Nichtlineare Modellierung in den Naturwissenschaften (SS ...€¦ · Gautam Banhatti, Jan Willimzig. sen ben WWU er WESTFÄLISCHE WILHELMS-UNIVERSITÄT MÜNSTER Lithium-Ionen-Akkus

Nichtlineare Modellierung in denNaturwissenschaften (SS 2011)Projekt: Lithium-Ionen-Akkus

Gautam Banhatti,Jan Willimzig 11. Juli 2011wissen leben

WWU Münster

WESTFÄLISCHEW ILHELMS-UNIVERSITÄTMÜNSTER

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WESTFÄLISCHEW ILHELMS-UNIVERSITÄTMÜNSTER Lithium-Ionen-Akkus 2/11

> Übersicht über den Vortrag

Rückblickmathematisches Modellstationäres Problem

FortschrittRobin-Randbedingungen für das elektrische PotentialNeumann-Randbedingungen für die KonzentrationLösung des stationären Systems

AusblickVerbesserung der stationären Lösung

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Gautam Banhatti, Jan Willimzig

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> mathematisches Modell

I Modell in 1-D mit Lithium-Folien-Anode (∂Ω1), festemElektrolyten (Ω1) und fester Kathode mit Li-Einlagerungen(Ω2)

I Für Ω1 mit Poisson- und Nernst-Planck-Gleichung:

L21δ∂τc = DLi+∂x1 (∂x1 c + c∂x1ϕ) , ∂x1x1ϕ = − 1

2ε2 (c− cA) mit

c (x1,0) = c0 (x1) , ϕ (x1,0) = ϕ0 (x1) .

I Für Ω2 mit Diffusionsgleichung:

L22δ% = DLi∂x2x2% mit % (x2,0) = 0.

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2ε2 (c− cA) mit

c (x1,0) = c0 (x1) , ϕ (x1,0) = ϕ0 (x1) .


L22δ% = DLi∂x2x2% mit % (x2,0) = 0.

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2ε2 (c− cA) mit

c (x1,0) = c0 (x1) , ϕ (x1,0) = ϕ0 (x1) .


L22δ% = DLi∂x2x2% mit % (x2,0) = 0.

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> stationäres Problem

I Lösung des stationären gekoppelten Systems

DLi+∂x1 (∂x1 c + c∂x1ϕ) = 0

∂x1x1ϕ = − 12ε2 (c− cA)

(plus Randwerte) führt zu den benötigten Anfangswertenc0 (x1) und ϕ0 (x1) auf Ω1.

I Lösungsansatz: Approximation der Ableitungen durch finiteDifferenzen auf einem äquidistanten Gitter undanschließendes Lösen eines nichtlinearenGleichungssystems.

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> stationäres Problem

I Lösung des stationären gekoppelten Systems

DLi+∂x1 (∂x1 c + c∂x1ϕ) = 0

∂x1x1ϕ = − 12ε2 (c− cA)

(plus Randwerte) führt zu den benötigten Anfangswertenc0 (x1) und ϕ0 (x1) auf Ω1.

I Lösungsansatz: Approximation der Ableitungen durch finiteDifferenzen auf einem äquidistanten Gitter undanschließendes Lösen eines nichtlinearenGleichungssystems.

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> Robin-Randbedingungen für das elektr. Potential

I Gesucht: Φ (X) = Φ0 −∆ΦS.

I Annahme: planare Grenzfläche zwischen Elektroden undElektrolyt→ Plattenkondensator.

I Dann gelten: CS = Q∆ΦS

, E = QAε0εr

und E = −∂X Φ.

I Einsetzen und CS = ACS liefern

−∂X Φ +CS

ε0εrΦ =

CS

ε0εrΦ0 bzw. ∂nΦ +

CS

ε0εrΦ =

CS

ε0εrΦ0

I normiert:∂nϕ+

1γεϕ =

ϕ0

γε.

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I Gesucht: Φ (X) = Φ0 −∆ΦS.I Annahme: planare Grenzfläche zwischen Elektroden und

Elektrolyt→ Plattenkondensator.

I Dann gelten: CS = Q∆ΦS

, E = QAε0εr

und E = −∂X Φ.


−∂X Φ +CS

ε0εrΦ =

CS


CS

ε0εrΦ =

CS

ε0εrΦ0

I normiert:∂nϕ+

1γεϕ =

ϕ0

γε.

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Elektrolyt→ Plattenkondensator.I Dann gelten: CS = Q

∆ΦS, E = Q

Aε0εrund E = −∂X Φ.


−∂X Φ +CS

ε0εrΦ =

CS


CS

ε0εrΦ =

CS

ε0εrΦ0

I normiert:∂nϕ+

1γεϕ =

ϕ0

γε.

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∆ΦS, E = Q



−∂X Φ +CS

ε0εrΦ =

CS


CS

ε0εrΦ =

CS

ε0εrΦ0

I normiert:∂nϕ+

1γεϕ =

ϕ0

γε.

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∆ΦS, E = Q



−∂X Φ +CS

ε0εrΦ =

CS


CS

ε0εrΦ =

CS

ε0εrΦ0

I normiert:∂nϕ+

1γεϕ =

ϕ0

γε.

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> Neumann-Randbedingungen für die Konzentration

I Klassische Modellierung einer Redoxreaktion AB durch

∂tCA = −kvCA + krCB.

I Mithilfe der Eyring-Theorie ki = kBTh−1 exp(−∆G‡i (RT)−1

)und ∆G‡v = ∆G‡0,v − α∆ΦSF , ∆G‡r = ∆G‡0,r + (1− α) ∆ΦSFfolgt

∂tCA = −kvCAeα∆ϕS + krCBe−(1−α)∆ϕS

für geeignete Koeffizienten kv, kr und Normierung∆ϕS = ∆ΦSRTF−1.

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I Klassische Modellierung einer Redoxreaktion AB durch

∂tCA = −kvCA + krCB.

I Mithilfe der Eyring-Theorie ki = kBTh−1 exp(−∆G‡i (RT)−1

)und ∆G‡v = ∆G‡0,v − α∆ΦSF , ∆G‡r = ∆G‡0,r + (1− α) ∆ΦSFfolgt

∂tCA = −kvCAeα∆ϕS + krCBe−(1−α)∆ϕS

für geeignete Koeffizienten kv, kr und Normierung∆ϕS = ∆ΦSRTF−1.

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I Übergang zum Fluss JA und Normierung:

nJA = kvcAeα(ϕ0−ϕ) − krcBe−(1−α)(ϕ0−ϕ)

I Im ModellJA = DLi+∂x1 c + DLi+ c∂x1ϕ.

I Analoge Modellierung für % auf ∂Ω1 ∩ ∂Ω2.

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> Lösung des stationären Systems

I Finite Differenzen→ Koeffizientenmatrizen Lc (ϕ) , Lϕ undFunktionsvektoren Fc, Fϕ (c).

I Bestimmung der Nullstelle der nichtlinearen Funktion

G (c, ϕ) :=

(Lc (ϕ) 0

0 Lϕ

)(cϕ

)=

(Fc

Fϕ (c)

)mithilfe des fsolve-Matlab-Befehls(Levenberg-Marquardt-Algorithmus).

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I Finite Differenzen→ Koeffizientenmatrizen Lc (ϕ) , Lϕ undFunktionsvektoren Fc, Fϕ (c).

I Bestimmung der Nullstelle der nichtlinearen Funktion

G (c, ϕ) :=

(Lc (ϕ) 0

0 Lϕ

)(cϕ

)=

(Fc

Fϕ (c)

)mithilfe des fsolve-Matlab-Befehls(Levenberg-Marquardt-Algorithmus).

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0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.5

1

1.5

2

2.5

3

x1φ

Anfangswerte der Konzentration und des Potentials im Elektrolyten

Konzentration Potential

Abbildung: Vergleich der Lösungen für das stationäre Problem

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0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.10

0.5

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Anfangswerte der Konzentration und des Potentials im Elektrolyten

Konzentration Potential

Abbildung: Vergleich der Lösungen für das stationäre Problem(Ausschnitt)

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> Verbesserung der stationären Lösung

I Zurzeit noch Abweichungen nahe bei 0 und 1.

I Hoher Rechenaufwand und numerische Oszillationen beihoher Stützstellenzahl

I mögliche Verbesserungen:

I Wechsel des Verfahrens, zum Beispiel Finite ElementeI Anpassung der Schrittweite an Gestalt der Lösung→ feinere

Auflösung an den Rändern, weniger Stützstellen im Intervall,da c und ϕ hier nahezu konstant.

I Verwendung eines besseren Lösers

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I Zurzeit noch Abweichungen nahe bei 0 und 1.I Hoher Rechenaufwand und numerische Oszillationen bei

hoher Stützstellenzahl

I mögliche Verbesserungen:




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hoher StützstellenzahlI mögliche Verbesserungen:




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I Wechsel des Verfahrens, zum Beispiel Finite Elemente

I Anpassung der Schrittweite an Gestalt der Lösung→ feinereAuflösung an den Rändern, weniger Stützstellen im Intervall,da c und ϕ hier nahezu konstant.


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