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Neuronendynamik:Signaltransduktion bei Neuronen
Assja, Frank, Simon, Mara, Julia
Westfälische Wilhelms-Universität Münster
Interdisziplinäres Praktikum: Nichtlineare Modellierung in den
Naturwissenschaften
3. August 2012
Eine kurze WiederholungDas Hodgkin-Huxley-Modell
Das Fitzhugh-Nagumo ModellStabilität und Grenzzyklen des Fitzhugh-Nagumo Modells
Kopplung mehrerer Neuronen
Übersicht über den Vortrag
1 Eine kurze Wiederholung
2 Das Hodgkin-Huxley-Modell
3 Das Fitzhugh-Nagumo Modell
4 Stabilität und Grenzzyklen des Fitzhugh-Nagumo Modells
5 Kopplung mehrerer Neuronen
Assja, Frank, Simon, Mara, Julia Neuronendynamik: Signaltransduktion bei Neuronen
Eine kurze WiederholungDas Hodgkin-Huxley-Modell
Das Fitzhugh-Nagumo ModellStabilität und Grenzzyklen des Fitzhugh-Nagumo Modells
Kopplung mehrerer Neuronen
Biologischer Hintergrund
Quelle: http://suite101.com/article/the-characteristics-of-a-neuron-and-its-basic-
functions-a365402
Assja, Frank, Simon, Mara, Julia Neuronendynamik: Signaltransduktion bei Neuronen
Eine kurze WiederholungDas Hodgkin-Huxley-Modell
Das Fitzhugh-Nagumo ModellStabilität und Grenzzyklen des Fitzhugh-Nagumo Modells
Kopplung mehrerer Neuronen
Quelle: http://51237776.de.strato-hosting.eu/biologie/bio13/neurobiologie/
aktionspotenzial/aktionspotenzial.phpAssja, Frank, Simon, Mara, Julia Neuronendynamik: Signaltransduktion bei Neuronen
Eine kurze WiederholungDas Hodgkin-Huxley-Modell
Das Fitzhugh-Nagumo ModellStabilität und Grenzzyklen des Fitzhugh-Nagumo Modells
Kopplung mehrerer Neuronen
Das Hodgekin-Huxley-Modell
berühmtes Modell zur Simulation von Neuronen
CdV
dt= gNam
3h (V − VNa)− gKn4(V − VK )− gL(V − VL)− I
mit
C Membrankapazität
V Membranpotential
gNa, gK , gL Leitfähigkeit von Natrium, Kalium
und restlichen Ionen (Loss)
I externer Strom
m, n, h Gatingvariablen
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Eine kurze WiederholungDas Hodgkin-Huxley-Modell
Das Fitzhugh-Nagumo ModellStabilität und Grenzzyklen des Fitzhugh-Nagumo Modells
Kopplung mehrerer Neuronen
Das Hodgekin-Huxley-Modell
für die Gatingvariablen gelten die folgenden Dynamiken:
dn
dt= αn(V )(1− n)− βn(V )n
dm
dt= αm(V )(1−m)− βm(V )m
dh
dt= αh(V )(1− h)− βh(V )h
wobei αi (V ), βi (V ) für i = n,m, h exponentielle Funktionen
sind, deren Parameter durch Experimente bestimmt werden
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Eine kurze WiederholungDas Hodgkin-Huxley-Modell
Das Fitzhugh-Nagumo ModellStabilität und Grenzzyklen des Fitzhugh-Nagumo Modells
Kopplung mehrerer Neuronen
Numerische Simulation des Hodgkin-Huxley-Modells
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Eine kurze WiederholungDas Hodgkin-Huxley-Modell
Das Fitzhugh-Nagumo ModellStabilität und Grenzzyklen des Fitzhugh-Nagumo Modells
Kopplung mehrerer Neuronen
Reduktion des Hodgkin-Huxley-Modells
m steigt viel schneller als n und h
n + h ≈ const.
weitere Annahmen an n führen zu dem
Fitzhugh-Nagumo-Modell
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Eine kurze WiederholungDas Hodgkin-Huxley-Modell
Das Fitzhugh-Nagumo ModellStabilität und Grenzzyklen des Fitzhugh-Nagumo Modells
Kopplung mehrerer Neuronen
Das Fitzhugh-Nagumo-Modell
dv
dt= v − v3
3− w − I
dw
dt= av − w + b
mit
v Membranspannung
w recovery Variable
I externer Strom
a, b Parameter
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Eine kurze WiederholungDas Hodgkin-Huxley-Modell
Das Fitzhugh-Nagumo ModellStabilität und Grenzzyklen des Fitzhugh-Nagumo Modells
Kopplung mehrerer Neuronen
Numerische Simulation des Fitzhugh-Nagumo-Modells
ohne externen Strom
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Eine kurze WiederholungDas Hodgkin-Huxley-Modell
Das Fitzhugh-Nagumo ModellStabilität und Grenzzyklen des Fitzhugh-Nagumo Modells
Kopplung mehrerer Neuronen
Numerische Simulation des Fitzhugh-Nagumo-Modells
mit konstantem externen Strom
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Eine kurze WiederholungDas Hodgkin-Huxley-Modell
Das Fitzhugh-Nagumo ModellStabilität und Grenzzyklen des Fitzhugh-Nagumo Modells
Kopplung mehrerer Neuronen
Stabilitätsanalyse des Fitzhugh-Nagumo Modells
Was braucht man dafür?
Nullklinen
Fixpunkte
Trajektorien
Stabilität
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Eine kurze WiederholungDas Hodgkin-Huxley-Modell
Das Fitzhugh-Nagumo ModellStabilität und Grenzzyklen des Fitzhugh-Nagumo Modells
Kopplung mehrerer Neuronen
Nullklinen
dv
dt= v − v3
3− w − I
dw
dt= ε(av − w + b)
dv
dt= 0
dw
dt= 0
⇒ w = v − v3
3+ I
w = av + b
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Eine kurze WiederholungDas Hodgkin-Huxley-Modell
Das Fitzhugh-Nagumo ModellStabilität und Grenzzyklen des Fitzhugh-Nagumo Modells
Kopplung mehrerer Neuronen
Fixpunkte
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Das Fitzhugh-Nagumo ModellStabilität und Grenzzyklen des Fitzhugh-Nagumo Modells
Kopplung mehrerer Neuronen
Trajektorien
dvdt = v − v3
3 − w − I
dwdt = ε(av − w + b)
Quelle: www.mathe.tu-freiberg.de/∼wegert/Lehre/Seminar3/susky_skript.pdf
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Das Fitzhugh-Nagumo ModellStabilität und Grenzzyklen des Fitzhugh-Nagumo Modells
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Stabilität
Quelle: http://www.alexanderrack.eu/bifurkation/3.1LinStab-Dateien/image002.jpg
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Das Fitzhugh-Nagumo ModellStabilität und Grenzzyklen des Fitzhugh-Nagumo Modells
Kopplung mehrerer Neuronen
Beispiel
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Eine kurze WiederholungDas Hodgkin-Huxley-Modell
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Kopplung mehrerer Neuronen
Zusammenhang zwischen Phasenraum und NumerischerLösung
Quelle: http://icwww.ep�.ch/∼gerstner/SPNM/img328.gif
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Eine kurze WiederholungDas Hodgkin-Huxley-Modell
Das Fitzhugh-Nagumo ModellStabilität und Grenzzyklen des Fitzhugh-Nagumo Modells
Kopplung mehrerer Neuronen
Kopplung mehrerer Neuronen
1. Kopplungsbeispiel:
1 2 3- -
6
externer Strom
100%100%
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Das Fitzhugh-Nagumo ModellStabilität und Grenzzyklen des Fitzhugh-Nagumo Modells
Kopplung mehrerer Neuronen
Kopplung mehrerer Neuronen
Neuronen in Reihe geschaltet
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Kopplung mehrerer Neuronen
Kopplung mehrerer Neuronen
2. Kopplungsbeispiel:
1 2
4 3
- -
�??
100%
100%
100%50%
externer Strom
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Eine kurze WiederholungDas Hodgkin-Huxley-Modell
Das Fitzhugh-Nagumo ModellStabilität und Grenzzyklen des Fitzhugh-Nagumo Modells
Kopplung mehrerer Neuronen
Kopplung mehrerer Neuronen
Neuronen in Reihe geschaltet
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Eine kurze WiederholungDas Hodgkin-Huxley-Modell
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Kopplung mehrerer Neuronen
Kopplung mehrerer Neuronen
zufälliges Kopplungsbeispiel:
1 2
4 3
-�
� -?
6
?
6@@@@@@@R@@@
@@@@I �
��
������������
-externer Strom
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Eine kurze WiederholungDas Hodgkin-Huxley-Modell
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Kopplung mehrerer Neuronen
Kopplungsmatrix
I1ext I2ext I3ext0 IN1 IN1
IN2 0 IN2
IN3 IN3 0
Sender
Empfänger
N3
N2
N1
Ext.
N1 N2 N3
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Eine kurze WiederholungDas Hodgkin-Huxley-Modell
Das Fitzhugh-Nagumo ModellStabilität und Grenzzyklen des Fitzhugh-Nagumo Modells
Kopplung mehrerer Neuronen
Zusammenfassung
Hodgkin-Huxley
Fitzhugh-Nagumo
Stabilitätsanalyse
Kopplung mehrerer Neuronen
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Eine kurze WiederholungDas Hodgkin-Huxley-Modell
Das Fitzhugh-Nagumo ModellStabilität und Grenzzyklen des Fitzhugh-Nagumo Modells
Kopplung mehrerer Neuronen
Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit!
Assja, Frank, Simon, Mara, Julia Neuronendynamik: Signaltransduktion bei Neuronen