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Wolfgang Westenberger:

Newton und das GRAIL-Satellitenexperiment(Gravitationsgesetz und Schalentheorem)

A EINFÜHRUNG

Mit dem Satellitenexperiment GRAIL wird sehr genau die Gravitation der von den Satelliten überflogenen Oberflächenstrukturen des Mondes vermessen. Die Messungen sind so genau, dass nicht nur die Schwerkraft von Gebirgen, sondern auch einzelner Berge und Krater registriert wird. Die gemessene Gravitationswirkung entspricht Newtons Gravitationsgesetz: Die Gravitation eines Bergs ist proportional zu seiner Masse und umgekehrt proportional zum Quadrat des realen Abstands zwischen dem Berg und dem Satellit.Im Folgenden ist die Frage zu klären, ob diese experimentellen Befunde vereinbar sind mit dem in der Astrophysik als bewiesen geltenden Schalentheorem, welches ebenfalls von Isaac Newton stammt.Im Teil B werden die als sicher geltenden Grundlagen skizziert.Teil C beschreibt direkt ableitbare Folgerungen aus dem GRAIL-Experiment.Teil D beschreibt die Vorhersagen des Schalentheorems auf den Mond vor Durchführung der Satelliten-Experimente.Im Teil E wird umgekehrt das Resultat von GRAIL auf die Galaxis angewendet.Teil F beschäftigt sich mit den Möglichkeiten, das Schalentheorem zu retten.Teil G kommt zu einer ernüchternden Schlussfolgerung.

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B GRUNDLAGEN

B1 Newtons Gravitationsgesetz

Die Gravitation eines Objekts nimmt proportional zu seiner Masse m zuund nimmt umgekehrt proportional zum Quadrat seines Abstands ab.Die Gravitation eines Objekts A mit der Masse m auf einen Punkt B im Abstand r ist alsoproportional zu m/r² .

B2 GRAIL misst die Gravitation einzelner Oberflächenstrukturen des Mondes

Der Mond-Satellit fliegt über einen Berg, dieser hat die Masse m.Die Gravitationswirkung des Bergs auf den Satellit, der sich im Augenblick der Messung an Position B mit Abstand r befindet, muss nach Newtons Gravitationsgesetz proportional zur Masse m des Bergs und umgekehrt proportional zum Quadrat des Abstands sein, also m/r² .Und genau das misst der Satellit. Die experimentellen Daten des Satelliten stimmen mit der Theorie des Newtonschen Gravitationsgesetzes überein.

B3 Newtons Schalentheorem

B3a Wenn ein Objekt A eine kugelsymmetrische Ausdehnung hat, wirkt seine Gesamtmasse auf eine Position B so, als ob die gesamte Masse als Punktmasse im geometrischen Zentrum Z der Kugel vereinigt wäre. “An object with a spherically-symmetric distribution of mass exerts the same gravitational attraction on external bodies as if all the object's mass were concentrated at the centre of the mass distribution.“Diese Regel gilt für kleine und große Kugeln, solange der Radius der Kugel nicht größer ist als der Abstand r(Z) des Mittelpunkts Z zur Position B.Vereinfacht formuliert: Jede Kugel wirkt als Ganzes aus ihrem Zentrum.

B3b Das bedeutet, ein Beobachter in B misst bei gleicher Gesamtmasse immer dieselbe Gravitation, er kann mit seiner Messung nicht unterscheiden, ob die Masse als Punktmasse im Zentrum konzentriert ist oder auf eine beliebig große Kugel verteilt ist, solange r(Z) nicht überschritten wird.

B3c Diese Regel gilt auch für eine nahe an die Position B heranreichende Teilmasse einer großen Kugel, auch wenn der Abstand dieser Teilmasse von B kleiner als 1/10 r(Z) oder kleiner als 1/1000 r(Z) wird. Newton macht keine Einschränkung der Gültigkeit für eine nahe Masse.Eine Begründung wird darin gesehen, dass aufgrund der Kugelsymmetrie für jede nahe Masse eine entfernte Masse jenseits von Z existiert, welche die Wirkung der nahen Masse statistisch ausgleicht.

B3d Das Schalentheorem gilt als bewiesen. Dazu stellt man sich vor, dass jede Kugel in beliebig viele ineinander liegende Kugelschalen aufgeteilt werden kann.Vereinfacht gilt auch hier wieder: Jede Kugelschale wirkt aus ihrem Zentrum.

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Der beliebteste Beweis besteht darin, dass über alle Positionen einer Kugelschale integriert wird (bzw über alle Abstände der einzelnen Kugelschalenpositionen zu B), was logischerweise als Ergebnis den Mittelpunkt Z ergeben muss; damit erhält man r(Z) und setzt dies in Beziehung zu der (Gesamt-)Masse der betrachteten Kugelschale, welche eine Teilmasse der gesamten Kugelmasse darstellt.Und wenn man über alle Kugelschalen integriert, erhält man m/r². (Dies vermittelt vordergründig das Gefühl einer vollständigen Übereinstimmung mit dem Gravitationsgesetz.)

Beliebt ist auch die Beweisführung über die Massedichte: Eine gegebene Gesamtmasse hat in einer kleinen verdichteten Kugel eine höhere Massedichte als in einer Kugel mit größerem Radius. In beiden Fällen erhält man durch Multiplikation der Massedichte (d.h. Masse/Volumen) mit dem Volumen der Kugel die Gesamtmasse zurück. Die Gesamtmasse wird in Bezug gesetzt mit r(Z), also erhält man wieder m/r² .

(Aus dieser Betrachtungsweise der Kugelschalen ergibt sich auch, dass ein Beobachter in B nicht unterscheiden kann, ob die Gesamtmasse vielleicht auch nur in einer einzigen Kugelschale konzentriert wäre.)

B4 Das Schalentheorem gilt für Spiralgalaxien

B4a Das Schalentheorem wurde von Isaac Newton für eine kugelsymmetrische Masseverteilung formuliert und wird von der aktuellen Astrophysik auf die Milchstraße und andere Spiralgalaxien angewendet. Dabei entspricht die Position B als Beobachtungs- oder Messpunkt einem beliebigen Stern in der galaktischen Scheibe, zB der Sonne. Die Sonne umkreist in einem bestimmten Bahnradius r(Z) das Zentrum der Milchstraße. Die kompakte Newtonsche Kugel wird ersetzt durch die Gesamtmasse, die sich innerhalb eines kugelförmigen Volumens mit Radius r(Z) befindet, bestehend aus der Masse aller darin enthaltener Sterne, Gas- und Staubwolken. Diese Gesamtmasse wird virtuell im Zentrum Z lokalisiert.

B4b Die bekannte Bahngeschwindigkeit der Sonne (220 km/s) hängt direkt mit der auf die Sonne wirkenden Gravitation zusammen; man kann deshalb genau berechnen, wieviel Masse aus dem Zentrum wirken muss, damit die Sonne in einer stabilen Umlaufbahn bleiben kann (sog. Bahngeschwindigkeitsgesetz).Die Anwendung dieses Bahngeschwindigkeitsgesetzes bringt das Ergebnis, dass die bekannte Materie der Milchstraße im Abstand r(Z) nur etwa 1/5 der notwendigen Gravitationswirkung erklärt.. Man hat also das Problem der fehlenden Masse, genauer sollte man sagen das Problem der fehlenden Gravitation.Daraus wurde die Dunkle-Materie-Theorie entwickelt. Die hypothetische Dunkle Materie liefert den Rest von 4/5 der notwendigen Materie, die aus dem Zentrum wirken muss.

B4c Zwar ist 1. die Materieverteilung in der galaktischen Scheibe nicht gleichmäßig und streng

kugelsymmetrisch, sondern eher unregelmäßig und inselförmig an einzelnen Positionen konzentriert und

2. die Milchstraße wie jede andere Spiralgalaxie keine Kugel und weist deshalb auch keine komplette Kugelschalen auf, sondern höchstens Bruchstücke von Kugelschalen in der Nähe der galaktischen Symmetrieebene;

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aber man nimmt an,1. dass trotz der inselförmigen Verteilung der Materie dennoch auf einem größeren Maßstab

eine ausreichend gleichmäßige statistische Verteilung der Masse vorliegt, um das Schalentheorem anwenden zu können und

2. dass die materiefreien Teile der fragmentarischen, partiellen Kugelschalen Dunkle Materie enthalten.

(Die Dunkle Materie konnte bei keinem der bisherigen Experimente nachgewiesen werden. Sie sollte aber da sein, damit genügend Masse vom Zentrum aus wirkt, um die Bahngeschwindigkeit erklären zu können. Und damit die Anwendung des Schalentheorems möglich wird.)

B4d Zusammenfassend ergibt sich:– Das Schalentheorem ist anwendbar auf bewegte Systeme. (Die Sonne bewegt sich auf

ihrer Bahn mit Radius r(Z) um das Zentrum Z der Milchstraße, und die Kreisbewegung der galaktischen Materie innerhalb des Radius r(Z) hat eine andere Umlaufdauer als die Sonne.)

– Das Schalentheorem ist anwendbar auf unvollständige, statistisch einigermaßen kugelsymmetrische Kugelschalen. Die Stärke der Gravitationswirkung ergibt sich aus der Gesamtmasse einer Kugelschale und dem Abstand einer Position B zum geometrischen Zentrum.

C FOLGERUNGEN AUS DEM GRAIL-EXPERIMENT

Die Gravitationswirkung eines Bergs auf der Mondoberfläche zeigt sich als Differenz zwischen der auf den Satelliten wirkenden Gesamtgravitation des Mondes beim Flug über den Berg und der Gesamtgravitation über einem Tal.

C1 Wenn ein Berg an der Mondoberfläche eine Gravitation entsprechend seiner Masse und seiner Entfernung ausübt, also proportional zu m/r² , dann ist dies unabhängig davon, wie groß die Gesamtmasse des Mondes ist oder wie groß die Zahl der übrigen Berge auf der Mondoberfläche ist. Wenn es nur einen einzigen Berg auf einer sonst perfekt kugelförmigen Mondoberfläche gäbe, wäre seine Wirkung entsprechend m/r² genau gleich. Nach dem Newtonschen Gravitationsgesetz ist es völlig unerheblich, ob der Berg allein ist oder noch Tausende andere gleichzeitig da sind, die gravitative Wirkung des Bergs ist immer proportional zu m/r² . Genau das misst das GRAIL-Experiment. Diese Gravitationswirkung des Bergs addiert sich als fester Betrag zu der Gravitationswirkung der übrigen Mondmasse.

C2 Wenn wir uns jetzt in einem Gedankenexperiment vorstellen, alle Täler und Krater des Mondes werden so hoch mit Mondmaterie gleicher Dichte aufgefüllt, dass eine perfekte Kugel entsteht, aus welcher keine Bergspitze herausragt, würde der Satellit in einer gleichbleibenden Umlaufbahn immer eine gleichbleibende Gravitation messen, also keine Veränderung durch wechselnde Oberflächenstrukturen mehr. (Die Gesamtmasse des Mondes und damit die Gesamtwirkung wäre um den Betrag höher, den die aufgefüllte Materie bewirkt.) Dennoch wissen wir, dass der jetzt zugeschüttete Berg immer noch mit demselben absoluten Betrag an Gravitation entsprechend m/r² auf den in gleicher Höhe darüber hinweg fliegenden Satelliten wirkt, als Teil der Gesamt-Gravitation.

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C3 Wenn eine Masse m (ein Berg) an einer bestimmten Position A im Abstand r zu einer Position B (dem Satelliten) eine bestimmte Gravitationswirkung ausübt, entspricht das einem Vektor mit Stärke und Richtung. Aber dann kann dieselbe Masse nicht gleichzeitig in einem von r abweichenden Abstand r(Z) eine zusätzliche Gravitationswirkung ausüben, weder in derselben Stärke noch in einer davon abweichenden Stärke .

C4 Der Mond ist kugelsymmetrischer als eine Spiralgalaxie. Man kann sich den Mond geometrisch aus beliebig vielen Kugelschalen aufgebaut vorstellen, wobei die äußere Schale, welche die Oberfläche mit Bergen, Kratern und Tälern enthält, nicht ganz gleichmäßig mit Materie angefüllt ist, aber statistisch gesehen doch eine einigermaßen gleichmäßige Materieverteilung aufweist. Damit kommt der Mond einer idealen Newtonschen Kugel sehr nahe, jedenfalls wesentlich näher als eine Spiralgalaxie.

C5 Das Satelliten-Experiment beweist, dass die relativ nahe Masse eines überflogenen Objekts eine Zunahme der Gravitation im Sinne von Newtons Gravitationsgesetz bewirkt. Dementsprechend bewirkt eine überflogene Leerstelle in derselben Kugelschale, also ein Tal, keine zusätzliche Gravitation. Das bedeutet, dass ein Beobachter in Position B doch unterscheiden kann, ob eine Masse sich im Zentrum der Kugel oder in einer Kugelschale befindet. Dieses Ergebnis ist ein direkter Widerspruch zu einer zentralen Aussage des Schalentheorems, vgl. B3b .

C6 Der Satellit in Position B misst eine konkrete Masse m eines bestimmten Bergs in Position A im Abstand r . Er misst nicht die statistische Mitte einer Kugelschale von Oberflächenstrukturen des Mondes. Und er misst auch nicht das statistische Mittel aus der Masse m des Bergs und einer punkt- oder kugelsymmetrisch gegenüber auf der anderen Mondseite gelegenen Oberflächenstruktur. Er misst immer nur m/r² . Im Gegensatz dazu vgl. B4c,d.

C7 Weil die nahe Masse m des Bergs voll wirksam ist und nicht als statistischer Mittelwert aus dem Zentrum des Mondes wirkt, wird die effektiv auf den Satelliten wirkende Gesamt-Gravitation des Mondes durch die Masse m messbar größer. Dies steht im Widerspruch mit B3a-d.

C8 Und wenn die Masse m des Bergs proportional zu m/r² auf die Position B wirkt, kann auch davon ausgegangen werden, dass die nächste Schicht der Mondmasse, also der Teil der Mondkugel, auf dem sich der Berg erhebt, ebenfalls nach Newtons Gravitationsgesetz wirkt und nicht als Mittelwert aus dem Zentrum. (Dieser Effekt lässt sich nicht mehr so leicht durch einfache Gravitationsmessungen nachweisen, weil die Materie hier gleichmäßig verteilt ist, und nicht mehr in Berg und Tal aufgeteilt.) Allgemein lässt sich daraus ableiten, dass die Wirkung der nahen Masse, die über den singulär messbaren Berg hinausgeht, zu einer deutlich größeren Gesamt-Gravitation des Mondes auf den Satelliten führt als wenn die gesamte Masse im Zentrum konzentriert wäre. Einfach ausgedrückt: Kugelsymmetrisch verteilte Masse bewirkt eine höhere Gravitationswirkung als eine im Zentrum konzentrierte Masse. Auch hier ergibt sich ein fundamentaler Widerspruch zum Schalentheorem, vgl. B3a.

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D ANWENDUNG DES SCHALENTHEOREMS AUF DEN MOND

Wir stellen uns vor, wir kennen die GRAIL-Satellitenexperimente nicht und leiten aus dem Schalentheorem ab, was ein hypothetischer Satellit messen würde.

D1 Der annähernd kugelförmige Mond wirkt mit seiner Gesamtmasse gravitativ nur aus dem Zentrum, deshalb kann ein über die Oberfläche fliegender Satellit nur die Gravitationswirkung der Gesamtmasse aus dem Mittelpunkt Z des Mondes messen, als ob sich die gesamte Masse des Mondes in Z befinden würde. Das ist die Grundaussage des Schalentheorems, vgl. B3a .Deshalb kann die Masse einer einzelnen Oberflächenstruktur nicht an ihrer Gravitationswirkung unterschieden werden.Das Ergebnis des GRAIL-Satellitenexperiments widerlegt diese Vorhersage des Schalentheorems.

D2 Wenn man den Mond in einzelne Kugelschalen aufteilt, wirkt jede Kugelschale mit ihrer jeweiligen Teilmasse aus dem geometrischen Zentrum Z. Die Masse der äußersten Kugelschale des Mondes mit Bergen und Kratern ist statistisch einigermaßen gleichmäßig verteilt, deshalb wirkt auch die Masse dieser äußeren Kugelschale direkt aus dem Zentrum. Und auch eine unvollständige Kugelschale wirkt wie eine vollständige, vgl.B4c.Deshalb kann ein Satellit nicht die Masse eines einzelnen Bergs messen.Die objektiven Messungen des GRAIL-Satellitenexperiments widersprechen dieser Vorhersage des Schalentheorems.

D3 Da nach dem Newtonschen Schalentheorem eine „nahe Masse“ nicht vorgesehen ist, denn alle Masse wirkt aus dem Zentrum, kann schon deshalb die Masse eines nahen Bergs nicht gemessen werden, vgl.B3a. Die Beobachtungen des GRAIL-Satellitenexperiments widersprechen auch dieser Begründung der theoretischen Vorhersage.

D4 Newtons Schalentheorem beschreibt neben den inneren Kugelschalen auch eine äußere Schale mit Radius größer als die Umlaufbahn eines Beobachters, also größer als r(Z). Diese äußere Schale, gleichgültig ob sie dick oder dünn ist, dicht oder locker mit Materie angefüllt oder ganz ohne Materie, bewirkt als Ganzes immer die Gravitation null. Dieser Gesichtspunkt spielt bei der Anwendung auf die Galaxis eine Rolle: Bei der Berechnung nach dem Bahngeschwindigkeitsgesetz umschließt der Bahnradius der Sonne r(Z) die innere Schalenmasse, welche aus dem Zentrum wirkt; während die äußere Schalenmasse zu vernachlässigen ist, Gravitation null. Im System Mond und Satellit hat die „äußere Schale“ die Masse null, Gravitation ebenfalls null.

D5 Ergebnis: Es besteht eine offensichtliche Unvereinbarkeit zwischen den Messungen der GRAIL-Satelliten und den Vorhersagen des Schalentheorems. Zumindest in der Form wie es gegenwärtig angewendet wird, vgl. D1 bis D3.

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E ANWENDUNGEN DER GRAIL-MESSUNGEN AUF EINE SPIRALGALAXIE

Der Satellit misst die Gravitation der Oberflächenstrukturen in einer Flughöhe, welche etwa 1/20 bis 1/70 des Abstands r(Z) zwischen Satellit und Mittelpunkt des Mondes entspricht.Bei der Sonne sind die nächsten galaktischen Objekte in einem wesentlich geringeren relativen Abstand, teilweise sogar weniger als 1/1000 r(Z). Der Abstand der Sonne zum galaktischen Zentrum wird mit 26.000 Lichtjahren angenommen, die nächsten Sterne sind deutlich weniger als 20 Lichtjahre von der Sonne entfernt. Im Abstand von bis zu 1/20 r(Z) wirkt auf die Sonne die Gravitation mehrerer Millionen galaktischer Sonnenmassen Richtung galaktisches Zentrum.

E1 Wenn für die Mondoberfläche gilt, dass eine nahe Masse (ein Berg) gravitativ wirksam ist, dann ist eine nahe Masse auch in der Galaxis gravitativ wirksam.

E2 Wenn die nahe Masse an ihrer nahen Position entsprechend m/r² wirkt, ist ihre Gravitation größer als wenn sie aus dem fernen Zentrum wirken würde.

E3 Wenn eine nahe Masse stärker wirkt als dieselbe Masse im Zentrum, ergibt sich eine verstärkte Gesamt-Gravitationswirkung auf den Beobachter in Position B, vgl. C7.

E4 Wenn die Wirkung der nahen Masse entsprechend m/r² größer ist als bisher angenommen, wirkt die in der Galaxis verteilte Masse gravitativ stärker als wenn dieselbe Gesamtmasse virtuell im Zentrum konzentriert wäre, vgl. C8.

E5 Wenn eine nahe Masse auf dem Mond (für den Satelliten) oder in der Galaxis (für die Sonne) gravitativ entsprechend Newtons Gravitationsgesetz wirkt, widerspricht dies Newtons Schalentheorem, vgl.B1 und B3.

E6 Wenn die auf eine Position B in der galaktischen Scheibe wirkende Gesamt-Gravitation höher ist als bisher angenommen, hat dies unmittelbare Bedeutung für die Berechnung der Dunklen Materie: denn mehr Gravitation bedeutet weniger „fehlende Masse“, also weniger „Dunkle Materie“, vgl. B4b.

E7 Zusammenfassend zeigt sich eine offensichtliche Diskrepanz zwischen dem Gravitationsgesetz und dem Schalentheorem.

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F MÖGLICHE HILFSARGUMENTE ZUR RETTUNG DES SCHALENTHEOREMS

F1 Vielleicht ist der Mond nicht kugelsymmetrisch genug, um das Schalentheorem anwenden zu können?Widerlegung:Wenn sogar eine Spiralgalaxie kugelsymmetrisch genug ist zur Anwendung des Schalentheorems, dann ist der Mond auf jeden Fall kugelsymmetrisch genug, vgl. B4c.

F2 Vielleicht wird die Masse eines nahen Bergs ausgeglichen durch die geringere Masse entfernter Berge auf der Gegenseite der Mondoberfläche, (vgl.B3c)?Widerlegung:Wenn es so wäre, dann wäre das Schalentheorem gerettet, aber dann würde der Satellit nicht das messen, was er misst, nämlich m/r² der nahen Masse.

F3 Vielleicht gilt das Schalentheorem nur für ruhende Systeme, nicht für rotierende, also nicht für den Mond?Widerlegung: Das Schalentheorem wird auf die Milchstraße angewendet, und sowohl die Sonne als auch die übrige Materie der Milchstraße rotieren um das Zentrum; ebenso umkreist der Satellit den Mond. Und Newton schließt die Gültigkeit seines Schalentheorems im Hinblick auf bewegte und rotierende Kugeln nicht aus, und auch nicht im Hinblick auf gleichförmig in einer Umlaufbahn bewegte Beobachter, vgl. B4d.

F4 Vielleicht müsste man berücksichtigen, dass die Wirkung der auf die Sonne wirkenden nahen Masse Richtung Zentrum der Milchstraße ausgeglichen wird durch die entgegengesetzt, auf der gegenüber liegenden Seite der Sonne befindliche galaktische Materie mit gleicher Stärke, mit Wirkung vom Zentrum weg; dass also eine „äußere nahe Masse“ die Wirkung der „inneren nahen Masse“ vollständig neutralisiert?Widerlegung:Wenn Newtons Schalentheorem gilt, dann gehört eine „äußere nahe Masse“ zur sogenannten „äußeren Schale“ nach Newton. Und die Wirkung der äußeren Schale auf ein innen gelegenes Objekt ist immer null, so wird es von Newton explizit beschrieben. Demnach muss man sich also doch auf die innere Kugel beschränken, und die Wirkung der nahen inneren Masse wird nicht neutralisiert, vgl. D4.(Allerdings könnte zur Klärung einer möglichen Diskrepanz zwischen Newtons Schalentheorem und seinem Gravitationsgesetz eine numerische Simulation durchgeführt werden, welche entsprechend Newtons Gravitationsgesetz die Masse und Position sämtlicher Objekte der Milchstraße berücksichtigt; bei dieser Berechnung müsste die Wirkung der äußeren Masse von der Wirkung der inneren Masse tatsächlich subtrahiert werden, um die effektive Gravitation zu erhalten, die dann auf die Sonne wirkt und die Bahngeschwindigkeit erklären sollte. Wenn diese Simulation Newtons Schalentheorem nicht bestätigt, hat die aktuelle Standard-Kosmologie ein Problem.)

F5 Resultat: Die zitierten Argumente zur Rettung des Schalentheorems sind widerlegt, es bleibt die Unvereinbarkeit der Satelliten-Experimente mit dem Schalentheorem.

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G SCHLUSSFOLGERUNG

Bisher wurden Newtons Gravitationsgesetz und Newtons Schalentheorem unter dem Begriff „Newtonsche Gravitation“ zusammengefasst und als gleichbedeutend angesehen, als verschiedene Wege zum selben Resultat. Diese Ansicht ist nicht länger haltbar. Die objektiven Messergebnisse der GRAIL-Satelliten erzwingen ein Umdenken.

– Entweder das Schalentheorem darf nicht auf die Weise auf die Milchstraße angewendet werden, wie es zur Zeit offizielle Lehrmeinung ist. Dann wäre auch die wesentliche Beweisführung für die Dunkle Materie hinfällig und widerlegt.

– Oder das Schalentheorem an sich muss korrigiert werden.

– Oder Beides.

In jedem Fall gilt: Die aktuelle Standard-Kosmologie und Astrophysik hat ein größeres Problem als bisher zu ahnen war.

Literatur: http://www.sterne-und-weltraum.de/alias/erdmond/grail-satelliten-funken-erste-bilder-vom-mond/1140909