Natürliche und ganze Zahlen - · PDF fileKapitel 1 Natürliche und ganze Zahlen Bei vielen Brett-, Würfel- oder Kartenspielen gewinnt der Spieler, der die meisten Punkte sammeln

Kapitel 1

Natürliche und ganze ZahlenBei vielen Brett-, Würfel- oder Kartenspielen gewinnt der Spieler, der die meisten Punkte sammeln kann. Manchmal können diese Zahlen sehr groß werden und in manchen Spielen gibt es auch Minuspunkte.

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Zahlen bis 1 MillionIn der Grundschule hast du die Zahlen bis 1 Million kennengelernt. Du kennst Zahlen in Wortform oder Ziffernschreibweise: vierzigtausenddreißig oder 40 030. Du kannst sie auch in eine Stellenwerttafel eintragen.

▼ Beispiel 1: Stellenwerttafel Trage folgende Zahlen in eine Stellenwerttafel ein. Notiere die ersten beiden auch in Wortform.a) 4 ZT 3 Zb) 500 001

c) vierhunderttausendzweiundzwanzigd) vierhundertzweiundzwanzig tausend

▲

Lösung:

Tausender

HT ZT T H Z E

a) 4 0 0 3 0 vierzigtausenddreißig

b) 5 0 0 0 0 1 fünfhunderttausendundeins

c) 4 0 0 0 2 2

d) 4 2 2 0 0 0

Ordnen von ZahlenMithilfe einer Stellenwerttafel kannst du schnell erkennen, welche von zwei Zahlen die Größere ist.

▼ Beispiel 2 Sortiere die beiden Zahlen jeweils der Größe nach.a) 6499 und 7523

Lösung:

a) Tausender

HT ZT T H Z E

6 4 9 9

7 5 2 3

b) 898 005 und 888 006

b) Tausender

HT ZT T H Z E

8 9 8 0 0 5

8 8 8 0 0 6

▲

Also gilt: 6 499 < 7 523,denn 6 Tausender sind weniger als 7 Tausender.

Also gilt: 8 9 8 005 > 8 8 8 006,denn 9 Zehntausender sind mehr als 8 Zehntausender.

▼ Beispiel 3 Gib den Vorgänger und den Nachfolger der Zahl 2400 an.

Lösung:

▲

Der Vorgänger einer Zahl ist um 1 kleiner als die Zahl.2399 ist der Vorgänger von 2400.

Der Nachfolger einer Zahl ist um 1 größer als die Zahl.2401 ist der Nachfolger von 2400.

Wiederholung

InfoE: EinerZ: ZehnerH: HunderterT: TausenderZT: ZehntausenderHT: Hunderttausender

InfoMan liest 7 < 11„7 ist kleiner als 11.“

Man liest 342 > 197„342 ist größer als 197.“

2400 2401

+1

2399

−1

8 Kapitel 1 · Natürliche und ganze Zahlen

1 Trage folgende Zahlen in eine Stellenwerttafel ein und lies sie laut vor.a) 12

123123412 345

b) 456 000405 06040 5604056

c) 6 HT 3 T 4 H 2 E7 ZT 1 Z 5 E2 HT 1 ZT 4 Z9 T 3 H 7 Z 8 E

2 Trage die Zahlen in eine Stellenwerttafel ein und notiere sie in Wortform.

3 Trage folgende Zahlen in eine Stellenwerttafel ein.a) einhunderttausend, zehntausend, eintausend, hundertb) zwanzig, zweihundertzwanzig, zwanzigtausendzwei, zweitausendzwanzigc) fünfzig, elftausend, sechshundertsechs, siebentausendsiebenundsiebzigd) dreihundertviertausend, dreihunderttausendvier, dreitausendvierhundert

4 Lies die Zahlen laut vor und setze dann die Zeichen < oder > richtig ein.a) 34 □ 54

450 □ 550 8300 □ 5400 97 340 □ 17 340

b) 27 □ 28 321 □ 341 4620 □ 43 200 23 041 □ 22 041

c) 27 □ 72 779 □ 797 4006 □ 4060 11 211 □ 11 121

d) 3 HT □ 30 000 1700 □ 2 ZT 6T □ 6999 8T □ 79 999

e) 3 HT □ 9 ZT 1 T 4 Z □ 1 T 4 H 7 ZT 3 Z □ 6 ZT 3 H 9 HT 3 H □ 9 HT 9 Z

f ) 33 T □ 3 T 1 HT □ 11 T 77 Z □ 7 T 22 T □ 2 ZT

5 Erstelle eine Tabelle wie abgebildet. Trage die Zahlen und ihre Vorvorgänger, Vorgänger, Nachfolger und Nachnachfolger ein. Lies dann alle Zahlen laut vor.

Vorvorgänger Vorgänger Zahl Nachfolger Nachnachfolger

498 499 500 501 502

a) 500, 600, 700, 800, 900, 1000b) 9, 99, 999, 9999, 99 999, 999 999c) 5 HT 9 H, 5 HT 9 E, 5 ZT 9 H, 5 ZT 9 E, 5 T 9 H, 5 T 9 Ed) 302 T 999 E, 56 ZT 99 Z, 7 HT 9 H, 12 Z, 98 E, 542 H

6 Gegeben sind die folgenden Zahlen 350 000; 83; 40 280; 9999; 191.a) Zeichne eine Stellenwerttafel und trage die Zahlen ein.b) Notiere die erste Zahl in Wortform und lies die übrigen Zahlen laut vor.c) Ordne die Zahlen der Reihe nach. Beginne mit der kleinsten Zahl.d) Gib den Vorgänger und den Nachfolger jeder Zahl an.

Aufgaben

350 000

8 T 3 Z

7 HT 1 H

40 280

20 T 3 E

9999

9

1.1 Der Zahlenstrahl und die Menge der natürlichen Zahlen

Zahlenvergleich Ordne die Zahlen der Größe nach.

ZahlenstrahlAm Zahlenstrahl wird die Anordnung der Zahlen veranschaulicht.

2051 10 150

Der Zahlenstrahl beginnt bei 0, endet aber nicht. Dies wird durch einen Pfeil dargestellt. Der Abstand zwischen zwei aufeinanderfolgenden Zahlen ist stets gleich groß. Dieser Abstand wird als Einheit bezeichnet.

Je weiter links eine Zahl am Zahlenstrahl steht, desto kleiner ist sie. Man schreibt: 5 < 20 15 > 10 „5 ist kleiner als 20“ „15 ist größer als 10“

Der Zahlenstrahl liefert einen Überblick über die Größenverhältnisse von Zahlen.

▼ Beispiel 1: Am Zahlenstrahl ablesen

1500010000500010000

Notiere die durch Pfeile markierten Zahlen. a) Beginne mit der kleinsten Zahl.

Lösung: 500 < 4600 < 9 700 < 13 400

b) Beginne mit der größten Zahl.

Lösung: 13 400 > 9 700 > 4600 > 500▲

▼ Beispiel 2: Einen Zahlenstrahl zeichnen Zeichne einen Zahlenstrahl und trage die Zahlen 500, 1000, 15 000 und 20 000 möglichst genau ein. Wähle eine geschickte Einteilung am Zahlenstrahl.

Lösung: 1. Versuch: 1 cm entspricht 1000

1000

500 1000

5000 100000

So wird der Zahlenstrahl sehr lang und passt nicht ins kleine Heft.

Einstieg

68 756

754 692

9692

hundertzweitausendvierhunderteinunddreißig

siebenhundertsechstausend

Wissen

0

klein groß

TippSuche zuerst die größte Zahl. Überlege dir dann, wie du den Zahlenstrahl einteilst, damit alles gut ins Heft passt. Zeichne erst dann den Zahlen-strahl.


2. Versuch: 1 cm entspricht 10 000

10000

500 20000150001000

50000 1000000

So wird es zu eng und unübersichtlich.

3. Versuch: 1 cm entspricht 2000

2000

500 1000 2000015000

10000 200000

▲ So ist alles übersichtlich und der Platz genügt.

▼ Beispiel 3: Ausschnitt eines Zahlenstrahls Zeichne einen Zahlenstrahl und trage die Zahlen 600, 900 und 1700 ein.

Lösung:

▲ 500

600 900 1700

1000 1500 2000 2500

Menge der natürlichen ZahlenEine Zusammenfassung von verschiedenen Dingen heißt Menge. Die Bestandteile einer Menge heißen Elemente. Elemente einer Menge schreibst du in geschweifte Klammern. So kannst du alle Schulfächer zur Menge S zusammenfassen: S = { Mathematik; Englisch; Deutsch; Biologie; Sport; … }

Die Zahlen 1, 2, 3, 4, … werden natürliche Zahlen genannt und zu der Menge der natürlichen Zahlen ℕ zusammengefasst. ℕ = { 1; 2; 3; 4; … } ℕ 0 = { 0; 1; 2; 3; 4; … } Schreibweise: 23 ∈ ℕ „23 ist Element der Menge der natürlichen Zahlen.“ 0 ∉ ℕ „0 ist kein Element der Menge der natürlichen Zahlen.“

Es gibt keine größte natürliche Zahl, sondern unendlich viele.Weitere Zahlenmengen sind die Menge aller geraden Zahlen { 0; 2; 4; 6; 8; … } und die Menge aller ungeraden Zahlen { 1; 3; 5; 7; … } .

▼ Beispiel 4: Aussagen überprüfen

▲

Entscheide, ob folgende Aussagen wahr oder falsch sind. Gib zu jeder falschen Aussage ein Gegenbeispiel an.a) Jede natürliche Zahl hat eine natürliche Zahl als Vorgänger.b) Jede natürliche Zahl hat einen Nachfolger.

Lösung: a) falsch: Die natürliche Zahl 1 hat 0 als Vorgänger, 0 ist keine natürliche Zahl. b) Richtig: Es gibt unendlich viele natürliche Zahlen, somit gibt es auch immer einen Nachfolger.

TippSind die Zahlen, die man eintragen soll, alle weit weg von 0, genügt ein Ausschnitt des Zahlenstrahls.

0

225

ℕ ℕ�

27

3312

48

5

4212

1319 …

BeachteUm zu zeigen, dass eine Aussage falsch ist, genügt ein einziges Gegenbeispiel.

1.1 Der Zahlenstrahl und die Menge der natürlichen Zahlen 11

Trainieren Vertiefen Herausforderung

Zahlenstrahl

1 Gib an, welche Zahlen jeweils durch die Pfeile markiert sind.


3 Fehler am ZahlenstrahlDer folgende Zahlenstrahl ist teilweise fehlerhaft. Beschreibe alle Fehler.

4 Zeichne jeweils einen 16 cm langen Zahlenstrahl in dein Heft und trage die folgenden Zahlen möglichst genau ein.a) 250, 1000, 1500, 6000, 7250b) 10 000, 100 000, 120 000, 250 000, 280 000

Aufgaben

AchtungIn d) und e) beginnt der Zahlenstrahl nicht bei Null.

a)

10000500010000

B C D E FA

b)

200000

B C D E FA

c)

150 3000

B C D E FA

d)

100005000

B C D E FA

e)

10000010000 50000

B C D E FA

0 50000 100000 150000 200000a)

0 100000b)

0 50000 100000c)

5000 8000d)

0 200000e)

A B C D E

10 20 30 40 50 60 80 90 100 110 120


5 Entscheide, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind. Begründe deine Entscheidung und berichtige alle falschen Aussagen.a) Am Zahlenstrahl liegt die Zahl 50 000 in der Mitte von 0 und 100 000.b) Die Zahl 10 000 ist am Zahlenstrahl doppelt so weit von 0 entfernt wie 1000.c) Die Zahl 978 000 liegt am Zahlenstrahl links von der Zahl 987 000.d) Wählt man am Zahlenstrahl die Einteilung „1 cm entspricht 10 000“, dann muss man nach 10 cm die Zahl 100 000 eintragen.e) Möchte man einen Zahlenstrahl bis 1 Million mit etwa 10 cm Länge ins Heft zeichnen, dann ist es sinnvoll, die Einteilung „1 cm entspricht 1000“ zu wählen.f ) 1000 ist am Zahlenstrahl von 0 gleich weit entfernt wie 9000 von 100 000.

Menge der natürlichen Zahlen

6 Setze in deinem Heft die Zeichen ∈ und ∉ so für die Kästchen ein, dass wahre Aussagen entstehen.a) 1000 □ ℕ b) 1 □ ℕ 0

c) 0 □ ℕ d) 473 □ ℕ 0

e) 0,33 □ ℕ f ) 110 □ { 1; 3; 5; 7; … }

7 Diskutiere mit deinem Nachbarn, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind. Erklärt eure Entscheidung.a) Es gibt eine größte und kleinste natürliche Zahl.b) Du würdest mehrere Milliarden Jahre benötigen, um alle natürlichen Zahlen aufzuzählen.c) Jede gerade natürliche Zahl hat einen natürlichen Vorgänger.d) Jede ungerade natürliche Zahl hat einen natürlichen Vorgänger.e) Zwischen 10 und 100 liegen genau 89 natürliche Zahlen.f ) Zwischen 500 und 5000 liegen genau 4499 natürliche Zahlen.

Noch fit?

Beschreibe, nach welcher Regel die Zahlenfolge aufgebaut ist, und ergänze die nächsten zwei Zahlen.a) 575; 665; 755; 845; 935; … b) 2; 5; 11; 20; 32; 47


8 Beschreibe in Worten, welche Zahlenmengen hier notiert sind. Gib je drei weitere Elemente der Mengen an.

I

6

3

9

151

416

…

9

2512 …

a) b)

1.1 Der Zahlenstrahl und die Menge der natürlichen Zahlen 13

9 Luis hat mit seinen Eltern bereits einige Städtereisen unternommen. Er recherchiert im Internet die unge fähren Entfernungen nach München in Luftlinie.a) Zeichne einen Zahlenstrahl mit geeigneter Einteilung und trage alle Städte darauf ein.b) Erläutere, wie lang Luis den Zahlen-strahl aus a) zeichnen müsste, wenn er auch das nächste Reiseziel Sydney (ungefähre Entfernung: 16 300 km) einzeichnen will.

10 Zeichne auf weißes Papier eine beliebig lange Linie. Sie ist dein Zahlenstrahl. Markiere am einen Ende 0 und in der Nähe des anderen Ende 1 Million.Schätze die Lage der Werte 500 000; 250 000; 75 000; 900 000; 100 000 und 50 000 und zeichne sie ein. Beschreibe dein Vorgehen.

11 Die Menge aller Teiler der Zahl 18 nennt man die Teilermenge von 18 und kürzt sie mit T (18) ab.a) Gib die Menge T (18) mit ihren sechs Elementen an.b) Formuliere je drei wahre Aussagen der Form ∈ T (18) und ∉ T (18).c) Gib die Teilermengen T (1), T (8), T (19) und T (24) an.

12 Die Menge aller Vielfachen der Zahl 5 nennt man die Vielfachenmenge von 5 und kürzt sie mit V (5) ab.a) Formuliere fünf wahre Aussagen der Form ∈ V (5). Erläutere, dass V (5) unendlich viele Elemente hat.b) Formuliere fünf wahre Aussagen der Form ∉ V (5).c) Gib je fünf Elemente der Vielfachenmengen V (1), V (8), V (19) und V (24) an.


13 Zeichne einen Zahlenstrahl der Länge 16,5 cm auf kariertes Papier. Beschrifte ihn wie im Bild und zerschneide ihn dann entlang der roten Linien in sechs Teile.

a) Stelle durch Umordnung der Teile A bis D einen neuen Zahlenstrahl zusammen. Zeichne alle Möglichkeiten ins Heft und beschrifte jeden Zahlenstrahl vollständig.b) Für einen möglichen Zahlenstrahl gibt es keine Beschriftung der Teilstriche mit natürlichen Zahlen. Beschreibe, um welche Kombination der Zahlenstrahlteile es sich handelt und erkläre, warum sich hier keine natürlichen Zahlen ergeben.

Urlaubsort

Entfernung von München

London 900 km

Wien 350 km

Athen 1500 km

Amster-dam

650 km

Lissabon 1950 km

0 1000000

InfoDa die Division 10 : 5 aufgeht, ist 5 ein Teiler von 10.

30000

0

A B C D


1.2 Das Dezimalsystem und große natürliche Zahlen

PlanetensystemDie Abstände der einzelnen Planeten von der Sonne sind riesig und kaum vorstellbar. In der Tabelle sind die Planeten nach ihrer Größe sortiert.a) Gib an, welche Entfernung zur Sonne die kleinste und welche die größte ist. Erkläre jeweils deine Antwort.b) Ordne die Planeten nach ihrer Entfernung zur Sonne. Beginne mit der geringsten Entfernung.

DezimalsystemDu kannst eine natürliche Zahl mithilfe von zehn Ziffern schreiben. Dabei hat die Ziffer je nach Position eine andere Bedeutung. Zum Beispiel steht die Ziffer 5 in der Zahl 59 für 5 Zehner, in der Zahl 590 dagegen für 5 Hunderter. Da die Stelle, an der die Ziffer steht, ihren Wert festlegt, ist „unser“ Zahlensystem ein Stellenwertsystem. Es gibt auch andere Zahlensysteme, zum Beispiel das Römische Zahlen-system (S. 24/25), dies ist kein Stellenwertsystem.

Die Stellenwerttafel gibt den Wert jeder Ziffer an.

… Billionen Milliarden Millionen Tausender… HB ZB B HMd ZMd Md HM ZM M HT ZT T H Z E… 1 0 3 0 0 1 8 6 4 0 4 0 3 5 2

hundertdrei Billionen

eine Milliardeachthundertvier-undsechzig Milli-

onenvierzigtausend

dreihundert-zweiund-

fünfzig

▼ Beispiel 1: Dezimalsystem

▲

a) Schreibe in Ziffern: vierzig Billionen zweihundertdrei Millionen siebentausendunddrei

Lösung: Notiere die wichtigsten Stufen und wie häufig sie in der Zahl vorkom-men.

B Md M T40 000 203 007 003

Alternativ: 4 ZB 2 HM 3 M 7 T 3 E

b) Schreibe in Worten: 23050004500505.

Lösung: Schreibe die Zahl in Dreierblöcken.

B Md M T23 050 004 500 505

dreiundzwanzig Billionen fünfzig Milli-arden vier Millionen fünfhunderttau-sendfünfhundertfünf

EinstiegPlanet

Entfernung zur Sonne in Kilometer

Merkur 57 910 000

Mars 227 940 000

Venus 108 200 000

Erde 149 600 000

Neptun 4 504 300 000

Uranus 2 870 990 000

Saturn 1 429 400 000

Jupiter 778 330 000

Wissen

BeachteZahlwörter unter einer Million schreibt man zusammen und klein.Über einer Million schreibt man sie getrennt und die Stufe jeweils groß.

Weitere Zahlwörter:Billiarde, Trillion, Trilliarde, Quadrillion, Quadrilliarde, Quintillion, Quintilliarde...

1.2 Das Dezimalsystem und große natürliche Zahlen 15

Die Zahlen 1; 10; 100; 1000; 10 000; 100 000; …, die du als Stufe aus der Stellenwerttafel kennst, nennt man Stufenzahlen.

Da die nächste Stufenzahl jeweils den zehnfachen Wert der vorangehenden hat, heißt unser Stellenwertsystem Zehnersystem oder Dezimalsystem.

Die Stufenzahlen lassen sich mithilfe von Zehnerpotenzen kürzer schreiben:

1 000 = 10 3 „10 hoch 3“ 1 000 000 000 = 10 9 „10 hoch 9“ 3 Endnullen 9 Endnullen

Bei Zehnerpotenzen gibt die Hochzahl die Anzahl der Endnullen an.Auch große Zahlen mit vielen Endnullen lassen sich mit Zehnerpotenzen kürzer schreiben, z. B. 300 000 = 3 · 10 5 oder 27 000 000 = 27 · 10 6 .

Zahlen rundenManchmal genügt es, eine Zahl nur ungefähr zu kennen. Wenn du eine Zahl auf Zehner/Hunderter/Tausender/… rundest, dann näherst du sie durch den nächstgelegenen Zehner/Hunderter/Tausender/… an. HAuf Hunderter runden: 12 7 4 5 ≈ 12 700Hier wird abgerundet. TAuf Tausender runden: 12 7 45 ≈ 13 000Hier wird aufgerundet.

Die Rundungsregel gibt an, ob du aufrunden oder abrunden musst. Dies erkennst du nicht an der Stelle, auf die gerundet werden soll, sondern nur an der nachfolgenden Stelle.Bei 0, 1, 2, 3, 4 rundet man ab. ↓ Bei 5, 6, 7, 8, 9 rundet man auf. ↑

Vor allem bei großen Zahlen gewinnst du durch Runden eine bessere Übersicht. Zum Beispiel gilt 1 967 567 ≈ 2 000 000.

▼ Beispiel 2: Runden Runde die Zahl 3 743 968 auf …

▲

a) Zehntausender.

Lösung: Markiere die Zehntausen der-Stelle und nimm die nach folgende Stelle unter die Lupe. Wegen der 3 musst du abrunden. ZT 3 74 3 968 ≈ 3 740 000

Beachte: Auf die Ziffern rechts von der 3 kommt es beim Runden nicht an!

b) Millionen.

Lösung: Markiere die Millionen-Stelle und nimm die nachfolgende Stelle unter die Lupe.Wegen der 7 musst du aufrunden.M3 7 43 968 ≈ 4 000 000

1000 100 10

·10 ·10

12745 1280012700HinweisDas Zeichen „≈“ bedeu-tet „ist ungefähr gleich“.

12745 1300012000



Dezimalsystem

1 Trage die folgenden Zahlen in eine Stellenwerttafel ein.a) 375 612 207b) 2 047 100 008

c) 5 HMd 3 ZMd 2 Md 2 ZM 5 ZT 4 Ed) 50 B 304 Md 27 M 9 T 22 E

e) drei Billionen vierhundertzwölf Milliarden zweihundertsechs Millionen einund-dreißigtausendfünfhundertsiebenundzwanzigf ) dreihundertsechs Billionen drei Millionen sechzigtausendundvier

2 Trage die Zahlen in eine Stellenwerttafel ein und gib sie in Ziffern und Wortform an. Beschreibe, welche Schwierigkeiten sich ergeben.a) 4 HT 12 ZT 7 T 7 H 2 Z 22 Eb) 23 HMd 6 Md 14 HM 2 ZM 3 M 17 HT 305 E

3 Ordne zu, wer welche Zahl genannt hat. Eine Zahl bleibt übrig.2 000 000; 22 000 000; 202 000 000; 220 000 000; 2 000 000 000;22 000 000 000; 200 000 000 000; 202 000 000 000; 220 000 000 000

4 Simon möchte die Zahl 43985891754 vorlesen. Dazu teilt er sie übersichtlich in Dreierblöcke ein: 439 858 917 54. Beschreibe, was er dabei falsch gemacht hat. Korrigiere seinen Fehler und lies die Zahl laut vor.

5 Notiere die folgenden Zahlen in Worten. Eine Stellenwerttafel oder übersichtliche Dreierblöcke können dir helfen.a) 3000, 3000000, 300000000, 30000000000000b) 40080, 408000, 40800000, 4000080000c) 202070, 2020700, 20207000, 2020700000d) 100001110, 1010010001, 1010001000001, 11010000010000

Aufgaben

zwei Millionen

zweiundzwanzigMillionen

zweihundertzwanzigMillionen

zweihundertzwanzigMilliarden

zweihundertzweiMilliarden

zweiundzwanzigMilliarden

zwei Milliarden

zweihundertzweiMillionen

Julia Kevin

Luis Hanna

Pepe Anton

Clara Nele


6 Gib die Zahlen sowie ihren Vor-gänger und Nachfolger übersichtlich in einer Tabelle an. Lies dann alle Zahlen laut vor.a) 693489999, 99999, 543990000000, 1100100100b) 1 M, 3 Md, 101 B, 7 HBc) 4 B 65 M 2 T, 76 Md 9 E, 4 ZM 8 ZT 9 Z, 1 HMd 4 ZMd) sechs Millionen dreihundertdreizehntausendvierhundertsiebenundsiebzig, zweiundzwanzig Milliarden dreihundertvier Millionen sechstausendundsiebzehn, einhundertvierzig Billionen siebentausendachthundertneunundvierzig, siebenhun-dertsechs Billionen zweiundzwanzig Milliarden sechsundneunzig Millionen

7 Ordne die Zahlen wie angegeben und lies dabei alle Zahlen laut vor. Beginne bei a) und b) mit der kleinsten Zahl und bei c) und d) mit der größten Zahl.a) 745 900 000; 74 490 600; 745 395 700; 750 487 030; 74 500 000; 744 380 800b) 4 689 468 535; 468 968 535; 49 862 000; 4 688 478 000; 467 645 300; 467 783 900c) 5 Md 3 HT; 5 ZMd 3 HT; 5 ZMd 3 T; 5 HMd 3 H; 5 HMd 3 ZT; 5 Md 3 Hd) 300 B 622 T 49; 300 B 622 M 49; 300 B 622 M 49 T; 300 M 622 T 49; 300 B 622 Md 49 T; 300 B 622 Md 49

8 Gib die folgenden Zahlen in Ziffern an

9 Noa behauptet: „Die Zahl 50 293 020 ist größer als 405 293 020, da die 5 größer als die 4 ist.“ Nimm kritisch dazu Stellung.

10 Gib die Zahlen ohne Zehnerpotenz-Schreibweise an und lies sie laut vor.a) 7 · 10 3 b) 11 · 10 5

c) 85 · 10 4 d) 145 · 10 10

e) 70 · 10 12 f ) 99 · 10 8

11 Lies die Zahlen laut vor und gib sie mithilfe einer Zehnerpotenz an.a) 1 000 000; 1000; 100; 100 000 000; 100 000; 100 000 000 000 000b) 6 · 100; 6 · 1 000 000; 4000; 500 000; 75 000 000 000c) 4 B; 45 Md; 78 Md 457 T; 57 Md 450 M

Vorgänger Zahl Nachfolger

56 080 078 56 080 079 56 080 080

vier Millionenzwölftausend

hundert Millionendreihundertachtzehntausend-

vierhundertvierunddreißig

dreihundertsiebzig Milliardenfünfhundertacht Millionenneunhundertfünfzigtausend-

zweihundertzwölf

zwei Billionenhunertdreizehn Milliarden

neunhundertneunzig Millionenachtzigtausendvierhundert-

sechsundfünfzig

dreihundertBillionen

zwei Milliardenvierhundert


12 Jeweils drei Zahlen sind gleich. Gib alle Dreiergruppen an.


14 Trage die folgenden Zahlen auf einem Zahlenstrahl ein.a) 12 Md; 3 000 000 000; 18 Md; 7 000 000 000b) 60 B; 80 000 000 000 000; 1 HB 2 ZB; 2 ZB 5 B

Zahlen runden

15 Lies die folgenden Zahlen laut vor. Runde sie anschließend auf Tausender.a) 83 214b) 6 404 367c) 210 487

d) 1 Me) 6 403 721f ) 83 459

g) 145 Hh) 209 590i) 999 542

16 Lies die folgenden Zahlen laut vor. Runde sie anschließend auf die in Klammern angegebene Stelle.a) 568 030 (T)

568 030 (ZT)568 030 (HT)

b) 80 808 080 (HT)80 808 080 (M)80 808 080 (ZM)

c) 99 099 099 099 (M)99 099 099 099 (HM)99 099 099 099 (Md)

17 In einer Zeitungsmeldung heißt es: Im Jahr 2014 besuchten 1 717 473 Perso-nen den Münchner Tierpark; 700 000 davon nutzten Dauer- oder Familienkarten.Erläutere, weshalb die Zahlenangaben so nicht sinnvoll sein können.

18 Gib die größte und die kleinste Zahl an, die zu dem angegebenen gerundeten Wert führt.a) Auf Hunderter gerundet: 700b) Auf Tausender gerundet: 5000c) Auf Hunderter gerundet: 9600d) Auf Millionen gerundet: 1 000 000e) Auf Millionen gerundet: 233 000 000

HinweisManchmal findest du für Million die Ab-kürzung Mio. und für Milliarde Mrd.

3 Mio.

30 Mrd.

300 Mio.

3000 Mio.

3 Mrd.

300 000 000 30 000 000 000 3 · 10 6 3 · 10 9

3 000 000 300 · 10 6 30 · 10 9

0 50000 100000 150000 200000a)

0 1 Mdb)

0 50 M 100 Mc)

d)0 20 B

A B C D E

?? 800600 700


19 Du kannst bei 47□□3 in die roten Kästchen Ziffern einsetzen. Finde drei ver-schiedene Ziffernpaare, so dass bei der entstehenden fünfstelligen Zahl …a) das Runden auf Tausender 47 000 ergibt. Beschreibe, welche Ziffern möglich sind.b) das Runden auf Hunderter 47 600 ergibt.c) sowohl das Aufrunden auf Hunderter als auch das Aufrunden auf Tausender zu demselben Ergebnis führt.

Vermischte Aufgaben

20 Ein Journalist hat einen Bauern über seinen Hühnerstall interviewt und anscheinend die Sache etwas zu genau genommen.Runde die Zahlen so, dass die Informa-tionen einprägsam sind.

21 Bill Gates ist seit vielen Jahren einer der reichsten Menschen der Welt. Im Jahr 2013 wurde sein Vermögen auf mehr als 60 Milliarden US-Dollar geschätzt.a) Ermittle, wie viele Häuser zum Preis von 1 Million US-Dollar sich Bill Gates leisten kann. b) Ermittle, wie viele Monate (Jahre) Justin sein Taschengeld (10 $ pro Monat) sparen müsste, damit er auch so viel Geld wie Bill Gates besitzt.

22 Seit Herbst 2014 gilt der FC Bayern München als weltweit mitgliederstärkster Sportverein. Laut der offiziellen Bundes-liga-Internetseite hatte er zu diesem Zeitpunkt 251 000 Mit-glieder. Am selben Tag konnte man in der Zeitung lesen, dass der Verein 250 000 Mitglieder umfasst, während die offizielle Website des FC Bayern 251 315 angab.Erläutere, wie es zu den unterschiedlichen Zahlenangaben kommen kann.

23 Justus und Linus sollen 236 + 632 berechnen und auf Hunderter runden.Justus schreibt: Linus schreibt:236 + 632 ≈ 200 + 600 = 800 236 + 632 = 868 ≈ 900Erläutere beide Lösungen und gehe dabei auf einen möglichen Fehler ein.

24 Paula behauptet: „Es ist egal, ob ich eine Zahl sofort auf Tausender runde oder ob ich sie zuerst auf Hunderter und im nächsten Schritt auf Tausender runde.“Diskutiere mithilfe von Beispielen Paulas Aussage mit deinem Nachbarn.

MünsterlandkurierEin typischer Hühnerhof produziert mit 15 346 Hennen täglich 11 243 Eier und hat ständig 8971 Küken in der Aufzucht. Jedes Huhn legt im ersten Jahr 253 Eier, in den 25 Wochen da-nach noch mal 103 Eier. Das halbau-tomatische Sammeln, Sor tieren und Verpacken der Eier dauert eine Stun-de am Tag. Die Tagesproduktion lan-det in 31,23 Kisten. Jede Woche wer-den 7618 kg Futtermittel ange liefert.


Noch fit?

Eine Umfrage hat die durchschnitt-liche Anzahl der Hörer pro Tag ermittelt. Die Hörer wurden außerdem gefragt, ob sie bis 20 Jahre, zwischen 21 und 50 Jahre oder über 50 Jahre alt sind.a) Gib an, wie viele Hörer zwischen 21 und 50 Jahren der Sender Fun Radio hat.b) Bestimme die Anzahl aller Hörer bis 20 Jahre, die einen der drei Sender hören.c) Ermittle die Anzahl der Hörer ab 51 Jahren, die jeder Sender hat. Gib auch die Unterschiede zwischen den Sendern an.


25 In der Tabelle siehst du die Bevölke-rungszahlen der bevölkerungsreichsten Länder der Welt und der Europäischen Union mit 28 Mitgliedsstaaten (EU-28) (Stand 2015).a) Ordne die Länder nach der Einwohner zahl.b) Veranschauliche die Bevölkerungs-zahlen am Zahlenstrahl. Runde dazu geeignet und finde eine passende Einteilung des Zahlenstrahls.c) Gib an, in welchen Ländern mehr als eine halbe Milliarde Menschen leben.

26 In einem Artikel über Rüdiger Gamm, eines der größten Rechengenies der Welt, heißt es:„Wie viel ist 43 hoch 20? Rüdiger Gamm schließt die Augen (…). Wenige Sekunden später sprudeln Zahlen aus ihm heraus (…): „467 Quintillionen, 56 Quadrilliarden, 167 Quadrillionen, 777 Trilliarden, 397 Trillionen, 914 Billiarden, 441 Billionen, 56 Milliarden, 671 Millionen, 494 Tausend und eins.“ …Erstelle mithilfe des Artikels eine Stellenwerttafel und trage die Zahl ein.

27 Ein Lichtjahr bezeichnet die Strecke, die das Licht in einem Jahr zurücklegt. Es beträgt 9 460 730 472 580 800 m, das entspricht 946 073 047 258 080 000 cm be-ziehungsweise 9 460 730 472 580 800 000 mm.Trage diese Zahlen in die Stellenwerttafel aus Aufgabe 25 ein und lies sie laut vor.

I

100000

300000

200000

400000

500000Anzahl Hörer/Tag

Rockwave Fun Radio Superwelle

bis 2021–50ab 51

Land Bevölkerung in Mio.

USA 321

China 1367

Brasilien 204

EU-28 513

Indien 1251

Indonesien 256


28 Luzia und Benedikt legen in einer Stellenwerttafel mit Plättchen Zahlen.Luzia:

HM ZM M HT ZT T H Z E

●● ● ●

a) Schreibe beide Zahlen in Ziffern und in Worten. b) Ordne die Zahlen. Verwende das Zeichen >. c) Gib den Vorgänger und den Nachfolger von beiden Zahlen an. Erläutere dein Vorgehen.d) Notiere die drei größten Zahlen, die du mit fünf Plättchen legen kannst.e) Gib die kleinste Zahl an, die du erhältst, wenn du bei Luzia ein Plättchen entfernst.f ) Gib die größte Zahl an, die du erhältst, wenn du bei Benedikt ein Plättchen verschiebst.

29 In einem Stempelset gibt es einen Stempel für jede Ziffer von 0 bis 9.a) Gib die größte achtstellige Zahl an, die du ohne die 9 drucken kannst.b) Gib die kleinste elfstellige Zahl an, die du ohne die 0 drucken kannst.c) Gib die kleinste zehnstellige Zahl an, die du drucken kannst, wenn alle Stempel außer der mit der 1 mindestens einmal verwendet werden müssen.d) Gib die größte neunstellige Zahl an, die du drucken kannst, wenn genau drei verschiedene Stempel verwendet werden.e) Notiere selbst solche Zahlenrätsel und erstelle für jedes eine Musterlösung.

30 In einem Zahlenbaukasten gibt es eine Karte für jede Ziffer.a) Sophia wettet mit Lukas, dass er es nicht schafft, die kleinste elfstellige Zahl in 10 Sekun-den zu legen. Erkläre, wie hoch ihre Gewinn-chance ist.b) Sophia legt die Zahl 012 345 678 und behaup-tet, dass das die kleinste neunstellige Zahl ist, die man legen kann. Beschreibe Sophias Fehler und verbessere ihre Zahl.c) Kilian hat den gleichen Baukasten. Er hat jedoch einige Karten verloren. Mit seinen Karten ist 23 475 die kleinste fünfstellige Zahl, die er legen kann. Erläutere, wie viele Karten er mindestens verloren hat und gib an, welche es sind.

Sebastian hat auch einen Zahlenbaukasten, der eine Karte für jede Ziffer enthält sowie die zwei zusätzlichen Zahlenkarten 75 und 205.d) Gib die größte fünfzehnstellige Zahl an, die er legen kann und begründe, weshalb er nicht mit der größten Zahlenkarte 205 beginnen darf..e) Gib die kleinste zehnstellige Zahl an, die er legen kann.f ) Gib die größte achtstellige Zahl an, die er legen kann, wenn er beide Zahlenkar-ten (75 und 205) verwenden soll.

Benedikt:

HM ZM M HT ZT T H Z E

● ● ● ●


31 Erläutere, welche der folgenden Zahlenangaben vermutlich gerundet sind. Gib an, in welchem größtmöglichen Bereich der exakte Zahlenwert liegen kann.a) Der Eurotunnel, der England mit Frankreich verbindet, ist 49 900 m lang.b) Die Allianz Arena in München hat 66 575 Sitzplätze.c) Vor 65 Millionen Jahren starben die Dinosaurier aus.d) Der Mount Everest ist mit seinen 8848 m der höchste Berg der Welt.e) Die Entfernung von der Erde zum Mond beträgt 384 400 km.f ) Ein Kilometer hat 1000 Meter.

32 Rechts siehst du zwei Anzeigen für Gebrauchtwagen aus einer alten Zeitung. Die Angaben für den Kilo-meterstand sind jeweils gerundet.a) Ermittle bei beiden Autos den größ-ten und kleinsten Kilometerstand, der zu den gerundeten Kilometerangaben führt.b) Ermittle den größten und kleinsten Unterschied, den die Kilometerstände beider Autos in Wirklichkeit haben können.

33 Bilde aus den Wortteilen „vierzig“; „Millionen“, „Milliarden“ „vier“ „hundert“ „acht“ möglichst viele Zahlen. Notiere sie in Worten und in Ziffern.


34 In einem Stempelset gibt es einen Stempel für jede Ziffer.a) Ermittle, wie viele verschiedene dreistellige Zahlen du damit stempeln kannst.b) Ermittle, wie viele der dreistelligen Zahlen an der Einerstelle eine 1 haben.c) Ermittle, wie viele verschiedene Zahlen es gibt, wenn ein Stempel fehlt.d) Ermittle, wie viele zehnstellige Zahlen du drucken kannst, bei denen jeder Stempel nur einmal verwendet werden darf.

35 Spiel für zwei PersonenIhr benötigt einen Würfel und je ein Blatt mit einer Stellenwerttafel bis Hundert-tausender. Es wird abwechselnd gewürfelt; jeder Spieler trägt die Augenzahl an einer beliebigen Position seiner Stellenwerttafel ein. Die größte sechsstellige Zahl gewinnt.a) Spielt insgesamt drei Runden.b) Beschreibe, wie du vorgehst, um eine möglichst große Zahl zu erhalten.c) Erkläre, welche sechsstelligen Zahlen im Spiel nicht vorkommen können.d) Erkläre, wie viele verschiedene Zahlen sich beim Spiel ergeben können.

Anzeigen: KFZMarkt

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Dasuki Bingo, Liberty, Faltdach, R/CD, Bj. 6/14, 26 000 km, 4800 €


Römische ZahlenIm Alltag sind dir bestimmt schon „andere“ Zahlen auf-gefallen. Unsere Schreibweise mit den arabischen Ziffern ist noch gar nicht so alt. Wir verwenden sie erst seit ca. 500 Jahren. Vorher wurden die römi-schen Zahlzeichen genutzt. Du findest sie manchmal noch bei Uhren, an Häu-sern oder Denk mälern. Schau dir das Bild ganz ge-nau an und beschreibe, wie die Römer ihre Zahlen 1 bis 12 gebildet haben.

Als Marie sich im Klassenraum umsieht, wundert sie sich, dass dieses Ziffernblatt der Uhr ein wenig anders aussieht. Lukas erklärt ihr auch wieso.

Folgende Zahlzeichen gibt es bei den Römischen Zahlen:

Römisches Zahlzeichen I V X L C D M

Arabische Zahl 1 5 10 50 100 500 1000

Merkhilfe

100 ct

ille

Thema

Die Römer hatten noch nicht so feste Regeln. Sie haben die Zahlen teilweise sehr

unterschiedlich gebildet. Sie haben zum Beispiel auch mehr als drei gleiche Zahlzeichen hintereinander geschrieben. Die Zahl 4

konnte zum Beispiel als ΙΙΙΙ oder als ΙV geschriebenwerden. Später wurden Regeln vereinbart, damit

es eindeutige Zahlen gibt.

So kannst du dir die Zeichen leicht

merken.

Spätere Regeln für die römischen Zahlen I. Die Zahlzeichen notiert man normalerweise der Größe nach und zählt ihre

Werte zusammen. XVI = 10 + 5 + 1 = 16 DCXI = 500 + 100 + 10 + 1 = 611II. Manchmal steht jedoch ein Zeichen für eine kleinere Zahl vor einer grö ßeren.

In diesem Fall wird der kleinere Wert vom größeren abgezogen. IX = 10 – 1 = 9 XL = 50 – 10 = 40III. Die Zeichen I, X, C und M dürfen höchstens dreimal direkt hintereinander

notiert werden.IV. Die Zeichen V, L und D dürfen in einer Zahl höchstens einmal notiert

werden.


1 Finde passende Paare.

2 Jahreszahlen an Gebäuden sind oft als römische Zahl geschrieben.a) Finde heraus, wann die abgebilde-ten Gebäude erbaut worden sind.b) Gehe selbst auf Erkundung in deiner Stadt. Fotografiere römische Zahlen und rechne sie in „unsere“ Zahlen um.

3 Stellenwertsystem Anna sollte bei der Hausaufgabe die Zahlen umschreiben.

a) Erkläre, welchen Denkfehler Anna bei jeder Lösung gemacht hat.b) Erkläre Anna, was sie beim Umwandeln beachten muss und gib die richtigen Lösungen an.c) Begründe, warum es sich beim Römischen Zahlensystem im Gegensatz zum Dezimalsystem um kein Stellenwertsystem handelt.d) Erläutere, welche Vorteile ein Stellenwertsystem gegenüber dem Römischen System hat.

4 Lege jeweils ein Streichholz um, damit die Gleichung stimmt.

5 Marie hat ein altes Papyrus-Stück mit einem magischen Quadrat gefunden. Leider sind paar Zahlen nicht mehr lesbar. Ergänze die Zahlen so, dass die Summe in jeder Zeile, jeder Spalte und jeder Diagonale gleich groß ist.

Aufgaben

47 57 113 7005 3 115 1205

CXV IIV XLVII DCCV LXVII CXIIV MCCV

51 = VI515 = VIV

IIV = 115VIII = 5111

25

1.3 Messen unter Null – negative Zahlen

Temperaturmessungen In Würzburg wurden in der ersten Januarwoche die tiefsten und höchsten Tagestemperaturen gemessen. Beantworte die folgenden Fragen:• Wann war es am wärmsten?• An welchem Tag war es am kältesten?• Wie groß war der Temperaturunter-schied am 04. 01.?

• Um wie viel °C war die tiefste Tages-temperatur am 06. 01. kälter als die höchste?

• An welchem Tag war der Temperaturunterschied am größten?

Menge der ganzen ZahlenWerte von Größen können „unterhalb der Null“ liegen. Vor ihnen steht dann ein Minuszeichen.

Temperatur: −7° C steht für 7° C unter dem Gefrierpunkt von Wasser.Kontostand: −230 € steht für 230 € Schulden.Geografische Höhe: −230 m steht für 230 m unter dem Meeresspiegel.

Zahlen unter Null sind negative Zahlen. Sie haben ein negatives Vorzeichen (Minuszeichen). Die natürlichen Zahlen sind positive Zahlen.

Die 0 ist weder positiv noch negativ.

Die Menge der natürlichen Zahlen ℕ = { 1; 2; 3; … } wird mit der Null und der Menge der negativen Zahlen { −1; −2; −3; … } zur Menge der ganzen Zahlen ℤ = { …; −3; −2; −1; 0; 1; 2; 3; … } erweitert.

Die natürlichen Zahlen kannst du zur besseren Unterscheidung mit einem Plus-zeichen schreiben, z. B. +3 statt 3 oder +12 statt 12.

ZahlengeradeEin Thermometer zeigt Werte unterhalb und oberhalb von „null Grad“. Durch Drehen des Thermometers liegen diese Werte links und rechts von der „Null“. Der Teil rechts von der Null erinnert an den dir bekannten Zahlenstrahl.

Einstieg50

40

°C

30

20

10

0

10

20

30

40

50

Datumhöchste Temperatur

tiefste Temperatur

01. 01. 3 °C −2 °C

02. 01. 5 °C −1 °C

03. 01. 7 °C −2 °C

04. 01. 2 °C −3 °C

05. 01. 1 °C −5 °C

06. 01. −1 °C −8 °C

07. 01. 0 °C −7 °C

Wissen

−3

−2

−1

−28

−4622

137

4631

59

0

ℕℤ

……

5040

°C30201001020304050

positive Wertenegative Werte


Durch Erweiterung des Zahlenstrahls erhältst du eine Zahlen gerade.

Je weiter rechts eine Zahl auf der Zahlengeraden steht, desto größer ist sie.

▼ Beispiel 1: An der Zahlengeraden vergleichen Wähle zwei der grün eingetragenen Zahlen aus und vergleiche sie miteinander.

−30 −20 −10 −5 0 3020105

−25 −13 −1 7

▲Lösung: Z. B.: 7 liegt rechts von −1, es gilt 7 > −1; −25 liegt links von −13, es gilt −25 < −13.

Der Abstand einer Zahl von der Null auf der Zahlengeraden heißt Betrag dieser Zahl. Man schreibt z. B. | −7 | = 7 oder | 7 | = 7 bzw. | +7 | = 7. Es gilt | 0 | = 0.Zahlen mit gleichem Abstand zu 0 heißen Zahl und Gegenzahl. Die Gegenzahl zu 4 ist − 4. Die Gegenzahl zu −12 ist 12.

▼ Beispiel 2: Beträge von Zahlen a) Bestimme die ganzen Zahlen, die den Betrag 5 haben.b) Markiere an einer Zahlengeraden alle Zahlen, deren Betrag kleiner als 4 ist.

Lösung: a) −5 und 5 haben den Abstand 5 von der Null. Es gilt | −5 | = | 5 | = 5.

▲b)

−6 −5 −4 −3 −2 −1 0 7654321

Einfache RechnungenRechnungen mit negativen Werten kannst du an der Zahlengeraden darstellen.Beim Addieren wanderst du nach rechts und beim Subtrahieren nach links.

▼ Beispiel 3: Einfache Rechnungen an der Zahlengeraden a) Die Temperatur beträgt −5 °C und steigt um 3 °C. Bestimme die jetzige Temperatur.

Lösung:

b) Lisa hat 2 € und will etwas für 8 € kaufen. Bestimme, wie viel Geld sie sich leihen muss.

321−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0

+3

Start Ergebnis: −5 + 3 = −2

321−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0

Start

−8

Ergebnis: 2 − 8 = −6

▲ Die Temperatur beträgt jetzt −2 °C. Lisa muss sich 6 € leihen.

−12 −11 −10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0

Null

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

positive Zahlennegative Zahlen

70−7

| 7 | | −7 |

1.3 Messen unter Null – negative Zahlen 27


Menge der ganzen Zahlen

1 Ordne den am Thermometer markierten Punkten folgende Temperaturen zu: 6 °C, 0 °C, −7 °C, −18 °C, 18 °C, −1 °C.

2 Gib die geografischen Höhen der eingezeichneten Orte an.

3 Setze in deinem Heft die Zeichen ∈ und ∉ so für die Kästchen ein, dass wahre Aussagen entstehen.a) 1 □ ℕ b) 1 □ ℤ c) −5 □ ℕ d) −5 □ ℤ

e) 1□ ℕ 0 f ) −1 □ ℕ 0 g) 0 □ ℕ h) 0 □ ℤ

4 Überprüfe auf Richtigkeit. Begründe deine Entscheidung.a) Die kleinste ganze Zahl ist Null.b) Jede ganze Zahl ist eine natürliche Zahl.

c) Es gibt keine kleinste ganze Zahl.d) Jede natürliche Zahl ist der Vorgänger einer ganzen Zahl.

Zahlengerade

5 Welche Zahlen stehen an den grünen Markierungen? Suche zuerst die Null und notiere dann die gesuchten Zahlen.

6 Zeichne eine Zahlengerade …a) mit der Einheit 1 cm und trage die Zahlen −1; −7; 7; −3; − 4; 2 und −5 ein.b) mit der Einheit 5 mm und trage die Zahlen −12; −3; 14; −2; 10; −10; −8 ein.c) mit der Einheit 1 mm und trage alle 5 mm eine Markierung ein. Veranschauliche die Zahlen −55; 25; 12; −37; 70; −64; −5 und 33.

7 Temperaturen ordnenAus dem Europawetterbericht: „Berlin bedeckt 4 °C, Paris bedeckt 10 °C, London Regen 6 °C, Reykjavik sonnig −2 °C, Oslo Schnee −6 °C, Stockholm wolkig − 4 °C, Moskau heiter −6 °C, Warschau heiter 0 °C, Wien bedeckt 5 °C, Athen sonnig 22 °C, Rom heiter 16 °C, Madrid heiter 10 °C.“ Sortiere die Städte nach ihrer Temperatur. Beginne mit der kältesten Stadt.

Aufgaben

30°C

20

10

0

10

20

C

B

A

D

E

F

500400300200100

0−100−200−300−400−500

Sturmfelsen

Geografische Höhe in m

FestungshügelPiratenkopf

Wrackgraben

Todessenke

−20 −10 10a)

−30 10b)

−30 18c)

HinweisEinheit 1 cm bedeutet, dass zwei aufeinander-folgende Zahlen auf dem Zahlenstrahl den Abstand 1 cm haben.


8 Höhenlagen ordnen Aus einem Geographiebuch stammen die nebenstehenden Angaben.Sortiere die Orte nach ihrer geogra-fischen Höhe.

9 Ganze Zahlen ordnen Setze für das richtige Zeichen ein (<, >).a) 2 7b) −2 −7c) −2 7

d) −7 2e) 0 −3f ) −3 −8

g) 22 −23h) −2345 23 456i) −23 456 −2345

10 Gib jeweils die Gegenzahl und den Betrag an.a) 17; 3; 2; 31 b) −1; −12; − 46; −14

c) −201; 614; − 447; 1632d) 0; 6862; −1742; 2015

e) −12 312; 4007; −7102f ) 1 H 2 Z 6 E; −1 M

11 Zahlen und Beträge sortieren Sortiere die Zahlen nach ihrer Größe. Beginne mit der größten Zahl. Sortiere dann ihre Beträge aufsteigend. a) 12; −5; 2; 6; −9; − 4 b) −222; 436; −1138; −532; 478; −1459

12 Wähle aus den nebenstehenden Zahlen aus:a) drei Zahlen, die kleiner sind als −11.b) alle Zahlen, die größer sind als −10.

Einfache Rechnungen

13 Am Montag betrug die Temperatur 2 °C. Am nächsten Tag fiel die Temperatur um 4 Grad, am darauf folgenden Tag um weitere 3 Grad. An den beiden nächsten Tagen wurde es etwas wärmer, die Temperatur stieg jeweils um 3 Grad. Gib die Temperatur am Freitag an.

14 Sina hat noch 8 Euro Taschengeld. Damit möchte sie ins Kino gehen und Popcorn und Cola kaufen. Die Eintrittskarte kostet 6 Euro, eine mittlere Portion Popcorn mit Cola 5 Euro. Beschreibe Sinas Problem und schlage eine Lösung vor.

15 Eine zweitägige Fahrradtour um das IJsselmeer (Niederlande) begann auf ei-ner geografischen Höhe von −5 m. Die Strecke am ersten Tag führte immer leicht aufwärts. Die Stadt für die Über-nachtung lag 6 m höher als der Start-punkt. Am zweiten Tag ging es mit ei-nem Höhenunterschied von 17 m abwärts. Bestimme die geografische Höhe am Ende der Fahrradtour.

HinweisNN bedeutet „Normal Null“. Die Höhe wird dabei von einer festge-legten Meeresspiegel-höhe gemessen.

Ort Höhe

Totes Meer (Ufer) 420 m unter NN

Feldberg, Schwarzwald 1493 m über NN

Mount Everest 8848 m über NN

Marianengraben 11 034 m unter NN

Quito, Ecuador 2850 m über NN

1; −4; 3; 14; −10; 13; −13; 17; −12;−22; 2; −11; −33;


16 Zeichne eine Zahlengerade von −12 bis 12 und rechne daran.a) 6 − 4b) 6 − 6

c) 6 − 8d) 2 − 8

e) − 4 − 5f ) −12 + 5

g) −9 + 14h) 12 − 24

Lösungswort: −12 (r); −9 (a); −7 (n); −6 (i); −3 (e); −2 (d); 0 (n); 2 (i); 3 (s); 5 (e); 6 (l)

17 Rechne an einer Zahlengeraden. Vergleiche die Ergebnisse und beschreibe, was dir auffällta) 7 + 11b) −7 + 11

c) 7 − 11d) −7 − 11

e) 11 + 7f ) −11 + 7

g) 11 − 7h) −11 − 7

18 KontoständeBerechne die fehlenden Größen.alter Kontostand Belastung (Soll) Gutschrift (Haben) neuer Kontostand

+200 € — +300 € +500 €+700 € –500 € — +200 €+300 € –800 € —− 400 € — +600 €

— +500 € −300 €–200 € — − 400 €

+750 € — −250 €−550 € — +250 €

–300 € — 0 €

Vermischte Aufgaben

19 Gib jeweils zwei Zahlen mit den geforderten Eigenschaften an:a) ganze Zahlen, die zwischen 1 und 99 liegenb) negative Zahlen, die zwischen −50 und 50 liegenc) natürliche Zahlen, die zwischen −1 und 21 liegen und kleiner als 3 sindd) ganze Zahlen, die zwischen −88 und −82 liegen und größer als −85 sind

20 Wahrheit oder Lüge? Überprüft auf Richtigkeit. Begründet falsche Aussagen mit einem Gegenbeispiel.a) Die größte zweistellige negative Zahl ist −99.b) Die kleinste dreistellige ganze Zahl ist 100.c) Alle ganze Zahlen sind positiv. d) Der Betrag einer ganzen Zahl ist stets positiv.e) Von zwei ganzen Zahlen ist diejenige größer, die den größeren Betrag hat.f ) Die Menge der ganzen Zahlen besitzt kein kleinstes Element.g) Jede ganze Zahl hat eine Gegenzahl.

21 Vorgänger und Nachfolger Bestimme zu jeder Zahl den Vorgänger und den Nachfolger.a) 0b) −1

c) −20d) −179

e) 179f ) −1199

g) 2000h) −2000

TippDu kannst Rechnungen wie in Nr. 16 immer in Sachzusammenhänge wie in Nr. 13, 14 oder 15 „übersetzen“.


22 Erkläre, nach welchem System die Zahlenfolgen aufgebaut sind. Notiere je-weils die nächsten drei Zahlen:a) 2; 4; 6; 8; …b) −2; − 4; −6; −8; …

c) −3; −1; 1; 3; …d) 4; −1; −6; −11; …

e) 5; 3; 4; 2; …f ) −1; −3; −6; −10; …

23 Finde auf der Zahlengeraden die Mitte zwischen den beiden angegebenen Zahlen.a) 8 und 20b) 7 und 31

c) − 4 und 4d) − 4 und 2

e) −8 und −2f ) −30 und −14

Noch fit?

Der Spielwürfel wird wie angezeigt in Feld 1, dann in Feld 2, in Feld 3 bis in Feld 4 gekippt. a) Gib für jedes der Felder 1 bis 4 an, welche Augenzahl auf der oberen Seite des Würfels zu sehen ist.b) Stell dir vor, dass der Würfel im glei-chen Zickzack-Muster weiter gekippt wird. Gib an, welche Augenzahl auf Feld 8 oben liegen würde.


24 Die Zahlen A, B und C sollen bestimmt werden.

Tim, Sophie, Felix und Marie haben die Aufgabe gelöst und vergleichen ihre Ergebnisse:Tim: A = −10; B = −6; C = 5 Sophie: A = −50; B = 25; C = −25Felix: A = −30; B = 18; C = −15 Marie: A = −100, C = −50; B = 60Wer hat die Aufgabe richtig gelöst? Begründe deine Antwort.

25 Bei einem Fernsehquiz ist Herr Kluge bei der 64 000-€-Frage angekommen. Zum Glück kennt er die Geburtsjahre: Plutarch 46 n. Chr., Hadrian 76 n. Chr., Caesar 100 v. Chr., Seneca 4 v. Chr., Augustus 63 v. Chr., Kleopatra 69 v. Chr., Pythagoras 580 v. Chr.Der Moderator drängt auf eine Antwort.Erläutere, welche Antwort Herr Kluge geben soll.

Lösungswort: −22 (s); −8 (n); −5 (u); −3 (e); −1 (m); 0 (i); 3 (t); 12 (l); 14 (p); 19 (r)

I InfoBei einem Spielwürfel ergeben die Augen-zahlen auf gegenüber-liegenden Seiten immer 7.

1 2

3 4

0

A C B

Welche der folgendenPersönlichkeiten aus der Antike

wurde als drittes geboren?

HadrianPlutarch Caesar

AugustusSeneca Kleopatra


26 Zähle abwechselnd mit deinem Nachbarn. Stellt euch gegenseitig ähnliche Aufgaben.a) Zähle in 5-er Schritten von −75 bis + 50.b) Zähle in 25-er Schritten von −200 bis + 100.c) Zähle von −100 000 in fünf Schritten bis 0.d) Zähle von −1000 in acht Schritten bis 0.e) Zähle von −1000 in acht Schritten bis + 1000.

27 Zeichne eine Zahlengerade von −7 bis +7 und kennzeichne in der entspre-chenden Farbe alle ganzen Zahlen,a) die von +2 genau 4 Einheiten entfernt sind in orange,b) die von −3 höchstens 3 Einheiten entfernt sind in grün,c) die von −2 mindestens 4 Einheiten entfernt sind in blau,d) die kleiner als +3 sind in rot,e) die größer als −5 sind in gelb.f ) Erstelle eine Aufgabe, die als Lösung die Punkte auf der Zahlengerade hat, die sowohl grün als auch gelb markiert sind.

28 Zeichne jeweils Zahlengeraden von −6 bis +6 und kennzeichne die ganzen Zahlen, für die folgende Zahlenrätsel gelten. Gib deine Lösung auch in Mengenschreibweise an. a) | ? | = 0 b) | ? | = 3 c) | ? | = −3 d) | ? | < 4

29 Welche ganze Zahl kann das sein? Erläutere deine Antwort.a) die kleinste positive Zahlb) die größte positive Zahlc) die größte negative Zahl

d) Stelle eine ähnliche Frage und lasse sie von deiner Nachbarin bzw. deinem Nachbarn beantworten.


30 In einem Bürohaus hat Mr Bean seinen Teddy verloren, bevor er in einen Aufzug stieg. Leider weiß er das Stockwerk nicht mehr.

Er erinnert sich:„Ich wollte sechs Stockwerke nach oben fahren, aber auf halbem Weg stieg eine Frau mit einem seltsamen Hut ein und fuhr mit mir acht Etagen hinunter. Dann wollte ich aussteigen, aber drei dicke Männer drängten mich in den Aufzug zurück. Sie wollten neun Etagen nach oben fahren. Drei Etagen davor drückte ich schnell auf HALT und stieg aus. Ich nahm den nächsten Aufzug und fuhr acht Stockwerke nach unten. Dort war es dunkel: Ich war im Keller gelandet!“

Hilf Mr Bean, seinen Teddy zu finden.

Chefetage

Personalabteilung 2

Keller –4

Tiefgarage C –3

Tiefgarage B –2

Tiefgarage A –1

Ausgang 0

Callcenter 1

Marketing 3

Buchhaltung 4

Kantine 5

Werbung 6

Einkauf 7

Entwicklung 8

Chefetage 9


Was kannst du? Was musst du noch üben? Mit diesen Aufgaben kannst du deinen Lernfortschritt überprüfen.Lösungen findest du im Anhang.

Tassilo hat mit seinen Eltern schon einige Wanderungen unternommen. Aus den Urlauben hat er jeweils die ma-ximale Höhe über dem Meeresspiegel herausgesucht, die sie erreicht haben.a) Runde alle Höhenangaben auf Hunderter. b) Zeichne dann einen Zahlenstrahl mit geeigneter Einteilung und trage alle gerundeten Höhenangaben ein.

2 Gib folgende Zahl in Ziffern an:vierzig Billionen vierhunderteine Million dreißigtausendundzwei

3 Gib Vorgänger und Nachfolger der folgenden Zahlen in Ziffern an.a) 4 Milliarden b) 10 6 c) −1000

4 Auf den folgenden Ausschnitten von Zahlengeraden sind jeweils zwei Zahlen sowie die Mitte zwischen ihnen markiert. Gib die fehlenden Zahlen an. Beschreibe jeweils dabei, wie du vorgegangen bist.a)

b)

c)

5 Die Flugentfernung von Frankfurt nach Tokio beträgt auf Tausender gerundet 9000 km. Gib die größte und die kleinste Entfernung an, die gerundet 9000 km ergibt.

6 Entscheide, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind. Begründe jeweils deine Antwort.a) Jede gerade vierstellige natürliche Zahl enthält die Ziffer 2.b) Jede natürliche Zahl hat eine ganze Zahl als Vorgänger.c) Die kleinste dreistellige ganze Zahl ist −100.d) Der Betrag einer ganzen Zahl ist größer als diese Zahl.

7 Anja hat momentan 7 € in ihrer Spardose. Sie möchte sich ein Buch für 10 € und ein Eis für 3 € kaufen. Ihre Oma schenkt 5 €. Berechne, wie viel Geld sie sich noch leihen muss, damit sie alles bezahlen kann.

Check upCheck up

1 Reiseland (Berg)

Maximal erreichte Höhe in m

Italien (Vesuv) 1281

Niederlande (Vaalserberg)

327

Deutschland (Zugspitze)

2962

Zypern (Olympos) 1952

Spanien (Puig Major) 1445

1

A C B

13

A C B

10 60

A C B

8 48

33

Zahlenstrahl und Menge der natürlichen Zahlen

2051 10 150

Der Zahlenstrahl beginnt bei 0, endet aber nicht. Dies wird durch einen Pfeil dar-gestellt. Der Abstand zwischen zwei aufeinanderfolgenden Zahlen ist stets gleich groß und wird als Einheit bezeichnet. Je weiter links eine Zahl am Zahlenstrahl steht, desto kleiner ist sie.

Die Zahlen 1; 2; 3; 4; … werden natürliche Zahlen genannt und zur Menge der natürlichen Zahlen ℕ zusammengefasst. ℕ = { 1; 2; 3; 4; … } ℕ 0 = { 0; 1; 2; 3; 4; … } Schreibweise: 23 ∈ ℕ „23 ist Element der Menge der natürlichen Zahlen.“ 0 ∉ ℕ „0 ist kein Element der Menge der natürlichen Zahlen.“

Stellenwerttafel und Dezimalsystem Die Stellenwerttafel kann auf beliebig große Zahlen erweitert werden:

… Billionen Milliarden Millionen Tausender… HB ZB B HMd ZMd Md HM ZM M HT ZT T H Z E… 1 0 3 0 0 1 8 6 4 0 4 0 3 5 2

Die Zahlen 1; 10; 100; 1000; 10 000; 100 000; … nennt man Stufenzahlen.Da die nächste Stufenzahl jeweils den zehnfachen Wert der vorangehenden hat, heißt unser Stellenwertsystem Zehnersystem oder Dezimalsystem.

Die Stufenzahlen lassen sich mithilfe von Zehnerpotenzen kürzer schreiben:

1 000 = 10 3 „10 hoch 3“ 1 000 000 000 = 10 9 „10 hoch 9“ 3 Endnullen 9 Endnullen

RundenOb du aufrunden oder abrunden musst, erkennst du nicht an der Stelle, auf die ge-rundet werden soll, sondern nur an der nachfolgenden Stelle.Bei 0, 1, 2, 3, 4 rundest du ab. ↓ Bei 5, 6, 7, 8, 9 rundest du auf. ↑

H TAuf Hunderter runden: 12 7 4 5 ≈ 12 700. Auf Tausender runden: 12 7 45 ≈ 13 000

Menge der ganzen Zahlen und ZahlengeradeDie Menge der natürlichen Zahlen ℕ = { 1; 2; 3; … } wird mit der Null und der Menge der negativen Zahlen { −1; −2; −3; … } zur Menge der ganzen Zahlen ℤ = { …; −3; −2; −1; 0; 1; 2; 3; … } erweitert. Die 0 ist weder positiv noch negativ.

−12 −11 −10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0

Null

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

positive Zahlennegative Zahlen

Auf einen Blick

0

klein groß

0

225

ℕ ℕ�

27

3312

48

5

4212

1319 …

−3

−2

−1

−28

−4622

137

4631

59

0

ℕℤ

……


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Natürliche und ganze Zahlen - · PDF fileKapitel 1 Natürliche und ganze Zahlen Bei vielen Brett-, Würfel- oder Kartenspielen gewinnt der Spieler, der die meisten Punkte sammeln