Modulhandbuch - mathematik.uni-heidelberg.de · Präambel QualitätszielederUniversitätHeidelberginStudiumundLehre

Modulhandbuch

Ruprecht-Karls-Universität HeidelbergFakultät für Mathematik und Informatik

Bachelor „Mathematik“

Fassung vom 15.7.2015 zur Prüfungsordnung vom 25.6.2015

Studienform: Vollzeit

Art des Studiengangs: grundständig

Regelstudienzeit: 6 Semester

Einführungsdatum: 5.8.2008

Studienstandort: Heidelberg

Anzahl der Studienplätze: derzeit keine Begrenzung

Gebühren/Beiträge: gemäß allgemeiner Regelung der Universität Heidelberg

1

Präambel

Qualitätsziele der Universität Heidelberg in Studium und Lehre

Anknüpfend an ihr Leitbild und ihre Grundordnung verfolgt die Universität Heidelberg in ihren Studiengängen fachliche, fachüber-greifende und berufsfeldbezogene Ziele in der umfassenden akademischen Bildung und für eine spätere berufliche Tätigkeit ihrerStudierenden. Das daraus folgende Kompetenzprofil wird als für alle Disziplinen gültiges Qualifikationsprofil in den Modulhand-büchern aufgenommen und in den spezifischen Qualifikationszielen sowie den Curricula und Modulen der einzelnen Studiengängeumgesetzt:

• Entwicklung von fachlichen Kompetenzen mit ausgeprägter Forschungsorientierung;

• Entwicklung transdisziplinärer Dialogkompetenz;

• Aufbau von praxisorientierter Problemlösungskompetenz;

• Entwicklung von personalen und Sozialkompetenzen;

• Förderung der Bereitschaft zur Wahrnehmung gesellschaftlicher Verantwortung auf der Grundlage der erworbenen Kompe-tenzen.

Fachliche und überfachliche Qualifikationsziele des Bachelorstudiengangs „Mathematik“

Der Bachelorstudiengang Mathematik hat das Ziel einer mathematischen Grundausbildung. AbsolventInnen des Bachelorstudien-ganges sind in der Lage, mathematische Modelle in Wissenschaft und Wirtschaft zu verstehen und anzuwenden. Über die reinfachliche Ausbildung hinaus werden im Studium auch die Fähigkeit zur Analyse und Lösung von Problemen, die Kommunikationund das Durchhaltevermögen gestärkt. Studierende, die nach dem Bachelorabschluss den Übergang ins Berufsleben anstreben, kön-nen ihr Studium so ausrichten, dass sie grundlegende mathematische Aspekte des angestrebten Berufsfeldes kennenlernen. Auf deranderen Seite ist es natürlich auch möglich, im Hinblick auf die anschließenden Masterstudiengänge eine stärkere wissenschaftlicheAusrichtung des Studiums vorzunehmen.

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Inhaltsverzeichnis

1 Pflichtmodule 4Analysis I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5Lineare Algebra I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6Einführung in die Praktische Informatik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7Analysis II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8Lineare Algebra II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9Höhere Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10Einführung in die Numerik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12Proseminar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13Seminar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14Bachelorseminar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2 Wahlpflichtbereich 1 16Algebra I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17Algebra II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18Funktionentheorie I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19Funktionentheorie II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20Algebraische Topologie I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21Algebraische Topologie II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22Differentialgeometrie I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3 Wahlpflichtbereich 2 24Gewöhnliche Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25Partielle Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26Funktionalanalysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27Wahrscheinlichkeitstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4 Wahlpflichtbereich 3 29Numerik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30Statistik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31Lineare Optimierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32Nichtlineare Optimierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33Computational Statistics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

5 Wahlbereich 35Lie Algebren und Lie Gruppen I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36Lie Algebren und Lie Gruppen II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37Elementare Zahlentheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38Einführung in die Geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39Mathematische Logik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40Analysis auf Mannigfaltigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41Mengentheoretische Topologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42Einführung in die Mengenlehre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43Bayesian Modeling and Inference . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

6 Fachübergreifende Kompetenzen 45Anfängerpraktikum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46Software-Praktikum für Fortgeschrittene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47Ausgewählte Kapitel der Finanz- und Versicherungsmathematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48Industriepraktikum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49Tutorenschulung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3

1 Pflichtmodule

4

Analysis I

Code NameMA1 Analysis ILeistungspunkte Dauer Turnus8 LP ein Semester jährlich im WinterLehrform Vorlesung 4SWS, Übung 2 SWS

Arbeitsaufwand240 h; davon60 h Vorlesung30 h Übung120 h Bearbeitung der Hausaufgabenund Nachbereitung der Vorlesung30 h Klausur mit Vorbereitung

VerwendbarkeitB. Sc. MathematikMathematik Lehramt (GymPO)B. Sc. InformatikB. Sc. Physik

Lernziel Grundwissen über reelle und komplexe Zahlen, die Konvergenz von Folgenund Reihen und die Differential und Integralrechnung für Funktionen einerVeränderlichen; Verständnis der Beweistechniken auf diesem Gebiet unddie Fähigkeit, kleinere Beweise selbst durchführen zu können

Inhalt Die Systeme der reellen Zahlen und komplexen Zahlen; Konvergenz vonFolgen und Reihen, Potenzreihen, Exponentialfunktion (auch imKomplexen) und verwandte Funktionen; Stetigkeit und Differenzierbarkeit,monotone Funktionen, Umkehrfunktion, gleichmäßige Konvergenz; Integral(Regel- oder Riemann-Integral), Zusammenhang zwischen Integration undDifferentiation, Integrationsmethoden; Ausbau der Theorie, z. B.Behandlung spezieller Funktionsklassen.

Alle Resultate werden mit vollständigen Beweisen vermittelt.VermittelteKompetenzen

Studierende können abstraktes und analytisches Denken aufGrenzwertprozesse anwenden; sie sind in der Lage, selbständig Aussagenaus dem Bereich der Analysis zu beweisen und Aufgaben aus demThemenbereich zu lösen und ihre Ergebnisse zu präsentieren.

Teilnahme-Voraussetzungen

keine

NützlicheVorkenntnisse

Schulkenntnisse

Prüfungs-modalitäten Klausurzulassung durch benotete Hausaufgaben. Die Modulnote ergibtsich aus den Klausuren. Es werden zwei Klausuren angeboten (eine amEnde der Vorlesungszeit, die zweite am Ende der vorlesungsfreien Zeit);das Modul gilt als bestanden, wenn eine davon bestanden wurde. Sofern eskapazitativ möglich ist, soll eine Teilnahme an der zweiten Klausur zurNotenverbesserung möglich sein. Wiederholungsmöglichkeit mit derVorlesung im Folgejahr.

Nützliche Literatur O. Forster: Analysis I (bzw. II, bzw. III)K. Königsberger: Analysis I (bzw. II)H. Amann, J. Escher: Analysis I (bzw. II, bzw. III)

5

Lineare Algebra I

Code NameMA4 Lineare Algebra ILeistungspunkte Dauer Turnus8 LP ein Semester jährlich im WinterLehrform Vorlesung 4SWS, Übung 2 SWS



Lernziel Abstraktes und strukturelles Denken, Kenntnis mathematischerGrundstrukturen wie Gruppen, Körper und Vektorräume und ihrerHomomorphismen. Verständnis mathematischer Strukturbildung. Fähigkeitzum selbständigen Beweisen von Aussagen und Lösen von Aufgaben ausdem Themenbereich und zur schriftlichen und mündlichen Darstellung derErgebnisse.

Inhalt I. Grundlagen: Logische Operatoren, Mengen, Relationen, Abbildungen,Gruppen, Homomorphismen, Permutationen.II. Vektorräume: (affine) Unterräume, Faktorräume, direkte Summen,Basis, Dimension, Koordinaten, lineare Abbildungen.III. Lineare Operatoren: Matrizen, lineare Gleichungssysteme, Basiswechsel,Eigenvektoren, DeterminantenIV. Innenprodukträume: Bilinearformen, Orthogonalität undOrthonormalbasen, normale Operatoren, selbstadjungierte Operatoren undIsometrien.

VermittelteKompetenzen

Studierende können selbständig Eigenschaften mathematischerGrundstrukturen wie Gruppen, Körper und Vektorräume nachweisen undanwenden.

Teilnahme-VoraussetzungenNützlicheVorkenntnisse

Schulkenntnisse


Nützliche Literatur S. Bosch: Lineare AlgebraF. Lorenz: Lineare Algebra IG. Fischer: Lineare Algebra

6

Einführung in die Praktische Informatik

Code NameMA6 IPR Einführung in die Praktische InformatikLeistungspunkte Dauer Turnus8 1 SemesterLehrform Vorlesung 4SWS + Übung 2 SWS

Arbeitsaufwand240h

VerwendbarkeitBachelor Mathematik 100%

Lernziel Fähigkeit, kleine Programme in C++ zu entwerfen, zu realisieren, zutesten und Eigenschaften der Programme zu ermitteln. Umgang miteinfachen Programmierwerkzeugen.

Inhalt Überblick ueber die Praktische Informatik.- Technische und formale Grundlagen der Programmierung, SprachlicheGrundzuege (Syntax und Semantik von Programmiersprachen).- Einfuehrung in die Programmierung (Wert, elementare Datentypen,Funktion, Bezeichnerbindung, Sichtbarkeit von Bindungen, Variable,Zustand, Algorithmus, Kontrollstrukturen, Anweisung, Prozedur)Darstellung von Algorithmen.- Weitere Grundelemente der Programmierung (Typisierung,Parametrisierung, Rekursion, strukturierte Datentypen, insbesondere z.B.Felder, Listen, Bäume).- Grundelemente der objektorientierten Programmierung (Objekt,Referenz, Klasse, Vererbung, Subtypbildung).- Abstraktion und Spezialisierung (insbesondere Funktions-,Prozedurabstraktion, Abstraktion und Spezialisierung von Klassen).- Spezifikation und Verifikation von Algorithmen, Terminierung.- Einfache Komplexitätsanalysen.- Einfache Algorithmen (Sortierung).


Die Lehrveranstaltung führt in die Entwicklung von Software im Kleinenein.


Schulkenntnisse

Prüfungs-modalitäten Lösung von Übungsaufgaben, mit benoteten 2-stündigen Klausuren,Wiederholungsmöglichkeit mit der Vorlesung im Folgejahr.

Nützliche Literatur

7

Analysis II

Code NameMA2 Analysis IILeistungspunkte Dauer Turnus8 LP ein Semester jährlich im SommerLehrform Vorlesung 4SWS, Übung 2 SWS



Lernziel Grundwissen über gewöhnliche Differentialgleichungen sowie überdie Differential- und Integralrechnung in mehreren Variablen.Abstraktes und analytisches Denken, selbständiges Beweisen und Lösenvon Aufgaben aus dem Themenbereich mit Präsentation in den Übungen

Inhalt Metrische und normierte Räume, Stetigkeit; Existenz undEindeutigkeitssatz für das Anfangswertproblem; Differentialrechnung fürFunktionen mehrerer Variabler, partielle und totale Differenzierbarkeit,Kettenregel, Taylor-Formel, lokale Extrema; Lokaler Umkehrsatz undimplizite Funktionen, Untermannigfaltigkeitenim Rn, Extremwerte mit Nebenbedingungen; Elementare Vektoranalysis,Kurvenintegrale; Integrabilitätsbedingungen, Existenz von Potentialen; EinIntegral im Rn, Transformationsformel, Volumina und Oberflächen

Alle Resultate werden mit vollständigen Beweisen vermittelt.VermittelteKompetenzen

Studierende können selbständig Aussagen aus dem Themenbereich derAnalysis beweisen, Aufgaben lösen und ihre Ergebnisse präsentieren.


Analysis I (MA1), Lineare Algebra I (MA4)


Nützliche Literatur O. Forster: Analysis I (bzw. II, bzw. III)K. Königsberger: Analysis I (bzw. II)H. Amann, J. Escher: Analysis I (bzw. II, bzw. III)

8

Lineare Algebra II

Code NameMA5 Lineare Algebra IILeistungspunkte Dauer Turnus8 1 Semester jährlich im SommerLehrform Vorlesung 4SWS + Übung 2 SWS



Lernziel Abstraktes Denken, selbständiges Lösen von Aufgaben aus demThemenbereich mit Präsentation in den Übungen

Inhalt Inhalt: Ringe und Ideale, Moduln und Homomorphismen, Basis und Rang,direkte Summen und Produkte, Tensorprodukt, äußere und symmetrischePotenzen und Determinanten, Moduln über Hauptidealringen,Elementarteilertheorie, Normalformen von Endomorphismen,verallgemeinerte Eigenräume, Jordansche Normalform, nilpotente undhalbeinfache Endomorphismen.


Vertiefende Kenntnisse der Linearen Algebra


Lineare Algebra I (MA4)


Nützliche Literatur S. Bosch: Lineare AlgebraF. Lorenz: Lineare Algebra II

9

Höhere Analysis

Code NameMA3 Höhere AnalysisLeistungspunkte Dauer Turnus8 1 Semester jährlich im WinterLehrform Vorlesung 4SWS + Übung 2 SWS

Arbeitsaufwand240 h davon60 h Vorlesung30 h Übung120 h Bearbeitung der Hausaufgabenund Nachbereitung der Vorlesung30 h Klausur mit Vorbereitung

VerwendbarkeitB.Sc. Mathematik

Lernziel Erlangung höherer Abstraktionsfähigkeit, selbstständiges Lösen vonAufgaben aus dem Themenbereich mit Präsentation in den Übungen.

Inhalt I. Lebesgue-IntegralII. Lp-RäumeIII. FouriertransformationIV. Differenzierbare MannigfaltigkeitenV. Differentialformen und der Satz von Stokes


Ausbau der Differential- und Integralrechnung mehrerer Veränderlicher.


mindestens zwei der Module Analysis I, II (MA1, MA2) und LineareAlgebra I, II (MA4, MA5)


Nützliche Literatur Bekanntgabe in der Vorlesung

10

Einführung in die Numerik

Code NameMA7 Einführung in die NumerikLeistungspunkte Dauer Turnus8 LP ein Semester jährlich im SommerLehrform Vorlesung 4SWS, Übung 2 SWS

Arbeitsaufwand240 h; davon60 h Vorlesung30 h Übung80 h Bearbeitung der Hausaufgabenund Nachbereitung der Vorlesung40 h Programmieraufgaben30 h Klausur mit Vorbereitung


Lernziel Abstraktes und algorithmisches Denken, Anwendung von Techniken derAnalysis und linearen Algebra, selbständige Durchführung von Beweisenund Lösen von theoretischen und praktischen Aufgaben aus demThemenbereich mit Präsentation in den Übungen

Inhalt I. Rechnerarithmetik, Fehleranalyse, KonditionierungII. Interpolation und Approximation, Numerische IntegrationIII. Lineare Gleichungssysteme und Ausgleichsprobleme (LR- undQRZerlegung)IV. Iterative Verfahren (Nullstellenberechnung, lineare Gleichungssysteme,Eigenwertaufgaben)


Prinzipien numerischer Algorithmen und ihrer praktischen Realisierung fürGrundaufgaben der numerischen Analysis und linearen Algebra


Analysis I/II (MA1/ MA2) und Lineare Algebra I (MA4), Einführung in diePraktische Informatik (IPI), Programmierkurs (IPK),Programmierkenntnisse

Prüfungs-modalitäten Die Prüfung besteht aus einer Klausur. Klausurzulassung durch Lösen vonÜbungsaufgaben und Programmieraufgaben. Wiederholungsmöglichkeitmit der Vorlesung im folgenden Semester.

Nützliche Literatur J. Stoer, R. Bulirsch: Numerische MathematikG. Hämmerlin, K.-H. Hoffmann: Numerische MathematikP. Deuflhard, A. Hohmann: Numerische Mathematik

11

Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik

Code NameMA8 Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und StatistikLeistungspunkte Dauer Turnus8 LP ein Semester jedes SemesterLehrform Vorlesung 4SWS, Übung 2 SWS



Lernziel Mathematisches Modellieren zufälliger Phänomene, selbstständiges Lösenvon Aufgaben aus dem Themenbereich mit Präsentation in den Übungen.

Inhalt I. Wahrscheinlichkeitsräume: Ereignisse, diskrete Verteilungen,Verteilungen mit Dichte, Dichtetransformation, bedingteWahrscheinlichkeiten, Unabhängigkeit, Formel von BayesII. Zufallsvariable: Erwartungswert, Varianz und Kovarianz, gemeinsameVerteilungen von Zufallsvariablen, Faltung.III. Grenzwertsätze: Konvergenz von Zufallsvariablen und ihrenVerteilungen, Schwaches Gesetz der großen Zahlen, zentralerGrenzwertsatz.IV. Testtheorie: Hypothesentest, Fehler erster und zweiter Art, Likelihood,Neyman-Pearson-Test, weitere Testmethoden.V. Schätztheorie: Konstruktionsprinzipien, Erwartungstreue,Bias-Varianz-Zerlegung, Konsistenz, Konfidenzbereiche.VI. Beispiele für statistische Methoden: wie lineare Regression,Varianzanalyse, Hauptkomponentenanalyse.


In der Grundvorlesung Statistik werden statistische Methoden und dieihnen zugrunde liegende Wahrscheinlichkeitstheorie behandelt.


Analysis I und II (MA1, MA2), Lineare Algebra I und II (MA4, MA5)


Nützliche Literatur Krengel, U.: Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik,ViewegRice, J.: Mathematical statistics and Data AnalysisGeorgii, H.: Stochastik, de Gruyter

12

Proseminar

Code NameMPS ProseminarLeistungspunkte Dauer Turnus6 CP 1 SemesterLehrform 2 SWS +Tutorium 2 SWS

Arbeitsaufwand180 h

VerwendbarkeitB. Sc. Mathematik

Lernziel Befähigung mathematische Literatur (in der Regel ein einfacher Text) zulesen, sich selbständig mit einer mathematischen Fragestellung zubeschäftigen und hierüber vorzutragen. Dies beinhaltet insbesondere eindem Vortrag vorausgehendes umfangreiches Beratungsgespräch.

Inhalt nach Absprache mit dem DozentenVermittelteKompetenzen

Die Befähigung, mathematische Argumente klar und verständlich einemkleineren Kreis von Hörern mitzuteilen.


keine


werden vom Dozenten bekanntgegeben

Prüfungs-modalitäten Ein ca. 45- bis 90-minütiger benoteter Vortrag, aktive und passiveTeilnahme an weiteren Vorträgen

Nützliche Literatur wird vom Dozenten bekanntgegeben

13

Seminar

Code NameMS SeminarLeistungspunkte Dauer Turnus6 CP 1 Semester jedes SemesterLehrform aktive undpassive Teilnahme anVorträgen 2 SWS +Tutorium 2 SWS

Arbeitsaufwand180 h, davon30 h Präsenz120 h Vorbereitung inkl. Betreuung30 h schriftl. Ausarbeitung

VerwendbarkeitB. Sc. Mathematik, M. Sc.Mathematik, M. Sc. Sci. Comput.Lehramt Mathematik (GymPO)

Lernziel Befähigung mathematische Literatur (in der Regel ein anspruchsvollererText) zu lesen, sich selbständig mit einer mathematischen Fragestellung zubeschäftigen und hierüber vorzutragen. Dies beinhaltet insbesondere eindem Vortrag vorausgehendes umfangreiches Beratungsgespräch.

Inhalt nach Absprache mit dem DozentenVermittelteKompetenzen

Die Befähigung, mathematische Argumente klar und verständlich einemkleineren Kreis von Hörern mitzuteilen.


keine



Prüfungs-modalitäten ein ca. 45- bis 90-minütiger benoteter VortragNützliche Literatur wird vom Dozenten bekanntgegeben

14

Bachelorseminar

Code NameMBS BachelorseminarLeistungspunkte Dauer Turnus8 CP 1 SemesterLehrform aktive +passive Teilnahme anVorträgen (2 SWS)

Arbeitsaufwand240 h

VerwendbarkeitBachelor Mathematik

Lernziel Erwerb und Kommunikation komplexer mathematischer SachverhalteInhalt Vorstellung der Bachelorarbeit vor Betreuer und anderen

Bachelorstudierenden in Form eines VortragsVermittelteKompetenzen

Die Befähigung, einen umfangreichen mathematischen Themenkreis klarund verständlich einem kleineren Kreis von Hörern zu vermitteln


keine



Prüfungs-modalitäten in der Regel ein etwa 1-stündiger benoteter VortragNützliche Literatur wird vom Dozenten bekanntgegeben

15

2 Wahlpflichtbereich 1

16

Algebra I

Code NameMB1 Algebra ILeistungspunkte Dauer Turnus8 1 Semester jährlich im WinterLehrform Vorlesung 4SWS + Übung 2 SWS

Arbeitsaufwand240

VerwendbarkeitB. Sc. MathematikMathematik Lehramt (GymPO)

Lernziel Abstraktes und strukturelles Denken, Erlernen einer begrifflich komplexenmathematischen Theorie, selbständiges Lösen von Aufgaben aus demThemenbereich mit Präsentation in den Übungen

Inhalt I. Gruppen: Homomorphie- und Isomorphiesätze, Normalreihen undauflösbare Gruppen, Konstruktion und Darstellung von Gruppen, endlicherzeugte abelsche Gruppen, Operation von Gruppen, Sylowsätze, einfacheGruppen.II. Ringe: Homomorphismen und Ideale, Polynomringe, Hauptidealringeund euklidische Ringe, faktorielle Ringe, simultane Kongruenzen,Quotientenringe, symmetrische Polynome.III. Körper: Algebraische und transzendente Körpererweiterungen, endlicheKörper, separable und normale Körpererweiterungen, algebraischabgeschlossene Hülle, Fundamentalsatz der Galoistheorie, Berechnung derGaloisgruppe, abelsche und Kummererweiterungen, Konstruktionen mitZirkel und Lineal.


Grundwissen über Gruppen, Ringe und Körper einschließlich derGaloisschen Theorie.


Lineare Algebra I (MA4) und Lineare Algebra II (MA5)

Prüfungs-modalitäten Lösung von Übungsaufgaben mit benoteter 2-stündiger Klausur. Art undZeitpunkt einer Wiederholungsprüfung wird vom Dozenten festgelegt undzu Beginn der Vorlesung bekannt gegeben.

Nützliche Literatur S. Bosch: AlgebraS. Lang: AlgebraF. Lorenz, F. Lemmermeyer: Algebra

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Algebra II

Code NameMB2 Algebra IILeistungspunkte Dauer Turnus8 1 Semester jährlich im SommerLehrform Vorlesung 4SWS + Übung 2 SWS

Arbeitsaufwand240

VerwendbarkeitB. Sc. Mathematik, LehramtMathematik (GymPO)

Lernziel Abstraktes und strukturelles Denken, Erlernen begrifflich komplexermathematischer Theorien, selbständiges Lösen von Aufgaben aus demThemenbereich mit Präsentation in den Übungen

Inhalt Der Dozent stellt eine Auswahl aus den folgenden Themenbereichen vor:I. Kommutative Algebra: Noethersche und Artinsche Ringe und Moduln,Hilbertscher Basissatz, Spektrum und Primärzerlegung, Komplettierung,weitere Themen aus dem Bereich kommutative AlgebraII. Darstellungstheorie: Halbeinfache Algebren, Wedderburn-Theorie,Brauergruppe, Gruppencharaktere, induzierte Charaktere undDarstellungen, weitere Themen aus dem Bereich Darstellungstheorie.III. Homologische Algebra: Universelle Konstruktionen, projektive undinjektive Moduln, Kategorien und Funktoren, abelsche Kategorien,abgeleitete Funktoren, Gruppenkohomologie, weitere Themen aus demBereich Homologische Algebra.IV. Unendliche Galoistheorie: unendliche Galoiserweiterungen, die absoluteGaloisgruppe, Galoiskohomologie, Hilberts Satz 90, weitere Themen ausdem Bereich Unendliche Galoistheorie.V. Weitere Themenbereiche der Algebra.


Aneignung vertiefter Kenntnisse im Bereich Algebra, z.B. KommutativeAlgebra, Homologische Algebra oder Darstellungstheorie, wobei dieStoffauswahl insbesondere die Bedüfnisse der algebraischen undarithmetischen Geometrie berücksichtigt


Algebra I (MB1)

Prüfungs-modalitäten Lösung von Übungsaufgaben mit benoteter Klausur bzw. mündlicherPrüung. Art und Zeitpunkt einer Wiederholungsprüung werden vomDozenten festgelegt und zu Beginn der Vorlesung bekannt gegeben.

Nützliche Literatur M. Atiyah, I. MacDonald: Introduction to Commutative AlgebraD. Eisenbud: Commutative AlgebraP. Hilton, U. Stammbach: A Course in Homological AlgebraH. Matsumura: Commutative Ring TheoryJ.-P. Serre: Linear Representations of Finite GroupsC. H. Weibel: An Introduction to Homological Algebra

18

Funktionentheorie I

Code NameMB3 Funktionentheorie ILeistungspunkte Dauer Turnus8 1 Semester jährlich im SommerLehrform Vorlesung 4SWS + Übung 2 SWS

Arbeitsaufwand240 h


Lernziel Selbstständiges Lösen von Aufgaben aus dem Themenbereich mitPräsentation in den Übungen; Fähigkeit der Anwendung auf andereGebiete wie z. B. Mathematische und Theoretische Physik

Inhalt I. Differentialrechnung im Komplexen: Komplexe Ableitung, dieCauchy-Riemannsche Differentialgleichungen.II. Integralsätze: Der Cauchysche Integralsatz, die CauchyschenIntegralformeln.III. Singularitäten analytischer Funktionen, Residuensatz: Potenzreihen,Abbildungseigenschaften analytischer Funktionen, Fundamentalsatz derAlgebra, Singularitäten analytischer Funktionen,Laurentzerlegung, der Residuensatz.IV. Konforme Abbildungen.V. Topologische Ergänzungen: Die Homotopieversion des CauchyschenIntegralsatzes, Charakterisierungen von einfach zusammenhängendenGebieten.


Einführung in die komplexe Analysis


Analysis I, II (MA1, MA2) und Lineare Algebra I, II (MA4, MA5)

Prüfungs-modalitäten Lösung von Übungsaufgaben mit benoteter 2-stündiger Klausur.Art und Zeitpunkt einer Wiederholungsprüfung wird vom Dozentenfestgelegt und zu Beginn der Vorlesung bekannt gegeben.

Nützliche Literatur Freitag, Busam: Funktionentheorie IRemmert, Schumacher: Funktionentheorie IFischer, Lieb: Funktionentheorie

19

Funktionentheorie II

Code NameMB4 Funktionentheorie IILeistungspunkte Dauer Turnus8 1 Semester jährlich im WinterLehrform Vorlesung 4SWS + Übung 2 SWS

Arbeitsaufwand240


Lernziel Selbständiges Lösen von Aufgaben aus dem Themenbereich mitPräsentation in den Übungen.

Inhalt I. Konstruktion analytischer Funktionen: Spezielle Funktionen (z. B.Gammafunktion), der Weierstraßsche Produktsatz, der Partialbruchsatzvon Mittag-LefflerII. Elliptische FunktionenIII. Modulformen

Mögliche Vertiefungen finden in den folgenden Gebieten statt:I. Riemannsche FlächenII. Funktionentheorie mehrerer VeränderlicherIII. Analytische ZahlentheorieIV. Wertverteilungstheorie, geometrische Funktionentheorie


Fortsetzung der Vorlesung Funktionentheorie I (MB3)


Analysis I (MA1), Lineare Algebra I (MA4), Funktionentheorie I (MB3)


Nützliche Literatur Wird in der Vorlesung bekannt gegeben.

20

Algebraische Topologie I

Code NameMB5 Algebraische Topologie ILeistungspunkte Dauer Turnus8 1 Semester 2-jährlichLehrform Vorlesung 4SWS + Übung 2 SWS

Arbeitsaufwand240



Inhalt Grundlagen der Punktmengentopologie, Homotopie, Fundamentalgruppe,Satz von Seifert-Van Kampen,Theorie der Überlagerungen, Homologie, Grundlegende Begriffsbildungenaus der Kategorientheorie,Eilenberg-Steenrod Axiomatik, Mayer-Vietoris Sequenz, dieEuler-Charakteristik, Anwendungen.

VermittelteKompetenzenTeilnahme-VoraussetzungenNützlicheVorkenntnisse

Analysis I und II (MA1, MA2), Lineare Algebra I und II (MA4,MA5)

Prüfungs-modalitäten Lösung von Übungsaufgaben mit benoteter Klausur bzw. mündlicherPrüfung. Art und Zeitpunkt einer Wiederholungsprüfung werden vomDozenten festgelegt und zu Beginn der Vorlesung bekannt gegeben.

Nützliche Literatur Glen E. Bredon: Topology and GeometryJames R. Munkres: Elements of Algebraic Topology

21

Algebraische Topologie II

Code NameMB6 Algebraische Topologie IILeistungspunkte Dauer Turnus8 1 SemesterLehrform Vorlesung 4SWS + Übung 2 SWS

Arbeitsaufwand240 h



Inhalt Kohomologie,Koeffizienten, universelles Koeffiziententheorem,Produkte in der Kohomologie,Künneth-Theorem,Topologische und glatte Mannigfaltigkeiten,Orientierung und Fundamentalklasse,Dualitätssätze für Mannigfaltigkeiten,Homotopietheorie: Satz von Hurewicz, Satz von Whitehead, Faserungenund Kofaserungen, Schleifenräume, Puppe-Sequenz,Eilenberg-MacLane Räume.


Analysis I (MA1), Lineare Algebra I (MA4), Algebraische Topologie I(MB5)


Nützliche Literatur Glen E. Bredon: Topology and Geometry,James R. Munkres: Elements of Algebraic Topology,Edwin H. Spanier: Algebraic Topology,James F. Davis, Paul Kirk: Lecture Notes in Algebraic Topology

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Differentialgeometrie I

Code NameMG15 Differentialgeometrie ILeistungspunkte Dauer Turnus8 1 semester jährlich im WinterLehrform Vorlesung 4SWS + Übung 2 SWS

Arbeitsaufwand240 h


Lernziel Selbständiges Lösen von Aufgaben aus dem Themenbereich mitPräsentation in den Übungen

Inhalt Differenzierbare Mannigfaltigkeit, (Semi-) RiemannscheMannigfaltigkeiten, Zusammenhänge, Geodätische, Krümmung.


Kenntnis der Grundbegriffe der Differentialgeometrie, Beherrschung desKalküls Fähigkeit, Methoden aus der Analysis und Algebra zu Behandlunggeometrischer Probleme anzuwenden.


Analysis I,II; Lineare Algebra I, II

Prüfungs-modalitäten Lösung von Übungsaufgaben mit benoteter Klausur bzw. mündlicherPrüfung. Art und Zeitrahmen einer Wiederholungsprüfung werden vomDozenten festgelegt und zu Beginn der Vorlesung bekannt gegeben.

Nützliche Literatur Do Carmo: Riemannian GeometryGallot-Hulin-Lafontaine: Riemannian GeometryGromoll-Klingenberg-Meyer: Riemannsche Geometrie im GroßenKobayashi-Nomizu: Foundations of Differential Geometry Petersen:Riemannian GeometrySpivak: Differential Geometry

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Gewöhnliche Differentialgleichungen

Code NameMC1 Gewöhnliche DifferentialgleichungenLeistungspunkte Dauer Turnus8 1 SemesterLehrform Vorlesung 4SWS + Übung 2 SWS

Arbeitsaufwand240

Verwendbarkeit


Inhalt I. Elementare Lösungsmethoden: Trennung der Variablen, Variation derKonstanten, exakte DifferentialgleichungenII. Existenz- und Eindeutigkeitsätze: eindeutige Lösbarkeit vonAnfangswertproblemen, maximale Lösungen, Lemma von Gronwall III.Abhängigkeit von Parametern: stetige und differenzierbare Abhängigkeitvon Anfangswerten und ParameternIV. Lineare Differentialgleichungen: Fundamentalsystem,Wronskideterminante, Evolutionsoperator, ExponentialfunktionV. Dynamische Systeme und Flüsse: Orbit, Phasenporträt, Satz vonLiouville, ebene lineare Flüsse, hyperbolische lineare Flüsse,Koordinatentransformation, FlussäquivalenzVI. Stabilität: Ljapunovstabilität, invariante Mengen, Ljapunovfunktionen


Einführung in die Lösungstheorie gewöhnlicher Differentialgleichungen


Analysis I und II (MA1,MA2), Lineare Algebra I (MA4)

Prüfungs-modalitäten Klausur (2-stündig)Nützliche Literatur H. Amann: Gewöhnliche Differentialgleichungen

W. Walter: Gewöhnliche DifferentialgleichungenV.I. Arnold: Gewöhnliche Differentialgleichungen

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Partielle Differentialgleichungen

Code NameMC2 Partielle DifferentialgleichungenLeistungspunkte Dauer Turnus8 1 SemesterLehrform Vorlesung 4SWS + Übung 2 SWS

Arbeitsaufwand240

Verwendbarkeit


Inhalt I. Die Potentialgleichung: Fundamentallösung, Maximumprinzip,Perron-Verfahren, Newton-PotentialII. Die Wärmeflussgleichung: AnfangswertproblemIII. Die Wellengleichung: Wellengleichung in niederen Raumdimensionen,Cauchy-ProblemIV. Die Hilbertraummethode bei elliptischen Randwertproblemen


Einführung in das Gebiet der partiellen Differentialgleichungen an Handdreier klassischer Beispiele sowie Grundwissen über einenfunktionalanalytischen Zugang.


Analysis I und II (MA1, MA2) , Lineare Algebra I und II (MA4, MA5),Höhere Analysis (MA3)

Prüfungs-modalitäten Lösung von Übungsaufgaben mit benoteter Klausur bzw. mündlicherPrüfung.Art und Zeitpunkt einer Wiederholungsprüfung wierden vom Dozentenfestgelegt und zu Beginn der Vorlesung bekannt gegeben.

Nützliche Literatur J. Jost: Partielle Differentialgleichungen

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Funktionalanalysis

Code NameMC3 FunktionalanalysisLeistungspunkte Dauer Turnus8 1 SemesterLehrform Vorlesung 4SWS + Übung 2 SWS

Arbeitsaufwand240

Verwendbarkeit


Inhalt I. Metrische Räume und ihre Abbildungen: u.a. Vervollständigung, Satzvon Baire, (relativ) kompakte Teilmengen und ihre Charakterisierung,Fortsetzbarkeit gleichmässig stetiger AbbildungenII. Normierte Räume und ihre Abbildungen: inklusiv Banach-Räume,Dualräume, schwache Topologien, topologische Vektorräume, Beispielevon Funktionenräumen, Spektraltheorie kompakter Operatoren, mit denüblichen Sätzen (inklusiv Spektralsatz)III. Hilbert-Räume und ihre Abbildungen


Analysis I und II (MA1, MA2) , Lineare Algebra I und II (MA4, MA5),Höhere Analysis (MA3)



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Wahrscheinlichkeitstheorie

Code NameMC4 WahrscheinlichkeitstheorieLeistungspunkte Dauer Turnus8 1 SemesterLehrform Vorlesung 4SWS + Übung 2 SWS

Arbeitsaufwand240

Verwendbarkeit


Inhalt I. Maß- und Integrationstheorie: Algebren, Borel-Algebra, messbareAbbildungen, Konstruktion von Wahrscheinlichkeitsmaßen, Produkträume.Erwartungswert als Maßintegral, Sätze von Lebesgue, Beppo Levi, Fubiniund Radon-Nikodym.II. Konvergenz von Zufallsvariablen: Lp-Räume, Zusammenhang zwischenfast sicherer, stochastischer und Lp-Konvergenz, Starkes Gesetz der großenZahlen, Konvergenz in Verteilung, charakteristische Funktionen, zentralerGrenzwertsatz.III. Bedingte Verteilungen: Bedingte Erwartungen, Markov-Kerne,Martingale in diskreter Zeit.IV. Stochastische Prozesse: Brownsche Bewegung, Poisson-Prozess,Empirischer Prozess.


Grundlagen für alle Gebiete der Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik


Analysis I und II (MA1, MA2) , Lineare Algebra I und II (MA4, MA5),Höhere Analysis (MA3), Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie undStatistik (MA 8)


Nützliche Literatur Bauer, H.: Wahrscheinlichkeitstheorie, de Gruyter.Billingsley, P.: Probability and Measure, Wiley.Dudley, R.N.: Real Analysis and ProbabilityDurrett, R.: Probability: Theory and Examples, Duxbury PressJacod, J. and Protter, P.: Probability Essentials, SpringerShiryaev, A.: Probability, Springer.

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Numerik

Code NameMD1 NumerikLeistungspunkte Dauer Turnus8 1 SemesterLehrform Vorlesung 4SWS + Übung 2 SWS

Arbeitsaufwand240 h


Lernziel Abstraktes und algorithmisches Denken, Anwendung von Techniken derAnalysis und linearen Algebra, selbständiges Lösen von Aufgaben aus demThemenbereich mit Präsentation in den Übungen

Inhalt I. Theorie von Anfangs- und RandwertaufgabenII. Einschrittmethoden: Konsistenz, Stabilität, Konvergenz.III. Numerische Stabilität und steife AnfangswertaufgabenIV. Andere Verfahrensklassen: Lineare Mehrschrittmethoden,Extrapolationsmethoden, Galerkin-Methoden (optional).V. Lösung von Differentiellalgebraischen AufgabenVI. Lösung von Randwertaufgaben: Schießverfahren, Differenzen undGalerkin-Verfahren (optional).VII. Differenzenverfahren für elliptische partielle Differentialgleichungen,Laplace-Gleichung, 5-Punkte-Approximation.VIII. Iterative Lösungsverfahren für diskretisierte Probleme.


Kenntnisse der numerischen Lösung von Anfangswert- undRandwertaufgaben gewöhnlicher Differentialgleichungen und einfacherpartieller Differentialgleichungen


Analysis I (MA1), Lineare Algebra I (MA4), Einführung in die Numerik(MA7)


Nützliche Literatur Bekanntgabe in der Vorlesung (Vorlesungsskripum)

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Statistik

Code NameMD2 StatistikLeistungspunkte Dauer Turnus8 1 SemesterLehrform Vorlesung 4SWS + Übung 2 SWS

Arbeitsaufwand240 h

Verwendbarkeit


Inhalt I. Entscheidungstheorie: Dualität von Tests und Konfidenzbereichen,Neyman-Pearson-Theorie, allgemeine Entscheidungsverfahren,Risikofunktionen, Bayes- und MinimaxoptimalitätII. Asymptotische Statistik: Verteilungsapproximation, Fisher-Information,relative asymptotische Effizienz von Tests und Schätzern,Likelihood-basierte Verfahren, nichtparametrische Verfahren.


Prinzipien der mathematischen Statistik


keine


Analysis I (MA1), Lineare Algebra I (MA4), Einführung in dieWahrscheinlichkeitstheorie u. Statistik (MA8), Wahrscheinlichkeitstheorie(MC4)


Nützliche Literatur Bickel, P. J. and Doksum, K. A.: Mathematical Statistics, Prentice HallLehmann, E. L.: Testing Statistical Hypotheses, Springer VerlagVan der Vaart, A. W.: Asymptotic Statistics, Cambridge University Press

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Lineare Optimierung

Code NameMD3 Lineare OptimierungLeistungspunkte Dauer Turnus8 LP ein SemesterLehrform Vorlesung 4SWS + Übung 2 SWS

Arbeitsaufwand240 h


Lernziel Selbständiges Lösen von Aufgaben aus dem Themenbereich mitPräsentation in den Übungen, Bearbeiten von praktischenProgrammieraufgaben

Inhalt Die Vorlesung behandelt die folgenden Themen: Formulierung von linearenOptimierungsproblemen DualitätstheorieStruktur von PolyedernDie Simplexmethode, Grundversion und Varianten Der dualeSimplex-AlgorithmusPostoptimale Analyse und Re-Optimierung Polynomiale Algorithmen zurLinearen Optimierung Innere-Punkte-Methoden


Probleme, Theorie, Methoden und Algorithmen der Linearen Optimierung


keine


Lineare Algebra I, Programmierkenntnisse


Nützliche Literatur Padberg: Linear Optimization and Extensions Chvátal: LinearProgrammingWright: Primal-Dual Interior-Point Methods

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Nichtlineare Optimierung

Code NameMD4 Nichtlineare OptimierungLeistungspunkte Dauer Turnus8 LP ein SemesterLehrform Vorlesung 4SWS + Übung 2 SWS

Arbeitsaufwand240 h


Lernziel Selbständiges Lösen von Aufgaben aus dem Themenbereich mitPräsentation in den Übungen, Bearbeiten von praktischenProgrammieraufgaben

Inhalt Die Vorlesung behandelt die folgenden Themen: Endlich-dimensionale,glatte, kontinuierliche, nichtlineare Opti- mierungsprobleme,Optimalitäsbedingungen für unbeschränkte und beschränkteOptimierungsprobleme, Gradientenverfahren, KonjugierteGradienten-(CG-)Verfahren, Line Search, Newton- undQuasi-Newton-SQP-Verfahren, Gauß-Newton-Verfahren, Behandlung vonUngleichungsbeschränkungen, Trust-Region- Verfahren, AutomatischeDifferentiation


Probleme, Theorie, Methoden und Algorithmen der NichtlinearenOptimierung


keine


Lineare Algebra I, Analysis I und II, Programmierkenntnisse

Prüfungs-modalitäten Lösung von Übungsaufgaben. Benotete Klausur bzw. mündliche Prüfung.Art und Zeitrahmen einer Wiederholungsprüfung werden vom Dozentenfestgelegt und zu Beginn der Vorlesung bekannt gegeben.

Nützliche Literatur Nocedal, Wright: Numerical OptimizationGill, Murray, Saunders, Wright: Practical Optimization Geiger, Kanzow:Numerik (un)restringierter Optimierung Jarre, Stoer: Optimierung

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Computational Statistics

Code NameMD6 Computational StatisticsLeistungspunkte Dauer Turnus8 LP ein SemesterLehrform Vorlesungmit Übungen

Arbeitsaufwand240 h


Lernziel Anwendung eines Statistik-Systems (als Beispiel R); Output-Analyse undDiagnostik; Entwurf und Implementierung einfacher stochastischerSimulationen.

Inhalt In diesem Kurs soll die Anwendung statistischer Verfahren am Computereingeübt werden. Statistische Grundkenntnisse werden vorausgesetzt. DerHintergrund der im Kurs verwendeten Methodenwird bei Bedarf wiederholt. Verwendet wird die speziell für die Statistikentwickelte ProgrammierspracheR. Vorkenntnisse über R sind nicht erforderlich. Eine Einführung in R istTeil des Kurses. Dieser Teil wird evtl. als Blockkurs angeboten. Es wirdempfohlen, diesen Teil vorab zu besuchen.’Computational Statistics’ ist der Zweig der Statistik, der von den heutigenrechnerischen Möglichkeiten ausgeht. Neben effizienter Implementierungklassischer Verfahren stehen oft neue bis hin zuexperimentellen Ansätzen. Die Vorlesung stellt typische Konzepte derStatistik vor und illustriert ihre praktische Anwendung.Themenbereiche sind:- Diagnostik und Anpassungstests für univariate Verteilungen- Lineare Modelle, incl. Residuenanalyse und Regressionsdiagnostik- Allgemeine Zwei-Stichproben-Vergleiche- Nichtparametrische Verfahren- Monte-Carlo-Verfahren, Resampling-Verfahren, Simulation- Beispiele für multivariate Methoden, wie z.B. multidimensionaleSkalierung, Hauptkomponenten-Analyse, Projection Pursuit


Statistische Modellierung; praktische Anwendung statistischer Verfahrenam Computer; Output-Interpretation und Analyse; Modell- undDatendiagnostik; Programmierung in R.


MD2 Statistik (kann parallel besucht werden)

Prüfungs-modalitäten Programmieraufgaben: Implementierung statistischer Auswertung fürgegebene Datensätze und schriftliche Analyse der Ergebnisse.

Nützliche Literatur John M. Chambers: Computational Methods for Data AnalysisG. Sawitzki: Computational Statistics: An Introduction to R

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5 Wahlbereich

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Lie Algebren und Lie Gruppen I

Code NameMB10 Lie Algebren und Lie Gruppen ILeistungspunkte Dauer Turnus8 1 SemesterLehrform Vorlesung 4SWS + Übung 2 SWS

Arbeitsaufwand240

Verwendbarkeit

Lernziel Abstraktes und strukturelles Denken, Erlernen einer begrifflich komplexenmathematischen Theorie, selbständiges Lösen von Aufgaben aus demThemenbereich mit Präsentation in den Übungen

Inhalt I. Lie Gruppen, assoziierte Lie Algebra, Exponentialabbildung, Beispiele (inder Physik)II. Abstrakte Lie-Algebren, Ideale, Homomorphismen, auflösbare undnilpotente Lie-Algebren.III. Halbeinfache Lie-Algebren: Theoreme von Lie und Cartan, KillingForm, Darstellungen (von sl2), Wurzelraumzerlegung


Grundwissen über Lie-Algebren und Lie-Gruppen.


Lineare Algebra I (MA4) und Lineare Algebra II (MA5), evtl. Algebra I(MB1)

Prüfungs-modalitäten Lösung von Übungsaufgaben mit benoteter 2-stündiger Klausur bzw. mitmündlicher Prüfung.

Nützliche Literatur J. P. Serre: Complex Semisimple Lie AlgebrasJ. P. Serre: Lie algebras and Lie groupsJ. E. Humphreys: Introduction to Lie algebras and Representation theoryN. Jacobson: Lie algebrasV. S. Varadarajan: Lie Groups, Lie Algebras, and Their Representations

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Lie Algebren und Lie Gruppen II

Code NameMB11 Lie Algebren und Lie Gruppen IILeistungspunkte Dauer Turnus8 1 SemesterLehrform Vorlesung 4SWS + Übung 2 SWS

Arbeitsaufwand240

Verwendbarkeit

Lernziel Abstraktes und strukturelles Denken, Erlernen begrifflich komplexermathematischer Theorien, selbständiges Lösen von Aufgaben aus demThemenbereich mit Präsentation in den Übungen

Inhalt I. Wurzelsysteme, Weyl Gruppe, Klassifikation, GewichteII. Isomorphie- und Konjugations-Teoreme, Existenzsatz, UniverselleEinhüllende Algebra, Poincaré-Birkhoff-Witt TheoremIII. DarstellungstheorieIV. Komplexe und kompakte Gruppen


Klassifikation von Lie-Algebren und Lie-Gruppen


Lie Algebren und Lie Gruppen I

Prüfungs-modalitäten Lösung von Übungsaufgaben mit benoteter Klausur bzw. mündlicherPrüfung.

Nützliche Literatur J. P. Serre: Complex Semisimple Lie AlgebrasJ. P. Serre: Lie algebras and Lie groupsJ. E. Humphreys: Introduction to Lie algebras and Representation theoryN. Jacobson: Lie algebrasV. S. Varadarajan: Lie Groups, Lie Algebras, and Their Representations

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Elementare Zahlentheorie

Code NameME1 Elementare ZahlentheorieLeistungspunkte Dauer Turnus8 1 SemesterLehrform Vorlesung 4SWS + Übung 2 SWS

Arbeitsaufwand240

Verwendbarkeit


Inhalt I. Teilbarkeitslehre: Teilbarkeit, Euklidischer Algorithmus,Primfaktorzerlegung, Gruppe der primen Restklassen, ChinesischerRestsatz, RSA-VerfahrenII. Primzahlen: Quadratische Reziprozität, Summen von Quadraten,Primzahltests, elementare Resultate zur PrimzahlverteilungIII. Quadratische Zahlkörper: Ganzheitsring, Einheitengruppe,Kettenbrüche, Idealklassengruppe, Zerlegungsgesetz, diophantischeGleichungen.


Einführung in die Zahlentheorie und ihre Anwendungen


Lineare Algebra I (MA4)


Nützliche Literatur Schmidt: Einführung in die algebraische Zahlentheorie

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Einführung in die Geometrie

Code NameME2 Einführung in die GeometrieLeistungspunkte Dauer Turnus8 1 SemesterLehrform Vorlesung 4SWS + Übung 2 SWS

Arbeitsaufwand240

Verwendbarkeit


Inhalt I. Euklidische Geometrie: Grundlagen der affinen und euklidischenGeometrie, Isometriegruppen euklidischer Räume, Platonische Körper,Kegelschnitte, Einblick in eine nicht-euklidische Geometrie.II. Projektive Geometrie: Projektive Räume und Koordinaten, projektiveAbbildungen und Projektivitäten, Kollineationen, Dualitätsprinzip,projektive Quadriken.III. Polyeder: Eulersche Polyederformel, Eulercharakteristik


Grundbegriffe der Geometrie mit Anwendungen


Lineare Algebra I und II (MA4, MA5)



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Mathematische Logik

Code NameME3 Mathematische LogikLeistungspunkte Dauer Turnus8 LP ein SemesterLehrform Vorlesung 4SWS, Übung 2 SWS


Verwendbarkeit


Inhalt I. Prädikatenlogik: Untersuchung der in der Mathematik üblichen logischenSchlussweisen.II. Mengenlehre: Grundlagentheorie der Mathematik sowie Theorie derOrdinal- und Kardinalzahlen.III. Modelltheorie: Zusammenhang zwischen axiomatischen Theorien undihren Modellen mit Beispielen aus der Algebra.IV. Berechenbarkeitstheorie: Eigenschaften des Begriffes der berechenbarenFunktion.V. Beweistheorie: Grenzen der Formalisierbarkeit, Unvollständigkeit undUnentscheidbarkeit.


Einführung in die verschiedenen Teilgebiete der Mathematischen Logik.


Lineare Algebra I (MA4), Einführung in die Praktische Informatik (IPI)



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Analysis auf Mannigfaltigkeiten

Code NameME4 Analysis auf MannigfaltigkeitenLeistungspunkte Dauer Turnus8 1 SemesterLehrform Vorlesung 4SWS + Übung 2 SWS

Arbeitsaufwand240 h

Verwendbarkeit


Inhalt Die Vorlesung Analysis auf Mannigfaltigkeiten gibt eine Einführung in dieTheorie der Differentialformen auf differenzierbaren, insbesondereRiemannschen Mannigfaltigkeiten.Hauptthemen sind:I. Überblick über Integrationstheorie (Radonmaße)II. Einführung in differenzierbare MannigfaltigkeitenIII. Kalkül der alternierenden DifferentialformenIV. Tensoren, Riemann’sche MetrikenV. Hodgetheorie


Grundkenntnisse über Analysis auf Mannigfaltigkeiten


keine


Analysis I und II, Lineare Algebra I und II


Nützliche Literatur Freitag, E.: Skript,Jänich, K.: VektoranalysisSpivak, M.: Calculus on Manifolds

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Mengentheoretische Topologie

Code NameME5 Mengentheoretische TopologieLeistungspunkte Dauer Turnus8 1 SemesterLehrform Vorlesung4SWS + Übung 2SWS

Arbeitsaufwand240h

Verwendbarkeit


Inhalt - Grundlagen (topologische Räume, Erzeugung topologischer Räume,stetige Abbildungen, Trennungsaxiome, Eigenschaften topologischerRäume)Im Anschlußwird die Theorie in einem oder mehreren Themen vertieft:- Konstruktion stetiger Funktionen auf topologischen Räumen - UniformeRäume- Homotopietheorie- CW-Komplexe- Topologische Gruppen- Topologische Vektorräume


Grundkenntnisse über mengentheoretische Topologie


keine


Analysis I (MA1), Lineare Algebra I (MA4)


Nützliche Literatur Jänich: TopologieLaures, Szymik: Grundkurs TopologieSchubert: TopologieKelley: General TopologyWeitere Literatur wird gegebenenfalls in der Vorlesung bekanntgegeben.

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Einführung in die Mengenlehre

Code NameME6 Einführung in die MengenlehreLeistungspunkte Dauer Turnus4 1 SemesterLehrform Vorlesung 2SWS + Übungen 1SWS

Arbeitsaufwand120 h

Verwendbarkeit

Lernziel Selbständiges Lösen von Problemen aus dem ThemenbereichInhalt Mannichfaltigkeitslehre wurde in der 2. Hälfte des 19. Jahr- hunderts von

Georg Cantor ex nihilo als [ein mathematisch- philosophischer Versuch inder Lehre des Unendlichen] entwickelt. Im Mittelpunkt der Vorlesung stehtdie Axiomatisierung der Cantorschen Mengenlehre sowie die elementareTheorie der transfiniten Zahlen. Ein weiteres Thema sind dieerkenntnistheoretischen Aspekte dieser Theorie, welche David Hilbert als[die bewundernswerteste Blüte mathematischen Geistes] gepriesen hat.


Die Axiome von Zermelo - Fraenkel mit Auswahlaxiom, transfinite Zahlenund Wohlordnungen, fundierte Relationen und Rekursion,Kontinuumhypothese und Unabhängigkeitsbeweise.


keine


Ein Grundverständnis von Mathematik, wie es beispielsweise in denAnfängervorlesungen der ersten beiden Semester vermittelt wird.

Prüfungs-modalitäten Lösung von Übungsaufgaben und benotete Abschlussprüfung. Art undZeitrahmen einer Wiederholungsprüfung werden vom Dozenten festgelegtund zu Beginn der Vorlesung bekannt gegeben.

Nützliche Literatur H. D. Ebbinghaus: Einführung in die Mengenlehre. WissenschaftlicheBuchgemeinschaft, Darmstadt.

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Bayesian Modeling and Inference

Code NameME7 Bayesian Modeling and InferenceLeistungspunkte Dauer Turnus4 1 SemesterLehrform 14 weeks oflecture courses of 90mins each.

Arbeitsaufwand120 h

Verwendbarkeit

Lernziel Ability to build a Bayesian model suitable to a given machine lear- ningproblem, and to design and implement its inference algorithm will beacquired.

Inhalt Bayesian pattern recognition and data modeling methods will be coveredat the introductory level. The Bayesian modeling framework will bepresented from a probability-theoretic point of view, and various modelinference, checking, and selection techniques will be explained.


Learning foundations of Bayesian approaches to data modeling from amachine learner[146|92]s perspective.


none


Basic probability theory and linear algebra. An introductory machinelearning course.

Prüfungs-modalitäten Students will be graded according to a term project. They will be provideda list of simple machine learning problems together with benchmark datasets. Each student will choose one of these problems, or propose acomparable alternative, devise a suitable Bayesian model for the problem,choose an inference method, de- rive its equations, implement it, andcompute the results on the provided data set. At the end of the semester,the students will hand in a project report including the devised model, itsmathe- matical details and the obtained results, together with the relatedsource code.

Nützliche Literatur D. Barber, Bayesian Reasoning and Machine Learning, 2012 (Maintextbook)C. Bishop, Pattern Recognition and Machine Learning, 2006K. Murphy, Machine Learning: A Probabilistic Perspective, 2012

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6 Fachübergreifende Kompetenzen

In diesem Kapitel sind die Module aus der Mathematik aufgeführt, die von Studierenden im Rahmen der FachübergreifendenKompetenzen aus dem Angebot der Fakultät für Mathematik und Informatik belegt werden können.

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Anfängerpraktikum

Code NameIAP AnfängerpraktikumLeistungspunkte Dauer Turnus2 LP + 4 LP FÜKLehrform Praktikum 4SWS

Arbeitsaufwand180 h; davon mind.15 Präsenzstunden

Verwendbarkeit

Lernziel Die Studierenden können allgemeine Entwurfs- undImplementierungsaufgaben im Rahmen von Informatiksystemen lösen;können Problemanalyse- und Beschreibungstechniken anwenden; besitzenProgrammierkenntnisse in der jeweiligen für das Projekt erforderlichenProgrammiersprache.Zusätzlich stehen die projekttypischen Kompetenzen im Vordergrund,insbesondere das Arbeiten im Team (von bis zu drei Studierenden):Durchführung von Projekten und ihrer PhasenstrukturPlanung von Projekt- und Teamarbeit.Zu den zu trainierenden Softskills zählen somit insbesondereTeamfähigkeit, Einübung von Präsentationstechniken sowieeigenverantwortliches Arbeiten.

Inhalt Domänenkenntnisse abhängig von den DozentInnen; allgemeineLerninhalte sind:Einführung in die ProjektarbeitEigenständige Entwicklung von Software und deren Dokumentation

VermittelteKompetenzenTeilnahme-Voraussetzungen

keine


Einführung in die Praktische Informatik (IPI), Programmierkurs (IPK)

Prüfungs-modalitäten Bewertung der dokumentierten Software, des Projektberichts (ca. 5Seiten) und des Vortrag (ca. 30 Minuten zzgl. Diskussion)


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Software-Praktikum für Fortgeschrittene

Code NameIFM Software-Praktikum für FortgeschritteneLeistungspunkte Dauer Turnus8 LP ein SemesterLehrform Praktikum 6SWS

Arbeitsaufwand240 h; davonmind. 25 h Präsenzstunden10 h Vorbereitung Vortrag

Verwendbarkeit

Lernziel Die Studierenden erlangen vertiefende Problemlösungskompetenz fürkomplexe Entwurfs- und Implementierungsaufgabenkönnen Problemanalyse- und Beschreibungstechniken klar darstellen,differenzieren und anwendenvertiefen Programmierkenntnisse in der jeweiligen für das Projekterforderlichen Programmiersprachesind in der Lage, das Projekt mit Hilfe einerSoftwareentwicklungsumgebung durchzuführen

Zusätzlich werden die projekttypischen Kompetenzen vertieft, insbesonderedas Arbeiten im Team (von bis zu drei Studierenden):Durchführung und Evaluation von Projekten und ihrer PhasenstrukturPlanung und Durchführung von Projekt- und Teamarbeit.Zu den zu trainierenden Softskills zählen somit insbesondereTeamfähigkeit, Verfeinerung von Präsentationstechniken, etwaigeErschließung wissenschaftlicher Literatur sowie eigenverantwortlichesArbeiten.

Inhalt Domänenkenntnisse abhängig von den DozentInnen; allgemeineLerninhalte sind:Vertiefung in die ProjektarbeitEigenständige Entwicklung von komplexer Software und derenDokumentation

VermittelteKompetenzenTeilnahme-Voraussetzungen

keine


keine

Prüfungs-modalitäten Bewertung der dokumentierte Software, des Projektberichts und desVortrag


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Ausgewählte Kapitel der Finanz- und Versicherungsmathematik

Code NameMFIN Ausgewählte Kapitel der Finanz- und VersicherungsmathematikLeistungspunkte Dauer Turnus2 LP 1 Semester unregelmäßigLehrformBlockveranstaltungwähren dervorlesungsfreien Zeit

Arbeitsaufwand60 h, davon:15 h Präsenz30 h Nacharbeiten, Hausaufgabenund Selbststudium15 hPrüfungsvorbereitung/Hausarbeit

VerwendbarkeitFachübergreifende Kompetenzen inBachelor und Master

Lernziel Grundlagen der Anwendung mathematischer Methoden und Konzepte inder Finanz- und Versicherungswirtschaft, Bedeutung der Mathematik fürdie Anwendungen, Verständnis für kaufmännische und rechtlicheRahmenbedingungen.

Inhalt Zu diesen Veranstaltungen lädt die Fakultät ausgewählte Dozenten ausdem staatlichen und privaten Finanz- und Versicherungssektor ein, die ausIhrer praktischen Erfahrung den Bezug zu Studieninhalten herstellen. Diekonkreten Inhalte der Veranstaltung richten sich dabei nach den Dozenten

Inhalte sind z. B. die mathematische Darstellung vonLebensversicherungen, versicherungsmathematische Bilanzgleichungen, dieMathematik hinter Geschäftsberichten, Risikoberechnung vonKapitalanlagen, risk management, Mathematik von Derivaten.

Zusätzlich zu den Anwendungen der Mathematik in ihren Bereichen gebendie Dozenten Einblicke in kaufmännische, rechtliche und politischeRahmenbedingungen.


Transfer von mathematischen Aussagen und Methoden auf Anwendungenaus der Finanz- und Versicherungswirtschaft.


Affinität zu mathematischen Formulierungen; Grundlagen derWahrscheinlichkeitsrechnung; Interesse an wirtschaftlichenZusammenhängen

Prüfungs-modalitäten Mündliche Prüfung oder eine Hausarbeit. Genaueres geben die Dozentenim Vorlesungsverzeichnis bekannt.


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Industriepraktikum

Code NameMPI IndustriepraktikumLeistungspunkte Dauer Turnus4-8 4 - 8 WochenLehrform Praktikummit Abschlussbericht

Arbeitsaufwand120-240 h, davon5-10 h Verfassung desAbschlussberichts

Verwendbarkeit

Lernziel Erfahrung von Anwendungen mathematischer Methoden und Konzepte inder industriellen, handwerklichen und kaufmännischen Praxis; Fähigkeit,mathematische Methoden auf konkrete Probleme anzuwenden; Fähigkeit,mathematische Sachverhalte auch Fachfremden kommunizieren zu können

Inhalt Der Inhalt wird zwischen Studierenden, dem Unternehmen, bei dem dasPraktikum geleistet wird und einem betreuenden Dozenten individuellvereinbart. Dazu wird vor Beginn des Praktikums ein Praktikumsplan mitInhalten und Zeitverlauf vereinbart und vom betreuenden Dozenten nachPrüfung bezüglich der Lernziele genehmigt. Die Studierenden fertigenwährend des Prakitkums einen Erfahrungsbericht im Umfang von 600 bis1000 Wörtern an, der nach dem Praktikum dem betreuenden Dozenten zurAbnahme vorgelegt wird. Der Bericht muss insbesondere den Bezug desPraktikums zum Studium widerspiegeln.

Zuweisung von Leistungspunkten: Für jede Woche Praktikum wird einLeistungspunkt vergeben, wobei das Praktikum mindestens 4 Wochendauern muss und nicht mehr als 8 Wochen anerkannt werden.

Hinweis: Studierende mit Interesse an einem Industriepraktikum solltenzunächst selbständig einen Praktikumsplatz finden. Dann wenden sich aneinen Dozenten ihrer Wahl und vereinbaren die Betreuung; die Aufgabendes Dozenten beschränken sich hierbei auf die Genehmigung desPraktikumsplans und die Abnahme des Berichts.


Team- und Kooperationsfähigkeit, Kommunikations- undTransferkompetenzen


Mindestens vier Pflichtmodule des Bachelorstudiengangs Mathematik;Angebot eines mit den Lernzielen verträglichen Praktikumsplatzes

NützlicheVorkenntnissePrüfungs-modalitäten Der betreuende Dozent bewertet den Bericht in Bezug auf die Lernziele

des Praktikums. Das Modul ist unbenotet und wird mit *bestanden* oder*nicht bestanden* bewertet.


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Tutorenschulung

Code NameMTUT TutorenschulungLeistungspunkte Dauer Turnus3 LP 1 Semester jährlich im WinterLehrform Blockkurs zuSemesterbeginn undeine Veranstaltung imSemester,

Arbeitsaufwand90 h, davon15 h Vorlesung/Seminar zuSemesterbeginn60 h Nachbereitung und Reflexion imSemester (davon ca. 6h Präsenz)15 h Abschlussbericht

Verwendbarkeitfachübergreifende Kompetenzen,Bachelor Mathematik, MasterMathematik, Master ScientificComputing

Lernziel Professionelles Handeln bei der Durchführung von Tutorien in Mathematik:effizientes und angemessenes Korrigieren von Hausaufgaben undKlausuren, Umgang mit Studierenden im Tutorium, Vortragstechniken undEinsatz verschiedener Medien

Inhalt Korrekturen: Ziele und Kennzeichen einer guten Hausaufgabenkorrektur,Diskussion von Bewertung undBewertungskriterien, Arbeitstechniken und Zeiteinteilung, Studentenkritikund Nachkorrektur.

Tutorium: Erwartungen der Dozierenden und der Studierenden, dasVorrechnenlassen, Umgang mit den Studierenden und mit Kritik,Vortragstechniken in der Kleingruppe, Nutzung von Medien wieTafel und Folien, Vorbereitung von Übungsstoff.

Erstsemestertutorien: Spezifische Aufgaben im ersten Semester, Beispielevon Aufgaben und Inhalten der Linearen Algebra I und der Analysis I,Umgang mit schwierigen Situationen, Studienabbrecher


Absolventen können ihre Rolle in Lehr- und Lernprozessen einschätzen undden Gegebenheiten anpassen, können verwendete Vortragstechnikenevaluieren und professionell mit Studierenden agieren, können ihreArbeitstechniken bei der Korrektur kritisch betrachten und auf Qualitätund Effizienz hin optimieren.

Teilnahme-VoraussetzungenNützlicheVorkenntnissePrüfungs-modalitäten Portfolio (Tagebuch) über die Selbstreflexion nach den Übungsstunden und

Abschlussbericht nach Anwendung des Gelernten in einem Tutorium. DerBericht sollte im Umfang zwischen 600 und 1000 Wörtern liegen und eineReflexion der Schulungsinhalte in Bezug auf das eigene Handeln imTutorium darstellen. Das Modul ist unbenotet und wird mit *bestanden*oder *nicht bestanden* bewertet.


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Documents

Modulhandbuch - mathematik.uni-heidelberg.de · Präambel QualitätszielederUniversitätHeidelberginStudiumundLehre