Aeta Meehaniea 16, 93--106 (1973) @ by Springer-VeI.'lag 1973

51iehtlineare Wellenausbreitungsvorgiinge in elastischen Leitungen*

Von

I. Teipel, Hannove r , Bt~D

Mit 7 Abbildungen

(Eingegangen am 29. September 1971)

Zusammenfassung -- Summary

Nichtlineare Wellenausbreitungsvorg~inge in elastisehen Leitungen. Urn die Str6mung in elastischen Leitungen, die mit Fliissigkeit gefiillt sind, zu berechnen, wird neben den Grundgleichungen der Kontinuumsmechanik noch eine Druck-Dehnungsbeziehung benStigt. Unter der Voraussetzung, dab die Wandstgrke der Leitung klein gegenfiber ihrem l~adius ist, hat diese Beziehung eine lineare Form. Durch Zusammenfassung der versehiedenen Glei- chungen ergibt sich ein System yon nichtlinearen hyperbolischen Differentialgleichungen. Es kann gezeigt werden, dab sieh bei Wellenausbreitungsvorggngen ein Aufsteilen einstellt. Ffir die daraus entstehenden Unstetigkeitsstellen werden Gleichungen abgeleitet. Abschliegend wird die Ausbreitung yon Dreieckswellen untersucht.

Nonlinear Wave Propagation in Elastic Tubes. In order to calculate wave propagation ptfenomena in fluid-filled tubes one needs a pressure-strain relation besides the basic equations of continuum mechanics. With the assumption that the wall thickness of the tube is small in comparison to its radius, this relationship is of linear form. By combination of the different equations one gets a system of nonlinear partial differential equations of hyperbolic type. I t will be shown that there is a steepening effect. Formulas for the flow quantities at such a discontinuity have been derived. Finally one has studies the propagation of triangular waves.

1. Einleitung

Es i s t sehon h~ufig dar i iber d i sku t i e r t worden, w a r u m an den per ipheren E n d e n des Ar te r i ensys tems im mensehl iehen Blu tkre i s lauf noeh eine so s ta rke Druekpu l sa t ion auf t r i t t . Man sollte erwar ten , dag die Dgmpfung auf dem Wege vom Herzen so grog sei, dab ein wesent l ieher Teil des Pulses bere i ts a b g e b a u t wgre. Aus Versuehen ergibt sieh abe t das Gegenteil . Solehe und/~hnl iehe F r a g e n wurden ausgiebig auf e inem speziellen Sympos ium 1969 in H a n n o v e r d i sku t i e r t [1]. E ine m6gliehe Erk l~rung daf i i r s tel l te LIEBAU [l], [2] zur Diskussion, i ndem er einen vent i l losen P u m p m e e h a n i s m u s f/Jr diesen Ef fek t ve ran twor t l i eh maehte . Bei dieser Model lvors te l lung sollte die la te ra le Dehnung und Zusammendr i i ekung yon Ar t e r i en eine gewisse F6rderhShe hervorrufen. Sehon bei den ers ten Ver- suehen wurden reeh t i iber rasehende Fes t s t e l lungen gemaeht . So is t zum Beispiel eine une rwar t e t g r o t e FSrderh6he gemessen worden. Bei sp~teren Un te r suehungen s te l l te sieh heraus , dag die Durehf lugr i eh tung yon der Pumpf requenz abhing [4].

* Auszugsweise vorgetragen auf der GAMM-Tagung 1971 in Mannheim.

94 I. T~reEL:

Um eine Deutung yon der Seite der Str6mungsmechanik haben sieh MAtttgEX- gOLTZ [3] und v. BI~EDOW [4] bemiiht. Wollte man diesen Vorgang einer Berech- mmg zuggnglieh maehen, muSten gewisse Annahmen getroffen werden, die dann aueh bei Einzelfragen recht zufriedenstellende Antworten ergaben. Jedoch war eine generelle Erklgrung fiir den gesamten Mechanismus nieht zu erhalten. Ein Grund ist wohl darin zu sehen, dab man relativ einfaehe Ansgtze zur Besehreibung der StrSmung verwendete. Man hat zwar versuch~, die Modellvorstellung zu ver- feinern, indem man die Elastizit~t der 8ehlauehleitungen und das Abweiehen des Fluids yon einer Newtonsehen Fliissigkeit beriicksichtigte [4]. Eine letzte Kl~rung konnte aber nicht gefunden werden.

Hier sell nun yon den Erhaltungssgtzen der Kontinuumsmechanik ausgegangen werden, um den Pumpeffekt naehzuweisen. Es wird eine nicl~tlineare Theorie entwiekelt, mit der die StrSmung in mit Flfissigkeit gefCillten elastischen Lei- tungen berechnet wird. Das Medium sei als inkompressibel betrachtet. Um mehr auf die grundsgtzliehen Erseheinungen einzugehen, sell auf Reibnngseinfliisse verzichtet werden. Damit ist es mSglich, die Gleiehungen fiir FadenstrSmungen anzusetzen, allerdings mit zeitlieh und 5rtlich vergnderlichem Quersehnitt. Weiterhin werden Relaxationseffekte des Sehlauches vorerst nieht beriicksichtigt.

Bei der Untersuchung yon Blutstr6mnngen in Arterien sind ghnliche Glei- ehungen sehon haufiger benutzt worden. Jedoch wurde dabei meistens voraus- gesetzt, dab Klaploen eine I~iickstr6mung yon lVlaterie verhinder~en. Dadurch war es mSglich, aueh mit einer linearisierten Theorie einen FSrdereffekt nach- zureehnen. Ubersichtsartikel fiir diesen Problemkreis sind yon SKAnAJ~ [5] und yon I~VD~Gs~ [6] gegeben worden. Bei solchen Uberlegungen kann man eben- falls auf reeht einfaehe Weise Reibungseinfltisse beriieksichtigen [4], [8]. Neuere Versuche scheinen allerdings darauf hinzuweisen, dab nichflineare Effekte yon Bedeutung sein kSnnen [7].

2. Die Grundgleichungen

Unter den oben genannten Voraussetzungen k6nnen Kontinuitgts- und Be- wegungsgleiehung fiir instationgre StrSmungsvorggnge aufgeschrieben werden:

0A aA aW = 0, (2.1)

W ~W 1 a p _ 0 . (2.2) ~-7-+ W ~ x + ~ ax

D a bd bedeuten ~o die konstante Dich~e, W die StrSmungsgesohwindigkeit, p d e r Druek und A die Querschnittsflgehe des Stromfadens, x und t sind die Lgngen- bzw. die Zeitkoordinate. Der jeweilige Querschnitt ist jetzt allerdings nicht mehr frei vorzugeben wie in der t tydrodynamik, er ist vielmehr an den Druek ge- koppelt. Ffir die Untersuehungen in dieser Arbeit sei vorausgesetzt, dab A selbst ohne Beriicksichtigung der elastisohen Eigensehaften der Wandungen bereits yon x abhgngig sei.

Die Verformungen werden durch die Gesetze der Elastizitgtslehre bestimmt. Ist die Wandstgrke h klein gegenfiber dem Durehmesser D~ der Leitung (Abb. 1),

Nichglineare Wellenausbreitungsvorg~nge in elastischen Leitungen 95

Abb. 1. StrSmung durch eine elastische Leitung

so ergibt sich ffir die tangentiale Spannung

D1 = ~ (p - - pa) (2.3)

mit D1 als Ausgangsdurchmesser und Pa als Aul3endruck. Mit I-Iilfe eines linearen Stoffgesetzes kann dann der neue Durchmesser D ermittelt werden:

n - - D 1 _ _ _ _ /).._~1 . P - - P a (2.4) D1 2h E

E bedeutet dabei der Elastizit/~tsmodul des Wandwerkstoffes, der aus statischen Experimenten entnommen wurde. Selbstverst/~ndlich liegt darin eine Ungenauig- keit, wo doch der Druck orts- und zeitabh/~ngig ist und damit dynamische Vor- g~nge auftreten. Ebenso bringt die Linearit/it yon G1. (2.4) eine gewisse Proble- mat ik mit sich. Unter Umst/inden sollte man die Formiinderungsgesch~dndigkeit mit einbeziehen. Da es bier aber in erster Linie darauf ankommt, prinzipielle Vorgange zu untersuchen, sei zungchst davon Abstand genommen. Der Quer- schnitt erreehnet sich damit aus

A = ~D~----4 ~D:2[ 1 4 d- 2hDlP ~-Pa] 2" (2.5)

Eingesetzt in die Kontinuit~tsgleichung und unter der Voraussetzung, dag der AuBendruek Pa und die Wandst/~rke h konstant sind, ergibt sich ffir GI. (2.1) :

[ ] O_2.p Op hE D1 P Pa at + w ~ + ~l 1 + 2--i. -E ~x

(2.6) + 2 hE W 1 @ = 0 .

D1 --7 -g2z t~

Damit liegt zusammen mit G1. (2.2) ein neues l~ich~lineares, partielles Diffe- rentialgleiehungssystem ffir W und p v o r . Es handelt sich dabei um ein hyper- bolisches System, so da{3 man Wellenausbreitungsvorg/inge mit Hflfe von Charak- teristiken untersuchen kann.

3. Die linearisierte Theorie

Unter der Annahme kleiner St6rungen k6nnen G1. (2.2) und GI. (2.6) linea- risiert werden. Als Problem sei die Ausbreitung sehwacher Wellen in ein ruhendes Medium behandelt (Abb. 2). I m Gebiet 1 soll tin Gleiehgewichtszustand herr-

96 I. TE~EL :

P-Po 7 dg

Abb. 2. Druckwelle im x-t-Diagramm

schen. Somit wird der Aul~endruck Pa mit dem l~uhedruck P0 identisch. Nimmt man dagegen eine gul3ere Erregung an, so miil~te Pa als Funktion von Ort und Zeit als Randbedingung erscheinen. Die linearisierten Gleichungen lauten sodann:

aW q_ 1 ~p = 0 , (3.1) at Q ax

ap h E ~ W h E dD1 a t q- D---/ a--~ q- 2 D12- " dx W = 0 . (3.2)

Nach Elimination yon W ergibt sich schliel~lich eine Wellengleichung mif variablen Koeffizienten :

a~__p_p h_EE . a'~p 2 h__E_E . d D x . a p =: O. (3.3) dt 2 o~ D 1 ~x 2 ~D12 dx ax

Wie man leicht erkennt, ist jetz~ die Ausbreitungsgeschwindigkeit yon x ab- hgngig :

h E a~ - - eD1 (x)" (3 .4)

D l ( x ) bedeutet wieder den Durchmesser der unverformten Leitung. Ffir D 1 -~ const erhitlt man die bekannte Formel yon MoENs und KO~TEWE~.

Eine allgemeine geschlossene L6sung yon G1. (3.3) ist nicht zu finden. Deshalb seien hier die Beziehungen for ein numerisches Charakteristikenverfahren an- gegeben. Eine Vereinfachung der Methode lgl~t sich dadurch erreichen, dub man die Vertrgglichkeitsbedingungen in Form yon Proportionalitgtsbedingungen auf- schreibt:

a ( D ~ W ) 4 JO~ ap __ O. (3.5) 6t ao~ 6t

Die Richtungsdifferenfiation wh~d entlang der beiden charakteristischen Linien v o r g e l l o m i n e n :

6 a a at - - at • ao ~ .

KE~XER und ~u [9] haben Versuche an konischen, elastischen Schliiu- chen durchgefiihrt. Bei der Versuchsanordnung wurclc der Anfangsdurchmesser linear mit der L/inge his auf die H/ilfte verkleinert. Druckattfnehmer waren am Anfang, am Ende und bei etwa 1/s L~nge der Schlauchleitung angebracht. Aus den

Nichtlineare Wellenausbreitungsvorgiinge in elastischen Leitungen 97

Druckdiagrammen ergaben sich Druckspriinge yon 2,1 beim Vergleich der Werte vom Ende zum Anfang, und etwa 1,2, wenn man die Werte yon 1/3 Lgnge und Anfang zugrunde legte.

Um einen Vergleich mit der Theorie vornehmen zu kSnnen, s011 eine L6sung yon G1. (3.3) benutzt werden. Aueh mit der Festlegung, dab D1 proportional zu x wie in [9] ist, 1/il]t sieh keine einfache analytisehe L6sung angeben. Daher sei die N/~herung getroffen, dab man die ver/~nderliche Ausbreitungsgesehwindigkeit a durch einen konstanten Mittelwert am ersetzen darf. Damit ergibt sieh:

~2p 8~p 2 ~p a~ ~ - = 0 (3.6) ~t 2 a m 2 0 x 2 x ~x

mit der Mlgemeinen L6sung:

1 P-P0=--F(x-%t)+--i G(x+%t). x x

(3.7)

Nimmt man die Einzelwelle F ( x - - % t) als spezielle L6sung des vorgegebenen Problems an, so errechnet man ein DruekverhKltnis yon 2 bzw. 1,18 ffir die ge- nannten DruekmeBstellen. Man kann eine zlffriedenstellende ~bereins t immung feststellen. I-Iier spielte offenbar das viskoelastisehe Verhalten des Wandwerk- stoffes nur eine geringe Rolle.

4. Die nichtlineare Theorie

Wie aus der Gasdynamik seit langem bekannt ist, k6nnen stetige Druckwellen nach einiger Laufzeit unstetige Wellcnfronten annehmen. Von mathematischer Seitc betrachtet, h~ngt das mit dem hyperbolischen Charakter der Str6mungs- differentialgleichungen zusammen. Qbertr/~gt man diese Feststellung auf die Untersuchungen yon Schlauchwellen, so mu]~ man auch bier mit nichtlinearen Effekten rechnen. Es soil daher gefragt werden, unter welchen Voraussetzungcn ein so]ches Aufsteilen yon stetigen Wellenfronten bei elastischen Leitungen auL tritt. Ganz/~hnlich wie im vorhergehenden Abschnitt wird wiedcr der Verlauf ciner Druckwelle studiert, die in ein ruhendes Medium 1/iuft. Um den FormaHsmus auch weiterhin fibersichtlich zu gestalten, soil auf die Ver/mderlichkeit yon D 1 mit x verzichtet werden.

I m Ruhegebiet 1 (Abb. 2) herrscht mit Po ~= Pa eine konstante Ausbreitungs- geschwindigkeit a o :

a0 = 1 + 2h E "

Die Str6mungsgr6Ben k6nnen damit am Kopf der Welle x - - a 0 t in folgender Weise entwiekelt werden:

P - - po = K l (x - - aot) + - ~ (x - - aot) ~ ~ . . . . .

L2 (x--aot) 2@ W = L l ( X - - aot) + - ~ . . . ,

(4 .2)

Acta Mech. X V I / i - 2 7

98 I. T~I~L:

wobei K1, K2 . . . . , L1, L2, .. . , Funktionen der Zeit sind. Nach Einsetzen in die Kontinuiti~ts- und in die Bewegungsgleiehung erh/~it man nach kurzer Rechnung schlieBlich:

clK~ 5 t KI 2 == 0 (4.3) at + T e%--~

Nfit den Anfangsbedingungen

t = to:

ergibt sich die L6sung:

X=~Ot

~p KI= KlO=(~x)x=aoto

1 5 K1---~. + ~ (t - to)

(4.4)

Ein Aufsteilen zu einer senkreehten Tangente tritt ein, w e n n K 1 --> oo strebt. Dies erfolgt bei

4 e% (4.5) tk r i t = to 5 KIO"

Die in Abb. 2 skizzierte Welle ergibt also bei negativem K10, wie gezeiehnet, naeh einer bestimraten Laufzeit tkrit einen senkrechten Gradienten im Druek- profil. Es kommt zu einer Unstetigkeit. Dieser Vorgang sei in Analogie zur Gas- dynamik ebenfalls mit Stog bezeiehnet. In den Rechnungen, die sich his in die N~he dieses Zeitpunktes erstreeken, miissen die linearen Gleiehungen dureh niehtlineare Differentialausdriicke ersetzt werden. Nach twit k6nnen an dieser StoBstelle auch die niehtlinearen Differentialgleichungen nieht mehr verwendet werden. Man inug die Erhaltungss~tze heranziehen.

Durch eine einfaehe Abseh/itzung kann auBerdem gezeigt werden, daB, wenn die Leitungen sieh verengen, wenn also bereits D1 mit wachsendem x abnimmt, fiir tin.it kleinere Werte ermittelt werden. Gleichzeitig bedeutet es, dab der Weg bis zum Aufsteflen geringer wird.

Bei Modellversuehen kann man die Bedingung G1. (4.5) leicht erzwingen. Um nun zu entseheiden, ob ein solehes Phs aueh im menschlichen Blutkreislauf auftreten kann, seien entsprechende Mel3daten herangezogen. Aus [1] entnimmt man dem Aufsatz yon WETT~J~]~, dab zum Beispiel tier Anstieg des Druekpulses in der Arteria femoralis etwa Alp~At = - - 0 , 4 7 5 k p / e m 2 s e c betr/~gt. Bei einer Diehte des Blutes yon @ = 108 kpseeU/m a und einer Pulsgesehwindigkeit von 5 m/see erh/~lt man demnaeh

z~ t : tk r i t - - t o ~ - 0 , 4 5 s e e .

Aus der auf S. 99 angegebenen Tabelle finder man fiir den Weg

d x = x~.it -- x0 = 227 era.

Eine solehe Entfernung ist in der Tat zu grog, um einen StoB im mensehlichen Blutkreislauf entstehen zu lassen. Da A x yon der dritten Potenz yon a0 abh~ngt, ergibt sieh eine grebe Empfindlichkeit gegenfiber Anderungen der Pulsgesehwin-

Nichtlineare Wellenausbreitungsvorg~nge in elastischen Leitungen 99

digkeit. Sehon bei a 0 = 3 m/see liegt A x bei 50 cm, ein Wert, der durehaus realisierbar ist. Absehliegend sei bemerkt, dab bei der Reehnung unberfieksiehtigt geblieben ist, dab der unbelastete Querschnitt der Arterien sieh verkleinert. Untersuehungen an I-Ierzkranken, bei denen ein besonders starker Druekpuls auftrat, haben St6ge ergeben [10].

a 0 (cm/see) 100 200 300 400 500

Ax (cm) 1,8 14,5 49,1 116 227

5. Das nichtlineare Charakteristikenverfahren

Zur Integration der nichtlinearen DffferentiMgleichungen wird die Charak- teristikentheorie herangezogen. Dabei wird, wie in [11] beschrieben, vorgegangen. Aus G1. (2.2) und G1. (2.6) erh/~lt man die Richtungsbedingungen:

|1~hE II @ D1;--~ -a] (5.1) ~X - w + a = w :~ 2~

Das obere Vorzeichen wird der linkslgufigen Charakteristik, das positive Vor- zeichen der rechtsl~ufigen Charakteristik zugeordnet. Die neuen Vertri~glichkeits- bedingungen sollen so umgeformt werden, dab man Proportionalit~tsbeziehungen gewinnt. Dutch geschickte Anordnung der einzelnen Glieder ergibt sich:

d_ (WaaDla) ::F a3D14 -~ -{- = O. (5.2) 5t

Die Differentiationsvorsehrift d/d t ist ls der durch G1. (5.1) gegebenen Rich- tungen zu erstrecken:

d ~ 8 d-~ = ~-5 + (W :F a) - - . (5.3) ~x

Die beiden neuen Ver~nderlichen in G1. (5.2) erlangen eine besondere Be- deutung in einer station~ren StrSmung. W/ihrend WaaD1 ~ die Konstante ffir den MassendurchfluB darstellt, ergibt W~/2 @ p/~ die Energiekonstante. Ffir den Fall, dab D 1 = const ist, erh/ilt man wesentlich einfaehere Ver~r/~glichkeits- bedingungen. Wie man leieht zeigen kann, geht G]. (5.2) fiber in

! ( w ~ 4a) = 0 (5.4) 6t

oder W ~ 4a = eonst,

wobei die Konstante jewefls fiir eine Charakteristik gilt. Es ergibt sieh, genau wie in der Gasdynamik bei ebenen, isentropen Wellen, eine gesehlossene L6sung. Ferner 1/~Bt sieh eine einfaehe AnMogie feststellen. Setzt man das Verh/iltnis y der spezifisehen W/irmen gleich 3/2, so sind die Ergebnisse aas der Gasdynamik mit denen yon Ausbreitungsvorggngen in elastisehen Leitungen identiseh. Mit Hilfe

7*

100 I. TEIPEL :

dieser Analogie k6nnen nun zum Beispiel Wellenreflexionen an offenen oder ge- sehlossenen l%ohrenden ohne Sehwierigkeiten behandelt werden. Ebenso k6nnen damit Verzweigungen berechnet werden, 1

6. Der StoB

Zur Bestimmung des Druck- und des Geschwindigkeitssprunges quer znr StoBfront mfissen die S~tze yon der Erhaltung der Masse und der Bewegungs- gr6Be herangezogen werden. Zungehst sol]en stations Vorgange besprochen wet- den. Ein ~bergang zu instation~ren StoBwellen lgBt sich dann auf relativ einfache Weise vornehmen. Bezeiehnet man die Gr6Ben hinter dem StoB mit ~ , ~ . . . . . so lauten die Erhaltungssatze:

r = W A , ( 6 . 1 )

~ ~ W~ T + - + ~ . # 2 Q

Mit G1. (2.5) kann wieder A eliminiert werden. Es bleiben nur der Druek und dio Geschwincligkeit ~ls Unbekannte zurfiek:

l* 1+2-- / E = W ~ 2h :E (6.2)

1# + ~ W ~ _ _ _ + ~ . 2 Q 2

Betrachtet man W und p a l s gegeben, so k6nnen hieraus ~ und :b ermittelt werden. Nach ls elementarer Rechnung erhglt man eine Gleichung 4. Grades ffir den Gesehwindigkeitssprung :

+ - ~ + ~ 7 \ F / - l + ~ ~ + M~ = 0 . (6.3)

Als Parameter tritt eine neue Kennzahl M, auf, die ganz 8hnlich wie die Mach- zahl gebildet wird:

W W M~ -- -- . (6.4)

a hE i + 2h

Da eine geschlossene L6sung von G1. (6.3) nicht zu erhalten ist, sollen die Ergebnisse ffir den Geschwindigkeits- bzw. den Drucksprung graphisch dargestellt werden. So sind in Abb. 3 die reellen Wurzeln ffir I?V/W ffir positive Werte yon M e aufgetragen. Dabei ergeben sich drei markante Kurvenzfige. Der wichtigste Kurvenast ist die durchgezogene Linie. Sie beginnt bei Me = 1 und I?V/W = 1 und li~uft nach rechts zu gr6Ber werdendem M e. Fiir M e < 1 ist diese Kurve gestrichelt verl~ngert worden. Sie fiihrt zu Verdfinnnngsst6Ben, Str6mnngen also, bei denen der Druck hinter der StoBfront geringer ist als davor. Um diese Vor-

1 Ffir eine Umreehnung des Druckes kann diese AnMogie nicht direkt benutzt werden.

Nichtlineare Wellenausbreitungsvorg~nge in elastisehen Leitungen 101

2,0 - -

~s

/,0

~J

- \ \

\ \

z,o J,~ ~e

A b b . 3. Geschwindigkeit hinter einem StoB

q,u

7

~o

2,o

~u

/ # //~1 / i ~'/ i l l

/ / / I / / I

/ / I

~,o ZO

_ _ _

Abb. 4. Druck hinter einem StoB

~ o

g/~nge im einzelnen zu verfolgen, sind die entspreehenden Druckverl~ufe in Abb. 4 aufgezeiehnet. W~hlg man das Druckverh~ltnis ~/p als unabhangige GrSl~e, so kann man bei gesehickter Umformung rela, t iv einfaehe Beziehungen linden:

- - 2' (6.5)

a 2 p a ~

Spezielle Eigensehaf~e n der elastischen Leitung und des durehstr6menden Mediums werden dutch den Faktor plea 2 beriieksiehtigt, Wie man aus Abb. 4

1 0 2 I . T E ~ L :

erkennt, vergr6i~ert sich das Druckverhs ffir die durchgezogenen Kurven/~ste mit abnehmendem p/~ a 2 bei gleichem Me.

Solche Verl/~ufe fiir W/W und pip wfirde man aueh in Analogie zur Gas- dynamik erwarten. Ffir die gestriehelten Kurven finder man dagegen eine Druck- abnahme fiber die StoBfront. Man erh~lt sogar bei pica 2 ~ 2 negative Drficke bei kleinem M s. Da damit keine physikalisehe Bedeutung zu verbinden ist, seien diese Kurvenzfige yon den weiteren Uberlegungen ausgesehlossen. Das gleiche trifft auch fiir die striehpunktierte Kurve in Abb. 3 zu. Aueh hier ffihren die Werte h/~ufig auf negative Drfieke. Fiir die StrSmung werden daher nur die aus- gezogenen Linien in Abb. 3 and Abb. 4 sinnvolle Ergebnisse liefern.

Um nun auf instationi~re StoBwe]len fiberzugehen, wird ein Wechsel des Be- zugssystems vorgenommen. In dem neuen System l/iu~t der Stol~ mit der Ge- schwindigkeit U ---- -- W. Man hat daher W durch -- U and ~ durch d W - - U zu ersetzen. A W ist die Gesehwindigkeitsdifferenz fiber den StoB. Geht man mit diesen Beziehungen in Gl. (6.3) ein, so lautet die neue Gteiehung fiir die dimensions- lose Geschwindigkeitsdifferenz :

(~)~-~ (~)~ + ~ (~- ~) (~; - - - - - - 6 - - 1 6 - - 1 ~ 0 .

(6.7)

-5 -~ J ~ -/ 0 / Z J ~' J ,dW

Abb. 5. Instation~rer Stog

Es ergibt sich ebenfalls wieder eine Gleiehung 4. Grades. In Abb. 5 ist nua nieht direkt die L5sung dieser Beziehung aufgetragen. Man hat vielmehr die StoBgesehwindigkeit U/a dureh das Druckverh/~ltnis ~/p ersetzt. Als Parameter geht dann wieder, wie zu erwarten war, der Wert yon plea 2 ein. Der Vollst/~ndig- keit halber sei auch noch die Formel dazu angegeben:

_ _ . ( 6 . 8 ) _ _ 1 ~ ~oo~ (~ ~) ~ ~ ~o~ ( ~ ) § ~ (~;(~ ~)~

Nichtlineare Wellenausbreitnngsvorg~nge in elastischen Leitungen 103

Im tIinblick auf die nichtlineare Theorie im vorhergehenden Abschnitt sind besonders schwaehe StSl~e von groBer Bedeutung. Zu diesem Zweeke seien in G]. (6.7) Entwieklungen naeh U/a- 1 eingetragen. Man erh/~lt sehlie$lieh:

- = + . . . , ( 6 . 1 0 ) p p p

- - -~ d- . . . . (6.11)

Wie man leicht zeigen kann, gilt auch weiterhin ~iir die erste Ordnung die Beziehung, da6 die Sto6riehtung Winkelhalbierende der beiden Charakteristiken ist, die hi die Sto{3linie hineinlaufen:

1 u : -~- (a ~- d + A W). (6.12)

7. Nichf l ineare A u s b r e i t u n g y o n W e l l e n

~achdem die Formeln ffir sehwaehe St6Be bekannt sind und der Verlauf des Gradienten einer Welle untersucht worden ist, soll jetzt die Ausbreitung yon Dreieckswellen behandelt werden. Bei diesen Wench sei der Druckverlauf in Form eines S~gezahnes mit abschlieBendem schwachen StoB gegeben (Abb. 6). Der lineare Anstieg im Punkte P1 ist durch die Beziehung G1. (4.4) festgelegt. Bei P2 wird dann diese Verteilung an die Gleichungen des schwachen StoBes ge- koppelt.

6 ~ zz

Abb. 6. Verlauf einer Dreieckswelle

MAt l ~ls zeitlich ver~nderlicher Wellenl~nge ergibt sich fiir den Druck im Punkte P2, ausgedrfickt dureh den Gradienten im Punkte PI:

= l (7 .1) \ Po /~ Po

Vor und hinter der Welle werde der Ruhedruck Po erreicht. ]~ber die StolL formeln G1. (6.10) kann der Druck an die Sto3geschwindigkeit gebunden werden:

Po /2 Po -~o-- 1 . (7.2)

104 I. TEIVEI~ :

Der StoB befindet sich zm " Zeit t an der Stelle:

x = aot + 1. (7.3)

Dam_it ermittelt man eine StoBgeschwindigkeit zu

dx dl U - - dt - - a~ + d--t" (7.4)

Zusammen mit G1. (7.1) und G1. (7.2) l~Bt sich U und P2 eliminieren, und es ergib~ sich schHeBlich eine Differentialgleichung fiir die Wellenl~nge:

dl 1 1 1

dt 1,6 9a0 1 5 K1-- ~ + 4 ~ o(t-to)

= o . ( 7 . 5 )

Mit den Anfangsbedingungen, dab zur Zeit t = to die Wellenl/~nge l lo betr/s lautet die L6sung:

/ V I + 1 , 2 5 K l ~ 1 7 6 ~ 1) (7.6) lo ~ ao

MAt wachsender Zeit nimmt die Wellenl~nge also quadratisch zu. Anstelle der Zeit kann auch die Koordinate des FuBpunktcs des S~gezahnes x = aot ein- getragen werden.

Manchmal scheint es zweckmi~$ig zu sein, die AusgangsstoBst~rke einzu- ffihren. Aus G1. (7.1) und G1. (7.2) folgt dann sofort:

l o ---- 1,6 ea~

Eingesetzt in GI. (7.6) ergibt:

Die jeweilige StoBgesohwindigkeit erhglt man durch Differentiation nach der Zeit :

dl ao ~ (Uo ao)

dt oder

(U - - ao)l = (Uo - - ao)4 . (7.9)

Dieses Ergebnis besagt im wesentlichen, dab der Gesamtimpuls innerhMb der Welle bleibt. Die schraffierten Dreiecke in Abb. 6 haben daher gleichen Inhalt. Alle diese Resultate treten in ghnlicher Form auch in der Gasdynamik bei Aus- breitungsvorggngen ebener Wellen auf.

Zur Verdeutlichung dieser Beziehungen sollen Zahlenwerte eingetragen werden. Als AnfangsstoBstgrke sei Uo/ao = 2,0 gewghlt. Nach einer Lauflgnge yon a o ( t - t o )= 25 cm vergr6Bert sich die ursprfingliche Wellenlgnge lo, die rait 25 cm angenommen war, auf das 1,74fache. Die neue StoBsti~rke betrggt nur

Nichtlineare WellenausbreitungsvorgEnge in elastischen Leitungen 105

noch U/ao ~ 1,58. Man sight, dab aueh ohne Berficksichtigung der Reibung Gin Abflachen yon Wellenfronten stattfindet. Allerdings kann diese Theorie keine Abrundungen yon Wellenkopf und WellGnfuB erfassen.

Um den FSrdereffekt der nichtlinearen Theorie zu erkl/iren, wurde der Aus- breitungsvorgang einGr N-Welle berechnet. Ala RechenvGrfahren wurde dabei dig Theorie schwacher St51~e mit der Charakteristikenmethode gekoppelt. Die Er- gebnisse sind in Abb. 7 dargestellt. Eine solche Ausgangsform ist gew/~hlt worden,

#) i \

/ i , / / . . I -

I

i V - -

o -&o o Lo go J,o ~,o go

Abb. 7. Teilchenbahn in einer N-Welle

weft sich jede Sinuswelle naeh einer Zeit zu einer solchen Gestalt entwiekelt. Die StoBst~rkG bei t --- t o betr/~gt am Wellenkopf bzw. am Wellenende Uo/a o ~ 2.0. Die lineare Theorie ist dutch schwach gGzeichnete Linien eingetragen. ~Tie man dutch die beiden begrenzenden Charakteristiken sieht, ~ndert sich dig Wellenl/inge nicht. Ebenso blGibt dig DruckvGrteilung erhalten. Bei xllo = 2.0 ist eine Teilchen-

bahn eingezeichnet. Nach dem Durchgang durch dig ganze Welle bei ao (t -- to) __ 3,0 lo

befindet sich das Teflchen immer noch an der gleiehen Stelle (gestrichelte Linie). Man kann auch mehrere solcher N-Wellen hintereinander anordrlen, eine Medien- f6rderung finder trotzdem nicht statt.

Ganz anders liegen dig Verh~ltnisse in der nichtlinearen Theorie. DiG Begren- zung der Welle ist durch die stark ausgezogenen StoBlinien gegeben. Es tri t t eine Verbreiterung der Welle auf. Von gr6Berem IntGresse ist hier wieder die Teilchen- bahn. Unmittelbar nach Passieren der StoBfront erhglt man einen Knick. Bei

a ~ t~ 2.5 hat das Teilchen seine gr6Bte Auslenkung erreicht. Es gelangt l0

sodann in den Bereich des Unterdruckgebietes und bewegt sich damit wieder nach

t06 L TEre~L: Niehtlineare Wellenausbreitungsvorg~nge in elastisehen Leitungen

links. A m E n d e d e s D u r c h g a n g s d u r c h d i e g u n z e W e l l e ( e twa bei a~176 ~ 6 , 0 )

h a t es die K o o r d i n a t e x/1 o ~.~ 2.4 erreieht . D a m i t wurde gezeigt, dab eine effekt ive F6 rde rung m6glieh ist. Als Fo lge rung ergibt sich daraus , dab auf Grund der nieht- l inearen Theorie puls ierende S t rSmungen in e las t ischen Le i tungen einen Massen- t r a n s p o r t bewirken.

Versuche mi t schwachen StSl3en s ind yon Z~LLER, TALKUDER und L o R ~ z [12] durchgef i ihr t worden. Dabe i ergab sich al lerdings, dab die t~elaxat ionseffekte des Schlauches eine so bedeu tende l lo l le spielen, dab eine U b e r e i n s t i m m u n g m i t den hier durchgeff ihr ten l~echnungen n ich t mSglich war.

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Pro[. Dr.-Ing. Ingol/ Teipel Technische Universit~it Hannover

Lehrstuhl A liar Mechanik Appelstr. 24 B

D-3000 Hannover BRD