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Robert John
1
Hauptseminar
Monte-Carlo-Methoden, stochastische Schätzungen
und deren Unsicherheit
2.11.2011
Inhalt
2
Herkunft
Stochastische Schätzung
Monte-Carlo-Methode
Varianzreduktion
Zufallszahlen
Anwendungsgebiete
2.11.2011
Herkunft
3
Stadtteil von Monaco an der Mittelmeerküste
Spielkasinos
Roulette, Craps(Würfel)
Mechanische Zufallszahlgeneratoren
Entstanden während des 2. Weltkrieges
Atombombe, Simulation der Ausbreitung radioaktiver Teilchen
Codewort: Monte Carlo
sinnvolle Anwendung erst im Computerzeitalter
2.11.2011
Stochastische Schätzung
4
Wissenschaftliche Methode
Parameter der Schätzung
Statistische Fehler
Systematische Fehler
Kriterien der stochastischen Schätzung
Konsistenz lim𝑛→∞
𝑥 = 𝜇
2.11.2011
Stochastische Schätzung
5
Konsistenz für die relative Häufigkeit eine 6 zu würfeln.
2.11.2011 Quelle: http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Datei:Law-of-large-numbers.png&filetimestamp=20090901233851
Stochastische Schätzung
6
Wissenschaftliche Methode
Parameter der Schätzung
Statistische Fehler
Systematische Fehler
Kriterien der stochastischen Schätzung
Konsistenz lim𝑛→∞
𝑥 = 𝜇
Erwartungstreue 𝐸 𝑥 = 𝜇
Effektivität Var 𝑥 minimal
Robustheit
2.11.2011
Stochastische Schätzung
2.11.2011 7
Auswertung einer Stichprobe
𝑥 =1
𝑛 𝑥𝑛𝑛𝑖=1 Stichprobenmittelwert
𝑠2 =1
𝑛−1 (𝑥𝑛−𝑥 )
2𝑛𝑖=1 Stichprobenvarianz
Konfidenzintervall
Monte-Carlo-Methode (MCM)
8
Methode zur Lösung stochastischer und deterministischer
Problemstellungen
Deterministische Lösungsmethode
Stochastische Lösungsmethode
2.11.2011
Vergleich der Lösungsmethoden
9
Anzahl der
Dimensionen n
Trapezmethode Monte-Carlo-
Methode
Bemerkungen
1 1
𝑁2 1
𝑁
MCM nicht sinnvoll 2 1
𝑁
1
𝑁
3 1
𝑁23 1
𝑁
4 1
𝑁
1
𝑁
ca. gleich
>4 1
𝑁2𝑛 1
𝑁
MCM konvergieren
schneller
Typisches Teilchentransport MC Problem hat 7 Dimensionen 𝑥,𝑦,𝑧, 𝑝𝑥, 𝑝𝑦, 𝑝𝑧, 𝑡 2.11.2011
Monte-Carlo-Methode
10
Methode zur Lösung stochastischer und deterministischer
Problemstellungen, basierend auf Simulation eines
Zufallsexperiments mit Hilfe von Zufallszahlen.
Deterministische Lösungsmethode
Stochastische Lösungsmethode
Ablauf einer Monte-Carlo-Simulation
Erstellung eines Modells
Simulation der Zufallsgrößen
Statistische Auswertung
2.11.2011
Simulation von Pi
11
Ablauf einer Monte-Carlo-
Simulation
Erstellung eines Modells
Simulation der
Zufallsgrößen
Statistische Auswertung
𝑁𝐾
𝑁𝑄=
𝐴𝐾
𝐴𝑄=
𝜋
4𝑟2
𝑟2=𝜋
4
𝑁𝐾… Anzahl der Treffer im Viertelkreis
𝑁𝑄… Anzahl der Treffer im Quadrat
2.11.2011 Quelle: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/84/Pi_30K.gif
Vor- und Nachteile der MCM
12
Vorteile
Einfachheit und Schnelligkeit bei gegebenem Modell
Analytisch lösbare Probleme überprüfen
Nachteile
Möglicherweise aufwendig Modell zu erstellen
Genauigkeit nur mit rechenaufwand verbesserbar
2.11.2011
Varianzreduktion
13
Indirekte Varianzreduktion
Erhöhung des Stichprobenumfangs
Nachteil: Erhöhung der Rechenzeit
Direkte Varianzreduktion
Nicht-analoge MCM
Einführung eines Teilchengewichtes
2.11.2011
Zufallszahlen
2.11.2011 14
Existieren physikalische Prozesse die Zufallszahlen liefern
Wirklich zufällig
Aber aufwendig
Erzeugung mit dem Rechner(deterministische Maschine)
Endliche Periode des Algorithmus‘
Pseudozufallszahlen
Anwendungsgebiete
15
Probleme deterministischer Natur
Bestimmte n-dimensionale Integrale
Finanzwesen
Differential- und Integralgleichungen
Probleme stochastischer Natur
Untersuchung von Naturphänomenen wie Tornados oder
Erdbeben, Hochwasser, Tsunami, …
Warteschlangen: Stau, Ampelschaltungen, Konsumverhalten
Planung für Versorgungsnetze
Mobilfunk, Strom, Gas, …
Strahlungstransport
2.11.2011
Quellen
2.11.2011 16
Bücher
K. Binder: Monte Carlo Simulation in Statistical Physics
V. Blobel/E. Lohrmann: Statistische und numerische Methoden
der Datenanalyse
C. Konvalinka: Diplomarbeit zur Erweiterung des
Strahlungstransportprogramms AMOS zur Berechnung von
Strahlungsfeldern um varianzreduzierende Methoden
Internet:
http://itp.tugraz.at/MML/MonteCarlo/MCIntro.pdf
http://de.wikipedia.org/wiki/Monte-Carlo-Simulation
http://en.wikipedia.org/wiki/Monte_Carlo_method