 D. Stramungslehre 3 17

und Pin. Unter Vernachl~ssigung der Reibung ergibt sich

arcsinM,, -aarcsinM,-M,,,, ( l - M ~ l ) 1 ' 2 + Ml(l-MM,a)l'a

Mal - M: ... ~ - _ _ ~

-

mit

wo R w die .Umfangsgeschwindigkeit der Schraubenspitzen bedeutet. Der Schraubenwirkungs- grad ist dabei 7 z qin. Fur kleine Werte M,, d. h. fur einen Hubscliraubenpropeller oder fur das Verhalten am Stand, erhalt man

. . . . . . . . I * (5). T el 3 arc sin hfRl. - M R 1 (1 - _______- ._ - - - - [

Tin Po 2 M k , In vielen praktischen Fallen konnen die Ausdrucke (3) und (5) noch weiter vereinfacht und die Groflen MI, MR1 und Mwl durch

ersetzt werden. Entsprechend werden die rnit Hilfe der GI. (3) berechnete theoretischen Werte in Bild 1 rnit dem Resultat der Messungen [l] verglichen. Es wird gezeigt, da13 die berechneten Werte nur wenig von den experimentell gemessenen abweichen. Es 1aDt sich daraus entnehmen, da13 sich die angenaherte Beziehung (3) oder (5) sogar unter der vereinfachenden Annahme (6) zweckmaflig verwenden laflt.

[l] J. Stack, E. Draley, J. Delano, L. Feldman, Investigation of the NACA 4-309-03 and NACA 4-308445 Two-Blade Propellers at Forward Mach Numbers to 0,725 to Determine the Effects of Compressibility and Solidity on Performance. NACA Report 999. Washington 1950.

Minimalwiderstandsbetrachtungen an vorne spitzen Rotationshalbkorpern mit Polynomen als Querschnittsverteilungen

Von Werner Schmidt in Aachen l)

Alle betrachteten schlanken Korper beginnen bei x = 0, ihre absoluten Dickenmaxima 2 z liegen bei x = 1. Die Korperlange jedes Korpers ist also gleich eins. Der machzahlunab- hangige Wellenwiderstand D( 1) Iautet daher nach bekannten Forrneln :

Darin ist q der Staudruck, Q(x) die Korperquerschnittsflache und

Unter dem Index x sei die Ableitung von Q(x) verstanden. Diese mit Q- = n z2 dimensionslos gemachte Querschnittsflache setzen wir als Polynom in x an:

woraus

1) Aus dem Imtitut fur angewandte Gaedynamik der DVL, Abteilung Theorie. 23

318 D. Stromungslehre

6 7 8 Polynomgrad n + 2

Z. angew. Math. Mecli. Bd. 38 Nr. 718 Juli/Aug. 1058

9 Haack-Sears

folgt. Geht man damit in G1. ( 1 ) ein, so 15Ot sich die Integration geschlossen ausfuhren. Man er- halt fur den Widerstandsbeiwert cD ( 1 ) :

i = 1 i = I

i= 1 i= 1

Hierin ist

2+=0 und i+ = 1 i = l i= 1

zu beachten.

bedingungen

durch das zur Extremwertbestimmung notwendige Gleichungssystem festgelegt, naxnlich :

Die in diesem Schema noch freien Konstanten a, werden unter Beriicksichtigung der Neben-

. . . . . . . . . . . . . G(1) = 1 , Qz(l) = 0 (4)

a - f(a0, a,, . . . . a,, . . . a,> 3%

1 1 - ( v + 2) * p = 0 n 1 z a"

v = o = 1 } , = 1 , 2 . . . . . n (5).

n

v=o I Z ( v + 2 ) * a , = o Zur Berechnung der a, der durch G1. (3) dargestelltenFunktion f und der Lagrangeschen

Multiplikatoren I , ,u hat man (n + 3) Gleichungen zur Verfiigung. Nach ihrer Losung 1aDt sich fur die a, folgendes Schema angeben:

Polynomgrad n f 2 aa Qe

3 - 2 3 - 2 0 5 -10 +10 - 4 5 -10 +10 - 4 0 7 -21 +35 -35 +21 -6 7 -21 +35 -35 +21 -6 0 USW.

Daraus ergeben sich folgende zwei Satze: 1. Die Polynomkoeffizienten von (2) mit alternierendeni Vorzeichen lassen sich aus dem

P a s c a 1 schen Dreieck ermitteln. Dabei ist der letzfe Wert einer jeden Koeffizientenreihe absolrit um 1 zu verringern und jeweils einer Koeffizienfenreihe zu iiberspringen.

2. Die ,, Polynomkonturen" der Minimalkorper von (k = 2 v - 1)-ten Grade sind identisch mit denen vom (k = 2v)-ten Grade, daher sind es auch die Widerstande.

Die Widerstandskoeffizienten entnimnit man folgender Tabelle:

435 4,166 4

Zwischen dein Korpervolumen V ( l ) all dieser Korper und dern Endquerschnitt Qmaz bcstcht die Beziehung

1 2

. . . . . . . . . . . . . . . V ( l ) = - Q,, 1 . (6).

Der in der Tabelle aufgefuhrte H aack-Sears-Korper ist nach [ I ] dargestellt durch

%. angew. Math. Mech. Bd. 88 Nr. 7/8 Jull/Aun. 1868 D. Stromungslehre 319

Er kann durch unseren Polynomansatz (2) nicht exakt dargestellt werden, weil &(z) des 1 Haack-Sears-Korpers, das in Gl.(l)eingeht, beiz = 0 und z = 1 Singularitaten besitzt wie

V X bzw. ~ , d. h. Unendlichkeitsstellen. Eine Polynomentwicklung, die im ganzen Interval1

LG-T 1

giiltig sein, also konvergieren soll, muB dort iiberall endlich bleiben.

fiinften Grades

mit 4% Abweichung erreicht, was fur praktische Bediirfnisse durchaus geniigt. Ferner bietet G1. (8) eine wesentlich einfachere Handhabe zur Berechnung der notwendigen Stromungsanteile als G1. (7). Der Grund, warum ab R + 2 = 7 der c,-Wert wieder ansteigt, ist darin zu suchen, daB bei der Aufstellung von G1. (5) nicht gefordert wurde, da13 @(z) in 0 < x s 1 nur e inen Wende-

punkt haben soll. Dieser ist bei allen Korpern an der Stelle z = - vorhanden, jedoch treten ab

n + 2 = 7 dazu symmetrische Wellungen auf, die sich mit zunehmendeni n haufen. Korper mit gewellter Oberflache (n + 2 2 7) haben aber grooere Wellenwiderstande als ,,vollkommen glatte" Korper (n + 2 = 5).

SchlieBlich deutet der stumpfere Bug des Haack-Sears-Korpers darauf hin, daB seine obere kritische Machzahl hoher liegt als die unseres Minimalkorpers (n + 2 = 5), vgl. [2]. [l] W. Haack, Bericht 139 der Lilienthel-Geeellsohaft (1941). [2] Oewetitsch-Sjodin, O E ~ ~ I T . Ing. Arch. VUI (1946).

Jedoch wird der Widerstandsbeiwert des H a a c k - S e a r s - Korpers durch unser Polynom

ij(z) = 29 - (5 - 10 z + 10 29 - 423) . . . . . . . . . . . * (8)

1 2

Turbulente Reibung und Ablosung in ebener Quellstromung*) Von N. Scholz in Miinchen

Die ebene Quellstromung besitzt fur radial verlaufende rotationssyminetrische Stromungen (z. B. radiale Stromungsmaschinen) grundatzliche Bedeutung. WIhrend bei den axial ver- laufenden rotationssymmetrischen Stromungen der MassenfluB durch eine axparallele Trans- lationsstromung hervorgerufen wird, iibernimmt diese Aufgabe bei radialem Verlauf die zentrisch gelegene ebene Quellstromung. Unter die- sem Gesichtspunkt nimmt die Reibung an einer in der letzteren Stroinung befind- lichen ebenen Kreisplatte eine analoge Bedeutung ein, wie dies der Fall der langsangestromten ebenen Platte fur die Translationsstromung darstellt. Es mu13 er- wartet werden, daB das Verhaltnis der Rei- bungswiderstiinde von radial angestromter Kreisplatte zu langsangestromter Platte in erster NBherung AufschluB dariiber gibt, welche hderungen des Reibungswiderstan- des der ubergang von einer translatorischen zu einer radialen Stromungl) erwarten 11Bt.

Es wird eine ebene Quellstromung niit dem Geschwindigkeitsverlauf -_ -+- - (TJ

* (1) . . . . . W ( f ) - rl W J r

I

I Bud 1. Krelsrlngplatte in ebener Quebtr6mung betrachtet, in der sich eine konzentrisch an-

geordhete Kreisringplatte mit dem Innen- radius r, befindet (Bild 1). Am Innenradius r, entwickelt sich radial nach auI3en fortschreitend eine Reibungsschicht an 'der Platte, die untel dem durch G1. (1) gegebenen Geschwindigkeits- verlauf auBerhalb der Reibungsschicht steht. Am Plattenanfang (r = rJ kann auBerdem bereits eine Eintrittsgrenzschicht mit der Grenzschichtdicke 6, vorhanden sein, die sich dann Iangs der Platte fortsetzt.

*) Der Geschiiftsfuhrung der BMW-Triebwerkbeu GmbH.. Munchen-Allech, sei en dieser Stelle fur die Zastimmung zur Veroffentlichung dieaer Untersuchung gedenkt.

1) Wir behendeln hier nur den Fall der redid nach euDen gerichteten Stromung.

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23 *