Nichtlineare Finite Elemente - living matter lab Newton–Raphson Verfahren (Verschiebungskontrolle) . . . . . . . . . . . . . .86 3.5 Bogenlangenverfahren . . . . . . . . . .

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NichtlineareFinite Elemente

– Vorlesungsunterlagen WS 05/06 –

JP Dr.–Ing. habil. Ellen Kuhl

Kaiserslautern, Januar 2006

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Inhaltsverzeichnis

1 Grundlagen der Kontinuumsmechanik 31.1 Kinematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.1 Deformationsabbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.1.2 Deformationsgradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.3 Verzerrungsmaße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2 Spannungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.2.1 Spannungsmaße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.2.2 Hyperelastizitat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3 Bilanzgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.3.1 Massenbilanz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.3.2 Impulsbilanz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.3.3 Drehimpulsbilanz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.3.4 Energiebilanz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.4 Prinzip der virtuellen Arbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.4.1 Prinzip der virtuellen Arbeit (materiell) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.4.2 Prinzip der virtuellen Arbeit (raumlich) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.5 Richtungsableitung – Linearisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.5.1 Linearisierung kinematischer Großen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.5.2 Linearisierung des Prinzips der virtuellen Arbeit ( materiell ) . . . . . 261.5.3 Linearisierung des Prinzips der virtuellen Arbeit (raumlich) . . . . . . 28

1.6 Nichtlineare Analyse eines Dreigelenkrahmens . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2 Finite Element Methode – Elastizitat 382.1 Raumliche Diskretisierung mit Finiten Elementen . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.1.1 Diskretisierung kinematischer Großen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.1.2 Beispiel: Diskretisierung kinematischer Großen . . . . . . . . . . . . . 40

2.2 Diskretisierung der schwachen Form (materiell) . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.2.1 Diskretisierung des Residuums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.2.2 Linearisierung des Residuums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.3 Diskretisierung der schwachen Form (raumlich) . . . . . . . . . . . . . . . . . 482.3.1 Diskretisierung des Residuums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482.3.2 Linearisierung des Residuums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.4 Diskretisierung in Matrix–Vektor–Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512.4.1 Diskretisierung des Elementresiduums . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542.4.2 Linearisierung des Elementresiduums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

2.5 Stabelement im 2D Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

i

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Inhaltsverzeichnis

2.6 Nichtlineare Analyse eines Dreigelenkrahmens . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632.7 Algorithmische Umsetzung mit MATLAB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

2.7.1 Hauptprogramm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 672.7.2 Elementlastvektor und Elementsteifigkeitsmatrix . . . . . . . . . . . . 692.7.3 Gleichungsloser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 712.7.4 Zusammenbau Systemsteifigkeitsmatrix und Systemlastvektor . . . . 722.7.5 Plot der materiellen und raumlichen Konfiguration . . . . . . . . . . . 73

3 Losungsverfahren 743.1 Newton–Raphson Verfahren (Lastkontrolle) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

3.1.1 Newton–Raphson Verfahren – Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . 753.1.2 Nichtlineare Analyse eines Dreigelenkrahmens . . . . . . . . . . . . . 76

3.2 Modifiziertes Newton Verfahren (Lastkontrolle) . . . . . . . . . . . . . . . . . 783.2.1 Modifiziertes Newton Verfahren – Algorithmus . . . . . . . . . . . . . 783.2.2 Nichtlineare Analyse eines Dreigelenkrahmens . . . . . . . . . . . . . 79

3.3 Gedampftes Newton Verfahren (’line search’) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 833.3.1 Gedampftes Newton Verfahren – Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . 85

3.4 Newton–Raphson Verfahren (Verschiebungskontrolle) . . . . . . . . . . . . . . 863.5 Bogenlangenverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

3.5.1 Bogenlangenverfahren – Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 913.5.2 Bogenlangenverfahren – mogliche Nebenbedingungen . . . . . . . . . 92

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Literaturverzeichnis

[1] Bathe, K. J. [1995]. Finite Element Procedures. Prentice Hall, EnglewoodCliffs, New Jersey.

[2] Bathe, K. J. [2000]. Finite–Element–Methoden. Springer Verlag, Berlin.

[3] Belytschko, T., W. K. Liu & B. Moran [2000]. Nonlinear Finite ElementAnalysis for Continua and Structures. John Wiley & Sons.

[4] Bonet, J. & R. D. Wood [1997]. Nonlinear Continuum Mechanics for FiniteElement Analysis. Cambridge University Press.

[5] Crisfield, M. A. [1996]. Non–linear Finite Element Analysis of Solids andStructures. John Wiley & Sons.

[6] Holzapfel, G. A. [2000]. Nonlinear Solid Mechanics: A Continuum Approachfor Engineering. John Wiley & Sons.

[7] Hughes, T. J. R. [2000]. The Finite Element Method – Linear Static and Dyna-mic Finite Element Analysis. Prentice Hall, Englewood Cliffs, New Jersey.

[8] Wriggers, P. [2001]. Nichtlineare Finite–Element–Methoden. Springer Ver-lag, Berlin.

[9] Zienkiewicz, O. C. & R. L. Taylor [2000]. The Finite Element Method, Vo-lume I: The Basis. Butterworth Heinemann, fifth edition.

[10] Zienkiewicz, O. C. & R. L. Taylor [2000]. The Finite Element Method, Vo-lume II: Solid Mechanics. Butterworth Heinemann, fifth edition.

1

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Literaturverzeichnis

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1 Grundlagen der Kontinuumsmechanik

FEM I (bisher):lineare FEM, Gleichgewicht am unverformten System• Verzerrungen � als lineare Funktion der Verschiebungen u• Spannungen � als lineare Funktion der Verzerrungen �lineares Gleichungssystem der Form

f intI − f ext

I = 0 mit f intI =

nnd

∑J=1

KI J uJ

direkt losbar fur unbekannten Knotenvektor uJ = −nnd

∑I=1

K−1J I f ext

I

FEM II (jetzt):nichtlineare FEM, Gleichgewicht am deformierten System• Verzerrungen als nichtlineare Funktion der Deformation '

es gibt unterschiedliche Verzerrungsmaßeprimare Unbekannte ' J = X J + uJ

• Spannungen als nichtlineare Funktion der Verzerrungenes gibt unterschiedliche Spannungsmaße

nichtlineares Gleichungssystem der Form

f intI − f ext

I = 0 mit f intI = f int

I (' J)

nur iterativ losbar fur unbekannten Knotenvektor ' J

3

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1.1 Kinematik

Lehre der Bewegung und Deformation ohne Bezug zur Ursache

1.1.1 Deformationsabbildung

F(X,t)

f(x,t)

B0 BtF

f

materiellekonfiguration raumlichekonfiguration

X x

Abbildung 1.1: Deformationsabbildung und Deformationsgradient

Bewegung des Korpers B mathematisch beschreibbar durch dieDeformationsabbildung ' ( X , t ) bzw. � ( x, t )

• materielle Deformationsabbildung ' von B0 nach Bt

x = ' ( X , t ) : B0 ×R→ Bt

Lagrange’sche Betrachtungsweise, beschreibt das Verhalten ei-nes materiellen Punktes X, ublich in der Festkorpermechanik

• raumliche Deformationsabbildung � von Bt nach B0

X = � ( x, t ) : Bt ×R→ B0

Euler’sche Betrachtungsweise, beschreibt das Verhalten an ei-nem raumlichen Punkt x, ublich in der Fluidmechanik

4

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im folgenden: Lagrange’sche Betrachtungsweise

• Verschiebungsvektor u

u = x− X = ' − X

1.1.2 Deformationsgradient

• materieller Deformationsgradient FTangentenabbildung von TB0 nach TBt

F =∂'∂X

=∇X '

FiJ =∂' i

∂XJ=∇XJ ' i

: TB0 → TBt

mit

FiJ =

∂' 1

∂X1

∂' 1

∂X2

∂' 1

∂X3∂' 2

∂X1

∂' 2

∂X2

∂' 2

∂X3∂' 3

∂X1

∂' 3

∂X2

∂' 3

∂X3

zentrale Große zur Beschreibung finiter Deformationen, be-schreibt die relative raumliche Position zweier benachbarterPartikel nach ihrer Deformation als Funktion ihrer relativen ma-teriellen Position vor der Deformation, Zweifeldtensor

F =∇X ' =∇X [ X + u ] = I +∇X u

FiJ =∇XJ ' i =∇XJ [ Xi + ui ] = � iJ +∇XJ ui

• Jacobi Determinante J

J = det(F)

5

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• Transformation von Linienelementen

dx =∇X ' ·dX

dxi =∇X J ' i dXJ

dx = F ·dX

dxi = FiJ dXJ

F(X,t)

f(x,t)

F

f


B0 Bt dx

dA

dV

da

dv

dXxX

Abbildung 1.2: Transformation von Linien-/ Flachen- und Volumenelementen

• Transformation von Volumenelementenmaterielles Volumenelement dV

dV = dX1 · [ dX2 × dX3 ]

= det( [ dX1, dX2, dX3 ] )

6

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raumliches Volumenelement dv

dv = dx1 · [ dx2 × dx3 ]

= det( [ dx1, dx2, dx3 ] )

= det( [ F [ dX1, dX2, dX3 ] ] )

= det(F) det( [dX1, dX2, dX3] )

dv = J dV

• Transformation von Flachenelementenmaterielles Flachen- und Volumenelement dA und dV

dA = N dA dV = dX · dA

N ... Einheitsnormale des materiellen Flachenelements dA

raumliches Flachen- und Volumenelement da und dv

da = n da dv = dx · da

n ... Einheitsnormalen des raumlichen Flachenelements da

mit dx = F · dX = dX · F t und dv = J dV

dv = dx · da

= dX · F t · da

= dX · J dA = J dV

Nanson’s formula

da = J F−t ·dA

dai = J F−tiJ dAJ

7

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1.1.3 Verzerrungsmaße

Vergleich des Skalarproduktes des materiellen LinienelementesdX mit dem zugeorigen raumlichen Linienelement dx

dx ·dx −dX ·dX = F ·dX · F ·dX −dX ·dX

dxk dxk−dXI dXI = FkI dXI FkJ dXJ−dXI dXI

ausklammern ergibt

dx ·dx −dX ·dX = dX · [ F t · F − I ] ·dX

dxk dxk−dXI dXI = dXI [ FtIk FkJ− � I J ] dXJ

• Deformationstensorenrechter Cauchy–Green Deformationtensor C

C = F t · FCI J = Ft

Ik FkJ

rein materielle Große, es gilt:

dx · dx = dX · [ F t · F ] · dX = dX · C · dX

linker Cauchy–Green Deformationtensor (Fingertensor) b

b = F · F t

bi j = FiK FtK j

rein raumliche Große, es gilt:

dX · dX = dx · [ F−t · F−1 ] · dx = dx · b−1 · dx

• VerzerrungstensorenGreen–Lagrange Verzerrungstensor E

E =12

[ F t · F − I ] =12

[ C − I ]

EI J =12

[ FtIk FkJ− � I J ] =

12

[ CI J− � I J ]

8

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rein materielle Großees gilt mit F = ∇Xx = ∇X[ X + u ] = I +∇Xu

E =12[ I +∇t

Xu ][ I +∇Xu ]− I ]

=12

[ I +∇Xu +∇tXu +∇t

Xu · ∇Xu− I ]

=12

[∇Xu +∇tXu +∇t

Xu · ∇Xu]

vergleiche mit geometrisch linearer Theorie (FEM I)

� =12[∇u +∇tu ]

Euler–Almansi Verzerrungstensor e

e =12

[ I − F−t · F−1 ] =12

[ I − b−1 ]

ei j =12

[ � i j− F−tiK F−1

K j ] =12

[ � i j− b−1i j ]

rein raumliche Großees gilt mit F−1 = ∇xX = ∇x[ x− u ] = I −∇xu

e =12

[ I − [ I −∇txu ][ I −∇xu ] ]

=12

[ I − I +∇xu +∇txu−∇t

xu · ∇xu ]

=12

[∇xu +∇txu−∇t

xu · ∇xu]


� =12[∇u +∇tu ]

es gilt

push forward e = F−t · E · F−1 pull back E = F t · e · Fei j = F−t

iK EKL F−1L j EI J = Ft

Ik ekl Fl J

9

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1.2 Spannungen

1.2.1 Spannungsmaße

e1

e3

e2

t

n

dP dp

B0 Bt

dA

dN

da

dn

Abbildung 1.3: Definition der Spannungen

• Cauchy Spannungstensor � t

t = n · � = � t · nti = n j � ji = � t

i j n j

j... erster Index: Normale auf die Flachei... zweiter Index: Richtungbetrachte Kraftelement dp der raumlichen Konfiguration

dp = t da = � t · n da

physikalische Interpretation

dp = � t · da

Cauchy Spannungstensor � liefert Beziehung zwischen Kraft-element dp der raumlichen Konfiguration und Oberflachenele-ment da der raumlichen Konfiguration, rein raumliche Große

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• 1. Piola–Kirchhoff Spannungstensor � t (vergl. Literatur: P)betrachte Kraftelement dp der raumlichen Konfiguration

dp = t da = � t · n da = � t · da = J � t · F−t · dA = � t · dA

Zusammenhang

� t = J � t · F−t � = J F−1 · �� t

iJ = J � tik F−t

kJ � Ji = J F−1Jk � ki


dp = � t · dA

erster PK liefert liefert Beziehung zwischen Kraftelement dpder raumlichen Konfiguration und Oberflachenelement dA dermateriellen Konfiguration, Zweifeldtensor

• 2. Piola–Kirchhoff Spannungstensor � t (vergl. Literatur: S)betrachte Kraftelement dP der materiellen Konfiguration

dP = F−1 ·dp = F−1 · � t ·dA = J F−1 · � t · F−t ·dA = � t ·dA

Zusammenhang

� t = F−1 · � t = J F−1 · � t · F−t

� tI J = F−1

Ik � tkJ = J F−1

Ik � tkl F−t

l J


dP = � t · dA

zweiter PK liefert liefert Beziehung zwischen Kraftelement dPder materiellen Konfiguration und Oberflachenelement dA dermateriellen Konfiguration, rein materielle Große

11

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es gilt

push forward � t =1J

F · � t · F t pull back � t = J F−1· � t· F−t

� ti j =

1J

FiK � tKL Ft

L j � tI J = J F−1

Ik � tkl F−t

l J

1.2.2 Hyperelastizitat

• Elastizitat:Spannungszustand ist allein eine Funktion des aktuellen De-formationszustandes

• Hyperelastizitat:Spannungszustand ist pfadunabhangig und laßt sich als

Funk- tion der gespeicherten Verzerrungsenergie darstel-len

= ( F (X), X) ˙ =∂ ∂F

: F = � t : F � t :=∂ ∂F

= ( E (X), X) ˙ =∂ ∂E

: E = � t : E � t :=∂ ∂E

= 2∂ ∂C

Zusammenhang zwischen materiellem Spannungszuwachs∆� t und materiellem Verzerrungszuwachs ∆E

∆� t = IL : ∆E mit IL =∂� t

∂E=

∂2 ∂E2 = 4

∂2 ∂C2

IL ... vierstufiger Lagrange’scher ElastizitatstensorIE ... vierstufiger Euler’scher Elastizitatstensor

12

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es gilt

push forward IE =1J[ F ⊗ F ] : IL : [ F t ⊗ F t]

Ei jkl =1J

FiI FjJ LI JKL FKk FLl

pull back IL = J [ F−1 ⊗ F−1 ] : IE : [ F−t ⊗ F−t ]

LI JKL = J FIi FJ j Ei jkl FkK FlL

Beispiel: St. Venant–Kirchhoff Material ( materiell)

Verzerrungsenergiefunktion des St. Venant–Kirchhoff Materials

kir (E) =12

� [ E : I ]2 + � E : E

� , � ... Lame Parameter

zugehorige Spannungen und Materialoperator

� kir t (E) =∂ ∂E

kir

= � [ E : I ] I +2 � E

ILkir (E) =∂� kir t

∂E= � I ⊗ I +2 � IIsym

I ... zweistufiger Einheitstensor [II J] = � I J

IIsym ... symmetrischer vierstufiger EinheitstensorIIsym = 1

2 [I⊗I + I⊗I] bzw. [IsymI JKL] = 1

2 [� IK � JL + � IL � JK]

vergleiche FEM I, Hooke’sches Gesetz, E← � und � ← �

13

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Beispiel: Neo–Hooke Material (materiell)

dazu: Invarianten der Deformationstensoren

IC = C : I = b : I = Ib

I IC = 12 [ tr2(C)− tr(C2) ] = 1

2 [ tr2(b)− tr(b2) ] = I Ib

I I IC = det(C) = J2 = det(b) = I I Ib

partielle Ableitung der Invarianten∂IC

C= I

∂Ib

b= I

∂I IC

C= tr(C)I − Ct ∂I Ib

b= tr(b)I − bt

∂I I IC

C= det(C) C−1 = J2 C−t ∂I I Ib

b= det(b) b−1 = J2 b−t

Verzerrungsenergiefunktion des Neo–Hooke Materials

neo(C) =�2[ IC − 3 ]− � ln(J) +

�2[ ln(J) ]2

mit:∂ ln(J)

∂C=

∂ ln(√

I I IC)∂C

=1√I I IC

∂√

I I IC

∂C=

1√I I IC

12

I I IC√I I IC

C−1 =12

C−1

∂ ln2(J)∂C

= 2 ln(J)12

C−1 = ln(J) C−1

zugehorige Spannungen und Materialoperator

� neo t = 2∂ neo

∂C= � [ I − C−1 ] + � ln(J) C−1

ILneo = 2∂� neo t

∂C= [ 2 � − 2 � ln(J) ][−∂C

∂C

−1

] + � C−1 ⊗ C−1

∂C−1

∂C = −12

[C−1⊗C−1 + C−1⊗C−1

][∂CI J

∂C

−1

KL] = −1

2

[C−1

IK C−1JL + C−1

IL C−1JK

]

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Beispiel: Neo–Hooke Material (raumlich)

push forward des Spannungstensors und des Materialtensors

� neo t =1J

F · � neo t · F t =�J

[ b− I ] +� ln(J)

JI

IEneo =1J[ F⊗F ] : ILneo : [ F t⊗F t ] = � ∗ I ⊗ I + 2 � ∗ iisym

Materialparameter

� ∗ =�J

� ∗ =� − � ln(J)

J

I ... zweistufiger Einheitstensor [Ii j] = � i j

iisym ... symmetrischer vierstufiger Einheitstensoriisym = 1

2 [I⊗I + I⊗I] bzw. [isymi jkl ] = 1

2

[� ik � jl + � il � jk

]vergleiche FEM I, Hooke’sches Gesetz, J ← 1, � ∗ ← � , � ∗ ← �

15

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1.3 Bilanzgleichungen

zeitliche Anderung der Bilanzgroße {•}0, {•}t bilanziert mitOberflachenfluß {�}, {♦} und Volumenquelltermen {◦}0, {◦}t

• materiell, auf raumfestem materiellem Gebiet B0

Dt{•}0 = Div {�}+ {◦}0

• raumlich, auf zeitveranderlichem raumlichem Gebiet Bt

Dt{•}t = div ({♦})+ {◦}t dt{•}t = div ({♦}−{•}t⊗v)+ {◦}t

1.3.1 Massenbilanz

”Die zeitliche Anderung der Masse m, der materiellen Volumen-dichte � 0 im materiellen Gebiet B0, bzw. der raumlichen Volu-mendichte � t im raumlichen Gebiet Bt ist identisch zu Null.”

• materiell

Dt � 0 = 0

kein Fluß– & Quellterm, konstante Massendichte � 0 = const.

• raumlich

Dt � t = −� t div (v) dt � t = div (−� t v)

vergleiche Kontinuitatsgleichung der Stromungsmechanik

1.3.2 Impulsbilanz

”Die zeitliche Anderung des Impulses I, der mit der materi-ellen bzw. raumlichen Volumendichte � 0 bzw. � t gewichtetenGeschwindigkeit v = Dt' = ¨' im materiellen bzw. raumlichen

16

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Gebiet B0 bzw. Bt entspricht der Summe aus Kraften aus demOberflachenfluß � t, � und den Volumenkraften � 0 b, � t b (z.B.Gravitation).”

• lokale Form, materiell

� 0 Dtv = Div (� t) + � 0 b

1. Cauchy’sche Bewegungsgleichung

• raumlich

� t Dtv = div (� t) + � t b � t dtv = div (� t− � tv⊗ v) + � t b

vergleiche Stromungsmechanik

1.3.3 Drehimpulsbilanz

”Die zeitliche Anderung des Drehimpulses L = r × I, ent-spricht der Summe aus dem Drehimpuls verursacht durchOberflachenkrafte r× t und dem Drehimpuls verursacht durchVolumenkrafte r× b.”

• materiell

F · � = � t · F t � = � t

1. Piola–Kirchhoff Spannungstensor nicht symmetrisch, aber2. Piola–Kirchhoff Spannungstensor ist symmetrisch

• raumlich

� = � t

Symmetrie des Cauchy Spannungstensors

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1.3.4 Energiebilanz

”Die zeitliche Anderung der (inneren) Energie I0 Entropie S0

entspricht der Summe aus Warmeanderung durch den Ober-flachenfluß Q, q und den Volumenquellterm Q0, Qt plus derinneren mechanischen Leistung � t : DtF, � : ∇xv.”

• materiell, energie–basiert

DtI0 = Div (−Q) +Q0 + � t : DtF

• materiell, entropie–basiertmit I0 = 0 + � S0 und Dt 0 = � t : DtF − S0 Dt� folgt

� DtS0 = Div (−Q) +Q0

• raumlich, energie–basiert

DtIt = div (−q)+Qt + � t : ∇xv dtIt = div (−q− Itv)+Qt + � t : ∇xv

( wobei ∇xv = DtF · F−1 = l)• raumlich, entropie–basiert

mit It = t + � St und Dt t = � t : ∇xv− St Dt� folgt

� DtSt = −div (−q) +Qt � dtSt = div (−q− Stv) +Qt

18

“nlin˙fem” — 2007/4/7 — 11:52 — page 19 — #23


1.4 Prinzip der virtuellen Arbeit

1.4.1 Prinzip der virtuellen Arbeit (materiell)

• Kinematik E =12

[ F t · F − I ] in B0

• Gleichgewicht � 0 ¨' = Div � t + � 0b in B0

• Konstitutives Gesetz � t =∂W∂F

in B0

• Dirichlet RB ' = ¯' auf ∂B0'

• Neumann RB T = � t · N = T auf ∂B0�

0. Ausgangspunkt: lokale materielle Form der Impulsbilanz

−� 0 ¨' + Div � t + � 0 b = 0

−� 0 ¨' i + � tiJ,J + � 0 bi = 0i

1. Skalarmultiplikation mit Testfunktion �

� · [ −� 0 ¨' + Div � t + � 0 b ] = 0

� i [ −� 0 ¨' i + � tiJ,J + � 0 bi ] = 0

2. Integration uber das materielle Gebiet B0

−∫B0

� · � 0 ¨' dV +∫B0

� ·Div � t dV +∫B0

� · � 0 b dV = 0

−∫B0

� i � 0 ¨' i dV +∫B0

� i � tiJ,J dV +

∫B0

� i � 0 bi dV = 0

3. partielle Integration des Divergenzterms∫B0

� ·Div � t dV =∫B0

Div [ � · � t ] dV−∫B0

∇X � : � t dV∫B0

� i � tiJ,J dV =

∫B0

[ � i � tiJ ],J dV−

∫B0

� i,J : � tiJ dV

19

“nlin˙fem” — 2007/4/7 — 11:52 — page 20 — #24


4. Gauss’scher Integralsatz∫B0

Div [ � · � t ] dV =∫

∂B0

� · � t ·N dA∫B0

[ � i � tiJ ],J dV =

∫∂B0

� i � tiJ NJ dA

5. Randbedingungen

' = ¯' auf ∂B0' � = 0 auf ∂B0' T = � t ·N = T auf ∂B0�

' i = ¯' i auf ∂B0' � i = 0i auf ∂B0' Ti = � tiJ ·NJ = Ti auf ∂B0�∫

∂B0

� · � t ·N dA =∫

∂B0'

� · � t ·N dA +∫

∂B0�

� · T dA∫∂B0

� i � tiJ NJ dA =

∫∂B0'

� i � tiJ NJ dA +

∫∂B0�

� i Ti dA

• schwache Form

∫B0

� ·� 0 ¨' dV+∫B0

∇X� :� tdV−∫

∂B0

� ·T dA−∫B0

� ·� 0b dV=0∫B0

� i � 0 ¨' idV+∫B0

� i,J:� tiJdV−

∫∂B0

� i TidA−∫B0

� i � 0bidV=0

bzw. mit ∇X� : � t = ∇X� : F · � = [F t · ∇X� ]sym : �

∫B0

� ·� 0 ¨' dV+∫B0

[F t ·∇X� ]sym:� dV−∫

∂B0

� ·T dA−∫B0

� ·� 0b dV=0∫B0

� i � 0 ¨' idV+∫B0

[FtIi � i,J]sym:� t

I JdV−∫

∂B0

� i TidA−∫B0

� i � 0bidV=0

20

“nlin˙fem” — 2007/4/7 — 11:52 — page 21 — #25


Interpretation als Prinzip der virtuellen Arbeit

mit � ← � ' ... virtuelle Verschiebung

�W0 = �Wdyn0 + �W int

0 − �W ext0 = 0

mit

�Wdyn0 =

∫B0

� ' · � 0 ¨' dV

�W int0 =

∫B0

∇X� ' : � t dV =∫B0

� E : � dV

�W ext0 =

∫∂B0

� ' · T dA +∫B0

� ' · � 0 b dV

wobei � E = [ � F t · F ]sym ... virtueller Verzerrungstensor

21

“nlin˙fem” — 2007/4/7 — 11:52 — page 22 — #26


1.4.2 Prinzip der virtuellen Arbeit (raumlich)

• Kinematik b = F · F t in Bt

• Gleichgewicht � t ¨' = div � + � tb in Bt

• Konstitutives Gesetz � =2J

b · ∂W∂b

in Bt

• Dirichlet RB ' = ¯' auf ∂Bt'

• Neumann RB t = � t · n = t auf ∂Bt�

0. Ausgangspunkt: lokale raumliche Form der Impulsbilanz

−� t ¨' + div � + � t b = 0

−� t ¨' i + � i j, j + � t bi = 0i

1. Skalarmultiplikation mit Testfunktion �

� · [ −� t ¨' + div � + � t b ] = 0

� i [ −� t ¨' i + � i j, j + � t bi ] = 0

2. Integration uber das raumliche Gebiet Bt

−∫Bt

� · � t ¨' dv +∫Bt

� ·div � dv +∫Bt

� · � t b dv = 0

−∫Bt

� i � t ¨' i dv +∫Bt

� i � i j, j dv +∫Bt

� i � t bi dv = 0

3. partielle Integration des Divergenzterms∫Bt

� ·div � dv =∫Bt

div [ � · � ] dv−∫Bt

∇symx � : � dv∫

Bt

� i � i j, j dv =∫Bt

[ � i � i j ], j dv−∫Bt

� symi, j : � i j dv

22

“nlin˙fem” — 2007/4/7 — 11:52 — page 23 — #27


4. Gauss’scher Integralsatz∫Bt

div [ � · � ] dv =∫

∂Bt

� · � · n da∫Bt

[ � i � i j ], j dv =∫

∂Bt

� i � i j n j da

5. Randbedingungen

' = ¯' auf ∂Bt' � = 0 auf ∂Bt' t = � · n = t auf ∂Bt�

' i = ¯' i auf ∂Bt' � i = 0i auf ∂Bt' ti = � i j · n j = ti auf ∂Bt�∫∂Bt

� · � · n da =∫

∂Bt'

� · � · n da +∫

∂Bt�

� · t da∫∂Bt

� i � i j n j da =∫

∂Bt'

� i � i j n j da +∫

∂Bt�

� i ti da

• schwache Form

∫Bt

� ·� t ¨' dv+∫Bt

∇symx � :� dv−

∫∂Bt

� ·t da−∫Bt

� ·� tb dv=0∫Bt

� i � t ¨' idv+∫Bt

� symi, j :� i jdv−

∫∂Bt

� i tida−∫Bt

� i � tbidv=0

Interpretation als Prinzip der virtuellen Leistung

mit � ← � v ... virtuelle Geschwindigkeit

�Wt = �Wdynt + �W int

t − �W extt = 0

mit

�Wdynt =

∫Bt

� v · � t ¨' dv

�W intt =

∫Bt

∇symx � v : � dv =

∫Bt

� d : � dv

�W extt =

∫∂Bt

� v · t da +∫Bt

� v · � t b dv

wobei � d = ∇symx � v ... virtueller Deformationsratentensor

23

“nlin˙fem” — 2007/4/7 — 11:52 — page 24 — #28


1.5 Richtungsableitung – Linearisierung

Problem: nichtlineare Kontinuumsmechanik fuhrt auf nichtli-neares Gleichungssystem, i.a. gelost mit Newton–Raphson Ver-fahren, dazu Linearisierung des nichtlinearen Gleichungssy-stems erforderlich

allgemeine Definition der Richtungsableitung von F (x) an derStelle x0 in Richtung von ∆x

∆F (x0) = D∆xF (x0) · ∆x :=dd�

[F (x0 + � ∆x) ]∣∣∣∣� =0

Bemerkung: Die Richtungsableitung D∆xF (x0) · ∆x liefert dieAnderung der Funktion F aufgrund einer kleinen Anderung� ∆x ihres Argumentes x0. D∆xF (x0) ·∆x ist dabei immer linearin ∆x, so daß die Richtungsableitung auch als Linearisierung∆F (x0) von F bezuglich ∆x verstanden werden kann.

Bemerkung: Haufig findet man auch die folgende Darstellung.

∆F (x0) =∂F (x0)

∂x0· ∆x mit D∆xF (x0) =

∂F (x0)∂x0

hier: primare Unbekannte Deformationsabbildung ' , Lineari-sierung des Residuums r an der Stelle ' in Richtung von ∆'

∆r (' ) = D∆' r (' ) · ∆' :=dd�

[ r (' + � ∆' ) ]∣∣∣∣� =0

24

“nlin˙fem” — 2007/4/7 — 11:52 — page 25 — #29


1.5.1 Linearisierung kinematischer Großen

• Linearisierung von F an der Stelle ' in Richtung von ∆'

∆F = D∆' F(' ) · ∆' =dd�

[ F (' + � ∆' ) ]|� =0

=dd�

[∇X' +∇X[� ∆' ]]|� =0

=dd�

[∇X' + � ∇X[∆' ]]|� =0

= ∇X∆' |� =0 = ∇X∆'

• Linearisierung von E an der Stelle ' in Richtung von ∆'

∆E= D∆' E(' ) · ∆'

=dd�

[E (' + � ∆' )]|� =0

=dd�

12

[[∇tX' +∇t

X[� ∆' ]] · [∇X' +∇X[� ∆' ]]− I]|� =0

=dd�

12

[∇tX' · ∇X' + � ∇t

X' · ∇X∆'

+� ∇tX∆' · ∇X' + � 2∇t

X∆' · ∇X∆' − I]|� =0

=12

[∇tX' · ∇X∆' +∇t

X∆' · ∇X' ] = [∆F t · F]sym

alternative Herleitung

∆E = D∆' E(' ) · ∆' =dd�

12[F t (' + � ∆' ) · F (' + � ∆' )− I]|� =0

=12[ ∆F t · F + F t · ∆F ]

= [ ∆F t · F ]sym

25

“nlin˙fem” — 2007/4/7 — 11:52 — page 26 — #30


1.5.2 Linearisierung des Prinzips der virtuellen Arbeit ( materiell )

Bemerkung: hier Linearisierung der kontinuierlichen Gleichun-gen, dann Diskretisierung mit Finiten Elementen, alternativ:Diskretisierung, dann Linearisierung (insbesondere bei Struk-turelementen)

Problem: nichtlineares Gleichungssystem der Form

∫B0

� · � 0 ¨' dV +∫B0

[∇tX� · F]sym : � dV

−∫

∂B0

� · TdA−∫B0

� · � 0 bdV = 0

allgemeine Form

�W0(' + ∆' ) = 0

iterative Losung mit Hilfe des Newton–Raphson VerfahrensTaylor Reihenentwicklung mit Abbruch nach dem linearenTerm

�W0(' + ∆' ) = �W0(' ) + ∆�W0(' ) = 0

mit

�W0 = �Wdyn0 + �W int

0 − �W ext0

∆�W0 = ∆�Wdyn0 + ∆�W int

0 − ∆�W ext0

26

“nlin˙fem” — 2007/4/7 — 11:52 — page 27 — #31


und

�Wdyn0 =

∫B0

� · � 0 ¨' dV

∆�Wdyn0 =

∫B0

� · � 0∂ ¨'∂'· ∆' dV

�W int0 =

∫B0

[∇tX� · F]sym : � dV

∆�W int0 =

∫B0

[∇tX� · ∇X∆' ]sym: � dV geom. Anteil

+∫B0

[∇tX� · F]sym: IL : [F t · ∇X∆' ]symdV mat. Anteil

�W ext0 =

∫∂B0

� · TdA +∫B0

� · � 0 b dV

∆�W ext0 =

∫∂B0

0 dA +∫

∂B0

0 dV

Interpretation als Prinzip der virtuellen Arbeit

mit � ← � ' ... virtuelle Verschiebung

�W int0 =

∫B0

� E : IL : E dV

∆�W int0 =

∫B0

� ∆E : IL : E dV geometrischer Anteil

+∫B0

� E : IL : ∆E dV materieller Anteil

wobei

� ... Variation

∆ ... Linearisierung (formal gleiche Herleitung)

mit

� F = ∇X� ' � E = [ � F t· F]sym

∆ F = ∇X∆' ∆ E = [ ∆F t· F]sym

� ∆ E = [ � F t· ∆F]sym

27

“nlin˙fem” — 2007/4/7 — 11:52 — page 28 — #32


1.5.3 Linearisierung des Prinzips der virtuellen Arbeit (raumlich)

Problem: nichtlineares Gleichungssystem der Form

∫Bt

� · � t ¨' dv +∫Bt

∇symx � : � dv−

∫∂Bt

� · tda−∫Bt

� · � t bdv

allgemeine Form

�Wt(' + ∆' ) = 0

iterative Losung mit Hilfe des Newton–Raphson VerfahrensTaylor Reihenentwicklung mit Abbruch nach dem linearenTerm

�Wt(' + ∆' ) = �Wt(' ) + ∆�Wt(' ) = 0

mit

�Wt = �Wdynt + �W int

t − �W extt

∆�Wt = ∆�Wdynt + ∆�W int

t − ∆�W extt

Bemerkung: Linearisierung auf bewegtem Gebiet Bt nicht ohneweiteres durchfuhrbar, deshalb: push forward der materiellenForm aus 1.5.2 dazu

dA =1J

F t · da und dV =1J

dv

28

“nlin˙fem” — 2007/4/7 — 11:52 — page 29 — #33


also

�Wdynt =

∫Bt

� · � t ¨' dv

∆�Wdynt =

∫Bt

� · � t∂ ¨'∂'· ∆' dv

�W intt =

∫Bt

∇symx � : � dv

∆�W intt =

∫Bt

[∇tx� · ∇x∆' ]sym : � dv geometrischer Anteil

+∫Bt

∇symx � : IE : ∇sym

x ∆' dv materieller Anteil

�W extt =

∫∂Bt

� · tda +∫Bt

� · � t b dv

∆�W extt =

∫∂Bt

0 da +∫

∂Bt

0 dv

Interpretation als Prinzip der virtuellen Leistung

mit � ← � v ... virtuelle Geschwindigkeit

�W intt =

∫Bt

� d : � dv

∆�W intt =

∫Bt

[∇tx� v · ∇x∆' ]sym : � dv geometrischer Anteil

+∫Bt

� d : IE : � dv materieller Anteil


� d = ∇symx � v und � = ∇sym

x u

29

“nlin˙fem” — 2007/4/7 — 11:52 — page 30 — #34


Bemerkungen:

• Generell liefern materielle und raumliche Formulierungidentische Ergebnisse, es konnen also auch einzelne Inte-gralausdrucke materiell und andere raumlich ausgewertetwerden.

• Die Beziehung zwischen d = ∇symx v und v hat formal die

gleiche Struktur wie die Beziehung zwischen � = ∇symx u

und u der linearen FEM.

• Der materielle Anteil aus der Linearisierung der raumlichenFormulierung nimmt eine analoge Struktur an, wie der ent-sprechende Term der linearen FEM, deswegen wird haufigdie raumliche Form bevorzugt.

• Materielle formulierte Stoffgesetze (St. Venant Kirchhoff)motivieren eine materielle Formulierung, raumliche Stoff-gesetze (Neo–Hooke) eine raumliche.

• Bei richtungsabhangigen Lasten, z.B. aus Wasserdruck, derimmer senkrecht zur Oberflache wirkt, ist die Linearisie-rung der externen Lasten nicht Null, ∆�W ext 6= 0.

30

“nlin˙fem” — 2007/4/7 — 11:52 — page 31 — #35


1.6 Nichtlineare Analyse eines Dreigelenkrahmens

EA

Lfext

B B

H


B B

l

fext

H−u

u

Abbildung 1.4: Dreigelenkrahmen: undeformierte & deformierte Konfiguration

Annahme

homogener Deformationszustand → lineare Deformationsver-teilung uber Stablange→ konstanter Deformationsgradient

Kinematik

Geometrie des undeformierten Systems

L =√

B2 + H2 l =√

B2 + ' 2

Deformationsgradient (’stretch’) F

F =aktuelle LangeAusgangslange

=lL

J = det(F) =lL

Verzerrungsmaße

31

“nlin˙fem” — 2007/4/7 — 11:52 — page 32 — #36


Green–Lagrange Verzerrungstensor E

E =12

[ Ft F− 1 ] =12

l2 − L2

L2 =1

2L2 [ ' 2 − H2 ]

linearer Verzerrungstensor

� =∆lL

mit ∆l = u sin � ; sin � =HL→ � =

H uL2

Linearisierung / Variation kinematischer Großen

Langenanderung

∆l = D∆' l(' ) =dd�

[ l (' + � ∆' ) ] |� =0

=dd�

[B2 + [ ' + � ∆' ]2]1/2

∣∣∣� =0

=12 l

[2' ∆' + 2� ∆" 2] ∣∣

� =0

=1l

' ∆'

Deformationsgradient

∆F = D∆' F (' ) =dd�

[1L[ l (' + � ∆' ) ]

]∣∣∣∣� =0

=1

L l' ∆'

� F = D�' F (' ) =dd�

[1L[ l (' + ��' ) ]

]∣∣∣∣� =0

=1

L l' �'

∆� F = D∆' � F (' ) =dd�

[1

Ll (' + � ∆' )[' + � ∆' ]�'

]∣∣∣∣� =0

=1

L l�'

[1− ' 2

l2

]∆'

Green–Lagrange Verzerrungstensor

∆E = D∆' E (' ) =dd�

[1

2 L2 [ l2 (' + � ∆' )− 1 ]]∣∣∣∣

� =0=

1L2' ∆'

32

“nlin˙fem” — 2007/4/7 — 11:52 — page 33 — #37


� E = D�' E (' ) =dd�

[1

2 L2 [ l2 (' + � �' )− 1 ]]∣∣∣∣

� =0=

1L2' �'

Bemerkung: Linearisierung der Green–Lagrange Verzerrungenliefert ∆ E ' →X=H,∆' →u→ �

∆� E = D∆' � E (' ) =dd�

[1L2 [ ' + � ∆' ] �'

]∣∣∣∣� =0

=1L2∆'�'

lineare Verzerrungen

�� = D� u � (u) =dd�

[H [ u + � � u ]

L2

]∣∣∣∣� =0

=HL2 � u

Hyperelastisches Stoffgesetz vom St. Venant Kirchhoff Typ

� kir = Emod E

Prinzip der virtuellen Arbeit am halben System

Beschrankung auf symmetrischen Versagenszustand

� W(' ) = � W int(' )− � Wext(' ) = 0 ∀ �'

� W(' ) =∫ L

0� E Emod EA dX− �' f ext

=∫ L

0

[�'

1L2 '

]Emod

[1

2L2 [' 2 − H2]]

A dX− �' f ext

=∫ L

0�'

EmodA2L4

[' 3 − ' H2]dX− �' f ext

= �'[

EmodA2L3

[' 3 − ' H2]− f ext

]= 0 ∀ �'

Newton–Raphson Verfahren

(a) direkte Losung der nichtlinearen Gleichung

� W (' + ∆' ) = 0

33

“nlin˙fem” — 2007/4/7 — 11:52 — page 34 — #38


Taylor Reihenentwicklung

� W (' + ∆' ) = � W (' ) + ∆� W (' ) + ... = 0

mit

� W(' ) = �'[

EmodA2L3

[' 3 − ' H2]− f ext

]∆� W(' ) =

dd�

[� W(' + � ∆' )]|� =0

= �'[

EmodA2L3

[3 ' 2 − H2] ∆'

]

Iterationsvorschrift fur Newton–Raphson Verfahren

∆' =2L3

EmodA [3' 2 − H2]

[f ext− EmodA

2L3

[' 3 − ' H2]]

(b) allgemeine Linearisierung des Prinzips der virtuellen Arbeit

Losung der nichtlinearen Gleichung

� W (' + ∆' ) = 0


� W (' + ∆' ) = � W (' ) + ∆� W (' ) + ... = 0

34

“nlin˙fem” — 2007/4/7 — 11:52 — page 35 — #39


mit

� W(' ) =∫ L

0� E Emod E A dX− �' f ext

= �' [EmodA

2L3

[' 3 − ' H2]︸︷︷︸

:= f int

− f ext ]

∆� W(' ) =∫ L

0� E Emod ∆E A dX +

∫ L

0∆� E Emod E A dX

=∫ L

0

[�'

1L2'

]Emod

[1L2' ∆'

]A dX

+∫ L

0

[�'

1L2∆'

]Emod

[1

2 L2 [ '2 − H2 ]

]AdX

= �' [EmodA

2L3 2 ' 2︸︷︷︸:=Kmat

+EmodA

2L3 [' 2 − H2]︸︷︷︸:=Kgeo

] ∆'

Iterationsvorschrift fur Newton–Raphson Verfahren

∆' = [Kmat + Kgeo]−1 [ f ext− f int]

interne Krafte und Steifigkeit fur St. Venant–Kirchhof Material

f int =EmatA

2L3

[' 3 − H2'

]Kmat =

EmatA2L3 2' 2

Kgeo =EmatA

2L3

[' 2 − H2]

35

“nlin˙fem” — 2007/4/7 — 11:52 — page 36 — #40


Vergleich mit linearer Theorie (FEM I)

� W(u) =∫ L

0�� Emod � A dX− � u f ext

=∫ L

0

[� u

HL2

]Emod

[HL2 u

]A dX− � u f ext

= � u [EmodA

L3 H2︸︷︷︸:=K

u− f ext ] = 0 ∀ � u

direkte Losung der linearen Gleichung

u = K−1 f ext

Gleichung linear in u→ keine Iteration erforderlich

36

“nlin˙fem” — 2007/4/7 — 11:52 — page 37 — #41


Last–Verschiebungskurve / Kurvendiskussion

virtuelle Arbeit

� W(' ) = � '[

EmodA2 L3

[' 3 − ' H2]− f ext

]= 0 ∀� '

Bestimmung der kritischen Last / Traglast des Systems

� =2 L3

EmodAf ext = ' 3 − ' H2 = ' [ ' + H ] [ ' − H ]

Nullstellen

' 1 = H ' 2 = 0 ' 3 = −H

Extrema mit 3 ' 2 − H2 = 0

' 1 = − 1√3

H ' 2 = +1√3

H

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2−300

−200

−100

0

100

200

300

400

500

u

fext

geom. nichtlineargeom. linear

37

“nlin˙fem” — 2007/4/7 — 11:52 — page 38 — #42

2 Finite Element Methode – Elastizitat

2.1 Raumliche Diskretisierung mit Finiten Elementen

• ’isoparametrisches Konzept’: gleiche Ansatze fur GeometrieX und unbekannte Deformationsabbildung '

• ’Bubnov–Galerkin Technik’: gleiche Ansatze fur Unbekannte' und Testfunktionen � ( alternativ: � ' oder � v )

• Zerlegung des Gebietes B0 in nel Elemente Be0

B0 =nel⋃e=1

Be0

2.1.1 Diskretisierung kinematischer Großen

• (elementweise) Approximation der Geometrie X

X =nen

∑i=1

Ni X i

nen ... Anzahl Knoten pro ElementN ... hier: Lagrange’sche Formfunktionen, vergl. FEM I

• (elementweise) Approximation der Deformationsabbildung

38

“nlin˙fem” — 2007/4/7 — 11:52 — page 39 — #43


' , der Beschleunigung ¨' und der Testfunktion � (bzw. � ' )

' =nen

∑i=1

Ni ' i ¨' =nen

∑i=1

Ni ¨' i

� =nen

∑i=1

Ni � i bzw. � ' =nen

∑i=1

Ni � ' i

• Gradient der Testfunktionen und der Deformation

∇X� =nen

∑i=1

� i ⊗ ∇XNi

∇X' =nen

∑i=1

' i ⊗ ∇XNi

• Deformationsgradient

F =nen

∑i=1

' i ⊗∇XNi bzw. FjJ =nen

∑i=1

' j i ⊗∇XJ Ni

mit Ni = Ni(� ) → Kettenregel

∇XNi =∂Ni

∂X=

∂Ni

∂�· ∂�

∂X=[

∂X∂�

]−t

· ∂Ni

∂�

• Deformationstensoren

C = F t · F =nen

∑i=1

nen

∑j=1

[' i · ' j] ∇XNi ⊗ ∇XN j

b = F · F t =nen

∑i=1

nen

∑j=1

[∇XNi · ∇XN j] ' i ⊗ ' j

• Deformationsratentensor

d =12

nen

∑i=1

˙' i ⊗∇xNi +∇xNi ⊗ ˙' i

mit Ni = Ni(� ) → Kettenregel

∇xNi =∂Ni

∂x=

∂Ni

∂�· ∂�

∂x=[

∂x∂�

]−t

· ∂Ni

∂�

39

“nlin˙fem” — 2007/4/7 — 11:52 — page 40 — #44


2.1.2 Beispiel: Diskretisierung kinematischer Großen

X2,x2

X1,x1

3

21

1

23

c1

c2

c2

c1f

T9

T2

T3 T6

T5

T1 T4 T7

T8

Abbildung 2.1: Diskretisierung kinematischer Großen

• isoparametrische Koordinaten

X1 = 3 � 1

X2 = 2 � 2

[∂X∂�

]=

3 0

0 2

[∂X∂�

]−t

=16

2 0

0 3

• Ansatzfunktionen und deren Gradienten

N(1)=1− � 1 − � 2∂N(1)

∂�=

−1

−1

∂N(1)

∂X=

16

2 0

0 3

−1

−1

= −16

2

3

N(2)=� 1

∂N(2)

∂�=

+1

0

∂N(2)

∂X=

16

2 0

0 3

+1

0

=16

2

0

N(3)=� 2

∂N(3)

∂�=

0

+1

∂N(3)

∂X=

16

2 0

0 3

0

+1

=16

0

3

40

“nlin˙fem” — 2007/4/7 — 11:52 — page 41 — #45



F =3

∑i=1

' i ⊗∇XNi bzw. FjJ =3

∑i=1

' j i ⊗∇XJ Ni

F11=' 1(1)∇1N(1)+' 1(2)∇1N(2)+' 1(3)∇1N(3) = −43+

73+0=1

F12=' 1(1)∇2N(1)+' 1(2)∇2N(2)+' 1(3)∇2N(3) = −42+0+

42=0

F21=' 2(1)∇1N(1)+' 2(2)∇1N(2)+' 2(3)∇1N(3) = −43+

73+0=1

F22=' 2(1)∇2N(1)+' 2(2)∇2N(2)+' 2(3)∇2N(3) = −42+0+

72=

32

Annahme: Ebener Verzerrungszustand

F =

1 0 0

1 32 0

0 0 1

• rechter Cauchy–Green Deformationstensor

1 0 0

1 32 0

0 0 1

C = F t · F =

1 1 0

0 32 0

0 0 1

2 32 0

32

94 0

0 0 1

= Ct

41

“nlin˙fem” — 2007/4/7 — 11:52 — page 42 — #46


• linker Cauchy–Green Deformationstensor / Fingertensor1 1 0

0 32 0

0 0 1

b = F · F t =

1 0 0

1 32 0

0 0 1

1 1 0

1 19 0

0 0 1

= bt

• Green–Lagrange Verzerrungstensor

E =12

[ F t · F − I ] =

12

34 0

34

58 0

0 0 1

= Et

• Jacobi Determinante

J = det F = det

1 0 0

1 32 0

0 0 1

=32

• Kontrolle: Flacheninhalte der Dreieckselemente

dV =12

2 · 3 = 3 dv =12

3 · 3 = 4.5

es gilt

dv = J dV =32

3 = 4.5√

42

“nlin˙fem” — 2007/4/7 — 11:52 — page 43 — #47


• Kontrolle: Transformation von Linienelementen

dX(1−2) =

3

0

dx(1−2) =

1 0

1 32

3

0

=

3

3

√

dX(1−3) =

0

2

dx(1−3) =

1 0

1 32

0

2

=

0

3

√

43

“nlin˙fem” — 2007/4/7 — 11:52 — page 44 — #48


2.2 Diskretisierung der schwachen Form (materiell)

2.2.1 Diskretisierung des Residuums

kontinuierliche schwache Form skalare Gleichung

�W0 =∫B0

� · � 0 ¨' dV +∫B0

[∇tX� · F]sym: � dV

−∫

∂B0

� · TdA−∫B0

� · � 0 bdV = 0

diskretisierte schwache Form skalare Gleichung

�W0 =nelAAAAAAAAA

e=1� i · [

∫Be

0

Ni � 0 ¨' dV +∫Be

0

∇XNi · [F · � ] dV

−∫

∂Be0

Ni T dA −∫Be

0

Ni � 0 b dV ] = 0

bzw.

�W0 =nelAAAAAAAAA

e=1� i ·

[f dyn

i + f inti − f ext

i

]= 0 ∀ � i

nelAAAAAAAAAe=1

... Zusammenbau aller i = 1, .., nen Elementknotenbeitrage

zu globalen Knotenbeitragen I = 1, .., nnp

diskretes Gleichgewicht vektorwertige Gleichung

r I := f dynI + f int

I − f extI = 0 ∀ I = 1, .., nnp

44

“nlin˙fem” — 2007/4/7 — 11:52 — page 45 — #49


mit Residuum r I und diskreten Knotenkraften f dynI , f int

I , f extI

f dynI =

nelAAAAAAAAAe=1

∫Be

0

Ni � 0 ¨' dV dynamische Krafte

f intI =

nelAAAAAAAAAe=1

∫Be

0

∇XNi · [F · � ] dV interne Krafte

f extI =

nelAAAAAAAAAe=1

∫∂Be

0

Ni T dA externe Oberflachenkrafte

+nelAAAAAAAAA

e=1

∫Be

0

Ni � 0 b dV externe Volumenkrafte

2.2.2 Linearisierung des Residuums

konsistente Linearisierung des Residuums r I an der Stelle n + 1


r Ik+1n+1 = r I

kn+1 + ∆r I

.= 0 ∀ I = 1, .., nnp

mit Linearisierung des Residuums ∆r I

∆r I(' J) =nnp

∑J=1

D∆' Jr I(' J) · ∆' J =nnp

∑J=1

∂r I(' J)∂' J

· ∆' J

mit inkrementellem Update des Losungsvektors ∆' J

∆r I =nnp

∑J=1

KI J · ∆' J KI J =∂r I(' J)

∂' J∀ I = 1, .., nnp

Steifigkeitsmatrix KI J aus Linearisierung des Residuums r I

KI J = KdynI J + Kgeo

I J + KmatI J ∀ I, J = 1, .., nnp

45

“nlin˙fem” — 2007/4/7 — 11:52 — page 46 — #50


mit Anteilen der Steifigkeitsmatrix KI J

KdynI J =

nelAAAAAAAAAe=1

∫Be

0

Ni � 0∂ ¨'∂'

N j I dV dyn. Anteil

KgeoI J =

nelAAAAAAAAAe=1

∫Be

0

∇tXNi · � · ∇XN j I dV geom. Anteil

KmatI J =

nelAAAAAAAAAe=1

∫Be

0

[∇tXNi · F]sym· IL · [F t · ∇XN j]symdV mat. Anteil

zu losendes Gleichungssystem

∆' J =nnp

∑I=1

K−1J I · ∆r I ∀ I, J = 1, .., nnp

Bemerkungen:

• Alternativ kann auch zunachst kontinuierliche schwacheForm �W0(' ) bezuglich der kontinuierlichen Verschiebun-gen ' linearisiert und die linearisierte schwache Form

�W0(' + ∆' ) = �W0(' ) + ∆�W0(' ) .= 0

dann diskretisiert werden. Fur Kontinuumselemente erhaltman formal gleiche Ausdrucke wie bei der hier vorge-stellten Vorgehensweise. Insbesondere fur Strukturelemen-te konnen sich beide Verfahren jedoch erheblich unterschei-den, nur das hier vorgestellte liefert dann die richtigen Tan-gentenoperatoren.

• Die Summe aus dynamischen, internen und externenKraften wird als Elementresiduum ri ∀i = 1, .., nen bzw. alsglobales Residuum r I ∀I = 1, .., nnp bezeichnet. Das Residu-um ist eine nichtlineare Funktion der unbekannten Defor-mation ' J. Mit Hilfe des Newton–Raphson Verfahrens wirddas globale Residuum an der Stelle n + 1 iterativ zu Nullberechnet, so daß r I n+1

.= 0 ∀I = 1, .., nnp.

46

“nlin˙fem” — 2007/4/7 — 11:52 — page 47 — #51


• Die Integralausdrucke uber das materielle bzw. raumlicheElementgebiet

∫Be

0...dV bzw.

∫Be

t...dv werden ublicherweise

im Rahmen der FEM mittels numerischer Integration ermit-telt.∫Be

0

(•)dV ≈nip

∑I=1

(•)(� I) wI bzw.∫Be

t

(•)dv ≈nip

∑I=1

(•)(� I) wI

Dazu erfolgt eine Auswertung an I = 1, .., nip Integrations-punkten und eine anschließende Gewichtung mit den je-weiligen Gewichten wI, vergleiche FEM I (Gauss–Legendreoder Newton–Cotes Quadratur).

• Aufgrund der komplizierten Darstellung der materiellenForm wird i.a. haufig die raumliche Form bevorzugt, die imfolgenden naher betrachtet wird.

47

“nlin˙fem” — 2007/4/7 — 11:52 — page 48 — #52


2.3 Diskretisierung der schwachen Form (raumlich)

2.3.1 Diskretisierung des Residuums

kontinuierliche schwache Form skalare Gleichung

�Wt =∫Bt

� · � t ¨' dv +∫Bt

∇tx� : � dv−

∫∂Bt

� · tda−∫Bt

� · � t b dv = 0

diskretisierte schwache Form skalare Gleichung

�Wt =nelAAAAAAAAA

e=1� i · [

∫Be

t

Ni � t ¨' dV +∫Be

t

∇txNi � dv

−∫

∂Bet

Ni · t da −∫Be

t

Ni � t b dv ] = 0

bzw.

�Wt =nelAAAAAAAAA

e=1� i ·

[f dyn

i + f inti − f ext

i

]= 0 ∀ � i

nelAAAAAAAAAe=1

... Zusammenbau aller i = 1, .., nen Elementknotenbeitrage

zu globalen Knotenbeitragen I = 1, .., nnp

diskretes Gleichgewicht vektorwertige Gleichung

r I := f dynI + f int

I − f extI = 0 ∀ I = 1, .., nnp

48

“nlin˙fem” — 2007/4/7 — 11:52 — page 49 — #53


mit Residuum r I und diskreten Knotenkraften f dynI , f int

I und f extI

f dynI =

nelAAAAAAAAAe=1

∫Be

t

Ni � t ¨' dv dynamische Krafte

f intI =

nelAAAAAAAAAe=1

∫Be

t

∇xNi · � dv interne Krafte

f extI =

nelAAAAAAAAAe=1

∫∂Be

t

Ni t da externe Oberflachenkrafte

+nelAAAAAAAAA

e=1

∫Be

t

Ni � t b dv externe Volumenkrafte

2.3.2 Linearisierung des Residuums

konsistente Linearisierung des Residuums r I an der Stelle n + 1


r Ik+1n+1 = r I

kn+1 + ∆r I

.= 0 ∀ I = 1, .., nnp


∆r I(' J) =nnp

∑J=1

D∆' Jr I(' J) · ∆' J =nnp

∑J=1

∂r I(' J)∂' J

· ∆' J

mit inkrementellem Update des Losungsvektors ∆' J

∆r I =nnp

∑J=1

KI J · ∆' J KI J =∂r I(' J)

∂' J∀ I = 1, .., nnp

Steifigkeitsmatrix KI J aus Linearisierung des Residuums r I

KI J = KdynI J + Kgeo

I J + KmatI J ∀ I, J = 1, .., nnp

49

“nlin˙fem” — 2007/4/7 — 11:52 — page 50 — #54


mit Anteilen der Steifigkeitsmatrix KI J

KdynI J =

nelAAAAAAAAAe=1

∫Be

t

Ni � t∂ ¨'∂'

N j I dv dynamischer Anteil

KgeoI J =

nelAAAAAAAAAe=1

∫Be

t

∇txNi · � · ∇xN j I dv geometrischer Anteil

KmatI J =

nelAAAAAAAAAe=1

∫Be

t

∇txNi · IE · ∇xN j dv materieller Anteil

• zu losendes Gleichungssystem

∆' J =nnp

∑I=1

K−1J I · ∆r I ∀ I, J = 1, .., nnp

Bemerkung: einzelne Anteile von Residuum und Steifigkeits-matrix konnen je nach Problemstellung materiell oder raumlichausgewertet werden

50

“nlin˙fem” — 2007/4/7 — 11:52 — page 51 — #55


2.4 Diskretisierung in Matrix–Vektor–Notation

Bemerkung: Bei der Implementierung wird haufig dieVoigt’sche Darstellung / Matrixnotation verwendet, fur diesich die Darstellung der Tensoren und Vektoren erheblich ver-einfacht, vergleiche FEM I

hier: Matrixnotation am Beispiel der raumlichen Formulierung,vergleiche 2.3

• Unbekanntenvektor - Inkrement der Verschiebungen

∆'[3×1]

= [ ∆' 1, ∆' 2, ∆' 3 ]t mit ∆'[3×1]

=nen

∑i=1

Ni ∆' i

• Testfunktion

�[3×1]

= [ � 1, � 2, � 3 ]t mit �[3×1]

=nen

∑i=1

Ni � i

Ni ... isoparametrische Formfunktionen

• raumlicher Gradient des Unbekanntenvektors

∇x∆'[6×1]

= [ ∆' 1,1, ∆' 2,2, ∆' 3,3, ∆' 1,2, ∆' 2,3, ∆' 3,1 ]t

mit

∇x∆'[3×1]

=nen

∑i=1

Bti

[6×3]· ∆' i

[3×1]

• raumlicher Gradient der Testfunktionen

∇x�[6×1]

= [ � 1,1, � 2,2, � 3,3, � 1,2, � 2,3, � 3,1 ]t

mit

∇x�[6×1]

=nen

∑i=1

Bti

[6×3]· � i

[3×1]

51

“nlin˙fem” — 2007/4/7 — 11:52 — page 52 — #56


Bi ... B-Matritzen, vergleiche FEM I

Bi[6×3]

=

∂Ni

∂x10 0

∂Ni

∂x20

∂Ni

∂x3

0∂Ni

∂x20

∂Ni

∂x1

∂Ni

∂x30

0 0∂Ni

∂x30

∂Ni

∂x2

∂Ni

∂x1

t

• Beschleunigungsvektor

¨'[3×1]

= [ ¨' 1, ¨' 2, ¨' 3 ]t

• Spannungstensor in Voigt’scher Notation

�[6×1]

= [ � 11, � 22, � 33, � 12, � 23, � 31 ]t

• Spannungssvektor

t[3×1]

= [ t1, t2, t3 ]t

• Volumenlastvektor

b[3×1]

= [ b1, b2, b3 ]t

52

“nlin˙fem” — 2007/4/7 — 11:52 — page 53 — #57


• raumlicher Materialtensor

D[6×6]

=12

2 E1111 2 E1122 2 E1133 E1112 + E1121 E1123 + E1132 E1131 + E1113

2 E2222 2 E2233 E2212 + E2221 E2223 + E2232 E2231 + E2213

2 E3333 E3312 + E3321 E3323 + E3332 E3331 + E3313

E1212 + E1221 E1223 + E1232 E1231 + E1213

sym. E2323 + E2332 E2331 + E2313

E3131 + E3113

Beispiel: raumlicher Materialtensor des Neo–Hooke Materials

IE[3×3×3×3]

= � ∗ I[3×3]⊗ I

[3×3]+ 2 � ∗ i

[3×3×3×3]

� ∗, � ∗ ... Materialparameter mit � ∗ =�J

und � ∗ =� − � ln J

J

� , � ... Lame Parameter mit � =E �

[1 + � ][1− 2 � ]und

� =E

2[1 + � ]E, � ... Elastizitatsmodul, Querkontraktion

• Materialtensor des Neo–Hooke Matrerials

D[6×6]

=

� ∗ + 2� ∗ � ∗ � ∗ 0 0 0

� ∗ � ∗ + 2� ∗ � ∗ 0 0 0

� ∗ � ∗ � ∗ + 2� ∗ 0 0 0

0 0 0 � ∗ 0 0

0 0 0 0 � ∗ 0

0 0 0 0 0 � ∗

53

“nlin˙fem” — 2007/4/7 — 11:52 — page 54 — #58


2.4.1 Diskretisierung des Elementresiduums

• diskretisierte schwache Form pro Element skalare Gleichung

�W et = � t

i[1×3]· [ f dyn

i + f inti

[3×1]− f ext

i ] = 0 ∀ � i

• diskretes Elementgleichgewicht vektorwertige Gleichung

ri[3×1]

:= f dyni + f int

i[3×1]− f ext

i = 0[3×1]

∀ i = 1, .., nen

mit Elementresiduum ri und Elementknotenkraften f dyni ,

f inti , f ext

i

f dyni

[3×1]=∫Be

t

Ni � t ¨'[3×1]

dv dynamische Krafte

f inti

[3×1]=∫Be

t

Bti

[3×6]· �

[6×1]dv interne Krafte

f exti

[3×1]=∫

∂Bet

Ni t[3×1]

da externe Oberflachenkrafte

+∫Be

t

Ni � t b[3×1]

dv externe Volumenkrafte

• Kontrolle am Beispiel der internen Knotenkrafte

... in Tensornotation f inti

[3×1]=∫Be

t

∇xNi[1×3]

· �[3×3]

dv

f inti = [ Ni,1 Ni,2 Ni,3 ]

� 11 � 12 � 13

� 21 � 22 � 23

� 31 � 32 � 33

=

Ni,1 � 11 Ni,2 � 21 Ni,3 � 31

Ni,1 � 12 Ni,2 � 22 Ni,3 � 32

Ni,1 � 13 Ni,2 � 23 Ni,3 � 33

54

“nlin˙fem” — 2007/4/7 — 11:52 — page 55 — #59


... in Matrix- / Vektor-Notation

f inti

[3×1]=

nelAAAAAAAAAe=1

∫Be

t

Bti

[3×6]· �

[6×1]dv

f inti =

Ni,1 0 0 Ni,2 0 Ni,3

0 Ni,2 0 Ni,1 Ni,3 0

0 0 Ni,3 0 Ni,2 Ni,1

� 11

� 22

� 33

� 12

� 23

� 31

=

Ni,1 � 11 Ni,2 � 12 Ni,3 � 31

Ni,1 � 12 Ni,2 � 22 Ni,3 � 23

Ni,1 � 31 Ni,2 � 23 Ni,3 � 33

2.4.2 Linearisierung des Elementresiduums

konsistente Linearisierung des Elementresiduums ri an der Stel-le n + 1, Taylor Reihenentwicklung

rik+1n+1 = ri

kn+1 + ∆ri

.= 0 ∀ i = 1, .., nen

Elementsteifigkeitsmatrix Ki j aus Linearisierung des Elementre-siduums ri

Ki j = Kdyni j + Kgeo

i j + Kmati j ∀i, j = 1, .., nen

55

“nlin˙fem” — 2007/4/7 — 11:52 — page 56 — #60


• mit Anteilen der Elementsteifigkeitsmatrix Ki j

Kdyni j

[3×3]

=∫Be

t

Ni � t∂ ¨'∂'

N j dv I[3×3]

dynamischer Anteil

Kgeoi j

[3×3]

=∫Be

t

∇txNi

[1×3]· �

[3×3]· ∇xN j

[3×1]dv I

[3×3]geometrischer Anteil

Kmati j

[3×3]

=∫Be

t

Bti

[3×6]· D

[6×6]· B j

[6×3]dv materieller Anteil

Bemerkung: Der geometrische Anteil der Tangentenmatrix laßtsich in geschlossener Form besser in Tensornotation darstellen.Ein wirkliche Vereinfachung erhalt man nur fur die internenKrafte f int und den materiellen Anteil der TangentenmatrixKmat.

56

“nlin˙fem” — 2007/4/7 — 11:52 — page 57 — #61


2.5 Stabelement im 2D Raum

1

2

2

1

21

B0

L l

BtN n

x

y

X

Y

F

phi

Xxi

Ll

xxi

xixim1 xip1

Abbildung 2.2: Nichtlineares Stabelement im 2d-Raum

Annahmen:• einaxialer Spannungszustand

� 11 = � 6= 0 � i j = 0 ∀i j 6= 11

• lineare Ansatzfunktionenu linear, ∇Xu konstant, F konstant, E konstant, � konstant

N(1) =12

[ 1− � ] N(2) =12

[ 1 + � ]

• isoparametrischer Gradient der Formfunktionen

∇� N(1) = −12

∇� N(2) = +12

∇� Ni =[−1

2; +

12

]• materieller und raumlicher Gradient der Formfunktionen

∇X N(1) = − 1L

N ∇X N(2) = +1L

N ∇X Ni =2L

N∇� Ni

∇xN(1) = − 1l

n ∇xN(2) = +1l

n ∇xNi =2l

n∇� Ni

57

“nlin˙fem” — 2007/4/7 — 11:52 — page 58 — #62


• Diskretisierung der Geometrie und Deformation

X =2

∑i=1

Ni(� ) X i ' =2

∑i=1

Ni(� ) ' i

also gilt

X =12

[ 1− � ] X(1) + [ 1 + � ] X(2)

[ 1− � ] Y(1) + [ 1 + � ] Y(2)

und damit

X(1) =

X(1)

Y(1)

X(2) =

X(2)

Y(2)

• materielle und raumliche Lange

L = ||X(2)− X(1) ||= ||2

∑i=1

2 X i∇� Ni ||

l = || ' (2)− ' (1) ||= ||2

∑i=1

2 ' i∇� Ni ||

• materielle und raumliche Normale

N =X(2)− X(1)

L= ∑

2i=1 2 X i∇� Ni

L

2

∑i=1

X i∇� Ni =L N

2

n =' (2)− ' (1)

l= ∑

2i=1 2 ' i∇� Ni

l

2

∑i=1

' i∇� Ni =l n2

• materieller und raumlicher Jacobi-”Vector”

∇X{•} =2L

N∇� {•} ∇x{•} =2ln∇� {•}

∇X� =2L

N ∇x� =2ln

58

“nlin˙fem” — 2007/4/7 — 11:52 — page 59 — #63



F =2

∑i=1

' i ⊗∇X Ni =2

∑i=1

' i∇� Ni2L⊗ N =

lL

n⊗ N

alternative Darstellung

F =lL

F = F n⊗ N

Interpretation als Tangentenabbildung von TB0 nach TBt

dx = F · dX bzw. n = F · N

Stretch F = l / L und Rotation der materiellen Normalen N

n =lL

n⊗ N · N =lL

n


E =12[ F F− 1 ] =

12

l2 − L2

L2 E = E N ⊗ N

vergleiche Dreigelenkrahmen

• (eindimensionales) konstitutives Gesetz:Neo-Hooke Material

Wneo0 =

14

Emod [ F2 − 1− 2 ln(F) ]

� neo =dWneo

0

dF=

12

Emod

[F− 1

F

]� t = � n⊗ N

� neo =1F

� neoF =12

Emod

[F− 1

F

]� = � n⊗ n

d2Wneo0

dF2 =d� neo

dF=

12

Emod

[1 +

1F2

]• (eindimensionales) konstitutives Gesetz: St.–Venant Kirch-hoff Material

Wkir0 =

12

E Emod E

59

“nlin˙fem” — 2007/4/7 — 11:52 — page 60 — #64


� kir = Emod E =12

Emod[F2 − 1] � t = � N ⊗ N

� t = F · � t = � F · N ⊗ N � t = � F n⊗ N

� kir = F� kir =12

Emod[F3 − F] � t = � n⊗ N

d2Wkir0

dE=

d�dE

kir

= Emod d�dF

kir

=12

Emod[3 F2 − 1

]• Vergleich Neo–Hooke und St. Venant–Kirchhoff Spannungen

� neo =1F2 � kir � kir = F2 � neo

• innere Krafte

f intI =

nelAAAAAAAAAe=1

∫Be

0

∇X Ni· F · � dV ...materiell

=nelAAAAAAAAA

e=1

∫Be

0

∇X Ni· � dV ...materiell

=nelAAAAAAAAA

e=1

∫Be

t

∇xNi· � dv ...raumlich

mit

∇X Ni =2L

N∇� Ni ∇xNi =2ln∇� Ni

und

dV =12

A L d� dv =12

A l d�

f intI =

nelAAAAAAAAAe=1∇� Ni 2 � A ne =

nelAAAAAAAAAe=1∇� Ni 2 � A ne

60

“nlin˙fem” — 2007/4/7 — 11:52 — page 61 — #65


• Linearisierung

KI J =d f int

Id' J

=nelAAAAAAAAA

e=1

d[∇� Ni 2 � A ne]d' j

=nelAAAAAAAAA

e=1∇� Ni 2 A ne ⊗

d�dF

dFd' J︸︷︷︸

materiellerAnteil

+nelAAAAAAAAA

e=1∇� Ni 2 � A

dne

d' j︸︷︷︸geometrischerAnteil

Linearisierung des Stretches F = l / L

dFd' j

=1L

d ld' j

=1L

d||∑2i=1 2 ' i∇� Ni||

d' j

=1L

12

1||∑2

i=1 2 ' i∇� Ni||2

[2

∑i=1

2 ' i∇� Ni

]2∇� N j

dFd' j

=2L

ne∇� N j

Linearisierung der raumlichen (Einheits-)normale ne

dne

d' j=

1L

d[∑2i=1 2 ' i∇� Ni]/F

d' j

=1L

1F

d[∑2i=1 2 ' i∇� Ni]

d' j+

1L[

2

∑i=1

2 ' i∇� Ni]dF−1

d' j

=2

F LI∇� N j −

2F L

ne ⊗ ne∇� N j

=2l[I − ne ⊗ ne]∇� N j

61

“nlin˙fem” — 2007/4/7 — 11:52 — page 62 — #66


• materielle Steifigkeitsmatrix

KmatI J =

nelAAAAAAAAAe=1

∫Be

0

[∇X Ni · F]d�dF

[F t · ∇X N j] dV ...materiell

=nelAAAAAAAAA

e=1

∫Be

t

∇xNid�dF∇xN j dv ...raumlich

KmatI J =

nelAAAAAAAAAe=1

4AL

d�dF∇� Ni ne ⊗ ne∇� N j

• geometrische Steifigkeitsmatrix

KgeoI J =

nelAAAAAAAAAe=1

∫Be

0

∇X Ni � ∇X N j dVI ...materiell

=nelAAAAAAAAA

e=1

∫Be

t

∇xNi � ∇xN j dvI ...raumlich

KgeoI J =

nelAAAAAAAAAe=1

4Al

� ∇� Ni [I − ne ⊗ ne]∇� N j

62

“nlin˙fem” — 2007/4/7 — 11:52 — page 63 — #67


2.6 Nichtlineare Analyse eines Dreigelenkrahmens

B B

fext

EA

fext

B B

1

2

1

H u

H−u

lL

xX


2

Abbildung 2.3: Dreigelenkrahmen: undeformierte & deformierte Konfiguration

• materielle und raumliche Normale

N =1L[ B, H ]t L =

√B2 + H2

n =1l[ B, ' ]t l =

√B2 + ' 2


F =lL

=√

B2 + H2√

B2 + ' 2F = F n⊗ N


E =12

l2 − L2

L2 =12

' 2 − H2

L2 E = E N ⊗ N

• Neo–Hooke Material

� neo =12

Emod

[F− 1

F

]=

12

Emod' 2 − H2

Ll� t = � n⊗ N

63

“nlin˙fem” — 2007/4/7 — 11:52 — page 64 — #68


d�dF

neo

=12

Emod

[1 +

1F2

]• St. Venant–Kirchhoff Material

� kir = Emod E =12

Emod' 2 − H2

L2 � t = � N ⊗ N

� t = F · � t = � F · N ⊗ N � t = �lL

n⊗ N

� kir =lL

� kir =12

Emod l[' 2 − H2]L3 � t = � n⊗ N

d�dF

kir

=12

Emod[3 F2 − 1

] d�dE

kir

= Emod

• Vergleich Neo–Hooke und St. Venant–Kirchhoff Spannungen

� neo =L2

l2 � kir =1F2 � kir � kir =

l2

L2 � neo = F2 � neo

• innere Krafte

f intI =∇� Ni 2 � A ne

f int neo(2)y = +

12

212

Emod' 2 − H2

LlA

1l

' =EmodA2Ll2 [' 3 − H' ]

f int kir(2)y = +

12

212

Emod l[' 2 − H2]L3 A

1l

' =EmodA

2L3 [' 3 − H' ]

• materielle Steifigkeit

KmodI J = 4

AL

d�dF

∇� Ni ne ⊗ ne ∇� N j

Kmat neo(2)y(2)y = 4

AL

d�dF

12

1l'

1l'

12

Kmat neo(2)y(2)y =

EmodA2l2L

[1 +

1F2

]' 2

Kmat kir(2)y(2)y =

EmodA2l2L

[3F2 − 1

]' 2

64

“nlin˙fem” — 2007/4/7 — 11:52 — page 65 — #69


• geometrische Steifigkeit

KgeoI J = 4

Al

� ∇� Ni [I − ne ⊗ ne]∇� N j

Kgeo(2)y(2)y = 4

Al

�12

[1− 1l'

1l' ]

12

Kgeo neo(2)y(2)y =

EmodA2l

[F− 1

F

] [1− ' 2

l2

]Kgeo kir

(2)y(2)y =EmodA

2l[F3 − F

] [1− ' 2

l2

]• Iterationsvorschrift fur Newton–Raphson Verfahren

∆ ' =1

Kmod + Kgeo

[f ext− f int

]interne Krafte und Steifigkeit fur St. Venant–Kirchhof Material

f int =EmodA

2L3

[' 3 − H2'

]Kmod + Kgeo =

EmodA2L3

[3' 2 − L2

l2 ' 2]

+EmodA

2L3

[l2 − L2] [1− ' 2

l2

]=

EmodA2L3

[3' 2 − H2]

vergleiche kontinuierliche Formulierung Dreigelenkrahmen 1.6

65

“nlin˙fem” — 2007/4/7 — 11:52 — page 66 — #70


2.7 Algorithmische Umsetzung mit MATLAB

1

2

2

1

21

B0

L l

BtN n

x

y

X

Y

F

phi

Xxi

Ll

xxi

xixim1 xip1

Abbildung 2.4: Nichtlineares Stabelement im 2d-Raum

66

“nlin˙fem” — 2007/4/7 — 11:52 — page 67 — #71


2.7.1 Hauptprogramm

%-----------------------------------------------------------------% nonlinear elastostatics%-----------------------------------------------------------------%-----------------------------------------------------------------clear all initialization[ q0,edof,bc,F ext,emod,area,nel,node,ndof ] = frame 2;

% input of discretization, geometry, material dataj = 1; % init time indextime(1)= 0; % init timetol = 1e-8; % tolerance of newton iteratione mat = extr dis(edof,q0); % init material coordinatesq2 = q0; % init spatial coordinatesn gp = 2; % number of integration pointsdt = 1; % init load increment%-----------------------------------------------------------------%-----------------------------------------------------------------for im=1:1000 % loop over keyboard inputsmacro = input(’macro:’,’s’);[ir,ic] = size(macro);if ic<4disp(’@ least 4 letters needed’) % wrong keyboard inputelse

%-----------------------------------------------------------------if (strcmp(macro(1:4),’step’) == 1); % apply load in n increments[ir,ic] = size(macro);if ic==4nsteps = 1;

elsensteps = str2num(macro(7:ic));

endfor is = 1:nsteps; % loop over all load incrementsj = j+1;time(j) = time(j-1) + dt;iter=0; residuum=1;while residuum > tol % global newton-raphson iterationiter=iter+1;if iter>20 % no convergencedisp(’no convergence after 20 iterations’)return

elseR = zeros(ndof,1); % initialization of global residuumKt = zeros(ndof,ndof); % initialization of global stema

67

“nlin˙fem” — 2007/4/7 — 11:52 — page 68 — #72


e spa = extr dis(edof,q2); % extract global displacementsfor ie = 1:nel % loop over all elements[Ke,Fe] = truss(e mat(ie,:),e spa(ie,:),emod,area);[Kt,R] = assm sys(edof(ie,:),Kt,Ke,R,Fe);

endR = R - time(j)*F ext; % add external load to righthand sideresiduum=res norm(R,bc) % norm of residual including bc’sq2 = solve nr(Kt,R,q2,bc); % solution and update

endend % end of global newton iteration

end % end of load incrementation loop%-----------------------------------------------------------------%-----------------------------------------------------------------elseif (strcmp(macro(1:4),’pmat’) == 1); % plot mat configfigure(1)elnum = edof(:,1);plot mat(e mat,elnum)

%-----------------------------------------------------------------%-----------------------------------------------------------------elseif (strcmp(macro(1:4),’pspa’) == 1); % plot spat configfigure(1)e spa = extr dis(edof,q2);plot spa(e spa)

%-----------------------------------------------------------------%-----------------------------------------------------------------elseif (strcmp(macro(1:4),’quit’) == 1); % quitreturn

%-----------------------------------------------------------------%-----------------------------------------------------------------else % displace possible keyboard inputsdisp(’step ... apply one load step’)disp(’step,,n ... apply n load steps’)disp(’pmat ... plot material configuration’)disp(’pspa ... plot spatial configuration’)disp(’quit ... quit fe analyses’)

%-----------------------------------------------------------------endend % end of keyboard input loopend % end of main programme%-----------------------------------------------------------------

68

“nlin˙fem” — 2007/4/7 — 11:52 — page 69 — #73


2.7.2 Elementlastvektor und Elementsteifigkeitsmatrix

%-----------------------------------------------------------------function [ed] = extr dis(edof,a)%-----------------------------------------------------------------% extract displacements from global vecto%-----------------------------------------------------------------[nie,n] = size(edof);t = edof(:,2:n);for i = 1:nieed(i,1:(n-1)) = a(t(i,:))’;

end%-----------------------------------------------------------------

%-----------------------------------------------------------------

function [Ke,fe] = truss(e mat,e spa,emod,area,e b)

%-----------------------------------------------------------------

% geometrically nonlinear isoparametric truss element

% two noded element, analytical integration, material formulation

%-----------------------------------------------------------------

% input: e mat = [ X 1 Y 1 X 2 Y 2 ] ... material coord

% e spa = [ x 1 y 1 x 2 y 2 ] ... spatial coord

% emod = 2 * mue ... young’s modulus

% area ... cross section area

% e b = [ bx; by ] ... volume force vector

%-----------------------------------------------------------------

% output: Ke = [ 4 x 4 ] ... element stiffness matrix

% fe = [ fx 1 fy 1 fx 2 fy 2] ... element load vector

%-----------------------------------------------------------------

fe = [ 0; 0; 0; 0]; % init load vector

unit = eye(2); % init identity

if nargin==4 b=zeros(2,1); else b=e b; end % init volume forces

indx =[1;3]; % indices of x coordinates

indy =[2;4]; % indices of y coordinates

ex mat=e mat(indx); % material x coordinates of 1/2

ey mat=e mat(indy); % material y coordinates of 1/2

ex spa=e spa(indx); % spatial x coordinates of 1/2

ey spa=e spa(indy); % spatial y coordinates of 1/2

69

“nlin˙fem” — 2007/4/7 — 11:52 — page 70 — #74


dx mat = ex mat(2)-ex mat(1); % material length in x direction

dy mat = ey mat(2)-ey mat(1); % material length in y direction

dx spa = ex spa(2)-ex spa(1); % spatial length in x direction

dy spa = ey spa(2)-ey spa(1); % spatial length in y direction

l mat = sqrt( dx mat*dx mat + dy mat*dy mat ); % material length

l spa = sqrt( dx spa*dx spa + dy spa*dy spa ); % spatial length

n mat = [ dx mat; dy mat ] / l mat;

n spa = [ dx spa; dy spa ] / l spa;

dNx ref = [ -1/2; +1/2 ]; % referential gradient of N1/N2

dNx mat = [ -n mat(1); -n mat(2); +n mat(1); +n mat(2) ];

dNx spa = [ -n spa(1); -n spa(2); +n spa(1); +n spa(2) ];

F mat = l spa / l mat; % material deformation gradient

P = emod/2 * ( F mat - 1/F mat ); % 1st pk stress / cauchy stress

dPdF = emod/2 * ( 1 + 1/F mat/F mat ); % linearization of 1st pk

lin1 = dPdF / l mat - P / l spa;

lin2 = P / l spa;

for i=1:2 indx=[2*i-1; 2*i];

fe(indx)=P*n spa*dNx ref(i)*2*area;

for j=1:2 jndx=[2*j-1, 2*j];

Ke(indx,jndx)=dNx ref(i)*lin1*n spa*n spa’*dNx ref(j)*4*area...

+dNx ref(i)*lin2* unit *dNx ref(j)*4*area;

end

end

%-----------------------------------------------------------------

70

“nlin˙fem” — 2007/4/7 — 11:52 — page 71 — #75


2.7.3 Gleichungsloser

%-----------------------------------------------------------------function ug = solve nr(K,f,ug,bc)%-----------------------------------------------------------------%-----------------------------------------------------------------if nargin==3 ; % no dirichlet boundary condsug = ug - K \ f ; % solve and update vector of unknowns

elseif nargin==4; % dirichlet boundary conds to be included[nd,nd] = size(K);fdof = [1:nd]’;pdof = bc(:,1);dp = bc(:,2);fdof(pdof) = []; % extract load vector of non-dirichlet nodess =- K(fdof,fdof) \ f(fdof); % solve reduced systemug(fdof) = ug(fdof) + s; % update vector of unknowns

end%-----------------------------------------------------------------

%-----------------------------------------------------------------function residuum = res norm(f,bc)%-----------------------------------------------------------------% norm of residual%-----------------------------------------------------------------if nargin==1 % no dirichlet bc’sresiduum = norm(f);

elseif nargin==2 % dirichlet bc’s[nr,nc] = size(f);fdof = [1:nr]’;pdof = bc(:,1);fdof(pdof) = [];residuum = norm(f(fdof)); % residual without reaction forces

end%-----------------------------------------------------------------

71

“nlin˙fem” — 2007/4/7 — 11:52 — page 72 — #76


2.7.4 Zusammenbau Systemsteifigkeitsmatrix und Systemlastvektor

%-----------------------------------------------------------------function [K,f] = assm sys(edof,K,Ke,f,fe)%-----------------------------------------------------------------% assemble element contributions to global stiffness and force%-----------------------------------------------------------------% input: edof = [ elem X1 Y1 X2 Y2 ] ... incidence matrix% Ke = [ ndof x ndof ] ... element stiffness matrix% fe = [ ndof x 1] ... element load vector%-----------------------------------------------------------------% output: K = [ 4 x 4 ] ... element stiffness matrix Ke% f = [ fx 1 fy 1 fx 2 fy 2] ... element load vector fe%-----------------------------------------------------------------[nie,n] = size(edof);t = edof(:,2:n);for i = 1:nieK(t(i,:),t(i,:)) = K(t(i,:),t(i,:))+Ke;if nargin==5f(t(i,:)) = f(t(i,:))+fe;

endend%-----------------------------------------------------------------

72

“nlin˙fem” — 2007/4/7 — 11:52 — page 73 — #77


2.7.5 Plot der materiellen und raumlichen Konfiguration

%-----------------------------------------------------------------function plot mat(e mat,elnum)%-----------------------------------------------------------------% plot of material configuration (2d frame structures)%-----------------------------------------------------------------indx=[1;3]; ex mat=e mat(:,indx);a=size(ex mat);indy=[2;4]; ey mat=e mat(:,indy);b=size(ey mat);if(a-b)==[0 0]nel=a(1);nen=a(2);

elsedisp(’error in input of geometry’)

ends1 = ’-’; s1 = [s1,’k’]; s2 = ’ko’;x0 = sum(ex mat’)/nen; x = ex mat’; xc = [x ; x(1,:)];y0 = sum(ey mat’)/nen; y = ey mat’; yc = [y ; y(1,:)];axis(’equal’)hold onplot(xc,yc,s1)plot(x, y, s2)for i=1:nelh=text(x0(i),y0(i),int2str(elnum(i)));set(h,’fontsize’,8);

endxlabel(’x’);ylabel(’y’);hold off%-----------------------------------------------------------------

%-----------------------------------------------------------------function plot spa(e spa)%-----------------------------------------------------------------% plot of spatial configuration (2d frame structures)%-----------------------------------------------------------------indx=[1;3]; ex spa=e spa(:,indx);indy=[2;4]; ey spa=e spa(:,indy);s1 = ’--’; s1 = [s1,’k’]; s2 = ’ko’;x=ex spa’; xc = [x; x(1,:)]; y=ey spa’; yc =[y; y(1,:)];axis(’equal’)hold onplot(xc,yc,s1)plot(x, y, s2)hold off%-----------------------------------------------------------------

73

“nlin˙fem” — 2007/4/7 — 11:52 — page 74 — #78

3 Losungsverfahren

3.1 Newton–Raphson Verfahren (Lastkontrolle)

Bemerkung: Das Newton–Raphson Verfahren ist ein iterativesVerfahren, das das Residuum r I = f dyn

I + f intI − f ext

I , den “Fehlerim Kaftegleichgewicht”, zu Null iteriert.

• Problem: nichtlineare Gleichung der Form

r I(' J + ∆' J).= 0 ∀ I = 1, .., nnp

• Taylor Reihenentwicklung

r Ik+1n+1 = r I

kn+1 + ∆r I

.= 0 ∀ I = 1, .., nnp


∆r I =nnp

∑J=1

∂r I

∂' J· ∆' J KI J =

∂r I

∂' J∀ I = 1, .., nnp

folgt

r Ik+1n+1 = r I

kn+1 +

nnp

∑J=1

KI J · ∆' J.= 0 ∀ I = 1, .., nnp

• Iterationsvorschrift fur das Newton–Raphson Verfahren

∆' J = −nnp

∑I=1

K−1J I · r I

kn+1 ∀ J = 1, .., nnp

74

“nlin˙fem” — 2007/4/7 — 11:52 — page 75 — #79

3 Losungsverfahren

Bemerkung: Obwohl es theoretisch moglich ware, die außereLast f ext

I in einem einzigen Schritt aufzubringen, ist es im all-gemeinen ublich, die Last inkrementell zu steigern, so daß injedem Lastschritt n eine Teillast ∆ f ext

In mit

f extI =

nstep

∑n=1

∆ f extIn

aufgebracht wird. Man spricht von einem inkrementelliterativen, lastkontrollierten Verfahren.

3.1.1 Newton–Raphson Verfahren – Algorithmus

1. Schleife uber alle Lastschritte n = 1..nstep

f extIn+1 = f ext

In + ∆ f extI

2. Schleife uber alle Iterationsschritte i = 1..imax

a) Berechne Residuumr I(' i

n+1) = f dynI (' i

n+1) + f intI (' i

n+1)− f extIn+1

b) Berechne TangentenmatrixKI J(' i

n+1) = KdynI J (' i

n+1) + KgeoI J (' i

n+1) + KmatI J (' i

n+1)c) Berechne Inkrement der Verschiebungen

∆' J = −∑nnpI=1 KJ I(' i

n+1)−1 · r I(' i

n+1)d) Update

' Ji+1n+1 = ' J

in+1 + ∆' J

e) Konvergenztest

||r I(' i+1n+1)||

≤ TOL goto 1.

> TOL goto 2.

75

“nlin˙fem” — 2007/4/7 — 11:52 — page 76 — #80

3 Losungsverfahren

3.1.2 Nichtlineare Analyse eines Dreigelenkrahmens

T5

T6

T7

T8

T3

T4

T2

T1 E1

E2

E3

E4

=

=

=

=EA

Lfext

B B

H

Abbildung 3.1: Durchschlagproblem: Geometrie und Abmessungen

Newton–Raphson Algorithmus, Beispiel Durchschlagproblem

1. Lastschrittschleife, n = 1..nstep f extn+1 = f ext

n + ∆ f ext

2. Iterationsschleife, i = 1..imax

a) Residuum r(' in+1) = EA

2L3

[' 3 − H2'

]− f ext

n

b) Tangente k(' in+1) = EA

2L3

[3 ' 2 − H2

]c) Inkrement der Deformation ∆' = −k(' i

n+1)−1 r(' i

n+1)

d) Update ' i+1n+1 = ' i

n+1 + ∆'

e) Konvergenztest ||r(' in+1)||

≤ TOL goto 1.

> TOL goto 2.

76

“nlin˙fem” — 2007/4/7 — 11:52 — page 77 — #81

3 Losungsverfahren

• Iterationsverlauf

Iteration Residuum Inkrement totale Verschiebgi ||r(ui

n)|| ∆u [m] uin [m]

1 1.0000E+02 4.0150E-02 4.0150E-022 1.1722E+01 6.1222E-03 4.6272E-023 2.5643E-01 1.4003E-04 4.6412E-024 1.3295E-04 7.2684E-08 4.6412E-025 3.5811E-11 1.9576E-14 4.6412E-02

• qualitative Darstellung des Iterationsverlaufes

Bemerkungen:

• Das Newton–Raphson Verfahren ist das gebrauchlichsteVerfahren zur Losung des aus der FE Diskretisierung resul-tierenden nichtlinearen Gleichungssystems.

• Vorteil: Das Newton–Raphson Verfahren zeichnet sichdurch quadratische Konvergenz in der Nahe der Losungaus, vergleiche Durchschlagproblem.

• Nachteil: In jedem Iterationsschritt muß die Tangentenma-trix neu aufgestellt und invertiert werden, vergleiche 2.(b).

77

“nlin˙fem” — 2007/4/7 — 11:52 — page 78 — #82

3 Losungsverfahren

3.2 Modifiziertes Newton Verfahren (Lastkontrolle)

Bemerkung: Das modifizierte Newton Verfahren stellt eine Ver-einfachung des Newton–Raphson Verfahrens dar, bei der dieTangentenmatrix pro Lastschritt nur einmalig aufgestellt undinvertiert wird.

3.2.1 Modifiziertes Newton Verfahren – Algorithmus


f extIn+1 = f ext

In + ∆ f extI

Berechne (und invertiere) TangentenmatrixKI J(' n+1) = Kdyn

I J (' n+1) + KgeoI J (' n+1) + Kmat

I J (' n+1)



n+1) = f dynI (' i

n+1) + f intI (' i

n+1)− f extIn+1

b) Berechne Tangentenmatrix (entfallt)Tangentenmatrix wird einmalig vor Beginn der Schleifeinitialisiert

c) Berechne Inkrement der Verschiebungen∆' J = −∑

nnpI=1 KJ I(' n+1)−1 · r I(' i

n+1)d) Update

' Ji+1n+1 = ' J

in+1 + ∆' J

e) Konvergenztest

||r I(' i+1n+1)||

≤ TOL goto 1.

> TOL goto 2.

78

“nlin˙fem” — 2007/4/7 — 11:52 — page 79 — #83

3 Losungsverfahren

3.2.2 Nichtlineare Analyse eines Dreigelenkrahmens

• Iterationsverlauf


n)|| ∆u [m] uin [m]

1 1.0000E+02 4.0150E-02 4.0150E-022 1.1722E+01 4.7066E-03 4.4856E-023 2.8623E+00 1.1492E-03 4.6005E-024 7.4478E-01 2.9903E-04 4.6304E-025 1.9673E-01 7.8989E-05 4.6383E-026 5.2170E-02 2.0946E-05 4.6404E-027 1.3848E-02 5.5602E-06 4.6410E-028 3.6771E-03 1.4763E-06 4.6411E-029 9.7644E-04 3.9204E-07 4.6412E-02

10 2.5929E-04 1.0410E-07 4.6412E-0211 6.8855E-05 2.7645E-08 4.6412E-0212 1.8284E-05 7.3412E-09 4.6412E-02

• qualitative Darstellung des Iterationsverlaufes

79

“nlin˙fem” — 2007/4/7 — 11:52 — page 80 — #84

3 Losungsverfahren

Newton–Raphson Verfahren – Durchschlagproblem


n)|| ∆u [m] uin [m]

1 1.0000E+02 4.0150E-02 4.0150E-022 1.1722E+01 6.1222E-03 4.6272E-023 2.5643E-01 1.4003E-04 4.6412E-024 1.3295E-04 7.2684E-08 4.6412E-025 3.5811E-11 1.9576E-14 4.6412E-02

Modfiziertes Newton Verfahren – Durchschlagproblem


n)|| ∆u [m] uin [m]

1 1.0000E+02 4.0150E-02 4.0150E-022 1.1722E+01 4.7066E-03 4.4856E-023 2.8623E+00 1.1492E-03 4.6005E-024 7.4478E-01 2.9903E-04 4.6304E-025 1.9673E-01 7.8989E-05 4.6383E-026 5.2170E-02 2.0946E-05 4.6404E-027 1.3848E-02 5.5602E-06 4.6410E-028 3.6771E-03 1.4763E-06 4.6411E-029 9.7644E-04 3.9204E-07 4.6412E-02

10 2.5929E-04 1.0410E-07 4.6412E-0211 6.8855E-05 2.7645E-08 4.6412E-0212 1.8284E-05 7.3412E-09 4.6412E-02

80

“nlin˙fem” — 2007/4/7 — 11:52 — page 81 — #85

3 Losungsverfahren

Durchschlagproblem – Last–Verschiebungskurve

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2−300

−200

−100

0

100

200

300

u

fext

Benotigte Iterationen bei unterschiedlichen Lastinkrementen

Kraft Verschiebung Newton modifizierterf ext[kN] un[m] Raphson Newton

40 0.016908 4 1280 0.035892 4 17

120 0.057824 5 24160 0.084414 5 35200 0.120120 6 59240 – – –

81

“nlin˙fem” — 2007/4/7 — 11:52 — page 82 — #86

3 Losungsverfahren

Die Traglast des gewahlten Systems bei den angenommenenMaterial– und Geometriedaten liegt bei f ext

max = 239.6 kN, so daßbeide Verfahren fur f ext

max = 240 kN versagen.

Bemerkungen:

• Vorteil: Die Tangentenmatrix KI J(' n) wird zu Beginn derIteration aufgestellt und muß nur einmalig invertiert wer-den.

• Nachteil: Die quadratische Konvergenz des Newton–Raphson Verfahrens geht verloren, die Konvergenz des mo-difizierten Newton Verfahrens is lediglich linear.

• Wird die Tangentenmatrix nur ein einziges Mal vor Beginnder Berechnung aufgestellt und invertiert, so spricht manvom elastischen Anfangssteifigkeits-Verfahren. Die Konver-genz dieses Verfahrens ist jedoch extrem schlecht.

• Das modifizierte Newton Verfahren wird i.a. nur beischwach linearen Nichtlinearitaten verwendet.

82

“nlin˙fem” — 2007/4/7 — 11:52 — page 83 — #87

3 Losungsverfahren

3.3 Gedampftes Newton Verfahren (’line search’)

Bemerkung: Ein Nachteil des Newton–Raphson Verfahrens istsein eingeschrankter Konvergenzradius. Es liefert nur ”in derNahe der Losung” quadratische Konvergenz, erfordert alsoeinen guten Startwert ' 0

n. Alternativ kann die Last inkremen-tell in mehreren Schritten ∆ f ext

I aufgebracht werden oder eingedampftes Newton–Raphson Verfahren (”line search”) ver-wendet werden. Dabei erfolgt der Update aus 2(d) mit

' i+1n+1 = ' i

n+1 + � i∆' = ' in+1 + � iK−1(' i

n+1) · r I(' in+1)

mit 0 ≤ � ≤ 1 ... line search Parameter

Bedingung fur � i:Reduktion des Residuums in jedem Iterationsschritt

||r I(' i+1n+1)|| ≤ ||r I(' i

n+1 + � i∆' )|| ≤ ||r I(' in+1)||

dazu Minimierung der Energie Π(� i) des Systems

Π(� i)→ min

daraus folgt

r(� i) :=∂Π

∂� i =∂Π

∂' in+1· ∆' = r I(' i

n+1 + � i∆' ) · ∆' = 0

nichtlineare Gleichung in � i→ iterative Bestimmung von � i mit”regula falsi” Verfahren (Newton Verfahren auch moglich, aberzu aufwendig)

83

“nlin˙fem” — 2007/4/7 — 11:52 — page 84 — #88

3 Losungsverfahren

2.(d) Schleife uber alle Iterationsschritte k = 1..kmax

i. Berechne Inkrement des line search Parameters

∆� = −� i

k − � ik−1

r(� ik)− r(� i

k−1)r(� i

k)

ii. Update� i

k+1 = � ik + ∆�

iii. Konvergenztest

||r(� ik+1)||

≤ 0.8 ||r(0)|| goto 2.(e)

> 0.8 ||r(0)|| goto 2.(d)

84

“nlin˙fem” — 2007/4/7 — 11:52 — page 85 — #89

3 Losungsverfahren

3.3.1 Gedampftes Newton Verfahren – Algorithmus


f extIn+1 = f ext

In + ∆ f extI



n+1) = f dynI (' i

n+1) + f intI (' i

n+1)− f extIn+1

b) Berechne TangentenmatrixKI J(' i

n+1) = KdynI J (' i

n+1) + KgeoI J (' i

n+1) + KmatI J (' i

n+1)c) Berechne Inkrement der Verschiebungen

∆' J = −∑nnpI KJ I(' i

n+1)−1 · r I(' i

n+1)d) Schleife uber alle Iterationsschritte k = 1..kmax

i. Berechne Inkrement des line search Parameters

∆� = −� i

k − � ik−1

r(� ik)− r(� i

k−1)r(� i

k)

ii. Update� i

k+1 = � ik + ∆�

iii. Konvergenztest

||r(� ik+1)||

≤ 0.8 ||r(0)|| goto 2.(e)

> 0.8 ||r(0)|| goto 2.(d)

e) Update' J

i+1n+1 = ' J

in+1 + � i∆' J

f) Konvergenztest

||r I(' i+1n+1)||

≤ TOL goto 1.

> TOL goto 2.

85

“nlin˙fem” — 2007/4/7 — 11:52 — page 86 — #90

3 Losungsverfahren

3.4 Newton–Raphson Verfahren (Verschiebungskontrolle)

Bemerkung: Obwohl die line search Technik den Konvergenz-radius des Newton–Raphson Verfahrens verbessert, konnenmit dem lastgesteuerten Verfahren sogenannte ”limit points”des Gleichgewichtspfads nicht uberschritten werden. Abhilfeschafft ein verschiebungsggesteuertes Verfahren, das durchvorgegebene Verschiebungen an einem ausgewahlten Kno-ten einen Spannungszustand in der Probe erzeugt, aus demKnotenkrafte an dem verschiebungskontrollierten Knoten re-sultieren.

Vorgehen:Partitionierung (Umsortieren) des Losungsvektors ∆' in tat-sachliche Freiheitsgrade ∆' f und vorgeschriebene Werte ∆' p

∆' = [ ∆' f, ∆' p ]

zu losendes Gleichungssystem Kff Kfp

Kpf Kpp

∆' f

∆' p

=

0

0

− f int

fI

f intpI

mit ∆' i=0

p gegeben und ∆' i>0p = 0

1. Iterationsschritt

∆' 1f = −Kff−1 · [ Kfp · ∆' 0

P + f intf

0I ]

i. Iterationsschritt

∆' i+1f = −Kff−1 · [ f int

fiI ]

Bemerkung: Bei verschiebungskontrollierten Verfahren wirdein reduziertes Gleichungssystem mit veranderter rechter Seite

86

“nlin˙fem” — 2007/4/7 — 11:52 — page 87 — #91

3 Losungsverfahren

gelost. Die reduzierte Iterationsmatrix Kff besitzt i.a. einen klei-neren Spektralradius als K. Verschiebungskontrollierte Verfah-ren liefern also i.a. stabilere Losungen als lastkontrollierte Ver-fahren, vergleiche Durchschlagproblem.

Durchschlagproblem – Last–Verschiebungs Kurve

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2−300

−200

−100

0

100

200

300

400

500

u

fext

LastkontrolleVerschiebungskontrolle

87

“nlin˙fem” — 2007/4/7 — 11:52 — page 88 — #92

3 Losungsverfahren

3.5 Bogenlangenverfahren

Bemerkung: Ist man am Verhalten einer Struktur im uber-kritischen Bereich interessiert, so benotigt man ein stabilesVerfahren zur vollstandigen Verfolgung des nichtlinearenGleichgewichtspfades. Sowohl mit dem lastkontrollierten, alsauch mit dem verschiebungskontrollierten Verfahren konnenbestimmte ”limit points” LL bzw. LV nicht uberschritten wer-den. Abhilfe schafft das Bogenlangenverfahren (”arc lengthcontrol”), das die inkrementelle Last mittels eines Lastparame-ters � uber eine zusatzliche Nebenbedingung bestimmt.

außere Last zum Zeitpunkt tin

f extin = � i

n f ext

� ... Lastparameter, bisher � = 1/nstep = const., jetzt � variabel,bestimmt aus Nebenbedingung f (' , � ) = 0

erweitertes Gleichungssystem

r( ¯' ) = 0

mit r (' , � )

f (' , � )

=

0

0

mit ¯' =

'

�

Newton–Raphson Verfahren zur Losung des erweiterten Glei-chungssystems, dazu Linearisierung, Newton–Raphson Iterati-onsvorschrift

K( ¯' ) · ∆ ¯' = −r

88

“nlin˙fem” — 2007/4/7 — 11:52 — page 89 — #93

3 Losungsverfahren

mit ∂r∂'

∂r∂�

∂ f∂'

∂ f∂�

· ∆'

∆�

= −

r

f

Linearisierung der Gleichgewichtsgleichung

∂r∂'

= K'' ...standard Tangentenmatrix∂r∂�

= K'� = − f ext ...externe Last

Linearisierung der Nebenbedingung

∂ f∂'

= K�' ...abhangig von der Wahl der NB f (' , � ) = 0∂ f∂�

= K�� ...abhangig von der Wahl der NB f (' , � ) = 0

linearisiertes Gleichungssystem K'' − f extI

K�' K��

· ∆'

∆�

= −

r I

f

Bemerkung: Da die Iterationsmatrix des erweiterten Systemsunsymmetrisch ist, K 6= Kt, wird das Gleichungssystemublicherweise mittels Partitionierungstechniken gelost, um dieSymmetrie der Tangentenmatrix, K = Kt, auszunutzen.

erste Gleichung

K · ∆' − f ext · ∆� = −r

∆' = −K−1 · r + K−1 · ∆� f ext

89

“nlin˙fem” — 2007/4/7 — 11:52 — page 90 — #94

3 Losungsverfahren

mit

∆' ' := −K−1 · r und ∆' � := K−1 · f ext

∆' = ∆' ' + ∆� ∆' �

• zweite Gleichung

K�' · ∆' + K�� ∆� = − f

K�' · ∆' ' + [ K�' · ∆' � + K�� ] ∆� = − f

∆� = − f + K�' · ∆' '

K�' · ∆' � + K��

Wagner [1991], Wriggers [2001]

90

“nlin˙fem” — 2007/4/7 — 11:52 — page 91 — #95

3 Losungsverfahren

3.5.1 Bogenlangenverfahren – Algorithmus


a) Pradiktorschritt∆' � = K−1(' n) · f ext

I

∆� =±∆s||∆' � ||

entsprechend Nebenbedigung f (Dn, � n)

� 0n+1 = � n + ∆�



n+1, � in+1) = f dyn

I (' in+1) + f int

I (' in+1)− � i

n+1 f extI

b) Berechne TangentenmatrixK(' i

n+1) = Kdyn(' in+1) + Kgeo(' i

n+1) + Kmat(' in+1)

c) Berechne ∆' ' und ∆' �

∆' ' = −K−1(' in+1) · r I(' i

n+1, � in+1)

∆' � = K−1(' in+1) · f ext

I

d) Berechne inkrementellen Lastparameter & Deformation

∆� = − f in + K�' · ∆' '

K�' · ∆' � + K��∆' = ∆' ' + ∆� ∆' �

e) Update� i+1

n+1 = � in+1 + ∆� ' i+1

n+1 = ' in+1 + ∆'

f) Konvergenztest

||r I(' i+1n+1, � i+1

n+1)||≤ TOL goto 1.

> TOL goto 2.

91

“nlin˙fem” — 2007/4/7 — 11:52 — page 92 — #96

3 Losungsverfahren

3.5.2 Bogenlangenverfahren – mogliche Nebenbedingungen

Lastkontrolle Standard Newton–Raphson Verfahren

f (' , � ) = � − � p

daraus folgt K�' = ∂' f = 0 und K�� = ∂� f = 1

bzw. ∆� ≡ 0 und ∆' = −K−1 · r = ∆' ' vergleiche 3.1

Verschiebungskontrolle Batoz & Dhatt [1979]

f (' , � ) = ' A − ' pA

mit A... kontrollierter Freiheitsgrad, daraus folgt

K�' = ∂' f = [ 0, 0, .., 1︸︷︷︸A-te Komponente

, .., 0, 0 ] und K�� = ∂� f = 0

bzw. ∆� = −' A − ' pA + K�' · ∆' '

K�' · ∆' � + 0= −' A − ' p

A + ∆' A

∆' Avergleiche 3.4

Iteration auf fixer Normalenebene Riks [1972]

f (' , � ) = [' 1n−' n]·[' i+1

n −' 1n] + 2[� 1

n−� n][� i+1n −� 1

n] f extI · f ext

I − ∆s2

92

“nlin˙fem” — 2007/4/7 — 11:52 — page 93 — #97

3 Losungsverfahren

daraus folgt K�' = ∂' f = ' 1n − ' n und K�� = ∂� f = � 1

n − � n

• altestes Pfadverfolgungsverfahren• ... Wichtungsfaktor• ∆s ... Bogenlange• f linear in ' i+1

n und � i+1n

• f beschreibt Normalenebene zum ersten Tangentenvektor andie Kurve

Iteration auf Normalenebene Ramm [1981]

f (' , � ) = [' in−' n]·[' i+1

n −' in] + 2[� i

n−� n][� i+1n −� i

n] f extI · f ext

I − ∆s2

daraus folgt K�' = ∂' f = ' in − ' n und K�� = ∂� f = � i

n − � n

• f linear in ' i+1n und � i+1

n

• f beschreibt Normalenebene zum aktuellen Tangentenvektoran die Kurve

Iteration auf Kugelflache Crisfield [1981]

f (' , � ) = [' i+1n −' i

n]·[' i+1n −' i

n] + 2[� i+1n −� i

n][� i+1n −� i

n] f extI · f ext

I − ∆s2

• f quadratisch in ' i+1n und � i+1

n

• f beschreibt Kugelflache um letzten Gleichgewichtspunkt• ∆s ... Radius• zwei Schnittpunkte mit dem Gleichgewichtspfad

93

“nlin˙fem” — 2007/4/7 — 11:52 — page 94 — #98

3 Losungsverfahren

Bemerkung: Bogenlangenverfahren sind i.a. robuster als dasStandard Newton–Raphson Verfahren, jedoch sind sie nicht glo-bal stabil, so daß sie moglichst nur in Kombination mit linesearch Techniken eingesetzt werden sollten.

94

Documents

Nichtlineare Finite Elemente - living matter lab Newton–Raphson Verfahren (Verschiebungskontrolle) . . . . . . . . . . . . . .86 3.5 Bogenlangenverfahren . . . . . . . . . .