Albert Einstein

MOJATEORIJA

Prevod i predgovorDamir Mikuličić

Drugo izdanje

OrginalAlbert Einstein

ÜBER DIE SPEZIELLE UND DIE ALLGEMEINERELATIVITÄTS THEORIE

(1916) 1956

"Zašto sam baš ja stvorio teoriju relativnosti?... Čini mi se da je razlog sljedeći: Normalno odrastao čovjek uopće ne razmišlja o prostoru i vremenu. Po njegovom mišljenju, on je s tim pitanjima raščistio još u djetinstvu. Ja sam se, međutim razvijao tako sporo da su prostor i vrijeme zaokupljali moje misli kad sam bio već odrastao..."

Albert Einstein

PREDGOVORPostao je legendom još za života. Kao stoje nekoć astronomiju predstavljala božica

Urania s globusom u ruci, tako je i slika Einsteina postala u najširoj javnosti simbolom znanja, znanosti, laiku nerazumljive složenosti suvremene filozofije prirode.

Govorilo se da njegovu teoriju razumije svega nekoliko ljudi na svijetu, no to je samo anegdota. Na sreću. Jer kad bi tako doista bilo, ne bi teorija relativnosti bila ono sjeme koje će u prvim desetljećima našega stoljeća potaknuti na daljnji razvoj cjelokupnu filozofiju prirode posustalu zbog nekih nerazjašnjivih proturječnosti klasične njutnovske slike svijeta. Einsteinova tri rada iz godine 1905. i o Broumovom gibanju kojim je dokazao ispravnost atomističke hipoteze, o elektrodinamici tijela ugibanju kojim je postavio osnove specijalne teorije relativnosti, o prirodi svjetlosti u kojoj je predložio fotone kao nosioce Planckovih kvanata zračenja - inicirala su početak niza stvaralačkih znanstvenih pohoda koji će razjasniti mnogo toga i nakon kojih svijet više neće izgledati isto.

U povijesti znanosti, i ne samo znanosti, Einstein zauzima po mnogo čemu istaknuto mjesto. On je fenomen ne samo u fizici, njegova pojava na svjetskoj sceni bila je i ostala bez premca i nasljednika. Nikada prije, a ni poslije, nisu jednom učenjaku, čovjeku od znanja a ne političke moći, čistom teoretičaru koji se bavio problemima bez praktički ikakve veze sa svakodnevnim životom, iskazivane tolike počasti, nitko nije toliko slavljen, toliko popularan među milijunima ljudi, kao ovaj tvorac najapstraktnije i od prakse najdalje teorije. Samome Einsteinu nikad nije bilo posve jasno otkud to silno zanimanje ljudi za njegovu teoriju, za proizvode 'mog jedinog laboratorija glave" kako je govorio. To više što je on po prirodi bio skroman čovjek bez imalo želje za osobnom slavom ili materijalnim dobrima. Cijelu graju oko svog imena, "publicity", doživljavao je kao prirodnu katastrofu što mu se sručila na glavu. Fenomen Einsteinove slave izlazi izvan okvira fizike i mogao bi biti predmetom istraživanja za sociologe i psihologe. Bilo je, istina, i ranije slavnih učenjaka i istraživača no oni su bili poznati relativno uskom krugu ljudi i primali su priznanja i titule samo unutar visokog društva znanstvene ili političke elite. Einstein je po mnogo čemu bio nova pojava. Bio je, na izvjestan način, "općenarodni" učenjak svijeta, zapravo je nastupajućem vijeku znanosti utjelovio u svojoj osobnosti samu tu znanost. Postojao je njen simbol, budući daje već iz psihologije opće poznata pojava da ljudi vole primati apstraktne pojmove, političke, znanstvene, bilo kakve, preko nekog posrednika, ličnosti koju time i identificiraju s tim apstraktnim pojmovima.

Odnosili su se prema njemu kao prema nekoj filmskoj divi, s tom razlikom što njoj vremenom slava tamni, a Einsteinu je vremenom rasla. Bilo mu je čak ponuđeno da postane predsjednikom jedne države-novoosnovanog-Izraela što je, bez obzira na računicu

cionističkog pokreta da iskoristi ime i autoritet svog slavnog sunarodnjaka, bio potez bezpresedana nad kojim bi zapljeskao i davno pokojni Platon, autor "Države", idealne države kojom upravljaju filozofi, učenjaci i umjetnici. Premda je ta predsjednička funkcija bila posve počasna, a ne radna, Einstein je ljubazno odbio ponudu.

Bez sumnje, golema je zasluga Einsteina za razvoj znanosti odnosno ljudske misli općenito. Bilo je, dakako, još ljudi u povijesti znanosti. Mnogim istraživačima sudbina nije bila sklona, odnosno nedostajala im je rezonancija s vremenom u kojem su živjeli Fenomen "Einstein" možda se najbolje može shvatiti promatramo li ga kao primjer sretne kapule između čovjeka i njegove epohe; ova interakcija između jedne originalne ličnosti i povijesne potke učinila je od Einsteina izuzetnu bajku primjerenu našem stoljeću eksplozije znanosti.

No legenda o Einsteinu ima i drugu stranu medalje. Nedjeljivu. Upravo one iste povijesne okolnosti koje su iz njegova djela stvorile herojstvo uma i znanja učinile su iz njega i heroja drame, drame suvremene znanosti Bio je istjeran iz svoje kule bjelokosne na krutu zbilju najnižih političkih strasti Njemačke između dva rata. Težio je samo čistoj spoznaji, a bio je svjedokom kako se ona preobražava u nuklearnu moć. Bio je uvjereni pacifist, a svoj je znanstveni autoritet morao upotrijebiti u svrhu konstruiranja najstrašnijeg oružja. Bio je samotni mislilac, a promatrao je kako znanost postaje sve više timski rad. Jednom riječju, bio je sudionik i svjedok preobražaja koji je, potaknut njegovim otkrićima, na krnju srušio ideale tvorca .

Einstein je težio za spoznajom svijeta radi spoznaje same, nije bio samo fizičar koji istražuje uzroke pojava već i filozof koji teži da nacrta sveobuhvatnu sliku svijeta na temelju iskustveno ustanovljenih uzoraka ponašanja materijalnog svijeta "Najneshvatljivije je na svijetu to da je on shvatljiv", bio je napisao izražavajući svoju vjeru da se iza svekolike zamršenosti i mnogobrojnosti pojava nalaze jednostavna jedinstvena načela kojima se pokorava cijeli univerzum.

Specijalna teorija relativnosti, formulirana 1905. godine, počiva na dva načela. Prvo, takozvano "specijalno načelo relativnosti", nije nikakva novost već, naprotiv, dobro poznato iskustvo iz klasične mehanike: svi opći prirodni zakoni koji vrijede u nekom koordinatnom sustavu S moraju također nepromjenjivi vrijediti i u nekom drugom koordinatnom sustavu S' koji se ravnomjerno translatorno giba u odnosu na S. Fizičari na dva broda koji mirno plove jedan u odnosu na drugog dobivaju iste rezultate svojih pokusa.

Drugo načelo na kojem je građena specijalna teorija relativnosti jest načelo konstantnosti brzine svjetlosti u vakuumu. Ovo načelo proizlazi iz elektrodinamike, iskustveno je potvrđeno i izriče da svjetlost u vakuumu ima stalnu brzinu širenja koja je posve nezavisna o gibanju izvora svjetlosti Einsteinova je zasluga što je ta dva, empirijski poznata, a logički naizgled nespojiva načela uspio objediniti u specijalnoj teoriji relativnosti. Da bi se ona objedinila bilo je, međutim, nužno mijenjanje kinematike, odnosno zakona koji se u fizici odnose na prostor i vrijeme. I gle, kroz prizmu relativističke kinematike sve se odjednom izmijenilo i dobilo novi smisao. Ako su zadovoljena dva spomenuta načela, tada hod ura i oblik tijela moraju ovisiti o njihovu gibanju! Čak i izjava o istodobnosti dvaju događaja gubi smisao kakvog ima u klasičnoj kinematici. Na temeljima nove relativističke fizike, temeljima jednostavnim i otprije

poznatim, ali naizgled proturječnim u okvirima klasične fizike, mogla se sada dalje nadograđivati fascinantna građevina filozofije prirode. Najvažnija posljedica specijalne teorije relativnosti odnosila se na tromu masu: stavak o održanju mase stopio se sa stavkom o održanju energije, masa i energija postadoše jedno.

Postavljajući specijalnu teoriju relativnosti Einstein je dakle samo na nov način povezao poznata znanja i time otvorio nove vidike. Neka su čuda postala sada razumljiva,jer, kako reče, 'cilj je svakog misaonog djelovanja pretvaranje čuda u nešto razumljivo' Prostor i vrijeme, najosnovniji pojmovi fizike, postadoše u toj teoriji spojeni u neraskidivo jedinstvo. Kasnije, tom je prostorno-vremenskom jedinstvu Einstein pridodao još i materiju odnosno gravitaciju te tako specijalnu teoriju proširio u opću. Po općoj teoriji relativnosti prostor, vrijeme i materija oblikuju pejsaže svemira, a materija je u tom svemiru poput nekih čvoruga i neravnina koje iskrivljuju i prostor i vrijeme. Univerzum nije "ravan" u euklidskom smislu; moramo odbaciti pojmove "pravca", "ravnine" itd. Svijet je poput modelarske gline koju gnječi i mijesi ruka kipara, to je razigrana prostorno-vremenska žitka kaša kojoj oblik na pojedinom mjestu određuje tamošnja nakupina materije.

Ovako smiona, apstraktna ali logička tvorevina uma - opća teorija relativnosti - koja je prostor-vrijeme i materiju svela na tip geometrije, proizašla je iz proširenja načela specijalne relativnosti na opće načelo: nisu samo ravnopravni koordinatni sustavi koji se međusobno translatorno gibaju, već su ravnopravni svi sustavi, bez obzira na vrstu gibanja! No put do tog poopčenja nije bio ni lagan ni brz. Deset godina je trebalo Einsteinu da ga prevali, da specijalnu teoriju proširi u opću. Godine 1915, usred bezumlja prvog svjetskog rata, kad su tisuće svakodnevno ginule u frontovskom blatu, jedan je um na planetu Zemlji dovršavao svoja razmišljanja o najdubljim i dotad još skrovitim odnosima o građi čitavog univerzuma, probijajući ga svojim misaonim okom do onih slojeva do kojih ne dopire fizika svakodnevnice na Zemlji. Ustudenom 1915. ispričava se u pismu svom prijatelju Sommerfeldu: "Nemojte se ljutiti što tek sada odgovaram, no posljednjih sam mjeseci proveo najuzbudljivije, najnapetije i najuspješnije dane svog života." Dane zbog kojih će netko kasnije napisati: Ako ikada u dalekoj budućnosti neka vrhunska kozmička inteligencija bude unosila u svoj bedeker trunak prašine zvan Zemlja, pisat će o njoj samo: Ovdje je živio Einstein.

U jednom pismu svom prijatelju Solovinu sam je Einstein ovako obrazložio u nekoliko riječi suštinu teorije relativnosti: "Metoda i sadržaj teorije relativnosti mogu se iznije ti u nekoliko riječi još je u stara vremena bilo poznato da se kretanje smatra samo relativnim, dakle u odnosu na nešto. Unatoč toj činjenici fizika se temeljila na pojmu apsolutnog kretanja. U optici (nauci o svjetlosti) polazi se od ideje o posebnom kretanju koje se razlikuje od drugih. To je gibanje kroz svjetlosni eter (hipotetsku tvar koja prožima sav prostor) pa je eter simbolizirao pojam apsolutnog mirovanja vezanog za vakuum. Kada bi nepokretni svjetlosni eter koji zauzima cijeli prostor doista postojao, kretanju u odnosu na njega moglo bi se pripisati apsolutni smisao. Takav pojam mogao bi biti osnova mehanike. Pokušaji da se ovo privilegirano kretanje u odnosu na hipotetski eter otkrije ostali su bez uspjeha. Tada smo se vratili na problem kretanja u eteru i teorija relativnosti učinila je to sustavno. Ona polazi od pretpostavke o nepostojanju povlaštenih kretanja u prirodi i analizira zaključke iz takve pretpostavke.

"Charles Nordmann, jedan od prvih i najboljih popularizatora teorije relativnosti upotrijebio je pri opisu teorije ovu sliku: "Vrijeme je bilo u klasičnoj fizici poput rijeke koja nosi pojave kao što rijeka nosi brodove; ali i onda kad nema brodova rijeka teče nepromijenjenim koritom. A i prostor je kao obala te rijeke neovisan o lađama u prolazu. Po Einsteinu, međutim, to nije tako. Kad nema brodova ne teče ni rijeka. A i oblik se obale-prostora mijenja pod djelovanjem lađa u prolazu.''

Ovakva međuzavisnost prostora, vremena i materije može nam izgledati čudna budući da u svakodnevnom životu ne nailazimo na uočljive primjere te međuzavisnosti. Ono što mi "vidimo" to je prostor koji postoji kao volumen za smještaj predmeta, poput beskonačno velike kutije u koju možemo slagati predmete prema pravilima eukliaske geometrije. "Vidimo" - neovisno od prostora - i vrijeme koje je dimenzija događanja i koje teče neovisno o događajima, Newton je to izrazio u definiciji apsolutnog vremena: "Apsolutno, pravo i matematičko vrijeme teče jednolično samo po prirodi svojoj, bez obzira na išta izvanje... Apsolutni prostor, sam po prirodi svojoj, bez obzira na išta izvanje, uvijek je sam sebi jednak i nepomičan.". To je, u biti, još Aristotelovo poimanje prostora i vremena protiv kojeg se bio pobunio Epikurpa Lukrecije Kor u djelu "De rerum natura" piše ove, danas bismo ih nazvali "relativističke" stihove: "Vremena samoga nema, već vazda predmeti daju,nama osjećaj onog što prošlo je našim vijekom,onog što u njemu jest, i što će iza toga doći:neka ne veli tko da znade samo vrijeme,i od gibanja stvari daleko i od blagog mira(knj. I, 460 do 464)."

No dok je kod epikurejaca relativnost vremena bila filozofska paradigma, Einstein ju je uzdigao do fizikalne teorije. U specijalnoj teoriji relativnosti na mjesto nezavisnog prostora i nezavisnog vremena stupa njihovo zajedništvo, prostor-vrijeme odnosno četverodimenzionalni kontinuum Taj je četverodimenzionalni prostor sada preuzeo ulogu one Newtonove "kutije" u kojoj je smještena materija. Specijalna teorija relativnosti nije još, dakle, posve izbjegla zamku apsolutnog prostora već je samo čitavu fiziku, uključujući i elektrodinamiku, dovela u položaj u kojem je bila klasična mehanika od Newtona na dalje. Einstein je bio svjestan ograničenosti specijalne teorije relativnosti i zato godinama radi na poopčenju teorije kako bi uključivala i dinamiku, to jest ubrzanja. Rezultat je opća teorija relativnosti.

Opća teorija je velebno Einsteinovo djelo za koje se svi slažu daje čisti i isključivi proizvod njegova uma Za razliku od specijalne teorije relativnosti, za koju je bih u fizici sazrelo već vrijeme na prijelomu stoljeća (i da se Einstein nije nikada ni rodio, fizičari bi prije ili kasnije uvidjeli put prema objedinjenju specijalnog načela relativnosti i konstantnosti brzine svjetlosti), ništa nije u fizici ukazivalo na opću teoriju relativnosti. Samo jedno dugo i dobro poznato iskustvo, naime da težinom i tromošću tijela vlada ista konstanta (jednakost teške i trome mase) bilo je sve što je priroda nudila Einsteinu kao putokaz u razmišljanjima. Sve drugo trebao je domisliti sam, a da bi došao do rješenja morao je napustiti euklidsku geometriju odnosno prostor kao praznu kutiju u koju se stavlja materija.

U općoj teoriji relativnosti materija i geometrija su jedno, jedno proizlazi iz drugog, geometrijsko ponašanje tijela i hod ura ovise o gravitacijskim poljima, odnosno o materiji koja ih proizvodi. Opća teorija relativnosti povezala je materiju s prostor-vremenom pa je ujedno i teorija gravitacije. Fascinantnost Eisteinove teorije leži upravo u toj velikoj pozornici koju sačinjava geometrija prostora, U izvjesnom smislu, sve se svelo na geometriju. Veličine koje opisuju gravitacijsko polje istodobno su i veličine koje određuju metriku prostora. Materija deformira prostor i vrijeme, što pak znači samo to da je u prostor-vremenskom kontinuumu važeći neki sustav geometrijskih pravila, neka metrika koja nam naređuje kako da mjerimo udaljenosti i intervale. Ta metrika nije euklidska, svemir nije euklidski prostor u realnom svemiru svjetlosti putuje onim putem kojeg joj odabire geometrija prostora, poput riječnog toka kojeg diktira konfiguracija terena. Zato se zraka svjetlosti i "savija" pri prolazu uz velike mase prateći tako zakrivljenost prostora, zadovoljavajući metričke uvjete na tom putu.

Zakrivljenost ovdje nije neki neshvatljivi misterij već samo opisni izraz za stanje geometrijskih odnosa što ih mjeri neki promatrač u promatranom području. Ta su stanja, odnosno metrika prostor-vremena, osim o materiji ovisna i o gibanju promatrača. Učinak tromosti, kao posljedica ubrzanog gibanja, ne razlikuje se od učinka gravitacije. Metrika udaljenost i trajanje te sve fizikalne veličine dalje iz njih izvedene - nije neka kruta konfiguracija prostorno-vremenskog kontinuuma već je nekovrsna prostorno-vremenska deformabilna mreža čija oka su relativne veličine ovisne o stanju gibanja promatrača; slično kao što iz svakodnevnog iskustva znamo da putnici, od kojih se jedan giba sporo, a drugi brzo, različito zapažaju i doživljavaju krajolik kroz koji putuju. No dok je različiti dojam što ga kod putnika u ovoj usporedbi izaziva isti krajolik posve subjektivne naravi, u fizici je različito mjerenje prostora i vremena iz raznih sustava u gibanju, prema teoriji relativnosti, strukturalno svojstvo našeg kozmosa. Kozmos se tako ponaša, a to nam je otkrio Albert Einstein otvarajući time nove, dotad nepoznate, dveri prema skrovitim međuodnosima u naizgled nepovezanom pletivu sveukupnog postojanja.

Odbacivši apsolutni prostor i apsolutno vrijeme, teorija relativnosti je u našem mišljenju o svijetu napravila prevrat ravan kopernikanskoj pobuni protiv mirne Zemlje od prije gotovo pola milenija. Apsolutni prostor i vrijeme u klasičnoj su fizici poput svojevrsnih nekih epicikala i deferenata pomoću kojih opisujemo fizikalne događaje, to su prikladni pomoćni okviri koji su nam omogućavali da osmislimo i matematički izrazimo pojave u prirodi. Bez tih čvrstih i postojanih pribježišta bili bismo izgubljeni u metežu prirodnih zbivanja. Za svakodnevne i tehničke potrebe oni su još uvijek, a to će i ostati, praktički i dovoljno dobri nosači fizike, premda mi sada, nakon Einsteina, znamo da su oni tek približno točan rezultat nastao na osnovi našeg skromnog geocentričkog iskustva. Teorija relativnosti oslobodila nas je i tog možda posljednjeg, privida posebnosti odnosa između nas i univerzuma. Na njegovo mjesto stupila je nova spoznaja tanahne isprepletenosti kozmičkog tkiva koju smo tek započeli razotkrivati.

Prošlo je 75 godina od objavljivanja ove knjižice na njemačkom originalu. Unatoč tom vremenskom razmaku Einsteinove riječi nisu ništa izgubile na jasnoći i snazi, kao ni teorija koju ovdje on sam tumači, a koja će, bez obzira na moguća kasnija poboljšanja, zauvijek ostati jedan od najčvršćih nosača u našoj misaonoj zgradi razumijevanja prirode. DM.

UvodOva bi knjižica mogla pružiti što je moguće točniji uvid u teoriju relativnosti onim

čitateljima koji se za teoriju zanimaju s općeg znanstvenog i filozofskog gledišta, a pritom ne vladaju matematičkim znanjem teorijske fizike. Ovako napisana, knjižica ipak pretpostavlja kod čitatelja srednjoškolsko (gimnazijsko) obrazovanje i neka vas ne zavara malen broj stranica priličnu dozu strpljenja i snage volje. Autor je uložio najveći mogući trud da glavne zamisli teorije predstavi što jasnije i što jednostavnije. U interesu jasnoće činilo mi se neizbježnim da se često ponavljam; uostalom, držim se savjesno preporuke genijalnog Boltzmanna koji reče da eleganciju oblikovanja valja prepustiti kreatorima odjeće i obuće. Vjerujem da čitatelju nisam smio uskratiti poteškoće koje su u temeljima cijele stvari. Nasuprot tome, namjerno sam se maćuhinski ponio prema fizikalnim podlogama teorije, zato da čitatelja koji u fizici nije "kod kuće" ne snađe sudba putnika koji od silnih stabala ne zamjećuje šumu. Neka ova knjižica donese ponekome radosne trenutke poticajnog razmišljanja.

A. Einstein

PRVI DIO

O SPECIJALNOJ TEORIJIRELATIVNOSTI

§ 1. Fizikalni sadržaj geometrijskih stavaka

Zasigurno si i ti, dragi čitatelju, još kao dječak ili djevojčica sklopio poznanstvo s uznositom zgradom geometrije EUKLIDA i možda se prisjećaš, više s poštovanjem negoli s ljubavlju, na ponosno zdanje po čijim su te visokim stepeništima tjerali amo-tamo savjesni profesori za vrijeme bezbrojnih školskih sati. Zbog takve tvoje školske prošlosti ti bi sigurno kaznio svakoga tko bi makar samo izdaleka i najmanjom rečenicom proglasio ovu znanost neistinitom. No taj osjećaj gorde sigurnosti možda te odmah napušta kada ti netko uputi pitanje: "Što ti, u stvari, misliš tvrdeći da su stavci te geometrije istiniti?'' Hajde da se zadržimo malo na tom pitanju.

Geometrija polazi od izvjesnih pojmova kao što su ravnina, točka, pravac, kojima smo u stanju pridodati više ili manje jasnu predodžbu, a također polazi od izvjesnih jednostavnih stavaka (aksioma) što smo ih na osnovi tih predodžbi skloni prihvatiti kao "istinite". Svi ostali stavci se zatim pomoću jedne logičke metode, kojoj smo prisiljeni priznati opravdanost, svode na one aksiome, to jest time dokazuju. Neki je stavak tada točan odnosno "istinit" ukoliko je na taj priznat način izveden. Pitanje, dakle, "istinitosti" pojedinih geometrijskih stavaka svodi se na pitanje "istinitosti" aksioma. Odavno je, međutim, već poznato da ovo posljednje pitanje ne samo da nije rješivo pukim metodama geometrije, već da samo po sebi uopće nema ni smisla. Ne možemo se zapitati da li je

istina da kroz dvije točke prolazi samo jedan pravac Možemo samo red da euklidska geometrija barata tvorbama što se nazivaju "pravci", a kojima ona pripisuje svojstvo da su jednoznačno određeni pomoću dvije njihove točke. Pojam "istinito" nije prikladan za izjavu čiste geometrije budući da mi riječju "istinit" na kraju krajeva običavamo označavati podudaranje s nekim "stvarnim" predmetom; geometrija se pak ne bavi odnosom svojih pojmova prema predmetima iz iskustva već samo logičkom vezom tih pojmova međusobno.

Lako je objasniti kako to da mi unatoč svemu tome osjećamo ipak privlačnost prema proglašavanju geometrijskih stavaka "istinitima". Geometrijskim pojmovima odgovaraju više ili manje točno predmeti u prirodi, a ovi su pak bez sumnje i sami uzroci nastanka onih pojmova. Može li se geometrija, u želji da svojoj zgradi podari najveću moguću logičku zatvorenost, ograditi od toga; duboko je, na primjer, u nama usađena navika mišljenja da dio puta između dva označena mjesta vidimo na nekom praktički krutom tijelu. Navikli smo zatim smatrati da se tri mjesta nalaze na jednom te istom pravcu ukoliko se s nekog odabranog mjesta promatranja sve tri doglednice iz njih prividno poklope u samo jednu.

Ako sada, slijedeći naviku mišljenja, stavcima euklidske geometrije pridodamo jedinstven stavak da dvjema točkama nekog krutog tijela odgovara uvijek ista udaljenost (duljina), bez obzira kakve promjene položaja izvodili s tim tijelom, tada stavci euklidske geometrije postaju stavci o mogućem relativnom razmještaju krutih tijela1). S tako upotpunjenom geometrijom postupa se zatim kao s nekom granom fizike. Sada se možemo zapitati o "istinitosti" tako interpretiranih geometrijskih stavaka budući da se možemo zapitati da li se ti stavci obistinjuju za one stvarne predmete koje smo dodijelili geometrijskim pojmovima. Ponešto netočno možemo reći da pod "istinitošću" nekog geometrijskog stavka u ovom smislu razumijemo njegovu djelotvornost pri geometrijskoj konstrukciji pomoću ravnala i šestara.

Uvjerenje o "istinitosti" geometrijskih stavaka u ovom smislu počiva dakako isključivo na prilično nepotpunom iskustvu. Mi ćemo tu istinitost geometrijskih stavaka prvo pretpostaviti, a zatim, u drugom dijelu našeg razmatranja (u općoj teoriji relativnosti), vidjeti da je ova istinitost ograničenog dosega te koliki je on.

1) Time je također pravoj liniji dodijeljen neki prirodni predmet. Tri točke nekog krutog tijela A, B, C leže tada na jednom pravcu ako se uz zadanu točku A i C odabere B tako daje zbroj udaljenosti AB i BC najmanji moguć. Ova nepotpuna napomena može nas zasad zadovoljiti u ovom kontekstu.

§ 2. Koordinatni sustav

Na temelju napomenutog fizikalnog tumačenja udaljenosti mi smo također u stanju mjerenjem ustanoviti udaljenost dviju točaka nekog krutog tijela. Za to nam je potrebna neka, jednom i uvijek upotrebljavana, dužina (štapić S) koju upotrebljavamo kao jediničnu mjerku. Ako su A i B dvije točke nekog krutog tijela, tada se prema zakonima geometrije može konstruirati ravna spojnica između njih; zatim se na ovu spojnu crtu nanosi od točke A dužina S potreban broj puta sve dok se ne stigne do točke B. Broj

ponavljanja nanošenja je mjerni broj udaljenosti AB. Na tome se zasnivaju sva mjerenja dužina2).

2) Pritom je, dakako, bilo pretpostavljeno da jedinična mjerka ulazi cjelobrojni broj puta u mjerenu dužinu. Ovaj problem rješavamo uvođenjem mjerke s podjelom na podjedinice, a uvođenje tih ne zahtijeva neku načelno novu metodu.

Svaki prostorni opis mjesta nekog događaja ili predmeta zasniva se na tome da se navede točka nekog krutog tijela (referentnog tijela) s kojom se taj događaj poklapa. Taj je postupak uobičajen ne samo u znanstvenom opisivanju već i u svakodnevnom životu. Promislim li što u stvari znači navod mjesta poput "U Berlinu, na Potsdamskom trgu", vidim da znači sljedeće. Zemljina površina je kruto tijelo na kojem navodimo mjesto; "Potsdamski trg u Berlinu" je na njemu jedna označena imenovana točka s kojom se događaj prostorno poklapa3).

3) Ovdje nije potrebno daljnje istraživanje što znači "prostorno poklapa"; jer ovaj je pojam toliko jasan da u pojedinim stvarnim slučajevima jedva da bi mogle nastupiti razlike u mišljenjima da li je prikladan ili ne.

Ovaj jednostavan način navoda mjesta moguć je samo za mjesta na površini krutog tijela, a u vezi je postojanja razlučivih točaka na toj površini. Pogledajmo kako se ljudski duh oslobodio ta dva ograničenja, a da pritom nije izgubio način označavanja mjesta. Ako iznad Potsdamskog trga lebdi, na primjer, oblak, tada se njegovo mjesto u odnosu na Zemljinu površinu može odrediti tako da se s trga usmjeri okomito jedna motka koja seže do oblaka. Dužina motke izmjerena jediničnom mjericom te spominjanje mjesta podnožja motke dovoljni su podaci za potpuno označavanje mjesta oblaka. Na ovom primjeru vidimo na koji način pojam mjesta dobiva na svojoj profinjenosti.

a) Kruto tijelo, na koje se odnosi oznaka mjesta, produžujemo na taj način da ono tako upotpunjeno dosegne do predmeta čije mjesto određujemo.

b) Pri opisu značajke mjesta upotrebljavamo broj (u našem slučaju to je mjericom izmjerena dužina motke) umjesto imenovanja promatrane točke.

c) O visini oblaka govori se i onda kad motka koja seže do oblaka uopće ni nije postavljena.

U našem slučaju saznat ćemo, na osnovi optičkih snimaka oblaka iz raznih točaka na tlu te iz poznavanja zakona širenja svjetlosti kroz prostor, dužini što bi je morala imati motka da dosegne do oblaka.

Iz ovog razmatranja proizlazi da će za opisivanje mjesta biti prikladno uspijemo li uvesti mjerne brojeve posve nezavisne od postojanja imenovanih mjesta na krutom tijelu na kojeg se odnosi označavanje mjesta. Mjerna fizika to postiže primjenom kartezijevog koordinatnog sustava.

Ovaj se sustav sastoji od tri međusobno okomita kruta ravna zida spojena u jedno kruto tijelo. Mjesto nekog događaja opisuje se navođenjem dužina triju okomica ili koordinata (x,y,z) spuštenih iz mjesta događaja na svaki od tri ravna zida. Dužine ovih visaka određujemo idući po njima krutom mjerkom po zakonima i metodama što ih propisuje euklidska geometrija.

U praksi upotrebljavan koordinatni sustav u većini slučajeva nije napravljen na gore opisan način, naime od krutih zidova; također se i dužine koordinata ne određuju

pomoću krutog mjernog štapa već nekim neizravnim načinom. Ipak, fizikalni smisao označavanja mjesta moramo uvijek tražiti u skladu s gore provedenim razmatranjima, ukoliko ne Želimo da nam se astronomski i fizikalni rezultati rasplinu u nejasnoću4). 4) Tek će u drugom dijelu ove knjižice, kad se bude govorilo o općoj teoriji relativnosti, biti potrebno mijenjanje i profinjenje ovog shvaćanja.

Imamo dakle sljedeću sliku: Pri svakom prostornom opisivanju događaja služimo se nekim krutim tijelom na kojeg se događaji prostorno odnose. Ovaj odnos pretpostavlja da za "duljinu" vrijede zakoni euklidske geometrije, pri čemu je ta "duljina" fizički predstavljena pomoću dvije oznake na nekom krutom tijelu.

§ 3. Prostor i vrijeme u klasičnoj mehanici

Ako bez velikih razmišljanja i detaljnih objašnjenja ovako formuliram zadatak mehanike: "Mehanika opisuje kako tijela vremenom mijenjaju svoje mjesto u prostoru", imat ću na savjesti nekoliko smrtnih grijehova počinjenih protiv svetog duha jasnoće; ove grijehe moramo razotkriti prije svega.

Nejasno je što se ovdje podrazumijeva pod riječima "mjesto" i "prostor". Stojim na prozoru željezničkog vagona i puštam da mi kamen iz ruke bez zamaha pada na nasip uz prugu. Vidim (zanemarim li utjecaj zraka) kako kamen pravocrtno putuje prema tlu. Međutim, neki pješak koji stoji uz prugu i promatra ovaj moj postupak zamjećuje da kamen pada prema zemlji po luku parabole. Pitam sada: Leže li "mjesta" kroz koja "u stvarnosti" kamen pada na pravcu ili na paraboli? Zatim, što ovdje znači gibanje "u prostoru"? Na osnovi razmatranja iz § 2. odgovor je sam po sebi razumljiv. Prije svega, ostavimo posve po strani tu mračnu riječ "prostor" pod kojom, iskreno priznavši, ne možemo zamisliti ama baš ništa; stavimo umjesto toga" gibanje u odnosu na neko praktički kruto referentno tijelo". Zovemo ga "referentno" zato jer se gibanje opisuje "u odnosu na" njega, a to u našem primjeru može biti vagon ili Zemljino tlo. Ako umjesto "referentno tijelo" uvedemo za matematičko opisivanje prikladniji pojam "koordinatni sustav", možemo sada reći; Kamen putuje po pravcu u odnosu na koordinatni sustav kruto vezan sa željezničkim vagonom, a po paraboli u odnosu na sustav čvrsto vezan za tlo. Iz ovog je primjera jasno da neka staza gibanja ne postoji za sebe već samo kao staza gibanja u odnosu na neko određeno referentno tijelo.

Potpuni opis gibanja dobije se, međutim, tek onda kad navedemo kako tijelo vremenom mijenja svoje mjesto, što znači da se za svaku točku putanje mora navesti u koje vrijeme se tijelo tamo nalazi. Ovi se navodi moraju upotpuniti takvom definicijom vremena da se ove vremenske vrijednosti pomoću te definicije mogu smatrati za načelno uočljive veličine (rezultate mjerenja). Ovom zahtjevu udovoljavamo - stojeći i dalje na tlu klasične mehanike - u našem primjeru na sljedeći način: Zamislimo dvije posve jednako napravljene ure; jednu ima u ruci čovjek na prozoru željezničkog vagona, a drugu čovjek na putu uz prugu. Svatko od te dvojice ustanovljava na kojem se mjestu pripadnog referentnog tijela nalazi kamen upravo u trenutku kad se ura koju drži u ruci oglasi s "tik". Pritom se odričemo ulaženja u problem netočnosti koja nastupa zbog konačnosti brzine širenja svjetlosti. O ovoj te o još jednoj ovdje postojećoj poteškoći bit će kasnije iscrpno govora.

§ 4. Galilejev koordinatni sustav

Kao što znamo, temeljni zakon Galilej-Newtonove mehanike, poznat pod imenom zakona tromosti, glasi: Neko, od drugih tijela dovoljno udaljeno, tijelo ustraje u stanju mirovanja ili jednolikog gibanja po pravcu. Ovaj temeljni stavak izriče ne samo nešto o gibanju tijela već također i o dopuštenim referentnim tijelima ili koordinatnim sustavima koji se smiju primijeniti prilikom opisivanja u mehanici. Zvijezde stajačice sigurno su tijela na koja se taj zakon tromosti može primijeniti s velikim stupnjem točnosti. Upotrijebimo li sad neki koordinatni sustav koji je čvrsto vezan sa Zemljom, tada u odnosu na njega opisuje svaka zvijezda stajačica tijekom jednog (astronomskog) dana krug ogromnog polumjera, što je u suprotnosti s doslovnim izričajem zakona tromosti. Držimo li se dakle čvrsto tog zakona, tada se gibanje smije odnositi samo na one koordinatne sustave u odnosu na koje se zvijezde stajačice ne gibaju po kružnici. Neki koordinatni sustav, čije je stanje gibanja takvo da u odnosu na njega vrijedi zakon tromosti, nazivamo "Galilejev koordinatni sustav". Zakoni Galilej-Newtonove mehanike imaju pravo na valjanost samo u tim Galilejevim koordinatnim sustavima.

§ 5. Načelo relativnosti (u užem smislu)

Da bismo postigli što je moguće veću jasnoću pođimo opet od primjera željezničkog vagona u ravnomjernom gibanju. Njegovo gibanje nazivamo i jednoličnom translacijom ("jednoličnom", jer je stalne brzine i smjera, a "translacijom" jer u odnosu na željeznički nasip vagon mijenja doduše stalno svoje mjesto, ali se pritom ne vrti. Neka zrakom leti jedan gavran pravocrtno i jednoliko-promatrano sa željezničkog nasipa. Promatrano iz vagona u gibanju, gavran doduše leti nekom drugom brzinom i drugim smjerom, ali je i u tom slučaju let pravocrtan i jednolik. Da se izrazimo apstraktnim jezikom:

Giba li se masa m jednoliko i pravocrtno u odnosu na koordinatni sustav K, tada se giba jednoliko i pravocrtno i u odnosu na drugi koordinatni sustav K', koji se u odnosu na K također giba jednoliko i pravocrtno. Uzevši u obzir i izlaganja iz prethodnih paragrafa, iz toga slijedi: Ako je K Galilejev koordinatni sustav, tada je neki drugi koordinatni sustav K' također Galilejev ukoliko je u stanju jednolikog translacijskog gibanja u odnosu na K. U odnosu na K' vrijede zakoni Galilej-Newtonove mehanike jednako kao i u odnosu na K.

Pođimo u poopćenju još jedan korak dalje pa izrecimo stavak: Ako je K' koordinatni sustav koji se o odnosu na K jednoliko giba bez vrtnje, tada se prirodne pojave u odnosu na K' odvijaju prema točno istini općim zakonima kao i u odnosu na K. Ovaj iskaz nazivamo "načelo relativnosti" (u užem smislu).

Sve dok smo bili uvjereni da se sva prirodna zbivanja daju predstaviti pomoću klasične mehanike, nije se moglo sumnjati u valjanost tog načela relativnosti. Razvitkom elektrodinamike i optike postajalo je sve jasnije da klasična mehanika više nije dovoljna osnova za cjelokupno fizikalno opisivanje prirode. Time se postavilo i pitanje valjanosti načela relativnosti pa se pokazalo kako nije isključeno da bi odgovor na to pitanje mogao biti i niječan.

Postoje ipak dvije opće poznate činjenice koje odmah govore u prilog valjanosti načela relativnosti. Ako, naime, klasična mehanika i ne pruža dovoljno široku osnovu za teorijsko predočavanje svih fizičkih pojava, mora joj ipak pripasti vrlo značajna količina istinitosti; jer ona s divljenja vrijednom točnošću daje činjenično gibanje nebeskih tijela. Stoga i načelo relativnosti mora svakako važiti s velikom točnošću na području mehanike. A priori je, međutim, malo vjerojatno da jedno tako općenito načelo, koje s takvom preciznošću važi na jednom području pojavnog zbivanja, otkazuje pak na drugom području pojavnog zbivanja.

Drugi argument, na koji ćemo se kasnije još vratiti, je sljedeći. Ukoliko načelo relativnosti (u užem smislu) ne vrijedi, tada Galilejevi koordinatni sustavi K, K' K'' itd, koji se jedan prema drugom jednoliko gibaju, neće za opisivanje prirodnih zbivanja biti jednako vrijedni. Tada bi bilo jedva nešto drugo zamislivo osim da se prirodni zakoni dadu formulirati posebno jednostavno i prirodno samo onda ako bi među svim Galilejevim koordinatnim sustavima kao referentno tijelo bio izabran jedan (K0 ) s određenim stanjem gibanja. Njega bi tada s pravom (zbog njegovih prednosti u opisivanju prirode) obilježili kao "apsolutno mirujućeg", a sve preostale sustave K kao "pokretne". Ako bi, na primjer, naš željeznički nasip bio taj sustav K0, tada bi željeznički vagon bio sustav K u odnosu na kojeg bi vrijedili manje jednostavni zakoni negoli u odnosu na K0. Ova umanjena jednostavnost bi se svodila na to da se vagon ("doista") kreće u odnosu na K0. U općim prirodnim zakonima formuliranim u odnosu na K morala bi određenu ulogu igrati brzina i smjer vožnje vagona. Bilo bi, na primjer, za očekivanje da će ton jedne pištaljke čija je os postavljena paralelno sa smjerom vožnje vagona biti drukčiji negoli u slučaju kad je njena os okomita na taj smjer. Našu Zemlju možemo usporediti s vagonom koji se giba po tračnicama oko Sunca brzinom od oko 30 km u sekundi. Za očekivanje bi bilo stoga, u slučaju nevaljanosti načela relativnosti, da trenutni smjer gibanja Zemlje uđe u prirodne zakone, da bi dakle fizikalni sustavi u svojim ponašanjima trebalo da ovise o prostornoj orijentaciji prema Zemlji. Jer, zbog tokom godine stalnih promjena smjera vektora brzine kružnog gibanja Zemlje oko Sunca, ne može ona cijele godine biti mirna prema hipotetskom sustavu K0. No unatoč svoj pažnji nije se nikada mogla zamijetiti takva anizotropija zemaljskih fizikalnih prostora, to jest fizikalna nejednakovrijednost različitih smjerova. To je jak dokaz u prilog načela relativnosti.

§ 6. Teorem zbrajanja brzina u klasičnoj mehanici

Neka onaj, već često promatrani, željeznički vagon vozi po tračnicama stalnom brzinom v. Uzduž vagona neka hoda čovjek, u smjeru vožnje, brzinom w. Kako brzo, odnosno kojom brzinom W se čovjek u hodu pomiče naprijed u odnosu na željeznički nasip? Čini se da jedini mogući odgovor proizlazi iz sljedećeg razmišljanja:

Kad bi čovjek stajao mirno jednu sekundu, on bi se u odnosu na željeznički nasip pomaknuo naprijed za komad puta jednak brzini vagona v. U stvarnosti, međutim, prođe on hodajući u odnosu na pod vagon, dakle također i u odnosu na željeznički nasip, u toj sekundi i komad puta w koji je jednak brzini njegova hoda. Tijekom promatrane sekunde on dakle prevaljuje u odnosu na nasip ukupni put

W=v+w

Kasnije ćemo vidjeti da ovo razmišljanje, koje izražava teorem zbrajanja brzina u klasičnoj mehanici, ne može biti održivo, da se dakle upravo gore napisan zakon u stvarnosti ne obistinjuje. No još neko vrijeme gradit ćemo dalje razlaganje kao da je on točan.

§ 7. Prividna nespojivost zakona širenja svjetlosti s načelom relativnosti

Jedva da postoji u fizici jednostavniji zakon od onog prema kojem se svjetlost širi u praznom prostoru. Svako školsko dijete zna ili misli da zna da se svjetlost širi pravocrtno brzinom c = 300.000 km/sek. Znamo svakako s velikom točnošću da je ova brzina za sve boje svjetlosti ista; jer kad ne bi bilo tako tada se prilikom pomračenja neke zvijezde stajačice (njenim tamnim pratiocem) ne bi registrirao minimum zračenja istodobno za sve boje. Sličnim razmišljanjem, a u vezi s promatranjem dvojnih zvijezda, mogao je nizozemski astronom De Sitter također pokazati da brzina širenja svjetlosti ne može zavisiti o brzini gibanja tijela koje tu svjetlost emitira. Pretpostavka da bi ova brzina Širenja zavisila od smjera "u prostoru" sama je po sebi nevjerojatna.

Kratko rečeno, držimo da se s pravom može vjerovati jednostavnom školskom zakonu o konstantnoj brzini svjetlosti c (u vakuumu)! Tko bi pak uopće mogao pomisliti da je ovaj jednostavan zakon fizičare, sklone savjesnom promišljanju svijeta, uvalio u najveće moguće misaone poteškoće. Ove se poteškoće očituju u sljedećem.

Samu pojavu širenja svjetlosti moramo dakako, kao i svaku drugu, dovesti u vezu s nekim krutim referentnim tijelom (koordinatnim sustavom). Uzmimo opet da je to naš željeznički nasip. Zamislimo da smo iznad njega odstranili zrak. Duž nasipa pošaljemo jednu zraku svjetla čiji "vrh" u odnosu na nasip putuje brzinom c. Po željezničkoj pruzi neka opet vozi naš željeznički vagon brzinom v i to u istom smjeru u kojem se širi svjetlost samo, dakako, mnogo sporije. Pitamo se kolika je brzina širenja svjetlosti u odnosu na vagon. Lako se vidi da ovdje možemo primijeniti razmatranje iz prethodnog paragrafa; jer čovjek u hodu u odnosu na vagon igra ulogu svjetlosne zrake. Umjesto njegove brzine W u odnosu na željeznički nasip stupa ovdje brzina svjetlosti u odnosu na nasip; w je tražena brzina svjetlosti u odnosu na vagon i za nju dakle vrijedi:

w = c-v Brzina napredovanja svjetlosne zrake u odnosu na vagon ispada dakle manja od c.

Ovaj rezultat kosi se, međutim, s načelom relativnosti izloženim u § 5. Zakon o širenju svjetlosti u vakuumu morao bi naime prema načelu relativnosti, kao i svaki drugi opći pri rodni zakon, glasiti jednako za vagon kao referentno tijelo kao i za prugu kao referentno tijelo. No to se u našem razmatranju pokazuje kao nemoguće. Ako svaka svjetlosna zraka napreduje u odnosu na nasip brzinom c, tada se baš poradi toga čini da zakon o Širenju svjetlosti u odnosu na vagon mora biti drukčiji - u suprotnosti s načelom relativnosti.

S obzirom na tu poteškoću proizlazi da je neophodno napustiti ili načelo relativnosti ili jednostavan zakon širenja svjetlosti. Čitatelj koji je pažljivo slijedio dosadašnje izlaganje zasigurno će očekivati da načelo relativnosti, koje se svojom prirodnošću i

jednostavnošću preporuča duhu kao gotovo neotklonjivo, bude podržano, ali da bi se zakon širenja svjetlosti u vakuumu morao nadomjestiti kompliciranijim zakonom koji se može složiti s načelom relativnosti. No razvoj teorijske fizike pokazuje da tim putem ne možemo ići. Prijelomna teorijska istraživanja H. A. Lorentza o elektrodinamičkim i optičkim zbivanjima u tijelima u pokretu pokazuju naime da iskustva na tom polju s važnom nužnošću vode do teorije elektromagnetskih pojava koja, kao neotklonjivu posljedicu, ima konstantnost brzine svjetlosti u vakuumu. Stoga su teorijski fizičari radije bili skloni oboriti načelo relativnosti, premda se nije mogla naći ni jedna iskustvena činjenica koja bi tom načelu protuslovila.

Ovdje se usadila teorija relativnosti. Analizom fizikalnih pojmova prostora i vremena pokazalo se da nespojivost načela relativnosti i zakona o širenju svjetlosti zapravo uopće ne postoji, da se sustavnim pridržavanjem oba ova zakona štoviše dolazi do jedne logički besprijekorne teorije. Ova teorija, koju za razliku od njenog kasnijeg proširenja nazivamo "specijalna teorija relativnosti", bit će na sljedećim stranicama predstavljena u svojim temeljnim zamislima.

§ 8. O pojmu vremena u fizici

Na dva, jedno od drugog daleko udaljena, mjesta A i B našeg željezničkog nasipa udarila je munja u tračnice. Izjavljujem sada tvrdnju da su se oba udara dogodila istodobno. Ako te sada, dragi čitaoče, zapitam ima li ta izjava nekog smisla odgovorit ćeš mi s uvjerljivo "da". No ako pak navalim na tebe s molbom da mi točnije pojasniš smisao te izjave, primjećuješ nakon ponešto razmišljanja da odgovor na ovo pitanje nije tako jednostavan kako to na prvi pogled izgleda.

Nakon nekog vremena doći će do svijesti možda sljedeći odgovor "Značenje izjave je samo po sebi jasno i nije joj potrebno daljnje pojašnjenje; s nekim razmišljanjem bih se svakako morao pomučiti dobijem li zadatak da promatranjem saznam da li su se u ovom konkretnom slučaju oba događaja zbila istodobno ili ne." No s ovim odgovorom ne mogu se zadovoljiti iz sljedećeg razloga. Neki spretan meteorolog bi oštroumnim razmišljanjem ustanovio da na mjesta A i B munja mora uvijek istodobno udariti, no tada imamo zadatak da ispitamo odgovara li ovaj teorijski rezultat stvarnosti ili ne. Isto je i sa svim fizikalnim izjavama u kojima neku ulogu igra pojam "istodobno". Ovaj pojam postoji za fizičara tek tada kad je dana mogućnost da se u konkretnom slučaju ustanovi da li se pojam obistinjuje ili ne. Treba nam dakle takva definicija istodobnosti da ta definicija daje u ruke metodu po kojoj bi se u izloženom slučaju moglo pokusom ustanoviti jesu li oba udara munje doista uslijedila istodobno ili ne. Tako dugo dok ovaj zahtjev nije ispunjen, žrtva sam kao fizičar (uostalom kao i nefizičar!) jedne varke ukoliko vjerujem da izjavi o istodobnosti mogu pridružiti neki smisao. (Prije nego li ovo s uvjerenjem ne priznaš, dragi čitaoče, ne čitaj dalje.)

Nakon nekog vremena razmišljanja nudiš sljedeći prijedlog za ustanovljavanja istodobnosti. Razmak AB izmjeri se duž pruge, a u sredini M te udaljenosti postavi jedan promatrač opskrbljen uređajem koji mu omogućava istodobno optičko praćenje oba mjesta A i B (na primjer dva zrcala pod kutem od 90°). Zamijeti li taj promatrač istodobno obje munje, onda su one doista istodobne.

Ja sam s ovim prijedlogom vrlo zadovoljan, no mislim da stvar ipak još nije posve razjašnjena pa osjećam potrebu za sljedećim prigovorom: "Tvoja definicija bi bila bezuvjetno točna, ukoliko bih znao da se svjetlost, putem koje promatrač u S opaža pojave munje, širi istom brzinom na putu A-M kao i na putu B-M. Provjera ove pretpostavke bila bi, međutim, samo tada moguća ukoliko imamo na raspolaganju sredstva za mjerenje vremena. Čini se dakle ovdje da se vrtimo u logičkom krugu."

Nakon ponešto razmišljanja ti mi, međutim, s pravom dobaciš sumnjičav pogled i objasniš mi: "Unatoč tome ostajem kod svoje ranije definicije, budući da ona u stvari uopće ništa ne pretpostavlja o svjetlosti. Na definiciju istodobnosti postavljen je samo jedan zahtjev, da ona u svakom stvarnom slučaju omogući empirijsku odluku o tome da li se istodobnost obistinila ili nije. Neosporno je da moja definicija to pruža. To da je svjetlosti za prevaljivanje puta A-M potrebno isto toliko vremena koliko za prevaljivanje puta B-M nije u stvarnosti nikakva pretpostavka ili hipoteza o fizičkoj prirodi svjetlosti već tvrdnja koju ja prema slobodnoj procjeni mogu izabrati da bih došao do definicije istodobnosti.''

Jasno je da ova definicija može biti upotrijebljena da se dade točan smisao izjavi o istodobnosti ne samo dva događaja već po volji mnogo događaja čija mjesta se mogu nalaziti negdje u odnosu na referentno tijelo5) (ovdje je to željeznički nasip).

5) Pretpostavimo dalje, da ako se tri događaja A, B, C, tako dogode na raznim mjestima, da ako je A istodoban s B, a B istodoban s C (istodoban u smislu gornje definicije), da je ispunjen kriterij istodobnosti i za događaj ni par A - C. Ova pretpostavka je fizikalna hipoteza o zakonu širenja svjetlosti; ona mora biti bezuvjetno ispunjena ukoliko se mora priznati zakon o konstantnosti brzine svjetlosti u vakuumu.

Time dolazimo i do definicije "vremena" u fizici. Zamislimo naime u točkama A, B, C željezničke pruge (koordinatnog sustava) tri istovrsne ure tako podešene da su položaji kazaljki istodobno (u gornjem smislu) isti. Tada pod pojmom "vrijeme" jednog događaja podrazumijevamo vremenski navod (položaj kazaljke) one od tih ura koja je događaju (prostorno) u neposrednoj blizini. Na taj će način svakom događaju biti dodijeljena jedna vremenska vrijednost koja se u načelu može promatrati.

Ova tvrdnja sadrži još jednu fizikalnu hipotezu u čije obistinjenje jedva da se može posumnjati bez iskustvenih proturazloga. Pretpostavlja se naime da sve ove ure idu "jednako brzo", ukoliko su istih svojstava i građe. Točno formulirano: Ako se dvije mirujuće ure nalaze na dva različita mjesta referentnog tijela i tako su podešene da je jedan položaj kazaljke jedne ure istodoban s istim položajem kazaljke druge ure (u gornjem smislu), tada su isti položaji kazaljki općenito istodobni (u smislu gornje definicije).

§ 9. Relativnost istodobnosti

Dosad smo naše razmatranje vezivali uz određeno referentno tijelo, uz "pružni nasip". Neka sad po pruzi vozi jedan vrlo dugi vlak stalnom brzinom v, u smjeru prikazanom na crtežu 1. Ljudima koji putuju u tom vlaku bit će od koristi ako vlak smatraju krutim referentnim tijelom (koordinatnim sustavom); oni sve događaje

promatraju u odnosu na vlak. Svaki događaj koji se zbiva duž pruge zbiva se također u nekoj određenoj točki vlaka.

Crtež 1.

Definicija istodobnosti može se dati u odnosu na vlak na točno isti način kao i u odnosu na pružni nasip. No ovdje prirodno nastaje sljedeće pitanje: Da li su dva događaja (na pr. oba udara munja A i B), koja su istodobna u odnosu na pružni nasip, istodobna također i u odnosu na vlak? Odmah ćemo pokazati da odgovor na ovo mora biti niječan.

Kad kažemo da su udarci munja A i B u odnosu na pružni nasip istodobni, to znači ovo: svjetlosne zrake što su pošle s mjesta udara munja A i B susreću se u središnjoj točki M dijela pruge A-B. No događajima A i B odgovaraju također i mjesta A i B na vlaku. Neka je M' središnja točka odsječka A-B vlaka u vožnji. Ova točka M' poklapa se doduše u trenutku udara munja6) s točkom M, no i giba se brzinom v vlaka u desno (na crtežu).

6) Prosuđivano s pružnog nasipa!

Kad neki opažač u vlaku u točki M' ne bi imao tu brzinu v, on bi trajno ostao u M i do njega bi u tom slučaju stigle istodobno svjetlosne zrake odaslane s mjesta udara munja A i B, znači obje ove zrake srele bi se točno kod njega. U stvarnosti, međutim, on juri (prosuđivano s pružnog nasipa) ususret zraki koja dolazi iz B, a bježi ispred zrake koja ga sustiže iz A. Opažač će dakle vidjeti ranije zraku što polazi iz B negoli onu što polazi iz A. Opažači koji koriste željeznički vlak kao referentno tijelo moraju dakle doći do rezultata da se udar munje u B dogodio prije negoli udar munje u A. Izvodimo dakle važan zaključak:

Događaji koji su u odnosu na pružni nasip istodobni, nisu istodobni u odnosu na vlak i obratno (relativnost istodobnosti). Svako referentno djelo (koordinatni sustav) ima svoje posebno vrijeme; vremenski navod ima smisla samo tada ako je navedeno referentno tijelo na kojeg se taj navod odnosi.

Fizika je pak prije teorije relativnosti uvijek prešutno pretpostavljala da je značenje vremenskog navoda apsolutno, to jest neovisno o stanju gibanja referentnog tijela. No upravo smo vidjeli da je ovaj navod nespojiv s definicijom istodobnosti; napustimo li ga, tada nestaje i sukob (naveden u § 7) zakona širenja svjetlosti s načelom relativnosti.

Tom sukobu vodi naime razmišljanje u § 6, koje se sada više ne može podržavati. Tamo zaključismo da čovjek u vagonu, koji u odnosu na vagon prelazi udaljenost w u jednoj sekundi, prelazi ovu udaljenost također i u odnosu na pružni nasip u jednoj sekundi. Ali kako, prema upravo provedenim razmišljanjima, vrijeme potrebno nekom određenom događaju u odnosu na vagon ne smije biti stavljeno sa znakom jednakosti s trajanjem istog događaja u odnosu na pružni nasip kao referentno tijelo, ne može se tvrditi da je čovjek svojim hodanjem u odnosu na tračnice prevalio put w u vremenu koje je - prosuđivano s pružnog nasipa jednako jednoj sekundi.

Razmišljanje u § 6. počiva uostalom na još jednoj drugoj pretpostavci koja se u svjetlu strožeg razmišljanja pojavljuje samovoljna, iako je također i prije postavljanja teorije relativnosti stalno (prešutno) bila činjena.

§ 10. O relativnosti pojma prostorne udaljenosti

Promatrajmo dva određena mjesta u vlaku7) koji brzinom v vozi duž pružnog nasipa i pitajmo se koliko su međusobno udaljena.

7) Recimo u sredini između 1. i 100. vagona

Već znamo da je za mjerenje udaljenosti potrebno neko referentno tijelo u odnosu na kojeg se udaljenost mjeri. Najjednostavnije je sam vlak upotrijebiti kao referentno tijelo (koordinatni sustav). Opažač koji se vozi u vlaku mjeri taj razmak tako da u ravnoj crti prislanja svoj mjerni štap duž podova vagona sve dok od jedne označene točke ne dođe do druge. Broj koji izriče koliko je puta prislonjen mjerni štap je tada tražena udaljenost.

Drukčije je ako je potrebno tu udaljenost određivati s pruge. Za to nam se nudi sljedeća metoda. Nazovimo A' i B' obje točke vlaka čiju udaljenost tražimo. Obje te točke putuju brzinom v duž pružnog nasipa. Pitamo se prvo za točke A odnosno B pružnog nasipa kod kojih su obje točke A' i B' u jednom određenom vremenu t - prosuđivano s pružnog nasipa - projurile. Ove točke A i B pružnog nasipa su saznatljive uz pomoć definicije vremena u § 8. Potom se razmak točaka A i B mjeri ponavljanim prislanjanjem mjernog štapa duž pružnog nasipa.

A priori to nipošto ne znači da ovo posljednje mjerenje mora davati isti rezultat kao prvo. Mjereno s pružnog nasipa, može također i dužina vlaka biti drukčija negoli ona mjerena u samom vlaku. Ova pak okolnost daje jedan drugi prigovor protiv prividno tako jasnog razmatranja u § 6. Prevaljuje li naime čovjek u vagonu u jednoj vremenskoj jedinici mjereno u vlaku put w, tada mjereno s pružnog nasipa također ni ovaj put ne mora biti jednak w.

§ 11. Lorentzove transformacije

Razmišljanja u posljednja tri paragrafa pokazuju nam da je prividna nespojivost zakona širenja svjetlosti s načelom relativnosti u § 7. bila dobivena na osnovi razmatranja koje je klasičnoj mehanici posudilo dvije ničim opravdane hipoteze; ove hipoteze glase:

1. Vremenski razmak između dva događaja neovisan je o stanju gibanja referentnog tijela.

2. Prostorni razmak između dvije točke nekog krutog tijela neovisan je o stanju gibanja referentnog tijela.

Napuste li se pak sada ove hipoteze, tada nestaje po teškoća u § 7, jer dodatni teorem brzina izveden u § 6. postaje nevažeći. Javlja se pred nama mogućnost da zakon širenja svjetlosti u vakuumu izmirimo s načelom relativnosti. Dolazimo do pitanja: Kako da izmijenimo razmišljanje iz § 6. da bismo odstranili prividno protuslovlje između obje ove fundamentalne posljedice iskustva? Ovo pitanje vodi na jedno općenito. U

razmatranjima u § 6. imamo mjesta i vremena u odnosu na vlak te u odnosu na pružni nasip. Kako ćemo saznati mjesto i vrijeme jednog događaja u odnosu na vlak ako su nam poznati mjesto i vrijeme tog događaja u odnosu na pružni nasip? Postoji li takav zamisliv odgovor na ovo pitanje da shodno tom odgovoru zakon prostiranja svjetlosti u vakuumu ne proturječi načelu relativnosti? Da se drukčije izrazimo: Da li je zamisliv neki odnos između mjesta i vremena pojedinog događaja u odnosu na oba referentna tijela, tako da svjetlosna zraka ima brzinu širenja c u odnosu na pružni nasip i u odnosu na vlak? Ovo pitanje vodi do potvrdnog, posve određenog odgovora, do jednog posve određenog zakona pretvorbe za prostorno-vremenske veličine nekog događaja prilikom prijelaza s jednog referentnog tijela na drugo.

Prije nego to podrobnije raspravimo, uključimo se u slijedeće međurazmišljanje. Dosad smo uvijek promatrali događaje koji se odigravaju duž pružnog nasipa koji, je matematički gledano, bio preuzeo ulogu jednog pravca. Možemo, međutim, na način naveden u § 2. zamisliti ovo referentno tijelo postrance položeno prema gore, jednom skelom od štapova tako produženo da se bilo koji događaj u toku može lokalizirati u odnosu na tu skelu. Jednako tako možemo sebi vlak, koji putuje brzinom v, u mislima produžiti kroz cijeli prostor tako da se svaki, koliko god dalek, događaj može lokalizirati također i u odnosu na tu drugu skelu. Ne moramo se obazirati na to da bi se ove skele u stvarnosti uvijek iznova uništavale zbog neproničnosti krutih tijela. Učinivši tako nećemo upasti u načelnu pogrešku. U svakoj takvoj skeli zamislimo istaknuta tri, jedan na drugog okomita, zida označena kao "koordinatne ravnine" ("koordinatni sustav"). Pružnom nasipu odgovara tada jedan koordinatni sustav K, a vlaku koordinatni sustav K'. Neki događaj koji se zbio bilo gdje bit će prostorno u odnosu na K fiksiran pomoću tri okomice x, y, z na koordinatne ravnine, a vremenski fiksiran jednom vremenskom vrijednošću t.

Isti događaj se fiksira prostorno-vremenski pomoću odgovarajućih vrijednost x' y' z' t' koje se dakako ne poklapaju s x, y, z, t. Kako su ove veličine shvaćene kao rezultati fizikalnih mjerenja bit će kasnije opširno obrazloženo.

U točnoj formulaciji naš problem glasi ovako kako slijedi. Kolike su vrijednosti x', y', z', t' jednog događaja u odnosu na K' kad su veličine x, y, z, t istog događaja zadane u odnosu na K? Odnosi moraju biti tako izabrani da se jamči udovoljenje zakonu širenja svjetlosti u vakuumu u odnosu na K i K' za jednu i tu istu svjetlosnu zraku (i to za svaku). Ovaj se problem za relativno prostorno orijentiranje koordinatnog sustava zadano crtežom 2. rješava sljedećim jednadžbama:

2

2

'

1

x vtx

vc

−=−

'

'

y y

z z

==

2

2

2

'

1

vt x

ctvc

−=

−

Ovaj skup jednadžbi naziva se "Lorentzove transformacije".

Crtež 2.Da smo umjesto zakona širenja svjetlosti bili uzeli za osnovu prešutnu

pretpostavku stare mehanike o apsolutnom karakteru vremena i dužina, tada bismo umjesto ovih jednadžbi transformacije došli do jednadžbi

'

'

'

'

x x vt

y z

z z

t t

= −===

koje se često nazivaju i "Galilejeve transformacije''. Galilejeve transformacije proizlaze iz Lorentzovih jednostavno tako da u ove potonje za brzinu svjetlosti c stavimo beskonačnu vrijednost

Na sljedećem primjeru ćemo lijepo vidjeti kako je shodno Lorentzovim transformacijama zakon širenja svjetlosti u vakuumu sačuvan i za referentno tijelo K i za referentno tijelo K'. Pošaljimo duž pozitivnog kraka x-osi svjetlosni signal te neka on putuje shodno jednadžbi

x=ctdakle brzinom c. Shodno jednadžbama Lorentzovih transformacija taj jednostavan odnos između x i t uvjetuje i odnos između x' i t'. U stvari, daju nam prva i četvrta jednadžba Lorentzovih transformacija kad u njih umjesto x stavimo ct.

2 2

2 2

1( )

' '

1 1

vt

c v t cx t

v vc c

− − = =− −

iz kojih zatim dijeljenjem dobivamo jednostavnox' = c t'

Prema toj jednadžbi vlada se širenje svjetlosti ako ga promatramo u odnosu na K', Vidi se dakle da je brzina širenja jednaka c također i u odnosu na referentno tijelo K'. Isto je sa svjetlosnom zrakom koja se širi i u nekom po volji drugom smjeru. Tome se dakako ne treba čuditi, jer su jednadžbe Lorentzovih transformacija izvedene naime s tog stanovišta.

§ 12. Ponašanje štapova i ura u gibanju

Postavljamo metarski štap na x'-os tako da je njegov početak u točki x' = 0, a njegov kraj u točki x' = 1. Sada se pitam: kolika je dužina metarskog štapa u odnosu na sustav K? Da bismo to saznali trebamo samo pitati gdje početak i kraj Štapa leže u odnosu na K u nekom određenom vremenu t sustava K. Obje ove točke (početak i kraj) odredit ćemo iz prve jednadžbe Lorentzovih transformacija za vrijeme t = 0:

2 2

( _ ) ( _ )2 20 1 1 1početak štapa kraj štapa

v vx x

c c= ⋅ − = ⋅ −

Razmak odnosno udaljenost između tih točaka iznosi dakle2

21

v

c−

No metarski štap se u odnosu na K giba brzinom v. Slijedi dakle da dužina nekog krutog metarskog štapa koji se brzinom v giba u smjeru svoje dužine iznosi

2

21

v

c− metara.

Pokretni kruti štap je dakle kraći nego isti taj štap u stanju mirovanja, i to utoliko

kraći što se brže giba. Pri brzini v=c bilo bi 2

21 0

v

c− = a za još veće brzine korijen bi imao

imaginarnu vrijednost. Iz toga zaključujemo da u teoriji relativnosti brzina c ima ulogu granične brzine koju nijedno stvarno tijelo ne bi moglo postići ili prekoračiti. Ova uloga brzine c kao granične brzine proizlazi uostalom i iz jednadžbi Lorentzovih transformacija. One naime postaju besmislene ako se za v izabere vrijednost veća od c.

Suprotno tome, ako bismo promatrali metarski štap koji u x- osi miruje u odnosu na

K, našli bismo da on, prosuđivano iz K', ima dužinu 2

21

v

c− ; to je posve u smislu načela

relativnosti koje i čini podlogu našem razmišljanju.A priori izlazi na vidjelo da iz jednadžbi transformacija moramo saznati nešto o

fizikalnom ponašanju mjernih štapova i ura. Jer veličine x, y, z, t nisu ništa drugo već pomoću mjernih štapova i ura dobivani rezultati mjerenja. Kad bismo za osnovu imali Galilejeve transformacije tada ne bismo uslijed gibanja dobili skraćivanje štapa.

Promatrajmo sada jednu uru koja trajno miruje u početnoj točki (x' = 0) od K'. Neka su t' = 0 i t' - 1 dva uzastopna sekundna otkucaja te ure. Za oba ova otkucaja daju prva i četvrta jednadžba Lorentzovih transformacija:

2

2

10

1

t tvc

= =−

Prosuđivano iz K ura se giba brzinom v; prosuđivano iz tog referentnog tijela

između dva otkucaja protekne ne točno jedna sekunda već 2

2

1

1

tvc

=− sekundi, dakle nešto

duže vrijeme. Ura uslijed svog gibanja ide sporije negoli u stanju mirovanja. I ovdje brzina c ima ulogu nedostižne granične brzine.

§ 13. Teorem zbrajanja brzina. Fizeauov pokus

Buduću da ure i mjerne štapove možemo in praxi pomicati samo brzinama koje su malene u odnosu na brzinu svjetlosti, učinci iz prethodnog paragrafa jedva da će se moći izravno ustanoviti u stvarnosti. No kako se s druge strane čitatelju ti učinci čine posve neobični, ja ću sada iz teorije izvući još jedan zaključak koji se iz cijelog dosadašnjeg obrazloženja može lako izvesti, a koji se može sjajno potvrditi pokusom.

U § 6. izveli smo teorem zbrajanja za brzine istog smjera, onako kako to proizlazi iz hipoteza klasične mehanike. Isti se može lako dobiti i iz Galilejevih transformacija (§ 11). Umjesto čovjeka u hodu uvedimo u razmatranje jednu točku koja se u odnosu na koordinatni sustav K' giba shodno jednadžbi

x' = w t'Iz prve i četvrte jednadžbe Galilejevih transformacija može se x' i t' izraziti

pomoću x i t pa se tako dobijex = (v + w)t

Ova jednadžba ne izražava ništa drugo nego zakon gibanja točke prema sustavu K (čovjeka prema pružnom nasipu), čiju brzinu označavamo s W tako da se, kao § 6, dobiva:

W=v + w (A)Ovo razmatranje možemo pak provesti jednako tako dobro uzmemo li za osnovu

teoriju relativnosti. U tom se slučaju treba u jednadžbix' = w t'

x' i t' izraziti s x i t, primjenjujući prvu i četvrtu jednadžbu Lorentzovih transformacija. Umjesto jednadžbe (A) dobije se tada jednadžba:

21

v wW

vwc

+=+ (B)

koja prema teoriji relativnosti odgovara teoremu zbrajanja brzina istog smjera. Pitanje je sada koji će od ova dva teorema izdržati kušnju stvarnosti. O tom nas poučava silno važan pokus što ga je genijalni fizičar Fizeau izveo prije više od pola stoljeća, a nakon njega su ga ponavljali neki od najboljih eksperimentalnih fizičara, tako da je rezultat neprijeporan. Pokus obrađuje sljedeće pitanje. U mirnoj tekućini svjetlost se širi nekom određenom brzinom w. Kako brzo se širi u cijevi R na crtežu smjeru strelice, u slučaju da ona ranije spomenuta tekućina struji kroz cijev brzinom v?

U smislu načela relativnosti mi ćemo pretpostaviti da se u odnosu na tekućinu svjetlost širi uvijek istom brzinom w, bez obzira bila tekućina u odnosu na druga tijela u kretanju ili ne bila. Poznata je dakle brzina svjetlosti u odnosu na tekućinu te brzina tekućine u odnosu na cijev, a traži se brzina svjetlosti u odnosu na cijev.

Jasno je da je ovdje opet pred nama zadatak iz § 6. Cijev igra ulogu pružnog nasipa odnosno koordinatnog sustava K, tekućina ulogu vagona odnosno koordinatnog sustava K' a svjetlost ulogu čovjeka koji hoda po vagonu, odnosno ulogu pokretne točke u ovom paragrafu. Označimo li dakle s W brzinu svjetlosti u odnosu na cijev, tada je ta brzina dana jednadžbom (A) odnosno (B), već prema tome da li stvarnosti odgovaraju Galilejeve transformacije ili Lorentzove transformacije.

Pokus se, s vrlo velikom točnošću, odlučio za jednadžbu (B) izvedenu iz teorije relativnosti. Utjecaj brzine strujanja v na širenje svjetlosti je prema posljednjim izvrsnim mjerenjima Zeemana prikazano formulom (B) s točnošću boljom od 1 posto.

Potrebno je svakako istaći da je još mnogo prije teorije relativnosti teoriju te pojave bio iznio H. A Lorentz na čisto elektrodinamički način koristeći određene hipoteze o elektrodinamičkoj građi tvari. No ova činjenica ni u kom slučaju ne umanjuje dokaznu snagu pokusa kao experimentum crucis u prilog teoriji relativnosti. Jer Maxwell-Lorentzova elektrodinamika, na kojoj se zasnivala teorija tumačenja gornjeg pokusa, nipošto nije u suprotnosti s teorijom relativnosti. Ova posljednja je, štoviše, izrasla iz elektrodinamike kao začudno jednostavno sažimanje i poopćenje ranijih međusobno nezavisnih hipoteza na kojima je bila sagrađena elektrodinamika.

§ 14. Heuristička vrijednost teorije relativnosti

Mogli bismo ukratko sažeti dosad izloženi slijed misli. Iskustvo je vodilo prema uvjerenju da, s jedne strane, vrijedi načelo relativnosti, a da bi, s druge strane, brzina svjetlosti u vakuumu morala biti konstanta c. Objedinjavanjem oba ova postulata dobiva se zakon transformacije za prostorne koordinate x, y, z i vrijeme t događaja, koje povezuju prirodno zbivanje; dobiva se ne Galilejeva transformacija već (odstupajući od klasične mehanike) Lorentzova transformacija.

U tom slijedu misli važnu ulogu je igrao zakon širenja svjetlosti prihvaćanje kojeg se opravdava našim činjeničnim znanjem. No pošto već imamo u rukama Lorentzovu transformaciju možemo je ujediniti s načelom relativnosti te teoriju sažeti u izjavu:

Svaki opći prirodni zakon mora biti takav da prelazi u zakon posve istog smisla ako se umjesto prostorno-vremenskih varijabli x, y, z, t prvobitnog koordinatnog sustava K uvedu nove prostorno-vremenske varijable x', y', z', t' koordinatnog sustava K' pri čemu je matematički odnos crtkanih i necrtkanih veličina određen Lorentzovom transformacijom. Ukratko: Opći prirodni zakoni su kovarijantni u odnosu na Lorentzove transformacije.

Ovo je točno određen matematički uvjet što ga teorija relativnosti propisuje nekom prirodnom zakonu; time ona postaje vrijedno heurističko pomagalo u traženju općih prirodnih zakona. Ako bi se našao neki opći prirodni zakon koji ne ispunjava taj uvjet, time bi se opovrgla najmanje jedna od dvije temeljne pretpostavke teorije. Pogledajmo sada što je ovo potonje pokazalo na općim posljedicama teorije.

§ 15. Opće posljedice teorije

Iz dosadašnjeg izlaganja se vidi da je (specijalna) teorija relativnosti izrasla iz elektrodinamike i optike. U tim područjima ona nije mnogo izmijenila u teorijskim iskazima, ali je znatno pojednostavnila teorijsku zgradu to jest izvođenje zakona i što je neusporedivo važnije osjetno je smanjila broj međusobno nezavisnih hipoteza na kojima počiva teorija. Ona je dodijelila Maxwell-Lorentzovoj teoriji takav stupanj očitosti da je ova prodirala kod fizičara čak i onda ako eksperiment nije dovoljno uvjerljivo govorio njoj u prilog.

Klasičnoj je mehanici bila potrebna samo jedna izmjena pa da se uskladi sa zahtjevom specijalne teorije relativnosti. Ova izmjena tiče se pak uglavnom samo zakona vrlo brzog gibanja, kad brzine materije u odnosu na brzinu svjetlosti nisu male. Takve brzine u stvarnosti postižu samo elektroni i ioni; kod drugih gibanja su odstupanja od zakona klasične mehanike presitna da bi se uopće praktički zamijetila. O gibanjima nebeskih tijela bit će tek govora u općoj teoriji relativnosti. Prema teoriji relativnosti

kinetička energija materijalne točke mase m nije više zadana poznatim izrazom 2

2

vm već

izrazom

2

2

21

mc

vc

−.

Vrijednost tog izraza postaje beskonačna kad se brzina v približava brzini svjetlosti c. Brzina mora dakle ostati stalno manja od c, bez obzira koliko veliku energiju upotrijebili za ubrzanje. Razvijemo li taj izraz za kinetičku energiju u red, dobijemo:

2 42

2

3

2 8

v vmc m m

c+ + + ⋅⋅⋅

Treći član reda je u odnosu na drugi član, koji se u klasičnoj mehanici jedini uzima u

obzir, uvijek malen ako je 2

2

v

c manje od 1, Prvi član mc2 ne sadrži brzinu, ne uzima se

dakle u obzir ako je samo riječ o tome kako energija materijalne točke ovisi o brzini. O načelnom značenju tog člana bit će pobliže još govora.

Najvažnija posljedica općenite vrste do koje je dovela specijalna teorija relativnosti uče se pojma mase. U predrelativističkoj fizici su od temeljnog značaja dva stavka o održanju, naime stavak o održanju energije i stavak o održanju mase; oba ova temeljna stavka bila su naizgled međusobno posve neovisna. Kroz teoriju relativnosti oba su se ta stavka stopila u jedan. Kako je do toga došlo i kako da shvatimo to stapanje, obrazložit ćemo sada ukratko.

Načelo relativnosti traži da stavak o održanju energije ne vrijedi samo u odnosu na jedan koordinatni sustav K već i u odnosu na svaki onaj koordinatni sustav K' koji se prema K giba jednoliko i translatorno (kratko rečeno, u odnosu na svaki "Galilejev" koordinatni sustav). Za prijelaz između dva takva sustava je, protivno klasičnoj mehanici, mjerodavna Lorentzova transformacija.

Iz ovih premisa u vezi s osnovnim jednadžbama Maxwellove elektrodinamike može se s važnom nužnošću razmjerno jednostavnim razmatranjima zaključiti: Neko tijelo

koje leti brzinom v i prima energiju E0 u obliku zračenja8), bilježi porast svoje energije za iznos:

0

2

21

E

vc

−

Tražena energija tijela je dakle tada, s obzirom na ranije naveden izraz za kinetičku energiju, dana sa:

202

2

21

Em c

c

vc

+

−

8) E0 primljena energija, promatrano iz koordinatnog sustava u gibanju zajedno s tijelom.

Tijelo dakle tada ima istu energiju koliku i neko tijelo u gibanju brzinom v mase02

Em

c. Može se također reći: Prima li tijelo energiju E0 , raste njegova troma masa za iznos

02

E

c; troma masa nekog tijela nije dakle stalna već promjenjiva u skladu s promjenama

svoje energije. Troma masa nekog tjelesnog sustava može se jednako tako smatrati i kao mjerom njegove energije. Stavak o očuvanju mase nekog sustava sastaje se sa stavkom o očuvanju energije i vrijedi sve dokle dok sustav niti prima niti odašilje energiju. Napišemo li izraz za energiju u obliku

20

2

21

mc E

vc

+

−

vidimo da oblik mc2, koji nam je već ranije upao u oči, nije ništa drugo već energija koju je tijelo već posjedovalo9) prije nego je primilo energiju E0 .

9) Prosuđivano s koordinatnog sustava koji se zajedno s njim giba.

Izravna usporedba ovog stavka s iskustvom zakazuje u svakodnevnici budući da promjene energije E0 koju možemo davati jednom sustavu nisu dovoljno velike da bi bile

zamjetljive u obliku promjene trome mase sustava. 02

E

c je premalo u usporedbi s masom m

koja je već postojala prije promjene energije. Na toj okolnosti se zasniva činjenica da je stavak o održanju mase mogao biti s uspjehom upotrebljavan te samostalno vrijediti.

Još jedna posljednja primjedba načelne prirode. Uspjeh Faraday-Maxwellovog tumačenja elektrodimaničkog djelovanja na daljinu putem prijelaznih zbivanja konačne brzine širenja proizveo je kod fizičara takav učinak da se probilo uvjerenje da nema neposrednih trenutnih djelovanja na daljinu tipa Newtonovog zakona gravitacije. Prema teoriji relativnosti, namjesto trenutnog djelovanja na daljinu odnosno djelovanja na daljinu s beskonačnom brzinom širenja, nastupa uvijek djelovanje na daljinu s brzinom svjetlosti. To je u vezi s načelnom ulogom koju brzina c ima u toj teoriji. U drugom dijelu ćemo pokazati na koji je način ovaj rezultat izmijenjen u općoj teoriji relativnosti.

§ 16. Specijalna teorija relativnosti i iskustvoNa pitanje koliko teoriju relativnosti podržava iskustvo nema jednostavnog

odgovora iz razloga koji je već bio spomenut prilikom temeljnog Fizeauovog pokusa. Specijalna teorija relativnosti iskristalizirala se iz Maxwell-Lorentzove teorije elektromagnetskih pojava. Stoga sve iskustvene činjenice koje podržavaju elektromagnetsku teoriju podržavaju i teoriju relativnosti. Ovdje kao posebno važno spominjem da je teorija relativnosti na posve jednostavan način u poklapanju s iskustvom omogućila proračunati utjecaje koje zbog gibanja Zemlje u odnosu na zvijezde trpi svjetlost što stiže s tih zvijezda. Riječ je o godišnjem pomaku prividnog mjesta zvijezda zbog Zemljinog gibanja oko Sunca (aberacija) te o utjecaju radijalne komponente gibanja zvijezda (u odnosu na Zemlju) na boju svjetlosti koja s njih stiže do Zemlje; ovaj posljednji utjecaj se očituje kao malen pomak spektralnih linija u spektrima zvjezdane svjetlosti u odnosu na spektralni položaj tih istih spektralnih linija iz zemaljskih svjetlosnih izvora (Dopplerov efekt). Eksperimentalni dokazi u prilog Maxwell-Lorentzove teorije, koji su ujedno dokazi u prilog teorije relativnosti, previše su brojni da bi se ovdje mogli podastrijeti. Oni u stvari silno suzuju teorijske mogućnosti da neka druga teorija, osim Maxwell-Lorentzove, može izdržati iskustvenu provjeru.

Postoje, međutim, dvije klase dosad objavljenih eksperimentalnih činjenica koje Maxwell-Lorentzova teorija može prikazati samo ukoliko uvode jednu pomoćnu hipotezu koja sama za sebe - to znači bez korištenja teorije relativnosti - izgleda neobična.

Poznato je da se katodne zrake i tako zvane beta zrake što ih emitiraju neke radioaktivne tvari sastoje od negativno nabijenih električnih čestica (elektrona) vrlo malene tromosti i velike brzine. Istraživanjem otklona ovih zraka pod utjecajem električnih i magnetskih polja može se vrlo detaljno proučiti zakon gibanja tih čestica.

Pri teorijskoj obradi tih elektrona moramo se suočiti s poteškoćom da ih elektrodinamika sama po svojoj prirodi ne može obuhvatiti računom. Budući da se električne mase istog predznaka odbijaju, morale bi se negativne električne mase, od kojih se elektroni sastoje, međusobno rastjerati pod utjecajem svog međudjelovanja ukoliko medu njima ne bi bile djelatne još neke drukčije sile priroda kojih nam je nepoznata10).

10) Općoj teoriji relativnosti blisko je shvaćanje da se električne mase jednog elektrona drže zajedno gravitacijskim silama.

Pretpostavimo li sada da prilikom gibanja elektrona ostaju nepromijenjeni relativni razmaci električnih masa koje grade elektron (kruta veza u smislu klasične mehanike), tada stižemo do zakona gibanja elektrona koji se ne slaže s iskustvom. H. A. Lorentz je prvi, vođen posve formalnim razmišljanjima, uveo hipotezu da elektron gibanjem

doživljava kontrakciju u smjeru kretanja srazmjernu izrazu 2

21

v

c− . Ova hipoteza, koja se

elektrodinamički ne može ničim opravdati, daje nam zatim onaj zakon gibanja koji je posljednjih godina iskustveno potvrđen velikom točnošću.

Teorija relativnosti nudi isti zakon gibanja, a da joj pritom nije potrebna neka posebna hipoteza o građi i ponašanju elektrona. Jednako tako stoje stvari, kao što smo to

vidjeli u § 13, kod Fizeauovog pokusa rezultate kojeg je teorija relativnosti dokazala bez nužnog uvođenja nekih hipoteza o fizikalnoj prirodi tekućine.

Druga grupa činjenica na koje ovdje upiremo prstom odnosi se na pitanje da li je prilikom pokusa na Zemlji zamjetljivo gibanje Zemlje kroz svemirski prostor. Već je u § 5. bilo rečeno da svi napori u tom smjeru daju negativan rezultat. Prije postavljanja teorije relativnosti fizičarima je teško padalo suočavanje s tim negativnim nalazom; stvarno stanje je naime bilo sljedeće. Naslijeđene predrasude o vremenu i prostoru nisu dopuštale da se pojavi sumnja u to da su za prijelaz s jednog referentnog tijela u drugi mjerodavne Galilejeve transformacije. Uzmimo sad da Maxwell-Lorentzove jednadžbe vrijede za neko referentno tijelo K, tada se ustanovljava da ne vrijede za neko referentno tijelo K' koje se jednoliko giba spram K, ako se prihvati da između koordinata u K i K' postoje odnosi Galilejeve transformacije. Stoga izgleda da je od svih Galilejevih koordinatnih sustava jedan (K) fizikalno istaknut određenim stanjem svog gibanja. Fizikalno se ovaj rezultat tumači time da K shvatimo kao sustav miran spram nekog hipotetskog svjetlosnog etera. Nasuprot tome, trebalo bi da su svi koordinatni sustavi K' koji su u pokretu spram K, gibaju i spram etera. Ovom gibanju K' spram etera ("eterski vjetar" u odnosu na K') pripisivali su se složeni zakoni koji su trebali važiti spram K'. Shodno tome morao se takav eterski vjetar prihvatiti i u odnosu na Zemlju, a napori fizičara su dugo bili usmjereni na to da ga dokažu.

Michelson je za to pronašao eksperimentalnu metodu koja nije mogla zakazati. Zamislimo na jednom krutom tijelu postavljena dva zrcala okrenuta reflektirajućim stranama je dan prema drugom. Jedna svjetlosna zraka treba posve određeno vrijeme T da bi došla od jednog zrcala do drugog pa opet natrag, u slučaju kad cijeli taj sustav zrcala miruje u odnosu na eter. Ako se tijelo sa zrcalima giba spram etera, računski se dobije da je za putovanje svjetlosti potrebno nešto drukčije vrijeme T. Čak i više od toga! Račun kaže da bi to vrijeme T' pri zadanoj brzini v u odnosu na etere bilo drukčije u slučaju kad se tijelo giba u smjeru okomitom prema ravnini zrcala negoli kad se giba paralelno s ravninom zrcala. Koliko god da je sićušna ova izračunata razlika između ta dva vremena, Michelson i Morley izveli su pokus interferencije svjetlosti u kojem bi se ova razlika morala posve jasno iskazati. Na veliku zbunjenost fizičara, rezultat pokusa je, međutim, ispao negativan. Očekivane razlike nije bilo. Lorentz i Fiz Gerald su iz te smetenosti izašli s teorijom u kojoj pretpostaviše da gibanje tijela spram etera prouzročuje kontrakciju tijela u smjeru gibanja i to upravo za toliko da se izgubi ona očekivana razlika u vremenu. Usporedba s izlaganjem u § 12. pokazuje da je takav ishod bio pravilan i sa stanovišta teorije relativnosti. Međutim, shvaćanje stvarnog stanja je u teoriji relativnosti neusporedivo više zadovoljavajuće. Prema njoj, ne postoji povlašteni koordinatni sustav koji je dao povoda uvođenju eterske ideje, a stoga ni eterskog vjetra i eksperimenta u kojem bi se on očitovao. Kontrakcija tijela u gibanju slijedi ovdje, bez unosa posebnih hipoteza, iz oba temeljna načela teorije; mjerodavno za ovu kontrakciju nije gibanje samo po sebi, kojem mi ne možemo pripisati neki smisao, već gibanje spram dotičnog odabranog referentnog tijela. Tako dakle za referenti sustav u kretanju sa Zemljom zrcala u pokusu Michelsona i Morleya nisu skraćena, ali svakako jesu za neki sustav koji miruje spram Sunca.

§ 17. Četverodimenzionalni prostor Minkowskog

Nematematičara podilazi tiha jeza kad čuje za riječ "četverodimenzionalan", osjećaj ne mnogo različit od onog što ga izazivaju sablasti u kazališnim predstavama. Pa ipak, ništa nije tako obično kao izjava da je naš svijet na kojeg smo navikli četverodimenzionalni prostorno-vremenski kontinuum.

Prostor je trodimenzionalni kontinuum. To mu ga znači da je položaj neke (mirujuće) točke moguće opisati pomoću tri broja (koordinata), x, y, z, te da za svaku točku postoji po volji "susjedna" točka čiji položaj se može opisati takvim koordinatnim vrijednostima (koordinatama) x1, y1, z1 koje se koordinatama x, y, z prvo spomenute točke nalaze po volji blizu. Zbog ovog posljednjeg svojstva govorimo o "kontinuumu" to jest neprekinutosti, a zbog broja koordinata o "trodimenzionalnost". Slično je svijet fizikalnih zbivanja, što ga je Minkowski kratko bio nazvao "svijet", prirodno četverodimenzionalan u prostorno-vremenskom smislu. Taj svijet sačinjavaju pojedinačni događaji od kojih je svaki opisan pomoću četiri broja, naime tri prostorne koordinate x,y,z i jednom vremenskom koordinatom vrijednosti t. "Svijet" u tom smislu je također kontinuum; svakom događaju daje se po volji "susjedan" (ostvaren ili tek zamišljen) događaj čije koordinate x1, y1, z1, t1 se po volji malo razlikuju od koordinata x,y,z,t prvotno promatranog događaja. Razlog da nismo navikli shvaćati svijet u smislu četverodimenzionalnog kontinuuma je taj što je vrijeme u predrelativističkoj fizici imalo u odnosu na prostorne koordinate različitu, samostalniju ulogu. Zato smo se naviknuli na to da s vremenom računamo kao s nekim samostalnim kontinuumom. Shodno klasičnoj fizici, vrijeme je u stvari apsolutno, to jest neovisno o položaju i stanju gibanja referentnog sustava To dolazi do izražaja u posljednjoj jednadžbi Galilejevih transformacija (t'=t).

Teorijom relativnosti ponuđen je četverodimenzionalni način promatranja "svijeta" budući da se shodno toj teoriji vremenu oduzima njegova samostalnost, kao što se to vidi i u četvrtoj jednadžbi Lorentzove transformacije:

2

2

2

'

1

vt x

ctvc

−=

−

Jer, prema toj jednadžbi vremenska razlika t' dva događaja u odnosu na K' uopće ne nestaje čak ni onda kad nestaje vremenska razlika t istih događaja u odnosu na K. Čisto prostorna udaljenost dvaju događaja u odnosu na K ima za posljedicu vremensku udaljenost istih u odnosu na K'. Ni u tome nije važno otkriće Minkowskog za formalni razvitak teorije relativnosti. Ono je mnogo više u spoznaji da četverodimenzionalni kontmuum teorije relativnosti u svojim mjerodavnim formalnim osobinama pokazuje jako srodstvo prema trodimenzionalnom kontinuumu euklidskog geometrijskog prostora). Da bismo tom srodstvu dali prilike da se istakne, mora se svakako umjesto uobičajene vremenske koordinate t uvesti njoj srazmjerna imaginarna veličina 1ct− . Tada, međutim, prirodni zakoni koji udovoljavaju zahtjevima (specijalne) teorije relativnosti poprimaju matematičke oblike u kojima vremenska koordinata igra posve istu ulogu kao i tri prostome koordinate. Ove četiri koordinate formalno odgovaraju trima prostornim

koordinatama euklidske geometrije. I nematematičarima mora također biti očevidno da je time teorija dobila izvanredno na preglednosti.

Ove oskudne napomene daju čitatelju tek mutnu ideju o važnim zamislima Minkowskog bez kojih bi opća teorija relativnosti, osnove koje će biti izložene u sljedećim poglavljima, bila još u povojima. No budući da za razumijevanje barem osnovnih misli kako specijalne tako i opće teorije relativnosti nije nužno potreban egzaktniji obuhvat ovog, za čitatelja nevičnog matematici besumnje teško pristupačnog predmeta, ja ću ovime završiti prvi dio.

DRUGI DIO

O OPĆOJ TEORIJI RELATIVNOSTI

§ 18. Specijalno i opće načelo teorije relativnosti

Osnovna postavka oko koje su se okretala sva dosadašnja razmatranja bilo je specijalno načelo relativnosti, to jest princip fizikalne relativnosti svih jednolikih gibanja. Analizirajmo još jednom točno njegov sadržaj.

Oduvijek je bilo jasno da se svako gibanje kao takvo mora smatrati samo za relativno. U našem često upotrebljavanom primjeru pružnog nasipa i željezničkog vagona može se, na primjer, činjenica o ovdje uočenom gibanju izraziti na dva načina koja su oba posve ravnopravna. (a) Vagon se giba u odnosu na pružni nasip. (b) Pružni nasip se giba u odnosu na vagon.

U iskazu (a) služi pružni nasip, a u iskazu (b) vagon kao referentno tijelo. Pri pukoj konstataciji odnosno opisu gibanja načelno je posve svejedno na kakvo se referentno tijelo gibanje odnosi. To je, kao što je rečeno, samo po sebi razumljivo i ne smije se pobrkati s mnogo opsežnijim iskazom kojeg smo nazvali "načelo relativnosti" i koji nam služi kao osnova naših istraživanja.

Načelo što smo ga upotrijebili ne izriče samo da bi se za opisivanje svakog događaja moglo jednako tako dobro odabrati bilo vagon bilo pružni nasip kao referentno tijelo (jer je također i to samo po sebi razumljivo). Naš princip tvrdi mnogo više: Formuliraju li se opći prirodni zakoni, kakvi su dobiveni iz iskustva, tako da (a) pružni nasip služi kao referentno tijelo, (b) vagon služi kao referentno tijelo,tada ovi opći zakoni prirode (na primjer zakoni mehanike ili zakon širenja svjetlosti u vakuumu) glase posve jednako u oba slučaja. To također možemo izraziti i ovako: Za fizikalni opis prirodnih događanja ni jedno od referentnih tijela K i K' se ne ističe pred drugim. Ova posljednja izjava, za razliku od ranije, ne mora se a priori nužno ostvariti; ona nije sadržana u pojmovima "gibanje" i "referentno tijelo" ni izvediva iz njih, već o njezinoj valjanosti ili netočnosti može odlučiti samo iskustvo.

Do sada, međutim, nismo nipošto tvrdili da su sva referentna tijela K ravnopravna

što se tiče formulacije prirodnih zakona. Naš je put više bio sljedeći. Pošli smo prvo od pretpostavke da postoji neko referentno tijelo K takvog stanja gibanja da u odnosu na njega vrijedi Galilejev temeljni stavak:Neka materijalna točka, prepuštena sama sebi i dovoljno udaljena od svih drugih, giba se jednoliko po pravcu. S obzirom na K (Galilejevo referentno tijelo) trebalo bi da prirodni zakoni budu što je moguće jednostavniji. Ali osim K trebalo bi da se i sva ona referentna tijela K' koja se u odnosu na K nalaze u stanju Jednolikog pravocrtnog nerotacionog gibanja, odlikuju tim svojstvom i da za formuliranje prirodnih zakona budu posve ravnopravna s K; sva ta referentna tijela smatramo Galilejevim referentnim tijelima. Valjanost načela relativnosti bila je pretpostavljena samo za ova referentna tijela, a ne i za druga (to jest drukčije vrste gibanja). U tom smislu govorimo o specijalnom načelu relativnosti odnosno o specijalnoj teoriji relativnosti.

Nasuprot tome, pod pojmom "općim načelom relativnosti" želimo podrazumijevati sljedeću tvrdnju: Sva referentna tijela, K K' itd. su za opisivanje prirode (formuliranje općihprirodnih zakona) jednako vrijedna, bez obzira u kakvom se stanju gibanja nalaze. Treba, međutim, odmah napomenuti da se ova formulacija mora kasnije nadomjestiti apstraktnijom, zbog razloga koji će tek kasnije izaći na vidjelo.

Pošto se uvođenje specijalnog načela relativnosti pokazalo opravdanim, mora svakome duhu koji teži ka poopćenju biti zamamno odvažiti se na korak prema općem načelu relativnosti. No već jedno jednostavno, i očito posve pouzdano, razmatranje izgleda kao da nam savjetuje da odustanemo od tog posve bezizglednog pokušaja. Neka se čitalac preseli u mislima u onaj, već često spominjani vagon koji se giba jednoliko. Tako dugo dok se vagon jednoliko giba, putnici u vagonu ne osjećaju ništa od tog gibanja. Zbog toga putnik i može svojevoljno tumačiti da vagon miruje, a da se pružni nasip giba. Uostalom, ovakvo je tumačenje prema specijalnom načelu relativnosti fizikalno posve opravdano. Promijeni li se, međutim, gibanje vagona u neko nejednoliko, na primjer kad vagon snažno zakoči, u tom slučaju putnici doživljavaju odgovarajući snažan trzaj prema naprijed. Ubrzavanje, odnosno usporavanje vagona očituje se u mehaničkom ponašanju tijela u odnosu na njega; mehaničko ponašanje je drukčije sada negoli u prethodnom slučaju i zato izgleda da je sada isključeno da u odnosu na vagon u nejednolikom gibanju vrijede isti zakoni mehanike koji vrijede za slučaj vagona u mirovanju odnosno jednolikom gibanju. U svakom slučaju, jasno je da za vagon u stanju nejednolikog gibanja ne vrijedi Galilejev temeljni stavak. Zbog toga se osjećamo u prvi mah prisiljeni da, protivno općem načelu relativnosti, pripišemo nejednolikom gibanju neku vrstu apsolutnog fizičkog realiteta. No u daljnjem izlaganju vidjet ćemo uskoro da je ovaj zaključak neodrživ odnosno da se može pobiti.

§ 19. Gravitacijsko polje

Na pitanje: "Zašto kamen, kojeg podignemo i zatim ispustimo, pada na tlo?" uobičajen odgovor glasi: "Zato jer ga privlači Zemlja." Suvremena fizika formulira ovaj odgovor nešto drukčije i to iz sljedećeg razloga. Detaljnim proučavanjem

elektromagnetskih pojava došli smo do zaključka da ne postoji neposredno djelovanje na daljinu. Privlači li, na primjer, neki magnet komad željeza, ne smijemo se tada zadovoljiti predodžbom da taj magnet djeluje izravno na željezo kroz prazan prostor, već prema Faradayu zamišljamo da magnet u prostoru oko sebe stalno stvara nešto fizički realno što nazivamo "magnetsko polje". Ovo magnetsko polje pak, sa svoje strane, djeluje zatim na komad željeza tako da se on nastoji gibati prema magnetu. O opravdanosti ove, same po sebi proizvoljne zamisli ne želimo raspravljati ovom prilikom. Spomenimo samo da se njezinom pomoći elektromagnetske pojave, a osobito Širenje elektromagnetskih valova, mogu predstaviti teorijski mnogo prikladnije negoli bez nje. Učinci gravitacije zamišljaju se na isti način.

Djelovanje Zemlje na kamen ostvaruje se neizravno. Zemlja proizvodi u svojoj okolini gravitacijsko polje. Ovo pak polje djeluje na kamen i uzrokuje njegovo padanje. Jačina ovog djelovanja slabi kako se sve više udaljujemo od Zemlje, i to slabi u skladu s posve određenim zakonom. U našem načinu razmatranja to znači: Zakon koji upravlja osobinama gravitacijskog polja u prostoru mora biti posve određen, kako bi točno opisivao slabljenje gravitacijskog djelovanja s udaljenošću od djelatnog tijela. To si predstavljamo otprilike ovako: Zamišljamo da tijelo (na primjer Zemlja) proizvodi polje u svojoj neposrednoj blizini; jačina i smjer polja na većoj udaljenosti određeni su tada zakonom koji upravlja prostornim osobinama gravitacijskog polja.

Za razliku od električnih i magnetskih polja, gravitacijsko polje ima krajnje neobično svojstvo koje je od temeljne važnosti za ovo što sada slijedi. Tijela koja se gibaju isključivopod djelovanjem gravitacijskog polja dobivaju ubrzanje koje ni najmanje ne ovisi o materijalu ni o fizičkom stanju tijela.

Komad olova i komad drva padaju, na primjer, u polju sile teže (u uvjetima vakuuma) posve jednako ako počnu padati istoga trena iz stanja mirovanja odnosno nekom istom početnom brzinom. Ovaj je zakon krajnje točan, a može se i drukčije formulirati na osnovi sljedećeg razmatranja. Prema Newtonovom zakonu gibanja je

(Sila) = (troma masa) x (ubrzanje)

pri čemu je "troma masa" karakteristična konstanta ubrzavanog tijela. Ako je sad ubrzavajuća sila sila teža, to jest gravitacija, tada taj zakon ima oblik

(Sila) = (teška masa) x (jačina gravitacijskog polja)

pri čemu je "teška masa" također neka, za tijelo karakteristična konstanta. Iz ove dvije relacije slijedi:

(teška masa) (ubrzanje) = ————— x (jačina gravit. polja) (troma masa)

Ako sada, kako proizlazi iz iskustva pri zadanom gravitacijskom polju mora

ubrzanje uvijek biti isto i neovisno o prirodi i stanju tijela, tada mora omjer između teške i trome mase biti također za sva tijela isti. Prikladnim izborom jedinica može ovaj omjer postati jednak jedinici; tada vrijedi ovaj stavak: Teška masa i troma masa nekog tijela su jednake.

Dosadašnja mehanika zabilježila je doduše ovaj važan stavak, ali ga nije protumačila. Zadovoljavajuće tumačenje može se postići ako uvidimo sljedeće: Ista osobina tijela očituje se, ovisno o okolnostima, kao "tromost" ili kao "težina". Da li je to doista slučaj i kako je ovo pitanje povezano s općim postulatom relativnosti, razložit ćemo u sljedećim poglavljima.

§ 20. Jednakost teške i trome mase kao dokaz za opći postulat relativnosti

Zamislimo neko prostrano područje praznog svemirskog prostora toliko udaljeno od zvijezda i pozamašnih masa da možemo sa znatnom točnošću imati pred sobom slučajpredviđen u Galilejevom temeljnom stavku. Moguće je tada za taj dio prostora (svijeta) odabrati neko Galilejevo referentno tijelo u odnosu na kojeg mirne točke miruju, a pokretne stalno ustraju u jednolikom pravocrtnom gibanju. Kao referentno tijelo zamislimo neku prostranu škrinju veličine sobe; unutra neka je opažač opskrbljen aparatima. Za tog opažača, dakako, ne postoji gravitacija. On se mora uzetima pričvrstiti za pod ukoliko ne želi da i pri najmanjem udaru o pod odlebdi zatim prema stropu sobe.

U sredini pokrova škrinje neka je s vanjske strane jedna kuka i na njoj privezano uže kojeg počinje vuči stalnom silom neko "biće" (nebitno nam je koje vrste je to "biće"). Škrinja se, zajedno s promatračem, počinje tada gibati jednoliko ubrzano i letjeti prema "gore". Njezina brzina će vremenom fantastično porasti - ukoliko mi sve ovo prosuđujemo iz nekog drugog referentnog sustava kojeg nitko ne vuče uzetom.

Ali kako čovjek u škrinji prosuđuje taj događaj? Ubrzavanje škrinje prenosi se s poda, kroz protutlak, također i na njega. On dakle mora taj tlak preuzeti na svoje noge, ako ne želi da se opruzi po podu koliko je dug i širok. On staje na noge, baš kao i netko tko stoji u sobi neke kuće na Zemlji. Ispusti li neki predmet kojeg je držao u ruci, tada se na predmet više ne prenosi ubrzavanje škrinje; predmet će se stoga u ubrzanom relativnom gibanju približavati podu škrinje. Opažač će se zatim uvjeriti daje ovo ubrzanje predmeta prema podu uvijek jednakog iznosa, bez obzira s kakvim sve predmetima on izvodio pokus.

Čovjek u škrinji će dakle - potaknut svojim znanjem o gravitacijskom polju kakvo smo prodiskutirali u prethodnom poglavlju - doći do zaključka da se on zajedno sa škrinjom nalazi u jednom stalnom gravitacijskom polju, u polju koje se vremenom ne mijenja. Bit će u prvi mah začuđen kako to da ne pada u polju te sile teže. Tada, međutim, otkriva kuku nasred stropa te na njoj pričvršćeno napeto uže pa iz toga izvlači zaključak da je škrinja mirno obješena u gravitacijskom polju.

Možemo li se mi smijati tom čovjeku i kazati mu da on u svojim zaključcima griješi? Smatram da ne možemo, želimo li ostati dosljedni, već moramo priznati da se njegov način zaključivanja ne kosi ni sa zdravim razumom ni s poznatim zakonima mehanike Premda se Škrinja ubrzano giba u odnosu na prvotno zadan "Galilejev prostor", možemo ipak smatrati da ona miruje. Imamo dakle valjanu osnovu da načelo relativnosti proširimo na referentna tijela koja se jedna prema drugima ubrzano gibaju i time smo

dobili snažan argument za poopćenje relativističkog postulata.Neka se nipošto ne smetne s uma da mogućnost ovakvog načina shvaćanja počiva

na temeljnom svojstvu gravitacijskog polja da svim tijelima dodjeljuje isto ubrzanje odnosno, što znači isto, da počiva na stavku o jednakosti trome i teške mase. Kad ovaj prirodni zakon ne bi postojao, tada čovjek u škrinji ne bi mogao tumačiti ponašanje tijela u svojoj okolici uz pomoć uvođenja gravitacijskog polja te ne bi na osnovi iskustva imao opravdanje za pretpostavku da je njegovo referentno tijelo "u mirovanju".

Neka čovjek u škrinju pričvrsti o unutrašnju stranu poklopca-stropa neko uže i na njegovom slobodnom kraju neka objesi jedan predmet. Na taj način je postigao da uže visi"okomito" u napetom stanju. Pitamo se što je uzrok napetosti užeta. Čovjek u škrinji će reći: "Obješeni predmet osjeća u gravitacijskom polju silu prema dolje koju napetost užeta drži u ravnoteži; za veličinu napetosti užeta mjerodavna je teška masa obješenog tijela." Međutim, neki promatrač koji slobodno lebdi u prostoru ovako će protumačiti stanje stvari: "Uže je prisiljeno da sudjeluje u ubrzanom gibanju škrinje i prenosi to gibanje na predmet privezan na njega. Uže je napeto toliko koliko je potrebno da se upravo prouzroči ubrzanje predmeta. Ono što određuje veličinu napetosti užeta je troma masa tijela" Vidimo iz ovog primjera da je za naše proširenja načela relativnosti nužan stavak o jednakosti teške i trome mase. Time je ovaj stavak dobio svoje fizikalno tumačenje.

Iz razmatranja ubrzavane škrinje vidi se da jedna opća teorija relativnosti mora dati važan rezultat o zakonu gravitacije. Doista, dosljedno slijedeći opću ideju relativnosti moglo se dobiti zakone koje gravitacija zadovoljava. Moram ipak već ovdje upozoriti čitatelja na nesporazum koji može proizaći iz ovakvog razmišljanja. Za čovjeka u škrinji postoji gravitacijsko polje, premda takvog polja nije bilo u prvotno izabranom koordinatnom sustavu. Moglo bi se sada lako pomisliti da je postojanje nekog gravitacijskog polja uvijek samo prividno. Moglo bi se misliti da, kakvo god da je gravitacijsko polje prisutno, možemo tako odabrati neko drugo referentno tijelo da u odnosu na njega gravitacijsko polje ne postoji. To, međutim, nikako ne uspijeva za sva gravitacijska polja već samo za ona posve posebne grade. Nemoguće je, na primjer, tako izabrati neko referentno tijelo da, prosuđujući s njegova stanovišta, nestane (u svoj svojoj sveukupnosti) gravitacijsko polje Zemlje.

Spomenimo sada zašto nije uvjerljiv onaj argument protiv općeg načela relativnosti što smo ga iznijeli ranije na kraju § 18. Točno je, dakako, da putnik u željezničkom vagonu koji kod osjeća zbog tog kočenja trzaj prema naprijed te na osnovi toga zaključuje o nejednolikom gibanju (usporavanju) vagona. Ali nitko ga ne prisiljava da iz trzaja zaključi o "stvarnom" ubrzanju (u ovom slučaju usporavanju) vagona. Može on taj događaj protumačiti i ovako: "Moje referentno tijelo (vagon) je i dalje na miru. U odnosu na njega pojavilo se, međutim, (za vrijeme trajanja kočenja) neko prema naprijed usmjereno vremenski promjenjivo gravitacijsko polje. Zbog djelovanja tog polja kreće se pružni nasip zajedno sa Zemljom na taj način da njegova prvobitna, unatrag usmjerena, brzina sve više opada Ovo gravitacijsko polje je također ono koje izaziva trzaj kod putnika"

§ 21. Klasična mehanika i specijalna teorija relativnosti

Kao što smo već više puta spomenuli, klasična mehanika polazi od sljedećeg stavka: Materijalne točke, dovoljno udaljene od drugih materijalnih točaka, gibaju se jednoliko pravocrtno odnosno ustraju u stanju mirovanja Također smo u više navrata naglašavali da osnovni stavak može biti valjan samo za referentna tijela K koja posjeduju neka odabrana stanja gibanja i koja se nalaze u jednolikom translatornom gibanju jedni prema drugima U odnosu na druga referentna tijela K' stavak ne vrijedi. Kao i u klasičnoj mehanici tako i u specijalnoj teoriji relativnosti razlikujemo zbog toga referentna tijela K u odnosu na koje su "prirodni zakoni" valjani, te referentna tijela K' u odnosu na koje ti zakoni ne vrijede.

No s takvim stanjem stvari ne može se zadovoljiti nijedan čovjek čiji je način razmišljanja dosljedno logičan. On se pita: "Kako je moguće da su izvjesna referentna tijela (odnosno njihova stanja gibanja) povlaštena u odnosu na druga referentna tijela (odnosno njihova stanja gibanja)? Koji je razlog za ovu povlaštenost?' Da jasnije pokažem što mislim pod tim pitanjem, poslužit ću se jednom usporedbom.

Stojim pred jednim plinskim štednjakom. Na njemu se nalaze, jedan pokraj drugoga, dva posve jednaka kuhinjska lonca. Oba su napunjena do polovice vodom. Primjećujem da iz jednog kulja para, a iz drugog ne. Iznenađen sam time, čak i ako nisam nikad vidio ni plinski štednjak ni kuhinjski lonac. Primijetim li, međutim, pod prvim loncem nešto plavičasto svijetlo, a pod drugim ne, moje čuđenje prestaje čak i ako nisam nikad ranije vidio plinski štednjak. Jer, sad mogu red da to plavičasto nešto prouzrokuje oslobađanje pare ili da je u najmanju ruku moguće da prouzrokuje. Ne zamijetim li, međutim, ni ispod jednog ni ispod drugog lonca plavičasto nešto, a vidim da iz jednog neprestano pari, ali iz drugog ne, tada sam začuđen i nezadovoljan tako dugo dok ne primijetim pojavu kojoj mogu pripisati odgovornost za različito ponašanje lonaca.

Shodno tome, ja u klasičnoj mehanici (ili u specijalnoj teoriji relativnosti) uzalud tražim realno nešto na što bih mogao svesti različito ponašanje tijela s obzirom na referentne sustave K i K'.11) Ovaj je prigovor vidio već Newton i pokušao ga obezvrijediti, ali bezuspješno. No najjasnije ga je spoznao E. Mach i upravo zbog njega je zahtijevao da se mehanika mora postaviti na nove temelje. Ovaj se prigovor može izbjeći samo u jednoj fizici koja je u skladu s općim načelom relativnosti budući da jednadžbe jedne takve teorije vrijede za svako referentno tijelo bez obzira kakvo da bilo njegovo gibanje.

11) Prigovor je naročito od važnosti kad je stanje gibanja referentnog tijela takve prirode da ne zahtijeva neko vanjsko djelovanje za svoje održavanje, na primjer u slučaju kad referentno tijelo jednoliko rotira

§ 22. Neki zaključci iz općeg načela relativnosti

Razmatranja u § 20. pokazuju da nas opće načelo relativnosti dovodi u položaj da na posve teorijski način izvedemo osobine gravitacijskog polja. Pretpostavimo, na primjer, danam je poznat prostorno-vremenski slijed bilo kakvog prirodnog događaja, onako kako se odigrava u Galilejevom području u odnosu na Galilejevo referentno tijelo K. Možemo tada pomoću čisto teorijskih operacija, što znači jednostavno računanjem, ustanoviti kako

ovaj poznati prirodni događaj izgleda iz referentnog tijela K' koje se ubrzano giba u odnosu na K. No budući da u odnosu na ovo novo referentno tijelo K' postoji neko gravitacijsko polje, saznajemo prilikom tog razmatranja kako gravitacijsko polje utječe na taj proučavani događaj.

Saznajemo tako, na primjer, da neko tijelo koje u odnosu na K izvodi jednoliko pravocrtno gibanje (u skladu s Galilejevim stavkom), izvodi s obzirom na ubrzano referentno tijelo K' (škrinju) ubrzano i općenito krivocrtno gibanje. Ovo ubrzanje, odnosno zakrivljenje, odgovara utjecaju gravitacijskog polja (koje vlada u odnosu na K') na tijelo u gibanju. Poznato je da gravitacijsko polje na taj način utječe na gibanje tijela pa nam ovo razmišljanje ne donosi ništa bitno novog.

Novi rezultat od temeljne važnosti dobije se, međutim, kada analogno razmišljanje primijenimo na svjetlosnu zraku. S obzirom na Galilejevo referentno tijelo, svjetlost se širi pravocrtno brzinom c. Može se lako pokazati da staza iste zrake svjetlosti u odnosu na ubrzavanu škrinju (referentno tijelo A") više nije pravac. Iz toga zaključujemo da se, općenito uzevši, zraka svjetlosti širi u gravitacijskim poljima krivocrtno. Ovaj rezultat je od velike važnosti i to u dva pogleda. U prvom redu, ovaj se zaključak može provjeriti u stvarnom svijetu. Premda detaljna istraživanja iznose na vidjelo da je savijanje svjetlosnezrake što ga daje opća teorija relativnosti vrlo neznatno u gravitacijskim poljima kakva nama stoje na raspolaganju, ipak za zraku svjetlosti koja prolazi pored Sunca ono mora iznositi 1,7 lučne sekunde. To bi se moralo ustanoviti mjerenjem položaja zvijezda prilikom totalne pomrčine Sunca. Zvijezda stajaćica u blizini Sunčeva diska, promatrano sa Zemlje, nalazit će se nešto malo odmaknuta od svog, inače pravog, položaja što ga ima na nebu kada se Sunce ne nalazi prividno u njenoj blizini već je na nekom drugom kraju neba. Ispitivanje da li taj pomak doista nastupa ili ne, zadatak je od najviše važnosti i treba da se nadamo da će ga astronomi uskoro riješiti.12)

12) Postojanje otklona svjetlosti, kakvo je zahtijevala teorija, prvi puta je potvrđeno za vrijeme pomrčine Sunca 30. svibnja 1919. i to pomoću zvjezdanih fotografija dviju ekspedicija što ih je opremilo Kraljevsko društvo pod vodstvom astronoma Eddingtona i Crommelina.

Drugo, naš rezultat pokazuje da se, u skladu s općom teorijom relativnosti, ne može priznati neograničena važnost već često spominjanog zakona o konstantnosti brzine svjetlosti u vakuumu, a koji zakon predstavlja jednu od dviju osnovnih pretpostavki specijalne teorije relativnosti. Savijanje zrake svjetlosti može se, naime, ostvariti samo ukoliko brzina širenja svjetlosti varira od mjesta do mjesta. Moglo bi se sada misliti da će kao posljedica toga, biti srušena specijalna teorija relativnosti, a s njom i cjelokupna teorija relativnosti. No to, u stvari, nije slučaj. Treba samo zaključiti da specijalna teorija relativnosti ne može polagati pravo na neograničeno područje važenja; njeni rezultati važe samo tako dugo dok se ne obaziremo na utjecaj gravitacijskog polja na pojave (na primjer na svjetlost). Budući da su protivnici teorije relativnosti češće tvrdili da je opća teorija relativnosti srušila specijalnu teoriju relativnosti, želim pojasniti pravo stanje stvari pomoću jedne usporedbe. Prije ustanovljenja elektrodinamike smatrali su se zakoni elektrostatike jednostavno zakonima elektriciteta. Danas znamo da elektrostatika može točno dati električna polja samo u slučaju koji, strogo uzevši, nije nikad ostvariv, to jest samo u slučaju kad su električne mase u savršenom mirovanju jedne prema drugima i prema koordinatnom sustavu. Da li je zbog toga elektrostatika bila srušena Maxwellovim jednadžbama polja elektrodinamike? Nipošto! Elektrostatika je sadržana u elektrodinamici

kao granični slučaj; zakoni ove potonje prelaze izravno u zakone one prve u slučaju da su polja vremenski nepromjenjiva. Najljepša je sudbina neke fizikalne teorije ako utre put za stvaranje jedne općenitije teorije u kojoj ona i dalje živi kao granični slučaj.

Vidjeli smo na upravo iznesenom primjeru širenja svjetlosti kako nas opći princip relativnosti stavlja u položaj da teorijskim putem izvedemo utjecaj gravitacijskog polja na tok prirodnih zbivanja za koja su već poznati zakoni u slučaju nepostojanja gravitacijskih polja. No opće načelo relativnosti pribavlja ključ i za rješenja najprivlačnije zadaće: iznalaženje zakona koje gravitacijsko polje zadovoljava. Razmotrimo to malo pobliže.

Poznajemo prostorno-vremenska područja koja se pri prikladnom izboru referentnog tijela ponašaju (približno) "galilejevski", što znači područja u kojima su odsutna gravitacijska polja. Dovedemo li sad jedno takvo područje u vezu s nekim referentnim tijelom K' koje se proizvoljno giba, tada u odnosu na K' postoji vremenski i prostorno promjenjivo gravitacijsko polje.13) Osobine ovog polja ovise, dakako, o tome kakvo smo gibanje za K' odabrali. Opći zakon gravitacijskog polja mora, prema općoj teoriji relativnosti, biti zadovoljen za sva gravitacijska polja koja se mogu dobiti na taj način. Premda se nipošto ne mogu sva gravitacijska polja proizvoditi na ovaj način, ipak možemo gajiti nadu da se opći zakon gravitacije može izvesti iz takvih gravitacijskih polja posebne vrste. Ova se nada ostvarila na najljepši mogući način. Ali od jasnog viđenja tog cilja pa do stvarnog postizanja istog, trebalo je savladati još jednu poteškoću koju ne smijem uskratiti čitatelju budući da ona leži duboko u srži stvari. Potrebno je ponovno produbiti pojmove prostorno-vremenskog kontinuuma.

13) Ovo slijedi poopćenjem razmatranja u paragrafu 20.

§ 23. Ponašanje ura i mjernih štapova na rotirajućem referentnom tijelu

Do sada namjerno nisam govorio o fizikalnom tumačenju prostornih i vremenskih podataka u slučaju opće teorije relativnosti. Time sam kriv za određenu površnost u razmatranju koja, kako znamo iz specijalne teorije relativnosti, ni u kojem slučaju nije nevažna i oprostiva. Krajnje je sada vrijeme da ispunimo tu prazninu, ali unaprijed napominjem da ova stvar postavlja na čitaočevo strpljenje i moć apstraktnog mišljenjazahtjeve za koje se ne može reći da su neznatni.

Krenimo opet od ranije spominjanih posve specijalnih slučajeva. Promotrimo neko prostorno-vremensko područje u kojem, u odnosu na neko referentno tijelo K prikladnoodabranog stanja gibanja, nema gravitacijskog polja; s obzirom na ovo promatrano područje K je tada Galilejevo referentno tijelo te u odnosu na K vrijede rezultati specijalne teorije relativnosti. Zamislimo sad da s tim istim promatranim područjem dovedemo u vezu neko drugo referentno tijelo K' koje ravnomjerno rotira u odnosu na K. Da bolje učvrstimo nasu predodžbu, zamislimo K' u liku jedne plosnate kružne ploče koja ravnomjerno rotira u svojoj ravnini oko svog središta vrtnje, osjeća neku silu koja djeluje u radijalnom smjeru prema van, a koju opažač u mirovanju u odnosu na prvotno referentno tijelo K tumači kao učinak inercije (centrifugalna sila). No opažač koji sjedi na ploči može pak svoju ploču smatrati za referentno tijelo "u mirovanju"; na takav zaključak

ima puno pravo na osnovi općeg principa relativnosti. On shvaća silu, koja djeluje na njega i na sva tijela što miruju u odnosu na ploču, kao učinak nekog gravitacijskog polja. Ipak, prostorna raspodjela ovog gravitacijskog polja je takve vrste kakva ne bi bila moguća prema Newtonovoj teoriji gravitacije14). No budući da opažač vjeruje u opću relativnost, njega to ne smeta; on se s pravom nada da se može postaviti neki opći zakon gravitacije koji točno objašnjava ne samo gibanje zvijezda već također i ovo polje sila što ga on osjeća.

14) Polje je nula u središtu ploče, a raste srazmjerno udaljenosti od središta kako se pomičemo prema rubu.

Opažač obavlja na svojoj rotirajućoj ploči pokuse s urama i mjernim štapovima, u namjeri da na temelju svojih promatranja dobije točne definicije za značenje vremenskih i prostornih podataka s obzirom na kružnu ploču K'. Do kakvih će iskustava on pritom doći?

Opažač prvo postavlja dvije jednako građene ure, jednu u središte kružne ploče, a drugu na njen rub, tako da ure u odnosu na ploču miruju. Pitamo se prvo idu li obje ure jednako brzo, sa stanovišta nerotirajućeg referentnog tijela K. Prosuđujući s njega, ura u središtu nema nikakvu brzinu, dok se ura na rubu nalazi zbog vrtnje ploče u gibanju u odnosu na K. Prema rezultatu iz § 12. znamo da će, promatrano iz K, rubna ura ići stalno sporije negoli ura u središtu rotirajuće ploče. To isto bi, očito, morao ustanoviti i neki opažač na ploči kojeg bismo postavili u središtu pokraj mirne ure. Na našoj kružnoj ploči, odnosno posve općenito uzevši u svakom gravitacijskom polju, neka će ura dakle ići brže odnosno sporije, ovisno o mjestu u kojem je ura (mirna) postavljena. Razumna definicija vremena pomoću ura koje su mirne u odnosu na neko referentno tijelo nije dakle moguća. Slična se poteškoća javlja kad pokušamo ovdje primijeniti našu raniju definiciju istodobnosti, u što ja ne želim dalje ulaziti.

Osim toga, i definicija prostornih koordinata nailazi ovdje na nesavladive poteškoće. Postavi li, naime, opažač koji se giba s rotirajućom pločom svoj mjerni štap (koji je malen uodnosu na polumjer ploče) na rub ploče, i to tangencijalno na nju, tada je štap, promatrano iz Galilejevog iskustva, dužine manje od 1 budući da se tijela u gibanju skraćuju u smjerugibanja, što smo objasnili u § 12. Položi li on, međutim, svoj mjerni štap ne tangencijalno već u smjeru radijusa, u tom slučaju, prosuđujući iz K, Štap ne trpi nikakvo skraćivanje. Mjeri li dakle opažač pomoću svog mjernog štapa prvo opseg ploče, a zatim promjer ploče i podijeli li ova dva mjerna rezultata, ne dobiva kao kvocijent poznati broj л 3,14..., već nekiveći broj,15) dok bi se na nekoj ploči, mirnoj u odnosu na K, moralo prilikom ove mjernoračunske operacije dobiti, dakako točno.

15) Prilikom cijelog ovog razmatranja moramo upotrijebiti kao referentno tijelo Galilejev (nerotirajućl) sustav K, budući da za učinke specijalne teorije relativnosti možemo pretpostaviti da vrijede samo u odnosu na K (u odnosu na K' vlada gravitacijsko polje).

Ovo dokazuje da stavci euklidske geometrije ne mogu točno vrijediti na rotirajućoj ploči, a time i općenito u nekom gravitacijskom polju, barem ne ako štapu pripisujemo dužinu 1 u svim položajima i pri svakoj orijentaciji. Zbog toga i pojam pravca gubi svoje značenje

Mi dakle nismo u stanju,pomoću metode upotrebljene u specijalnoj teoriji relativnosti, točno definirati koordinate x, y, z u odnosu na ploču, a tako dugo dok nisu definirane koordinate i vremena događaja,nemaju nikakvo egzaktno značenje ni prirodni zakoni u kojima se nalaze ove koordinate i vremena.

Čini se, dakle, da su time dovedena pod znak pitanja sva naša dosadašnja razmišljanja sagrađena na općoj relativnosti. U stvari, potreban nam je suptilan zaobilazak da bismo mogli egzaktno primijeniti postulat opće relativnosti. Čitalac će se za taj korak pripremiti uz pomoć sljedećeg izlaganja.

§ 24. Euklidski i neeuklidski kontinuum

Ispred mene se prostire površina mramornog stola. Mogu iz bilo koje točke tog stola stići do bilo koje druge točke tako da (velik) broj puta prelazim na neku "susjednu" točku ili- drukčije rečeno - tako da idem od točke do točke, a da ne pravim pritom skokove. Što se ovdje podrazumijeva pod riječima "susjedna" i "skokovi" mislim da će čitatelj osjetiti s do-voljnom jasnoćom (ako nije baš previše sklon cjepidlačenju). Za površinu koja posjeduje gore opisano svojstvo kažemo da je ona kontinuum.

Zamislimo sada da imamo na raspolaganju velik broj štapića jednake duljine, a malenih u odnosu na dimenzije stolne ploče. Kad kažemo da su jednake duljine mislimo pod tim da im se, kad stavimo jednog na drugog, krajevi točno poklapaju. Položimo sad četiri štapića na mramornu ploču jednog do drugog tako da njihovi krajevi tvore četverokut čije dijagonale su jednake (kvadrat). Za postizanje jednakosti dijagonala poslužimo se nekim ispitnim mjernim štapićem. Uz ovaj kvadrat pridodajmo sljedeće koji s prvim imaju po jedan štapić zajednički, na ove pak nastavimo iduće i tako dalje. Na kraju je cijela ploča stola pokrivena kvadratima, na taj način da svaka stranica kvadrata spada u sastav dva kvadrata, a svaki vrh u četiri kvadrata.

Pravo je čudo ako se ovaj posao može obaviti, a da se ne naiđe na najveće poteškoće! Potrebno je samo sjetiti se sljedećeg. Susretnu li se na jednom uglu već tri kvadrata, tada su također položene time već i dvije stranice za četvrti kvadrat, a time je, dakako, posve određen i položaj preostale dvije stranice tog kvadrata. Ali ja sada više nisam u stanju podešavati taj četverokut u cilju da mu dijagonale budu jednake. Ako su one ipak jednake, same od sebe, to je posebna naklonost mramornog stola i štapića prema mojim pokušajima i ja se tome mogu samo čuditi i biti zahvalan. Trebat će doživjeti mnogo takvih čuda pa da ova konstukcija od kvadrata uspije do kraja.

Ako je doista sve glatko išlo i završilo, tada kažem da točke stolne ploče čine euklidski kontinuum u odnosu na upotrebljene štapiće koji su služili kao mjera "udaljenosti" (linijski interval). Izdvojimo U jedan vrh nekog kvadrata kao "ishodišnu točku", mogu tada svaki vrh svakog kvadrata opisati s obzirom na ishodišnu točku pomoću dva broja. Potrebno je samo navesti koliko štapića "udesno", a koliko zatim "prema gore" moram prevaliti pa da od ishodišne točke stignem do željenog vrha nekog odabranog kvadrata. Ova dva broja su tada "Descartesove koordinate" tog vrha s obzirom

na "Descartesov koordinatni sustav" koji je određen poretkom složenih štapića.Napravimo li u ovom misaonom eksperimentu sljedeću izmjenu, uvidjet ćemo

odmah da mora biti slučajeva u kojima taj eksperiment ne uspijeva. Pretpostavi! ćemo da se štapići"izdužuju" razmjerno porastu temperature. Mramorna ploča stola neka se u sredini grije, ali ne i na rubovima, pri čemu se još uvijek na svakom mjestu stola mogu dva susjedna štapićapoklapati u veličini. Ali naša kvadratna konstrukcija mora pritom bezuvjetno dospjeti u stanje nereda, budući da se štapići središnjeg područja stolne ploče izdužuju, a oni vanjskih područja ostaju isti.

U odnosu na naše štapiće - definirane kao jedinične dužine - mramorna ploča sada više nije euklidski kontinuum i mi više nismo u stanju neposredno njihovom pomoći definirati Descartesove koordinate budući da se ranije spomenuta konstrukcija više ne može ostvariti. No kako ima i drugih stvari na koje temperatura stola ne utječe na isti način kao na štapiće (ili uopće ne utječe), moguće je sasvim prirodno održati predodžbu da je ploča stola "euklidski kontinuum"; to nam uspijeva na zadovoljavajući način ustanovljavanjemspretnijeg uvjeta mjerenja odnosno uspoređivanja dužina.

No ako bi se štapići bilo koje vrste (to jest bilo kojeg materijala) ponašali, što se tiče osjetljivosti na temperaturu, na isti način na različito grijanim stolovima te ako ne bismo imali nikakvo drugo sredstvo za otkrivanje učinka temperature osim geometrijskog ponašanja štapića pri pokusima istovrsnima gore opisanim, tada bi nam bilo najsvrsishodnije da dvjema točkama na stolu pripišemo udaljenost jedan kad se krajevi nekog od naših štapića mogu poklopiti s te dvije točke; jer kako bismo inače drukčije definirali udaljenost, a da naš postupak ne bude najstrahovitija samovolja? Ali tada se moranapustiti Descartesova koordinatna metoda i nadomjestiti je nekom drugom koja ne pretpostavlja valjanost euklidske geometrije za kruta tijela.16) Čitatelj zapaža da ovdje opisana situacija odgovara onoj koju je sa sobom donio opći postulat relativnosti (§ 23).

16) Matematičari su se suočili s našim problemom na sljedeći način. Ako smo zadali neku površinu (na primjer neki elipsoid) u euklidskom trodimenzionalnom prostoru, tada za ovu površinu postoji neka dvodimenzionalna geometrija, jednako tako kao i za površinu ravnine Gauss se prihvatio zadatka obrade ove dvodimenzionalne geometrije iz osnovnih principa, bez da je upotrijebio činjenicu da ta površina spada u euklidski kontinuum od tri dimenzije. Ako zamislimo konstrukciju učinjenu s krutim štapićima u površini (slično ovome gore s mramornom pločom), našli bismo da uz ove pristaju drukčiji zakoni od zakona što proizlaze na osnovi euklidske geometrije ravnine. U odnosu na štapiće površina nije euklidski kontinuum i mi ne možemo odrediti kartezijeve koordinate u površini. Gauss je pokazao načela u skladu s kojima možemo obrađivati geometrijske odnose u površini te na taj način ukazao na put prema Riemannovoj metodi obrađivanja mnogodimenzionalnih neeuklidskih kontinua. Matematičari su dakle već odavno riješili formalne probleme do kojih nas je vodio opći postulat relativnosti

§ 25. Gaussove koordinate

Ovaj analitičko-geometrijski način obrade problema može se, prema Gaussu, postići na sljedeći način. Zamislimo na površini stola nacrtan sustav proizvoljnih krivulja (vidi crtež 3) koje ćemo označiti kao u-krivulje te svaku imenovati jednim brojem.

Crtež 3.Na crtežu su to krivulje u=1, u=2, u=3. Između krivulja u = 1 i u = 2 zamislivo je

još beskonačno mnogo drugih krivulja kojima odgovaraju realni brojevi između 1 i 2. Imamo tada sustav u-krivulja, a taj beskonačno gust sustav pokriva cijelu površinu stola. Nijedna krivulja ne treba sjeći neku drugu, već kroz svaku točku stolne ploče mora prolaziti jedna i samo jedna krivulja. Svakoj točki površine ploče pripada tada neka posve određena u-vrijednost Jednako tako zamislimo na površini nacrtan sustav v-krivulja koje zadovoljavaju iste uvjete kao u-krivulje, na odgovarajuć način su označene brojevima, a mogu biti također proizvoljno oblikovane. Svakoj točki stolne ploče pripada tada jedna u-vrijednost i jedna v-vrijednost. Ova dva broja nazivamo koordinate površine stola (Gaussove koordinate). Točka P na crtežu ima, na primjer, Gaussove koordinate u=3, v=1. Dvije susjedne točke P i P' na površini imaju tada koordinate

P: u; vP': u + du; v + dv,

pri čemu su du i dv po volji mali brojevi (diferencijali). Pomoću nekog malenog štapića izmjerena udaljenost (linijski interval) od P do P' neka je također vrlo mali broj ds. Tada je prema Gaussu:

ds2=g11du2+ 2g12du dv +g22dv2,

pri čemu su veličine g11 g12 i g22 veličine koje na posve određen način ovise ou i v.Veličine g 1 1 g 1 2 i g 2 2 određuju ponašanje štapića prema u-krivuljama i v-krivuljama, dakle također i prema površini stola. Za slučaj da točke promatrane površine tvore u odnosu na mjerne štapiće neki euklidski kontinuum, ali i samo tada, moguće je nacrtati krivulje u i v i doznačiti im brojeve na taj način da imamo pojednostavljen slučaj

ds2 = du2+dv2

Tada su u-krivulje i v-krivulje pravci u smislu euklidske geometrije i okomiti su jedni na druge. Tada su Gaussove koordinate jednostavno Descartesove (kartezijev

sustav koordinata). Vidi se da Gaussove koordinate nisu ništa drugo nego pridruživanje po dva broja točkama promatrane površine na taj način da su prostorno susjednim točkama pridružene brojčane vrijednosti koje se vrlo malo razlikuju. Ova razmatranja vrijede prije svega za neki kontinuum od dvije dimenzije. No Gauss ova metoda se dade primijeniti također i na neki kontinuum od tri, četiri ili više dimenzija. Ako je to, na primjer, kontinuum od četiri dimenzije, možemo ga predstaviti na sljedeći način. Svakoj točki kontinuuma dodijele se proizvoljno četiri broja, x1,x2,x3,x4, koja se zovu "koordinate". Susjednim točkama odgovaraju susjedne koordinatne vrijednosti. Ako je sad susjednim točkama P i P' dodijeljena neka, mjerenjem ustanovljena, fizikalno dobro definirana udaljenost ds, tada vrijedi formula:

ds2=g11dx12 + 2g12dx1dx2 …+g44dx4

2

pri čemu veličine g11 itd. imaju vrijednosti koje variraju ovisno o mjestu u kontinuumu. Samo ako je kontinuum neki euklidski, moguće je tada točkama kontinuuma pridružiti koordinate x1 ... x4 tako, da ds postaje jednostavno

ds2=dx12 + dx2

2 + dx3 + dx42

U tom slučaju vrijede u četverodimenzionalnom kontinuumu odnosi analogni onima koji vrijede i u našim trodimenzionalnim mjerenjima.

Ovdje naveden Gaussov postupak za ds2 ipak nije moguć uvijek, već samo onda ako se dovoljno mala područja promatranog kontinuuma mogu smatrati za euklidske kontinue. U našem primjeru mramornog stola i različitih temperatura na njemu, taj je uvjet ispunjen. Za neki maleni dio ploče temperatura je naime praktički stalna, geometrijsko ponašanje štapića je gotovo takvo kakvo treba da bude u skladu s pravilima euklidske geometrije. Neusklađenost kvadratne konstrukcije ranijeg poglavlja izbija na vidjelo tek kad se ta konstrukcija protegne na znatan dio površine stola.

Rezimirajući, možemo reći: Gauss je pronašao metodu za matematičku obradu kontinua općenito, kontinua u kojima su definirani mjerni odnosi ("udaljenost? između susjednih točaka). Svakoj točki kontinuuma dodjeljuje se toliko brojeva (Gaussovih koordinata) koliko kontinuum ima dimenzija. Pridruživanje brojeva točkama provodi se na taj način da je sačuvana jednoznačnost pridruživanja te da se susjednim točkama dodjeljuju brojevi (Gaussove koordinate) koji se međusobno razlikuju za beskonačno male iznose. Gaussov koordinatni sustav je logičko poopćenje Descartcsovog koordinatnog sustava. On je primjenjiv također i na neeuklidske kontinue., ali samo tada ako se zadani kontinuum ponaša u odnosu na definiranu mjeru ("udaljenost") to približnije kao euklidski što je manji dio kontinuuma obuhvaćena promatranjem.

§ 26. Prostorno-vremenski kontinuum specijalne teorije relativnosti kao euklidski kontinuum

U skladu sa specijalnom teorijom relativnosti, za opisivanje prostorno-vremenskog četvero dimenzionalnog kontinuuma povlašteni su izvjesni koordinatni sustavi koje smo nazvali. "Galilejevi koordinatni sustavi". Četiri koordinate x, y, z, t, koje određuje neki događaj ili - drugim riječima - neku točku četverodimenzionalnog kontinuuma, definirane su za njih na fizikalno jednostavan način. Za prijelaz iz jednog Galilejevog sustava u drugi, koji se u odnosu na prvog ravnomjerno giba, vrijede jednadžbe Lorentzove transformacije koje su osnova za izvođenje zaključaka iz specijalne teorije relativnosti, a one same nisu ništa drugo već izraz univerzalne vrijednosti zakona širenja svjetlosti za sve Galilejeve referentne sustave.

Minkowski je našao da Lorentzove transformacije zadovoljavaju sljedeće jednostavne uvjete. Promatrajmo dva susjedna događaja čiji je međusobni položaj u četverodimenzionalnom kontinuumu zadan diferencijalima prostornih koordinata dx, dy, dz te diferencijalom vremena dt s obzirom na neko Galilejevo referentno tijelo K. S obzirom na neki drugi Galilejev sustav neka su odgovarajući diferencijali za oba događaja dx', dy', dz', dt'. Tada ove veličine uvijek ispunjavaju sljedeći uvjet:

dx2 + dy2 + dz2 -c2dt2 = dx'2 + dy'2+ dz'2 - c2dt'2

Iz ovog uvjeta slijedi valjanost Lorentzove transformacije. To možemo ovako izraziti: Veličina

ds2 = dx2 + dy2 + dz2 - c2dt2,

koja pripada dvjema susjednim točkama četverodimenzionalnog prostorno-vremenskog kontinuuma, ima za sva izabrana (Galilejeva) referentna tijela istu vrijednost.

Nadomjestimo li x, y, z, 1− ct sa x1,x2,x3,x4 dobijemo također rezultat

ds2=dx12 + dx2

2 + dx3 + dx42

koji je također neovisan o izboru referentnog tijela. Veličinu ds zovemo "udaljenost" koja razdvaja dva događaja, odnosno četverodimenzionalne točke.

Izabere li se, dakle, imaginarna varijabla 1− ct kao vremenska varijabla umjesto realne veličine t, tada možemo shvaćati prostorno-vremenski kontinuum - u skladu sa specijalnom teorijom relativnosti - kao "euklidski" četverodimenzionalni kontinuum, što je rezultat koji slijedi iz razmatranja u prethodnom poglavlju.

§ 27. Prostorno-vremenski kontinuum opće teorije relativnosti nije euklidski kontinuum

U prvom dijelu ove knjižice poslužili smo se prostorno-vremenskim koordinatama koje dopuštaju jednostavno i neposredno fizikalno tumačenje te koje se, prema § 26, dadu shvatiti kao četverodimenzionalne Descartesove koordinate (kartezijev sustav). To je bilo moguće na osnovi zakona o konstantnosti brzine svjetlosti, no kojeg, prema § 21, opća teorija relativnosti međutim ne može više zadržati. Došli smo dapače do rezultata da, u

skladu s potonjom teorijom, u slučaju postojanja gravitacijskog polja brzina svjetlosti mora uvijek ovisiti o koordinatama. Nađosmo dalje u § 23. jedan poseban primjer u kojem prisustvo gravitacijskog polja čini nemogućom svaku definiciju koordinata i vremena, a koja nas je definicija kod specijalne teorije relativnosti vodila k cilju.

S obzirom na rezultate ovih razmatranja dolazimo do uvjerenja da se, shodno općem principu relativnosti, prostorno-vremenski kontinuum ne može smatrati za euklidski već ovdje imamo općenit slučaj kakvog smo upoznali ranije kod dvodimenzionalnog kontinuuma mramorne ploče s mjesnim razlikama u temperaturi. Kao što je tamo bilo nemoguće konstruirati iz istih štapića kartezijev koordinatni sustav, tako je ovdje nemoguće sagraditi sustav (referentno tijelo) iz krutih tijela i ura, sustav koji će biti takve prirode da mjerni štapovi i ure, jedan prema drugom fiksno postavljeni, izravno pokazuju položaj i vrijeme. To je suština poteškoće s kojom smo se suočili u § 23.

No razmatranja u § 25. i § 26. pokazuju nam način kako da savladamo tu poteškoću. Četverodimenzionalni prostorno-vremenski kontinuum dovedemo na proizvoljan način u vezu s Gaussovim koordinatama. Svakoj točki kontinuuma (događaju) dodijelimo četiri broja x1 , x2 , x3 , (koordinate) koji nemaju nikakvo neposredno fizikalno značenje već služe samo tome da numeriraju točke kontinuuma na određen, ali proizvoljan način. Ovo dodjeljivanje čak i nije takve vrste da bismo x1 ,x2 ,x3

morali shvatiti kao "prostorne" koordinate, a x4 kao "vremensku" koordinatu.Čitatelj bi mogao pomisli d da je ovakvo opisivanje svijeta posve neprikladno. Što

to znači ako ja nekom događaju pripišem određene koordinate x1 ,x2 ,x3 ,x4 ako te koordinate same po sebi ništa ne znače? Nakon pažljivijeg razmišljanja vidi se ipak da je ova zamjerka bez temelja. Pogledajmo, na primjer, neku točku koja se proizvoljno giba. Ako bi ta točka postojala samo trenutno, dakle bez trajanja, tada bi ona bila prostorno-vremenski opisana pomoću jednog jedinog sklopa vrijednosti x1 ,x2 ,x3 ,x4 . Njezino stalno postojanje mora se, dakle, odlikovati beskonačno velikim brojem takvih sklopova vrijednosti čije se koordinate vrijednosti stalno i neprekidno nižu jedne na druge; materijalnoj točki odgovara dakle u četverodimenzionalnom kontinuumu neka (jednodimenzionalna) crta. Na isti način, mnogim pokretnim točkama u našem kontinuumu odgovaraju mnoge takve crte. Jedine izjave koje se tiču ovih točaka, a koje mogu isticati pravo na fizičku stvarnost su, u stvari, izjave o susretima ovih točaka. Neki takav susret očituje se u našem matematičkom prikazivanju time da obje crte, koje predstavljaju promatrane pokretne točke, imaju neki određen sklop koordinatnih vrijednosti x1 ,x2 ,x3 ,x4 za zajedničke. Čitatelj će nakon zrelijeg razmišljanja bez sumnje priznati da su takvi susreti zapravo jedini stvarni dokazi prostorno-vremenske zbilje koju susrećemo u fizikalnim izjavama.

Kada smo ranije opisivali gibanje neke materijalne točke u odnosu na referentno tijelo, nismo navodili ništa drugo doli susrete tih točaka s određenim točkama referentnog tijela. Možemo također ustanoviti i pripadne vremenske podatke na osnovi promatranja susreta tijela s urama, u vezi s promatranjem susreta kazaljki ure s određenim oznakama brojčanika. Ništa drukčije nije ni kod prostornog mjerenja pomoću mjernih štapova, što postaje jasno nakon malo razmišljanja.

Općenito vrijedi sljedeće: Svaki fizikalni opis raspada se u neki broj izjava od kojih se svaka odnosi na prostorno-vremensku podudarnost dvaju događaja A i B. Svaka takva

izjava izražava se u Gaussovim koordinatama podudaranjem njihovih četiriju koordinata x1 ,x2 ,x3 ,x4 . Opis prostorno-vremenskog kontinuuma pomoću Gaussovih koordinata nadomještava dakle stvarno potpuno opis pomoću nekog referentnog tijela, a da ne trpi od nedostataka ove potonje metode opisivanja; on nije vezan na euklidski karakter prikazivanog kontinuuma.

§ 28. Točna formulacija općeg načela relativnosti

Sada smo u prilici da privremenu formulaciju općeg načela relativnosti iz § 18. nadomjestimo egzaktnom. Tamo upotrijebljen oblik: "Sva referentna tijela K, K' itd. su za opisivanje prirodnih pojava (formuliranje općih prirodnih zakona) jednako vrijedna, bez obzira u kakvom se stanju gibanja nalaze", ne može se zadržati kao ispravan budući da nije općenito moguća, pri prostorno-vremenskom opisivanju, upotreba krutih referentnih djela u smislu metoda što ih slijedimo kod specijalne teorije relativnosti. Na mjesto referentnih tijela treba stupiti Gaussov koordinatni sustav. Temeljnoj ideji općeg načela relativnosti odgovara izjava sljedećeg oblika: "Svi Gaussovi koordinatni sustavi su za formuliranje općih prirodnih zakona jednako vrijedni"

Ovo opće načelo relativnosti možemo također izraziti i u drugom obliku u kojem se može još jasnije prepoznati negoli u ovom obliku prirodnog proširenja specijalnog načela relativnosti. U skladu sa specijalnom teorijom relativnosti, jednadžbe koje izražavaju opće zakone prirode prelaze u jednadžbe istog oblika ako se umjesto prostorno-vremenskih varijabli x, y, z, t nekog (Galilejevog) referentnog tijela uvedu, koristeći Lorentzovu transformaciju, prostorno-vremenske varijable x', y', z', t' nekog novog referentnog tijela K'. S druge pak strane, prema općoj teoriji relativnosti moraju jednadžbe prilikom primjene proizvoljnih supstitucija Gaussovih varijabli x1 ,x2 ,x3 ,x4 prijeći u jednadžbe istog oblika; jer svaka transformacija (a ne samo Lorentzova) odgovara prijelazu nekog Gaussovog koordinatnog sustava u neki drugi.

Ne želimo li se odreći našeg "staromodnog" trodimenzionalnog nazora, tada možemo razvoj što ga je doživjela osnovna ideja opće teorije relativnosti opisati na sljedeći način:Specijalna teorija relativnosti se odnosi na Galilejeva područja, što znači na takva u kojima ne postoji gravitacijsko polje. Kao referentno tijelo služi pritom Galilejevo referentno tijelo, to jest neko kruto tijelo tako odabranog stanja gibanja da u odnosu na njega vrijedi Galilejev stavak o jednolikom pravocrtnom gibanju "izdvojene" materijalne točke.

Određena razmišljanja nameću ideju da se ista ova Galilejeva područja dovedu također u vezu i s ne-Galilejevim referentnim tijelima. U odnosu na ova prisutno je tada gravitacijsko polje posebne vrste (§ 20. i § 23).

No u gravitacijskim poljima nema krutih tijela s euklidskim svojstvima; fikcija krutih referentnih tijela nije prema tome od koristi u općoj teoriji relativnosti. Na hod ura također utječu gravitacijska polja na taj način da fizikalna definicija vremena izravno pomoću ura nema nipošto isti stupanj očitosti kao u specijalnoj teoriji relativnosti.

Zbog tog razloga upotrijebljena su nekruta referentna tijela koja ne samo da se, kao cjelina, proizvoljno gibaju već također za vrijeme svog gibanja trpe kakve mu drago

promjene oblika. Za definiciju vremena služe ure proizvoljnog zakona hoda, bilo kako nepravilnog. Zamišljamo da je svaka od tih ura pričvršćena u nekoj točki nekrutog referentnog tijela i da sve ispunjavaju samo jedan uvjet, a to je da se "očitanja", istodobnouočena na prostorno susjednim urama, međusobno razlikuju za beskonačno malen iznos. Ovo nekruto referentno tijelo, kojeg bi s punim pravom mogli nazvati "referentni mekušac", je u biti jednako valjano kao i neki proizvoljno izabran Gaussov četverodimenzionalni koordinatni sustav. Ono što "mekušcu", u usporedbi s Gaussovim koordinatnim sustavom, daje određenu zornost je (zapravo neopravdano) formalno očuvanje odvojenog postojanja prostornih koordinata i vremenske koordinate. Svaka točka mekušca obrađuje se kao prostorna točka, a svaka materijalna točka u relativnom mirovanju u odnosu na njega kao mirna točka, tako dugo dok se mekušac smatra referentnim tijelom. Opće načelo relativnosti zahtijeva da svi ovi mekušci mogu pri formuliranju općih prirodnih zakona biti upotrijebljeni kao referentna tijela s jednakimuspjehom; zakoni moraju biti posve neovisni o izboru mekušca.

U opsežnom ograničenju koje je ovime nametnuto prirodnim zakonima, jasno se osjeća dah svojstven općem načelu relativnosti.

§ 29. Rješenje problema gravitacije na temelju općeg načela relativnosti

Ako je čitatelj slijedio sva dosadašnja razmišljanja tada mu je bez daljnjih poteškoća utrt put prema razumijevanju metoda koje vode do rješenja problema gravitacije.

Pođimo od razmatranja nekog Galilejevog područja, što znači takvog u kojem u odnosu na Galilejevo referentno tijelo K ne postoji gravitacijsko polje. Ponašanje mjernih štapova i ura u odnosu na K poznato je iz specijalne teorije relativnosti, a isto tako i ponašanje izdvojene" materijalne točke; ona se giba jednoliko i po pravcu.

Sada dovedimo ovo područje u vezu s proizvoljnim Gaussovim koordinatnim sustavom, odnosno s nekim "mekušcem" kao referentnim tijelom K'. S obzirom na K' postoji dakle neko gravitacijsko polje G (posebne vrste). Jednostavnim proračunom doznajemo tada ponašanje mjernih štapova i ura te ponašanje materijalne točke u slobodnom kretanju u odnosu na K'. Ovo ponašanje tumačimo kao ponašanje mjernih štapova, ura, materijalnih točaka pod djelovanjem gravitacijskog polja G. Potom uvodimo hipotezu da se djelovanje gravitacijskog polja na mjerne štapove, ure i materijalne točke u slobodnom gibanju događa prema istim zakonima, čak i u slučaju ako vladajuće gravitacijsko polje nije izvedivo iz Galilejevog specijalnog slučaja nekom transformacijom koordinata.

Slijedeći je korak istražiti prostorno-vremensko ponašanje gravitacijskog polja G koje je transformacijom koordinata izvedeno iz Galilejevog specijalnog slučaja. Ovo ponašanje se formulira zakonom koji uvijek vrijedi, bez obzira kakvo god da je odabrano referentno tijelo (mekušac) upotrijebljeno u opisivanju.

Ovaj zakon još nije opći zakon gravitacijskog polja budući da je promatrano gravitacijsko polje G posebne vrste. Za pronalaženje općeg zakona polja gravitacije potrebno je još poopćenje gore dobivenog zakona. Do cilja se može stići bezproizvoljnosti ukoliko uzmemo u obzir sljedeće zahtjeve:

a) Traženo poopćenje mora također zadovoljiti opći postulat relativnosti.b) Ako je u promatranom području prisutna materija, tada će samo njezina troma masa

(dakle samo njezina energija) biti odgovorna za učinak uzbude poljac) Gravitacijsko polje i materija zajedno moraju zadovoljiti zakon sačuvanja energije

(i impulsa). Zaključno, opće načelo relativnosti dopušta nam da odredimo utjecaj gravitacijskog polja na tok svih onih zbivanja koja se za slučaj odsustva nekog gravitacijskog polja odvijaju u skladu s poznatim zakonima, što znači da su već uklopljena u okvire specijalne teorije relativnosti. Postupa se pritom načelno prema metodi koja je već ranije bila obrazložena za mjerne štapove, ure i materijalne točke u slobodnom kretanju.

Teorija gravitacije izvedena na ovaj način iz općeg postulata relativnosti odlikuje se ne samo svojom ljepotom; ona ne samo da odstranjuje nedostatak koji je opterećivao klasičnu mehaniku, a iznesen u § 21; ona ne samo da tumači iskustveni stavak o jednakosti teške i trome mase; ona je također razjasnila dva načelno različita promatračka rezultata astronomije kod kojih je klasična mehanika zakazala. Već smo bili spomenuli jedan od dva rezultata, naime savijanje zrake svjetlosti u gravitacijskom polju Sunca; drugi se odnosi na stazu planeta Merkura.

Postavimo li naime jednadžbe opće teorije relativnosti za poseban slučaj kada gravitacijska polja možemo smatrati slabima, a sve mase se gibaju u koordinatnom sustavu brzinama koje su male u odnosu na brzinu svjetlosti, tada kao prvu aproksimaciju dobivamo Newtonovu teoriju. Ova potonja teorija se prema tome dobiva bez neke posebne pretpostavke, dok je Newton morao uvesti hipotezu da je privlačna sila između međusobno djelujućih materijalnih točaka obrnuto razmjerna kvadratu udaljenosti između njih. Povećamo li točnost računa, tada se pojavljuju odstupanja od Newtonove teorije, koja odstupanja, doduše, zbog malih iznosa ostaju prilikom promatračkih provjera gotovo sva nezamijećena.

Ovdje moramo posebno obratiti pažnju na jedno od tih odstupanja. Prema Newtonovoj teoriji, neki planet se giba oko Sunca po elipsi koja bi u odnosu na zvijezde stajaćice vječno održavala svoj položaj ako bismo mogli zanemariti vlastito gibanje zvijezda stajaćica te učinak drugih planeta na promatrani planet. Zanemarimo li ta dva utjecaja, staza planeta bi u odnosu na zvjezdanu pozadinu trebalo da bude postojana elipsa, ako je Newtonova teorija posve točna. Postojanost staza ustanovljena je kod svih planeta, osim onog Suncu najbližeg, i to s odličnom točnošću kakvu je moguće postići sadašnjim preciznim opažanjima. Za planet Merkur, međutim, znamo još od Leverriera da njegova staza korigirana u gore spomenutom smislu nije postojana s obzirom na zvijezde već da se vrti, istina vrlo sporo, u svojoj ravnini i to u smjeru ophodnog gibanja planeta. Za ovaj pomak perihela elipsne staze ustanovljena je vrijednost od 43 lučne sekunde na stoljeće i to s točnošću od svega nekoliko lučnih sekundi. Ova se pojava može objasniti pomoću klasične mehanike samo na temelju malo vjerojatnih hipoteza, izmišljenih isključivo zbog nje.

Iz opće teorije relativnosti proizlazi da elipsa svakog planeta koji kruži oko Sunca nužno mora rotirati na gore spomenut način. Ova je rotacija, međutim, za sve druge planete osim za Merkur premala da bi se mogla ustanoviti uz sada moguću točnost promatranja, ali za Merkur mora iznositi 43 lučne sekunde na stoljeće, točno koliko su

dala promatranja. Osim ovog, iz teorije su se do sada mogla izvući još samo dva zaključka kojih je testiranje izvedivo promatranjima: savijanje zrake svjetlosti u gravitacijskom polju Sunca te pomak spektralnih linija svjetlosti koja dolazi do nas s masivnih zvijezda, u usporedbi s odgovarajućim linijama u svjetlosti proizvedenoj na isti način na Zemlji (to jest pomoću iste vrste atoma). Oba ova zaključka teorije su potvrđena.

RAZMATRANJA O SVIJETU U CJELINI

§ 30. Kozmološke poteškoće Newtonove teorije

Osim poteškoća razmatranih u § 21, klasičnu nebesku mehaniku prati još jedna načelna poteškoća o kojoj je, koliko je meni poznato, prvi opsežno govorio astronom Seeliger. Kad razmatramo pitanje kako da zamislimo svijet kao cjelinu, prvi odgovor koji nam se nameće je ovaj: Svemir je prostorno (i vremenski) beskrajan. Posvuda postoje zvijezde pa je gustoća materije, premda na pojedinim mjestima vrlo različita, grubo uzevši posvuda prosječno ista. Drugim riječima: Koliko god da se daleko otputuje u svemir, posvuda se nađe neki razrijeđen roj zvijezda stajaćica otprilike iste vrste i iste gustoće.

Ovakvo stanovište nije u skladu s Newtonovom teorijom. Ona zahtijeva, štoviše, da svijet ima neko vrsno središte u kojem postoji maksimalna gustoća te da ova gustoća opada kako se udaljujemo od središta da bi na kraju, na velikim udaljenostima, postala beskonačno prazan prostor. Zvjezdani svemir bi morao biti neki otok konačne veličine u beskonačnom oceanu prostora.l7)

17) Obrazloženje - Prema Newtonovoj teoriji, broj "linija sila" koje dolaze iz beskonačnosti i završavaju na nekoj masi m razmjeran je toj masi m. Ako je, u prosjeku, gustoća mase p0 konstantna u djelom svemiru, tada će neka kugla volumena V obuhvaćati prosječnu masu p0V. Broj silnica koje kroz površinu P ulaze u unutrašnjost kugle srazmjeran je dakle p0V. Kroz jediničnu površinu kugle ulaze dakle silnice broj kojih je srazmjeran p0V/P odnosno p0R. Jakost polja na površini bi dakle s rastućim polumjerom R kugle rasla u beskonačnost, što je nemoguće.

Ova predodžba sama po sebi nije baš zadovoljavajuća, a to je još i manje kad se, polazeći od nje, dođe do posljedice da svjetlost emitirana sa zvijezda (a također i pojedine zvijezde zvjezdanog sustava) neprestano odlazi u beskonačnost, a da se nikada više ne vrati i opet stupi u međudjelovanje s drugim prirodnim objektima. Tako bi neki konačni materijalni svemir bio osuđen da postepeno, ali sustavno, postaje sve siromašniji materijom.

Da izbjegne ovu posljedicu, Seeliger je predložio izmjenu Newtonovog zakona i to tako što je pretpostavio da privlačenje dviju masa pri većim udaljenostima opada brže nego po zakonu 1/r2. Time se postiže da srednja gustoća materije svuda do u beskonačnost može biti konstantna, a oslobodili smo se i beskonačno velikog gravitacijskog polja. Rješavamo se tako neprijatne predodžbe o materijalnom svijetu koji mora posjedovati neku vrstu središta. Dakako, ovo oslobađanje od gore opisanih nevolja sričemo na račun izmjena i kompliciranja Newtonovog zakona, izmjena koje nemaju ni iskustvenog ni teorijskog temelja. Možemo zamisliti po volji mnogo zakona koji bi služili u iste svrhe, a da nismo u stanju navesti razlog zbog čega je jedan od njih u prednosti pred drugima; jer,

za bilo koji od ovih zakona bi se našlo jednako tako malo općenitijih načela kao i za Newtonov zakon.

§ 31. Mogućnost konačnog, a ipak neograničenog svijeta

Spekulacije o građi svemira kreću se, međutim, također i u posve drugom smjeru. Razvoj neeuklidske geometrije vodio je naime do saznanja da se može posumnjati u beskonačnost našeg prostora, a da se pritom ne dospije u sukob sa zakonima mišljenja ili s iskustvom (Riemann, Helmholtz). Te su stvari vrlo opširno s nedostižnom razumljivošću objasnili Helmholtz i Poincare, dok ja to mogu ovdje samo ukratko spomenuti.

Zamislimo za početak neko dvodimenzionalno zbivanje. Plošna bića s plošnim alatima, naročito s plošnim mjernim štapovima, neka se slobodno gibaju u nekoj ravnini. Izvan te ravnine za njih ništa ne postoji, a događanje u njihovoj ravnini, sve što oni promatraju na sebi i svojim plošnim stvarima, uzročno je zatvoreno zbivanje. Pomoću štapova su ostvarive konstrukcije euklidske geometrije ravnine, na primjer ona mrežna konstrukcija na stolnoj ploči iz § 24. Svijet ovih bića je u odnosu na naš prostorni svijet tek dvodimenzionalan, ali se kao i naš svijet proteže u beskonačnost Na njemu ima mjesta za beskonačno mnogo istih kvadrata napravljenih od štapića, što znači da je njihov volumen (zapravo površina) beskonačan. Kad ova bića kažu da je njihov svijet "ravan" ta izjava ima smisla, jer oni sa svojim štapićima mogu izvesti konstrukcije euklidske geometrije ravnine, pri čemu pojedini štapići predstavljaju uvijek iste udaljenosti neovisne od svog položaja.

No zamislimo sada neko dvodimenzionalno postojanje, ali ovoga puta ne više na ravnini već na jednoj kuglinoj plohi. Plošna bića sa svojim mjernim štapovima i ostalim predmetima točno pristaju u ovu plohu i nemaju načina da je napuste; njihov cjelokupni opažaj ni svijet proteže se isključivo po površini kugle. Mogu li ova bića smatrati geometriju svog svijeta za dvodimenzionalnu euklidsku geometriju i pritom istodobno svoje štapiće shvaćati kao "udaljenost"? Ona to ne mogu. Jer, pri pokušaju da zamisle pravac, dobit će krivulju koju mi "trodimenzionalci" nazivamo velika kružnica kugle, dakle dobit će neku u sebe zatvorenu liniju određene konačne duljine koja se može izmjeriti nekim mjernim štapom. Jednako tako ima taj svijet neku konačnu površinu koja se može uspoređivati s veličinom kvadrata napravljenog od mjernih štapova. Velika draž koja proizlazi iz udubljivanja u ova razmišljanja nalazi se u saznanju: Svijet ovih biča je konačan, a ipak nema granica.

Ali bićima kugline plohe nije potrebno poduzimati svjetska putovanja pa da bi opazili da ne žive u euklidskom svijetu. U to se mogu uvjeriti u svakom dijelu svog svijeta, ukoliko taj dio nije premalen. Oni vuku iz jedne točke u svim smjerovima "ravne crte" (lukove kružnica, kako bi ih nazvala bića trodimenzionalnog svijeta) jednake duljine. Spojnicu slobodnih krajeva ovih crta oni će nazvati "kružnica". U euklidskoj geometriji ravnine je omjer opsega kruga i promjera kruga, mjereno istim mjernim štapovima, jednak konstanti koja je neovisna o promjeru kružnice. Naša dvodimenzionalna bića bi na svojoj kuglinoj plohi dobila za ovaj omjer vrijednost

sinrR

rR

π

=

to jest neku vrijednost koja je manja od л i to tim manja što je veći polumjer kružnice u usporedbi s polumjerom R "svijeta-kugle". Iz ovog odnosa mogu bića kugli ne plohe odrediti polumjer R svoga svijeta, čak i ako im za mjerenje stoji na raspolaganju relativno neznatan dio površine njihova svijeta-kugle. Ukoliko je, međutim, taj dio premalen, tada više ne mogu ustanoviti da se nalaze na svijetu-kugli, a ne na euklidskoj ravnini, budući da se mali dio kugline površine neznatno razlikuje od jednako velikog dijela neke ravnine.

Ako dakle bića kugline plohe žive na nekom planetu čiji planetni sustav zauzima zanemarivo mali djelić kuglastog svijeta, u tom slučaju nemaju nikakvih mogućnosti odrediti žive li u jednom konačnom svijetu ili beskonačnom svijetu, budući da je komad svijeta koji je pristupačan njihovu iskustvu u oba slučaja praktički ravan, to je jest euklidski. Iz ovog razmatranja izravno slijedi da za naša bića iz kugline plohe opseg kružnice prvo raste s polumjerom sve dok ne dosegne "opseg svijeta", a zatim pri daljnjem porastu vrijednosti polumjera postepeno opada do nule. Površina omeđena kružnicom nastavlja rasti sve više i više sve dok na kraju ne postane jednaka ukupnoj površini cijelog "svijeta-kugle".

Možda će se čitatelj čuditi da smo naša bića smjestili upravo na kuglu, a ne na neku drugu zatvorenu plohu. No to ima svoje opravdanje budući da kugla od svih zatvorenihpovršina jedina posjeduje svojstvo da su sve točke na njoj ravnopravne. Uvažavam da omjer opsega o kružnice prema njenom radijusu r ovisi o r, ali za zadanu vrijednost r taj je omjer za sve točke kuglinog svijeta isti; drugim riječima, kuglin je svijet neka "površina konstantne zakrivljenosti".

Postoji i trodimenzionalna analogija ovom dvodimenzionalnom kuglinom svijetu, a to je trodimenzionalni sferni prostor kojeg je otkrio Riemann. Sve njegove točke su također ravnopravne. On ima neki konačan volumen koji je određen njegovim "radijusom" (2л2R3)Da li je moguće zamisliti sferni prostor? Zamisliti neki prostor ne znači ništa drugo već zamisliti neki sadržaj našeg "prostornog" iskustva, to jest iskustva što ga možemo imati prilikom gibanja "krutih" tijela. U tom smislu je sferni prostor zamisliv.

Pretpostavimo da smo iz jedne točke povukli ravne crte ili napeli užeta u svim smjerovima i naznačili na svakome pomoću mjernog štapa istu udaljenost r. Sve slobodne završne točke ovih dužina leže na nekoj kuglinoj plohi. Njenu površinu (P) možemo posebno izmjeriti pomoću nekog mjernog kvadrata. Ako je svijet euklidski bit će P = 4 л r2, ako je posrijedi sferni prostor tada je P uvijek manji od 4 л r2. Porastomr raste i P od nule pa do nekog maksimuma određenog "svjetskim radijusom" R, no pri daljnjem porastu radijusa kugle r, površina P opet pada prema nuli. Ravne crte koje se kreću iz ishodišne točke prvo se sve više udaljuju jedne od drugih, ali se zatim kasnije opet približavaju da bi se na kraju našle sve zajedno u "protutočki" ishodišne točke; na taj su način premjerile cijeli sferni prostor. Lako se uvjerimo da je trodimenzionalni sferni prostor posve analogan dvodimenzionalnoj kuglinoj plohi. Konačan je (što znači konačnog volumena), a nema granica.

Spomenimo da postoji još jedna podvrsta sfernog prostora, "eliptični prostor". On

se može smatrati nekim sfernim prostorom kod kojeg su "protutočke" identične (nerazlučive jedna od druge). Eliptični univerzum se može također donekle smatrati za centralno simetričan sferni svijet.

Iz ovdje rečenog slijedi da su zamislivi zatvoreni prostori bez granica. Među njima se sferni (odnosno eliptični) prostor odlikuje po svojoj jednostavnosti budući da su sve točke ravnopravne. Kao rezultat ovog razmatranja javlja se za astronome i fizičare krajnje zanimljivo pitanje je li svijet u kojem živimo beskonačan ili je konačan u smislu sfernog univerzuma. Naše je iskustvo još daleko od toga da bi nam omogućilo odgovor na to pitanje. Opća teorija relativnosti dopušta nam, međutim, da odgovorimo na njega s priličnom sigurnošću, a pritom se oslobađamo i poteškoća spomenutih u § 30.

§ 32. Građa prostora prema općoj teoriji relativnosti

Shodno općoj teoriji relativnosti geometrijska svojstva prostora nisu samostalna već su uvjetovana materijom. O geometrijskoj strukturi svijeta možemo nešto saznati samo ako kao osnovu uzmemo poznato stanje materije. Iz iskustva znamo da su kod prikladno odabranog koordinatnog sustava brzine zvijezda male u odnosu na brzinu širenja svjetlosti. Možemo stoga saznati stanje svijeta u cjelini u najgrubljem približenju tako da promatramo materiju kao da je u stanju mirovanja.

Na temelju ranijeg razmišljanja znamo već da na ponašanje mjernih štapova i ura utječu gravitacijska polja to jest raspodjela materije. Iz toga već slijedi da u našem svijetu ne može biti ni govora o posvemašnjoj točnoj valjanosti eukidske geometrije. Ali samo po sebi je zamislivo da naš svijet malo odstupa od euklidskog, a takvom shvaćanju idu u prilog računski rezultati koji kažu da čak mase veličine našeg Sunca tek vrlo malo utječu na metriku okolnog prostora. Mogli bismo si predstaviti da se naš svijet u geometrijskom pogledu ponaša analogno poput neke mjestimično nepravilno zakrivljene plohe koja, međutim, nigdje značajnije ne odstupa od ravnine; možemo je zamisliti poput namreškane površine mora s malim valovima. Takav svijet mogli bismo nazvati kvazi-euklidskim. On bi prostorno bio beskonačan. No račun daje da bi u jednom kvazi-euklidskom svijetu srednja gustoća materije morala biti jednaka nuli. Jedan takav svijet ne bi mogao dakle biti posvuda ispunjen materijom; nudio bi nam nezadovoljavajuću sliku koju smo zamislili u § 30.

Ukoliko pak svijetu pridamo neku srednju vrijednost gustoće materije koja se, koliko god da je mala, ipak razlikuje od nule, tada svijet nije kvazi-euklidski. Račun zatim daje da bi svijet pri ravnomjerno raspodijeljenoj materiji morao biti nužno sfernog (odnosno eliptičnog) oblika. Budući da je u stvarnosti materija u detaljima nejednoliko raspodijeljena, stvarni će svijet u pojedinostima odstupati od sfernog vladanja, bit će kvazi-sferni. Ali nužno će morati biti konačan. Teorija čak nudi jednostavan međuodnos između prostorne raširenosti svijeta i srednje gustoće materije u njemu.18)

18) "Radijus" R svijeta dobije se naime iz jednadžbe 2 2

Rkρ

=

U C-G-S sustavu mjernih jedinici 2/k=1,08*1027; p srednjanja gustoća materije.

DODATAK

I Građa prostora u vezi s općom teorijom relativnosti

Od objavljivanja prvog izdanja ove knjižice doživjelo je naše znanje o gradi prostora na makro-skali ("kozmološki problem") značajan razvitak koji se mora spomenuti čak i u ovako popularnom prikazu tog predmeta.

Moja prvobitna razmišljanja zasnivala su se na dvije hipoteze:1. Postoji neka prosječna gustoća materije u cijelom prostoru, a koja je posvuda ista i

različita od nule.2. Veličina ("radijus") prostora neovisna je o vremenu.

Pokazalo se da, prema općoj teoriji relativnosti, obje ove hipoteze idu jedna s drugom, ali tek nakon što se jednadžbama pridoda neki hipotetski član kojeg teorija niti zahtijeva po sebi niti izgleda prirodan s teorijskog stanovišta ("kozmološki član jednadžbi polja").

Hipoteza (2) izgledala mi je u ono vrijeme neizbježna, budući da mi se tada činilo da bih bez nje upao u beskrajne spekulacije.

Međutim, već dvadesetih godina ruski je matematičar Friedman otkrio da je, s čisto teorijskog stanovišta, prirodnija jedna drukčija hipoteza. On je, naime, uvidio da je moguće zadržati hipotezu (1), a da se u jednadžbe gravitacijskog polja ne uvodi kozmološki član, sam po sebi malo prirodan, ukoliko se odlučimo na to da ispustimo hipotezu (2). Izvorne jednadžbe naime dopuštaju jedno rješenje u kojem "svjetski radijus" ovisi o vremenu (ekspandirajući prostor). U tom smislu može se, prema Friedmanu, tvrditi da teorija zahtijeva da se prostor širi.

Nekoliko godina kasnije pokazao je Hubble u svojini istraživanjima spektra vangalaktičkih maglica da spektralne linije u njima imaju crveni pomak koji pravilno raste s udaljenošću maglice. Ovo se, prema našem današnjem znanju, može objasniti pomoću Dopplerovog efekta samo kao gibanje zvjezdanih sustava zbog širenja svemira u cjelini - kao što zahtijevaju, prema Friedmanovim istraživanjima, jednadžbe polja gravitacije. Hubbleovo otkriće može se prema tome smatrati u izvjesnom smislu potvrdom teorije.

Javlja se, međutim, jedna neobična poteškoća. Tumačenje galaktičkog pomaka linija (u koju teško da se može, s teorijskog gledišta, posumnjati), što ga je našao Hubble, kao registracije širenja svemira vodi nas na početak širenja unatrag samo 109 godina dok nam, međutim, astrofizika daje do znanja da je razvoj pojedinih zvijezda i zvjezdanih sustava zahtijevao vjerojatno znatno duža vremena. Sada još nikako nije poznato kako će se prevladati to neslaganje.19)

Primijetimo također da teorija ekspandirajućeg prostora, zajedno s opažačkim podacima astronomije, ne omogućava donošenje odluke o konačnosti odnosno beskonačnosti prostora (trodimenzionalnog), dok je prvobitna "statička" hipoteza prostora davala za rezultat zatvoren (konačan) prostor.

19)Premda je ova poteškoća što je spominje Einstein izazvala mnoge spekulacije, uključujući i jednu novu kozmološku teoriju, "teoriju stalnog stanja", pokazalo se da je ona neosnovana. Ustanovljeno je da su mjerenja udaljenosti potrebnih za izračunavanje starosti svemira bila pogrešna najmanje za faktor dva, a nakon što je upotrijebljena korigirana vrijednost, ustanovljeno je da se "početak" ekspanzije dogodio prije oko 1010 godina, dakle dovoljno ranije u odnosu na starost pojedinih zvijezda (prim. prev.)

II Relativnost i problem prostora

Svojstvo je Newtonove fizike pripisivanje nezavisnog i stvarnog postojanja prostora, vremena i materije, jer se u Newtonovom zakonu gibanja pojavljuje misao o ubrzanju. No u ovoj teoriji ubrzanje označava samo "ubrzanje prema prostoru". Newtonov prostor zato moramo smatrati "nepokretnim" ili u najmanju ruku "neubrzanim" kako bismo ubrzanju, što se pojavljuje u zakonu o gibanju, dali ikakvo značenje. Isto vrijedi i za vrijeme jer se i ono, naravno, nalazi u opisu ubrzanja. Sam je Newton, uz svoje najkritičkije kolege, osjećao nezadovoljstvo kad je prostoru i njegovom stanju gibanja pripisivao fizičku stvarnost, no u njegovo vrijeme nije bilo drugog izbora ako se mehanici htjelo dati jasno značenje.

I zaista, pripisati fizikalnu stvarnost prostoru kao takvom, a posebice praznom prostoru, vrlo je oštar zahtjev. Filozofi su se tisućama godina suprotstavljali takvoj pretpostavci. Descartes je, na primjer, razmišljao na sljedeći način: prostor je u biti posve isto što i prostranost, no prostranost je vezana s tijelima; zbog toga nema prostora bez tijela, odnosno nema praznog prostora. Nedostatak ovog razmišljanja je u prvom redu sljedeći. Svakako je istina da pojam prostranosti potječe iz našeg iskustva o smještaju (ili dodirivanju) čvrstih tijela. No iz toga se ne može zaključiti da pojam prostranosti ne vrijedi u slučaju u kojem se ne pojavljuje, barem ne na isti način. Takvo proširivanje pojmova donekle je opravdano kod objašnjavanja iskustvenih rezultata. Pretpostavka ograničenosti proširenja samo na tijela prema tome je sama po sebi sasvim neosnovana. Kasnije ćemo ipak vidjeti da opća teorija relativnosti potvrđuje Decartesovu zamisao, premda na zaobilazan način. Ono što je Decartesa dovelo do tog zaista privlačnog opisa sigurno je bio osjećaj da bez doista nekog velikog opravdanja ne smijemo stvarima poput prostora, kojeg ne možemo "izravno iskusiti"20), pripisivati stvarno postojanje.

20) Ovaj izraz valja uzeti cum grano salis.

Psihološki počeci misli o prostoru ili potrebom za njim uopće nisu toliko očiti koliko se to možda čini na osnovi uobičajenih navika mišljenja. Stari geometri se bave misaonim objektima (pravcem, točkom, ravninom), ali ne prostorom kao takvim, kao što je učinjeno tek kasnije u analitičkoj geometriji. Pomisao o prostoru se ipak nameće na osnovi nekih najjednostavnijih iskustava. Pretpostavimo da smo napravili neku kutiju. U nju stavljamo na neki proizvoljan način predmete sve dok kutiju ne napunimo. Mogućnost stavljanja predmeta u kutiju je svojstvo materijalnog objekta zvanog "kutija", nešto što je omogućeno njezinim postojanjem, odnosno kutijom "obuhvaćenim prostorom". To je nešto što se razlikuje kod pojedinih kutija, nešto što se prirodno smatra nezavisnim od činjenice da li se u njoj u bilo kojem trenutku nešto nalazi ili ne. Kad u kutiji nema ničeg, njezin je "prostor" prazan.

Do ovog trenutka naš se pojam prostora dovodi u vezu s kutijom. No mogućnosti spremanja predmeta u kutiju, kako se lako dokazuje, sasvim su neovisne o debljini stijenke kutije. Ne bismo li tu debljinu mogli smanjiti na nulu, bez gubitka "prostora"? Prirodnost postupka smanjivanja debljine stijenke kutije sasvim je očita, a sve što preostaje je prostor bez kutije, sasvim očigledna stvar, pa ipak tolika nestvarna zaboravimo li na trenutak kako je nastala. Sasvim je lako zamisliti zbog čega se

Descartesu nije sviđala zamisao o prostoru nezavisnom od materijalnih predmeta, prostoru što postoji bez materije.21) (U isto vrijeme to ga nije sprečavalo u prihvaćanju prostora kao osnovnog pojma njegove analitičke geometrije.) Ukazivanje na vakuum živinog barometra svakako je razoružalo i posljednje pristaše Descartesa. No ne smije se misliti kako čak niti na tom jednostavnom stupnju u pojmu prostora ostaje nešto nedorečeno, nešto što još uvijek dopušta pripisivanje nezavisnosti.

21) Kantov pokušaj da otkloni ovu zapreku niječući objektivnost prostora, teško se može smatrati ozbiljnim. Mogućnosti pohranjivanja u unutrašnjem prostoru kutije su u istom smislu objektivni kao i sama kutija i predmeti koji su unutar nje pohranjeni.

Način na koji se tijela mogu smjestiti u prostor (to jest kutiju) predmet je zanimanja euklidske geometrije čija nas aksiomatska građa lako zavarava pa zaboravljamo da se odnosi na ostvarljive situacije. Stvorimo li na gore opisani način pojam prostora slijedeći iskustvo o "ispunjavanju" kutije, tada smo dobili prostor koji je ograničen. Ali ova ograničenost nam se čini nevažnom, jer izgleda da uvijek možemo zamisliti veću kutiju koja obuhvaća manju. Na taj se način prostor javlja kao nešto bez granica. Neću ovdje govoriti o tome kako se pojmovi trodimenzionalnosti i euklidske prirode prostora povezuju s prilično jednostavnim iskustvima. Umjesto toga ću u prvom redu razmotriti sa svih strana ulogu pojma prostora u razvoju fizikalne misli.

Ako se neka manja kutija s nalazi u unutrašnjosti neke prazne veće kutije S u relativnom mirovanju, tada je prazni prostor kutije s ujedno i dio praznog prostora S, a isti "prostor" kojeg sadrže obje kutije istodobno pripada i jednoj i drugoj. Ako se s giba u odnosu na S, pojmovi postaju složeniji. Tada smo skloni razmišljanju da s uvijek zatvara isti prostor, ali promjenjivi dio prostora S. Tada postaje nužno pridati određeni prostor svakoj od kutija, ali ne kao ograničen, i pretpostaviti gibanje tih prostora jednog prema drugome.

Prije nego postanemo svjesni ove komplikacije prostor nam se čini neograničenim sredstvom ili spremnikom kojim se kreću materijalni predmeti. No valja se prisjetiti neograničenog broja prostora što se kreću jedan prema drugom. Pojam prostora, koji postoji objektivno i nezavisno od predmeta u njemu, pripada predznanstvenoj misli, ali se to ne odnosi na postojanje neograničenog broja prostora u relativnom gibanju jednog prema drugom. Ova posljednja misao je zaista logički neizbježna, no u razvoju znanstvene misli nije igrala značajniju ulogu.

Ali što je s psihološkim podrijetlom pojma vremena? Taj se pojam bez sumnje dovodi u vezu s činjenicom "prisjećanja" kao i razlikovanjem između osjetnih iskustava i sjećanja na njih. Samo je po sebi vrlo sumnjivo da li je razlikovanje osjetnih iskustava i sjećanja (ili puka predodžba) nešto što je psihološki dano čovjeku. Svatko je sigurno ponekad posumnjao da li je nešto stvarno doživio ili su ga osjetila zapravo prevarila. Sposobnost razlikovanja se najvjerojatnije razvila kao posljedica stvaranja reda u našim mislima.

Iskustvo je vezano uz "sjećanje" i ono se smatra "ranijim" u usporedbi sa "sadašnjim iskustvima". To je misaono načelo sređivanja iskustva i sjećanja, a sposobnost ostvarivanja toga dovela je do subjektivnog poimanja vremena, to jest do pojma vremena što se odnosi na sređivanje iskustva pojedinaca.

Što podrazumijevamo pod objektiviziranjem pojma vremena? Razmotrimo jedan primjer. Osoba A ("ja") opaža "munju". U isto vrijeme A također doživljava takvo ponašanje osobe B da to ponašanje osobe B dovodi u vezu s vlastitim doživljavanjem "munje". Osoba A stvara ideju da ostale osobe također opažaju "munju". "Munja" se više ne tumači kao sasvim osobno iskustvo već i kao iskustvo (ili pak samo kao "potencijalno iskustvo") drugih osoba. Tako dolazimo do iskustva "munje" što je u svijest ušlo kao "iskustvo", a sad to također opisujemo kao (objektivni) "događaj". Kad govorimo o "stvarnom vanjskom svijetu" mislimo u stvari na zbroj svih događaja.

Vidjeli smo da se osjećamo potaknuti da iskustvima damo vremenski redoslijed i to na otprilike sljedeći način. Ako je B kasnije od A, a C je kasnije od B, tada je C kasnije od A ("slijed iskustava"). Upitajmo se kakav je položaj toga prema "događajima" koje smo povezali s iskustvima. Na prvi se pogled čini očito da pretpostavimo vremenski raspored događaja s vremenskim rasporedom iskustava. Općenito, ali i nesvjesno učinit ćemo upravo to sve dok ne osjetimo sumnju.22) Da bismo dobili objektivnu sliku svijeta valja dodati još jedan dio: događaj je lokaliziran i u prostoru, a ne samo u vremenu.

22) Na primjer, vremenski redoslijed doživljaja dobiven zvučnim putem može se razlikovati od vremenskog slijeda dobivenog optičkim putem, tako da se vremenski slijed događaja ne može jednostavno poistovjetiti s vremenskim slijedom doživljaja.

U prethodnim razmatranjima pokušali smo pojmovima prostora, vremena i događaja dati psihološki odnos prema iskustvu. Gledamo li logički, to su slobodne tvorevine ljudskog duha, oruđe misli za povezivanje iskustava kako bismo ih mogli bolje istražiti i opisati. Pokušaji shvaćanja empirijskih izvora tih osnovnih pojmova trebao bi pokazati koliko smo u stvari vezani na njih. Na taj način postajemo svjesni vlastite slobode za koju se, u slučaju potrebe tako pronalazi razumna primjena.

Ovoj skici vrijedi, s obzirom na psihološko podrijetlo pojmova prostorno-vremenskog događaja (kraće ćemo ih zvati "prostornima", za razliku od pojmova iz psihološkog svijeta), dodati još nešto značajno. Pojam prostora samo smo povezali s iskustvom koristeći kutije i razmještaj materijalnih predmeta u njima. Zbog toga ovo stvaranje pojmova već podrazumijeva pojam materijalnog predmeta (na primjer "kutije"). Na isti način i osobe, koje smo morali upotrijebiti za oblikovanje objektivnog pojma vremena, igraju s tim u vezi ulogu materijalnih predmeta. Zbog toga mi se čini da stvaranje pojma materijalnog predmeta mora prethoditi našim pojmovima prostora i vremena.

Svi ti "prostorni" pojmovi već pripadaju predznanstvenoj misli, a potječu poput pojmova bola, radosti, cilja, svrhe, iz psihologije. Svojstvo je fizikalne misli, kao i misli prirodne znanosti uopće, pokušaj iskorištavanja samo "prostornih" pojmova za opisivanje svih odnosa u obliku prirodnih zakona. Fizičar nastoji boje i zvukove svesti na titraje, fiziolog misao i bol na. Živčane procese i to na taj način kako bi se psihički element odstranio iz uzročne veze postojanja pa se tako nigdje ne susreće kao nezavisna karika u lancu uzročnog povezivanja. Nema sumnje da ovakav stav, koji smatra načelno ostvarivom mogućnost shvaćanja svih odnosa isključivom upotrebom "prostornih" pojmova, danas podrazumijevamo pod pojmom "materijalizma" (dok je "materija" izgubila svoju ulogu osnovnog pojma).

Zbog čega je potrebno spuštati osnovne pojmove prirodoznanstvenog mišljenja s platonističkih olimpijskih visina i pokušavati otkriti njihovo zemaljsko podrijeklo? Odgovor: Da bismo ih oslobodili s njima povezanih tabua te tako postigli veću slobodu prilikom stvaranja misli ili pojma. D. Hume i E. Mach će uvijek ostati u našim sjećanjima, prije svih drugih, zbog uvođenja takvog kritičkog razmišljanja.

Znanost je od predznanstvene misli preuzela pojmove prostora, vremena i materijalnog predmeta (s vrlo važnim posebnim slučajem "krutog tijela") i zatim ih izmijenila i bolje opisala. Njezino pravo značajno dostignuće bilo je stvaranje euklidske geometrije čiji nas aksiomatski opis ne smije zavarati pri sagledavanju njezinog empirijskog podrijetla (mogućnosti postavljanja ili nizanja krutih tijela). Osobito su empirijskog podrijetla trodimenzionalna priroda prostora kao i njegova euklidska svojstva (čitav se može naime ispuniti "kockama").

Profinjenost pojma prostora pojačana je otkrićem nepostojanja potpuno krutih tijela. Sva se tijela pod utjecajem promjene temperature elastično deformiraju i mijenjaju obujam. Strukture, čiju moguću sukladnost opisujemo euklidskom geometrijom, ne razlučujemo od fizikalnih pojmova. No kako fizika, na koncu konca, mora koristiti geometriju za uspostavljanje vlastitih pojmova, iskustveni se sadržaj geometrije uspostavlja ili ispituje samo u okviru fizike kao cjeline.

S tim u vezi moramo se prisjetiti atomistike i njezinog pojma konačne djeljivosti; prostori subatomskih prostornosti zbog toga se ne mogu uspoređivati. Atomistika nas također navodi da odbacimo, u načelu, misao o oštrim i statički definiranim graničnim površinama krutih tijela. Govoreći strogo, ne postoje točni zakoni, čak niti u makro-području, za mogući razmještaj krutih tijela što se dodiruju.

Unatoč svemu tome nitko se nije dosjetio odbaciti pojam prostora, uglavnom zato jer se činio nezamjenjivim u izrazito zadovoljavajućem sustavu prirodnih znanosti. U devetnaestom stoljeću jedino je Mach ozbiljno razmišljao o odbacivanju pojma prostora, nadoknađujući tu predodžbu o totalitetu trenutačnih razmaka između svih materijalnih točaka. (Tu je predodžbu pokušao stvoriti da bi došao do zadovoljavajućeg razumijevanja tromosti.)

Polje. U Newtonovoj mehanici prostor i vrijeme imaju dvojake uloge: U prvom su redu nosioci ili okvir za događaje u rizici prema kojem se događaji opisuju navodom prostornih koordinata i vremena. U načelu, materija se zamišlja skupom "materijalnih točaka" čija gibanja sačinjavaju fizikalne pojave. Kad materiju zamišljamo neprekidnom to je samo u onim slučajevima gdje bi nam diskretna struktura smetala ili je ne možemo opisati. U tom se slučaju mali dijelovi (elementi volumena) materije smatraju jednakim materijalnim točkama, barem u slučajevima kad se razmatraju gibanja, a ne pojave koje u tom trenutku ne možemo, ili to ne bi imalo smisla, povezivati s gibanjem (na primjer temperaturne promjene, kemijski procesi). Druga je uloga prostora i vremena kao "inercijalnog sustava". Od svih zamislivih referentnih sustava smatralo se da inercjalni imaju prednost zato jer prema njima zakon tromosti zadržava svoju valjanost. U tome je osnovno da se "fizikalna stvarnost", smatrana nezavisnom od subjekta što je zapažaju, zamišljala sastavljenom, barem u načelu, od prostora i vremena s jedne strane te od trajno postojećih materijalnih točaka, koje se prema njima kreću, s druge strane. Misao o

nezavisnom postojanju prostora i vremena drastično se izražava na sljedeći način: Nestane li materija preostat će samo prostor i vrijeme (kao neke vrste pozornice za fizikalne događaje).

Prevladavanje ovog stajališta posljedica je razvoja koji, u prvom redu, kao da nije imao nikakve veze s problemom prostora-vremena, a to je pojava pojma polja i nastojanje da on, u načelu, zamijeni pojam čestice (materijalne točke). U okvirima klasične fizike pojam polja se pojavio kao pomoćno sredstvo, u slučaju kad se materija smatra neprekidnom. Na primjer, prilikom proučavanja širenja topline u krutom tijelu njegovo se stanje opisuje temperaturama u svakoj točki za svako određeno vrijeme. Matematički izraženo, to znači da temperaturu T predstavljamo izrazom (funkcijom) prostornih koordinata i vremena t (temperaturno polje). Zakon vođenja topline je predstavljen mjesnom relacijom (diferencijalnom jednadžbom) koja obuhvaća sve posebne slučajeve vođenja topline. Temperatura je ovdje jednostavan primjer pojma polja. To je veličina (ili niz veličina) koja je funkcija koordinata i vremena. Drugi je primjer opis gibanja tekućine. U svakoj točki postoji u bilo koje vrijeme brzina koju kvantitativno opisujemo pomoću tri "komponente" prema osima koordinatnog sustava (vektori). Komponente brzine u točki (komponente polja) su i u ovom slučaju funkcije koordinata (x,y,z) i vremena (t).

Svojstvo je spomenutih polja pojavljivanje unutar neke mase; služe samo za opisivanje stanja te materije. U skladu s povijesnim razvojem pojma polja, tamo gdje nije bilo materije nije moglo biti niti polja. No u prvoj četvrtini devetnaestog stoljeća pokazuje se kako pojave interferencije i ogib svjetlosti najbolje opisujemo smatrajući svjetlost valnim poljem, potpuno analogno mehaničkim poljima titranja u elastičnom krutom tijelu. Zbog toga je valjalo uvesti polje koje postoji čak i u "praznom prostoru", bez ikakve mase.

Ovakvo je stanje uzrokom paradoksa jer, u skladu s postankom pojma, polje je bilo ograničeno samo na opisivanje stanja u materijalnim tijelima. To se činilo još sigurnije, budući da je postojalo uvjerenje da se svako polje smatra stanjem kojeg se može opisati na mehanički način, a to je pretpostavljalo prisutnost materije. Nakon što je takvo razmišljanje postalo uobičajeno, čak i prostor, koji je do tog vremena smatran praznim, poprima u svakom svom dijelu osobine materije te tako dolazimo do pojma "etera".

Napredak pojma polja, od pretpostavke povezanosti s mehaničkim nosiocem pa sve do odvojenosti od njega, jedan je od psihološki najzanimljivijih događaja u razvoju fizikalne misli. U drugoj polovici devetnaestog stoljeća, vezano za istraživanja Faradaya i Maxwella, postaje sve jasnije da opisivanje elektromagnetskih procesa jezikom polja mnogo bolje odgovara stanju stvari nego prilikom korištenja pojmova na osnovi materijalnih točaka. Uvođenjem pojma polja u elektrodinamiku Maxwell uspijeva predvidjeti postojanje elektromagnetskih valova, u osnovi jednakih valovima svjetlosti, što je provjereno jednakošću njihovih brzina širenja. Posljedica toga je obuhvaćanje optike, u principu, elektrodinamikom. Jedna od psiholoških posljedica tog velikog uspjeha bila je sve veća nezavisnost pojma polja u odnosu na mehanističke okvire klasične fizike.

No i pored svega toga, u prvo se vrijeme elektromagnetska polja opisivalo kao stanje etera, a uz to ih se uporno pokušavalo objasniti kao mehanička. Naravno, ti napori nikad nisu urodili plodom, pa se znanost postepeno navikava na odbacivanje mehaničkih tumačenja Ipak, još uvijek postoji uvjerenje da su elektromagnetska polja stanja etera i to je stanje fizike na prijelomu dva stoljeća.

Teorija etera sa sobom donosi i pitanje: Kako se u mehaničkom pogledu eter ponaša prema materijalnim tijelima? Da li sudjeluje u gibanju tijela, odnosno da li njegovi dijelovi miruju jedan prema drugom? Izmišljeni su mnogi domišljati pokusi za provjeru tih pitanja. S tim u vezi valja spomenuti sljedeće važne činjenice: prividni otklon (aberaciju) nepomičnih zvijezda zbog godišnjeg gibanja Zemlje te Dopplerov efekt to jest utjecaj relativnog gibanja nepomičnih zvijezda na frekvenciju svjetlosti što od njih stiže na Zemlju, i to za poznate frekvencije zračenja. Posljedice svih tih činjenica i pokusa, s iznimkom Michelson-Morleyevog pokusa, objasnio je H. A. Lorentz pretpostavljajući da eter ne sudjeluje u gibanju materijalnih tijela te da njegovi pojedini dijelovi miruju jedan prema drugom. Prema svemu tome se činilo da je eter utjelovljenje apsolutno nepokretnog prostora. No istraživanja su Lorentza odvela još i mnogo dalje. U njima su objašnjeni svi elektromagnetski i optički procesi u materijalnim tijelima poznati u to vrijeme i to polazeći od pretpostavke da utjecaj materije na električno polje - i obratno - potječe samo od činjenice što osnovni djelići materije nose električni naboj koji se giba zajedno s njima. Što se tiče Michelson-Morleyevog pokusa, H. A. Lorentz pokazuje da dobiveni rezultat nije u suprotnosti s teorijom mirujućeg etera.

Unatoč svih tih prekrasnih uspjeha, teorija još uvijek sasvim ne zadovoljava i to zbog sljedećih razloga. Klasična mehanika, za koju se u svakom pogledu može reći da vrijedi čak i za visoki stupanj aproksimacije, uči o jednakosti svih inercijalnih sustava ili inercijalnih "prostora", što je potrebno za formulaciju prirodnih zakona, to jest nepromjenjivost prirodnih zakona prema prelasku iz jednog u drugi inercijalni sustav. Elektromagnetski i optički pokusi pokazali su istu stvar uz prilično veliku točnost No elektromagnetska teorija ukazuje da se jednom inercijalnom sustavu daje prednost i to sustavu nepomičnog etera. Taj dio teorijske osnove uopće nije zadovoljavao. Nije li postojala izmjena koja bi, kao u klasičnoj mehanici, podržala jednakost inercijalnih sustava (specijalno načelo relativnosti)?

Odgovor na to pitanje je specijalna teorija relativnosti. Ona iz Maxwell-Lorentzove teorije preuzima pretpostavku o stalnosti brzine svjetlosti u praznom prostoru. Želimo li to dovesti u sklad s jednakošću inercijalnih sustava (specijalno načelo relativnosti), valja odbaciti ideju o apsolutnom karakteru istodobnosti; uz to, Lorentzove transformacije vremenskih i prostornih koordinata slijede pri prijelazu iz jednog inercijalnog sustava u drugi. Čitav sadržaj specijalne teorije relativnosti izriče se postulatom: Zakoni prirode su invarijantni s obzirom na Lorentzove transformacije. Najvažnija stvar u tom zahtjevu je činjenica da ograničava moguće prirodne zakone na određeni način.

Kakav je položaj specijalne teorije relativnosti prema problemu prostora? U prvom redu valja se čuvati mišljenja da je četverodimenzionalna stvarnost prvi put uvedena u toj teoriji. Čak i u klasičnoj fizici događaj se opisuje s četiri broja, tri prostorne koordinate i vremenskom koordinatom; ukupnost fizikalnih "događaja" je, prema tome, "ugrađena" u četverodimenzionalnu neprekinutu mnogostrukost Na osnovama klasične mehanike taj se

četverodimenzionalni kontinuum objektivno raspada na jednodimenzionalno vrijeme i trodimenzionalni prostor, a samo ovaj posljednji dio sadrži istodobne događaje. To razdvajanje je jednako za sve inercijalne sustave.

Istodobnost dva događaja prema jednom referentnom inercijalnom sustavu uključuje istodobnost tih događaja prema svim inercijalnim sustavima: Upravo je to ono što mislimo kad govorimo o apsolutnom vremenu klasične fizike Prema specijalnoj teoriji relativnosti stvari su sasvim različite. Ukupnost svih događaja, koji su istodobni s nekim izabranim događajem, istina, postoji prema određenom inercijalnom sustavu, ali ne više neovisno o izboru sustava. Četverodimenzionalni kontinuum se više ne može razlučiti na dijelove od kojih svaki sadrži istovremene događaje; "sada" gubi svoje značenje za prostorno prošireni svijet Zbog toga prostor i vrijeme valja smatrati četverodimenzionalnim kontinuumom želimo li izraziti značaj objektivnih relacija bez nepotrebnih, ali ustaljenih proizvoljnosti.

Budući da je specijalna teorija relativnosti otkrila fizikalnu jednakost svih inercijalnih sustava, dokazala je i neodrživost hipoteze o mirujućem eteru. Zbog toga je bilo potrebno odbaciti i misao o elektromagnetskom polju kao stanju materijalnog nosioca. Polje tako postaje važan element fizikalnog opisa, neizbježan kao što je to materija u Newtonovoj teoriji.

Dosad smo našu pažnju poklanjali načinu na koji je specijalna teorija relativnosti promijenila pojmove vremena i prostora. Usmjerimo se sad na one elemente koje je teorija preuzela iz klasične mehanike I ovdje prirodni zakoni vrijede samo kad inercijalni sustav uzimamo kao osnovu za prostorno-vremenski opis. Načelo tromosti i načelo stalnosti brzine svjetlosti vrijede samo prema nekom inercijalnom sustavu. Zakoni polja također imaju značenje i vrijednost samo prema inercijalnim sustavima. Tako, kao i klasičnoj mehanici, prostor je još uvijek nezavisan dio u predstavljanju fizikalne stvarnosti. Zamislimo li nestanak materije i polja preostat će inercijalni prostor, ili bolje rečeno, prostor zajedno s pripadajućim vremenom. Ta četverodimenzionalna struktura (prostor Minkowskog) se zamišlja kao nosilac materije i polja. Inercijalni prostori, zajedno s pripadajućim vremenima, samo su posebni četverodimenzionalni koordinatni sustavi povezani linearnim Lorentzovim transformacijama. Kako u toj četverodimenzionalnoj strukturi više ne postoji dio s objektivnim "sada", pojmovi događanja zaista nisu u potpunosti odbačeni već vrlo složeni. Zbog toga se čini prirodnijim razmišljati o fizikalnoj stvarnosti kao četverodimenzionalnom postojanju umjesto, kao dosad, o razvoju trodimenzionalnog postojanja.

Ovaj kruti četverodimenzionalni prostor specijalne teorije relativnosti je na neki način sličan Lorentzovom krutom trodimenzionalnom eteru. Za teoriju vrijedi i sljedeće: Opis fizikalnih stanja pretpostavlja već stvoreni i nezavisno postojeći prostor. Tako čak niti ova teorija ne otklanja Descartesovu nelagodu o nezavisnom ili čak a priori danom "praznom prostoru". Stvarni cilj ovog razmatranja je ukazivanje do koje su mjere te sumnje odbačene u općoj teoriji relativnosti.

Pojam prostora u općoj teoriji relativnosti. Ova je teorija u prvom redu nastala istraživanjem jednakosti trome i teške mase. Započinjemo s inercijalnim sustavom S1 čiji je prostor, s fizikalnog gledišta, prazan. Drugim riječima, u zamišljenom dijelu prostora

nema materije (u običajenom smislu) niti polja (u smislu specijalne teorije relativnosti). Neka uz S1 postoji drugi referentni sustav S2, koji se jednoliko ubrzava Prema tome S2 nije inercijalni sustav. U odnosu na S2 svaka će se pokusna masa gibati s ubrzanjem neovisnim o njezinoj fizičkoj ili kemijskoj prirodi. Prema S2 dakle, postoji stanje koje, barem u prvoj aproksimaciji, ne možemo razlikovati od gravitacijskog polja. Sljedeći opis je dakle, sukladan s opaženim činjenicama: S2 je također jednak "inercijalnom sustavu"; ali u odnosu na S2 postoji (homogeno) gravitacijsko polje (o čijem podrijetlu ne trebamo brinuti na ovom mjestu). I tako, kad u okvir razmatranja uključimo gravitacijsko polje, inercijalni sustav gubi objektivni značaj, uz pretpostavku da "načelo ekvivalencije" smijemo proširiti na bilo kakva relativna gibanja referentnih sustava. Uspijemo li na ovim osnovama sagraditi odgovarajuću teoriju, odmah smo udovoljili i činjenici o jednakosti trome i teške mase koja je snažno potvrđena iskustvom.

Gledano četverodimenzionalno, prelasku S1 u S2 odgovara nelinearna transformacija. Postavlja se pitanje: Koje su vrste nelinearnih transformacija dozvoljene, ili, kako se poopćavaju Lorentzove transformacije? Da bismo odgovorili na to pitanje pomoći će nam sljedeće razmatranje.

Inercijalnom sustavu iz prethodne teorije pripisujemo sljedeće svojstvo: Razlike u koordinatama se mjere nepomičnim "krutim" mjerilima, a razlike u vremenima urama koje miruju. Prva je pretpostavka nadopunjena drugom, naime da, za relativno postavljanje i produžavanje mirujućih mjernih štapova vrijede teoremi o "duljini" iz euklidske geometrije. Iz rezultata specijalne teorije relativnosti elementarnim zaključivanjem dolazimo do činjenice da ovo izravno fizikalno opisivanje koordinata ne vrijedi za referentne sustave (S2) ubrzane prema inercijalnim sustavima (S1). No vrijedi li to, koordinate sad izražavaju samo red "bliskosti", a zbog toga i dimenzionalni stupanj prostora, ali ne i njegova metrička svojstva. Tako smo dovedeni do proširivanja transformacija na bilo koje neprekinute transformacije23) To izražava opće načelo relativnosti: Prirodni zakoni moraju biti kovarijantni prema proizvoljnim neprekinutim transformacijama koordinata. Ovaj zahtjev (zajedno s onim o što jednostavnijoj logici zakona) ograničava prirodne zakone mnogo strože od specijalnog načela relativnosti.

23) Ovaj neegzaktan način izražavanja će ovdje možda biti dovoljan.

Ovaj niz ideja se osniva na nezavisnom pojmu polja. Vladajući uvjeti prema S2

protumačeni su kao gravitacijsko polje, bez pitanja o tome gdje su mase što proizvode to polje. Upravo takav način razmišljanja omogućuje shvaćanje zbog čega su zakoni čistog gravitacijskog polja izravnije vezani uz misao o općoj teoriji relativnosti nego za zakone polja općenitih vrsta (kad je, na primjer, prisutno elektromagnetsko polje). Tako, primjerice, dolazimo do dobrih osnova za pretpostavku da prostor Minkowskog (bez polja) predstavlja poseban slučaj ostvariv u prirodnom zakonu, zapravo najjednostavniji poseban slučaj. Prema metričkim svojstvima takav se prostor opisuje činjenicom da dx1

2 + dx2

2+ dx32 predstavlja kvadrat prostorne udaljenosti, mjereno jediničnim mjerilom, dvije

susjedne točke trodimenzionalnog "prostornog" presjeka (Pitagorin poučak), dok dx4

predstavlja vremensku udaljenost; mjereno odgovarajućom urom, dva događaja na istim koordinatama (dx1 , dx2 , dx3

). Sve to jednostavno znači da veličini

ds2 =dx12 + dx2

2+ dx32 - dx4

2 (1)

pridajemo objektivni metrički značaj, kao što se lako pokazuje pomoću Lorentzovih transformacija. Matematički rečeno, ova činjenica odgovara uvjetu da se ds2 ne mijenja pri Lorentzovim transformacijama.

Podvrgnemo li ovaj prostor (iz jednadžbe (1)), u smislu općeg načela relativnosti, proizvoljnim neprekinutim transformacijama koordinata, tada se objektivno značajna veličina ds2 u novom sustavu koordinata opisuje izrazom

ds2=gikdxi dxk ... (1a)

koji se zbraja po indeksima i i k za sve kombinacije 11,12, ... do 44. Članovi gik sad nisu konstante već funkcije koordinata, određene proizvoljno odabranim transformacijama. Ipak, članovi gik nisu proizvoljne funkcije novih koordinata već upravo takve funkcije koje oblik (1a) pretvaraju ponovno u oblik (1) neprekinutim transformacijama četiriju koordinata. Da se to ostvari, funkcije gik moraju zadovoljavati određene opće kovarijantne jednadžbe uvjeta koje je B. Riemann izveo više od pola stoljeća prije formulacije opće teorije relativnosti ("Riemannov uvjet"). Prema principu ekvivalencije, (1a) opisuje poopćeni kovarijantni oblik neko gravitacijsko polje posebne vrste kad funkcije gik zadovoljavaju Riemannov uvjet.

Iz toga slijedi da zakon čistog gravitacijskog polja opće vrste mora biti zadovoljen kad je zadovoljen i Riemannov uvjet; no on mora biti slabiji ili manje ograničen od Riemannovog uvjeta. Na ovaj je način zakon polja čiste gravitacije praktički potpuno određen, rezultat kojeg ovdje nećemo podrobnije obrađivati.

Sad možemo vidjeti koliko opća teorija relativnosti mijenja pojam prostora. U skladu s klasičnom mehanikom i specijalnom teorijom relativnosti, prostor (prostor-vrijeme) postoji nezavisno od materije ili polja. Da bismo mogli opisati ono što ispunjava prostor i ovisi o koordinatama, treba pretpostaviti postojanje prostor-vremena ili inercijalnog sustava s nekim metričkim svojstvima. U suprotnom, opis "nečega što ispunjava prostor" ne bi imao nikakvog smisla.24)

24) Pretpostavimo li da to što ispunja prostor (na primjer polje) bude odstranjeno, tada još uvijek preostaje metrički prostor u skladu s (1) koji bi također određivao inercijsko ponašanje nekog ispitnog tijela unesenog u prostor.

Prema općoj teoriji relativnosti, prostor kao različit od "nečega što ispunjava prostor", a što ovisi o koordinatama, nema zasebno postojanje. I tako, čisto gravitacijsko polje opisujemo pomoću gik (kao funkcije koordinata) rješenjem gravitacijskih jednadžbi. Zamislimo li nestanak gravitacijskog polja, to jest funkcija gik ne ostaje prostor vrste (1) već jednostavno ništa, čak niti "topološki prostor". To je sve zbog toga, jer funkcije gik ne opisuju samo polje, već u isto vrijeme i topološka i metrička strukturalna svojstva mnogostrukosti. Prostor vrste (1), sudimo li sa stajališta opće teorije relativnosti, nije prostor bez polja, već posebna vrsta gik polja, za koje - bez obzira na odabrani koordinatni sustav, jer niti jedan nema poseban značaj – funkcije gik imaju vrijednosti neovisne o koordinatama. Ne postoji nešto što bismo nazvali prazan prostor, to jest prostor bez polja. Prostor-vrijeme ne postoji za sebe, već samo kao strukturalno svojstvo polja.

Descartes prema tome nije bio daleko od istine kad je vjerovao da se prazan prostor mora odbaciti. Ta je pretpostavka sasvim apsurdna, barem toliko dugo dok fizikalnu stvarnost promatramo samo kroz materijalna tijela. Tek pojam polja kao predstavnika stvarnosti, povezan s općim načelom relativnosti, pokazuje pravu srž Descartesove ideje: ne postoji prostor "bez polja".

Poopćena teorija gravitacije. Teorija čistog gravitacijskog polja na osnovi opće teorije relativnosti posve je ostvariva, jer smo sigurni da prostor Minkowskog "bez polja" s metrikom u skladu s (1) mora zadovoljavati opće zakone polja. Iz tog posebnog slučaja poopćavanjem se izvodi zakon gravitacije koji je tada praktički bez ikakvih proizvoljnosti. Dalji razvitak teorije nije tako jednoznačno određen općim načelom relativnosti; to se posljednjih desetljeća pokušavalo na različite načine. Svim je pokušajima zajedničko pripisivanje fizikalne stvarnosti polja i štoviše, to je polje poopćeno gravitacijsko polje, a zakon polja je poopćeni zakon čistog gravitacijskog polja. Nakon mnogih pokušaja, vjerujem da sam našao25) najprirodniji način poopćenja, no još uvijek nisam mogao ustanoviti je U taj poopćeni zakon u skladu sa činjeničnim stanjem.

25) Značajka tog poopćenja se može opisati na sljedeći način: Čisto gravitacijsko polje gik ima u skladu s "Minkowski prostorom", iz kojeg je izvedeno, svojstvo simetrije dano s gik = gik(g12 = g23 , itd). Poopćeno polje je iste vrste, ali bez ovog svojstva simetrije. Izvod zakona polja je posve analogan onome za specijalni slučaj čiste gravitacije.

Pitanje o određenom zakonu polja nije najvažnije u prethodnom općem razmatranju. U sadašnjem je trenutku najvažnije saznati da li ovako opisana teorija polja uopće vodi nekom cilju. Pod tim mislim na teoriju koja iscrpno opisuje pomoću polja fizikalnu stvarnost, uključujući četverodimenzionalni prostor. Današnja generacija fizičara teži negativnom odgovoru na ovo pitanje U skladu sa sadašnjim oblikom kvantne teorije, ne vjeruje se u mogućnost izravnog opisivanja stanja sistema već samo posredno, statističkim podacima dobivenim mjerenjem. Prevladava uvjerenje da eksperimentalno dokazana dvojnost prirode (čestična i valna struktura) može biti ostvarena samo oslabljivanjem pojma stvarnosti. Mislim da ovako dalekosežno teorijsko razmatranje nije opravdano našim sadašnjim stvarnim znanjem te da i dalje treba ustrajati na istraživanju puta prema potpunoj relativističkoj teoriji polja.

SadržajPredgovorUvod

PRVI DIOO specijalnoj teoriji relativnosti

§ 1. Fizikalni sadržaj geometrijskih stavaka§ 2. Koordinatni sustav§ 3. Prostor i vrijeme u klasičnoj mehanici§ 4. Galilejev koordinatni sustav§ 5. Načelo relativnosti (u užem smislu)§ 6. Teorem zbrajanja brzina u klasičnoj mehanici§ 7. Prividna nespojivost zakona širenja svjetlosti s načelom relativnosti§ 8. O pojmu vremena u fizici§ 9. Relativnost istodobnosti§ 10. O relativnosti pojma prostorne udaljenosti§ 11. Lorentzove transformacije§ 12. Ponašanje štapova i ura u gibanju§ 13. Teorem zbrajanja brzina Fizeauov pokus§ 14. Heuristička vrijednost teorije relativnosti§ 15. Opće posljedice teorije§ 16. Specijalna teorija relativnosti i iskustvo§ 17. Četverodimenzionalni prostor Minkowskog

DRUGI DIOO općoj teoriji relativnosti

§ 18. Specijalno i opće načelo relativnosti§ 19. Gravitacijsko polje§ 20. Jednakost trome i teške mase kao dokaz za opći postulat relativnosti§ 22. Neki zaključci iz općeg načela relativnosti§ 23. Ponašanje ura i mjernih štapova na rotirajućem referentnom tijelu§ 24. Euklidski i neeuklidski kontinuum§ 25. Gausove koordinate§ 26. Prostomo-vremenski kontinuum specijalne teorije relativnosti kao euklidski

kontinuum § 27. Prostorno-vremenski kontinuum opće teorije relativnosti nije euklidski kontinuum § 28. Točna formulacija općeg načela relativnosti§ 29. Rješenje problema gravitacije na temelju općeg načela relativnosti

Razmatranja o svijetu u cjelini

§ 30. Kozmološke poteškoće Newtonove teorije§ 31. Mogućnost konačnog, a ipak neograničenog svijeta§ 32. Grada prostora u općoj teoriji relativnosti

DodatakI Građa prostora u vezi s općom teorijom relativnostiII Relativnost i problem prostora

Albert EinsteinMOJA TEORIJA

drugo izdanje

UrednikDAMIR MIKULIČIĆ

IzdavačiIZVORI, Zagreb

MLADINSKA KNJIGA ZAGREB,SVIJET KNJIGE

Za izdavačeSLAVICA ŠTEFIĆŽELJKO KOVAČ

Likovna opremaSREČO DRAGAN

Lektura i korekturaZDRAVKO ZADRO

Kompjuterski slogMLADEN MAJDAK

TisakGrafički zavod Hrvatske

Zagreb 1992.