Mittlerer Schulabschluss – Mathematik€¦ · Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben Mittlerer Schulabschluss Mathematik 4 1 Liste der Arbeitsaufträge

Mittlerer Schulabschluss – MathematikHinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben

Abschlussprüfung zummittleren Schulabschluss

Mathematik

Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben

Freie und Hansestadt Hamburg Behörde für Schule und Berufsbildung

Impressum

Herausgeber: Freie und Hansestadt Hamburg Behörde für Schule und Berufsbildung Hamburger Straße 31, 22083 Hamburg

Leitung des Gestaltungsreferats mathematisch-naturwissenschaftlich-technischer Unterricht:

Dr. Britta Creutzburg-Ahnfeldt

Redaktion:

Dr. Andreas Busse (Koordination) Sabine Kramer Mirko von Leitner Christine Töllner

Alle Rechte vorbehalten.

Internet: http://www.hamburg.de/abschlusspruefungen

Hamburg 2013

Inhaltsverzeichnis

Vorwort ................................................................................................................................................................... 4

Liste der Arbeitsaufträge ........................................................................................................................................ 5

Aufgaben ................................................................................................................................................................. 7

Bewertung ............................................................................................................................................................... 8

Aufgaben, die ohne den Einsatz des Taschenrechners bearbeitet werden ............................................................. 9

Aufgaben zur Leitidee Daten und Zufall ................................................................................................................ 45

Aufgaben zur Leitidee funktionaler Zusammenhang ............................................................................................. 91

Aufgaben zur Leitidee Raum und Form sowie zur Leitidee Messen .................................................................... 135

Aufgaben zur Leitidee Messen und zur Leitidee Zahl .......................................................................................... 194

3

Vorwort Liebe Kolleginnen und Kollegen, liebe Schülerinnen und Schüler,

in der vorliegenden Handreichung werden Beispiele für Prüfungsaufgaben zum mittleren Schulabschluss im Fach Mathematik vorgestellt. Die hier vorgelegten Aufgabenbeispiele korrespondieren mit den in den Bildungsstandards Mathematik für den mittleren Schulabschluss der KMK geforderten Kompetenzen, Anforderungen und Aufgabenformaten sowie mit den Anforderungen, wie sie im Rahmenplan der Stadt-teilschule festgelegt sind.

Bei der vorliegenden Handreichung handelt es sich um eine vollständige Überarbeitung des bisherigen Heftes. Die folgenden Aspekte wurden überarbeitet oder sind neu hinzugenommen:

• Die Liste der verbindlichen Arbeitsanweisungen (Operatoren) wurde dem aktuellen Stand angepasst, entsprechend wurden die Operatoren in den Aufgaben überarbeitet.

• Die Lösungen und Bewertungen zu den Aufgaben befinden sich jetzt unmittelbar hinter der jeweiligen Aufgabe. An vielen Stellen wurden die Lösungen ausführlicher formuliert, sodass sie auch von Schülerinnen und Schülern selbstständig nachvollzogen werden können.

• Alle Aufgaben wurden einer kritischen Revision unterzogen. Dabei wurden viele Aufgaben durch solche ersetzt, die sich an gelungene aus aktuelleren Prüfungen anlehnen.

• Insbesondere im hilfsmittelfreien Teil werden Größenvorstellungen zu den gängigen Maßeinheiten abgefragt.

Für den mittleren Schulabschluss gilt eine neue Notenskala. Die Bestnote E1 wird für Leistungen verge-ben, die etwas über denen stehen, für die in der Vergangenheit die Bestnote B2 an Gesamtschulen bzw. 1 an Realschulen erteilt wurde. Dementsprechend werden jetzt in allen Aufgaben in geringem Umfang – ca. 15 % – Anforderungen formuliert, die über die Anforderungen des bisherigen Realschulabschlusses hi-nausgehen. Diese höheren Anforderungen finden sich einerseits im hilfsmittelfreien Teil, andererseits stellen sie einen Teil des Anforderungsbereichs III der komplexen Aufgaben dar. Sie orientieren sich an den Mindestanforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 9 mit Blick auf den Übergang in die Studienstu-fe, wie sie im Rahmenplan der Stadtteilschule für alle fünf Leitideen formuliert sind. Beispiele für diese Anforderungen zur Erlangung der Note E1 sind im Folgenden aufgeführt:

• Umgang auch mit unbekannten Formeln, indem Werte eingesetzt werden oder die Formel umge-stellt wird,

• Entwicklung eigener mathematischer Ideen und Argumentationen und angemessene – auch verbale – Darstellung,

• Beschreibung eines Lösungsplanes,

• Umgang mit offeneren Fragestellungen.

Alle Aufgaben basieren auf der Entwicklungsarbeit von mittlerweile sehr vielen Autorinnen und Autoren, die an dieser Stelle nicht alle genannt werden können; ihnen gebührt Dank für ihre kreative und wichtige Arbeit.

In der Hoffnung, dass die vorliegende Handreichung hilfreich zur Vorbereitung auf die schriftliche Prüfung ist, wünsche ich Euch, liebe Schülerinnen und Schüler, eine erfolgreiche Vorbereitung auf den mittleren Schulabschluss.

Dr. Britta Creutzburg-Ahnfeldt Leitung des Gestaltungsreferats mathematisch-naturwissenschaftlich-technischer Unterricht

Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben Mittlerer Schulabschluss Mathematik

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1 Liste der Arbeitsaufträge

Mehr noch als bei dezentralen Aufgaben, die immer im Kontext gemeinsamer Erfahrungen der Lehrenden und Lernenden mit vorherigen Klassenarbeiten stehen, müssen zentrale Prüfungsaufgaben für die Schülerinnen und Schüler eindeutig hinsichtlich des Arbeitsauftrages und der erwarteten Leistung formuliert sein. Die in den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben verwendeten Operatoren (Arbeitsaufträge) werden in der folgenden Tabelle definiert und inhaltlich gefüllt. Entsprechende Formulierungen in den vorausgehenden Klassenarbeiten sind ein wichtiger Teil der Vorbereitung auf den Realschulabschluss.

Neben Definitionen und Beispielen enthält die Tabelle auch Zuordnungen zu den Anforderungsbereichen I, II und III wobei die konkrete Zuordnung auch vom Kontext der Aufgabenstellung abhängen kann und eine scharfe Trennung der Anforderungsbereiche nicht immer möglich ist.

Anforderungsbereich I: Reproduzieren Dieses Niveau umfasst die Wiedergabe und direkte Anwendung von grundlegenden Begriffen, Sätzen und Verfahren in einem abgegrenzten Gebiet und einem wiederholenden Zusammenhang. Anforderungsbereich II: Zusammenhänge herstellen Dieses Niveau umfasst das Bearbeiten bekannter Sachverhalte, indem Kenntnisse, Fertigkeiten und Fä-higkeiten verknüpft werden, die in der Auseinandersetzung mit Mathematik auf verschiedenen Gebieten erworben wurden. Anforderungsbereich III: Verallgemeinern und Reflektieren Dieses Niveau umfasst das Bearbeiten komplexer Gegebenheiten u.a. mit dem Ziel, zu eigenen Problem-formulierungen, Lösungen, Begründungen, Folgerungen, Interpretationen oder Wertungen zu gelangen.

Arbeitsaufträge Definitionen Beispiele

Angeben, nennen I-II

Formulierung eines Sachverhaltes, aufzählen von Fakten etc. ohne Be-gründung und ohne Lösungsweg.

Gib an, wofür die Variable m in der Geradengleichung y = mx + b steht. Nenne ein Beispiel, in dem lineare Funktionen in der Realität auftreten.

Auseinander-setzen II-III

kreativer Prozess, mindestens auf dem Anforderungsniveau II

Setze dich mit den Äußerungen der Schülerinnen und Schüler auseinan-der. (z.B.: Aufgabe 11, Bildungsstan-dards)

Auswählen I-II

ohne Begründung aus mehreren Ange-boten eines auswählen

Wähle ohne Hilfe des Taschenrech-ners diejenige Zahl aus, die dem Wert von 199 am nächsten kommt.

Begründen II-III

Für einen angegebenen Sachverhalt einen Begründungszusammenhang herstellen.

Begründe, warum der abgebildete Graph die Situation nicht richtig be-schreibt. Begründe, warum eine quadratische Gleichung höchstens zwei Lösungen hat.

Berechnen I-II

Ergebnis von einem Ansatz ausgehend durch nachvollziehbare Rechenoperationen gewinnen. Die Wahl der Mittel kann eingeschränkt sein.

Berechne ohne Benutzung des Ta-schenrechners den Wert des Aus-drucks 23 + 32.

Mittlerer Schulabschluss Mathematik Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben

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Beschreiben II-III

Darstellung eines Sachverhalts oder Verfahrens in Textform unter Verwen-dung der Fachsprache. Es sollten hier-bei vollständige Sätze gebildet werden; hier sind auch Einschränkungen mög-lich (Beschreibe in Stichworten).

Beschreibe, wie sich A ändert, wenn x größer wird. Beschreibe, wie man den Flächenin-halt dieser Figur bestimmen kann.

Bestätigen I-II

Eine Aussage oder einen Sachverhalt durch Anwendung einfacher Mittel (rechnerisch wie argumentativ) sichern.

Bestätige, dass in diesem Fall die Wahrscheinlichkeit unter 10 % liegt.

Bestimmen, ermitteln II-III

Darstellung des Lösungsweges und Formulierung des Ergebnisses. Die Wahl der Mittel kann frei, unter Um-ständen auch eingeschränkt sein.

Bestimme die Lösung der Gleichung 12x x+ = .

Bestimme die Lösung der Gleichung 3x – 5 = 5x + 3 durch Äquivalenzumformungen. Bestimme grafisch den Schnittpunkt.

Beurteilen III

Zu einem Sachverhalt ein selbstständi-ges Urteil unter Verwendung von Fachwissen und Fachmethoden formu-lieren.

Beurteile, welche der beiden vorge-schlagenen Funktionen das ur-sprüngliche Problem besser darstellt.Beurteile die Diskussion von Yildiz und Sven.

Entscheiden II-III

Bei Alternativen sich begründet und eindeutig auf eine Möglichkeit festle-gen.

Entscheide, mit welchen der vorge-schlagenen Formeln man das Volu-men des abgebildeten Körpers be-rechnen kann. Entscheide, welcher Graph zu wel-cher Funktionsgleichung gehört.

Ergänzen, ver-vollständigen I

Tabellen, Ausdrücke oder Aussagen nach bereits vorliegenden Kriterien, Formeln oder Mustern füllen.

Ergänze die fehlenden Werte. Vervollständige die Tabelle.

Erstellen I-II

Einen Sachverhalt in übersichtlicher, meist fachlich üblicher oder vorgegebe-ner Form darstellen.

Erstelle eine Wertetabelle für die Funktion. Erstelle eine Planfigur.

Interpretieren II-III

Die Ergebnisse einer mathematischen Überlegung rückübersetzen auf das ursprüngliche Problem.

Interpretiere: Was bedeutet deine Lösung für die ursprüngliche Frage? Interpretiere die Bedeutung der Variablen d vor dem Hintergrund des Problems.

Konstruieren II-III

Anfertigung einer genauen Zeichnung, wobei die einzelnen Handlungsschritte einem mathematischen Konzept folgen, was in der Zeichnung erkennbar ist. Hilfsmittel werden benannt, müssen aber gegebenenfalls nicht alle verwen-det werden.

Konstruiere mit Hilfe von Zirkel und Lineal die Mittelsenkrechte der Stre-cke AB . Konstruiere mit Hilfe des Geodreiecks ein Dreieck ABC mit α = 25°, c = 4 cm, hc = 1,5 cm.

Skizzieren I-II

Grafische Darstellung der wesentlichen Eigenschaften eines Objektes, auch Freihandskizze möglich.

Skizziere den Verlauf des Graphen. Skizziere die Figur, die im Text be-schrieben wird.


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Vergleichen II-III

Nach vorgegeben oder selbst gewähl-ten Gesichtspunkten Gemeinsamkei-ten, Ähnlichkeiten und Unterschiede ermitteln und darstellen.

Vergleiche Umfang und Flächenin-halt der drei Figuren.

Zeichnen I-II

Sorgfältige Anfertigung einer grafischen Darstellung.

Zeichne den Graphen der Funktion.

Zeigen, nachweisen III

Eine Aussage, einen Sachverhalt nach gültigen Schlussregeln, Berechnungen, Herleitungen oder logi-schen Begründungen bestätigen.

Zeige, dass das betrachtete Viereck ein Drachenviereck ist.

Zuordnen I

Ohne tiefer gehende Erläuterung eine Verbindung zwischen zwei Listen her-stellen

Ordne die Füllgraphen den Gefäßen zu.

2 Aufgaben Die folgenden Aufgabenbeispiele für zentrale schriftliche Prüfungen zum mittleren Schulabschluss im Fach Mathematik werden entsprechend den Regelungen für die zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben in zwei Aufgabenformaten vorgestellt: Aufgaben, die ohne den Einsatz des Taschenrechners bearbeitet werden sollen, und Aufgaben, zu deren Lösung der Einsatz des Taschenrechners vorgesehen ist.

Die schriftliche Prüfung dauert 135 Minuten (3 Unterrichtsstunden), es sind insgesamt 100 Punkte zu erreichen.

Der Aufgabenteil I (ohne Taschenrechner) ist in 45 Minuten, einem Drittel der zur Verfügung stehenden Arbeitszeit, zu bearbeiten. Dementsprechend wird ihm etwa ein Drittel der Gesamtpunktzahl zugeordnet (34 von 100 Punkten).

Für den zweiten Aufgabenteil II, der aus drei Prüfungsaufgaben besteht und bei dem der Einsatz des Ta-schenrechners vorgesehen ist, stehen danach zwei von drei Unterrichtsstunden, also insgesamt 90 Minu-ten (30 Minuten pro Aufgabenteil) zur Verfügung. Dementsprechend werden ihm etwa zwei Drittel der Gesamtpunktzahl zugeordnet (dreimal jeweils 22 Punkte).

Die Aufgabenbeispiele enthalten neben der Aufgabenstellung auch Angaben zur erwarteten Leistung sowie zur Bewertung. Im Erwartungshorizont kursiv gedruckte Passagen sind Hinweise für die korrigie-rende Lehrkraft und keine Bestandteile der erwarteten Lösung.


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Bewertung Bei der Festlegung der Prüfungsnote gilt die folgende Tabelle.

Bewertungseinheiten Bewertung

≥ 95 E 1 ≥ 90 E 1 – ≥ 85 E 2+

≥ 80 E 2 ≥ 75 E 2– ≥ 70 E 3+ ≥ 65 E 3 ≥ 60 E 3– ≥ 55 E 4+ ≥ 50 E 4 ≥ 45 E 4– ≥ 42 G 2+ ≥ 39 G 2 ≥ 36 G 2–

≥ 34 G 3+ ≥ 32 G 3 ≥ 30 G 3– ≥ 28 G 4+ ≥ 26 G 4 ≥ 24 G 4– ≥ 22 G 5+ ≥ 20 G 5 ≥ 18 G 5– < 18 G 6

Bei erheblichen Mängeln in der sprachlichen Richtigkeit ist die Bewertung der schriftlichen Prüfungs-leistung je nach Schwere und Häufigkeit der Verstöße um bis zu einer Note herabzusetzen. Dazu gehören auch Mängel in der Gliederung, Fehler in der Fachsprache, Ungenauigkeiten in Zeichnungen sowie falsche Bezüge zwischen Zeichnungen und Text.


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Aufgaben, die ohne Einsatz des Taschenrechners bearbeitet werden

Erstes Beispiel zum hilfsmittelfreien Prüfungsteil

1. Von den jeweils angebotenen Lösungen ist immer genau eine richtig. Überlege und schreibe den zugehörigen Buchstaben A, B, C oder D in die Spalte „Lösung“. Eine Begründung wird nicht verlangt. (24P)

Aufgabe A B C D Lösung

a) 239 3 697 707 717 727

b) 7,2 1000 :10 720 7 200 0,00072 72

c) 242 42 2 32− ⋅ + = 432 358 210 190

d) 0,0045 2000⋅ = 0,9 0,009 90 9

e) 2 m5

= 40 cm 4 cm 120 cm 60 cm

f) 78

= 67,5 % 70 % 87,5 % 90 %

g) 44 44− − = –88 0 80 88

h) Wenn 5 625,=n dann ist n =

2 3 4 5

i) 2

2

124

= 3 16 9 4

j) ( ) ( )2 3 3 4x x− ⋅ + = 28 6 9x x 212 6 9x x 28 6 9x x 26 12 6x x

k) Ein Fußballfeld hat den Flächeninhalt von ca. … 1m² 1 a 1 ha 1 km²

l) Addiert man zu einer

Zahl 123

, so erhält man

196

. Wie heißt die Zahl?

173

162

166

566

m) 16 55 8

⋅ = 8058

58

75

2


9


n) Denke dir eine Zahl aaus. Addiere 3 und multipliziere das Ergebnis mit 3. Du erhältst:

a 3 9a 3 a 3a

o) Genau drei Wochen nach dem 12. März ist der… 30. März 31. März 1. April 2. April

p) Ein Beutel enthält 4 rote, 3 gelbe und 2 blaue Kugeln. Bestimme die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis „eine gelbe oder eine blaue Kugel ziehen“.

45

59

49

35

q) In einem Dreieck ABCsind die folgenden Winkelgrößen bekannt:

46α = ° , 44β = ° , 90γ = °

Das Dreieck ABC ist spitzwinklig.

Das Dreieck ABC ist rechtwinklig.

Das Dreieck ABC existiert nicht.

Das Dreieck ABC ist gleichschenklig.

r) Ein Würfel hat einen Oberflächeninhalt von 6 cm². Das Volumen dieses Würfels beträgt dann

1 cm³ 6 cm³ 6 cm³ 216 cm³

s) Welcher Rauminhalt ist der größte? 40 l 0,4 m³ 400 cm³ 4 dm³

t) Bei einer Umfrage werden 38 000 Personen befragt. 25 % gehen mehr als einmal im Monat ins Kino. Wie viele Personen sind das?

2 500 2 850 9 500 9 050

u)

Welche Gleichung gilt?

2 2u v w= +2 2 2v w u= − 2 2 2w u v= + 2 2u v w= +

w

u

v


10


v)

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, bei zweimaligem Drehen die Summe 15 zu erhalten?

38

316

264

12

w) Eine Dreiecksfläche mit der Grundseite 10 m und der Höhe 4 m ist …

kleiner als eine Quadrat-fläche mit a = 4 m.

gleich groß wie eine Rechteck-fläche mit a = 8 m und b = 3 m.

kleiner als eine Rechteck-fläche mit a = 8 m und b = 3 m.

größer als eine Rechteckfläche mit a = 8 m und b = 3 m.

x) Für eine Funktion g gilt:

( ) ( , 0)g x m x n m nDer Graph ist immer …

eine steigende Gerade.

eine fallende Gerade.

eine Gerade parallel zur x-Achse.

eine Parabel.

2. Bestimme die Lösungen der folgenden Gleichungen. (6P)

a) 2 ( 1,4) 6,2x x

b) ( 6) 16x x


11

c) 1 12 1x x

3. a) Gib die nachfolgenden Entfernungen in Zehnerpotenzschreibweise (wissenschaftliche Schreibweise) an. (2P)

Länge der Strecke Zehnerpotenzschreibweise

Entfernung Erde – Mond: 384 000 km km

Entfernung Erde – Sonne: 144 Millionen km km

Durchmesser eines Heliumatoms: 0,000 000 000 000 1 km km

b) Der Durchmesser eines Atomkerns beträgt 1410 m . Ermittle, wie viele Atomkerne man

nebeneinander legen müsste, um den Atomdurchmesser von 10

1 m10

zu erhalten. (2P)

Quellen: Realschulabschlussprüfung Hamburg 2012, Zweittermin (überarbeitet)

Beispielaufgaben für die schriftliche Überprüfung an Gymnasien. Klasse 10. Mathematik (überarbeitet)


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Erstes Beispiel zum hilfsmittelfreien Prüfungsteil – Erwartungshorizont

Lösungen Zuordnung, Bewertung

Aufgabe Lösung Buchstabe I II III

1a) 239 3⋅ = 717 C 1

b) 7,2 1000 :10⋅ = 720 A 1

c) 242 42 2 32− ⋅ + = 190 D 1

d) 0,0045 2000⋅ = 9 D 1

e) 2 m =5

40 cm A 1

f) 78

= 87,5 % C 1

g) 44 44− − = –88 A 1

h) Wenn 5 625,n = dann gilt für n = 4 C 1

i) 2

2

124

= 9 C 1

j) ( ) ( )2 3 3 4x x− ⋅ + = 28 6 9x x C 1

k) Ein Fußballfeld hat den Flächeninhalt von ca.

1 ha C 1

l) Addiert man zu einer Zahl 12

3, so erhält man

196

. Wie heißt die Zahl?

566

D 1

m) 16 55 8

⋅ = 2 D 1


13

n) Denke dir eine Zahl a aus. Addiere 3 und multipliziere das Ergebnis mit 3. Du er-hältst…

3 9a B 1

o) Es ist der 12. März. In genau drei Wochen ist der…

2. April D 1

p) Ein Beutel enthält 4 rote, 3 gelbe und 2 blaue Kugeln. Bestimme die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis „eine gelbe oder eine blaue Kugel ziehen“.

59

B 1

q) In einem Dreieck ABC sind die folgenden Winkelgrößen bekannt:

46α = ° , 44β = ° , 90γ = °

Das Dreieck ABC ist recht-

winklig. B 1

r) Ein Würfel hat 6 cm² Oberfläche. Sein Volumen beträgt … 1 cm³ A 1

s) Von vier Gefäßen wird der Rauminhalt be-stimmt. In welches passt am meisten hinein? 0,4 m³ B 1

t) Bei einer Umfrage werden 38 000 Personen befragt. 25 % gehen mehr als einmal ins Kino. Das sind … Personen.

9 500 C 1

u)

Welche Gleichung gilt?

2 2u v w A 1

w

u

v


14

v)

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei zweimaligem Drehen die Summe 15 zu er-halten?

264

C 1

w)Eine Dreieckfläche mit der Grundseite 10 m und der Höhe 4 m ist

kleiner als eine Rechteckfläche mit a = 8 m und

b = 3 m.

C 1

x) Für eine Funktion gilt: ( ) ( , 0)g x m x n m n .

Der Graph ist immer

eine fallende Gerade. B 1


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Lösungsskizze Zuordnung, Bewertung

I II III

2. a) 2 ( 1,4) 6,2 ausmultiplizieren

2 2,8 6,2 2,8

2 9

3 9 : 93

x x

x x

x x x

xx

b) ( )

( )

2

2

1,2

1,2

1

2

6 16 ausmultiplizieren

6 16 0

- -Formel : 6 und 16

6 6 162 2

3 9 168

2

x x

x x

p q p q

x

xxx

⋅ − =

− − =

= − = −

= − − ± − − −

= ± +== −

c) 1 12 1x x

Bei gleichen Zählern müssen auch die Nenner gleich sein, also:

2 1 | 21 | ( 1)

1

x x xxx 4 2

3.

a) Länge der Strecke Zehnerpotenz-schreibweise

Entfernung Erde – Mond: 384 000 km 53,84 10 km

Entfernung Erde – Sonne: 144 Millionen km 81,44 10 km

Durchmesser eines Heliumatoms: 0,000 000 000 000 1 km 131 10 km

2

b) 10 1410 14 41 0 :10 10 10 10 00010 000 Atomkerne müsste man nebeneinander legen,

um den Atomdurchmesser von 10

110

m zu erhalten. 2

Insgesamt 34 BWE 11 14 9


16

Zweites Beispiel zum hilfsmittelfreien Prüfungsteil



a) 4,004 t = 40,04 kg 4 004 kg 4 004 g 0,004004 kg

b) Ein Zug fährt um 15:32 Uhr in Hamburg-Altona ab und erreicht Bremen um 16:41 Uhr. Seine Fahrzeit beträgt

1 h 12 min 1 h 11 min 1 h 10 min 1 h 09 min

c) Ein Liter Milch kostet ungefähr

zwischen 0,01 € und

0,10 €.

zwischen 0,60 € und

2 €.

zwischen 6 € und

8 €.

zwischen 10 € und

15 €.

d) 9 532 ist teilbar durch 3 4 5 6

e) 0,1 0,1 1 0,1 0,01 0,001

f) Der Preis eines Pullovers ist um 40 % reduziert worden. Er kostet jetzt 42 €. Wie teuer war er vor der Preisreduzierung?

25,20 € 58,80 € 70 € 105 €

g) 110

Liter sind 100 cm³ 100 mm³ 10 ml 1 dm³

h) 925

= 25 % 2250

0,36 0,925

i) 50 122 100 xdann ist x =

12250

122100

61 244

j) Der Flächeninhalt eines Parallelogramms verdoppelt sich, wenn man

alle Seiten verdoppelt.

den Winkel verdoppelt.

genau eine Höhe

verdoppelt.

beide Höhen verdoppelt.


17


k)

In der Abbildung erkennst du, dass die Höhe des Würfels und die Höhe der Pyramide übereinstimmen. Dann gilt:

Volumen des WürfelsVolumen der Pyramide

12

13

21

31

l) 30,3 0,09 0,9 0,027 0,27

m) 3600 49 2(60 7) (60+7) (70–3) 2 260 7 267

n)

Die Summe der Innenwinkel in dieser Figur beträgt

720° 540° 480° 360°

o) Eine Schnecke kriecht mit einer Geschwindigkeit von etwa

1 mm pro Sekunde.

20 cm pro Sekunde.

1 cm pro Stunde.

50 m pro Stunde.

p) 0,0064 0,8 0,32 0,08 0,0032

q) Das Dreifache des Kehr-wertes einer Zahl x ist 3x 1

3x

3

3x 3

x

r) Brian wirft eine Münze und einen Spielwürfel.

Wie groß ist die Wahr-scheinlichkeit für das Ereignis „Kopf; ungerade Zahl“?

14

112

16

812


18


s) Bei einem Glücksspiel soll die Chance auf einen Gewinn 20 % betragen. Für welches Glücksspiel trifft dies zu?

Einen Würfel

zweimal hintereinan-der werfen.

Zwei gleiche Zahlen ge-

winnen.

Ein Los aus einer

Urne mit 100 Gewinnlosen

und 300 Nieten zie-

hen.

Einmal das Glücksrad

drehen. Grau gewinnt.

Einmal ein Glücksrad

drehen, wobei das

Glücksrad 2 Gewinn-

felder und 10 Verlustfelder

hat.

t) Für das Volumen eines Zylinders gilt:

²V r h . Dann gilt: r =

hV

Vh

2Vh

Vh

u) Der Wert des Terms ²a b für 3a und

2 b beträgt 11 4 –7 –8

v)

c

a

b

C

BA

In diesem Dreieck gilt:

sinsin

bc

ab

sinsin

ab

tantan

ba

w)

Welcher Anteil der HSV-Raute ist schwarz?

40 % 12

825

13


19

2. a) Bestimme die Lösung des folgenden Gleichungssystems rechnerisch. (3P)

b) Bestimme die Lösung des folgenden Gleichungssystems zeichnerisch. (3P)

. 2 3. 2 2 9

I y xII y x


20

3. Ordne die Wertetabellen den Graphen richtig zu. (3P)

x

y

-3 -2 -1 1 2 3

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

x

y

-3 -2 -1 1 2 3

1

2

3

4

5

6

7

8

x

y

-3 -2 -1 1 2 3

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

x

y

-3 -2 -1 1 2 3

1

2

3

4

5

6

7

8

x

y

-3 -2 -1 1 2 3

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

Graph 1 Graph 2 Graph 3 Graph 4 Graph 5

Wertetabelle A Wertetabelle B Wertetabelle C x y x y x y

–2 –6 –2 0 –2 6 0 –2 0 4 0 2 2 2 2 0 2 6

Die Wertetabelle A gehört zum Graphen ______.

Die Wertetabelle B gehört zum Graphen ______.

Die Wertetabelle C gehört zum Graphen ______.

4. In einer Urne befinden sich 4 Kugeln beschriftet mit den Ziffern von 1 bis 4. Es wird zweimal nacheinander gezogen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis

E: „Zuerst wird die Kugel mit der Ziffer 1 und dann die Kugel mit der Ziffer 2 gezogen“,

a) wenn die Kugel nach dem ersten Ziehen wieder zurückgelegt wird. (1P)

b) wenn die Kugel nach dem ersten Ziehen nicht wieder zurückgelegt wird. (1P)




21

Zweites Beispiel zum hilfsmittelfreien Prüfungsteil – Erwartungshorizont



1a) 4,004 t = 4 004 kg B 1

b) Ein Zug fährt um 15:32 Uhr in Hamburg-Altona ab und erreicht Bremen um 16:41 Uhr. Seine Fahrzeit beträgt

1 h 09 min D 1

c) Ein Liter Milch kostet ungefähr zwischen 0,60 € und 2 €. B 1

d) 9 532 ist teilbar durch 4 B 1

e) 0,1 0,1 0,01 C 1

f) Der Preis eines Pullovers ist um 40 % reduziert worden. Er kostet jetzt 42 €. Wie teuer war er vor der Preisreduzierung?

70 € C 1

g) 110

Liter sind 100 3cm A 1

h) 925

0,36 C 1

i) 50 122 100 x⋅ = ⋅ ; dann ist x = 61 C 1

j) Der Flächeninhalt eines Parallelogramms verdoppelt sich, wenn man

genau eine Höhe verdoppelt. C 1


22



k)

In der Abbildung erkennst du, dass die Höhe des Würfels und die Höhe der Pyramide übereinstimmen. Dann gilt:

Volumen des Würfels =Volumen der Pyramide

31

D 1

l) 30,3 = 0,027 C 1

m) 3600 49+ = 2 260 7 C 1

n)

Die Summe der Innenwinkel in dieser Figur beträgt

540° B 1

o) Eine Schnecke kriecht mit einer Geschwindigkeit von etwa

1 mm pro Sekunde. A 1

p) 0,0064 0,08 C 1

q) Das Dreifache des Kehrwertes einer Zahl xist

3x

D 1

r) Brian wirft eine Münze und einen Spielwürfel. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis „Kopf; ungerade Zahl“?

14

A 1


23



s) Bei einem Glücksspiel soll die Chance auf einen Gewinn 20 % betragen. Für welches Glücksspiel trifft dies zu?

Einmal das Glücksrad drehen.

Grau gewinnt. C 1

t) Für das Volumen eines Zylinders gilt: ²V r h . Dann gilt: r =

Vh

D 1

u) Der Wert des Terms ²a b für 3a und 2 b beträgt

11 A 1

v)

c

a

b

C

BA

In diesem Dreieck gilt

sinsin

ab C 1

w)

Welcher Anteil der HSV-Raute ist schwarz?

825

C 1


24


I II III

2. a)

Es wird nur eine rechnerische Lösungsmethode erwartet.

Lösen über Gleichsetzungsverfahren: Auflösen der Gleichungen nach y:

. 2 3 2

.2 2 9 2 : 2

. 3 2. 4,5

I y x x

II y x x

I y xII y x

Gleichsetzen und auflösen nach x: 3 2 4,5

3 4,5 31,5

x x x

xx

x-Wert einsetzen in II zur Bestimmung von y: 4,5 1,5 6y

Lösen über Additionsverfahren: . 2 2 9 ( 1). 2 3

. 2 2 9. 2 3

I y xII y x

I y xII y x

Addieren und auflösen nach y: 6 1

6

y

yy-Wert einsetzen in II zur Bestimmung von x:

6 2 3 6

2 3 : 2

1,5

x

x

xLösen über Einsetzungsverfahren:

. 2 3 2. 2 2 9

. 3 2. 2 2 9

I y x xII y x

I y xII y x

Einsetzen in II und auflösen nach x: 2 3 2 2 9 ausmultiplizieren

6 4 2 9 6

2 3 : 21,5

x x

x x

xx

x-Wert einsetzen in I zur Bestimmung von y: 3 2 1,5 6y 3


25


I II III

2. b)

Zeichnerische Lösung

. 2 3 2

.2 2 9 2 : 2

. 2 3. 4,5

I y x x

II y x x

I y xII y x

3

3. Die Wertetabelle A gehört zum Graphen 3.

Die Wertetabelle B gehört zum Graphen 5.

Die Wertetabelle C gehört zum Graphen 4. 3

4. a) 1 1 1

4 4 16P E

b) 1 1 14 3 12

P E 2


y

x

1,56

xy


26

Drittes Beispiel zum hilfsmittelfreien Prüfungsteil



a) 0,1 0,1 0,2 0,1 0,001 0,01

b) 1,3 cm = 0,0013 m 0,13 m 13 mm 130 mm

c) 291 ist teilbar durch 3 6 9 12

d) Die Hauptsaison eines Hotels beginnt am 15. Juni und en-det am 31. August desselben Jahres. Das sind

66 Tage 78 Tage 90 Tage 102 Tage

e) 1 kg8

= 80 g 125 g 0,8 kg 12,5 g

f) 132 :12 : 24x

Dann ist x = 244 254 264 274

g) 2( 2) 16x

Dann gilt:

8oder

8

x

x

2oder

6

x

x

2oder

6

x

x

4oder

4

x

x

h)

Welcher Flächenanteil ist grau?

13

12

712

1436

i) Mit 20 % Nachlass kostet eine Ledertasche 40 €. Der Originalpreis war

48 € 50 € 54 € 60 €

j) u

v

w

In diesem Dreieck gilt:

cos vw

tan vw

sin wu

cos wu

k) Ein Kreissektor hat einen Mittelpunktswinkel von 45°. Sein Flächenanteil am Vollkreis beträgt dann

50 % 45 % 25 % 12,5 %


27


l) Der Wert von 9 ist nicht

definiert. ist 3. ist 13

. ist 3.

m) Man wirft einen Würfel zweimal hintereinander.

Die Wahrscheinlichkeit für „Pasch“ (d. h. zweimal hin-tereinander dieselbe Zahl zu würfeln) beträgt

336

136

112

16

n) Ein HVV-Bus hat eine Länge von ca. 2 m 80 m 18 m 780 m

o) Es ist 16:57 Uhr. 141 Stunden später ist es 18:07 Uhr 17:52 Uhr 18:12 Uhr 18:17 Uhr

p) Genau vier Symmetrieachsen hat jeder Kreis. jedes

Quadrat. jedes

Rechteck. jedes Paral-lelogramm.

q) Es sei g || h. Wie groß ist die Länge x in der folgenden Figur?

3x 4x 5x 6x

r) Welches ist die kleinste Zahl?

41,4 10 0,00014 0,000014 21,4 10

s) Ein Kreis hat einen Radius von 3 cm.

Sein Flächeninhalt beträgt dann ungefähr

100 cm² 50 cm² 30 cm² 20 cm²

t) Das Volumen eines Kegels berechnet man mit Hilfe der Formel

213V r h .

Dann gilt: h =

3²V

r²

3rV

3²

Vr 3 ²

Vr

u) Ein Kühlschrank hat ein Volumen von ca. 180 dm³ 1,5 dm³ 5 m³ 300 cm³

v) 4 ² 12 9x x 4 ( 3)²x (2 3)²x 2 ( 3)²x 4 ( 1,5)²x


28


a) ( 2) ² 4 12x x x x

b) 2 1 3x

c) 4 2 16x x x


29

3. Bestimme den Flächeninhalt der grauen Fläche in Abhängigkeit von der Länge a. (2P)

4. Jeder der abgebildeten Behälter wird gleichmäßig mit der gleichen Wassermenge pro Zeiteinheit gefüllt. (4P)

Die folgenden Füllgraphen geben die Höhe h des Wasserstandes in Abhängigkeit von der Öffnungszeit t der Wasserleitungen an.

Gib an, welches Diagramm zu welchem der Behälter B1, B2, B3 und B4 gehört.

Quellen: Realschulabschlussprüfung Hamburg 2011, Dritttermin (überarbeitet) Realschulabschlussprüfung Hamburg 2007, Zweittermin (überarbeitet) Beispielaufgaben für die schriftliche Überprüfung an Gymnasien. Klasse 10. Mathematik (überarbeitet)

a

I II III IV

Zeit in min Zeit in min Zeit in min

Höh

e in

dm

Höh

e in

dm

Höh

e in

dm

Höh

e in

dm

V

Zeit in min

Höh

e in

dm

Höh

e in

dm

VI

Zeit in min


30

Drittes Beispiel zum hilfsmittelfreien Prüfungsteil – Erwartungshorizont



1a) 0,1 0,1 0,01 D 1

b) 1,3 cm = 13 mm C 1

c) 291 ist teilbar durch 3 A 1

d) Die Hauptsaison eines Hotels beginnt am 15. Juni und endet am 31. August desselben Jahres. Das sind

78 Tage B 1

e) 1 kg8

= 125 g B 1

f) 132 : 12 = x : 24

Dann ist x = 264 C 1

g) 2( 2) 16x

Dann gilt:

2oder

6

x

xB 1

h)

Welcher Flächenanteil ist grau?

13

A 1

i) Mit 20 % Nachlass kostet eine Ledertasche 40 €. Der Originalpreis war 50 € B 1

j) u

v

w

In diesem Dreieck gilt

sin wu

ε = C 1

k) Ein Kreissektor hat einen Mittelpunktswinkel von 45°. Sein Flächenanteil am Vollkreis beträgt dann

12,5 % D 1


31



l) Der Wert von 9 ist nicht definiert. A 1

m) Man wirft einen Würfel zweimal hinter-einander.

Die Wahrscheinlichkeit für „Pasch“ (d.h. zweimal hintereinander dieselbe Zahl zu würfeln) beträgt

16

D 1

n) Ein HVV-Bus hat eine Länge von ca. 18 m C 1

o) Es ist 16:57 Uhr. 141 Stunden später ist es 18:12 Uhr C 1

p) Genau vier Symmetrieachsen hat … jedes Quadrat. B 1

q) Es sei g || h. Wie groß ist die Länge x in der folgenden Figur?

6x D 1

r) Welches ist die kleinste Zahl? 21,4 10 D 1

s) Ein Kreis hat einen Radius von 3 cm.

Sein Flächeninhalt beträgt dann ungefähr 30 cm² C 1

t) Das Volumen eines Kegels berechnet man mit Hilfe der Formel

213V r h .

Dann gilt: h =

3²

Vr

C 1

u) Ein Kühlschrank hat ein Volumen von ca. 180 dm³ A 1

v) 4 ² 12 9x x (2 3)²x B 1


32

Lösungsskizze Zuordnung Bewertung

I II III

2. a) 2 2

( 2) ² 4 12 ausmultiplizieren

2 ² 4 12 4

6 12 : 6

2

x x x x

x x x x x x

x

x 2

b) 2 1 3 x

Wenn die Wurzel den Wert 3 hat, hat das, was unter der Wurzel steht (der sogenannte Radikand), den Wert 9.

2 1 9 | +12 10 | : 2

5

xxx 1 1

c) 2

2

2

1,2

1,2

1

2

4 2 16 ausmultiplizieren

4 2 16 16 2

6 16 0- -Formel nutzen : 6 und 16

6 6 162 2

3 9 168

2

x x x

x x x x

x xp q p q

x

xxx 1 1

3. Durch Unterteilung der Gesamtfläche in vier gleichschenklige Dreiecke, von denen sich jeweils zwei zu einem Quadrat mit der Seitenlänge 2a ergänzen, und ein weiteres Quadrat in der Mitte der Figur mit der Seitenlänge 2a ergibt sich der Flächeninhalt von 23 (2 )² 3 4 12 ².a a a

In der Lösung des Prüflings muss deutlich werden, wie vorgegangen wurde, z. B. textlich oder durch Hilfslinien.

Wird eine genaue Anzahl Kästchen durch Auszählen bestimmt, wird ein Punkt vergeben. 2

4. B1 III

B2 V

B3 IV

B4 VI 4



33

Viertes Beispiel zum hilfsmittelfreien Prüfungsteil



a) Welche Zahl ist die größte?

0,2111 0,1212 0,21212 0,12121

b) 1 14 2

+ = 26

34

0,6 2,6

c) 34

= 3,4 0,75 0,34 0,3

d) 0,202 = 20,2 % 202 % 2,2 % 2,02 %

e) 1 ml = 0,001 l 0,1 l 0,01 l 0,0001 l

f) 3 ( 1) 6x⋅ + =Dann gilt für x:

0,5x = 1x = 2x = 3x =

g) 40 % von 40 € sind 4 € 18 € 10 € 16 €

h) ( 1) ( 1)x x+ ⋅ − = 2x 2 1x + 2 1x − 2x

i) Schreibe in Kurzform als Gleichung: „Das Produkt aus einer Zahl mit der um 2 ver-größerten Zahl ist 15.“

( 2) 15x x 2 15x x⋅ + = 15 2x x⋅ = + 2 2 15x + =

j) 38

von 80 € sind 24 € 20 € 64 € 30 €

k) Richtig ist, dass jedes Quadrat auch ein Rechteck

ist.

jedes Rechteck auch ein

Quadrat ist.

jedes Rechteck

zwei unter-schiedlich

lange Diago-nalen hat.

in jedem Rechteck die Diagonalen senkrecht

aufeinander stehen.

l) Ein Hühnerei wiegt ungefähr 2 kg 1 kg 0,5 g 45 g

m) 4 Freunde treffen sich. Jeder gibt jedem die Hand, dann werden

4-mal die Hände ge-schüttelt.





34


n) Eine Gerade hat eine Steigung von 100 %. Der Steigungswinkel beträgt dann

90° 45° 50° 100°

o) Die beiden Geraden zu

( ) 2 2( ) 2 2

f x xg x x

haben einen Schnittpunkt

in 1 0 .

haben einen Schnittpunkt

in 0 2 .

haben die gleichen

y-Achsen-abschnitte.

sind parallel.

p) Die Gleichung 2 21 1x x x+ − = +

hat die Lösung x = 1. ist unlösbar. hat die

Lösung x = 2.hat die

Lösung x = 0.

q)

Welche Gleichung gilt für die Raumdiagonale d des Quaders?

2d e 2 2 2d b e 2 2 2d a c 2 2 2d a b

r) Ein Auto wiegt ungefähr 1 g 1 kg 1 t 1 cm

s) Die Summe aller Primzahlen, die kleiner als 12 sind, beträgt

28 29 37 17

t) Wie viele dieser Gleichungen sind immer richtig?

33 3

22 2 3

y y y yx x

c c c c c ca b a b a b

+ + =+ =+ + + = ++ − + = +

eine zwei drei keine

u) Es sei g || h. Wie groß ist die Länge y in der folgenden Figur?

3y 4y 5y 6y


35


v) In einer Urne sind 5 Ku-geln, darunter genau 3 rote. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, alle roten Kugeln bei drei-maligem Ziehen nach-einander ohne Zurück-legen zufällig zu ziehen?

110

27125

310

35

w)

Im obigen Dreieck gilt nicht:

sin ba

β = cos ba

γ = tan ca

γ = tan bc

β =

2. Kartenhäuser

Höhe 1 Höhe 2 Höhe 3

Gib die fehlenden Werte in der Tabelle an. (2P)

Höhe des Kartenhauses 1 2 3 4 6

Anzahl der benutzten Karten 2 7 15

3. Bereits Archimedes erkannte, dass die Volumina von Kegel, Kugel und Zylinder bei gleichem Radius und gleicher Höhe in einem ganzzahligen Verhältnis stehen. Er fand das Ergeb-nis so schön, dass er sich die Figur auf seinem Grabstein wünschte.

Bestimme das Verhältnis der Volumina von Kugel und Kegel als Verhältnis zweier ganzer Zahlen. (2P)

Hinweis: Die folgenden Volumenformeln könnten hilfreich sein.

343KugelV r 21

3KegelV r h 2ZylinderV r h

a b

c β

γ


36


a) 3 2 4x − =

b) 2 ( 3) 0x x⋅ − =

c) 1 6x x


37

5. Eine quadratische Funktion hat die Gleichung ( ) ( )²f x x d mit d > 0. Entscheide, welcher der abgebildeten Graphen zu der Funktionsgleichung gehört. (2P)

x

y

Graph 1

x

y

Graph 2

x

y

Graph 3

x

y

Graph 4

Quellen: Realschulabschlussprüfung Hamburg 2010, Ersttermin (überarbeitet) Realschulabschlussprüfung Hamburg 2008, Dritttermin (überarbeitet) schriftliche Überprüfung an Gymnasien 2009, Zweittermin (überarbeitet) Beispielaufgaben für die schriftliche Überprüfung an Gymnasien. Klasse 10. Mathematik (überarbeitet)


38

Viertes Beispiel zum hilfsmittelfreien Prüfungsteil – Erwartungshorizont



a) Welche Zahl ist die größte? 0,21212 C 1

b) 1 14 2

+ = 34

B 1

c) 34

= 0,75 B 1

d) 0,202 = 20,2 % A 1

e) 1 ml = 0,001 l A 1

f) 3 ( 1) 6x⋅ + = 1x = B 1

g) 40 % von 40 € sind 16 € D 1

h) ( 1) ( 1)x x+ ⋅ − = 2 1x − C 1

i) Schreibe in Kurzform als Gleichung:

„Das Produkt aus einer Zahl mit der um 2 vergrößerten Zahl ist 15.“

( 2) 15x x A 1

j) 38

von 80 € sind 30 € D 1

k) Richtig ist, dass jedes Quadrat auch ein Recht-

eck ist. A 1

l) Ein Hühnerei wiegt ungefähr 45 g D 1

m) 4 Freunde treffen sich. Jeder gibt jedem die Hand, dann werden

6-mal die Hände geschüttelt. B 1


39



n) Eine Gerade hat eine Steigung von 100 %. Der Steigungswinkel beträgt dann 45° B 1

o) Die beiden Geraden zu 1 : 2 2g y x= −

2 : 2 2g y x= +sind parallel. D 1

p) Die Gleichung 2 21 1x x x+ − = + hat die Lösung

x = 2. C 1

q)

Es gilt:

2 2 2d b e B 1

r) Ein Auto wiegt ungefähr 1 t C 1

s) Die Summe aller Primzahlen, die kleiner als 12 sind, beträgt: 28 A 1

t) Wie viele dieser Gleichungen sind richtig?

33 3

22 2 3

y y y yx x

c c c c c ca b a b a b

+ + =+ =+ + + = ++ − + = +

eine A 1

u) Es sei g || h. Wie groß ist die Länge y in der folgenden Figur?

y = 5 C 1


40



v) In einer Urne sind 5 Kugeln, darunter genau 3 rote. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit alle roten Kugeln bei dreimaligem Ziehen nacheinander ohne Zurücklegen zufällig zu ziehen?

110

A 1

w)

Im obigen Dreieck gilt nicht:

tan ca

γ = C 1

a b

c β

γ


41


I II III

2.

Höhe des Kartenhauses 1 2 3 4 6

Anzahl der benutzten Karten 2 7 15 26 57

2

3. Es gilt:

2h r

Damit gilt auch:

3 3 3

2 2 2

4 4 4 44 23 3 3 3

1 1 1 2 2 12 2 3 3 3 3

Kugel

Kegel

r r rVV r h r r r r

Für das gesuchte Verhältnis gilt somit:

: 2 :1Kugel KegelV V

Bearbeitet der Prüfling diese Aufgabe anhand eines Zahlenbeispiels, wird ein Punkt vergeben. 2


42


I II III

4. a) 3 2 4 2

3 6 : 32

x

xx 1

4. b) 2 ( 3) 0x x⋅ − =Ein Produkt ist genau dann 0, wenn mindestens einer seiner Faktoren 0 ist.

Es muss also gelten: 2x = 0 oder x – 3 = 0.

Die Gleichung hat somit die Lösungen x = 0 oder x = 3.

Alternative Lösung mithilfe der p-q-Formel:

2

2

2

1,2

1,2

1,2

1 2

2 3 0 |ausmultiplizieren

2 6 0 : 2

3 0 0- -Formel : 3 und 0

3 3 02 2

3 92 43 32 26 3 02

x x

x x

x xp q p q

x

x

x

x x 2

c)2

2

2

1,2

1,2

1,2

1,2

1 2

1 6 |ausmultiplizieren

6 6

6 0- -Formel : 1 und 6

1 1 62 2

1 1 62 4 11 1 242 4 41 52 26 43 22 2

x x

x x

x xp q p q

x

x

x

x

x x 2


43


I II III

5. Es gilt 2 2( ) ( ) 0 0f d d dDer Punkt 0d , der auf der x-Achse liegt, ist also ein Punkt der Parabel. Damit kommen Graph 2 und Graph 4 nicht mehr infrage, weil hier kein Punkt auf der x-Achse liegt. Wegen 0d gilt 0d . Der Punkt 0d liegt also im negativen Bereich der x-Achse. Damit kommt nur noch Graph 1 infrage. 2



44

Leitidee Daten und Zufall

Chuck your luck

Fritz, George und Özgür treffen sich zum Würfelspiel „Chuck your luck“. Es gibt einen Spielplan, der die Felder 1 bis 6 aufweist. Es wird ein Einsatz von jeweils einem Euro verabredet. Dann wird mit drei Würfeln gewürfelt.

Zeigt ein Würfel die gesetzte Augenzahl, so bekommt man den Einsatz von 1 Euro zurück und erhält zusätzlich einen weiteren Euro als Gewinn ausgezahlt.

Zeigen zwei Würfel die gesetzte Augenzahl, so bekommt man neben dem Einsatz von 1 Euro weitere 2 Euro Gewinn ausgezahlt.

Zeigen alle drei Würfel die gesetzte Augenzahl, so bekommt man neben dem Einsatz weitere 3 Euro ausgezahlt.

Zeigt kein Würfel die gesetzte Augenzahl, so ist der Einsatz verloren.

Fritz, George und Özgür setzen auf dem Spielplan jeweils 1 Euro auf das Feld 6 (siehe Abbildung) und würfeln dann jeweils mit drei Würfeln gleichzeitig. Fritz würfelt die Augenzahlen 1, 3 und 4. George würfelt – wie in der Abbildung dargestellt – die Augenzahlen 4, 6 und 6. Özgür würfelt drei Sechsen.

a) Gib jeweils den Gewinn bzw. den Verlust von Fritz, George und Özgür an. (3P)

Bei einem weiteren Versuch setzt Fritz auf die 5. Er wirft die Würfel nacheinander. Der erste Würfel zeigt eine 5, der zweite Würfel zeigt auch eine 5.

b) • Gib die Wahrscheinlichkeit an, dass der dritte Würfel ebenfalls eine 5 zeigt. • Gib auch die Wahrscheinlichkeit an, dass der dritte Würfel keine 5 zeigt. (3P)

c) Nimm an, dass die Würfel jetzt nicht gleichzeitig, sondern nacheinander geworfen werden. (3P)

• Begründe – z. B. mithilfe eines Baumdiagramms – dass es bei zwei Würfeln insgesamt 36 verschiedene Ergebnisse gibt.

• Begründe auch, dass es bei drei Würfeln insgesamt 216 verschiedene Ergebnisse gibt.


45

George, der auf „6“ gesetzt hatte, überlegt, mit welchen der 216 in c) betrachteten Würfelergebnisse er 2 Euro gewinnen, also mit seinem Einsatz insgesamt 3 Euro zurückbekommen würde.

Zwei mögliche Gewinnergebnisse sind:

1. Würfel 2. Würfel 3. Würfel

1. Beispiel 4 6 6

2. Beispiel 6 1 6

d) Begründe, dass es beim Werfen mit drei Würfeln exakt 15 Möglichkeiten gibt, genau zwei Sechsen zu bekommen. (4P)

e) Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass George 2 € gewinnt, wenn er auf die Sechs gesetzt hat. (2P)

Es gibt genau eine Möglichkeit, drei Sechsen zu erzielen; es gibt exakt 15 Möglichkeiten, zwei Sechsen zu bekommen und es gibt genau 75 Möglichkeiten, eine Sechs zu bekommen.

Özgür sagt: "Es gibt drei verschiedene Möglichkeiten zu gewinnen, nämlich 1 €, 2 € oder 3 €, aber nur eine Möglichkeit zu verlieren, nämlich den Verlust des Einsatzes. Dann müsste man bei 'Chuck your luck' auf Dauer häufiger gewinnen als verlieren."

f) Beurteile Özgürs Aussage "Dann müsste man bei 'Chuck your luck' auf Dauer häufiger gewinnen als verlieren." (4P)

g) Ermittle, auf welchen Betrag man den Gewinn bei drei Sechsen ändern müsste, damit man langfristig im Mittel genauso viel verliert wie gewinnt. (3P)

Quelle: Realschulabschlussprüfung Hamburg 2010, Haupttermin (überarbeitet)


46

Chuck your Luck


I II III

a) Fritz hat nicht gewonnen. Dementsprechend hat er auch seinen Einsatz von 1 € verloren.

George bekommt zusammen mit seinem Einsatz 3 Euro ausgezahlt.

Alternative Formulierung: Georg hat 2 € gewonnen.

Özgür bekommt zusammen mit seinem Einsatz insgesamt 4 Euro ausgezahlt.

Alternative Formulierung: Özgür hat 3 € gewonnen. 3

b) Bei sechs möglichen Ergebnissen ist die Wahrscheinlichkeit, dass die 5 fällt:

1("5")6

P

Die Wahrscheinlichkeit, keine 5 zu würfeln, beträgt:

5("keine 5")6

P3


47


I II III

c) • Im ersten Wurf gibt es sechs Möglichkeiten. Zu jeder der sechs Möglichkeiten gibt es im zweiten Wurf wieder sechs Möglichkeiten. Insgesamt gibt es also bei zwei Würfeln 6 6 36 Möglichkeiten.

• Bei drei Würfeln gibt es zu jeder der bisherigen 36 Möglichkeiten wiederum sechs Möglichkeiten, sodass sich hier insgesamt 36 6 216 egeben.

Das Baumdiagramm ist nicht unbedingt erforderlich. 3


48


I II III

d) Die Möglichkeiten, genau zwei Sechsen beim Werfen von 3 Würfeln zu würfeln, sind:

Der erste Würfel zeigt eine 6 und der zweite ebenso: (6, 6, 1), ..., (6, 6, 5), also 5 Möglichkeiten,

der erste Würfel zeigt eine 6 und der dritte auch: (6, 1, 6), … (6, 5, 6), also wieder 5 Möglichkeiten,

der zweite Würfel zeigt eine 6 und der dritte ebenso: (1, 6, 6), … , (5, 6, 6), also ebenso 5 Möglichkeiten.

Es gibt also 15 Möglichkeiten, mit drei Würfeln genau zwei Sechsen zu würfeln.

Schneller geht es über den Ansatz 3

5 15.2

⋅ = Dies wird jedoch von den

Schülerinnen und Schülern nicht erwartet. 4

e) Anzahl der günstigen Fälle 15(2 €) 0,0694 6,94 %Anzahl der möglichen Fälle 216

P = = = ≈

Die Wahrscheinlichkeit zwei Euro zu gewinnen, wenn George auf die Sechs setzt, ist 15

216 .

Die Angabe des Prozentsatzes oder der Dezimalzahl ist nicht erforderlich. 2

f) Es gibt ein Ergebnis, das zum Hauptgewinn führt (drei Sechsen).

Es gibt 15 Ergebnisse, bei denen man 2 € gewinnt (siehe Aufgabe d)).

Es gibt 75 Ergebnisse, bei denen man 1 € gewinnt (genau eine Sechs).

Das sind insgesamt 91 Würfelergebnisse, die zum Gewinn führen.

Die Wahrscheinlichkeit etwas zu gewinnen, beträgt:

91 0,42129... 42,13 %216

.

Da die Wahrscheinlichkeit zu gewinnen kleiner ist als die Wahrscheinlichkeit zu verlieren, hat Özgür nicht Recht.

Alternative:

Die Wahrscheinlichkeit, beim Werfen von 3 Würfeln keine Sechs zu erzielen,

beträgt 5 5 5 125 0,57870...6 6 6 216

.

Dann ist die Wahrscheinlichkeit, etwas zu gewinnen:

1251 0,42129... 42,13 %216

.

Da die Wahrscheinlichkeit zu gewinnen kleiner ist als die Wahrscheinlichkeit zu verlieren, hat Özgür nicht Recht. 4


49


I II III

g) Der Erwartungswert für den Gewinn soll den Wert 0 haben.

Sei x der Gewinn bei dem Ergebnis "drei Sechsen". Dann gilt:

1 15 75 216 1 15 752 1 ( 1) 0 zusammenfassen216 216 216 216

1 5 50 216 54 54

1 5 216216 54

20

x

x

x

x

Man müsste also bei drei Sechsen einen Gewinn von 20 € bekommen, damit man langfristig im Mittel genauso viel gewinnt wie verliert.

3



50


Schwarzfahrer beim HVV

Der Hamburger Verkehrsverbund (HVV) führt stichprobenartig Kontrollen seiner Fahrgäste durch. Ist jemand ohne gültigen Fahrausweis unterwegs, so bezeichnet man ihn als „Schwarzfahrer“. Alle anderen Fahrgäste nennen wir hier „ehrlich“.

Innerhalb des Hamburger Verkehrsverbundes werden oft Fahrkartenkontrollen durchgeführt. Die jewei-ligen Anzahlen der kontrollierten Fahrgäste und der Schwarzfahrer in den unterschiedlichen öffentlichen Verkehrsmitteln an einem bestimmten Tag sind dem folgenden Diagramm zu entnehmen.

a) • Berechne die Anzahl der an diesem Tag insgesamt kontrollierten Fahrgäste.

• Berechne die Gesamtzahl der erwischten Schwarzfahrer.

• Bestätige durch Rechnung, dass der Anteil der erwischten Schwarzfahrer an der Gesamtzahl der kontrollierten Fahrgäste ca. 3 % beträgt. (4P)

b) Bestätige mithilfe einer Rechnung, dass die folgende Aussage über die Ergebnisse der dargestellten Fahrkartenkontrolle richtig ist:

„Der Anteil der Schwarzfahrer in der U-Bahn ist größer als der Anteil der Schwarzfahrer in der S-Bahn.“ (3P)


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c) Von den kontrollierten Fahrgästen werden zwei Personen zufällig ausgewählt.

• Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass beide Schwarzfahrer sind.

• Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass genau einer der beiden Schwarzfahrer ist. (7P)

In der Zeitung steht:

Insgesamt 102 000 mal wurden im Jahr 2005 Fahrgäste ohne gültigen Fahrausweis angetroffen. Bei etwa 3,6 Millionen kontrollierten Fahrgästen bedeutet dies eine „Schwarzfahrerquote“ von 2,8 Prozent.

d) Bestimme auf der Grundlage dieser Meldung, wie viele ehrliche Fahrer ein Kontrolleur bei der Kontrolle von 350 Fahrgästen erwarten darf. (3P)

Die Schwarzfahrerquote aus der Zeitungsmeldung weicht offenbar von der in Aufgabenteil a) angegebenen ab.

e) Interpretiere: Welchen Grund könnte die Abweichung haben? (2P)

Im Internet findet sich:

Von rund 630 Millionen Fahrgästen in Bahnen und Bussen des HVV im Jahr 2006 wurden nur 1 Prozent kontrolliert, auf diese Weise wurden lediglich knapp 200 000 Schwarzfahrer ertappt.

f) Beurteile diese Aussage im Zusammenhang mit der obigen Zeitungsmeldung. (3P)

Quelle: Realschulabschlussprüfung Hamburg 2010, Zweittermin (überarbeitet)


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Schwarzfahrer beim HVV


I II III

a) • 1 954 3 851 2 363 1 822 9 990An diesem Tag wurden insgesamt 9 990 Fahrgäste kontrolliert.

• 48 146 81 39 314 An diesem Tag wurden unter den kontrollierten Fahrgästen insgesamt 314 Schwarzfahrer erwischt.

• 314 0,0314... 3 %9990

.

Der Anteil der Schwarzfahrer betrug an diesem Tag etwa 3 %. 4

b) Anteil der Schwarzfahrer in der U-Bahn: 146 0,0379... 3,79 %

3851.

Anteil der Schwarzfahrer in der S-Bahn: 81 0,0342... 3,43 %2363

.

Die Aussage ist – bezogen auf die vorliegende Kontrolle – richtig. 3


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I II III

c) Da es ca. 3 % Schwarzfahrer gibt, beträgt die Wahrscheinlichkeit, einen aus den kontrollierten Personen auszuwählen, ebenfalls 3 % oder 0,03.

Es gilt:

(Person ist kein Schwarzfahrer.) 1 (Person ist Schwarzfahrer.)1 0,030,97

PP

• (Beide Personen sind Schwarzfahrer.) 0,03 0,03 0,0009P

•(Genau eine der beiden Personen ist Schwarzfahrer.)0,03 0,97 0,97 0,030,0582

P

6 1


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I II III

d)

350 – 10 = 340

Alternative:

Der Anteil der ehrlichen Fahrgäste betrug im Jahr 2005

100 % – 2,8 % = 97,2 %.

97,2 % von 350: 0,972 350 = 340,2 340 .

Unter 350 Fahrgästen sind nach dieser Statistik etwa 340 ehrliche Fahrgäste zu erwarten.

Anzahl aller Fahrgäste

Anzahl der Schwarzfahrer

3 600 000 102 000

1 102 000

3 600 000

350 9,916 10

3

e) • Die Stichprobe aus Aufgabenteil a) könnte an einem Tag erhoben worden sein, der aus irgendeinem Grund eine besondere Eigenschaft aufweist (z. B. Hafengeburtstag).

• Die Stichprobe aus Aufgabenteil a) könnte in Stadtteilen durchgeführt worden sein, in denen die Schwarzfahrerquote vom Hamburger Durchschnitt abweicht.

• Es könnten Zähl- oder Rechenfehler vorliegen.

Eine dieser Interpretationen oder eine andere plausible Deutung wird erwartet. 2

f) 0,01 630 000 000 6 300 000

Es wurden also ca. 6 300 000 Personen kontrolliert.

Für die Schwarzfahrerquote ergibt sich: 200 000 0,031746... 3 %6 300 000

Das entspricht ungefähr der Angabe aus der Zeitungsmeldung (2,8 %).

Andere Argumentations- und Berechnungswege können auch korrekt sein. 3



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Miniatur Wunderland

Die Besucherattraktion „Miniatur Wunderland“ in Hamburg bietet den Besuchern einen besonderen Service. Auf der Internetseite des Unternehmens kann man sich über die zu erwartenden Wartezeiten am gewünschten Besuchstag informieren.

Eine Grafik zeigt dabei für jeden Tag des Jahres Erfahrungswerte für die ungefähre Wartezeit eines Be-suchers von der Ankunft an der Warteschlange bis zum Ticketkauf und dem dann stattfindenden Einlass.

Familie Mustermann möchte das "Wunderland" besuchen. Die neben-stehende Grafik gibt die geschätzten Wartezeiten am Besuchstag in Abhän-gigkeit von der Uhrzeit der Ankunft an.

Zum Beispiel muss man bei Ankunft um 10:30 Uhr 60 Minuten in der Schlange stehen.

Das "Wunderland" hat zum Beispiel dienstags von 9:30 Uhr bis 19:00 Uhr geöffnet, dann spätestens muss man die Ausstellungsräume verlassen. Der letzte Einlass ist eine Stunde früher, also um 18 Uhr.

Die Familie möchte nicht länger als 15 Minuten in der Schlange warten.

a) Gib an, wann die Familie dann ankommen sollte. (3P)

b) Berechne die maximale Aufenthaltsdauer in den Ausstellungsräumen, wenn sich die Familie um 15:00 Uhr am Ende der Schlange anstellt. (3P)

Am Einlass bei der Kasse können pro Stunde etwa 120 Personen bedient werden, d. h. die Besucher bezahlen und passieren die Sperre.

c) Es gibt Zeiten, in denen genauso viele Personen an der Kasse bedient werden wie sich neu anstellen. Gib mithilfe der Grafik begründet an, wann dies der Fall ist. (2P)

d) Bestimme die Anzahl der Personen, die um 15 Uhr in der Schlange stehen. (2P)


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Familie Mustermann hat es geschafft und die Wartezeit hinter sich gebracht. Nun folgt die Auswahl der Attraktionen. Diese sind über 7 Räume A, B, C, D, E, F und G verteilt. Leider gelingt es ihnen nicht, sich auf eine Besuchsreihenfolge zu einigen. Sie einigen sich aber darauf, die Reihenfolge mithilfe eines Zu-fallsversuchs zu ermitteln. Dabei sollen alle Räume die gleiche Chance haben und kein Raum doppelt besucht werden.

e) • Beschreibe einen geeigneten Zufallsversuch, mit dem man die Reihenfolge festlegen kann.

• Bestimme bei deinem Zufallsversuch die Wahrscheinlichkeit für die Reihenfolge B-A-D bei Eintritt in die Ausstellungsräume. (8P)

Die Familie besteht aus vier Personen. Wer darf zuerst einen bestimmten Raum betreten? Die Tochter Lea schlägt vor, vier Strohhalme zu nehmen, davon einen zu kürzen und die Halme so in der Hand zu halten, dass man nur die äußersten Enden sieht; alle Strohhalme sehen dann also gleich lang aus. Dann darf jedes Familienmitglied nacheinander einmal ziehen. Derjenige, der den gekürzten Strohhalm zieht, darf zuerst den Raum betreten. Der Sohn Max sagt nach kurzem Nachdenken: "Dann ziehe ich als Letz-ter. So ist meine Chance am größten, den Raum als Erster betreten zu können."

f) Beurteile diese Aussage. (4P)

Quelle: Realschulabschlussprüfung Hamburg 2011, Ersttermin (überarbeitet)


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Miniatur Wunderland


I II III

a) Wenn die Familie nicht länger als 15 Minuten warten möchte, muss sie sich um 9:30 Uhr oder in der Zeit von 17:00 Uhr bis 18 Uhr zum Ticketkauf anstellen.

Wenn lediglich die Zeiten 9:30 Uhr, 17:00 Uhr, 17:30 Uhr und 18:00 Uhr ge-nannt werden, so soll dies auch als richtig gewertet werden. 3

b) Um 15 Uhr wird eine Wartezeit von 40 Minuten angegeben. Familie Mustermann kann also erst gegen 15:40 Uhr mit dem Eintritt in die Ausstellungsräume rechnen. Da bis 19 Uhr geöffnet ist, verbleiben der Familie maximal 3 Stunden und 20 Minuten für die Besichtigung der Ausstellung. 3

c) Um 11:30 Uhr und um 12:00 Uhr bzw. um 14:30 Uhr und um 15:00 Uhr sind die Wartezeiten jeweils gleich lang. Da die Bediengeschwindigkeit konstant ist, werden in diesen beiden Zeiträumen also – im Schnitt – genauso viele Personen bedient wie sich neu anstellen. 2

d) Um 15 Uhr beträgt die Wartezeit laut Grafik 40 Minuten.

In einer Stunde werden etwa 120 Personen abgefertigt, das sind in 40 Minuten

120 40 8060

⋅ = Personen.

Um 15 Uhr stehen also 80 Personen in der Schlange. 2

e) • Es werden 7 Lose angefertigt, die jeweils mit einem der Buchstaben „A“ bis „G“ beschriftet werden. Anschließend werden die Lose ohne Zurücklegen gezogen. In der Reihenfolge der gezogenen Buchstaben werden die Räume besucht.

Es gibt natürlich noch andere Verfahren. Wichtig ist hier, dass ein Verfahren zweifelsfrei mit einer eindeutigen Zuordnung der Reihenfolge, in der die Räume besucht werden, beschrieben wird. Hier sollte es auch deutlich werden, dass bei dem gewählten Verfahren in jeder Runde alle noch zur Verfügung stehenden Räume mit der gleichen Wahrscheinlichkeit ermittelt werden.Ebenso ist im Verfahren sicherzustellen, dass keine Räume doppelt besucht werden.

• Die Wahrscheinlichkeit, dass als erstes der Raum B gezogen wird, ist 17 .

In der zweiten Losrunde beträgt die Wahrscheinlichkeit, den Raum A zu ziehen 1

6 , da nur noch sechs Räume zur Auswahl stehen. Also besteht in der dritten Runde, nachdem zuerst Raum B und dann Raum A gezogen wurden, für den Raum D als dritten Raum die Wahrscheinlichkeit von 1

5 . Die Wahrscheinlichkeit, die Räume in der Reihenfolge B-A-D zu besuchen, beträgt demnach 1 1 1 1

7 6 5 210 . Eine Lösung über ein Baumdiagramm ist auch zulässig. Die Antwort hängt auch von der gewählten Beschreibung des Losverfahrens ab. 8


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I II III

f) Die Strohhalme werden ohne Zurücklegen gezogen.

Aus dem Baumdiagramm ergibt sich unmittelbar:

1(Der kurze Halm wird im ersten Zug gezogen.) 25 %4

P

3 1 1(Der kurze Halm wird im zweiten Zug gezogen.) 25 %4 3 4

P

3 2 1 1(Der kurze Halm wird im dritten Zug gezogen.) 25 %4 3 2 4

P

3 2 1 1 1(Der kurze Halm wird im vierten Zug gezogen.) 25 %4 3 2 1 4

P

Die Wahrscheinlichkeit zu gewinnen ist also unabhängig von der Reihenfolge, in der gezogen wird. Max hat also nicht Recht. 4



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Schweinerei

Bei dem Spiel „Schweinerei“ würfelt man mit kleinen Gummischweinen anstatt mit Würfeln. Die Schweine können in unterschiedlicher Lage landen. Zu jeder dieser Lagen gibt der Hersteller eine Wahrscheinlichkeit an, mit der diese Lage auftritt.

Beschreibung der Lage Kurzwort der Lage Wahrscheinlichkeit der Lage

Das Schwein landet auf der Seite. „Sau“ pSau = 0,65

Das Schwein landet auf allen vier Beinen. „Haxe“ pHaxe = 0,06

Das Schwein landet auf dem Rücken. „Suhle“ pSuhle = 0,26

Das Schwein landet auf der Schnauze. „Schnauze“ pSchnauze = 0,03

Ein Schwein wurde mehrfach getestet. Die Ergebnisse einer Testreihe findest du in der Tabelle in der Anlage zu Aufgabenteil a) (hier wurde ein Schwein 2000-mal geworfen).

a) Gib die fehlenden relativen Häufigkeiten in der Tabelle in der Anlage an. (3P)

Die Daten einer zweiten Testreihe sind in vielen Feldern nicht mehr erkennbar (siehe Anlage zu Aufgabenteil b)).

b) Berechne schrittweise in geeigneter Reihenfolge die fehlenden Daten in der Tabelle in der Anlage. Beachte, dass hier das Schwein insgesamt 2 400 mal geworfen worden ist. (4P)

c) • Entscheide, ob die Daten in den beiden Tabellen die Herstellerangaben einigermaßen bestätigen.

• Interpretiere eventuelle Abweichungen.

Hinweis: Wenn du die zweite Tabelle nicht vervollständigen konntest, dann beziehe dich nur auf die erste Tabelle. (2P)

Für die weiteren Aufgabenteile sollen die Herstellerangaben zugrunde gelegt werden.

Ein Schwein wird nacheinander zweimal geworfen.

d) Ermittle die Wahrscheinlichkeit, dass das Schwein beim ersten Mal auf „Schnauze“ liegt und beim zweiten Mal nicht. (2P)


60

Es wird nun mit drei Schweinen geworfen.

e) Bestätige, dass die Wahrscheinlichkeit dafür,

• dass mindestens ein Schwein auf „Schnauze“ liegt“, ungefähr 8,7 % beträgt,

• dass alle drei in der Position „Sau“ landen, ungefähr 27,5 % ist,

• dass alle drei in der Position „Suhle“ landen, ungefähr 1,8 % beträgt. (5P)

Auf einem Schulfest bietet die Klasse 10a für einen wohltätigen Zweck ein Gewinnspiel an: Der Einsatz beträgt 1 €. Dann wird mit 3 Schweinen geworfen. Der Gewinnplan lautet folgendermaßen:

Ereignis „alle drei Sau“ „mindestens einmal Schnauze“ „alle drei Suhle“

Auszahlung 2 € 3 € 5 €

f) Zeige, dass die Klasse langfristig im Mittel Einnahmen erwarten kann. (3P)

Um das Spiel attraktiver zu machen, soll die Auszahlung für „alle drei Sau“ erhöht werden.

g) Ermittle die höchste Auszahlung für „alle drei Sau“, sodass die Klasse langfristig im Mittel keinen Verlust macht. (3P)

Quelle: Abschlussprüfung zum Realschulabschluss und diesem gleichwertige Abschlüsse. Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben und Handreichungen zum Rahmenplan Mathematik (überarbeitet)


61

Anlage zur Aufgabe „Schweinerei“

Tabelle zu Aufgabenteil a)

Lage „Sau“ „Suhle“ „Haxe“ „Schnauze“ Summe

absolute Häufigkeit 1288 512 129 71 2000

relative Häufigkeit 1,0

Tabelle zu Aufgabenteil b)


absolute Häufigkeit 669 132 2 400

relative Häufigkeit 0,055 0,0275 1


62

Schweinerei


I II III

a)


absolute Häufigkeit 1288 512 129 71 2000 relative Häufigkeit 0,644 0,256 0,0645 0,0355 1

3

b)

1. 0,0275 2400 66

2. 2400 669 132 66 1533

3. 1533 0,638752400

4. 669 0,278752400


absolute Häufigkeit 1 533 669 132 66 2400 relative Häufigkeit 0,63875 0,27875 0,055 0,0275 1

Andere sinnvolle Berechnungsreihenfolgen sind möglich. 3 1

c) • Die Ergebnisse in den Tabellen zeigen, dass die relativen Häufigkeiten den vom Hersteller genannten Wahrscheinlichkeiten sehr gut entsprechen.

• Eventuelle Abweichungen sind vermutlich darin begründet, dass die Anzahl der Versuche nicht groß genug ist.

Es ist nicht korrekt, die Abweichungen als fehlerhafte Herstellerangaben zu deuten. 2

d) P(erstes Schwein auf Schnauze und zweites Schwein nicht auf Schnauze) ( )0 03 1 0 03 0 03 0 97 0 0291 2 9, , , , , , %= ⋅ − = ⋅ = ≈ .

Das Anfertigen eines Baumdiagramms ist hilfreich, aber nicht notwendig.

Alternativ kann man die Aufgabe unter Verwendung der Lagen "Sau", "Suhle" und "Schnauze" sowie der Pfadregeln in einem Baumdiagramm lösen. 2


63


I II III

e) • Es gilt:

(Schwein liegt nicht auf "Schnauze".)1 (Schwein liegt auf "Schnauze".)1 0,030,97

PP

Also:

3

(Mindestens ein Schwein liegt auf "Schnauze".)1 (Drei Schweine liegen nicht auf "Schnauze".)1 0,970,0878,7 %

PP

•

3

(Alle drei Schweine liegen auf "Sau".)0,650,27527,5 %

P

•

3

(Alle drei Schweine liegen auf "Suhle".)0,260,0181,8 %

P

Ein Baumdiagramm ist hilfreich, aber nicht erforderlich. 5


64


I II III

f) Der Spielplan lässt sich – unter der Verwendung der Hilfestellung und des Ergebnisses aus e) – um die Zeile der Wahrscheinlichkeiten für die entsprechenden Gewinnereignisse ergänzen:

Ereignis „3-mal Sau“

„mindestens einmal Schnauze“

„3-mal Suhle“

Gewinn 2 € 3 € 5 €

Wahrschein-lichkeit 0,275 0,087 0,018

Mit diesen Daten kann man den Erwartungswert der Auszahlung des Glücksspiels ausrechnen:

0,275 2 0,087 3 0,018 5 0,90E = ⋅ + ⋅ + ⋅ ≈ .

Da die Schülerinnen und Schüler pro Spiel 1 € einnehmen, aber im langfristigen Mittel nur 90 Cent pro Spiel auszahlen müssen, können sie langfristig mit Einnahmen rechnen. 1 2

g) Der Erwartungswert der Auszahlungen darf höchstens so groß sein wie der Einsatz – also 1 €. Sei x der unbekannte Wert für die Auszahlung für „alle drei Sau“. Dann gilt:

1 0,275 0,087 3 0,018 5 | zusammenfassen1 0,275 0,351 | 0,351

0,649 0,275 | :0,2752,36

xxx

x

= ⋅ + ⋅ + ⋅= ⋅ + −= ⋅=

Maximal 2,36 € kann für „alle drei Sau“ ausgezahlt werden. 3



65


Fußballbundesliga

Im deutschen Männerfußball ist die Bundesliga die höchste Spielklasse. Ziel ist, aus 18 Vereinen den deutschen Fußballmeister auszuspielen. Dazu tritt jeder Verein in Hin- und Rückspielen gegen jeden anderen Verein an.

An jedem Spieltag finden 9 Spiele statt. Sowohl in der Hin- als auch in der Rückrunde spielt jeder Verein jeweils 17 Spiele.

a) Bestätige, dass für die deutsche Meisterschaft 306 Spiele stattfinden. (2P)

Die folgenden Tabellen zeigen, in wie vielen Spielen in einer Saison wie viele Tore geschossen wurden.

Hinrunde:

Toranzahl k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Anzahl der Spiele mit k Toren 10 25 34 23 35 12 10 2 2

Rückrunde:

Toranzahl k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Anzahl der Spiele mit k Toren 10 23 32 31 26 18 7 5 1

Die Ergebnisse der beiden Runden sollen in einem einzigen Säulendiagramm dargestellt werden.

b) Vervollständige dazu das Diagramm in der Anlage. (3P)

c) Berechne, in wie viel Prozent der Spiele (Hin- und Rückrunde zusammen)8 Tore geschossen wurden. (2P)

Aus den Spielen der Hinrunde wird eines zufällig ausgewählt. Ebenso wird aus den Spielen der Rückrunde eines zufällig ausgewählt.

d) Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass in beiden ausgewählten Spielenacht Tore geschossen wurden. (3P)

Pedro behauptet, dass bei Betrachtung der Hin- und Rückrunde gilt:

"Es wurden meistens genau zwei Tore geschossen."

"Es wurden häufiger genau 4 als genau 3 Tore geschossen."

e) Bestätige Pedros Behauptungen. (4P)


66

Camilla wundert sich über Pedros erste Behauptung. Sie entgegnet: „Aber nach meiner Rechnung fallen im Durchschnitt pro Spiel eher drei Tore.“

f) Bestätige, dass auch Camilla Recht hat. (2P)

Lisa erinnert sich an eine Kennzahl mit dem Namen "Zentralwert".

g) Ermittle den Zentralwert für die Anzahl der Tore pro Spiel in der Hin- und Rückrunde zusammen. (3P)

Man nennt die Kennzahl aus Aufgabenteil g) auch Median. Der Wert, den Camilla ermittelt hat, wird auch als arithmetisches Mittel bezeichnet. Der häufigste Wert aus Pedros erster Behauptung heißt auch Modalwert. Alle drei Werte werden zusammenfassend als Mittelwerte bezeichnet. Sie können überein-stimmen, müssen es aber nicht.

h) Gib 15 Zahlen an, bei denen arithmetisches Mittel, Modalwert und Median unterschiedliche Werte annehmen und ermittle für diese 15 Zahlen die drei verschiedenen Mittelwerte. (3P)


67

Anlage zur Aufgabe „Fußballbundesliga“

Quelle: Abschlussprüfung zum Realschulabschluss und diesem gleichwertige Abschlüsse. Mathematik. Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben (überarbeitet)


68

Fußballbundesliga


I II III

a) Jeder Verein spielt zwei Runden (Hin- und Rückrunde).

In jeder Runde werden 17 Spiele gespielt.

Pro Tag finden 9 Spiele statt.

2 9 17 306⋅ ⋅ =

Für die deutsche Meisterschaft finden 306 Spiele statt. 2

b)

Fehlende Sorgfalt bei der Erstellung der Grafik führt zu Punktabzug. 3

c) 2 1 100 % 0,98 %306

In knapp 1 % der Spiele wurden 8 Tore geschossen. 2

d) 2(Im Spiel der Hinrunde wurden acht Tore geschossen.)153

P

1(Im Spiel der Rückrunde wurden acht Tore geschossen.)153

P

2 1 2(In beiden Spielen wurden acht Tore geschossen.)P153 153 23 409

Die Verwendung eines Baumdiagramms ist möglich, aber nicht erforderlich. 3


69


I II III

e) Addiert man die Toranzahlen aus der Hin- und Rückrunde, erhält man die folgende Tabelle:

Toranzahl k 0 1 2 3 4 5 6 7 8

Anzahl der Spiele mit k Toren in der Hin- und Rückrunde

20 48 66 54 61 30 17 7 3

• 66 – die Anzahl der Spiele mit zwei Toren – ist die größte Zahl in derzweiten Zeile. Deshalb hat Pedro mit seiner ersten Behauptung Recht.

• Es wurden 61-mal vier Tore und 54-mal drei Tore geschossen.Wegen 61 > 54 hat Pedro auch mit seiner zweiten Behauptung Recht. 4

f) Gesamtanzahl der Tore:

(10 10) 0 (25 23) 1 (34 32) 2 (23 31) 3 (35 26) 4(12 18) 5 (10 7) 6 (2 5) 7 (2 1) 8 911

Hat man Aufgabe e) mithilfe der in der Lösung angegebenen Tabelle bearbeitet, kann man auch diese Tabelle verwenden.

Durchschnittliche Toranzahl pro Spiel: 911 2,977... 3306

= ≈

Camilla hat also Recht. 2

g) In Hin- und Rückrunde zusammen gibt es 306 Spiele. Die jeweiligen Toranzahlen werden in einer Rangliste geordnet. Aus den Toranzahlen an den beiden mittleren Positionen lässt sich der Zentralwert ermitteln. Zu untersuchen sind also die Toranzahlen an den beiden mittleren Position 153 und 154.

Die ersten 134 ( = (10+10) + (25+23) + (34+32) ) Positionen bestehen aus den Toranzahlen 0, 1 und 2. Die nächsten 54 (= 23+31) Positionen bestehen aus der Toranzahl 3. Sowohl Position 153 als auch Position 154 bestehen also aus der Toranzahl 3. Diese stellt somit den Zentralwert dar. 3

h) Es sind beliebig viele verschiedene Antworten denkbar, z. B.

1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 100, 100, 100, 100, 100, 100, 100

Modalwert: 100 (Die Zahl 100 tritt am häufigsten, nämlich siebenmal, auf.)

arithmetisches Mittel: 6 1 2 2 7 100 142 47,315 3

Median: 2 (Die Zahl 2 steht in der Rangreihe an mittlerer Position.) 1 2



70


Verkehrszählung

Untersuchungen haben ergeben, dass jeder Fünfte der tödlich verunglückten Autoinsassen nicht ange-schnallt war. Dieses Ergebnis war Anlass, genauere Zahlen zu ermitteln. Diese sollen Informationen zur Ordnungswidrigkeit „keinen Gurt angelegt“ liefern.

Die Klasse 10e hat entschieden, sich im Rahmen einer Projektwoche an den Erhebungen zu beteiligen. An einer Hauptstraße wurde eine Verkehrszählung durchgeführt. Es wurden PKWs gezählt, gleichzeitig wurde notiert, wenn der Fahrer oder die Fahrerin nicht angeschnallt war. Anschließend wurden die Er-gebnisse ausgewertet. Es wurde eine Woche lang werktags gezählt.

Die Ergebnisse eines typischen Werktages dieser Zählung haben die Schülerinnen und Schüler in der folgenden Tabelle und im Diagramm zusammengefasst:

Uhrzeit 0-1 1-2 2-3 3-4 4-5 5-6 6-7 7-8 8-9 9-10 10-11 11-12

Anzahl PKWs 243 168 105 122 457 1452 2512 4420 3613 1625 1471 1859

Anzahl Fahrer oder Fahrerin nicht angeschnallt 67 52 38 41 62 105 187 269 256 157 122 175

Uhrzeit 12-13 13-14 14-15 15-16 16-17 17-18 18-19 19-20 20-21 21-22 22-23 23-24

Anzahl PKWs 2067 1898 2856 3980 4824 5468 3765 2603 1520 1288 956 723

Anzahl Fahrer oder Fahrerin nicht angeschnallt 203 169 284 395 388 424 382 326 214 197 172 150

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

0 U

hr -

1 U

hr1

Uhr

-2

Uhr

2 U

hr -

3 U

hr3

Uhr

-4

Uhr

4 U

hr -

5 U

hr5

Uhr

-6

Uhr

6 U

hr -

7 U

hr7

Uhr

-8

Uhr

8 U

hr -

9 U

hr9

Uhr

-10

Uhr

10 U

hr -

11 U

hr11

Uhr

-12

Uhr

12 U

hr -

13 U

hr13

Uhr

-14

Uhr

14 U

hr -

15 U

hr15

Uhr

-16

Uhr

16 U

hr -

17 U

hr17

Uhr

-18

Uhr

18 U

hr -

19 U

hr19

Uhr

-20

Uhr

20 U

hr -

21 U

hr21

Uhr

-22

Uhr

22 U

hr -

23 U

hr23

Uhr

-24

Uhr

Anza

hlen

Tageszeit

VerkehrszählungAnzahl PKW Anzahl nicht angeschnallt


71

Die Ergebnisse der Verkehrszählung lassen sich unter unterschiedlichen Gesichtspunkten beschreiben. Zunächst interessierte die Schülerinnen und Schüler die Verkehrsdichte auf der Hauptstraße.

a) Gib den Zeitraum an, in dem der Verkehr am dichtesten war. (2P)

b) Bestätige, dass zu Spitzenzeiten mehr als ein PKW pro Sekunde vorbeifährt. (3P)

c) Begründe, dass in jeder Stunde durchschnittlich mehr als 1 500 Autos an den Verkehrszählern und -zählerinnen vorbeifuhren. (3P)

Joshua schlägt vor, die relativen Häufigkeiten der nicht-angeschnallten Fahrerinnen und Fahrer zu betrachten. Er stellt eine Tabelle zusammen (siehe Anlage).

d) Berechne die beiden fehlenden relativen Häufigkeiten (Prozentsatz mit einer Nachkommastelle). (4P)

e) Vergleiche die beiden Darstellungen (Diagramm auf der vorherigen Seite und Tabelle in der Anlage) daraufhin, welche der beiden zweckmäßigere Informationen zur Frage des Gurtanlegens liefert. (2P)

In den folgenden Fragen geht es um die Untersuchung zur Anschnallpflicht, die offenbar nicht von allen Autofahrerinnen und Autofahrern ernst genommen wird.

f) Wähle einen Zeitabschnitt aus, in dem der Anteil der nicht angeschnallten Fahrer und Fahrerinnen besonders hoch war. (2P)

g) Bestätige, dass über den Tag gerechnet weniger als 10 % der Autofahrerinnen und Autofahrer nicht angeschnallt waren. (3P)

In der Presse wird unterschiedlich über die Verkehrszählung berichtet. Die Hamburger Abendpost schreibt: "Nachts fahren die meisten Autofahrerinnen und Autofahrer nicht angeschnallt." Beim Hamburger Morgenblatt hingegen findet man: "Nachts gibt es nur wenige Gurtmuffel." Diese beiden Schlagzeilen scheinen sich zu widersprechen.

h) Begründe vor dem Hintergrund des Datenmaterials, dass beide Schlagzeilen ihre Berechtigung haben. (3P)


72

Anlage zur Aufgabe „Verkehrszählung“

Zeitraum relative Häufigkeit Zeitraum relative

Häufigkeit

0 Uhr - 1 Uhr 12 Uhr - 13 Uhr 9,8 %

1 Uhr - 2 Uhr 31,0 % 13 Uhr - 14 Uhr 8,9 %

2 Uhr - 3 Uhr 36,2 % 14 Uhr - 15 Uhr 9,9 %

3 Uhr - 4 Uhr 33,6 % 15 Uhr - 16 Uhr 9,9 %

4 Uhr - 5 Uhr 13,6 % 16 Uhr - 17 Uhr 8,0 %

5 Uhr - 6 Uhr 7,2 % 17 Uhr - 18 Uhr 7,8 %

6 Uhr - 7 Uhr 7,4 % 18 Uhr - 19 Uhr 10,1 %

7 Uhr - 8 Uhr 6,1 % 19 Uhr - 20 Uhr 12,5 %

8 Uhr - 9 Uhr 7,1 % 20 Uhr - 21 Uhr 14,1 %

9 Uhr - 10 Uhr 9,7 % 21 Uhr - 22 Uhr 15,3 %

10 Uhr - 11 Uhr 8,3 % 22 Uhr - 23 Uhr

11 Uhr - 12 Uhr 9,4 % 23 Uhr - 24 Uhr 20,7 %

Quellen: Abschlussprüfung zum Realschulabschluss und diesem gleichwertige Abschlüsse. Mathematik. Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben (überarbeitet)



73

Verkehrszählung


I II III

a) Von 17 bis 18 Uhr. 2

b) Da eine Stunde 3 600 Sekunden hat, bedeutet „mehr als ein PKW pro Sekunde“ mehr als 3600 PKWs pro Stunde. Dieser Wert wird sowohl im morgendlichen (7 Uhr bis 9 Uhr) wie im frühabendlichen Verkehr (15 Uhr bis 19 Uhr) deutlich überschritten. 3

c) Es wird die durchschnittliche PKW-Anzahl pro Stunde ermittelt:

243 168 105 122 ... 2 630 1 520 1 288 956 723 : 24 49 99549 995 : 24 2 083,125 2 083Durchschnittlich fuhren ungefähr 2 083 Autos an den Verkehrszählern vorbei.Wegen 2 083 > 1 500 ist gezeigt, dass in jeder Stunde mehr als 1 500 Autos an den Verkehrszählern und -zählerinnen vorbeifuhren.

Es ist auch möglich, anhand der graphischen Darstellung zu argumentieren. 3

d) 0 Uhr bis 1 Uhr: 67 0,276 27,6 %

243

22 Uhr bis 23 Uhr: 172 0,180 18,0 %956

Rundungsfehler führen zu Punktabzug. Ebenso zu Punktabzug führt die Angabe "18 %" statt "18,0 %". 2 2

e) Die Werte in der Tabelle sind Anteile und berücksichtigen so, wie viele Fahrzeuge in dem jeweiligen Zeitraum vorbeigefahren sind. Dies ist für eine angemessene Beurteilung der Situation zweckmäßiger. Insofern ist diese Darstellung besser als das Diagramm, welches nur absolute Häufigkeiten darstellt.

Der Aspekt "Zweckmäßigkeit" ist in der Fragestellung nicht klar definiert. Deshalb ist hier darauf zu achten, dass der Prüfling schlüssig argumentiert und der Zweck in der Antwort deutlich wird. Argumentiert ein Prüfling etwa mit der Zweckmäßigkeit einer graphischen Darstellung – z. B., dass man Informationen auf einen Blick entnehmen kann – ist dies als korrekt zu werten. Dasselbe gilt für andere mögliche und schlüssige Argumentationen. 2

f) Zwischen 2 Uhr bis 3 Uhr sind anteilig die meisten Fahrerinnen und Fahrer nicht angeschnallt.

Wurde in Aufgabenteil d) ein falscher Prozentsatz ermittelt, kann dies zu einem Folgefehler in dieser Teilaufgabe führen. Wenn die Argumentation in dieser Teilaufgabe folgerichtig ist, soll hier die volle Punktzahl gegeben werden. 2


74


I II III

g) Division der Anzahl der Nichtangeschnallten durch die Anzahl aller PKWs:

4 835 0,097 9,7 % 10 %49 995

Es sind also weniger als 10 % der Autofahrerinnen und Autofahrer nicht angeschnallt. 3

h) Ab Mitternacht bis 5 Uhr morgens sind die absoluten Häufigkeiten der Nichtangeschnallten kleiner als 100. Insofern kann man davon sprechen, dass es nachts nur wenige Gurtmuffel gibt. Das Hamburger Morgenblatt hat also nicht unrecht.

Von 18 Uhr bis 5 Uhr sind die relativen Häufigkeiten der Nichtangeschnallten höher als 10 % und damit größer als zu den sonstigen Uhrzeiten. Insofern ist es auch berechtigt zu sagen, dass nachts viele Personen nicht angeschnallt sind. Auch die Hamburger Abendpost hat also nicht unrecht.

Falls ein Prüfling in Aufgabenteil d) fehlerhafte Berechnungen durchgeführt hat, darf dies nicht zu Punktabzügen in der Argumentation in diesem Aufgabenteil führen. 3



75


Gezinkte Münze

Bei einem Spiel mit einer Münze wird ohne Wissen der Spieler Karl und Peter eine "gezinkte" (manipulierte) Münze benutzt, die in 55 % der Fälle "Kopf" (K) zeigt, ohne dass man dies der Münze ansieht. Die andere Seite der Münze zeigt die "Zahl" (Z). Karl und Peter gehen dagegen von einem fairen Glücksspiel aus.

Die Münze wird dreimal hintereinander geworfen.

Karl und Peter vereinbaren die folgende Gewinnregel:

Gewinnregel:

Peter gewinnt, wenn mindestens zweimal "Kopf" fällt. Karl gewinnt in den anderen Fällen.

a) Gib alle möglichen Ausgänge des Spiels an, bei denen Karl gewinnen würde. (2P)

b) Begründe, warum die Wahrscheinlichkeit für "Zahl" bei einmaligem Wurf mit der gezinkten Münze 9

20 ist. (2P)

c) Berechne, wie oft man "Kopf" erwarten kann, wenn man die gezinkte Münze 52 400-mal wirft. (2P)

d) • Berechne im Baumdiagramm in der Anlage die fehlenden Wahrscheinlichkeiten. • Gib jeweils an, wer gewinnt. (6P)

Aufgrund theoretischer Überlegungen ist die Wahrscheinlichkeit, dass Peter gewinnt, größer als 50%.

e) • Ermittle den genauen Wert der Wahrscheinlichkeit, dass Peter bei Verwendung der gezinkten Münze und der oben genannten Gewinnregel gewinnt.

• Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass Peter zweimal hintereinander gewinnt. (5P)

Karl behauptet, dass es für ihn möglich sei, sieben von zehn Spielen zu gewinnen. Peter entgegnet, dass das nicht sein könne, weil seine eigene Gewinnwahrscheinlichkeit größer als 50 % ist.

f) Beurteile die beiden Aussagen. (2P)

g) Beschreibe eine andere Gewinnregel, damit bei dem Spiel (drei Würfe mit der gezinkten Münze) beide Spieler dieselbe Gewinnwahrscheinlichkeit haben. (3P)


76

Anlage zur Aufgabe "Gezinkte Münze"

Quelle: Realschulabschlussprüfung Hamburg 2011, Dritttermin (überarbeitet)


77

Gezinkte Münze


I II III

a) (K, Z, Z); (Z, K, Z), (Z, Z, K); (Z, Z, Z) 2

b) Es gilt P("Kopf") = 55 % = 0,55.

Weil "Zahl" das Gegenereignis zu "Kopf" ist, muss gelten: 45 9

100 20("Zahl") 1 ("Kopf ") 1 0,55P P 2

c) 55 52 400 28 820100

E

Man erwartet 28 820-mal "Kopf". 2

d)

2 4

e) • P("Peter gewinnt.") = 3 0,136125 0,0,166375 0,57475

Peter gewinnt mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. 57,5 %.

• 2("Peter gewinnt zweimal hintereinander.") 0,57475 0,3303375625PPeter gewinnt mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. 33,0 % zweimal hintereinander. 5


78


I II III

f) Karl hat Recht: Es ist möglich, dass er sieben von zehn Spielen gewinnt. Es ist sogar möglich, dass er alle zehn Spiele gewinnt. Zwar hat Peter eine größere Gewinnwahrscheinlichkeit als Karl, das macht sich aber erst bei einer sehr großen Spielanzahl in Form von häufigeren Siegen bemerkbar.

In der Antwort des Prüflings muss auf zwei Aspekte korrekt eingegangen werden:

• Bewertung von Karls Äußerung und

• Bedeutung von Peters höhere Gewinnwahrscheinlichkeit auf lange Sicht. 2

g) Die Beschreibung muss zwei Bedingungen genügen:

• Die Grundstruktur des Spiels (drei Würfe mit der gezinkten Münze) bleibt unverändert.

• Beide Spieler haben dieselbe Gewinnwahrscheinlichkeit.

Eine Begründung wird hier gemäß dem Operator "Beschreiben" nicht verlangt. Im Rahmen dieser Bedingungen gibt es viele Möglichkeiten, zum Beispiel:

Peter gewinnt, wenn K, K, Z geworfen wird.

Karl gewinnt, wenn K, Z, K geworfen wird.

In allen anderen Fällen endet das Spiel unentschieden. 3



79


Fußballweltmeisterschaften

Fußballweltmeisterschaften finden alle vier Jahre statt. Es ist das Fußballturnier für Nationalmannschaften: Der Fußballweltmeister wird ermittelt.

In der ersten Spielrunde (Vorrunde) spielen jeweils vier Mannschaften in einer Gruppe. Innerhalb dieser Gruppe spielt jede Mannschaft einmal gegen jede andere. Insgesamt nehmen 32 Mannschaften an der Weltmeisterschaft teil.

a) Bestätige, dass es in der Vorrunde acht Gruppen geben muss. (2P)

b) Bestätige, dass es insgesamt 48 Vorrundenspiele gibt. (3P)

In den nachfolgenden Tabellen kannst du sehen, wie viele Mannschaften während der Fußballwelt-meisterschaft 2006 in der Vorrunde wie viele Tore geschossen bzw. wie viele Gegentore sie erhalten haben.

Anzahl der Tore 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Anzahl der Mannschaften 1 2 8 7 3 7 0 1 3 0 0

Anzahl der Gegentore 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Anzahl der Mannschaften 1 7 5 4 5 1 5 2 0 1 1

c) Vervollständige das Säulendiagramm in der Anlage. (5P)

d) • Berechne, wie viele Tore in der Vorrunde pro Spiel im Durchschnitt geschossen wurden. • Berechne, wie viele Tore in der Vorrunde jede Mannschaft im Durchschnitt geschossen hat. (4P)

Insgesamt werden bei Fußballweltmeisterschaften 64 Spiele durchgeführt. 2006 wurden insgesamt 147 Tore erzielt, also durchschnittlich ungefähr 2,3 Tore pro Spiel. Bei der Fußballweltmeisterschaft 1998 betrug dieser Durchschnittswert 2,67.

e) Bestimme die Anzahl der Tore, die bei der WM 1998 mehr erzielt wurden als bei der WM 2006. (2P)


80

Bei allen sportlichen Ereignissen wird getippt, wer der Sieger sein wird. Bei der Fußballweltmeisterschaft 2010 tippte der Krake Paul. Er lebte im Sealife-Aquarium in Oberhausen. Man gab ihm vor jedem Spiel zwei Futterschalen, die jeweils mit den Flaggen der beteiligten Mannschaften dekoriert waren. Paul entschied sich bei allen Spielen mit deutscher Beteiligung immer für die richtige Futterschale!

Diese Situation soll mathematisch analysiert werden. Dazu nehmen wir an, dass Pauls Tipp ein Zufallsexperiment ist. Außerdem soll angenommen werden, dass die Wahrscheinlichkeit, sich für eine der beiden Futterschalen zu entscheiden, den Wert 0,5 hat. Betrachtet werden drei nacheinander abgegebene Tipps zu Spielen, bei denen die deutsche Mannschaft nicht beteiligt war.

f) • Ermittle die Wahrscheinlichkeit, dass Paul dreimal richtig tippt. • Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass Paul sich genau einmal irrt. (4P)

g) Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass Paul bei 10 abgegebenen Tipps zu Spielen ohne deutsche Beteiligung mindestens einmal Recht hat. (2P)


81

Anlage zur Aufgabe "Fußballweltmeisterschaften"

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

AnzahlderMannschaften

Anzahl der Tore

Tore

Gegentore



82

Fußballweltmeisterschaft


I II III

a) Es sind 32 Mannschaften, die in Vierergruppen aufgeteilt werden.

Damit ergibt sich:

32 : 4 = 8

Es müssen also acht Gruppen gebildet werden. 2

b) Bei vier Mannschaften (A, B, C und D) in einer Gruppe gibt es sechs Spiele:

A-B, A-C, A-D, B-C, B-D, C-D

Bei acht Gruppen sind dies (wegen 8 6 48 ) 48 Vorrundenspiele. 3

c)

0

1

2

3

4

5

6

7

8

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

An

zah

l der

Man

nsc

haf

ten

Anzahl der Tore

Bei unsorgfältiger Zeichnung der Säulen sollen Punkte abgezogen werden. 5

d) Anzahl der geschossenen Tore:

1 0 2 1 8 2 7 3 3 4 7 5 0 6 1 7 3 8 0 9 0 10 117

Dieselbe Rechnung lässt sich jeweils auch mit der Anzahl der Gegentore durchführen, weil ja jedes Tor auch ein Gegentor ist. Falsch hingegen ist es in diesem Zusammenhang, die Anzahl der Tore und der Gegentore zu addieren.

• Durchschnittliche Anzahl der Tore pro Spiel: 117 2,4375 2,448

• Durchschnittliche Anzahl der

geschossenenTore pro Mannschaft: 117 3,65625 3,732

4


83


I II III

e) Anzahl der Tore bei der Fußballweltmeisterschaft 1998:2,67 64=170,88 1711998 wurden bei der Fußballweltmeisterschaft 171 Tore geschossen.171 147 241998 wurden bei der Fußballweltmeisterschaft 24 Tore mehr geschossen als bei der Fußballweltmeisterschaft 2006. 2

f) Die folgenden Abkürzungen werden verwendet:

R: Paul tippt richtig.

I: Paul irrt sich.

Nach der Annahme gilt: (R) (I) 0,5P P

• In einem Baumdiagramm gibt es genau einen Pfad mit drei richtigen Tipps. Damit gilt nach den Pfadregeln: 3(RRR) 0,5 0,125P

• In einem Baumdiagramm gibt es drei Pfade, bei denen Paul sich genau einmal irrt: IRR, RIR und RRI. Damit gilt nach den Pfadregeln:

3(IRR oder RIR oder RRI) 3 0,5 0,375P 4

g) Das Gegenereignis zu "Paul hat mindestens einmal Recht." ist "Paul tippt zehnmal falsch."

Es gilt: 10 1("Paul tippt zehnmal falsch.") 0,51024

P

Damit ergibt sich für die gesuchte Wahrscheinlichkeit:

1 1023("Paul hat mindestens einmal Recht.") 11024 1024

P 2



84


Quader

Nusret, Aysenur und Bonnie wollen auf dem Schulfest eine Würfelbude aufmachen.

Allerdings soll nicht mit einem normalen Würfel, sondern mit einem Quader, der die Zahlen 1 bis 6 trägt, (siehe Abbildung) geworfen werden. Die Zahlen 1 und 6, 2 und 5 sowie 3 und 4 liegen sich jeweils gegenüber.

Mit dem Erlös aus dem Würfelspiel soll ein Zuschuss für die nächste Klassenreise erwirtschaftet werden.

Bevor sie sich ein schönes Spiel überlegen können, müssen sie erst einmal wissen, mit welchen Wahr-scheinlichkeiten die einzelnen Zahlen geworfen werden. Deshalb haben sie das Quaderwerfen auspro-biert. Die Ergebnisse sind in einer Tabelle (siehe Anlage) zusammengefasst.

a) Bestätige, dass der Quader insgesamt 1 200-mal geworfen wurde. (2P)

b) Ergänze in der Tabelle (siehe Anlage) die fehlenden Werte. Achte darauf, dass die relativen Häufigkeiten als Dezimalzahlen auf zwei Stellen nach dem Komma sowie die relative Häufigkeit als Prozentsatz auf Ganze gerundet werden. (4P)

Nusret hat im Internet recherchiert und für den Quader die folgende Tabelle gefunden, die die relativen Häufigkeiten bei einer sehr großen Anzahl von Würfen zeigt. Diese relativen Häufigkeiten sollen im Fol-genden als Schätzwerte für die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten gelten.

c) Begründe, dass die in der unten stehenden Tabelle dargelegten relativen Häufigkeiten gut zur Anordnung der Zahlen auf dem Quader passen. (2P)

Würfelergebnis 1 2 3 4 5 6 relative Häufigkeit in % 11 9 30 30 9 11

d) Ermittle die Wahrscheinlichkeit, bei zwei Würfen die Augensumme 11 zu erzielen. (3P)

Aysenur meint, dass sie sich zu viel Arbeit mit dem Werfen gemacht haben. Es sei doch viel einfacher, die Wahrscheinlichkeiten zu berechnen. Sie überlegt: Je größer die Fläche, desto häufiger fallen die ent-sprechenden Zahlen auf der gegenüberliegenden Seite. Man müsste also die Flächeninhalte der einzelnen Seiten bestimmen. Der jeweilige Anteil an der gesamten Oberfläche müsste dann der Wahrscheinlichkeit entsprechen, mit der die Zahl gewürfelt wird.

e) Entscheide, ob Aysenur Recht hat. (5P)


85

Für das Schulfest haben sich die drei Jugendlichen folgende Spielregeln überlegt: • Jeder Spieler oder jede Spielerin zahlt einen Einsatz von 1 € pro Spiel. • Dann wird einmal mit dem Quader gewürfelt.

Der folgende Gewinnplan soll angewendet werden:

geworfene Zahl Auszahlung

2 oder 5 6 €

3 1 €

1 oder 4 oder 6 0 €

Wird also beispielsweise eine 2 oder eine 5 geworfen, erhält man als Spieler oder Spielerin den Einsatz von 1 € zurück und zusätzlich 5 €.

f) • Zeige, dass die drei Jugendlichen langfristig Verlust machen.

• Ermittle einen neuen Wert für eine der drei Auszahlungen, sodass die drei Jugendlichen bei 200 Spielen einen Gesamtgewinn von 50 € erwarten können. (6P)


86

Anlage zur Aufgabe "Quader"

1 2 3 4 5 6

absolute Häufigkeiten bei Nusrets Würfen 43 34 122 119 40 42

absolute Häufigkeiten bei Bonnies Würfen 43 36 115 125 33 48

absolute Häufigkeiten bei Aysenurs Würfen 46 35 117 121 34 47

absolute Häufigkeiten insgesamt 132 105 107 137

relative Häufigkeiten insgesamt 0,11 0,09 0,09 0,11

relative Häufigkeit insgesamt in Prozent 11 9 9 11

Quellen: Abschlussprüfung zum Realschulabschluss und diesem gleichwertige Abschlüsse. Mathematik. Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben (überarbeitet)



87

Quader


I II III

a) 43 + 34 + 122 + 119 + 40 + 42 = 400

43 + 36 + 115 + 125 + 33 + 48 = 400

46 + 35 + 117 + 121 + 34 + 47 = 400

400 + 400 + 400 = 1 200

Nusret, Bonnie und Aysenur haben zusammen 1 200-mal den Quader geworfen.

Andere Arten der Berechnung mithilfe der Tabelle sind möglich. 2

b) 1 2 3 4 5 6

absolute Häufigkeiten bei Nusrets Würfen 43 34 122 119 40 42

absolute Häufigkeiten bei Bonnies Würfen 43 36 115 125 33 48

absolute Häufigkeiten bei Aysenurs Würfen 46 35 117 121 34 47

absolute Häufigkeiten insgesamt 132 105 354 365 107 137

relative Häufigkeiten insgesamt 0,11 0,09 0,30 0,30 0,09 0,11

relative Häufigkeit insgesamt in Prozent 11 9 30 30 9 11

4

c) Die sich jeweils gegenüberliegenden Zahlen 1 und 6, 2 und 5 sowie 3 und 4 weisen erwartungsgemäß dieselben relativen Häufigkeiten auf. 2

d) Die Augensumme 11 lässt sich erreichen, indem man zuerst eine 5 und dann eine 6 oder umgekehrt würfelt. Damit ergibt sich die folgende Wahrscheinlichkeit:

(zuerst 5 und dann 6 zuerst 6 und dann 5) 0,09 0,11 0,11 0,09 0,0198P oder 3


88


I II III

e) Der Flächeninhalt für die Seiten 3 und 4 ist jeweils: Seiten 3 u. 4 2,3 2 4,6A = ⋅ =

Der Flächeninhalt für die Seiten 1 und 6 ist jeweils: Seiten 1 u. 6 2,3 1,3 2,99A = ⋅ =

Der Flächeninhalt für die Seiten 2 und 5 ist jeweils: Seiten 2 u. 5 1,3 2 2,6A = ⋅ =

Der gesamte Flächeninhalt beträgt somit: ( )gesamt Seiten 1 u. 6 Seiten 3 u. 4 Seiten 2 u. 52 2 (4,6 2,6 2,99) 20,38A A A A= ⋅ + + = ⋅ + + =

Der Oberflächeninhalt beträgt 20,38 cm².

Die Anteile werden mithilfe des Dreisatzes berechnet:

Zahlen 2cm % Zahlen 2cm %

20,38 100 20,38 100

1 10020,38 1 100

20,38

1 2,99 14,67 4 4,6 22,57

2 2,6 12,76 5 2,6 12,76

3 4,6 22,57 6 2,99 14,67

Der Flächenanteil der Seite 3 zum Beispiel beträgt 22,57 %, die relative Häufigkeit beim Werfen beträgt jedoch 30 %. Diese Abweichung ist eher groß. Auch bei den anderen Zahlen ergeben sich deutliche Abweichungen. Aysenur hat also nicht Recht.

Vergleiche zu anderen Würfelzahlen sind auch als korrekt zu bewerten. Es reicht die Berechnung eines einzigen Flächenanteils, um Aysenurs Vermutung zu widerlegen. 5


89


I II III

f) • Angenommen, es gibt 100 Spiele. Dann führt der Einsatz zu 100 € Einnahmen.Bei den100 Spielen sind je 9-mal eine 2 oder eine 5 zu erwarten, das ergibt 18 6 € 108 € als Auszahlung. Außerdem ist 30-mal die 3 zu erwarten, was zu weiteren 30 € Auszahlung führt. Damit stehen 100 € Einnahmen 138 € Auszahlungen gegenüber. Langfristig ist also mit Verlust zu rechnen.

Alternative Die erwartete Auszahlung pro Spiel beträgt aus Sicht der drei Jugendlichen: (0,09 0,09) 6 € 0,3 1 € (0,11 0,3 0,11) 0 € 1 ( 1€) 0,38 €Es ist also mit einem Verlust von 38 Cent pro Spiel zu rechnen.

• 50 € Gewinn bei 200 Spielen bedeutet einen Gewinn von 0,25 € pro Spiel. Dies kann man erreichen durch eine Änderung der Auszahlung bei einer 2 oder einer 5; diese neue Auszahlung wird mit x bezeichnet. Dann gilt:

(0,09 0,09) 0,3 1 € (0,11 0,3 0,11) 0 € 1 ( 1€) 0,25 €0,18 0,3 € 1 € 0,25 €

0,18 0,45 €2,50 €

xx

xx

Ändert man also die Auszahlung bei einer 2 oder 5 von 6 € auf 2,50 €, kann man bei 200 Spielen mit 50 € Gewinn rechnen.

Die Absenkung der Auszahlung bei einer gewürfelten 3 sogar auf 0 € führt nicht zu dem gewünschten Gewinn. 1 5



90

Leitidee funktionaler Zusammenhang

Alsterschifffahrt

Auszug aus dem Fahrplan Auszug aus der Fahrpreistabelle

Herr Schmidt, der 40 Jahre alt ist, will vom Jungfernstieg bis zum Winterhuder Fährhaus fahren.

a) Gib Folgendes an: • die Fahrzeit des Schiffes und • den Fahrpreis von Herrn Schmidt. (3P)

Das Ehepaar Calisgüven steht mit seinen beiden Kindern Fadime und Aytuk am Jungfernstieg. Sie wollen zunächst zum Uhlenhorster Fährhaus, später zur Krugkoppelbrücke fahren.

b) Berechne den günstigsten Fahrpreis für die Familie Calisgüven. (3P)

Die gesamte Fahrstrecke des Schiffes vom Anleger Jungfernstieg bis zum Anleger UhlenhorsterFährhaus beträgt etwa 3,6 km. Dafür benötigt das Schiff 18 Minuten.

c) Berechne die Durchschnittsgeschwindigkeit des Schiffes in kmh . (2P)


91

Es soll eine neue Fahrtroute eingerichtet werden. Dabei müssen die Schiffe unter Brücken hindurchfahren. Die Brückenbögen haben die Form von Parabeln.

Bei einem gedachten Koordinatensystem liegt die x-Achse auf der Wasserlinie, die y-Achse verläuft senkrecht nach oben durch den Scheitelpunkt der Parabel.

d) Entscheide, welche Funktionsgleichung zum Verlauf eines solchen Brückenbogens gehören könnte. (3P)

(1) 21( ) 540

f x x= + 21(2) ( ) 540

f x x= − + (3) 21( ) 540

f x x= − −

Ein anderer Brückenbogen, den die Schiffe durchfahren müssen, überspannt auf Höhe der Wasserlinie eine Strecke von 12 m. Der höchste Punkt des Brückenbogens liegt 4,05 m über der Wasserlinie.

e) Bestimme die Funktionsgleichung, deren Graph den Verlauf des Brückenbogens beschreibt. (4P)

f) Zeichne die zugehörige Parabel ins Koordinatensystem (siehe Anlage). (2P) Hinweis: Solltest du in Aufgabenteil e) zu keinem Ergebnis gekommen sein, verwende für die Zeichnung die folgende Gleichung: 2( ) 0,2 4,5f x x= − +

Das Schiff „Goldbek“ ist 4,96 m breit und über der Wasserlinie 2,50 m hoch.

g) Weise durch Rechnung nach, dass das Schiff unter der Brücke hindurchfahren kann. (3P)Hinweis: Solltest du in Aufgabenteil e) zu keinem Ergebnis gekommen sein, verwende für die Rechnung die folgende Gleichung: 2( ) 0,2 4,5f x x= − +

Ein besonderes Erlebnis bietet eine Fahrt auf dem Solarkatamaran „Alstersonne“. Die „Alstersonne“ ist mit 78 Solarmodulen ausgestattet und kann eine Geschwindigkeit von 7,6 Knoten

kmh(1 kn 1,85 ) erreichen. Auch bei Dunkelheit ist die „Alstersonne“ mithilfe von Batterien

einsatzbereit. Dann beträgt ihre Reichweite wegen der Beschränktheit der Batterieladung 120 km.

h) Zeige, dass von 21 Uhr bis 4 Uhr morgens selbst bei Höchstgeschwindigkeit problemlos auf der „Alstersonne“ gefeiert werden kann, ohne dass leere Batterien zum Problem werden. (2P)

Wasserlinie


92

Anlage zur Aufgabe "Alsterschifffahrt"

x

y

-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6

1

2

3

4

5



93

Alsterschifffahrt


I II III

a) • Die Fahrzeit des Schiffes beträgt 52 Minuten.

• Es gilt der Fahrpreis von 8,50 €. 2 1

b) Die erste Fahrt geht über drei Anleger: Fahrpreis: 3 (2 1,70 2 0,80) 15⋅ ⋅ + ⋅ =Die zweite Fahrt geht ebenfalls über drei Anleger, beträgt also auch 15 €. Wenn Familie Calisgüven für jede Fahrt die Fahrkarte kauft, bezahlt sie insgesamt 30 €. Eine Tageskarte hingegen kostet nur 26 €. Letzteres stellt also den günstigsten Fahrpreis dar. 2 1

c)

Zeit Strecke

18 min 3,6 km

1 min 3,6 km 0,2 km18

60 min = 1 h 3,6 60 km 12 km18

Die Durchschnittsgeschwindigkeit des Schiffes beträgt 12 kmh . 2

d) Nur die Gleichung (2) kommt infrage, denn sie beschreibt eine nach unten geöffnete Parabel mit positivem y-Achsenabschnitt. Das ist bei den anderen beiden Gleichungen nicht der Fall. 3

e) Da die Parabel achsensymmetrisch zur y-Achse ist, gilt für die allgemeine Funktionsgleichung:

2( )f x a x c= ⋅ +

c gibt den Abstand des Scheitels von der x-Achse an. Es gilt also hier 4,05c .

Wegen der Achsensymmtrie gilt für die Nullstellen:

12 121 22 26 und 6x x .

Setzt man eine Nullstelle in die Parabelgleichung ein, ergibt sich: 2

2 2

0 6 4,05 4,05

4,05 6 : 6

0,1125

a

a

a

= ⋅ + −

− = ⋅

= −

Die Gleichung, die den Brückenbogen beschreibt, lautet also: 2( ) 0,1125 4,05f x x= − + 3 1


94


I II III

f)

x

y

-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6

1

2

3

4

5

Graph zur Ersatzlösung:

x

y

-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6

1

2

3

4

5

In beiden Fällen darf der Graph gemäß dem Sachkontext nicht in den Bereich negativer y-Werte reichen. 1 1


95


I II III

g) Man nimmt an, dass das Schiff mittig unter der Brücke hindurchfährt. Das Schiff ist 4,96 m breit und 2,50 m hoch. Gesucht ist dann der y-Wert des Parabelpunktes an der Stelle 4,96

2 2,48x = = :

2(2,48) 0,1125 2,48 4,05 3,35808f = − ⋅ + =

Wegen 2,5 m 3,35808 m< reicht die Brückenhöhe für die Durchfahrt des Schiffes aus.

Alternativlösung:

Berechnung der Breite der Brücke in 2,50 m Höhe: 2

2

2 1249

1249

2,5 0,1125 4,05 4,05

1,55 0,1125 |: ( 0,1125)

3,71

x

x

x

x

x

= − ⋅ + −

− = − ⋅ −

=

= ±

≈ ±

Berechnung der Breite: 3,71 2 7,42

In 2,50 m Höhe hat die Brücke eine Breite von ca. 7,42 m. Bei einer Breite des Schiffes von knapp 5 m reicht dies für die Durchfahrt.

Bei Verwendung der Ersatzgleichung erhält man im ersten Fall einen Wert von 3,26992 und bei der Alternativlösung einen Wert von ca. 6,32. Die Argumentation verläuft analog. 3

h) Die Fahrt dauert 7 Stunden.

Umrechnung der Geschwindigkeit von Knoten in kmh :

kmh

km kmh h

1 kn 1,85 7,6 kn 1,85 7,6 = 14,06

Umrechnung der Reichweite von 120 km in eine Reichdauer in Stunden:

kmh

120 km 8,53 h14,06

Wegen 8,53 h > 7 h kann ohne Batterieprobleme auf der „Alstersonne“ zwischen 21 Uhr und 4 Uhr gefeiert werden.

Alternativ lässt sich berechnen, welche Strecke das Schiff in 7 Stunden zurücklegt. Man erhält 98,42 km, was weniger als der mögliche Wert von 120 km ist. 2



96


Europapassage

Am 5. Oktober 2006 wurde in der Hamburger Innenstadt die Europapassage eröffnet.

Die Passage erstreckt sich über mehrere Stockwerke. Insgesamt gibt es 30 000 m² öffentlich genutzte Fläche auf fünf Etagen. Davon werden 14 % von Gaststätten belegt.

a) Berechne, wie groß die Fläche ist, die den Gaststätten zur Verfügung steht. (2P)

Die Passage ist 160 m lang. Die fünf Etagen sind durch Bögen miteinander verbunden.

Am Anfang und am Ende der Passage befindet sich je ein Bogen. Dazwischen sind weitere 19 Bögen, die in gleich-mäßigen Abständen stehen.

b) Berechne den Abstand zwischen zwei Bögen. (2P)

Die Bögen wiegen insgesamt 440 Tonnen. Musa versucht sich dieses Gewicht vorzustellen: Wenn ich von einem Körpergewicht von 63 kg ausgehe, müsste man fast 7 000 Jungen auf die Waage stellen.

c) Bestätige, dass Musa sich nicht verrechnet hat. (2P)

Das Parkhaus der Europapassage hat 700 Stellplätze. Laut einer Prognose der Betreibergesellschaft soll der Anteil der dauerhaft vermieteten Stellplätze 24 % betragen und pro Stellplatz 65 € im Monat kosten. Der verbleibende Rest wird durch die sogenannte „Laufkundschaft“ genutzt, von der man annimmt, dass sie durchschnittlich 4,50 € pro Tag und Stellplatz an Parkgebühren bezahlt.

d) Berechne die durchschnittlichen monatlichen (30 Tage) Einnahmen für die Stellplätze. (6P)

Die Bögen haben ungefähr die Form einer Parabel (siehe Anlage). Eine der folgenden Funktionsgleichungen beschreibt den Verlauf der Parabel.

e) Begründe, warum nur die dritte Funktionsgleichung infrage kommt. 1 2 31,2 ² 18,5 1,2 ² 18,5 1,2 ² 18,5f x x f x x f x x (4P)

f) Verwende 3 1,2 ² 18,5f x x und bestimme damit den Abstand der Punkte A und B voneinander (siehe Anlage). (4P)

g) Beschreibe, wie sich die Funktionsgleichung 3 1,2 ² 18,5f x x ändert, wenn man den dazugehörigen Graphen zuerst an der x-Achse spiegelt und ihn dann um 2 Einheiten auf der x-Achse nach rechts verschiebt. (2P)


97

Anlage zur Aufgabe "Europapassage"

x

y


A B


98

Europapassage


I II III

a)% m²

100 30 000

1 300

14 4 200

Die Gaststätten belegen 4 200 m². 2

b) 19 Bögen + 2 Bögen = 21 Bögen

Bei 21 Bögen ergeben sich 20 Zwischenräume.

Also gilt: 160 : 20 8

Der Abstand zwischen den Säulen beträgt 8 m. 1 1

c) Es gilt:

1 t = 1 000 kg440 t = 440 000 kg

Also ergibt sich:

440 000 : 63 6 984,12698... 6 980

Musa hat Recht: Fast 7 000 Jungen müssten in dem Fall auf der Waage stehen. 2


99


I II III

d) Monatliche Einnahmen bei den vermieteten Stellplätzen:

% Anzahl

vermieteter Stellplätze

100 700

1 7

24 168

168 65 10 920 .

10 920 € nimmt die Betreibergesellschaft durch die Dauermieter ein.

Monatliche Einnahmen durch „Laufkundschaft“:

700 168 532Für die Laufkundschaft stehen 532 Stellplätze zur Verfügung.532 4,50 30 71820Durchschnittlich werden monatlich zusätzlich 71 820 € durch die Nutzung der Stellplätze von "Laufkundschaft" eingenommen. 10 920 71820 82 740+ =

Die Gesamteinnahmen für das Parkhaus betragen im Monat durchschnittlich 82 740 €. 3 3

e) Nur die dritte Funktionsgleichung kommt infrage, da der Koeffizient von x² (also –1,2) negativ und das konstante Glied (also +18,5) positiv ist.

Ein negativer Koeffizient von x² bedeutet, dass die Parabel nach unten geöffnet ist. Das passt zur Abbildung.

Ein positiver Wert des konstanten Gliedes bedeutet, dass der Scheitel der Parabel oberhalb der x-Achse liegt. Auch das passt zur Abbildung. 4

f) Zur Bestimmung des Abstands der Punkte A und B sind die Nullstellen der Parabel zu berechnen.

18512

18512

1,2 ² 18,5 0 18,5

1,2 ² 18,5 : ( 1,2)

²

x

x

x

x

Der Abstand beträgt dann 185122 m 7,85 m . 1 3


100


I II III

g) Wenn der Graph zur Funktionsgleichung 2( ) 1,2 18,5f x x an der x-Achse gespiegelt wird, ändern sich die Vorzeichen des Koeffizienten von x2 und vom konstanten Glied. Man erhält folgende Gleichung: 21,2 18,5f x x

Wird der Graph zur Funktionsgleichung 21,2 18,5f x x dann auch noch in Richtung der positiven x-Achse um 2 Einheiten verschoben, so steht anstelle von xdementsprechend (x – 2) in der Gleichung. Die Parabel hat nun die Gleichung 21,2 ( 2) 18,5f x x . 2



101


Brücken

In der obigen Abbildung siehst du eine Hängebrücke. Ihre Spannweite beträgt 40 m, die Höhe der oberen Befestigungspunkte über der Fahrbahn beträgt 12,5 m. Die Fahrbahn ist an zwei Haupttrageseilen aufgehängt. Wenn auf der Brücke Stau herrscht, befinden sich ca. 40 Fahrzeuge auf der Brücke.

a) Berechne, wie viel Tonnen die 40 Fahrzeuge insgesamt wiegen, wenn man annimmt, dass ein Fahrzeug durchschnittlich 950 kg wiegt. (2P)

Die Hauptseile im mittleren Abschnitt haben annähernd die Form einer Parabel. Diese ist in dem nebenstehenden Koordinatensystem noch einmal dargestellt.

b) Gib die Koordinaten der Punkte A und B an. (3P)

Im Folgenden werden vier Vorschläge für eine Funktionsgleichung gemacht, die zu der abgebildeten Parabel gehört.

c) Wähle den korrekten Vorschlag aus. 2

1f x x 2 40 12,5f x x 23 0,03125f x x 4 12,5 40f x x (2P)

In der Abbildung ganz oben auf dieser Seite kann man erkennen, dass die Fahrbahn in regelmäßigen Abständen mit senkrechten Stahltrageseilen am Hauptseil befestigt ist. Im mittleren Bereich der Brücke befinden sich auf jeder Fahrbahnseite 6 Trageseile.

d) Bestimme rechnerisch die Gesamtlänge der Stahltrageseile, die für den mittleren Brückenabschnitt für beide Fahrbahnseiten benötigt werden. (5P)

A B

x

y

A BSpannweite

Höhe


102

In der unten stehenden Abbildung ist eine Eisenbahnbrücke dargestellt, die über eine Straße führt. Der Bogen der Brücke bildet eine Parabel mit der Gleichung 2( ) 0,16f x x .

e) • Begründe mithilfe einer Rechnung, dass die maximale Höhe der Durchfahrt 4 m beträgt.

• Bestimme rechnerisch, wie breit ein 3,19 m hoher LKW sein darf, damit er gerade noch unter der Brücke hindurch fahren kann. Dabei darf er entsprechend den Verkehrsregeln nur auf der rechten Fahrbahnseite fahren. (8P)

f) Beurteile die folgende Aussage:

Eine Verkleinerung des Faktors vor x² in der Funktionsgleichung ( ) 0,16 ²f x x führt zu einer Verkleinerung der möglichen Fahrzeugbreite. (2P)

Quellen: Beispielaufgaben für die schriftliche Überprüfung an Gymnasien. Klasse 10. Mathematik (überarbeitet)

Abschlussprüfung zum Realschulabschluss und diesem gleichwertige Abschlüsse. Mathematik. Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben (überarbeitet)

y

x

Höh

e

10 m

HH-AB 5463

Umzüge-

nah und fern


103

Brücken


I II III

a) Gesamtgewicht der Fahrzeuge:

40 950 38 00040 Fahrzeuge wiegen ungefähr 38 000 kg.

38 000 kg = 38 t

Die 40 Fahrzeuge auf der Brücke wiegen 38 t. 2

b) A (–20 | 12,5) und B (20 | 12,5)

Die Erstellung einer Zeichnung wird nicht erwartet.

3

c) Die dritte Gleichung ist korrekt. 2

A B40 m

12,5 m12,5 m

x

y


104


I II III

d) Aus Symmetriegründen müssen lediglich 3 Einzellängen berechnet werden, da jede Seillänge viermal auftritt.

Durch die regelmäßigen Abstände können die 40 m Spannweite auf 8 Abstände aufgeteilt werden: 40 : 8 = 5 m pro Abstand

Nun können die einzelnen Höhen der Seile mithilfe der Gleichung: 2

3 ( ) 0,03125f x x berechnet werden.

Für 5 m Abstand: 2(5) 0,03125 5 0,78125f

Für 10 m Abstand: 2(10) 0,03125 10 3,125f

Für 15 m Abstand: 2(15) 0,03125 15 7,03125f

Berechnung der Gesamtlänge: 4 (0,78125 3,125 7,03125) 4 10,9375 43,75 . Bei korrekter Auswahl der Funktionsgleichung in Aufgabenteil c) ergeben sich für die Geamtlänge der Stahltrageseile 43,75 m.

Falls in Aufgabenteil c) die falsche Auswahl 1f getroffen und damit folgerichtig weitergerechnet wurde, ist dies zwar einerseits als korrekt zu beurteilen, wegen des dann geringeren Rechenaufwands in Aufgabenteil d) aber mit zwei Punkten Abzug zu werten. Im Falle der falschen Auswahlen 2f oder 4f in Aufgabenteil c) und folgerichtigem Weiterarbeiten in Aufgabenteil d) ist wegen des dann vergleichbaren Rechenaufwands in diesem Aufgabenteil die volle Punktzahl zu geben. 5

e) • Der Scheitel der Parabel befindet sich im Ursprung des Koordinatensystems.

Nach den Angaben aus der Abbildung ergibt sich, dass eine Straßenseite 5 m breit ist (wegen10 : 2 5 ).

Die maximale Durchfahrtshöhe berechnet sich mithilfe des folgenden Ansatzes: 2(5) 0,16 5 4f

Die Fahrbahn befindet sich also 4 m unter der x-Achse. Mit anderen Worten: Die maximale Höhe des Tunnels beträgt 4 m.

• Eine Fahrzeughöhe von 3,19 m bedeutet, dass bis zur maximalen Tunnelhöhe noch 0,81 m fehlen (wegen 3,19 4 0,81). Es ist also folgende Gleichung zu lösen:

2

2

0,81 0,16 : ( 0,16)

5,0625

2,25

x

x

x

Die negative Lösung ist irrelevant, da das Fahrzeug auf der rechten Fahrbahnhälfte fahren muss. Das Fahrzeug darf also maximal 2,25 m breit sein. Argumentiert ein Prüfling, dass das Fahrzeug einige Zentimeter schmaler sein sollte, um Kontakte mit dem Tunnel zu vermeiden, ist dies ebenfalls als korrekt zu werten und lobend hervorzuheben. 4 4


105


I II III

f) Verkleinert man den Faktor vor x² (z. B. auf –2), führt dies zu einer Verengung der Parabel. Die zulässige Fahrzeugbreite nimmt damit ab. Die Aussage ist also rich-tig.

Andere mathematisch korrekte – auch rechnerisch gestützte – Lösungswege sind ebenfalls zu akzeptieren.

2



106


Schimmelpilzkultur

In einem Pharmaziekonzern wird ein Mittel entwickelt, das das Wachstum einer Schimmelpilzkultur eindämmen soll. Der bisherige Stand der Entwicklung führte zu einem Wirkstoff, der die Schimmelpilzkultur täglich auf 45 des Bestandes vom Vortag vermindert.

In einer großen Petrischale bedeckt zu Beginn der Beobachtung eine Schimmelpilzkultur eine Fläche von 6 000 mm².

a) Gib die Größe der Fläche in Quadratzentimeter an. (2P)

b) • Berechne die fehlenden Werte in der Tabelle in der Anlage.

• Zeichne den dazugehörigen Graphen in das Koordinatensystem in der Anlage.

• Gib an, nach welcher Zeit die von den Pilzen ursprünglichbedeckte Fläche auf ein Drittel abgenommen hat. (7P)

Die Größe der bedeckten Fläche kann auch mithilfe der Funktionsgleichung ( ) 6 000 0,8xf x berechnet werden. Dabei gibt x die Zeit in Tagen seit Beginn der Beobachtung an und ( )f x die Größe der bedeckten Fläche in Quadratmillimetern.

c) Ermittle rechnerisch – zum Beispiel durch Ausprobieren – auf zwei Nachkommastellengenau, wann die bedeckte Fläche nur noch halb so groß ist wie zu Beginn der Beobachtung. (6P)

Nach 10 Tagen wird der behandelten Pilzkultur ein Gegenmittel zugeführt, das das Absterben der Pilzkultur stoppt und zum täglichen Wachstum der Kultur um 4 % führt. Dieses Wachstum wird durch die Funktion w mit der Funktionsgleichung ( ) 435,23 1,04xw x beschrieben. Dabei steht x wieder für die Zeit in Tagen seit Beginn der Beobachtung und ( )w x für die Größe der bedeckten Fläche in Quadratmillimetern.

d) Zeige, dass bei 10x der Graph von w an den Graphen von f fast lückenlos anschließt. (3P)

e) Wähle aus, nach wie viel Tagen seit Beginn der Beobachtung der ursprüngliche Flächeninhaltvon 6 000 mm² zum ersten Mal überschritten wird.(1) 10 Tage (2) 39 Tage (2) 43 Tage (3) 67 Tage (4) 75 Tag (5) 86 Tage (2P)

Stelle dir im Koordinatensystem eine senkrechte Gerade an der Verbindungsstelle 10x der beiden Graphen von f und w vor.

f) Begründe, warum die beiden Graphen nicht achsensymmetrisch zu dieser Geraden sind. (2P)


107

Anlage zur Aufgabe "Schimmelpilzkultur"

Zeit x in Tagen

0 1 2 3 4 5 6

Bedeckte Fläche y in mm² (gerundet auf ganze mm²)

6000 3072 1966 1573

x

y

-1 1 2 3 4 5 6

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

4500

5000

5500

6000



108

Schimmelpilzkultur


I II III

a) Die Fläche ist 60 cm² groß. 2

b) • 1x : 4 6000 48005

2x : 4 4800 38405

4x : 4 3072 2457,6 24585

Zeit x in Tagen

0 1 2 3 4 5 6

Bedeckte Fläche yin mm² (gerundet auf ganze mm²)

6000 4800 3840 3072 2458 1966 1573

•

x

y

-1 1 2 3 4 5 6

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

4500

5000

5500

6000

• Nach knapp 5 Tagen ist nur noch ein Drittel der ursprünglichen Fläche bedeckt. 4 3


109


I II III

c) Es gilt: ( ) 6 000 0,8xf x .

Die Hälfte des Anfangsflächeninhalts von 6 000 mm² wird eingesetzt:

3 000 6 000 0,8 |: 6 0000,8 0,5

x

x

Durch Probieren erhält man: 3,10,8 0,5007...3,110,8 0,4995...

Der gesuchte Zeitraum liegt zwischen 3,10 und 3,11 Tagen. 3,1050,8 0,5001...3,1060,8 0,50003...3,1070,8 0,4999...

Der gesuchte Wert liegt also zwischen 3,106 und 3,107.

Nach ca. 3,11 Tagen ist nur noch die Hälfte der Fläche bedeckt.

Alternative: 3

3,1

3,105

3,106

3,107

(3) 6000 0,8 30723,1 6000 0,8 3004,209...

3,105 6000 0,8 3000,859...

3,106 6000 0,8 3000,1899...

3,107 6000 0,8 2999,5205...

ff

f

f

f

Der gesuchte Wert liegt also zwischen 3,106 und 3,107.

Nach ca. 3,11 Tagen ist nur noch die Hälfte der Fläche bedeckt.

Der Prozess der Annäherung an die Lösung muss vom Prüfling dokumentiert werden. Dabei müssen zur Erreichung der Genauigkeit von zwei Nachkommastellen die Intervallgrenzen auf drei Nachkommastellen ermittelt werden (sonst wäre es unklar, wie man runden muss). Hier ist sehr streng zu bewerten.

Die Benutzung von Logarithmen wird nicht erwartet, ist aber zulässig. 5 1

d) Es gilt: 10(10) 6 000 0,8 644,24509... 644,25f

10(10) 435,23 1,04 644,24672... 644,25w

Mit einer Genauigkeit von zwei Nachkommastellen schließen die beiden Graphen ohne Lücke aneinander an. 3


110


I II III

e) Nach 67 Tagen wird wieder die ursprüngliche Fläche bedeckt.

Gemäß dem Operator "Auswählen" wird keine Begründung wie die folgende erwartet: 67435,23 1,04 6 024 6 000 aber 66435,23 1,04 5 793 6 000 2

f) • Die beiden Graphen sind nicht achsensymmetrisch, weil der Graph von fschneller fällt (pro Tag um 20 %) als der Graph von w steigt (pro Tag um 4 %).

• Die beiden Graphen sind nicht achsensymmetrisch, weil es nur 10 Tage dauert, um von 6 000 mm² auf einen Wert von 644,25 mm² zu fallen, aber von da an 57 Tage, um wieder auf 6 000 mm² zu gelangen.

Die zweite Argumentation ist nur möglich, wenn der Prüfling die Aufgaben d) und e) korrekt beantwortet hat.

Eine der beiden Argumentationen oder eine andere mathematisch schlüssige –etwa anhand einer genauen Zeichnung – wird erwartet. 2



111


Bürohaus "Berliner Bogen"

In Hamburg steht in der Nähe der S-Bahn-Station Berliner Tor ein Bürohaus. Es hat wegen seiner Form und Lage den Namen Berliner Bogen. Das Bürohaus besteht hauptsächlich aus Glas und Stahl.

Daten des Bürohauses:

Länge:140 m Breite: 72 m

a) Berechne die Größe der Gebäudegrundfläche. Gib dein Ergebnis in Quadratmetern und in Hektar an. (3P)

Der Inhalt der Gesamtfläche aller Stockwerke des Hauses ist 43 000 m². Davon werden 75 % vermietet. Die Mietpreise liegen bei durchschnittlich 15 € pro Quadratmeter und Monat.

b) Berechne die monatlichen Mieteinnahmen für das Gebäude. (2P)

In dem Bürohaus sind sechs große Grünflächen mit Pflanzen angelegt. Deren Gesamtflächeninhalt beträgt 3 300 m².

c) Berechne, wie viel Prozent des Gesamtflächenhalts des Hauses begrünt sind. (2P)

Im Keller des Hauses befindet sich ein quaderförmiges Wasserbecken. Es speichert Regenwasser, wenn es in Hamburg viel regnet. Das Becken ist 120 m lang, 39 m breit und kann bis zu 5,5 m hoch mit Wasser gefüllt werden.

d) Berechne, wie viele Liter Wasser das Becken aufnehmen kann. (2P)

Die Vorderseite des Hauses hat die Form einer Parabel. Denk dir ein Koordinatensystem, bei dem die x-Achse in Höhe der Straße verläuft und die y-Achse durch den Scheitelpunkt der Parabel geht.

e) Wähle aus, welche Funktionsgleichung den Verlauf des Parabelbogens ungefähr beschreibt: (2P)

(1) 2( ) 0,03 40f x x= + (2) 2( ) 0,03 40f x x= − + (3) 2( ) 0,03 40f x x= − −

Bei genauerer Messung ergibt sich, dass das Gebäude eine Höhe von 36 m hat.

f) Bestimme die Funktionsgleichung, deren Graph den Gebäudebogen beschreibt. (4P)


112

Die Zwischendecke des dritten Stockwerks befindet sich in einer Höhe von 12,7 m.

g) Bestimme die Breite dieser Zwischendecke. (4P) Hinweis: Wenn du in Aufgabenteil f) keine Gleichung ermitteln konntest, verwende für diesen Aufgabenteil eine der Gleichungen aus Aufgabenteil e).

Über das Gebäude soll entlang des Bogens ein Seil geworfen werden.

h) Beschreibe ein rechnerisches Verfahren, mit dem man anhand der Funktionsgleichung die Länge des Seils näherungsweise bestimmen kann. (3P)



113

Berliner Bogen


I II III

a) Die Grundfläche des Gebäudes ist ein Rechteck mit den Seitenlängen140 m und 72 m.

Für den Flächeninhalt gilt also:

140 7210 080

A a bAA

= ⋅= ⋅=

Das Gebäude hat einen Grundflächeninhalt von 10 080 m² oder 1,008 ha. 3

b) 75 % von 43 000 m² werden mit dem Dreisatz berechnet:

Berechnung der Mieteinnahmen:

32 250 15 483 750⋅ =

Die monatlichen Mieteinnahmen betragen 483 750 €.

% m²

100 43 000

1 430

75 32 250

2

c) Der Anteil der Grünfläche an der Gesamtfläche wird mit dem Dreisatz berechnet:

Ungefähr 7,7 % des Gesamtflächeninhalts des Hauses sind Grünflächen.

m² %

43 000 100

1 100

43 000

3 300 100 3303300 7,7

43 000 43⋅ = ≈

2

d) Das Wasserbecken hat die Form eines Quaders, dementsprechend gilt:

120 39 5,525 740

V a b cVV

= ⋅ ⋅= ⋅ ⋅=

.

25 740 m³ 25 740 000dm³ 25 740 000 l

Das Wasserbecken kann bis zu 25 740 000 Liter Wasser aufnehmen. 1 1


114


I II III

e) 2( ) 0,03 40f x x= − +

Eine mögliche Begründung wäre, dass die so beschriebene Parabel nach unten geöffnet ist und der Scheitelpunkt oberhalb der x-Achse liegt. Beides passt zur Abbildung. Gemäß dem Operator "Auswählen" ist jedoch keine Begründung erforderlich. 2

f) Wegen der Achsensymmetrie zur y-Achse hat die Parabelgleichung die folgende allgemeine Form: 2( )f x a x c= ⋅ +

Es gilt unmittelbar: 236 (0) 0f a c= = ⋅ +

Damit ist 36c .

Aus der Breite der Bürohauses (72 m) ergeben sich die beiden Nullstellen:

722 36x

Eingesetzt in die Parabelgleichung: 2

2 2

136

0 36 36 36

36 36 : 36

a

a

a

= ⋅ + −

⋅ = −

= −

Die Parabel hat also die Gleichung 2136

( ) 36f x x= − + . 4

g) Man muss berechnen, wo die Parabel die horizontale Gerade, die von der x-Achse den Abstand 12,7 hat, schneidet:

2

2

2

136

136

36 12,7 36

123,3 :36

838,8

838,8

x

x

x

x

− + = −

− = − −

=

= ±

Die Breite z der Zwischendecke ergibt sich dann wie folgt:

2 838,8 57,9 z = ⋅ ≈

Die Zwischendecke ist ca. 57,9 m breit.

Entsprechend andere Ergebnisse erhält man, wenn eine der alternativen Gleichungen aus Aufgabenteil e) verwendet wurde. 1 3


115


I II III

h)

In mehreren Abschnitten wird der Satz des Pythagoras angewendet, sodass man die Bogenlänge als Summe von mehreren Hypotenusenlängen ermitteln kann. Je kleiner man die rechtwinkligen Dreiecke wählt, desto genauer wird das Ergebnis

Die Länge der waagerechten Katheten berechnet sich als Differenz der x-Werte, die der senkrechten Katheten analog als Differenz der y-Werte, die mithilfe der Funktionsgleichung ermittelt werden.

Wegen der Symmetrie der Parabel reicht die Berechnung der Länge eines Teilbogens, diese wird dann verdoppelt.

Es sind auch andere Antworten möglich, bei der Bewertung ist großzügig vorzugehen. Wichtig für die Erteilung der vollen Punktzahl ist, dass der Prüfling gemäß der Aufgabenstellung die Funktionsgleichung ins Spiel bringt und somit eine rechnerische Lösung darstellt.

Gemäß dem Operator "Beschreiben" ist keine Rechnung erforderlich.

3



116


Soziale Netzwerke

Die Internet-Plattform facebook ist bei Hamburger Jugendlichen beliebt. An einem Tag melden sich die ersten drei Jugendlichen einer bestimmten Stadtteilschule bei facebook an. Im Folgenden wird untersucht, wie sich diese Zahl innerhalb von 14 Tagen verändert. Am Ende des Beobachtungszeitraumes sind im-merhin bereits 1 292 Jugendliche der Schule Mitglieder bei facebook.

Jedes facebook-Mitglied der Schule lädt jeden Tag einen weiteren Schüler oder eine weitere Schülerin ins Netzwerk ein, der oder die die Einladung noch im Laufe des Tages bestätigt.

a) Vervollständige die erste Wertetabelle in der Anlage. (3P)

Nach sieben Tagen sind bereits sehr viele Jugendliche der Schule facebook-Mitglieder. Es kommen jetzt nur noch 220 Personen pro Tag neu hinzu.

b) Vervollständige die zweite Wertetabelle in der Anlage. (2P)

Vom zehnten bis zum Ende des 14. Tages erfolgt der Mitgliederzuwachs immer langsamer, da immer mehr Jugendliche der Schule bereits bei facebook angemeldet sind.

In der Anlage sind vier mögliche graphische Darstellungen für die Entwicklung der Mitgliederanzahl innerhalb des gesamten Beobachtungszeitraums gegeben. Dabei markiert jeweils die x-Achse die Zeit und die y-Achse die Mitgliederanzahl.

c) • Entscheide dich für denjenigen Funktionsgraphen, der die Entwicklung am besten beschreibt.

• Begründe für einen der nicht ausgewählten Funktionsgraphen, warum er nicht infrage kommt. (6P)

Die Entwicklung der Mitgliederzahl kann in Abhängigkeit von der Zeit x (in Tagen) in den einzelnen Zeitabschnitten durch unterschiedliche Funktionsterme beschrieben werden:

2

3 2 für 0 7( ) ? für 7 10, also alle -Werte von 7 bis 10 (Grenzen eingeschlossen)

16 460 2012 für 10 14

x xf x x x

x x x

d) Bestätige anhand der dir bekannten Daten durch jeweils eine Beispielrechnung, dass die beiden gegebenen Funktionsterme die Mitgliederzahl tatsächlich beschreiben. (4P)

e) Bestimme den fehlenden Funktionsterm für den zweiten Zeitabschnitt. (4P)

f) Gib eine sinnvolle Fragestellung an, die mithilfe des Funktionsterms für das Intervall 7 10x beantwortet werden kann, und beschreibe kurz, wie du die entsprechende Antwort erhältst. (3P)


117

Anlage zur Aufgabe "Soziale Netzwerke"

Zum Aufgabenteil a)

Erster Zeitabschnitt:

Tag 0 1 2 3

Anzahl der Mitglieder 3

Zum Aufgabenteil b)

Zweiter Zeitabschnitt:

Tag 7 8 9

Anzahl der Mitglieder 384

Zum Aufgabenteil c)


C

A B

D


118

Soziale Netzwerke


I II III

a)

Tag 0 1 2 3

Anzahl der Mitglieder 3 6 12 24 3

b)

Tag 7 8 9

Anzahl der Mitglieder 384 604 824 2

c) • Graphik D modelliert den vorgestellten Sachverhalt in geeigneter Weise.

Zunächst wächst die Mitgliederzahl immer schneller an, wächst dann linear, um schließlich, wenn immer mehr Jugendliche bereits angemeldet sind, immer langsamer zuzunehmen. Diese Sachverhalte werden nur bei Graphik D gezeigt.

Gemäß dem Operator "Entscheiden" muss die Antwort begründet werden.

• Graphik A kommt nicht infrage, weil hier durchgängig das lineare Wachstum des zweiten Beobachtungsabschnitts zugrunde gelegt wird, was aber auf den ersten (exponentiell verlaufenden) Abschnitt und den dritten (abflachend verlaufenden) Abschnitt nicht zutrifft. Ferner sind nach 7 Tagen hier bereits ca. 700 Jugendliche angemeldet, was dem Eintrag in der Wertetabelle in der Anlage zum Aufgabenteil b) widerspricht.

Graphik B kommt nicht infrage, weil hier nirgends eine lineare Zunahme erfolgt, wie sie jedoch der mittlere Beobachtungsabschnitt vorgibt. Nach 7 Tagen wären zudem deutlich mehr Jugendliche (mehr als 900) angemeldet, als dem Wertetabelleneintrag in der Anlage zum Aufgabenteil b) entspricht.

Graphik C kommt nicht infrage, weil hier ausschließlich mit einer Exponentialfunktion modelliert wird. Darüber hinaus sind hier nach 7 Tagen deutlich weniger Jugendliche (weniger als 100) angemeldet als im Wertetabelleneintrag in der Anlage zum Aufgabenteil b) angegeben.

Nur zu einer Graphik ist eine Argumentation erforderlich. Dabei wird entweder die Argumentation über die Wertetabelle oder die Argumentation über den Verlauf des Graphen erwartet. Es sind aber auch andere schlüssige Argumentationen möglich. 4 2

d) Der Funktionsterm für den ersten Zeitabschnitt stimmt z. B. für x = 0, weil zu Beginn 0(0) 3 2 3 1 3f Jugendliche bei facebook angemeldet sind.

Das Einsetzen anderer x-Werte aus dem ersten Intervall ist ebenfalls zulässig.

Der Funktionsterm für den dritten Zeitabschnitt stimmt für x = 14, weil am 14. Tag 2(14) 16 14 460 14 2012 1 292f Schüler bei facebookangemeldet sind. 4


119


I II III

e) Im zweiten Zeitabschnitt entwickeln sich die Anmeldezahlen linear, weil jeden Tag die gleiche Anzahl von 220 Personen hinzukommen. Dies entspricht der Steigung des Geradenstücks. Es gilt also die Geradengleichung 220y x n . Der Wert n bestimmt sich wie folgt:

384 220 7384 1540

1156

nn

n

Der gesuchte Funktionsterm lautet also 220 1156x . 2 2

f) Eine sinnvolle Fragestellung, die mithilfe des hier ermittelten Funktionsterms beantwortet werden kann, lautet z. B.: „Wie viele Jugendliche der Stadtteilschule sind nach 8 Tagen bei facebook angemeldet?“

Die Antwort erhält man durch Einsetzen der Zahl 8 für x.

Andere sinnvolle Fragestellungen sind möglich, z. B. die Frage nach der Zeit, wenn die Anzahl der Mitglieder vorgegeben wird. In diesem Fall wäre eine Gleichung zu lösen. Um die volle Punktzahl zu erhalten, ist es erforderlich, dass sich die vorgegebene oder zu berechnende Zeit x im Intervall 7 10x befindet.

2 1



120


Kerzen

Es werden drei unterschiedliche Kerzen betrachtet: Die Kerzen 1 und 2 sind zylinderförmig, Kerze 3 hat die Form eines Kegels mit der Spitze nach oben. Alle drei Kerzen werden gleichzeitig angezündet.

Dabei lässt sich die jeweils verbleibende Kerzenhöhe y (in cm) in Abhängigkeit von der Brenndauer x (in Stunden) als Abbrenn-funktion beschreiben.

Das Schaubild in der Anlage zeigt, wie Kerze 1 gleichmäßig abbrennt.

Kerze 1 Kerze 2 Kerze 3

a) Gib mithilfe dieser Grafik an

• die Höhe der Kerze 1 vor Beginn des Abbrennvorgangs sowie

• die Dauer des Abbrennvorgangs bis zum vollständigen Abbrennen der Kerze. (2P)

Kerze 2 ist zum Zeitpunkt des Anzündens 18 cm hoch. Nach zwei Stunden ist sie 3 cm kürzer.

b) • Zeichne den Graphen der Abbrennfunktion für die Kerze 2 in das Koordinatensystem in der Anlage.

• Gib an, zu welchem Zeitpunkt Kerze 2 vollständig abgebrannt ist.

• Gib mithilfe der graphischen Darstellungen den Zeitpunkt an, zu dem Kerze 1 und Kerze 2 gleich hoch sind. (5P)

c) • Zeige, dass die Gleichung ( ) 0,8 16f x x die Funktionsgleichung der Abbrennfunktion von Kerze 1 darstellt.

• Berechne mithilfe dieser Funktionsgleichung, wie lange es dauert, bis Kerze 1 nur noch 10 cm hoch ist. (6P)

d) Begründe, warum die Abbrennfunktion zu Kerze 3 nicht linear ist. (3P)

Kerze 1 und Kerze 3 haben zu zwei Zeitpunkten die gleiche Höhe, und zwar nach etwa 12 Minuten und nach etwa 17,5 Stunden. Kerze 3 hat eine Anfangshöhe von 20 cm, ihre Brenndauer beträgt 24 Stunden.

e) Skizziere unter Verwendung der bekannten Daten den Graphen der Abbrennfunktion von Kerze 3 in der Anlage. (3P)

f) Beschreibe, wie sich die Brenndauer von Kerze 1 ändert, wenn in der Funktionsgleichung

• statt 16 eine größere Zahl stehen würde,

• statt – 0,8 eine kleinere Zahl stehen würde.

Begründe jeweils deine Antwort. (3P)


121

Anlage zur Aufgabe „Kerzen“



122

Kerzen


I II III

a) • Beim Anzünden hat die Kerze eine Höhe von 16 cm.

• Nach 20 Stunden ist die Kerze vollständig abgebrannt. 2

b) • Aus dem Text ergeben sich die Punkte (0|18) und (2|15), mit deren Hilfeman die Gerade zu Kerze 2 zeichnen kann.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

Abbrenndauer in Stunden

Resthöhe der Kerzen in cm

Kerze 1

Kerze 2

• Die Kerze 2 ist nach 12 Stunden vollständig abgebrannt.

Die korrekte Angabe der Dauer bis zum vollständigen Abbrennen ist auchohne gezeichneten Graphen zu akzeptieren.

• Die Kerzen sind nach etwas weniger als 3 Stunden gleich lang.

Die Schnittstelle befindet sich bei 0 2,86t . Diese Genauigkeit wird hier nicht erwartet, jedoch eine Angabe knapp unter 3 Stunden. 5


123


I II III

c) • Bekannt sind die beiden Geradenpunkte 0 |16 und 20 | 0 aus der Darstellung in der Anlage.

Ausgehend von der allgemeinen Form der Gleichung einer linearen Funktion ( )f x a x b erhält man durch Einsetzen der Punkte:

0 |16 : 16 0a b und damit b = 16.

20 | 0 : 0 20a b und weiter 0 20 16a woraus folgt: 0,8a

Die Gleichung der Abbrennfunktion von Kerze 1 lautet: ( ) 0,8 16f x x

Alternative:

Allgemeine Form der linearen Funktion: ( )f x a x b , wobei a die Steigung und b den y-Achsenabschnitt angibt.

Steigungsdreieck: 0 16 16 0,820 0 20

a

y-Achsenabschnitt: b = 16

Die Gleichung der Abbrennfunktion von Kerze 1 lautet: ( ) 0,8 16f x x

• Gesucht ist der Zeitpunkt, zu dem Kerze 1 noch 10 cm hoch ist:

10 0,8 16 16

0,8 6 : ( 0,8)7,5

x

xx

Kerze 1 ist somit nach 127 Stunden nur noch 10 cm lang. 3 3

d) Im Gegensatz zu den Kerzen 1 und 2 hat die Kerze 3 einen von oben nach unten zunehmenden Querschnitt, sodass die Kerze pro Zeiteinheit nicht immer um denselben Betrag kürzer wird.

Der Bezug zur Linearität (pro Zeiteinheit dieselbe Änderung) muss in der Antwort deutlich werden. 3


124


I II III

e)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

Abbrenndauer in Stunden

Resthöhe der Kerzen in cm

Kerze 1

Kerze 2

Kerze 3

Um die volle Punktzahl zu erhalten, muss der Graph die folgenden Eigenschaften haben:

• Die Kurve muss (an jeder Stelle) linksgekrümmt sein und darf keinen Knick enthalten.

• Die Kurve beginnt bei (0|20) und fällt zunächst stärker als der Graph von Kerze 1, flacht aber (von Anfang an) ab.

• Die Kurve schneidet den Graphen von Kerze 1 bei (etwa) x = 0,2 und bei x = 17,5.

• Die Kurve endet bei (24|0) auf der x-Achse. 3

f) • Die Brenndauer erhöht sich, weil die Gerade parallel nach oben verschoben wird und damit die Nullstelle nach rechts rückt.

• Die Brenndauer verringert sich, weil die Gerade steiler fällt und damit die Nullstelle nach links rückt.

Auch Begründungen, die sich aus dem Sachtext ergeben, sind zu akzeptieren, z. B. im ersten Fall "… weil die Kerze zu Beginn größer ist." oder im zweiten Fall "… weil die Kerze dann schneller abbrennt.". Wichtig ist, dass beim zweiten Spiegelpunkt erkannt wird, dass "kleiner als –0,8" auf der Zahlengeraden ein Wert "links von –0,8" bedeutet.

3



125


Autofähre auf dem Bodensee

Auf dem Bodensee werden die Städte Meersburg und Konstanz durch eine Autofähre miteinander verbunden. Die Länge der Fahrstrecke beträgt 5 km.

a) Berechne, wie lang die Strecke in Seemeilen ist (1 sm = 1,852 km). (2P)

Die reine Fahrzeit der Fähre wird mit 18 Minuten angegeben.

b) Berechne die Durchschnittsgeschwindigkeit (in kmh ) für eine Überfahrt. (2P)

Eine der Fähren, die auf dieser Strecke verkehren, wird "schwimmende Brücke" genannt. Die folgende Grafik zeigt eine Skizze dieser Fähre.

Die Fähre ist 82,37 m lang und 13,40 m breit. Ihr höchster Punkt A liegt 8,2 m über dem Parkdeck (siehe Anlage). Die Fußpunkte B und C des äußeren Bogens sind 46,50 m voneinander entfernt (siehe Anlage).

Denke dir – wie in der Anlage 2 dargestellt – ein Koordinatensystem, bei dem die x-Achse auf dem Parkdeck der Fähre liegt. Die y-Achse verläuft durch den Scheitelpunkt des äußeren Bogens und bildet zu ihm eine Symmetrieachse.

c) Gib die Koordinaten der Punkte A, B und C an. (3P)

Der äußere Bogen lässt sich durch eine Funktionsgleichung der Form 2( )f x ax c beschreiben.

d) • Gib von den folgenden Funktionsgleichungen diejenige an, die den Verlauf des äußeren Parabelbogens am ehesten beschreibt.

• Begründe für die beiden anderen, warum sie nicht geeignet sind. (4P)

(I) 2( ) 0,02 8,2f x x (II) 2( ) 0,02 8,2f x x (III) 2( ) 0,02 8,2f x x

e) Bestimme mithilfe der im obigen Text genannten Längenangaben die genaue Funktionsgleichung für den äußeren Parabelbogen. (5P)

Die Form des inneren Parabelbogens (siehe Anlage) lässt sich durch die Funktionsgleichung 2( ) 0,021 7,7g x x beschreiben.

Die Zwischendecke befindet sich in einer Höhe von 4,8 m über dem Parkdeck.

f) Bestimme mithilfe der Funktion g die Länge der Zwischendecke. (4P)

Alle Fenster unterhalb des inneren Parabelbogens sollen geputzt werden.

g) Beschreibe, wie man mithilfe der Funktionsgleichung zu g eine Abschätzung der zu putzenden Fläche ermitteln kann. (2P)


126

Anlage zur Aufgabe "Autofähre auf dem Bodensee"

A

BC

x

y

Läng

e de

r Zw

isch

ende

cke



127

Autofähre auf dem Bodensee


I II III

a) Lösung z. B. mithilfe des Dreisatzes:

km sm

1,852 1

1 1

1,852

5 5 2,70

1,852

Die Strecke ist ca. 2,70 Seemeilen lang. 2

b) 518 60

5 601850 16,73

x

x

x

Die Fähre hat eine Durchschnittsgeschwindigkeit von ca. kmh16,7 .

Auch eine Lösung z. B. über eine Dreisatzrechnung ist möglich. 2

c) A (0|8,2) B (23,25|0) C (–23,25|0) 2 1

d) Richtig ist (III).

(I) Wegen der Öffnung der Parabel nach unten muss der Faktor a negativ sein, und das ist bei (I) nicht der Fall.

(II) Der Schnittpunkt der Parabel mit der y-Achse liegt im positiven Bereich, deshalb muss c positiv sein. Das ist bei (II) nicht der Fall.

Andere Argumentationen, etwa über eine Punktprobe, sind möglich. 4


128


I II III

e) Schnittpunkt mit der y-Achse bei y = 8,2: 28,2 0

8,2a c

c

Hier ist auch die direkte Angabe 8,2c (ohne Gleichungsansatz) als korrekt zu werten.

Nullstelle bei 0,5 46,5 23,25x :

2

2

2

0 23,25 8,28,2 23,25

8,223,25656

43245

aa

a

a

Damit ergibt sich die folgende Funktionsgleichung:

2656( ) 8,243245

f x x

Der Faktor a kann auch gerundet angegeben werden. 5

f) Durch Einsetzen der Höhe von 4,8 m in die Funktionsgleichung zu g erhält man:2

2

2

4,8 0,021 7,72,9 0,021

2,90,021

2,90,021

xx

x

x

Der Abstand d der beiden Lösungen voneinander ergibt sich durch

2,92 23,502786... 23,50,021

d

Die Zwischendecke hat damit eine Länge von ungefähr 23,5 m. 4


129


I II III

Wegen der Symmetrie der Parabel reicht es, nur die Fenster im ersten Quadranten zu betrachten. Deren Flächeninhalt wird dann verdoppelt.

Die Fläche wird zerlegt in ein Trapez und ein rechtwinkliges Dreieck. Die Längen der horizontalen Seiten lassen sich als Differenz von x-Werten bestimmen. Der x-Wert an der rechten Begrenzung des Bogens bestimmt sich als Nullstelle der Funktion g. Die Längen der vertikalen Seiten lassen sich als y-Werte mithilfe der Funktionsgleichung ermitteln.

Die Flächeninhalte berechnet man mithilfe der bekannten Formeln.

Andere Vorgehensweisen sind möglich. Bei der Bewertung ist großzügig vorzugehen. Wichtig für die Erlangung der vollen Punktzahl ist, dass gemäß der Aufgabenstellung die Funktionsgleichung in die Berechnung einbezogen wird. 2


y

x


130


Bremswege

Die Länge eines Bremswegs wird häufig unterschätzt. Der Bremsweg umfasst die Strecke, die das Auto vom Betätigen des Bremspedals bis zum Stillstand zurücklegt. Auf nasser Fahrbahn verdoppelt sich der Bremsweg. In der Fahrschule lernt man eine Faustformel für den Bremsweg auf trockener Fahrbahn:

2kmhGeschwindigkeit (in )

Bremsweg (in m) = 10

a) Berechne den Bremsweg s für eine Geschwindigkeit von 60 kmh sowohl auf

trockener als auch auf nasser Straße mithilfe der Faustformel. (4P)

Ein Auto kommt auf nasser Straße nach einer Vollbremsung zum Stehen. Die Bremsspur ist 128 m lang.

b) Berechne die Geschwindigkeit zu Beginn des Abbremsvorganges mithilfe der Faustformel. (4P)

Die Faustformel ist eine grobe Schätzung, um den Bremsweg zu berechnen. Der Zusammenhang zwischen Bremsweg und Geschwindigkeit eines Fahrzeugs wird durch die Funktionsgleichung

( ) ²f x a x dargestellt. Dabei gibt x die Geschwindigkeit des Autos in kmh an, ( )f x steht für die Länge

des Bremsweges in m. Der "Bremsfaktor" a hängt auch vom Straßenzustand ab. In der Anlage ist der "Bremsweggraph" für eine nasse Straße dargestellt.

c) Bestätige anhand von abgelesenen Koordinaten eines Punktes, dass dem Graphen der Faktor a = 0,0125 zugrunde liegt. (3P)

d) • Skizziere im Koordinatensystem in der Anlage den Graphen für eine trockene Straße. • Begründe den Verlauf des Graphen. • Gib die Funktionsgleichung für den Bremsweg auf trockener Straße an. (6P)

e) Beschreibe, wie sich der Bremsweg ändert, wenn sich die Geschwindigkeit um einen Faktor k verändert. (2P)

Der komplette Anhalteweg eines Fahrzeugs ergibt sich, wenn man zum Bremsweg einen Reaktionsweg addiert. Der Reaktionsweg gibt an, wie weit das Fahrzeug fährt, bevor man reagiert und die Bremse betätigt.

Anhalteweg = Reaktionsweg + Bremsweg

Für den Reaktionsweg gilt folgende Faustformel: kmhGeschwindigkeit (in )

Reaktionsweg (in m) = 310

f) Entscheide, mithilfe welcher der folgenden Gleichungen die gefahrene Geschwindigkeit xermittelt werden kann, wenn der Anhalteweg 120 m beträgt. (3P)

2120 0,01 0,3x x2120 3 120

10 10x

312010

x 3 12010

x 2120 0,01x2120

10x


131

Anlage zur Aufgabe "Bremswege"

x

f(x)

10 20 30 40 50 60 70 80

10

20

30

40

50

60

70

80

90

Quellen: Realschulabschlussprüfung Hamburg 2006, Dritttermin (überarbeitet)

Realschulabschlussprüfung Hamburg 2009, Haupttermin (überarbeitet)


132

Bremswege


I II III

a) Bremsweg s auf trockener Straße:

s = 260

10= 36

Bremsweg s auf nasser Straße:

36 2 = 72

Die Länge des Bremsweges beträgt bei kmh60 auf trockener Straße ungefähr 36 m,

auf nasser Fahrbahn ungefähr 72 m, wenn man die „Faustformel“ anwendet. 4

b) Da die Formel für trockene Straßen gilt, muss die Länge der Bremsspur zunächst halbiert werden: 128 : 2 = 64

Sei x die gesuchte Geschwindigkeit in kmh .

2

64 = |10

8 | 1010

80

x

x

x

|

Der negative Wert ist hier irrelevant.

Wendet man die Faustformel an, fuhr das Auto vor Beginn des Abbremsvorganges mit einer Geschwindigkeit von 80 km

h . 2 2

c) Man wählt einen beliebigen (vom Ursprung verschiedenen) Punkt auf dem Graphen aus, z. B. (40|20). Durch Einsetzen der Koordinaten in die Funktionsgleichung 2( )f x a x= ⋅ lässt sich der Bremsfaktor a berechnen:

2 2

2

20 40 | : 40 20 400,0125

a

a

a

= ⋅

=

= 3


133


I II III

d) •

x

f(x)

10 20 30 40 50 60 70 80

10

20

30

40

50

60

70

80

90

• Auf trockener Straße sind die Bremswege nur halb so groß. Deshalb hat die zu skizzierende Kurve (unterer Graph) zu jedem x-Wert nur einen halb so großen y-Wert wie die vorgegebene Kurve (obere Graph).

• ( ) 0,00625 ²trockenf x x 6

e) Der Bremsweg ändert sich um den Faktor 2k .

Es wird gemäß dem Operator "Beschreiben" keine Begründung verlangt. 2

f) Der Sachverhalt wird durch die folgende Gleichung richtig beschrieben: 2120 0,01 0,3x x

Begründung:

Anhalteweg = Reaktionsweg + Bremsweg

Der Anhalteweg beträgt 120 (Meter). Dann gilt mit der Geschwindigkeit x und den beiden Faustformeln:

2

2

2

2

120 310 10

3120100 10

1 3120100 10

120 0,01 0,3

x x

x x

x x

x x 3



134

2,0 m

4,5 m

6,0 m

Leitidee Raum und Form sowie Leitidee Messen

Wassertank

In der nebenstehenden Abbildung ist ein Wassertank dargestellt. Oben ist der Wassertank abgedeckt. Hinweis: Die Abbildung ist nicht maßstabsgerecht.

a) Gib an, aus welchen Körpern der Wassertank zusammengesetzt ist. (2P)

Der zylinderförmige Teil des Tanks soll von außen einen neuen Anstrich erhalten.

b) Bestätige, dass dazu eine Fläche von ca. 31,4 m² angestrichen werden muss. (3P)

c) Berechne, wie viel Liter Farbe man braucht, wenn 1 Liter für 8 m² ausreicht. (2P)

d) Entscheide mithilfe eines Überschlags ohne Taschenrechner, welches der folgenden Volumina ungefähr das Gesamtvolumen des Tanks angibt. (3P)

5 m³ 15 m³ 35 m³ 45 m³

Der untere spitze Teil des Tanks wird bis zu seiner halben Höhe mit Wasser gefüllt.

e) Bestimme, wie viel Wasser (in Kubikmetern) der untere spitze Teil des Tanks dann enthält. (5P)


135

Der Tank wird vollständig entleert. Dann wird er gleichmäßig mit Wasser befüllt. Wenn er voll ist, stoppt der Zulauf.

f) • Wähle denjenigen Graphen aus, der am besten zeigt, wie sich die Höhe des Wasserspiegels mit der Zeit ändert. • Begründe für einen der anderen Graphen, warum er die Änderung nicht gut beschreibt. (4P)

Zeit in min

Höhe des Wasserspiegels in m

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1

2

3

4

5

6

7

Zeit in min


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1

2

3

4

5

6

7

A B

Zeit in min


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1

2

3

4

5

6

7

Zeit in min


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1

2

3

4

5

6

7

C D

Es soll ein neuer Wassertank angeschafft werden. Zur Auswahl steht ein zylinderförmiger Tank, dessen Durchmesser gleich seiner Höhe ist, und ein kugelförmiger Tank gleichen Oberflächeninhalts.

g) Ermittle, um wie viel Prozent der Kugelradius größer als der Zylinderradius ist. (3P)

Quelle: KMK-Bildungsstandards Mathematik. Mittlerer Abschluss, 2003 (überarbeitet)


136

Wassertank


I II III

a) Der Wassertank setzt sich zusammen aus einem Zylinder und einem Kegel. 2

b) Oberfläche des vollständigen Zylinders: 2

Zylinder 2 2O r r h= ⋅ +π π

Oberfläche des Zylinders ohne Boden:

2 2 2Zylinder ohne Boden

2Zylinder ohne Boden

Zylinder ohne Boden

2 2 2

1 2 1 4,5 10 31,4159...

31,4

O r r h r r r h

O

O

π π π π π

π π π

= ⋅ + − ⋅ = ⋅ +

= ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ = =

≈

Es müssen also ca. 31,4 m² angestrichen werden. 2 1

c) 31,4 :8 3,925 4= ≈

Man braucht ca. 4 l Farbe. 2

d) Es gilt allgemein: 2 2

Zylinder Kegel13

V r h V r h

Einsetzen der Werte und überschlagen der Ergebnisse: 2

Zylinder 1 4,5 3 1 4,5 13,5V

Höhe des Kegels: 6 – 4,5 = 1,5

2 2Kegel

1 11 1,5 3 1 1,5 1,53 3

V

Wegen 13,5 1,5 15 beträgt das Tankvolumen etwa 15 m³.

Rechnet der Prüfling offensichtlich mithilfe des Taschenrechners, ist ein Punkt abzuziehen. 3

e) Es gilt für die Höhe h:

1,5 0,752

h

Auf der halben Höhe ist der Radius auch nur halb so groß, deshalb gilt:

0,5r

Allgemein gilt die Formel:

2Kegel

13

V r h

Damit gilt für den unteren spitzen Teil: 21 1

3 16Kegel halbe Höhe0,5 0,75 0,1963495... 0,2V = ⋅ ⋅ ⋅ = = ≈π π

Das Wasservolumen beträgt ca. 0,2 m³. 4 1


137


f) • Graph D stellt den Sachverhalt am besten dar.

Gemäß dem Operator "Auswählen" wird keine Begründung wie die folgende gefordert: Der Graph steigt erst schnell und dann langsamer an. Das entspricht dem Steigen des Wasserstandes im Kegel, der unten eng und nach oben weiter wird. Es folgt ein Abschnitt, in dem der Graph mit konstanter positiver Steigung verläuft, das entspricht dem Steigen des Wassers im Zylinder, der einen konstanten Querschnitt hat. Der horizontale Verlauf in einer Höhe von 6 m ist dadurch verursacht, dass das Wasser wegen der Tankhöhe nicht höher stehen kann.

• Es muss für einen der anderen Graphen begründet werden, warum er nicht gut passt, zum Beispiel:

Graph A: Der erste Teil verläuft mit einer konstanten Steigung und berücksichtigt so nicht, dass das Wasser im kegelförmigen Teil zuerst schnell und dann langsamer steigt.

Graph B: Der horizontale Abschnitt verläuft höher als 6 m. Da der Tank nur 6 m hoch ist, ist dies nicht möglich.

Graph C: Der Graph steigt erst langsam, dann schneller. Das ist nicht möglich, weil das Wasser im kegelförmigen Teil erst schnell und dann langsamer steigt.

Andere Argumentationen sind möglich. 2 2

g) Für die Höhe h des Zylinders mit Durchmesser Zd und Radius Zr gilt:

2Z Zh d r

Damit ist der Inhalt seiner Oberfläche: 2 2 2 2 2

Zylinder 2 2 2 2 2 2 4 6Z Z Z Z Z Z Z ZO r r h r r r r r r= ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ = ⋅ + =π π π π π π π

Für den Oberflächeninhalt einer Kugel mit Radius Kr gilt:

2Kugel 4 KO r

Die beiden Oberflächeninhalte sollen gleich groß sein, also:2 2

2 2 2

2

2

2

4 6 |: (4 )

1,5 |:

1,5

1,5 |

1,5

1,22

K Z

K Z Z

K

Z

K

Z

K

Z

K

Z

r rr r rrr

rr

rrrr

Der Kugelradius ist ungefähr um 22 % größer als der Zylinderradius.

3


Die negative Lösung der quadratischen Gleichung ist im Sachkontext irrelevant.


138


Windpark

Für einen neuen Windpark sollen Windräder aufgestellt werden.

Ein Windrad besteht aus drei Rotorblättern. Ein Rotorblatt ist 16 m lang.

a) Gib durch Abschätzung mithilfe der nebenstehenden Abbildung die ungefähre Höhe des Stahlturmes bis zur Stelle, an der der Rotor befestigt ist, an und begründe deine Angabe. (2P)

Die sich drehenden Rotorblätter beschreiben eine Kreisfläche.

b) Bestätige, dass diese Kreisfläche einen Inhalt von ca. 804,25 m². hat. (3P)

Das Spielfeld einer Turnhalle ist etwa 364 m² groß.

c) Berechne, wievielfach größer die Kreisfläche als die Fläche einer solchen Turnhalle ist. (2P)

Bei einer Windgeschwindigkeit von mehr als 25 Metern in der Sekunde wird die Anlage aus Sicherheitsgründen gestoppt. Bei dieser Windgeschwindigkeit drehen sich die Rotorblätter in 3 Sekunden zweimal.

d) Bestätige, dass sich die Spitzen der Rotorblätter dann mit einer Geschwindigkeit von etwas mehr als km

h240 bewegen. (3P)

Zunächst sollen drei Windräder an den Standorten A, B und C aufgestellt werden (siehe nebenstehende, nicht maßstabsgetreue Skizze). Folgende Daten sind bekannt:

c = 285 m 51α = ° 62β = °

Aus Sicherheitsgründen müssen die Standorte der Windräder mindestens 240 m voneinander entfernt sein. Die Standorte A und C erfüllen mit einem Abstand von ca. 273 m diese Bedingung.

e) Entscheide, ob der Sicherheitsabstand auch bei den Standorten B und C eingehalten wurde. (4P)


139

Der Standort D eines vierten Windrades soll spiegelbildlich zum Standort C bezüglich AB liegen.

f) Bestimme die Entfernung zwischen den Standorten C und D. (4P)

Ein Spaziergänger wiegt 84 kg, ist 1,77 m groß, hat schwarze Haare, eine Nasenlänge von 5 cm, eine Augenhöhe von 1,69 m, ist 71 Jahre alt und hat die Schuhgröße 41.

Dieser Spaziergänger sieht von Weitem andere Windräder und möchte wissen, wie hoch diese Windräder ungefähr sind. Er peilt die Spitze eines Windrades aus einer Entfernung von 400 m unter einem Höhenwinkel von 18° an. Dann entfernt er sich etwas vom Windrad und misst nun nur noch einen Höhenwinkel von 11°.

g) Ermittle mithilfe einer zweckmäßigen Skizze und der oben genannten Daten die Höhe des Turmes. (4P)




140

Windpark


I II III

a) Der Stahlmast hat eine Höhe von ca. drei Längen eines Rotorblattes.

3 16 48⋅ =

Die Höhe des Stahlturms bis zur Achse beträgt also ca. 48 m.

Auch andere sinnvoll begründete Abschätzungen sind zulässig. 1 1

b) Berechnung des Kreisflächeninhalts mithilfe der Formel 2oA r :

216 256 804,2477... 804,25oA

Der Flächeninhalt des Kreises beträgt ca. 804,25 m². 3

c) 804,25 : 364 = 2,209… ≈ 2

Die Kreisfläche ist etwa doppelt so groß wie die Turnhallenfläche. 2

d) Es gilt allgemein:

2oU r

Die Länge s des bei zwei Umdrehungen zurückgelegten Wegs ist dann:

2 2 2 2 16 64 201,0619...s r

In 3 Sekunden legen die Blattspitzen also ca. 201 m zurück.

Zeit zurückgelegter Weg

3 s 64 m

1 s 64 m3

3600 s = 1h 64 3600 64 33 600 m km 241,3 km

3 1 000

Die Blattspitzen drehen sich also mit einer Geschwindigkeit von ca. kmh241,3 ,

also tatsächlich etwas mehr als kmh240 . 1 2


141


I II III

e) Berechnung des dritten Winkels (Winkelsumme im Dreieck):

180 51 62 67γ = ° − ° − ° = °

Die Länge der Strecke lässt sich über den Sinussatz ermitteln. Für den Abstand a von B zu C gilt dann:

285sin(51 ) sin (67 )

285 sin (51 )sin (67 )

240,614... 240,6

a

a

a

=° °

⋅ °=°

= ≈

Der Abstand von B und C ist somit etwas länger als 240 m. Damit wurde der Sicherheitsabstand eingehalten. 4

f)

Berechnung der Höhe ch des Dreiecks ABC:

c

c

sin (51 )

273 sin (51 ) [ 273 (gemessen in m) laut Aufgabentext]212

chb

h bh

° =

≈ ⋅ ° ≈≈

Die Höhe im Dreieck beträgt ungefähr 212 m.

Die Entfernung zwischen den Standorten C und D entspricht der doppelten Länge der Höhe hc:

2 212 424⋅ =

Die Entfernung zwischen den Standorten C und D beträgt ca. 424 m.

Rechnet ein Prüfling mit einem genaueren Wert für b, ist dies zu akzeptieren. 2 2

D


142


I II III

g)

Die anderen Angaben aus dem Aufgabentext sind für die Aufgabenbearbeitung irrelevant.

In dem oben dargestellten rechtwinkligen Dreieck gilt:

tan(18 )400400 tan(18 )

h

h

Zu diesem Wert muss noch die Augenhöhe addiert werden, um die Höhe *h des Windrades zu ermitteln:

* 1,69 400 tan(18 ) 131,7h

Das Windrad hat eine Höhe von ca. 131,7 m. 4



143

B1

B2

P Q

1α2α 1β

2β


Paranussbaum

Paranussbäume sind Urwaldriesen. Als so genannte "Überständer" ragen sie weit über das etwa vierzig Meter hohe Kronendach des tropischen Regenwalds hinaus.

Besonders große Exemplare dieser Bäume können bis zu 60 m hoch werden, davon entfallen etwa 43 m auf den Stamm.

a) Gib für den Baum aus dem obigen Text die Höhe der Baumkrone an. (2P)

Der Stamm eines solchen Baums hat einen Umfang von ungefähr 16 m und ist annähernd zylindrisch.

b) Bestätige durch Rechnung, dass der Durchmesser eines solchen Baumstammes etwa 5,1 m beträgt. (2P)

c) Berechne die Masse eines solchen Baumstammes (vom Boden bis zur Krone) in Tonnen, wenn man von einer Dichte von g

cm³0,8 für das Holz ausgeht. (6P)

Um die Entfernung der Baumkronenpunkte B1

und B2 nahe beieinander stehender Paranussbäume zu bestimmen, werden nach der Methode des Vorwärtseinschneidens von einer zugänglichen Standlinie PQ aus die folgenden Winkel gemessen:

1α = 69° 2α = 36°

1β = 80° 2β = 49°

Die Standlinie PQ hat eine Länge von 100 m.

Dabei wird vorausgesetzt, dass die vier Punkte P, Q, B1, B2 in einer Ebene parallel zum Boden liegen.

d) Bestätige für die in der Abbildung dargestellten Winkel und das Folgende:

26 und 15 (3P)

Hinweis: Die Zeichnung ist nicht maßstabsgetreu.

e) Bestimme den Abstand s von P zu 1B (Kontrollergebnis: etwa 172,2 m) und der Abstand t von P zu 2B (Kontrollergebnis: etwa 300,3 m). (6P)

γδ


144

Zur Berechnung des Abstands a der beiden Baumkronenpunkte B1 und B2 kann man die in Aufgabenteil e) bestimmten Entfernungen s und t sowie den sogenannten Kosinussatz verwenden. Der Kosinussatz im Dreieck PB2B1 lautet wie folgt:

2 2 212 cosa s t s t

f) Bestimme den Abstand der Punkte B1 und B2. (3P)

Quelle: Beispielaufgaben für die schriftliche Überprüfung an Gymnasien. Klasse 10. Mathematik (überarbeitet)


145

Paranussbaum


I II III

a) Die Baumkrone hat etwa eine Höhe von etwa 17 m.

Gemäß dem Operator "Angeben" ist keine Rechnung wie etwa 60 – 43 = 17 erforderlich. 2

b) Für den Kreisumfang gilt allgemein:

U d

Also gilt hier:

16 :16

5,092958... 5,1

d

d

d

π = π

=π

= ≈

Der Durchmesser beträgt ungefähr 5,1 m. 2

c) Aus einem Durchmesser von 5,1 m ergibt sich wegen 2r d= ein Radius von 2,55 m.

Einsetzen in die Volumenformel für den Zylinder ergibt das Volumen in Kubikmeter:

2Stamm

2Stamm 2,55 43

V r h

V

= ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅

ππ

Wegen 1 m³ = 1 000 000 cm³ ergibt sich für die Masse eines Kubikmeters Holz: g

cm³0,8 1000000 cm³ 800000g 800kg 0,8 t⋅ = = =

Damit ergibt sich die Masse Stammm in Tonnen:

Stamm Stamm

2Stamm

Stamm

0,8

2,55 43 0,8702,73029... 702,73

m V

mm

= ⋅

= ⋅ ⋅ ⋅= ≈

π

Der Stamm wiegt ungefähr 702,73 t. 2 4


146


I II III

d) Nach dem Winkelsummensatz im Dreieck PQB1 gilt:

180 69 36 49 26= ° − ° − ° − ° = °γ .

Nach dem Winkelsummensatz im Dreieck PQB2 gilt:

180 36 80 49 15= ° − ° − ° − ° = °δ 3

e) Berechnung des Abstandes s von P zu 1B im Dreieck PQB1:

100 | sin(49 )sin (49 ) sin (26 )

100 sin (49 )sin (26 )

172,1622... 172,2

s

s

s

= ⋅ °° °

⋅ °=°

= ≈

Berechnung des Abstandes t von P zu 2B im Dreieck PQB2:

( )100 | sin(129 )

sin 80 49 sin (15 )100 sin (129 )

sin (15 )300,2661... 300,3

t

t

t

= ⋅ °° + ° °

⋅ °=°

= ≈

Der Abstand von P zu 1B beträgt also etwa 172,2 m und der Abstand von P zu 2B beträgt etwa 300,3 m. 4 2

f) 2 2 21

2 2 2

2 2

2 cos( )

172,2 300,3 2 172,2 300,3 cos(69 )

172,2 300,3 2 172,2 300,3 cos(69 )287,696588... 287,7

a s t s ta

aa

Die Punkte B1 und B2 sind ca. 287,7 m voneinander entfernt. 3


B1

B2

P Q

1α

2α1β

2β

δ

γ


147


Beachclub

Es soll eine Strandanlage (Beachclub) eingerichtet werden. Zur Anlieferung des benötigten Sandes steht ein LKW mit 28 m³ Ladevolumen zur Verfügung. Der gelieferte Sand wird zunächst auf einer angrenzenden Fläche zwischengelagert.

a) Bestätige, dass nach 6 Fahrten 168 m³ Sand angeliefert worden sind. (2P)

Der angelieferte Sand bildet die Form eines Schüttkegels. Der Schüttkegel hat eine Höhe von 7 m und an seiner Grundfläche einen Umfang von 30 m.

b) Bestätige, dass der Grundflächendurchmesser des Schüttkegels eine Länge von ungefähr 9,55 m hat. (2P)

Es wird weiterer Sand benötigt. Es gibt jedoch nur noch einen Platz zur Zwischenlagerung eines Schüttkegels von höchstens 10 m Grundflächendurchmesser. Bis zu einem Neigungswinkel von

65 kann das Material aufgeschüttet werden. Das Material rutscht ab, wenn der Winkel größer ist.

c) Berechne, wie viel Sand (in Kubikmetern) auf dem Platz noch untergebracht werden kann. (3P)

Es wird vermutet, dass auf dem zuerst angefahrenen Schüttkegel mit Grundflächenumfang 30 m noch Sand aufgeschüttet werden kann.

d) • Bestätige durch Rechnung, dass der Neigungswinkel des zuerst angefahrenen Schüttkegels noch um ca. 9° erhöht werden kann.

• Bestimme die Sandmenge (in Kubikmeter), die dadurch noch angeliefert werden kann. (6P)

Ungefähr 526 m³ Sand stehen dem Beachclub insgesamt zur Verfügung. Die Dichte von ungewaschenem Natursand beträgt kg

m³1 530 .

e) Berechne, wie viel Tonnen 526 m³ Sand wiegen. (2P)

Man geht bei der Anlage eines Beachclubs von einer Sandhöhe von ungefähr 45 cm aus.

f) Berechne die Größe der Fläche, die der Beachclub mit der gelieferten Sandmenge haben wird. (Kontrollergebnis: 1168,89 m²) (2P)

g) • Bestimme die Maße für eine Beachclub-Anlage, wenn für die Anlage die Form eines Quadrates vorgesehen ist.

• Bestimme mögliche Maße für eine Beachclub-Anlage, wenn für die Anlage die Form eines Trapezes vorgesehen ist. (5P)



148

Beachclub


I II III

a) 28 6 168

Nach 6 Fahrten wurden 168 m³ Sand angeliefert. 2

b) gegeben: UGrundfläche = 30 (gemessen in m)

gesucht: Durchmesser der Grundfläche

30

9,549296... 9,55

U dUd

d

d

Der Durchmesser der Grundfläche des Schüttkegels beträgt ungefähr 9,55 m. 2

c)

Berechnung der Höhe h:

tan(65 )55 tan(65 )10,7225...

h

hh

Berechnung des Volumens:

( )2 2Kegel

1 15 5 tan(65 ) 280, 715... 281

3 3V r h= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ° = ≈π π

Es ist noch Platz für ungefähr 281 m³ Sand. 3


149


I II III

d) • Es gilt:

9,552

7tan( )

55,7

Außerdem gilt:

65 55,7 9,3 9

Der Neigungswinkel des Schüttkegels kann noch um ca. 9° erhöht werden.

• Es wird zunächst das Volumen eines Schüttkegels mit Schüttwinkel65 und Radius 9,55

2r (gemessen in m) gesucht.

Es gilt:

9,552

9,552

tan(65 )

tan(65 )4,775 tan(65 )10,2400...

h

hhh

Für das Volumen gilt dann:

2 21 1 4,775 4,775 tan(65 )3 3244,498...

Kegel neuV r h

Das Volumen des ursprünglichen Kegels beträgt 168 m³ (siehe Aufgabenteil a).

Es gilt also:

244,498... 168 76,498... 76

Es können noch ca. 76 m³ Sand aufgeschüttet werden. 1 4 1

e) kgm³1 530 526 m³ 804 780 kg 804,78 t

Der Sand wiegt 804,78 t. 1 1

f) Wegen 45 cm = 0,45 m setzt man wie folgt an:

526 : 0,45 1 168,888... 1 168,89

Es steht eine Fläche von ca.1 168,89 m² zur Verfügung. 2


150


I II III

g) • 2QuadratA a

Quadrat 1 168,89

1 168,89 34,189... 34,2

A

a

Wenn die Beachclub-Anlage die Form eines Quadrates hat, ist jede Seite der Anlage ungefähr 34,2 m lang.

• Trapez 2a cA h

Es gibt unendlich viele Lösungen mit 1168,89.A

Nur eine Lösung wird vom Prüfling erwartet.

Beispiel 1: a = 90 ; h = 11 (beides gemessen in m)

Formel nach c auflösen: 2 Ac ah

1 168,892 90 122,525... 122,511

c

In diesem Beispiel haben die beiden parallelen Seiten des Trapezes die Längen 90 m bzw. ca. 122,5 m, die Höhe ist 11 m lang.

Beispiel 2: a = 100 ; c = 75 (beides gemessen in m)

Formeln nach h auflösen: 2 Aha c

2 1 168,89 13,358... 13,4100 75

h

In diesem Beispiel haben die beiden parallelen Seiten des Trapezes die Längen 100 m bzw. 75 m, die Höhe ist ca.13,4 m lang.

Auch andere Maße können zu einer guten Lösung führen. 2 3



151


Kaffeefilter

Eine Möglichkeit, Kaffee optimal zuzubereiten, ist die Verwendung von Kaffeefiltern. Erfunden wurde der Kaffeefilter 1908 von Melitta Benz. Er hatte zunächst ungefähr die Form eines Zylinders (siehe Abbildung).

Fünf Becher Kaffee sollen mit diesem Filter zubereitet werden. Eine Wasserfüllung reicht genau für einen Becher Kaffee (400 ml).

a) Berechne, welche Wassermenge benötigt wird. (2P)

Der Kaffeefilter hat ungefähr die Form eines Zylinders mit einer Höhe von 8,8 cm und einem Durchmesser von 7,6 cm.

b) Bestätige, dass eine Wasserfüllung tatsächlich für ungefähr 400 ml Kaffee ausreicht. (4P) Hinweis: 1 cm³ =1 ml

Kaffee für drei Becher (jeweils 400 ml) passt in eine Kaffeekanne, die ebenfalls die Form eines Zylinders hat. Die Kanne ist ungefähr 20,5 cm hoch.

c) Berechne den Durchmesser der Kanne. (5P)

Kaffeefilter in der heute üblichen Form gibt es in unterschiedlichen Größen. Faltet man einen Kaffeefilter auseinander, hat er die in der Abbildung rechts gezeigte Form: Er besteht aus einem Prisma mit dreieckiger Grundfläche; daran angesetzt sind zwei halbe Kegel. Der abgebildete Filter hat die Höhe h = 9 cm.

Im Rechteck ABCD hat AB die Länge l1 = 6 cm und BC die Länge l2 = 12 cm. AB ist senkrecht zu den gleichschenkligen Dreiecken DFA und CGB.

Timo schätzt, dass er für einen Aufguss (ohne Kaffeepulver) mehr als 0,5 l Wasser benötigt.

d) Ermittle das Fassungsvermögen des Filters bis zu seinem oberen Rand. (7P)


152

Im abgebildeten Container werden Kaffeefilter angeliefert. Die würfel-förmigen Pakete enthalten Schach-teln mit jeweils 100 Filtertüten. Eine Schachtel ist ca. 3 cm hoch, 23 cm lang und 11cm breit. Der Arbeiter in der Abbildung ist ca. 1,85 m groß.

e) Ermittle die Anzahl der gelieferten Filtertüten, wenn der Container voll mit Paketen und jedes Paket voll mit Schachteln ist.

(4P)

Quelle: Beispielaufgaben für die schriftliche Überprüfung an Gymnasien. Klasse 10. Mathematik (überarbeitet)


153

Kaffeefilter


I II III

a) 5 400 2 000

2000 ml = 2 l

Es werden 2 Liter Wasser benötigt, um fünf Becher Kaffee zuzubereiten. 2

b) Es gilt: 2

ZylinderV r h

mit:

h = 8,8 und 7,62 3,8r (beides gemessen in cm)

Dann ergibt sich für das Volumen: 2

Zylinder 3,8 8,8 399,208... 400V

Eine Wasserfüllung reicht also ungefähr für 400 cm³ – das sind 400 ml – Kaffee. 2 2

c) Es gilt: 2

ZylinderV r h

Gegeben ist:

20,5h (gemessen in cm) und 3 400 1 200V (gemessen in cm³)

Damit ergibt sich: 2

Zylinder

Zylinder 2

2

|: :

1 200 |20,5

1 20020,5

V r h hV

rh

r

r

Wegen 2d r gilt:

1 2002 8,6331... 8,620,5

d

Der Durchmesser der Kaffeekanne beträgt ca. 8,6 cm. 2 3


154


I II III

d) Das Volumen des Kaffeefilters ergibt sich aus der Summe der Volumina des Prismas und der beiden halben Kegel.

Das Volumen des Prismas lässt sich mit den gegebenen Größen berechnen:

Dreieck DFA 2 12g l Dreieck DFA 9h Prisma 1 6h l (alles gemessen in cm)

Es gilt:

Prisma Prisma Dreieck DFA Prisma1 12 9 6 3242

V G h A h

Das Volumen des Prismas beträgt 324 cm³.

Die beiden Kegelhälften setzt man gedanklich zu einem einzigen Kegel zusammen. Für die Berechnung des Kegelvolumens stehen die folgenden Werte zur Verfügung:

Kegel 9h Kegel 21 62

r l (beides gemessen in cm)

Mit 2Kegel Kegel Kegel

13

V r h ergibt sich:

2Kegel

1 6 9 108 339,2920... 339,293

V

Das Volumen des Kegels beträgt ungefähr 339,29 cm³.

Damit gilt:

Kaffeefilter Prisma Kegel 324 339,29 663V V V

Der Kaffeefilter hat ein Volumen von etwa 663 cm³. 5 2


155


I II III

e) Anzahl der Pakete im Container

Anhand der Abbildung wird geschätzt: Vier Pakete passen in der Höhe übereinan-der, vier Pakete passen in der Breite nebeneinander und 8 Pakete passen in der Länge hintereinander. Damit passen ungefähr 4 4 8 = 128 Pakete in den Container.

Kantenlänge eines Pakets

Ungefähr vier Pakete ergeben die Höhe eines Arbeiters. Wegen 1,85 : 4 0,4625 0,46 beträgt die Kantenlänge eines Paketes etwa 46 cm.

Anzahl der Schachteln pro Paket

Bekannt sind die Maße einer Schachtel: 23 cm, 11 cm, 3 cm. Ein Paket könnte wie folgt bepackt werden: 2 Schachteln mal 4 Schachteln mal 15 Schachteln, also 120 Schachteln.

Anzahl der Filtertüten pro Paket

Eine Schachtel enthält 100 Filtertüten, ein Paket enthält 120 Schachteln. Damit befinden sich 120 100 oder 12 000 Filtertüten in einem Paket.

Anzahl der Filtertüten pro Container

Ein Paket enthält 12 000 Filtertüten, ein Container enthält 128 Pakete. Es befinden sich also 128 12 000 = 1 536 000 oder ungefähr 1,5 Millionen Filtertüten im Container.

Abweichende sinnvolle und nachvollziehbar dargelegte Abschätzungen sind zu akzeptieren. 4

6 10 6


156


Wasserspender

In vielen Einrichtungen wird Trinkwasser in Wasserspendern angeboten. Die Wasserspender bestehen unter anderem aus zylindrischen Flaschen, die "kopfüber" in einer Zapfanlage stehen. Der gesamte Wasserspender (Zapfanlage und Wasserflasche) hat eine Höhe von 160 cm, davon entfallen auf die Zapfanlage 114,5 cm.

a) Bestätige, dass die Wasserflaschen 45,5 cm hoch sind. (2P)

Der Innendurchmesser dieser Flaschen beträgt 23 cm.

b) Berechne das Volumen einer solchen Flasche in Kubikzentimetern und in Litern. (3P)

In einer Arztpraxis werden im Wartezimmer kegelförmige Trinkbecher zur Verfügung gestellt. Ein solcher Becher hat eine Höhe von 7,8 cm und ein Volumen von 100 cm³. Die Becher werden durchschnittlich zu 80 % gefüllt.

c) Berechne die Anzahl der Becher, die man aus einer gefüllten Flasche des Wasserspenders befüllen kann. Hinweis: Falls du in Aufgabenteil b) keine Lösung erhalten hast, rechne mit 20 Litern für das Volumen der Flasche. (3P)

100 dieser Becher werden aus der Wasserflasche zu jeweils 80 % gefüllt.

d) Ermittle, um wie viel Zentimeter der Wasserstand in der Flasche sinkt. (4P)

Eine Röhre dient als Vorratsbehälter für die Becher. Um diese Röhre genau passend zu den Bechern herzustellen, benötigt man den Durchmesser der Becheröffnung.

e) Bestimme den Durchmesser der Öffnung eines solchen Bechers. (4P) Zur Kontrolle: Die Öffnung hat einen Durchmesser von etwa 7 cm.

f) Bestimme, wie viel Papier für die Herstellung eines solchen Bechers benötigt wird, wenn für die Überlappung am Rand des Bechers 15 % zugegeben wird. (4P)

Die Firma, die die Wasserflaschen anliefert, bietet an, den Wasserspender gegen ein Gerät auszutauschen, für das größere Wasserflaschen geeignet sind. Die Flaschen haben die gleiche Höhe, aber einen doppelten Radius. Sie kosten das Dreifache.

g) Beurteile diesen Preis.



157

Wasserspender


I II III

a) 160 – 114,5 = 45,5

Die Flasche ist 45,5 cm hoch. 2

b) Es gilt für den Radius und die Höhe:

23 11,52 2dr 45,5h (beides gemessen in cm)

Mit der Volumenformel für Zylinder erhält man: 2

211,5 45,518 904,141.. 18 900

z

z

z

V r hVV

Das Volumen beträgt ungefähr 18 900 cm³ oder 18,9 l. 2 1

c) Der Becher wird zu 80 % mit Wasser gefüllt:

% cm³

100 100

1 1

80 80

Ein zu 80 % gefüllter Becher enthält 80 cm³ Wasser.

Die Anzahl der Becher, die man aus einer gefüllten Flasche füllen kann, berechnet sich wie folgt:

Zylinder Becher: 18 900 :80 236,25 236V V

Es lassen sich ungefähr 236 Becher aus einer Flasche befüllen.

Mit dem Ersatzwert von 20 Litern ergeben sich 250 Becher. 2 1


158


I II III

d) Der Becher wird zu 80 % mit Wasser gefüllt:

% cm³

100 100

1 1

80 80

Ein zu 80 % gefüllter Becher enthält 80 cm³ Wasser.

Hat ein Prüfling diese Überlegung bereits im Aufgabenteil c) durchgeführt, ist sie hier nicht mehr notwendig.

100 Becher enthalten dann 8 000 cm³ Wasser.

Um die gefragte Höhe ermitteln zu können, muss die Volumenformel des Zylinders umgeformt werden.

Es gilt allgemein: 2

Zylinder

2 2

2

2

8000

800011,5

Werte einsetzen:

8000 11,5 :11,5

:11,5

19,255... 19

V r h

h

h

h

h

Der Wasserstand im Wasserspender sinkt um ca. 19 cm.

Alternative: Zuerst wird die Formel umgestellt, anschließend werden die Werte eingesetzt. 3 1


159


I II III

e) Um den Durchmesser der Öffung des Bechers, der die Form eines Kegels hat, bestimmen zu können, muss die Volumenformel des Kegels umgeformt werden. Der doppelte Radius ist der Durchmesser

2Kegel

2

2

1

3

1

3

Werte einsetzen:

100 7,8 | 3| : 7,8 | :

100 3 | 7,8

100 3 7,8

100 32 27,8

2 6,99791... 7,0

V r h

r

r

r

r

r

Der Durchmesser der Becheröffnung beträgt etwa 7,0 cm.

Alternative: Zuerst wird die Formel umgestellt, anschließend werden die Werte eingesetzt. 3 1


160


I II III

f) Um die Mantelfläche des Kegels bestimmen zu können, muss zuerst die Länge der Mantellinie s über den Satz des Pythagoras berechnet werden.

Dabei gilt 3,5r (gemessen in cm, siehe Kontrollergebnis zu Aufgabenteil e) und 7,8h (gemessen in cm, siehe Vortext zu Aufgabenteil c).

2 2 2

2 2 2

2

3,5 7,8

73,09

73,098,549...

s r hs

s

ss

Berechnung der Größe der Mantelfläche:

3,5 73,0994,0041...

M r s

MM

Der Inhalt der Mantelfläche beträgt ungefähr 94 cm².

Berechnung der Materialverbrauchs unter Berücksichtigung der Überlappung::

% cm²

100 94

1 0,94

115 0,94 115 108,1 108

Es werden pro etwa Becher ca. 108 cm² Papier benötigt. 3 1


161


I II III

g) Allgemeine, aber inhaltlich korrekte Lösung:

Hat die zylindrische Flasche einen doppelt so großen Radius, so vergrößert sich ihr Volumen um das Vierfache. Da sich der Preis nicht vervierfacht, sondern nur verdreifacht, ist die größere Flasche günstiger.

Es ist auch möglich, mithilfe eines Beispiels zu argumentieren:

Herkömmliche Flasche Flasche mit doppeltem Radius und dreifachen Kosten

h = 45,5 cm h = 45,5 cm

r = 11,5 cm r = 23 cm

V 18,9 l V 75,6 l

Kosten z. B. 6 € Kosten z. B. 18 €

Volumen Preis Volumen Preis

18,9 l 6 € 75,6 l 18 €

1 l ca. 0,32 € 1 l ca. 0,24 €

Man sollte das Angebot annehmen, da ein Liter bei der größeren Flasche weniger kostet. 2



162


Fesselballon über Hamburg

An den Deichtorhallen in Hamburg gibt es einen Ballon, der mit Helium gefüllt ist und der an einer Seilwinde am Boden befestigt ist. Da Helium leichter ist als Luft, steigt der Ballon mit einer Gondel für 30 Besucher an einem 150 m langen Seil in die Höhe. Besucher und Touristen können so bei gutem Wetter und Windstille den Ausblick über die Stadt Hamburg genießen. Kinder und Jugendliche müssen 10 €, Erwachsene 15 € für eine Fahrt mit dem Ballon bezahlen. Für eine Gruppe ab 15 Personen gibt es einen Rabatt von 15 %.

Eine Klasse mit 27 Schülerinnen und Schülern und zwei Lehrkräften macht einen Ausflug zum Fesselballon und bucht eine Fahrt.

a) • Berechne, wie viel die Gruppe bezahlen muss.

• Berechne, wie viel jeder Einzelne bezahlt, wenn jede Person gleich viel bezahlen soll. (5P)

Der Ballonbetreiber schreibt im Internet:

Obwohl Fesselballons zu den ältesten Fluggeräten zählen, ist der HighFlyer ein Wunderwerkmoderner Technik. Mit 23 Metern Durchmesser hat der Ballon ein Volumen von 6400 Kubik-metern!

b) Berechne das Volumen des Ballons mit Hilfe des gegebenen Durchmessers und vergleiche dein Ergebnis mit der Angabe des Ballonbetreibers im Internet. (3P)

Die Außenhaut des Ballons eignet sich ideal als Werbefläche. Der Ballonbetreiber möchte 1 800 m² auf der Oberfläche des Ballons als Werbefläche anbieten.

c) Entscheide mithilfe einer Rechnung, ob dies möglich ist. (3P)

Der kugelförmige Ballon ist mit einem 150 m langen Stahlseil (Durchmesser Seil 22 mmd ) am Boden befestigt. Zusätzlich zur Gondel und den Fluggästen muss der Ballon auch dieses Stahlseil mit in die Höhe ziehen.

d) Bestimme die Masse des Stahlseils in kg, wobei 1 cm³ Stahl eine Masse von 7,8 g hat. (4P)

Die Gondel ist zusätzlich mit einem anderen Seil am Ballon befestigt (siehe Abbildung in der Anlage). Dieses Seil führt vom oberen Rand der Gondel zum Ballon, über den Ballon hinweg und wieder zur Gondel zurück.

e) Ermittle die Länge des Seils. (7P)


163

Anlage zur Aufgabe "Fesselballon über Hamburg"

Abbildung nicht maßstabsgetreu


schriftliche Überprüfung an Gymnasien Hamburg 2012, Zweittermin (überarbeitet)


164

Fesselballon über Hamburg


I II III

a) • Preis für die Klasse, wenn jeder den Normalpreis für Jugendliche bzw. Erwachsene bezahlen muss:

27 10 € 2 15 € 300 €

Es gibt eine Gruppenermäßigung von 15 %, da die Gruppe mehr als 15 Personen umfasst.

300 € 0,85 255 €

Alternative Rechnung:

300 1515% von 300 sind = 45100

300 45 = 255

Die Gruppe muss 255 € bezahlen.

• Wenn alle gleichviel bezahlen sollen, ergibt sich folgende Rechnung:

255 : 29 8,793... 8,79

Bei gleichem Preis für alle muss jeder und jede 8,79 € bezahlen. 5

b) Der Ballon wird als Kugel angenommen. Sein Volumen beträgt:

3 3Kugel

4 4 11,5 6 370,626... 64003 3

V r

Das angegebene Volumen von 6 400 m³ stimmt recht gut mit dem berechneten Wert überein. 2 1

c) Kugeloberfläche: 2

2

4

4 11,5 1661,9025... 1662

O r

O

Die Oberfläche des kugelförmigen Ballons beträgt ca. 1662 m².

Das Vorhaben, 1 800 m² als Werbefläche anzubieten, kann also nicht umgesetzt werden. 3


165


I II III

d) Das Seil kann man sich als Zylinder vorstellen. Die Länge des Seils entspricht dann der Höhe des Zylinders.

Gibt man alle Längenmaße in cm an, ergibt sich für den Radius r und die Höhe h:

1,1 15 000 r h

Das Volumen des Seils bestimmt sich dann mit der Zylindervolumenformel: 2

Seil21,1 15 000

1815057 019,906...

V r h

Da ein Kubikzentimeter Stahl 7,8 Gramm wiegt, ergibt sich für die Masse m des Seils in Gramm das Folgende:

18 150 7,8 444 755,272... 445 000m

Damit wiegt das Seil ungefähr 445 kg. 2 2


166


I II III

e) Die Seillänge setzt sich aus einem Teil des Ballonumfangs und den beiden Seitenlängen zusammen.

Berechnung der Länge des Seils von der Gondel bis zum Ballon

Die Größe des Mittelpunktswinkels beträgt 120°. Der zur Berechnung der Seillänge benötigte Winkel ist halb so groß, beträgt also 60°. Sei s die Seillänge auf einer Seite von der Gondel zum Ballon, 2s ist entsprechend die Länge beider Stücke.

Dann gilt:

tan(60 ) | 11,511,511,5 tan(60 )

2 23 tan(60 )2 39,837168... 39,84

s

sss

Berechnung der Länge des Seils am Ballon

Die Bogenlänge wird nach folgender Formel berechnet:

180rb

Der Mittelpunktswinkel ergibt sich wie folgt:

360 120 240

Damit berechnet sich die Bogenlänge folgendermaßen:

11,5 240 48,171087... 48,17180

b

Berechnung der Gesamtseillänge g

2 39,84 48,17 88,01g s b

Die Seillänge beträgt ungefähr 88,0 m. 4 3



167


Schaukasten

Eine Firma möchte bei der Messe "Du und deine Welt" ihre Produkte auffällig präsentieren. Sie haben sich für kegelförmige Acrylglasschaukästen mit zwei eingezogenen Böden entschieden (siehe Abbildung rechts).

Die kegelförmigen Schaukästen sollen folgende Maße haben:

• Durchmesser der Bodenfläche: 1,70 m

• Gesamthöhe: 2,50 m

• Boden 1 in einer Höhe von 0,80 m

• Boden 2 in einer Höhe von 1,50 m

In der Messehalle steht der Firma pro Schaukasten eine Standfläche von ungefähr 2,5 m² zur Verfügung.

a) Berechne den Flächeninhalt der Bodenfläche des Kegels und vergleiche dein Ergebnis mit der zur Verfügung stehenden Fläche. (3P)

b) • Zeichne in der Anlage einen maßstabsgetreuen Schnitt durch den Kegel im Maßstab 1:20 (ähnlich der Abbildung unten).

• Ergänze deine Zeichnung durch die gegebenen Längenmaße. (5P)

h

S

A B


168

Der Materialverbrauch für einen Schaukasten soll ermittelt werden.

c) Bestätige durch eine Methode deiner Wahl, dass die eingezogenen Böden die folgenden Durchmesser haben: 1 1,16md (Boden 1) und 2 0,68md (Boden 2). (4P)

d) Berechne den Flächeninhalt von einem der beiden eingezogenen Böden. (2P) Hinweis: Die Dicke des Bodens bleibt unbeachtet.

e) Bestimme den Flächeninhalt des Kegelmantels. (4P)

Im Wettbewerb "Jugend forscht" haben drei Schüler herausgefunden, dass eine Waldameise, die nur 10 Milligramm wiegt, ungefähr das 35-fache ihrer Körpermasse tragen kann. Die Schülerin Kaia wiegt 43,4 kg. Sie behauptet: "Wenn ich die Trageleistung einer Waldameise hätte, könnte ich das Material von zehn Schaukästen aus Acryl tragen."

Kaia kennt die Dichte von Acrylglas: gcm³1,18 . Sie hat ausgerechnet, dass 10,74 m²

Acrylglas für einen Schaukasten benötigt werden. Das Acrylglas ist durchschnittlich 12 mm dick.

f) Zeige, dass Kaia mit ihrer Behauptung zur Trageleistung Recht hat. (4P)


169

Anlage zur Aufgabe "Schaukasten"



170

Schaukasten


I II III

a) Wegen 1,70d gilt 0,85r (beides gemessen in m).

Mit 2KreisA r ergibt sich dann:

2Kreis 0,85 2,2698... 2,27A

Die Bodenfläche des Kegels hat einen Flächeninhalt von ca. 2,27 m².

Wegen 2,27 < 2,5 reicht die zugewiesene Fläche von 2,5 m² aus. 2 1

b) Maßstab 1:20 bedeutet, dass 20 cm in der Realität einem Zentimeter auf dem Papier entsprechen.

Ein Maßstab lässt sich zum Beispiel über den Dreisatz berechnen:

Die Maßeinheiten müssen dabei gleich sein, hier sind beide Angaben in cm.

Wirklichkeit Bild

20 cm 1 cm

1 cm 120

cm

170 cm 1 17020

= 8,5 cm

250 cm 1 25020

= 12,5 cm

80 cm 1 8020

= 4 cm

150 cm 1 150

20 = 7,5 cm


171


I II III

d

h

S

A BF

Zulässige Toleranz: 1 mm

Hinweis: Aus drucktechnischen Gründen können die Maße in der obigen Abbildung geringfügig von den korrekten abweichen. 3 2

h = 2,50 m

d = 1,70 m

h2 = 1,50 m

h1 = 0,80 m


172


I II III

c) Lösung mithilfe von Messungen an der maßstabsgerechten Schnittfigur

gemessen Umrechnung

Boden 1 5,8 cm 5,8 cm 20 = 116 cm = 1,16 m

Boden 2 3,4 cm 3,4 cm 20 = 68 cm = 0,68 m

Der Durchmesser von Boden 1 beträgt ca. 1,16 m beträgt, der Durchmesser von Boden 2 ist ca. 0,68 m.

Falls dem Prüfling die Strahlensätze bekannt sind, ist auch darüber die Lösung möglich.

Lösung mithilfe von Strahlensätzen

Es gilt:

1

1

1

1,7 1,71,7 2,5

1,7 1,72,5

1,156 1,16

d

d

d

Ebenso gilt:

2

2

2

1 1,71,7 2,5

1 1,72,5

0,68

d

d

d

Die Anwendung der Strahlensätze zeigt, dass der Durchmesser von Boden 1 1,16 m beträgt, der Durchmesser von Boden 2 beträgt 0,68 m.

Auch eine Lösung mithilfe ähnlicher Dreiecke ist möglich. 4


173


I II III

d) Es gilt allgemein:

2KreisA r

11 Bodenfläche 1

1,16Wegen 1,16 (gemessen in m) gilt 0,582 2dd r (gemessen

in m) und damit ist 2 2Boden1 0,58 1,056... 1,06A r .

Der Flächeninhalt von Boden 1 ist ca. 1,06 m².

12 Bodenfläche 2

0,68Wegen 0,68 (gemessen in m) gilt 0,342 2dd r (gemessen

in m) und damit ist 2 2Boden 2 0,34 0,363... 0,36A r .

Der Flächeninhalt von Boden 2 ist ca. 0,36 m².

Nur einer der beiden Flächeninhalte muss berechnet werden. 2

e) Die Mantellinie s des Kegels lässt sich mithilfe des Satzes des Pythagoras berechnen:

2 2 2s r h

Mit h = 2,5 (gemessen in m) und 1,7 0,85

2 2dr (gemessen in m) ergibt sich:

2 2 2

2

0,85 2,5

6,9725

6,97252,6405... 2,64

s

s

ss

Die Mantellinie des Kegels ist ungefähr 2,64 m lang.

Die Formel für die Mantelfläche eines Kegels lautet: M r s

Einsetzen in die Formel der Mantelfläche ergibt:

0,85 6,9725 7,0512... 7,05M r s

Der Flächeninhalt des Mantels beträgt ungefähr 7,05 m². 3 1


174


I II III

f) 12 mm = 1,2 cm und 10,74m² 107400cm²

Schaukasten 107 400 1,2 128 880V

Das Material des Schaukastens hat ein Volumen von 128 880 cm³.

Die Masse des Materials für den Schaukasten wird wie folgt bestimmt:

Volumen Masse

1 cm³ 1,18 g

128 880 cm³ 128 880 1,18 g 152078,4g 152,0784kg

Ein Schaukasten hat die Masse von 152,0784 kg; zehn Schaukästen wiegen dann 1520,784 kg, also ungefähr 1521 kg.

Berechnung des Fünfunddreißigfachen von Kaias Körpermasse, also der Masse, die sie mit den Fähigkeiten einer Waldameise tragen könnte: 43,4 35 1519

Wegen 1 519 kg 1 521 kg hat Kaia Recht. Wäre sie eine Waldameise könnte sie das Material für 10 Schaukästen aus Acryl tragen. 4



175


Pyramiden im Freizeitpark

Die Anlage eines Freizeitparks ist geplant. Zur Verfügung steht ein Gelände, das 10 ha (100 000 m²) groß ist.

Für Veranstaltungen, Ausstellungen und Gastronomie sollen Pavillons gebaut werden, die die Form quadratischer Pyramiden haben.

Die Grundflächenseite der Pyramide ist 14,5 m lang, die Höhe der Seitenfläche hat eine Länge von 9,6 m.

a) Bestätige, dass die Grundfläche einer Pyramide 210,25 m² groß ist. (2P)

Die Seitenflächen sollen aus Kalksandstein bestehen.

b) Berechne den Materialbedarf für die vier Seitenflächen einer Pyramide zuzüglich 10 % Verschnitt. (4P) Hinweis: Der Eingangsbereich wird hier nicht berücksichtigt.

8 % der Fläche des Freizeitsparks sind für die Pavillons reserviert.

c) Bestätige, dass damit insgesamt 8 000 m² für Pavillons zur Verfügung stehen. (3P)

d) Bestimme, wie viele Pavillons höchstens aufgebaut werden können. (2P)

Die Kosten für die Beheizung der Gebäude sollen berechnet werden. Der Wärmebedarf für einen Raum wird über die Leistung – gemessen in Kilowatt (kW) – angegeben. Er hängt vom Raumvolumen ab. Die folgende Berechnungstabelle (hier nur ein Auszug) dient als Grundlage zur Bestimmung des Wärmebe-darfs:

Leistung in kW 2 3 6 23 35 116

Rauminhalt in m³ 25 bis 30 50 bis 60 100 bis 240 350 bis 480 600 bis 760 2300 bis 3 200

e) Bestimme den Wärmebedarf für eine der Pyramiden. (5P)


176

Das Gelände, das für den Freizeitpark vorgesehen ist, grenzt an einen großen See. Zwei Pyramiden, die laut Planung am Seeufer stehen, sollen über eine Brücke miteinander verbunden werden. Dazu wird die folgende Skizze angefertigt:

Die Skizze ist nicht maßstabsgerecht.

Auf einem Formelblatt findet man den sogenannten Kosinussatz in drei Versionen:

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 cos( )2 cos( )2 cos( )

a b c bcb a c acc a b ab

Mit seiner Hilfe kann man aus zwei Dreiecksseiten und dem eingeschlossenen Winkel die dritte Drei-ecksseite berechnen.

f) • Zeige mithilfe des Kosinussatzes, dass die geplante Brücke etwa 148 m lang ist. • Bestimme die Größe des Winkels CBA . (6P)



177

Pyramiden im Freizeitpark


I II III

a) Formel zur Berechnung der Grundfläche: 2A a

Gegeben ist die Kantenlänge a = 14,5 (gemessen in m). Damit gilt: 214,5 210,25A

Die Grundfläche ist 210,25 m² groß. 2

b) Sei a die Länge der Grundflächenseite und sh die Länge der Höhe eines Seitenflächendreiecks. Dann gilt:

14,5a und 9,6sh (beides gemessen in m)

Formel zur Berechnung des Flächeninhalts einer Seitenfläche: Dreieck 2sa hA ⋅=

Damit gilt: Dreieck

14,5 9,669,6

2A

⋅= =

Der Flächeninhalt einer Seitenfläche beträgt 69,6 m².

Flächeninhalt aller vier Seitenflächen: 69, 6 4 278, 4⋅ =

Die vier Seitenflächen sind 278,4 m² groß.

Verschnitt: 10 % von 278, 4 m² sind 27,84 m².

Materialbedarf für eine Pyramide: 278,4 + 27,84 = 306,24

Der Materialbedarf für die vier Seitenflächen beträgt 306,24 m². 2 2

c) 100 000 8100

⋅ = 8 000

Es stehen 8 000 m² für Pavillons zur Verfügung. 1 2

d) 8000 : 210, 25 38,049940... 38= ≈

Möglich ist der Bau von höchstens 38 Pavillons. 2


178


I II III

e) Nach dem Satz des Pythagoras gilt in der nebenstehenden Pyramide:

( ) ( )

( ) ( )

( )

2 22 2

22 2

22 2

2 2

2

9,6

39,5975

6, 292654... 6, 29

14,52

K S

K S

K

K

K

a ah h

ah h

h

h

h

+ = −

= −

= −

=

= ≈

Die Körperhöhe beträgt ca. 6,29 m.

Berechnung des Pyramidenvolumens nach der Formel Pyramide

13

V G h= ⋅ ⋅ :

Pyramide1

210, 25 39,5975 441,010199... 441,013

V ⋅ ⋅ = ≈=

Das Volumen beträgt ungefähr 441,01 m³.

Wegen 350 m³ < 441,01 m³ < 480 m³ beträgt der Wärmebedarf laut Tabelle 23 kW. 4 1


179


I II III

f) • Sei a der Abstand der beiden Pyramiden B und C. Mit 185b , 120c (beides gemessen in m) und 53 sowie mithilfe der Formel

2 2 2 2 cosa b c b c α= + − ⋅ ⋅ ⋅ lässt sich a wie folgt berechnen:

2 2 2

2 2

185 120 2 185 120 cos(53 )

185 120 2 185 120 cos(53 )148,001395...148

a

aaa

Die geplante Brücke hat eine Länge von ca. 148 m.

• Mit dem Kosinussatz gilt: 2 2 2

2 2 2

185 120 148 2 120 148 cos( )185 120 148 cos( )

2 120 14886,6

Der gesuchte Winkel hat eine Größe von ca. 86,6°.

Auch eine Anwendung des Sinussatzes ist möglich. Dabei erhält man aufgrund von Rundungseffekten einen Winkel von ca. 86,7°. Bei der Anwendung des Sinussatzes muss der Prüfling das Phänomen der prinzipiell möglichen zwei Lösungen für den Winkel beachten. 2 4



180


Ballschachtel

Eine Sportartikelfirma verpackt jeweils drei Bälle in eine Ballschachtel. Die Ballschachtel hat die Form eines Prismas mit einem regelmäßigen Sechseck als Grundfläche (siehe Abbildung).

In der Ballschachtel ist unten eine 3 cm hohe Styroporschicht, dann folgen die drei Bälle, die jeweils alle sechs Seitenflächen von innen berühren. Über den Bällen befindet sich wieder eine Styroporschicht, die 3 cm hoch ist.

Die Seitenlänge des Sechsecks beträgt 9 cm. Die Bälle haben einen Radius von ungefähr 8 cm.

a) Bestätige, dass die Ballschachtel ungefähr 54 cm hoch ist. (3P)

b) Skizziere zwei mögliche Netze der Ballschachtel. (2P) Hinweis: Die Netze müssen nicht maßstabsgerecht sein.

Der Materialbedarf für eine Ballschachtel soll ermittelt werden.

c) • Berechne den Flächeninhalt des Mantels des Sechsecksprismas. • Bestätige durch Rechnung, dass der Flächeninhalt der Grundfläche der Ballschachtel etwa 216 cm² beträgt. (6P)

Im Vortext oben auf der Seite ist davon die Rede, dass der Radius eines Balles ungefähr 8 cm sei. Der genaue Wert hingegen weicht etwas davon ab.

Die Abbildung rechts zeigt die Ballschachtel von oben. Du siehst also das regelmäßige Sechseck und den Querschnitt eines Balles.

d) Bestimme den genauen Radius der Bälle. (4P)

Verwende im Folgenden für deine Berechnungen für den Radius den Näherungswert 7,8 cm.

Es wird vermutet, dass in dieser Verpackung für Bälle ein erheblicher Anteil an Luft "verpackt" ist.

e) Bestimme den prozentualen Anteil des Volumens der Bälle am Volumen der Ballschachtel. (5P)

Nehmen wir an, wir könnten entsprechende Ballschachteln auch für vier, fünf, sechs,…Bälle herstellen.

f) Entscheide: Steigt die Oberfläche der Schachteln proportional zur Zahl der Bälle? (2P)

Quellen: Realschulabschlussprüfung Hamburg 2005, Zweittermin (überarbeitet) Beispielaufgaben für die schriftliche Überprüfung an Gymnasien. Klasse 10. Mathematik (überarbeitet)


181

Ballschachtel


I II III

a) In der Ballschachtel sind drei Bälle übereinander verpackt, zusätzlich müssen zwei Lagen Styropor berücksichtigt werden.

Mit 2 16d r (gemessen in cm) gilt somit für die Höhe h der Ballschachtel:

3 16 16 16 3 54h

Die Ballschachtel ist 54 cm hoch. 3

b)

Es gibt weitere Netze, es werden jedoch nur zwei erwartet.

In Skizzen kommt es nicht auf die zeichnerische Sorgfalt, sondern auf die nachvollziehbare Anordnung der Seiten- und Grundflächen an. 2

c) • Der Mantel besteht aus sechs kongruenten Rechtecken.

Gegeben sind die Rechtecksseitenlängen in cm: a = 54 und b = 9

Mit der Formel RechteckA a b= ⋅ gilt:

Rechteck 54 9 486A

Für den Flächeninhalt M des Mantels gilt dann:

Rechteck6 6 486 2 916M A

Der Flächeninhalt des Mantels beträgt 2 916 cm².

• Lösungsweg 1

Zur Berechnung des Flächeninhalts der Grundfläche kann man das Sechseck in sechs kongruente gleichseitige Dreiecke zerlegen. Für jedes dieser Dreiecke gilt

Dreieck 9g und Dreieck 8h (Angaben in cm).

Mit der Dreiecksflächenformel 1Dreieck Dreieck Dreieck2A g h gilt dann für den

Flächeninhalt G der Grundfläche: 1

Dreieck 26 6 9 8 216G A

Der Flächeninhalt der Grundfläche beträgt also ungefähr 216 cm².


182

Lösungsweg 2

Das Sechseck wird in zwei kongruente Trapeze zerlegt. Aus der Trapezflächenformel ergibt sich dann für den Flächeninhalt G des Sechsecks:

Trapez22

18 92 8 2162

a cG h

G

Der Flächeninhalt der Grundfläche beträgt also ungefähr 216 cm².

Verwendet ein Prüfling für die Dreiecks- oder Trapezhöhe den exakten Wert 9

2 3 , ist dies ebenfalls als korrekt zu werten. 3 3

d) Der Radius r eines Balles entspricht der Höhe eines der gleichseitigen Dreiecke. In dem grau unterlegten rechtwinkligen Dreieck gilt dann mit dem Satz des Pythagoras:

2 22 2

2

9 99 |2 2

60,75

4,5 37,7942286...

r

r

rr

Der exakte Wert für den Ballradius ist 4,5 3 cm, das sind ungefähr 7,8 cm.

Die direkte Verwendung der Formel für die Höhe h in einem gleichseitigen Dreieck mit der Seitenlänge s ist selbstverständlich auch zugelassen:

23sh = ⋅ = 4,5 3⋅ 2 2


183

e) Ein Ball kann geometrisch als Kugel modelliert werden.

Formel zur Berechnung des Volumen einer Kugel:

3Kugel

43

V r= ⋅ ⋅π

Mit dem Radius r = 7,8 (Angabe in cm) ergibt sich:

3Kugel

4 7,83

V

Damit ergibt sich für das Volumen aller drei Bälle:

3drei Bälle Kugel

43 3 7,8 5 963,396308...3

V V

Drei Bälle haben ein Volumen von ca. 5 963,4 cm³.

Aus den Aufgabenteilen a) und c) ergeben sich die näherungsweisen Werte für die Höhe und die Grundfläche des Prismas. Mit der Volumenformel für Prismen erhält man dann:

Prisma 216 54 11 664V G h

Der prozentuale Anteil des Volumens der Bälle am Volumen der Ballschachtel ermittelt sich dann wie folgt:

drei Bälle

Prisma

0,511 51,1 %VV

Für den gesuchten Anteil ergibt sich ein Wert von ca. 51,1 %. 3 2

f) Bei jeder Anzahl von Bällen – also auch bei null Bällen – sind Grund- und Deckfläche sowie die beiden Streifen an den Seitenwänden, hinter denen das Styropor liegt, vorhanden. Zum Beispiel bei einer Verdoppelung der Anzahl der Bälle wird sich also nicht die gesamte Oberfläche verdoppeln (wie es bei einer Proportionalität sein müsste), weil die oben genannten Anteile gleich bleiben.

Es handelt sich daher nicht um eine proportionale Zuordnung. 2



184


Kieshaufen

Nach jedem Regen sind die Kellerwände in dem Haus von Familie Erdmann durchnässt. Ihnen wird geraten, eine Drainage zu legen. Eine Drainage ist ein technisches System, mit dessen Hilfe Wasser gut abfließen kann. Dafür wird Kies benötigt.

Das Haus mit rechteckiger Grundfläche ist 7,90 m lang und 4,20 m breit.

Rundum müssen vier Gräben ausgeschachtet werden, die jeweils 60 cm breit und 70 cm tief sein sollen.

a) Berechne die Gesamtlänge der auszuschachtenden Gräben. (2P)

Hinweis: Die Hausecken bleiben hier unberücksichtigt.

Die Gräben sind ungefähr quaderförmig und müssen mit Kies aufgefüllt werden. Für die Drainage, die um die Hausecken (siehe Abbildung rechts) angelegt werden muss, soll insgesamt 1 m³ Kies berücksichtigt werden.

b) Berechne, wie viel Kies (in Kubikmetern) für die Drainage bestellt werden muss. (Kontrolllösung: 11,164 m³) (2P)

Zwei LKW-Ladungen mit grobkörnigem Kies werden angeliefert. Der Kies wird zu einem kegelförmigen Haufen aufgeschüttet. Es wird eine Höhe von 1,40 m und ein Grundkreisdurchmesser von 3,80 m gemessen (siehe Abbildung).

Zur Verfügung steht ein kreisförmiger Lagerplatz, der ungefähr 20 m² groß ist.

c) Bestätige, dass die Fläche für die zwei LKW-Ladungen Kies ausreicht. (3P)

Um zu untersuchen, ob noch mehr Kies auf den Kieshaufen geschüttet werden kann, ohne dass ein Abrutschen des Kieses zu befürchten ist, muss der Schüttwinkel berechnet werden. Er sollte nicht größer als 37° sein.

d) Bestätige, dass Winkel ungefähr 36,4° groß ist. (2P)


185

Der Winkel sollte nicht mehr vergrößert werden, da sonst ein Abrutschen zu befürchten ist. Bei einer weiteren Lieferung wird der Kieshaufen um 0,40 m höher. Der Grundflächenradius vergrößert sich dadurch (siehe Abbildung auf der vorherigen Seite).

e) Ermittle den Radius des Kieshaufens nach der zweiten Lieferung. (3P) (Kontrolllösung: ungefähr 2,44 m)

Für den Kieshaufen wird eine Abdeckplane benötigt. Diese Plane soll zu einem kegelförmigen Hütchen gerollt werden können, das man über den Kieshaufen stülpt. Bei einem Fachbetrieb soll die Plane bestellt werden. Dazu muss man dem Fachbetrieb die nötigen Informationen übermitteln.

f) • Skizziere die Form, die der Fachbetrieb zuschneiden muss.

• Ermittle die Maße, die der Fachbetrieb für den Zuschnitt benötigt. (8P) Hinweis: Material für Verschnitt soll unberücksichtigt bleiben.

Herr Erdmann möchte noch einmal überprüfen, ob wirklich ungefähr 11 m³ Kies angeliefert worden sind. Er erinnert sich an die folgende Formel:

3

Kegel 2

tan24

UV .

In der Formel steht U für den Umfang des Grundkreises des Kieshaufens, gibt den Schüttwinkel an.

g) Bestätige am Beispiel des erhöhten Kieshaufens aus Aufgabenteil f), dass die Formel geeignet ist, das Volumen des Kegels näherungsweise zu bestimmen. (2P)



186

Kieshaufen


I II III

a) Die Grundfläche des Hauses hat die Form eines Rechtecks mit den Seitenlängen a und b. Für dessen Umfang gilt die Formel Rechteck 2 2U a b . Gegeben sind die Seitenlängen a und b mit a = 7,90 und b = 4,20 (Angaben in m). Damit ergibt sich:

Rechteck 2 7,90 2 4,20 24,2U

Die vier Gräben, die ausgeschachtet werden müssen, sind insgesamt 24,2 m lang. 2

b) Für Quader mit den Kantenlängen p, q und r gilt die folgende Volumenformel:

QuaderV p q rEs gilt 60 cm = 0,6 m und 70 cm = 0,7 m. Die zu füllenden Gräben haben also das Volumen

2 7,9 0,6 0,7 2 4,2 0,6 0,7 1 11,164 11V

Insgesamt müssen ungefähr 11 m³ Kies für die Drainage angeliefert werden.

Man kann hier mithilfe des Resultats von Aufgabenteil a) schneller zum Ergebnis kommen. 2

c) Gegeben ist der Durchmesser von 3,80 m , damit gilt für den Radius r = 1,9 (gemessen in m).

Mithilfe der Kreisflächenformel 2KreisA r ergibt sich dann:

2Kreis 1,9 11,341... 11,34A

Die Grundkreisfläche des Kieshaufens ist 11,34 m² groß.Wegen 11,34 20 reicht der Platz zur Lagerung des angelieferten Kies. 2 1


187


I II III

d)

Der Winkel lässt sich mithilfe des Tangens in dem grau unterlegten rechtwinkligen Dreieck berechnen:

12

1,4 1,4tan( )3,8 1,9

36,4

Der Schüttwinkel ist ungefähr 36,4° groß. 2

e)

Der Radius lässt sich mithilfe des Tangens in dem grau unterlegten rechtwinkligen Dreieck berechnen. Dabei sei neur der neue Radius, es gilt also neu 1,9r x .

neuneu

neu

neu

neu

1,4 0,4tan 36,4

tan 36,4 1,8 :tan 36,41,8

tan (36,4 )2,44146... 2,44

rr

r

r

r

Der neue Radius ist ca. 2,44 m lang. 3


188


I II III

f) •

Die Plane hat die Form eines Kreisausschnittes (Kreissektor).

• Für den Zuschnitt muss man den Radius s des Kreisaus-schnitts und den Mittelpunktswinkel übermitteln.

Der Radius s des Kreissektors lässt sich mithilfe des Satzes des Pythagoras in dem rechtwinkli-gen Dreieck in der Abbildung links ermitteln. Dabei ist h = 1,8 (siehe Abbildung auf der ersten Seite des Aufgabenblatts) und r = 2,44 (siehe Aufga-benteil e). Die beiden Längen sind in m angegeben.

2 2 2

2

1,8 2,449,1936

9,19363,03209...

ss

ss

Zur Bestimmung des Mittelpunktswinkels verwendet man die Idee, dass die Bogenlänge b des Kreisausschnitts genauso lang sein muss wie der Umfang U des Grundflächenkreises:

2180

9,1936 2 2,44 | 1801809,1936 2 2,44 180 |: 9,1936

2 2,44 1809,1936

289,70068...290

b Us r

Bei der Bestellung der Plane muss neben der Skizze die folgende Informa-tion übermittelt werden: Der Radius des Kreisausschnittes soll ungefähr 3,03 m und die Größe des Mittelpunktswinkels soll ca. 290° betragen.

In der Praxis wäre es vermutlich zweckmäßiger, die Größe des auszuschneidenden Winkels – also 70° – zu übermitteln. 3 5


189


I II III

g) Im Folgenden gilt h = 1,8 (siehe Abbildung auf der ersten Seite des Aufgaben-blatts) und r = 2,44 (siehe Aufgabenteil e). Die beiden Längen sind in m ange-geben.

Berechnung mit Herrn Erdmanns Formel: 3 33

Kegel 2 2 2

tan 2 tan 2 2,44 tan 36,411,216

24 24 24U r

V

Berechnung mit der üblichen Volumenformel:

2 2Kegel

1 1 2,44 1,8 11,2223 3

V r h

Beide Formeln liefern fast dasselbe Resultat. Herr Erdmanns Formel ist also geeignet, das Volumen zu ermitteln. 2



190


Gartenpool

Im Garten von Familie Mühlberg steht ein zylinderförmiger Swimmingpool. Der Radius der Grundfläche beträgt 2,3 m, die Höhe der Seitenwände ist 1,2 m. Zum Sommerbeginn wird der Pool gefüllt, bis das Wasser 1,1 m hoch im Pool steht.

a) Berechne, wie viel Wasser sich nun im Pool befindet. Gib das Ergebnis in Litern an. (3P) (Kontrollergebnis: ca. 18 281 l)

Einige Tage später haben sich Algen im Pool gebildet. Herr Mühlberg lässt das Wasser wieder ab und sprüht alle Innenflächen des Pools (Boden und Seitenwände) mit einem Algenschutzmittel ein. Laut Etikett reicht eine Sprühflasche für eine Fläche von ca. 240 m .

b) Bestätige, dass voraussichtlich eine einzige Sprühflasche für den Pool ausreicht. (3P)

Der kleine Sohn Malte ist traurig, dass er nicht mehr baden kann, und möchte den Pool wieder füllen. Dazu benutzt Malte seine Kindergießkanne mit einem Füllvolumen von 1l. Er füllt seine Gießkanne und gießt den Inhalt in den Pool. Dies macht er insgesamt 50-mal.

c) Ermittle, wie hoch das Wasser dann im Pool steht. (4P) (Kontrollergebnis: ca.3 mm)

"Wenn du 100-mal an einem Tag deine Gießkanne mit Wasser füllst, brauchst du ungefähr ein halbes Jahr, bis das Wasser im Pool wieder 1,1 m hoch steht.", überlegt Bennet, Maltes großer Bruder.

d) Bestätige, dass Bennet Recht hat. (3P)

"Ich könnte das mit einem Eimer sehr viel schneller schaffen", behauptet Bennet. Bennets Eimer hat die Form eines Kegelstumpfes, also eines Kegels, bei dem die Spitze abgeschnitten wurde (siehe Abbildung).

e) • Bestimme, wie viel Liter Wasser in Bennets Eimer passen. (Kontrolllösung: ca. 10 l)

• Ermittle mögliche Maße eines kegel- stumpfförmigen Eimers derselben Höhe, der aber nur 2,5 Liter fasst. (7P)

Hinweis: Das Volumen eines Kegelstumpfes berechnet man mit folgender Formel:

Kegelstumpf 1 2 1 213

V h A A A A

Dabei sind 1A und 2A die Flächeninhalte der beiden zueinander parallelen Flächen, h ist deren Abstand.

f) Berechne, wie lange man braucht, um den Pool mit Bennets 10-Liter-Eimer zu füllen (Wasser-höhe im Pool 1,1 m), wenn man täglich 100-mal den gefüllten Eimer in den Pool gießt. (2P)

Quelle: Schriftliche Überprüfung an Gymnasien Hamburg 2012, Haupttermin (überarbeitet)


191

Gartenpool


I II III

a) Mit der Zylindervolumenformel 2ZylinderV r h und den gegebenen Werten

2,3r und Wasserstand 1,1h (beide Angaben in m) ergibt sich: 2

Zylinder = 2,3 1,1 18,280927... 18,281 V

Der Pool enthält ca. 18,281 m³ Wasser, das sind 18281 l.

Es ist auch möglich, die Längenangaben in m vor der Rechnung in Längenangaben in dm umzuwandeln. 3

b) Die Innenfläche A des Pools setzt sich zusammen aus dem Boden (Kreisfläche) und den Seitenwänden (Zylindermantel). Daher gilt die folgende Formel:

2 2A r rh

Mit den gegebenen Werten 2,3r und Poolwand 1,2h (beide Angaben in m) ergibt sich:

2 = 2,3 2 2,3 1,2 33,9606... 40A

Da die Innenfläche kleiner als 40 m² ist, reicht eine Sprühflasche voraussichtlich aus. 3

c) Malte gießt 50 l in den Pool. Es gilt: 50 l = 50 dm³ Außerdem gilt für den Poolradius: 2,3 m = 23 dm

Mit der Formel 2Malte Malte MalteV r h und den gegebenen Werte Malte 50V

(gemessen in dm³) und Malte 23r (gemessen in dm) gilt:

2 2Malte

Malte 2

Malte

Malte

50 23 |: 23

5023

0,030086...0,03

h

h

hh

Das Wasser steht ungefähr 0,03 dm – das sind 3 mm – hoch.

Andere Lösungswege, speziell bezüglich der Einheiten, sind möglich. 4

d) Pro Tag erreicht Malte einen Zuwachs von 6 mm.

Es gilt: 1,1 m = 1 100 mm.

Um also 1 100 mm Wassertiefe zu erzielen, benötigt Malte 11006 Tage,

also ca. 183 Tage.

Da ein Jahr 365 Tage hat, hat ein halbes Jahr ca. 183 Tage. Bennet hat also Recht. 3


192


I II III

e) • Die beiden Kreisradien sind 10 cm und 13 cm, der Abstand der beiden Kreisebeträgt 24 cm. Mit der gegebenen Formel

1Kegelstumpf 1 2 1 23V h A A A A und der Kreisflächenformel

2KreisA r ergibt sich:

2 2 2 21Kegelstumpf 3 24 13 10 13 10 10027,963... 10000V

Das Volumen des Eimers ist also ungefähr 10 000 cm³ oder 10 l.

• Die Viertelung des Volumens von 10 Liter auf 2,5 Liter kann man z. B. mit derHalbierung der Radien erreichen:

2 2 2 21Kegelstumpf neu 3 24 6,5 5 6,5 5 2 506,9909... 2 500V

Man erhält also auf diese Weise ein Volumen von 2500 cm³ oder 2,5 l.

Eine bloße Angabe der Radien ist nicht ausreichend, es muss entweder sauber argumentiert oder nachgerechnet werden.

Andere Werte für die Radien, die ebenfalls zu dem Volumen von 2,5 Liter führen, sind ebenfalls zu akzeptieren. 2 5

f) In den Gartenpool sollen 18 281 Liter gegossen werden (siehe Aufgabenteil a).

Pro Tag gießt Bennet 100-mal den Inhalt seines 10-Liter-Eimers in den Pool. Damit füllt sich der Pool täglich mit 1000 Litern.

Wegen 18 281 : 1 000 =18,281 18,3 benötigt er zum Füllen des Pools gut 18 Tage. 2



193

Leitidee Messen und Leitidee Zahl

DIN-Formate In dieser Aufgabe geht es um die vom Deutschen Institut für Normung (DIN) festgelegten Papierformate der Reihe A.

Das größte Rechteck stellt das Format A0 dar. Durch Halbieren entstehen nacheinander jeweils die anderen Formate.

Zunächst soll das Blatt mit dem Format DIN-A0 auf DIN-A4-Größe gefaltet werden.

a) Berechne, wie viele Lagen Papier am Ende übereinander liegen. Gib dein Ergebnis auch als Zweierpotenz an. (3P)

Eine DIN-A3-Seite soll mit dem Fotokopierer auf DIN-A6-Format verkleinert werden.

b) Gib an, welchem Flächenverhältnis das entspricht und begründe deine Angabe. (3P)

Die Seitenlängen jedes DIN-A-Blattes verhalten sich zueinander näherungsweise im Verhältnis 2 :1.

c) Bestätige diese Behauptung für ein DIN-A4-Blatt (Maße 29,7 cm lang und 21,0 cm breit). (3P)

Dasselbe Seitenverhältnis hat ein DIN-A5-Blatt.

d) Bestimme rechnerisch die Seitenlängen eines DIN-A-5-Blattes. (4P)

Ein DIN-A3-Blatt soll mit einem Fotokopierer auf DIN-A4-Format verkleinert werden.

e) Ermittele die Prozentangabe, auf die die Anzeige des Fotokopierers dann eingestellt werden muss. Die Prozentangabe bezieht sich dabei auf die Seitenlängen. (3P)


194

Aus einem DIN-A4-Blatt soll eine Schachtel hergestellt werden. Dazu werden aus den Ecken jeweils kongruente Quadrate ausgeschnitten, wie es die Abbildung zeigt. Die Seitenteile werden hoch geklappt (Laschen bleiben dabei unberücksichtigt).

f) Bestimme anhand von zwei Bei-spielen das Quadervolumen undbeschreibe deine Beobachtung. (4P)

g) Ermittle, wie groß x mindestenssein muss und wie groß xhöchstens sein darf. (2P)

Quelle: Abschlussprüfung zum Realschulabschluss und diesem gleichwertige Abschlüsse. Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben sowie Handreichungen zum Rahmenplan Mathematik (überarbeitet)



195

DIN-Formate


I II III

a) 0 1 2 3 4A A A A A

2 2 2 2 16 416 2

Wenn man ein DIN-A0-Blatt auf DIN-A4-Größe faltet, liegen 416 2 Lagen übereinander. 3

b) Die Flächeninhalte stehen im Verhältnis 8 : 1, denn ein A6-Bogen passt 8-mal in einen A3-Bogen.. 3

c) 29,7 : 21,0 = 1,414285714… 1,41

2 1,411

Damit ist die Behauptung bestätigt. 1 2

d) Die Breite von DIN-A4 entspricht der Länge von DIN-A5.

Berechnung der Breite von DIN-A5:

21,0 2 1

21,0 2 |: 221,0

214,8

bb

b

b

b

Ein DIN-A5-Blatt hat die Maße 21,0 cm mal 14,8 cm. 3 1

e) Die Flächeninhalte stehen im Verhältnis 2 : 1, die Seitenlängen im Verhältnis 2 :1.

Das Kopiergerät muss also auf 1 =0,707... 71%2

eingestellt werden. 1 2


196


f) Es wird die Berechnung zweier verschiedener Volumina zu zwei verschiedenen x-Werten erwartet. Zum Beispiel:

Alle Längen werden in cm angegeben.

Beispiel 1: x = 7

29,7 2 7 15,7 (Länge); 21,0 2 7 7 (Breite); 7 (Höhe)

Quader 15,7 7 7 769,3V a b c

Bei einer Seitenlänge des Quadrates von 7 cm ergibt sich für den Quader eine Länge von 15,7 cm, eine Breite von 7 cm, ein Volumen von 769,3 cm³.

Beispiel 2: x = 6


Quader 17,7 9 6 955,8V a b c

Bei einer Seitenlänge des Quadrates von 6 cm ergibt sich für den Quader eine Länge von 17,7 cm, eine Breite von 9 cm und ein Volumen von 955,8 cm³.

Beispiel 3: x = 4


Quader 21,7 13 4 1 128,4V a b c

Bei einer Seitenlänge des Quadrates von 4 cm ergibt sich für den Quader eine Länge von 21,7 cm, eine Breite von 13 cm, ein Volumen von 1 128,4 cm³.

Beispiel 4: x = 3


Quader 23,7 15 3 1 066,5V a b c

Bei einer Seitenlänge des Quadrates von 3 cm ergibt sich für den Quader eine Länge von 23,7 cm, eine Breite von 15 cm und ein Volumen von 1 066,5 cm³.

Beobachtung: Das Volumen der Schachtel hängt von der Seitenlänge der ausgeschnittenen Quadrate ab.

Auch andere ähnlich gelagerte Beobachtungen sind möglich, etwa die Vermutung eines maximalen Volumens für eine bestimmte Quadratseitenlänge. 3 1

g) Die Länge der kürzeren Seite des Quadrates (21,0 cm) gibt die Grenzen vor.

Mathematisch gesehen muss gelten 0x und 10,5x (da 21,0 : 2 = 10,5).

Argumentiert der Prüfling mit der praktischen Realisierbarkeit und kommt auf ein Intervall wie etwa [1; 9,5], so ist dies ebenfalls als korrekt zu bewerten. 2



197

Leitidee Zahl und Leitidee Messen

Autokauf Beim Kauf eines Autos stellt sich oft die Frage, ob man ein Fahrzeug mit einem Benzin- oder mit einem Dieselmotor kaufen soll.

Schaut man sich die Kosten an, die in einem Jahr entstehen, so kann das eine Hilfe bei der Auswahl zwischen einem Benzin- oder Dieselmotor sein. Eine Autozeitschrift gibt für einen bestimmten Autotyp folgende Werte an:

Auto mit Benzinmotor Auto mit Dieselmotor

jährliche Festkosten 2 291,40 € 2 770,80 €

durchschnittlicher Kraftstoffverbrauch auf

100 km 6,8 Liter 5,3 Liter

Hinweise: Festkosten sind z. B. Steuer, Versicherung, Ölwechsel, Reparaturen. Auch der Kraftstoff „Super“ gehört zu Benzinmotoren.

Im Mai 2013 kostete 1 Liter Super 1,58 € und ein Liter Diesel 1,39 €.

a) Vervollständige die Tabelle in der Anlage. (6P)

Die folgenden Aufgaben beziehen sich auf die in der Anlage ermittelten Ergebnisse.

b) Gib an, bei welchen jährlich gefahrenen Strecken aus der Tabelle in der Anlagedie jährlichen Gesamtkosten für ein Dieselfahrzeug günstiger sind. (1P)

c) Berechne, wie viel Geld beim Vergleich der Gesamtkosten bei einer jährlichenFahrleistung von 30 000 km mit einem Dieselauto pro Jahr gespart werden kann. (1P)

d) Ermittle mithilfe von Gleichungen, ab welcher jährlichen Fahrleistung ein Dieselfahrzeugniedrigere Gesamtkosten hat als ein Benzinfahrzeug. (6P)

Ein Neuwagen mit Benzinmotor kostet 17 275 €. Ein Neuwagen mit Dieselmotor ist teurer, er kostet 18 350 €. Herr Timm will sich ein Fahrzeug mit Dieselmotor kaufen. Pro Jahr fährt er durchschnittlich 30 000 km.

e) Berechne, nach wie vielen Jahren sich die Mehrkosten ungefähr ausgeglichen haben. (3P)

Herr Timm berichtet seinem Freund: „Genau vor zwei Jahren habe ich 17 000 € auf ein Sparbuch mit einem jährlichen Zinssatz von 2,7 % eingezahlt. Aber damit kann ich mir immer noch keinen neuen Dieselwagen für 18 350 € leisten!“

f) Bestimme den niedrigsten Zinssatz, mit dem Herr Timm sich das Auto hätte leisten können.Gib dein Ergebnis als Prozentsatz mit einer Nachkommastelle an. (5P)


198

Anlage zur Aufgabe „Autokauf“

jährlich gefahrene Strecke

Benzinmotor: jährliche

Kraftstoffkosten

Benzinmotor: jährliche

Gesamtkosten (Kraftstoffkosten +

Festkosten)

Dieselmotor: jährliche

Kraftstoffkosten

Dieselmotor: jährliche

Gesamtkosten (Kraftstoffkosten +

Festkosten)

10 000 km

20 000 km

30 000 km



199

Autokauf


I II III

a) km l (Benzin) km l (Diesel) 100 6,8 100 5,3

10 000 680 10 000 530

Kraftstoffkosten für 10 000 km: 1,58 € 680 = 1074,40 € 1,39 € 530 = 736,70 €

Gemäß dem Operator "Vervollständigen" wird in der Antwort nur die unten stehende Tabelle erwartet. Die obigen Rechnungen dienen lediglich der Transparenz der Darstellung.

jährlich gefahrene Strecke

Benzinmotor jährliche

Kraftstoffkosten

Benzinmotorjährliche

Gesamtkosten(Kraftstoffkosten +

Festkosten)

Dieselmotorjährliche

Kraftstoffkosten

Dieselmotorjährliche

Gesamtkosten (Kraftstoffkosten

+ Festkosten)

10 000 km 1 074,40 € 3 365,80 € 736,70 € 3 507,50 €

20 000 km 2 148,80 € 4 440,20 € 1 473,40 € 4 244,20 €

30 000 km 3 223,20 € 5 514,60 € 2 210,10 € 4 980,90 €6

b) Bei einer jährlichen Fahrtstrecke von 20 000 km bzw. 30 000 km ist es günstiger, ein Dieselfahrzeug zu fahren. 1

c) 5 514,6 – 4 980,9 = 533,7

Bei einer jährlichen Fahrleistung von 30 000 km ist ein Dieselfahrzeug um 533,70 € billiger. 1


200


I II III

d) Benzinmotor: Der Kraftstoffverbrauch bei einem Kilometer ist 6,8 Liter : 100 0,068 Liter . 0,068 Liter Super kosten 0,068 1,58 € = 0,10744 € , also gilt für die Gesamtkosten ( )f x (in €) des Fahrzeugs mit Benzinmotor bei einer jährlichen Fahrleistung von x Kilometern:

( ) 0,10744 2 291,40f x x

Dieselmotor: Der Kraftstoffverbrauch bei einem Kilometer ist 5,3 Liter : 100 0,053 Liter . 0,053 Liter Diesel kosten 0,053 1,39 = 0,07367 € , also gilt für die Gesamtkosten

( )g x (in €) des Fahrzeugs mit Dieselmotor bei einer jährlichen Fahrleistung von x Kilometern

( ) 0,07367 2 770,80g x x

Berechnung der jährlichen Kilometerleistung, bei der die Gesamtkosten gleich sind:

0,10744 2291,4 0,07367 2 770,8 2 291,4

0,10744 0,07367 479,4 0,07367

0,03377 479,4 : 0,0337714 196

x x

x x x

xx

Ab einer jährlichen Fahrleistung von etwa 14 200 km ist das Dieselfahrzeug günstiger. 6

e) Mehrkosten beim Kauf eines Dieselfahrzeugs: 18 350 € – 17 275 € = 1 075 €

Einsparung pro Jahr (siehe Lösung zu Aufgabenteil c)): 563,70 €

1 075: 563,7 1,907... 2

Herr Timm muss fast 2 Jahre fahren, um die Mehrkosten beim Kauf seines Dieselfahrzeugs auszugleichen. 3


201


I II III

f) Die Zinseszinsformel

0 1100

n

npK K

mit

0 170002

Kn

führt zu der Gleichung

2

18350 17000 1100

p

Lösung der Gleichung: 2

2

18350 17000 1 |:17000100

18350 1 | 17000 100

18350 1 | 117000 100

18350 1 | 10017000 100

1835010017000

p

p

p

p

p 1

3,9p

Bei einem Zinssatz von ca. 3,9 % hätte sich Herr Timm das Auto leisten können.

Alternativ kann man sich rechnerisch an den gesuchten Prozentsatz herantasten, indem man – etwa mithilfe des Dreisatzes – die Beträge mit verschiedenen Zinssätzen zweimal hintereinander verzinst und prüft, ob man den gewünschten Wert von 18350 € erreicht oder gerade eben überschritten hat. 5



202


Riesenrad auf dem Dom Auf dem Hamburger Dom steht das größte mobile Riesenrad der Welt. Es hat eine Gesamthöhe von fast 60 m. An dem Riesenrad befinden sich 42 Gondeln. In diesen können jeweils höchstens acht Personen sitzen.

a) Berechne, wie viele Personen höchstens im Riesenradmitfahren können. (2P)

b) Berechne die Anzahl der Fahrgäste, wenn das Riesenrad bei einer Fahrt zu 75 % besetzt ist. (2P)

Eine Fahrt mit dem Riesenrad kostet 6 €. An jedem Mittwoch ist Familientag auf dem Dom. Der Fahrpreis wird dann auf 4,50 € gesenkt.

c) Berechne die Preissenkung in Prozent. (2P)

Beim Aufbau des Riesenrades werden zuerst die beiden gleich langen seitlichen Stützen in den Punkten A und B verankert (siehe nebenstehende, nicht maßstabsgetreue Skizze). Die Stützen sind am Boden 40 m voneinander entfernt und sie tragen im Punkt M die Achse des Riesenrades in einer Höhe von 30 m. Anschließend werden die 14 Speichen des Riesenrades mit einer Länge von 27 m montiert. Schließlich werden zwischen den einzelnen Speichen dann die einzelnen Kreisbögen angebracht. Zum Schluss werden die Gondeln an das Riesenrad angebracht.

d) Ermittle die Länge der seitlichen Stützen des Riesenrades. (4P)

e) Bestimme die Größe des Winkels, unter dem die beiden Stützen gegen den Erdboden geneigt sind. (4P)

f) Bestätige rechnerisch, dass die Länge eines einzelnen Kreisbogens zwischen zwei Speichen ca. 12 m beträgt. (4P)

Hinweis: Hilfreich ist die Formel für die Länge eines Kreisbogens: 180

rb

Jeder Aufhängepunkt (siehe Abbildung rechts), an dem eine Gondel befestigt ist, legt in einer dreiviertel Minute 58,5 m zurück. Ein Mensch hingegen benötigt für 300 m eine Zeit von 250 s, ein langsamer Fahrstuhl hat eine Geschwindigkeit von km

h4,5 .

g) Vergleiche die drei Geschwindigkeiten. (4P)


A B

M

AufhängungKreisbogen vom Riesenrad

Gondel


203

Riesenrad auf dem Dom


I II III

a) 42 8 336

Es können höchstens 336 Personen mitfahren. 2

b) 75 % von 336 Personen:

0,75 336 252

Bei einer Auslastung von 75 % fahren 252 Personen mit. 2

c) Preisermäßigung: 6,00 € 4,50 € 1,50 €

Die Preisermäßigung beträgt 1,50 €.

1,506

0,25 25 %= =

Die Preisermäßigung am Familientag beträgt 25 %. 2

d) Lösung über den Satz des Pythagoras:

( )22 2 40230

1300 36,055... 36,06

l

l

= +

= = ≈

Die Länge der seitlichen Stützen beträgt ungefähr 36 m. 4

e) Sei der gesuchte Winkel. Dann gilt:

30tan ( )2056,309... 56,3

=

= ° ≈ °

α

α

Der Neigungswinkel der Stützen beträgt ca. 56,3°. 2 2

f) 3602714 12,11757.. 12,12

180 180rb

ππ α°⋅ ⋅⋅ ⋅= = = ≈

° °

Ein Bogen des Riesenrades zwischen zwei Speichen hat eine Länge von ungefähr 12 m. 4


204


I II III

g) Gondel: m m m0,75 min 0,75 60 s s58,5 58,5 1,3

Mensch: m m250 s s300 1,2

Fahrstuhl: 1000 mkm mh 3600 s s4,5 4,5 1,25

Am schnellsten ist die Gondel mit ms1,3 , dann folgt der Fahrstuhl mit m

s1,25 . Am langsamsten ist der Mensch mit m

s1,2 . 1 3



205

3,20 m

3,20 m

4,60 m

3,30 m

2,20 m

α

116,3°


Wohnraum

Jens sucht mit zwei Studienfreunden eine Wohnung. Im Internet wird eine Dreizimmerwohnung in einem Altbau zur Vermietung angeboten. Sie ist 72 m² groß. Der Mietpreis beträgt 540 € im Monat. Hinzu kommen monatliche Nebenkosten (z. B. für Strom, Wasser und Müll) in Höhe von 108 €.

a) Berechne den Mietpreis pro Quadratmeter einschließlich der Nebenkosten. (2P)

Die Freunde beschließen, sich die monatliche Miete einschließlich der Nebenkosten gleichmäßig zu teilen.

b) Berechne, wie viel jeder zu zahlen hätte. (2P)

Bei der Besichtigung der Wohnung erfahren sie, dass noch weitere 108 € pro Monat für Heizung und Kabelfernsehen bezahlt werden müssen. Außerdem sind die drei Zimmer unterschiedlich groß, nämlich ungefähr 18 m², 24 m² und 15 m². Die restliche Wohnfläche entfällt auf Küche sowie Bad und Flur, diese Räume sollen gemeinsam genutzt werden.

c) Berechne die anteilige Monatsmiete unter Berücksichtigung der Zimmergröße und der weiteren Kosten für Heizung und Kabelfernsehen. (6P)

Jens hat sich das unten abgebildete Zimmer ausgesucht.

d) Entscheide mithilfe einer Rechnung, welches der drei Zimmer er gewählt hat. (7P)

e) Entscheide mithilfe einer Rechnung, ob der Winkel α ein rechter Winkel ist. Hinweis: Die Skizze ist nicht maßstabsgerecht! (2P)

Jens möchte sich in 6 Jahren eine vergleichbare Wohnung kaufen. Durch eine Erbschaft stehen ihm 27 000 € zur Verfügung. Er rechnet mit einem Kaufpreis von 120 000 €. Beim Kauf möchte er ein Drittel des Kaufpreises an eigenem Geld aufbringen, der Rest soll durch Bankdarlehen finanziert werden. Um den Eigenanteil von einem Drittel anzusparen, möchte er den Betrag von 27 000 € für 6 Jahre bei der Bank anlegen. Der Zinssatz, den Banken ihren Kunden gewähren, liegt derzeit zwischen 4 % und 5 % pro Jahr.

f) Beurteile die Erfolgsaussichten für Jens’ Vorhaben. (3P)

Quelle: Realschulabschlussprüfung Hamburg 2006, Hauptermin (überarbeitet)


206

Wohnraum


I II III

a) Monatliche Miete einschließlich Nebenkosten: 540 € 108 € 648 €+ =

Monatliche Miete pro Quadratmeter: €m²648 € :72 m² 9=

Die Miete beträgt pro Quadratmeter einschließlich der Nebenkosten 9 €. 2

b) Monatliche Miete einschließlich Nebenkosten: 540 € 108 € 648 €+ =

Die Miete inklusive Nebenkosten wird auf 3 Personen verteilt: 648 € :3 216 €=

Jeder der drei Mieter müsste anteilig 216 € im Monat zahlen. 2

c) Monatliche Gesamtmiete: 540 € 108 € 108 € 756 €+ + =

Miete pro Quadratmeter: €m²756 € : 72 m² 10,50=

Fläche Wohnräume: 18 m² 24 m² 15 m² 57 m² + + =

Fläche Nebenräume (Küche, Bad und Flur): 72 m² 57 m² 15 m²− =

Die anteilige Miete für die Nebenräume von €m²10,50 15 m² 157,50 €⋅ = wird in

drei gleiche Teile aufgeteilt werden. Anteil pro Mieter: 157,50 € :3 52,50 €= .

Gesamtmiete für das 18-m²-Zimmer: €m²10,50 18 m² 52,50 € 241,50 €⋅ + =

Gesamtmiete für das 24-m²-Zimmer: €m²10,50 24 m² 52,50 € 304,50 €⋅ + =

Gesamtmiete für das 15-m²-Zimmer: €m²10,50 15 m² 52,50 € 210 €⋅ + =

Sollte ein anderes nachvollziehbares und begründetes Aufteilungssystem für die Teilmieten gewählt werden, das ebenfalls die Zimmergrößen sowie die gemeinsame Nutzung der Nebenräume berücksichtigt, so ist dies als richtig zu bewerten. 3 3


207


I II III

d) Im Folgenden werden zwei Lösungswege dargestellt, es wird aber nur ein Weg erwartet. Dabei können auch andere Zerlegungen des Fünfecks durchgeführt werden.

Lösungsweg 1

Aufteilung des Zimmers in den rechteckigen ( )4,6 3,2 14,72A = ⋅ = und den dreieckigen Anteil:

Bestimmung des Winkels γ : 116,3 90 26,3γ = ° − ° = °

Im Dreieck gilt:

sin (26,3 ) 3,33,33,3 sin (26,3 )1,462...1,46

h

hhh

° = ⋅

= ⋅ °=≈

Die Höhe beträgt ungefähr 1,46 m.

Flächeninhalt des Dreiecks: 4,6 1,462...2

3,3629... 3,36A ⋅= = ≈

Der Inhalt des Dreiecks beträgt ungefähr 3,36 m².

Gesamtfläche: 14,72 3,36 18,08+ =

Jens hat das 18-m²-Zimmer gewählt.

Lösungsweg 2

Die Grundfläche des Zimmers wird in zwei Trapeze zerlegt. Die Grundlinie gbeider Trapeze hat die Länge 3,20 1,46 4,66 g = + = (Höhe 1,462... 1,46h = ≈ ; siehe 1. Lösung)

Berechnung der Höhe des oberen Trapezes: 3,30 cos (26,3 ) 2,9584.... 2,96oh = ⋅ ° = ≈

Die Höhe beträgt 2,96 m. Berechnung der Höhe des unteren Trapezes: 4,60 2,96 1,64uh = − =

Berechnung der beiden Trapezflächen:

4,66 3, 20 4,66 3, 202 2

2,96 1,64 18,078GesamtA + += ⋅ + ⋅ =

Jens hat das 18-m²-Zimmer gewählt. 6 1

4,6 m

h

3,3 m


208


I II III

e) Im Folgenden werden zwei Lösungswege dargestellt, es wird aber nur ein Weg erwartet.

Lösungsweg 1

Die Frage, ob α ein rechter Winkel ist, kann z. B. über den Kehrsatz des Satzes von Pythagoras beantwortet werden. Dazu wird das in der Lösung zu Aufgabenteil d) abgetrennte Dreieck betrachtet.

?2 2 2

!

4,6 2,2 3,3

21,16 15,73

α ist also kein rechter Winkel.

Lösungsweg 2

In demselben Dreieck wird der Sinussatz angewendet:

sin ( ) sin ( 26,3 ) 4,64,6 2,2

4,6 sin (26,3 )sin ( )2,2

sin( ) 0,926...

α °= ⋅

⋅ °α =

α =

Wegen sin(90 ) 1 folgt aus der letzten Zeile 90 . 2


209


I II III

f) Ein Drittel des Kaufpreises von 120 000 € ist 40 000 €. Beim Kauf der Wohnung muss Jens über ein Eigenkapital von 40 000 € verfügen. 27 000 € will er heute bei der Bank anlegen.

Im Folgenden werden drei verschiedene Lösungswege dargestellt. Nur ein Lösungsweg ist notwendig; insbesondere der dritte Lösungsweg kann nicht von allen Prüflingen erwartet werden.

Lösungsweg 1

Um die Erfolgsaussichten zu beurteilen, wird optimistisch mit dem höchsten Zinssatz (5 %) gerechnet:

627 000 1,05 36 182,58 40 000

Selbst beim günstigsten Zinssatz erzielt Jens nicht die gewünschten 40000 €.

Lösungsweg 2

Schritt für Schritt wird mithilfe des Dreisatzes das jeweilige Guthaben berechnet. Um die Erfolgsaussichten zu beuteilen, wird optimistisch mit dem höchsten Zinssatz (5 %) gerechnet.

Laufzeit in Jahren % € Guthaben in € 100 27 000 1 270 1 5 1 350 28 350 2 100 28 350 1 283,5 5 1 417,5 29 767,5 3 100 29 767,5 1 297,675 5 1 488,375 31 255,875 4 100 31 255,875 1 312,55875 5 1 562,79375 32 818,6688 5 100 32 818,6688 1 328,186688 5 1 640,93344 34 459,6022 6 100 34 459,6022 1 344,596022 5 1 722,98011 36 182,5823

Nach 6 Jahren hat Jens auch mit dem höchsten Zinsatz von 5 % nicht 40 000 € Startkapital erreicht.


210


I II III

Lösungsweg 3 6

66

6

6

40

27

40

27

40

27

40 000 27 000 1 |: 27000100

1 | 100

1 | 1100

1 | 100100

1

p

p

p

p

p

= ⋅ +

+ =

+ = −

= − ⋅

= 640

2700 1

6,8p

⋅ −

≈

Die Bank müsste Jens einen Zinssatz von ca. 6,8 % anbieten. Da der höchste angebotene Zinssatz 5 % beträgt, wird es Jens nicht gelingen, sein Vorhaben zu verwirklichen.

3



211


Flughafen Hamburg-Fuhlsbüttel

Am Flughafen Hamburg-Fuhlsbüttel gibt es zwei Start- und Landebahnen. Die eine Landebahn ist 3 666 m lang und 46 m breit. Die zweite Landebahn hat eine Länge von 3,250 km.

a) Berechne, um wie viel Meter die zweite Landebahn kürzer als die erste ist. (3P)

Im Jahre 2011 wurden insgesamt 158 076 Flugbewegungen, d. h. Starts oder Landungen, gezählt. Der Flughafen ist ganzjährig jeden Tag in Betrieb. Starts und Landungen sind nur zwischen 6.00 Uhr und 23.00 Uhr erlaubt.

b) Bestätige durch Rechnung, dass es im Jahre 2011 durchschnittlich über 25 Starts oder Landungen pro Stunde gegeben hat. (3P)

Im Jahr 2005 gab es 10 677 268 Flugreisende in Hamburg. Im Jahr 2011 waren es 13 536 110 Flugreisende. Hatice kommentiert: „Das ist eine Steigerung um mehr als 25 %!“

c) Bestätige diese Aussage rechnerisch. (3P)

Im Jahr 2011 war die Zahl der Fluggäste (13 536 110) gegenüber dem Jahre 2010 um 4 % gestiegen. Nimm an, dass es auch in den folgenden Jahren eine jährliche 4-%-Steigerung gibt.

d) Ermittle eine Vorhersage, wie viele Fluggäste es im Jahre 2017 geben wird. (4P)

Ein Flugzeug aus Zürich befindet sich im Lande-anflug auf den Flughafen. Es sinkt mit konstantem Neigungswinkel 4 . Als das Fahrwerk aus-gefahren wird, ist das Flugzeug vom Landepunkt L horizontal noch ungefähr 6 000 m entfernt (siehe Abbildung).

e) Bestätige, dass sich das Flugzeug zu diesem Zeitpunkt in einer Höhe von ungefähr 420 m befindet.

Bestätige, dass die verbleibende Flugstrecke (Luftlinie) eine Länge von ungefähr 6015 m hat.

Das Flugzeug hat auf dieser verbleibenden Flugstrecke eine Durchschnittsgeschwindigkeit von 120 km

h . Ermittle, wie viele Minuten es für diese Strecke benötigt. (7P)

Das Flugzeug bewegt sich auf der letzten Flugstrecke mit einer Geschwindigkeit von 120 kmh ,

Licht bewegt sich mit einer Geschwindigkeit von m8s2,997925 10 .

f) Bestimme, wievielmal schneller das Licht als das Flugzeug ist. Runde auf Millionen. (2P)



212

Flughafen Hamburg-Fuhlsbüttel

Lösungsskizze Zuordnung

Bewertung

I II III

a) 3666 3250 416

Die zweite Landebahn ist 416 m kürzer als die erste. 3

b) Öffnungszeit pro Tag:

23 – 6 = 17

Anzahl der Flugbewegungen pro Stunde:

158076 25,48365 17

Es gab im Jahr 2011 über 25 Starts und Landungen pro Stunde. 2 1

c) Aus dem Ansatz

13536110 10677268 2858842100 10677268 10677268

x

ergibt sich

26,77503... 25x

Hatice hat recht, die Steigerung beträgt mehr als 25 %. 2 1

d) 613536110 1,04 17127497

Die Fluggastzahl beträgt bei gleichbleibender Entwicklung im Jahre 2017 gut 17 Millionen.

Auch ein schrittweises Vorgehen ist zu akzeptieren. 2 2


213

Lösungsskizze Zuordnung

Bewertung

I II III

e) • Sei h die gesuchte Höhe. Dann gilt:

tan(4 ) | 600060006000 tan(4 )419,56087...

h

hh

Das Flugzeug aus Zürich befindet sich in einer Höhe von ungefähr 420 m.

• Sei c der Luftlinienabstand von L zum Flugzeug. Dann gilt mithilfe desSatzes des Pythagoras:

2 2 2

2 2

6000 420

6000 420

361764006014,6820...

c

c

cc

Der Luftlinienabstand bis zum Landepunkt beträgt ca. 6 015 m.

Mit dem ungerundeten Wert für die Höhe erhält man auf Ganze gerundet dasselbe Ergebnis.

Möglich ist beispielsweise auch ein Vorgehen mithilfe der Kosinusfunktion.

•

Streckenlänge Zeit

120 km 1 h

1 km 1 h

120

6,015 km 6,015 6,015h 60 min 3,0075 min120 120

Das Flugzeug benötigt noch ungefähr 3 Minuten. 5 2

f) m m m8 8s s s

1000 m 1000 mkmh 3600 s 3600 s

1003

2,997925 10 2,997925 10 299 792 500120 120 120

299 792 500 899 377 500 8 993 775 9 000 000100

Das Licht ist ungefähr neunmillionenmal schneller als das Flugzeug. 2



214


Der nördlichste Skilift

Der Gipfel des höchsten Bergs in Schleswig-Holstein – des Bungsbergs – liegt 168 m über dem Meerespiegel. Dort befindet sich der nördlichste Skilift Deutschlands. In der Norderstedter Zeitung konnte man dazu lesen:

Der nördlichste Skilift Deutschlands mit der kürzesten Abfahrt und dem wohl günstigsten Skipass liegt auf dem Bungsberg. Mit dem Schlepplift geht es gemütlich zum Gipfel – dann bei 17 Prozent Gefälle 300 Meter geradeaus in einer Schussfahrt rasant wieder abwärts.

Tabea hat im Internet nach einer Erklärung für "17 % Gefälle" gesucht und die nebenstehende nicht maßstabsgerechte Abbildung gefunden. Sie weiß auch, dass 17 % Gefälle einer Steigung von 17 % entspricht.

a) • Zeichne in der Anlage ein im Maßstab 1 : 1000 verkleinertes Steigungsdreieck mit den Kathetenlängen 100 m und 17 m.

• Vervollständige deine Zeichnung mit den Bezeichnungen "Höhe“,"Hanglänge" und "Steigungswinkel ". (4P)

b) Berechne in deiner Zeichnung die Hanglänge in Metern. (2P)

c) • Bestätige mithilfe einer Rechnung, dass der Steigungswinkel ca. 9,7° beträgt.

• Beurteile, ob eine Verdoppelung der Steigung in Prozent immer mit einerVerdoppelung des Steigungswinkels einhergeht. (4P)

Tabea liest auf einem Plakat: "Der Höhenunterschied der Abfahrtstrecke am Bungsberg beträgt etwa 50 m."

d) Bestätige diese Behauptung durch Rechnung. (3P)


215

Die Skifahrer werden auf der anderen Seite des Berges mit dem Skilift unter einem Steigungswinkel von 14,5° auf den Berg gezogen. Auch hier beträgt der Höhenunterschied etwa 50 m.

Als Tabea sich die Grafik zum Skilift am Bungsberg (siehe Abbildung am Anfang dieser Aufgabe) genau anschaut, stellt sie fest, dass die Liftstrecke des Bungsberges genau so lang aussieht wie die Abfahrtstrecke.

e) Entscheide , ob in der Grafik die richtigen Verhältnisse der Strecken wiedergegeben sind. (3P)

Die 300 m lange "rasante Schussfahrt" am Bungsberg dauert für Tabea nur 20 Sekunden. Im Jahr 2010 hat Maria Riesch für die 2 920 m lange Kandahar-Abfahrt in Garmisch-Partenkirchen 1 Minute und 34,82 Sekunden benötigt.

f) Vergleiche die durchschnittlichen Geschwindigkeiten von Tabea und Maria Rieschin Kilometern pro Stunde. (6P)


216

Anlage zur Aufgabe "Der nördlichste Skilift"



217

Der nördlichste Skilift


I II III

a)

Die beiden Katheten müssen die Längen 1,7 cm und 10 cm haben. 4

b) Zwei Lösungswege sind hier angegeben. Es wird nur ein Weg erwartet.

Lösung 1

Sei s die Hanglänge. Dann gilt mithilfe des Satzes von Pythagoras das Folgende:2 2 2

2

17 10010 289

10 289101,4

ss

ss

Der Hang ist ungefähr 101,4 m lang.

Lösung 2

Durch Messung erhält man für die Hanglänge ungefähr 10,1 cm. Vergrößert man dies im Maßstab 1 : 1000, erhält man für die reale Hanglänge den Wert 10,1 cm 1000 = 10 100 cm = 101 m. 2

c) • 17tan( )1009,7

• Eine Verdoppelung der Steigung führt nicht immer zu einer Verdoppelung des Steigungswinkels, wie das folgende Gegenbeispiel zeigt:

2 17tan( )10034tan( )

10018,8

Es gilt: 2 9,7 19,4 18,8 2 2


218


I II III

d) Sei h der Höhenunterschied der Abfahrt und t die Hanglänge. Dann gilt:

sin( )

sin( )300 sin(9,65 )50,3

ht

h thh

Der Höhenunterschied beträgt etwa 50 m.

Es wird vom Prüfling keine Begründung dafür erwartet, dass hier derselbe Steigungswinkel wie in der von Tabea im Internet gefundenen Abbildung vorliegt. 3

e)

Sei r die Länge der Liftstrecke. Dann gilt:

50sin(14,5 )

sin(14,5 ) 5050

sin(14,5 )199,696458...199,7

rr

r

rr

In der Grafik sind die Streckenverhältnisse nicht korrekt angegeben, denn die Liftstrecke ist wesentlich kürzer, nämlich ca. 200 m.

Es sind auch andere Argumentationen möglich, z. B. solche,

• die auf die Eigenschaften gleichschenkliger Dreiecke Bezug nehmen,

• die auf Kongruenzsätzen basieren,

• die auf einer maßstabsgerechten Zeichnung basieren,

• …

In jedem Fall ist die Schlüssigkeit der Argumentation zu fordern. 2 1


219


I II III

f) Tabea benötigt für 300 m eine Zeit von 20 s.

Zeit Strecke

20 s 300 m

1 s 15 m

3 600 s = 1h 54 000 m = 54 km

Die Durchschnittsgeschwindigkeit von Tabea beträgt also 54 kmh .

Maria Riesch bewältigte 2 920 m in 1 Minute und 34,82 Sekunden. Da eine Minute 60 Sekunden hat, sind dies 94,82 Sekunden .

Zeit Strecke

94,82 s 2 920 m

1 s 2 920 m94,82

3 600 s = 1 h 2 920 3 600 2 920 3 600 m km 110,862687...km

94,82 94,82 1 000

Maria Riesch fuhr mit einer durchschnittlichen Geschwindigkeit von ungefähr 111 km

h den Berg hinab.

Beim Vergleichen stellt man fest, dass die Durchschnittsgeschwindigkeit von Maria Riesch mehr als doppelt so groß ist wie die von Tabea. 3 3


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