Scriptum zur VorlesungNanoelektronik

Institut fur Theoretische Festkorperphysik

Universitat Karlsruhe

Version: 6. Mai 2008

Inhaltsverzeichnis

1 Ruckblick und Einfuhrung 4

1.1 Allgemeine Vorbemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.1 Typische Langenskalen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.2 Typische Energieskalen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.3 Wann sind Systeme mesoskopisch? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2 Systeme und Technologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2.1 Metalle und Halbleiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2.2 Herstellung von Heterostrukturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3 Zustandsdichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.4 Leitfahigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.4.1 Drude-Leitfahigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.5 Boltzmannsche Transporttheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.5.1 Boltzmann Leitfahigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.6 Diffusiver Transport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.7 Sharvin-Leitwert eines Punktkontaktes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2 Landauer-Buttiker-Formulierung/Mesoskopische Streutheorie der Leitfahigkeit 21

2.1 Typische Systeme, Konzepte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.2 Eindimensionaler Leiter zwischen Reservioren . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.3 Quasi-1dimensionaler Leiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.4 Barrieren im Leiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.5 Die Formel von Landauer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.6 Multikanalproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.7 Adiabatische Einschnurung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.8 Multi-Kontakt-SystemMulti-Probe-System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1

2.9 S-Matrix fur Streuung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.9.1 Reihenschaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.9.2 Multichannel S-Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.10 Teilweiser Verlust der Phasenkoharenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.11 Resonantes Tunneln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.12 S-Matrix mit Wellenvektor”mismatch” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2.13 Adiabatische Barrieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2.14 Ubungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3 Quanten-Hall-Effekt 55

3.1 Klassischer Hall-Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.2 Landau-Niveaus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3.3 Quantenhalleffekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.4 Randkanale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3.5 Der Fraktionelle Quanten-Hall-Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3.6 Ubungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

4 Quanteninterferenzeffekte 75

4.1 Der Aharonov-Bohm-Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

4.2 Schwache Lokalisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

4.2.1 Ruckstreuwahrscheinlichkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

4.2.2 Diffusionsproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

4.3 Sharvin-Sharvin-Experiment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

4.4 Schwache Lokalisierung im Magnetfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

4.5 Probenspezifische Fluktuationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

4.6 Universelle Leitwertfluktuationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

5 Single-Electron Effects 89

6 Spintronik/Spinelektronik 111

6.1 Tunnel-Magnetowiderstand (TMR) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

6.1.1 Julliere-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

6.1.2 Beliebiger Polarisationswinkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

6.1.3 Spinakkumulation (Nichtgleichgewicht) . . . . . . . . . . . . . . . . 117

6.1.4 Spinrelaxation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

6.2 Riesenmagnetowiderstand (GMR) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

2

6.2.1 CIP-Geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

6.3 Spin-Bahn-Kopplung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

6.3.1 Mikroskopische Spin-Bahn-Kopplung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

6.3.2 Spin-Bahn-Kopplung in Halbleitern . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

6.3.3 Datta-Das-Transistor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

6.3.4 Spin-Filter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

7 Quantencomputer 137

7.1 Quantenmechanik von Spins . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

7.1.1 Zeitabhangige Schrodingergleichung und Zeitentwicklungsoperator . 138

7.1.2 Spin-1/2-Systeme und Blochkugel-Darstellung . . . . . . . . . . . . . 139

7.1.3 Rabi-Oszillationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

8 Quantum Computation 144

9 Josephson Qubits and Decoherence 155

3

Kapitel 1

Ruckblick und Einfuhrung

Wir wollen uns in diesem einfuhrenden Kapitel zuerst mit den fur uns interessantenLangen- und Energieskalen beschaftigen, um den Bereich der mesoskopischen Systemeeingrenzen zu konnen.Danach wollen wir uns um verschiedene Systeme, wie Metalle und Halbleiter, kummernund uns die Herstellung von Heterostrukturen einmal naher ansehen.Den Abschluss dieses Kapitels bildet eine Zusammenfassung der Konzepte der Zustands-dichte sowie der Leitfahigkeit, die fur uns von besonderer Bedeutung ist. Wir werden unsdazu die Leitfahigkeit aus dem Drude-Modell sowie aus der Boltzmannschen Transport-theorie herleiten.

1.1 Allgemeine Vorbemerkungen

1.1.1 Typische Langenskalen

Wir beschaftigen uns in dieser Vorlesung vorwiegend mit metallischen oder halbleitendenFestkorpern. Die kleinste fur uns relevante Langenskala ist der Abstand zweier Atome imFestkorper, der eine atomare Langenskala definiert. Diese liegt zwischen 1-3 A. Die Aus-dehnung der Kristall-Einheitszelle ist typischerweise 2− 15 A. Die Leitungselektronen imMetall oder im dotierten Halbleiter werden durch die Fermiwellenlange λF charakterisiert.Diese liegt im Bereich von 1 nm-100 nm. Diese Langenskalen nennen wir mikroskopischeLangenskalen.

Der Transport von Leitungselektronen wird durch Verunreinigungen (Fremdatome)oder intrinsische Anregungen (z.B. Gitterverzerrungen) gestort. Die Wechselwirkung derLeitungselektronen mit den Kristallionen kann elastisch (z.B. Stoße mit Fremdatomen)oder inelastisch (z.B. Wechselwirkungen mit Gitterverzerrungen) sein. Die mittlere freieWeglange, `, auf der im Mittel keine Stoße stattfinden, ist eine wichtige Große zur Cha-rakterisierung des Transports. Sie ist eine mesoskopische Langenskala. Ist eine weiterecharakteristische mesoskopische Langenskala L gegeben (z.B. die Ausdehnung einer Metal-linsel, der Abstand zweier Kontakte an einem Draht, die charakteristische Koharenzlange

4

eines Ordnungsparameters), kann man den Transport in ballistischen und diffusiven Trans-port unterteilen. Im ballistischen Falle ist die mittlere freie Weglange viel großer als L odervergleichbar mit L, im diffusiven Fall ist sie viel kleiner als L.

Elastische Stoße fuhren zu zufalligen aber, da die Storstellen statisch sind, reprodu-zierbaren Anderungen der Elektronenzustande und Phasenverschiebungen (Streuphasen).Sie hangen von der Konfiguration er Storstellen ab und sind daher spezifisch fur die Probe(Fingerabdrucke). Inelastische Streuungen fuhren aber im Allgemeinen zu unkontrollier-baren Phasenverschiebungen, man sagt, die Phasenkoharenz wird zerstort. Die typischeLangenskala, auf der die Phasenkoharenz zerstort wird, heißt PhasenkoharenzlangeLφ. Inelastische Stoße sind nur ein Beitrag zur Zerstorung der Phasenkoharenz, es existie-ren weitere. Die Phasenkoharenzlange ist eine zweite wichtige mesoskopische Langenskala.Phasenkoharenz ist ein quantenmechanisches Phanomen. Deshalb nennt man Systeme vonsehr kleinen, mesoskopischen Ausdehnungen auch Quantenfallen, Quantentopfe, Quanten-punkte, Quantendrahte usw.

Makroskopische Langenskalen sind Langenskalen, auf denen phasenkoharente Effektekeine Rolle spielen. Solche Systeme spielen als thermodynamische Reservoire fur mesosko-pische System eine wichtige Rolle.

Im folgenden eine Tabelle mit wichtigen mesoskopischen Langenskalen:

1 A=0.1 nm Abstand zwischen Atomen1 nm Fermiwellenlange in Metallen1nm-10nm mittlere freie Weglange in diffusiven Metallen10nm mittlere freie Weglange in polykristallinen Metallfilmen10 nm-100 nm Fermiwellenlange in Halbleitern100 nm-1 µm kommerzielle Halbleiterbauelemente10 µm Phasenkoharenzlange in sauberen Metallfilmen100 µm mittlere freie Weglange und Phasenkoharenzlange in Halbleitern

mit hohen Mobilitaten, bei T < 4 K1mm mittlere freie Weglange in Quanten-Hall-Systemen

1.1.2 Typische Energieskalen

Im Allgemeinen kann man sagen, dass physikalische Ablaufe in mesoskopischen Systemendurch um so großere Energieskalen charakterisiert sind, je kleiner die damit assoziier-te Langenskala ist. Die typische mikroskopische Energieskala ist die atomare Energies-kala von 1eV-10eV. Sie gibt z.B. den Abstand atomarer Energieniveaus voneinander inverschiedenen Schalen an. Die Fermienergie in Metallen, EF , ist typischerweise von derGroßenordnung 0.5-5 eV.

Eine wichtige Energieskala in mesoskopischen Systemen ist die Ladungsenergie, Ec =e2/2C, die durch die Kapazitat C der metallischen Probe bestimmt wird. Mit sinkenderKapazitat wird die Ladungsenergie großer, und im mesosopischen Bereich kann sie zurBlockade des Transports fuhren. Das Verstandnis dieser sogenannten Coulomb-Blockadeist eine der Grundfesten mesoskopischer Physik.

5

Eine weitere Energieskala, die mit der Ausdehnung des Systems in Verbindung steht,ist die sogenannte Thouless-Energie, ETh. Sie steht mit einer Zeitskala tTh = ~/ETh

in Verbindung, die angibt, wie lange ein Leitungselektron typischerweise braucht, um dieLange L zu durchqueren. In ballistischen Systemen ist ETh = ~vF /L, wobei die Ge-schwindigkeit der Leitungselektronen durch die Fermigeschwindigkeit vF gegeben ist. Indiffusiven Systemen gilt ETh = ~D/L2, wobei die Diffusionskonstante D = vF `/N (fur NDimensionen) den Transport charakterisiert.

In ungeordneten Systemen ist der mittlere Abstand zweier Energieniveaus δ einewichtige Große. Er muss großer sein als die mittleren Verbreiterung eines Energienive-aus γ, damit Phasenkoharenz vorliegen kann. Fur mesoskopische Systeme gilt gewohnlichδ < (ETh, γ) EF . Fur diffusive Systeme ist ETh < γ, fur ballistische ETh > γ.

1.1.3 Wann sind Systeme mesoskopisch?

Makroskopisch Mesoskopisch MikroskopischFestkorper, Nanostrukturen Atome,Flussigkeiten, Gase (i.A. kunstlich herge-

stellt)Molekule

N →∞, V →∞ L ∼ 10-100 nm N ∼ 1n = N/V =konstant (N groß) L ∼ 1AEnsemble-Mittelung Probenspezifische keine statistischenSelbstmittelung (reproduzierbare) Schwankungenrel. Flukt. SchwankungenδN/N ∼ 1/

√N → 0

lokales Gleichgewicht Gleichgewicht nur Quantenmechanikmit Reservioren

Phasenkoharenz:Lφ L Lφ

∼> L Lφ →∞

(phaseninkoharent) (phasenkoharent) (quantenmech. Phasen)mittl. Energieabstand:δ γ,EF γ

∼< δ EF δ γ

Ladungsenergie:EC kBT EC

∼> kBT −

Thoulessenergie:ETh → 0 ETh > δ keine sinnvolle Großemittlere Levelverbreiterung γ

diffusive: δ < Eth < γ EF γ δballistisch: δ < γ < Eth EF

Ankopplung an externe Reservoire (Kontakt) isolierte Systeme +außere Felder

Abbildungen diffusiv und ballistisch

6

1.2 Systeme und Technologie

1.2.1 Metalle und Halbleiter

Metalle: n ≈ 1022cm−3

λF ∼ 3A << L Bild Bandstrukturnahezu freie Ladungstrager mitKF , VF

Halbleiter: n ≈ 1015 − 1019cm−3

λF ' 100nm Bild Bandstrukturkontrolliert durch Dotierungmit Elektronen oder Lochern

GaAs Sim∗/me 0,067 0,19λF 40nm 100nmlel 102 − 104nm ∼ 100nmLϕ 200nm

√K/T 40− 400nm

√K/T

direkte Lucke indirekte Lucke

7

1.2.2 Herstellung von Heterostrukturen

Bei der Molekularstrahlepitaxie

Bei der Elektronenstrahl-Lithographie wird zunachst ein Elektronen-sensitiver Filmeines “Resist”-Materials, z.B. das Polymer PMMA, auf ein Tragermaterial aufgebracht(siehe Abb. 1.1 oben). Danach wird ein fokusierter Elektronenstrahl uber die Probe bewegt,um selektiv das geplante Muster der Nanostruktur auf den Film zu schreiben.

Der Film wird daraufhin entwickelt, die bestrahlten Bereiche verschwinden und le-gen das Tragermaterial frei. Beim Metall-lift-off-Verfahren (Abb. 1.1 unten links) wird

8

daraufhin die Probe mit Metall bedampft und schließlich der restliche Resist in einemLosungsmittel aufgelost. Das daruberliegende Metall kann dann durch den Lift-off-Schrittentfernt werden, und nur die metallische Nanostruktur bleibt zuruck. Eine Alternative ist,erst eine Metallschicht aufzudampfen, dann den Resist, und nach Bestrahlung mit Elek-tronen und Entwickeln die freigelegten Metallbereiche mit z.B. Chlor-Ionen wegzuatzen(siehe Abb. 1.1 unten rechts).

Abbildung 1.1: Der Prozess der Elektronenstrahl-Lithographie. Siehe Text. (Quelle:http://www.shef.ac.uk/eee/research/ebl/principles.html)

9

Abbildung 1.2: Das kleinste Fußballfeld derWelt, im Maßstab 1 zu 10 Millionen. Statt100 x 70 Meter misst es nur 10 x 7Mikrometer, d.h. es ist um einen Faktorvon 10 Millionen verkleinert und nur un-ter dem Elektronenmikroskop sichtbar. DasFußballfeld wurde mit Elektronenstrahl-Lithographie (Quanta 200 von FEI) amLehstuhl fur Experimentalphysik der Ruhr-Universitat Bochum hergestellt.

1.3 Zustandsdichte

Die physikalische Große der Zustandsdichte D(E) gibt an, wie viele Zustande sich in einemEnergieintervall [E,E + dE] befinden.In einem n-dimensionalen Elektronengas konnen sich die Elektronen in allen n Dimensio-nen frei bewegen. Die Zustandsdichte D(E) lasst sich dann wie folgt berechnen:

D(E) = 2 · ddE

(N(E)V

), V = Lx · Ly · Lz

Den Vorfaktor 2 erhalt man durch Berucksichtigung des Spins, V beschreibt das Volumenund N(E) gibt die Anzahl aller bei der Energie E zuganglichen Zustande an.

Nachfolgend wird fur den 3-, 2- und 1-dimensionalen Fall N(E) berechnet.Im 3-dimensionalen Fall spricht man auch von einem Bulk, im 2-dimensionalen von einemQuantentopf und im 1-dimensionalen von einem Quantendraht. Der 0-dimensionale Fallwird als Quantenpunkt bezeichnet.

3-dimensional: εp = p2

2m + E0 ; dε = pmdp

∑p

g(εp) = V ·∫

d3p

(2π~)3g(εp) = V ·

∫ ∞o

dε N3d(ε)g(ε)

=4πV

(2π~)3·∫ ∞

op2dp g(εp) =

V

2π2~3·∫ ∞

odε m

√2m(εp − E0)g(ε)

⇒ N3d(ε) = m2π2~3 ·

√2m(εp − E0) (durch Vergleich)

10

N3d(ε) = m2π2~3 · pf

n =4π·p3

f

3 · 2(2π~)3

= 13π2 ·K3

F KF = pF~

2-dimensional: εp = p2

2m + E0 ; dε = pmdp

∑p

g(εp) = A ·∫

d2p

(2π~)2g(εp) = A ·

∫ ∞0

dε N2d(ε)g(ε)

=2πA

(2π~)2·∫ ∞

0p dp g(εp) =

A m

2π~2·∫ ∞

0dε g(ε)

⇒ N2d(ε) = m2π~2 · ϑ(ε− E0)

ϑ(ε− E0) = 1 ε > E0

0 ε < E0

n =4π·p2

f

(2π~)2= K2

Fπ

1-dimensional: εp = p2

2m + E0 ; dε = pmdp

11

∑p

g(εp) = A ·∫

dp

2π~g(εp) = L ·

∫ ∞0

dε N1d(ε)g(ε)

⇒ N1d(ε) = mπ~ · 1/

√2m(εp − E0)

ψ(~(r)) = ϕ0(z)ei(kxx+kyy) (2dim.)

ψ(~(r)) = ϕ0(y, z)ei(kxx) (1dim.)

N(ε) =∑

n

∫ddk

(2π)dδ(ε− εn(~k))

= Ld

∫ ∞0

dε∑

n

∫ddk

(2π)dδ(ε− εn(~k))g(ε)

= Ld

∫ ∞0

ddk

(2π)dg(εn(k))

12

Quasi-2Dimensional:

Quasi-1Dimensional:

13

1.4 Leitfahigkeit

Die elektrische Leitfahigkeit σ(ω) gibt die Fahigkeit der Leitung elektrischen Stromes an.Sie ist im klassischen Sinn des ohmschen Gesetzes als Proportionalitatskonstante zwischender Stromdichte ~j und dem elektrischen Feld ~E definiert.

klassisch: lokal

~j(ω) = σ(ω) · ~E(ω)

Stromdichte ∝ elektrisches Feld

mesoskopisch: nicht lokal

~j(~q, ω) = σ(~q, ω) · ~E(~q, ω)Schaubild

1.4.1 Drude-Leitfahigkeit

Das Drude-Modell beschreibt klassisch den Ladungstransport in Metallen. Es geht dabeivon einem idealen Elektronengas aus, das sich frei in einem Ionenkristall, als Modell ei-nes elektrischen Leiters, bewegen kann, und somit verantwortlich fur die Stromleitung ist.Wird ein außeres elektrisches Feld angelegt, so werden die Elektronen beschleunigt, jedochnicht kontinuierlich. Um mit dem Ohmschen Gesetz konform zu bleiben, das einen kon-stanten Widerstand vorraussetzt, beschreibt das Drude-Modell die Elektronenbewegungals eine Abfolge von Stoßen zwischen Elektron und Gitterion, zwischen denen die mittlereStoßzeit τ vergeht. Bis zum Stoß wird das Elektron beschleunigt, durch den Stoß wiederabgebremst.

~j = n · e · ~v v · τ = l

~p = m~v = e ~E − m

τ~v

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l bezeichnet hier die mittlere freie Weglange, n die Elktronendichte und v die Elektronen-geschwindigkeit.Somit lasst sich die Drude-Leitfahigkeit fur Gleich- und Wechselstrom berechnen.

Gleichstrom: ~j = n e2 τ ~Em ⇒ σ0 = n e2 τ

m

Wechselfelder: ~j(ω) = n e2

m( 1τ+iω)

~E(ω) ⇒ σ(ω) = n e2 τm(1+ωτ)

Dieses 1900 vorgestellte Modell konnte zwar erstmals das ohmsche Gesetz erklaren, be-rechnete aber den Widerstandswert viel zu groß.Eine weitere Schwache des Drude-Modells liegt in der Annahme, dass alle Elektronen zumStrom beitragen. Quantenmechanisch widerspricht dies dem Pauli-Prinzip. Im Sinn derstatistischen Thermodynamik widerspricht es dem Prinzip, dass alle Freiheitsgrade einesSystems kBT

2 zu seiner innerern Energie beitragen. Dann musste jedes Elektron 3kBT2 an

innerer Energie liefern, was experimentell widerlegt wurde.

1.5 Boltzmannsche Transporttheorie

Die Boltzmann-Gleichung beschreibt die statistische Verteilung von Teilchen in einem Me-dium. Sie findet meistens dann Anwendung, wenn die mittlerer freie Weglange der Teilchenim Medium groß ist. D.h. besonders fur mesoskopische Systeme.

Innerhalb der Gleichung beschreibt f(~r, ~p, t) die Verteilungsdichte von Elektronen am Ort~r mit Impuls ~p zu Zeit t.Im Gleichgewicht wird sie durch die Fermiverteilung f0(εp) = 1

eεp−µ

kT +1beschrieben.

Die Dichte berechnet sich durch Summation uber alle Impulse zu n(~r, t) =∑

~p,σ f(~r, ~p, t).

Die Stromdichte erhalt man durch Multiplikation der Elektronenladung e mit der Summeder Produkte aus Gruppengeschwindigkeit ~vp und Verteilungsdichte f(~r, ~p, t).Die Gruppengeschwindigkeit ist als ~vp = ~∇pεp definiert.

Nimmt man also an, dass sich fur die Verteilungsfunktion f(~r, ~p, t) im Phasenraum dieElektronen mit Ladung q = e unter dem Einfluss eines außeren Feldes ~E bewegen, lasstsich das wie folgt beschreiben.

~r(t+ ∆t) ≈ ~r(t) + ~r(t)∆t = ~r(t) +~p

m(t)∆t

~p(t+ ∆t) ≈ ~p(t) + ~p(t)∆t = ~p(t) + e ~E∆t

Befinden sich dann f(~r, ~p, t)∆τ Teilchen zur Zeit t an der Stelle ~r, ~v im Phasenraum, soist die Zahl der Teilchen zur Zeit t+ ∆t in der Zelle ∆τ ′ an der Stelle ~r+ ~p

m∆t, ~p+ e ~E∆t

15

(siehe Bild) gegeben durch

f(~r +~p

m∆t, ~p+ e ~E∆t, t+ ∆t)∆τ ′ = f(~r, ~p, t)∆τ + ∆fcoll∆τ ′

Setzt man nun als Naherung die beiden Phasenvolumina gleich ∆τ = ∆τ ′ und entwickeltdie Verteilungsfunktion in eine Potenzreihe nach ∆t, so erhalt man

f(~r +~p

m∆t, ~p+ e ~E∆t, t+ ∆t) ≈ f(~r, ~p, t) +

(~p

m∆t∇~r + e ~E∆t∇~p + ∆t∂t

)f

= f(~r, ~p, t) + ∆fcoll

Daraus folgt fur(

∂f∂t

)coll

= ∆fcoll∆t die Boltzmannsche Transportgleichung:(∂t +

~p

m∇~r + e ~E∇~p

)f =

(∂f

∂t

)coll

Beispiel: Storstellenstreuung

(∂

∂tf

)imp

= −vFnimp

∫dΩ~p′σ(ϑ~p,~p′)[f(~p)− f(~p′)]

∣∣∣ε~p=ε~p′

wobei nimp die Storstellendichte ist, σ(ϑ~p,~p′) der Wirkungsquerschnitt fur die Streu-ung an einer einzelnen Storstelle, (wobei der Elektronenimpuls sich von ~p nach ~p′

andert), und die Energieerhaltung ein Resultat der elastischen Streuung ist.

Fur sogenannte S-Wellenstreuung (isotrope Streuung) gilt(∂

∂tf

)s−wellen

imp

= − 1τimp

[f(~p)− 〈f(~p)〉]

τ−1imp = vF nimp

∫dΩ~p′σ(ϑ~p,~p′) 〈. . .〉 =

∫dΩ′p4π

Im homogenen elektrischen Feld:

~v = ~∇p~εp =∆ε∆~p

f(~r, ~p, t) = f0(εp − ~v · ~pdrift)

= f0(εp)− ~v · ~pdrift ·∂f0

∂ε

16

verschobene Fermikugellokales Gleichgewicht

e ~E~v∂f0

∂ε= −vFnimp

∫dΩ~p′σ(θ~p~p′)

[f0(ε~p)− f0(ε~p′)− (~v~p − ~v~p′) · ~pdrift ·

∂f0

∂ε

] ∣∣∣ε~p=ε~p′

= v2Fnimp

∫dΩ~p′σ(θ~p~p′)

[(cos(ϑ~p)− cos(ϑ~p′)

)pdrift

∂f0

∂ε

]

und mit ϑ′′ = ϑ~p − ϑ~p′ erhalten wir cos(ϑ~p) − cos(ϑ~p′) = cos(ϑ~p)(1 − cos(ϑ′′)) −sin(ϑ~p) sin(ϑ′′). Da σ(ϑ~p~p′) = σ(ϑ~p − ϑ~p′) = σ(ϑ′′) = σ(−ϑ′′), konnen wir die Termemin sin weglassen, und erhalten

eEvF cos(ϑ~p) = −v2Fnimp

∫dΩ′′σ(ϑ′′)

(1− cos(ϑ′′)

)cos(ϑ~p)pdrift

pdrift = eEτ trimp (τ tr

imp)−1 = vF · nimp ·

∫dΩpσ(ϑ)(1− cosϑ)

1.5.1 Boltzmann Leitfahigkeit

Aus der Boltzmann-Gleichung lasst sich nun ebenfalls die Leitfahigkeit ableiten.

[∂

∂t+ e ~E ~∇p +

~p

m~∇r

]f(~r, ~p, t) =

(∂f

∂t

)coll

~j(~r, t) = e∑p,σ

v~p

~vp =∂εp∂~p

=~p

m(∂f

∂t

)coll

=

[(∂f

∂t

)imp

]elastisch

+

[(∂f

∂t

)el−ph

+ (∂f

∂t)el−el

]inelastisch

17

(∂

∂tf

)imp

= −vFnimp

∫dΩ~p′σ(ϑ~p,~p′)[f(~p)− f(~p′)]

(S −Wellenstreuung) = − 1τimp

[f(~p)− 〈f(~p)〉]

→ f(~r, ~p, t) = f0(εp − ~v~pdrift) ≈ f0

(εp − ~v~pdrift

∂f0

∂ε

)~pdrift = e ~Eτ tr

imp

1τ trimp

= vF · nimp

∫dΩ~p′σ(ϑ~p,~p′)[1− cos(ϑ~p,~p′)]

1τimp

= vF · nimp

∫dΩ~p′σ(ϑ~p,~p′)

Der Faktor 1− cos(ϑ~p,~p′) wichtet die Ruckstreuung starker.

Mit S-Wellen-Streuung gilt:

1τ trimp

=1

τimp

~j = e∑

~vp

[f0(εp)− ~v~pdrift

∂f0

∂ε

]f0(εp) =

1

eεp−µ

kT + 1

= 2e∫

d3p

(2π~)3~vp(~v~pdrift)

(−∂f

0

∂ε

)= 2e

∫p2

(2π~)3dp

∫dΩ~vp(~v~pdrift)

(−∂f

0

∂ε

)= 2e

∫N(ε)dε

∫dΩ4π~vp(~v~pdrift)

(−∂f

0

∂ε

)= 2e

∫N(ε)dε

(−∂f

0

∂ε

)〈~vp(~v~pdrift)〉

Dabei gilt fur den Anteil∫N(ε)dε

(−∂f0

∂ε

), dass er bei der Fermikante scharf gepeakt ist.

Der Anteil 〈~vp(~v~pdrift)〉 kann folgendermaßen berechnet werden:

〈~vp(~v~pdrift)〉 =14π

∫ π

0sinΘdΘ

∫ 2π

0dϕ ·

vF sinΘ cosϕvF sinΘ sinϕvF cos Θ

vF pdrift cos Θ

18

= v2F ~pdrift

14π

∫ π

0sinΘdΘ

∫ 2π

0dϕ cos2 Θ

=13v2F ~pdrift

~j = 2eN(εF )v2F

3~pdrift

= 2e2N(εF )v2F

3τ trimp

~E = σ ~E

→ σ = 2e2N(εF )D mit D =v2F

3τ trimp

Unabhangig von der Dimension gilt:

σ = ne2τ trimp

1.6 Diffusiver Transport

Wir gehen nun davon aus, dass 1τimp

sehr

groß ist und wissen, dass ~p = e ~E gilt.

Storstellenstreuung tritt sehr haufigauf, andert die Energie aber nicht.

Wir fuhren nun neue Variablen ein und erhalten:

f(~r, ~p, t) = f(~r,E = εp + U(r)︸ ︷︷ ︸Energie

, p︸︷︷︸Richtung des Impulses

, t)

(∂

∂t+

~p

m∇r + ~p∇p

)f(~r,E, p, t) =

(∂

∂t+

~p

m∇r +

~p

m(∇rU)

∂

∂E+ (−∇rU)

∂εp∂~p

∂

∂E

)f(~r,E, p, t)

⇒(∂

∂t+

~p

m∇r

)f(~r,E, p, t) =

(∂f

∂t

)coll

19

(S −Wellen− Streuung) = − 1τimp

[f − 〈f〉

]+

(∂f

∂t

)inel

Fur starke Storstellenstreuung zeigt sich, dass f(~r,E, p, t) annahernd isotrop ist.

Mittels S- und P-Wellen-Entwicklung erhalten wir f(~r,E, p, t) = f0(~r,E, t) + p ~f1(~r,E, t)

1. Mittelung der Boltzmann-Gleichung uber p

〈f〉 = f0

∂

∂tf0

⟨~p

m∇r

(f0 + p ~f1

)⟩︸ ︷︷ ︸

= 13

pFm∇r·~f1

=(∂f0

∂t

)

2. Multiplikation der Boltzmann-Gleichung mit p und anschließende Mittelung

∂

∂t

⟨pp ~f1

⟩︸ ︷︷ ︸

kleiner als Stoßtherm

+⟨p~p

m∇rf0

⟩= − 1

τimp

⟨pp ~f1

⟩+ inelastischerAnteil︸ ︷︷ ︸

klein

13pF

m∇rf0 = −1

31

τimp

~f1

∂

∂tf0 +

13pF

m∇rτimp

pF

m∇rf0 =

(∂f0

∂t

)inel

⇒ ∂

∂tf0 −D∇2

rf0 =(∂f0

∂τ

)inel︸ ︷︷ ︸

Diffusionsgleichung

D =13v2F τimp

Dies fuhrt uns zu einer geschlossenen Gleichung fur den isotropen Anteil.

1.7 Sharvin-Leitwert eines Punktkontaktes

20

Kapitel 2

Landauer-Buttiker-Formulierung/Mesoskopische Streutheorie derLeitfahigkeit

In diesem Kapitel wollen wir uns um den sog. Landauer-Buttiker-Formalismus kummern.Um ein besseres Verstandnis dieses Formalismus zu erhalten, mussen wir uns zuerst in 2.1mit typischen Systemen und den Arten des Transports auseinandersetzen, um dann in 2.2eine einfache Variante eines solchen Systems zu betrachten, namlich einen eindimensio-nalen Leiter zwischen Reservoiren. Mit dem Ubergang zu quasi-eindimensionalen Leiternund dem Konzept von Kanalen in 2.3 und der Betrachtung von Barrieren im Leiter in 2.4kommen wir schließlich zur Formel von Landauer in 2.5.Im Folgenden erweitern wir in 2.6 das Ein-Kanal- auf ein Multi-Kanal-Problem, betrachtenin 2.7 adiabatische Einschnurungen im System und kommen in 2.8 dann zu den Multi-Kontakt-Systemen.Abschließend werfen wir einen Blick auf die S-Matrix fur Streuung (2.9), den teilweisenVerlust der Phasenkoharenz (2.10), Resonantes Tunneln (2.11) sowie S-Matrix mit Wel-lenvektor”missmatch”(2.12) und Adiabatische Barrieren (2.13).

21

2.1 Typische Systeme, Konzepte

Typische Systeme, die wir in diesem Abschnitt betrachten wollen, sind Reservoire imGleichgewicht bei im Allg. verschiedenen elektrochemischen Potentielen. Zwischen diesenReservoiren befindet sich dann das System, das fur uns von Interesse ist.Derartige System sind z.B.

• metallisch

• 2dim. Elektronengas mit lateralerStrukturierung⇒ ψ(~r) = ϕ0(z)ψ(x, y)ϕ0 ist hier der Grundzustand, was diez-Richtung betrifft.

Es gibt verschiedene Arten des Transports in solchen Systemen.Die fur den Transport wichtigen Langenskalen sind hierbei die Ausdehnung des SystemsL, die mittlere freie Weglange Limp, die durch Storstellen bestimmt wird, sowie die Pha-senkoharenzlange Lφ, auf der die Phasenkoharenz, z.B. durch inelastische Streuprozesse,zerstort wird.

ballistischer TransportL < Limp < Lϕ

diffusiv, aber koharentLimp < L < Lϕ

klassischLimp < Lϕ < L

mesoskopisch

• zwischen mikroskopisch und makroskopisch

• Gleichgewicht erst in Reservoiren

22

2.2 Eindimensionaler Leiter zwischen Reservioren

Ein einfaches Beispiel fur den Einstieg bildet das Konzept eines eindimensionalen Lei-ters, der sich zwischen zwei Reservoiren befindet.Die Reservoire unterscheiden sich durch unterschiedliche chemische Potentiale µ1 und µ2;der Leiter hat eine Ausdehnung in y-Richtung von d, wie es in der Abb. dargestellt ist.Die Wellenfunktion des Elektrons wird dann durch folgende Gleichung beschrieben:

φ(~r) = ϕ0(z)χ(y) exp(ikx)

Dabei gilt fur die Bewegung in y-Richtung und deren Energie:

χn(y) = sinπy

dn , En =

~2

2m

(πnd

)2

Die Gesamtenergie des jeweiligen Zustands berechnet sich dann zu:

Enk = E0 + E(y)n +

~2k2

2m

Betrachten wir zunachst nur n=1, also den Grundzustand in y-Richtung.

I = 2e

∑p>0

vpfL(p)−∑p<0

vpfR(p)

, vp =∂εp∂p

= 2e(∫ ∞

0

dp

2π~∂εp∂p

f th

(εp +

eV

2

)−∫ 0

−∞

dp

2π~∂εp∂p

f th

(εp −

eV

2

))

Zur Berechnung des Stromes I fallt hier ein Faktor 2 fur den Spin an sowie die Elektro-nenladung e. Die Differenz der Summen erhalten wir aus der Wahl der x-Richtung, da nurElektronen im Leiter zum Strom beitragen, die entweder von links mit positivem Impulsp > 0 oder von rechts mit negativem Impuls p < 0 kommen.

23

Mit Hilfe folgender Relationen lasst sich das Problem nun weiter vereinfachen.

∫ ∞−∞

dp

2π~. . . =

∫dε N1d(ε) . . . =

12π~

∫dε

(∂ε/∂p). . .

N1d(ε) = 22π~

1∂ε/∂p

I = 2e12

∫dε N1d(ε)vp

[f th

(ε+

eV

2

)− f th

(ε− eV

2

)]︸ ︷︷ ︸

6=0 nur nahe εr

= e1

2π~

∫dε

1∂ε/∂p

∂ε/∂p

[f th

(ε+

eV

2

)− f th

(ε− eV

2

)]

=2eeVh

= 2e2

hV = GV

Der Leitwert G = 2e2

h = 1R ist eine universelle Konstante, die unabhangig vom Material ist.

vergl.: K. v. Klitzing Quanten-Hall-Effekt

RK =h

e2= 25, 8 ........︸ ︷︷ ︸

8Stellen

kΩ

2.3 Quasi-1dimensionaler Leiter

Gehen wir nun von der Betrachtung von n = 1, also einem ”Kanal” im Grundzustand,uber zu einer Betrachtung mehrerer Kanale nF in einem quasi-1dimensionalen Leiter, bei

24

dem jeder Kanal die Eigenschaft

EynF

< εF

hat und bei dem fur jeden Kanal Zustand x Gruppengeschwindigkeit = konstant gilt, sofolgt daraus, dass jeder Kanal gleich viel zum Gesamtleitwert beitragt.

⇒ G =2e2

hnF

2.4 Barrieren im Leiter

Nun wollen wir uns mit dem Problem auseinandersetzen, wenn im Leiter Barrieren auf-treten, wie sie durch Storstellen vorkommen konnen.

25

Wie wir in allen Beispielen sehen, lasst sich immer ein Transmissionskoeffizient/Reflektionskoeffizientfinden, der angibt wie viele Elektronen die Barriere uberwinden/ an ihr reflektiert werden.Fur den 1. Kanal gilt dann:

⇒ G =2e2

hT

Betrachten wir nun viele Kanale, so lasst sich dies wie folgt verallgemeinern:

G =2e2

h

∑i

Ti

Jeder Kanal tragt also wieder bei, nur eben jetzt mit dem jeweiligen Transmissionskoeffi-zient als Gewichtungsfaktor.Das wurde jedoch bedeuten, dass G und R = 1

G auch fur T = 1 endlich sind. Das waredadurch erklarbar, dass man sagt, der Punktkontakt trenne die beiden Reservoire ab.Eine weitere Frage, die sich daraus ergibt, ist die nach dem Ort der auftretenden Dissipa-tion. Diese findet in den Reservoiren statt.

Wie wir im nachsten Abschnitt jedoch sehen werden, postulierte Landauer eine Zweipunkt(2P)-Leitwert wie folgt:

G2P =2e2

h

T

R, R = 1− T

Das wurde jedoch bedeuten, dass bei einer idealen Transmission von T = 1 fur den Leit-wert G→∞ und fur den Widerstand somit 1

G = 0 gilt.

2.5 Die Formel von Landauer

Nun wollen wir uns einen Zugang zur Landauerformel verschaffen.Wir betrachten dazu einen Zweipunktkontakt, jedoch erweitern wir ihn um zwei Span-nungsmesskontakte mit den chemischen Potentialen µL und µR, wie in der Abbildunggezeigt.

Wir gehen nun wieder von der 1-Kanal-Betrachtung aus, fur die Landauer G4P = 2e2

hTR

postuliert.

Der Vorteil an diesem Postulat ist, dass fur T = 1, also ideale Transmission auf demeinen Kanal, G4P =∞ ist.

26

Der Leitwert eines Zweipunktkontaktesohne zusatzliche Spannungsmesskontaktelasst sich zu G2P = I

(µ1−µ2)/e berechnen.

Fuhrt man aber zusatzlich die Span-nungsmesskontakte ein, uber die man denLeitwert dann messen kann, so erhalten wirein 4-Kontakt-System mit einem 4-Kontakt-Leitwert, der sich dann zu G4P = I

(µL−µR)/eberechnen lasst.

Im Weiteren stellen wir nun die Verteilungsfunktionen fur links (fL(ε)) und rechts(fR(ε)) der Storstelle (s. Abb.) auf.Jede der Verteilungsfunktionen hat dabei einen vom Reservoir in den Leiter einlaufenden→ - Anteil und einen vom Leiter zurucklaufenden ← - Anteil.

fL(ε) = fL→ + fL←

fL→ = f th(ε− µ1)fL← = Rf th(ε− µ1) + Tf th(ε− µ2)

fR(ε) = fR→ + fR←

fR→ = Tf th(ε+ µ1) +Rf th(ε− µ2)fR← = f th(ε− µ2)

Als nachstes kummern wir uns um das elektromagnetische Potential. Die Frage ist,was dieses Potentiel uberhaupt ist. Ist es eine Nichtgleichgewichtsverteilung?

Wir sehen, dass µ =∫∞0 dεf(ε) offenbar fur f th(ε) = 1

exp( ε−µkT )+1

stimmt.

Das bedeutet, man muss diese Spannung anlegen, um Kontakt herzustellen.

Nun konnen wir µL und µR sowie deren Differenz berechnen.

µL =12

∫dε(fL→(ω) + fL(ε)

)µL =

12(µ1 +Rµ1 + Tµ2) = 1/2[µ1(1 +R) + µ2(1−R)]

27

µR =12(Tµ1 +Rµ2 + µ2) = 1/2[µ2(1 +R) + µ1(1−R)]

µL − µR =12(µ1 − µ2)[(1 +R)− (1−R)] = R(µ1 − µ2)

Ausgegangen waren wir von G2P = 2e2

h T fur einen Zweipunktkontakt.Das Ergebnis fu einen 4-Punkt-Kontakt, bei dem zusatzlich zwei Spannungsmesskontaktelinks und rechts des Streuers eingebaut werden, zeigt jedoch:

G4P =I

(µL − µR)/e=

I

(µ1 − µ2)/e1R

=2e2

h

T

R

Dies wiederum bestatigt das Postulat von Landauer.

2.6 Multikanalproblem

Was passiert nun, wenn wir das 1-Kanal-Problem von 2.5 auf ein Multi-Kanal-Problemerweitern?Die ersten, die sich mit dieser Frage auseinandersetzten, waren Stone und Szafer.

Wir gehen bei diesem Problem von folgendem Kontaktsystem aus.

Nun stellen wir die Wellenfunktionen der Elektronen fur die Bereiche weit 1, eng und weit2 auf.

weit 1:

ψ(1)(x, y) = ψ(1)in (x, y) + ψ

(1)out(x, y) + ψdecay

28

ψ(1)in (x, y) = χ(1)

n (y) exp iknx , EF = εn +~2k2

n

2m

ψ(1)decay =

∑n′

cn′nχ(1)n′ (y)eknx

ψ(1)out =

∑n′

rn′n(εF )χ(1)n′ (y)e−ikn′x

eng:

ψ(eng)(x, y) = χ(eng)p (y)

[αpe

ikpx + βpe−ikpx

]

EF = εp + ~2k2p

2m enthalt auch imaginare kp = iκp.

weit 2:

ψ(2)(x, y) = ψ(2)out(x, y)

ψ(2)out(x, y) =

∑m

tmnχ(2)m (y)eikmx

Randbedingungen:

ψ(1)(x = 0, y) = 0, wenn gilt y > y2, y < y1

ψ(1)(x = 0, y) = ψ(eng)(x = 0, y) bei yε[y1, y2]

Die Amplituden sind fur diesen Fall stetig. Dasselbe gilt bei x = L.

Dieses Problem ist numerisch losbar. Wir verwenden dazu folgende Verallgemeinerungmit einlaufendem Kanal n und auslaufenden Kanalen m:

Tn =∑m

|tmn|2

G2P =2e2

h

∑n

Tn(εF ) =2e2

h

∑n,m

|tmn|2 =2e2

hSpt†t

29

2.7 Adiabatische Einschnurung

In diesem Abschnitt betrachten wir die Einschnurung des Kanals und die Veranderungen,die damit entstehen.

Mit d/% 1 wird nun die Kanalbreite langsam variiert.

U(x, y) =

0, |y| ≤ d(x)2 ;

∞, sonst.

Das fuhrt uns zu folgender Gleichung:[− ~2

2m(∂2

x + ∂2y

)+ U(x, y)

]ψE(x, y) = EψE(x, y)

Wir wahlen nun als Ansatz:

ψE(x, y) =∑

ψnE(x)χn(y;x)

.

Dabei hangt χn(y;x) parametrisch von x abhangig.

χn(y;x) = sin(nπ

y+d(x)

2d(x)

), n = 1, 2, ... fur Kastenpotential

mit[− ~2

2m∂2y + U(x, y)

]χn(y;x) = Un(x)χn(y;x). Dabei ist Un(x) = ~2

2m

(nπ

d(x)

)2.

Setzen wir ein, erhalten wir:[− ~2

2m

(∂2

x + ∂2y

)+ U(x, y)

]∑n ψnE(x)χn(y;x) = E

∑n ψnE(x)χn(y;x)

30

=[− ~2

2m∂2x + Un(x, y)

]∑n ψnE(x)χn(y;x)

=∑

n χn(y;x)[− ~2

2m∂2x + Un(x, y)

]ψnE(x)+

∑n

(− ~2

2m

) [2 ∂

∂xψn(x) ∂∂xχn(y;x) + ∂2

∂x2χn(y;x)ψnE(x)]

Multiplikation mit χ∗n(y;x) und Integration uber y, liefert uns:

∑n

δnn′

[− ~2

2m∂2

x + Un(x)]ψnE(x) = E

∑n

δnn′ψnE(x)

∑n

λnn′ψnE(x) mit λnn′ = ...

λnn′ beschreibt hierbei die Ubergange n ↔ n′. Fur adiabatische Einschnurung d/% 1ist λnn′ klein.(vergl. Born-Oppenheimer Naherung)

Das verbleibende Problem:[− ~2

2m∂2

x + Un′(x)]ψn′E(x) = Eψn′E(x)

ist eindimensional in einem effektiven Potential:

Un′(x) =~2

2m

(n′π

d(x)

)2

Wie man sieht, gilt: T1 ≈ T2 ≈ 1 und T3 ≈ 0

31

2.8 Multi-Kontakt-SystemMulti-Probe-System

Gehen wir nun zu Multi-Kontakt-Systemen, wie z.B. einem 6-Kontakt-System im Schau-bild.

Fur die Beschreibung eines solchen Systems benotigen wir die Transmissions- und Refle-xionsamplituden fur Ubergange von Kontakt α nach Kontakt β aus Kanal n und Kanal m.

tβ←αm←n ≡ tβα

mn ; rαmn = tαα

mn

Fur den Leitwert interessiert uns dann die Transmissions-Wahrscheinlichkeit Tβα(E) vonα nach β:

Tβα(E) =Nβ∑mεβ

Nα∑nεα

|tβαmn|2 ; Rα =

Nα∑mεα

Nα∑nεα

|rαmn|2 = Tαα

32

Den gesamten Strom Iα berechnen wir uber die Teilstrome iα(E):

iα(E) =2eh

∑β 6=α

[Tβαfα(E)− Tαβfβ(E)]

Iα =∫dE iα(E)

Fur einen linearen Leitwert gilt, dass µα − εF klein ist. Daraus ergibt sich:

fα(E) = fth + (µα − εF )∂fth

∂ε|εF

Nun nutzen wir Symmetrien aus: Im Gleichgewicht gilt fur alle µα:

µα = εF → fα = fβ

⇒ iα = 0 =2eh

∑β 6=α

[Tβα − Tαβ ]fth

∑β 6=α

Tβα =∑β 6=α

Tαβ

⇒ iα(E) =2eh

∑β 6=α

Tαβ [fα(E)− fβ(E)]

⇒ Iα =∫dE

2eh

∑β 6=α

Tαβ(E)[µα − µβ](∂fth

∂ε

)

=2e2

h

∑β 6=α

Tαβ(EF )[µβ − µα]/e

→ Iα =∑β 6=α

Gαβ [µβ − µα]/e mit Gαβ =2e2

hTαβ(EF )

es gilt: Nα =∑

β 6=α Tβα + Pα

Die einlaufenden Kanale musssen irgendwo hin. Buttikers Schreibweise liefert dann:

Iα =2e2

h

∑β 6=α

Tαβ(εF )(µβ − µα)/e

33

=2e2

h(Nα −Rα)

µα

e−∑β 6=α

Tαβ(εF )µβ

e

Mittels Stromerhaltung∑

α Iα = 0 kommen wir zu:∑α

Iα =2eh

[∑α

(Nα −Rα)µα −∑α

∑β 6=α

Tαβµβ︸ ︷︷ ︸Pα

Pβ 6=α Tβαµα

]

=2eh

∑α

[Nα −Rα −∑α 6=β

Tβα︸ ︷︷ ︸wegen Annahme =0

]µα = 0

Es zeigt sich nun, dass das Verschieben aller µα nichts am Strom andert. D.h. man kanneines der µα = εF setzen.

Beispiele:

2-Kontakt-System

I1 = −I2 = I

T12 = T21 = T

N1 = N2 = N3, R1 = R2 = R3

h

2eI = (N −R)µ1 − Tµ2

− h

2eI = (N −R)µ2 − Tµ1

⇒ 2h

2eI = (N −R)(µ1 − µ2) + T (µ1 − µ2)

= (N −R+ T )(µ1 − µ2) = 2T (µ1 − µ2)

⇒ I

(µ1 − µ2)/e=

2ehT = G

0 = (N −R)︸ ︷︷ ︸T

(µ1 + µ2)− T (µ1 + µ2)

⇒ 0 = 0

34

4-Kontakt-System

Zur Vereinfachung:

τ3 = τ4 = τ

symmetrisch

Iα = 0, da nur sehr schwach angekoppelt. τ 1

G4P ≡ I

(µ3 − µ4)/e=?

h

2eI = (N1 −R1)µ1 − T2µ2 − T12µ2 − T13µ3 − T14µ4

− h

2eI = (N2 −R2)µ2 . . .

⇒ G4P =h

2eT

R

0 = (N3 −R3)µ3 . . .

0 = (N4 −R4)µ4 . . .

⇒ µ3 − µ4 = (µ2 − µ1)T13 − T23

T13 + T23= 2R(µ2 − µ1)

Abschatzung:

T12 = T21 = T

T13 = τT = T31

T14 = τ(1 +R) = . . .

T34 ∝ τ2 wird hierbei vernachlassigt.

35

2.9 S-Matrix fur Streuung

In den vorangegangenen Abschnitten haben wir die Auswirkungen moglicher Storstellenoder Streuer durch die Einfuhrung der Transmissionswahrscheinlichkeit in unsere Konzepteeinbinden konnen. Doch wie konnen wir nun solche Streuvorgange fur ganze mesoskopischeModelle beschreiben?Da es sich hier um ganze Systeme von Streuern handelt, konnen wir diese mit Matrizenbeschreiben. Das mesoskopische System kann somit durch eine sog Streumatrix, oder kurkS-Matrix, dargestellt werden.Im Folgenden wollen wir uns nun um die Eigenschaften solcher Steeumatrizen kummern.

ψinL =

NL∑n=1

aneiknxχn(y)

χn(y) beschreibt die Variation der Kompo-nenete

ψoutL =

NL∑n=1

bne−iknxχn(x)

ψinR =

NR∑n′=1

a′n′e−ikn′xχn′(y)

Das Minuszeichen im Exponenten derExponentialfunktion bedeutet ”nach links”.

ψoutR =

NR∑n′=1

b′n′e−ikn′xχn′(y)

Die Anzahl der einfallenden und die der ausfallenden Komponenten ist gleich. Dadurcherhalten wir die S-Matrix.

b1...

bNL

b′1...

b′NR

=

S11 S12 . . . S1 NL+1 . . . S1 NL+NR

...SNL 1 . . . SNL NL

...

...SNL+NR 1 SNL+NR NL+NR

a1...

aNL

a′1...

a′NR

36

~b = S~a a′i = aNL+i ; b′i = bNL+i

(ψout

L

ψoutR

)= S

(ψin

L

ψinR

)

S =

r11 . . . r1 NLt′11 . . . t′1 NR

...rNR 1 . . . rNR NR

t11 t1 NLr′11 r′1 NR

......

tNR 1 tNR NLr′NR 1 r′NR NR

Verallgemeinerung:

Sij ↔ tβn′,mn ; rα,n1 = t

βn′ ist der ”lead index” und mn ist der ”channel index”.

Nun wollen wir die Unitaritat der S-Matrix zeigen:

a) Stromerhaltung:

j =1mRe[~ψ∗(−i~~∇)~ψ

]Jede Mode tragt einen Strom |an|2 · ~km

mPα Nα∑

n=1

|an|2 ·~km

m=

Pα Nα∑

n=1

|bn|2 ·~km

m

tneumn = talt

mn ·km

kn

〈ψout|ψout〉 = 〈ψin|ψin〉 = 〈ψin|S†S|ψin〉 = 1

⇒ S†S = 1 = SS† Unitaritat der S-Matrix

37

b) Zeitumkehrsymmetrie:ψout = S ψin

→ ψin∗ = Sψout∗ = SS∗ψin∗

tβα;mn = tαβ;nm

SS† = 1 ;SS∗ = 1 ⇒ S = ST

Im Magnetfeld gilt dann:

S( ~B) = ST (− ~B) ; tβα;mn( ~B) = tαβ;nm(− ~B) ⇒ Gαβ( ~B) = Gβα(− ~B)

siehe dazu auch Datta 3.1.7.

Rechnen wir nun als Beispiel den 1-Kanal-Fall.

S =(r t′

t r′

)t = |t|eiτ t′ = |t′|eiτ ′

r = |r|ei% r′ = |r′|ei%′

Unitaritat:

S†S =(r∗ t∗

t′∗ r′∗

)(r t′

t r′

)=(|r|2 + |t|2 r∗t′ + t∗r′

t′∗r + r′∗t |t′|2 + |r′|2)

=(

1 00 1

)

|r|2 + |t|2 = 1 = |t′|2 + |r′|2 ; r∗t′ + t∗r′ = 0 ⇒ |r||t′| = |t||r′|

−%+ τ ′ = −τ + %′ + π mod (2π)

SS† =(r t′

t r′

)(r∗ t∗

t′∗ r′∗

)=(|r|2 + |t′|2 rt∗ + t′r′∗

tr∗ + r′t∗ |r′|2 + |t|2)

=(

1 00 1

)

|r|2 + |t′|2 = 1 ; rt∗ + t′r′∗ = 0 ⇒ |r|2 = |r′|2 ; |t|2 = |t′|2

%− τ = τ ′ − %′ + π mod (2π)

freie Parameter: τ, %, %′, |t|(=√

1− |r|2)

Def.: ∆ = rr′ − tt′

S =(|r|ei% −|t|ei(%+%′)−iτ

|t|eiτ |r|ei%′)

= ei%+%′

2

(|r|ei

%−%′2 −t∗ei

%+%′2

te−i %+%′2 |r|e−i %−%′

2

)

38

S = eiϕ(r −t∗t r∗

)Dieses Beispiel liefert uns somit die Streumatrix im 1-Kanal-Fall.

2.9.1 Reihenschaltung

Mochten wir nun komplexere Systeme untersuchen, ist es sinnvoll diese Systeme in Unter-systeme aufzuteilen, deren S-Matrizen wir einfach aufstellen konnen. Die dabei entstehendeFrage ist, wie sich diese Untersysteme wieder zu einem Hauptsystem zusammensetzen las-sen.Wir betrachten dazu die Reihenschaltung solcher S-Matrizen.

S12 =?

Fur einen Steuer lasst sich das System durch ψR und ψL ausdrucken.

ψout = Sψin

(ψout

L

ψoutR

)= S

(ψin

L

ψinR

)ψR = MψL

ψoutL = rψin

L + t′ψinR

ψoutR = tψin

L + r′ψinR

1)t′ψout

R − r′ψoutL = tt′ψin

L − rr′ψinL

ψoutR =

tt′ − rr′

t′ψin

L +r′

t′ψout

L

39

2)

ψinR = − r

t′ψin

L +1t′ψout

L

(ψout

R

ψinR

)=(

tt′−rr′

t′r′

t′

− rt′

1t′

)︸ ︷︷ ︸

M

(ψin

L

ψoutL

)

M12 = M2

(eikx0 0

0 e−ikx0

)M1

Hier fuhrt nur langwieriges Ausmultiplizieren zur Losung fur S12.

Es gibt aber auch die Moglichkeit einer schnelleren Losung:

r12 = r1 + at′1

t12 = beikx0t2

b = t1 + ar′1

aeikx0 = beikx0 · r2⇒ a = be2ikx0r2

b(1− r′1r2e2ikx0

)= t1

⇒ b =t1

1− r′1r2e2ikx0

⇒ a =t1r2e

2ikx0

1− r′1r2e2ikx0

t12 =t1t2e

ikx0

1− r′1r2e2ikx0

r12 = r1 +t1t′1r2e

2ikx0

1− r′1r2e2ikx0

40

Nun wollen wir das Ergebnis noch geometrisch interpretieren:

11− r′1r2e2ikx0

=∞∑

n=0

(r′1r2e

2ikx0

)n

T12 = |t12|2 = T1T2

1+R1R2−2√

R1R2 cos ϑϑ = 2ikx0 + arg(r′1r2)︸ ︷︷ ︸

ρ′1+ρ2

R12 = |r12|2 = 1− T12

T12

R12=

T1T2

1− T1T2 +R1R2 − 2√R1R2 cosϑ

=T1T2

R1 +R2 − 2√R1R2 cosϑ

4-Probe:

G12,4P =2e2

h· T12

R12

G−112,4P =

h

2e2· R1 +R2 − 2

√R1R2 cosϑ

T1T2

2-Probe:

G−112,2P =

h

2e2· 1 +R1 +R2 − 2

√R1R2 cosϑ

T1T2

41

Ein Vergleich mit der klassischen Addition von Widerstanden fuhrt zu folgendem Ergebnis:

G−112,cl =

h

2e2

(R1

T1+R2

T2

)=

h

2e2R1 +R2 − 2R1R2

T1T2=

h

2e2R12,cl

T12,clmit T12,cl =

T1T2

1−R1R2

Der Ansatz dafur lautet:

S1 =(R1 T1

T1 R1

)S2 =

(R2 T2

T2 R2

)Hierbei gehen die Phasen verloren, die bei der 2-Punkt-Rechnung erhalten blieben.

T12,cl =T1T2

1−R1R2

R12,cl = R1 +T1R2T1

1−R1R2=R1 −R2

1R2 + T 21R2

1−R1R2=

=R1 +R2 − 2R1R2 +R2

1R2 −R21R2

1−R1R2=R1 +R2 − 2R1R2

1−R1R2

R12,cl + T12,cl =T1T2 +R1 +R2 − 2R1R2

1−R1R2=

1−R1 −R2 +R1R2 +R1 +R2 − 2R1R2

1−R1R2= 1

G−112,cl =

h

2e2R12,cl

T12,cl=

h

2e2R1 +R2 − 2R1R2

T1T2=

h

2e2

(R1

T1+R2

T2

)

G−112,cl,2P =

h

2e21

T12,cl=

h

2e21−R1R2

T1T2=

h

2e2

(1T1

+1T2− 1)

Man sieht hier, dass die klassische Addition nicht zum selben Ergebnis fuhrt wie die me-soskopische Addition.

42

2.9.2 Multichannel S-Matrix

Als nachstes mussen wir unser System erweitern auf ein Viel-Kanal-Problem, wie es in derAbbildung angedeutet wird.

aout1...

aoutn

aoutn+1...

aoutn+m

= S1 ·

ain1...ain

n

ainn+1...

ainn+m

bout1...boutn′

boutn′+1...

boutn′+m′

= S2 ·

bin1...binn′binn′+1

...binn′+m′

binn′+i = eiφaoutn+i i = 1 . . .m

ainn+i = eiφ

′boutn′+i

bin = P · aout

ain = P ′ · boutbin = P · aout

S1 ⊗ S2

Als nachstes muss nun nach a aufgelost und eliminiert werden:

aoutn+1 . . . a

outn+n bout

n′+1 . . . boutn′+n′

ainn+1 . . . a

inn+n binn′+1 . . . b

inn′+n′

S1[n,m] =(r1 t′1t1 r′1

)S2[n′,m] =

(r2 t′2t2 r′2

)43

Somit erhalten wir dann wieder:

t12 = t2[1− r′1P ′r2P

]−1 · t1

r12 = r1 + t′1P′r2P

[1− r′1P ′r2P

]−1 · t1

2.10 Teilweiser Verlust der Phasenkoharenz

Dieser Abschnitt beschaftigt sich mit der Phasenkoharenz und ihrem Verlust. Wir gehendabei von folgendem Schaubild aus.S

cout1

cout2

cout3

cout4

=

0

√1− ε 0 −

√ε√

1− ε 0 −√ε 0√

ε 0√

1− ε 00

√ε 0

√1− ε

cin1cin2cin3cin4

Buttiker 1988 SS∗ = 1 (unitar)

44

Phasen zwischen S1,2 und S: eiϕ2

t12 = t2ei ϕ2

√1− ε ei

ϕ2

t1

1− r1′eiϕ2√

1− ε eiϕ2 r2e

i ϕ2√

1− ε eiϕ2

=t2e

iϕ√

1− ε1− r′1r2

√1− ε e2iϕ

· t1

t13 =eiϕ√ε

1− r′1r2√

1− ε e2iϕ· t1

t14 =√εr2√

1− ε e32iϕ

1− r′1r2√

1− ε e2iϕ· t1

t23 =√εr′1√

1− ε eiϕ

1− r′1r2√

1− ε e2iϕ· t′2

t24 =eiϕ√ε

1− r′1r2√

1− ε e2iϕ· t′2

T12 = T1T2(1−ε)|Z|2

|Z|2 = |1− r′1r2√

1− ε e2iϕ|2 = 1 +R1R2(1− ε)2 − 2√R1R2(1− ε) cos(2ϕ+ %′1 + %2)

Tp1 = Tp1 = |t13|2 + |t14|2 = 1|Z|2 (εT1 + ε(1− ε)R2T1) = T1

|Z|2 ε[1 +R2(1− ε)]

Tp2 = Tp2 = |t23|2 + |t24|2 = 1|Z|2 (εT2 + ε(1− ε)R1T2) = T2

|Z|2 ε[1 +R1(1− ε)]

Ip = 2e2

h [Tp1(Vp − V1) + Tp2(Vp − V2)] = 0

Vp = V1Tp1+V2Tp2

Tp1+Tp2

I1 =2e2

h[T1p(V1 − Vp) + T12(V1 − V2)] =

=2e2

h

[T1p

(V1 −

V1Tp1 + V2Tp2

Tp1 + Tp2

)+ T12(V1 − V2)

]=

=2e2

h(V1 − V2)

[T12 +

T1pT2p

T1p + T2p

]

45

G12,2P =2e2

h

[T12 +

T1pT2p

T1p + T2p

]

=2e2

h

T1T2

|Z|2

[(1− ε) + ε

[1 +R1(1− ε)][1 +R2(1− ε)]T1[1 +R2(1− ε)] + T2[1 +R1(1− ε)]

]

Schließlich liefern uns Grenwertbetrachtungen fur ε:

Limes ε = 0:

G12,2P =2e2

h

T1T2

1 +R1R2 − 2√R1R2 cosϑ

koharent

Limes ε = 1:

|Z| = 1, T12 = 0, Tp1 = T1 , Tp2 = T2

G12,2P =2e2

h

T1T2

T1 + T2↔ G−1

12,2P =h

2e2

(1T1

+1T2

)inkoharente Addition

Zerstorung der Phasenkoharenz:

G−1(L > lϕ) = LlϕG−1(lϕ)

G(L < lϕ): phasenkoharent (Amplituden sind quantenmechanisch)

G(L > lϕ): Zerteile Draht in Segmente der Lange lϕ → G−1(lϕ)

46

2.11 Resonantes Tunneln

Haben wir in unserem mesoskopischen System eine Doppelbarriere, wie sie z.B. beiGaAs/AlGaAs/GaAs-Trilayern als dunne Schichten vorkommen, so treten Effekte wieresonantes Tunneln auf. Waren beide Barrieren nicht im Bereich von mesoskopischenLangen, konnte man sagen, dass man laut dem Ohmschen Gesetz einfach die doppelteSpannung brauchte um dieselbe Ladung zu erhalten, im Vergleich zu einem System mitnur einer Barriere. Es zeigt sich im mesoskopischen Bereich jedoch, dass Abmessungen derSchichten von Bruchteilen der deBroglie-Wellenlange zu anderen Strom-Spannungscharakteristikenfuhren.Resonantes Tunneln geht aus dem Wellencharakter der Elektronen hervor, welcher Ener-giequantisierung in beschrankten Systemen ermoglicht.

In diesem Fall liegenkleine Transmissions-wahrscheinlichkeiten vor:Tunneln von Teilchen;T1, T2 1

T12 =T1T2

1 +R1R2 − 2√R1R2 cosϑ

ϑ = ϑ(E) = 2kx0 + ρ′1 + ρ2

Ek =~k2

2m⇒ k =

√2mEk

~

Fur cosϑ = 1 wird T12 maximal.

Der Einfachheit halber nehmen wir an:

1. ρ′1 = ρ2 = 0

2. T1, T2 unabhangig von E (große Hohe der Barriere)

47

Es existieren Energien E = Ek, bei denen cosϑ(Ek) = 1.

2x0

√2mEk

~= n · 2π ⇔ kn =

nπ

x0quasigebundene Zustande, Resonanzen

In der Nahe von En entwickeln wir

ϑ(E) =2x0

√2mE

~√E −

√En =

√(E − En) + En −

√En =

12E − En√

En+ . . .

Der Kosinus wird um die Resonanzenergie entwickelt:

cosϑ(E) = 1− 12[ϑ(E)− ϑ(En)]2 =

= 1− 12

(x0

~√

2mE − En√

En

)2

=

= 1− mx20

~2

(E − En)2

En

1 +R1R2 − 2√R1R2 = 1 + (1− T1)(1− T2)− 2

√(1− T1)(1− T2) =

= 1 + 1− T1 − T2 + T1T2 − 2(

1− T1

2− T 2

1

8

)(1− T2

2− T 2

2

8

)=

= 2− T1 − T2 + T1T2 − 2 + T1 + T2 +T 2

1

4+T 2

2

4− T1T2

2=

=(T1 + T2)2

4

⇒ T12(E) =T1T2

(T1+T2)2

4 + 2x20m

~2 · (E−E2n)2

En

48

Durch Umschreiben erhalten wir schließlich:

T12(E) =4T1T2

(T1 + T2)2· 1

1 + 8x20m

~2 · (E−E2n)2

En(T1+T2)2

Breit-Wigner-Form:

T12(E) =4T1T2

(T1 + T2)2·

14Γ2

n14Γ2

n + (E − En)2

Γ2n =

(T1 + T2)2 · En~2

2x20m

Γn = Γ1 + Γ2

Γ1,2 = T1,2 ·~x0·√EN

2m= T1,2 ·

~x0· ϑn

2

Γ1,2

~ = Rate = Entwicklungswahrscheinlichkeit︸ ︷︷ ︸=T1,2·ϑn

x ′′Attempt′′frequenz︸ ︷︷ ︸ϑn=

ϑ12x0

T12(E) =4T1T2

(T1 + T2)2= 1

fur T1 = T2,

obwohl T1, T2 1

Dieses Phanomen ist in Quantenpunkten beobachtbar.

49

2.12 S-Matrix mit Wellenvektor”mismatch”

(− ~2

2m∂2

x

)ψL = EψL(

− ~2

2m∂2

x + U0

)ψR = EψR

ψL(x) = eikx + r′e−ikx

ψR(x) = t′eik′x

Randbedingungen:

ψL(x→ 0−) = ψR(x→ 0+)ψ′L(x→ 0−) = ψ′R(x→ 0+)

1 + r2 = t′ r′ =k − k′

k + k′⇒

ik(1− r′) = ik′t′ t′ =2k

k + k′

|r′|2 + |t′|2 =(k − k′)2 + 4k2

(k + k′)26= 1

50

Mit r = r′

t =

√k′

k· t′

|r|2 + |t|2 = |r′|2 +k′

k|t′|2 =

(k − k′)2 + 4k′k(k + k′)2

= 1

S-Matrix muss aus r,t gebildet werden oder allgemeiner:

rmn =√km

knr′mn

tn′n =√k′nknt′n′n

Die Unitaritat der S-Matrix bewirkt Stromerhaltung.

G =2e2

h· tr(t†t)

2.13 Adiabatische Barrieren

Im letzten Abschnitt dieses Kapitels beschaftigen wir uns nun mit allgemeinen Barrierenund bedienen uns dazu des Konzepts der adiabatischen Barrieren.

Ti = 0, 1

T (E) = Min Ti(E)

51

Die großte Barriere bestimmt T

⇒ G−112 = G−1

max

G−14P =

h

2e2g−1

g−1 =R1 +R2 − 2

√R1R2 cosϑ

T1T2Phasen sollen zufallig sein

⇒ Mittelwert 〈g−112 〉 =

R1 +R2

T1T26= g−1

ohm =R1

T1+R1

T1

(nur fur Ri 1 gilt 〈g−112 〉 ≈ g

−1ohm)

Es lassen sich nun verschiedenste Systeme mit Hilfe der Serienschaltung von Barrierendarstellen:

⇒ Rekursionsformel:

〈g−1n+1〉 =

R1...n +Rn+1

T1...n · Tn+1

Ri 1 〈g−1n+1〉 = 〈g−1

n 〉1

T1...n+Rn+1

T1...n=

= 〈g−1n 〉

11−Rn+1

+Rn+1

T1...n

d

dn〈g−1

n 〉 = 〈g−1n 〉R+

R

T1...n=

= R

[〈g−1

n 〉+1− T1...n + T1...n

T1...n

]=

= R[2〈g−1

n 〉+ 1]

〈g−1n 〉 =

12(e2Rn − 1

)Rn 1 Rn & 1

52

2.14 Ubungsaufgaben

1. Ubung zur Spezialvorlesung NanoelektronikUniversitat Karlsruhe WS 2006/07

Prof. Dr. Gerd Schon— Priv.Doz. Dr. Matthias Eschrig

www-tfp.physik.uni-karlsruhe.de/Lehre/

Aufgabe 1 (7 Punkte)

Vierkontaktmessung:

Wir betrachten eine Anordnung wie in ne-benstehender Abbildung, bei der zwei Strom-kontakte 1 und 2 und zwei Spannungskon-takte 3 und 4 vorhanden sind. Zwischen denSpannungskontakten existiert ein Streuer mitTransmissionswahrscheinlichkeit T .Die Spannungskontakte fuhren keinen Strom, I3 = I4 = 0 (das wird durch entspre-chende Potentiale µ3 und µ4 erreicht), erzeugen aber auch nur wenig Nichtgleich-gewicht. Dies wird durch eine schwache Ankopplung τ 1 erreicht. Im folgendenwollen wir deshalb alle Terme nur bis in lineare Ordnung in τ berechnen.

1. Wir betrachten der Einfachheit halber den symmetrischen Fall. Bestimmen Siezunachst die Transmissionskoeffizienten T12, T34 = T43, T13 = T31 = T24 = T42

und T14 = T41 = T23 = T32 als Funktion von T und τ . Welche Terme konnenvernachlassigt werden?

2. Schreiben Sie die vier Gleichungen fur die Strome durch die Kontakte 1 bis4 in der Buttikerschen Multi-Kontakt-Formulierung als Funktionen der vierPotentiale µ1 bis µ4 auf. (Verwenden Sie dabei die Symmetrien aus (a), z.B.N1 = N2, N3 = N4 usw.)

3. Addieren und subtrahieren Sie die beiden Gleichungen, die den Strom I = I1 =−I2 enthalten, sowie die beiden restlichen Gleichungen. Zeigen Sie, dass dieWahl µ1 = −µ2, µ3 = −µ4 zwei der vier Gleichungen lost.

4. Zeigen Sie, dass die Beziehung (µ3 − µ4) = R(µ2 − µ1) gilt.

5. Drucken Sie den Strom I von 1 nach 2 durch (µ3−µ4) aus und vernachlassigenSie dabei alle Terme hoherer Ordnung in τ . Berechnen Sie G−1

4p = (µ4−µ3)/eI.

6. Wiederholen Sie die Rechnung fur den Fall von nur 2 Kontakten (ohne Span-nungskontakte), und berechnen Sie den Zweipunktwiderstand G−1

2p = (µ2 −µ1)/eI.

7. Vergleichen Sie (e) mit (f) und interpretieren Sie das Ergebnis von (d).

(Als schwierigere Zusatzaufgabe konnen interessierte Studenten die Aufgabe ohnedie Bedingung τ 1 zu losen versuchen.)

53

Aufgabe 2 (5 Punkte)

Metallischer Ring zwischen zwei Kontakten:

Wir betrachten einen Ring mit einer Modewie in der nebenstehenden Abbildung zu se-hen. Die 3-Terminal-Kontakte A und B seiendurch eine S-Matrix der Form c

√ε√ε√

ε a b√ε b a

(2.1)

mit reellen Koeffizienten a, b, c und ε be-schrieben.

1. (2 Punkte)Zeigen Sie, dass die Unitaritat der S-Matrix die folgenden Beziehungen erfor-dert: c = ±

√1− 2ε, a = (1 − c)/2 und b = (1 + c)/2. Somit ist die gesamte

S-Matrix durch den einen Parameter ε festgelegt, der die Kopplungsstarke deraußeren Drahte an den Ring bestimmt, und 0 ≤ ε ≤ 0.5 erfullt.

2. (3 Punkte)Kombinieren Sie die beiden S-Matrizen der Kontakte A und B sowie die Pro-pagation entlang des Rings und zeigen Sie, dass die Transmissionswahrschein-lichkeit von dem linken Draht zum rechten Draht durch

T =4ε2

1− 2(1− 2ε) cos(2θ) + (1− 2ε)2(2.2)

bestimmt ist, wobei θ die Phase entlang eines der Ringarme von A nach Bist (die Phase fur beide Ringarme sei identisch): θ =

√2mE(πr/~), mit dem

Radius r des Rings. Zeichnen Sie die Transmission als Funktion der Energie imBereich 0 < E < 0.5 meV fur ε = 0.025 und r = 1000 A.

54

Kapitel 3

Quanten-Hall-Effekt

In diesem Kapitel wollen wir uns mit dem Quanten-Hall-Effekt beschaftigen. Beginnenwerden wir mit dem klassischen Hall-Effekt und seinen Eigenschaften. Uber die Betrach-tung der Landau-Niveaus kommen wir schließlich zum Quanten-Hall-Effekt (QHE), dereine Quantisierung des Hall-Widerstandes beschreibt. Obwohl er schon fruher beobachtetworden war, konnte erst Klaus von Klitzing ihn 1980 im Hochfeldmagnetlabor in Grenoblerichtig interpretieren.Als Nachstes werden wir uns mit der Betrachtung der Randkanale beschaftigen, um schließ-lich noch kurz auf den Fraktionalen Quanten-Hall-Effekt einzugehen.

55

3.1 Klassischer Hall-Effekt

Legende:1 Elektronen2 Hallelement oder Hallsonde3 Magneten4 Magnetfeld5 Spannungsquelle

In Zeichnung A nimmt die Hall-Sondean der Oberseite eine negative Ladung an(symbolisiert durch die blaue Farbe) undeine positive Ladung an der Unterseite(rote Farbe). In den Zeichnungen B und Csind das elektrische, bzw. magnetische Feldumgekehrt, so dass die Ladungspolarisationgespiegelt ist. In der Zeichnung D sindbeide Felder umgekehrt, so dass sich wiederdie gleiche Polarisation wie in Zeichnung Aeinstellt.(Quelle: Wikipedia)

Wie aus der Elektrodynamik bekannt ist, erfahren Elektronen im Magnetfeld eine Kraft.Diese Kraft nennt sich Lorentzkraft ~FB, die die Elektronen auf eine Kreisbahn zwingt.

~FB = q~v

c× ~B q = −|e|

56

Durch Gleichsetzen der Zentrifugalkraft mit der Lorentzkraft erhalten wir dann den Radi-us der Kreisbahn, den sog. Zyklotron-Radius und wir konnen auf die magnetische Langelc schließen.

mrϕ2 = |q rϕcB| ⇒ ϕ =

|e|Bmc≡ ωc︸ ︷︷ ︸

Zyklotonfrequenz

E =12mr2ϕ2 → r =

√2Emω2

c

E = EF =m

2v2F ⇒ r =

vF

ωc= lcycl︸ ︷︷ ︸

Zykloton−Radius

E =~ωc

2r =

√~

mωc=

√~c|e|B

= lc︸ ︷︷ ︸magnetische Lange

Hall-Geometrie:

Im Fall der Hallsonde werden die Elektronen durch das senkrecht zum Strom verlaufendeMagnetfeld abgelenkt, wodurch sie sich an einer Seite (in der nachfolgenden Abbildung ander Unterseite) konzentrieren. Dadurch bildet sich jedoch ein elektrisches Feld aus, dassder Ablenkung durch das Magnetfeld entgegenwirkt. Es entsteht ein Gleichgewichtszu-stand zwischen elektrischer und Lorentz-Kraft, wodurch keine weiteren Elektronen mehrabgelenkt werden. Nun kann man zwischen Ober- und Unterseite der Hall-Sonde eineSpannung abgreifen, die sog. Hall-Spannung.

57

~Fe = q ~E

Stationarer Fall:

~Fe + ~FB = 0

~I = q · n3d · ~v · w · d

n3d ist Ladungstragerdichte

n2d = n3d · d

⇒ ~E = −~vc× ~B Ey =

vx

cBz

VH = Ey · w

=vx

cBz · w =

I

cqn3ddwBw

=I

qn2dcB (Hallspannung)

RH =VH

I=

B

qn2dc(Hall −Widerstand)

Im 3-Dimensionalen gilt:

R = ρ3d · Lwd

Im 2-Dimensionalen gilt:

R = ρ2d · Lw

Square:

L = w R = ρ2d (resistance per square)unabhangig von der Geometrie und den Materialeigenschaften

58

Spezifischer Widerstands- und Leitfahigkeitstensor:

Aus dem in Kapitel beschriebenen Drude-Modell erhalten wir:

~j = q · n2d · ~vd (2− dimensional)

m~vd +m~vd

τ= q

(~E +

~vd

c× ~B

)

Nun suchen wir die stationare Losung. ~vd =?

m

τ~vd − q

~vd

c× ~B = q ~E

Dabei lassen wir nur Bewegung nur in der x-y-Ebene zu:

~B = Bez ~vd =(vx

vy

)~E =

(Ex

Ey

)

(mqτ −B

cBc

mqτ

)(vx

vy

)=(Ex

Ey

)

(Ex

Ey

)=(ρxx ρxy

ρyx ρyy

)(jxjy

)~E = ˆρ~j

⇒ ρxx = ρyy =m

qτ

1nq

=m

nq2τ=

1σ0

(Drude−Modell)

−ρxy = ρyx =B

cnq= ρ2d

H =qB

cm

m

q2nττ =

1σ0ωcτ

ρ =1σ0

(1 ωcτ−ωcτ 1

)Inversion ~j = σ ~E Leitf ahigkeitstensor

59

σ = ρ−1 =1

ρ2xx + ρ2

xy

(ρyy −ρyx

−ρxy ρxx

)=

σ0

1 + (ωcτ)2

(1 −ωcτωcτ 1

)ρxx = 0 ↔ σxx fur ρxy 6= 0

Somit erhalten wir den Tensor des spezifischen Widerstands und den der Leitfahigkeit.

3.2 Landau-Niveaus

Die sog. Landau-Niveaus beschreiben die Energie-Quantelung geladener Teilchen, die sichin homogenen Magnetfeldern bewegen.

Der Hamiltonian dieser geladenen Teilchen ist:

H =1

2m

(~p− q

c~A)2

+ V (y)

Wir wahlen nun folgende Eichung und passen den Hamiltonian an:

~A = (−By, 0, 0)

~B = rot ~A

H =1

2m

(~p− q

c~A)2

+ V (y)

=1

2m

[(~i

∂

∂x+q

cBy

)2

+ ~2 ∂2

∂y2

]+ V (y)

60

Um dieses Problem zu losen, wahlen wir den Ansatz:

ψn,k(x, y) = χn,k(y)eikx

Enk = Hψ

⇒ Enkχnk(y) =[

12m

[(~k +

q

cBy

)2+

~2∂2

∂y2

]+ V (y)

]χnk(y)

bulk : V (y) = 0q = −|e|

yk =~kc

|e|B= l2ck

⇒[

12m

p2y +

m

2ω2

c (y − yk)2]χnk(y) = Enkχnk(y)

⇒ Enk = ~ωc

(n+

12

)n = 0, 1, 2, . . .

χnk(y) = Un(y − yk)

Un(y) = e−mωc~·2 y2 ·Hn

(√mωc

~y

)︸ ︷︷ ︸Hermite Polynome

Das Ergebnis zeigt uns, dass die Energieniveaus gequantelt sind. Dies verdeutlicht dasfolgende Schaubild.

Man sieht, dass die Niveaus unabhangig von k sind. D.h. es liegt eine Entartung vor. Esgibt also eine Zahl M der erlaubten Werte von k.

61

Berucksichtigen wir die Rander bei ±w2 und nehmen periodische Randbedingungen in

x-Richtung fur Lx an, so erhalten wir nur fur |yk| . w2 konsistente Losungen.

yk =~c|e|B

k → kmax =|e|B~c

w

2

k =2πLxnk nk = 0,±1,±2, . . .

|nk|max =Lx

2πkmax =

Lx

2π· w

2· |e|B

~c=FB

2hc|e|

M = Entartung = Zahl der erlaubten Werte von k

M = 2|nk|max BF = Φ = magnetischer F luss durch die Probe

M =FBhc|e|

=ΦΦ0

Φ0 =~c|e|

Flussquant

= Zahl der F lussquanten durch die Probe

62

Die Berucksichtigung der Rander, zeigt uns einen interessanten Effekt.Am Rand haben wir ein zusatzliches V = ∞. Dieses fuhrt zu einer Einschnurung desPotentials.Die Folge ist die Erhohung der Energie, welche uns die Bander am Rand nach oben ver-biegt, so wie es in der folgenden Abbildung zu sehen ist.

63

3.3 Quantenhalleffekt

Dieser Abschnitt fuhrt uns nun zum eigentlichen Punkt dieses Kapitels, dem Quanten-Hall-Effekt. Prinzipiell geht der Quanten-Hall-Effekt kontinuierlich aus dem klassischenHall-Effekt hervor, wenn die Temperatur abgesenkt und/oder Proben mit hoherer La-dungstragerbeweglichkeit untersucht werden. Abhangig von diesen Parametern tritt derQuanten-Hall-Effekt ab einer bestimmten Magnetfeldamplitude auf.

• a) (Zu) einfaches Bild

Angenommen wirkonnten EF unabhangigvon allen anderen variie-ren.

ν =N

M= Fullfaktor

RH =B

n2d|e|c=

BF

n2d|e|c=

ΦN |e|c

=

=ΦΦ0

N |e|2c

hc

=M

N

h

|e|2=

1ν

h

|e|2

N =∫ EF

0 N(E)dE

Betrachte EF als festund variiere B

Hallleitfahigkeit

σxy =1ρxy

=e2

hi

i = 1, 2, 3, ...

64

Im Gegensatz zum herkommlichen Hall-Effekt gibt es beim Quanten-Hall-EffektBereiche, in denen der Hall-Widerstand unabhangig gegenuber Anderungen desMagnetfeldes oder der Ladungstragerdichte ist. So steigt der Hall-Widerstand mitstarker werdendem Magnetfeld nicht linear an wie beim Hall-Effekt, sondern es fin-den sich Intervalle in der Starke des Magnetfeldes, in denen er konstant bleibt.Wie wir sehen treten diese Plateaus in σxy immer bei Vielfachen von e

h2 , und zwarganzzahligen Vielfachen.

e

h2=

125, 812807572 kΩ

≡ 1RC

(von Klitzing)

RC wird von-Klitzing-Konstante genannt.Fur seine Arbeiten zum Quanten-Hall-Effekt erhielt Klaus von Klitzing 1985 denPhysik-Nobelpreis.

• b) Kritik und Diskussion

1. Im Experiment konnen wir nicht EF unabhangig festhalten, sondern N ist fest.Ein Teil i der Landau-Niveaus ist also ganz gefullt, das oberste x ist partiellgefullt.

i ·M + x = N

Wenn wir N variieren, muss EF springen.Bei festem N und variierendem B springt EF jedoch auch, was bedeutet, dasswir die Quantisierung nicht mehr verstehen.

2. Die Stufen (mit endlicher Breite) in ρxy liegen bei Maxima von ρxy.Lage: Dort, wo EF = ~ωc

(n+ 1

2

), d.h. N(E) ein Maximum hat.

3. Ursrung von Maxima in ρxx ?Wenn N(E) ein Maximum hat, ist sowohl σxx = 2e2NεFD als auch ρxx = m

ne2τmaximal.

65

Es gilt, dass ρxx besonders groß ist.

1τ

=π

hN(εF ) · cinj︸︷︷︸

Storstellenkonzentration

· U2imp︸ ︷︷ ︸

Storstellen−Potenziale

• c) Unordnung, StorstellenJetzt andert sich EF mit N kontinuierlich. Wir fullen mal lokale, mal ausgedehnte

Zustande. Dasselbe gilt, wenn wir bei festem N das Magnetfeld B andern.

Wenn EF im Bereich der lokalisierten Zustande liegt, dann folgt ρxx ≈ σxx ≈ 0und es gilt ρxy ist quantisiert in Einheiten in ~

c2

Wenn EF im Bereich der ausgedehnten Zustande liegt, dann ist ρxx groß.

66

3.4 Randkanale

Uberall im Innern der Probe ist die Strom-dichte 0.

Enk ≈ ~ωc

(n+

12

)+ V (yk) yk =

~c|e|B

k

Rand mit kontinuierlichem V (y)

Gruppengeschwindigkeit

vk =1~∂Enk

∂k=

1~∂V (yk)∂k

=1~

~c|e|B

∂V

∂y=

= ±(versch. V orz. an den beiden Randern)

RandkanaleAnzahl abhangig von EF ↔ ~ωc

N(E)v =1π

1∂E∂k

~∂E

∂k= const.

⇒ Leitwert pro Randkanal ist e2

h .

67

ψnk = χnk(y − yk)eikx

En,a = ~ωc

(n+

12

)+ V (yk)

M Entartung (≡ Anzahl der Zustande ineinem Landau-Niveau)

M =ΦΦ0

=B · F

hc|e|

Steigt das Magnetfeld an, wandern die Landau-Niveaus auseinander und die Entartungsteigt.

vk =1~∂Enk

∂k

⇒ G =e2

h· 2 (2 kommt vom Spin)

N(E) =12π

1∂E∂k

In den Hall-Proben haben wir eine ideale Idealisierung 1-dimensionaler Leitwertkanale.

R2Px =

(µ4−µ1)e

I

R4Px =

(µ3−µ2)e

I

RH =(µ6−µ2)

e

I

68

einfaches Beispiel:

T21 = T = T32 = T43 = T65 = T16 = NRest Tij = 0, Rij = 0

Buttiker:

1.

h

2eI1 =

h

2eI = Nµ1 −Nµ6

2.

0 = Nµ2 −Nµ1

⇒ µ1 = µ2 = µ3

0 = Nµ3 −Nµ2

− h

2eI = Nµ4 −Nµ3

0 = Nµ5 −Nµ4

⇒ µ4 = µ5 = µ6

0 = Nµ6 −Nµ5

⇒ h

2eI = Nµ2 −Nµ6 ⇒ RH =

µ6 − µ2

eI=

1N

h

2eI

eI

quantisierter Hallwiderstand RH =1N

h

2e2

N = Zahl der vollen Landau-Niveaus

R4Px = 0

69

Weniger einfaches Beispiel:T21 = N = T16 = T43 = T54

T32 = K = T56 0 6 K 6 NT62 = N −K = T35

Buttiker-Schema:

1.

R14,26 = RH =(µ2−µ6)

e

I= . . . =

h

2e21N

R14,32 = R4Px =

(µ3−µ2)e

I= . . . =

N −KNK

h

2e2=

1K

h

2e2−RH

R′H = R14,26

2.h

2eI1 =

h

2eI = Nµ1 −Nµ6

0 = Nµ2 −Nµ1

0 = Nµ3 −Kµ2 − (N −K)µ5

...

− h

2eI = Nµ4 −Nµ3

0 = Nµ5 −Nµ4

0 = Nµ6 −Kµ5 − (N −K)µ2

70

Rx = R14,32 =(µ3−µ2)

e

I= . . . =

N −KNK

h

2e26= 0 (4− Punktewiderstandsmessung)

RH = R14,62 =(µ6−µ2)

e

I= . . . =

h

2e21N

R14,41 =(µ4−µ1)

e

I=

h

2e21K

(2− Punktewiderstandsmessung)

R14,52 =h

2e21K

Nichtperfekte Kontakte:

Die Frage, die sich stellt, ist, warum der Quantenhalleffekt so prazise ist. Ist dies ein Effektder Streuer?

Problem:Quantisierung ist leicht verstandlich, wenn EF zwischen 2 Landau-Niveaus liegt. Aber imExperiment ist N vorgegeben und die Entartung M = Φ

Φ0= BF

hc|e|

hangt von B ab.

D.h. fast immer haben wir partiell gefullte Landau-Niveaus.EF liegt auf Landau-Niveau.

71

Im Innern haben sie keinen Einfluss auf dieRandkanale. Deshalb sind sie unwichtig,ebenso wie der Rand.Nur solche Streuer sind potentiell wichtig,die von einem an den anderen Rand streuen.Das ist sehr unwahrscheinlich, wenn W ≪c.

Storstennpotential

Wieder werden die niedersten Zustande besetzt ⇒ EF ⇒ Randkanale

EF variiert kontinuierlich mit N.

72

3.5 Der Fraktionelle Quanten-Hall-Effekt

Einige Jahre nach der Entdeckung des Quanten-Hall-Effekts wurden Plateaus mit nicht-ganzzahligem ν gefunden.

Beim ganzzahligen QHE liegen die Plateaus bei ν = i, i = 1, 2, 3, . . .Das Zentrum der Plateaus liegt in RH , wahrend Rx verschwindet.

Die Beobachtung war, dass es einen fraktionellen QHE geben muss, bei dem weitere Pla-teaus auftreten:

ν = νp =p

2p+ 1, p = 0, 1, 2, ...

(und ν = 1− νp, 1 + νp, 2− νp, . . .)

νp = 0,13,25,37, . . .→ 1

2ν = 1,

23,35,47, . . .

und ν = νp = p4p±1 p = 0, 1, 2, . . . 1− νp, 1 + νp, 2 + νp, . . .

73

3.6 Ubungsaufgaben

2. Ubung zur Spezialvorlesung NanoelektronikUniversitat Karlsruhe WS 2006/07

Prof. Dr. Gerd Schon— Priv.Doz. Dr. Matthias Eschrig

www-tfp.physik.uni-karlsruhe.de/Lehre/

Aufgabe 3 (10 Punkte)

Quanten-Hall-Randkanale:a) (6 Punkte)Betrachten Sie die Quanten-Hall-Strukturder nebenstehenden Abbildung. Durch dieKonstriktion sollen K Kanale passierenkonnen, die restlichen N − K werdenruckgestreut. Kontakt ’3’ sei ein schlechterKontakt, der nur einige außere Kanale ‘sieht’,der direkt von µR kommen, jedoch nicht dieruckgestreuten Kanale. Nehmen Sie an, dasskeine Kommunikation zwischen verschiede-nen Randkanalen auf dem Weg zwischen derKonstriktion und Kontakt ‘3’ stattfindet.Benutzen Sie den Buttiker-Formalismus um zu zeigen, dass der Hallwiderstand durchden Ausdruck

RH =V2 − V3

I=

h

2e2N1

1− p(3.1)

gegeben ist, wobei p = (N−K)/N das Verhaltnis zwischen der Anzahl der ruckgestreutenKanale zur Anzahl aller Kanale ist.

b) (4 Punkte)Betrachten Sie nun dieselbe Struktur, jedochmit einem zusatzlichen stromlosen Kontakt’5’ wie in nebenstehender Abbildung gezeigt.Zeigen Sie, dass der Hallwiderstand diesmaldurch

RH =V2 − V3

I=

h

2e2N(3.2)

gegeben ist.Der zusatzliche Kontakt stellt ein Gleichgewicht zwischen den Randkanalen her undandert den Hallwiderstand. Dies ist ein etwas uberraschendes Resultat, welches auchexperimentell beobachtet werden kann. In makroskopischen Leitern erwarten wirkeinen Einfluss eines extra angeschlossenen ’blinden’ Kontakts (wie Kontakt ’5’ derAbbildung) auf die Messung.

74

Kapitel 4

Quanteninterferenzeffekte

Ist die Phasenkoharenzlange Lphi großer als die mittlere freie Weglange l, so kommt esdurch die Interferenz vielfach gestreuter Leitungselektronen zu Korrekturen des klassi-schen Leitwerts G.In mesoskopisch diffusiven Systemen (Lphi > L > l) treten verschiedene solcher Quanten-interferenzeffekte auf. Einige dieser Effekte wollen wir im folgenden Kapitel betrachten.Die Effekte, die uns hier interessieren werden, sind die schwache Lokalisierung (4.2, 4.4,4.5), die Universelle Leitwertfluktuation (4.6) und zu Beginn des Kapitels (4.1) der inRingstrukturen (d < Lφ) auftretende Aharonov-Bohm-Effekt, sowie der Vergleich desAharonov-Bohm-Effekts mit dem Sharvin-Sharvin-Experiment (4.3).

75

4.1 Der Aharonov-Bohm-Effekt

Der Aharonov-Bohm-Effekt ist ein quantenmechanischer Effekt. Ein Magnetfeld beein-flusst hierbei die Interferenz von Elektronen, obwohl sich diese außerhalb des Magnetfeldesbefinden.Die klassische Beschreibung von Teilchen in Magnetfeldern haben wir bereits bei der Be-schreibung des klassischen Hall-Effekts in 3.1 gesehen.Da es sich beim Aharonov-Bohm-Effekt jedoch um ein quantenmechanisches Phanomenhandelt, beginnen wir diesen Abschnitt mit der quantenmechanischen Beschreibung gela-dener Teilchen im Magnetfeld:

HB =1

2m

(~i~∇− q

c~A

)2

+ V (~r)

= − ~2

2m

(~∇− i

~q

c~A(~r)

)2

+ V (~r)

ohne Magnetfeld: H0ψ0(~r) = Eψ0(~r)

mit Magnetfeld: H0ψB(~r) = EψB(~r)

~∇ ~A = 0 (Divergenz verschwindet)

ψ(p)B (~r) = ψ0(~r)e

i~

qc

R ~r(p)

~r0~A(~r)d~r′

(p) druckt dabei die Pfadabhangigkeit aus.

Beim Aharonov-Bohm-Experiment laufen Elektronen um eine Ringstruktur herum, in derein Magnetfeld vorherrscht. Diese Ringstruktur ist durch eine Wand abgeschirmt, durchdie die Elektronen nicht hindurchkonnen und die das Magnetfeld abschirmt. D.h. außer-halb ist ~B = 0. Was aber trotzdem außerhalb vorhanden ist, ist das Vektorpotential ~A.(Man stelle sich hierzu ein radial verlaufendes Vektorpotential vor. Dessen Rotation rot ~Aund damit das Magnetfeld ~B ist außerhalb des Zylinders Null, dennoch ist ~A nirgendsNull.) Das Vektorpotential beeinflusst die Uberlagerung der Wellenfunktionen hinter derRingstruktur, und damit das dort entstehende Interferenzmuster. Dieses Interferenzmusterentsteht, da die rechts und links an der Ringstruktur vorbeilaufenden Wellenfunktionenunterschiedliche Phasenverschiebungen erhalten.

76

Zu vergleichen ist dies mit dem Youngschen Doppelspalt-Versuch.

Ringstruktur

t1(~r) = ϕ(1)B (~r0)ϕ

(1)B (~r1)∗

= |ϕ0(~r0)ϕ0(~r1)|︸ ︷︷ ︸|t1(r)|

ei(ϑ0−ϑ(1)p )e

i~

qc

R ~r~r0

~A(~r′)d~r′

t2(~r) = . . .

t(~r) = t1(~r) + t2(~r)

|t(~r)|2 = |t1(~r)|2 + |t2(~r)|2 + 2Re [t1(~r)t∗2(~r)]︸ ︷︷ ︸2|t1(~r)||t2(~r)| cos(ϑ1−ϑ2)

ϑ1 = ϑ0 − ϑ(1)~r −

i

~q

c

∫~A(~r)d~r′

77

ϑ2 = ϑ0 − ϑ(2)~r −

i

~q

c

∫~A(~r)d~r′

ϑ1 − ϑ2 =[ϑ

(2)~r − ϑ

(1)~r

]− i

~q

c

∮~A(~r)d~r′

∮~A(~r)d~r′ =

∫Fd~F · ~B(~r)︸ ︷︷ ︸

φF

φ0 =hc

|e|~ = 2πh

ϑ1 − ϑ2 =(ϑ

(2)~r − ϑ

(1)~r

)︸ ︷︷ ︸

0

−2πφ

φ0

|t(~r)|2 = |t1(~r)|2 + |t2(~r)|2 + 2|t1(~r)||t2(~r)| cos(

2πφφ0

)

Erhohen des Magnetfeldes fuhrt zu einer Veranderung von ϑ1−ϑ2. Der Fluss φ0 verschiebtdie Phase um 2π.Bei konstruktiver Interferenz wird es hell auf Schirm. Es liegt also ein großer Stromvor.Bei destruktive Interferenz wird es dagegen dunkel auf Schirm. Es herrscht kein Strom vor.

Bemerkungen:

1. Das ideales Aharonov-Bohm-Experiment beschrankt Magnetfelder auf Bereiche, indenen Elektronen nicht propagieren.Sie erfahren keine Lorentzkraft, aber die Auswirkung des Vektorpotentials.

2. In Festkorpern ist die Lorentzkraft vernachlassigbar, wodurch die Phasenverschie-bung zum wichtigsten Effekt wird.

3. Viele Kanale addieren sich stochastisch, ϑ1 − ϑ2 ist stochastisch verteilt.D.h., dass der Effekt nur mit

√N wachst.

Der Effekt ϑ1 − ϑ2 wird also relativ klein.

4. Vergleichen Sie hierzu die Ubungsaufgabe mit der Ringstruktur.

T =4ε

1− 2(1− 2ε) cos(2ϑ0 + 2π φ

φ0

)+ (1− 2ε)2

78

4.2 Schwache Lokalisierung

S. Chakravarty, A. Schmidt (Phys. Rev. 140, 193(1986))G. Bergmann (Phys. Rev. 107)Altschuler, Aramov, K. ”Quantum Theory of Solids”

Die schwache Lokalisierung ist ein Effekt, der auf der Interferenz zeitumgekehrter Elek-tronenpfade beruht. Hierzu werden wir als erstes die Ruckstreuwahrscheinlichkeit einesElektrons zu seinem ursprunglichen Startpunkt betrachten. Die wichtige Frage ist nun dienach der Phasenkoharenz des hin- und des ruckgestreuten Pfades.

4.2.1 Ruckstreuwahrscheinlichkeit

Betrachten wir zunachst die Leitfahigkeit:

σ = 2e2N(o) ·D

D =13

∫ ∞0

dt 〈~v(t) · ~v(0)〉︸ ︷︷ ︸v2

F e− t

timp

=v2F τimp

3

N(0)3D =p2

F

2π2~3vF

σ ∼ TAB ∼ 1−RA

σ ∼ |t(B)|2

|t(B)|2 = |∑α

tα(B)|2 =∑α

|tα(B)|2︸ ︷︷ ︸klassisch

+∑β 6=α

tα(B)t∗β(B)︸ ︷︷ ︸quantenmechanisch

Wir wissen, dass die Leitfahigkeit proportional zur Transmissionswahrscheinlichkeit ist.Diese Wahrscheinlichkeit setzt sich aus einem klassischen und einem quantenmechani-schen Anteil zusammen.

79

|t(A)|2 = |∑α

tα(A)|2 =∑α

|tα(A)|2 +∑α 6=β

tα(A)t∗β(A)

=∑α

|tα(A)|2 +∑α 6=α

talpha(A)t∗α(A)

+∑

β 6=α,α

tα(A)t∗β(A)︸ ︷︷ ︸mittelt sich stochastisch weg

eiϑαe−iϑα = 1 |tα(A)| = |tα(A)|

=∑α

|tα(A)|2 +∑α

|tα(A)|2 = 2∑α

|tα(A)|2

= 2x klassisch

Wie wir nun sehen, ist die Ruckstreuwahrscheinlichkeit doppelt so groß wie im klassischenFall. Das beruht auf der Phasenkoharenz der zeitumgekehrten Pfade, die wir im klassi-schen Fall nicht haben.Das bedeutet, die schwache Lokalisierung bedingt eine Korrektur des Leitwerts.

Die Ruckstreuung durch Interferenzeffekte (Wege kleiner als Phasenkoharenzlange → me-soskopischer Bereich) fuhrt also zur Reduzierung der Leitfahigkeit σ.

Ruckkehrwahrscheinlichkeit

Wt = W (0, 0; t, 0)

∆D = −2e2

π~

∆σ = −2e2

π~D

∫ ∞τimp

dtWt Schwache Lokalisierung

80

4.2.2 Diffusionsproblem

Nun wollen wir uns kurz mit dem Diffusionsproblem auseinandesetzen und dann den Leit-wert von 1-, 2- und 3-dimensionalen Elementrladungen definieren.(

∂

∂t−D∇2 +

1τϕ

)W~r,0,t,0 = ∂(t)∂(~r)

3D:

W~r,0,t,0 =1

(4πDt)12

e−r2

4π e− t

τvarphi

2D:

W~r,0,t,0 =1

4πDtae−

x2+y2

4Dt e− t

τvarphi

∞∑−∞

cosπnz

αcos

πnzi

αe−

π2n2Dtα2

a√Dt ⇒ m = 0, W (~r, 0, t, o) =

14πDta

e−r2

4Dt e− t

τvarphi

1D: a√Dt

W (x, 0, t, o) =1√

4πDta2e−

x2

4Dt e− t

τvarphi

81

Definiere Leitwert der folgenden Elementarladungen:

Berechne∫τimp

dtWt , fur a Lϕ =√Dτϕ

g = σ · a3−d

∆g = a3−d cos = −e2

h

√

3π

1limp− 1√

Dτp, d = 3;

ln(

τϕ

τimp

), d = 2;

2π√Dτϕ, d = 1.

Da τD(T ) temperaturabhangig ist, folgt dies auch fur ∆g.

4.3 Sharvin-Sharvin-Experiment

Das Sharvin-Sharvin-Experiment von 1981 ist ahnlich dem Aharonov-Bohm-Experiment,mit dem Unterschied, dass es sich hier um einen Zylinder handelt, und nicht nur um eineneinfachen Ring.Wir haben gesehen, dass sich beim Aharonov-Bohm-Effekt, Elektronen-Oszillationen imRing bilden, wenn innerhalb des Rings ein Magnetfeld vorherrscht. Ein Zylinder kanngeometrisch als ein Zusammenschluss mehrerer Ringe angesehen werden. Wenn man nundavon ausgeht, dass in jedem einzelnen Ring eine Oszillation mit einer gegebenen Phasevorherrscht, so bedeutet das fur den Zylinder, wir mussen uber alle Phasen mitteln, wasaber zur Ausloschung der Oszillationen fuhren wurde.Dieses Experiment zeigt jedoch, dass es Oszillationen gibt, die diese Mittelung ”uberleben”.

82

Wt =∞∑

n=−∞

14πDta

e−n2L2

4Dt+ 2πinφ

φ0 e− t

τϕ

lϕ =√Dτϕ φ0 =

hc

2|e|

Wt = W 0t + 2 cos

(2π

φ

φ0

)· 14πDta

· e−L2

4Dt e− t

tvarphi

⇒ ∆g = ∆g(B = 0)− 2e2

hπcos

2πφφ0

∫ ∞τ0ϕ

dte−

L2

4πτ e− t

τϕ

t

= ∆g(B = 0)− 4e2

hπcos(

2πφφ0

)K0

(L

lϕ

)︸ ︷︷ ︸

mod.Besselfkt.

Das zeigt, dass die Leitfahigkeit mit der Periode φ0 = h2|e| oszilliert. Der Faktor kommt

uber die Mittelung in die Gleichung.

Zum Vergleich: Der Aharonov-Bohm-Effekt oszilliert mit φ0 = hc|e|

W erfullt (*):

[∂

∂t+D

(−i~∇− 2e

~c~A(~r)

)2

+1τϕ

]= Wt(~r, 0, t, 0) = δ(t)δ(~r)

83

Die Ursache dieses Phanomens liegt in ”pairing of trajectories”. Das bedeutet, dass sichOszillation und zeitumgekehrte Oszillation zusammenschließen, wodurch wir die zweiteHarmonische (der Oszillationen) erhalten.

4.4 Schwache Lokalisierung im Magnetfeld

Wir wollen nun den Einfluss eines Magnetfelds auf die in 4.2 hergeleitete Schwache Loka-lisierung untersuchen.Schaubild

• a) ~B ist parallel zum Film: ~A = (0,−B(z − a/2), 0)

Mittle (*) uber z:

[∂

∂t−D

(∂2

x + ∂2y

)+

1τB

+1τϕ

]W = δ(t)δ(x)δ(y)

1τϕ

= D

(2e~c

)2 1a

∫ α

0dz A2(z) =

13D

(eBa

~c

)2

84

Es zeigt sich, dass die Phasenkoharenz starker zerstort wird, 1τϕ→ 1

τϕ+ 1

τB

∆g = −e2

hln

( 1τimp

1τϕ

+ 1τB

)= −e

2

h

[ln

τϕτimp

− τϕD

B·(eBa

~c

)2

+ . . .

]

Schaubild

• b) ~B senkrecht zum Film ⇒ ~A = (0, B(x), 0)

[∂

∂t−D

(12∂2

x +(

12∂2

y −2eB~c

x

)2)

+1τϕ

]W = δ(t)

δ(x)δ(y)a

⇒ W = ψn

(x− ~c

2eBk

)ei“ky−ω1t− t

τϕ

”︸ ︷︷ ︸ω1= 4eBD

~c (n+ 12)

W (~rk, ~ri, t, 0)~rk → ~ri−→

t→ 0

W (~rk, ~ri, t, 0) =1a

∑n

∫dk

2πψn

(xf −

~ck2xB

)ψ∗n

(xi −

~ck2eB

)· ei

“k(yf−yi)−ω1t− t

τϕ

”

Wt ≡W (0, 0, t, 0) =1a

12π

∑n

∫dqψn(q)ψ∗n(q)︸ ︷︷ ︸

1

e−ωnt− t

τϕ

=2eB

2π~ca∑

n

e−4 eBD~c (n+ 1

2)

e− tτϕ − e

− tτimp︸ ︷︷ ︸

Kurzzeit−Cutoff

⇒ ∆g ∼ − e2

2π2~

[ln

τϕτimp

− 16

(eBDτϕ

~c

)2

+ . . .

]

Ein Magnetfeld zerstort also die Phasenkoharenz, die die Ursache der Schwachen Lokali-sierung ist. D.h. der Effekt der schwachen Lokalisierung geht mit steigendem Magnetfeldzuruck.

85

4.5 Probenspezifische Fluktuationen

Der Einfluss eines Magnetfeldes kann sich auch in probenspezifischen Fluktuationen aus-drucken. D.h. dass der Leitwert von gleichartigen Proben unterschiedlich ausfallen kann.Wir betrachten hierzu zwei Trajektorien α und α.

|t(A)|2 =∑α

|tα(A)|2 +∑α

tα(A)t∗α(A) + . . .

fur ~B = 0: |t(A)|2 = 2∑

α |tα(A)|2

fur ~B 6= 0:

tα(A) = |tα(A)|eiϑαe−iq~c

Hα

~A(~r′)d~r′

tα(A) = |tα(A)|eiϑαe+iq~c

Hα

~A(~r′)d~r′

tα(A)t∗α(A) = |tα(A)|2e−2iq~c

Hα

~A(~r′)d~r′

|tα(A)|2 =∑α

|tα(A)|2 +∑α

|tα(A)|2ei2πφφ0

=12

∑α

|tα(A)|2[1 + 2 cos

(2πφφ0

)]

φα : Fluss durch Ruckkehrpfad α

86

”Fingerabdruck”der Probe

Wir erhalten also Leitwertfluktuationen, die probenspezifisch, aber vollstandig reprodu-zierbar sind.

4.6 Universelle Leitwertfluktuationen

Universelle Leitwertfluktuationen konnen in Abhangigkeit von einem Magnetfeld, einemelektrischen Feld und der Fermienergie sowie durch Umordnung der Storstellenkonfigurationauftreten.Gesuchtwird hierzu: δG =

[〈G2〉 − 〈G〉2

] 12

Hier hilft dann eine Mittelung uber die Storstellenposition.

Klassisch wurde das bedeuten: δGG ∼

√lϕL → 0 mit L→∞

Die Uberraschung kam in den 80er Jahren. Altschuler, Me und Stone konnten zeigen,dass δG

G mit zunehmendem L wachst!

δG ∼ e2

h

Aus der Landauer-Formel lasst sich Folgendes herleiten:

G =2e2

h·

N∑ij=1

|tij |2 =2e2

h

N − N∑ij=1

|rij |2

〈G2〉 =4e4

h2

N2 − 2NN∑

ij=1

〈|rij |2〉+N∑

ijkl

〈|rij |2|rkl|2〉

⇒ δG =

2e2

h

N∑ijkl

(〈|rij |2|rkl|2〉 − 〈|rij |2〉〈|rkl|2〉

)

87

|rij | unabhangig fluktuierend fur:

ij 6= kl∑ij

〈|rij |2|rkl|2〉 =∑ij

〈|rij |2〉〈|rkl|2〉

ij = kl∑ij

〈|rij |4〉 = N2〈|rij |4〉

|rij |2 = |∑

p

Ap|2

|rij |4 = |∑

p

Ap|4 =∑αβγδ

〈A∗αAβA∗γAδ〉

=∑〈|Aα|2〉〈|Aβ|〉2(δαβδγδ + δαδδγβ) = 2〈|rij |2〉

〈G〉 ∼ 2e2

h

(N −N2〈|r2ij |2〉

)δG ∼ 2e2

h

88

Kapitel 5

Single-Electron Effects

89

Single-Electron Effects

Gerd Schön University of Karlsruhe, Germany

1. Introduction2. Sequential tunneling3. Cotunneling4. Influence of environment5. Single-electron tunneling through quantum dots6. Beyond perturbation theory: Kondo effect

Single Charge Tunneling, NATO ASI series B 294, eds. Grabert and Devoret, (Plenum Press 1992)

Quantum Transport and Dissipation, Dittrich, Hänggi, Ingold, Kramer, Schön, Zwerger(Wiley-VCH 1998)

500nm

n = ..., -2, -1, 0, 1, 2, ...# of excess electrons on the island

Single Electron Devices

Nanostructures (metals, semiconductors, molecules, ...)

• with small area junctions (typical value: 100nm x 100nm … 30nm x 30nm)

• low capacity C C = 10-15 … 10-16 F• single-electron charging energy EC = e2/2C EC/kB ≈ 1 … 10 K

• single electrons controlled (Coulomb blockade) for kBT << EC

islandislandnn

tunnel junctionstunnel junctions 100nm x 100nm100nm x 100nmcapacity capacity CC = 10= 10--1515 FF

Typical temperature T < 1K

metal electrodesmetal electrodes

control gatecontrol gate

voltage voltage VVGG

Single-electron box

island

ntunnel junctioncapacity CJ

control gate

electrode capacity CG

gate voltageVG

1 2 30-1

Ech(n,VG)

n=0 n=1 n=2 n=3n=-1

CGVG /e

n

1 2 30-1

3

2

1

-1

Devoret et al. (Saclay)

Charging energy

2

ch( )

( , )2

G GG

ne C VE n V

C

−=

C = CJ + CG

n = ..., -2, -1, 0, 1, 2, ...# of excess electrons on the island

Single-electron transistor

island

n

tunnel junctionscapacity CJ

control gatecapacity

CG

gate voltageVG

transport voltage

Vtr

Applications of SETs

- ultra-sensitive charge and voltage measurements- current standard I = e f (precision 10-8), turnstile, pump, …- digital memory and logic (too slow)- primary thermometer T ≈ 1K

Electron turnstileZorin (PTB)

Scanning SETKouwenhoven (TU Delft)

2. Sequential Tunneling

The charging energy scale EC

The electrostatic energy of the single-electron box

ne =Ql+Qr

CJ

CG

VG

Island charge splits into left and right charge

Total voltage

Electrostatic energy minus work done by voltage source (Legendre transform)

total island capacitance

“gate charge” 1 2 30-1

Ech(n,QG)

n=0 n=1 n=2 n=3n=-1

QG/e

Single-electron transistor

n

CJ,r

CG

VGVtr=Vl - Vr

CJ,l

Vr

Vl

where

Tunneling through transistor possible for:

tunneling left tunneling right

equidistant spokes,tuned by QG

left electrode Island right electrode

…

QG

eVr

eVl

Coulomb blockadeno current (at T=0)

left electrode Island right electrode

…

QG

eVr

eVl

current can flow(at T=0)

Vtr

QG/e

Coulomb blockade diamondsfor symmetric SET

0 1 2-1Coulomb blockade

one channel openone channel openn n ↔↔ n+1n+1

two channels opentwo channels openn n ↔↔ n+1n+1andandn+1 n+1 ↔↔ n+2n+2

0 0 ↔↔ 11 1 1 ↔↔ 22--1 1 ↔↔ 00--2 2 ↔↔ --11

Ensslin group, ETH Zürich

Experiment:

Vtr

VG

conductance color scale

Single-electron tunneling rates

Tunneling Hamiltonian

evaluate integral:

Golden rule + summation over all filled initial states k and empty final states q

energy conservation includes change in charging energy

Properties:

Coulomb blockadedetailed balance

Master equation for probability p(n,t) for charge n on island

current in left junction

Limit: low T, low bias voltage Vtr, only 2 states: n and n+1symmetric junctions and bias Vl = -Vr = Vtr/2

for

evaluate rates for T = 0 with

otherwise

stationary solution

Experiments:Ensslin group, ETH

0.51

1.52

0.51

1.52

0.5

1

QG/eVC/e

2IRtC/e

VGCG/eVtrC/e

2IRtC/e Numerical solution of master equationfor arbitrary number of charge states(symmetric SET, T = 0)

Linear conductance

trtr 0( , ) /G VG T Q dI dV ==

-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0nx

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

G/G

as

sequential tunneling T/EC

5

2

1

.5

.2

.1

.02

VGCG/e

low T conductance peaks

where

Low T:- exponential suppression of conductance in Coulomb blockade regime- ½ of asymptotic conductance at maxima

3. Cotunneling

-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0nx

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

G/G

as

sequential + cotunneling(α0=0.04)

T/EC

5

2

1

.5

.2

.1

.02

-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0nx

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

G/G

as

sequential tunneling T/EC

5

2

1

.5

.2

.1

.02

In regime of Coulomb blockade, where lowest order perturbation theory (golden rule) yields G = 0, higher order processes contribute! = ``Cotunneling´´

VGCG/eVGCG/e

• 2 channels add coherently: j = l: 1st electron tunnels left, 2nd right:

j = r: 1st electron tunnels right, 2nd left:

• 2nd electron differs from 1st: ``inelastic cotunneling´´Final state also contains electron-hole excitation on island.

• Sum over all filled initial states and empty final states

2nd order perturbation theory:intermediate state j only virtually occupied

IJ

F

Minimal and maximum conductancecomparison: experiment (Saclay) ↔ theory (König, Schoeller, GS)

Consequences:- cotunneling limits precision of current standard- interesting physics

0.01 0.1 1 10T/EC

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

(RL+

RR)G

G(1)

G(1)

+G(2)

Gexp

EC=1K

α=0.063

Expansion parameter αααα:

compare 1st and 2nd order

« 1 sequential tunneling o.k.

≥1 nonperturbative regime: Kondo physics, ….

classical picture

Hand-waving argument:quantum uncertainty relation

≤ 1 cotunneling corrections important

Beyond perturbation theory:

- time evolution of density matrix (König, Schoeller, GS and coworkers)

- perturbation expansion (Grabert and coworkers)- instanton methods (Zaikin and coworkers)- quantum Monte Carlo (Herrero and coworkers)

4. Influence of the Environment

C

Z(ω)

Vx

I(V)V

Single tunnel junction with capacitance Cin circuit with external voltage Vxand impedance Z(ω).Z(ω) produces dissipation and fluctuations.

Current fluctuations (Johnson-Nyquist noise) δ I(t)

Johnson-Nyquist noise:

with

voltage fluctuations at tunnel junction δ V(t)

Hamiltonian of the system:

Model dissipation and fluctuations by bath of harmonic oscillators (Caldeira-Leggett)

also accounts by one mode for charging energy of the capacitor

Using properties of harmonic oscillators:

we find:

with spectral function

For the choice we produce a model for the voltage fluctuationsdue to Z(ω).

last line reduces to (by property of Gaussian average and Baker-Hausdorff formula)

where

Unitary transformation

tunneling in + direction (Golden rule), incl. transition in bath X →X´, average over thermal bath

“P(E)-Theory”

where

and

2CV/e

0

0.5

1

1.5

2

2.5

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

(2C

Rt/e

) I

2CV/e

(g)(f)(e)(d)

(c)

(b)

(a)

Ohmic shunt Z(ω) = R

I-V characteristic of a junction in an electric circuit with series resistor at T = 0

From (a) to (g)α = RK/R = ∞, 20, 3.2, 2, 0.4, 0.04, 0

Iin unitse/2RtC

5. Tunneling through quantum dots

GaAs

AlGaAs

VGmetal electrode

2DEG 2DEGQuantum dot

• confinement ⇒ discrete energy levels εisome quantum number i

• C < 10-15 F ⇒ single-electron effects

2DEG + lateral patterning

Resonant tunneling dotWeis (MPI, Stuttgart)

2 quantum dotsKouwenhoven (TU Delft)

Typical level spacing δδδδ and charging energy EC

Example:circular dots with harmonic confining potential

( ), 1 , , 1,2,...i j i j i jε = Ω + − =h

( )1

2

* 2 2 2V m x y= Ω +

2

* 2m Rδ ≈ Ω ≈ h

h* 2 2m RΩ = Ωheffective radius R:

energy scale for charging:

2

2Ce

ERε

≈

o0

0

2 2

2 2* 2 * , 2AC

aR ma

E Re e mm R m

δ ε ε≈ = = ≈h h

<1 1 …. 10

Charging energy exceeds level spacing except in very small dots.- equal for H-atom- large ε and/or small band mass m* increase δ/ EC

Addition spectrum

Calculation of spectrum in general is difficult due to Coulomb interaction.

Approximation:

- take levels of non-interacting problem (or Hartree approximation for given n)

energies εi , occupation ni = 0, 1 for i = 1, 2, …∞ ,

- Coulomb interaction:

- total energy

ii

n n=∑( )2

( )2

Gne QU n

C

−=

( )s iii

E U n n ε= +∑

n = 4ground states

n = 5 n = 6 n = 6excited state

0 0' ssE E−µl µr

Spin: double occupation possible ⇒ even-odd pattern

2 for even 1odd

2 for odd 1evenFC

C

sE n n

E n n

δε

+ → +∆ = → +

This picture is usually too simple! (Think about Hund’s rule)

spacing of conductance maxima for varying εF or QG

2F C sEε δ∆ = +

varies much

12

∆= +G G

C

sC V

e E

δor

Transport spectroscopy

linear conductance (at T = 0) is large when

0 0'Fr s sl E Eµ µ ε= = = − ' 1s sn n− =with

1

1

1

2

( 1) ( )

2( ) +

+= + − +

= + − +G GC n

nU n U n

C Vn E

e

ε

ε

Excited states show up in nonlinear conductance

Tunneling rates and master equation

'

0 0'

2

, , 12

( ') ( ) ( )k ssssl d l k i k l

kn ns s f T E E

πγ ε δ ε µ δ→ +→ = − −−∑h

where states |s> and |s´> differ by one e in level i: ' 1, ( ) 0, ( ') 1s i isn n n s n s= + = =

'

'

0 0'

0 0'

, 1

, 1

( ') ( )

( ' ) 1 ( )

ss

ss

ssl d l

ssd l l

l

l

n n

n n

s s f E E

s s f E E

γ δ

γ δ

→

→

+

+

→ = Γ

→ = Γ −

−

−

approximate Tk,i ≈ const

similar for right contact.

related by detailed balance

[ ]'

( ) ( ') ( ) ( ' ) ( ')s

dP s s s P s s s P s

dtγ γ= − → + →∑

( ') ( ') ( ') ( ') ( ')l d d l r d d rs s s s s s s s s sγ γ γ γ γ→ → → →→ = → + → + → + →

Master equation:

where:

( )

[ ]

'

'

, 1

, 1

, '

' ', '

' ', '

( ) ( ') ( ')

( ') ( ) ( ) 1 ( )

( ') ( ) ( ) ( )

s s

s s

l d d l

l l

rlrl

rl

l

n n l

n n

s s

s ss ss s

s ss ss s

I e P s s s s s

e P s f E E P s f E E

e P s P s f E E f E E

γ γ

δ

δ

→ →

+

+

= → − →

= Γ − − − −

Γ Γ = + − − − Γ + Γ

∑

∑

∑

current:

linear conductance:

'

eq eq2 'F, 1 '

, '( ') ( ) ( )

s s

rl

rln n s s

s sG e P s P s f E Eδ µ+

Γ Γ = − + − − Γ + Γ∑

limits:

1) kBT » EC, δ

2) EC » kBT » δ

3) EC » δ » kBT 2 'F '( )rl

rls sG e f E E µ

Γ Γ= − − −

Γ + Γ

2( )

Γ Γ= =

Γ + Γ +r rl l

Fr rl l

G GeG N E

h G G

Bchch

Bch

/1, ( 1) ( )

2 sh( / )rl

rl

G G E k TG E U n U n

G G E k T

δδ µ

δ= = + − −

+

6. Beyond perturbation theory: Kondo effect

Usual Kondo effect:impurity spin interacting with electron reservoirsspin flip by scattering, screening, …

Kondo effect in tunnelingsingly occupied quantum dot coupled to electrodesspin flip by tunneling, …

† † † †d

† †( )

rk rk rkrk

rk rk rk rkrk

H c c d d Ud d d d

t d c t c d

σ σ σ σ σ σσ σ

σ σ σ σ σ σσ

ε ε ↑ ↑ ↓ ↓

∗

= + +

+ +

∑ ∑

∑

µRµL

d U+ε

dεor

U

Anderson Impurity Hamiltonian

spectral density: peak at Fermi level

%εd

εd

0.10.2 0.0 0.1 0.2

µRµL

εd

εd

~

Nonequilibrium TransportKönig, Schoeller, GS (95)

ExperimentsKouwenhoven et al.

peak in spectral functionsplits

zero-biasanomaly innon-linearconductance

† † † †d

† †( )

rk rk rkrk

rk rk rk rk zrk

H c c d d Ud d d d

t d c t c d BS

σ σ σ σ σ σσ σ

σ σ σ σ σ σσ

ε ε ↑ ↑ ↓ ↓

∗

= + +

+ + +

∑ ∑

∑

µRµL

d U+ε

dεor

U

Anderson impurity Hamiltonian + magnetic fields

spectral density: peak at Fermi level splits in magnetic field

%εd

εd

0.10.2 0.0 0.1 0.2

µRµL

εd

εd

~

0.10.2 0.0 0.1 0.2

µR

µL

d%e

de

Kondo + magnetic fieldKönig, Schoeller, GS (96)

ExperimentsKouwenhoven et al.

ExperimentsRalph et al.

0.10.2 0.0 0.1 0.2

µRµL

d%e

de

ParallelSplitting!

0.2P =/ 0.005T Γ =

d / 2Γ = −e/ 100D Γ =/ 0.278B Γ =

0.10.2 0.0 0.1 0.2

µRµL

d%e

de

Ferromagnetic electrodes

Antiparallel

J. Martinek et al., PRL 03, PRL 03

0.10.20.3 0.0 0.1 0.2 0.3

µRµL

d%e

de

Parallel

Splittingcan be compensated by magnetic field

/ 0.278B Γ =

GA

P [e

2 /h]

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5 antiparallelP = 0.2

↓,↑

(e)

eV / Γ-0.4 -0.2 0.0 0.2

TM

R

-60%

-40%

-20%

0%

20%(g)

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5(b)

B/Γ = 0.278

P = 0.0

↓

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5parallel

↓

(d)

↑

↑G

P [e

2 /h]

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5 (c)

P = 0.2parallel

↓↑

G [e

2 /h]

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5 (a)

B/Γ = 0

P = 0.0

spin ↓,↑

0.2 0.30.2

0.3

eV / Γ-0.3 -0.2

0.3

0.4

-0.2 0.0 0.2 0.4

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5antiparallel

↓

(f)

↑

(h)

.0

.8

P=.0

.8

.6.4.2

Kondo effect in C 60 molecules contacted to nickel electrodes Abhay Pasupathy, Dan Ralph et al. (2004)

3. Ubung zur Spezialvorlesung NanoelektronikUniversitat Karlsruhe WS 2006/07

Prof. Dr. Gerd Schon— Priv.Doz. Dr. Matthias Eschrig

www-tfp.physik.uni-karlsruhe.de/Lehre/

Aufgabe 4 (8 Punkte)

Einzelelektroneneffekte:In der Vorlesung haben Sie den Strom fur eine Einzelelektronenbox im stationarenZustand hergeleitet,

I = eΓl→i(n)Γi→r(n+ 1)− Γr→i(n)Γi→l(n+ 1)

Γl→i(n) + Γr→i(n) + Γi→l(n+ 1) + Γi→r(n+ 1).

Berechnen Sie daraus die lineare Leitfahigkeit

G(T,QG) =dI

dVtr

∣∣∣Vtr=0

.

Zeigen Sie, dass diese durch

G(T,QG) =1

4Rt

∆/kBT

sinh(∆/kBT )

mit

∆ = Ech(n+ 1, QG)− Ech(n,QG) =(n+

12− QG

e

)e2

C

gegeben ist.Zeichnen G(T,QG) als Funktion von QG fur T = 0.02EC und T = 0.1EC unddiskutieren Sie das Ergebnis.

110

Kapitel 6

Spintronik/Spinelektronik

Die Spintronik (aus den Worten Spin und Elektronik), manchmal auch Spinelektronik oderFluxtronik genannt, ist ein neues Forschungsgebiet in der Nanoelektronik. Sie nutzt dasmagnetische Moment des Elektrons zur Informationsdarstellung und -verarbeitung undnicht nur dessen Ladung wie die herkommliche Halbleiterelektonik. Das magnetische Mo-ment der Elektronen entsteht durch den quantenmechanischen Spin.

Die Spintronik beruht auf der Moglichkeit der sog. Spininjektion in Halbleitermaterialien,es sind aber auch organische oder metallische Materialien moglich, und die Spininjektionkann z. B. vom Metall in den Halbleiter erfolgen. Mit der Spininjektion konnen in den ge-nannten Materialien spinpolarisierte Strome erzeugt werden, die mit Betrag und Richtungdes Spinerwartungswerts weitere Freiheitsgrade aufweisen, die als zusatzliche Eigenschaf-ten fur die Informationsdarstellung genutzt werden konnen.

Unter dem alteren Begriff Magnetoelektronik wird i. W. dasselbe verstanden, allerdingsist in dem allgemeineren Begriff Spintronik u. a. auch die Erkenntnis enthalten, dass manSpins nicht nur mit Magnetfeldern, sondern z. B. auch mit elektrischen Feldern manipu-lieren kann.

111

Die Spintronik basiert auf einem spinabhangigen elektronischen Transport.

Hierzu verwendet man itinerate Ferromagnete (Bandferromagnete), bei denen keine Lo-kalisierung der Elektronen moglich ist.

Beispiele hierfur sind Eisen (Fe), Cobalt (Co) und Nickel (Ni).

H =p2

2m+ U(x)− µ︸︷︷︸

magnetisches Moment

· ~h︸︷︷︸Austauschfeld

· ~S︸︷︷︸Spinoperator

~S =12~σ =

12

σx

σy

σz

NM = N0

(E +

µh

2

)Zahl fur e− mit Spin ↑

Nm = N0

(E − µh

2

)Zahl fur e− mit Spin ↓

112

6.1 Tunnel-Magnetowiderstand (TMR)

Ein TMR besteht aus zwei Schichten ferromagnetischen Materials, die durch eine dunneSchicht nichtmagnetischen Isolators getrennt sind, durch die die Elektronen hindurchtun-neln konnen.

Mit Hilfe eines außeren Magnetfeldes kann die Richtung des Spins der magnetischen La-gen unabhangig voneinander gesteuert werden. Wenn die magnetischen Schichten gleichausgerichtet sind, ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Elektron durch die Isolatorschichtzwischen ihnen tunnelt, großer (und damit der elektrische Widerstand kleiner) als bei nichtparalleler Ausrichtung.

H = HL +HR +

HTunnel︷ ︸︸ ︷∑q, k;σ︸ ︷︷ ︸

Impulse; Spin

Tqk · c†kσ · cqσ︸ ︷︷ ︸Spinerhaltung beim Tunneln

+h.c.

1RT

= GT = 2︸︷︷︸Spin

·2πe2

~· |T |2 · NLNR︸ ︷︷ ︸

NL/R=V ·NL/R

6.1.1 Julliere-Modell

Der Tunnel-Magnetowiderstand kann mittels des Julliere-Modells (1975) verstanden wer-den, welches auf zwei Annahmen basiert.Erstens nimmt man an, dass der Spin eines Elektrons wahrend des Tunnelvorgangs er-halten ist. Daraus folgt somit, dass das Tunneln von up- und down-spin-Elektronen zweiunterschiedliche Prozesse sind, so dass der Leitwert in den zwei unterschiedlichen Spin-Kanalen auftritt. Bezogen auf diese Annahme bedeutet das, dass Elektronen mit einemSpinzustand aus dem ersten ferromagnetischen Film von den ungefullten Zustanden des-selben Spinzustands des zweiten Films aufgenommen werden. Sind beide Filme parallel

113

magnetisiert, tunneln die Minoritats-Spins zu den Minoritats-Zustanden sowie die Majo-ritats-Spins zu den Majoritats-Zustanden. Bei antiparalleler Magnetisierung der Schichtenist es umgekehrt. Hier tunneln dann die Majoritats-Spins des ersten Films zu den Mino-ritats-Zustanden des zweiten Films und umgekehrt.

GP =e2

h|T |2 ·

NM︸︷︷︸↑

NM︸︷︷︸↑

+ Nm︸︷︷︸↓

Nm︸︷︷︸↓

GP =e2

h|T |2 · 2NMNm

Zweitens wird angenommen, dass der Leitwert fur eine bestimmte Spin-Orientierung pro-portional zum Produkt der effektiven Zustandsdichten der zwei ferromagnetischen Elek-troden ist.

Aus diesen zwei Annahmen ergibt sich nun fur den Tunnel-Magnetowiderstand:

Polarisierung: P = NM−Nm

NM+Nm

P 6= M = µ

∫ EF

0dE

[N

(E − µh

2

)−N

(E +

µh

2

)]

114

P = 1 : −µh2≤ EF ≤

µh

2

P = 0 : Normalfall

GR/AP =e2

h|T |2 · (NM +Nm)2 ± (NM −Nm)2

2= G

(1± P 2

); G =

e2

h· (NM +Nm)2

2

TMR =GP −GAP

GAP=RAP −RP

RP

Juliere︷︸︸︷=

2P 2

1− P 2

6.1.2 Beliebiger Polarisationswinkel

Als nachstes wollen wir den Fall von beliebigen Polarisationswinkeln naher betrachten.Dies machte erstmals Slnozewski 1989.Wir wollen dabei herausfinden, inwiefern der Polarisationswinkel in die Gleichung fur denLeitwert einfließt.

115

| ↑R〉 = cosϑ

2| ↑L〉+ sin

ϑ

2| ↓L〉

| ↓R〉 = − sinϑ

2| ↑L〉+ cos

ϑ

2| ↑L〉

Drehung U = eiϑ2σy

HTunnel =∑k,q,σ

Tc†kσcqσ + h.c.

=∑k,q

T(c†k↑Rcq↑R + c†k↓Rcq↓R

)+ h.c.

c†k↑R = cosϑ

2c†k↑L + sin

ϑ

2ck↓L

HTunnel =∑kq

T

(cos

ϑ

2c†k↑Lcq↑R + sin

ϑ

2c†k↓Lcq↑R − sin

ϑ

2c†k↑Lcq↓R + cos

ϑ

2c†k↓Lcq↓R

)+ h.c.

G =e2

h|T |2

(cos

ϑ

2(N2

M +N2m

)+ sin

ϑ

2· 2NMNm

)= G

(1 + P 2 cosϑ

)

116

6.1.3 Spinakkumulation (Nichtgleichgewicht)

In diesem Abschnitt betrachten wir das Phanomen der Spinakkumulation fur den Fallparalleler wie antiparalleler Ausrichtung.

c 1 (keine Coulomb-Blockade)

α = e2

h |T |2

a) parallele Ausrichtung:

I↑L = αNMNV

2I↑R = I↑L

I↑R = αNmNV

2I↓R = I↓L

⇒ IP =α

2V (NMN +NmN)

117

b) antiparallele Ausrichtung:

I↑L = αNMN

(V

2− V↑

)

I↑R = αNmN

(V

2+ V↑

)

I↑L = I↑R︸ ︷︷ ︸Stromerhaltung

⇒ V↑ =V

2NM −Nm

NM +Nm=

12PV

analog V↓ = −12PV ¬V↑

118

6.1.4 Spinrelaxation

Hier wollen wir uns mit der Relaxation des Spins beschaftigen. Schaubild

Relaxation mit Rate

S Gesamtspin (Magntisierung)

dSdt = − S

τsfsf steht fur Spin-

flipzeit.

S = ∆µ·N ∆µ = µ↑−µ↓ ∆µ S

Spinrelaxationsstrom

Isf = −edSdt

=eN2∆µτsf

=e2N

2τsf︸︷︷︸1

Rsf

·(V↑ − V↓)

V↑ =V

L· GM −Gm

GM +Gm + 2GsfGM/m = α ·NM/m ·N

6.2 Riesenmagnetowiderstand (GMR)

Der Riesenmagnetowiderstand wird in Strukturen beobachtet, die aus sich abwechselndenmagnetischen und nichtmagnetischen dunnen Schichten mit einigen Nanometern Schicht-dicke bestehen. Der Effekt bewirkt, dass der elektrische Widerstand der Struktur von dergegenseitigen Orientierung der Magnetisierung der magnetischen Schichten abhangt, undzwar ist er bei Magnetisierung in entgegengesetzte Richtungen deutlich hoher als bei Ma-gnetisierung in die gleiche Richtung.

Der Effekt wurde zuerst 1988 von Peter Grunberg vom Forschungszentrum Julich und Al-bert Fert der Universitat Paris-Sud in voneinander unabhangiger Arbeit entdeckt, wofursie 2007 gemeinsam mit dem Nobelpreis fur Physik ausgezeichnet wurden.

119

zwei geometrische Anwendungen

CPP current perp. plane

CIP current in plane ⇒ Anwendungen

GMR =∆RRP

=RAP −RP

RP∼ 220% T = 1, 5K

∼ 300% T = 1, 5K

120

physikalisches Bild:

RP = 2 RmRMRm+RM

≈ 2RM

RAP =RM +Rm

2> RP

∆RRP

=(Rm +RM )2 − 4RMRm

2(Rm +RM )· (Rm +RM )

2RmRM

=(Rm +RM )2

4RmRM≈ Rm

4RM

121

Beim GMR-Effekt handelt es sich um einen quantenmechanischen Effekt, der durch dieSpinabhangigkeit der Streuung von Elektronen an Grenzflachen erklart werden kann. Elek-tronen, die sich in einer der beiden ferromagnetischen Schichten gut ausbreiten konnen,weil ihr Spin gunstig orientiert ist, werden in der zweiten ferromagnetischen Schicht starkgestreut, wenn diese entgegengesetzt magnetisiert ist. Sie durchlaufen die zweite Schichtaber wesentlich leichter, wenn die Magnetisierung dieselbe Richtung aufweist wie in derersten Schicht.

Das Schaubild zeigt die Ergebnisse der R-H-Abhangigkeit der Gruppe Fert et al. zu ver-schiedenen Fe/Cr-Kombinationen.

6.2.1 CIP-Geometrie

Im Folgenden werden wir die CIP-Geometrie naher untersuchen.

Boltzmann-Gleichung:

(∂

∂t+ ~V ~∇r + e ~E~∇p

)f(~p, ~r, t) =

(∂f

∂t

)coll

stationar:

122

∂f

∂t= 0

(∂f

∂t

)coll

= −δfσ

τσmit f = f0(~p)︸ ︷︷ ︸

1

e

εp−µkBT +1

+δfσ(~p, ~r)

τσ mittlere Lebensdauer fur Elektronen mit Spin σ.

vF · τσ = lσ = mittl. freie Weglaenge

δfσ(~p, ~r) = δfσ(~p, z)∂εp∂px

= vx

vz∂

∂z+ eEx

∂

∂px(f0 + δf0) = −δfσ

τσ(vz∂

∂z+

1τσ

)δf0 = −eExvx ·

∂f0

∂ε

allgemeine Losung:

δfσ(~p, z) = −eExvxτσ ·∂f0

∂ε+ Fσ(~p, z)e−

zvF τσ︸ ︷︷ ︸

Loesung der homogenen Differentialgleichung

123

Randbedingungen: δfσ(pz >< 0, z) = δf+−σ (pz >< 0, z)

bei z = z0 :

pz > 0 : δf+σ (~p, z = z+

0 ) = Tσδf+σ (~p, z = z−0 )

pz < 0 : δf−σ (~p, z = z−0 ) = Tσδf−σ (~p, z = z+

0 )

F+σ (~p) = A±σ (~p)

(eExvxτσ ·

∂f

∂ε

)fehlende Gleichung

G±σ (~p) = 1−A±σ (~p)e∓z

|vz |τσ

δf±σ (~p, z) = −eExvxτσ ·∂fσ

∂ε·G±σ (pz, z)

124

Strom:

jx = −e∑

σ

∑p

vx · δf±σ (~p, z)

= e2Ex

∑σ

τσ∑

p

v±x ·∂fσ

∂ε·G±σ (pz, z)

gemittelter Strom:

σ = e2∑

σ

τσ∑

p

v2x ·

∂fσ

∂ε·∫

EZ

dz

LzG+

σ (pz, z)

∑p

= V

∫d3p

(2π~)3→ NF · 〈. . .〉FF = NF · 2

∫ 1

0dµ

vz = vF · µ vx = vF

√1− µ2

σ = e2∑

σ

τσv2F

∫EZ

dz

LzNF (z) · 2

∫ 1

0dµ(1− µ2

)G∗σ(p, z)

∆RRA

=R∆ −RP

RP=

1GA − 1

GP

1GP

=GP −GA

GA=~σP − ~σA

~σA

|vz| · τσ = µ · lσ

1)

dCr lCr

dFe lσ

125

parallel:

1dCr + dFe

∫ dCr+dFe

0dz G+

σ (µ, z) ≈ TσdCr + dFe − (1− tσ2)µlσdCr + dFe

≈ 1− lσµ

dFe(1− Tσ)2

G+σ (pz, z = 0−) = 1

G+σ (pz, z = 0+) = Tσ

G+σ (pz, z = d−Cr) ≈ Tσ

G+σ (pz, z = d+

Cr) = T 2σ

G+σ (pz, d

∗Cr < z < (dCr + dFe)−) = 1− (1− T 2

σ )e−z−dCr

µlσ

12(dCr + dFe)

∫ 2(dCr+dFe)

0dz G+

σ (µ, z) =1

2dFe(2dFe − (1− T↑↓)l↓µ − (1− T↓↑)l↑µ) = 1−

l↓ + l↑2dFe

(1−T↓↑)

126

Vereinfachung: l↑ = l↓ = lFe

parallel: ¯G+↑ +G+

↓ = 2− 2µ lFedFe

+ µlFedFe

(T 2↑ + T 2

↓

)antiparallel: ¯G+

↑ +G+↓ = 2− 2µ lFe

dFe+ 2T↑T↓

µlFedFe

Differenz: Parallel-antiparallel:

µlFe

dFe(T↑ − T↓)2

Integration uber µ, Auswertung ergibt:

∆RRA≈ 3

16(T↑ − T↓)2

lFe

dFe

(1− 8

3dCr

lCr

)Spezialfall: Eisen dick, Chrom schmal

Beispiel: T↑ = 1 , T↓ = 12

dCr lCr , dFe lσ

127

genauere Rechnung:

∆RRA

=32

(T↑ − T↓)2e− dCr

lCr

dFelFe

(dCrlCr

)2

wichtig: dCr < lCr = tCr · vF,Cr

6.3 Spin-Bahn-Kopplung

Als Spin-Bahn-Kopplung bezeichnet man die Wechselwirkung des Bahndrehimpulses einesElektrons in einem Atom mit dem Spin des Elektrons.

Die Spin-Bahn-Kopplung lasst sich anschaulich in einem semiklassischen Modell begrunden.Eine strengere Herleitung erfolgt im Rahmen der Dirac-Theorie.Aus der Maxwelltheorie und der speziellen Relativitatstheorie folgt, dass auf ein Elektron,wenn es im elektrischen Feld eines Atomkerns kreist, ein magnetisches Feld in seinemRuhesystem wirkt. Im Ruhesystem des Elektrons wird namlich eine Bewegung des Kernswahrgenommen. Diese Bewegung stellt aufgrund der Ladung des Kerns einen Kreisstromdar, welcher zu einem Magnetfeld fuhrt.Laut der Theorie des Elektronenspins besitzt aber auch das Elektron selbst ein magneti-sches Moment. Dieses magnetische Moment koppelt an das magnetische Feld des Kerns, sodass fur eine Spinrichtung die Energie erhoht und fur die andere Spinrichtung die Energieverringert wird. Da so ein einzelnes Niveau wegen der zwei moglichen Spinrichtungen inzwei Niveaus aufgespaltet wird, gibt es auch zwei leicht unterschiedliche Linien in denSpektren der Elemente, wo bei grober Betrachtung nur eine sichtbar ist.

128

6.3.1 Mikroskopische Spin-Bahn-Kopplung

H =~p2

2m+ V (~r)− ~p4

8m3c2+

~4m2c2

(~∇ · ~p

)

+~

4m2c2

(~∇× ~p

)· ~σ = HSO ∼

(vF

c

)2 1

Spin-Bahn-Wechselwirkungen treten auf, wenn schwere Atome im Material vorhanden.

e ~E = ~∇V

~B¬0 : Hz = −µ~B~s ~s =s

2~σ, µ =

e

mc

in Atomen:

〈s′z, l′z, n′|HSO|n, lz, sz〉 = α ·~l · ~s

α ist Proportionalitatsfaktor

Metalle, Halbleiter:

H =~p2

2m+ V (~r) +HSO Hψ = Eψ, V (~r) = V (~r + ~a)

V (~r) ist periodisch.

ohne SO: Bloch-Theorem

ψ~k(~r) = u~k

(~r) · ei~k~r

Die Blochfunktion u~k(~r) ist periodisch u~k

(~r) = u~k(~r + ~a) mit Gittervektor ~a und un-

abhangig vom Spin.

mit SO: Elliot 1954, Phys.

ψ~k,0(~r) =

[a~k

(~r)| ↑〉+ b~k(~r)| ↓〉]· ei~k~r

Hier bezeichnet ψ~k,0(~r) den Grundzustand und a~k

(~r) sowie b~k(~r) sind periodisch mit Git-tervektor ~a.

129

Symmetrie:

P Umkehr-/Inversionsoperator

~r → −~r

V (~r) = V (−~r) ⇒ gleiche Symmetrie fur ψ~k,0

ak(−~r) = a−k(~r)

bk(−~r) = b−k(~r)

Pψ~k,0= P

[(a~k

(~r)| ↑〉+ b~k(~r)| ↓〉)· ei~k~r

]=(a ~−k

(~r)| ↑〉+ b ~−k(~r)| ↓〉

)· e−i~k~r

T Zeitumkehroperator

Tψ(~r) = ψ∗(~r)

T | ↑〉 = | ↓〉

T | ↓〉 = −| ↑〉

T Pψ~k,0(~r) =

(a∗~−k

(~r)| ↓〉+ b∗~−k(~r)| ↑〉

)· ei~k~r = ψ~k,1

ei~k~r zeigt, dass es sich hierbei um eine Blochwelle mit demselben Impuls handelt.

T Pψ~k,0= psi~k,1

T HT−1−H︷︸︸︷⇐⇒ Ek,1 = Ek,2

T Pψ~k,0= psi~k,1

P HP−1−H︷︸︸︷⇐⇒ Ek,1 = Ek,2

Fur P HP−1 − H ist i.A. En,0 + Ek,1

130

6.3.2 Spin-Bahn-Kopplung in Halbleitern

H = H0 + HSO

=~2~σ · ~Ω(~k) σz|0〉 = |0〉

=~2σz · Ωz(~k) σz|1〉 = | − 1〉

ohne Symmetrie: Bulk Inversion Asymmetry (BIA)

1955 Dresselhaus1971 Dyakonov, Perel

131

Structure Inversion Asymmetry (SIA)

HSO ∼(~E × ~k

)~σ ~E = (0, 0, Ez)

∼ Ez(σxky − σykx)

HSO = αR(σxky − σykx)

αR bezeichnet die Rashba-Spin-Bahnkopplung.

132

6.3.3 Datta-Das-Transistor

1990 stellten Datta und Das den Datta-Das-Transistor vor, bei dem der Elektronenspinkoharent zwischen zwei ferromagnetischen Elektroden transportiert wird. Die Spindyna-mik wird uber den Rashba-Effekt (siehe 6.3.2) kontrolliert, der von elektrischen Felderneiner Gatterelektrode verursacht wird. Je nach Spinrichtung, die vor dem Tunneln in denKollektor vorliegt, ergibt sich ein hoher oder niedriger Leitwert.

Mittels einer ferromagnetischen Zuleitungwerden spinpolarisierte Elektronen injeziert,die ballistisch zu einer anderen ferroma-gnetischen Elektrode transportiert werden.Uber die Spin-Bahn-Kopplung wird derSpin beim Durchgang durch die Probekoharent durch die elektrischen Felder derGatterelektrode beeinflusst.

Dadurch wird das Tunneln in den Kollektor gezielt gesteuert.Referenz: S. Datta and B. Das, Appl. Phys. Lett. 56, 665 (1990).

Spin-field-effect-transistor (SFET)

Zur Vereinfachung legen wir fest: ~k = (kx, 0, 0)

133

HSO = −αRkxσy

αR = αR(Vg)

~B = (0, By, 0)

= (0,−2αRkx, 0)

~B kann man als effektives Magnetfeld bezeichnen. Der zweite Ferromagnet dient als Spin-filter; der Strom wird durch Vg reguliert.

6.3.4 Spin-Filter

Abschließend wollen wir uns mit Spinfiltern beschaftigen.

Wir gehen dabei von idealen eindimensionalen Drahten aus.

εuk = εou +~2k2

2m− αu

Rkxσy

= εou +~2

2m(kx − ku

SOσy)2

134

Magnetfeld ~B: Bahnkopplung, kein Zeeman-Effekt

~B(0, 0, Bz)

~B = ~∇× ~A ~A(Bzy, 0, 0)

Hu = − ~2

2m

(~∇− ie

~c~A

)2 ∇ → ik︷︸︸︷−→ ~2

2m

kx −e

~cAx︸ ︷︷ ︸

PB= ed~c

Bz

2

εUk = εUk +~2

2m(kx − pB − kSOσy)

2

135

136

Kapitel 7

Quantencomputer

Diese Kapitel stellt eine mathematische Einleitung bzw. Wiederholung der Quantenmecha-nik von Spins dar. Die Kenntnis dieser theoretischen Konzepte ist fur Kapitel 8 QuantumComputation wichtig, da sie die Grundlage fur die dort dargestellten Forschungsgebietedarstellt.Wir wollen uns im Naheren zuerst einmal mit der zeitabhangigen Schrodergleichung unddem Zeitentwicklungsoperator auseinandersetzen.Die weitere Betrachtung fuhrt uns dann zu Spin-1/2-Systemen und deren Eigenschaften,sowie zur Superposition von Spins, dem Blochkugel-Konzept, der Zeitentwicklung der Su-perposition und Oszillationen.Abschließen werden wir dieses Kurzkapitel mit der Betrachtung der Drehung der Spins,der Rabi-Oszillationen und von Systemen mehrerer Spins.

137

7.1 Quantenmechanik von Spins

7.1.1 Zeitabhangige Schrodingergleichung und Zeitentwicklungsopera-tor

Die zeitabhangige Schrodingergleichung lautet:

i~∂

∂tψ(t) = H(t)ψ(t)

Ihre stationaren Losungen sind:

ψn(t) = e−i~ Entψn(0)

H(t) = H ⇒ Hψn = Enψn

Die Zeitentwicklung eines beliebigen Zustandes lasst sich darstellen als:

ψ(t) = U(t, t0)ψ(t0)

Der dazugehorige Zeitentwicklungsoperator lautet fur

H = const. U(t, t0) = e−i~ H(t−t0)

H 6= const. [H(t1),H(t2)] = 0 U(t, t0) = e− i

~R t

t0dt′H(t′)

[H(t1),H(t2)]¬0 U(t, t0) = Te− i

~R t

t0dt′H(t′)

T ist hier der Zeitordnungsoperator.

T

(1− i

~

∫ t

t0

dt′H(t′)− 12

1~2

∫ t

t0

dt′H(t′)∫ t

t0

dt′′H(t′′) . . .)

= 1− i

~

∫ t

t0

dt′H(t′)− 12

1~2

∫ t

t0

dt′H(t′)∫ t

t0

dt′′H(t′′)︸ ︷︷ ︸− 1

21

~2

R tt0

dt′R t

t′ dt′′H(t′′)H(t′)

= 1− i

~

∫ t

t0

dt′H(t′)− 1~2

∫ t

t0

dt′H(t′)∫ t

t0

dt′′H(t′′)

Es handelt sich um eine unitare Zeitentwicklung UU † = 1.

138

7.1.2 Spin-1/2-Systeme und Blochkugel-Darstellung

Nun wollen wir uns mit Spin 1/2-Systemen beschaftigen.Der interne Drehimpuls lautet:

|~S| = ~2

Er lasst sich auch mit Hilfe von Pauli-Matrizen darstellen:

~S =~2~σ σx =

(0 11 0

)σy =

(0 −ii 0

)σz =

(1 00 −1

)

=(

1 00 1

)σ2

x = σ2y = σ2

z

Das magnetische Moment von Elektronen lautet:

~µ = µB~S 2

~ = µB~σ; µB ≡ µ

Der Spin im Magnetfeld ~B lasst sich folgendermaßen ausdrucken: H = −µB~σ ~B

z.B. fur ~B = Bez ⇒ H = −µB(

1 00 −1

)Die dazugehorigen Eigenzustande und Eigenwerte sind:

det

(−µB − E 0

0 µB − E

)= 0 ⇒ E0,1 = ∓µB

ψ0 = |0〉 =(

10

)= | ↑〉E0 = −µB

ψ1 = |1〉 =(

01

)= | ↓〉E1 = +µB

Fur ein allgemeines Feld gilt nun: ~B = Bxex +By ey +Bz ez

H =(

−µBz −µBx + iµBy

−µBx − iµBy +µBz

)⇒ E0,1 = ∓µ

√B2

x +B2y +B2

z

139

ψ0,1 wird nach den Regeln der Linearen Algebra aufgestellt.

Mittels Superposition erhalt man dann: |ψ〉 = a|0〉+ b|1〉 =(ab

)Es stellt sich die Frage, in welche Richtung der Spin zeigt?

〈ψ|σx|ψ〉 = (a∗, b∗)(

0 11 0

)= a∗b+ b∗a

〈ψ|σx|ψ〉 = −ia∗b+ iab∗

〈ψ|σz|ψ〉 = |a|2 − |b|2

Anhand der Blochkugel konnen wir dies darstellen:

Der Einfachheit halber kann man sich die Bloch-Kugel wiedie Erde mit Nord- und Sudpol vorstellen. Die beiden Po-le entsprechen dann den Vektoren einer vorgegebenen Ba-sis, aus denen die Uberlagerungen gebildet werden. Zustande,die auf dem Aquator der Bloch-Kugel liegen, entsprechen je-nen Zustanden, die zu gleichen Anteilen aus beiden Grund-zustanden bestehen. Wenn man sich die Grundzustande wei-terhin als Pole der Kugel vorstellt, dann bestehen jene Punk-te, die auf der Nordhalbkugel liegen, zu großeren Anteilendes Grundzustands im Norden der Kugel. Punkte auf derSudhalbkugel hingegen setzen sich zu einem großeren Teil ausdem Grundzustand des Sudpols zusammen.(Quelle: wikipedia)

z.B. |ψ〉 =1√2

(|0〉+ |1〉) zeigt in x−Richtung

|ψ〉 =1√2

(|0〉+ eiϕ|1〉

)zeigt in x− y − Ebene

140

So konnen wir die Zeitentwicklung der Superposition aufstellen:

fur ~B = Bz ez → U(t, 0) = ei~ µBztσz =

(e

i~ µBzt 00 e−

i~ µBzt

)

|psi(t)〉 = U(t, 0)1√2

(|0〉+ |1〉) =1√2

(e

i~ µBzt

e−i~ µBzt

)

⇒ 〈ψ(t)|σx|ψ(t)〉 = cos(

2µBzt

~

)

〈ψ(t)|σy|ψ(t)〉 = − sin(

2µBzt

~

)⇒ Larmor − Prazession mit ωθ =

2µBz

~

Allgemein:

Schaubilder

〈ψ(0)|ψ(t)〉 = cos(µBz

~t

)koharente Oszillationen

Drehung eines Spins

Beispiel |ψ〉 =(

10

)

~B = Bxex → U(t, 0) = ei~ µBxtσx

µBxt

~= α

U = 1 + iασx −12α2σ2 − iα

3!σ3

x +α4

4!σ4

x . . .

=(

1− 12α2 +

14!α4 . . .

)+ iσx

(α− α3

3!. . .

)= cosα 1 + i sinασx

=(

cosα i sinαi sinα cosα

)

|ψ(t)〉 = U

(10

)=(

cosαi sinα

)141

Rotation in y-z-Ebene mit ω0 = 2µBx

~

〈σx〉 = 0

〈σx〉 = −i cosα · i sinα+ i cosα(−i sinα) = sin 2α

〈σx〉 = cos2 α− sin2 α = cos2 α

7.1.3 Rabi-Oszillationen

Teilchen-Wechsel-Dich: Bei der Rabi-Oszillationkonnen Atome (gelb) durch schnelles Schalten desMagnetfeldes (Magnetfeldlinie blau) in Molekule(rot) uberfuhrt werden und umgekehrt. Zu bestimm-ten Zeiten befinden sich die Teilchen in einemUberlagerungszustand (gelb und rot), in dem siegleichzeitig Atom und Molekul sind.(Quelle: MPI fur Quantenoptik)

dc + ac Magnetfeld

~B = Bz ez + B cos(ωt)ex − B sin(ωt)ey zirkular polarisiertes Wechselfeld

→ H = −12

~ω0σz −12

~ω (cos(ωt)σx − sin(ωt))

~ω0 = 2µBz , ~Ω = 2µB ”Rabi− Frequenz”

→ H = −12

~ω0

(1 00 1

)− ~Ω

2

(0 eiωt

e−iωt 0

)

H vertauscht zu verschiedenen Zeiten nicht.

142

Transformieren wir nun ins mitrotierende System.

unitare Transformation Ur = eiω0t2σz

ψ′ = U †rψ , H ′ = U †rHU − i~U †rUr

⇒ i~∂

∂tψ = Hψ und i~

∂

∂tψ′ = H ′ψ′

Wahle ω = ω0

H ′ = −~Ω2σx

⇒ Drehung um x-Achse des rotierenden Systems mit Frequenz Ω

ψ′(t) = eiΩ2

σxtψ′(0)

im Laborsystem ψ(t) = Ur(t)ψ′(t) = Ur(t)eiΩ2

σxtψ′(0)

2 Schaubilder

Mehrere Spins

Produktzustande | ↑〉1| ↑〉2 ≡ | ↑↑〉 , | ↑〉1| ↓〉2

1√2

(| ↑〉1 + | ↓〉1) ·1√2

(| ↑〉2 + | ↓〉2) =12

(| ↑↑〉+ | ↓↑〉 − | ↑↓〉 − | ↓↓〉)

Es gibt auch Zustande, die ”verschrankten Zustande”, die sich nicht als Produkt darstellenlassen.

Beispiel:1√2(| ↑↓〉+ | ↓↑〉) Singlett oder Triplett mit m = 0

Sie entstehen auf Grund von Wechselwirkungen.Interessant, z.B. folgt daraus Einstein-Podolsky-Rosen-Paradoxon oder Bell’sche Unglei-chungen.

143

Kapitel 8

Quantum Computation

144

Quantum Computation

Gerd Schön University of Karlsruhe, Germany

1. Principles of Quantum Computing2. Physical Realizations of Qubits

Principles of Quantum Computation: a Physicist’s ViewComputation is a Physical Process!

• Physics of 2-level quantum systems (spins)- states: superposition, entangled states- unitary time evolution (spin flip, spin rotation, phase shifts,…)- phase coherence, dephasing, measurement process

• Elementary operations for quantum computation: “gat es”NOT, U(ϕ), CNOT, CU(ϕ), ... reversible! (unitary time evolution)quantum parallelism ⇒ huge gain in speedreduction by measurement ⇒ huge loss of information

• Examples of quantum computation- discrete Fourier-transformation- Shor’s algorithm for factorizing large integers- principles of error correction

• Physical realizations of qubits and gates

Dorit Aharonov, Quantum Computation, quant-ph/9812037

NOT ,

10

0

= ↑ =

Spin-1/2 System:

• basis states

• superposition

• N spins: Hilbert space of 2N dimensions

- ‘simple’ states (product states)

- ‘entangled’ states (cannot be written as product state)

e.g. spin singlet state:

arise as result of interaction

‘exotic’ ⇒ Bell’s inequality, EPR paradox

01

1

= ↓ =

,

2 2, | | | | 1α

ψ α β α ββ

= ↑ + ↓ = + =

( ) ( ) ( )1 1 2 21 1 2 2... N NN N

ψ α β α β α β= ↑ + ↓ × ↑ + ↓ × ↑ + ↓

( )1

2= ↑↓ − ↓↑ψ

2 *

2*

,

,

⇒ = =

α αβρ ψ ψ

α β β

• Time evolution described by Hamiltonian / unitary operationphase coherent, reversible

• Quantum statistics: density matrix ρ (t)

pure state

‘mixed states’ described only by ρdephasing ⇒ off-diagonal elements decay

( ) ( ) ( )i t H t tt

∂ Ψ = Ψ ⇔∂

h

ψ α β= ↑ + ↓

• Operators: Pauli matrices σx, σy, σz

e.g. spin in magnetic field x x y y z zH B B Bσ σ σ= + +

0

( ) (0, ) (0)

(0, ) T exp ' ( ')

1+

=

= −

=

∫h

t

t U t

iU t dt H t

UU

ψ ψ

Quantum computation:

• store information in spin state / qubit

• program: manipulate qubits by controlling Hamiltonian

• Model Hamiltonian (switch on and off and ):

( ) ( ) ( )1

( ) . .+ −= < = − + − + ∑ ∑

Ni i i i ij i jx x z z

i i j

H t B t B t J t h cσ σ σ σ

( )iB tν ( )ijJ t

• single-bit logic gate: spin rotation of spin i

( )( )

cos sin( ) / ,

sin cosexp

= −

= =

= hh

i ix x

ii i xx x

i

H t B

i BU i B

i

σϕ ϕ τϕ σ τ ϕϕ ϕ

for some time τ

creates superposition of states, logic NOT for ϕ = π/2, NOT for ϕ = π/4.

• two-bit gate: for spins i and j

2

1 0 0 0

0 cos sin 0( )

0 sin cos 0

0 0 0 1

ibit

iU

i

γ γγ

γ γ−

=

( ) . .ij i jH t J h cσ σ+ −= − +

/ijJγ τ= h

creates entanglement, logic SWAP for γ = π/2, SWAP for γ = π/4, ΧΝΟΤ, ...

for some time τ

i j

i j

i j

i j

↑ ↑

↑ ↓

↓ ↑

↓ ↓

in basis

Rabi oscillations

0

1 1

2 2(cos sin )= − − Ω +h hz x yRH t tω σ ω σ ω σ

1

2'= − Ωh xRH σin rotating frame

(unitary transformation)→ rotation around x-axis

operate at resonance 0=ω ω

in lab frame

Elements of quantum computation:classical: bits, registers, elementary gate NAND is sufficient,

reset bits to zero (delete information, enhance entropy)functions x → f(x) , in general irreversible

quantum: qubits, quantum register, universal set of gates,all steps (except measurement) phase coherentfunctions |x,0> ↔ |x, f(x)> reversible

2N numbers represented by register of N qubits|0> = |00...00>

|1> = |00...01>...

|2N–1> = |11...11>

/2

2 1

0

1( 0)

2

N

Nx

t xψ−

== = ∑

Quantum Parallelism

Start with superposition of states (e.g. all integers 0 ≤ x ≤ 2N-1 )

perform unitary operations (= program) on all states simultaneously.

I.e. get whole function in one calculation.

⇒ Massive parallel computation!

, 0 , ( )x x f x→

Quantum Measurement: At the end one can read out the state of N qubits.

Hence one obtains much less information than contained in the quantum states (2N amplitudes).

For some applications this is enough! • Shor’s algorithm for factorization of large integers

• Grover’s algorithm for seeking a needle in a haystack

• Simulating quantum problems (time evolution, ground state,…)

Examples: Hadamard gateacting on one qubit (i)

( )

( )↓−↑→↓

↓+↑→↑

212

1

H

ϕ

,

,ie ϕ

↑↑ → ↑↑ ↑↓ → ↑↓

↓↑ → ↓↑ ↓↓ → ↓↓

controlled phase shift gateacting on 2 qubits (i and j)

1 11 πexp 1

1 1 22 2

+= = − − −

i ix zi

σ σ

( )( )exp i j i jx x y yiϕ σ σ σ σ⇔ − +

spin 1

spin 2

spin N

0 ..

1 ..

...

2 1 ..

= ↑ ↑ ↑ ↑

= ↑ ↑ ↑ ↓

− = ↓ ↓ ↓ ↓Nsuperpositionof all states

2 1

0

−

=∑N

xx

a x

H

H

ϕ21H

H

ϕ32

ϕ41ϕ42

ϕ31

Example: Fourier transformation

ϕ43

ϕij = π/2|i-j |

2 1

0

2 1

0

1 2exp

2 2

−

=−

=

=

∑

∑

N

N

kk

xk N Nx

c k

i k xc a

π

# of quantum gates ~ N2 classical FFT ~ 2N

Factorization of large integers

The factorization of large integers with N digits is intractable on a classical computer (state of the art, best known algorithm):

t ≈ exp[a N1/3] ≈ 1 month CPU for N =130 digitsexponential ≈ 1010 years for N =400 digits

quantum computer (Shor’s algorithm):

t ≈ a N3 ≈ 1 month (e.g.) for N =130 digitspolynomial ≈ 3 years for N =400 digits

High interest in the problem since RSA cryptosystem(used by banks, Netscape, ...).Relies on assumption that the factorization is hard.

RSA cryptosystem (Rivest, Shamir, Adleman ‘78)

Alice public channel Bobp,q large primes, n = p qp=5, q=3 n= 15e > 1 coprime with p -1,q -1e=3 no common divisor with 4, 2

←←←← n,e: public key e d = 1 mod(p -1)(q -1)n=15,e=3 3 d = 1 mod 8 → d=3

n,d: secret key

message m → me mod n (me)d mod n = m

m = 2 23 mod 15 = 8 83 mod 15 = 512 mod 15 = 2

3 33 mod 15 = 12 123 mod 15 = 1728 mod 15 = 3

4 43 mod 15 = 4 43 mod 15 = 4

5 53 mod 15 = 5 53 mod 15 = 5

Shor’s algorithm

1. Elements of number theory:

• find factors of n (=p q) ⇔ find period r of fa,n(x) = ax mod n‘intractable’ on x = 1,2,3,…. a random, coprime with n

classical computer equally ‘intractable’

• if r is even, and r mod n ≠ -1 ⇔ p,q = gcd(ar/2 ±1,n)

• greatest common divisor, can be found in polynomial time (Euclid, 300 BC)

Example: n = 15 select a = 2 x = 1,2,3,4,5,6,7,... ⇒ fa,n(x) = ax mod n = 2,4,8,1,2,4,8,1, ... ⇒ period r = 4ar/2 = 4, p = gcd(3, 15) = 3, q = gcd(5, 15) = 5 ⇒ n = 3 x 5

for a = 7 ⇒ fa,n(x) = ax mod n = 7,4,13,1,7,4,13, ... ⇒ period r = 4different function fa,n (x), but same period, ar/2 = 49, p = gcd(48, 15) = 3, q = gcd(50, 15) = 5 ⇒ n = 3 x 5

for a = 14 ⇒ fa,n(x) = ax mod n = 14,1,14,1,14,1,14 ... ⇒ period r = 2ar/2 = 14, method fails

2. Exploit quantum parallelism:compute fa,n(x) = ax mod n for all x simultaneously

• initial state |0N>|0N> (2N qubits)• apply N Hadamard gates H1H2...HN|0N>|0N> = |x>|0N>

⇒ superposition of all x

• apply U ⇒ |x>|fa,n(x)> ⇒ whole function is encoded in register!

This information cannot be read out! But we need only period!

• measure second register, obtain some value j,

⇒ project onto subspace of those states |x>|j > where fa,n(x) = j

example: n=15, a = 2

measure j = 2 ⇒ post measurement state = (|1> + |5> + |9> + ...)|2>

measure j = 4 ⇒ post measurement state = (|2> + |6> + |10> + ...)|4>...

• different measurements yield different j, project onto different subspaces,

all have same period r, but different offset kj: |ψ> = |i r+kj >|j >

3. Apply discrete Fourier transform to find r⇒ factorization of large integer in polynomial time!

2 1

0

1

2

N

Nx

−

=∑

2 /

0

N r

i=∑

Error correction

• Classical digital computers are reliable (0.9 → 1, 0.1 → 0)

usually need no error correction.

• If needed, do so by majority vote: 0 → (000), 1 → (111) single bit flip error, e.g. (001), can be detected and corrected.

• Quantum computer suffers from

- more errors: bit flip |0> ↔ |1>

phase errors a |0> + b |1> → a eiβ |0>+ b |1>

- measurement interrupts quantum computation

- cloning of quantum state is not possible

Quantum error correction : (example bit flips only)

• encode logical bits with 3 qubits |0 > = |000>, |1> = |111>• check by quantum non-demolition measurement whether spin flip occurred,

read out syndrome (not the state!) and correct if needed.

input outputa|000>+b|111> |x> a|000>or degraded |y> +a|100>+b|011> |z> b|111>

ancilla |0> |y ⊕ z>ancilla |0> |x ⊕ z> correction

syndrome measured(00) ⇔ no error(01) ⇔ 1st bit flipped,(10) ⇔ 2nd bit flipped,(11) ⇔ 3rd bit flipped

All errors can be corrected by 9 qubit encoding (Shor 95)5 qubit encoding (DiVincenzo + Shor 96)

Requirements for Quantum Information Systems(DiVincenzo criteria)

1. N well defined qubits, scalable to large N2. preparation of well-defined initial state

3. all single-bit gates and some two-bit gates, forming universal set

4. long phase coherence time τϕ/τop ≥ 104

5. read-out

NMR[Chuang et al., Vandersypen et al.]

+ etablierte Technologie+ langes tϕ+ 7 qubits gekoppelt

+ 15 = 3 x 5 demonstriert– nicht zu großen N skalierbar– sehr langsam

Kernspins auf nichtäquivalenten Plätzen

B⊥(t)

Bz

Ionen in Fallen[Cirac und Zoller (96), Wineland et al.]

+ großartige Experimente+ langes tϕ+ 4 gekoppelte qubits– schwer in Elektronik integrierbar– schwer zu großen N skalierbar Laser ћω ≈ Ee-Eg

2-Zustands-Iong

e

Physikalische Realisierungen:

Electron spins in gated structures[Loss & DiVincenzo]

+ τϕ for spins > τϕ for charge+ precisely 2 states- experimental challenge

Quantronium(Saclay)

Josephson junction qubits[Mooij, …]

+ technology available (SET, SQUID)+ integrable into electronic circuit+ scalable- experimental challenge

Kapitel 9

Josephson Qubits andDecoherence

155

Josephson Qubits and Decoherence

Gerd Schön University of Karlsruhe, GermanyAlexander Shnirman University of Karlsruhe, GermanyYuriy Makhlin → Landau Institute

1. Physics of Josephson Junction Qubits2. Relaxation and Decoherence

Some references

A. Shnirman, G. Schön, and Z. HermonQuantum Manipulations of Small Josephson JunctionsPhys. Rev. Lett. 79, 2371 (1997)

Y. Nakamura, Y.A. Pashkin, J.S. TsaiCoherent Control of Macroscopic Quantum States in a Single-Cooper-Pair BoxNature 398, 786 (1999)

D. Vion, A. Aassime, A. Cottet, P. Joyez, H. Pothier, C. Urbina, D. Esteve, M. H. Devoret Manipulating the Quantum State of an Electrical CircuitScience 296, 886 (2002)

I. Chiorescu, Y. Nakamura, C.J.P.M. Harmans, J.E. MooijCoherent Quantum Dynamics of a Superconducting Flux QubitScience 299, 1869 (2003)

Yu. Makhlin, G. Schön, and A. Shnirman, Quantum-state Engineering with Josephson-Junction Devices, Reviews of Modern Physics 73, 357 (2001)

1. Josephson Junction Qubits

Single-electron Box

island

ntunnel junctioncapacity CJ

control gate

electrode capacity CG

gate voltageVG

1 2 30-1

Ech(n,VG)

n=0 n=1 n=2 n=3n=-1

CGVG /e

n

1 2 30-1

3

2

1

-1

Devoret et al. (90‘s)

Charging energy

2

ch( )

( , )2

G GG

ne C VE n V

C

−=

C = CJ + CG

n = ..., -2, -1, 0, 1, 2, ...# of excess electrons on the island

Superconducting Single-charge Box: EC « ∆

complete suppression of quasiparticle tunnelingCopper pair charges 2e tunnel

Josephson Junctions

Josephson relations

Balance of currents

classical and quantum description

tilted washboardpotentialenergy scale:

Hamiltonian

charge and phaseare conjugate variables

Macroscopic Quantum Tunneling

T = 0Quantum tunnelingVoss & Webb '81Martinis et al. '87

finite T Thermal activationFulton & Dolan ‘70s

Dissipation due to shunt resistor 1/RS, modeled by bath of harmonic oscillators: Caldeira & Leggett '81

⇒ reduction of tunneling rate (more classical)

U(φ)

φ

Josephson Charge Qubit

• charging energy (Cooper-pairs)

2-state system= qubit

Shnirman, G.S., Hermon ‘97

• Josephson coupling

• Hamiltonian

controlled

Voltage- and flux-controlled qubit

Qubits coupled by an LC −−−− oscillator

Observation of coherent oscillations : Nakamura, Pashkin, and Tsai, ‘99

≈ 50 oscillations τop ≈ 50 …100 psec, τϕ ≈ 5 nsec

z xg Jch11

2 2( )σ σE VH E= − −

Qg/e

( ) ( ) ( )0 10 1

/ /e eiE t iE tt a t b tψ ψ ψ− −= +h h

Quantronium (Saclay)

Operation at saddle point: to minimize noise effects

- voltage fluctuations couple transverse- flux fluctuations couple quadratically

2

ch J2 x0g0

g x

1 1 2x z

1

2 4g xz

2δ δ V

E E

VH VEτ ττ Φ

∂ ∂∂ ∂Φ

− ∆ Φ= − −

Charge-phase qubit EC ≈ EJ

0

g xJ

gC 2 θcos(π ) cos

eE

CH n

VE= − − Φ

Φ2 ( )

gate

Cg Vg/2eΦx /Φ0

x y

z

x y

z

π2( )

xtd

ϕ= ∆ Eh dt

ϕ

ϕ

x y

z

ϕ

gatevoltage

time

π2( )

xσz final< > =cos

Ramsey fringes

Tool box:

1 1

2 2(cos sin )z z x yRH B t tσ ω σ ω σ= − − Ω +

1

2' xRH σ= − Ωin rotating frame

(unitary transformation)

operate at resonance zBω =

in lab frame

Free decay (Ramsey fringes)

Echo signal

π/2 π/2

π/2 π π/2

0

0

t

tt/2

τ

Echo experiment

Rabi oscillations

0 200 400 600 800

25

30

35

40

45

50

55detuning=50MHz

T2 = 300 ns

switc

hing

pro

babi

lity

(%)

Delay between π/2 pulses (ns)

Decay of Ramsey fringes at optimal point

π/2 π/2

Vion et al., Science 02, …

Vion et al., 2003

Gaussian noise

Sδ

ω1/ω

4MHz

SNg

ω

1/ω

0.5MHz

-0.3 -0.2 -0.1 0.0

10

100

500

Coh

eren

ce ti

mes

(ns

)

Φx/Φ0

0.05 0.10

10

100

500Free decaySpin echo

|Ng-1/2|

2 Coupled charge qubits/CNOT operation: NEC: Yamamoto et al., 02, 03

Coupling of Qubits

Josephson Flux Qubits

rf-SQUID

2 states, macroscopically distinct:clockwise and counter-clockwise currents

Improved design: Mooij et al. '99

two minima ‘close’ to each othernot macroscopically distinct

Flux qubit: Chiorescu et al. (Delft) '02

0 10 20 30 40 50 60 70 80

0

20

40

60

80

100

F=6.512 GHzA=-3 dBm

N- number of averaged events N=1 N=10 N=10000

switc

hing

pro

babi

lity

(%)

RF pulse length (ns)

The Measurement Process

Bloch equations, relaxation (Γrel = 1/T1) and dephasing (Γϕ = 1/T2)

( ) $ $

1 20

1 1( )z x y

dM B M M M z M x M y

dt T T= × − − − +

r r r$ Bloch (46,57)

Redfield (57)

For 2-level system (spin 1/2) is determined by density matrixM

0

exp

tanh2

↑

↓

Γ = − Γ

=

B

B

z

z

B

k T

BM

k T

thermal equilibrium

2. Relaxation and Decoherence/Dephasing

[ ]Trσ σρ= =M

00 01

10 11

ρ ρρ

ρ ρ

=

00 00 11

11 00 11

01 01 01zBi ϕ

ρ ρ ρρ ρ ρρ ρ ρ

↑ ↓

↑ ↓

= −Γ + Γ= Γ − Γ= − − Γ

&

&

&

0

rel

( ) /( )M↑ ↓

↓ ↑ ↑ ↓

Γ = Γ + Γ= Γ − Γ Γ + Γ

↓Γ0

1

Relaxation

2

2

0 + 1

0

1

=

=→ a

b

a b

p a

p b

probability

ϕΓ

Dephasing

Sources of noise

‘external’:- electro smog (reduce by shielding)- background charge fluctuations- nuclear spin flips- …

intrinsic:- quasiparticle tunneling (suppressed at low T)- fluctuations due to control circuit- fluctuations due to measurement device (need quantum switch)- …

Properties of noise

- Gaussian or non-Gaussian- spectrum: Ohmic (white), 1/f, ….- different coupling

Classification of noise

longitudinal – transverse – quadratic (longitudinal) …

21 1 1 1

2 2 2 2 cos sin z z x z BathH E X X X Hσ η σ η σ σ= − ∆ − − − +

1

2( ) ( ), (0)X

i tS dt X t X e ωω+

= ∫

Bosonic bathCaldeira, Leggett 81

Gaussian noise with power spectrum:

Ohmic noise:

1/f noise:

Transverse coupling ⇒⇒⇒⇒ relaxation

1 1

2 2z x BathH E X Hσ σ= − ∆ − +

Golden Rule:

( )

( )

[ ]

2

,

,

2

2

2

/

/

2 1| |

4

2 1 1| | | | exp /

4 2

1| ( ) (0) | exp /

4

1( ) (0)

41

( ) (0)4

i i fi f

i i fi f

ii

E

E

i X f E E E

i X f f X i dt i E E E t

dt i X t X i i Et

X t X

X t X

ω

ω

π ρ δ

π ρπ

ρ

↑

↓

=∆

=−∆

Γ = + ∆ −

= + ∆ −

= ∆

=

Γ =

∑

∑ ∫

∑∫

h

h

h

hh h

hh

h

h

21

rel1 1

( / )2 XS E

Tω↑ ↓≡ Γ = Γ + Γ = = ∆ h

h

compare “P(E)-theory”

Longitudinal coupling ⇒⇒⇒⇒ pure dephasing

1 1

2 2z z z BathH B X Hσ σ= − − +

X treated as classical, Gaussian random field

01 1 2 1 220 0 0

1( ) exp ( ) exp ( ) ( )

2

t t tit X d d d X Xρ τ τ τ τ τ τ

∝ − = −

∫ ∫ ∫

h h

2

2 2 2

1 sin ( / 2) 1exp ( ) exp ( 0)

2 2 ( / 2) 2X X

d tS S t

ω ωω ωπ ω

= − ≈ − ≈

∫h h

2

2

sin ( / 2)2 ( )

( / 2)

tt

ω πδ ωω

≈

2* 1

( 0)2 XSϕ ωΓ = ≈h

0 0

01 ( ) ( )exp exp( ) 0 (0) 1t ti i

H d H dt T Tτ τ τ τρ ρ− = ∫ ∫

h h

off-diagonal comp. of density matrix

Dephasing due to 1/f noise, nonlinear coupling, T=0, … ?

Example: Ohmic noise

2rel

2 co

2sinth

EE

T

α η∆Γ = ∆

* 2cosTϕ α ηΓ =

( ) coth2XST

ωω α ω=

⇒rel

1

21

2s n( i

1)XS E

Tω η= Γ = = ∆

1

2

2

1 1

2 2co

1 1( 0) sXS

T Tϕ ω η= Γ = + ≈

Exponential decay law for linear coupling, regular spectra, T ≠ 0

pure dephasing: *ϕΓ

1 1 1

2 2 2cos s i n z z x BathH E X X Hσ σ ηη σ= − ∆ − − +

General, linear coupling

Josephson Charge Qubit + Ohmic Resistor

RCJ

Cg

Vx

Ohmic Resistor

relB

22

2g

J

s4 co inth/ 2

CR E E

h e C k Tπ η

∆ ∆Γ = h

( ) coth2V

B

S Rk T

ωω ω= hh

⇒

ch Bath

Bath

ch

gJ

J

g

J

J

1 1

2 2

1

2

σ σ δ σ

scδ in η( )

ta

o

nη

η

/

s

= − ∆ − + +

− ∆ + + +

= ∆

=

z x z

z z x

CH E E e V H

C

CE e V H

C

E E

τ τ τ

Bl

2re 2

2g

J

1

2co η

/s4

C k TR

h e Cϕ π

Γ = Γ + h

1 2

op

J

6 4

10

2

g

J

100 « /

and «

, 10 ...10 sec

/ 10 secτ

26k

h e

E

R

C C

T T − −

−

≈ Ω

≈

≈ ≈

⇒

≈ Ω

h

1/f noise, longitudinal linear coupling

1

2( ) z BathH E X Hσ= − ∆ + +

Golden rule * 1

2( 0)XSϕ ωΓ = =

( )21/ for 0

| |f

X

ES ω ω

ω= → ∞ →

fails for 1/f noise, where

2

01 20

21/ 2

1

2

sin ( / 2)( ) exp ( ) exp ( )

2 ( / 2)

exp ln | |2

t

X

fir

d tt i X d S

Et t

ω ωρ τ τ ωπ ω

ωπ

= − = −

= −

∫ ∫

2

2

sin ( / 2)( ) regular 2 ( )

( / 2)X

tS t

ωω π δ ωω

⇒ = ⇒

Cottet et al. (01)

Non-exponential decay of coherence

Golden rule, exponential decay

1/f noise, transverse coupling

bath

1 1

2 2xzH HXE σσ= − ∆ − +

Adiabatic approximation for

bath

bat

2

h

1

2

1

2

( )

2

( )

( )

z

z

X t

X t

H E H

E HE

σ

σ

⇒ = − ∆ +

≈ − ∆ + + ∆

Linear transverse 1/f noise ⇒ quadratic longitudinal noise

ω « E∆

At optimal point: Quadratic longitudinal 1/f noise

Shnirman, Makhlin (PRL 03)

long t:

1/f spectrum ‘‘quasi-static”

short t:

E. Paladino et al. 04D. Averin et al. 03

static noise (random distribution of value X)

Fitting the experiment

More on physical realizations of qubits

see Quantum Information Science and Technology Roadmapping Project

http://quist.lanl.gov/

Laufende Diplomarbeiten am TFP, AG Schön:

Jörg-Hendrik Bach Protected qubitsGero Bergner Superconductor-ferromagnet heterostructuresMarius Bürkle Molecular electronicsSebastian Haupt Noise in single-electron tunneling through quantum dots Sergej Konschuh Spin-orbit interactionClemens Müller Decoherence from 2-level systemsBurkhard Scharfenberger Decoherence and manipulation of spin qubits

AG Busch Photonische Kristalle, Metamaterialien, …

Lulia BuddeMichael KönigMartin PototschnikMauno SchelbChristian Wolff