Minkowskis Ungleichungen und nichtkonvexe Rotationskörper

Minkowskis Ungleichungen und nichtkonvexe Rotationskorper

Von HUGO HADWIUER in Bern

(Eingegangen am 15. 12.1965)

I.

Unsere Betrachtungen beziehen sich auf die Minkowskischen QuermaBinte- grale W , (Y = 0, 1, . . . , k) des k-dimensionalen euklidischen Raumes. Diese innerhalb der Brunn-Minkowskischen Theorie lediglich fur konvexe Korper l) definierten Funktionale lassen sich auf verschiedene Weise auch fur geeignete nichtkonvexe Korper erkl&ren2). Vom mengengeometrischen Standpunkt aus beurteilt ist ea vorteilhaft, die in diesem Sinne verallgemeinerten Minkowskischen Quer- maBintegrale durch Integrale vom Croftonschen Typ

(1) w , ( A ) = i / c , ,Jx(~n E , ) ~ E , [Y = o , 1, . . ., k] zu definieren3). Hier bezeichnet E, eine im Raum bewegliche, v-dimensionale Ebene, d E, die kinemetische Dichte von E, im Sinne der Integralgeometrie und x die Charakteristik von EULER-POINCARE. Die Integration erstreckt sich iiber alle Lagen von E, im Raum, und es wird vorausgesetzt, daB der Korper A die Eigenschaft hat, daB x ( A n E,) fur alle E , existiert und daB das Integral im Riemannschen Sinn4) vorhanden ist. Die Konstante cVr hat den Wert

(2)

1) 'Vgl. die Definition bei T. BONNESEN-W. FENCHEL, Theorie der konvexen Korper, Berlin 1934, insbee. Nr. 32, S. 49. Dort werden die Quermabintegrale ale Sonderfalle all- gemeinerer Mischvolumina im Sinne Minkowskis gewonnen. sie lassen sich auch ale Hoeffizienten der Steiner-Minkowskischen Formel fur das Volumen des Parallelkorpem einfuhren. Beide Moglichkeiten der Erklarung der Quermabintegrale versagen fur nichtkonvexe Korper.

2) Fur allgemein gestaltete Korper, deren Randflachen im Sinne der Differential- geometrie regular sind, lassen sich die Quermabintegrale w, fur Y = 1, . . ., k als Ober- flachenintegrale iiber die elementarsymmetrischen Funktionen der (k - 1) Hauptkrum- mungen der Ordnung (v - 1) darstellen. Fur konvexe Korper finden sich diese Formeln bei T. BONNESEN-W. FENCHEL, a. a. O., S. 63; diese Darstellungen s h d also im Gegen- satz zu den in Anm. 1 genannten auf nichtkonvexe Korper direkt ubertragbar.

3, Diese Darstelhngsformel setzt keine DifFerenzierbarkeitseigenschaften der Rand- flache der Korper voraus und ist auch aua anderen Griinden den Methoden der direkten Mengengeometrie und der Integralgeometrie gut angepabt. Vgl. hienu H. HADWIGER, Integralsatze im Konvexring, Abh. math. Sem. Univ. Hamburg (Festheft Blaschke). (Er- scheint demnachst . )

4) Selbstverstandlich konnen auch andere Integralbegriffe herangezogen werden, je- doch ist das Riemannsche Integral den Belangen der Integralgeometrie gut angepaBt und fur unsere Zwecke ausreichend.

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wo w, das Volumen der v-dimensionalen Einheitskugel und w,, = 1 bedeutet; sie bewirkt nur eine zweckmaDige Normierung, so daB fur konvexe A die er- forderliche Ubereinstimmung mit den auf andere Weise definierten und gleich bezeichneten Minkowskischen MaBzahlen W , erzielt wird.

Im Falle Y = k ist die Integralformel durch

(3) W k ( A ) = wh X ( A ) zu deuten. , Von den k (nichttrivialen) MaBzahlen W , (Y = 0, 1, . . . , k - 1) sind einige

wegen ihrer ausgezeichneten Bedeutung besonders hervorzuheben, namlich W , = V (Volumen), k W , = F (Oberflache), k W, = M (Integral der mittleren Krummung) und k Wk-l = N (Norm)5).

Fur konvexe Korper gelten die bekannten Minkowskischen Ungleichungen

(4) [ W , / W J ~ ' ( ~ - C ) > [ W , / W ~ ] ~ ' ( ~ - ~ ) - [ O < v < p sk- I],

wobei Gleichheit jedenfalls fur die Kugel gilt.

Gleichbedeutend ist die Bussage

(5) W , ( A ) 2 W , ( K ) [ i v v ( A ) = W , ( K ) ; 0 S v < p 5 k - 1.3, welche direkt ausdruckt, daB unter allen konvexen Korpern A mit vorgegebenem W , die Kugel K den kleinstmoglichen Wert von W , aufweist, wenn v < ,u ist. Es handelt sich hier also um die Ausdehnung der isoperimetrischen Ungleichung, welche dem Fall Y = 0, p = 1 entspricht, auf die volle Klasse der nichttrivialen Minkowskischen QuermaBintegrale. Wie man weiB, ist die Gultigkeit der klas- sischen isoperimetrischen Ungleichung keineswegs an die Bedingung gebunden, daB der Korper konvex sei. Es drhngt sich daher die Frage auf, in welchen Fallen oder auch unter welchen zusatzlichen Bedingungen auch die anderen Un- gleichungen ihre Giiltigkeit bewahren. Da13 sie nicht mehr allgemein richtig bleiben, ist bekannt und mit passenden Beispielen leicht zu belegen. In dieser Note weisen wir indessen nach, daI3 die Minkowskischen Ungleichungen (4)/(5) jedenfalls innerhalb der Klasse der vollen Rotationskorper im wesentlichen ein- schrankungslos gultig bleiben. Unter einem vollen Rotationskorper verstehen wir hier eme beschrankte, abgeschlossene, rotationssymmetrische Punktmenge, die von jeder auf der Rotationsachse orthogonal stehenden (k - 1)-dimensionalen Ebene in einer feventuell leeren) (k - I)-dimensionalen Kugelscheibe geschnitten wird.

Bei hohlen Rotationskorpern, welche zwar noch rotationssymmetrisch sind, aber die Schnittbedingung nicht erfiillen, verlieren die Ungleichungen (4)/(5) im allgerneinen ihre Gultigkeit, wie man etwa am Beispiel dunner Kugelschalen einsehen 'kann. Selbstverstandlich miissen die in Betracht gezogenen vollen Rotationskorper noch ausreichend normal gestaltet win, so da13 sicher die Min- kowskischen MaBzahlen im Sinne der oben stehenden Ausfuhrungen existieren. Die Frage einer moglichst weitreichenden Abgrenzung fur die Giiltigkeit unserer Formeln und Ausmgen sol1 in dieser Note im' Hintergrund stehen. Wir begniigen

6) Die Norm N miDt die ,,lineare GroSe" eines Korpers; fur konvexe Korper ist N proportional der mittleren Breite 6, indem N = [ ( k m k ) / 2 ] b gat.

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uns damit, durch die Formulierling einer starken Bedingung gunstige Voraus- setzungen dafiir zu schaffen, da13 der wesentliche Teil unserer Behauptung be- quem bewiesen werden kann.

Die Bedingung besteht darin, daB wir fur einen zugelassenen vollen Rotations- korper A erstens fordern, daB die Crofton-Integrale (1) im Riemannschen Sinne alle existieren, und daB sich A zweitens durch polygonale Rotationskorper") P so approximieren laat, daB die Minkowskischen QuermaQintegrale von A und P simultan um beliebig wenig voneinander abweichen.

Fur polygonale Rotationskorper existieren trivialerweise die lntegrale (1). Bezeichnet 9 die Klasse der in Betracht zu ziehenden vollen Rotationskorper, so enthalt 9 sicher die Khsse '$ der polygonalen Rotationskorper, und zu A E 9 undE>Obel ieb iggib t e s e i n P € ' $ so, d a B f i i r a l l e v = O , l , . . . , k - I : I W , , ( A ) - W,, ( P ) I < E ausfiillt. ft? enthalt insbesondere auch die konvexen Rotationskorper sowie den Mengenring 0 derjenigen Mengen, die sich als Ver- einigungsmenge endlich vieler koaxialer konvexer Rotationskorper darstellen lassen. Dariiber hinaus umfal3t 9 auch andere, einfach gestaltete nichtkonvexe Rotationskorper.

Unser Ergebnis sagt also genauer aus, daB die Aussage ( 5 ) oder die Un- gleichung (4) fur alle Korper A E 9 gilt. Innerhalb dieser Klasse behiilt die Kugel ihre bekannte Extremaleigenschaft, unter allen Korpern mit festem W, das kleinste in Betracht fallende W,, aufzuweisen, bei.

11. Dieser zweite Abschnitt dient der Vorbereitung des Beweises der im vQraus-

gehenden Abschnitt aufgestellten Behauptung. Wir beschrlinken uns auf p l y - gonale, koaxiale Rotationskarper P € '$ ; diese gehoren zu dem oben erwiihnten Mengenring 0. Aus P, Q E 0 folgt auch P v Q, P A Q E 0.

O) Ein polygonaler Rotationskorper liibt sich durch orthogonal zur Rotationsechse gefuhrte (k - 1)-dimensionale Schnitte in endlich viele Kegelstumpfsegmente zerlegen, die stetig aneinander anschlieben. Einzelne Kegelstumpfeegmente konnen auch zu Kegefn oder Zylindern entarte n (vgl. die Abbildung).


Die Minkowskischen Quermafiintegrale Wv (v = 0 , 1, . . . , k) sind uber 0 additiv, so dafi das Additionstheorem

(6) W v ( P u Q ) + w v ( P n Q ) = W v ( P ) + w,(Q) gilt. Ferner sind die Wv bedingt stetig, d. h. stetig unter der zusiitzlichen Bedin- gung, daB die in Betracht fallenden P E 0 konvex sind. Es gilt dann die Stetig- keitsaussage

(7) Die Bauelemente (Segmente) der polygonalen Rotationskorper P E 8 sind Kegel- stumpfe, Kegel und Zylinder. Fur die unten folgende Beweisfuhrung haben wir die QuermaBintegrale fur diese speziellen elementaren Korper bereitzustellen. Zu ihrer Beschreibung denken wir uns die Rotationsachse horizontal und von links nach rechts orientiert. Es bezeichne dann [ p , q ; [] den Kegelstumpf mit den Radien p und q der linksseitig und rechtsseitig begrenzenden Kugelscheiben und dem Winkel E [0 < 5 < 7z , E = / = ~ 1 2 1 , den der nach auBen weisende Normalen- vektor der Mantelfliiche mit der orientierten Achse einschlieBt. Durch [ p , 0; [] ist dann ein Kegel dargestellt. Weiter bezeichne [ p , h] einen Zylinder mit der Hohe h und dem Radius p der Querschnittkugelscheibe. Es gelten dann die Formeln')

Wv(P,,) + W,(P) [P, --f P, P,, konvex, n + 0 3 1 .

(8) und

(9)

(10) C =o,-i/k; Hv = v ~ v / o v - l

w." ( [ p , q ; E l ) = C { H , pk-' + S V ( O [pk-' - q - I} [O<t<n/21

w, ( [ p , h ] ) = C{H,pk-V + (k - V ) h p"-y-'}, wobei die Hilfszahlen durch

und die Hilfsfunktion durch

gegeben sind. Spiiter benotigen wir den Ausdruck n - h

Diese Integraldarstellung lafit sich leicht verifizieren. Weiter fiihren wir die Funktion Rpv ( t ) durch die Vorschrift.

(13) R,,(t) = S,W [S,(E) = t , y <PI ein, so daB R,, [S, ([)I = S, ( E ) gilt. Man bestiitigt die Differentiationsformeln

(14)

(15) RL,(t) 2 0; Rlv ( t ) 2 0

R',,(t) = sin,-'[; #L(t) = (p - V ) ~ i n r - ~ ~ - l 6 C O S ~ [

und stellt damit fest, daB wegen 0 5 5 < n / 2 und v < p

gilt, so daB also R,,(t) eine von R ( 0 ) ='0 monoton ansteigende und konvexe Funktion ist.

7 ) Vgl. H. HADWIGER, Einige neue Egebnieae uber extremele konvexe Rotationa- korper. Abh. math. Sem. Univ. Hamburg 18, 38-62 (1962) (insbes. S. 44/46).

Hadwiger, Minkowskis Ungleichungen und nichtkonvexe Rotationskorper

111.

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Wir leiten jetzt eine Hilfsaussage her, die wir fur den im letzten Abschnitt folgenden Hauptbeweis benotigen. Es handelt sich um die Ungleichung

(16) Hierbei soll S einen zweigliedrigen, nichtkonvexen, polygonalen Rotationskorper bedeuten, also einen Korper S E 3, der sich durch einen orthogonal zur Achse gefuhrten Schnitt in zwei stetig aneinander anschlieBende Kegelstiimpfe (die auch zu Kegeln oder Zylindern entarten konnen) zerlegen la&, wobei die wesentliche Nebenbedingung beachtet werden soll, daB S nichtkonvex ist. T so11 einen eingliedrigen polygonalen Rotationskorper, also einen Kegelstumpf bezeichnen, der aber links und rechts von gleich groBen Kugelscheiben wie S begrenzt werden soll und der, wie die in Klammer gesetzte Bedingung angibt, das namliche Quer- mal3integral W, wie S aufweist. Durch diese Bedingungen ist offensichtlich T bei vorgegebenem S eindeutig bestimmt. Die Aussage driickt also aus, daB sich ein nichtkonvexer zweigliedriger Korper unserer Klasse ’$ bei festbleibender GroBe der beiden begrenzenden Kugelscheiben und gleichbleibendem W , stets durch einen eingliedrigen ersetzen la&, dessen W, nicht groBer ist.

W,(S) 2 W,(T) [W,(S) = w,(T); 0 5~ < p Sk- 11.

Die Beweisfuhrung zu (16) erfordert einige Fallunterscheidungen :

1. Fall. Es sei S = [ p , r ; 61

Unter Verwendung des Additionstheorems (6) und der Formeln (8), (9) er-

[r, q ; q], wobei p > r > q 2 0 und 0 < t < q < n/2 gelten soll. Ferner sei T = [p, q ; 53.

gibt sich

(17) und

W,,(S) = C{H,pk-y + S,(t) [p’-Y - T ’ - ~ ] + S,(q) [rk-” - 4 ’ - I}

(18)

(19)

ein, so kann die rechts in (16) stehende Nebenbedingung durch

W,(T) = C {H,pk-’ + S,(o [ p k - ” - $-”I}. Fiihren wir abkurzend die Hilfszahlen

01, = ( p k - Y - rk-v)/(pk-v - !Ik-,)

B, = ( 7 k - V - qk-v)/(pk-v - q k - v )

(20) ausgedriickt werden. Setzen wir weiter

(21) so gewinnen wir mit Verwendung der Formeln (17) und (18), in welchen v duroh p ersetzt werden muB, die Darstellung

S, ( 5 ) = %S, (6) + B Y 5, (17)

A = [W,(S) - W,(T)l/[p’-” - $-’I,

= q$( t ) + B,S,(q) - S,(b (22) Eine einfache Umformung unter Beriicksichtigung von a, + By = 1 ergibt

(23) A = a,5,(6) + 8,S , (q) - + (8, - 8,) [S,(q) - S,(E)l. Nun gilt wegen p > r > q und p > v die elementar zu verifizierende Ungleichung

> B y , und wegen E < 7 ist weiter S, (t) < S, (q), wie ein Blick auf (11) lehrt.


Mit (23) resultiert so

VerwTenden wir die durch (13) eingefuhrte Hilfsfunktion, so liiI3t sich ausgehend von (20) die Beziehung

(25) anschreiben; wegen der Konvexitiit der Funktion RPy und mit Riicksicht auf a,, + p,, = 1 , a”, By > 0 folgen die Ungleichungen

(26)

(27) A > O

(24) d > a,, 8, ( 5 ) + By S, (7) - 8, (0.

S, ( 5 ) = R,” {av Sv ( 5 ) + B Y Sv (9))

S,(O < QvS,(E) + BYS,(r])* Ihre Verwertung in (24) liil3t also

hervorgehen; damit ist in diesem Falle (16) bewiesen.

2. Fall. Es sei S = [p, r ; 51 ” [r, h], wobei p > r 2 0 und 0 < 6 < 7212 sein soll. Dann ist ferner T = [ p , r ; [I. Der Zylinder [r, h] ist Grenzkorper einer konvergenten Folge von Kegelstiimpfen [r , q, ; q,] , wobei r > qn und t < r] , < 7t I 2 gelten 9011, so daB [r , q, ; r],] + [r , h] [n --f 001 ausfiillt. Setzen wir S, = [ p , r ; 51

[r , 9,; r],] , so liefert die Anwendung des Additionstheorems (6) in Verbindung mit (7 ) : W,( S,) + W,(S) (n + 00). NachKonstruktion fallen alle S, unter den l.Fal1,sodaBmitdenentsprechenden T,stets W,(S,,) > W,(T,) [ Wv(S,) =W,,(T,)] gilt. Mit nochmaliger Beanspruchung der Stetigkeitsaussage (7) folgt hieraus wieder die Behauptung (16) fur die Korper S und T.

3. Fall. Es seiS = [ p , r ; 53 ” [ r , p ; r ] ] , wobei p > r 2 0 und 0 < E<n/2 < r ] < n gelten soll. Dann ist T = [p, h]. Mit (6), (8) und (9) resultieren die Formeln (28) und

(29) Mit der in (16) rechts stehenden Bedingung liiI3t sich nun die Zylinderhohe h berechnen, und es ergibt sich

(30) Wird dieser Ausdruck in der (29) entsprechenden Darstellung fur W,, (T) ein- gesetzt, so resultiert

W,,(S) = C { H v p k - ” + [pk-’ - rk-” 1 [ H , + sv ( E ) + S, (n - 7)1)

W , ( T ) = C{H,pk-V+ (k-Y) h p k - Y - 1 ) .

h’= l / ( k - Y) [ p - r r - ” p - k + v + ’ ] [ H , + S,(E) + S,(n - q ) ] .

w, (T) = c {H,pk-P + (k - p ) / (k - Y) . [ p k - ~ - rk-P p v - P 1 * [H,, + s v (5 ) +Sv (n - r])l).

(31)

Urn den Aasdruck rechts nach oben hin abzuschiitzen, verwenden wir die Hilfs- funktion f(z) = z ( r / p ) * / + ; wie man unter Beachtung von p > r leicht einsieht, dt fiir sie f(B) - /(a) < B - a [0 < a < / ? I . Setzt man darin a = l / ( k - Y),

B = 1((k - p ) [Y < p ] , so resultiert nach geeigneter Umformung: (k - p)/(k - Y) [ p k - ~ - f - p p ” ~ ] < [ p k - ~ - f -’I.

AUS (12) liiBt sich weiter direkt ablesen, daD die Ungleichung

(32) (1/2) H, + svct, < H, + qJ5)

Hadwiger, Minkowskis Ungleichungen und nichtkonvexe Rotationskorper 383

gilt. Verwenden wir die beiden abgeleiteten Ungleichungen in (31), so ergibt sich

(33) oder aber (34) W , , ( T ) < W,(S) ,

W, , (T) < c {H,, pk-r + [pk-P - +PI [H,+ S,C5, + S,(n - rl)l}

und damit die Behauptung (16).

4. Fall. Es sei S = [p, r ; 51 [r, q ; 91, wobei p > q > r 2 0 und 0 < 5 < n/2 < rl < 7c gelten soll. Es ist dann T = [p, q ; 51. Durch einen geeig- neten Schnitt orthogonal zur Rotationsachse kann man die Zerlegung S = [p, q ; 53 [ r , q ; 71 erzielen. Die beiden letzten Segmente er- geben einen Korper S’, der dem 3. Fall entspricht. Es gibt demnach einen Zy- linder T‘ = [ q , h] so, daB W,(S’) = W,(T’), aber W,(S’) 2 W,(T’ ) ausflillt. Setzen wir nunmehr S“ = [p, q ; 51 [ q , h ] , so bestatigt sich mit Anwendung des Additionstheorems (6), daD W,(S”) = W,(S) , aber W,(S”) 5 W,(S) ausfallt. Der Korper S” unterliegt dem 2. Fall. Es gibt demnach ein T = [p, q ; [] so, daB wieder W , (S”) = W,( T), aber W,, (8”) 2 W,( T) ausfallt. Insgesamt folgt W,, (S) > W,, (T) und W , (S) = W , (T) . Damit ist die Behauptung (16) er- neut bewiesen.

Die behandelten vier Fillle erschopfen aber die volle Allgemeinheit der zweigliedrigen polygonalen und nichtkonvexen Rotationskorper, wenn man noch alle Korper hinzurechnet, die sich aus den in Betracht gezogenen durch Spiegelung an einer orthogonal zur Rotationsachse gestellten Ebene erzeugen lassen. Damit ist der Beweis unserer Aussage (16) beendet.

[ q , r ; 51

IV. Wir fuhren jetzt den Hauptbeweis der Ungleichungen (4)/(5). Es sei zuniichst

P ein nichtkonvexer, n-gliedriger, polygonaler Rotationskorper. Er enthiilt dann wenigstens einen zweigliedrigen nichtkonvexen Teilkorper S. Ersetzen wir S durch einen eingliedrigen Korper T, der dem Korper S nach Aussage (16) zu- kommt, so wird das QuermaBintegral Wv unveriindert bleiben, das Quermal3- integral W,, dagegen nicht zunehmen. Man beachte, daJ3 durch die Neben- bedingung bei (16), wonach T links und rechts von gleich groBen Kugelscheiben begrenzt sein soll wie S, garantiert wird, daJ3 der Ersatz von S durch T im Korper p so vorgenommen werden kann, daB die stetige Aufeinanderfolge der einzelnen Segmente erhalten bleibt.

Der gleiche ProzeD kann nun so lange fortgesetzt werden, bis ein konvexer ‘polygonaler Rotationskorper Q iibrigbleibt ; da bei jedem Ersatz die Glieder- zahl wenigstens um 1 abnimmt, muJ3 dieser Fall sicher eintreten. Es ergibt sich demnach die Existenz eines konvexen Rotationskorpers Q mit

Da aber (4)/(5) fur konvexe Korper Q sicher richtig ist, folgt im Hinblick auf (35) auch die Richtigkeit fur polygonale nichtkonvexe Rotationskorper P E b. 1st jetzt A E 2 ein nichtkonvexer,Rotationskorper der im ersten Abschnitt ein- gefiihrten Klasse 2, so ergibt akh die’Richtigkeit der Ungleichungen (4)/(5) cluch fur A durch Approximation mit P E 9 und Grenziibergang in der ublichen W e b . Damit ist auch der Hauptbeweis beendet.

(35) W,(P) 2 W,(Q, [ W ” ( P ) = W v ( Q ) , 0 5v < p 5 k - 11

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