Nachweis des Biegedrillknickens für Kragträger · Blaß & Eberhart • Ingenieurbüro für Baukonstruktionen • Nachweis des Biegedrillknickens für Kragträger 1. Allgemeines

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Nachweis des Biegedrillknickens für Kragträger

1. Allgemeines Nach DIN 18800 Teil 2 dürfen die Stabilitätsfälle Biegeknicken und Biegedrillknicken getrennt untersucht werden. Bei dieser Vorgehensweise sind dann die Fälle Knicken um die starke Achse (y-y), Knicken um die schwache Achse (z-z) und Biegedrillkni-cken zu untersuchen.

Die Nachweise dürfen vereinfacht am aus dem Gesamtsystem herausgelösten Ein-zelstab geführt werden. Der Biegeknicknachweis kann entweder nach den Abschnit-ten 3.2 bis 3.5 der DIN 18800 Teil 2 oder als Spannungsnachweis mit den Schnittgrößen nach Theorie II.Ordnung geführt werden. Für den Nachweis des Biegedrillknickens nach den Abschnitten 3.2 bis 3.5 sind die Stabendmomente nach Theorie II. Ordnung zu bestimmen sofern die Verformungen die Tragfähigkeit maßgeblich beeinflussen. (vgl. DIN 18800 Teil 2 Element (303)). An-stelle des vereinfachten Nachweises kann die Stabilität auch durch eine Berechnung nach Theorie II. Ordnung am räumlichen Gesamtsystem unter Berücksichtigung der Torsionssteifigkeiten untersucht werden. Dies ist jedoch mit erheblichem Rechenauf-wand verbunden.

In den Nachweisen der DIN 18800 ist der Einfluss der Verformungen bereits berück-sichtigt. Es sind daher, wie bei einer Berechnung nach Theorie II. Ordnung, die Be-messungswerte der Steifigkeiten in Ansatz zu bringen. (vgl. DIN 18800 Teil 2 Ele-ment (116)).

2. BDK-Nachweis bei doppelt-symmetrischen I-Querschnitten Bei doppelt-symmetrischen I-Querschnitten treten bei Biegung um die starke Ach-se (y-y) Abtriebskräfte auf, die ein Verdrehen des Querschnitts verursachen. Bei Bie-gung um die Schwache Achse entstehen keine Abtriebskräfte. Der Nachweis des Biegedrillknickens ist daher für I-Profile nur um die starke Achse zu führen.

Für Biegung mit Normalkraft hat der Nachweis nach DIN 18800 Teil 2 Abschnitt 3.4 die Form

⋅ ≤κ ⋅ κ ⋅

IIy,dd

yz pl,d M pl,y,d

MN + k 1N M

Gleichung (27) DIN 18800

Dabei beschreibt der erste Anteil der Gleichung mit dem Parameter κz den Einfluss des Knickens um die schwache Achse bzw. den Einfluss des Drillknickens. Der zweite Anteil beschreibt den Einfluss des Biegemoments. Dabei ist zu beachten, dass für den allgemeinen Fall bei der Ermittlung von κz zusätz-lich zum Knicken auch das Versagen durch Drillknicken untersucht werden muss. Das Versagen durch Drillknicken wird immer dann maßgebend, wenn die Schlankheit λDi des Drillknickversagens größer ist als die Schlankheit λz des Biegeknickversagens. Wel-che Versagensform maßgebend wird hängt dabei von der Querschnittsform ab. Bei punkt- und doppelsymmetrischen Querschnitten ergeben sich drei Verzweigungs-lasten Nki,y , Nki,z und Nki,θ. Im Allgemeinen ist jedoch die Biegedrillknicklast nur bei klei-


nen Schlankheitsgraden (etwa bis λ = 60 für St 37) kleiner als die Biegeknicklast (λDi/λz > 1). In den meisten Fällen kann daher mit der Knickschlankheit λz gerechnet werden.

2.1. Anteil aus Knicken um z-z

• Knickschlankheit λz

Die Knicklänge sk,z ist abhängig von den Lagerbedingungen der Stabenden und kann für verschiedene Lagerungsarten der Literatur entnommen werden. Für am freien Ende in Richtung der schwachen Achse gehaltene Kragstützen gilt:

⋅k,zs = 0,7 (Euler Fall 3) Für am freien Ende in Richtung der schwachenAchse nicht gehaltene Stützen gilt

⋅k,zs = 2,0 (Euler Fall 1)

Mit der Knicklänge erhält man den bezogenen Schlankheitsgrad zu

π ⋅ ⋅λ λ

⋅ λ

2pl,dk,z d z

k,z k,z ki,d 2z a ki,d k,z

Ns E I= oder = mit N =i N s

(beide Gleichungen füh-ren zum selben Ergebnis)

Tabelle 1 – Abminderungsfaktoren κ für Biegeknicken (Quelle: Schneider Bautabellen)


• Bestimmen der Knickspannungslinie

Für Knicken um z-z gilt i.A.: a) für IPE-Profile: KSL b

b) für HEA, HEB und HEM-Profile: KSL c

• Abminderungsfaktor κz für Biegeknicken um Achse z-z

Der Abminderungsbeiwert κz kann in Abhängigkeit des bezogenen Schlankheitsgra-des und der Knickspannungslinie entweder nach Gleichung 4a) bis 4c) der DIN 18800 Teil 2 berechnet oder aus Fehler! Verweisquelle konnte nicht gefunden werden. abgelesen werden.

2.2. Anteil aus Biegemoment My

• Ideales Biegedrillknickmoment Mki

Die eigentliche Schwierigkeit beim Nachweis des Biegedrillknickens liegt in der Be-stimmung des idealen Biegedrillknickmomentes Mki. Dieses kann für Kragträger mit Hilfe von

Abbildung 1ermittelt werden.

Abbildung 1 – Beiwerte k zur Ermittlung von Mki,d bei Kragträgern (Quelle: Krüger Stahlbau Teil 2)


Wirken auf den Träger gleichzeitig mehrere verschiedene Lasten ein(z.B. eine Einzel-last und eine Streckenlast) oder sind verschiedene Lastangriffspunkte vorhanden soll-te der Beiwert k für die massgebende Last ermittelt werden. Ist der Einfluss mehrerer Lasten gleich oder ähnlich, sollte k für den ungünstigsten Fall bestimmt werden. Das Halten des freien Ende des Kragarms gegen Verdrehen und seitliches Auswei-chen verbessert die Stabilität wesentlich. Dies kann beispielsweise durch die Anord-nung eines Verbandes und eines biegesteifen Randträgers erreicht werden. (siehe Abbildung 2)

Abbildung 2 Kragträger mit gebundenem Kragende (Quelle: Krüger Stahlbau Teil 2)

Tabelle 2 enthält von Heil ermittelte k-Werte für diesen Lagerungsfall

Tabelle 2 Beiwert k zur Ermittlung von MKi,d bei Kragträgern mit gebundenem Kragende (Quelle: Krüger Stahlbau Teil 2)

Das ideale BDK-Moment wird damit zu ⋅⋅ ⋅ ⋅

γk

ki,d z TM

0,62 k EM = I Il

• Bezogener Schlankheitsgrad

λ pl,dM

ki,d

M=

M


• Trägerbeiwert n

Für gewalzte I-Profile mit einem Verhältnis der Stabendmomente ψ ≤ 0,5 beträgt der Beiwert n = 2,5

• Abminderungsfaktor κM für Biegemomente

Der Abminderungsbeiwert κM kann in Abhängigkeit des bezogenen Schlankheitsgra-des und demTrägerbeiwert n entweder nach Gleichungen 17 und 18 der DIN 18800 Teil 2 berechnet oder aus Tabelle 3 abgelesen werden.

Tabelle 3 – Abminderungsfaktoren κM für Biegedrillknicken (Quelle: Schneider Bautabellen)

• Beiwert ky

⋅ ⋅ λ ⋅βκ ⋅

dk,zy y y M,y

z pl,d

Nk =1- a mit a = 0,15 - 0,15N

βM,y ist in DIN 18800 Tabel-le 11 Spalte 3 angege-ben (siehe Abbildung 3)


3.Beispiel Kragstütze mit angehängter Pendelstütze: P/P1 = L/L1

L

L1

P P1

x

zy

a) b)

x

yz z

x

y

L = 5,00 m IPE 330 βy = 2,7 z.B. nach Schneider Bautabellen βz = 2,0 Fall a) Stützenkopf in y-Richtung verschieblich βz = 0,7 Fall b) Stützenkopf in y-Richtung unverschieblich gelagert, z.B. durch

Wandverband gehalten und Stabachse gegen Verdrehen gehalten Querschnittswerte IPE 330 Iy = 11.770 cm4 iy = 13,7 cm Iz = 788 cm4 iz = 3,55 cm Iω = 119.100 cm6 IT = 28,1 cm4 Npl,d = 1370 kN Mpl,y,d = 177 kNm Schnittgrößen Nd = 200 kN MIy,d,oben = 0 kNm MIy,d,unten = 100 kNm (aus H-Last am Kragende) MIIy,d,oben = 0 kNm MIIy,d,unten = 110 kNm MIz,d,unten = 0 kNm


• Knicken um y-y Für den Nachweis des Biegedrillknickens ist der Nachweis des Biegeknickens um die starke Achse nicht erforderlich. Er wird aber der Vollständigkeit halber hier ebenfalls geführt.

⋅λ λ

⋅

π ⋅ ⋅⋅ ⋅

λ

k,y k,yki,y,d

2

ki,y,d 2

k,y

2,7 500 1.370= oder =13,7 92,93 N

21.000 11.770mit N = =1.338,5 kN1,1 (2,7 500)

=1,01

κ =y 0,66 KSL a

Der Beiwert βM ergibt sich nach DIN 18800 Tabelle 11 Spalte 2 (siehe Abbildung 3).

Abbildung 3 – Momentenbeiwerte βm und βM nach DIN 18800 (Quelle: DIN 18800)


Abweichend von Abbildung 3 gilt für Stäbe mit verschieblichen Stabenden:

β ≥m 1 (vgl. DIN 18800 Teil 2 Element (314))

Für das Beispiel erhält man damit

β =m 1,0

Nachweis:

⋅≤

⋅

≤

200 1,0 100+ + 0,1 10,66 1.370 177

0,221+ 0,565 + 0,1= 0,886 1

Anstelle des Nachweises des Biegeknickens mit dem Ersatzstabverfahren kann auch ein Spannungsnachweis mit den Schnittgrößen nach Theorie II. Ordnung geführt wer-den:

≤

≤

200 110+ 11.370 177

0,146 + 0,621= 0,767 1

• Knicken um z-z

Für den Nachweis des Biegedrillknickens ist der Nachweis des Biegeknickens um die schwache Achse (hier z-z) nicht erforderlich. Da nach DIN 18800 der BDK-Nachweis des zentrisch gedrückten Stabes jedoch formal dem Biegeknicknachweis um die schwache Achse entspricht kann das Ergebnis dieses Nachweises für den BDK-Nachweis verwendet werden.

Fall a): freies Kragende in y-Richtung

⋅λ λ

⋅

π ⋅ ⋅⋅ ⋅

λ

k,z k,zki,z,d

2

ki,z,d 2

k,z

2,0 500 1.370= oder =3,55 92,93 N

21.000 788mit N = = 594 kN1,1 (2,0 500)

= 3,04

κ =z 0,097 KSL b


Nachweis:

≤⋅

>

200 10,097 1.370

1,51 1 !!! Nachweis nicht eingehalten.

Fall b): Kragende in y-Richtung unverschiebl. und gegen Verdrehen der Stabachse-gehalten

⋅λ λ

⋅

π ⋅ ⋅⋅ ⋅

λ

k,z k,zki,z,d

2

ki,z,d 2

k,z

0,7 500 1.370= oder =3,55 92,93 N

21.000 788mit N = =1.212 kN1,1 (0,7 500)

=1,06

κ =M 0,560 KSL b Nachweis:

≤⋅

≤

200 10,560 1.370

0,261 1

• Biegedrillknicken

Fall a): freies Kragende in y-Richtung

h = 330 -11,5 = 318,5mm

⎛ ⎞χ ⋅ ⋅ ⎜ ⎟⋅⎝ ⎠

2788 31,85= 2,6 = 0,07428,1 2 500

Für eine Einzellast am Kragende und Lastangriff in der Schwerachse des Querschnitts (k2 nach Abbildung 1) ergibt sich

K2 = 7,4

und damit

⋅⋅ ⋅ ⋅ki,d

0,62 7,4 21.000M = 788 21,8 = 22.960 kNcm = 229,6 kNm500 1,1


Die bezogene Schlankheit berechnet man dann zu

λM177= = 0,878

229,6

und mit einem Trägerbeiwert

n = 2,5

erhält man

κ =M 0,846

Der Beiwert ky ergibt sich zu

⋅ ≈yk =1-1,51 0,671 0

mit ⋅ ⋅ya = 0,15 3,04 1,8 - 0,15 = 0,671 Nachweis:

⋅ ≤⋅

+ = ≥

1101,51+ 0 10,846 177

1,51 0 1,51 1 !!! Nachweis nicht eingehalten.

Fall b): Stützenkopf in y-Richtung unverschieblich gelagert

h = 330 -11,5 = 318,5mm

⎛ ⎞χ ⋅ ⋅ ⎜ ⎟⋅⎝ ⎠

2788 31,85= 2,6 = 0,09521,8 2 500

Für eine Einzellast am Kragende und Lastangriff in der Schwerachse des Querschnitts (k2-4 nach Tabelle 2) ergibt sich

k = 19,15

und damit

⋅⋅ ⋅ ⋅ki,d

0,62 19,15 21.000M = 788 21,8 = 59.417 kNcm = 594,4 kNm500 1,1

aus Knicken um z-z


Die bezogene Schlankheit berechnet man dann zu

λM177= = 0,546

594,4

und mit dem Trägerbeiwert

n = 2,5

erhält man

κ =M 0,98

Der Beiwert ky ergibt sich zu

⋅yk =1- 0,261 0,136 = 0,964

mit ⋅ ⋅ya = 0,15 1,06 1,8 - 0,15 = 0,136

Nachweis:

⋅ ≤⋅

+ = ≤

1100,261+ 0,964 10,98 177

0,261 0,611 0,872 1

aus Knicken um z-z

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