TECHNISCHE MECHANIK 3 (1982) Heft2

Manuskripteingang: 6. 1.1982

Modellgleidiungen für Manipulatoren

Peter Maißer

0. Einleitung

Numerische Integration und Untersuchungen zur optimalen Steuerung von Manipulatoren gestalten sich besonders dann

effektiv, wenn die Modellgleichungen (Bewegungsdifferentialgleichungen) Normalform = f (x, t)) besitzen. Das ist

aber für ein Starrkörpersystem — als mechanisches Modell eines Manipulators — im allgemeinen nicht der Fall, wenn die

Bewegungsdifferentialgleichungen nach der synthetischen Methode mittels Impuls- und Drehimpulssatz oder nach der

analytischen Methode in Form der Lagrangeschen Gleichungen ermittelt werden. Die so gefundenen Modellgleichungen

sind im allgemeinen in beiden Fällen durch Auflösen nach den höchsten Ableitungen mit vertretbarem Aufwand prak-

tisch nicht in Normalform überführbar. Sie besitzen jedoch unterschiedliche Transformationseigenschaften. Während die

Newton-Euler-Gleichungen galileiinvariant sind, transformieren sich die Lagrangeschen Gleichungen kovariant bei belie-

bigen Punkttransformationen im Konfigurationenraum R“ (Riemannscher Raum). Die Boltzmann-Hamel-Gleichungen

sind forminvariant gegenüber linearen Transformationen im affinen Tangentialraum, und die kanonischen Gleichungen

sind invariant in bezug auf kanonische Transformationen.

Bei der Untersuchung der Dynamik konkreter Manipulatoren im Rahmen des Lagrange—Formalismus zeigt sich, dafi be-

stimmte wünschenswerte Eigenschaften der Metrik (z. B. Orthogonalität) durch Punkttransformationen im Konfigura-

tionenraum nicht, wohl aber durch Transformationen im Tangentialraum erzwungen werden können. Beispiele für in

diesem Sinne „zweckmäßige” Koordinaten finden sich in der Literatur zur theoretischen und analytischen Mechanik.

Ihre Anwendung auf drei wichtige Klassen von Manipulatoren soll hier demonstriert werden. Die Bewegungsdifferential-

gleichungen erhalten dabei die gewünschte Normalform, so da6 sie mühelos mittels programmierbarer Taschenrechner

integriert werden können.

1. Die Boltzmann-HameI-Gleichungen

Die Boltzmann-Hamel—Gleichungen, kurz auch B.-H.-Gln.,

e 0 . b; I

(aarr’) _ aaxr' + abm‘ Ac,wa = Qa, (1.1)

sind verallgemeinerte Lagrangesche Gleichungen in dem Sinne, daß sie forminvariant sind gegenüber linearen Transfor-

mationen im affinen Tangentialraum

51’ "wa'wa' = 5,0051" (1.2)

mit det * 0 in einem gewissen Gebiet des R“, vgl. [1], [2]. Dabei gilt für die kinetische Energie

T“ (wgq) = T (q, q), 3,1" = aT'Iawa’, 3.xx" = aa T' {3, (1.3)

(9., : 9’. eh, = a ;’„ f". 6", = 5'; ) und für die generalisierten Kräfte

Q" z Q; Pa' ‘

A34“): = 213,133 fb'](1.5)[cl

m'nd die Koordinaten des in den unteren Indizes schiefsymmeh‘ischen Anholouomieobjektes. Es ist identisch Null genau

dann, wenn die w" holonom sind.

Die Bewegungsdifferentillgleichungen eines Manipulators sind dann durch die expliziten B.-H.—Gln. [2]) und die

Transformatiousgleichungen (1.2) angebbar der Form:

MN!) ‘5'" + Aa’(b'c') (t1) ‘0wa” = 0.! (1.6 a)

er = P.‚(q)w". (1.61))

Dabei ist

gable»: = gab (q) am) am) (1.7)

die durch die Transformation (1.2) im Tangentialraum induzierte Metrik, und

r

d’ 1 d

Aarblc/ ((1):: Pa‚b‚c‚ + gd,(c,Ab‚)a‚ + Ega.d,Ab,c, (1.8)

sind verallgemeinerte (bezüglich der letzten beiden Indizes asymmetrische) Christoffel—Symbole 1. Art

(Pa‚b'c‚: Christoffel-Symbole 1. Art im neuen Koordinatensystem).

2. Die kanonischen Gleichungen in anholonomen Koordinaten

Mit der Lagrange-Funktion A* (w; q) : = T* (co', q) — U (q) und den generalisierten Impulsen

par: = 3M“ (2-1)

ist H* (w',q) : = wa'äa‚A* —A*

die zugehörige Prä-Hamilton-Funktion, und mit (2.1), (‚03' : w3'(pb„ q), /_\* (pbr, q) : = A* (wa'(pb„ q), q)

wird die Hamilton-Funktion

FI” (pH, q): = was, _ r (2.2)

definiert. Damit folgen aus den B.-H.-Gln. (1.1) die kanonischen Gleichungen in anholonomen Koordinaten

pa, : _ aa,fi* _pb,A§?;. an? + 6a, = Qa. + am, (2.3 a)

(93’: aa’fi*, (2.3 b)

bzw. -— mit Rücksicht auf die Transformationsgleichungen (1.2) —

('13 = £2.04) 3‘“ I? (2.3 c)

anstelle von (2.3 b), (öa'E—ö/ö pa‚).

3. Manipulator in Zylinderkoordinaten

3.1. Lagrange-Model]

Vereinbarung: {0, am} sei stets Inertialsystem mit orthonormierter Basis. Sk bezeichne den Massenmittelpunkt des

Körpers k, {5|U sei körperfeste orthonormierte Basis. 911 seien die Koordinaten des Trägheitstensors bezüglich

eben dieser Basis, mk die Masse desKörpers k. (fSk = 1k sei de?Örtsvektor des Massenmittelpunktes.

; . . . ' : ' ' = _Voraussetzung €21 |l g)! Il g1 , g 0, 1*], k 1, 2, 3

Der Freiheitsgrad des Manipulators ist n = 3; ql = «p, q2 : = E, q3 : = r sind seine generalisierten Koordinaten. Damit

folgt für die kinetische Energie

Ton) = ; em?- + $452 + m3 (g? + Ai go) mit

ea): = (1933+ g” + g)” + mz’Z—z + ma<A2+:2>, M: = m2+.m3.

Die generalisierten Kräfte Qa folgen aus der virtuellen Arbeit

ö'A = M‘pöcp + (Kg — Mg)öE + Krör E Qaöqa.

Die expliziten Lagrangeschen Gleichungen gab (q) ijb + pabc (q) qb (lo I Qa lauten dann konkret fiir den Mmipulw

tor 'in Bild 1:

65

Bild lbZ 0 / em Manipulator in Zylinderkoordimt—m

®(r)gö+m3Ai"+2m3 rrcb2Mtp ,

M'g‘ 2 Kg _ Mg, (3.1)

m3A¢+m3F~m3r¢2 z Kr

Diese Modellgleichungen besitzen nicht die gewünschte Normalform, denn die Metrik des Konfigurationenraumes R3

G (r) 0 m3A

(gab ((1)) = 0 M 0

m3A O m3

ist nicht orthogonal. (Sie ist orthogonal genau dann, wenn A = 0.)

3.2. Boltzmann-Hamel—Modell

Es entsteht die Frage nach der Orthogonalisierbarkeit der Metrik durch Koordinatentransformation, d. h.‚ vermöge

einer Hauptachsentransformation der kinetischen Energie T. Das kann mittels einer linearen Transformation im affinen

Tangentialraum gemäß (1.2) erreicht werden. Z. B. führt die Transformation

1‚_ . . _ 1,w ' _A 7 ‘ _ ” 7‘P ‘P A“

„2’ = é , g = (02' , (3.234))

(.03l = Asß + , i = (.31, + (‚93'

also

1—A 0 0 _ Ä o o

(fa'a(q)) = 0 1 0 a (FAQ) = 0 1 0 ’

A 0 1 1 0 1

zu

.. ‚ _ 1 9(r) , , , _ 1 ‚ ‚

T (09,11) - ~2— (F ~m3)(w1)2 + Mu.)2 )2 + m3(w3 )2 = 5 ga‚b‚(q) w“ wb (3.3)

mit der orthogonalen Metrik

@(r)A2 -— m3 0 0

(ga'b'(q)) = 0 M 0

0 0 m3

(3.2) beschreibt eine holonome Koordinatentransformation. Folglich ist das Anholonomieobjekt identisch Null, und

die Bewegungsdifferentialgleichungen des Manipulators in Bild l lassen sich mit den B.-H.-Gleichungen (1.6 a) und den

TransformationSgleichungen (3.2 b) in der gewünschten Normalform

¢ = *iwl' ’ “31' : 610{AzKr-AMw‘mar[(w1')2+2w1'w2'1},l'

. K= 2' '2' = _$_ _

E w ‚ w M g , (3.4)

1" = wll+ 033' , 033' = 5 + r— ((421,)2

schreiben (r) : = 9(1') — m3 A2).

3.3. Kanonisches Modell

Mit T* gemäß (3.3) und der potentiellen Energie U = MgE ist

A*<wuq> T” “I”; {(6:5) -ms) - («2152+M<w2’>2+m3<w3')2}—Mgs-

Folglich sind plr = — m3)w1,, p2' = sz’, P3’= 1113 (.23,

die generalisierten Impulse (im neuen Koordinatensystem), und mit

—* _ 1 A2 2 1 2 1 2

A (Pb'aQ)* §{ ö—(r) P1: + MP2: +EIEP3. — MES

ist nach (2.2)

— A2 2 l 2H* = ———_— ‚ + — , + —-— , + M(pmq) 280) 91 2M p2 2m3p3 gs

dle Hamilton-Funktion' 01 2 : M ‘p’ Q2 z = ’ Öv3 z : Kr und öa' : öa faal SOWiC aalfi" E aa H. faal und

Agis 0 V a’, b’, c’ sind dann zufolge (2.3 a, c)

67

v: - A p i A2 "’3‘ 2 + KT 1 M_ _ _—_——— 1' 7 r 2 _ I — _ 7

ea) 1 [97s]? P1 A *0

. 1 .5 = M p2‚ 7 ‚ p2‚ = Kg _ Mg, (3-5)

A2 1 . A2 m3r 2= _ I+— I , I = -_————— I + K

r 60) P1 m3 P3 P3 [9“)? P1 r

die kanonischen Gleichungen. Die beiden Gleichungssysteme (3.4) und (3.5) sind natürlich äquivalent.

4. Manipulator in sphärischen Koordinaten

4.1. Lagrange-Mode"

Es gelte die Vereinbarung von Abschnitt 3.1. Der Freiheitsgrad des Manipulators in Bild 2 ist n = 4; q1 : = t9, q2: = 11/,

3: = «p (Cardan-Winkel), q4’: = r sind seine generalisierten Koordinaten. Für die Winkelgeschwindigkeiten

= (k=1,2,3)gilt:

rein

sind“, Wer—i”

(f2 :tf2,.30, äzzcäaz=—sin19‘ill‚

‘i’3 =ss=W eher WW’(5,] = (gl = —cospÖ— simp sinüxil ,

(£2 = (5,2: singod v— comp sin19‘i’ I

(5,3 : (5,3: cosfitil+§0-

Bild 2

Manipulator in sphärischen Koordinaten

Y'4(g1ae(1))n

J=<(g3lg3)n

7'4 (g1agil.

r ' 5253

Mit (Ei-i = 0, i * j; k = 1, 2, 3 folgt für die kinetische Energie

I 1 3 _2 ..

T(anI)=§E=1{mk ‘k +Ql’fifj}

1 2 11 2 22.2 11,--2— [m232'+m3r2+(§) cos¢+§ smcp’rg)

+ [(m2s22 + m3r2 + (5)11 sinzso + (5)22 c0829 + 922) ' Sinz"

+(933 + €33) COS2 19 4.?33] V32 +((E‚;)ll _§)22) . sing“, . sing

+2§>33 cosaw + 933 (02+m3r'2}.

Sei (5)11 = (5322 . Dann ist

T(<'1,q) = %{911(r)1‘92 + [6—922 (r) sinzö + 833 coszt9]\l‘/2

+ 2(5)33 cosöxßg'o + (5)339'02 + m3i-2 } E ägab mit den Abkürzungen

. _ 11 ll 2

611 — (g) +? + H1252 + m3r2,

622(r)::e“+922+e33+msz+mr2,@33:=@33+®33+e33.3 1 22 3 1 22 3

Die generalisierten Kräfte folgen aus der virtuellen Arbeit

5[A =[—M0+ (mst + m3r)g sin81‘519 + M‘p'5«p+M¢, ’öll/ +[Kr—m3gc0519]°ör EQaöq“.

Dann sind

911(r)5+ 2m3rra_% [62%) _ @33lsin2w2 + 9335111194; e

i=«M0+(m282+m3r)gsint’‚

[€22 (r) siner + 933 cos219] 1.1;+ (5333 cosülß + 2 m3r sin219 it!)

+ [@22(r)—833]sin2193¢—?33sint93¢‘ z Mw‚

33 " 33.- 33 . ' '_

C5) cosz9¢+§ ¢—§) Slnl’flW—M‘p,

m3? — mgr + sin2 fill-l2) = Kr — m3gcost9

(4.1)

die Lagrangeschen Gleichungen. Diese Modellgleichungen besitzen nicht Normalform, denn die Metrik des Konfiglira-

tionenraumes R

(alle) o 0 . 0

o 522 (r) an?» + e33 cos2t9 (5)33 cost? 0

(gab (co) = o (5333 o (5)33 0

0 0 0 m3

ist nicht orthogonal.

69

4.2. Boltzmann-Hamel-Modell

Einführung anholonomer Geschwindigkeitskoordinaten gemäß

wl' = 1'9 , {9 = wl' ‚

2' _ ~ ‘ ' _ 1 . 2'w — sm 1? ' III , III - . w y

am t9

(„3' = cased) + (p , (p = -ctgaw?’ + (03' , (4.2 a—b)

‘04 : 1’ y I" : (04' 7

also

1 0 0 o 1 0 0 o

0 sm a 0 0 0 „ 119 0 0' 8

6201)) = ‚ (f‘a.(q)) = m (4.3)

0 cos 19 1 O 0 —- ctgü l 0

0 0 o 1 0 0 o 1

liefert—fing)“ = a” —

T*<w',q) = @110) -(w1')2 + 6220,19) - (w2'>2 + <5>33<w3'>2 + m3<w4'>2}5 äga'blq) wa'wb’ (4.4)

mit 622 (r, 19) := Ö” (r) + ((1-333 + (5)33) ° ctg20 und der orthogonalen Metrik

alle) 0 0 0

0 0220,19) 0 0

(ga'b'(q)) =

0 0 633 0

3

0 0 O m3

Mit (4.3) folgt für das Anholonomieobjekt gemäß (1.5)

Ajz, = +ctgt9, A21, = 1, Rest Null. (4-5)

(D. h., durch (4.2) wird ein anholonomer Tangenfialraum definiert.) Die Bewegungsdifferentialgleichungen des Mani-

pulators lassen sich mit den B.-H.-Gleichungen (1.6 a) und den Transformationsgleichungen (4.2 b) in der Normalform

70

.9 = wl' ,

O — 1 2'

w — sin 19 w ’

Q: = —ctga9w2' + w3' ,

l: = 0,4, 7

l I r 1 l

(b1 = EL M9 ._ 2m3 m1 w4 + [022(1', a) ctgt? +ä 3,9922 (130)] - ((3)2

r

— (3933 (02,023, + (m2 s2 + m3 r) g ° sin 19} ,

(1)2': ____l__ - fl + 833 w1'w3' —— MW ' ctgt? (4'6)

922 (1., 19) sin 19 3

— [922 (r, .9) - ctg 6 + a0 922 (r,o)]w1'w2' _ 2m3 r („2' (04},

r l('03 — . ’

533' Me3 .

(31" : 1.. - { Kr + m31- - [(0.21')2 + — m3g - cos 0}

m3

schreiben.

4.3. Kanonische: Modell

Mit T* gemäß (4.4) und der potentiellen Energie U (r, 19) z = (m2 32 + m3 r) g cos v9 ist

A” (w, q): = T" — U e” (r) («2152 + 622 (r, ö) (0:252 + (5)33 («2352 + m3 (02452} — (m2 s2 + m3 r) gcow.

Folglich sind

p1’= 611(r)w1', p2I=®22 (r, 0) 022', p3! = @33 w3'3 » P4': m3w4

die generalisierten Impulse (im neuen Koordinatensystem), und mit

- l 2 l 2 l 2 1 2

A*(P', =— .+——-— ‚ + ‚+ ‚— m +m r 00819b q) 2911 (1.)p1 2922 (L0) p2 2633 P3 2m3 P4 ( 2 s2 3 )g

ist gemäß (2.2)

— l 2 1 2 l 2 1 2H' „q)’——p‚+——p‚ +—p‚ + p, +(m2s2+m3r)gcost9

(Pb 26110) l 2622 (r, 1,) 2 2C5)33 3 gm 4

die entsprechende Hamilton-Funktion.

Mit le=—M.9‚ sz=M„,„ Qsz=Mv‚ Q4 = K„ 0a,: Qaf“„ aa,H* s a fi“ Fa;

61 H‘ 83, + a4 H" a: und (4.5) sind dann

71

11.9 = — I

alle) p1 ’

- l

w = —- r ‚9220,19) ' sind P2

. ctgt9 1

cp = — ————— ' '+ — ' ‚622 (r, P2 gga P3

. = _1_

(47)r m3 p4 ’

.

I31‚:_Mt‚+(m2s2+m3r)gsin19+—-—-—l -

922 (1319)

1-{[§ 3191116220,” + W519] ‘ P212 - P2"P3'} ’

M ‚

p-z' = .i'l’ L“ [P3’—p2' ' ctgt9l—Mgo' Gig":

811119 9116.)

I33’ = Mcp’

2 2

p1’ P2'

[[911 (0]2 + [e22 (r, 0)}2

ihr: Kr-m3g60819+msf ]

die kanonischen Gleichungen. Die Modellgleichungen (4.6) und (4.7) sind äquivalent.

5. Manipulator in torusähnlichen Koordinaten

5.1. Lagrange-Mode”

Es gelte die Vereinbarung von Abschnitt 3.1. Der Freiheitsgrad des Manipulators in Bild 3 ist n = 3.

ql = (($31, e(1))! £12 = {($11 ‚1151), q3 = {(El , 1231) seien seine generalisiertenKoordinaten.

Für die Winkelgeschwindigkeiten {5 = (if Ei (k = 1, 2, 3) gilt:

1 _ _ l- _ - -1 l- _ - 2 3 '1w —w —0‚ w -w - q2 , .w —w -sm +

1 11 2 21 5‘“ q 3 31 (q q)q‚

2- .. 2- _ - 2- - -3w —w -0, w —w — —— w —w — — + ,1 _12 2 22 92a 3 32 ((12 q)

(.03 = (03 = {11, (03 = 013 = cosq2q1‚ 003 = (.03 = cos(q2+q3)q1.

l l 2 2 3 3

Damit folgt flit die kinetische Energie

T(q,q)=l%[ i2+6ijw‘w]'1 “q"2k=1 mk k k k1 k} i'ä'gab(q)q

mit

L2 L_ 2

gll — m2 [B2+ 4—0082 q2] + m3{B2 + [L2 cOSq2+§§—cos(q2+q3)]2}

72

+ g“ sin2(q2+q3) + g” cos2(q2+q3>+ 9132:1292

+ €13 5i“ 2 (112 + q3);

L ' L312 : m2B 2—2 + +

— 912 sin q2 —g23 cosq2 — g” sin (q2 + — g” 003 (‘12 + ‘13),

L . 12. 3g13= "133-23 s-n(q2+q3) —g sm(q2+q3> — g2 cos(q2+q3).

L2 L22 2 3 22 22

€22= m24-+m3[L2+E-+L2L3°°5q31+% +2 ‚ (5-1)

a

4

L3 3 22g23=m3IL22—-008q3+Ä—]+? a

2L3 22

gsszmaf“? -

Durch die Metrik 5.1) ist die Kinematik des Manipuiators im Konfigurationenraum R3 vollständig definiert.

Mit den Christoffei—Symbolen l. Art

n f_.„‘. .. L" w’ .‘ ‚-‚ "

[-4Keim “xii/‘9‘ m Pa") 620 + 8c gab " 3a gha/‘02)

:iiié 3

Manipulator 'in iorusähnlichen Koordinan

anrarm

€‘4<E1 oe(1))

q23<(§1lgi )

q3'<1(§1.§‘)

73

und den aus der virtuellen Arbeit

L

ö’A = M1 öql -{M2 + :nz 514260qu + msg [L2 cosqz + 53— c(“5012+q‘°’)]}'5qz

L .

— [M3 + mag E's-008012 + q3)1' 5q3 5021 öqa

der eingeprägten Kräfte und Momente folgenden generalisierten Kräfte lassen sich dann die Bewegungsdifferential-

gleichungen in Lagrangescher Fonn V-

gab (q) er" + Palme) ab qc = 0,. (5.3)

angeben.

Metrik (gab). Christoffel-Svm hole (Fabc) und generalisierte Kräfte (Qa) können rationell mittels Rechner (vgl. [3],

ermittelt werden. Wegen der Nichtorthogonalität der Metrik lassen sich die Bewegungsdifferentialgleichungen (5.3) durch

Auflösen nach den höchsten Ableitungen mit vertretbarem Aufwand praktisch nicht in Normalform überführen. Die In-

tegration der Modellgleichungen (5.3) erfolgt dann zweckmäßigerweise mit Verfahren für implizite Differentialgleichun-

gen. l H

Praktisch wichtiger Sonderfall: B = 0, i)" = 0 , i t j ‚ k = 1, 2, 3.

Dann ist

L

gll = "13 [L2 005 ‘12 +73 °°S(q2 + (13)]2

+ <2“ + «2” -%>“>cos2<q2 +q3> + 933+<5>11+e”-<2“ +m2 )coszqz,

812: €13,50,

g22 = m3[L§ + :—§ + L2113 cosqal + (322 + "122; + (3)22,

€23= "13ng 3—3 cosqa + (Ill—3’] + (5)22,

E33: m3 ';ä+(;222;

m m

r‘112= — [911—933’L§(;3 + m3)]sin2q2 - 2—3 L2 Lasin(2q2 +‘13)

1 11 33 m3 2 .+ _ e _ 9 ___ 2 32 3 4‘ L3)Bln2(q +q)’

_ l . 1 11 m .Fll3— —äm3L2L3cosq2sm(q2+q3) +-2— —®33 — ZäLä)'SIn2(q2+q3)‚

3

P _ 1 . 3223- --2-m3L2L38mq‚

P211 = -F112, r23.3 = r‘223, I‘311‘ -F113, I1322 = ~P2é3v

(die restlichen Fabc sind Null), und die Lagrangeschen Gleichungen (5.3) lauten:

74

g11(q)ii1 + 2F112((1) '11 (i2 + 2F113(‘l) (11513 = Ql,

E2291”2 + €23 ((1)63 + I‘211 (<1) ((152 + 2P223 (qm2 513 + P233 ((1)0113)2 = Q2, (5-4)

E32<q>ii2 + g33ä3 + P311 («1) «11)2 + r322<q)(q2>2 = Qa-

Dabeiist 03 56a ‘ aaU/ 612341, öz=—M2‚ 63=—M3'

5.2. Boltzmann-Hamel—Modell

Für den Sonderfall von 5.1. gilt mit der affinen Transformation

c01': (-11 ‚ (-11 = 001’ ’

(02': aqz + ’ ('12 : aw2'+ (03' , (5_5a__h)

aß: 6612 + 7613 .‚ (i3 = w2’+ dw3’ ‚

2

LA 22 3

: __ z: 8 + __

a dB’ A 3 m34 ’

T L2

‚_ __ _ 22 2 2d.———(1+\/T A), B:-A——((;) +m2—4 )——m3L2,

d 1 _a _ _ l)

'=— := —— :—— :— tfa,—d—1,01.6,6 5,7 6,8 de(a)a

gemäß (1.7) für die Metrik

gllll: :

g2'2”: 32 E22 + 2a:‘323' + £33 =§°05q3 + E,

€22 + 2dg23 + d2g33 =Ecosq3 + (1,83'3'3

g“), = O, a’ 4: b’

mit gewissen Konstanten E, E, E, d.

Für die verallgemeinerten Christoffel—Symbole 1. Art gilt gemäß (1.8) mit a, E 0 V a’, b’, c':

A1'1'2'1 = a' I‘112 + I‘11:» A1'1'3'1 = 11112 + d“P113;

1‘2'1'1'2 I -aI'112 - P113, A2'2'2'I = a(l+a)' I“223,

A2'2'3'i = ad(1+a)’1‘223, 1‘2'3'3'3 : -(1+d)'F223;

A3'1'1'= = - l"112 - d ' I‘113,A3'2'2'i 2 -ad (1+1!) ' I‘223,

A3'2'3'1 = (1+d)‘ I'223‚ A333" =~ d(1+d) ‘ l"223-

1) Ist G232z> g22 , L2>L3, m2>m3, sofolgtB<0, undesiststets 5:110.

75

Die restlichen A“)ch sind Null. Für die generalisierten Kräfte gilt gemäß (1.4):

Ql' = Q]: Q2' : 302 + 03a 03' = QZ + '

Die Bewegungsdifferentialgleichungen des Manipulators lassen sich nun mit den B.-H.-Gln. (1.6 a) und den Transforma-

tionsgleichungen (5.5 b) in der gewünschten Normalform

ql = wl' ’

('12 = awz’ + “3'

(13 : w2’+ dw3' ’

(01': — {Q1 - 2A1'1'2'(Q)w1' <02, — 2A1'1'3'(q) wllwg'} ’gll

. l I r

w2 = €27 an +03 —A2'1'1'(q)(w1)2 — A2'2'2'(¢1) (w?)2

— 2A2'2'3'(‘I) “21‘031- A2'3'3'(<I) (00352} ‚ (5-6)

. 1 ‚ ‚

0’3 = ' Q2 + an “A3'1'1'(‘I) (“1)2 - A3'2'2’(‘I) (“2)2

- 2A3'2'3'(q) 032' <03, - A3'3'3'(q) (09352}

schreiben.

5.3. Kanonisches Modell

Mit

l , ‚

T* ((01, q) : = E garbr(q) co“ co" und der potentiellen Energie

m2 _ m3 _

U<q2‚q3>: = g {(7 + m3) L2°Slnq2 + ~2— Lgsm<q2+q3>}

. l r I

xst A*<w‚q) = §{gu <q><w1>2 + g2'2:<q)<w2>2}

m m '

— g { (53 + m3) L2 $wa2 + 2—3 La sinmz +q3>}

und für die Hamilton-Funktion ergibt sich

“ l 2 l 2 l

H*(P'‚q):: ———p' +———p‚ +

b 2311 1 2g2'2' 2 2g3'3'

m m

p3r2 +gl(2—g +m3)Lzsinq2 +§§ L3 sin(q2+q3)l-

~

: M17 ::__M2, Z:_M37 6a,: Qafalj

aa.H* E 8a fi“ faa, folgen dann aus (2.3 a), (2.3 c) die kanonischen Gleichungen:

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1 __ l

q gm («1) P1 ’

.2 _ a l

q - ——— P2' + —— ' ‚g2'2'(q) gar/(<1) P2

-3 _ 1 dq - ——— Pz' + — p: ‚

52'2'01) g3'3:<q> 3

131' = M1 ‚ (5.7)

. Al’l'z' 2 [‘2' I2! A I I I

P2'=-aM2—M3+ 2 p1, + ——2—2 [32,2 — 2323 [13.2

gll g2'2' g3'3'

m m

—g [a(§2 + m3) L2 cosq2 + (1+3) 2—3 L3 cos(q2+q3)],

A1'1'3' 2 + A2'2'3' 2 ‚r 2

2 p1' 2 p2’ 2 Ps'

g11 g2'2' 53'3'

b3':_M2 — dM3 +

- g [(-32 + m3) L2 cosq2 + (1+d) 12:3— L3 cos(q2+q3)],

6. Schlufibemerkungen

Die zweckmäßige Auswahl eines der drei Modelle: Lagrange-Mode“, Boltzmann-Hamel-Modell, kanonisches Modell

hängt ab von der Kinematik eines Manipulators und vom Ziel der Untersuchung. Das Lagrange-Model] eignet sich be-

sonders für die Berechnung von Antriebsmomenten bei bekanntem Bewegungsgesetz, während dem Boltzmann-Hamel-

Modell und dem kanonischen Modell für Untersuchungen zur optimalen Steuerung, aber auch für die Integration mittels

einfacher klassischer Verfahren der Vorzug zu geben ist. Auf den programmierbaren Taschenrechnem TI 58/59 z. B. er-

fordert das einfachste Prediktor-Korrektor-Verfahrcn (Trapezregel) bei fester Schrittweite für die Manipulatoren in

Zylinder- bzw. in torusähnlichen Koordinaten 98 Programmschritte, während für die rechten Seiten der B.-H.-Modell-

gleichungen mindestens 95 bzw. 370 Programmspeicherstellen von der analytischen Struktur der Antriebs-

kräfte und momenta) benötigt werden. (Rechenzeit: ä 30”/Integrationsschritt). Für den Manipulator in sphärischen

_Koordinaten ist der Programnspeicherbedarf etwas höher (die Ordnung der Modellgleichungen ist 8), der Speicherplatz-

bedarf für die rechten Seiten (wiederum abhängig von der analytischen Struktur der Antriebskräfte und —momente) liegt

aber injedem Fall unter dem Limit des TI 59.

LITERATUR:

[1] Dobronravov, v. v.: Osmvy analititschcskoj mechaniki. „Vyss, skola“, Moskva 1976.

[2] Maiser, P.: Der Iagnnge-Formalismm für diskrete elektromechanische Systeme in anholonomen Koordinaten und seine Anwen-

dung in der Theorie elektrischer Maschinen. Wiss. Z. Techn. Hochsch. Ilmenau, 27 (1981) Heft 2, S. 131 —- 145.

[3] Maisser, P., Habelt, J.: Rechnergestützte Ermittlung der Lagrangeschen Bewegungsgleichungen holonomer Starrkörpersysteme.

Wiss. Z. Techn. Hochsch. Ilmenau, 25 (1979) Heft 2, S. 119 - 127.

[4] Maisser, P.: Rechnergesh’itztes Aufstellen der Bewegungsgleichungen eines Manipulators mit kinematischer Baumstruktur. For-

schungsbericht 1980. Techn. Hochsch. Ilmenau, Sektion Gerätetechnik.

Anschrift des Verfassers:

Dr. rer. nat. Peter Maißer

Technische Hochschule

Sektion Gerätetechnik

Wissenschaftsbereich Technische Mechanik/

Mechanismentechnik

6300 Ilmenau

PSF 327

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