6 Literaturberichte.

fi2hren bestimmt ist, fiir die entsprechende Beziehung zwischen den Reihen der A and der A werden aber zun~ehst die Bezeiehnungen ebenbiirtig, starker, schw~icher eingefiihrt. Es gilt dann die Bemerkung: ,Es daft in den Aussagen: eine Reihe ~ der Dinge A ist einer Reihe ~ der Dinge B ebenbiirtig, ~ ist s~rker als ~, ~ ist sehwacher als ~, jede Reihe durch jede andere Beihe derselben Dinge ersetzt werden, aber nieh~ dureh jede Reihe tiberhaupt. Diese Eigenschaft hat au~erdem nur noeh die Aussage, dal~ ein Ding ~ in einer Reihe ~ vor- kommt. Es gibt im bisherigen Sinn kein Ding ~ yon der Art, dal~ man in den obigen Aassagen start ,,eine Reihe ~ der A" aueh sagen diiffte ,das Ding ~ , " aber nieht in anderen Aussagen, z. B. in der Aussage: a ist in 9X friiher als b." Auf Grand dessen wird nun der Begriff der Menge eingefiihrt dutch die implizite Definition: , In den obigen Aussagen, aber in keiner yon ihnen unabhhngigen wird start: ,,eine Reihe ~ der A" aaeh gesagt ,das Ding ~ . . . Das Ding ~ heil~t eine Menge (Yielheit, Mehrheit) and zwar d i s M e n g e d e r A." Es wird nun eine mit ein~m Ding e beginnende Beihe yon Dingen ein ffir allemal angenommen und das Ding n yon 3 als Zahl jeder dem yon e his n reichenden Abschnitte yon ~ ebenbiirtigen Menge be- zeiehnet. Man kann ~ immer soweit erw.eitern, daI~ es zu einer vorgegebenen Menge die Zahl liefert. Ebenfalls dureh implizite Definition wird der Begriff der Ordnung eingefiihrf and es werden dann die natiirliehen Zahlen in ihrer Eigensehaft als Ordinalzahlen betraehtet. Die Bezeiehnung der Zahlen dutch Ziffern and Ziffernfolgen, die Bechnungsoperationen, das Reehnen mit benannten Zahlen, die Erweiterungen des Zahlbegriffes werden so eingehend behandelt, wie kaum sonstwo. Da der bisherige Mengenbegriff nur endliehe Mengen urn- faint, ist noeh eine Erweiterung erforderlieh. Zun~ehst heil~t D G e m e i n n a m e u n e n d l i c h v i e l e r D i n g e , wean naeh Angabe irgend weloher D stets noeh ein yon alien angegebenen verschiedenes D angegeben werden kann; eine neue implizite Definition lautet: ,Aneh wenn D (~emeinname unendlieh vieler: Dinge ist, wird start ,,Do ist ein D ~ ge.sagt ,,Do ist Stiiek des Dinges M" and M eine Menge, die Menge der D genannt. Zuniichst kSnnen nur Dinge in dem vor dieser Erweiterung festgehaltenen Sinne Stiieke einer Menge sein; nunmehr kann man aber auch aus Dingen in dem erweiterten Sinne wieder Mengen bilden, die dann ,Dinge" in einem abermals erweiterten Sinne sind u. s. f. So erweitert sieh die Bedeutung des Wortes ,,Ding," das urspriinglich nur ,,Wahrgenommenes oder Wahrnehmbares" bedeutet, yon Stale zu Stale. Auf jeder Siufe existier~ die ,Menge aller Dinge," doch ~indert sieh die Bedeutung dieses Begriffes van Stale zu Stale. Niemals kann eine Menge Stfick yon sieh selbst sein, u n d e s hat den hnschein, als ob sich manche der bekannten Widerspriiche der Mengenlehre aaf diesem Wege aufl6sen liei~en. Eine ein- gehende ErSrterang dieser Frage wgre wiinsehenswert und verdienstvotl. - - Als Anhang sind dem Baehe beigegeben Auszfige aas den folgenden ~lteren Sehriften des Veffassers: ,Vorlesungen fiber neuere Geometrie", ,,Einleitung in die Differential- und Integralreehnung", ,,Uber die Einfiihrung der irratio- nalen Zahlen," ,,lJber den Bildungswert der Mathematik." - - Fiir Jeden, der es liebt, nieht nur mathematiseh zu denken, sondern aueh fiber die Mathe- matik zu denken, mul~ dieses Bueh yon grofiem Interesse sein. H: Hahn.

N e w t o n s A b h a n d l u n g i i b e r d ie Q u a d r a t u r d e r K u r v e n . ~ b e r s . u. he rausg , y o n G. K o w a l e w s k i (Ostwalds K l a s s l k e r N r . 164). Leipzig~ W . E n g e l m a n n , 1908, 66. S. P r e i s geb . M. 1"50.

Literaturberiehte. 7

Naehdem Leibniz' Analysis des Unendlichen in die Ostwaldsehe Klassi- kersammlung aufgenommen war, ist es eigentlich selbstverstiindlich, daft auch eine Arbeit Newtons in derselben Weise zug~nglieh gemaeht warde. Das nicht immer ganz leichte Verst~ndnis wird dutch Kowalewskis Erliiuterungen sehr gefSrdert; aueh ist eine kurze iograpbie Nev~tons beigefiigt.

Hans Hahn.

Raum uud Zeit. H. M i n k o w ski. Vortrag, gehalten auf der ~aturforseherversammlung zu K(fln am 21. September 1908~ B. G. Teubner~ Leipzig 1909~ Preis 80 Ps

Dieser u hat das allgemeine Interesse so sehr erregt und ist so viol besproehen worden~ dal~ es wohl nicht nSfig ist, dariiber bier nech des l~ngeren zu berichten. Ich mSchte nur darauf hinweisen, daft alles, was bisher dariiber gesehrieben wurde, nieht ausreicht, die Lektiire des Originalvortrages iiberflfissig za machen, dessen tiefsto Gedanken, soweit sie phi]osophischer Natur siud, wie mir scheint~ noch keine den Kern der Saehe yell erfassende Wiirdi- gung gefunden haben. Die theoretiseh-physikalisehen Anregungen Minkowskis hubert eine gauze Literatur erzeugt, w~hrend der Gedanke, der diesem u seinen Titel gibt, daft die Darstellung der physikalischen Erscheinungen im dreidimensionalen Raum und in der eindimensionalen Zeit eine einseitige Ver- zerrung des gegebenen Tatbestandes ist, eigentlieh nieht recht zur Geltung ge- kommen ist. Ich mSehte mir daher hier erlauben, diesen Gedanken dureh ein geometrisches Gleichnis zu erlhutern. Wenn wir eine Raumknrve zu nntersuehen haben, so kSnnen wit deron geometrisehe Eigenschafteu vollkommen erschliei]en, wenn aus deren Projektion auf die X/Z-Ebene, also eine ebene Kurve, und die zu jedem Punkte derselben gehSrige Z-Koordinale, also eine Parameterverteilung auf der ebenen Kurve, gegeben ist. Es ersetzen uns also die ebenen Kurven und die Parameterverte!lung zusammen die Raumkurven. Nun abet geben uns diese beiden Daten auch Eigensehaften, die mit der geometrischen Natur der Raum- kurve gar nichts zu tun haben, die ich ja auch dutch unzi~hlige andere ebene Kurven and Parameterverteilungen geben kann. Diese ebene Darstellung ist also ein einseitig verzerrtes Bild der Raumkurv% das willkiir]iehes enthMt und dem Wesen der Sache nieht adaquat ist. Ebenso ist naeh Minkowski die Darstellung der Bewegung eines Punktes durch eine Raumkurve und eine Parameterverteilung (die Zeit) eine einseitige Verzerrtmg einer vierdimensionalen Kurve; denn die Zeit- bezw. Gesehwindigkeitsverteilung liings der Kurve kann, da absolute Gesehwindigkeiten unerkennbar sind, hie empirisch gegeben seiu, es ist eine wiilkfirliche Projektion einer vierdimensionalen l~ealitat, deren Harmonie dureh die Darstellung im dreidimensionalen Raum zerstSrt wird.

PhiliTJo Frank.

Lehr- und Aufgabenbueh der darste]lenden Geometrie fiir Oberrealschnlen. Von Josef Mat t auch~ k. k. Pros an der Staatsrealsehule in B. Leipa. Preis gebunden K 3"60. Wien~ A.. Piehlers Witwe & So]an. 1909.

In dem Buehe wird der Versueh gemacht, den Unterricht in der dar- stellenden Geometrie dureh die Betrachtung der Pboto~graphien yon Modellen ansehaulieher zu gestalten. So lange diese sieh aus die einfaehsten Objekte beziehen, wird der Zweck erreieht, sobald sie aber etwas komplizierter werden, ist eine hnsehauliehkeit nieht mehr vorhanden. Aueh die in dem Buche dureh-