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(Neo)klassischer Transport assischer Transport im Flüssigkeitsbild (Zylinder): MHD-Gleichgewicht: Ohmsches Gesetz: 2 2 2 2 B p B B E B j B B B E v Stöße (Resistivität) führen zu radialer Geschwindigkeit! Betrachte diffusiven Teilchenfluss (T=const):

(Neo)klassischer Transport Klassischer Transport im Flüssigkeitsbild (Zylinder): MHD-Gleichgewicht: Ohmsches Gesetz: Stöße (Resistivität) führen zu radialer

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(Neo)klassischer Transport

Klassischer Transport im Flüssigkeitsbild (Zylinder):

MHD-Gleichgewicht:

Ohmsches Gesetz:

2222 B

p

B

BEBj

BB

BEv

Stöße (Resistivität) führen zu radialer Geschwindigkeit!

Betrachte diffusiven Teilchenfluss (T=const):

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Klassische Transportkoeffizienten (im Teilchenbild)

• Abschätzung für Transportkoeffizienten: t aus Stoßfrequenz

ohne oder ||B

senkrecht zu B

StoßDiff

Stoß

2/3

4

eeeiee

Tm

nevv ee

i

eie v

mm

v

ee

e

i

eii v

Ti

T

m

mv

2/32/1

Stoßfrequenzen (90°)

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2/3

4

eeeiee

Tm

nevv ee

i

eie v

mm

v

ee

e

i

eii v

Ti

T

m

mv

2/32/1

• typische Versetzung pro Stoß ist Larmor-Radius

eBmkT

rx L2

• für Stöße: Transport is ambipolar:ie

classiiLieeLe

iieeLeiclasse Drvrm

mvrvD ,

2,

2,

2,,

Klassische Transportkoeffizienten im Plasma

• Abschätzung für Transportkoeffizienten: t aus Stoßfrequenz

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• klassische Wärmeleitfähigkeit:

• Typischer Zahlenwert für Ionen:

• Experimentell gefunden : , zusätzlich !

ei 40

sm /10 24

sm /1 2 ie

Große Diskrepanz, erforderliche Maschinengröße viel größer als berechnet!

Klassische Transportkoeffizienten im Plasma

klassische Wärmeleitfähigkeit: auch Stöße zwischen Teilchen gleicherSorte tragen zum Energietransport bei

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Neoklassischer Transport (Transport in einem Torus)

• Wesentliche Änderungen wegen toroidaler Effekte, charakteristische Größe inverses Aspektverhältnis:

• Entlang von Magnetfeldlinien ist B nicht konstant magnetischer Spiegel

• abhängig von v / v, können Teilchen gefangen werden

Rr /

R

B~1/R

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Magnetisches Moment ist invariant:B

mv

2

2

Wenn gesamte kinteische Energie erhalten bleibt, verringert sich Energie in Parallelbewegung, wenn B steigt, bis zu v||=0 (Reflektion)

Bmax Bmin >>

u.U. Reflektionc!

Neoklassischer Transport (Transport in einem Torus)

• Entlang von Magnetfeldlinien ist B nicht konstant

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Spiegelverhältnis für magnetische Fläche an r:

1)(

)(

min

max

min2

min2|| B

B

Bv

BvSpiegelbedingung:

/R<<1:

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Teilchenbahnen im Tokamak

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Neoclassischer Transport (Transport im Torus)

• abhängig von v / v, können Teilchen gefangen werden

• Drift im inhomogenen Magnetfeld

• Teilchenbahn eines gefangenen Teilchens: Bananenbahn

BBvvqB

mvD

22||3 2

1

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Anteil der gefangenen Teilchen:

Effektive Stoßfrequenz: eff

Abschätzung der Bananenbreite:

(hier nicht 90°-Streuung, sondern nur aus gefangener Bahn)

Abweichung von magnetischer Fläche wegen Drift (v|| klein):

222||

22||3 22

1

2

1

v

eBR

mvv

eBR

mBBvv

qB

mvD

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Zeit zum Durchlaufen einer Banane: v|| x L (Länge der Feldlinie)

qRRL

Bananenbreite ~ vDt (t : Zeit zum Durchlaufen einer Banane)

Bananenbreite:

Maximale Bananenbreite: , entspricht

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Diffusion aus „random walk“ Argument:(charakteristische Schrittweite wB, Stoßzeit: 1/eff)

Ergebnis nur richtig, wenn Teilchen Bananenbahn zwischen 2 Stößen ausreichend oft durchlaufen, daher Normierung der Stoßfrequenz auf Bananen-Umlaufzeit:

*<3/2: Dban=

*>1:

3/2 <*<1:

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Neoklassische Diffusionskoeffizienten als Funktion der Kollisionalität

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• effective collision frequency (trapped passing): )2/( ceff vv

• Banana width:qr

r LB

2tn• number of trapped particles:

• Dneo by random walk with and for particles: effv/1 Br tn

classeffBneo Dq

vrD2/3

222

• May increase D, up to two orders of magnitude:

i 'only' wrong by factor 3-5

D, e still wrong by up to two orders of magnitude!

Neoclassical Transport (Transport in a torus)

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Neoclassischer Transport in Stellaratoren

B

B

B x B

Er x B

Er

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

coordinate along B

Bpassing

toroid. trapped

helically trapped

In 3d-Geometrie führt Drift in inhomogenem Magnetfeld i. allg. zu radialer Auswärtsbewegung, weil Umkehrpunkte der Bahnen nicht auf gleicher Flussfläche liegen (wie in 2d-Geometrie)

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Stoßfreie „gefangene“ Teilchen gehen i.allg. 3d-Geometrieverloren

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W7-X : Optimierung des neoklassischen Transports

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Neoklassische Effekte auf den Plasmastrom

Korrektur der Leitfähigkeit wegen gefangener Teilchen:

Dichte der in toroidaler Richtung frei beweglichen Teilchen:

Impulsaustausch auch zwischen gefangenen und umlaufenden Teilchen:

Leitfähigkeit im Vergleich zur Spitzer-Leitfähigkeit verringert

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Der Bootstrap-Strom

hier Annahme: T=const

Paralleler Strom auf Grund des Dichtegradienten der gefangenen Teilchen (wegen unterschiedlicher Besetzung der Bananenbahnen):

( )

Mit folgt Strom der gefangenen Teilchen:

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Der Bootstrap-Strom

Reibung zwischen gefangenen und freien Teilchen:

Bananenstrom bedeutet Verschiebung der Verteilungsfunktion der gefangenen Teilchen

Bootstrap-Strom: (T=const)

allgemeiner:

Genauere Behandlung zeigt, dass Beitrag von n größer als der von T.