Ztschr. f . angew. Math. nnd Msch. 66 v. K il r m 'a n , Neue Darstellung der Tragfltigeltheorie

Neue Darstellung der Tragfliigeltheorie. Von Th. v. KcErmcElz in Pasadena.

1. Wellenwiderstand und induzierter Widerstand. Diese kleine Arbeit verdankt ihre Ent- stehung der Diskussion, die in den letzten Jahren in der deutschen schiffbautechnischen Literatur fiber die Analogie zwischen dem induzierten Widerstand von Trcyfltlchen und dem Wellenwiderstand auf der Wasserflilche gleitender Flllchen gefuhrt wurde. Zwei Bemerkungen sind mir aufgefallen. Herr G. W e i n b l u m druckte die Meinung aus, dab induzierter Wider- stand und Wellenwiderstand nicht wesensgleich sein khnen , da der induzierte Widerstand einem Wirbelsystem, der Wellenwiderstand einem Wellensystem seine Entstehung verdankt, wobei die Wellenbewegung als eine Potentialbewegung in Rechnung gezogen wird. Herr H. W a g n e r I) bemerkte, dafi bei der Berechnung des Widerstandes gleitender Fliichen den1 induzierten Widerstand der Vorzug geblihrt, da die Formel fiir den Wellenwiderstand fur den Grenzfall der unendlich kleinen Lgnge der Gleitflilche (tragende Linie) einen unendlichen Wert liefert. Es schien mir, dab keine dieser Bemerkungen zutrifft. Es ist wahr, dafi der induzierte Widerstand gemeinhin von einem Wirbelsystem abgeleitet wird; wenn man sich aber - wie es meistens geschieht - auf eine Theorie erster Ordnung beschrilnkt, d. h. die Eigenbewegung der Wirbel vernachliissigt, reduziert sich die Aufgabe auf die Bestimmung einer Potential- bewegung mit gewissen Randbedingungen an der Ebene, in welcher die tragende Flache liegt. In der Theorie des Wellenwiderstandes beschrhkt man sich ebenfalls auf die Effekte erster Ordnung (die durch die Wellenbewegung eneugte Gescliwindigkeit klein gegen die Fahr- geschwindigkeit) und man lost das Potentialproblem in angenilherter Weise, indem man die Rsndbedingungen nicht an der wirklichen freien gewellten Oberfl&che, sondern in der Ebene erfullt, die den Halbraum abschliebt und in welclier die gleitende F l k h e liegt. Vergleicht man die Randbedingungen fur das Wirbelsystem und die fur die Wellenbewegung, so sicht man, dab sie far den Grenzfall holier Gleitgeschwindigkeit (grofier F r o u d e schen Zahl) identisch werdcn, so dafi die Formel fur den Wellenwiderstand in jene fur den induzierten Widerstand iibergehen mu&. Der Wagner sche Einwand erledigt sich dadurch, dab man ftkr den Wellen- widerstand irn Grenzfalle der tragenden Linie nur dann einen unendlichen Wert erhalt, wenn die Tragkraft far die Langeneinheit am Ende der tragenden Linie einen von Null ver- schiedenen endlichen Wert hat, In diesem E'alle liefert aber auch die Theorie des induzierten Widerstandes einen unendlichen Wert.

Um das Verhiiltnis der beiden Theorien klar herauszuarbeiten, schien es mir das Ein- fachste zu sein, zu versuchen, die Tragtlllchentt!eorie durch dieselbe Methode, die in der Theorie des Wellenwiderstandes benutzt wird, darzustellen. Dies geschieht in der vorliegenden Arbeit. Schlufifolgerungen far den Wellenwiderstand- sollen in einer zweiten Mitteilung ver- (Iffentlicht werden.

2. Die tragende Linie. Das Feld der induzierten Geschwindigkeiten. Wir betrachten die ruhende tragende Linie in einem gleichmllfiigen Luftstrom von der Gesch windigkeit U ; die Richtung von U sol1 mit der positiven xAchse zusammenfallen, die tragende Linie liegt in

der pAchse im Interval1 -B < y < - ; die Zirkulationsverteilung sei durch I'(y) gegeben. Wir leiten besondere Formeln nb fur die induzierte Potentialbewegung @(x, 3 , z ) im oberen und im unteren Halbraum, d. h. fiir z > 0 und z < 0. Die Randbedingungen fur a=O in bezug auf den oberen Halbrauni sind die folgenden :

a) in dem Gebiete der Ebene z=O, das aufjerhalb der tragenden Linie und der Wirbel- fllche liegt, mufi @ = O gelten, da der Obergang zum unteren Halbraum stetig ist und @(x, y, z) = - @ (5, y, -2) gilt (leicht einzusehen fur alle Geschwindigkeitsfelder, die von einem, in der Ebene z=O liegenden Wirbelsystem abgeleitet werden k6nnen) ;

b) an'der tragenden Linie erleidet @ einen Sprung von der halben Zirkulation --,

c) an der Wirbelfliiche ist z, - stetig, - unstetig; folglich mufi insbesondere

!!? = 0 gelten, da - Q, (2, y, z) = - - Q, (2, y, -2) ist. Somit ist Q, (5, y, 0) nur eine Funktion

r'y) an der unteren Seite der Ebene z = 0. von y und gleich -- an der oberen, --

b h 2 .

f ( ? I ) . 2

a @ a @ BX at4

a 3 as B X a x

UY) 2 2

3 ) H. W a g n e r : Jahrhuch der sehiffbautechnischen Qesellschaft. Bd. 14 (1999). 8. 217.

v. K 6 r m 8. n , Neue Darstellung der Tragfliigeltheorie 57 Band 15, Heft Ire Februar 1935

Um die Bedingungen a) bis c) zu erfilllen, betrachten wir zuerst den Ausdruck (ftir z > 0):

Zuntlchst bemerken wir, daP !Pi(%, y, z) die Potentialgleichung A @ = 0 erftillt; ferner, dafi !PI mit den Ableitungen flir z = w verschwindet.

Fur B = O ist

m m

--oo 0

wobei das +-Zeichen far x > 0, das -- Zeichen for x < 0 gilt. schen Theorem

Da nach dem Four i e r -

--m 0

ist, sind die Randbedingungen b) und c) erffillt (die letztere, weil fiberall, ausgenommeu an

der tragenden Linie selbst, '2 =O ist).

hinzu, welche von x: unabhllngig ist, ntlmlich Um die Bedingung a) zu erflillen, fugen wir zu @i eine zweite Potentialfunktion !PZ

Offenbar ist Qi + @* = 0 ftir z = - 00, und zwar nicht nur fur z = 00, sondern flir beliebige

Werte von a . Zu dem Integral -- dR tragen niimlich bei groben Werten von 1x1 nur

(GI. 1) 1' neben pa vernach- - V W % sehr kleine Werte voh 1 etwas bei, so dab wir in e ltlssigen k6nnen. Somit geht die rechte Seite von (I) in die rechte Seite von (4) mit ent- gegengesetztem Vorzeichen ilber. Ftir z= i- w , d. h. in unendlicher Entfernung hihter der tragenden Linie, ist

u i sin:x

--x) 0

Diese Formel gibt uns die Verteilung der induzierten Geschwindigkeiten in unendliclier Entfernung hinter der tragenden Linie:

Die Formeln (l), (4) und (6) gelten ohne weiteres flir z < 0 , falls man in den exponentiellen Gliedern z durch (-2) ersetzt.

2tschr.f.anuew. Math. und Mech. 68 v. K i r m i n , Neue Darstellung der Tragfltigeltheorie

3. Induzierter Widerstand. Elliptische Auftriebeverteilung. Die Formel (6), angewendet fur z =. 0, licfert unmittelbar den Ausdruck ftir den induzicrten Widerstand. Es ist bekanntlich

b b 3v wobei die Integration um beide Seiten der Strecke -z < y < 3 zu erstrecken ist und -- a m

die ,nach innen' gerichtete Ableitung des Potentials ds ist. Da beim obergang von der

oberen zur unteren Seite sowolil Q, als - das Voneichen wechseln, ist a@ an

b / P

* (81, M r i = - Q \ q * z * d y 3P . . . . . . . . . . .

- b/2 oder nach (5) und (6)

1 b/2 I) m m m

Wi = e \ {G \ \ r(q) -b/f - m 0 - -OD 1)

Wir wollen die ,F o u r i e r - Koeffizienten der Auftriebsverteilung"

einfuhren. Alsdann ergibt eine einfache Rechnung m

wi=- nt W ( P ) l ' + [9 ~p)17 p . d ,A (11). . . . . . . . . . u

Diese Forniel ist vollkoninien analog gebaul, wie die bekannte Hog n e r sche Formel des Wellenwiderstarides und kann auch formal leicht aus der H ogn e rsclien Formel abgeleitet werden ').

Es ist vielleicht ganz interessant, einige Beispiele anzugeben. Es sei r(7) = constant

2rsin p a - ( :) .und b b b

fur - -<q<g, I ' ( q )=Ofur ]q l>y . Alsdann ist g ( , u ) = O , f(p)=, 2 IU

nach (11)

Fur eine symmetrische Dreieckverteilung erhalten wir ebenfalls g (p) = 0 und

Der induzierte Widerstand ergibt sich zu m

P b wobei u = - gesetzt wurde. 4

2 ) L. P r a n d t l in seiner grundlegenden Arbeit von 1918 (Tra@liigeltheorie I. Milteilung) behandelt den Fall einev Tragfliigelu von nnendlicher Spannweite niit periodischer Auftriebaverleilor~g f = 7 cosp 9 und erhiilt fur den indnzierten Widerstand cines Stiickes von dcr Laom 1. die gleich eincr Anrahl Halbpcrioden ist, den Aiiedruck

W t = @' - '2''. Den llbergang mni Fourierachcn Integral hat P r a n d t l nicht vorgenonimen. 8

v. K B r m B n , New Darstellung der Tragflugeltheorie 59 Band 1%. Heft. 1/2 Febmar 1V3.5

L. P r a n d t l und M. M u n k behandelten die Frage nach dem Minimum von Wi, wenn

der Gesamtauftrieb oder das Integral 1 r ( y ) . d y gegeben ist. Aus (11) sieht man unmittelbar,

daP fur die gunstigste r-verteilung g (p) = 0 sein mufi, d. 11. dafi nur gerade Funktionen von y (eymmetrische Verteilungen) in Betracht kommen. Fernerhin kbnnen wir (1 i), falls I' nur fur

1 y < -g von Null verschieden ist, in der Form schreiben

bl 2

- b/2

b

1 j I 2 r2

1 I 1 1 ~ . I ' ( l ~ ~ ) . c o s ~ ~ ( g , - y ~ ) . d t ( . d ? ~ ~ = c o n s t . . . . . . (13)

n r p . I'(7). cos ,u (y -17). d p 1 d 17 = const . . . . . . . (141,

Wi=; p . rh) *r(?jl) * cosp (Yl -!!A* d p * d yi * d Y, * (121, 0 -6/% -6/2

und man sieht unmittelbar bei Variation von r ( y l ) und r ( g , ) , dafi far die gtinstigste Verteilung

m 6/i

u - / 2

gelten muP. Ersetzen wir y1 durch y, y2 durch q, so wird

0 -b in

a @ also mit Rficksicht auf (6) -=const. Dies ist in nbereinstimmung mit dern bekannten Er-

gebnis der Tragflugeltheorie, dah die gtinstigste Verteilung des Auftriebs fiber die Spannweite durch einen konstanten Wert des Abwindes gekennzeichnet ist.

B Z

Die L6sung der Integralgleichung (14) ist r(q) = r,,,,, . I/ -6 (elliptische Ver-

Y h teilung). Wir ftiliren die Bezeichnungen y' = 618 , 17' = & , p' = p 3 ein und schreiben nach (6)

Hei der Bercchnung des Integrals berucksichtigen wir die folgenden - aus der Theorie der 13 e s s e 1 schen Funktionen bekannten - Beziehungen ')

m

~J , , (p ' ) . s inp 'y ' .dp '=O fur Iy'I< 1 U

wobei J, und J, die B e s s e lschen Funktionen erster Art von der Ordnung 0 und 1 bezeichnen. Auf Grund von (16):

und durch partielle Integration m

I*'= m (::) Z=O = 5~ - { [d, (p') . cos (p' y')] p'=O + y' \ J , (p') . sin (p' 21'). d , u p U

. - 3) Vgl. z. B. F r a n k - v. M i s e s : DIe Differeiitialgleichungen der Mechnnik urid Physik. I, 6. 419. 2 te Auflage,

F. Vieweg & Sohn, Rrairnschweig 1930.

Zteohr. f . angew. Math. nnd Mech. 60

oder mit Riicksicht auf die zweite G1. (16)

v. K d r m B n , Neue Daretellung der Tragfltigeltheorie

Der induzierte Widerstand ist nach G1. (8)

7c oder, wenn der Mittelwert von r rnit r,,, =TI-,,, bezeichnet wird 7,

2 wi = e . - rms. . . . . . . . . . . . . . . (18). n

Mit L = e b . r , , , - U wird

Das Interessanteste von den Ergebnissen dieses Paragraphen ist vielleicht die ge- schlossene Darstellung des Geschwindigkeitsfeldes durch ein doppeltes F o u r i e r integral, welches wir durch Einfuhrung der elliptischen Verteilung in die allgemeinen G1. (1) und (4) erhalten

wobei das +.Zeichen fUr x > 0, das --Zeichen fur a C 0 gilt. Ich glaube, dafi diese Dar- stellung fur manche Aufgaben, die mit Abwindverteilung verbunden sind, gewisse Vorteile in reclinerischer Hinsicht besitzt.

4. Die tragende Fliiche. Die Erweiterung der Tragfltigeltheorie auf den Fall einer tragenden Fl%che ist von B i rn b a um und B 1 en k durchgeffihrt worden. Diese Erweiterung fordert einen sehr erheblichen Aufwand an Rechnungen und ist nicht sehr ilbersichtlich, da der Einflufi der gebundenen und der freien Wirbel getrennt behandelt werden mufi. Es schien mir daher wiinschenswert, die Ausdrticke fur das Geschwindigkeitsfeld einer tragenden Flache mit Hilfe der Methode der F o u r i e r schen Integrale aufzustellen.

Das System der gebundenen Wirbel ist offenbar beschrknkt auf das Gebiet, welches wir als tragende Flache ansehen und mit der horizontalen Projektion des Tragfliigels identi- fizieren. Wir wollen die beiden Komponenten des Wirbelvektors mit yz und yy bezeichnen,

zwischen beiden Grafien besteht die Beziehung : __ + - = 0. An den mndern des tragen- den Gebietes gelten die folgenden Randbedingungen: an den vorderen und seitlichen Be- grenzungen ist die Resultierende von yz und yy tangentiell zum Rand gerichtet, an der hinteren Regrenzung ist y y = O (d. h. die Wirbel verlassen die TragRtlche parallel zur Flug- richtung gericlitet). Falls wir die Verteilung von yy annehmeu, ist yx hierdurch eindeutig bestimmt.

In der Anntiherung der Theorie erster Ordnung, die wir hier entwickeln, ist der Auf- trieb pro Flacheneinheit gegeben durch q (z, y) = e U yv (z, y) . Andererseits gilt die B ern o u 1 li - sche Gleichung (p = Druck an einem beliebigen Punkt, p.. = Druck im Unendlichen) :

e2+ppm=Q-- - - - (u+%+(=) 2 +(=) f p oder angentlhert pm - p =e U G . Mit Rack-

a Y x a Y Y ax ay

a @ s a @ a a@ u2

00

4) Nach Formel (11) ist W i = rm.& d p = 9 Pmsr- in Ubereinstirnmung mit (18). 8

u

v. K 8 r m An , Neue Darstellung der Tragfliigeltheorie 61 Band 15. Heft 112 Febrnar 1935

i 3 @ sicht auf @ (5, y, z) = - @ (2, y, -2) hat - den gleichen absoluten Betrag und entgegen. 8 2 gesetztes Vorzeichen an der oberen und unteren Seite des tragenden Gebietes. Die Druck-

differenz, d. 11. der Auftrieb fur die Flacheneinheit ergibt sich somit zu q = 2~ U - d. h. wir erhalten die Randbedingung far die Begrenzung des oberen Halbraumes innerhalb

( ! ! ) z = ,,,= 2. I m Wirbelgebiet gilt wie fruher - = 0; in den des tragenden Gebietes Ubrigen Teilen der Ebene z = O , d. h. aufierhalb des tragenden und des Wirhelgebietes ist @ = 0.

t 3. = + 0)

B @ i 3 X

Um diesen Randbedingungen zu geniigen, betrachten wir zunlchst die Funktion

Wir erhalten durch Differentiation fur z=O

m m m m

1 -- \ \ \ \ yy ( E , 17). cos 1 (x - 5 ) . cosp (y - 17) a d 6 - d q . d 1. d p . (22) B x - 2 n 2 - m - m g 0

oder auf Grund des Four i e r schen Theorems

i3@ B X

Mithin sind die Randbedingungen soweit erfiillt, dafi - iiberall den richtigen Wert hat, nur hat vor dem Tragflugel @, statt des Wertes Null einen konstanten von Null verschiedenen Wert. Wir fiigen also zu @a - wie im Paragraph 2 - eine zweite Funktion Q2 hinzu,

welche von x unabhflngig ist. Wir wollen den Wert des Integrals y r - d x , d. h. die Zirku- lation um einen Tragfltlgelschnitt durch r ( y ) bezeichnen. Alsdann konnen wir sclireiben - wie frtiher -

00

- m

r a m

7 / * d p . . . . . . . . . . (23) 1 Q * = + ~ \ \ ~ ( r ) . c o s P ( ( y - - ) . e - r l . d

-a 0

und @J= G1 + @* gibt die vollsthndige LSsung des Problems. Der Ausdruck fur den induzierten Widerstand ist identisch mit dem Ausdruck, den

wir fur die tragende Linie erhalten haben. Das Problem der Tragflache geringsten Wider- standes ist soweit unbestimmt, dafi durch die Minimalbedingung nur die Verteilung des Auftriebs fiber die Spannweite bestimmt ist; die Verteilung des Auftriebes ilber die Trag- flachenschnitte bleibt unbestimmt.

Ein neues Ergebnis ist indessen eine geschlossene Formel ffir die Verteilung des Ab- windes fiber dem tragenden Gebiet. Wir erhalten die Vertikalkomponente der induzierten Geschwindigkeit

f (24).

J 1 3@ Im Sinne der B i r n b a urn - B 1 e n k schen Theorie gibt die Neigung der Tragfltiche zur

Flugrichtung, so dafi G1. (24) die Beziehung zwischen der geometrischen Form der TragRLLche und der Auftriebsverteilung herstellt. Berechnungen, um diese Gleichung fiir praktische Zwecke riutzbar zu machen, sind im Gange, und ich hoffe, dariiber bald beriehten zu konnen. P21