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MP-41 Teil 2: Physik exotischer Kerne, SS-2011 MP-41 Teil 2: Physik exotischer Kerne 15.4. Einführung, Produktion exotischer Kerne – I 29.4. Produktion exotischer Kerne – II 6.5. Alpha-Zerfall, Zweiprotonen-Radioaktivität, Kernspaltung 13.5. Beta-Zerfall ins Kontinuum und in gebundene Zustände 20.5. Exkursion zum Radioteleskop in Effelsberg 27.5. Halo-Kerne 3.6. Tutorium-1 10.6. Kernspektroskopie und Nachweisgeräte 17.6. Anwendungen exotischer Kerne 24.6. Tutorium-2 1.7. Schalenstruktur fernab der Stabilität 8.7. Tutorium-3 15.7. Klausur

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MP-41 Teil 2: Physik exotischer Kerne, SS-2011

MP-41 Teil 2: Physik exotischer Kerne

15.4. Einführung, Produktion exotischer Kerne – I

29.4. Produktion exotischer Kerne – II

6.5. Alpha-Zerfall, Zweiprotonen-Radioaktivität, Kernspaltung

13.5. Beta-Zerfall ins Kontinuum und in gebundene Zustände

20.5. Exkursion zum Radioteleskop in Effelsberg

27.5. Halo-Kerne

3.6. Tutorium-1

10.6. Kernspektroskopie und Nachweisgeräte

17.6. Anwendungen exotischer Kerne

24.6. Tutorium-2

1.7. Schalenstruktur fernab der Stabilität

8.7. Tutorium-3

15.7. Klausur

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Neutron (udd, q=0)

Der β+-Zerfall ist nur im Atomkern möglich, da die Neutronenmasse größer als die Protonenmasse ist.

mp=1.673·10-27 kg 938.272MeV/c2

mn=1.675·10-27 kg 939.565MeV/c2

d-Quark (q= -1/3) → u-Quark (q=2/3) + virtuelles W- Teilchen (q= -1)

Proton (uud) und W- Teilchen entfernen sich, aus dem virtuellen W- Boson geht ein Elektron (q= -1) und Antineutrino hervor.

Die Lebensdauer τ des freien Neutrons beträgt 885.8(7) sec

MeVepn e 78.0

β-Zerfall eines freien Neutrons

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Motivation:Für die Beschreibung der Elementsynthese in astrophysikalischen Umgebungen sind insbesondere gute Kenntnisse über die β-Zerfallseigenschaften von instabilen Kernen fernab vom Tal der Stabilität nötig.

AZ→A(Z±1) β-ZerfallAZ→A(Z±2) doppelter β-Zerfall

β--Zerfall wenn Qβ> 0

β+-Zerfall wenn Qβ> 1.02 MeVEC wenn Qβ> 0Elektroneneinfang aus inneren atomaren Schalen

eepn

eenp

enep

β-Zerfall: Überblick

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Für Isotope mit deutlichem Neutronenüberschuß ist es energetisch günstig, wenn sich ein Neutron in ein Proton umwandelt. Bei neutronenarmen Kernen findet der umgekehrte Prozeß statt, die Umwandlung eines Protons in ein Neutron.

Notwendige Bedingung für die verschiedenen β-Zerfälle:

β--Zerfall (das erzeugte Elektron ist bereits berücksicht)

β+-Zerfall (der Mutterkern hat ein Elektron mehr und ein Positron wurde erzeugt)

Elektroneneinfang EC (ε ist die Anregungsenergie des Lochs im Tochteratom, EC kann Protonen in Neutronen energetisch günstiger umwandeln)

1,, ZAmZAm

221,, cmZAmZAm e

1,, ZAmZAm

β-Zerfall

β--Zerfall

e

e

eud

epn

β+-Zerfall

e

e

edu

enp

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Weizsäcker-Massenformel:

A

AZa

A

ZZaAaAamZAmZAZm ACSVnH

2

3/13/2 2/1

,

AZZAZm 2,

Weizsäcker-Massenformel:

aus der Massenformel erhält man:

Für isobare Ketten (Isotope mit gleichem A) ist m(Z,A) eine quadratische Funktion von Z.

A

a

A

a AC3/1

Hmma NA1

43/1AS

VN

a

A

aam

1935 Carl von Weizsäcker

Stabile, in der Natur vorkommende Kerne bilden ein schmales Band in der N-Z-Ebene der Nuklidkarte.

Z

N

Wiederholung: Stabilität der Kerne

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Weizsäcker - Parabel

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Beim β--Zerfall wandelt sich ein Neutron in ein Proton um

Die Massenbilanz für den β--Zerfall lautet:

Die Ruhemasse des Antineutrinos < 7 eV/c2 kann man vernachlässigen.

β--Zerfälle sind möglich falls die Bedingung erfüllt ist:

Beispiel: Massenparabel der A=101 Isobare

Was sind Zerfälle von 101Pd und 101Rh?

1,, ZAmZAm

stabilistRu

eRuTc

eTcMo

e

e

10144

10144

10143

10143

10142

eepn

2

2

,1,

1,1,

cAZmAZm

cmmZAZmmZAZmQ

KK

eee

Weizsäcker – Parabel für A-ungerade Isobare

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In neutronenarmen Kernen kann sich ein Proton in ein Neutron umwandeln:

Dabei wird ein Positron e+, das Antiteilchen des Elektrons (positive Ladung, gleiche Masse) und ein Elektron-Neutrino νe emittiert.

Die Massenbilanz für den β+-Zerfall lautet:

Bedingung für den β+-Zerfall: m(Z,A) > m(Z-1,A) + 2·me

Der Term 2·me berücksichtigt, daß ein Positron gebildet wird und ein Elektron vom Mutteratom übrig ist.

Folgende β+-Zerfälle werden bei A=101 beobachtet:

stabilistRu

eRuRh

eRhPd

e

e

10144

10144

10145

10145

10146

eenp

2

2

2,1,

1,1,

cmAZmAZm

cmmZAZmmZAZmQ

eKK

eee

β+ - Zerfall

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In neutronenarmen Kernen kann sich ein Proton in ein Neutron umwandeln:

Dabei wird ein Positron e+, das Antiteilchen des Elektrons (positive Ladung, gleiche Masse) und ein Elektron-Neutrino νe emittiert.

Bedingung für den β+-Zerfall: m(Z,A) > m(Z-1,A) + 2·me

eenp

Elektroneneinfang ECIn Konkurrenz zum β+-Zerfall, kann der Elektroneneinfang-Prozeß energetisch günstiger Protonen in Neutronen umwandeln.

K-Elektronen befinden sich mit hoher Aufenthaltswahrscheinlich-keit im Kern und werden bevorzugt eingefangen.

Bedingung für K-Einfang: m(Z,A) > m(Z-1,A) + εε ist die Anregungsenergie des Lochs im Tochterkern.

enep

Auger-Effekt ist ein Alternativprozess zur Röntgenemission bei Auffüllung eines Lochs in einer stärker gebundenen Elektronenschale.

β+ - Zerfall vs. Elektroneneinfang

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In Isobaren mit geraden Massenzahlen gibt es wegen der Paarungsenergie (δ) zwei getrennte Parabeln, eine für gg-Kerne und eine höherliegende für uu-Kerne. Die Differenz ist 2δ, die doppelte Paarungsenergie.

Konsequenzen: Alle uu-Kerne haben mindestens einen stärker gebundenen isobaren gg-Kern und sind daher instabil. Ausnahmen: 2H, 6Li, 10B, 14N wegen der hohen Asymmetrieenergie.

Beispiel: Massenparabel der A=106 Isobare

stabilistPd

ePdRh

eRhRu

e

e

10646

10646

10645

10645

10644

Weizsäcker – Parabel für A-gerade Isobare

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2. Ordnungsprozess

Kandidat Q Häufigkeit (MeV) (%)

Einige gg-Kerne haben schwache Doppel β-ZerfälleeeBaXe 22136

5613654

Doppelter β - Zerfall

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Beim β--Zerfall wird ein Elektron und ein Elektron-Antineutrino gleichzeitig emittiert.

Die β--Zerfalls-Energie ist die Differenz der Masse des Mutterkerns und der Tochter.

Diese Energie verteilt sich auf die kinetischen Energien der emittierten Teilchen, das Elektron und das Anti-neutrino. Das Spektrum des Elektrons ist kontinuierlich. Es reicht von der Energie 0 bis zu einer maximalen Energie Emax = E0 - mν·c2 (= Qβ).

β-Zerfälle haben große Lebensdauer und geringe Zerfallswahrscheinlichkeit, die Wechselwirkung, die dies bewirkt ist sehr klein gegenüber den anderen Wechselwirkungen im Kern, d.h. zeitabhängige Störungstheorie ist eine gute Näherung.

eepn

Qβ=18.6 keV

t1/2=12.32a

β - Zerfall

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fifif EHW

2

int

2

Fermis goldene Regel:

Er hängt vom Quadrat des Übergangsmatrixelements und der Dichte der Endzustände (Phasenraum) ab.

Matrixelement muß klein sein gegenüber den Energieabständen des Systems (sonst keine Störungstheorie möglich)

dEdEEEEEHdEdEEEW eeRfifeeif

0

2

int

2,

3hpppzyx zyx

Vzyx dppp 24

dph

pVdn

3

24

Fermis goldene Regel:

Er hängt vom Quadrat des Übergangsmatrixelements und der Dichte der Endzustände (Phasenraum) ab.

Zerfallsrate unter Emission eines Elektrons mit der Energie zwischen Ee und Ee+dEe und eines Antineutrinos mit der Energie zwischen Eν und Eν+dEν

E0 ZerfallsenergieER Rückstoßenergie des Kerns, wegen der großen Masse sehr klein, wird vernachlässigt.ρf Dichte der Endzustände<Ψf|Hint|Ψi> Matrixelement der schwachen Wechselwirkung

Fermis goldene Regel:

Er hängt vom Quadrat des Übergangsmatrixelements und der Dichte der Endzustände (Phasenraum) ab.

Zerfallsrate unter Emission eines Elektrons mit der Energie zwischen Ee und Ee+dEe und eines Antineutrinos mit der Energie zwischen Eν und Eν+dEν

E0 ZerfallsenergieER Rückstoßenergie des Kerns, wegen der großen Masse sehr klein, wird vernachlässigt.ρf Dichte der Endzustände<Ψf|Hint|Ψi> Matrixelement der schwachen Wechselwirkung

Der Zustand eines Teilchens ist durch seinen Ort und Impuls bestimmt

Jeder Zustand nimmt im Phasenraum das Volumen h3 ein. Die Anzahl der Zustände auf der Impulskugelschale ist daher gegeben durch ( )

Zustandsdichte freier Teilchen

Fermi‘s goldene Regel

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Zahl der Endzustände:

Für Absolutbeträge der Impulse gelten die relativistischen Energie- und Impulsrelationen:

eeeeeifeeif dEEEcmEEc

VHdEEW 2

0422

66

222

int2

42

6

2222

2

4

dppdppVdNdN ee

ef

4222 cmcpE eee

2/ cdEEdpp eeee cdEdp /

cpE

dEdEEcmEEc

VdppdppVdNdN eeee

eeef

2422

66

22

6

2222

2

4

2

4

20422

eeee EEcmEE

Zahl der Endzustände:

Für Absolutbeträge der Impulse gelten die relativistischen Energie- und Impulsrelationen:

Zahl der Zustände im Energieintervall dEe und dEν durch Raumwinkelintegration

Zahl der Endzustände:

Für Absolutbeträge der Impulse gelten die relativistischen Energie- und Impulsrelationen:

Zahl der Zustände im Energieintervall dEe und dEν durch Raumwinkelintegration

Da man das Antineutrino nicht mißt, erhät man aus Eν=E0-Ee nach Integration über die Energie des Antineutrinos Eν die Zerfallsrate für einen Zerfall unter Emission eines Elektrons mit der Energie zwischen Ee und Ee+dEe

Der Phasenraumfaktor, der sich aus der Niveaudichte ergibt, bestimmt die Form des Energiespektrums im wesentlichen!

Fermi‘s goldene Regel

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Der Phasenraumfaktor , der sich aus der Niveaudichte ergibt, bestimmt

die Form des Energiespektrums im wesentlichen!

Das Matrixelement ergibt sich durch Integration über die Orts- und Spin-Variablen für das Elektron, dasAntineutrino und die Nukleonen im Kern.

Elektron und Antineutrino werden durch ebene Wellen(De Brogli Wellenlänge des Elektrons 2·10-13m > RKern)beschrieben. Bei kleiner Kernausdehnung führt man eine Entwicklung um r=0 durch:

Mfi ist das Kernmatrixelement der schwachen Wechselwirkung, das nicht von der Elektronenenergieabhängt.

Qβ=18.6 keV

t1/2=12.32a

20422

eeee EEcmEE

2222

int 00 fieif MH

β – Zerfallspektrum: Matrixelement

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Das Elektron fühlt die Coulombwechselwirkung mit dem Kern und den Schalenelektronen. Der Einfluß der Coulombwechselwirkung mit Protonen wird berücksichtigt:

Die Funktion F(Z,Ee) ist tabelliert.

β+ vs. β- Spektrum unter dem Einfluß des Coulombfeldes.

2

2

0

0,

freie

CouleeEZF

dual β-decay of 64Cu

dZFMB

dW

fi

if

20

221,

1

β-

β+

β – Zerfallspektrum: Coulombwechselwirkung

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β – Zerfallspektrum: Fermifunktion

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Für das Elektronenspektrum erhält man dann:

wobei B nur Naturkonstanten enthält und ε bzw. ε0 in Einheiten der Elektronenmasse von mec2

angegeben wird und

Die Zerfallswahrscheinlichkeit ergibt sich durch Integration über die Elektronenergie

mit

dZFMB

dW fiif2

022

1,1

2/ cmE ee 200 / cmE e

dZFMB

dEEW fie

E

efi2

02

0

2

01,

1 00

dZFZf 20

2

0

0 1,,0

500, Zf

β- – Zerfallswahrscheinlichkeit

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log λ = a + b · logEβ,max

mit verschiedenen a, b für leichte,mittlere und schwere Kerne

Je größer die Energie der schnellsten Elektronen, desto größer die Zerfallskonstante

Sargent Diagram

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Für das Elektronenspektrum erhält man dann:

wobei B nur Naturkonstanten enthält und ε bzw. ε0 in Einheiten der Elektronenmasse von mec2

angegeben wird und

Die Zerfallswahrscheinlichkeit ergibt sich durch Integration über die Elektronenergie

mit

dZFMB

dW fiif2

022

1,1

2/ cmE ee 200 / cmE e

dZFMB

dEEW fie

E

efi2

02

0

2

01,

1 00

dZFZf 20

2

0

0 1,,0

22/100

2

2/1

2ln,,

2ln

fi

fi

M

BtZfoderZf

B

M

t

Für das Elektronenspektrum erhält man dann:

wobei B nur Naturkonstanten enthält und ε bzw. ε0 in Einheiten der Elektronenmasse von mec2

angegeben wird und

Die Zerfallswahrscheinlichkeit ergibt sich durch Integration über die Elektronenergie

mit

Typischerweise sehr große Zahlen deshalb Logarithmus dieser Zahl, der log ft-Wert.

β- – Zerfallswahrscheinlichkeit

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Größe der log ft-Werte sind sehr unterschiedlich. Dies hängt vom Kernmatrixelement ab und den Auswahlregeln, die den Zerfall bestimmen.

Man unterscheidet übererlaubte, erlaubte, einfach- und mehrfach verbotene Zerfälle an Hand der Auswahlregeln für Drehimpuls (I) und Parität (π).

Spiegelkerne Mfi eine Größenordnung kleiner

2

2/1 log2lnloglog fiMBtf

p n p n p n p n

β- β-

β- – Zerfall log ft-Werte

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Größe der log ft-Werte sind sehr unterschiedlich. Dies hängt vom Kernmatrixelement ab und den Auswahlregeln, die den Zerfall bestimmen.

Man unterscheidet übererlaubte, erlaubte, einfach- und mehrfach verbotene Zerfälle an Hand der Auswahlregeln für Drehimpuls (I) und Parität (π).

Zusammenstellung der verschiedenen Auswahlregeln und ft-Werte. Dabei bedeutet (+) “keine Paritätsverletzung”, (-) “Paritätsverletzung”

2

2/1 log2lnloglog fiMBtf

β- – Zerfall log ft-Werte

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Zählrate als Funktion der Elektronenimpulses:

Kurie-Plot:

202,~ ee pZFpN

02.

,const

pZF

pN

e

e

Kurie-Plot

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Kurie-Plot und Neutrinomasse