ModulbeschreibungenLehramtMathematiknachGymPOI · AnalysisI Modul Code Name MA1 AnalysisI Umfang Leistungspunkte Workload Dauer Turnus 8CP 240h 1Semester jedes WS Verwendbarkeit fürStudiengängeBAMathematik,BAInformatik,BAPhysik,LA

Modulbeschreibungen Lehramt Mathematik nach GymPO IStand: 20.7.2011

PflichtmoduleGesamtmodul Analysis

MA1 Analysis IMA2 Analysis II

Gesamtmodul Lineare AlgebraMA4 Lineare Algebra IMA5 Lineare Algebra II

MA7 Einführung in die NumerikMA8 Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und StatistikMB1 Algebra IMB3 Funktionentheorie IMB7 Elementare ZahlentheorieMB8 Einführung in die Geometrie

WahlpflichtmoduleMA3 Höhere AnalysisMB2 Algebra IIMB4 Funktionentheorie IIMB5 Algebraische Topologie IMB6 Algebraische Topologie IIMB9 Mathematische LogikMB10 Lie Algebren und Lie Gruppen IMB11 Lie Algebren und Lie Gruppen IIMC1 Gewöhnliche DifferentialgleichungenMC2 Partielle DifferentialgleichungenMC3 FunktionalanalysisMC4 WahrscheinlichkeitstheorieMD1 NumerikMD2 StatistikMD3 Lineare OptimierungMD4 Nichtlineare OptimierungMD5 Wissenschaftliches RechnenML1 Modellierung für LehramtsstudierendeML2 Einführung in die Algorithmische Geometrie

sowie darüber hinaus alle Vorlesungen aus dem Angebot der MasterstudiengängeMathematik bzw. Scientific Computing.

1

Fachdidaktik

MF1 Mathematik-Didaktik für den SchulunterrichtMF2 Grundlagen der Mathematik-Didaktik

2

Analysis I

Modul Code NameMA 1 Analysis I

Umfang Leistungspunkte Workload Dauer Turnus8 CP 240 h 1 Semester jedes

WSVerwendbarkeit für Studiengänge BA Mathematik, BA Informatik, BA Physik, LA

Mathematik, LA Informatik jeweils ab dem 1. StudiensemesterLehrform Vorlesung 4 SWS + Übung 2 SWSLernziel Grundwissen über reelle und komplexe Zahlen und die Differential-

und Integralrechnung für Funktionen einer VeränderlichenInhalt I. Die Systeme der reellen Zahlen und komplexen Zahlen

II. Konvergenz von Folgen und Reihen, Potenzreihen, Exponenti-alfunktion (auch im Komplexen) und verwandte FunktionenIII. Stetigkeit und Differenzierbarkeit, monotone Funktionen, Um-kehrfunktion, gleichmäßige KonvergenzIV. Ein Integralbegriff (Regel- oder Riemann-Integral), Zusam-menhang zwischen Integration und Differentiation, Integrations-methodenV. Weiterer Ausbau der Theorie, z. B. Behandlung spezieller Funk-tionsklassen.

VermittelteKompetenzen

Abstraktes und analytisches Denken, selbständiges Lösen von Auf-gaben aus dem Themenbereich mit Präsentation in den Übungen

Teilnahme-voraussetzungen

keine

NützlicheVorkenntnisse

Schulkenntnisse

Prüfungs-modalitäten

Lösung von Übungsaufgaben, mit benoteten 2-stündigen Klausu-ren, Wiederholungsmöglichkeit mit der Vorlesung im Folgejahr.

NützlicheLiteratur

O. Forster: Analysis I (bzw. II, bzw. III)K. Königsberger: Analysis I (bzw. II)H. Amann, J. Escher: Analysis I (bzw. II, bzw. III)

3

Analysis II

Modul Code NameMA2 Analysis II


SSVerwendbarkeit Studiengänge BA Mathematik, BA Informatik, BA Physik, LA

Mathematik, LA Informatik, jeweils ab dem 2. StudiensemesterLehrform Vorlesung 4 SWS + Übung 2 SWSLernziel Grundwissen über gewöhnliche Differentialgleichungen sowie über

die Differential- und Integralrechnung in mehreren Variablen.Inhalt I. Metrische und normierte Räume, Stetigkeit

II. Existenz und Eindeutigkeitssatz für das AnfangswertproblemIII. Differentialrechnung für Funktionen mehrerer Variabler, par-tielle und totale Differenzierbarkeit, Kettenregel, Taylor-Formel,lokale ExtremaIV. Lokaler Umkehrsatz und implizite Funktionen, Untermannig-faltigkeiten im Rn, Extremwerte mit NebenbedingungenV. Elementare Vektoranalysis, Kurvenintegrale, Integrabilitätsbe-dingungen, Existenz von PotentialenVI. Ein Integral im Rn, Transformationsformel, Volumina undOberflächen


Abstraktes und analytisches Denken, selbständiges Lösen von Auf-gaben aus dem Themenbereich mit Präsentation in den Übungen


keine


Analysis I (MA1), Lineare Algebra I (MA4)



NützlicheLiteratur

O. Forster: Analysis I (bzw. II, bzw. III)K. Königsberger: Analysis I (bzw. II)H. Amann, J. Escher: Analysis I (bzw. II, bzw. III)

4

Lineare Algebra I

Modul Code NameMA4 Lineare Algebra I



Mathematik, LA Informatik jeweils ab dem 1. StudiensemesterLehrform Vorlesung 4 SWS + Übung 2 SWSLernziel Grundwissen über Vektorräume mit Anwendung in der GeometrieInhalt I. Grundlagen: Logische Operatoren, Mengen, Relationen, Abbil-

dungen, Gruppen, Homomorphismen, Permutationen.II. Vektorräume: (affine) Unterräume, Faktorräume, direkte Sum-men, Basis, Dimension, Koordinaten, lineare Abbildungen, Matri-zen, lineare Gleichungssysteme.III. Lineare Operatoren: Determinanten, charakteristisches Poly-nom und Minimalpolynom, Eigenwerte und Eigenräume, Normal-formen von Matrizen und Diagonalisierung.IV. Innenprodukträume: Bilinearformen, Orthogonalität und Or-thonormalbasen, normale Operatoren, selbstadjungierte Operato-ren und Isometrien, Spektralsatz über C und R.


Abstraktes und strukturelles Denken, selbständiges Lösen vonAufgaben aus dem Themenbereich mit Präsentation in den Übun-gen


keine


Schulkenntnisse



NützlicheLiteratur

G. Fischer: Lineare AlgebraG. Fischer: Analytische GeometrieS. Bosch: Lineare Algebra

5

Lineare Algebra II

Modul Code NameMA5 Lineare Algebra II


SSVerwendbarkeit für Studiengänge BA Mathematik, BA Informatik, BA Physik, LA

Mathematik, LA Informatik jeweils ab dem 2. StudiensemesterLehrform Vorlesung 4 SWS + Übung 2 SWSLernziel Grundwissen über Lineare Algebra und Analytische GeometrieInhalt I. Euklidische Geometrie: Abstand und Winkel, Volumen und Vek-

torprodukt, Bewegungen und Ähnlichkeiten, euklidische Quadri-ken und Hauptachsentransformation.II. Moduln und multilineare Algebra: Ringe und Ideale, Modulnund Homomorphismen, Basis und Dimension, direkte Summenund Produkte, Moduln über Hauptidealringen, allgemeine Jordan-sche Normalform, Tensorprodukt, äußere und symmetrische Po-tenzen.


Abstraktes Denken, selbständiges Lösen von Aufgaben aus demThemenbereich mit Präsentation in den Übungen


keine


Lineare Algebra I (MA4)



NützlicheLiteratur

G. Fischer: Lineare AlgebraG. Fischer: Analytische GeometrieH. J.Kowalsky, G. O. Michler: Lineare Algebra

6

Einführung in die Numerik

Modul Code NameMA 7 Einführung in die Numerik

Umfang Leistungspunkte Workload Dauer Turnus8 CP 240 h 1 Semester mind. jedes

zweiteSemester

Verwendbarkeit für Studiengänge BA Mathematik, BA Informatik, BA Physik, LAMathematik, LA Informatik jeweils ab dem 2. Studiensemester

Lehrform Vorlesung 4 SWS + Übung 2 SWS (theoretisch und praktisch)Lernziel Prinzipien numerischer Algorithmen und ihrer praktischen Reali-

sierung für Grundaufgaben der numerischen Analysis und linearenAlgebra

Inhalt I. Rechnerarithmetik, Fehleranalyse, Konditionierung II. Inter-polation und Approximation, Numerische Integration III. Linea-re Gleichungssysteme und Ausgleichsprobleme (LR- und QR-Zerlegung) IV. Iterative Verfahren (Nullstellenberechnung, lineareGleichungssysteme, Eigenwertaufgaben)


Abstraktes und algorithmisches Denken, Anwendung von Techni-ken der Analysis und linearen Algebra, selbständiges Lösen vontheoretischen und praktischen Aufgaben aus dem Themenbereichmit Präsentation in den Übungen


keine


Analysis I (MA1) und Lineare Algebra I (MA4)Programmierkenntnisse



NützlicheLiteratur

J. Stoer, R. Bulirsch: Numerische MathematikG. Hämmerlin, K.-H. Hoffmann: Numerische MathematikP. Deuflhard, A. Hohmann: Numerische Mathematik

7

Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik

Modul Code NameMA8 Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie

und StatistikUmfang Leistungspunkte Workload Dauer Turnus

8 CP 240 h 1 Semester mind. jedeszweiteSemester

Verwendbarkeit für BA Mathematik, LA MathematikLehrform Vorlesung 4 SWS + Übung 2 SWSLernziel In der Grundvorlesung Statistik werden statistische Methoden und

die ihnen zugrunde liegende Wahrscheinlichkeitstheorie behandelt.Inhalt I. Wahrscheinlichkeitsräume: Ereignisse, diskrete Verteilungen,

Verteilungen mit Dichte, Dichtetransformation, bedingte Wahr-scheinlichkeiten, Unabhängigkeit, Formel von BayesII. Zufallsvariable: Erwartungswert, Varianz und Kovarianz, ge-meinsame Verteilungen von Zufallsvariablen, Faltung.III. Grenzwertsätze: Konvergenz von Zufallsvariablen und ih-ren Verteilungen, Schwaches Gesetz der großen Zahlen, zentralerGrenzwertsatz.IV. Testtheorie: Hypothesentest, Fehler erster und zweiter Art, Li-kelihood, Neyman-Pearson-Test, weitere Testmethoden.V. Schätztheorie: Konstruktionsprinzipien, Erwartungstreue,Bias-Varianz-Zerlegung, Konsistenz, Konfidenzbereiche.VI. Beispiele für statistische Methoden: wie lineare Regression,Varianzanalyse, Hauptkomponentenanalyse.


Mathematisches Modellieren zufälliger Phänomene, selbstständi-ges Lösen von Aufgaben aus dem Themenbereich mit Präsentationin den Übungen.


keine


Analysis I und II (MA1, MA2), Lineare Algebra I und II (MA4,MA5)



NützlicheLiteratur

Krengel, U.: Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie undStatistik, ViewegRice, J.: Mathematical statistics and Data AnalysisGeorgii, H.: Stochastik, de Gruyter

8

Algebra I

Modul Code NameMB1 Algebra I



Mathematik, LA Informatik jeweils ab dem 3. StudiensemesterLehrform Vorlesung 4 SWS + Übung 2 SWSLernziel Grundwissen über Gruppen, Ringe und Körper einschließlich der

Galoisschen Theorie.Inhalt I. Gruppen: Homomorphie- und Isomorphiesätze, Normalreihen

und auflösbare Gruppen, Konstruktion und Darstellung von Grup-pen, endlich erzeugte abelsche Gruppen, Operation von Gruppen,Sylowsätze, einfache Gruppen.II. Ringe: Homomorphismen und Ideale, Polynomringe, Haupt-idealringe und euklidische Ringe, faktorielle Ringe, simultane Kon-gruenzen, Quotientenringe, symmetrische Polynome.III. Körper: Algebraische und transzendente Körpererweiterungen,endliche Körper, separable und normale Körpererweiterungen, al-gebraisch abgeschlossene Hülle, Fundamentalsatz der Galoistheo-rie, Berechnung der Galoisgruppe, abelsche und Kummererweite-rungen, Konstruktionen mit Zirkel und Lineal.


Abstraktes und strukturelles Denken, Erlernen einer begrifflichkomplexen mathematischen Theorie, selbständiges Lösen von Auf-gaben aus dem Themenbereich mit Präsentation in den Übungen


keine


Lineare Algebra I (MA4) und Lineare Algebra II (MA5)


Lösung von Übungsaufgaben mit benoteter 2-stündiger Klausur.Art und Zeitpunkt einer Wiederholungsprüfung wird vom Dozen-ten festgelegt und zu Beginn der Vorlesung bekannt gegeben.

NützlicheLiteratur

S. Bosch: AlgebraS. Lang: AlgebraF. Lorenz, F. Lemmermeyer: Algebra

9

Funktionentheorie IModul Code Name

MB3 Funktionentheorie IUmfang Leistungspunkte Workload Dauer Turnus


Verwendbarkeit BA Mathematik, BA + MA Physik, LA Mathematik ab dem 3.Studiensemester

Lehrform Vorlesung 4 SWS + Übung 2 SWSLernziel Einführung in die komplexe AnalysisInhalt I. Differentialrechnung im Komplexen: Komplexe Ableitung, die

Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungen.II. Integralsätze: Der Cauchysche Integralsatz, die CauchyschenIntegralformeln.III. Singularitäten analytischer Funktionen, Residuensatz: Potenz-reihen, Abbildungseigenschaften analytischer Funktionen, Funda-mentalsatz der Algebra, Singularitäten analytischer Funktionen,Laurentzerlegung, der Residuensatz.IV. Konstruktion analytischer Funktionen: Spezielle Funktionen(z. B. Gammafunktion), der Weierstraßsche Produktsatz, der Par-tialbruchsatz von Mittag-Leffler, konforme Abbildungen.V. Topologische Ergänzungen: Die Homotopieversion des Cauchy-schen Integralsatzes, Charakterisierungen von einfach zusammen-hängenden Gebieten.


Selbstständiges Lösen von Aufgaben aus dem Themenbereich mitPräsentation in den Übungen; Fähigkeit der Anwendung auf an-dere Gebiete wie z. B. Mathematische und Theoretische Physik


keine


Analysis I, II (MA1, MA2) und Lineare Algebra I, II (MA4, MA5)



NützlicheLiteratur

Freitag, Busam: Funktionentheorie IRemmert, Schumacher: Funktionentheorie IFischer, Lieb: Funktionentheorie

10

Elementare ZahlentheorieModul Code Name

MB7Umfang Leistungspunkte Workload Dauer Turnus

8 CP 240 h 1 Semester mind. jedesvierteSemester

Verwendbarkeit LA Mathematik, BA Mathematik ab dem 3. StudiensemesterLehrform Vorlesung 4 SWS + Übung 2 SWSLernziel Einführung in die Zahlentheorie und ihre AnwendungenInhalt I. Teilbarkeitslehre: Teilbarkeit, Euklidischer Algorithmus, Prim-

faktorzerlegung, Gruppe der primen Restklassen, ChinesischerRestsatz, RSA-VerfahrenII. Primzahlen: Quadratische Reziprozität, Summen von Quadra-ten, Primzahltests, elementare Resultate zur PrimzahlverteilungIII. Quadratische Zahlkörper: Ganzheitsring, Einheitengruppe,Kettenbrüche, Idealklassengruppe, Zerlegungsgesetz, diophanti-sche Gleichungen.


Selbständiges Lösen von Aufgaben aus dem Themenbereich mitPräsentation in den Übungen


keine


Lineare Algebra I (MA4)



NützlicheLiteratur

Schmidt: Einführung in die algebraische Zahlentheorie

11

Einführung in die Geometrie

Modul Code NameMB8 Einführung in die Geometrie


vierteSemester

Verwendbarkeit LA Mathematik, BA Mathematik ab dem 3. StudiensemesterLehrform Vorlesung 4 SWS + Übung 2 SWSLernziel Grundbegriffe der Geometrie mit AnwendungenInhalt I. Euklidische Geometrie: Grundlagen der affinen und euklidi-

schen Geometrie, Isometriegruppen euklidischer Räume, Platoni-sche Körper, Kegelschnitte, Einblick in eine nicht-euklidische Geo-metrie.II. Projektive Geometrie: Projektive Räume und Koordinaten,projektive Abbildungen und Projektivitäten, Kollineationen, Dua-litätsprinzip, projektive Quadriken.III. Polyeder: Eulersche Polyederformel, Eulercharakteristik




keine


Lineare Algebra I und II (MA4, MA5)



NützlicheLiteratur

Bekanntgabe in der Vorlesung

12

Höhere Analysis

Modul Code NameMA3 Höhere Analysis


WSVerwendbarkeit für BA Mathematik, LA Mathematik, ab dem 3. StudiensemesterLehrform Vorlesung 4 SWS + Übung 2 SWSLernziel Ausbau der Differential- und Integralrechnung mehrerer Veränder-

licher.Inhalt I. Lebesgue-Integral

II. Lp-RäumeIII. FouriertransformationIV. Differenzierbare MannigfaltigkeitenV. Differentialformen und der Satz von Stokes


Erlangung höherer Abstraktionsfähigkeit, selbstständiges Lösenvon Aufgaben aus dem Themenbereich mit Präsentation in denÜbungen.


keine


mindestens zwei der Module Analysis I, II (MA1, MA2) und Li-neare Algebra I, II (MA4, MA5)



NützlicheLiteratur


13

Algebra II

Modul Code NameMB2 Algebra II


SSVerwendbarkeit für Studiengänge BA und MA Mathematik, LA Mathematik je-

weils ab dem 4. StudiensemesterLehrform Vorlesung 4 SWS + Übung 2 SWSLernziel Grundlegende Resultate aus der kommutativen und der homologi-

schen Algebra, sowie der Darstellungstheorie endlicher Gruppen,wobei die Stoffauswahl insbesondere die Bedürfnisse der algebrai-schen und arithmetischen Geometrie berücksichtigt.

Inhalt I. Kommutative Algebra: Universelle Konstruktionen, projek-tive und injektive Moduln, Noethersche und Artinsche Ringeund Moduln, Hilbertscher Basissatz, Spektrum und Primärzerle-gung, Komplettierung, Noether-Normalisierung und Nullstellen-satz, Hauptidealsatz, Dimensionstheorie, normale und reguläreRinge, Derivationen.II. Darstellungstheorie: Halbeinfache Algebren, Wedderburn-Theorie, Brauergruppe, Gruppencharaktere, induzierte Charak-tere und Darstellungen.III. Homologische Algebra: Kategorien und Funktoren, additiveund abelsche Kategorien, Komplexe und Homotopie, lange Ko-homologiesequenz, Auflösungen, abgeleitete Funktoren, Koszul-Komplex, Dualitätstheorie, Gruppenkohomologie.


Abstraktes und strukturelles Denken, Erlernen begrifflich komple-xer mathematischer Theorien, selbständiges Lösen von Aufgabenaus dem Themenbereich mit Präsentation in den Übungen


keine


Algebra I (MB1)


Lösung von Übungsaufgaben mit benoteter Klausur bzw. münd-licher Prüfung. Art und Zeitpunkt einer Wiederholungsprüfungwerden vom Dozenten festgelegt und zu Beginn der Vorlesung be-kannt gegeben.

NützlicheLiteratur

C. W. Curtis, I. Reiner: Representation Theory of Finite Groupsand Associative AlgebrasD. Eisenbud: Commutative AlgebraH. Matsumura: Commutative Ring TheoryJ.-P. Serre: Linear Representations of Finite GroupsC. H. Weibel: An Introduction to Homological Algebra

14

Funktionentheorie IIModul Code Name

MB4 Funktionentheorie IIUmfang Leistungspunkte Workload Dauer Turnus


Verwendbarkeit ür BA und MA Mathematik, BA + MA Physik, LA MathematikLehrform Vorlesung 4 SWS + Übung 2 SWSLernziel Fortsetzung der Vorlesung Funktionentheorie I (MB3)Inhalt I. Riemannsche Flächen

II. Funktionentheorie mehrerer VeränderlicherIII. Elliptische Funktionen, ModulformenIV. Analytische ZahlentheorieV. Wertverteilungstheorie, geometrische Funktionentheorie


Selbständiges Lösen von Aufgaben aus dem Themenbereich mitPräsentation in den Übungen.


keine


Analysis I (MA1), Lineare Algebra I (MA4), Funktionentheorie I(MB3)



NützlicheLiteratur

Wird in der Vorlesung bekannt gegeben.

15

Algebraische Topologie I

Modul Code NameMB5 Algebraische Topologie I


vierteSemester

Verwendbarkeit BA und MA Mathematik, LA Mathematik, MA Physik ab dem 3.Semester

Lehrform Vorlesung 4 SWS + Übung 2 SWSLernzielInhalt Grundlagen der Punktmengentopologie,

Homotopie,Fundamentalgruppe, Satz von Seifert-Van Kampen,Theorie der Überlagerungen,Homologie,Grundlegende Begriffsbildungen aus der Kategorientheorie,Eilenberg-Steenrod Axiomatik,Mayer-Vietoris Sequenz,die Euler-Charakteristik,Anwendungen.




keine


Analysis I und II (MA1, MA2), Lineare Algebra I und II (MA4,MA5)



NützlicheLiteratur

Glen E. Bredon: Topology and GeometryJames R. Munkres: Elements of Algebraic Topology

16

Algebraische Topologie II

Modul Code NameMB6 Algebraische Topologie II


vierteSemester

Verwendbarkeit BA und MA Mathematik, LA Mathematik, MA Physik ab dem 4.Semester

Lehrform Vorlesung 4 SWS + Übung 2 SWSLernzielInhalt Kohomologie,

Koeffizienten, universelles Koeffiziententheorem,Produkte in der Kohomologie,Künneth-Theorem,Topologische und glatte Mannigfaltigkeiten,Orientierung und Fundamentalklasse,Dualitätssätze für Mannigfaltigkeiten,Homotopietheorie: Satz von Hurewicz, Satz von Whitehead,Faserungen und Kofaserungen, Schleifenräume, Puppe-Sequenz,Eilenberg-MacLane Räume.




keine


Analysis I (MA1), Lineare Algebra I (MA4), Algebraische Topo-logie I (MB5)



NützlicheLiteratur

Glen E. Bredon: Topology and Geometry,James R. Munkres: Elements of Algebraic Topology,Edwin H. Spanier: Algebraic Topology,James F. Davis, Paul Kirk: Lecture Notes in Algebraic Topology

17

Mathematische Logik

Modul Code NameMB9 Mathematische Logik


vierteSemester

Verwendbarkeit BA Mathematik, BA Informatik, LA Mathematik, LA Informatikab dem 3. Semester

Lehrform Vorlesung 4 SWS + Übung 2 SWSLernziel Einführung in die verschiedenen Teilgebiete der Mathematischen

Logik.Inhalt I. Prädikatenlogik: Untersuchung der in der Mathematik üblichen

logischen Schlussweisen.II. Mengenlehre: Grundlagentheorie der Mathematik sowie Theo-rie der Ordinal- und Kardinalzahlen.III. Modelltheorie: Zusammenhang zwischen axiomatischen Theo-rien und ihren Modellen mit Beispielen aus der Algebra.IV. Berechenbarkeitstheorie: Eigenschaften des Begriffes der bere-chenbaren Funktion.V. Beweistheorie: Grenzen der Formalisierbarkeit, Unvollständig-keit und Unentscheidbarkeit.




keine


Lineare Algebra I (MA4), Praktische Informatik I (MA6)



NützlicheLiteratur


18

Lie Algebren und Lie Gruppen I

Modul Code NameMB10 Lie Algebren und Lie Gruppen I

Umfang Leistungspunkte Workload Dauer Turnus8 CP 240 h 1 Semester

Verwendbarkeit für Studiengänge BA/MA Mathematik, BA/MA Physik, LA Ma-thematik jeweils ab dem 3. Studiensemester

Lehrform Vorlesung 4 SWS + Übung 2 SWSLernziel Grundwissen über Lie-Algebren und Lie-Gruppen.Inhalt I. Lie Gruppen, assoziierte Lie Algebra, Exponentialabbildung,

Beispiele (in der Physik)II. Abstrakte Lie-Algebren, Ideale, Homomorphismen, auflösbareund nilpotente Lie-Algebren.III. Halbeinfache Lie-Algebren: Theoreme von Lie und Cartan,Killing Form, Darstellungen (von sl2), Wurzelraumzerlegung


Abstraktes und strukturelles Denken, Erlernen einer begrifflichkomplexen mathematischen Theorie, selbständiges Lösen von Auf-gaben aus dem Themenbereich mit Präsentation in den Übungen


keine


Lineare Algebra I (MA4) und Lineare Algebra II (MA5), evtl.Algebra I (MB1)


Lösung von Übungsaufgaben mit benoteter 2-stündiger Klausurbzw. mit mündlicher Prüfung.

NützlicheLiteratur

J. P. Serre: Complex Semisimple Lie AlgebrasJ. P. Serre: Lie algebras and Lie groupsJ. E. Humphreys: Introduction to Lie algebras and RepresentationtheoryN. Jacobson: Lie algebrasV. S. Varadarajan: Lie Groups, Lie Algebras, and Their Represen-tations

19

Lie Algebren und Lie Gruppen II

Modul Code NameMB11 Lie Algebren und Lie Gruppen II


SSVerwendbarkeit für Studiengänge BA/MA Mathematik, BA/MA Physik, LA Ma-

thematik jeweils ab dem 4. StudiensemesterLehrform Vorlesung 4 SWS + Übung 2 SWSLernziel Klassifikation von Lie-Algebren und Lie-GruppenInhalt I. Wurzelsysteme, Weyl Gruppe, Klassifikation, Gewichte

II. Isomorphie- und Konjugations-Teoreme, Existenzsatz, Univer-selle Einhüllende Algebra, Poincaré-Birkhoff-Witt TheoremIII. DarstellungstheorieIV. Komplexe und kompakte Gruppen


Abstraktes und strukturelles Denken, Erlernen begrifflich komple-xer mathematischer Theorien, selbständiges Lösen von Aufgabenaus dem Themenbereich mit Präsentation in den Übungen


keine


Lie Algebren und Lie Gruppen I


Lösung von Übungsaufgaben mit benoteter Klausur bzw. mündli-cher Prüfung.

NützlicheLiteratur

J. P. Serre: Complex Semisimple Lie AlgebrasJ. P. Serre: Lie algebras and Lie groupsJ. E. Humphreys: Introduction to Lie algebras and RepresentationtheoryN. Jacobson: Lie algebrasV. S. Varadarajan: Lie Groups, Lie Algebras, and Their Represen-tations

20

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Modul Code NameMC1 Gewöhnliche Differentialgleichungen


vierteSemester

Verwendbarkeit BA Mathematik, LA Mathematik ab dem 3. SemesterLehrform Vorlesung 4 SWS + Übung 2 SWSLernziel Einführung in die Lösungstheorie gewöhnlicher Differentialglei-

chungenInhalt I. Elementare Lösungsmethoden: Trennung der Variablen, Varia-

tion der Konstanten, exakte DifferentialgleichungenII. Existenz- und Eindeutigkeitsätze: eindeutige Lösbarkeit vonAnfangswertproblemen, maximale Lösungen, Lemma von Gron-wallIII. Abhängigkeit von Parametern: stetige und differenzierbare Ab-hängigkeit von Anfangswerten und ParameternIV. Lineare Differentialgleichungen: Fundamentalsystem, Wrons-kideterminante, Evolutionsoperator, ExponentialfunktionV. Dynamische Systeme und Flüsse: Orbit, Phasenporträt, Satzvon Liouville, ebene lineare Flüsse, hyperbolische lineare Flüsse,Koordinatentransformation, FlussäquivalenzVI. Stabilität: Ljapunovstabilität, invariante Mengen, Ljapunov-funktionen




keine


Analysis I und II (MA1,MA2), Lineare Algebra I (MA4)


Klausur (2-stündig)

NützlicheLiteratur

H. Amann: Gewöhnliche DifferentialgleichungenW. Walter: Gewöhnliche DifferentialgleichungenV.I. Arnold: Gewöhnliche Differentialgleichungen

21

Partielle Differentialgleichungen

Modul Code NameMC2 Partielle Differentialgleichungen


vierteSemester

Verwendbarkeit BA, MA, LA Mathematik ab dem 4. SemesterLehrform Vorlesung 4 SWS + Übung 2 SWSLernziel Einführung in das Gebiet der partiellen Differentialgleichungen an

Hand dreier klassischer Beispiele sowie Grundwissen über einenfunktionalanalytischen Zugang.

Inhalt I. Die Potentialgleichung: Fundamentallösung, Maximumprinzip,Perron-Verfahren, Newton-PotentialII. Die Wärmeflussgleichung: AnfangswertproblemIII. Die Wellengleichung: Wellengleichung in niederen Raumdi-mensionen, Cauchy-ProblemIV. Die Hilbertraummethode bei elliptischen Randwertproblemen




keine


Analysis I und II (MA1, MA2) , Lineare Algebra I und II (MA4,MA5), Höhere Analysis (MA3)


Lösung von Übungsaufgaben mit benoteter Klausur bzw. münd-licher Prüfung. Art und Zeitpunkt einer Wiederholungsprüfungwierden vom Dozenten festgelegt und zu Beginn der Vorlesungbekannt gegeben.

NützlicheLiteratur

J. Jost: Partielle Differentialgleichungen

22

Funktionalanalysis

Modul Code NameMC3 Funktionalanalysis


vierteSemester

Verwendbarkeit BA Mathematik, LA Mathematik, BA und MA PhysikLehrform Vorlesung 4 SWS + Übung 2 SWSLernzielInhalt I. Metrische Räume und ihre Abbildungen: u.a. Vervollständigung,

Satz von Baire, (relativ) kompakte Teilmengen und ihre Charak-terisierung, Fortsetzbarkeit gleichmässig stetiger AbbildungenII. Normierte Räume und ihre Abbildungen: inklusiv Banach-Räume, Dualräume, schwache Topologien, topologische Vektor-räume, Beispiele von Funktionenräumen, Spektraltheorie kompak-ter Operatoren, mit den üblichen Sätzen (inklusiv Spektralsatz)III. Hilbert-Räume und ihre Abbildungen




keine


Analysis I und II (MA1, MA2) , Lineare Algebra I und II (MA4,MA5), Höhere Analysis (MA3)



NützlicheLiteratur


23

WahrscheinlichkeitstheorieModul Code Name

MC4 WahrscheinlichkeitstheorieUmfang Leistungspunkte Workload Dauer Turnus


Verwendbarkeit BA Mathematik, LA Mathematik ab dem 4. SemesterLehrform Vorlesung 4 SWS + Übung 2 SWSLernziel Grundlagen für alle Gebiete der Wahrscheinlichkeitstheorie und

StatistikInhalt I. Maß- und Integrationstheorie: σ-Algebren, Borel-σ-Algebra,

messbare Abbildungen, Konstruktion von Wahrscheinlichkeitsma-ßen, Produkträume. Erwartungswert als Maßintegral, Sätze vonLebesgue, Beppo Levi, Fubini und Radon-Nikodym.II. Konvergenz von Zufallsvariablen: Lp-Räume, Zusammenhangzwischen fast sicherer, stochastischer und Lp-Konvergenz, StarkesGesetz der großen Zahlen, Konvergenz in Verteilung, charakteris-tische Funktionen, zentraler Grenzwertsatz.III. Bedingte Verteilungen: Bedingte Erwartungen, Markov-Kerne,Martingale in diskreter Zeit.IV. Stochastische Prozesse: Brownsche Bewegung, Poisson-Prozess, Empirischer Prozess.




keine


Analysis I und II (MA1, MA2) , Lineare Algebra I und II (MA4,MA5), Höhere Analysis (MA3), Einführung in die Wahrscheinlich-keitstheorie und Statistik (MA 8)



NützlicheLiteratur

Bauer, H.: Wahrscheinlichkeitstheorie, de Gruyter.Billingsley, P.: Probability and Measure, Wiley.Dudley, R.N.: Real Analysis and ProbabilityDurrett, R.: Probability: Theory and Examples, Duxbury PressJacod, J. and Protter, P.: Probability Essentials, SpringerShiryaev, A.: Probability, Springer.

24

NumerikModul Code Name

MD1 NumerikUmfang Leistungspunkte Workload Dauer Turnus


Verwendbarkeit für Studiengänge BA Mathematik, BA Informatik, BA Physik, LAMathematik, LA Informatik jeweils ab dem 3. Studiensemester

Lehrform Vorlesung 4 SWS + Übung 2 SWSLernziel Kenntnisse der numerischen Lösung von Anfangswert- und Rand-

wertaufgaben gewöhnlicher Differentialgleichungen und einfacherpartieller Differentialgleichungen

Inhalt I. Theorie von Anfangs- und RandwertaufgabenII. Einschrittmethoden: Konsistenz, Stabilität, Konvergenz.III. Numerische Stabilität und steife AnfangswertaufgabenIV. Andere Verfahrensklassen: Lineare Mehrschrittmethoden, Ex-trapolationsmethoden, Galerkin-Methoden (optional).V. Lösung von Differentiellalgebraischen AufgabenVI. Lösung von Randwertaufgaben: Schießverfahren, Differenzen-und Galerkin-Verfahren (optional).VII. Differenzenverfahren für elliptische partielle Differential-gleichungen, Laplace-Gleichung, 5-Punkte-Approximation.VIII. Iterative Lösungsverfahren für diskretisierte Probleme.


Abstraktes und algorithmisches Denken, Anwendung von Techni-ken der Analysis und linearen Algebra, selbständiges Lösen vonAufgaben aus dem Themenbereich mit Präsentation in den Übun-gen


keine


Analysis I (MA1), Lineare Algebra I (MA4), Einführung in dieNumerik (MA7)



NützlicheLiteratur

Bekanntgabe in der Vorlesung (Vorlesungsskripum)

25

StatistikModul Code Name

MD2 StatistikUmfang Leistungspunkte Workload Dauer Turnus


Verwendbarkeit BA Mathematik, LA Mathematik ab dem 4. SemesterLehrform Vorlesung 4 SWS + Übung 2 SWSLernziel Prinzipien der mathematischen StatistikInhalt I. Entscheidungstheorie: Dualität von Tests und Konfidenzberei-

chen, Neyman-Pearson-Theorie, allgemeine Entscheidungsverfah-ren, Risikofunktionen, Bayes- und MinimaxoptimalitätII. Asymptotische Statistik: Verteilungsapproximation, Fisher-Information, relative asymptotische Effizienz von Tests und Schät-zern, Likelihood-basierte Verfahren, nichtparametrische Verfah-ren.




keine


Analysis I (MA1), Lineare Algebra I (MA4), Einführung in dieWahrscheinlichkeitstheorie u. Statistik (MA8), Wahrscheinlich-keitstheorie (MC4)



NützlicheLiteratur

Bickel, P. J. and Doksum, K. A.: Mathematical Statistics, PrenticeHallLehmann, E. L.: Testing Statistical Hypotheses, Springer VerlagVan der Vaart, A. W.: Asymptotic Statistics, Cambridge Univer-sity Press

26

Lineare Optimierung

Modul Code NameMD3 Lineare Optimierung


vierteSemster

VerwendbarkeitLehrformLernzielInhaltVermittelteKompetenzenTeilnahme-voraussetzungen

keine

NützlicheVorkenntnissePrüfungs-modalitätenNützlicheLiteratur

27

Nichtlineare Optimierung

Modul Code NameMD4 Lineare Optimierung


vierteSemster

VerwendbarkeitLehrformLernzielInhaltVermittelteKompetenzenTeilnahme-voraussetzungen

keine

NützlicheVorkenntnissePrüfungs-modalitätenNützlicheLiteratur

28

Wissenschaftliches RechnenModul Code Name

MD5 Wissenschaftliches RechnenUmfang Leistungspunkte Workload Dauer Turnus

8 CP 240 h 1 Semester mind. jedesvierteSemester

Verwendbarkeit BA und MA Mathematik, LA MathematikLehrform Vorlesung 4 SWS + Übung 2 SWSLernziel Grundlegende Methoden der Modellbildung und Simulation.

Schwerpunktmäßig werden die Prozesse betrachtet, die sich mitHilfe partieller Differentialgleichungen beschreiben lassen.

Inhalt Hauptthemen sind:I. Modellbildung: Modellierungssystematik, Diskrete Systeme,kontinuierliche Prozesse, Standardansätze zur Modellierung, Er-haltungsgleichung.II. Simulationsmethoden: Grundlegende Diskretisierungsverfah-ren, elementare Lösertechniken.III. Anwendungsbeispiele: Hier kommen einfache Anwendungenaus Biologie, Medizin, Physik u. a. zur Diskussion.




keine


Mathematische Grundvorlesungen MA1 bis MA8



NützlicheLiteratur

Es wird ein Skriptum angeboten.

29

Modellierung für Lehramtsstudierende

Modul Code NameML1 Modellierung für Lehramtsstudierende


Verwendbarkeit Mathematik LehramtLehrform Vorlesung 4 SWS + Übung 2 SWSLernziel Einführung in deterministische und stochastische Methoden zur

Modellierung von Phänomenen im menschlichen Erfahrungsbe-reich. Anwendungen von Mathematik bei außermathematischenFragestellungen.

Inhalt Deterministische und stochastische Modelle in verschiedenen An-wendungsgebieten wie Physik, Biologie oder Technik:Stochastische Prozesse. Markovketten, Markovprozesse in ste-tiger Zeit mit diskretem Zustandsraum, stationäre Prozesse.Gewöhnliche Differentialgleichungen. Lineare und nichtlinea-re Modelle, explizite Lösungen, qualitative und quantitative Un-tersuchung der Lösungen.Partielle Differentialgleichungen: klassische Beispiele.Numerische Methoden und Simulationsmethoden bei derUntersuchung spezieller Beispiele.


Kenntnisse bei der Anwendung mathematischer Methoden zurVerbesserung des Verständnisses des menschlichen Umfelds.


keine


Analysis 1 (MA1), Analysis 2 (MA2), Lineare Algebra 1 (MA4),Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik (MA8),Einführung in die Numerik (MA7).Bereitschaft zur Bearbeitung nichtmathematischer Probleme mitMethoden der Mathematik.


Klausur (2-stündig)

NützlicheLiteratur

G.R. Grimmett, D.R. Stirzaker: Probability and random processesJ.D. Murray: Mathematical BiologyC. Hesse: Angewandte WahrscheinlichkeitstheorieW. Strang: Introduction to Applied Mathematics

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Einführung in die Algorithmische Geometrie

Modul Code NameML2 Einführung in die Algorithmische Geometrie


Verwendbarkeit Mathematik LehramtLehrform Vorlesung 4 SWS + Übung 2 SWSLernziel Grundkenntnisse in algorithmischer algebraischer GeometrieInhalt Die Vorlesung Algorithmische Geometrie stellt einen algorithmi-

schen Zugang zur algebraischen Geometrie bereit. Hauptthemensind:I. Affine Varietäten und Ideale in multivariaten PolynomringenII. Gröbnerbasen: Monomordnungen, Monomideale, multivariatePolynomdivision, Dicksons Lemma und Hilbertscher Basissatz,Gröbnerbasen, Buchbergeralgorithmus, reduzierte GröbnerbasenIII. Eliminationstheorie: Eliminations- und Fortsetzungssatz, Geo-metrie der Elimination, Implizitisierung, Faktorisierung, multiva-riate ResultantenIV. Beziehungen zwischen Algebra und Geometrie: HilbertscherNullstellensatz, Radikalideale, Operationen auf Idealen einschließ-lich Algorithmik, Zariski-Abschluss und Idealquotienten




keine


Lineare Algebra II


Lösung von Übungsaufgaben mit benoteter Klausur bzw. münd-licher Prüfung. Art und Zeitrahmen einer Wiederholungsprüfungwerden vom Dozenten festgelegt und zu Beginn der Vorlesung be-kannt gegeben.

NützlicheLiteratur

Cox, D., Little, J., O’Shea, D.: Ideals, Varieties and Algorithms

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Mathematikdidaktik für den SchulunterrichtModul Code Name

MF1 Mathematikdidaktik für den SchulunterrichtUmfang Leistungspunkte Workload Dauer Turnus

4 CP 120 h 1 Semester mind. jedesvierte Sem.

Verwendbarkeit Lehramt MathematikLehrform Vorlesung 2 SWSLernziel Grundkenntnisse für die Aufbereitung von Unterrichtsinhalten

und die alters- und schulgerechte Umsetzung an wesentlichen Bei-spielen der Schulmathematik

Inhalt I. Grundlagen mathematischen Denkens und mathematischerLernprozesseII. Methoden und Organisationsformen im MathematikunterrichtIII. Finden und Beweisen von SätzenIV. Aufgabenkultur und Problemlösenjeweils mit Unterrichtsbezug aus mindestens einem der folgendenTeilgebieteAnalysis: Funktionales Denken, Begriffsbildung,Geometrie: Grundlagen der Schulgeometrie, Gestaltung des Geo-metrieunterrichtsZahlentheorie und Algebra: Gestaltung von Arithmetik- und Al-gebraunterricht, fachliche GrundlagenStochastik: stochastisches Denken, Modelle, fachliche Grundlagen


Die StudierendenI. kennen Grundlagen des Mathematiklernens (Problemlösen, Mo-dellieren, Argumentieren) und sowie wichtige fachdidaktische Kon-zepte,II. kennen Verfahren, Inhalte der Grundvorlesungen auf ihre Be-deutung für die Schulmathematik zu untersuchen und alters- undschulgerecht aufzubereiten,III. kennen Möglichkeiten der Binnendifferenzierung


keine


Analysis I (MA1), Lineare Algebra I und II (MA4 und MA 5)


Klausur oder zweistündige Übungen im zweiwöchigen Abstand

NützlicheLiteratur

A. Schmid, Verständnis lehren, Klett-VerlagTietze u.a. , Mathematikunterricht in der Sekundarstufe II, 3 Bän-de, Viewegwird entsprechend der Teilgebiete in der Vorlesung bekannt gege-ben

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Grundlagen der Mathematikdidaktik

Modul Code NameMF2 Grundlagen der Mathematikdidaktik


vierteSemester

Verwendbarkeit Lehramt MathematikLehrform Vorlesung 2 SWSLernziel Einführung in die Grundlagen der Mathematikdidaktik, Überblick

über zentrale Ideen des Mathematikunterrichts (MU)Inhalt I. Schulische Bedingungen des Lehren und Lernens von Mathema-

tikII. Inhalts- und prozessbezogene Ziele und Leitideen des MU, Bil-dungsplan konkret, zentrale Erkenntnisse mathematikdidaktischerForschungIII. Organisation von mathematischen Lernprozessen: Konzeptedes MU, Motivation, Differenzierung, Umgang mit Fehlern, Inte-gration des Computers im MUIV. Mathematiktreiben im MU: Aneignung mathematischer Be-griffe und Regeln, Problemlösen, Argumentieren und Beweisen,Arbeiten mit mathematischen DarstellungenV. Lernstandserhebung und Leistungsfeststellung im MUVI. Spannungsfelder des MU


Fähigkeit zur kritischen Reflexion von Mathematikunterricht


keine


Schulkenntnisse


Klausur oder Übungen

NützlicheLiteratur

Leuders, T. (2003): Mathematik Didaktik. Berlin: Cornelsen Scrip-torWittmann, E. Chr. (1981): Grundfragen des Mathematikunter-richts. Braunschweig: ViewegZech, F. (2002): Grundkurs Mathematikdidaktik. Weinheim: Beltz

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ModulbeschreibungenLehramtMathematiknachGymPOI · AnalysisI Modul Code Name MA1 AnalysisI Umfang Leistungspunkte Workload Dauer Turnus 8CP 240h 1Semester jedes WS Verwendbarkeit fürStudiengängeBAMathematik,BAInformatik,BAPhysik,LA