MODULO 1_4 spanisch_libro_komplett.pdf

8/17/2019 MODULO 1_4 spanisch_libro_komplett.pdf

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Colaboradores en la elaboración y aprobación del concepto conjunto

de eseñanza:

Technische Universität Chemnitz, Institut für Werkzeugmaschinen und

Produktionsprozesse, Deutschland – Projektleitung

Corvinus Universität Budapest, Institut für Informationstechnologien, Ungarn

Universität Stockholm, Institut für Soziologie, Schweden

Technische Universität Wroclaw, Institut für Produktionstechnik und

Automatisierung, Polen

Henschke Consulting Dresden, Deutschland

Christian Stöhr Unternehmensberatung, Deutschland

Neugebauer und Partner OHG Dresden, Deutschland

Korff Isomatic sp.z.o.o. Wroclaw, Polen

Euroregionale Industrie- und Handelskammer Jelenia Gora, Polen

Dunaferr Metallwerke Dunajvaros, Ungarn Knorr-Bremse Kft. Kecskemet, Ungarn

Nationales Institut für berufliche Bildung Budapest, Ungarn

IMH, Spanien

VUT Brno, Tschechische Republik

CICmargune, Spanien

University of Naples, Italien

Unis, Tschechische Republik

Blumenbecker, Tschechische Republik

Tower Automotive, Italien

Bildungs-Werkstatt gGmbH, Deutschland

VEMAS, Deutschland

Concepto conjunto de enseñanza:

Libro de texto, libro de ejercicios y libro de soluciones

Módulo 1-8: Fundamentos / Competencia intercultural y administración de proyectos /

Técnica de fluidos / Accionamiento y mandos eléctricos / Componentes mecatrónicos /

Sistemas y funciones de la mecatrónica / La puesta en marcha, seguridad y teleservicio /

Mantenimiento y diagnóstico

Módulo 9-12: Prototipado Rápido/ Robótica/ Migración Europea/ Interfaces

Todos los módulos están disponibles en los siguientes idiomas: Alemán, Inglés,

español, italiano, polaco, checo, húngaro

Más InformaciónDr.-Ing. Andreas Hirsch

Technische Universität Chemnitz

Reichenhainer Straße 70, 09107 Chemnitz, Deutschland

Tel: + 49(0)371 531-23500

Fax: + 49(0)371 531-23509

Email: [email protected]

Internet: www.tu-chemnitz.de/mb/WerkzMasch oder www.minos-mechatronic.eu


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Mecatrónica

Módulo 1: Fundamentos

Libro de Texto(Concepto)

Matthias Römer

Universidad Técnica de Chemnitz, Alemania

Proyecto ampliado de transferencia del concepto europeo para lacalificación agregada de la Mecatrónica las fuerzas especializadas en laproducción industrial globalizada

Proyecto EU Nr. 2005-146319 „MINOS“, Plazo: 2005 hasta 2007Proyecto EU Nr. DE/08/LLP-LdV/TOI/147110 „MINOS**“,Plazo: 2008 hasta 2010

El presente proyecto ha sido financiado con el apoyode la Comisión Europea. Esta publicación(comunicación) es responsabilidad exclusiva de suautor. La Comisión no es responsable del uso quepueda hacerse da la información aquí difundida.

www.minos-mechatronic.eu


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Fundamentos

3

Minos

1 Matemática técnica

1.1 Reglas aritméticas

1.2 Cálculo con fracciones

1.3 Operaciones aritméticas avanzadas

1.4 Números binarios

1.4.1 Números binarios en el ordenador

1.5 Cálculo con variables

1.6 Cálculo porcentual

1.6.1 Cálculo de intereses

1.7 Geometría

1.7.1 Ángulos

1.7.2 Cuadriláteros

1.7.3 Triángulos

1.7.4 Funciones trigonométricas

1.7.5 Círculo

1.7.6 Cuerpos

2 Ingeniería física

2.1 Fundamentos de la física

2.1.1 Magnitudes y unidades físicas

2.1.2 Ecuaciones físicas

2.2 Fuerza

2.2.1 Suma de fuerzas

2.2.2 División de fuerzas

2.3 Momento de rotación

6

6

9

19

21

23

24

25

27

27

29

31

36

37

13

34

39

39

39

41

42

43

47

48

Índice


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Fundamentos

5

Minos

3. Dibujo técnico

3.1 Fundamentos del dibujo técnico

3.1.1 El dibujo técnico como medio de comunicación de la técnica

3.1.2 Tipos de planos

3.1.3 Formato de papel

3.1.4 Campos de escritura y lista de piezas

3.1.5 Escalas

3.2 Representaciones de planos 3.2.1 Vistas

3.2.2 Tipos y espesores de linea

3.2.3 Acotamientos

3.3 Inscripciones de medidas en dibujos

3.3.1 Lineas de medida, lineas adicionales y cotas

3.3.2 Peculiaridades de la medición

3.4 Acabados de supercies

3.4.1 Mención de las características de la supercie en el dibujo

3.5 Tolerancia de forma y posición

3.5.1 Tolerancias dimensionales

3.5.2 Ajustes

3.6 Dibujo técnico e informática

3.6.1 CAD

3.6.2 Máquinas de control numérico

89

91

113

115

86

86

86

87

103

101

99

98

98

96

95

94

94

93

113

111

108

104


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Fundamentos

6

Minos

1.1 Reglas aritméticas

1 Matemática técnica

Las operaciones básicas de la Aritmética son: la adición, la sustracción,la multiplicación y la división.

En la adición se suman los números. En la sustracción, la operacióninversa a la adición, se van restando. Estas dos operaciones se deno-minan de suma y resta debido a los signos + y – .

Multiplicar es hacer algo repetidas veces mayor. La división, la operacióninversa a la multiplicación, consiste en separar un número en partesiguales. Estas operaciones se denominan así porque constan de uno ode dos puntos, y tienen prioridad a las de suma y resta, por lo que deben

calcularse con anterioridad.

En el orden de operaciones la multiplicación y la división preceden a lasuma y a la resta.

Multiplicar dos números consiste en sumar reiteradamente el primero. Así,3 + 3 + 3 + 3 tiene el mismo resultado que 4 • 3. En algunas publicacio -nes se utiliza también el signo * en lugar del punto para la multiplicación.

La potencia es el resultado de multiplicar un número por sí mismo variasveces. Así, 3 • 3 • 3 • 3 tiene el mismo resultado que 34.

Las potencias tienen prioridad sobre la multiplicación y división. Por esodeben calcularse anteriormente.

El cálculo de las potencias preceden a la multiplicación y división.

El cálculo de paréntesis tiene el nivel de prioridad más alto.

En primer lugar se resuelven siempre los paréntesis.3 + 5 = 8

12 – 5 = 7

3 · 5 = 15

20 : 4 = 5

4 + 2 · 3 = 4 + 6 = 10

(4 + 2) · 3 = 6 · 3 = 18

Importante

Importante

Importante

Ejemplo


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Fundamentos

7

Minos

Las operaciones sencillas se pueden calcular mentalmente. Sin embargo,se usa muchas veces la calculadora. Es importante tener en cuenta quemuchas calculadoras simples realizan las operaciones por separado unatras de otra. Otras calculadoras dan la posibilidad de calcular fórmulascompletas. Se puede introducir la fórmula y así la calculadora tiene encuenta las prioridades de cálculo. Sin embargo, de nosotros dependecumplir las reglas matemáticas. Si se usa una calculadora ajena es mejorcomprobar primero si obedece ciertas reglas.

¡Solucione el ejercicio número 1 del libro de ejercicios!

En la sustracción el segundo valor puede ser mayor que el primero.El resultado es un número negativo, que tiene un menos como signo.Normalmente el signo más puede suprimirse. Para evitar que un signode cálculo esté detrás de un signo algebraico, se pone el número con elsigno algebraico en paréntesis.

En la suma y en la resta, cuando dos son iguales, se convierten en un+, y si son diferentes, cambian a un -. Así se calcula cada paréntesis deforma individual

8 – 14 = – 6

4 + ( + 5 ) = 4 + 5 = 9

4 – ( – 5 ) = 4 + 5 = 9

5 – ( + 4 ) = 5 – 4 = 1

5 + ( – 4 ) = 5 – 4 = 1


Cuando hay más sumandos entre paréntesis cada signo tiene que cal-cularse por separado para poder quitar los paréntesis.

– ( 5 + 6 ) = – 5 + ( – 6 ) = – 5 – 6 = – 11

– ( 5 – 6 ) = – 5 + ( + 6 ) = – 5 + 6 = 1

– ( a + b + c ) = – a + ( – b ) + ( - c ) = – a – b – c

– ( – a + b – c ) = + a + ( – b ) + ( + c ) = a – b + c


Observación

Ejercicio

Ejemplo

Ejercicio

Ejercicio

Ejemplo


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Fundamentos

8

Minos

En la multiplicación y en la división también se aplica la regla de lossignos, cuando dos son iguales se convierten en un + y si son diferentescambian a un -.

( + 5 ) · ( + 6 ) = + 30

( – 5 ) · ( – 6 ) = + 30

( + 5 ) · ( – 6 ) = – 30

( – 18 ) : ( – 6 ) = + 3

( – 18 ) : ( + 6 ) = – 3


En la adición y multiplicación se puede cambiar el orden de los suman-dos o factores respectivamente. A esta regla se la conoce como Ley deconmutativa. Generalmente se puede escribir de la siguiente manera:

a + b = b + a

a · b = b · a

La segunda norma se llama ley de asociación. Signica que cuando

hay más operaciones iguales en la adición o multiplicación el orden delos sumandos o factores no importa. Además, en este caso, se pueden

quitar los paréntesis.

a + ( b + c ) = ( a + b ) + c

a · ( b · c ) = ( a · b ) · c

La tercera norma es la propiedad distributiva. La suma de dos o másnúmeros, multiplicada por otro número, es igual a la suma del productode cada número con su factor correspondiente.

a · ( b + c ) = a · b + a · c

Cuando hay más sumandos entre paréntesis, se tiene que multiplicarcada sumando. Si se calcula con variables se puede quitar el signo demultiplicación.

( a + b ) · ( c + d ) = a · ( c + d ) + b · ( c + d ) = ac + ad + bc + bd

Este cálculo también se puede representar de forma gráca (Figura 1).

La multiplicación de dos elementos (a + b ) y ( c + d ) produce el área deun rectángulo. Cuando se unen los segmentos a y b, así como c y d, seproduce de nuevo el rectángulo, que tiene la misma área que el primero.

Ejemplo

Ejercicio


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Fundamentos

9

Minos

Figura 1: Representación gráfca de la multiplicación

Ejercicio

Si aplicamos la ley distributiva al revés, realizamos una exclusión.Cuando varios sumandos tienen el mismo factor, se pueden dejar fueradel paréntesis.

ab + ac = a ( b + c )

15x – 5y = 5 ( 3x – y )


1.2 Cálculo con fracciones

1:3 =1

3

Cuando se divide un número determinado en partes iguales no es siem-pre posible obtener una solución en números enteros. Por ejemplo, sirepartimos seis manzanas entre tres personas, cada una recibe dos. Perocuando tenemos tres personas y una manzana, tenemos que cortarla.Este ejemplo se puede describir de la manera siguiente:

El numerador representa el número de partes congruentes que se hanconsiderado después de dividir la unidad en tantas partes iguales comoindica el denominador

Ejemplo

a b

a+b

c +

d

c

d

a·c

a·d

b·c

b·d


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Fundamentos

10

Minos

Existe la posibilidad de cortar una manzana en seis partes y dar a cadauno de los tres grupos dos trozos. Aritméticamente hemos multiplicadoel numerador y el denominador por dos. A esta manera de multiplicarse le llama ampliar fracciones: cuando se multiplican el numerador y eldenominador con el mismo número. La amplicación de fracciones es

útil para la adición y sustracción de quebrados.

Simplicar fracciones signica dividir el numerador y denominador por

un mismo número. Al igual que en la amplicación, el valor de la frac-ción no cambia. Mediante esta simplicación las cifras de la fracción se

disminuyen y la fracción es mucho más clara. Además el cálculo de lafracción se simplica.

¡Con el número 0 no se puede simplicar fracciones!


La adición y sustracción de fracciones solo es posible cuando las frac-ciones tienen el mismo denominador. Para sumar o restar fracciones condenominadores diferentes se deben ampliar las fracciones para obtenerlos mismos denominadores. Esta manera de proceder se denominahallar el común denominador. Los números enteros se transforman enfracciones si colocamos el valor del número como numerador y el 1como denominador.

A continuación se suman o restan los numeradores. El denominador novaria.

Ejemplo

Importante

Ejercicio

1

3

2

6

3

9

10

30= = =


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Fundamentos

11

Minos

Si el denominador común no se puede obviar, se calcula mediante lamultiplicación de los denominadores. para poder multiplicar los dos de-nominadores. El denominador común no es expresamente el menor, sinembargo el resultado es el mismo.

En el primer caso la fracción se multiplicó por 2, por lo que el denomi-nador común es 4. En el segundo ejemplo, sin embargo, se aplicó 8como denominador común, resultante de la multiplicación de ambosdenominadores, 2 por 4, y se asignó a las dos fracciones. A continua-ción el signicado se simplicó. . Los dos cálculos demuestran que por

ejemplo cuando se suma una media manzana y un cuarto de manzana,el resultado es tres cuartos de manzana.¡Solucione el ejercicio número 7 del libro de ejercicios!

La multiplicación y división de fracciones es más fácil que la adición,porque no se debe determinar un común denominador.

Cuando realizamos este cálculo se multiplican simplemente los dosnumeradores y los dos denominadores. Además podemos unir la líneadivisoria de las dos fracciones. Antes de multiplicar se puede comprobarsi se puede simplicar las fracciones resultantes, porque es mucho más

fácil operar con números inferiores.


La división se transforma en multiplicación. Para ello se calcula el valorrecíproco del divisor. Esto sucede cuando se cambia el nominador pordenominador y viceversa. Así, en la división se multiplica con el valor

recíproco de la fracción.


1

2+1

4=

1 2

2 2+1

4=

2

4+1

4=

2+1

4=

3

4

1

2+1

4=

1 44

2 4+1 2

4 2=

4

8+2

8=

6

8=

3

4

Ejemplo

Ejercicio

1

3 3

4=

1 3

3 4=

1

4

Ejemplo

Ejercicio

1

3:3

4=

1

3

4

3=

1 4

3 3=

4

9

Ejemplo

Ejercicio


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Fundamentos

12

Minos

Cuando se calculan fracciones con la calculadora se tiene que teneren cuenta que los modelos más simples no ofrecen la posibilidad deintroducir las fracciones directamente. Por eso los cálculos tienen querealizarse uno tras otro.

Si se introduce la fracción de la siguiente manera, se obtiene un resul-tado falso:

3 : 2 · 5 = 7,5

Este cálculo se podría representar de diferente manera como fracción

Para calcular el ejemplo correctamente con la calculadora, se debenintroducir los cálculos como sigue:

3 : 2 : 5 = 0,3

Al dividir entre 5 nos encontraremos también esta cifra en el denominador.

También es posible calcular primero el denominador entero y despuésrealizar la división del numerador entre el denominador. Este modo de

operación también es necesario cuando existe una adición en el deno-minador:

En este caso se debe considerar la suma como en un cálculo entre pa-réntesis. Para ello se debe calcular la suma antes de la división:

3 : ( 2 + 5 ) = 0,428571...

La forma calculada de una fracción se denomina fracción decimal. Elvalor de la fracción decimal se determina por la posición de las cifraspor separado. Las cifras a la izquierda de la coma son las unidades, lasdecenas, las centenas. En cambio a la derecha de la coma están lasdécimas, las centésimas, las milésimas partes. etc.

En el caso de algunas fracciones, como en nuestro ejemplo solo sepueden ver tantos decimales como permite la pantalla de la calculadora.Si se calculan más decimales se ve que los primeros seis decimales serepiten innitamente tras la coma.

32 5

= 0,3

3

25= 7,5

Ejemplo

Ejemplo 3

2 5= 0,428571...

+


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Fundamentos

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Minos

Para la representación de estas fracciones decimales periódicas se es-cribe una línea encima de los números periódicos repetidos.

Dependiendo de la precisión que se exija también se puede redondearla fracción. La última cifra que queda no cambia si se trata de un 0, 1, 2,3 ó 4. Pero cuando el siguiente número es un 5, 6, 7, 8 ó 9, entonces laúltima cifra se aumenta en 1.

El redondeo de una fracción, por ejemplo a dos o tres decimales, tieneel siguiente resultado:

El resultado del redondeo no es tan correcto. Por lo general, los númerosredondeados deberían tener uno o dos decimales más que los númerosde cálculo. Este redondeo a más decimales diculta el cálculo inútilmente.

3

7

= 0,428571

3

7 0,43

3

7 0,429

≈

≈

1.3 Operaciones aritméticas avanzadas

En las cuatro reglas aritméticas la repetición de la suma de un númeroconcreto conduce a la multiplicación. La multiplicación repetida con elmismo factor conduce al cálculo de potencia.

La base o número básico de la potencia es el número por el que se multi-plica. Las veces que haya que se deba multiplicar este número dependedel exponente, el número escrito detrás la base.

En la geometría se calcula el área A de un cuadrado multiplicando los

lados a, que tienen la misma longitud, uno con otro. En el cubo se mul-tiplica la base del cubo por la altura para calcular el volumen v.

A = a · a = a2

V = a · a · a = a3

Analógicamente se multiplican también las unidades, el área se indicaen m2, y el volumen en m3.


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Fundamentos

14

Minos

Un cubo tiene una longitud lateral de 3 m. ¿Qué volumen tiene?V = 3 m · 3 m · 3 m = 33 m3 = 27 m3

El exponente puede ser también una fracción. Este tema se tratará deforma más detallada en el apartado de raíces. Cuando un exponente esnegativo, se puede transformar en un exponente positivo poniendo lapotencia en el denominador de una fracción 3 -2 = 1/32 = 1/9

El resultado de cualquier número con exponente 0 es 1.

El resultado de cualquier número con exponente 1 es exactamente esenúmero, dado que solo existe un factor.

26 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2

62 = 6 · 6

60 = 1

61 = 6

6 –2 = 1/62 = 1/36


Ejemplo

Importante

Importante

Ejemplo

Ejercicio


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Fundamentos

15

Minos

Una importancia especial tienen las potencias en base a 10. Se llamanpotencias de diez y se usan en especial para representar números muypequeños o muy grandes.

El cálculo de potencias de diez es muy fácil. El exponente muestra cuan-tos ceros se colocan detrás del 1. También se puede cambiar la posiciónde la coma a partir del 1 hacia la derecha, según lo indique el exponente.

SIn embargo, con los exponentes negativos la coma se coloca hacia laizquierda.

106 = 1000000

102 = 100

100 = 1

10 –2 = 0,01

10 –3 = 0,001

Para representar mejor un número pequeño, se hace uso de la potenciadiez. El número se muestra con un dígito con más o menos decimalesy la potencia de diez indica en cuántos decimales se coloca la coma.

También existe la posibilidad de utilizar potencias de base 10 con ex-ponentes divisibles por 3, por ejemplo 3, 6 y 9, al igual que –3, –6 y –9

y se pueden sustituir por estas unidades. Otras unidades por las quese puede utilizar son kilo, mega y giga, al igual que mili, micro y nano.

125000 = 1,25 · 105 = 125 · 103

0,000125 = 1,25 · 10 –4 = 125 · 10 –6

1 km = 103

m = 1000 m1 nm = 10 –9 m = 0,000000001 m

Ejemplo


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Fundamentos

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Minos

Ejercicio ¡Solucione los ejercicios número 11 y 12 del libro de ejercicios!

No todas las calculadoras disponen de la función para cálculo de po-tencias. Los dispositivos que realizan operaciones más avanzadas sedenominan calculadoras cientícas.

Para realizar cálculos con potencias con los exponentes comunes 2 y3 se utilizan, normalmente, las teclas x2 y x3. Para introducir otros ex-ponentes se usa la tecla xy.

Para las potencias en base a 10 se dispone de la tecla EXP. Dependien-do del modelo de la calculadora, la potencia en base a 10 se muestra oen una pantalla aparte, o con el número de delante de la potencia conmenos decimales.

¡Familiarícese con las operaciones avanzadas de su calculadora e in-troduzca los números de los ejercicios anteriores!

Ejercicio


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Fundamentos

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Minos

Ejercicio ¡Solucione el ejercicio número 13 del libro de ejercicios!

Cuando se quiere calcular la longitud del lado de un cuadrado, del cuálse conoce solo su área, se debe extraer la raíz. Este cálculo se denominatambién extracción de la raíz o radicación. Por ejemplo, si el cuadradotiene un área de 4 m2, la longitud de uno de sus lados es de 2m. Eneste caso se ha calculado la raíz cuadrada. El cálculo se representa dela siguiente manera:

Por tanto, para calcular la raíz de un número se tiene que determinarqué número resulta de su propia multiplicación. Este cálculo no es tanfácil, por eso la calculadora dispone de una tecla de extracción de raíz.

Una raíz también se puede representar como potencia. En lugar del

signo radical se escribe el exponente de la potencia como fracción. Elexponente también puede tener la forma de otras fracciones. La raízcúbica juega un papel muy importante . Con ella se calcula la longituddel lado de un cubo con un volumen conocido.

¡Solucione el ejercicio número 14 del libro de ejercicios!Ejercicio

4=2

273

= =27 31 3/


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Fundamentos

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Minos

En nuestro sistema numérico usamos las diez cifras del 0 al 9. Los nú-meros mayores se componen de más cifras. Lo más importante en esteproceso es el orden de las cifras.

Los números se calican, de izquierda a derecha, de unidades, decenas,

centenas, etc. Las cifras correspondientes a centenas se multiplican por100, las de decenas por 10. Si se representa con una unidad resulta enun número entero.

325 = 3 · 100 + 2 · 10 + 5 = 3 · 102 + 2 · 101 + 5 · 100

Este modus operandi es evidente para nosotros porque tenemos diezdedos a las manos, con los que también podemos sumar. Además delsistema decimal, hay también otros sistemas numéricos. Por ejemplo,

una docena consta de 12 unidades individuales. Un día consta de 12horas por 2 y una hora de 60 minutos, al igual que un minuto tiene 60segundos. Antes de que comience un minuto, tendrán que haber pasado60 segundos.

Los ordenadores utilizan el sistema binario para realizar sus operacio-nes. En este sistema nos encontramos con solo dos cifras o estados, el0 y el 1. Para evitar errores, el 1 se suele representar también como L.

Este sistema numérico tiene la ventaja de que los dos estados puedendescribir con una corriente eléctrica, que circula o no circula. También si

una memoria está activa o no. No existen más posibilidades.

Dado que los números binarios constan solo de dos cifras, sus com-binaciones son muchos más largas que las del sistema decimal. Sicomparamos los dos sistemas, nos encontraremos con la siguienterepresentación:

Decimal Dual

0 0 1 1

2 10 3 11 4 100 5 101 6 110 7 111 8 1000 9 1001 10 1010 11 1011 12 1100 13 1101 14 1110 15 1111

1.4 Números binarios


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Fundamentos

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Minos

También en los números binarios el lugar de las cifras determina su valor.Sin embargo, en este sistema se utiliza una potencia de base 2, por esose llaman números binarios.

En vez del número decimal 6 en el sistema binario se escribe:

110 = 1 · 22 + 1 · 21 + 0 · 20 = 1 · 4 + 1 · 2 + 0 · 1

Como podemos ver, las posiciones de derecha a izquierda tienen lasvalencias 1, 2, 4, 8, 16 etc. Si se desea transformar un número decimala un número binario, se divide el número entre 2 y se apunta el resto.Se continúa con el proceso hasta que el resultado de la división sea 0.Los números anotados del resto constituyen el número binario de formainvertida.

Transformación del número decimal 29 en un número binario:

29 dividido entre 2 14 resto 114 dividido entre 2 7 resto 07 dividido entre 2 3 resto 13 dividido entre 2 1 resto 11 dividido entre 2 0 resto 1

Para la determinación del número binario se escribe el resto al nal del

cálculo y se obtiene el resultado 11101.

Como vemos, las cifras decimales impares tienen siempre un 1 al nal de

la transformación a números binarios. Esto se debe a que los númerosimpares divididos entre 2 cuentan siempre con el 1 de resto.


Para transformar un número binario en un número decimal, se debedeterminar el valor de cada posición. Se suman los valores con la cifra1 y los demás se ignoran por el momento. Como ya hemos mencionado,estos son los valores con base 2. El valor que se encuentra más a laderecha es el 20, es decir 1.

Para la transformación del número binario 11001 se procede de la si-guiente manera:

1 24 = 16 161 23 = 8 80 22 = 4 00 21 = 2 01 20 = 1 1

Total: 25


Ejercicio

Ejercicio


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Fundamentos

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Minos

Durante el uso de ordenadores normalmente no se entra en contactocon los números binarios. A menos que se quiera hacer un programa oo programar un controlador lógico programable, un PLC.

Por supuesto siempre es mucho mejor si estamos al tanto del modo detrabajar de los ordenadores.

Un número binario con un valor se calica de bit. . Un bit puede tener

el valor 0 ó 1. Ocho bits forman un byte. Con estos ocho números sepueden describir valores de 0 hasta 255. En el sistema binario esto re-presenta 8 ceros y 8 unos respectivamente.

Cada letra y cada cifra del sistema decimal se representa en el ordena-dor en forma de bytes. El código ASCII (American Standard Code for

Information Interchange) decide qué número binario corresponde a lasdiferentes letras. Por ejemplo la A mayúscula corresponde al númerobinario 01000001 o al número decimal 65.

Dado que los números binarios pueden ser muy largos, en la informáticase utiliza otro sistema más avanzado. Un byte se representa en dos gru-pos de cuatro bits. Estos grupos de cuatro bits se denominan nibbles. Conun nibble o con cuatro bits se pueden representar 16 valores diferentes.

Para describir un nibble en un signo se usa el sistema hexadecimal.En el sistema hexadecimal, el número 16 es la base, al contrario del

sistema decimal, en el que el 10 es la base. A causa de que el sistemahexadecimal necesita 16 signos distintos, se utiliza además de las cifras0 hasta el 9, las letras A hasta la F. Para evitar confusiones se escribemuchas veces una h minúscula detrás del número.

Las cifras representadas mediante un Byte se utilizan en los siguientessistemas numéricos de la forma que vemos a continuación:

Sistema binario 0000 0000 hasta 1111 1111Sistema hexadecimal 00 hasta FFSistema decimal 0 hasta 255

1.4.1 Números binarios en el ordenador


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Fundamentos

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Minos

En la informática se originan ciertas cifras mediante el uso de númerosbinarios que resultan de potencias con base a 2. Así tenemos por ejemplo:

26 = 6427 = 12828 = 25629 = 512210 = 1024

Estos valores se pueden encontrar especialmente en un módulo dememoria. Este es el motivo por el cual una tarjeta de memoria tiene512 MByte y no 500.

Las unidades constituyen una particularidad para número de cantidadesgrandes. En el sistema decimal se utiliza el valor 1000 para expresar unkilo. Así tenemos 1000 metros, que es igual a 1 kilómetro. En el proce-

samiento de datos 1024 byte es igual a 1 kilobyte.

Para evitar confusiones se puede usar, en el procesamiento de datos,las unidades kibi y mebi para el kilo binario y el mega binario. Pero enla práctica estas unidades casi no se utilizan. En caso de duda se debecomprobar si una unidad, por ejemplo, kilo signica 1000 ó 1024.

Normalmente la unidad kilo de bits signica 100 y de bytes, 1024. .

La tasa de bits de un RDSI conexión de teléfono equivale a 64 kbit/s,que es exactamente 64.000 bit/s, y no 65.536 bit/s, el resultado de lamultiplicación 64 • 1024. Un disco duro moderno, por el contrario, con

400 gigabyte cuenta con 400 mil millones de bytes. Dado que el orde-nador utiliza internamente el sistema binario muestra una capacidad de372,5 GiB. Sin embargo, los fabricantes de discos duros preeren el

valor 400 en vez de 372,5.

Ejemplo


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Fundamentos

23

Minos

1.5 Cálculo con variables

Con variables se pueden representar leyes universales mediante fór-mulas. Para las variables se utilizan letras. Si sustituimos las variablescon valores concretos se pueden calcular un resultado concreto paramuchos casos individuales.

Por ejemplo, la fórmula para calcular el área de un rectángulo es:

A = a · b

A sustituye el área y a y b representan las longitudes de los lados delrectángulo. Si sustituimos a y b por ciertos valores podremos hallas lasupercie del rectángulo.

Con las variables a y b se procede exactamente igual que con los nú-

meros. De la misma manera se aplican la reglas de cálculo, como lamultiplicación y división preceden a la suma y a la resta; o las pautaspara poner paréntesis. Solamente podremos calcular un resultado sisustituimos las variables por valores concretos.

Si resolvemos una ecuación, solamente un valor debe ser conocido yasí obtener un resultado concreto. Por ejemplo, para calcular el área conuna ecuación se conocen las longitudes de los lados y así calculamosdicha dimensión.

También puede suceder que solamente se conozca el área y la longitud

de un lado, y la del otro es desconocida, por lo que se debe calcularesta última. En este caso cambiamos el orden de la fórmula para que lamagnitud que se calcula se encuentre aislada a un lado de la ecuación.

La combinación de números, variables y los signos aritméticos en unlado de ecuación se denominan términos.

El valor desconocido se introduce con una x. El proceso de trasposiciónde la ecuación también es conocido como despejar la x. Se consiguehaciendo la misma operación aritmética a los dos lados de ecuación,así a con los dos términos. Esta operación se escribe a la derecha de la

ecuación y se separa de la ecuación con una línea vertical Al nal del proceso el valor desconocido x tiene que estar a la izquierda

del signo de igualdad.


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Fundamentos

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Minos

Ejemplo

Ejejrcicio

1.6 Cálculo porcentual

En el día a día nos topamos con muchos valores que están indicadosen porcentajes. Vemos como se indica en porcentajes la subida o caídade los precios o la densidad de población de una edad determinada.

El valor, al que se reere el por ciento, indica la parte de esta cifra dentro

de 100. No se hace una referencia al valor absoluto.

Una botella con una capacidad de un litro tiene un contenido de 60 %.Otra botella con una capacidad de 2 litros contiene 40 %. Sin embargo,la segunda botella tiene más líquido que la primera.

La capacidad de un litro de la botella corresponde a 100 %, por eso el60 % del líquido son 0,6 litros.

1 litro : 100 % = 0,6 litros : 60 %

La botella de dos litros contiene 40 %. Los dos litros representan el 100%, por eso 40 % son 0,8 litros.

2 litros : 100 % = 0,8 litros : 40 %

En el cálculo porcentual siempre se toma el valor 100 %. Según el tipode tarea uno de los tres valores es desconocido, que se puede calculardespués de la correcta trasposición de la ecuación.


a = b + x | – ba – b = xx = a – b

a = b – x | + xa + x = b | – ax = b – a

x : a = b | · ax = b · a

a : x = b | · xa = b · x | : ba : b = xx = b


Ejemplo

Ejercicio


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Fundamentos

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Minos

Cuando se presta dinero, normalmente se debe pagar por este préstamociertos intereses. Los intereses se indican en porcentaje. Este porcentajedetermina, cuántos intereses se deben pagar en un año por el valor de100€.

Si se paga 12.000 euros de intereses por un crédito de 100.000 euros,¿cuál es el porcentaje de los intereses? El 100 % de la suma prestada sonlos 100.000 euros. Se debe de calcular el porcentaje de los 12.000 euros100 % : 100000 Euro = x % : 12000 Euro

Después de la trasposición de la ecuación se puede calcular el valor delos intereses del 12 %

Para simplicar el cálculo se puede suprimir el 100%. Entonces se calcula

el porcentaje de los intereses dividido entre el total del crédito.

x = 12000 Euro : 100000 Euro = 0,12

EL resultado se debe multiplicar nalmente por el 100% que hemos

dejado atrás, lo que es igual al 12 %.

Si realizamos este cálculo con la calculadora se realizará la multiplicaciónpor 100% si, después de dividir, pulsamos la tecla del tanto pro cientoen vez del igual. Antes de usar una calculadora desconocida debemoscomprobarla con un ejemplo simple.

Con el cálculo de los intereses compuestos se tiene en cuenta los inte-reses durante de más de un año.

Si tenemos en una cartilla de ahorro 1000 Euro durante 5 años con untipo de interés del 3 %, así tendríamos, después de haber multiplicado

por 5 años, un crédito de tan sólo 1150.

1.6.1 Cálculo de intereses

Ejemplo

Ejemplo


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Fundamentos

26

Minos

Sin embargo sucede que después del primer año tenemos 1030 euros ennuestra cartilla a los que se le aplicará el segundo año el 3 %. El cálculose realiza normalmente según la siguiente fórmula, donde G

0 supone

el capital inicial y Gn es el capital después de n años. Z representa elinterés y n el número de años.

Gn = G

0 (1 + z/100)n

EN cinco años con el 3 %, después de haber introducido los valores,obtenemos el siguiente resultado:

G5 = 1000 Euro · (1 + 3/100)5

G5 = 1000 Euro · (1 + 0,03)5

G5 = 1000 Euro · 1,035

G5 = 1159,27 Euro

La diferencia en comparación con el resultado anterior no es tan grande,con un plazo de vencimiento más largo e intereses más altos se notaríauna diferencia mayor.

Con una tasa de interés del 3 % dura aproximadamente 24 años hastaque la cantidad se ha doblado. Sin embargo, si no se le añaden los in-tereses acumulados, se tardaría 33 años.

Si se devuelve un crédito con la misma cuota, se necesitaría al principiouna gran parte de esta tasa para pagar los intereses. Con el resto sedisminuiría el crédito. Solamente con el plazo del tiempo se disminuirán

los intereses y con cada reembolso se pagará una gran parte del crédito.



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Fundamentos

27

Minos

1.7 Geometría

Para la introducción a la geometría tenemos que explicar algunas de-niciones.

Un cuerpo experimenta una dilatación en tres direcciones. Tiene longitud,ancho y altura y, por lo tanto, es tridimensional. Una supercie se dilata

solamente en dos dimensiones. La supercie de un cubo, por ejemplo,

consta de varias áreas. Una línea es una arista del cubo. Experimentauna dilatación en una sola dirección. Un punto no tiene dilatación, esinnitamente pequeño. Se puede entender como intersección entre dos

líneas.

La recta es además del punto un concepto básico de la geometría. Sedene a través se una línea que pasa por dos puntos, sin principio ni n.

Dos rectas en un mismo plano pueden cruzarse como mucho en un solopunto. Una excepción sería si las dos rectas se encuentran solapadas. Sinembargo, si estas dos rectas no se cruzan, entonces se llaman paralelas.

Un rayo es también una línea innita. Al contrario que una línea innita

el rayo tiene un punto de partida. El otro extremo es innito.

Un tramo, al igual que una recta, transcurre sobre dos puntos, sin em-bargo estos dos puntos delimitan la longitud de la recta. Un tramo esademás la distancia más corta entre dos puntos.

Si dos rayos empiezan en un punto común, forman así un ángulo. Si unrayo se gira alrededor de un punto común hasta que está encima delotro rayo, la medida de esta vuelta indica el ángulo. Los dos rayos sonllamados también lados del ángulo.

Se subdivide un círculo en 360 partes, que se llaman grados. Un ángulode 360° es un ángulo completo.

Un ángulo entre 0° y 90° es ángulo agudo. Un ángulo obtuso tiene entre90 y 180 grados.

Si los dos lados se encuentran perpendiculares uno sobre otro se deno-mina ángulo recto. Tiene un valor de 90°.

Si los dos lados están directamente en frente, se crea un ángulo llanode 180°. Ángulos con un valor entre 180° y 360° son ángulos cóncavos

1.7.1 Ángulos


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Fundamentos

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Minos

spitzerWinkel rechter Winkel stumpfer Winkel

gestreckter Winkel überstum pfer Winkel Vollwinkel

Imagen 2: Clasifcación de los ángulos

Si dos rectas se cortan, se forman cuatro ángulos independientes. Losdos ángulos, que están situados uno enfrente del otro, tienen el mismo

tamaño y forman 180°.Si una recta cruza entre dos paralelas, se forman en total ocho ángulosdistintos. Tanto el ángulo ... como los opuestos son siempre iguales.

Los ángulos opuestos forman conjuntamente siempre 180°.

Imagen 3: Ángulos en rectas cruzadas

Winkel an sich

schneidenden Gera

Stufenwinkel

W echselwinke

entgegengesetz

liegende W inke

ángulo agudo ángulo recto ángulo obtuso

ángulo llano ángulo cóncavo ángulo completo

ángulos de lineas

cruzadas

Ángulo de paso

Ángulo alterno

Ángulos horizonta-les


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Fundamentos

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Minos

1.7.2 Cuadriláteros

Un cuadrilátero está determinado por cuatro puntos, de los que solo dospueden encontrarse en una misma recta. Los cuadriláteros se diferenciansegún la posición y de la longitud de los lados .

El cuadrado tiene sus cuatro lados iguales. Los lados que están unoenfrente del otro son paralelos. Todos los ángulos de un cuadrado com-prenden 90°.

El área del cuadrado se calcula según la longitud de sus lados. A es lasupercie y a la longitud lateral.

A = a2

Para calcular el perímetro se suman los cuatro lados. Dado que dos la-

dos tienen la misma longitud, se puede calcular de la siguiente manera:

U = 4 · a

La diferencia entre el rectángulo y el cuadrado es que en el rectángulosolamente los lados opuestos son iguales. Para calcular la supercie se

multiplican estos dos lados.

A = a · b

Para calcular perímetro se suman las longitudes de los cuatro lados. Dado

que hay dos lados iguales se podría proceder de la siguiente manera:

U = 2a + 2b

Se debe cubrir una habitación con revestimiento de suelo. La habitaciónmide 6 m de largo por 4 m de ancho. ¿Cuántos metros cuadrados senecesita? ¿Cuántos metros de arista para los bordes de la moqueta senecesitan para toda la habitación, sin tener en cuenta las puertas?

A = a · b

A = 6 m · 4 mA = 24 m2

U = 2a + 2bU = 2 · 6 m + 2 · 4 mU = 12 m + 8 mU = 20 m

Se necesitarán 24 m2 de revestimiento y 20 m de arista para la moqueta.

Ejemplo


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Fundamentos

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Minos

Además de los cuadrados y rectángulos hay otros cuadriláteros.

Los paralelogramos son en general cuadriláteros cuyos lados son para-lelos. El cuadrado y el rectángulos pertenecen también a este grupo. Loslados del rombo, al igual que los del cuadrado, son exactamente iguales.Sin embargo, los ángulos del rombo no son ángulos rectos, tienen unvalor diferente a 90°.En un trapecio solamente los lados opuestos son paralelos. Los cuatrolados pueden tener una longitud diferente. Por el contrario el deltoideo

tiene los lados vecinos de la misma longitud. Ningún lado es paralelo aotro. Es la forma típica de cometas clásicas para niños.

Además un cuadrilátero puede ser cóncavo. Signica que un vértice se

encuentra hundido dentro del cuadrilátero.

La mejor posibilidad de calcular la supercie de estos cuadriláteros es

separarlos en triángulos y calcular el área de estos triángulos. Paracalcular el perímetro se suman los cuatro lados.


Imagen 4: Tipos de cuadriláteros

Quadrat Rechteck Rhombus Rhomboid

Trapez Drachenviereck konkaves Viereck

Ejercicio

cuadrado rectángulo rombo paralelogramo

trapecio deltoide deltoide cóncavo


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Fundamentos

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Minos

1.7.3 Triángulos

Tres puntos, que no están en una recta, determinan un triángulo. Estostres puntos se calican de A, B y C, a los lados opuestos al correspon-diente punto se les asigna la letra minúscula a, b y c. Los ángulos deltriángulo reciben las letras griegas: α (alpha), β (beta) y γ (gamma).

La suma de los tres ángulos internos es igual a 180°.

Los triángulos se clasican según su forma. El triángulo acutángulos

tiene todos sus ángulos menores a 90°. Por el contrario, un triánguloobtusángulo tiene un ángulo obtuso. Un triángulo rectángulo tiene unángulo recto. Para estos triángulos se cuentan con reglas matemáticasespeciales.

Si un triángulo tiene dos lados de la misma longitud, es un triánguloisósceles. Si un triángulo tiene tres lados de la misma longitud, es untriángulo equilátero. También sus ángulos interiores tienen la mismaabertura, es decir 60°.

Una línea que sale de un punto anguloso perpendicularmente hastael lado opuesto se denomina altura h. Dado que se pueden medir tresalturas a partir de tres puntos anguloso, se les asigna la letra del ladoen el que estén, es decir h

a, h

b y h

c.

spitzwinkligrechtwinklig stum pfwinklig gleichschenklig gleichseiti

BA

C

ab

c

α

γ

β

Imagen 5: Formas de triángulos

Importante

ángulo agudo ángulo recto ángulo obtuso isósceles equilatero


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Fundamentos

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Minos

En un triángulo isósceles la altura separa los dos lados del triángulo endos partes iguales.

La supercie de un triángulo comprende la mitad del producto de la altura

y del lado en el que se encuentre la altura:

Un triángulo tiene un lado c de 5 cm. Su altura hc comprende 4 cm. ¿Cuál

es el área del triángulo?

Dado que la altura siempre se encuentra perpendicular a un lado, laaltura separa el triángulo en dos triángulos rectos. Hemos mencionadoque hay ciertas reglas matemáticas para estos triángulos, por lo quesupone siempre una ventaja separar el área en dos triángulos rectos.

En un triángulo rectángulo el lado opuesto al ángulo recto se calica de

hipotenusa. Los otros dos son los catetos.

En el triángulo rectángulo se aplica el teorema de Pitágoras. Esta reglaindica que el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cua-drados de los dos catetos. Se puede representar de la manera siguiente:

c2 = a2 + b2

En un triángulo rectángulo, un cateto tiene 3 cm y el otro 4 cm. ¿Quélongitud tiene la hipotenusa?

c2

= a2

+ b2

c2 = 32 cm2 + 42 cm2

c2 = 9 cm2 + 16 cm2

c2 = 25 cm2

c = 5 cm

La hipotenusa comprende 5 cm.


A =1

2h a =

1

2h b =

1

2h c

a b c

Importante

Ejemplo

Ejemplo

A =1

2h c

A =1

2

4 cm 5 cm

A = 10 cm2

c

Ejercicio


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Fundamentos

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Minos

a b

c

a2

b2

c2

Imagen 6: teorema de Pitágoras

Ejemplo Un triángulo isósceles tiene dos lados a y b con una longitud de 13 cm.El lado c mide 10 cm. ¿Qué supercie tiene?

Al principio se tiene que calcular la altura. Para eso, se separa el trián-gulo isósceles en dos triángulos rectángulos. La hipotenusa del triángulorectángulo tiene una longitud de 13 cm y un cateto tiene la mitad dellado c, así 5 cm. Esta parte se calica de d. Por medio del teorema de

Pitágoras se puede calcular la altura.

a2 = hc2 + d2

hc2 = a2 – d2

hc2

= 132

cm2

– 52

cm2

hc2 = 169 cm2 – 25 cm2

hc2 = 144 cm2

hc = 12 cm

Con la altura y la longitud del lado c se puede calcular el área.

A =1

2h c

A = 1

212 cm 10 cm

A = 60 cm

c

2


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Fundamentos

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Minos

1.7.4 Funciones trigonométricas

Para los cálculos de triángulos rectángulos se pueden usar las funcionestrigonométricas seno, coseno y tangente. A la hora de calcular otrasfunciones trigonométricas debemos separar los triángulos en triángulosrectángulos.

Al igual que la hipotenusa, los catetos se denominan de forma diferente.El cateto adyacente es cateto, que junto con la hipotenusa se utiliza paracalcular el ángulo. El cateto es el cateto que se forma para el cálculoconsiderando el ángulo. El cateto opuesto está en el lado opuesto aeste ángulo.

El seno de un ángulo se calcula con el cateto opuesto dicidido por lahipotenusa.

Para calcular de nuevo el ángulo del seno de éste se utilizaba antes unatablas a modo de consulta. Hoy en día este proceso se realiza muchomás rápido con la calculadora. Sin embargo, las funciones trigonométricassolo se encuentran en calculadoras cientícas.

Para calcular el seno de un ángulo de 30° se tiene que introducir primeroel valor 30 y después pulsar la tecla SIN. El resultado es correcto si lacalculadora muestra 0,5. A la hora de realizar el cálculo inverso del seno

al ángulo tenemos diferentes opciones. Normalmente se debe pulsarARC SIN o ARC SIN o SIN –1. Después de haber introducido el valor 0,5y pulsar la tecla correspondiente el resultado será 30°.

α

Ankathete

G

e g e n k a t h e t

H y p o

t e n u s

e

Imagen 7: Funciones trigonométricas de triángulos

sin =Gegenkathete

Hypotenuseα

cateto opuesto

hipotenusa

h i p o t e

n u s a

cateto c a t e t o o

p u e s t o


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Fundamentos

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Minos

Ejemplo Un triángulo rectángulo tiene una hipotenusa de 5 cm. El cateto opuestoal ángulo mide 3 cm de largo. ¿Qué abertura tiene el ángulo?

Un triángulo rectángulo tiene un ángulo de 50°. El cateto opuesto es de8 cm. ¿Qué longitud tiene la hipotenusa?

Además podemos realizar otro cálculo trigonométrico del cateto adya-cente y la hipotenusa.Esta función trigonométrica se denomina coseno.

La tercera función trigonométrica más importante es la tangente. Latangente de un ángulo se calcula de la división del cateto opuesto y dela adyacente.


sin =Gegenkathete

Hypothenuse

sin =3 cm

5 cm

si

α

α

nn = 0,6

36,9

α

α ≈ °

sin =Gegenkathete

Hypothenuse

sin 50 =8 cm

c

c =

α

°

88 cm

sin 50

c 10 44 cm

°

≈

cos =

Ankathete

Hypotenuseα

tan =Gegenkathete

Ankatheteα

cateto opuestohipotenusa

cateto opuesto

hipotenusa

cateto adyacente

hipotenusa

cateto opuesto

cateto adyacente


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Fundamentos

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Minos

1.7.5 Círculo

El radio determina el círculo. El radio va directamente desde el centro delcírculo a la circunferencia. El diámetro es exactamente el doble del radio.

El número π se obtiene de la longitud de la circunferencia y la longitudde su diámetro. Esta letra se pronuncia como P. Es un número irracional,lo que signica que decimales innitos después de la coma, en los que

no se encuentra ninguna regularidad. Las primeras cifras del número π son: 3,1415926535. Para realizar cálculos de una forma más prácticase toman 2 ó 4 decimales.

La fórmula para calcular la circunferencia de un círculo es:

El número π se utiliza también para hallar el área de un círculo. La fórmulapara calcular este área es:

La longitud de la circunferencia de un círculo es 20 cm. ¿Qué longitudtiene el diámetro? ¿De qué tamaño es el área del círculo? Redondee eldecimal después de la coma en dos cifras.


A =1

4d = r

2 2π π

U = d = 2 rπ π

Ejemplo

U = d

d =U

d =20 cm

3,1416

d 6,37 cm

A =1

4d

A =

1

4

2

π

π

π

≈

33,1416 6,37 cm

A 31,87 cm

2 2

2≈

Ejercicio


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Fundamentos

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Minos

1.7.6 Cuerpos

Un cuerpo se extiende en tres dimensiones. Está además rodeado poruna supercie. La capacidad del cuerpo es su volumen.

Un cubo está delimitado por seis cuadrados del mismo tamaño. La su-percie del cubo comprende:

A = 6 · a2

Dado que los lados del cubo tienen la misma longitud, el volumen secalcula de la siguiente manera :

V = a3

El cubo es una forma especial de paralelepípedo rectangular. En un

paralelepípedo rectangular los respectivamente dos áreas enfrente sonrectángulos iguales. En un paralelepípedo rectangular las áreas apuestasson rectángulos de igual tamaño. Por eso la supercie del exterior es la

suma de las seis áreas en total.

A = 2 (a · b + a · c + b · c)

Para calcular el volumen se multiplican las tres supercies de los lados.

V = a · b · c

En un cilindro las dos áreas opuestas son círculos. Los dos círculos seconectan mediante el área de la supercie. La supercie del cilindro se

calcula por medio de las áreas de los dos círculos. Los círculos y la su-percie lateral se pueden calcular a través del perímetro del círculo y la

altura del cilindro. El volumen de un cilindro se calcula, también desdeel área del círculo y la altura del cilindro.

Un cilindro tiene un diámetro de 5 cm y una altura de 20 cm. ¿Qué su-percie y volumen tiene el cilindro? En primer lugar se calculan el área

y el perímetro del círculo.

Ejemplo

A =1

4d

A =1

43,1416 5 cm

A = 19,635 cm

U = d

U

2

2 2

2

π

π

== 3,1416 5 cm

U = 15,708 cm


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Fundamentos

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Minos

Del cálculo del perímetro del círculo y de la altura del cilindro se calcularála supercie lateral.

AM = U · h

AM

= 15,708 cm · 20 cmAM = 314,16 cm

2

El área total se obtiene de la suma de los dos círculos y la supercie

lateral.

AZyl

= 2 · AKr

+ AM

AZyl

= 2 · 19,635 cm2 + 314,16 cm2

AZyl

= 353,43 cm2

El volumen se determina con la multiplicación del círculo con la altura.

VZyl = A · hV

Zyl = 19,635 cm2 · 20 cm

VZyl

= 392,7 cm3

Al contrario que el cilindro, la prisma no tiene área con forma de círculo,sino supercies de tres, cuatro o más esquinas. Por lo tanto, es el oc-taedro con ángulos rectos cono áreas, un caso excepcional del prisma.

La bola, es un cuerpo en el que todo el área tiene la misma distanciadesde el centro. A la distancia del área desde el punto medio se le llama

radio. El área del círculo se calcula con la siguiente fórmula:

A = 4 · π · r 2

El volumen de una esfera es:


Además de estos podemos encontrar otros tipos de cuerpos. Sin embargono podemos tratarlos todos en este tema.

Ejercicio

V =4

3r

3π


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Fundamentos

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Minos

2.1 Fundamentos de la Física

2 Ingeniería física

Se denomina magnitud física a la propiedad conmensurable de un objetofísico. Estas magnitudes físicas se pueden relacionar mediante opera-ciones de física. Además, dichas magnitudes están compuestas de unamedida y una unidad.

El Sistema Internacional de Unidades Básicas ha determinado sietemagnitudes para la Física. Estas unidades SI (del francés: SystèmeInternational d‘ Unités)se encuentran en el siguiente recuadro:

Basisgröße Basiseinheit Einheitszeichen

Länge

Masse

Zeit

Stromstärke

Temperatur

Stoffmenge

Lichtstärke

Meter

Kilogramm

Sekunde

Ampere

Kelvin

Mol

Candela

m

kg

s

A

K

mol

cd

2.1.1 Magnitudes y unidades físicas

Ejemplo

Cuadro 1: Unidades SI

A partir de estas unidades básicas se pueden formar otras magnitudes.

La velocidad se compone de distancia y tiempo. En un determinadoespacio de tiempo se recorre cierta distancia. Es por esto que su unidades m/s.

La aceleración es el cambio de velocidad en un determinado espacio detiempo. La unidad que la describe es m/s2.

Magnitud básica Unidad básica Símbolo de la unidad

Longitud

Masa

Tiempo

Intensidad

Temperatura

Cantidad de sustancia

intensidad luminosa

Metro

Kilogramo

Segundo

Amperio

Kelvin

Mol

Candela


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Minos

ztasr oV nehciezztasr oV r otkaF

onaN n 100000000,0

or kiM µ 100000,0

illiM m 100,0

oliK k 0001

ageM M 0000001

agiG G 0000000001

Cuadro 2: Prejos de las unidades SI

Dado que los valores de los números pueden ser muchas veces muy altoso muy bajos se utilizan ciertos prejos. Estos prejos se colocan delante

de las unidades de medida y se utilizan, sobre todo, en cantidades de mil.

Los prejos más importantes se encuentran en la siguiente tabla:

Ejemplo Una carretera se extiende a lo largo de una distancia de 5,8 km. Unkilómetro corresponde a 1000 m. Por consiguiente, la carretera tieneuna longitud de 5800 m.Se recomienda que estas magnitides físicas se representen con la menor

cantidad de cifras posibles después de la coma.


Para obtener otras magnitudes físicas, las diferentes unidades básicasse combinan con fórmulas matemáticas. Para que estas fórmulas tenganvalidez general se sustituyen las magnitudes por letras.

La letra F se utiliza para la fuerza y la M para la masa. Aunque no debe-mos confundir esta unidad con los metros, que se representan medianteuna m minúscula.

El término dimension establece la referencia a la magnitud básica. Elancho o el radio tiene la dimensión de longitud y se les asigna la unidadmetro.

Además, hay magnitudes físicas que no tienen dimensión porque susunidades han ido desaparenciendo por medio de la simplicación y así

se utiliza el 1. Por ejemplo, una magnitud sin dimensión es el coeciente

de la resistencia al aire.

Ejercicio

PREFIJO SÍMBOLO FACTOR


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Fundamentos

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Minos

2.1.2 Ecuaciones físicas

A las ecuaciones matemáticas en las que se utilizan magnitudes físicasse las denomina ecuaciones de magnitudes. Por ejemplo, la fuerza secalcula según la fórmula Fuerza = Masa · Aceleración.

Una vez hayamos sustituido las magnitudes por letras obtendremos lasiguiente ecuación

F = m · a

Si sustituimos a continuación las letras por valores podremos calcularla fuerza. Las unidades se deben anotar siempre e incluirlas siempreen el cálculo. Así podemos comprobar nuestras operaciones, ya queconocemos la unidad del resultado.

F = m · a

F = 1 kg · 10 m/s2

F = 10 kg · m/s2

F = 10 N

En la física no se pueden realizar operaciones sin unidades. En estecaso el resultado es solamente un valor y no está claro qué unidad serepresenta realmente. En una fuerza 10 no podemos saber si hablamos

de Newton o de Kilonewton.

Ejemplo


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Minos

2.2 Fuerza

La fuerza se representa mediante la F. La unidad es Newton, abreviado N.

La fuerza se necesita para acelerar una masa determinada. En unafórmula se puede representar de la siguiente manera:

F = m · a

Se necesita un Newton para acelerar una masa de un kilogramo con unavelocidad de un metro por segundo cuadrado.

F = m · a

F = 1 kg · 1 m/s2

F = 1 N

¿Qué masa ejerce/tiene una fuerza un Newton hacia abajo, si tenemosesta masa en la mano? La aceleración de gravedad que inuye en la

masa es de 9,81 m/s2.

m = F / a

m = 1 N / 9,81 m/s2

m = 0,1019 kg

Para describir una fuerza de forma completa, se necesitan todos losvalores, es decir, el tamaño, la situación y la dirección.

Ejemplo

Imagen 8: Representación gráca de fuerzas

F1

F2

F3 F1

= F2

F1≠ F

3

Importante


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Fundamentos

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Minos

Normalmente la fuerza se representa de forma gráca mediante una

echa. El largo de la echa simboliza el valor de dicha fuerza. La si-tuación de la fuerza en el espacio se determina según la dirección y elorigen de ésta.

A la hora de representar una fuerza como un vector normalmente secoloca una echa sobre la letra F. En inglés, sin embargo, encontramos

una raya debajo de esta letra.

Los vectores de fuerza se pueden extender a lo largo de su línea deefecto. La echa representa la dirección en la que se ejerce la fuerza.

Sin embargo, no pueden desplazarse de forma paralela ya que el origende éstos cambiaría.

La fuerza F1que vemos en la imagen corresponde a la fuerza F

2, en

su acción, ya que ambas fuerzas guiadas a una dirección común. Por

otro lado, la fuerza F3 actua de forma diferente a la F1, ya que esta esaplicada a otro punto de ataque.

2.2.1 Suma de fuerzas

Se puede dar el caso en el un cuerpo es sometido a diferentes fuerzas.Todas ellas pueden resultar en una sola. Esta fuerza se denomina fuerzaresultante.

Cuando las fuerzas se encuentran en la misma línea de efecto, es muyfácil unirlas. Simplemente sumando sus valores. La echa resultante

tiene la longitud de ambas fuerzas juntas.

Si la dirección de las fuerzas es opuesta se resta la fuerza menor de lafuerza mayor. La echa resultante es menor que la echa mayor en un

principio.

Imagen 9: Suma de fuerzas

F1

F2

F3

F3= F

1 +F

2

F1

F2

F3


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Fundamentos

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Minos

En lo que concierne a los vectores, estos siempre se suman unos conotros, incluso si las dos echas representan sentidos opuestos. Esto

sucede porque la forma gráca de los vectores contiene no solo el valor

sino también la dirección.

Grácamente hay dos posibilidades para describir la suma de varias

fuerzas que parten de un punto común.

Una de ellas consiste en unir los vectores. Colocamos en extremo inicialdel segundo vector en la punta del primer vector. Si unimos el extremoinicial del primer vector con la punta del segundo obtenemos otro vectorde fuerza como resultado.

En la segunda posibilidad se forma un paralelograma de fuerzas mediantelos vectores. Los lados nuevos se encuentran paralelos a cada uno delos vectores de fuerza.

El punto de partida de la fuerza resultante está en el mismo origen defuerza que los dos vectores, el punto nal se obtiene del punto de inter -sección de los dos lados unevos del paralelogramo. De nuevo en estecaso la longitud del vector representa la fuerza resultante.

Imagen 10: Suma gráca de fuerzas

F1

F2

F1

F2

F1

F2

F3

F3

F3= F

1 +F

2


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Fundamentos

45

Minos

Si se ejercen diferentes tipos de fuerza en puntos distintos de un cuer-po, entonces, antes de realizar la suma, se tiene que alargar la línea deefecto hasta que se encuentre un punto de intersección común. Despuésrealizaremos la suma como ya hemos visto.

Si tenemos dos tipos de fuerzas que no se encuentran paralelas haysiempre un punto de intersección. sin embargo, esto no sucede con treso más fuerzas. Para sumar todas estas fuerzas se alargan primero dosvectores hasta que encuentren un punto en común y nalmente se suman.

La fuerza que resulta de dicha operación se hace coincidir con una ter-cera fuerza, y, después, se suman.Si se da el caso volveremos a sumareste resultado con otra fuerza.

Tenemos que tener en cuenta que la fuerza resultante contiene ademáslas dos fuerzas que resultan del paralelogramo. Además, no se pueden

formar otros paralelogramos con ellas.

Imagen 11: Representación gráca de muchas fuerzas

F1

F2

F3F1

F2

F3

F1,2

F3

F1,2

F1,2,3

F1,2 = F1 +F2F1, F2, F3

F

1,2,3

= F

1

+F

2

+ F

3


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Fundamentos

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Minos

Esta foma de suma no se puede aplicar en fuerzas paralelas, ya que laslíneas de efectos no tiene un punto en común.

Si queremos sumar fuerzas que se encuentran paralelas tenemos quehacer uso de dos fuerzas auxiliares. Estas fuerzas deben ser igual delargas pero sus sentidos deben ser opuestos. Además, deben tener suorigen en el punto de partida de ambas fuerzas paralelas. Ya que tienenla misma longitud, se compensan a causa de sus sentidos opuestos. Poreso su suma siempre es cero.

Ahora se suman la fuerza normal y la adicional. Ya que las fuerzas re-sultantes no son paralelas, tienen un punto de intersección común y sepueden sumar.

Si se tienen que sumar más fuerzas paralelas, se realizará la operaciónde dos en dos.El resultado se sumará luego a una tercera fuerza. Además

podemos utilizar la fuerza adicional hacer estos cálculos, que se anulanmutuamente.

La suma de más fuerzas se realiza siempre según este principio.

Imagen 12: Suma gráca de fuerzas paralelas

F1

F2,h

F2 F1 F2

Fh Fh

F1,h

F1,2


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Fundamentos

47

Minos

2.2.2 División de fuerzas

La operación inversa a la suma de fuerzas es la división de fuerzas.Esta operación se utiliza para saber proporción de fuerza se encuentraen una determinada dirección. Al contrario que en la suma, en la divisiónse sabe en qué direcciones tienen que actuar las fuerzas.

Un vestor de fuerza está representado en un sistema de coordenadascon un eje X y un eje Y. Debemos determinar la magnitud de las fuerzasen dirección X y en dirección Y.

Para calcular estas fuerzas, se alargan los ejes X e Y hasta que se cru-zan con el principio y el nal del vector de fuerza. De esta forma se crea

un cuadrado en que el vector se cruza en las dos esquinas opuestas.

Los dos lados del cuadrado que parten del origen del vector representan

la proporción de fuerza en dirección X y en dirección Y. La longitud devarias líneas determina la magnitud de las fuerzas en ambas direcciones.

¡Solucione los ejercicios número 26 y 27 del libro de ejercicios!

Imagen 13: División gráca de fuerzas

Ejercicio

F1

FY

FX

Y-Achse

X-Achse

F1

Y-Achse

X-Achse

eje Y

eje X

eje Y

eje X


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Fundamentos

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Minos

2.3 Momento de rotación

Una fuerza puede actuar sobre un cuerpo móvil exactamente en el centrode gravedad. En este caso el cuerpo experimentará una aceleración.

Si la línea de acción de una fuerza no cruza sobre el centro de gravedadde un cuerpo móvil libre, entonces girará, debido a la fuerza ejercida.Ese giro viene ocasionado por el momento de rotación que se crea porel efecto de la fuerza ejercida.

El momento de rotación es el producto de una fuerza y de la distancia dela línea de efecto de esa fuerza hasta el punto de gravedad de un cuerpo.La línea de fuerza se encuentra perpenticular respecto a la distancia delcentro de rotación.

La unidad del momento de rotación se calcula a partir de la multiplicación

de la fuerza y la distancia y viene dada en newtonmetro. El momentode rotación se calcula mediante la siguiente ecuación:

Momento de rotación = Fuerza · Brazo de palanca

M = F · l

Imagen 14: Momento de rotación

F

l

M


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Fundamentos

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Minos

Un tornillo tiene que apretarse con un momento de torción de 40 Nm.El destornillador mide 200 mm. ¿Con qué fuerza se tiene que apretar eldestornillador para conseguir el momento de rotación que se necesita?

M = F · l

F = M / l

F = 40 Nm / 0,2 m

F = 200 N

Con el destornillador tiene que ejercerse una fuerza de 200 N.

Si se utiliza otro destornillador con un largo de 400mm, solamente senecesitaría una fuerza de 200 N. Sin embargo, serían necesarios 400 N

si el destornillador tuviera solo 100 mm de largo.

El momento de rotación se consigue aplicando no solo una fuerza. Sinembargo estas fuerzas tienen que encontrarse todas en el mismo plano.

Por ejemplo, imaginemos que en vez de usar un destornillador usamosuna llave de cruz para apretar o aojar tuercas. Mientras se tira de una

de las palancas, se ejerce presión en el otro lado.

De esta forma podemos ver que si se producen varios momentos derotación el momento de rotación resultante es igual a la suma de estos.

¡Solucione los ejercicios número 28 hasta 30 del libro de ejercicios!Ejercicio

Ejemplo

Imagen 15: Suma de momentos de rotación

F

M

F


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Fundamentos

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Minos

2.5 La ley de palanca

Una palanca es un cuerpo jo que puede girar sobre su propio eje.Con

una palanca se puede cambiar la dirección o la magnitud de una fuerza.

para que la palanca se encuentre en equilibrio si como mínimo actúandos fuerzas sobre ella. Mediante cada una de esas fuerzas se ejerce unmomento de rotación alrededor de un punto de rotación.

La palanca solamente está en equilibrio si la suma de los momentos derotación ejercidos por las fuerzas es igual a 0.

En una balanza hay un peso que se encuentra a una distancia de 20 cmdel punto de rotación. Al otro lado de la balanza se encuentra un pesoque ejerce una fuerza de 5 N. Éste último se encuentra a 50 cm del puntode rotación. ¿Qué fuerza ejerce la carga?

FL · l

L = F

G · l

G

FL = F

G · l

G / l

L

FL = 5 N · 0,5 m / 0,2 m

FL = 12,5 N

La carga ejerce una fuerza de 12,5 N.


Ejemplo

Imagen 17: Palanca de una balanza

FG

FL

lG

lL


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Fundamentos

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Minos

2.6 Presión

Los gases y los líquidos que están en un recipiente ejercen presión enlas paredes de éste. Así se dene presión como la fuerza que se ejerce

sobre una determinada área. Esta norma se denomina Ley de Pascal.

p = F / A

Presión = Fuerza / Área

De las unidades de fuerza y área surgen las unidades de presióncorrespondientes, que se representan mediante N/m2. Para simplicaresta unidad se utiliza el Pascal.

1 Pa = 1 N/m2

La presión ejercida de un Pascal es muy ligera. La presión atmosféricaes aproximadamente 100.000 veces mayor que esta presión. Por eso,muchas veces la presión se indica en kilopascales o megapascales.

1 000 Pa = 1 kPa1 000 000 Pa = 1 000 kPa = 1 MPa = 1 N/mm2

F

p

Imagen 18: Principio de Pascal


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Fundamentos

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Minos

Aparte de las unidades SI, la unidad bar es muy usada en el sectortécnico. Un bar corresponde aproximadamente a la presión atmosféricade la Tierra.

1 bar = 100 000 Pa = 10 N/cm2

La presión atmosférica es una presión absoluta. Se mide en un espaciosin presión. La presión atmosférica se representa mediante la unidadp

atm. Atm signica atmósfera. La presión atmosférica uctúa dependiendo

del tiempo en un espectro de 960 mbar hasta 1040 mbar.

En el sector técnico muchas veces se indican presiones en forma desobrepresiones. La e de p

e signica excedens, que signicar exceder.

Si jamos un manómetro a un recipiente mostrará la sobrepresión. Sin

embargo, si es negativa se calica de depresión. En la supercie de la

Tierra podemos encontrar hasta un bar de depresión.

Para realizar operaciones se tiene que utilizar las presiones absolutasp

abs. Éstas nunca serán menores a 0.

p

[bar]

pe = 2bar pabs =3 bar3

2

1

4

pam b =ca. 1 bar

pe =– 0,4 bar pabs =0,6 bar

Imagen 19: Presión absoluta y sobrepresión


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Fundamentos

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Minos

Al contrario que las antiguas unidades ata y atü, la unidad bar no deter-mina si se trata de una presión absoluta o una sobrepresión. En caso deambigüedad se debe valorar de qué tipo de presión se trata.

Un cilindro tiene un pistón con un diámetro de 32 mm. La presión aplica-da equivale a 6 bar. ¿Qué fuerza se ejerce sin considerar las pérdidas?

Un pistón circular con un diámetro de 32 mm tiene un área de aprox.8 cm2.

p = F / A

F = p · A

F = 6 bar · 8 cm2

F = 60 N/cm2 · 8 cm2

F = 480 N

El cilindro ejerce una fuerza de 480 N con una presión de 6 bar.

¡Solucione los ejercicios número 32 y 33 del libro de ejercicios!

Ejemplo

Ejercicio

2.6.1 Transmisión de fuerzas

Cuando hablamos de transmisión de fuerzas nos referimos a una aplica-ción práctica de La Ley de Pascal. En un recipiente cerrado tenemos ungas o un líquido. En las dos aperturas, que son distintas, se encuentrandos émbolos.

Si hacemos fuerza con los dos émbolos se produce presión interna enel recipiente. Si los dos émbolos tienen tamaños distintos, tenemos queejercer una fuerza mayor sobre el émbolo más grande y así lograr el

equilibrio de fuerzas.

La transmisión de fuerzas posibilita que de una fuerza menor ejercidasobre un pequeño émbolo se produzca una fuerza mayor sobre el otroémbolo. Las presas hidráulicas, por ejemplo, cumplen este principio.

Tal y como se describe en la Ley de Palanca, el émbolo de menor tamañoexperimentará mayor elevación que el cilindro más grande. Si queremosque el émbolo mayor también realice largo recorrido movemos el pequeñorepetidas veces. Cuando baja se succionará más y más líquido.


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Fundamentos

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Minos

A1 A2<

F1 F2<

p

Imagen 20: Transmisión de fuerzas

Ejemplo

Para la transmisión de fuerzas se usa la siguiente fórmula:

p = F1 / A

1 = F

2 / A

2

Se puede instalar un émbolo suplementario en un recipiente. Este émboloindependiente tiene a cada lado un área del mismo tamaño. De esta for-ma el émbolo se mueve de igual forma, ejerciendo la misma presión enambos lados. Este tipo de émbolos se utiliza como medio para separarpresiones e impedir que se mezclen diferentes tipos de líquidos.

El émbolo de menor tamaño tiene un área de 5 cm2 y el mayor de 50 cm2.Sobre el pequeño se ejerce una fuerza de 100 N. ¿Qué fuerza actúasobre émbolo mayor, si no consideramos las pérdidas?

F1 / A

1 = F

2 / A

2

100 N / 5 cm2 = F2 / 50 cm2

F2 = (100 N / 5 cm2) · 50 cm2

F2 = 1000 N

Dado que el área es diez veces más grande, se ejerce una fuerza diezveces más grande que sobre el émbolo mayor.


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Fundamentos

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Minos

2.6.2 Transmisión de presión

La transmisión de presión es también una aplicación de la Ley de Pascal.Supongamos que tenemos un émbolo independiente con dos áreas dis-tintas. Tanto en la construcción como en la imagen el espacio intermediodebe tener una abertura de ventilación para evitar reservas de presión.

Para que exista un equilibrio de fuerzas en los émbolos debe haber máspresión en la supercie de menor tamaño que en los émbolos mayores.

De lo contrario , una pequeña presión aplicada a una supercie grande

es suciente para generar una presión más alta en la supercie pequeña.

La transmisión de presión se calcula de la siguiente forma:

F = p1 · A

1 = p

2 · A

2

La transmisión de una presión puede ser utilizada por ejemplo cuandose aplica aire comprimido a la supercie grande con el fín de producir

una presión considerablemente más grande en la supercie pequeña,

la cual actúa en un uido hidráulico.

Imagen 21: Transmisión de presiones

p1 p2

A1 A2>

F F


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Fundamentos

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Minos

El émbolo mayor tiene un área de 50 cm2 y el menor una de 5 cm2. Sobreel émbolo mayor se ejerce una presión de 5 bar. ¿Qué presión actúasobre el émbolo menor, si no consideramos las pérdidas?p

1 · A

1 = p

2 · A

2

5 bar · 50 cm2 = p2 · 5 cm2

p2 = 5 bar · 50 cm2 / 5 cm2

p2 = 50 bar

Debido a que el área es diez veces mayor, se ejerce sobre esta supercie

una presión diez veces más grande de 50 bar.


Ejemplo

Ejercicio

2.6.3 Ley de los gases ideales

Los líquidos tienen un cierto volumen. Los gases por el contrario siempreocupan el espacio que está disponible. La fómula para realizar operacio-nes con estos gases viene relacionada con la presión, la temperatura yel volumen. El aire se puede considerar como gas ideal.

Cuando se usa esta fórmula se tiene que tener en cuenta que la presióndebe ser presión absoluta, al igual que la temperatura. En este aparta-dos los valores vienen dados en Kelvin, con lo que en ciertas ocasionestendremos que realizar algunos cálculos previos.

Si la presión, la temperatura y el volumen, mientras un cambio de esta-do, se mantienen igual en el gas, entonces los cálculos son mucho mássencillos.

Si la temperatura es constante utilizaremos la siguiente fórmula:

p1 · V

1 = p

2 · V

2

Si el volumen es constante, entonces aplicaremos esta fórmula:

p1 / T

1 = p

2 / T

2

En el caso de que no cambie la prensión, entonces se aplicará esta otrafórmula:

V1

/ T1

= V2

/ T2

p V

T =

p V

T

1 1

1

2 2

2


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Fundamentos

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Minos

Se comprimen 8 m3 de aire ambiente en un volumen de 1 m3. El airesuccionado tiene una temperatura de 20 °C. Debido a la compresión latemperatura aumenta a 50 °C. ¿Qué presión tiene el aire comprimido?

Ejemplo

p V

T=

p V

T

1bar 8 m

(273 + 20)K=

p 1m

(273

1 1

1

2 2

2

3

2

3

++ 50)K

p =1bar 8 m (273 + 50)K

(273+ 20)K 1m

p =

2

3

3

2

88 m 323 K

1m 293 K bar

p = 8,82 bar

3

3

2

La presión calculada es una presión absoluta. Si al aire comprimido estáen un recipiente, la sobrepresión es solo de unos. 7,8 bar.

Si el aire comprimido se enfría a una temperatura ambiente de 20 °Cdespués de la compresión, la presión disminuirá un poco. ¿Qué presióntiene el aire después del descenso de temperatura? El volumen no secambia.

p1 / T

1 = p

2 / T

2

8,82 bar / 323 K = p2 / 293 K

p2 = 8,82 bar · 293 K / 323 K

p2 = 8 bar

Debido al descenso de temperatura, la presión del aire comprimido baja auna presión absoluta de 8 bar, lo que supone una sobrepresión de 7 bar.


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Fundamentos

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Minos

2.6.4 Medios en movimiento

Cuando un líguido o un gas uye por una cañería, la velocidad de curso

de una determinada corriente depende del perl transversal de la tubería.

Cuanto menor es este perl, más rápido debe uir este medio.

La relación entre velocidad de ujo y persil transversal se describe me-diante la ley de continuidad y se representa según la siguiente fórmula:

v1 · A

1 = v

2 · A

2

Después de que se haya alcanzado una velocidad alta en un paso es-trecho la velocidad de ujo disminuye.

La cantidad de energía no varia si no se conduce más energía haciaadentro o se emite hacia fuera. Dado que la alta velocidad de la energía

en movimiento de este medio aumenta, disminuye respectivamente laenergía de presión.

La presión pude llegar a disminuir tanto, que ningún medio saldría poruna abertura en el paso estrecho. Este efecto se utiliza, por ejemplo, eneyectores para crear depresiones en ventosas.

v1 v2

A1 A2

Imagen 22: Ley de la continuidad


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Fundamentos

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Minos

2.7 Tensión

El término tensión se emplea en este apartado con relación a cuerpossólidos. No debemos confundirlo con la tensión eléctrica.

Cuando se hemos analizado las fuerzas o momentos de fuerza sobredeterminados cuerpos hemos visto que los cuerpos rígidos no se defor-man cuando están expuestos a cargas. Sin embargo, esta armación se

cumple solamente cuando estos cuerpos tienen una determinada solidez.

Los efectos de ciertas cargas ejercidas por fuezzas o momentos defuerzas se denominan tensiones. Esta carga se realiza sobre una su-percie determinada. La fuerza que se ejerce debido a esta carga junto

a la tensión se encuentran en una dirección determinada.

Por normal general se aplica:

Tensión = Fuerza / Área

La unidad resultante se expresa mediante N/mm2.

Se distinguen dos tipos fundamentales de tensión mecánica. La tensiónnormal σ actúa verticalmente, es decir normal, sobre el área. Dicha áreariene un corte transversal especíco S.

Los casos típicos en los que se producen tensiones normales se debena cargas producidas por presión, tracción o ección. Así utilizamos la

siguiente fórmula:

σ = F / S

Por el contrario la tensión producida por cizalladura τ actúa en el mismoárea como la sección transversal observada. Estas tensiones se producendebido a cizalladuras o torsiones. Para calcular esta tensión se utilizala siguiente fórmula:

τ = F / S

Las tensiones no solo aparecen en cuerpos sólidos, sino también enlíquidos o gases.


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Fundamentos

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Minos

Ejemplo Tenemos que colgar 600 kg de un tornillo con un gancho. El tornillo conuna rosca de M8 se deduce de la tabla de características de materialescon una tensión permitida de 400 N/mm2 . El corte trasversal más noes de 30 mm2. Podrá el gancho con el perso?

σ = F / S

F = σ · S

F = 400 N/mm2 · 30 mm2

F = 12000 N

El tornillo puede soportar una carga de fuerza de 12000 N.

A continuación, se calcula la fuerza del peso. La gravedad la vamos a

redondear en10 m/s2. La fuerza dividia entre la masa comprende:

F = m · g

F = 600 kg · 10 m/s2

F = 6000 N

La masa actúa con una fuerza de 6000 N sobre el tornillo. Esta fuerzaes la mitad de la máxima permitida. Así, el tornillo aguantará el peso. Elfactor de seguridad tendrá en este caso 600 kg con el valor 2.


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Fundamentos

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Minos

2.8 Fricción

Si dos cuerpos conectados se mueven en dos direcciones contraria seproduce una fuerza de fricción entre ellos. esta fuerza se produce en ladirección contraria a la de movimiento. Es por ello que la fricción actúacomo impedimento entre dos cuerpos.

La fuerza de friccón se representa como FR. Su magnitud depende, por un

lado, de la fuerza con la que los cuerpos rozan la supercie. Esta fuerza

se ejerce de forma perpenticular a la supercie, por ello se considera

fuerza normal FN. La fuerza de fricción, al igual que la fuerza normal, se

expresa en Newton.

Por otro lado la fuerza de fricción depende del estado de la supercie.

Este valor se determina mediante el coeciente de fricción µ. Este valor

se aplica siempre a las dos supercies, y por consiguiente, no se puede

aplicar a una sola supercie.

El coeciente de fricción indica en qué medida se pueden deslizar dos

supercies, la una con la otra. Si se produce un mayor coeciente de

fricción el rozamiento es mayor, y, con ello, el correspondiente desliza-miento se produce de forma más costosa. El coeciente de fricción no

consta de ninguna unidad.

Para calcularlo utilizamos la siguiente fó

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MODULO 1_4 spanisch_libro_komplett.pdf