Modulo 1 Fisica 4

O. VON PAMEL S. MARCHISIO1

MODULO I

MECANICA CUANTICAPARTE I :

LAS EXPERIENCIAS CONFLICTIVAS

FISICA ELECTRONICA MODULO I2

INTRODUCCION

MECANICA CUANTICA

PARTE I : LAS EXPERIENCIAS CONFLICTIVAS

INTRODUCCION

Fsica Clsica y Fsica Cuntica

EXPERIENCIAS CONFLICTIVAS

Radiacin del cuerpo negro: un problema tecnolgicoLa radiacin del cuerpo negro y el cuanto de PlanckFormulacin de Rayleigh - JeansHiptesis de Planck

El efecto fotoelctricoEinstein y la interpretacin del efecto fotoelctricoLa radiacin electromagntica,... onda o corpsculo?

El Efecto ComptonExplicacin de ComptonAlgo ms a partir de Compton.....

Regularidades en los espectros atmicosEl lenguaje de los espectrosLas series espectrales del hidrgenoLas series espectrales: un enigma pendiente


Fsica Clsica y Fsica Cuntica La Fsica Clsica nos muestra el universo como anlogo a uninmenso mecanismo susceptible de ser descripto con absoluta precisinpor la localizacin de sus partes en el espacio y su modificacin en eldecurso del tiempo, mecanismo cuya evolucin, en principio puede serprevista con rigurosa exactitud cuando se posee cierto nmero de datosacerca de su estado inicial. Louis De Broglie

Qu implicancias tiene esta afirmacin del clebre fsico de nuestro siglo?

Supongamos un sistema fsico, por ejemplo, una partcula. En uninstante de tiempo t=to, se puede establecer el estado fsico del sistema. Esas como, en el contexto de la Fsica Clsica, podemos decir que la partcula,en un instante determinado tiene asociado un estado caracterizado por losvalores que asumen su velocidad, su momento lineal, su energa... Losvalores vo, po, Eo, por ejemplo, asociados al to. , van a definir lo quellamamos el estado del sistema en ese instante.

Del mismo modo, si conocemos el estado inicial, asociado al instanteto, la Fsica Clsica nos permite determinar con exactitud los valoresasumidos por las variables de estado en un instante t1 posterior, valores quese suceden con continuidad. As, la partcula caracterizada por (xo, po) ent=to y por (x1, p1) en t=t1, pasa por todos los valores intermedios de x y pentre to y t1.

Esta posibilidad de previsin rigurosa de los fenmenos futuros apartir de los fenmenos actuales, posibilidad que implica que el porvenir estcontenido en cierto modo en el presente y que no le aade nada, constituyelo que se ha dado en llamar el determinismo clsico.

Hasta aproximadamente el ao 1900, todos los fenmenos fsicosque se estudiaban podan describirse dentro del marco de la Fsica Clsica.En particular, para la comprensin de las propiedades electrnicas de losmateriales, las descripciones empleadas hasta entonces respondan aenfoques fenomenolgicos basados en observaciones experimentales. Lasleyes halladas en este campo de la Fsica fueron obtenidas a partir demagnitudes y de relaciones entre magnitudes de tipo macroscpicas.Ninguna hiptesis relativa a la estructura de la materia fue necesario realizarpara formular las ecuaciones que describan dichos fenmenos.

Esos resultados hallados empricamente conservan su campo deaplicacin, tal el caso de la ley de Ohm, las ecuaciones de Maxwell, cuandointervienen magnitudes tales como diferencias de potencial, intensidades decorriente, entre otras. Sin embargo, cuando se busca explicar fenmenos denaturaleza microscpica, tales como interacciones de tipo electrn- slido,por ejemplo, se ponen de manifiesto las limitaciones del enfoque clsico.Puesto que para la comprensin de la fsica de los electrones y de losdispositivos tecnolgicos asociados debemos encarar el estudio de la


materia a partir de su estructura, el enfoque clsico se nos presentainsuficiente.

Es en 1901, a raz de un hallazgo de Planck, que se inicia un grancambio en el campo de la Fsica. Esta es la poca en la que eran objeto deestudio en las comunidades cientficas, los fenmenos en los que lasradiaciones electromagnticas aparecan asociadas con la materia, tanto enmecanismos de emisin como de absorcin; poca en la que se buscaba, atravs del estudio de la estructura de la materia, dar explicacin a fenmenosexperimentales que no podan ser descriptos a travs de la Fsica Clsica.Podra afirmarse que existan, por entonces, una serie de problemas yexperiencias conflictivas que desafiaban a la comunidad cientfica. Entretodos ellos, podemos destacar: la radiacin del cuerpo negro, el efectofotoelctrico, el efecto Compton, los espectros de emisin y absorcin dedistintos gases

El anlisis y explicacin de estas experiencias, las queinvolucran mecanismos en los que entran en juego tanto laradiacin como la materia asociados a procesos deabsorcin o emisin, permitir comprender el modo en que,en las primeras dcadas de este siglo, se fuera generandoun nuevo modo de pensamiento, origen de la FsicaCuntica.

EXPERIENCIAS CONFLICTIVAS

Radiacin del cuerpo negro: un problema tecnolgico

Este problema est vinculado a la medicin ptica de temperaturas.

A principios de siglo, cuano se necesitaba medir una temperatura, seempleaban mtodos basados en la dilatometra , ya sea por el empleo de untermmetro , o la medicin a travs de la elongacin por dilatacin de unavarilla o de un fleje metlico. Estos mtodos se volvan problemticos o imposibles a temperaturaselevadas, fundamentalmente debido a la prdida de linealidad de laelongacin de los metales con la temperatura.

l = l - lo = T + T2 + ....... Un mtodo alternativo, ( slo vlido, en ese entonces, paratemperaturas elevadas), consista en observar el color de la luz emitida poruna sustancia u objeto que estuviera a alta temperatura.

De la experiencia se conocia que cuando se observaba un objetodentro de un horno, este objeto y las paredes internas del horno, ibanadquiriendo, a temperaturas mayores a 450 oC , un color rosado que, a


medida que la temperatura suba, se converta en rojizo, luego en rojo,posteriormente en amarillo, pasando al blanco amarillento y finalmente alblanco azulado.

Este fenmeno permita realizar una escala color - temperatura,logrndose por este mtodo una medicin aproximada de la tempratura.

Al estudio del modelo fsico - matemtico de este fenmeno, para lacomprensin de la correlacin color - temperatura, se lo conoce como elestudio de la radiacin del cuerpo negro.

La radiacin del cuerpo negro y el cuanto de Planck

El origen de la teora de los cuantos se encuentra en las investigacioneshechas hacia 1900 por Max Planck sobre la teora de la radiacin del cuerponegro.

En la naturaleza no existen estrictamente cuerpos negros. Este conceptofsico es una abstraccin terica construda como necesidad para el estudiode esos fenmenos asociados al comportamiento de los hornos. Tal como la partcula y el rayo luminoso , el cuerpo negro es, desde el punto devista del estudio fsico-matemtico, una representacin idealizada dedeterminados sistemas reales.

Desde una perspectiva cientfica.., qu es un cuerpo negro?

Para su definicin resulta conveniente revisar algunos conceptosvinculados con la radiacin del calor.

Podemos caracterizar la intensidad de la radiacin de calormediante el flujo de energa medido en vatios. El flujo deenerga emitido por la unidad de superficie del cuerpo emisor entodas direcciones, se denomina emitancia luminosa delcuerpo. Designamos esta magnitud con la letra U. La emitancialuminosa es una funcin de la temperatura.

Puesto que la radiacin se compone de ondas de diferentesfrecuencias , si quisiramos determinar el flujo de energaradiante emitido por un cuerpo a una determinada temperatura,UT , deberamos conocer su poder emisivo () a esatemperatura, para cada frecuencia, e integrarlo a lo largo detodo el espectro de frecuencias.

As, UT = 0 T d Por otra parte, si analizamos la absorcin por un cuerpo del flujode energa radiante provocado por ondas electromagnticas,veremos que del total incidente, una parte es absorbida por elmismo. La relacin entre la absorbida y la incidente es lo que se


denomina capacidad de absorcin del cuerpo, la cual es, aligual que el poder emisivo, una funcin de la temperatura y de lafrecuencia de la radiacin incidente. Por definicin, la capacidadde absorcin (), no puede ser mayor que la unidad.

Para el cuerpo que absorbe completamente la radiacin detodas las frecuencias que inciden sobre l, 1. Este cuerpo sedenomina cuerpo negro.

Una cavidad provista de un pequeo orificio se comporta como uncuerpo negro.

La radiacin que penetrahacia el interior a travs del orificio,antes de salir del mismo, sufre unareflexin repetida. Parte de laenerga es absorbida en cadareflexin, como resultado de lo cualtoda la radiacin de cualquierfrecuencia se absorbe en esacavidad.

Por esa misma razn, el interior de una habitacin en un da soleadoparece oscuro, al ser observado desde lejos a travs de una ventana abierta Un horno se comporta como un cuerpo negro. Cualquier radiacin quechoque contra el pequeo orificio de un horno tiene prcticamente ceroprobabilidades de ser reflejada en la direccin inversa. Adems la radiacinen el interior del horno est en equilibrio para cada temperatura y cualquierradiacin que proceda del orificio es caracterstica del cuerpo negro a esatemperatura.

Existe una relacin entre el poder emisivo y la capacidadde absorcin de cualquier cuerpo, fundamentada a travs delconcepto de equilibrio trmico: aquel cuerpo que emita msenerga, deber absorber ms.

Esta relacin expresa una ley establecida por Kirchoff: Larelacin entre el poder emisivo y la capacidad de absorcinno depende de la naturaleza del cuerpo, sino que paratodos los cuerpos es una misma funcin universal de lafrecuencia y de la temperatura.

(, T) / (, T) = (, T) El poder emisivo y la capacidad de absorcin pueden variarextraordinariamente al pasar de un cuerpo a otro; pero larelacin entre ellos ser igual para todos los cuerpos. Para el


cuerpo negro, (, T) 1 por definicin. Por consiguiente, dela relacin anterior, se infiere que la funcin universal de Kirchoff(, T) representa el poder emisivo del cuerpo negro terico.

Si mantenemos las paredes de la cavidad ( o del horno), a ciertatemperatura T, del orificio saldr una radiacin bastante cercana por sucomposicin espectral a la del cuerpo negro terico a esa mismatemperatura. Al descomponer esa radiacin en un espectro con ayuda deuna red de difraccin y medir la intensidad de las diferentes zonas del mismoen funcin de las longitudes de onda, puede determinarseexperimentalmente el aspecto de la (, T) y de su equivalente (, T).(Recurdese que y estn relacionadas por la velocidad de la luz como = 2 c/). A partir de estos resultados se han determinado varias relaciones.Las distintas curvas se refieren a diferentes valores de la temperatura T delcuerpo negro:

Es posible observar que el mximo del poder emisivo se desplaza hacia ellado de las ondas ms cortas al aumentar la temperatura. As, la longitudde onda a la cual se produce el mximo de las curvas, se desplaza haciael azul a medida que se aumenta la temperatura del horno. Estoconcuerda con la observacin comn que un horno caliente al blancoestar a mayor temperatura que uno al rojo. La ley experimental quedescribe este comportamiento fue hallada por Wien y expresa:

Ley de Wien : mx. T = cte.

A partir de las curvas, se derivatambin que:

el flujo de energa emitido por launidad de superficie del cuerpoemisor en todas las direccionesdentro de la cavidad, o emitancialuminosa, (rea bajo cada curvade la distribucin espectral),aumenta fuertemente con latemperatura.

Se formul entonces unasegunda relacin, la ley de Stefan -

Boltzmann, en un esfuerzo por describir estas curvas. Esta ley establece quela emitancia luminosa del cuerpo negro es proporcional a la cuarta potenciade la temperatura absoluta:

Ley de Stefan-Boltzmann : U 0 (, T) d() = . T 4

(,T ).1010 W/m3

4

3 2

1

1 2 3 (m) 2,36 1,18 0,59 .105(s-1)

2000 0K1790 0K

1600 0K


Donde se denomina constante de Stefan - Boltzmann, cuyo valorexperimental es 5,7. 10 -8 W / (m2.K4).

Formulacin de Rayleigh - Jeans

Las leyes de Stefan - Boltzmann y de Wien dan, sobre la composicin dela radiacin del cuerpo negro y sobre sus modificaciones en funcin de latemperatura, datos muy importantes que la experiencia ha verificadoperfectamente, pero no fijan de un modo completo la forma de la ley de lareparticin espectral. Inmediatamente result que no se poda avanzar noteniendo en cuenta ms que consideraciones termodinmicas, y que , paradeterminar completamente la forma de la ley de composicin espectral, habaque introducir hiptesis sobre la manera cmo la materia emite y absorbe laradiacin , y que haba por lo tanto que aventurarse en el terreno de lashiptesis atmicas abandonando el terreno ms slido de la Termodinmica.

Para ello se propusieron distintas relaciones, pero slo una, la formulacinde Rayleigh-Jeans, tena base terica.

En base a un razonamiento clsico, se reconoci que la radiacinproveniente del horno (cuerpo negro) era emitida por los tomos calientes delas paredes. En virtud de que se conoca que las cargas en oscilacin en unaantena o dipolo podran emitir radiacin electromagntica, esta hiptesis fuenatural. En particular se pens que los tomos podran tratarse como dipolososcilantes con diferentes frecuencias de oscilacin.

Al estudiar el equilibrio que se establece en un recinto isotermo comoconsecuencia de los intercambios de energa entre los osciladores y laradiacin ambiente segn los mtodos del Electromagnetismo Clsico, sepudo hallar una ley de reparticin espectral:

(, T) = cte.

2 . < > ;

siendo la cantidad < > la energa promedio del dipolooscilante igual a KT y calculada mediante la expresin:

0 . e- /KT d < > =

0 e- /KT d


. Tal como se puede observar enla figura, sta concuerdasatisfactoriamente con los datosexperimentales slo para longitudesde onda muy largas y divergeconsiderablemente del experimentopara longitudes de onda cortas. Larelacin seala que la curva deberaaumentar sin lmite a medida que se hace ms pequea. Vimos, sinembargo, que la curva experimentalalcanza un mximo en algn valorde y a continuacin disminuyehacia cero a medida que disminuye.

Esta falla de la ley de Rayleigh - Jeans a longitudes de onda corta sedenomin catstrofe ultravioleta , en virtud de que la falla ocurre en laslongitudes de onda ultravioletas y ms cortas. La densidad total de la energade la radiacin del cuerpo negro obtenido en base a la ley de Rayleighdebera ser infinita a toda temperatura.

Sin embargo, desde el punto de vista clsico, la deduccin de la frmulade Rayleigh - Jeans es irreprochable. Por esta razn, la divergencia de estafrmula del experimento indica la existencia de regularidades incompatiblescon las concepciones de la Fsica Clsica.

Hiptesis de Planck

Uno de los fsicos que estaba trabajando en la bsqueda de un marcoterico explicativo para la radiacin del cuerpo negro fue Max Planck. Yahaba desarrollado una relacin emprica que describa con xito lainformacin experimental de la curva de la distribucin espectral de laenerga de la radiacin del cuerpo negro. Examinando los resultados de la leyde Rayleigh, Planck pudo advertir que la inexactitud proceda del papeldemasiado importante que desempean en la imagen csica de losintercambios de energa entre los osciladores atmicos y la radiacin, lososciladores de alta frecuencia. Esto era lo que conduca al crecimientomontono de la densidad espectral con la frecuencia, la llamada catstrofeultravioleta.

Con el objeto de restringir el papel de los osciladores de alta frecuencia,Planck introdujo en su descripcin un elemento extrao a las concepcionesclsicas. Postul que la materia no puede emitir energa radiante ms quepor cantidades finitas (cuantos de energa) proporcionales a lafrecuencia de la radiacin. De este modo resulta:

cuanto de energa = h .

( ,2000 0K ) .1011 W/m3

10

8

6

4

2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 m

formula deRayleigh-Jeans


Si la radiacin se emite en porciones , su energa deber ser mltiplode esa magnitud. La energa emitida por los osciladores atmicos comoradiacin electromagntica puede tomar entonces slo ciertos valorespermitidos: 0, 1 , 2

, 3 , y as sucesivamente.

Genricamente: n = n. = n. h. ; con n = 0, 1, 2, ....

A partir de los datos experimentales Planck calcul el factor deproporcionalidad, h, de valor 6.64. 1034 J / s, conocido actualmente comoconstante de Planck.

Poniendo en juego esta hiptesis de la cuantificacin de la energa delos osciladores atmicos, Planck encontr una ley de reparticin espectral dela radiacin del cuerpo negro que reproduce la curva experimental.

(, T) = cte. 2 . < >

siendo la cantidad < > la energa promedio de lososciladores atmicos, ahora de un valor diferente del KTque resultaba en la frmula de Rayleigh. A partir de estahiptesis de cuantizacin de la energa de los osciladores,en el clculo de la Planck reemplaza la expresin:

0 . e- /KT d 0 n.o e- n.o/KT = por: =

0 e- /KT d 0 o e- n.o/KT En estado de equilibrio, la distribucin de las oscilacionespor valores de energa debe cumplir tambin con la ley deBoltzmann, pero en el clculo de la < >, al considerarslo los valores permitidos de las energas proporcionales ala frecuencia de la radiacin (hiptesis de cuantizacin dePlanck), la < > resulta ahora:

h . = ; con = e h . / KT - 1 2

(en vez del resultado de Rayleigh: = KT)

Por lo que : (, T) = cte. 3. h

e h . / 2KT

- 1


La frmula final obtenida acuerda con las leyes termodinmicas deStefan y del desplazamiento de Wien ya analizadas. Por el contrario, nocoincide con la frmula de Rayleigh nada ms que para las frecuenciasdbiles y las altas temperaturas. En este caso, puesto que el exponente eh./2KT

se puede hacer aproximadamente igual a 1+ h./2KT, la < > queresulta de la hiptesis de cuantizacin de la energa de Planck se aproxima aKT. En ese rango, los intercambios energticos entre materia y radiacinponen en juego un gran nmero de los pequeos granos de energa; todosucede entonces sensiblemente como si estos intercambios se hiciesen deuna manera continua por lo que los razonamientos clsicos conducen arsultados bastante aproximados.

Por el contrario, para altas frecuencias y bajas temperaturas, losintercambios de energas ponen en juego un reducido nmero de grandesgranos de energa, por lo que las discrepancias con el razonamiento clsicose hacen evidentes.

El trabajo de Planck sobre esta materia fue publicado en 1900. Fuebastante radical para la mayora de los fsicos de la poca. En un intento porsalvaguardar la naturaleza continua de la radiacin de acuerdo con la teorade las ondas electromagnticas que se apoyaba sobre innumerablesverificaciones, el mismo Planck sostuvo por un tiempo que la materia seracapaz de acumular de una manera continua una parte de la energa radianteque cayera sobre ella, pero no poda emitirla ms que por cantidades finitas.Esto no pudo ser defendido por mucho tiempo.

En 1905, Eintein mostr que el concepto cuntico de Planck poda seraplicado a un fenmeno proveniente de un campo diferente de la Fsica,pero que involucraba la absorcin de radiacin electromagntica por lamateria: el efecto fotoelctrico.

El efecto fotoelctrico

Otro conjunto de resultados experimentales sin explicacin en elcomienzo de este siglo se relacionba con el efecto fotoelctrico. Sedenomin efecto fotoelctrico a la emisin de electrones por unasustancia bajo la accin de la luz. Este efecto se observa de la siguientemanera:

Se encierran doselectrodos metlicos en untubo de vidrio, como semuestra en la figura.

Se vaca todo el aire desu interior y se conecta eltubo en serie con unabatera y con ungalvanmetro sensible,segn se indica.

Luz Tubo de vidrio al vacio

Placas G


Claro est, no fluir corriente en el circuito en virtud de que las dospiezas de metal en el tubo no se tocan, por lo que el circuito est abierto. Laresistencia de esta porcin del circuito es infinita.

Sin embargo, si se ilumina una de las superficies metlicas, llamadaplaca, con una luz de longitud de onda suficientemente corta, fluye unacorriente estacionaria en el circuito. Obviamente, esta corriente estsustentada por los electrones emitidos por la placa bajo la accin de la luz,los que se desplazan a lo largo del tubo hacia el colector positivo, cerrando elcircuito.

Distintas observaciones experimentales de este fenmeno permitenestablecer que:

existe una determinada longitud de onda llamada longitud de ondacrtica (c) que es caracterstica para cada metal. Unicamentelongitudes de onda ms cortas que la c pueden causar este efecto.

independientemente de lo dbil que sea el haz de luz, para cualquierc, har quelos electrones abandonen la placa nicamente despus que sta hayasido calentada al rojo.

aunque el nmero de electrones emitidos por la placa (intensidad de lacorriente) es proporcional a la intensidad del haz luminoso, las energascinticas de los electrones emitidos no dependen de la intensidadluminosa.

la determinacin experimental de la energa cintica mxima de loselectrones emitidos (K), para una misma placa, bajo la accin de la luz dediferentes longitudes de onda (diferentes frecuencias), permite obteneruna ley matemtica que expresa:

K = A. B siendo: A y B constantes y = c / , con c = velocidad de la luz

Si la misma experiencia serepite para disintos materiales de laplaca, es posible obtener una familiade curvas de la energa en funcin dela frecuencia que resultanrepresentaciones de rectas deidntica pendiente y diferenteordenada al origen. Ntese laexistencia de una frecuencia mnimao umbral (u). Esta se vincula con c, siendo u= c /c De estos resultados

E m1 m2 m3

Cs K Na

u1 u2 u3 h 1

2


experimentales podemos inferir la caracterstica esencial del efectofotoelctrico:

La energa cintica de los electrones emitidos esnicamente funcin de la frecuencia de la radiacinincidente y no depende de modo alguno de su intensidad.

Einstein y la interpretacin del efecto fotoelctrico

La interpretacin terica del mecanismo que desemboca en laliberacin de los llamados fotoelectrones no resultaba satisfactoria a partir delas concepciones clsicas.

La teora ondulatoria de la luz, apoyada sobre bases inquebrantableshacia 1900, conduce a considerar la energa radiante como repartidauniformemente en la onda luminosa. Un electrn golpeado por una ondaluminosa recibe la energa radiante de un modo continuo, por lo que lacantidad de energa que recibe el electrn por segundo es proporcional a laintensidad de la onda incidente y no depende de la longitud de onda.

Einstein tuvo en 1905 la idea notable de que las leyes del efectofotoelctrico indican la existencia de una estructura discontinua de laluz. As generaliz los resultados de Planck a fin de obtener un modelo de laluz:

Planck consider que un oscilador podra variar su energa perdiendo oganando cuantos de magnitud h , donde es la frecuencia natural deloscilador .

Einstein postul entonces que cuando un oscilador pierde un cuantode energa h, el oscilador emite un pulso de luz o fotn quetransporta una cantidad de energa h , siendo la frecuencia de la luzemitida la misma .

A partir de considerar a la luz como un haz de fotones donde cadafotn transporta un cuanto de energa, Einstein interpret las leyes delefecto fotoelctrico.

Cuando la luz choca contra una superficie, los fotones chocan contra loselectrones encerrados en el material. Si se requiere realizar un trabajo paraarrancar un electrn del material, los cuantos de luz deben tener por lomenos esa cantidad de energa. La cantidad se denomina funcintrabajo del material. Esto explica el c , la longitud de onda crtica (y lafrecuencia umbral u ) para la emisin de electrones, en forma bastantenatural.


Si los fotones tienen una energa tal que h > , entonces losfotones sern capaces de liberar electrones. de otra manera no fluircorriente. Por lo tanto tenemos:

u = / h o lo que es lo mismo: c = hc / De este modo, la medicin de la longitud de onda crtica deberapermitirnos determinar la funcin trabajo del material.

A cualquier longitud de onda u) ,cada fotntendr suficiente energa para liberar un electrn . Esta energa adicionalaparecer como energa cintica del electrn emitido. Considerandonicamente los electrones emitidos con mayor rapidez (mayor energacintica), tenemos que la energa del fotn incidente es igual al trabajoque debe realizar el electrn para liberarse del material, sumado a laenerga cintica del electrn una vez emitido.

Esto es: h = + Kde donde podemos obtener la expresin terica o ecuacinfotoelctrica de la energa cintica en funcin de la frecuencia dela luz incidente y as poder comparar con la ley conocida a partirde las experiencias. As:

ecuacin fotoelctrica terica K = h

ley emprica K = A B

La comparacin de estas dos expresiones muestra que sonde forma idntica . En efecto, por medicin se sabe que laconstante experimental A es exactamente igual a h , como sepredice en la ecuacin fotoelctrica. Por lo tanto, la teora deEinstein del efecto fotoelctrico es un xito completo.

La radiacin electromagntica,... onda o corpsculo?

Ni la teora de la radiacin del cuerpo negro de Planck ni la teorafotoelctrica de Einstein seran muy aceptables si se consideraranseparadas. Cada una hace una suposicin concerniente a los cuantos deenerga radiante contraria a la forma en que se consider en esa poca elcomportamiento de los objetos de laboratorio y la luz. El hecho de que enambas teoras se haga uso de estos mismos conceptos, y la mismaconstante fsica para lograr explicaciones para dos fenmenoscompletamente diferentes, hace sospechar que estas teoras y los nuevosconceptos tienen validez. Desde esa poca se han acumulado otras pruebas,y los fsicos reconocen que la radiacin electromagntica, cuano interactacon la materia, se comporta como cuantos o fotones, con energa h . Esto,claro est, no invalida nuestras ideas anteriores concerniente a la forma en


que la luz se desplaza en el espacio, en virtud de que la naturaleza cunticade la luz no es evidente excepto cuando choca con la materia. Sumovimiento a travs del espacio evidentemente es igual al de las ondas ypuede describirse de mejor manera en trminos de ondas. A partir de los cuantos de luz de Einstein es imposible describir la luz y laradiacin electromagntica en la forma que describiramos una casa o unasilla. En el caso de la radiacin electromagntica debemos conformarnos condescribirla en trminos de lo que sta hace, en trminos de sucomportamiento.

Sabemos que la luz sufre difraccin e interferencia y, por lo tanto, aparececomo una onda bajo las circunstancias en que estos fenmenos se ponen demanifiesto. Es decir, la radiacin electromagntica puede describirseadecuadamente, por lo que se refiere a su movimiento a travs delespacio en trminos de onda.

Sin embargo, cuando la radiacin interacta con la materia de maneratal que provoque una transferencia de energa de la materia a laradiacin, o viceversa, se requiere una descripcin en trminos decuantos de energa o de fotones.

Una imagen puramente corpuscular de la radiacin no permite definir unafrecuencia, una longitud de onda, es decir, magnitudes relevantes en unadescripcin ondulatoria y cuyos valores pueden ser deducidos de losfenmenos de interferencia y difraccin. Y es precisamente a travs del usode esas magnitudes que Einstein define la energa del fotn: fotn = h. .La constante de Planck, por otra parte, aparece vinculando, a modo depuente, el aspecto ondulatorio de la luz (), bien conocido despus deFresnel, y el corpuscular (fotn, cuanto, corpsculo), revelado por eldescubrimiento del efecto fotoelctrico.

De todo esto concluimos que, conceptualmente:

la radiacin electromagntica se considera mejor como unmedio diferente de transporte de energa, que poseepropiedades peculiares. Estas propiedades son en parte lasde las partculas cunticas y en parte, los de ondas.

El Efecto Compton

Las propiedades corpusculares de la luz se manifiestan con ms claridaden un fenmeno asociado a la dispersin de la radiacin que recibi elnombre de efecto Compton.

Se sabe que, si una radiacin golpea un cuerpo material, una parte de laenerga de esta radiacin es dispersada en todas direcciones en forma deradiacin difusa. La teora electromagntica interpreta esta dispersindiciendo que, bajo la influencia del campo elctrico de la onda incidente, los


electrones contenidos en el cuerpo material, entran en vibracin forzada y seconvierten en fuentes de pequeas ondas esfricas secundarias quedispersan as en todas las direcciones una parte de la energa aportada porla onda primaria. Segn esta interpretacin, la vibracin dispersada bajo laaccin de una onda primaria monocromtica (de frecuencia p), debe tenerexactamente la misma frecuencia que esta onda primaria; por ende, loesperable en este caso sera: d = p.

Durante mucho tiempo, esta teora, asentada sobre la base delcomportamiento ondulatorio de la radiacin, se mostr satisfactoria para lainterpretacin de las experiencias de dispersin realizadas.

Un estudio ms preciso de la dispersin de los rayos X por diversosmateriales, realizado por Compton, puso de manifiesto en 1923, un efecto noobservado anteriormente.

Esto es:

adems de la dispersin sincambio de frecuencia previstapor la teora electromagntica, seproduce otra dispersin defrecuencia menor,completamente imposible deprever por el razonamientoclsico.

Esquema del experimento deCompton.

Explicacin de Compton

Esta figura muestra losresultados tpicos de la dispersinencontrados por Compton.

El hecho esencialobservado por Compton es que:

la radiacin dispersada defrecuencia menor a la de laincidente, tiene una frecuenciavariable con el ngulo dedispersin, pero independiente dela naturaleza del material.

Compton y Debye interpretaron elfenmeno asimilando la dispersin con cambio de frecuencia a un choque

haz incidente de rayos X grafito

rayos X dispersados

= 00

= 450

= 900

=1350

(A0)


elstico entre un fotn incidente y un electrn contenido en la materiaenlazado dbilmente con los tomos.

Su teora se desarrolla apoyndose sobre los teoremas de la conservacinde la energa y de la cantidad de movimiento en la colisin.

En el momento del choque hay cambiosde energa y cantidad de movimiento entre elfotn y el electrn. Como la frecuencia delfotn es proporcional a su energa, haydisminucin de la frecuencia (prdida deenerga del fotn) en el momento del choque.

En la figura, esta radiacin dispersada est caracterizada por unalongitud de onda mayor que la de la incidente.

Esta experiencia puso entonces en evidencia que: el fotn es pues uncorpsculo, al que no slo se le puede caracterizar con un valor deenerga, sino que adems, como partcula, es capaz de transferircantidad de movimiento.

Pero, cul es la cantidad de movimiento de esta partcula que,como radiacin, se desplaza a la velocidad de la luz c ?

Como partcula relativista:

energa = m.c2

p = / c y cantidad de movimiento p = m.c

Por otra parte:

No debemos olvidar los atributos de partcula y de onda con que, apartir de Einstein caracterizamos a la radiacin al interactuar con lamateria.

Recordemos que:

energa del fotn = h.

Puesto que, como vimos: p = / c

Podemos calcular:

cantidad de movimiento del fotn p = h. / c

o, lo que es lo mismo: pfotn = h /

dispersado h/

P de los electrones

incidente h/


Veamos entonces cmo Compton plante las ecuaciones a partir de lasleyes de conservacin de la energa y de la cantidad de movimiento para elsistema de las dos partculas antes y despus del choque.

cantidad de movimiento:

antes despus

Segn el eje x : pax = h/ = h/ cos + m.vx = pdxy en el eje y : pay = 0 = h/ sen m.vy = pdy

siendo la longitud de onda despus de la dispersin y m la masadel electrn.

energa

antes despus

Ea = h.c/ = h.c/ + m.vx2 + m.vy2 = Ed 2

Con estas ecuaciones se puede despejar en funcin de :

= + h . (1- cos ) m.c

Obsrvese que en esta ecuacin de Compton se predice que = cuando = 0. Por otra parte, a medida que aumenta, lalongitud de onda de la radiacin dispersada tambin aumenta,tal como se observ en la experiencia, pudindose reproducirlos valores experimentales.

La interpretacin de la otra porcin de la radiacin dispersada, aqullacuya longitud de onda no cambia, es la siguiente. En el estudio precedenteconsideramos al electrn levemente ligado, esto es cierto para los electronesms externos de los tomos. No debemos olvidar a los electrones mscercanos al ncleo, para los cuales, la energa de la radiacin encidente noes suficiente, por lo que dichos electrones no pueden ser dislocados deltomo y no pueden dar energa adicional.

El fotn acta entonces como si chocara contra un objeto masivo: eltomo como un todo. Si la ecuacin de Compton se aplicara , la masa delelectrn debera ser reemplazada por la masa del tomo, algo as como20.000 veces mayor que la masa del electrn. Como resultado, y sonesencialmente idnticas para estos fotones dispersados.


Algo ms a partir de Compton.....

Un anlisis ms profundo de estos resultados nos lleva a considerar que:el efecto Compton plantea conceptualmente la necesidad de unainterpretacin probabilstica de la mecnica Cuntica.

La experiencia realizada por Compton involucra a sistemas de electrones,no a electrones tomados aisladamente. No se puede predecir para qu ladoser dispersado tal o cual electrn, pero s se tiene una sistemtica (ver lasgrficas de la distribucin de los electrones dispersados a distintos ngulos),cuando el nmero de electrones es grande. Por lo que: la teoradesarrollada por Compton y Debye no permite predecir cmoevoluciona un electrn, pero s, cmo se comportan, en promedio, unnmero grande de electrones.

Regularidades en los espectros atmicos

Adems de la radiacin del cuerpo negro y del efecto fotoelctrico, lasparticularidades observadas en los espectros producidos por varioselementos qumicos era otro fenmeno que requera explicacin de partede los fsicos a comienzos del siglo XX.

Un mtodo experimental empleado frecuentemente a comienzos de siglopara analizar la composicin de distintos elementos de la naturalezaconsista en examinar la luz emitida por los mismos en ciertas condiciones deexcitacin trmica o elctrica. Lo que se buscaba era la obtencin deespectros de emisin; para ello, se dispersaba dicha luz a travs de unprisma.

El lenguaje de los espectros Un espectro se obtiene a partir de la siguiente disposicin experimental.

Podemos, por ejemplo, examinar la luz producida por el filamentocaliente de un tubo incandescente. En ese caso el espectro aparecer comouna banda luminosa continua integrada por los colores del arco iris. A stese lo denomina espectro continuo y es caracterstico de la radiacinemitida por un cuerpo slido incandescente.

lampara de prisma pantalla descarga

diafragma

espectro gaseoso


Tambin podemos obtener un espectro a partir de una muestra dehidrgeno gaseoso u otro gas a bajas presiones, confinado en un tubo devidrio e inducido a emitir luz, por ejemplo, por calentamiento. Si examinamosdicha luz con un prisma, no observamos un espectro continuo, sino unespectro de emisin de lneas, conformado por unas pocas, separadaslneas de color. En este caso, la fuente no est emitiendo radiacin de todaslas longitudes de onda (colores), sino de ciertas y determinadas longitudesde onda. Ms an, si se investiga un tipo diferente de gas, por ejemplo, helio,se puede encontrar que el espectro de lneas es diferente.

Cada tipo de gas tiene su propio y nico espectro de lneas.

Cada patrn correspondiente a un gas determinado se constitua en su huella digital . Esto permiti el inicio del desarrollo de una importante ramade la Fsica que se llama anlisis espectral.

A travs de la determinacin y comparacin de espectros gaseosos fueposible durante mucho tiempo a los cientficos identificar sustancias en laatmsfera y estudiar la composicin de las estrellas. Asimismo el desarrollode la espectroscopa experimental condujo al descubrimiento y clasificacinde un nmero incalculable de lneas caractersticas para los distintos gases.

En un principio, no era evidente que existieran regularidades empricas enestos espectros y ms an, ningn avance satisfactorio se haba realizadoen el intento por encontrar un mecanismo fsico con el cual explicar estecomportamiento de los gases cuando eran sometidos a algn modo deexcitacin.

Las series espectrales del hidrgeno

Sin embargo, el estudio de los espectros atmicos sirvi de llave para lacomprensin de la estructura de los tomos. Ante todo, se advirti que laslneas de los espectros atmicos no estn en desorden, sino que seanan en grupos o series de lneas. Esto se observ ms claramente en elespectro del tomo ms simple, el hidrgeno.

En 1885 J. Balmer public unartculo titulado Nota relativa a laslneas espectrales del hidrgeno .Haba encontrado una relacinemprica entre las longitudes deonda de la serie de lneas deemisin del hidrgeno en la reginvisible y ultravioleta cercana atravs de la siguiente frmula:

= 0 n2 Frmula de Balmer n2 - 22

H H H H H

6562.8 0A 4861.3 0A4340.5 0A

4101.7 0A


donde 0 es una constante; n un nmero entero distinto para cadalnea. En particular, n deba ser igual a 3 para la primera lnea (roja); n = 4para la segunda (verde); n = 5 para la tercera (azul); y n = 6 para la cuarta(violeta). Su xito residi en el excelente acuerdo entre los valores calculados porsu frmula y medidas anteriores realizadas por Armstrong de las mismascuatro longitudes de onda. Asimismo, asign a n el valor 7 para otrahipottica lnea. Predijo de este modo la longitud de onda de una lneaperteneciente al espectro del hidrgeno existente en la regin ultravioleta.

Balmer tambin admiti la posibilidad de que existiesen otras series delhidrgeno hasta entonces desconocidas, y que las longitudes de onda de laslneas en ellas se obtuviesen reemplazando el 22, en el denominador de suecuacin por 12, 32, 42, y as sucesivamente.

Si inclumos en la ecuacin de Balmer todas estas consideraciones,y la expresamos en trminos de la inversa de la longitud de onda,nos queda:

1 = R ( 1 - 1 ) frmula generalizada m2 n2 de Balmer

la que, para diferentes valores de m y de n fue corroboradaexperimentalmente, dando lugar a las llamadas series:

de Lyman : m = 1 ; n = 2, 3, 4, ...

de Pashen: m = 3 ; n = 4, 5, 6 ,...

de Brackett: m = 4 ; n = 5, 6, 7,....

de Pfund: m = 5 ; n = 6, 7, 8, ...

En esta frmula generalizada de Balmer para las series delhidrgeno, R es la denominada constante de Rydberg. Su valor,redondeado hasta las milsimas, a partir de una determinacinexperimental es:

R = 109737,309 + 0,012 cm -1

Las series espectrales: un enigma pendiente

Aunque la frmula de Balmer no sirviese directamente para la descripcinde los espectros de otros gases distintos del hidrgeno, inspir frmulasanlogas y sirvi de base para vislumbrar algn orden en otros espectros,an ms complejos. La constante de Rydberg tambin estaba presente en


estas nuevas frmulas empricas. Esto haca cada vez ms evidente laexistencia de un mismo mecanismo fsico bsico detrs de la granvariedad de observaciones espectroscpicas. Haba que descubrirlo paracomprender el espectro de los gases en lugar de describirlos en trminos defrmulas experimentales.

Sin embargo, para la solucin del enigma haba que reunir otros elementosy ahondar en el conocimiento de la estructura de la materia. Haca falta unmodelo de tomo.


MODULO II

MECANICA CUANTICA:

LA ECUACION DE SCHROEDINGER

FISICA ELECTRONICA MODULO II2

HACIA EL CONOCIMIENTO DE LA ESTRUCTURA ATOMICA

Contenidos

HACIA EL CONOCIMIENTO DE LA ESTRUCTURA ATOMICA

El tomo de ThomsonLa experiencia de Lenard

El origen del tomo nuclear: RutherfordLimitaciones del modelo de Rutherford

El modelo de Bohr del tomo de hidrgenoLimitaciones del modelo de Bohr

Hiptesis de De Broglie: el electrn como ondaEl experimento de Davisson - Germer

La ecuacin de Schroedinger

A partir de la dualidad onda - corpsculo del electrn


El tomo de Thomson

Una de las cuestiones fundamentales sin respuesta an en 1900 serelacionaba con la estructura de los tomos. La carga y la masa del electrnse conocieron en forma aproximada, as como tambin las masas de losdiferentes tomos, juntamente con las estimaciones de los qumicos delnmero de electrones de cada uno.

En virtud de que las masas de los tomos son del orden de 103veces mayores que la masa de los electrones en ellos, y como el tomo eselctricamente neutro, en 1900 se crea que la mayor porcin de la masatomica llevaba una carga positiva.

El modelo ms ampliamente aceptado de estructura atmica en 1900era el modelo de Thomson.

En ste se consideraba el tomo prcticamente como un globofludo positivamente cargado de un dimetro aproximado de 10-10 m, en elque los electrones se hallaban embebidos. Se crea que la densidad de laesfera era razonablemente uniforme. Debido a esta mezcla ntima de cargapositiva y negativa dentro del tomo, todas las porciones del tomo eran casielctricamente neutras.

Cualquier modelo de tomo que se propusiera por entonces debapoder explicar los espectros atmicos. En base a su modelo, Thomson pudodar cuenta de la emisin de luz por los tomos en base a suponer que,cualquier modo de excitacin de los mismos deba imprimir movimiento a suscargas constitutivas.

Segn la teora de Maxwell, los electrones oscilando respecto de suposicin de equilibrio dentro del globo fludo positivo producira la emisin deradiacin electromagntica. Sin embargo, ni este modelo ni otros que sepropusieron por entonces poda explicar la emisin de luz en las frecuenciasdiscretas y especficas de las series espectrales, tal como aparecen en lafrmula de Balmer del hidrgeno.

La experiencia de Lenard

El modelo atmico de Thomson fue sometido a prueba seriamentepor Lenard en 1903.

Dispar un haz de electrones a travs de una delgada hoja de metaly midi las propiedades de los electrones que podan atravesar una hoja.Segn el modelo de Thomson, la situacin podra describirse como semuestra en la figura.


Las pelculas utilizadas porLenard eran realmente varias capas demiles de tomos de espesor, yconsecuentemente sus hojas eran enrealidad ms gruesas que la mostrada.

Puesto que segn el modelo deThomson, los tomos eran pequeasesferas de densidad prcticamenteuniforme, Lenard esperaba que el hazde electrones perdiera gran cantidad

de su energa a medida que pasara a travs de la hoja.Su experimento mostr resultados bastantes diferentes.

Podemos sintetizar el aporte de Lenard:

la mayor parte de los electrones que eran disparados contra lahoja pasaban en lnea recta, sin ser desviados. De este modoconcluy que el modelo de Thomson del tomo era incorrecto.

propuso en su lugar que el tomo consiste de agregados muypequeos de carga positiva y negativa. La porcin mayoritariadel este modelo de tomo era espacio vaco ocupado por unoscuantos electrones que flotaban en l.

El origen del tomo nuclear: Rutherford

Los experimentos como el desarrollado por Lenard, ms bienrudimentarios, inspiraron a E. Rutherford y colaboradores para disear yllevar a cabo investigaciones ms precisas. Las mediciones ms completasde este tipo fueron llevadas a cabo por Geiger y Marsden en el laboratoriode Rutherford en 1911. Sus experimentos difirieron en varios aspectos delde Lenard.

Utilizaron partculas emitidas por varios materiales radiactivos envez de electrones como partculas de bombardeo. Rutherford y suscolaboradores haban mostrado previamente que las partculas sonncleos de helio de gran energa.

Estas partculas, de una masa aproximadamente 2.000 veces mayorque la de los electrones, no deberan ser desviadas notablemente porcolisiones con los electrones. Era esperable que su desvo o dispersin fueradebida a la acumulacin de pequeas dispersiones causadas por lossucesivos choques con los electrones.

hoja metalica

electrones


Como blanco utilizaron una delgada hoja de oro. El oro tiene ventajassobre otros materiales: se forja con facilidad en hojas muy delgadas.

diagrama del experimento de Geiger-Marsden

El emisor de partculas radiactivas fue blindado con plomo, y slose permita emerger una porcin de las partculas como un haz angosto.Este haz incida sobre la hoja de metal. Como detector de las partculas , seutiliz una pequea pantalla fluorescente. Cuando una partcula chocabacontra la pantalla, se produca un pulso de luz. (Esto es similar a la accinfluorescente de la pantalla de TV que produce luz cuando los electroneschocan contra l). Colocando la pantalla a diferentes ngulos con relacin alhaz directo, se poda contar con el nmero de partculas dispersadas adiferentes ngulos.

Los resultados de Geiger y Marsden confirmaron las medicionesllevadas a cabo por Lenard .

Algunas de las partculas eran reflectadas casi en lnea rectahacia atrs, indicando que habanchocado de frente con un objetomasivo.

Estos resultados indicaronclaramente que: la mayor porcinde la masa del tomo estbastante concentrada en unafraccin muy pequea delvolumen del tomo.

Por otra parte, investigaciones muy detalladas mostraron claramenteque la eleccin del metal no afectaba la mayor dispersin de las partculas .

Este fue el origen del concepto moderno del tomo nuclear:

el tomo consistente de un ncleo de dimensiones del orden 10-14

m de dimetro, que contiene casi toda la masa del tomo,excepto en lo que se refiere a la masa de sus electrones.

material haz de luz ojo radiactivo particulas

escudo de plomo hoja de oro pantallafluorescente

amplificador

Particulas

+


el ncleo tambin contiene una carga positiva Ze, donde Z es elnmero atmico del elemento y e es la carga elctrica, 1.60 x 10-19C. Dispersados a travs de la regin exterior del ncleo dentro deuna esfera 10-10 m de dimetro, se encuentran los Z electronesdel tomo.

puesto que la relacin entre el radio del ncleo y el radio del tomoes aproximadamente 10-5, la mayor porcin del tomo es espaciovaco.

Aunque estos argumentos cualitativos indicaron que deberamosaceptar un modelo nuclear para el tomo, el conocimiento cientfico requierealgo ms que conclusiones basadas exclusivamente en razonamientoscualitativos. La comunidad cientfica prefiere deferir la aceptacin de unmodelo hasta que pueda mostrarse que un estudio matemtico del modeloconduce a una prediccin cuantitativa de los resultados experimentales.

Por esta razn, deba desarrollarse una teora cuantitativa paradispersin de las partculas por el tomo para poder comparar suspredicciones con los resultados experimentales ya conocidos. La teoracuantitativa para esta situacin fue proporcionada por primera vez porE.Rutherford, dando fuerza a su modelo.

Limitaciones del modelo de Rutherford

En sntesis, el modelo atmico de Rutherford era un modeloplanetario:

el tomo estaba formado por un ncleo cargado positivamenterodeado por una nube de electrones orbitando a su alrededor enmovimiento circular con velocidad constante.

En el tomo planetario la fuerza deatraccin coulombiana es la que proporciona lafuerza centrpeta para ese movimiento. Por lotanto, los electrones estn acelerados.

De acuerdo con la teoraelectromagntica clsica, el electrn orbital debapor ello radiar continuamente, lo cual explicaba laemisin de luz por los tomos. Obviamente, esta

emisin de luz no era discreta.Adems, si la luz es emitida por el electrn en su movimiento

peridico, el principio de conservacin de la energa exige que la radiacinemitida origine una disminucin en la energa del electrn.

v

- e

r

+ e


En el modelo de Rutherford, la energa resultaba funcin del radioorbital. Por lo tanto, el electrn radiante se ira moviendo segn unaespiral hacia el ncleo y colapsara. Este modelo es autodestructivo.

El modelo de Bohr del tomo de hidrgeno

Conociendo los xitos y fracasos del modelo de Rutherford, NielsBohr se dispuso a reconciliar la idea del tomo planetario con laevidencia experimental de su estabilidad y de las precisiones empricasde Balmer acerca de los espectros gaseosos. Es as como para elaborarsu modelo, presentado en 1913, tom elementos del modelo deRutherford e introdujo algunos conceptos cunticos de Planck yEinstein. Por esa poca, las primeras hiptesis cunticas ya haban dadosus frutos en la explicacin de la radiacin del cuerpo negro y el efectofotoelctrico.

El mayor xito de Bohr fue da explicacin al espectro deemisin del hidrgeno.

Veamos las caractersticas bsicas de su modelo a travs de susPostulados:

el tomo es un pequeo sistema solar con un ncleo en elcentro y electrones movindose alrededor del ncleo enrbitas bien definidas. El ncleo hace las veces de sol y loselectrones, de los planetas. La interaccin es coulombiana.Para el tomo de hidrgeno:

F coul. = F cent.

e2 = m.v2

4..0.r2 r

donde m es la masa del electrn; 0 permisividad del vaco y e lacarga elctrica.

La energa cintica del electrn puede escribirse a partir de ellocomo:

energa cintica del e- : m.v2 = e2 2 8. .. 0. r.

Las rbitas estn cuantizadas o seleccionadas. Esto es, loselectrones pueden estar slo en ciertas rbitas. Cada rbitapermitida tiene una energa asociada a ella, de modo que ala rbita ms externa le corresponde energa mayor. Los


electrones no radan energa ,- no emiten luz-, mientras seencuentran en esas rbitas estables.

Llamemos a los radios de las rbitas estables de Bohr r1, r2,etc. Un electrn que se mueve en tal rbita tiene tanto energacintica como energa potencial elctrica.

En una posicin del electrn distantedel ncleo en un valor r, podemos escribir:

energa potencial del e- :

e .V = e2 . 4. . 0. r

Por lo tanto la energa total del electrncuando se encuentra en la rbita de radio r4 sepuede escribir como:

Etotal = Ecinet. + Epot.

Er4 = e2 e2 8. .. 0. r4 4. . 0. r4

Resolviendo, resulta:

Er4 = e2 8. .. 0. r4

Del mismo modo para una rbita r5 resulta:

Er5 = e2 8. .. 0. r5

A medida que el electrn se acerca al ncleo, r disminuir y laenerga de los electrones tambin.

Los electrones pueden saltar desde una rbita permitida aotra. Si el electrn lo hace desde una de menor energa aotra mayor, debe ganar una cantidad de energa,- absorberun cuanto de energa radiante,- igual a la diferencia deenerga asociada en cada rbita. Si pasa de una energamayor a otra de menor valor, el electrn debe perder lacorrespondiente cantidad de energa radiada como cuantode luz.

De este modo, si consideramos una transicin del electrndesde la rbita de radio r5 a la de radio r4 podemos escribir:

Er5 Er4 = h. 5--4

e h


siendo en este caso h. 5--4 igual al cuanto de energa emitidocomo radiacin por el tomo de hidrgeno.

Si reemplazamos por las expresiones ya presentadas nos queda:

h. 5--4 = e2 + e2 8. .. 0. r5 8. .. 0. r4

o lo que es lo mismo:

h. 5--4 = e2 ( 1/ r4 1/ r5 ) 8. .. 0.

Esta relacin se puede expresar en trminos de la inversa dela longitud de onda.

Para ello empleamos la relacin ya vista: = c/ y dividimospor el producto h.c. De este modo:

1/ 5-4 = e2 . ( 1/ r4 1/ r5 ) 8. .. 0. h.c.

hallado a travs del modelo terico del tomo de Bohr

Tenemos as una relacin para la longitud de onda de la luzemitida en una transicin o salto del electrn entre las rbitas n=5 yn =4, de radios r5 y r4 respectivamente, hallado a travs delmodelo terico del tomo de Bohr.

Es posible contrastarla con la informacin experimental. SiBohr estuviera en lo cierto, la longitud de onda as calculadadebera ser emitida por los tomos de hidrgeno. La informacinest en los espectros, en las determinaciones con base emprica delas lneas correspondientes al hidrgeno.

Recordemos la frmula de Balmer:

1 = R ( 1 - 1 ) frmula generalizada m2 n2 de Balmer

con m y n enteros, siendo m < n

Existe sorprendente semejanza entre ambas. Bohr encontr quepoda hacer coincidir su forma exactamente si se cumpla:

seleccin de las rbitas m.vn.rn = n. h


por cuantizacin del momento 2angular del electrn

siendo: n un nmero entero diferente para cada rbita;

vn la velocidad del electrn en la rbita; rn el radio correspondiente a n.

Reemplazando rn y utilizando la expresin de la energa cinticadel electrn para eliminar vn , se puede obtener en nuestratransicin de la rbita 5 a la rbita 4:

1/ 5-4 = e4 . m . ( 1 1 ) 0.

2 h3.c.

42 52

Esta expresin de la inversa de la longitud de ondacorrespondiente a la transicin que venimos analizando, calculadaa partir de la teora de Bohr, coincide con la expresin experimentalo frmula de Balmer si hacemos m = 4 y n =5.

El clculo de la constante: e4 . m

0.2 h3.c.

concuerda dentro del error experimental con la constante deRydberg ; representada por R en la frmula de Balmer.

Limitaciones del modelo de Bohr

La teora del tomo de hidrgeno de Bohr es satisfactoria paraobtener un modelo fsico que conduzca a los resultados experimentalesobservados en el caso de la luz emitida por los tomos de hidrgeno.

Tambin es notable en tanto proporciona una base para el carctercuntico de la luz. El fotn es emitido por el tomo cuando el electrn cae deuna rbita a otra; es entonces un pulso de energa radiada.

Sin embargo, la teora tiene un gran inconveniente. Bohr no pudoproporcionar alguna razn para explicar la existencia de las rbitasestables y para la condicin de seleccin de las mismas.

Bohr encontr por prueba y error que la condicin decuantizacin del momento angular del electrn en unidades h./ 2 dabael resultado correcto.


La condicin es muy similar a la de un estudiante que conoce larespuesta a un problema y a continuacin la obtiene por un mtodo que nopuede justificar. Nadie se siente muy feliz en esa situacin.

Hiptesis de De Broglie: el electrn como onda

El primer intento fructfero para justificar la relacin encontrada porBohr para la seleccin de las rbitas estables fue realizado por Louis DeBroglie en 1923. Tena slo 31 aos y ese trabajo constituy su tesisdoctoral.

De Broglie introdujo la idea de que los electrones deban, aligual que la radiacin electromagntica, poseer una propiedadde dualidad onda - partcula. En otras palabras, el sugiri,basndose en la reciprocidad general de las leyes fsicas, lanaturaleza ondulatoria de los electrones.

Vincul la longitud de onda de un electrn (onda) y elmomento p de una partcula mediante la constante de Planck enuna relacin anloga a la del fotn:

De Broglie = h / m.v

Dado que h es un nmero muy pequeo, electrn de De Brogliees pequea; por lo que las propiedades ondulatorias del electrnslo se manifiestan en los niveles atmicos y subatmicos.

En base a esta hiptesis, De Broglie razon que:

dado que un electrn orbitando acta como onda, su tiene que estar relacionada con la circunferencia de surbita.

el electrn deba ser una onda que se interfiere a s misma.Slo si la interferencia de la onda es constructiva(resonancia), puede la rbita electrnica mantenerseestable.

La rbita en este caso no es posible puesto quela onda interfiere en forma destructiva sobre smisma.


Veamos lo que se obtiene de este razonamiento:

La circunferencia de la rbita del electrn onda debe igualarexactamente De B ; 2. De B ; 3. De B ; etc. Si r es el radio de la

rbita circular, la longitud de la circunferencia es 2..r.

Podemos escribir por lo tanto:

2..r. = ; 2; 3 ; etc.;

en general:

2..r. = n. ; con n entero

Esto define slo algunos posibles valores para el radiode la circunferencia. Asimismo, este anlisis conduce alos valores permitidos de momento angular del electrn. Enefecto:

Puesto que

= h / m.v ,

la circunferencia tiene valores:

2..r. = h / m.v ; 2 .h / m.v ; 3. h / m.v ; etc.

por lo que a partir de la hiptesis de De Broglie el momentoangular del electrn es:

m.v.r = h./ 2 ; 2. h./ 2 ; 3. h./ 2 ; etc.

En forma general: m.v.r = n. h./ 2

El experimento de Davisson - Germer

La existencia de las ondas de De Broglie fue escasamente msatractivo que el simple enunciado de Bohr acerca de la existencia de lasrbitas permitidas.

Pero en 1927 se encontr una prueba experimental quefavoreci la existencia de estas ondas y esta prueba fue de talnaturaleza que result concluyente.

Davisson y Germer estaban investigando la dispersin de un hazde electrones por medio de un cristal de metal (nquel)


esquemadel experimentode Davisson yGermer

La experiencia consista en lo siguiente:

A un haz de electrones se le da una energa conocida. Se acelera alos electrones a travs de un diferencia de potencial V. Davisson y Germerefectuaron mediciones del nmero de electrones dispersados por el cristal denquel sobre el que hacan incidir el haz.

El resultado inesperado fue que los electrones se dispersaban engran cantidad a determinados ngulos especiales y a otros no.

Esto dio origen a nuevas experiencias empleando cristalesadecuadamente orientados. Buscaban ver si era posible aplicar la ley deBragg. Los resultados fueron contundentes:

la dispersin del haz de electrones por un cristal poda compararse alos fenmenos de difraccin e interferencia luminosa mediante unared.

los electrones se reflejaban de la misma manera que deban serreflejadas las ondas de De Broglie; por lo tanto se concluy que loselectrones tienen propiedades ondulatorias.

Se pueden comparar los patrones de intensidad de los electrones alser dispersados por un cristal (experiencia de Davisson- Germer) con losgenerados cuando una luz pasa a travs de una rendija.

Patrn de intensidad distancia para el fenmeno de interferncia.

Interferencia de ondas luminosas

V

fu en te d e c r is ta l e lec tr on es

d e te c to r

x

onda

intensidad y x

onda

intensidad


Patrn de intensidad obtenidocon electrones

La ecuacin de Schroedinger

Desarrollando las ideas de De Broglie sobre las propiedadesondulatorias de la materia, E. Schroedinger obtuvo, en el ao 1926 (antesde la experiencia de Davisson y Germer), su clebre ecuacin. El compar el movimiento de una micropartcula con una funcincompleja de la posicin y el tiempo, a la cual denomin funcin de onda ydesign como funcin (psi).

La funcin de onda caracteriza el estado de la micropartcula. Laexpresin para se obtiene de la solucin de la ecuacin de Schroedinger,expresada como:

- h2 2 + U = i.h. ecuacin de Schroedinger 82m 2 t

aqu: m es la masa de la partcula; i la unidad imaginaria; 2 eloperador de Laplace, el resultado de la accin del cual sobre cierta funcin,es la suma de las segundas derivadas parciales por las coordenadas.

2 = 2 + 2 + 2 x2 y2 z2

con la letra U en la ecuacin de Schroedinger se designa una funcinde las coordenadas y el tiempo, cuyo gradiente tomado con signo inversodefine la fuerza que acta sobre la partcula. En el caso que la funcin Uno dependa directamente del tiempo, la misma tiene el sentido deenerga potencial de la partcula.

x

intensidad

haz deelectrones


De la ecuacin de Schroedinger se deriva que la forma de la funcin est definida por la funcin U; o sea, por el carcter de las fuerzas queactan sobre la partcula.

La ecuacin de Schroedinger es la ecuacin fundamental de lamecnica cuntica no relativista. La misma no puede ser deducida deoreas relaciones. Debe ser considerada como el punto de partidafundamental, cuya justeza se demuestra por el hecho de que todas lasconsecuencias que se derivan de la misma concuerdan con los datosexperimentales.

Cmo estableci Schroedinger su ecuacin?

Parti de una analoga ptico-mecnica que consiste en lasimilitud de las ecuaciones que describen el recorrido de los rayoslumnicos y las ecuaciones que describen la trayectoria de laspartculas en la mecnica analtica. En ptica, el recorrido de losrayos satisface el principio de Fermat; en mecnica, la forma de latrayectoria satisface el llamado principio de la accin mnima.

Ecuacin de Schroedinger cuando la funcin U es independiente deltiempo

Si el campo de fuerzas en el cual se mueve una partcula esestacionario, la funcin U no depende explcitamente del tiempo y representala energa potencial. En ese caso, la ecuacin de Schroedinger sedescompone en dos factores; uno de los cuales depende slo de lascoordenadas y el otro, slo del tiempo:

(x, y, z, t) = ( x, y, z ). e -i..t

si consideramos la relacin entre la energa E de la partcula y lafrecuencia angular :

E = h. / 2

el factor dependiente del tiempo toma la forma:

e -i..t = e-i(2 E/h)t

Por lo que podemos escribir:

(x, y, z, t) = ( x, y, z ). e-i(2 E/h)t

Si colocamos esta expresin en la ecuacin de Schroedinger nosqueda:

- h2 . e-i(2 E/h)t .2 + U . e-i(2 E/h)t = i. h. (-i. 2 E) e-i(2 E/h)t


. 82m 2 h

Simplificando la expresin nos queda la ecuacin diferencial quedefine la funcin :

ecuacin de Schroedinger - h2 2 + U = E para estados estacionarios 82m

Esta ltima expresin de la ecuacin se Schroedingerfrecuentemente toma la forma:

2 = - 82m / h2 . ( E - U ).

Revisemos los pasos generales de acceso que se siguen cuando seutiliza la ecuacin de Schroedinger en la mecnica cuntica en un campoestacionario..

Por tratarse de un campo estacionario, la energa de la partcula semantiene constante. Sustituimos U por la energa potencial de la partculaen funcin de las coordenadas x, y, z, y se resuelve la ecuacin para .

La intensidad de la onda se encuentra haciendo 2. En los casos en que es un nmero complejo, la intensidad se calcula multiplicndola por sucomplejo conjugado.

Interpretamos que la intensidad es proporcional al nmero departculas que e encuentran en el punto en consideracin. Si tenemosnada ms una partcula en vez de un grupo o haz de partculas, laintensidad ser proporcional al nmero de veces que encontramos lapartcula en el punto dado si determinamos su posicin en un grannmero de observaciones independientes.

A partir de la dualidad onda - corpsculo del electrn

cmo podemos representar al electrn con propiedades departcula - onda? Las propiedades de los electrones pueden ser descriptas en forma

general por la funcin de onda (psi), la cual, como vimos, es funcindel tiempo y del espacio. Tomemos, por ejemplo una funcin sencillageneral, de tipo armnica.(Recordemos que cualquier otra forma de onda,


puede ser descompuesta por Fourier en ondas armnicas de diferentefrecuencia)

= sen ( k.x - .t)

siendo k = 2../ el nmero de onda y = 2.. . la frecuencia angular

Esta funcin de onda no es representacin de ninguna onda oentidad fsica. Debe ser entendida solamente como una descripcinmatemtica que nos permite analizar el comportamiento del electrnen forma conveniente.

La dualidad onda -partcula puede ser comprendida mejorsuponiendo que el electrn puede ser representado por unacombinacin de trenes de onda de diferentes frecuencias entre y + ; y diferentes nmeros de onda entre k y k + k .

Podemos estudiar esto, suponiendo al principio slo dos ondas.

1 = sen ( k.x - .t) y 2 = sen [ ( k + k).x - ( + ) t]

La superposicin de ambas da como resultado una nueva funcin :

= 1 + 2 = 2.cos.( .t - k. x ) . sen [ ( k + k).x - ( + ) t] 2 2 2 2

Esta expresin describe una onda senoidal, de frecuencia intermediaentre y + , con una amplitud levemente modulada por una funcincoseno.

De este modo podemos distinguir lo que se llama un paquete de onda

Analicemos ms detalladamente la superposicin de ondas.

vg

x

vf

x

ondamodulacin de la

amplitud

paquete de ondas


Supongamos que y k fueran idnticos para las dos ondas (equivalea = k = 0). En este caso, se obtiene un paquete de ondainfinitamente largo, una onda monocromtica. Esto se correspondera conla imagen ondulatoria del electrn. No nos indica nada acerca del lugardonde se encuentra la partcula.

y k muy grandes. Esto nos llevara a obtener paquetes de ondapequeos. Si adems consideramos un nmero grande de diferentesondas en vez de dos, barriendo frecuencias entre y ( + ), seobtiene un nico paquete de onda. El electrn quedara asrepresentado como partcula.

Debemos distinguir diferentes velocidades

La velocidad de la onda material (de De Broglie) es la llamada velocidadde la onda o velocidad de fase v. Como hemos visto la onda materiales una onda monocromtica (o un chorro de partculas de igualvelocidad, cuya frecuencia, longitud de onda, momento o energa puedenser determinados con exactitud).La ubicacin de las partculas, sinembargo, est indeterminada, puesto que se extiende entre - y+ .

Mencionamos tambin que una partcula puede ser entendida comocompuesta de un grupo de ondas o paquete de ondas . Cada ondaindividual tiene una frecuencia levemente diferente entre los valores y( + ). En forma apropiada , a la velocidad de una partcula se la llamavelocidad de grupo vg . La envolvente propaga con la velocidad degrupo; es la velocidad de la partcula en movimiento. La ubicacin de

v = vf

A x

vg

x


una partcula puede ser conocida en forma precisa, mientras, sufrecuencia no.

Esto nos conduce al Principio de incertidumbre de Heisemberg

A partir de De Broglie, la aceptacin de esta descripcin de laspartculas atmicas nos lleva a aceptar este principio asombroso implcito enella, que es adems un hecho de la Mecnica Cuntica:

Si el momento de una partcula se conoce conprecisin, entonces su posicin es desconocida. Sila posicin de una partcula se conoce con precisin,entonces su momento es desconocido. Se puedeexpresar simblicamente:

( px ) . ( x ) h / 2

De esta relacin inferimos que la posicin y el momento de unapartcula nica no se pueden conocer simultneamente con exactitud.

En base al mismo razonamiento podemos llegar a unasegunda relacin de incertidumbre que implica a laenerga de una partcula y al tiempo en el cual obtuvoesa energa. Se expresa como:

( E ) . ( t ) h / 2

Si el concepto de onda de De Broglie de las partculas es cierto,entonces, las relaciones de incertidumbre son ciertas. En ltimo anlisis,stas son consideraciones experimentales, no tericas. En realidad no seha podido hasta la fecha imaginar un experimento que contradiga elprincipio de incertidumbre.

El anlisis experimental revela que esta incertidumbre surgebsicamente debido a la naturaleza ondulatoria de los fotones y de lamateria:

la incertidumbre de la medida de p, -lo mismo que de lamedida de x- , en la expresin

( px ) . ( x ) h / 2

no es debida a un descuido del observador o a undeficiente equipo experimental ; se trata de algo inherente a lanaturaleza de los fenmenos.


Esto mismo puede decirse en relacin con el par depropiedades energa y tiempo.

Como consecuencia de ello, a partir de Heisemberg se vio lanecesidad de abandonar el concepto clsico de rbita. Por otra parte sedemostr que , en un experimento ilustrativo de las caractersticasondulatorias de la luz era imposible , observar sus propiedadescorpusculares; y viceversa. Adems, la Fsica Cuntica incorpora unresultado nuevo y muy importante en lo experimental:

En el contexto de la Fsica Cuntica toda observacinmodifica lo observado.

En particular, si queremos observar un rbol o un edificio, se requiereque stos estn iluminados, para lo cual es necesario contar con unextraordinariamente grande nmero de fotones; pero este hecho no provocaalteracin apreciable en lo observado.

En cambio, en el orden microscpico, con el objeto de observar unapartcula, sta debe ser golpeada por un fotn de alta energa. Es necesarioen este caso considerar que el momento de la partcula debe cambiardurante el proceso de observacin.

Se puede verificar que an el experimento mejor elaborado no puedeviolar la relacin de incertidumbre de Heisemberg. Es por ello, que ennuestro recorrido hacia la bsqueda del conocimiento en el mundomicroscpico de la materia, nuestra capacidad para conocer el estadoexacto de una partcula est limitado por las relaciones deincertidumbre, insospechadas en el contexto de la Fsica Clsica, eincluidas en el marco de la Fsica Cuntica.


MODULO III

MECNICA CUNTICAPARTE III

Modelos de potencial

Objetivos:A travs del desarrollo del presente mdulo se pretenden

lograr tres objetivos fundamentales :1- introducir modelos de potencial simples

que ilustren los principales fenmenos que sepresentan en la Mecnica Cuntica.

2- mostrar cmo se calcula mediante laecuacin de Schroedinger

3- generar capacidad de modelar y deinterpretar modelos

FSICA ELECTRNICA MODULO III2

Modelos de potencial.

Un mtodo de anlisis a partir del clculo de la funcin de onda

Como hemos visto en el marco del trabajo de Schroedinger, lafuncin de onda no tiene interpretacin fsica real, debiendo ser entendidacomo una descripcin matemtica que nos permite analizar elcomportamiento de los electrones en los tomos de una maneraconveniente.

Desde un punto de vista prctico, podemos considerar entonces a como una magnitud intermedia cuyo conocimiento nos permitir calcularalgunas otras magnitudes, reales stas, que s tienen una interpretacinfsica, aunque de orden estadstico. Por otra parte, la forma de dicha funcinquedar definida por la forma de la funcin potencial U que se considere.

Para conocer esas magnitudes y resolver as problemas queinvolucren comportamientos cunticos de la materia, es necesario plantearla representacin de la funcin potencial ms aproximada a la situacinconcreta en estudio. Es decir, se requiere trabajar con modelos de potencialrepresentados matemticamente por la funcin U de la ecuacin deSchroedinger, que contendr la informacin caracterstica en cada caso.

Es as como a travs de una seleccin adecuada de la funcinpotencial podremos modelar el tomo, una barra de metal, la unin de dosmetales, un slido cristalino, el efecto de un campo elctrico sobre unmaterial, etc. Asimismo, y de acuerdo con la situacin a modelar, lospotenciales a considerar sern diferentes. Segn su tipo, stos pueden serexpresados en coordenadas cartesianas ortogonales, en coordenadasradiales, etc.

A modo de ejemplo, si queremos modelar un tomo, podemossuponer en principio al electrn encerrado en una caja de potencialcuadrada; un modelo mejor resultara de considerar un potencial central deltipo - e2/r , aunque este tipo de potencial hace ms dificultosa la resolucinde la ecuacin de Schroedinger.

A lo largo de este mdulo nos proponemos analizar slo potencialessimples; stos, no obstante, con menor o mayor aproximacin, modelarnsituaciones que se nos presentan habitualmente en el estudio de losmateriales. De todos los casos propuestos, resolveremos con detalleaqullos que consideramos ms formativos para los objetivos de este curso;de los restantes, desarrollaremos el modelo y expondremos las soluciones ylos principales resultados que de ellas se desprenden.

Concretamente estudiaremos distintos potenciales de tipocartesiano, crecientes en complejidad,


desde: la casilla de potencial unidimensional

hasta : el potencial peridico de un cristal

para finalizar estudiando:

el potencial central de tipo electrosttico, o lo que es lo mismo, larepresentacin del tomo de hidrgeno.

Resolucin de la ecuacin de Schrodinger para un electrnen una casilla de potencial unidimensional

La resolucin de la ecuacin de Schrodinger en problemasatmicos y moleculares es muy dificultosa, y se escapa de los alcances deeste curso.

Sin embargo, para comprender el carcter de los resultados delestudio mecnico cuntico del tomo, que se realizar mas adelante , valela pena examinar la resolucin de la ecuacin de Schrodinger en un casosimple.

Resolvamos primero un modelo imaginario llamado casilla de potencial.

En este modelo imaginaremos el tomo como si fuera un cubo, en elcual se encuentran encerrados los electrones. Este sera un caso en el quela funcin potencial ha de ser expresada en trminos de tres dimensiones,las que se corresponderan con tres aristas perpendiculares entre s delcubo considerado.

Puesto que en la representacin aproximada del tomo aislado noconsideramos una direccin privilegiada para la funcin potencial, podemosencarar su resolucin a partir de considerar un modelo unidimensional.

As, resolveremos primeramente la ecuacin para un potencialunidimensional.

En este modelo, el electrn puede moverse solamente en unadireccin, por ejemplo, en el eje x, en el intervalo definido por las cotas (x=0;x = a ). (ver figura)

2 2 2 - 8 2 m------ - + - - - - - -- + --- ---- = - ---------- ( E -U ) 2 x 2 y 2 z h 2


casilla de potencialunidimensional

En los lmites del intervalo, la energa potencial U del electrn esconstante y por comodidad, la tomaremos igual a cero. Fuera de los lmitesdel intervalo, la energa potencial se vuelve infinitamente grande, estosignifica que el electrn no puede salir del intervalo 0


Sustituyendo por su valor en la ecuacin de Schrodinger se puedenhallar los valores de la energa E:

n2h2 En = ---------- donde n = 1 , 2 , 3 , ....... 8ma2

Habiendo obtenido los valores de n y de En hemos resuelto laecuacin de Schroedinger para la casilla de potencial unidimensional.Slo falta hallar la constante A. Para ello recordemos que: a

0 2 x = 1 _____

de donde, reemplazando se obtiene A = 2/a

Resulta importante reflexionar acerca de estos resultados.

Ante todo debemos sealar la gran diferencia entre las imgenescuntica y clsica del problema.

Imagen cuntica

La energa asumedeterminados valores discretos

Imagen clsica

La energa asume cualquiervalor

E = n2

16 n=4

En = n E1 con n 0

9 n =3 h2 E1 = ------- 8ma2

4 n =2

1 n =1

0 n =0

E

La energa asume

valores continuos.


Representaciones de la funcin de onda y de la probabilidad segn lasimgenes cuntica (izquierda) y clsica (derecha)

Casilla de potencial tridimensional

De la solucin de la ecuacin de Schroedinger obtenida para lacasilla de potencial unidimensional se hace comprensible la existencia de unconjunto discreto de niveles energticos del electrn en el tomo.

Con el fin de aclarar otras particularidades de la estructuraelectrnica es conveniente estudiar el movimiento de los electrones en unacasilla de potencial tridimensional.

En este problema elelectrn esta confinado en un cubode arista a, el origen decoordenadas se fija en uno de losngulos del cubo.

La energa potencial de lapartcula en el interior de la casillaes constante.( por simplicidadigual a cero). Fuera de ella poseeuna magnitud infinitamentegrande.

La probabilidad de encontrara la partcula vara en elintervalo

La probabilidad de encontrara la partcula es igual en todo elintervalo

n(x) 32

3

2 2

2

12 1

0 a x

(x)

2 = cte. = cte.

z

a

a y a

x


Por esto ltimo, el electrn no puede salir de la casilla bajo ningunacircunstancia.

Como en e

Documents

Modulo 1 Fisica 4