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Nach einem Vortrag von Lucia Del Chicca und Markus Hohenwarter ÖMG-Tagung 25 April 2014 L. Del Chicca, M. Hohenwarter, JKU, Linz

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Nach einem Vortrag von

Lucia Del Chicca und Markus

HohenwarterÖMG-Tagung

25 April 2014L. Del Chicca, M. Hohenwarter, JKU, Linz

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Die Problemstellung

Es ist allgemein bekannt, dass wenn wir ein

bestimmtes Kapital zur Verfu¨gung haben, es besser ist

dieses in unterschiedliche Finanzprodukte zu investieren, anstatt nur in ein Einziges (die sogenannte Diversifikation). Bei einer gegebenen Menge von Finanzprodukten, stellen sich einige Fragen wie:

In welche davon sollte man investieren?

Wie sollte man das Kapital am besten aufteilen?

Und vor allem: Gibt es eine Kombination von Finanzprodukten die besser ist als alle anderen?

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.,. Motivation

.., Der Fall von 2 Finanzprodukten l¨asst sich mit den

mathematischen Kenntnissen der Oberstufe vollst¨andig

l¨osen

.., Der allgemeine Fall von n Finanzprodukten kann im Rahmen eines Projektes bzw. einer Projektarbeit behandelt werden (dazu braucht man die Methode des Lagrange-Multiplikators)

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Wir haben zur Verfu¨gung:

.,. Kapital = 1

.,. A1, A2, . . . , An Finanzprodukte

Frage:

In welche dieser Anlagem¨oglichkeiten oder deren

Kombinationen sollen wir investieren?

Gibt es “bessere” und “schlechtere” Finanzprodukte?

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ZIEL einer Investition: so viel wie m¨oglich gewinnen mit so

wenig wie m¨oglich Risiko.

Eine “gute” Investmentstrategie ist eine mit großer erwarteter Rendite und geringem Risiko.

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2 “Gr¨oßen” fu¨r die Finanzprodukte:

.,. Erwartete Rendite (erwarteter Gewinn, Trend) µ

entspricht dem gesch¨atzten Wert, den das

Finanzprodukt zu einem bestimmten Zeitpunkt in der Zukunft haben wird

L. Del Chicca, M. Hohenwarter, JKU, Linz

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2 “Gr¨oßen” fu¨r die Finanzprodukte:

.,. Erwartete Rendite (erwarteter Gewinn, Trend) µ

entspricht dem gesch¨atzten Wert, den das

Finanzprodukt zu einem bestimmten Zeitpunkt in der Zukunft haben wird.

.,. Volatilit¨at σ stellt das Risikomaß eines Finanzproduktes

dar.

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Jedem Finanzprodukt Ai mit i = 1, . . . n k¨onnen wir ein

Paar

(σi , µi )

zuordnen und in einem Trend-Volatilit¨ats-Diagramm

eintragen

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5 Finanzprodukten in Trend-Volatilit¨ats-

Diagramm L. Del Chicca, M. Hohenwarter, JKU, Linz

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DEFINITION:

.,. Risikoloses Finanzprodukt: bei dem wir, unter normalen Voraussetzungen, in jedem Moment den

Wert des Produktes fu¨r jeden Zeitpunkt in der

Zukunft exakt berechnen k¨onnen

.,. Risikobehaftetes Finanzprodukt: bei dem wir

gegenw¨artig nicht exakt berechnen k¨onnen,

welchen Wert es zu einem bestimmten Zeitpunkt in der Zukunft haben wirdL. Del Chicca, M. Hohenwarter, JKU,

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In Hinsicht auf den Trend-Volatilit¨ats-Ansatz k¨onnen wir in

manchen F¨allen bereits klar sagen, dass eine Investition in

eine bestimmte Aktie gegenüber der in eine andere zu bevorzugen ist.

Frage: Wie sieht es aber mit Kombinationen von Finanzprodukten aus?

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DEFINITION:Eine Kombination von verschiedenen Finanzprodukten heißt Portfolio (von Finanzprodukten).

Um von Rendite und Volatilit¨at eines Portfolios zu

sprechen, brauchen wir eine zus¨atzliche Gr¨oße:

Korrelation

.,. Korrelation ist ein Maß fu¨r den Zusammenhang zweier

Aktien, hat immer einen Wert zwischen − 1 und 1L. Del Chicca, M. Hohenwarter, JKU,

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Notationen:

A1, A2, . . . , An

µ1, µ2, . . . , µn

Aktien zur Verfu¨gung

erwartete Renditen von A1, A2, . . . , An in einem bestimmten Zeitpunkt in der Zukunft

Volatilit¨aten von A1, A2, . . . , An in

einem bestimmten Zeitpunkt in der Zukunft Korrelation von Ai

und Aj

σ1, σ2, . . . , σn

ρij = Korr (Ai , Aj )

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Sei Y das allgemeine Portfolio Kombination von A1, . . . , An

Y = x1A1 + x2A2 + . . . + xnAn

wo xi = Anteil des Kapitals, das in Ai investiert wird (i =

1, . . . , n). Als Nebenbedingung gilt also:

x1 + x2 + . . . + xn = 1

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Fu¨r Y ist

µY = x1µ1 + x2µ2 + . . . + xnµn

und

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Wo befindet sich das allgemeine Portfolio Y mit den Koordinaten (σY , µY )?

Betrachten wir als erstes den Fall zweier Aktien:

L. Del Chicca, M. Hohenwarter, JKU, Linz

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Kombinationen aus 2

Aktien Seien:A1, A2

µ1, µ2

Aktien zur Verfu¨gung

erwartete Renditen von A1, A2 in einem bestimmten Zeitpunkt in der Zukunft

Volatilit¨aten von A1, A2 in einem bestimmten

Zeitpunkt in der ZukunftKorrelation von A1 und A2

(wir betrachten den allgemeinen Fall − 1 < ρ12 < 1) Kapital zur Verfu¨gung

σ1, σ2

ρ121

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2 Aktien in Trend-Volatilit¨ats-

DiagrammL. Del Chicca, M. Hohenwarter, JKU,

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Sei Y das allgemeine Portfolio Kombination von

A1 und A2 Y = x1A1 + x2A2 = tA1 + (1

− t)A2

wo t = Anteil des Kapitals, das in A1 investiert wird

(σY , µY ) =

GeoGebraBook Aktienportfolio: http://ggbtu.be/b110094

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Konvexe Kurve aller Portfolios aus A1

und A2L. Del Chicca, M. Hohenwarter, JKU,

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Opportunity Set und Portfolio mit minimaler

Volatilit¨at L. Del Chicca, M. Hohenwarter, JKU, Linz

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Efficient Border (Effizienzlinie)

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Kombinationen aus 5 AktienSeien:

A1, A2, A3, A4, A5

µ1, µ2, µ3, µ4, µ5

Aktien zur Verfu¨gung

erwartete Renditen von Ai , . . . , An

in einem bestimmten Zeitpunkt in der ZukunftVolatilit¨aten von Ai , . . . , An in

einem bestimmten Zeitpunkt in der Zukunft Korrelation von Ai , Aj mit i , j = 1, . . . , 5

Kapital zur Verfu¨gung

σ1, σ2, σ3, σ4, σ5ρij

1

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5 Aktien in Trend-Volatilit¨ats-

DiagrammL. Del Chicca, M. Hohenwarter, JKU,

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Sei Y das allgemeine Portfolio Kombination von Ai miti = 1, . . . , 5

Y = x1A1 + x2A2 + x3A3 + x4A4 + x5A5

mit x1, . . . , x5 Anteile von Kapital die in A1, . . . , A5

investiert sind (σY , µY ) =

GeoGebraBook Aktienportfolio: http://ggbtu.be/b110094 L. Del Chicca, M. Hohenwarter, JKU,

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Opportunity Set der Kombination von 5 Aktien

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Wo liegen die “besten” Portfolios?

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Effizienzlinie und Portfolio mit minimaler Volatilit¨at

der Kombination von 5 AktienL. Del Chicca, M. Hohenwarter, JKU, Linz

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Literatur:

1. Hull, J. (2011). Risikomanagement. Banken, Versicherungen und andere Finanzistitutionen. Pearson.

2. Schnid, F., Trede, M. (2006). Finanzmarktstatistik. Springer.

3. Sharpe, W.F., Alexander, G.J. (1990). Investments. Prentice-Hall International Editions.

4.Sydsaeter, K., Hammond, P. (2004). Mathematik

fu¨r Wirtschaftswissenschaftler. Pearson Studium.

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