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Mitteilung zum Problem eines konvexen Extremalk6rpers Von H. BI~RI in Bern (Schweiz) Es bezeiehne ~ (M, F) die Klasse der konvexen KSrper des gewShnliehen Raumes, welche ein vorgeschriebenes Integral der mittleren KriimmungM und eine Ober- fli~cheF aufweisen. Nach den klassischen Resultaten sind die KugelkappenkSrper die ExtremalkSrper der Klasse ~(M,F), welehe ein gr(i~tmSgliches Volumen V besitzen. Die entgegenstehenden ExtremalkSrper mit kleinstem Volumen sind fiir 2 M 2 -- ~aF ~ 0 trivial und werden durch die ,,flachen" KSrper vom Vo- lumen V ~ 0 reprasentiert, fiir 2 M 2- n ~F =< 0 dagegen gibt es nichttriviale ExtremalkSrper, welche unseres Wissens noeh nieht aufgefunden werden konnten. -- Vor kurzem wurde indessen bewiesenl), dal~ sich bei Besehriinkung auf die Teil- klasse ~o(M,F) der konvexen RotationskSrper die symmetrische Kugelzone als L(isung des Extremalproblems herausstellt. Ira Ansehlul~ an dieses Ergebnis wurde mehrfaeh die Vermutung ausgesprochen~), dal] die symmetrischen Kugelzonen ihre Extremaleigenschaft auch innerhalb der umfassenden Klasse ~(M,F) beibehalten. Indem wir auf theoretische weitere ErSrterungen verzichten, geben wir in der vorliegenden Mitteilung nun einen elementaren KSrper bekannt, dessen numerische Uberprtifung den Schlul~ gestattet, dal] die oben erwiihnte Vermutung u~iehtig ist. Damit ist bewiesen, dal] der dem KugelkappenkSrper in diesem Problemkreis gegentiberstehende ExtremalkSrper im Gegensatz zu jenem nieht als Rotations- kSrper realisierbar ist. Wir stellea jetzt einer symmetrischen KugetzoneKo einen GegenkSrperK gegentiber, welcher mit jener in den Mal]zahlen M und F iibereinstimmt. Sowohl Ko als auch K ist ein regelmiifliger KalottenkSrper der Kugel, der aus einer Kugel dadureh gewonnen wird, da~ man eine gewisse Anzahl kongruenter Kalotten ab- schneidet. In tier unten folgenden Tabelle bezeichne n die Anzahl der Kalotten, den halben 0ffnungswinkel des Kreiskegels, der sich mit einer Kalotte zu einen~ 1) H. H~,DWIGER, P. GLUa und H. BIEaI: Die symmetrische Kugelzone als extremaler Ro- tationskSrper (Kurze Mitteil.ung). Experientia Vol. 4 (8), 1948, 304--309. 2) H. HADWIGEn:Zum Problem des vollst~ndigen Ungleichungssystems bei konvexen K6rpern. Archly der Math. 1 (1), 1948, 15; ferner: Notiz zur/ehlenden Ungleichung in der Theorie der kon- vexen K6rper. EIemente der Math. 3 (6) 113.

Mitteilung zum Problem eines konvexen Extremalkörpers

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M i t t e i l u n g z u m P r o b l e m e ines k o n v e x e n E x t r e m a l k 6 r p e r s

Von H. BI~RI in Bern (Schweiz)

Es bezeiehne ~ (M, F) die Klasse der konvexen KSrper des gewShnliehen Raumes, welche ein vorgeschriebenes Integral der mittleren KriimmungM und eine Ober- fli~cheF aufweisen. Nach den klassischen Resultaten sind die KugelkappenkSrper die ExtremalkSrper der Klasse ~(M,F), welehe ein gr(i~tmSgliches Volumen V besitzen. Die entgegenstehenden ExtremalkSrper mit kleinstem Volumen sind fiir 2 M 2 - - ~aF ~ 0 trivial und werden durch die ,,flachen" KSrper vom Vo- lumen V ~ 0 reprasentiert, fiir 2 M 2 - n ~F =< 0 dagegen gibt es nichttriviale ExtremalkSrper, welche unseres Wissens noeh nieht aufgefunden werden konnten. - - Vor kurzem wurde indessen bewiesenl), dal~ sich bei Besehriinkung auf die Teil- klasse ~o(M,F) der konvexen RotationskSrper die symmetrische Kugelzone als L(isung des Extremalproblems herausstellt.

Ira Ansehlul~ an dieses Ergebnis wurde mehrfaeh die Vermutung ausgesprochen~), dal] die symmetrischen Kugelzonen ihre Extremaleigenschaft auch innerhalb der umfassenden Klasse ~(M,F) beibehalten.

Indem wir auf theoretische weitere ErSrterungen verzichten, geben wir in der vorliegenden Mitteilung nun einen elementaren KSrper bekannt, dessen numerische Uberprtifung den Schlul~ gestattet, dal] die oben erwiihnte Vermutung u~iehtig ist. Damit ist bewiesen, dal] der dem KugelkappenkSrper in diesem Problemkreis gegentiberstehende ExtremalkSrper im Gegensatz zu jenem nieht als Rotations- kSrper realisierbar ist.

Wir stellea jetzt einer symmetrischen KugetzoneKo einen GegenkSrperK gegentiber, welcher mit jener in den Mal]zahlen M und F iibereinstimmt. Sowohl Ko als auch K ist ein regelmiifliger KalottenkSrper der Kugel, der aus einer Kugel dadureh gewonnen wird, da~ man eine gewisse Anzahl kongruenter Kalotten ab- schneidet. In tier unten folgenden Tabelle bezeichne n die Anzahl der Kalotten,

den halben 0ffnungswinkel des Kreiskegels, der sich mit einer Kalotte zu einen~

1) H. H~,DWIGER, P. GLUa und H. BIEaI: Die symmetrische Kugelzone als extremaler Ro- tationskSrper (Kurze Mitteil.ung). Experientia Vol. 4 (8), 1948, 304--309.

2) H. HADWIGEn: Zum Problem des vollst~ndigen Ungleichungssystems bei konvexen K6rpern. Archly der Math. 1 (1), 1948, 15; ferner: Notiz zur/ehlenden Ungleichung in der Theorie der kon- vexen K6rper. EIemente der Math. 3 (6) 113.

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Kugelsektor erg~tnzen l~il]t, und ferner sei R der Radius der Kugel. Die Bestimmungs- elemente und die sich ergebenden 3Ial]zahlen sind nun bei den beiden Kalotten- k~Srpern K o und K die folgenden:

n

R M 2' V

K

3 60 ~ t

11,68 892 10,21018 2,22529

Ko

2 68 ~ 27' 23,95" 1,00 792

11,68892 10,21018 2,25 627

Die letzte Zeile dieser Tafel lehrt, dal] der KaiottenkSrper K das kleinere Vo- lumen V aufweist, als die symmetrische Kugetzone Ko, welche der n~mliehen Klasse ~(M,F) angehSrt.

(Eingegangen am 25.12.1948)

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