Mittelwerte - Übersicht 1.Schwerpunkt – physikalischer Mittelpunktsbegriff Einschub: Mittelpunkt und Abstandsbegriff 2. Klassische Mittelwertsbegriffe

Mittelwerte - Übersicht

1. Schwerpunkt – physikalischer MittelpunktsbegriffEinschub: Mittelpunkt und Abstandsbegriff

2. Klassische Mittelwertsbegriffe

3. Stochastische Mittelwerte



2. Klassische Mittelwertsbegriffe2.1. Mittelwerte in verschiedenen Skalenbereichen




2. Klassische Mittelwertsbegriffe2.1. Mittelwerte in verschiedenen Skalenbereichen2.2. Anwendungsbereiche verschiedener Mittelwerte




2. Klassische Mittelwertsbegriffe2.1. Mittelwerte in verschiedenen Skalenbereichen2.2. Anwendungsbereiche verschiedener Mittelwerte2.3. Klassische Mittelwerte – Definition




2. Klassische Mittelwertsbegriffe2.1. Mittelwerte in verschiedenen Skalenbereichen2.2. Anwendungsbereiche verschiedener Mittelwerte2.3. Klassische Mittelwerte – Definition2.4. Geometrische Interpretation und Konstruktion




2. Klassische Mittelwertsbegriffe2.1. Mittelwerte in verschiedenen Skalenbereichen2.2. Anwendungsbereiche verschiedener Mittelwerte2.3. Klassische Mittelwerte – Definition2.4. Geometrische Interpretation und Konstruktion2.5. Vergleich der Mittelwerte




2. Klassische Mittelwertsbegriffe2.1. Mittelwerte in verschiedenen Skalenbereichen2.2. Anwendungsbereiche verschiedener Mittelwerte2.3. Klassische Mittelwerte – Definition2.4. Geometrische Interpretation und Konstruktion2.5. Vergleich der Mittelwerte2.6. Verallgemeinerung I – Mittelwert von mehr als 2 Größen




2. Klassische Mittelwertsbegriffe2.1. Mittelwerte in verschiedenen Skalenbereichen2.2. Anwendungsbereiche verschiedener Mittelwerte2.3. Klassische Mittelwerte – Definition2.4. Geometrische Interpretation und Konstruktion2.5. Vergleich der Mittelwerte2.6. Verallgemeinerung I – Mittelwert von mehr als 2 Größen2.7. Verallgemeinerung II – Mittelwert und funktionale Zuordnung






2.1. Trapezreihen und Mittelwerte

a) Gleich breite Streifen



auch vergrößern



Skala einfügen



Skala einfügen

2.1. Arithmetische Mittelwerte auf einer linearen Skala


Skala mit Streckenlängen

2.1. Arithmetisches Mittel im Trapez

a) Gleich breite Teiltrapeze


b) Ähnliche Trapeze



auch vergrößern



Skala einfügen



Skala einfügen



Längenänderung



Längenänderung



Längenänderung

Längen werden immer mit dem gleichen Faktor verändert!

2.1. Geometrische Mittelwerte auf einer exponentiellen Skala



2.1. Geometrisches Mittel im Trapez

b) Ähnliche Teiltrapeze

2.1. Trapezreihen und Mittelwerte 2.1.

c) Drehstreckung


c) Drehstreckung

auch vergrößern


c) Drehstreckung

auch vergrößern

- so lange wie möglich


c) Drehstreckung

Skala einfügen


c) Drehstreckung

Skala einfügen


c) Drehstreckung

Skala einfügen

und erste Streckenlängen


c) Drehstreckung

Längenänderung


c) Drehstreckung

Längenänderung


c) Drehstreckung

Längenänderung


c) Drehstreckung

Längenänderung

2.1. Harmonische Mittelwerte auf einer reziproken Skala

c) Drehstreckung


2.1. Harmonisches Mittel im Trapez

c) Drehstreckung

um „optischen“ Mittelpunkt

2.1. Skalenvergleich bei den klassischen Mittelwerten

Arithmetisches Mittel

bei linearem Wachstum

Harmonisches Mittel

bei reziprokem Wachstum

Geometrisches Mittel

bei exponentiellem Wachstum

2.1. Die klassischen Mittelwerte im Trapez


Mittelparallele

Harmonisches Mittel

Parallele durch

Diagonalenschnittpunkt


Ähnliche Teiltrapeze

2.1. Die klassischen Mittelwerte im Trapez


Mittelparallele

Harmonisches Mittel

Parallele durch

Diagonalenschnittpunkt


Ähnliche Teiltrapeze





2.2. Anwendungsbereiche für Mittelwerte

Optische Perspektive


Optische Perspektive

Das Hl.-Kreuz-Münster

In Schwäbisch Gmünd


Akustik


Fraktale


Fraktale


Selbstähnliche Figuren - Quadrat-Fraktale













u.s.w.




a) Arithmetisches Mittel

„Durchschnitt“ als (fiktiver) Mittelwert – bestimmt durch Größenausgleich bei

• Leistungsnoten bzw. -Punkten

• Größenmaßen (z.B. Gewichten) bei verschiedenen Objekten• Statistisch erhobenen Werte (z.B. Einwohnerzahlen ...)


b) Geometrisches Mittel

Mittlerer Umrechnungsmaßstab bei aufeinanderfolgenden Maßstabsveränderungen

Bsp: DIN-Papier

b) Geometrisches Mittel

Mittlere Frequenz bzw. Saitenlänge (Luftsäule)bei der temperierten chromatischen Tonleiter



b) Geometrisches Mittel – allgemein:

Mittlerer Veränderungsfaktor bei Wachstums- und Zerfallsprozessen

• Zinseszins

• Natürliches Wachstum (ungebremst)

• Radioaktiver Zerfall ...


c) Harmonisches Mittel

Zentralperspektive:Länge der mittleren Parallelen


c) Harmonische Stimmung beim Monochord: Tonhöhen bei gleichmäßig unterteilter Saitenlänge

Grundton Oktav (1:2) (= 1. Oberton)

Quint (2:3)

(= 2. Oberton)

Ganzton (8:9) (= 6. Oberton)



Ausgleich von Brennweiten bei optischen Linsen



Ausgleich von Brennweiten bei optischen Linsen


c) Harmonisches Mittel – allgemein:Arithmetisches Mittel in „reziproken“ Größenbereichen

• „Reichweite“ statt Verbrauch

• „Gemächlichkeit“ statt Geschwindigkeit ...





2.3. Klassische Mittelwerte - Definition

a) Arithmetisches Mittel: Absoluter Größenausgleich

abm


m - a = b - m

b-m

abm

m-a



m - a = b - m 2m = b + a

a

a

b

b

m

m

b-m

abm

m-a



a) Arithmetisches Mittel: durchschnittliches absolutes Wachstum

abm

..


b) Geometrisches Mittel: Mittlerer Streckfaktor


b) Geometrisches Mittel: Relatives Wachstum


b) Geometrisches Mittel: durchschnittliches relatives Wachstum


b) Geometrisches Mittel: durchschnittliches relatives Wachstum



Größenausgleich bei

Kehrwerten

f(x) = 1/x

( (

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