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Neuronendynamik: Signaltransduktion bei Neuronen€¦ · Neuronendynamik: Signaltransduktion bei Neuronen Assja, Frank, Simon, Mara, Julia Westfälische Wilhelms-Universität Münster

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Neuronendynamik:Signaltransduktion bei Neuronen

Assja, Frank, Simon, Mara, Julia

Westfälische Wilhelms-Universität Münster

Interdisziplinäres Praktikum: Nichtlineare Modellierung in den

Naturwissenschaften

3. August 2012

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Eine kurze WiederholungDas Hodgkin-Huxley-Modell

Das Fitzhugh-Nagumo ModellStabilität und Grenzzyklen des Fitzhugh-Nagumo Modells

Kopplung mehrerer Neuronen

Übersicht über den Vortrag

1 Eine kurze Wiederholung

2 Das Hodgkin-Huxley-Modell

3 Das Fitzhugh-Nagumo Modell

4 Stabilität und Grenzzyklen des Fitzhugh-Nagumo Modells

5 Kopplung mehrerer Neuronen

Assja, Frank, Simon, Mara, Julia Neuronendynamik: Signaltransduktion bei Neuronen

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Eine kurze WiederholungDas Hodgkin-Huxley-Modell

Das Fitzhugh-Nagumo ModellStabilität und Grenzzyklen des Fitzhugh-Nagumo Modells

Kopplung mehrerer Neuronen

Biologischer Hintergrund

Quelle: http://suite101.com/article/the-characteristics-of-a-neuron-and-its-basic-

functions-a365402

Assja, Frank, Simon, Mara, Julia Neuronendynamik: Signaltransduktion bei Neuronen

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Eine kurze WiederholungDas Hodgkin-Huxley-Modell

Das Fitzhugh-Nagumo ModellStabilität und Grenzzyklen des Fitzhugh-Nagumo Modells

Kopplung mehrerer Neuronen

Quelle: http://51237776.de.strato-hosting.eu/biologie/bio13/neurobiologie/

aktionspotenzial/aktionspotenzial.phpAssja, Frank, Simon, Mara, Julia Neuronendynamik: Signaltransduktion bei Neuronen

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Eine kurze WiederholungDas Hodgkin-Huxley-Modell

Das Fitzhugh-Nagumo ModellStabilität und Grenzzyklen des Fitzhugh-Nagumo Modells

Kopplung mehrerer Neuronen

Das Hodgekin-Huxley-Modell

berühmtes Modell zur Simulation von Neuronen

CdV

dt= gNam

3h (V − VNa)− gKn4(V − VK )− gL(V − VL)− I

mit

C Membrankapazität

V Membranpotential

gNa, gK , gL Leitfähigkeit von Natrium, Kalium

und restlichen Ionen (Loss)

I externer Strom

m, n, h Gatingvariablen

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Eine kurze WiederholungDas Hodgkin-Huxley-Modell

Das Fitzhugh-Nagumo ModellStabilität und Grenzzyklen des Fitzhugh-Nagumo Modells

Kopplung mehrerer Neuronen

Das Hodgekin-Huxley-Modell

für die Gatingvariablen gelten die folgenden Dynamiken:

dn

dt= αn(V )(1− n)− βn(V )n

dm

dt= αm(V )(1−m)− βm(V )m

dh

dt= αh(V )(1− h)− βh(V )h

wobei αi (V ), βi (V ) für i = n,m, h exponentielle Funktionen

sind, deren Parameter durch Experimente bestimmt werden

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Eine kurze WiederholungDas Hodgkin-Huxley-Modell

Das Fitzhugh-Nagumo ModellStabilität und Grenzzyklen des Fitzhugh-Nagumo Modells

Kopplung mehrerer Neuronen

Numerische Simulation des Hodgkin-Huxley-Modells

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Eine kurze WiederholungDas Hodgkin-Huxley-Modell

Das Fitzhugh-Nagumo ModellStabilität und Grenzzyklen des Fitzhugh-Nagumo Modells

Kopplung mehrerer Neuronen

Reduktion des Hodgkin-Huxley-Modells

m steigt viel schneller als n und h

n + h ≈ const.

weitere Annahmen an n führen zu dem

Fitzhugh-Nagumo-Modell

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Eine kurze WiederholungDas Hodgkin-Huxley-Modell

Das Fitzhugh-Nagumo ModellStabilität und Grenzzyklen des Fitzhugh-Nagumo Modells

Kopplung mehrerer Neuronen

Das Fitzhugh-Nagumo-Modell

dv

dt= v − v3

3− w − I

dw

dt= av − w + b

mit

v Membranspannung

w recovery Variable

I externer Strom

a, b Parameter

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Eine kurze WiederholungDas Hodgkin-Huxley-Modell

Das Fitzhugh-Nagumo ModellStabilität und Grenzzyklen des Fitzhugh-Nagumo Modells

Kopplung mehrerer Neuronen

Numerische Simulation des Fitzhugh-Nagumo-Modells

ohne externen Strom

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Eine kurze WiederholungDas Hodgkin-Huxley-Modell

Das Fitzhugh-Nagumo ModellStabilität und Grenzzyklen des Fitzhugh-Nagumo Modells

Kopplung mehrerer Neuronen

Numerische Simulation des Fitzhugh-Nagumo-Modells

mit konstantem externen Strom

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Eine kurze WiederholungDas Hodgkin-Huxley-Modell

Das Fitzhugh-Nagumo ModellStabilität und Grenzzyklen des Fitzhugh-Nagumo Modells

Kopplung mehrerer Neuronen

Stabilitätsanalyse des Fitzhugh-Nagumo Modells

Was braucht man dafür?

Nullklinen

Fixpunkte

Trajektorien

Stabilität

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Eine kurze WiederholungDas Hodgkin-Huxley-Modell

Das Fitzhugh-Nagumo ModellStabilität und Grenzzyklen des Fitzhugh-Nagumo Modells

Kopplung mehrerer Neuronen

Nullklinen

dv

dt= v − v3

3− w − I

dw

dt= ε(av − w + b)

dv

dt= 0

dw

dt= 0

⇒ w = v − v3

3+ I

w = av + b

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Eine kurze WiederholungDas Hodgkin-Huxley-Modell

Das Fitzhugh-Nagumo ModellStabilität und Grenzzyklen des Fitzhugh-Nagumo Modells

Kopplung mehrerer Neuronen

Fixpunkte

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Eine kurze WiederholungDas Hodgkin-Huxley-Modell

Das Fitzhugh-Nagumo ModellStabilität und Grenzzyklen des Fitzhugh-Nagumo Modells

Kopplung mehrerer Neuronen

Trajektorien

dvdt = v − v3

3 − w − I

dwdt = ε(av − w + b)

Quelle: www.mathe.tu-freiberg.de/∼wegert/Lehre/Seminar3/susky_skript.pdf

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Eine kurze WiederholungDas Hodgkin-Huxley-Modell

Das Fitzhugh-Nagumo ModellStabilität und Grenzzyklen des Fitzhugh-Nagumo Modells

Kopplung mehrerer Neuronen

Stabilität

Quelle: http://www.alexanderrack.eu/bifurkation/3.1LinStab-Dateien/image002.jpg

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Eine kurze WiederholungDas Hodgkin-Huxley-Modell

Das Fitzhugh-Nagumo ModellStabilität und Grenzzyklen des Fitzhugh-Nagumo Modells

Kopplung mehrerer Neuronen

Beispiel

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Das Fitzhugh-Nagumo ModellStabilität und Grenzzyklen des Fitzhugh-Nagumo Modells

Kopplung mehrerer Neuronen

Zusammenhang zwischen Phasenraum und NumerischerLösung

Quelle: http://icwww.ep�.ch/∼gerstner/SPNM/img328.gif

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Das Fitzhugh-Nagumo ModellStabilität und Grenzzyklen des Fitzhugh-Nagumo Modells

Kopplung mehrerer Neuronen

Kopplung mehrerer Neuronen

1. Kopplungsbeispiel:

1 2 3- -

6

externer Strom

100%100%

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Das Fitzhugh-Nagumo ModellStabilität und Grenzzyklen des Fitzhugh-Nagumo Modells

Kopplung mehrerer Neuronen

Kopplung mehrerer Neuronen

Neuronen in Reihe geschaltet

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Kopplung mehrerer Neuronen

Kopplung mehrerer Neuronen

2. Kopplungsbeispiel:

1 2

4 3

- -

�??

100%

100%

100%50%

externer Strom

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Das Fitzhugh-Nagumo ModellStabilität und Grenzzyklen des Fitzhugh-Nagumo Modells

Kopplung mehrerer Neuronen

Kopplung mehrerer Neuronen

Neuronen in Reihe geschaltet

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Das Fitzhugh-Nagumo ModellStabilität und Grenzzyklen des Fitzhugh-Nagumo Modells

Kopplung mehrerer Neuronen

Kopplung mehrerer Neuronen

zufälliges Kopplungsbeispiel:

1 2

4 3

-�

� -?

6

?

6@@@@@@@R@@@

@@@@I �

��

������������

-externer Strom

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Das Fitzhugh-Nagumo ModellStabilität und Grenzzyklen des Fitzhugh-Nagumo Modells

Kopplung mehrerer Neuronen

Kopplungsmatrix

I1ext I2ext I3ext0 IN1 IN1

IN2 0 IN2

IN3 IN3 0

Sender

Empfänger

N3

N2

N1

Ext.

N1 N2 N3

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Kopplung mehrerer Neuronen

Zusammenfassung

Hodgkin-Huxley

Fitzhugh-Nagumo

Stabilitätsanalyse

Kopplung mehrerer Neuronen

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Kopplung mehrerer Neuronen

Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit!

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