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Modellierung des bruchmechanischen Verhaltens von

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Modellierung des bruchmechanischen Verhaltens von Faserverbundwerkstoffen mittels der
Methode der Finiten Elemente ---------------------------------------------------------------------------------
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Kurzfassung und Abstract
Ausgehend von einer makroskopischen, bruchmechanischen Betrachtung werden die Deformation und das Versagen beim ‘Curved Cantilever Beam Test’ mit einem Finite- Elemente-Modell untersucht. Der Test wird zur Charakterisierung der Delaminationszähigkeit von gekrümmten Probekörpern aus faserverstärkten Verbundwerkstoffen verwendet. Derartige Formen ergeben sich z.B. im Resultat von Wickelverfahren für faserverstärkte Thermoplastmaterialien. Die Interpretation der experimentellen Testergebnisse wird erschwert durch die gekrümmte Geometrie, das Auftreten von starker Biegung und von bruchmechanischen ‘Mixed-Mode’-Zuständen. Aufgrund dieser Schwierigkeiten existierte bisher kein spezielles Deformationsmodell für den Versuch. Die vorgestellte Finite Elemente Modellierung liefert eine gesicherte Basis für die Ermittlung der kritischen Energiefreisetzungsrate Gc der Delamination aus dem CDCB-Test. Mit ihrer Hilfe wird gezeigt, daß sich ein einfaches und genaues empirisches Verfahren zur Bestimmung von Gc aus den experimentellen Ergebnissen anwenden läßt, obwohl die Deformation der Probe nichtlinear ist und aufgrund der wirkenden Scherdeformationen auch mit aufwendigen analytischen Modellen nicht befriedigend beschrieben werden kann. Trotz der unsymmetrischen Geometrie der CDCB-Probe ist der Mode-II-Anteil der Belastung bei mittiger Lage der Rißebene in der Probe vernachlässigbar. Allerdings ergeben sich starke Mode-II-Beiträge bei bereits geringen Abweichungen der Rißlage von der Mittelebene der Probe. In den Experimenten muß daher vom Auftreten ausgeprägter, aber kaum einschätzbarer ‘Mixed-Mode’-Situationen bei der Delamination ausgegangen werden. Durch Normierung und Rechnungen über einen weiten Parameterbereich wurden Hilfsmittel in Diagrammform geschaffen, die in Abhängigkeit von der Materialsteifigkeit eine Dimensionierung der CDCB-Proben vor der Herstellung der Probekörper hinsichtlich ihrer Anfangsrißlänge und der Dicke ermöglichen. Die theoretische Untersuchung wird durch experimentelle Ergebnisse an Glasfaser/ Polyamid 6-Proben untersetzt.
Das zweite Beispiel befaßt sich mit der mikromechanischen Beschreibung des spröden Versagens der Faser-Matrix-Grenzfläche beim Einzelfaser-Auszugsversuch. Zielstellung der Finite-Elemente-Modellierung war es, die bislang vorherrschende Grenzflächenscherfestigkeit durch ein bruchmechanisches Debonding-Kriterium zu ersetzen. Ein besonderer Schwerpunkt wurde auf die Berücksichtigung der Überlagerung von Radial- und Scherspan- nungskomponenten in der Grenzfläche gelegt, gegenüber denen die Haftung mit sehr unterschiedlicher Empfindlichkeiten reagiert. Ein einziger, lediglich auf die Scherbelastung bezogener, Parameter erscheint zur Charakterisierung der Grenzfläche nicht ausreichend. Dem wurde durch die Nutzung eines ‘Mixed-Mode’-Versagenskriteriums für die kritische
Energiefreisetzungsrate in der Analyse Rechnung getragen. Besonders die Anfangsphase der Grenzflächenrißausbreitung ist durch dominante und sich mit der Rißlänge stark ändernde Mode-I-Anteile gekennzeichnet. In diesem Bereich tritt auch die maximale Debondingkraft auf. Sie ist zwar das signifikanteste Ergebnis der experimentellen Tests, wird jedoch unter wenig reproduzierbaren ‘Mixed-Mode’-Bedingungen erreicht. Ihr Wert ist zum Vergleich mit anderen Belastungsituationen daher wenig geeignet. Für mittlere Rißlängen durchläuft die Rißausbreitung eine Plateauphase, in der sich die Belastungssituation nur wenig ändert und für welche die Energiefreisetzungsrate durch ein einfaches analytisches Modell beschrieben werden kann. Sie bietet daher verläßlichere Bedingungen für die Bestimmung und den Vergleich der Grenzflächeneigenschaften. In der Praxis ist stabile Rißausbreitung bis in diese Zone nur für sehr steife Versuchsanordnungen und sehr kurze freie Faserlängen zu erreichen und konnte erst kürzlich von HAMPE realisiert werden. Der Vergleich mit den dabei erhaltenen experimentellen Ergebnissen erfordert die Einbeziehung von Grenzflächenreibung, die durch eine einfache analytische Erweiterung des FE-Modells näherungsweise erfaßt werden kann. Dabei wird das in der Modellierung erhaltene Bild vom Grenzflächenversagen bestätigt, insbesondere was den Prozeß der Grenzflächenrißinitiierung an der Matrixoberfläche und die geringe Widerstandsfähigkeit der Haftung gegenüber Normalbelastungen betrifft. Ein empirisches Verfahren zur getrennten Abschätzung der Reibungs- und der Haftungsanteile aus den Belastungskurven der stabilen Rißausbreitung des Faserauszugs wird vorgeschlagen. Die vorgestellten Methoden zur Berechnung der bruchmechanischen Kenngrößen und zur Charakterisierung des ‘Mixed-Mode’-Zustandes können unmittelbar auf ähnliche makro- mechanische oder mikromechanische Testgeometrien übertragen werden. Eine Erweiterung der Modelle hinsichtlich der Beschreibung inelastischen Materialverhaltens ist geplant.
Abstract
The understanding of the microscopic mechanisms and its formulation in macroscopic material laws is essential for a conscious optimization of the mechanical properties of fibre-reinforced composite materials. The necessary modeling of the deformational behavior is complicated because of the inhomogeneous structure, the anisotropy and the high endurance of this materials. It often exceeds the possibilities of mathematical-analytical methods. This is demonstrated in this work on two examples for the micromechanical and macromechanical failure behavior of fibre-reinforced materials.
The deformation and fracture of a ‘Curved-Double-Cantilever-Beam’-Specimen are investigated with a finite element analysis by a macroscopic, fracture mechanics approach. This test is used for characterization of delamination toughness of curved thermoplastic composite samples, that are the result of a filament winding technology. The interpretation of the experiments is complicated by the curved geometry, large deflection and fracture-mechanical mixed-mode-conditions. No particular deformational model for this geometry has been known until now. The presented finite element analysis provides a reliable basis for the estimation of the critical debonding energy release rate Gc from the experimental results. For this purpose a simple, empirical data reduction scheme could be confirmed, though the sample shows a nonlinear deformation that cannot be satisfactory described by closed mathematical expressions. In spite of the asymmetrical geometry and loading of the CDCB-test, the mode-II- contribution of the loading has been proven to be neglectable for a central position of the crack plane with regard to specimen thickness. But large mode-II-contributions occur for small deviations of the crack from the specimens middle-plane. The real loading state in the CDCB- experiments will therefore be ruled by mixed-mode conditions, rarely to judge. Diagrams are presented as a result of the FE-analysis, that can be used as a tool for the dimensioning of the
CDCB-specimens with regard to sample thickness and initial crack length. The theoretical investigation is complemented with an experimental study for glass-fibre/ polyamid 6 samples.
The second example refers to a micromechanical description for brittle failure of the fibre- matrix-interface in the single-fibre-pull-out-test. The intention of the finite element analysis was to replace critical interface-shear-strength by a fracture-mechanical debonding criterion. Special emphasis was laid on the mixed mode state due to the radial- and axial stress components at the interface. The adhesion is expected to respond with different sensitivities to the miscellaneous modes of loading and a single parameter will not be sufficient for characterization of the interfacial quality. This has been taken into consideration in the analysis by help of mixed-mode-criterion for critical energy release rate. Particularly the initial phase of interface-crack-extension is characterized by dominant and quickly changing mode-I- contributions. Maximum debonding force is observed in this range as the most significant experimental result. But owing to its rarely reproducible mixed-mode-conditions this value seems not suitable for the purpose of comparison. For medium crack lengths the energy release rate G of interface crack extension passes a plateau with only small changes in loading state. In this range the value of G can be approximated by the free fibre contribution with a very simple analytic expression. This plateau should offer more reliable conditions for the experimental estimation and the comparison of interfacial properties from different material systems. Stable crack extension can be maintained into this zone for very stiff test conditions and short free fibre lengths. That has been realized in experiment only recently by HAMPE. The comparison of his results requires the inclusion of interface friction into the predictions of the FE-analysis, which is possible in an approximate way by help of an analytical extension to the FE-results. The experiments confirm the view of interfacial failure, supplied by the model. That especially applies for its explanation of the crack-initiation process and the importance of the high interface sensitivity towards normal loading for the stability of crack extension. An empirical method is proposed to split up the experimental results for pull-out into the contribution of interface friction and of pure debonding.
The presented procedures for computation of fracture mechanics parameters with FE-models can be transferred directly to similar macromechanical and micromechanical test-geometries. An extension of the model is planned toward the consideration of inelastic material properties.
Inhaltsverzeichnis
1
1.3 Konzepte für Versagenskriterien 6
1.4 Grenzen der mathematisch-analytischen Modellierung 9
1.5 Zielstellung der Arbeit 11
2. Makromechanische Modellierung: Charakterisierung des Delaminationswiderstandes gekrümmter Probekörper
13
2.2.1 'Double Cantilever Beam'-(DCB)-Test für ebene Materialien 16
2.2.2 'Curved Double Cantilever Beam'-(CDCB)-Test für gekrümmte Materialien 17
2.3 Modellierung DCB-Test 19
2.3.2. Analytische Modelle des DCB-Tests 22
2.3.3. Ermittlung der Energiefreisetzungsrate G aus den FE-Ergebnissen 25
2.3.3.1 Compliance-Methode und Energie-Methode 26
2.3.3.2 Bestimmung von G aus den Rißspitzen-Nahfeldern 28
2.3.4 Ergebnisse der FE-Modellierung 35
2.3.5 Schlußfolgerungen 40
2.4.2.1 Berechnung der Energiefreisetzungsrate für nichtlineare Deformation aus dem Last-Verschiebungs-Zusammenhang und der Änderung der elastischen Energie
44
2.4.2.2 Berechnung der ‘Mixed-Mode’-Anteile von G aus den Rißspitzen- Nahfeldern
46
2.4.4 Verfahren nach WILLIAMS 55
3. Ergebnisse der FE-Modellierung für CDCB-Test 59
3.1 Einfluß von Probekörpergeometrie, Materialeigenschaften und nichtlinearer Deformation
60
4. CDCB-Experimente 75
4.2 Ergebnisse 75
5. Mikromechanische Modellierung des Grenzflächenversagens beim Einzelfaser-Auszugstest
84
84
89
5.3.1 Geometrie 96
5.3.3 Ermittlung der Energiefreisetzungsrate aus den FE-Ergebnissen 99
5.3.3.1 Compliance- und Energiemethode 99
5.3.3.2 Bestimmung der ‘Mixed-Mode’-Anteile aus den Rißspitzennahfeldern 100
5.3.4 Berechnung der Last-Verschiebungs-Kurven 104
5.3.5 ‘Mixed-Mode’-Kriterium für Grenzflächenversagen 105
6. Ergebnisse der mikromechanischen Modellierung 110
6.1 Ergebnisse der FE-Modellierung 110
6.1.1 Einfluß der geometrischen Abmessungen und elastischen Materialeigenschaften auf die Energiefreisetzungsrate
110
6.1.3 Schlußfolgerungen 121
7. Schlußfolgerungen für Einsatz der FE-Methode zur Modellierung des Versagens faserverstärkter Verbundwerkstoffe
130
133
135
139
werkstoffen
der Regel stark unterschiedlichen Eigenschaften aufgebaut. Zielstellung ihrer Entwicklung ist
die Kombination der für einen bestimmten Einsatzzweck vorteilhaften Eigenschaften jeder
Komponente. Unter dem Gesichtspunkt der mechanischen Eigenschaften bedeutet dies meist,
die gute Zähigkeit und Verarbeitbarkeit eines ökonomisch günstigen Matrixmaterials mit der
hohen Steifigkeit und Festigkeit eines Verstärkungsmaterials zu verbinden. Neben den reinen
Materialeigenschaften der Komponenten haben auch die geometrischen Verhältnisse, wie
Größe, Packungsdichte und Orientierung der Verstärkungskomponenten sowie die Herstel-
lungsbedingungen großen Einfluß auf das Verhalten des Verbundwerkstoffes. Parallel zu den
vorteilhaften Wirkungen ergeben sich durch eine Kombination auch häufig negative Einflüsse
auf die Eigenschaften des Verbundwerkstoffes. Aufgabe der Materialwissenschaft ist es, durch
Einsatz geeigneter Materialkomponenten, Strukturgeometrien und Prozeßführung, das
ökonomische und technische Optimum für die verschiedenen Anwendungen zu finden.
Die Verstärkungskomponenten partikel- und faserverstärkter Materialien auf Kunststoffbasis
zeichnen sich im allgemeinen durch mikroskopische Abmessungen und dichte Packung aus.
Der Durchmesser der dafür häufig verwendeten Glasfasern liegt im 10 µm-Bereich. Die aus
den Materialien aufgebauten technischen Bauteile haben im Vergleich dazu wesentlich größere
(„makroskopische“) Abmessungen in Größenordnungen von Millimetern bis Metern. Für den
Anwender und Konstrukteur sind in erster Linie die technischen Eigenschaften der Materialien
auf dieser makroskopischen Strukturebene interessant. Sie ergeben sich nicht einfach aus der
Summe oder dem Mittel der Eigenschaften der mikroskopischen Strukturelemente, sondern
sind Ergebnis komplizierter Wechselwirkungen und Mechanismen. Das Verhalten von ver-
stärkten Materialien kann ausgehend von zwei verschiedenen Sichtweisen beschrieben werden.
Die mikromechanische Betrachtungsweise beschränkt ihren Horizont auf einen kleinen aber
repräsentativen Ausschnitt des Verbundwerkstoffes und untersucht auf dieser Ebene die Wech-
selwirkungen zwischen den mikroskopischen Verstärkungskomponenten [1]. Das Material
wird als inhomogen betrachtet und die unterschiedliche Geometrie und Eigenschaften der
Strukturelemente werden explizit in die Betrachtung einbezogen. Die Zielsetzung ist, den
Zusammenhang zwischen den Eigenschaften und Mechanismen der mikroskopischen Struktur-
komponenten und den makroskopischen, technischen Eigenschaften und Vorgängen
2
jedoch nicht möglich.
Die makroskopische Betrachtungsweise untersucht und beschreibt das Verhalten und die
Eigenschaften der Materialien in Bezug auf die aus ihnen aufgebauten technischen Bauteile
(z.B. Laminattheorie [2]). Sie verzichtet auf eine Unterscheidung der mikroskopischen
Strukturkomponenten und behandelt die Materialien als homogen. Dies ist akzeptabel, solange
ein homogenes Volumenelement ausreichend viele mikroskopische Strukturkomponenten für
eine statistische Interpretation enthält. Die vielfältigen Wechselwirkungen auf der mikro-
skopischen Strukturebene werden in integraler Weise in makroskopischen Materialgesetzen
widergespiegelt, die oft einen komplizierteren Charakter (Anisotropie, Inelastizität,
Schädigungsverhalten) als für unverstärkte Materialien haben. Die dafür verwendeten
Beziehungen sind nur empirischer Natur und hängen von den mikroskopisch induzierten
Mechanismen ab. Sie können sich für verschiedene Belastungssituationen und Bauteil-
geometrien stark unterscheiden. Die mikromechanische Modellierung versucht diese Vorgänge
aufzuklären und die Grundlagen zu ihrer makromechanischen Beschreibung bereitzustellen.
Wichtigste Quelle für die Bestimmung der Konstruktionseigenschaften und ihrer konkreten
Materialgesetze und die Verifizierung der Modelle ist indes das Experiment, das sich am
konkreten Einsatzfall der Materialien orientiert. Deshalb gibt es zur makroskopischen
Charakterisierung der Verbundwerkstoffe eine Fülle verschiedener Prüfverfahren, welche die
mechanischen Eigenschaften und das Versagensverhalten unter den unterschiedlichen,
technisch relevanten Belastungssituationen bestimmen sollen.
Eine makromechanische Modellierung ist daher nicht nur für die Konstruktion und
Dimensionierung der Bauteile notwendig, sondern dient auch als Grundlage zur Auswertung
der experimentellen Prüfverfahren.
Aufgabengebiet der Materialwissenschaft.
Faserverstärkte Verbundwerkstoffe zeigen aus makroskopischer Sicht anisotrope
Eigenschaften, in Orientierungsrichtung der Fasern sind z.B ihre Steifigkeit und Festigkeit viel
höher als in den Querrichtungen. Davon wird auch ihr Versagensverhalten wesentlich
beeinflußt. Bei langfaserverstärkten Materialien oder Schichtverbunden ist dies ganz besonders
ausgeprägt: Versagen in der Matrix oder in der Grenzfläche parallel zu den Fasern tritt
3
bevorzugt gegenüber Faserbruch senkrecht zum Querschnitt auf. Eine bei diesen Materialien
im praktischen Einsatz häufig beobachtete Versagensform ist die sogenannte Delamination
([3]-[7]). Sie beginnt an herstellungs- oder belastungsbedingten Fehlstellen zwischen den in
realen Verbunden meist schichtartig übereinanderliegenden Strukturzonen aus Fasern und
Matrix. Bei ausreichender Belastung wird der entstandene Riß sich auf dem Weg des
geringsten Widerstandes im Gebiet zwischen übereinanderliegenden Faserschichten flächig
ausbreiten. Dies kann in der Matrix durch Schädigung und Fließen oder entlang der Faser-
Matrix-Grenzflächen durch Versagen der Haftung erfolgen. Die verschiedenen Prozesse
können gemeinsam auftreten, in Abhängigkeit von der äußeren Belastung wird jedoch der eine
oder der andere dominieren [4]. Normalbelastungen senkrecht zur Schichtebene resultieren
häufig in verstärktem Grenzflächenversagen, Scherbelastungen in der Schichtebene dagegen in
Mikrorißbildung und Fließen in der Matrix [5]. Die Anfälligkeit eines Materials gegenüber
Debonding ist daher von der Zusammensetzung der Belastung abhängig und im allgemeinen
senkrecht zur Rißebene besonders hoch ([8]-[10]).
Durch die Orientierung der Fasern und ihre Anordnung in Schichten bleibt der entstehende Riß
über große Distanzen in der Ebene seiner Entstehung, auch bei nichtsymmetrischer Belastung
oder Krümmungen der Struktur. Aus makroskopischer Sicht entspricht dies einer kollinearen
Rißausbreitung und vereinfacht die Beschreibung. Durch die verstärkende Wirkung der steifen
Fasern verhält sich das Material während des Versagens im überwiegenden Teil der Proben für
viele Materialien äußerlich elastisch, so daß zur Beschreibung der Delamination häufig ein
bruchmechanischer Ansatz gewählt werden kann ([11], [12]; Grenzen der Anwendung: [13]).
Zur Charakterisierung der Anfälligkeit eines Schicht-Verbundes gegenüber Delamination wird
meist die kritische Energiefreisetzungsrate gewählt. Ihre Definition beruht auf der
Energiebilanz der Rißausbreitung (GRIFFITH [14]) und hat - im Gegensatz zum Konzept der
Spannungsintensitätsfaktoren (IRWIN [15]) - daher auch dann Gültigkeit, wenn lokal begrenzte
inelastische Prozesse auftreten oder die inhomogene Struktur der Verbundwerkstoffe
gegenüber ihren äußeren Abmessungen spürbar wird [16]. Derartige Bedingungen sind für
langfaserverstärkte Materialien fast immer gegeben, was die Nutzung von
Spannungsintensitätsfaktoren ungeeignet erscheinen läßt. Vorraussetzung für die
Anwendbarkeit des Konzepts der Energiefreisetzungsrate ist allerdings, daß die Rißausbreitung
selbstähnlich [17] erfolgt, was bedeutet, daß sich die von einer elastischen, homogenen
Beschreibung abweichenden Zonen während der Rißausbreitung nicht wesentlich ändern
dürfen. Bis zu einem gewissen Umfang lassen sich solche Änderungen, besonders nach der
Rißinitiierung, in einer Abhängigkeit der kritischen Größe von der Rißgröße erfassen. Das
Delaminationsverhalten solcher Materialien wird dann nicht mehr durch eine Konstante,
4
Mechanismen stehen bei der Delamination oft in Zusammenhang mit einem Übergreifen des
Risses auf benachbarte Zwischenschichten und dadurch induzierter zusätzlicher Dissipation.
Ein darauf zurückzuführender, häufig beobachteter und mit einem Anstieg des
Delaminationswiderstandes korrelierender Prozeß ist die Bildung sogenannter Faserbrücken
([21]-[23]) welche den entstandenen Delaminationsriß überspannen. Sie bewirken eine
Abschirmung der Belastung der Rißspitze und vermehrte Dissipation infolge von Faserbruch
und von Ablösung der Fasern von den Rißflächen. Ihre Ausbildung hängt jedoch von den
Formen der Belastung und der Geometrie der deformierten Körper ab ([6], [20]).
Die experimentelle Charakterisierung der Delaminationseigenschaften liefert dem Konstrukteur
Informationen zur Auswahl des geeigneten Compositematerials. Dem Technologen vermitteln
diese darüber hinaus Anhaltspunkte über die erreichten Konsolidierungseigenschaften des
Materials und die Güte des Herstellungsprozesses. Die Delaminationskenngrößen gehören zu
den wichtigsten makroskopischen Versagenseigenschaften von Schichtverbundwerkstoffen.
Die mechanischen Eigenschaften lang- und kurzfaserverstärkter Materialien werden auf mikro-
skopischer Ebene wesentlich durch die Qualität der Haftung zwischen Faser und Matrix
bestimmt ([24]-[29]). Aufgrund der ausgeprägt inhomogenen Struktur der Eigenschaften,
Spannungen und Deformationen dieser Materialgruppe gibt es eine große Zahl von Einfluß-
faktoren (inelastisches Materialverhalten, komplizierte lokale Spannungszustände ...) und
Wechselwirkungsmöglichkeiten (Grenzschichten, Faser-Matrix-Reibung, Faser-Faser-
(Debonding, Matrixbruch und -fließen, Faserbruch, Faser-Pull-Out usw.), die für ein und
dasselbe Material unter verschiedenen Belastungsbedingungen in ganz unterschiedlicher
Verteilung angeregt werden können [30]. Die Faser-Matrix-Haftung nimmt für viele der
Prozesse eine Schlüsselstellung ein.
Die große Zahl der wirkenden Faktoren ist ein Problem, jedoch zugleich auch ein bedeutendes
Potential der Verbundwerkstoffe, denn sie bieten vielfältige Möglichkeiten der technologischen
Einflußnahme auf die technischen Eigenschaften dieser Materialien. Eine Beschreibung der
Zusammenhänge zwischen der Beschaffenheit der mikroskopischen Strukturkomponenten und
den makroskopischen Konstruktionseigenschaften und ein Verständnis der sich mikroskopisch
vollziehenden Prozesse ist insbesondere für das Versagensverhalten von Verbundwerkstoffe
überaus schwierig ([31]. Während die makroskopische Steifigkeit eher integralen Charakter
trägt und gegenüber lokalen Abweichungen weniger empfindlich ist, wird das makroskopische
Versagen immer an lokalen Störungen initiiert und weitergeleitet und zeigt die Merkmale eines
5
katastrophalen Prozesses. Letzteres kommt deutlich in der starken Streuung bei der
experimentellen Bestimmung der Versagenskenngrößen zum Ausdruck ([32], [33]).
Obwohl grundlegende Mechanismen des Versagens von faserverstärkten Materialien schon seit
längerem bekannt sind und experimentell und modellmäßig untersucht werden, gibt es im
Detail noch eine Vielzahl offener Fragen. Gerade die Rolle der Faser-Matrix-Haftung ist
vielschichtig. Eine gute Haftung ist wünschenswert, um eine effektive lokale Ableitung der
Last an mikroskopischen Störstellen (Faserbrüchen/ -enden) und eine hohe verstärkende
Wirkung der Fasern zu erreichen. Im Sinne einer hohen Steifigkeit und Festigkeit in Quer-
richtung (und zumindest für kurzfaserverstärkte Materialien auch in Faserlängsrichtung) ist die
Verbesserung der Faser-Matrix-Haftung eine uneingeschränkt zu fördernde Zielstellung, die
auch die bisherige technologische Entwicklungsrichtung von Faser-Matrix-Systemen bestimmt.
Um jedoch eine hohe Widerstandsfähigkeit (Zähigkeit) der Verbundwerkstoffe gegenüber dem
Versagen an herstellungs- oder belastungsbedingten Störstellen zu realisieren, ist die durch die
äußere Belastung eingebrachte Energie in möglichst hohem Maße über die Umgebung der
Störstelle hinweg zu dissipieren und so deren lokale Belastung abzuschirmen. Als wirkungsvoll
hat sich dafür vor allem die Aktivierung einer möglichst großen Anzahl von
energiedissipativen Mechanismen erwiesen. Für diese Zielsetzung ist eine besonders starke
Haftung zwischen Faser und Matrix nicht unbedingt vorteilhaft. Eine mittlere Haftung hat
Faser-Matrix-Versagen an einer Vielzahl von Fasern im belasteten Bereich zur Folge und
dissipiert dabei wesentlich mehr Energie als das Versagen einer - noch so starken - einzelnen
Grenzfläche ([29], [21], [6]). Unter diesem Aspekt sollte es ein Optimum der Faserhaftung für
einen Verbundwerkstoff geben, das aber wesentlich auch durch dessen Einsatzzweck bestimmt
wird.
Die Aufklärung des Einflusses und die Optimierung der Qualität der mikroskopischen
Grenzfläche hinsichtlich den makroskopischen Versagenseigenschaften ist Gegenstand
zahlreicher experimenteller ([34]-[40]) und theoretischer Untersuchungen ([41]-[44]). Wichtige
Voraussetzung dafür ist die experimentelle Charakterisierung der mechanischen Eigenschaften
der Grenzschicht in mikroskopischen Faser-Matrix-Systemen ([45]-[48]).
Ein denkbarer Zugang ist die Untersuchung der physikalischen und chemischen Wechsel-
wirkungen, die unmittelbar in der Grenzfläche zwischen den Molekülen der unterschiedlichen
Materialien bestehen (Review [24], [48]-[50]). Die relevante Größe ist die thermodynamische,
freie Grenzflächenenergie ([48], [51]) deren Anteile von verschiedenen Wechsel-
wirkungsformen (chemische Bindung, Van der Waals, Dipolwechselwirkung, mechanische
Wechselwirkung [52], ...) sich aus diversen Meßverfahren (Benetzungsuntersuchungen:
Kapillarsteighöhenmethode, Wilhelmy-Methode [53]; Spektroskopische Oberflächenunter-
6
suchungen: SIMS, ISS, XFS; Zeta-Potential [54], ...) ermitteln lassen. In Bezug auf die beim
Faser-Matrix-Debonding in der mikroskopischen Strukturebene (Faser-Matrix, Größenordnung
µm ) umgesetzten Energien stellt diese molekulare Wechselwirkungsenergie jedoch nur einen
nahezu verschwindenden Bruchteil ([48], [55]). Ursache dafür ist, daß beim Lösen der
Verbindung zwischen Faser und Matrix nicht nur die unmittelbar benachbarten
Molekülschichten beteiligt sind, sondern aufgrund der in der Umgebung der Spitze des
Grenzflächenrisses auftretenden Spannungskonzentrationen Umordnungen (Fließen und
Schädigung der Materialien) in einem ganzen räumlichen Bereich („Prozeßzone“), mit einer
um Größenordnungen höheren Anzahl von Molekülen, auftreten. In diesen wird weitaus mehr
Energie dissipiert, als in der unmittelbaren Grenzfläche. Allerdings ist die Größe der
Prozeßzone und damit der Betrag der in ihr dissipierten Energie abhängig vom Grad der
Adhäsion: hoher direkter Zusammenhalt der Grenzfläche führt zu stärkeren Spannungs-
konzentrationen, größeren Prozeßzonen und damit höherer ingesamt dissipierter Energie.
Die molekulare Grenzflächenwechselwirkung allein ist zur Beschreibung der Qualität der
Faser-Matrix-Grenzfläche daher nicht ausreichend. Sie wird auf dieser mikroskopischen
Strukturebene (zu unterscheiden von der molekularen Strukturebene im nm-Bereich) durch
weiter gefaßte Parameter, wie der Grenzflächenscherfestigkeit oder der kritischen Energiefrei-
setzungsrate des Debonding charakterisiert [56]. Diese beinhalten den Einfluß der Prozeßzone
und der räumlichen Struktur der sogenannten Grenzschicht, die durch die Nachbarschaft der
Grenzfläche geänderte Eigenschaften gegenüber dem reinen Matrixmaterial besitzt ([57]-[59]).
Da anzunehmen ist, daß diese Gebiete entscheidend durch die absoluten Größenverhältnisse,
die mikroskopische Geometrie und den Verbundbildungsprozeß bestimmt werden, erfordert
ihre experimentelle Charakterisierung eine realitätsnahe Probengestaltung in Anlehnung an die
mikroskopische Struktur der Verbundwerkstoffe. Die in makroskopischen Testverfahren
(„Peel-Test“, „Brazilian-Disc“, ... [60], [61],) ermittelten Haftungsparameter sind nur bedingt
für das mikroskopische Verhalten typisch.
Der mikromechanischen, experimentellen Bestimmung der Grenzflächeneigenschaften wird
große Aufmerksamkeit geschenkt und sie ist seit vielen Jahren ein Schwerpunkt der Arbeit
zahlreicher Forschungsgruppen. Eine Übersicht zu dieser Thematik ist in Kap. 5.1 zu finden.
1.3 Konzepte für Versagenskriterien
Spannungsverteilung im Material endlich, so ist ein Festigkeitskriterium anwendbar ([62],
[63]). Dieses geht davon aus, daß ein Volumenelement des Materials einer Belastung nur bis zu
einer materialtypischen maximalen Spannung oder Dehnung widerstehen kann. In
7
Beschreibung ist, daß über ein statistisch repräsentatives Volumenelement die Spannung als
homogen angesehen werden kann [17]. Versagen wird immer an Fehlstellen (Mikrorissen,
Einschlüssen, Hohlräumen) induziert. Enthält das Volumenelement ausreichend viele dieser
mikroskopischen Strukturelemente um eine statitistische Homogenisierung seiner
Eigenschaften und Deformationen zuzulassen und erfolgt die Belastung des Volumenelementes
gleichmäßig, so werden unterschiedliche Bereiche des Materials unabhängig im Mittel unter
gleichen Bedingungen versagen.
Liegt jedoch eine größere Störung, z.B. ein Riß im Material vor, so treten starke Spannungs-
konzentrationen und -gradienten auf, die sich bis in die mikroskopische Substruktur fortsetzen.
Für ein Volumenelement auf einer bestimmten Betrachtungsebene läßt sich dann kein
einheitlicher Spannungswert mehr angeben. In der mathematischen Modellierung dieses Sach-
verhalts ergeben sich Singularitäten mit unbegrenzten Werten für die Spannung. Das Festig-
keitskonzept ist für derartig inhomogene Spannungsverteilungen nicht geeignet. Für die
Beschreibung des Versagens bei Vorliegen einer auf der Betrachtungsebene spürbaren
Schädigung wurde die Bruchmechanik entwickelt ([14], [15]). In ihrer gebräuchlichsten
Formulierung untersucht sie die Ausbreitung eines Risses in einem Material ausgehend von der
dabei auftretenden Energiebilanz [64]. Für elastische Systeme ist die entsprechende Kenngröße
die Energiefreisetzungsrate G. Für die Phase der Ausbreitung eines bestehenden Risses der
Länge a um eine differientiell kleine Länge da unter einer äußeren Last P kann eine Bilanz der
zugeführten und verbrauchten Energie aufgestellt werden:
dU dW dW dWaußen Riß Dissipation− + + = 0 (1.1),
wobei ( ) ( )dU U a da U a= + − der Änderung der im System gespeicherten elastischen Energie
U entspricht. dWaußen ist die während der Rißausbreitung am System von äußeren Kräften ver-
richtete Arbeit, dWRiß die bei Ausbreitung des Risses um eine Länge da zur eigentlichen
Trennung des Materials aufzuwendende (Adhäsions-)-Arbeit ( dWRiß > 0 ). Der Anteil
dWDissipation ist die während der Rißausbreitung durch Dissipation (plastische Verformung, Rei-
bung, Erwärmung) in der Prozeßzone oder im Material verbrauchte Energie ( dWDissipation > 0).
Bei Annahme ideal elastischer Materialeigenschaften wird der letzte Anteil vernachlässigt oder
der zur Trennung der Rißflächen benötigten Arbeit dWRiß zugeordnet. Die zur Ausbreitung des
Risses notwendige Arbeit dWRiß ist im Differentiellen proportional der neu entstandenen
Rißfläche B da⋅ . Der Proportionalitätsfaktor beschreibt den Widerstand eines Materials gegen-
über Rißausbreitung und wird als kritische Energiefreisetzungsrate Gc bezeichnet (B... Breite
der Rißfläche):
− −
⋅ =
c (1.3).
Der Term auf der linken Seite entspricht der vom System für die Rißausbreitung zur Verfügung
gestellten Energie, er wird als Energiefreisetzungsrate G bezeichnet:
G d U W
( ) (1.4)
Die rechte Seite von Gl. 1.3. enthält die während der Rißausbreitung verbrauchte Energie. Die
Herleitung der Bilanz geht von einem quasistatischen Rißwachstum aus. Dynamische Effekte
(kinetische Energie) sind in der bisherigen Formulierung nicht berücksichtigt, sie bewirken
eine Erhöhung der Dissipation des Systems. Unter Verwendung der Definition der Energiefrei-
setzungsrate ergibt sich folgendes Kriterium für das Auftreten von Rißausbreitung: die vom
System zur Verfügung gestellte Energiefreisetzungsrate G muß gleich oder größer als die für
das Material typische kritische Energiefreisetzungsrate sein [14]:
G G c≥ (1.5)
verstanden. Sie charakterisiert die bei einer Rißausbreitung vom Material verbrauchte Energie.
Die Ausbreitung eines Risses kann sich im gleichen Material in Abhängigkeit von der lokalen
Belastung der Rißspitze jedoch auf Basis ganz unterschiedlicher mikroskopischer Prozesse
(Scherbelastung, Normalbelastung usw.) mit unterschiedlichem Energieverbrauch vollziehen.
Daher hängt die kritische Energiefreisetzungsrate eines Materials von den bei der Rißaus-
breitung induzierten Mechanismen ab. Für Risse in elastischen Materialien werden drei
Belastungssituationen unterschieden, die oft mit verschiedenen Versagensmechanismen
verknüpft sind, die Mode-I-, Mode-II- und Mode-III-Belastung. Mode I entspricht einer lokalen
Beanspruchung der Rißspitze, die bestrebt ist, den Riß durch Normalspannungen senkrecht zur
Rißebene zu öffnen. Mode II erzeugt eine antisymmetrische Scherbelastung parallel zur
Ausdehnungsrichtung des Risses. Mode III wird durch die antisymmetrische Scherbelastung in
Richtung der Rißfront festgelegt. Die unterschiedlichen Situationen sind in Abb. 1.1 skizziert.
Gewöhnlich weist ein Material bei reiner Belastung für jede dieser Moden einen
unterschiedlichen Wert der kritischen Energiefreisetzungsrate auf: G Ic , G IIc oder GIIIc .
Allgemeine Belastungssituationen ergeben sich oft als Überlagerung der Moden ('Mixed-
Mode'), die entsprechende kritische Energiefreisetzungsrate Gc folgt in diesem Fall aus einem
9
'Mixed-Mode'-Versagenskriterium ( )G G G Gc I II III, , , ihr Wert ist darin abhängig vom Anteil
der einzelnen Belastungsmoden an der Gesamtenergiefreisetzungsrate [17]:
G G G GI II III= + + (1.6.).
Abb. 1.1 Definition der bruchmechanischen Moden
1.4 Grenzen der mathematisch-analytischen Modellierung
Eine theoretische Beschreibung des mechanischen Verhaltens kann die realen Vorgänge nur
näherungsweise in physikalischen Modellen wiedergeben. Deren wichtigste und am häufigsten
verwandte Grundlage ist die Elastizitätstheorie. Obwohl sie inelastische Prozesse wie Fließen
oder Mikroschädigung nicht berücksichtigt, folgen die meisten Materialien im Bereich kleiner
und mittlerer Deformation ihren Gesetzen. Die verbreiteteste Variante geht von einem linearen
Zusammenhang zwischen der Belastung und der Deformation der Materialien aus, was für den
Elastizitätsbereich der meisten Werkstoffe, ausgenommen die Elastomere, im praktischen
Einsatzfall in guter Näherung zutrifft. Selbst in ihrer einfachsten, isotropen Formulierung liegt
dieser Theorie ein System aus partiellen Differentialgleichungen 4.Ordnung (NAVIER’sche
Gleichungen [65]) zugrunde, das gelöst werden muß, um allgemeine dreidimensionale
Aufgabenstellungen zu bearbeiten. Mit Ausnahme simpelster Geometrien (Kugel, Quader o.ä.)
unter homogenen Belastungen ist eine gleichungsmäßige Formulierung real auftretender
Randbedingungen sehr aufwendig. Eine exakte, mathematisch analytische Ermittlung der
Spannungs- und Verschiebungsverteilung unter Verwendung vollständiger Ansatzfunktionen
für die Differentialgleichungen ist für reale Randbedingungen und Geometrien wegen der dabei
auftretenden mathematischen Probleme im allgemeinen praktisch undurchführbar [65].
Vereinfachungen und Vernachlässigungen der Problemstellungen sind unabdingbar, um
wenigstens näherungsweise Lösungsausdrücke für eine Problemstellung zu erhalten. In
manchen Fällen ist eine Reduktion auf eine zweidimensionale Beschreibung möglich, wenn
eine Rotationssymmetrie, eine sehr geringe oder eine sehr große Ausdehnung der Geometrie in
einer Richtung vorliegen (Fasern, Folien, Stäbe, Platten). Dennoch ist der verbleibende
Aufwand bei allgemeinen zweidimensionalen Geometrien und Randbedingungen für eine
exakte mathematisch analytische Behandlung zu groß und erfordert weitere grundlegende
Mode IIMode I Mode III
10
Grenzfällen analytischer Modelle vergleichen, für die einfache Lösungen des analytischen
Systems existieren. Ein Beispiel dafür ist die Balkentheorie, deren sehr simple mathematische
Formulierung sich für unendlich lange Stäbe aus den Grundgleichungen der Elastizitätstheorie
ergibt [66]. Häufig jedoch müssen willkürliche Vernachlässigungen von Komponenten und
ihren Abhängigkeiten vorgenommen werden, nur um die mathematischen Umformungen zur
analytischen Lösung zu ermöglichen. Dies betrifft z.B. die in Kap. 5.2 vorgestellten ‘Shear-
Lag’-Näherungen [67]. Inwieweit die auf derartiger Basis erhaltenen Ausdrücke das
Deformationsverhalten richtig wiedergeben, ist in der Regel völlig unklar und kann nur durch
unabhängige Untersuchungen entschieden werden. Mehr als eine qualitative Beschreibung
sollte von diesen Näherungen nicht erwartet werden [1]. Daneben zeigt sich für viele
mechanische Systeme, daß die Deformation und das Materialverhalten wesentlich von
nichtlinearen (starke Biegung, große Dehnung) und nichtelastischen (Plastizität) Einflüssen
bestimmt wird, die über die lineare Elastizität hinausgehen und noch weitaus schwieriger zu
beschreiben sind. Obwohl sich Grundgleichungen auch dafür angeben lassen. ist ihre
mathematisch analytische Lösung nur in Ausnahmefällen möglich [1].
Mathematisch analytische Lösungsverfahren können die meisten praktischen Aufgabenstellun-
gen nur über Modelle behandeln, die bereits in den Grundlagen mehr oder weniger stark
vereinfacht sind. Diese liefern nur Näherungslösungen. Dabei können wesentliche Aspekte des
realen Verhaltens verlorengehen und eine Beurteilung der Gültigkeit und Genauigkeit der
erhaltenen Resultate ist auf rein analytischer Basis in vielen Fällen nicht möglich.
Zur Bewältigung komplizierter mathematischer Probleme sind numerische Lösungsverfahren
besser geeignet. Zwar ermöglichen auch sie nur eine näherungsweise Lösung, doch erlauben sie
meist eine vollständige Behandlung aller Grundgleichungen des Systems und ihre Genauigkeit
kann im Prinzip durch Verfeinerung der Diskretisierung stets weiter verbessert werden.
Praktisch ist sie durch die verfügbare Rechnerleistung begrenzt. Numerische Methoden, wie die
Finite-Elemente-(FE)-Methode [68] haben sich daher in letzter Zeit zur Modellierung
mechanischer und vieler anderer Aufgabenstellungen durchgesetzt. Sie vermögen auch den
Maßstab für die Gültigkeit der mathematisch analytischen Lösungen zu liefern.
Die analytischen Ergebnisse haben jedoch weiterhin eine große Bedeutung, wenn sie die Zu-
sammenhänge zwischen den physikalischen Größen mittels mathematischen Formelausdrücken
in allgemeiner, einfacher und anschaulicher Form wiedergeben können. In diesem Fall sind sie
für praktische Anwendungen den numerischen Verfahren überlegen, denn jene vermitteln
Lösungen nur für den speziellen Fall über aufwendige und wenig transparente Verfahren.
11
größen (3 D-Spannungszustände, komplizierte Geometrien, anisotrope Materialeigenschaften,
nichtlineare Deformationen, inelastische Materialgesetze) bietet die Perspektive einer
realistischeren, detaillierteren Modellbildung des Versagensprozesses von faserverstärkten
Verbundwerkstoffen. Auf diesem Weg möchte die vorliegende Arbeit einen Beitrag leisten.
Das besondere Augenmerk richtet sich darin auf die Versagensmechanismen in spröden, faser-
verstärkten Materialien. Für deren Modellierung soll das bruchmechanische Konzept zur
Beschreibung von Versagen sowohl auf der makroskopischen Ebene (Delamination) als auch
auf der mikroskopischen Ebene (Faser-Matrix-Debonding) konsequent und detailgetreu
(‘Mixed-Mode’, nichtlineare Deformation, anisotropes Materialverhalten) angewendet werden.
Wegen der großen Vielfalt und Komplexität der wirkenden Mechanismen kann nur eine
Grundlage gelegt werden, die in nachfolgenden Arbeiten erweitert werden soll (inelastisches
Materialverhalten: Matrixfließen oder -plastizität, Materialschädigung, Reibung; zusätzliche
Strukturelemente: Interphase, Faserbrücken, Wechselwirkungen mit Nachbarfasern).
Diese allgemeine Zielstellung bildet den Hintergrund und den Rahmen für den eigentlichen
Schwerpunkt der Arbeit, der auf der Bearbeitung von je einer anwendungsrelevanten
Fragestellung zur makroskopischen und zur mikroskopischen Beschreibung des Versagens
faserverstärkter Verbundwerkstoffe liegt.
werkstoffe mit meist rotationsymmetrischer Gestalt. Um die Qualität der mit dieser Tech-
nologie erzeugten Materialien beurteilen zu können, werden ringförmige Probekörper
hergestellt und getestet. Ein wichtiger Maßstab für die Konsolidierungsgüte der Materialien ist
ihre Widerstandsfähigkeit gegenüber Delaminationsversagen. Ein weitgehend standardisiertes
Verfahren dafür existiert nur für ebene Proben ('Double Cantilever Beam Test', DCB-Test),
wird aber in abgewandelter Form auch für die gekrümmten Probekörper angewendet ('Curved-
Double-Cantilever-Beam-Test', CDCB-Test). Für diese Variante ist aus der Literatur keine
spezielle Methode zur Auswertung bekannt. Sie erfolgt bisher nur qualitativ oder auf
Grundlage allgemeiner Vorstellungen, die den Besonderheiten dieses Tests kaum Rechnung
tragen, da ein Deformationsmodell dieser Geometrie nicht existiert.
Aufgabe dieser Arbeit soll es sein, eine makromechanische Modellierung des CDCB-Tests zu
erstellen, welche die zur experimentellen Bestimmung der bruchmechanischen Kenngrößen
notwendigen Zusammenhänge liefert und eine Diskussion hinsichtlich einer optimalen Proben-
gestaltung ermöglicht. Besonderer Wert wird dabei auf eine realistische Berücksichtigung auch
12
nischer 'Mixed-Mode'-Belastung und nichtlinearer Deformation gelegt. Als primäre
Analysemethode wird eine Finite-Elemente-Modellierung angewendet, an Hand deren
Ergebnisse sich jedoch auch die Leistungsfähigkeit und Anwendbarkeit der herkömmlichen
analytischen Methoden beurteilen lassen.
"Mikromechanischen Modellierung des Versagens der Faser-Matrix-Grenzfläche beim
Einzelfaser-Auszugstest":
Eigenschaften faserverstärkter Verbundwerkstoffe, insbesondere deren Festigkeit und Zähig-
keit. Da die Grenzfläche durch Wahl von Faser-Matrix-Kombination, Faserbehandlung und
Schlichtesubstanzen beeinflußbar ist, bietet sie die Möglichkeit einer Optimierung der
mechanischen Eigenschaften der Verbundwerkstoffe. Allerdings sind die Mechanismen der
Eigenschaftsverbesserung auf Grund der zahlreichen Wechselwirkungen der mikroskopischen
Strukturkomponenten faserverstärkter Materialien sehr komplex und im Rahmen eines
umfassenden theoretischen Modells noch nicht hinreichend verstanden. Meist wird daher der
Weg einer empirischen Untersuchung des Einflusses von Faser-Matrix-Haftung auf die mecha-
nischen Eigenschaften von Verbundwerkstoffen beschritten. Dafür ist eine experimentelle
Charakterisierung der mechanischen Qualität der eingesetzten Faser-Matrix-Systeme
notwendig. Eine häufig verwendete, mikromechanische Charakterisierungsmethode ist der
Einzelfaser-Auszugsversuch. Trotz seiner einfachen Geometrie sind die auftretenden
Deformationen und Spannungen kompliziert und entziehen sich einer einfachen analytischen
Modellierung, obwohl zahlreiche Versuche dazu unternommen wurden. Die herkömmliche
Interpretation der Ergebnisse versucht, die Grenzflächenqualität durch eine Grenzflächen-
scherfestigkeit zu charakterisieren. Für spröde Materialien ist die Grenzflächenbelastung
jedoch durch das Auftreten stark inhomogener Spannungskonzentrationen (theoretisch -
singularitäten) gekennzeichnet. Hier versagt ein Festigkeitskriterium und eine bruch-
mechanische Beschreibung der Ausbreitung eines Grenzflächenrisses ('Debonding') mit einer
kritischen Energiefreisetzungsrate als Debonding-Kriterium erscheint angemessener. Dies ist
die Zielstellung des zweiten Teils der Arbeit. Der bruchmechanische Ansatz und die
Möglichkeiten der Finite-Elemente-Methode sollen ein detailliertes Bild der Entstehung und
Ausbreitung von Grenzschichtrissen für spröde Interfacesysteme am Beispiel des Einzelfaser-
Auszugsversuchs liefern. Dieses Bild läßt sich zukünftig auf die Einbeziehung inelastischen
Materialverhaltens und von Wechselwirkung mit anderen Strukturelementen (Nachbarfasern,
Zwischenschichten) erweitern, welche in realen Verbundsystemen eine wesentliche Rolle
spielen.
13
tionswiderstandes gekrümmter Probekörper
Herstellung langfaserverstärkter Verbundwerkstoffe mit thermoplastischer Kunststoffmatrix
([20], [69]-[75]). Sie gestattet die automatisierte Erstellung von mehr oder weniger rotations-
symmetrischen Bauteilen in einem Arbeitsgang ohne zusätzliche zeitaufwendige Schritte wie
manuelles Auflegen und Anordnung von Prepreg-Schichten oder nachfolgende Aushärt- und
Konsolidierungsprozesse. Die Verwendung thermoplastischer Materialien für die Matrix
beinhaltet für viele Anwendungszwecke eine Reihe von Vorteilen gegenüber duromeren
Materialien [72]: die Materialien zeigen bessere Zähigkeit hinsichtlich Bruch, Delamination
und Schlag, sie haben kurze Verarbeitungszeiten und benötigen weniger Verarbeitungsschritte.
Die aus Thermoplastverbundwerkstoffen gefertigten Bauteile und Formkörper sind auch nach
ihrer Herstellung noch umformbar und lassen sich schweißen. Und nicht zuletzt bieten sie gute
Recyclingmöglichkeiten. Neben materialspezifischen Problemen, die natürlich auch existieren
(hohe Verarbeitungsviskosität und -temperatur, hohen Materialkosten) waren es besonders die
fehlenden Verbundbildungstechnologien, die eine technische Nutzung langfaserverstärkter
Thermoplastmaterialien im industriellen Umfang bisher verhindert haben. Hier wurde mit der
Thermoplastwickeltechnologie ein interessanter Ansatz gefunden.
Abb. 2.1
wickelanlage [72]
Das Prinzip ist in Abb. 2.1 illustriert. Im Verfahren werden die Verstärkungsfäden und das
Thermoplastmaterial gemeinsam und kontinuierlich dem Verbundbildungsprozeß zugeführt.
Für die Kombination von Faser und Matrix, die sogenannte Faserimprägnierung, im
Ausgangsmaterial gibt es verschiedene Möglichkeiten [72]. Die Matrix kann über
Thermoplastfasern oder -foliebänder von einer getrennten Spule zugeführt werden bzw. in
Form von Thermoplastpulver in einer dünnen Hülle oder als Bänder die Fasern unmittelbar
Vorspannung
Vorwärmkammer
Ausgangsmaterial
imprägnierung, hat aber den Vorteil, daß das Ausgangsmaterial einheitlich, fertig konfiguriert
und auf einem einzigen Träger vorliegt. Von der Spule mit dem Halbzeug gelangt die Faser mit
der Matrix in eine Vorheizstrecke, die eine gleichmäßige Aufheizung des Materials bis an den
Schmelzpunkt der Matrix bewirken soll. Unter einer regulierbaren Faserspannung wird das
Material am Einlaufpunkt auf dem Wickeldorn abgelegt. Ein mechanischer Druck und die
punktuelle Erwärmung an dieser Position befördern die Konsolidierung des aufgeschmolzenen
Matrixmaterials mit den darin eingebetteten Fasern zu einem möglichst homogenen
Verbundwerkstoff ([20], [75]). Dieser Abschnitt des Wickelprozesses ist von besonderer
Bedeutung, weil die hier eingestellten Bedingungen die Eigenschaften des hergestellten
Verbundwerkstoffs entscheidend bestimmen. Auf dem Wickeldorn, der die Geometrie des
hergestellten Formteils festlegt, erfolgt während der nachfolgenden Rotation die allmähliche
Abkühlung. Für die ökonomische Effizienz sind eine hohe Wickelgeschwindigkeit bei der
Bauteilherstellung und ein geringer Energieverbrauch während der Aufheizung wichtig. Dies
steht in gewissem Widerspruch zu den technologischen Forderungen einer möglichst guten
Konsolidierung des Verbundes. Jene wird durch ein vollständiges Aufschmelzen und eine
gleichmäßige Benetzung und Verteilung der Fasern in der Schmelze bestimmt. Dabei sollen
möglichst wenige Luftblasen und andere Fehlstellen im Material verbleiben. Voraussetzung
sind eine ausreichende Temperatur und ein gewisser mechanischer Druck am Einlaufpunkt
sowie eine genügend lange Verweilzeit des Materials im Bereich der Schmelztemperatur.
Andererseits darf nur eine möglichst geringe thermische oder mechanische Schädigung von
Matrix und Faser während des Wickelprozesses auftreten. Für die Parameter des Wickel-
prozesses, wie Vorheizleistung, Temperatur und Druck am Einlaufpunkt, Fadenspannung,
Dorntemperatur und Wickelgeschwindigkeit muß daher eine optimale Einstellung gefunden
werden. Der erreichte Erfolg beim Konsolidierungsprozess läßt sich neben direkten
mikroskopischen Untersuchungen am deutlichsten aus den mechanischen Eigenschaften der
hergestellten Verbundwerkstoffe beurteilen [76]. In besonderer Weise sind davon die Ver-
sagenseigenschaften betroffen, die vorwiegend durch die Fehlstellen eines Werkstoffes
bestimmt werden. Eine hohe Empfindlichkeit gegenüber derartigen Schädigungen zeigt bei
langfaserverstärkten, schichtartigen Materialien die Delamination ([6] [7]), so daß speziell
deren Untersuchung Informationen zur optimalen Gestaltung des technologischen Prozesses
bereitstellt.
15
gegenüber Delamination existieren verschiedene Testverfahren für ebene Probekörper ([7],
[72]). Zur Ermittlung der bruchmechanischen Kennwerte werden sogenannte Anfangsriß-
Verfahren eingesetzt. Bei diesen wird vor der Belastung ein künstlicher Riß der Länge a 0 in
der Probenmittelebene zwischen die Faserschichten eingebracht und die zu dessen Ausbreitung
notwendige Probenbelastung P gemeinsam mit der Rißöffnung δ und der aktuellen Rißlänge a
während des Tests aufgezeichnet. Aus diesen Größen läßt sich entsprechend dem
bruchmechanischen Konzept die kritische Energiefreisetzungsrate G c des Delaminations-
versagens ermitteln. Für stabile Rißausbreitung erhält man deren Abhängigkeit von der
Rißlänge a, welche einer R-Kurve entspricht. Die Einbringung des Anfangsrisses erfolgt bereits
während des Verbundbildungsprozesses durch Einlegen einer Trennfolie (z.B. PTFE) zwischen
die mittleren Verbundschichten des Probekörpers.
Die verschiedenen Prüfgeometrien entsprechen unterschiedlichen Formen der praktischen
Belastung eines bereits delaminationsgeschädigten Bauteils. Eine wichtige Unterscheidung ist
durch die verschiedenartigen Moden der Belastung gegeben, denen die Rißspitze ausgesetzt
sein kann: ob sie versucht, den Riß senkrecht zur Rißebene zu öffnen (‘Mode I’) oder ob sie in
Richtung der Rißflächen erfolgt (‘Mode II’). Die Anfälligkeit des Materials gegenüber
Ausbreitung der Delamination ist in der Regel abhängig von der Art der Belastung, im allge-
meinen ist die senkrechte Belastung (‘Mode I’) kritischer ([6], [8], [9]). Die Prüfgeometrien
lassen sich nach der Form der Belastung typisieren [77]. Die für Laminate am häufigsten
angewendeten Mode-II-Tests sind der ‘End Notched Flexure’ (ENF) und der ‘End Loaded
Split’-Test. Das zur Mode-I-Charakterisierung vorwiegend eingesetzte Verfahren ist der
‘Double Cantilever Beam’ (DCB)- Test.
Bedingt durch die starke Anisotropie, die hohe Steifigkeit parallel zu den Verstärkungs-
richtungen und die schichtweise Herstellungstechnologie der Laminatwerkstoffe unterscheidet
sich die Probekörpergeometrie zur bruchmechanischen Charakterisierung von Laminat-
werkstoffen wesentlich von der isotroper Materialien (Metalle, reine und partikelverstärkte
Kunststoffe). Für diese werden zumeist Varianten des ‘Compact Tension’-Tests verwendet
([17], [78]). Unverstärkte oder partikelverstärkte Materialien werden für mechanisch bean-
spruchte Bauteile oft in kompakter Geometrie eingesetzt, bei der sich die Belastung über große
Querschnitte verteilt. In diesem Fall führen äußere Belastungen nur zu relativ geringen
Deformationen der Gesamtgeometrie. Dagegen bilden Verbundwerkstoffe zumeist Platten oder
Schalen und widerstehen starken Dehn- und Biegebelastungen. Insbesondere die letzteren
können für die vergleichsweise geringen Materialdicken starke Biegedeformationen bewirken,
16
die eine geometrisch nichtlineare Verformung [66] zur Folge haben. Die starke Anisotropie der
Steifigkeit führt überdies zu einem weit größeren Anteil an Scherdeformation bei der Biegung
als dies bei herkömmlichen, isotropen Materialien der Fall ist [79]. Diese beiden Faktoren
erschweren die zur Auswertung der Testergebnisse notwendige Modellierung des Defor-
mationsverhaltens für die Laminat-Prüfkörper.
2.2.1 ‘Double Cantilever Beam’-(DCB)-Test für ebene Materialien
Die Geometrie des DCB-Tests mit den verwendeten Symbolen ist in Abb. 2.2 dargestellt. Die
geometrischen Abmessungen und die Art der Krafteinleitung wurden für das in der Arbeit
beschriebene Modell und die Experimente entsprechend einem verbreiteten ESIS-Standard [77]
gewählt. Die Übertragung der Belastung wird mittels auf die Probe geklebter Alu-
miniumklötzchen realisiert. Ein Anfangsriß der Länge a mm0 25= (gemessen unter den
Lastpunkten in Klötzchenmitte) wird durch Einlegen einer PTFE-Folie während der Proben-
herstellung eingebracht. Da die Geometrie und die Belastung symmetrisch zur Rißebene sind,
tritt eine reine Mode-I-Belastung des Risses auf. Zur praktischen Durchführung des Tests wird
die Probe in einer Zugprüfmaschine eingespannt. Die Last P wird über in den Bohrungen frei
bewegliche Stahlstifte momentenfrei auf die Klötzchen übertragen, die relative Verschiebung
der Achspunkte der gegenüberliegenden Klötzchen wird von der Maschine gemessen und im
Kontext der Arbeit als Lastverschiebung δ bezeichnet. Da die Rißausbreitung meist stabil
erfolgt, kann während des Tests auch die aktuelle Rißlänge a gemessen und in bestimmten
Zeitabständen dokumentiert werden. Zu diesem Zweck wird vor Beginn des Tests eine
Seitenfläche der Probe mit einer Lackschicht versehen, in die eine Längenskala der Rißlänge
eingekratzt wird. Ergebnis eines DCB-Tests ist die Last-Verschiebungs-Kurve ( )( )P aδ , in
Abhängigkeit von der aktuellen Rißlänge a.
Abb. 2.2 Geometrie der DCB-Probe (ESIS [72]: L mm= 125 ; H mm= 3 ;
B mm= 20 ; h mmk = 30 ;
h mmkl = 22 5, ; l mmkl = 20 ;
25 75mm a mm≤ ≤ )
2*hkl+H+δ
ausreichende Belastbarkeit der Klebeverbindung zwischen Klötzchen und Probenenden, bei der
genauen Bestimmung der aktuellen Rißlänge und durch das Auftreten starker Durchbiegungen
für weniger steife Proben und lange Rißlängen.
2.2.2 ‘Curved Double Cantilever Beam’-(CDCB)-Test für gekrümmte
Materialien
aus denen nur gekrümmte Probekörper zur Materialprüfung herstellbar sind. Die für ebene
Materialien entwickelte Geometrie des DCB-Tests läßt sich nicht unmittelbar auf diese Proben
anwenden. Eine Übertragung des Grundprinzips ist jedoch möglich und führt zu einer
gekrümmten Variante des DCB-Tests: dem ‘Curved Double Cantilever Beam’-Test (CDCB-
Test) ([20], [72], [80]). Dafür wird eine Ringprobe in vier 90°-Segmente aufgeteilt. Durch
Einlegen zweier Trennfolien, die sich auf dem Ring gegenüberliegen, werden die Anfangsrisse
in der Mitte des Wickelprozesses eingebracht. Aus einem Ring lassen sich durch
symmetrisches Abtrennen der Segmente 4 Probekörper mit Anfangsriß gewinnen. Die
Geometrie der CDCB-Probe und die Bezeichnung der geometrischen Parameter ist in Abb. 2.2
dargestellt. In Analogie zum DCB-Test werden an den freien Rißenden der Probe Aluminium-
klötzchen zur Krafteinleitung aufgeklebt. Die Klebeflächen der Klötzchen müssen einen, dem
Innen- bzw. Außendurchmesser des Ringes entsprechenden, gekrümmten Schliff erhalten. Die
Probe wird über zwei in den Klötzchen frei gelagerte Achsen in eine Zugprüfmaschine
eingespannt, die Lastkraft P wird gemeinsam mit der Verschiebung δ der Achsen über dem
gesamten Bereich der Rißausbreitung registriert. Aufgrund des laminaren Probenaufbaus folgt
der Riß der Krümmung der Probe, seine aktuelle Länge wird mittels einer vor dem Test
aufgebrachten Skalierung gemeinsam mit P und δ während des Versuchs aufgezeichnet.
Abb. 2.3 Geometrie der CDCB-Probe
2*h kl+H+δδδδ
h k
h kl
18
Im Gegensatz zum DCB-Test erfolgt die Belastung beim CDCB-Test nicht symmetrisch zur
Rißebene, was die Interpretation der Ergebnisse erschwert. Es kann nicht davon ausgegangen
werden, daß der Mode-II-Anteil der Belastung des Materials verschwindet, da auch
Belastungskomponenten parallel zur Richtung der Rißausbreitung an der Rißspitze auftreten.
Allerdings läßt die Prüfmaschine ausschließlich Kraft- und Verschiebungskomponenten in
senkrechter Richtung zu, durch die drehbare Lagerung der Achsen in den Klötzchen kann die
Probe Verspannungen durch Rotation ausweichen. Eine überschlagsmäßige Abschätzung der
dabei auftretenden Verteilung auf die einzelnen Belastungsmoden [72] läßt einen nur geringen
Mode-II-Anteil erwarten.
Auftreten starker Deformationen gebunden. Drehungen lassen sich im Rahmen der üblichen,
geometrisch linearen Modellierung der Deformation nicht korrekt beschreiben. Zur
Modellierung des mechanischen Verhaltens der CDCB-Probe erscheint daher die Berück-
sichtigung nichtlinearer Deformation noch dringender geboten als bei der DCB-Probe.
Eine weitere Schwierigkeit der Modellbildung besteht in der Krümmung der Probekörper [81].
Die einfachste Form der Modellierung beschreibt deren Deformation durch ein Balkenmodell,
in dem die beiden Rißhälften der Probe als Stäbe bzw. schmale Platten betrachtet werden, die
einer Biegedeformation unterworfen sind. Während dies für die ebene Form der DCB-Probe
einfach zu berechnen ist, ergeben sich infolge der Krümmung für die CDCB-Probe
komplizierte Ausgangsgleichungen, für die ohne weiteres kein analytisch geschlossenes
Ergebnis gefunden werden kann. Da aus der Literatur gegenwärtig kein Deformationsmodell
der CDCB-Probe bekannt ist, gestaltet sich die Auswertung des CDCB-Tests, d.h. die
Bestimmung der kritischen Energiefreisetzungsrate G c aus den Meßergebnissen, schwierig.
Die für den DCB-Test aufgestellten Formeln sind dafür nicht anwendbar. In [20], [72] wird ein
empirisches Verfahren zur Auswertung des DCB-Tests verwendet („experimentelle
Compliance-Methode“), welches direkt auf der linearen Definition der Energiefreisetzungsrate
aus der äußeren Belastung beruht. Da jedoch für die CDCB-Probe von einer deutlichen
Nichtlinearität der Belastungskurve ausgegangen werden muß, ist die Gültigkeit dieser
Näherung nicht gesichert.
Test wesentlich komplizierter als die des DCB-Tests erscheint und eine eigenständige
Modellierung der CDCB-Geometrie erfordert.
2.3 Modellierung DCB-Test
Obwohl die eigentliche Zielstellung dieses Teils der Arbeit in der Modellierung des CDCB-
Tests besteht, wurde zunächst eine Modellierung der ähnlichen, aber einfacheren DCB-
Geometrie durchgeführt. Da für den DCB-Test bereits eine Reihe von unabhängigen Modellen
und Erfahrungen existieren, lassen sich daran die Zuverlässigkeit und Effektivität der in dieser
Arbeit verwendeten Modelle und Analysemethoden aus dem Vergleich beurteilen und
optimieren. Die gesammelten Erfahrungen sollen insbesondere dazu genutzt werden, die
Untersuchung des CDCB-Tests auf den Einfluß der wesentlichen Parameter zu beschränken.
2.3.1 FE-Modell der DCB-Geometrie
detaillierten dreidimensionalen Finite-Elemente-Modell nachgebildet [82]. Zur Durchführung
der Analyse wurden das kommerzielle Finite-Elemente-Programm ANSYS 5.0 und ein DOS
Personalcomputer AT-486 eingesetzt.
mit 8 Knoten. Für diese wurden homogene, linear elastische, orthotrope Materialeigenschaften
definiert. Im Gegensatz zu einer Modellierung mittels Schalenelementen, die ebenfalls möglich
wäre, erlaubt eine vollständige, zweidimensionale Modellierung mit Solidelementen eine
wirklichkeitsnahe Berücksichtigung der bei der Biegung auftretenden Scherdeformationen.
Diese kann mit Schalenelementen, die auf der KIRCHHOFF’SCHEN Plattentheorie beruhen,
(auch bei Nutzung einer TIMOSHENKO-Korrektur) nicht oder nur ungenügend erfolgen.
Wegen der Symmetrie der Probe zur Rißebene ist bei Wahl entsprechender symmetrischer
Randbedingungen in der Mittelebene die Modellierung einer Probenhälfte ausreichend.
Abb. 2.4 Netz des 2D-FE- Modells der DCB- Probe
Rißspitzenregion
RißspitzenelementeRißspitze
20
Eine Darstellung der verwendeten Vernetzung ist in Abb. 2.4 zu finden. Sie ist der besseren
Anschaulichkeit wegen vergröbert und soll die gewählten Grundprinzipien der Vernetzung
illustrieren, die im Hinblick auf eine bruchmechanische Beschreibung der Rißausbreitung
allgemein beachtet werden müssen. Diese Prinzipien sind auch für die übrigen, in dieser Arbeit
vorgestellten FE-Modelle (CDCB-Test, Einzelfaserauszugs-Test) gültig und sollen deshalb an
dieser Stelle stellvertretend kommentiert werden.
Bevorzugte Nutzung regelmäßiger Vernetzung (‘Mapped Meshing’) der für die
Gesamtdeformation wesentlichen Gebiete:
Der dominierende Beitrag zur Deformation der DCB-Probe wird durch die Biegung des
delaminierten Teils des Probekörpers geliefert. Für diesen Bereich wurde eine regelmäßige
Vernetzung (‘mapped meshing’) gewählt, weil diese Methode die genauesten Ergebnisse
liefert. Um mit den Solid-Elementen die Biegedeformationen hinreichend genau wiedergeben
zu können, wurde eine Netzdichte von ca. 4-6 Elementen über die Probenbreite eingesetzt, die
sich bei Vergleichsrechnungen als ausreichend erwies. Der noch nicht delaminierte Probenteil
vor der Rißspitze ist nur sehr geringen Spannungen ausgesetzt und wurde daher nur halb so
dicht vernetzt.
An der Spitze des Delaminationsrisses treten starke Spannungskonzentrationen auf. Daher
wurde, beginnend in einem Abstand von einer Probendicke H, eine starke Netzverfeinerung des
Modells hin zur Rißspitze gewählt. Eine Möglichkeit zur Berechnung der bruchmechanischen
Kenngrößen für linear elastische Materialien ergibt sich über die Bestimmung der
Spannungsintensitätsfaktoren aus den singulären Nahfeldern an der Rißspitze. Diese Methode
erlaubt insbesondere die Charakterisierung des ‘Mixed-Mode’-Zustandes bei unsymmetrischen
Geometrien wie z.B. der CDCB-Probe. Sie soll zunächst unter den reinen Mode-I-
Belastungsbedingungen der DCB-Geometrie getestet und mit den Ergebnissen für G aus der
äußeren Reaktion des Systems verglichen werden. Die singulären Felder dominieren nur in
einem sehr kleinen Bereich unmittelbar um die Rißspitze (klein gegenüber einer
charakteristischen Abmessung s.u.) [83]. Das Modell muß hier eine sehr feine räumliche
Auflösung von weniger als 1%, bezogen auf die charakteristische Dimension (Probendicke H),
liefern. Entsprechend muß die Elementgröße unmittelbar an der Rißspitze deutlich unterhalb
dieser Auflösung liegen. Die Größe der Elemente um die Rißspitze kann im Modell durch
spezielle Netzgestaltung variabel bis hinab zu etwa 1/10000 der Probendicke gewählt werden.
Eine Vermittlung zwischen dieser extremen Netzdichte und dem Rest des Modells kann
sinnvoll nur mittels einer freien Vernetzung (‘free meshing’, erlaubt unregelmäßige Benutzung
21
von Vierecks - und Dreieckselementen) bewältigt werden. Diese wurde für den
Rißspitzenbereich des Modells verwendet. Regelmäßige Vernetzungsvarianten für diesen
Übergangsbereich wurden im Vorfeld getestet, lieferten jedoch schlecht reproduzierbare und
weniger glatte Ergebnisse für die Spannungen. Die Ursache dafür ist, daß sich ein regelmäßig
vernetzter Übergang von der Standardnetzdichte entlang der Probendicke zum extrem feinen
Netz an der Rißspitze nicht ohne stark gedehnte Elementformen und spitze Elementwinkel
realisieren läßt. Diese starken Abweichungen von der quadratischen Idealform der Elemente
verschlechtern die Genauigkeit der FE-Approximierung erheblich. Eine freie Vernetzung in
diesen Bereichen mit dem automatischen Netzgenerator unter Vorgabe der Maximal- und der
Minimalgröße der Elemente führt zu wesentlich ausgewogeneren Elementproportionen. Durch
entsprechende Wahl der Verdichtungsparameter kann auch bei freier Vernetzung eine
näherungsweise regelmäßige Netzgestaltung in diesem Bereich erzielt werden. Die damit
erreichte Reproduzierbarkeit der Ergebnisse bei Variation der Netzparameter ist hervorragend.
Die unmittelbare Rißspitze wurde durch einen Ring von speziellen Rißspitzenelementen
(degenerierte isoparametrische 6-Knoten-Elemente mit verschobenen Seitenmittelknoten [84])
gebildet, welche der r −1 2/ -Singularität der Spannungsfelder an der Rißspitze Rechnung tragen.
Unveränderlichkeit der lokalen Vernetzungsbereiche bei Änderung der Rißlänge:
Für die Analyse jeder DCB-Konfiguration mit bestimmten Materialeigenschaften wurden
jeweils 11 verschiedene Rißlängen mit dem FE-Modell berechnet. Aus den meist sehr kleinen
Änderungen der Probeneigenschaften (Nachgiebigkeit, elastischer Energieinhalt der Probe) mit
der Rißlänge läßt sich die Energiefreisetzungsrate ( )G P a, der Probe unmittelbar ableiten. Um
sicherzustellen, daß die Änderungen zwischen FE-Modellen für zwei benachbarte Rißlängen
der Probe tatsächlich aus der Rißlängenänderung folgen und nicht durch eine unterschiedliche
Vernetzung der FE-Näherung für verschiedene Rißlängen verursacht sind, darf sich das Netz
lokal nicht ändern. Dies wurde realisiert, indem die Probe in ein relativ kompliziertes System
von Vernetzungsgebieten aufgeteilt wurde, die bei einer Änderung der Rißlänge in sich
ungeändert mitverschoben werden. Lediglich zwischen den regelmäßig vernetzten Gebieten vor
und hinter der Rißspitze werden Elemente ausgetauscht, um eine Änderung der Rißlänge zu
erreichen. Die Größe, Zahl und Form sämtlicher übriger Elemente bleibt dabei ungeändert.
Alle Kriterien konnten im Rahmen einer automatischen Vernetzung (‘Solid Modelling’) erfüllt
werden. Die Steuerung der Modellierung, der Berechnungen sowie des Postprozessings und
Abspeicherns der FE-Ergebnisse in Listen erfolgte automatisch mit Hilfe einer Makro-
steuerung. Sämtliche geometrischen und materiellen Größen wurden durch Variablen
parametrisiert und erlauben damit eine extrem einfache Kontrolle und Variation des Modells.
22
Die Anzahl der Knoten für die 2D-FE-Modelle lag zwischen 2000 und 12000, je nach
Zielstellung der Analyse.
Die tatsächliche DCB-Probe besitzt eine endliche Breite B. Eine zweidimensionale
Modellierung vermag die Räumlichkeit des auftretenden Spannungszustandes nur für zwei
Grenzfälle zu beschreiben, den ebenen Spannungszustand (ESZ) und den ebenen
Verzerrungszustand (EVZ). Der ESZ ist näherungsweise für sehr schmale Proben realisiert
( B H< ) während der EVZ dem Fall sehr breiter Proben ( B H>> ) entspricht: die reale Probe
liegt zwischen beiden Extremen. Das 2D-FE-Modell wurde unter Zugrundelegung sowohl des
ESZ als auch des EVZ berechnet. Um den Einfluß der endlichen Probenbreite auf die
Ergebnisse des DCB-Modells untersuchen zu können, wurde auch eine vollständige 3D-FE-
Analyse mit orthotrop elastischen, isoparametrischen 3D-Solid-Elementen durchgeführt. Da
jedoch der Aufwand einer 3D-Analyse hinsichtlich Elementanzahl und Wellenfront bei
gleicher Vernetzungsdichte wesentlich höher als der einer 2D-FE-Analyse ist, wurde eine
weniger dichte Vernetzung benutzt, um den Rechenaufwand erträglich zu halten. Eine Skizze
des verwendeten FE-Netzes ist in Abb. 2.5 dargestellt. Es wurden die gleichen Vernetzungs-
prinzipien wie beim 2D-FE-Modell berücksichtigt. Die Zahl der Knoten für das 3D-Modell
variierte zwischen 1500-3000, eine feinere Vernetzung scheiterte an der Begrenzung der
verfügbaren Wellenfrontgröße (≤ 500). Durch eine breite Variation der Netzparameter wurde
die Verläßlichkeit des 3D-FE-Modells überprüft. Die Ergebnisse für Compliance und
Energiefreisetzungsrate erwiesen sich dabei praktisch als unabhängig von der Variation als
Indiz für eine gute Genauigkeit auch der 3D-FE-Näherung.
Abb. 2.5 Netz des 3D-FE Modells der DCB-Probe
2.3.2 Analytische Modelle des DCB-Tests
Unter Voraussetzung linearer, elastischer Deformation und Rißausbreitung unter konstanter
Belastung P ergibt sich aus der Definition der Energiefreisetzungsrate G (Gl. 1.4) folgender
Zusammenhang zwischen G und äußerer Last P bzw. Lastverschiebung δ und Rißlänge a:
Änderung elastischer Energie dU P d= ⋅ 1
2 δ (2.1)
23
2
∂δ
∂ (2.3)
Die mechanische Reaktion des Systems auf die Belastung wird durch die Nachgiebigkeit
(Compliance) C charakterisiert:
δ , (2.4)
Mit ihrer Hilfe läßt sich die Energiefreisetzungsrate G in einer praktisch gut handhabbaren
Form angeben:
G P
(2.5)
Die Ableitung für Gl. 2.5 unter Annahme konstanter Last P bedeutet keine Einschränkung der
Allgemeinheit, da sich derselbe Ausdruck auch unter Annahme beliebiger Änderung der
Belastung ( )P a im Moment der Rißausbreitung ergibt. Notwendig zur Berechnung der von
einem (punktförmig belasteten) linear elastischen System bei einer bestimmten Belastung P
zur Verfügung gestellten Energiefreisetzungsrate G ist die Kenntnis der Abhängigkeit der
Nachgiebigkeit ( )C a des Systems von der Rißlänge.
Obwohl die DCB-Geometrie unkompliziert erscheint, übersteigt eine vollständige drei- oder
auch nur zweidimensionale Analyse des Deformationsverhaltens die Möglichkeiten einer
exakten, mathematisch-analytischen Berechnung im Rahmen der linearen Elastiztätstheorie.
Aus der Literatur sind jedoch eine Reihe von näherungsweisen Modellen bekannt ([85]-[89];
Reviews siehe [7], [19], [77], [90]).
Abb. 2.6 Stabmodell der DCB-Probe
Die einfachste und am häufigsten verwendete Abstraktion ist die Beschreibung der DCB-Probe
mittels der Balkentheorie [85]. Darin wird der delaminierte Teil der DCB-Probe als ein
P
a
symmetrisches System zweier an der Rißspitze starr miteinander verbundener Stäbe der Länge
a (Rißlänge) betrachtet, die durch die Kraft P an ihrem freien Ende auf Biegung beansprucht
werden (Abb. 2.6). Die einfache Balkentheorie liefert für die Nachgiebigkeit (‘Compliance’)
eines derartigen Systems folgenden Ausdruck:
( )C a E B H a
E B H BT x
x
64 3
3 (2.6).
Das Einsetzen von Gl. 2.6. in die Definition der Energiefreisetzungsrate nach Gl. 2.5 erlaubt
die Berechnung einer Näherung für G aus den meßbaren Größen P, δ und der Rißlänge a:
G P
Ba BT =
berücksichtigt daher keine Scherdeformationen. Für isotrope Materialien und lange, dünne
Stäbe ist diese Bedingung in guter Näherung erfüllt. Für faserverstärkte Materialien ist jedoch
der Schermodul G xz in der Biegeebene x-z wesentlich niedriger als der E-Modul in
Faserrichtung E x , wodurch bei Biegung verstärkt Scherdeformationen auftreten. Zudem erfüllt
die Probe für kurze Rißlängen a die Bedingung langer, schlanker Stäbe nur schlecht.
Abweichungen zu Gl. 2.6 sind zu erwarten.
Eine Korrektur der Balkentheorie hinsichtlich der Einbeziehung von Scherdeformationen
wurde von TIMOSHENKO eingeführt, die entsprechende Erweiterung zu Gl. 2.6 ist in [90]
angegeben:
E B H
- der speziellen Lagerungsbedingungen des „Balkens“ an der Rißspitze [87],
- des Einflusses der Lastklötzchendrehung auf Verschiebung und Moment am Probenende
[90],
- der endlichen Breite B der Proben [90].
Trotz des hohen rechnerischen Aufwandes und des großen Umfanges der erhaltenen Ausdrücke
ist keine der analytischen Näherungen in der Lage, die Deformation der DCB-Probe vollständig
25
zu beschreiben, da sich insbesondere die singuläre Spannungsverteilung an der Rißspitze einer
Beschreibung durch einfache analytische Modelle entzieht.
Einen Ausweg hinsichtlich einer, von Modellfehlern unbelasteten, experimentellen
Bestimmung von G bieten sogenannte empirische Methoden. Diese berechnen die Energiefrei-
setzungsrate nach ihrer Definition Gl. 2.5. unmittelbar aus den experimentellen Ergebnissen.
Da aus den Meßkurven ( )( )P aδ auch die Compliance ( )C a und ihre Ableitung unmittelbar
interpoliert werden können, ist ein Modell für das Deformationsverhalten nicht unbedingt
erforderlich. Zum Approximieren der Abhängigkeit der Compliance aus den Meßpunkten
( )( )P ai i iδ existieren unterschiedliche Ansätze.
Die Methode nach [91] nimmt in Anlehnung an die Balkentheorie-Näherung eine Potenzform
der Abhängigkeit an:
( )C a R an= ⋅ (2.9),
deren freie Parameter R und n durch logarithmische Approximation aus den experimentellen
Ergebnissen bestimmt werden.
Die Flächenmethode [92] ersetzt die Ableitung in Gl. 2.5 durch den Differenzenquotienten aus
den experimentellen Resultaten für benachbarte Rißlängen ( ) ( )C C a ai i i i+ +− −1 1/ .
Jedoch auch die empirischen Methoden sind nur unter Einschränkung gültig. Die Ableitung der
Energiefreisetzungsrate nach Gl. 2.5 setzt ausdrücklich die Linearität der auftretenden
Deformationen voraus. Praktisch wird jedoch häufig starke Biegung der DCB-Proben
beobachtet ([93], [94]), welche die Anwendung einer nichtlinearen Definition der
Energiefreisetzungsrate erforderlich macht (siehe Kap. 2.4.2.1). Die lineare Definition für G
nach Gl. 2.5 ist dann nicht mehr gültig und ohne eine unabhängige Modellierung kann über den
bei ihrer Anwendung auftretenden Fehler kein Urteil getroffen werden. Darüber hinaus sind die
empirischen Gleichungen nur für den Fall stabilen, gleichmäßigen Rißswachstums einsetzbar,
da sie mehrere Meßpunkte zur Berechnung von G benötigen. Für instabiles Rißwachstum oder
‘Slip-Stick’-Verhalten ist die Nutzung eines Deformationsmodells zur Bestimmung von
dC da/ notwendig.
2.3.3 Ermittlung der Energiefreisetzungsrate G aus den FE-Ergebnissen
Die durchgeführte Finite-Elemente-Analyse liefert bei festgelegter Geometrie und elastischen
Eigenschaften der DCB-Probe eine numerische Näherung des Deformationsverhaltens für eine
Reihe diskreter Rißlängen im Bereich 25 75mm a mmi≤ ≤ . Die gesuchte Zielgröße ist die
Energiefreisetzungsrate ( )G P a, , die für eine bestimmte Rißlänge a und Belastung P von der
Probe bereitgestellt wird. Diese Größe steht nicht unmittelbar mit den FE-Ergebnissen zur
26
Verfügung, sondern muß aus ihnen abgeleitet werden. Dafür gibt es mehrere prinzipiell
unterschiedliche Verfahren. In der Arbeit wurden drei Varianten verwendet, welche G aus
voneinander relativ unabhängigen Ergebnissen der FE-Modellierung berechnen.
2.3.3.1 Compliance-Methode und Energie-Methode
Energiemethode:
Die unmittelbarste Variante zur Berechnung nutzt die Definition von G aus der Änderung der
Energie des Systems mit der Rißlänge (Gl. 1.4). Im Kontext der elastischen Bruchmechanik ist
die Energiefreisetzungsrate ( )G P a, eine Zustandsgröße, die nur von der momentan wirkenden
Belastung P und der momentanen Rißlänge a abhängt. Rißausbreitung wird immer dann
auftreten, wenn der aktuelle Wert für ( )G P a, den Wert der kritischen Energiefreisetzungsrate
Gc des Materials übersteigt, unabhängig davon, wie sich nach erfolgter Initiierung der
Rißausbreitung die Belastung mit der Rißlänge ändert. Diese Abhängigkeit, ( )P a , wird durch
das äußere System (d.h. die Testeinrichtung) bestimmt. Sie entscheidet nur darüber, ob die
Rißausbreitung stabil oder instabil weiterverläuft. Zur Bestimmung der einer bestimmten Last
P und Rißlänge a zugeordneten Energiefreisetzungsrate ( )G P a, des Systems mittels Gl. 1.4 ist
es unerheblich, ob die darin enthaltene Ableitung d U W daaußen( ) /− für konstante äußere Kraft
P oder Verschiebung δ während der Rißausbreitung gebildet wird [16]. Sämtliche Annahmen
für die Abhängigkeit ( )P a (bzw. ( )δ a ) während der differentiellen Rißausbreitung führen zum
gleichen Ergebnis für G. Die Annahme δ = const beinhaltet, daß während der Rißausbreitung
die äußere Kraft P keine Arbeit am System verrichtet: dWaußen = 0 . Damit vereinfacht sich
Gl. 1.4 auf die Ableitung der in der Probe bei einer Last P und Rißlänge a gespeicherten,
elastischen Energie nach der Rißfläche:
( ) ( ) G a
Die Finite-Elemente-Analyse liefert die in den Elementen gespeicherte elastische Energie als
direkte Ausgabegröße. Die Summe über alle Elemente ergibt die in der Probe gespeicherte
elastische Energie ( )U ai i iδ , für die konkrete Rißlänge ai. Da die Ableitung für δ = const
gebildet werden muß, sollte bei der Berechnung für alle Rißlängen ai eine identische
Lastverschiebung δ im FE-Modell vorgegeben werden.
Um die Ableitung nach der Rißlänge entsprechend Gl. 2.10 bilden zu können, muß aus den
diskreten Ergebnissen ( )U ai iδ, des FE-Modells eine Interpolationsfunktion ( )U aδ, bezüglich
a gebildet werden. Als Methode bietet sich z.B. eine stückweise Polynom-Interpolation an, wie
27
wird.
Compliance-Methode:
Für linear elastisches Materialverhalten und lineare Deformation läßt sich die
Energiefreisetzungsrate G unter Nutzung der Gl. 2.1, 2.2 und 2.4 aus der Änderung der
Nachgiebigkeit ( )C a der Probe mit der Rißlänge definieren:
( ) ( ) G P a
2 (2.11).
Die Nachgiebigkeit (Compliance) ergibt sich aus dem FE-Modell für jede der Rißlängen ai sehr
einfach aus Last Pi und Verschiebung δ i durch ( ) ( )C a P a Pi i i i i= δ , / . Zur Berechnung der in
Gl. 2.11 benötigten Ableitung bietet sich wiederum eine Interpolation der vom FE-Modell
gelieferten diskreten Daten ( )C a i für die Nachgiebigkeit an.
Beide Methoden nutzen unabhängige Ergebnisgrößen der Modellierung: die in den Elementen
gespeicherte elastische Energie bzw. den für den Lastpunkt berechneten Last-Verschiebungs-
Zusammenhang. Die Verfahren nutzen integrale Resultate der Modellierung und sind daher
gegenüber der lokalen Vernetzung wenig empfindlich. Sie liefern stabile Ergebnisse für G
bereits für eine vergleichsweise grobe Modellierung der Rißspitzenregion und erfordern einen
geringeren Vernetzungsaufwand. Dies entspricht der Tatsache, daß in der Rißspitzenumgebung
wegen der starken Spannungskonzentration zwar eine hohe Energiedichte auftritt, sich dieses
lokale Feld aber während einer infinitesimalen Ri&szl