Noch einige Ungleichungen für charakteristische Funktionen

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Noch einige Ungleichungen fürcharakteristische FunktionenHåkan PrawitzPublished online: 15 Oct 2012.

To cite this article: Håkan Prawitz (1991) Noch einige Ungleichungen für charakteristischeFunktionen, Scandinavian Actuarial Journal, 1991:1, 49-73

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Scand. Actuarial J. 1991; 1:49-73

Noch einige Ungleichungen fur charakteristische Funktionen

HÄKAN PRAWITZ

Prawitz H. Noch einige Ungleichungen für charakteristische Funktionen. Scand. Actuarial J. 1991; 1: 49-73.

The paper can be seen as the third part of a work that also comprises articles published in 1973 and 1975. lt concems inequalities and bounds for the characteristic function f of a random variable X. The first result consists of two inequalities (62) and (63) for lf<u)Jl. The second result is a bound ( 64) for lf(u)j2 when the underlying probability distribution of X is restricted to a class with certain fixed moments.

The third result is a remainder term estimate ( 66) for the Taylor expansion of f(u) for an odd number of terms. The fourth and fifth results are inequalities (71) and (72) for lf<u>l when the underlying probability distribution has an absolutely continuous component satisfying two different kinds of regularity conditions.

Finally, some errors in Prawitz (1975) are corrected. Key words: Characteristic functions, bounds.

1. EINLEITUNG

Der vorliegende Aufsatz ist eine Fortsetzung von Prawitz ( 1973) und Prawitz ( 1975), unten-der Kürze wegen-mit P73, bzw. P75 bezeichnet. Formeln mit den Nummern (1)-(21) beziehen sich auf P73 und solche mit den Nummern (22)-(61) auf P75.

Mit X bezeichnen wir eine stochastische Veränderliche, welche die Verteilungsfunktion F(x) und die charakteristische Funktion /(u) = E exp(iuX) hat. In den Abschnitten 2-5 unten benutzen wir die Bezeichnungen a. = EXV; ß. = E\X!•. In 2-4 nehmen wir a1 = 0 an und führen die Bezeichnungen u 2 = a2 und p. = ß. tu• ein.

In (24) wurde wenn G und p1 gegeben sind, eine für lul ~ 1tp 1/G gültige Majorante von lf(u)jl dargestellt. Zwecks Schärfung und Vereinfachung von (24) beweisen wir unten in 2 die Ungleichungen

IJ(u)l2 ~I - p~G2u2 + 4Kpl G31ul3

lf(u)l2 ~ l-(p1/2)[1-cos(2Giui/P1 )](00 ~2Giui/P1 ~21t)

(62)

(63)

wo ";;;:;: 0.099162 und 00 ;;;:;: 3.995896 die in P73 definierten Konstanten sind. Die Schärfe der Ungleichungen ( 62) und ( 63) wird unten in 3 untersucht.

Wir bezeichnen mit § 3(a1 , ß2 , ß4 ) die Klasse von Verteilungsfunktionen mit vorgegebenen a 1, ß2 , ß4 • Dann beweisen wir unten in 44.

sup[lf(u)I2 :F(x) e § 3(0, u2, ß4 )]

= 1 - 2[ 1- cos(uuJ p4 + 3)]/(p4 + 3) (G\ul~ ~ 21t) (64)

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50 H. Prawitz Scand. Actuarial. J. 1

Setzen wir

11-1

r"(u) = f(u) - L a.,(iu)"fv! (65) •-0

gilt bekanntlich lr"(u)l ~ ß" lul"/n!. Diese Ungleichung schärfen wir für ungerade n, indem wir in 5 die Ungleichung

jr11(u)j ~[nja."l +(n +2)ß .. llul"/[2(n + 1)!] (66)

beweisen. Für gewisse Zwecke braucht man eine Majorante M(u) von jj(u)j, welche die

Bedingungen M(u) < 1 für u :# 0 und tim supJul .... oo M(u) < 1 erfül1t. Eine solche Majorante kann man nicht erzielen, wenn man z.B. nur gewisse Momente von F(x) vorschreibt. Betrachten wirz.B. eine sogenannte "gitterförmige Verteilung", d.h. eine reine Sprungfunktion F(x), deren Sprungpunkte alle einer Menge a + vh (v = 0, ± 1, ±2, ... ) angehören, gilt nähmlich lf(u)l = 1, wenn u == 2/Ttnjh, wo n eine beliebige ganze Zahl ist. Es ist daher notwendig, irgendwie die Entfernung der gegebenen Verteilung von den gitterförmigen Verteilungen zu messen. Diese Messung wollen wir hier folgendennassen ausführen. Wir nehmen an, dass F(x) eine absolut stetige Komponente enthält und führen für diese irgend ein geeignetes Stetigkeitsmass ein.

Dem Vorstehenden gernäss nehmen wir also F(x) = F0 (x) + F1(x) an, wo F0 (x) und F1 (x) nicht negativ und nicht abnehmend sind, F0 (x) absolut stetig ist und

f_00

00

dFo(X) = A > 0 (67)

Dann führen wir das eine oder das andere von den beiden folgenden Stetigkeitsmasse von F0 (x) ein:

I. In jedem Punkte x, wo F~(x) existiert, gilt F~(x) ~ 'P(x), wo 'P(x) eine in einem Intervall (- oo, x0 ) wachsende und konvexe und in (x0 , oo) abnehmende und konvexe Funktion ist. Wir nehmen max['P(x0 - ), 'P(x0 + )] = 'P0 < oo und

J_'lO"' 'P 0(x) dx = .I < oo (68)

an.

II.

J:oo F0(x)2

dx = B < oo '(69)

J:oo (x- x0 ) 2F~(x) 2 dx = C < 00 (70)

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Scand. Actuarial J. 1 Noch einige Ungleichungen für charakteristische Funktionen 51

In den Annahmen I und II erhalten wir die Ungleichungen

Alu2

IJ(u)l ~ 1- (2j6'1'o + Jlul)2

bzw.

kA 5u 2

lf(u) I ~ 1 - I.2B2 + BCu 2

wo

k = 6( 138 -7./6)/(557t2);,: 0.02351

(71)

(72)

(73)

Die Ungleichungen (71) und (72) werden unten in 7 bzw. 8 bewiesen, nachdem gewisse für beide Beweise gemeinsame Fragen in 6 behandelt worden sind. Es wird ausserdem bewiesen, dass die numerischen Konstanten in (71) die bestmöglichen sind. Was die Ungleichung (72) betrifft, wird bewiesen, dass die in (73) angegebene Konstante k die bestmögliche numerische Konstante ist, und dass der Faktor 1.2 von B2 nicht durch eine numerische Konstante, kleiner als 0.653, ersetzt werden kann.

In 9 werden schliesslich einige Fehler in P75 berichtigt.

2. BEWEIS VON (62) UND (63)

Wenn a und b gleich den in (9) bzw. ( 10) definierte Funktionen des Parameters 0 sind, wo 0 e [00 , 27t], gilt die Ungleichung cos x ~ 1 - ax 2 + blxl3 und somit

cos[u(x- y)] ~ 1 - u2(x- y)2(a- blul· lx- Yl)

Die Ungleichung

cos[u(x - y)] ~ 1 - 2u2(lxyl- xy)(a - blul· lx- Yl)

(74)

(75)

ist selbstverständlich, wenn a- blullx- Yl ~ 0, weil die rechte Seite in diesem Falle nicht kleiner als 1 ist. Andernfalls folgt (75) aus (74) und der Ungleichung (x-y) 2 ~2(ixyi-xy). Es gilt (jxyl-xy)lx-yl=<lxyl-xy)(lxi+IYI), weil lxyl- xy = 0, wenn x und y denselben Vorzeichen haben, und lx- Yl = lxl + lvl. wenn x und y entgegengesetzte Vorzeichen haben. Die Ungleichung (75) können wir deshalb auch

cos[u(x- y)] ~ 1- 2au 2(lxyl- xy) + 2blul3<lxyl- xy)(lxl + lvl> (75a)

schreiben. Wenn die stochastische Veränderliche Y dieselbe Verteilung wie X hat, folgt aus EX = EY = 0, dass EXY = EXYIXI = EXYI Yi = 0. Die Ungleichung I f(u)jl = E cos[(X- Y)u] ~ M(O), wo

M(O) = 1 - 2aßru 2 + 4bß1 a21ul3

folgt dann aus (75a). Aus (9) und ( 10) folgt aß= lJbß und mithin

M'(O) = -2u 2ßtb~(ßt 0- 2a 2lul)

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52 H. Prawitz Scand. Actuarial. J. I

In P73, S.l4, wurde bewiesen, dass die Funktion W(9) = -94b9 =

6( 1 - cos 9) + 92 cos 9 -49 sin 9 in [90 , 2x] positiv ist. Im Falle Iu I~ ßt90 /(2CT2

) ist daher M(O) wachsend in (90 , 2x], und wir wählen dann am besten (} = 00 • Weil a = ~. b = K für(}= (}0 folgt dann (62). Die Wahl 0 = 00 ist immer zulässig, und (62) gilt daher für alle u. Im Falle 2CT 2Iul/ß1 e (00 , 2x] erreicht M(9) sein Minimum für 0 = 2CT 2julfß1 und das Minimum ist gleich der rechten Seite von (63), welche Ungleichung somit bewiesen ist.

3. ÜBER DIE SCHÄRFE VON (62) UND (63)

Die rechte Seite von (62) ist grösser als die von (63), was aus (12) folgt, wenn man x = 2CTiul/p 1 setzt. Bei Untersuchung der Schärfe von (62) und (63) betrachten wir deshalb (62) nur im Falle 2alui!Pt < 00 , wo (63) nicht gilt.

Wir wollen zunächtst beweisen, dass ( 62) und ( 63) zusammen eine schärfere Abschätzung von I f(u)jl als (24) geben. Zur Vereinfachung führen wir statt u die Veränderliche t = alul/p1 ein, wodurch (62) und (63) in die Ungleichungen

I f(u)l2 ~ 1- p1t2( 1 - 4Kt) t E [0, 00/2] (76)

IJ(u)l2 ~ 1- P1 sin2 t t e [00 /2, x] (77)

übergehen. Nach (24) ist I f(u)jl ~ - cos t/10 , wo

t/10 = J 1t2

- 2xp 1 alul + 2a2u2 = Jx 2- 2p~t(x - t)

und es soll daher bewiesen werden, dass die rechten Seiten von ( 76) und ( 77) in den angegebenen Intervallen kleiner als -cos t/10 sind.

In (0, 27t) ist (I - cos x)/x 2 abnehmend, und für x e [0, x/2] gilt somit cos x ~ I - 4x 2/1t 2

. Weil t/10 ~ x, folgt daher

-cos t/10 = 1- 2cos2(t/lo/2) ~ 1- 2(1- t/1Ux 2)

2 =I- 8p1t 2(tr- t) 2/x 4 (78)

Nach (76)-(78) genügt es mithin die Ungleichungen

8(1t - t) 2 ~ 1t4( I - 4Kt) I e [0, 00 /2]

2j21(1t - I) ~ 1t 2 sin I I E (00 /2, 1t)

zu beweisen. Die Differenz zwischen der linken und der rechten Seite der vorigen Ungleichung ist eine konvexe Funktion von t, und da diese Ungleichung für t = 0 und t = 00 /2 gilt, gilt sie somit auch in [0, 00 /2). Die letztere Ungleichung folgt aus "t sin x ~ x(7t- x), welche Ungleichung für x e [0, 7t/2] in P75, S. 28 bewiesen mrde, und welche dank der Symmetrie auch in [7t/2, x] gilt.

Zur weiteren Beleuchtung der Schärfe von (62) und (63) vergleichen wir die dort :mgegebenen Majoranten von I f(u)jl mit den Ausdrücken für I f(u)j2 von zwei Jesonderen Verteilungsfunktionen, welche der in P75, S. 21, eingeführte Klasse F0(0, ß1, a 2) angehören. Die erste dieser Funktionen, die wir mit F2(x) bezeichnen, soll eine reine Sprungfunktion mit nur zwei Sprüngen sein. Wenn die Sprungpunkte x 1 und x2 sind, wo x1 < 0 < x2 , findet man x2- x 1 = 2a 2/ß1; -x1x2 = a 2 und die

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Sprünge sind p 1 = ßd( -2x1), bzw. P2 = ßd(2x2). Hieraus folgt für die charakteristische Funktion /2(u) von F2(x)

(79)

Die zweite Verteilungsfunktion soll in Bezug auf den Punkt x = 0 symmetrisch sein. Dann ist ihre charakteristische Funktionf(u) reell, undf(u) = E cos uX. Unter solchen symmetrischen Funktionen von der Klasse F0(0, ß1, u2) soll F(x) diejenige sein, deren charakteristischen Funktion bei vorgegebenem u den grösstmöglichen Wert annimmt. Um jene Funktion zu finden, benutzen wir die in P75 bewiesene Ungleichung cos x ~ P(lxl), wo P(x) in (56) definiert wird. Diese Ungleichung gilt, wenn t/1 e (0, 7t], und wir erhalten unter diese Voraussetzung für eine symmetrische Verteilungsfunktion F(x) von der Klasse F0 (0, ß1, u2)

f(u) = E cos uX ~ EP(IuXI) = M(t/1)

= -cos 1/1 -(I/I /2)sin 1/1 + sin 1/1(7t 2- 27tß1lul + u2u2)/(21/1)

und, weil t/1 eine beliebige Grösse in (0, 7t] ist, gilt somit f(u) ~ min.; e <O. ,.1 M(t/1). Aus

21/1 2M'(l/l) = (sin 1/1 -1/1 cos 1/1)[1/1 2- (7t2- (7t 2- 27tßllul + u2u2)]

folgt, dass min M(t/1) für

1/1 = 1/12 = J7t2- 27tß1lul + u2u2

erreicht wird. Setzen wir ulul ~ 27tp1 voraus, ist 1/12 ~ 7t, und wir können dann 1/J = 1/12 wählen und erhalten f(u) ~ M(t/12) = -cos 1/12• Das Gleichheitszeichen in dieser Ungleichung kann erreicht werden. Um die Verteilungsfuntion F(x), für welche dies zutrifft, zu finden, bemerken wir, dass das Gleichheitszeichen in den Ungleichung cos x ~ P(lxl) für lxl = 7t ± 1/1 und nur für diese Werte gilt. Deshalb kann das Gleichheitszeichen in der Ungleichungf(u) ~ M(t/1) nur dann gelten, wenn F(x) eine reine Sprungfunktion ist mit Sprünge nur in den vier Punkten x = ±(7t ± 1/1)/lul. Wir betrachten nun eine symmetrische Funktion F(x) diser Art und nehmen an; dass sie die Sprünge p1 und P2 in ±(7t - 1/1)/lul, bzw. ±(7t + t/1)/lul hat. Aus den drei Gleichungen 2(p1 + p2) = 1; EIXI = ß1; EX2 = u2 erhalten wir dann die Lösungen

1/1 = 1/12; P1 = (1/12- ß.lul + 7t)/(47t2) ~ 0;

P2 = (1/12 + ß1lul- 7t)/(41/12) ~ 0.

Die so gefundene Verteilungsfunktion mit den vier Sprünge in ±(7t ± t/12)/lul bezeichnen wir mit F4 (x), und ihre charakteristische Funktion ist für den vorgegebenen Wert von u gleich / 4 (u) = -cos 1/12•

Mit der oben eingeführte Veränderliche t = ulu1Jp1 erhalten wir

lf2(u)jl = 1 -Pt sin2 t (80)

IJ.(u)jl = 1- sin2 t/12(t) (81)

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wo

1/12(t) = Jrc2- pit(2rt- t)

und wir haben mithin die durch (76) und (77) dargestellte Majorante mit den rechten Seiten von (80) und (81) zu vergleichen. Zunächst bemerken wir, dass jene Majorante in t e (0, rt) kleiner als eins ist, und nach (80) ist dies Intervall das grösstmögliche, wo eine Majorante von lf(u)\2 kleiner als eins sein kann.

Wir untersuchen zunächst die Schärfe von (77) und beschränken uns daher auf das Intervall t e [90 /2, rt}. In Betracht der Ähnlichkeit der rechten Seiten von (77) und (80) fragen wir, welche Bedingungen eine von t unabhängige Funktion g(p1)

erfüllen muss, damit 1- g(pt)sin2 t eine Majorante von lf(u)jl sei. Aus (80) und (81) folgen dann die notwendigen Ungleichungen g(p1) ~ p~, bzw.

(82)

Aus t/12 (1) ~ rcJt -PT folgt t/12 (1) ~ rt/2, wenn p1 ~ J3/2, und unter dieser Voraussetzung ist daher sin t/12(1) eine wachsende Funktion von I. Weil 00 /2 > n/2 ist sin tabnehmend in [90 /2, rt} und somit sin t/1 2(1)/sin t dort wachsend. Das Minimum in (82) wird mithin für t = 00 /2 erreicht, und (82) gibt daher g(p1) ~ [sin 1/12(0o/2)/ sin(80 /2W Lassen wir Pt -+0, wird t/12(00 /2) = n- p~00(2rt- 00 /2)/(4rc) + O(p1)

und wir erhalten die notwendige Bedingung tim supp 1 ... 0 !K<Pt>IP11 ~ {00(4n- 00)/

[8rt sin(00 /2)]}2 :::::: 2.24147. Wir betrachten nun Funktionen g(pt) = kpj, wo k und n numerische Konstanten sind. Aus der letzten Ungleichung und aus g(pt) ~Pi folgen dann die notwendigen Bedingungen n ~ 4 bzw. k ~ 1. Die Funktion g(pt) =P1 in (77) ist mithin die bestmögliche unter den Funktionen g(pt) =kpj, was als Beleuchtung der Schärfe von (77) dient.

Um die Schärfe von (76) zu beurteilen, entwickeln wir lf4(u)j2 nach Potenzen von t, was nach (81)

lf4(u)jl = 1- P11 2 + P11 3(l- PD/n + 0(1 4)

gibt. Vergleichen wir (76) mit dieser Entwicklung. folgt erstens, dass das Glied zweiten Grades in (76) das bestmögliche ist. Zweitens folgt, dass der Faktor 4K von p11 3 in (76) nicht durch einen Faktor, kleiner als (1- pi)/n ersetzt werden kann. Weil Pt beliebig klein sein kann, kann der Faktor 4K:::::: 0.396648 nicht durch eine numerische Konstante, kleiner als 1 /rt :::::: 0.318310, ersetzt werden.

4. BEWEIS VON (64)

Wir suchen ein Polynom P(x) = 1 - ax 2 + bx4, welche für reelle x eine Majorante

von cos x ist. Zu diesem Zwecke bestimmen wir die Koeffizienten a und b derart. dass P(x) - cos x eine doppelte Nullstelle in x = 0 e (0, 2rc] hat. Aus P(O) = cos 0; P'(O) = -sin 0 folgern wir

a = a1(0) = 2(1- cos 0)/02- sin 0/(20)

b = b1(9) = ( 1- cos 0)/04- sin 0/(203

)

(83)

(84)

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und wollen beweisen, dass die Differenz

D(x, 8) = 1- a1(0)x 2 + b1(8)x 4- cos x

nicht negativ ist. Nach (83), (84) gilt a'1(0) = 8 2b\(O) =- U(8)/(2lJ3), wo

U(8) = 8( 1 - cos 8) + 8 2 cos 8 -58 sin 8

und U"(O) = O(sin 8-0 cos 0). Demnach hat U"(O) eine einzige Nullstelle 0 = 01 in (0, 21t], und U(O) ist konvex in (0, 01) und konkav in (01, 21t]. Aus U(O) = U'(O) = 0 und U(21t) > 0 folgt dann U(O) > 0 in (0, 21t]. Wir finden

D 0(x, 0) = x 2U(0)(0 2- x2)/(20 5

)

weshalb D(x, 0) eine abnehmende Funktion von 8 in (0, 21t] ist, wenn lxl ~ 21t, und sein Minimum für 0 = lxl erreicht, wenn lxl e (0, 21t). Weil a 1 (21t) = b1 (21t) = 0

folgt daher, in Falle lxl ~ 21t,

D(x, 0) ~ D(x, 21t) = 1 - cos x ~ 0

und im Falle lxl e (0, 21t) folgt D(x, 0) ~ D(x, lxl). Wenn 8 e (0, 21t), gilt D(O, 0) = 0 und mithin D(x, lxl) = D(lxl.lxl) = 0 im Falle lxl e (0, 21t). Die Ungleichung D(x, 0) ~ 0 ist somit auch in diesem Falle Bewiesen, woraus

cos x ~ P(x) = 1 -a1(0)x 2 + b1(0)x 4 {0 e (0, 21t); x e ( -oo, oo)} (85)

Wenn die stochastischen Veränderlichen X und Y beide die Verteilungsfunktion F(x) e F3(0, u 2, ß4 ) haben, gilt lf(u)l2 = E cos[u(X- Y)]. Aus (85) folgt dann

IJ(u) 12 ~ M(O) = EP(u(X- Y)) = 1 - 2a1 (O)u 2u2 + 2b1 (O)(ß4 + 3u4)u4

und wir wollen 0 derart bestimmen, dass M(O) kleinstmöglich wird. Nach dem

Vorstehenden gilt

M'(O) = 2u 2u2[ -a'1 (0) + u2u2(p4 + 3)b'1 (0)]

= u 2u2U(0)(02 - u 2u2(p4 + 3)]/(20 5)

und, da U(O) > 0, erreicht M(O) sein Minimum für 0 = 02 = uluiJ p4 + 3, vorausgesetzt, dass uluiJ P4 + 3 ~ 21t. Wir finden, dass M(02 ) gleich der rechten Seite von (64) ist. Somit ist bewiesen, dass lf(u)jl höchstens gleich der rechten Seite von (64) ist.

Die Funktion IJ(u)jl kann gleich der rechten Seite von ( 64) sein, und zwar wenn F(x) eine reine Sprungfunktion mit nur zwei Sprünge ist. Wenn F(x) die Sprünge p 1

und p2 in x1 bzw. x2 hat, ist lf(u)jl = 1 - 2p 1p 2 [ 1 - cos u(x2 - x 1 )]. Aus EX= 0; EX2 = u 2

; EX4 = ß4 folgen die Gleichungen -x1x2 = u2; lx2- x 11 = uJ p4 + 3;

PtP2 = 1/{p4 + 3). Hieraus folgt, dass lf(u)j2 gleich der rechten Seite von (64) ist, und (64) ist somit bewiesen.

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56 H. Prawitz

Aus ( 64) wollen wir die beiden Ungleichungen

loglf(u)l ~ -u2u2{2 + p4 u 4u4 /24 (ulul~ ~ 1t)

(21t - u!uiJ P4 + 3)2 (21t - alu!JP;+})4

Ioglf(u)l ~ 2(p4 + 3) + P4 24(p4 + 3)2

(u!u!J P• + 3 e [1t, 2n])

Scand. Actuarial. J. 1

(86a)

(86b)

ableiten, weil sie bei gewissen Anwendungen bequemer sind. Es genügt (86a) aus (64) abzuleiten. Wenn wir alul durch 2n/~- alul ersetzen, wird nähmlich die rechte Seite von ( 64) unverändert, während die rechte Seite von (86a) in der rechten Seite von (86b) übergeht. Beim Beweis von (86a) setzen wir zur Vereinfachung 2/(p. + 3) = s e (0, 1/21 und aluiJ p4 + 3 = 1 e IO, nl. Denn wird die zu beweisende Ungleichung

g(s, t) = -st 2/2 + s(2- 3s)t4/48 -log[ 1 - s( 1 - cos I)] ~ 0 (s e (0, 1/2]; 1 e [0, n])

und es genügt g~(s, t) ~ 0 zu beweisen, weil g(O, I)= 0. Wir finden

2[1 - s( I - cos l)]g~(s, I) = A0(1) + sA 1 (l)t2 + s2 A2(1)1 4 (87)

wo

A0 (t) = 2( I - cos t - t 2/2 + 14/24)

A1(1) = (1-cos 1)(1- 12/12)- 12{4

A2(1) = (1 - cos t)/4

Es gilt A0 (t) ~ 0 und A2(t) ~ 0. Wenn t e (0, n), ist ( 1 - cos 1)/12 abnehmend und somit auch A1(t)(t 2 abnehmend. Im Falle t e [0, n/2] ist A1(t) ~ 0, weil A1(n/2) = 1-n2/12>0, und mithin ist in diesem Falle g~(s,l) ~0. Im Falle 1 e[n/2,n] wollen wir beweisen, dass die rechte Seite von (87) eine positive quadratische Form von s ist. Die Bedingung dafür ist 4A0(t)A 2(1) - A1 (t)

2 ~ 0. Wir finden

4A0 (t)A 2(t) - A 1 (t)2 =(I - cos 1) 2[2- ( 1 - t 2/12) 2]

-( 1 - cos t)( 1 - t 2/12)12/2- 14/16 = W1 (t) W2(t)

wo

W1(1) =(I- cos l)(j2 + 1- 12/12) + t 2/4

W2(t) = (1- cos t)(j2 -1 + 12/12)- t 2{4

und, da W1 (I) ~ 0, haben wir W2(1) ~ 0 zu beweisen. Wir finden 2W2'(t) = 1 cos t- (2j2- 3 + t 2/6)sin t. In [n/2, n] ist t cot t abnehmend und mithin auch Wi'(l)/sin t abnehmend. Aus W2'(n/2) < 0 folgt daher W2'(t) < 0 in [n/2, n], und W2(t) ist somit dort eine konkave Funktion. Aus W2(n/2) > 0; W2(n) < 0 folgt dann, dass W2(1) eine einzige Nullstelle 1 = 10 in [n/2, n] hat, und W2(t) ist somit wachsend in [n/2, 10] und abnehmend in [10 , n]. Aus W2(n/2) > 0; W2(n) > 0 folgt dann W2(t) > 0 in [n/2, n]. Die Ungleichungen {86a, b) sind somit bewiesen.

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5. BEWEIS VON ( 66)

Wir setzen für n ~ 1

II-I

R,.(x) = elx- L (ix)"fv! v•O

und wollen die Ungleichung

\

n (ix)"l ~ n + 2 \xl" R,.(x)- 2(n + 1) 7 ~2(n + 1) n!

beweisen. Zu diesem Zwecke setzen wir

P,.<x> = \R .. <x>- 2(n: 1) o:rr -[2~n : 2•> :~J

(88)

und wollen P,.(x) ~0 beweisen. Aus R,.(x) = R,.+ 1 + (ix)"/n! erhalten wir den einfacheren Ausdruck

P,.(x) = \R,.+ 1(x)ll + (n + 2)Re[R~~+ 1 (x)( -ix)")f(n + 1)!

Weil P,.(x) eine gerade Funktion ist, und P,.(O) = 0, genügt es P~(x) ~ 0 für x ~ 0 zu beweisen. Aus R~ + 1 (x) = iR,.(x) folgt

(d/dx)!R,.+ 1(x}!2 = 2 Re[R~~+ 1 (x)R~+ 1(x)]

= 2 Re{[R,.(x)- ( -ix)"/n!]iR,.(x)}

= 2x" Re[( -i)~~+ 1 R,.(x)]/n!

und demnach ist (n + l)!P~(x) = nx"- 1 Re[Q,.(x}],

wo

Q,.(x} = (- i)" + 1 xR,.(x) + (- i)"(n + 2)R,. + 1 (x)

Nach dem Vorstehenden folgt (88) aus Re[Q,.(x)] ~ 0 für x ~ 0 und diese Ungleichung können wir durch Rekursion beweisen. Wir finden nähmlich Q~(x) = Q,. _1 (x). Wenn Re[Q" _ 1 (x)] ~ 0 für x ~ 0 bewiesen ist, folgt daraus, dass Re[Q,.(x)] für x ~ 0 abnehmend ist. Weil Q,.(O) = 0, folgt dann Re[Q,.(x)] ~ 0 für x ~ 0. Deshalb folgt ( 88), wenn wir Re[Q1 (x)] ~ 0 für x ~ 0 beweisen. Es gilt

Re[Q1 (x)] = 3 sin x - x(2 + cos x)

Re[Q'1(x)] = 2 cos x + x sin x- 2 = -4 sin(x/2)[sin(x/2)- (x/2)cos(x/2)]

und aus der vorigen Gleichung folgt Re[Q1 (x)] ~ 3 - x ~ 0 für x ~ 3. Aus der letzteren Gleichung folgt Re[Q'1 (x)] ~ 0 für x e !O, 27tl, und da Q1 (0) = 0, folgt somit Re[Q1 (x)] ~ 0 für x e [0, 27t]. Die Ungleichung (88) ist mithin bewiesen.

Wenn r,.(u) die in (65) definierte Funktion ist, gilt

n oc,.(iu)" [ n (iuX)"] r,.(u)- 2(n + 1) ~=E R,.(uX)- 2(n + 1) ~

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58 H. Prawitz

und nach (88) somit

I n rx"(iu)"l~ n+2 ß"lul"

r"(u) - 2(n + 1)-----;;! ~ 2(n + 1)---;;'!

woraus ( 66) folgt.

Scand. Actuarial. J. 1

Wir wollen die Schärfe von ( 66) im Sonderfall n = 3 beleuchten, weil die!.er Fall für die Anwendungen besonders von Belang ist. Nach ( 66) gilt h(u)l ~ (3loc3 \ + 5ß3)\ul3/48. Wir suchen daher notwendige Bedingungen, welche die numerischen Konstanten a und b erfüllen müssen, damit die Ungleichung h(u)j ~ (ajoc3 \ + bß3)juj3 allgültig sei. Zuerst bemerken wir, dass die Bedingung a + b ~ 1/6 notwendig ist. Dies folgt, wenn wir eine Verteilungsfunktion F(x) betrachten, welche einen einziges Sprung, gleich I, in einem Punkte x = x1 hat. Dann gilt rxk = xt und ß3 = lx1l3 • Hieraus folgt

limh(u)lflul3 = liml(elu"'1 -1- iux1 + u2xU2)/u 31 = lx.j3/6

u-o u .... o

und ajrx3 l + bß3 = (a + b)jx11\ woraus die Notwendigkeit der Ungleichung a +b ~ 1/6 hervorgeht. In (66) für n = 3 haben die Konstanten a und b die Werte a = 3/48 und b = 5/48 und in diesem Falle gilt mithin a + b = 1/6. Wir wollen deshalb unsere Aufgabe folgendermassen vereinfachen:

Es soll eine untere Schranke der numerishen Konstanten b gefunden werden, welche notwendig ist, damit die Ungleichung

(89)

allgültig sei. Um eine solche Schranke zu finden, betrachten wir Verteilungen, welche in Bezug

auf den Punkt x = 0 symmetrisch sind. In P73, S. 12-13, wurden die Grössen 00 ~ 3.995896 und " ~ 0.099162 eingeführt, wo 0 = 00 die einzige Nullstelle in (0, 21l] der Funktion 3( 1 - cos 0) - 0 sin 0 - 02/2 ist, und K = ( cos 00 - 1 + 0~/2)/ Oö. Damit (89) für alle Verteilungen genannter Art gültig sei, ist es notwendig und hinreichend, dass b ~ K, was wir nun beweisen wollen. Für die betreffenden Verteilungen gilt rx 1 = cx3 = 0 und /(u) = E cos uX und somit r3(u) = IE(cos uX -l + u2Xl/2)1. Weil cos x -l + x 2/2 ~ 0, folgt nach ( 12)

(90)

und demnach ist die Bedingung b ~ K hinreichend, damit (89) für die fraglichen Verteilungen gültig sei. Die Notwendigkeit dieser Bedingung beweisen wir dadurch, dass wir einen Fall angeben, wo das Gleichheitszeichen rechts in (90) gilt. Das Gleichheitszeichen in ( 12) gilt nur in den drei Punkten x = 0 und x = ± 00 • Deshalb kann das Gleichheitszeichen rechts in (90) nur dann gelten, wenn die Verteilungsfunktion F(x) eine reine Sprungfunktion mit Sprünge nur in drei Punkten x = 0 und x = ±x1 ist. Wenn oc2 und ß3 die Ungleichung cx~12 ~ ß~13 erfüllen aber sonst beliebig vorgegeben sind, gibt es eine Verteilungsfunktion F(x) genannter Art, welche diese Momente hat. Bezeichnen wir die Sprünge in x = 0 und x == ±x1 mit p0 bzw. p 1, erhalten wir nähmlich aus den Gleichungen EX2 = ~X2 ; EIXP == ß3 die

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Lösungen x 1 = ß3/a.2; Pt= a.V(2ßD; Po= 1- a.~fß~ ~ 0. Wenn die stochastische Variable X in (90) die so erhaltene Verteilungsfunktion F(x) hat, wird· r3(u) = 2p1 (cos ux1 -1 + u2xU2). Wir setzen nun juj = 00a.2/ß3 und erhalten lux

11 = (}0 • Weil das Gleichheitszeichen in ( 12) für lxl = 00 gilt, folgt aus (90)

r3(u) = 2p1 "(}~, was für den betreffenden Wert von Iu I gleich der rechten Seite von

(90) ist. Mithin ist bewiesen, dass b ~ K für die Allgültigkeit von (89) notwendig ist. Die in ( 66) für n = 3 auftretende Konstante b = 5/48 kann deshalb die bestmög-1igche um höchstens 5/48 - K :::::: 0.005005 übersteigen.

6. FÜR DIE BEWEISE VON (71) UND (72) GEMEINSAME BEMERKUNGEN

Der Zerlegung F(x) = F0(x) + F1 (x) entsprechend setzen wir f(u) = / 0 (u) + ft (u),

wo

fk(u) = J: e1ux dFk(x) (k = 0, I)

Ausser der Gleichung

J:oo dF1(x) =I- A

welche aus (67) folgt, sind keine andere Voraussetzungen über F1(x) gemacht als diejenigen, dass F, (x) nicht negativ und nicht abnehmend ist. Deshalb lässt sich der folgende Hilfsatz betreffend die fraglichen Funktionen beweisen.

Ili/fsatz: Damit eine Ungleichung IJ(u)l S€i 1-M gültig sei, ist es notwendig und hinreichend, dass l/0(u) I S€i A - M gilt

Weill/1(u)j S€i 1- A, gilt

lf(u)l ~ l/o(u)l + I!J(u)l ~ l/o(u)l + 1- A (91)

und hieraus folgt, dass die Bedingung des Hilfsatzes Hinreichend ist. Um die Notwendigkeit zu beweisen, betrachten wir eine beliebig vorgegebene Funktion f 0 (u) und einen beliebig vorgegebenen Wert u0 • Wenn wir eine dazugehörige derartige Funktion F, (x) finden können, dass die beiden Gleichheitszeichen in (91) für u = u0 gelten, folgt die Notwendigkeit der Bedingung des Hilfsatzes. Im Falle u0 = 0 ist Fo(uo) = A; F1 (u0 ) =I - A und die Gleichheitszeichen in (91) gelten deshalb in diesem Falle. Wenn u0 '1: 0, setzen wir / 0 (u0 )/lf0 (u0 )l = e 14 und nehmen an, dass F, (x) eine reine Sprungfunktion ist, welche einen einzigen Sprung von der Grösse 1- A in dem Punkte x = afu0 hat. Dann ist f 1(u0 ) = (1- A)e14; und demnach gelten die Gleichheitszeichen in (91). Der Hilfsatz ist mithin bewiesen.

Nach dem Hilfsatz brauchen wir nur obere Schranken von lf0(u) I zu suchen. Dabei kön~ wir ohne Einschränkung u > 0 annehmen. Für reelle u gilt nähmlich fo( -u) = /o(u) und somit lfo( -u)l = lf0(u)l, und für u = 0 ist/0 (0) = A. Die in den Annahmen I und II auftretende Konstante x0 können wir ohne Einschränkung gleich Null annehmen, was man durch eine Transformation x' = x - x0 erkennt.

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60 H. Prawitz Scand. Actuarial. J.

Wenn eine komplexe Grösse z eine Ungleichung Re[ze-IBj ~ m erfüllt, wo m von dem reellen Parameter 9 unabhängig ist, gilt offenbar auch \z\ ~ m. Statt eine Majorante von lf0 (u)\ zu suchen, können wir deshalb eine von 6 unabhängige Majorante von Re[f(u)rfBJ suchen. Dabei können wir ohne Einschränkung \8\ ~ 1t

voraussetzen. Unsere Aufgabe, Majoranten von lf(u)\ zu finden, ist nach dem Vorstehenden

auf die folgende Aufgabe zurückgeführt: Es soll eine von 6 unabhängige Majorante von

Re[/0 (u)e -~ = J: cos(ux - 8) dF0 (x)

in jeder der Annahmen I und II gefunden werden, wobei wir u > 0; \0\ ~ 1t; x0 = 0 voraussetzen.

7. BEWEIS VON (71)

Wir setzen

J = A - Re[f0(u)e -~ = t: [ 1 - cos(ux - 0)] dF0(x) (92)

und zerlegen die in ( 67), ( 68) und (92) definierte Integrale A, .I und J in die Teilintegrale A, . .1, und J., welche den Integrations-intervallen li., = (x,, xv+ 1)

entsprechen, wo x, = [(2v - 1)1t + 6]/u, und v = 0, ± 1, ± 2, .... Dann suchen wir in erster Reihe für jedes v eine untere Schranke von J" wenn A, und .1, als vorgegeben betrachtet werden. Nachher kehren wir zu den unzerlegten Integralen zurück unter Anwendung der wohlbekannten Ungleichung

wo a., b, ~ 0; !X, ß ~ 0 und 1/a + 1/ß = 1. Zur Vereinfachung setzen wir, wenn x e li.,.

'l'(x) = t/l,(ux - 21tv - 8)

Fo(x) = g,(ux - 21rv - 0)

(93)

wobei die letzte Gleichung sich auf solche x bezieht, wo F0(x) existiert. Dann gilt g,(x) ~ t/l,(x) und

uA, = f. g,(x) dx (94)

u.l, = f. t/J,(x) dx (95)

uJ, = f. ( 1 - cos x)g,(x) dx (96)

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Scand. Actuarial J. I Noch einige Ungleichungen for charakteristische Funktionen 61

Wir wollen nun die Ungleichungen

beweisen, wo

k 0 = 2J6l/tofu + Jo} k, =.I, (v :;i:O)

(97)

(98)

und führen zu diesem Z~ecke für y e [0, n] die Funktionen A,(y) und J.(y) durch

uÄ,(y) = fY l/t,(x) dx (99)

ul,(y) = f~Y ( 1 - cos x)I/J,(x) dx (100)

ein. Weil Ä,(y) stetig ist und A,(O) = 0; A,(n) = J,; A, ~.I., lässt sich eine Konstante h, e [0, n] derart bestimmen, dass A,(h,) = A,. Wir definieren nun eine Funktion g,(x) durch g,(x) = l/t,(x) für lxl ~ h, und g,(x) = 0 für lxl e (h,, nJ. Ersetzen wir dann in (94) und (96) die Funktion g,(x) durch g,(x), bleibt das Integral rechts in (94) unverändert, während dagegen das Integral in (96) kleiner wird. Es gilt somit J, ~ J.(h,); A, = Ä,(h,). Um (97) zu beweisen genügt es daher die Ungleichung J,(h,) ~ Ä,(h,) 3/k~. oder allgemeiner

J,(y) ~ Ä,(y) 3fk~ y e [0, n]

zu beweisen. Die Gleichungen (99) und (100) können wir auch

uÄ,(y) = J: [1/J,(x) + 1/1,( -x)] dx

bzw.

ul,(y) = J: ( 1 - cos x)[t/l,(x) + 1/1,(-x)] dx

schreiben. Daraus folgt

J,(y) = J: ( 1 - cos x) dÄ,(x)

(101)

(102)

(103)

Im Falle v =#= 0 ist 1/!,(x) eine konvexe Funktion in [ -n, n], weiliOI ~ n. Daher ist l/t,(x) + l/t,( -x) nicht abnehmend in [0, n], und nach (102) ist mithin A,(y)/y nicht abnehmend, wenn y e [0, n]. Dann gilt Ä,(y)/y ~ A,(n)/n = J,/n. Setzen wir nÄ,(x)/.1, = t und nA,(y)/J, =s, ist x ~ t und s ~y ö!ii n, und somit nach (103)

J.(y) ~ J: (1 - cos t) d(tJ,/n) == J,(s- sin s)/n

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62 H. Prawitz Scand. Actuarial. J. l

woraus J,(y)/Ä.(y) 3 ~ (7t/..l,) 2(s- sin s)/s3• Fürs> 0 ist (s- sin s)/s3 abnehmend,

und mithin (s- sin s)/s 3 ~ 1/7t2, wenn s e (0, 7t]. Nach (98) ist daher ( 101) im Falle

v :1: 0 bewiesen. Im Falle v = 0 benutzen wir die Ungleichung Ä0 (y) ~ 2'1'0y{u, welche aus (99)

und l/f0(x) ~ '1'0 folgt. Setzen wir uÄ0 (x)/(2'1'0 ) = t und uÄ0 (y)/(2'1'o) = s, ist x ~ t

und s ~ y ~ n. Mithin gilt nach (103)

] 0 (y) ~ J: (1- cos t) d(2\}10 t/u) = 2'1'0(s- sin s)fu

woraus ] 0(y)/Ä0{y) 3 ~ lu/(2'1'0 )l2(s- sin s)/s3• Wenn s ~ 0, gilt bekanntlich

sin s ~ s - s 3/6 + ss/120, woraus (s- sin s)/s3 ~ l/6- s 2/120. Man findet leicht 1/6- s 2/120 ~ 1/(6 + sl), wenn s e [0, n]. wir haben daher

lo{y) u2 u2 u2 u2 -- :>.: - ~ ~ -~----= Ä0 (y) 3 ~ 4'1'Ö(6 + s2)- 24\}JÖ + u2Ä0(y)2 ~ 24'1'Ö + u2..1Ö.., (2J6'1'0 + u..l0)

2

und nach (98) ist somit ( 101) auch im Falle v = 0 bewiesen. Wie oben bewiesen, folgt (97) aus ( 101). Unter Anwendung von (93) mit ~ = 3;

ß = 3/2 folgernwir aus (97) und (98)

A = ~ A, ~ ~ J!'Jk~/3 ~ (~ 1,)''3(~ k,y/3 = Jll3(2j6'Po/u + J)213

woraus J ~ A 3u2/(2j6'1'0 + Ju) 2• Nach (92) gilt somit

Re[/o(u)e-IB] ~ A - A 3u2/(2.j6'1'0 + .lu)2

und nach den Bemerkungen oben in 6 ist somit (71) bewiesen. Die Konstanten in (71) sind im folgenden Sinne die bestmöglichen. Wir be

trachten eine Ungleichung

(104)

wo a und b von u und F(x) unabhängig sind, d.h. nur von 'P(x) abhängen. Damit ( 1 04) für alle Funktionen 'l'(x) und F(x), welche die Bedingungen unter 1 erfüllen, gültig sei, ist es dann notwendig, dass a ~ 2.j6'P0 , und, wenn ..1 ~ 1, dass b ~ .1. Nach dem Hilfsatz in 6 brauchen wir nur beweisen, dass die fraglichen Ungleichungen für a und b notwendig sind, damit die Ungleichung

( 105)

für alle Funktionen 'l'(x) und F0 (x), welche die Bedingungen unter I erfüllen, gültig sei.

Um die Notwendigkeit der Ungleichung a ~ 2j6'1'0 zu beweisen, betrachten wir den Fall, wo 'P(x) und F0 (x) durch

{'l'oO-Ixl/xd <lxl < x,)

'l'(x)= 0 <lxl~x,)

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;cand. Actuarial J. 1 Noch einige Ungleichungen für charakteristische Funktionen 63

bZW.

, _ {'l'o(l -lxlfxd <lxl < x2) Fo(X)- 0 <lxl ~ x2)

definiert werden. Wenn wir 0 < x2 ~ x1 voraussetzen, gilt 0 ~ Fo(x) ~ 'l'(x). Nach der Definition von F0(x) ist

A ='Po r:2

(l-lxlfx1) dx = '1'0 x2(2- x2fxt)

und A muss die Ungleichung 0 < A ~ 1 erfüllen. Wenn '1'0 eine beliebig vorgegebene positive Grösse ist, sind die Vorschriften unter I erfüllt, wenn x 1 und x2 den Bedingungen 0 < x2 ~ x1 und x2 ~ 1/(2'1'0 ) genügen. Wenn u -+0, erhalten wir

=2'1'o r2

(1-x/x,)(1-u2x 2/2)dx +0(u4)

und mit Rücksicht auf den angegebenen Ausdruck für A folgt hieraus

f 0 (u) = A- u2'1'0x~[l/3- x2 /(4x1)] + O(u 4)

welche Funktion nach (105) die Ungleichung/0(u) ~A -u2A 3/a 2 +0(u4) erfüllen

muss. Dies bedeutet, dass a die Ungleichung

A 3 '1'5(2- x2/x1 ) 3

a2

~ x~'l'0[1/3- x2 /(4x1)] = 1/3- x2/(4x.)

erfüllen muss. Nach den obigen Bedingungen für x 1 und x2 ist x2 bei vorgegebenen '1'0 beschränkt, während hingegen X 1 beliebig gross sein kann. In der letzten Ungleichung lassen wir dann x1 -+ oo und erhalten die notwendige Bedingung

a ~ 2fi'l'o. Um die Notwendigkeit der Ungleichung b ~ J zu beweisen, betrachten wir den

Fall F0(x) = 'l'(x). Dann ist A = .I, und weil A ~ 1, ist .I ~ 1 eine notwendige Voraussetzung für den betrachteten Fall. Damit (105) in diesem Falle gültig sei, ist notwendig, dass

lfo(u)l ~.I- .l3u2 /(a + blul) 2

und die rechte Seite dieser Ungleichung muss daher nicht negativ sein. Wenn Iu I-+ oo, folgern wir dann, dass b ~.I notwendig ist, wenn .I~ 1.

8. BEWEIS VON (72)

Un (72) zu beweisen, genügt es nach dem Hilfsatz in 6 die Ungleichung

lfo(u)l ~ A - kA 5u2/(qB 2 + u2BC) (106)

zu beweisen, wo k die durch (73) definierte Konstante ist und q = 1.2.

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Anfänglich bemerken wir; dass die Grössen A, B und C nicht ganz unabhängig

sind. Sie müssen nähmlich die Ungleichung

A 2 ~21tjBC (107)

erfüllen. Zum Beweis schreiben wir ( 67)

A = f_00

00

[ja2 +x2F~(x)/ja2 +x2]dx wo a eine beliebige positive Konstante ist. Daraus folgt

A 2 ~ I: {a2 + x 2)F0{x)2 dx t: dx /(a2 + x~ = (a 2

B + C}7t fa

und diese Funktion von a erreicht ihr Minimum für a = JCTB. Mit diesem Wert von a folgt ( 107) aus der letzten Ungleichung.

Nach einer Bemerkung in 6 folgt ( 106), wenn wir beweisen, dass Re[f0(u)e 1~ nicht grösser als die rechte Seite von ( 1 06) ist, wo 0 eine beliebige reelle Zahl in [ -7t, 7t] ist. Ferner wurde bemerkt, dass wir beim Beweis u > 0 annehmen können. Wir setzen dann, unter Einführung einer Konstanten A. > - 1,

(108)

wo

T = Ju I: [A. + cos(ux - O)]F0 (x) dx (109)

und wollen nachher A. so bestimmen, dass wir aus ( 108) eine kleinstmögliche obere Schranke von l/0(u)l erhalten. Mit M,,9 bezeichnen wir die Menge derjenigen x, welche der Ungleichung l + cos(x- 0) ~ 0 genügen. Wir unterscheiden nun die beide Fälle: 1) A. ~ 1 und 2) A. E ( -1, 1). Im Falle 1) ist M,,9 gleich (- oo, oo). Im Falle 2) setzen wir A. = -cos h, wo h E (0, 7t), und M,,9 besteht dann aus den Intervallen d. = [0- h + 2v7t, 0 + h + 2v7t], wo v = 0, ± 1, ±2, .... Nach (109) gilt

r:. f. A. + cos(ux - 0) T~..;u J

2 2 2 Ja 2 +u2x 2F0(x)dx

IIXeM4,0 a + u x

wo a eine beliebige positive Konstante ist. Daraus folgt nach (69) und (70)

( llO)

wo

R = f {[l + cos(x - O)Jlf(a 2 + x2)} dx J .. eMl,l

(111)

Im Falle 1) folgt aus ( 111)

R = J:." {[U 2 + 1 + 4). cos(x - 0) + cos 2(x- O)]/(a 2 + x 2)} dx/2 (l12)

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Wenn c eine reelle, nicht negative Konstante ist, gilt

r·)CX) {cos[c(x- O)]J(a2 +X~} dx = cos(cO) J_\X)oo [cos(cx)/(a2 + x 2)] dx

= 2i1t cos(cO) Res [etcz/(a 2 + z2)] = 1t cos(cO)e-caja z -Ia

und demnach folgt aus (112)

R = 7t(2A.2 +I + 4A. e-a cos 0 + r2a cos 20)/(2a)

(113)

(114)

Im Falle 2) folgern wir aus (lll), indem wir die oben eingeführte Grösse h und Intervalle a. benutzen,

R = •-~ro i. {[cos(x- 0)- cos h]lj(a2 + x 2)} dx

= .~ro fh {(cos x- cos h) 2/[a 2 + (x + 0 + 27tv)2]} dx

Aus der wohlbekannten Entwicklung

" cot z = tim L 1/(z + 1tv) n-+oo Y• _,.

folgern wir, indem wir z = x + iy setzen, wo x und y reell sind,

00 y 00

( -1 ) = Im = -Im cot x + i •• ~ 00 (X+v1t) 2 +y2 ~ x+v1t+iy [ ( y)]

und demnach folgt aus (115)

ea-e-a fh (cosx -cosh)2dx R=---

2a -h ea - 2 cos(x + 0) + e -a

(115)

( 116)

Wir streben nach einer von 0 unabhängigen oberen Schranke von Re[f0(u)r 1~.

Nach (108) und (110) genügt es zu diesem Zwecke, wenn wir derartige Schranken von R finden. Aus ( 114) folgt

R ~ R1 = 1t(2A. 2 + 1 + 4A.e-" + e-2a)/(2a

und aus ( 116), weil cos(x + 0) ~ 1,

R ~ R2 = J(h)(ea + 1)/[a(e4- 1)]

wo

J(h) = Lh ( cos x - cos h) 2 dx = (2h cos 2h - 3 sin 2h + 4h) /4

(117)

( 118)

(119)

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Nach (110), (117) und (118) haben wir die von 0 unabhängigen Schranken

(j = 1, 2) (120)

im Falle 1) bzw. 2). Weil a eine beliebige positive Grösse ist, wollen wir nun a derart wählen, dass die

rechte Seite von ( 120) klein wird. Es wäre jedoch unzweckmässig, a so bestimmen, dass die rechte Seite von ( 120) gleich ihren Minimum würde. Dies würde nährotich zu einem allzu komplizierten Resultat führen. Um das einfache Resultat nach ( 106) zu erzielen, bestimmen wir statt dessen a derart, dass der Quotient (a 2B + u2C)/ J a 2

- q, wo q eine positive Konstante ist, gleich seinem Minimum wird. Dies tritt für

a = a0 = J2q + u2C/B

ein, und das Minimum ist gleich 2jqB2 + u2BC. Aus (120) folgt dann, weil ao~ .}2q, T2 ~ jqB2 + u2BC sup (2R1 ja2 - q) (j -1, 2) (121)

o~Jlq

Wir suchen nun die Bedingungen, unter welchen im Falle 1) das Supremum in ( 121) für a -+ oo erreicht wird. Nach (117) ist die notwendige und hinreichende Bedingung, dass 2R 1~ ~ 1t(2A.2 + 1). Hinreichend ist, dass diese Ungleichung für A. = 1 gilt, weil R1/(2A. 2 + 1) für A. ~ I eine abnehmende Funktion von A. ist. Die so gefundene hinreichende Bedingung ist mit der Ungleichung

q ~ g(a) = a 2[1 - 9/(3 + 4e-a + r2a)2]

identisch. Die Funktion g(a) hat ein einziges Maximum in ( 0, oo ), und dies wird für a ~ 2.352 erreicht. Wir finden max g(a) ~ 1.199033. Wir setzen nun q = 1.2, und dann folgt nach dem Vorstehenden aus (121) und (117), im Falle 1),

Tl~ jl.2B2 + u2BC 1t(2).2 + 1) (122)

Im Falle 2) sollen wir nach (118) und (121) das Supremum der Funktion

J a 2 -l.2(e0 + l)f[a(ea- 1)]

suchen, wenn a e [j2.4, oo). Wenn a-+ oo, nähert sich diese Funktion wachsend den Grenzwert 1. Für endliches a hat die Funktion ein einziges Maximum :::::::1.107993, welches für a::::::: 1.770 erreicht wird. Nach (118) und (121) gilt somit

(123)

im Falle 2). Weil die oberen Schranken von TZ nach (122) und (123) von 0 unabhängig sind, erhalten wir aus diesen Ungleichungen und ( 1 08) obere Schranken von l.fo(u)l. Zur Vereinfachung setzen wir

( 1.2B2 + u2 BC) /(A 4u~ = Q (124)

und bemerken, dass nach (107) die Ungleichung Q > 1/(4n2) gilt. Dann erhalten wir

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aus (108), (122) und (123) die Ungleichungen

l.fo(u)I/A ~ Q114j1t(2.P + 1)- A (A ~ 1)

lf0 (u)IJA ~ Q 114J2.2l6J(h) + cos h [h e (0, 1r))

( 125)

(126)

Die rechte Seite von (125) erreicht, als Funktion von A, ihr Minimum für ;. = l/J2(21tjQ -1). und dieser Wert von A ist nicht kleiner als 1, wenn Q ~ 9/( 167t 2). Mit diesem Werte von A erhalten wir die Ungleichung

(127)

Um eine Ungleichung von der Form (106) zu erzielen, schreiben wir nach ( 127)

Q[l- fo(u)/A] ~ G(Q) = Q(1- J 1rjQ- 1/2) (128)

und finden, dass G'(Q) denselben Vorzeichen wie 24/25- (51t.JQ- 18/5)2 hat. Die Funktion G(Q) hat daher ein Minimum für Q = Q1 = 4(9- j6) 2/(6251t 2

) und ein Maximum für Q = Q2 = 4(9 + j6)2

/( 6251t 2). Weil 1/( 47t 2

) < Q1 < 9/( l61t 2) < Q2 ,

ist G(Q) ~ G(Q1), wenn Q e [1/(47t 2), 9/(l67t 2

)]. Wir finden G(Qt) =k, wokdie in (73) definierte Konstante ist. Wenn Q zu dem angegebenen intervalle gehört, folgt daher aus ( 128) die Ungleichung ( 106), wenn q = 1.2. Die Ungleichung (72) ist somit im Falle Q ~ 9/(l67t 2) bewiesen.

Im Falle Q > 9/(167t2) benutzen wir die Ungleichung (126), und wir wollen also

beweisen, dass man zu jedem Q > 9/( l61t 2) einen derartigen Wert von h e (0, 1t)

finden kann, dass die Ungleichung

G(Q, h) = Q[l -cos h- Q 1'4J2.216J(h)] ~ k

gilt. Nach ( 119) ist

J'(h) = 2 sin h(sin h - h cos h)

und demnach folgt aus ( 129)

G~(Q, h) = Q sin h[l- Q''4J2.216/D(h)]

wo D(h) durch

D(h) = .l(h)/(sin h- h cos h) 2

(129)

(130)

( 131)

(132)

definiert wird. Wir wollen beweisen, dass D(h) in (0, 1t) eine abnehmende Funktion ist. Nach (130) gilt für h > 0

[hJ(h) - (sin h - h cos h) 2)~ = J(h) > 0

woraus folgt h.l(h)- (sin h - h cos h) 2 ~ 0 und demnach hD(h) ~ 1. Aus ( 130) und ( 132) folgt dann

D'(h) = 2 sin h[l- hD(h)]/(sin h- h cos h) ~ 0 (133)

Weil D(h)-+ oo, wenn h -+0, folgt nach ( 131) G/r(Q, 0+) > 0. Nach ( 119) ist .l(1t) = 31t/2 und nach ( 132) somit D(1t) = 3/(21t). Weil wir hier den Fall Q >

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9/(167t2) betrachten, folgt dann aus (131) G/.(Q, 1r-) <0. Da D(h) abnehmend ist, hat Gi.(Q, h) eine einzige Nullstelle h = rt in (0, 1r), wo rt durch die Gleichung

D(rt) = 2.216JQ (134)

definiert wird. Deshalb hat G(Q, h), als Funktion von h betrachtet, ein einziges Maximum in (0, n), welches für h = '7 erreicht wird. Unsere Aufgabe ist nach dem Vorstehenden darauf zurückgeführt, die Ungleichung G(Q, '7) ~ k für Q > 9/(167t2

)

zu beweisen, wo '7 die durch (134) definierte Funktion von Q ist. Bei dem Beweis ist es aber einfacher, rt als die unabhängige Veränderliche und Q als Funktion von '7 zu betrachten. Dem Intervall Q e (9/(167t2), co) entspricht dann das Intervall '7 e (0, f/0 ), wo nach ( 134) D(f/0 ) = 2.216 · 3/( 47t). Wir finden 'lo ~ 2.493 8684. Die zu beweisende Ungleichung wird dann H(rt) ~ k für '7 e (0, '70 ), wo

H('l) = G(Q, '7) = D(t7)2[ l - cos 'I - D(17)(sin '7 - '7 cos rt)]/(2.216) 2 ( 135)

Wir wollen beweisen, dass H(rt) in (0, 1r) abnehmend ist. Aus (135) folgt

H'('7)(2.216) 2 = D(rt)D'('1)[2( 1 - cos 17) - 3D('7)(sin '1 - '1 cos 17)]

+ D(17) 2 sin 'I[ 1 - t7D(11)]

was wir nach ( 133) auch

2H'('7)(2.216) 2 = D('7)D'('1)[4(1- cos '1)- SD('1)(sin '7- '1 cos '7)]

schreiben können. In (0, 1r) ist D(tl) > 0 und D'('l) < 0. Folglich hat H'('l) dasselbe Vorzeichen wie die Funktion

E('l) = [SD('I)(sin 'I - '7 cos '7) - 4( 1 - cos 'l)](sin '1 - '1 cos '7)

= 5.1'('1)- 4(1- cos '1)(sin '7- '1 cos '1)

und nach ( 130) gilt

E'('l) = 2 sin 77(3 sin 11 -11 cos '7 - 2rt)

'woraus E'(rl) < 0 in (0, n) folgt. Aus

(3 sin rt- '7 cos '1- 2'7)' = 2(cos '1- l) + '1 sin '1

= -4 sin('1/2)[sin('1/2)- (t7/2)cos('1/2)]

folgt nämlich 3 sin '1 - '1 cos '7- 2'1 ~ 0, wenn rt e (0, 2n). Weil E(O) = O, folgt dann E(rt) ~ 0 und mithin H'(rl) ~ 0 für rt e (0, n]. Wenn rt e [0, 'lo]. gilt daher H(rt) ~ H(170), und aus dem oben angegebenen Wert 'lo ~ 2.4938684 folgt H('lo) ~ 0.024287 > k, wo k die in (73) definierte Konstante ist. Die Ungleichung (73) ist somit auch im Falle Q > 9/( 16n2

) bewiesen. Um die Schärfe der Ungleichung (72) zu untersuchen, betrachten wir eine

Ungleichung

(136)

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und suchen notwendige Bedingungen, welche die numerischen Konstanten k' und q' erfüllen müssen, damit (136) allgültig sei. Nach dem Hilfsatz in 6 ist es notwendig,

dass die Ungleichung

(137)

gilt, wenn F0 (x) den Bedingungen ( 67), ( 69) und (70) genügt. Um eine obere Schranke von k' zu finden ist es zweckmässig, / 0(x) derart zu

wählen, dass das Gleichheitszeichen in der Ungleichung (110) für einen vorausgegebenen Wert u = u0 > 0 gilt. Dies trifft für

F 0(x) = p(1 + cos uox)f(a 2 + u5x2) (138)

zu, wo p eine positive Konstante ist und 1 ~ 1. Nach ( 113) folgt aus ( 138), wenn

a >0,

j 0 (uo) = 7tp(1 + 2;.e-a + e-~/(2au0)

A = 7tp(1 + e-~f(auo)

a 2B + u5C = p 2 I:"" [(1 + cos u0x)2/(a 2 + uöx

2)] dx

= 1tp2(2A. 2 + 1 + 41 e-a + r~/(2aUo)

Wenn c ~ 0 und a > 0, gilt

f:"" [cos(cx)/(a2 + x 2)

2] dx = 21ti ~e! [etcz/(a2 + z2)2]

= 7trca(l + ca)/(2a3)

woraus nach ( 138) folgt

B = 7tp 2[2A. 2 + 1 + 4.A.e -a( 1 + a) + e -2a( 1 + 2a)]/( 4a3u0)

und somit nach ( 141)

C = 7tp 2[2A. 2 + 1 + 4.A.e -a( I - a) + e -2a( I - 2a)]/( 4au~)

Nach ( 137) haben wir die notwendige Bedingung

k' ~ [1 -lfo(u0 )l!AJ(q'B2/u5 + BC)/A 4

(139)

(140)

( 141)

(142)

(143)

und in dieser Ungleichung lassen wir nun a-+ oo. Nach (139), (140), (142) und (143) folgt dann / 0 (u0 )/A-+ 1/(21); B 2/A 4 -+0; BC{A 4 -+(2 + 1/12)2/(167t2). Die Ungleichung

k' ~ [ 1 - 1/(21)](2 + 1/A. 2)2/( 167tl) (144)

muss deshalb für alle A. ~ 1 gelten. Für A. e [ 1, oo) erreicht die rechte Seite von (144) ihr Minimum, wenn 1/1 = (4- Jf,)/5, und das Minimum ist gleich der in (73) definierte Konstante k. Damit ( 136) allgültig sei, ist deswegen k' ~ k notwendig. Der bestnögliche Wert der Konstanten k in (72) ist also der in (73) angegebene.

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Um eine untere Schranke von q' zu suchen, betrachten wir den Fall, wo F~(x) eine gerade Funktion ist, und wo F0 (x} ein endliches. Moment vierter Ordnung hat.

Wenn u-+ 0, gilt dann

(145)

wo

D = f:oo x2F~(x) dx (146)

und nach (137) ist dann q'/k' "?!: 2As/(B2D) eine notwendige Bedingung. Wir wollen beweisen, dass sup As/(B2D) = 125/9 für die hier betrachtete Funktionen F0 (x). Wenn x1 eine beliebige positive Grösse ist, gilt

00

Ax~ - D = f (x~ - x2)F~(x) dx ~ fx' (x~- x2)F~(x) dx -x,

-00

~ f~. (x~- x2)

2 dx f:. F~(x) 2 dx ~ 4x~I2Jiifi5 woraus folgt D "?!: G(x1) = Axi- 4x~12Jiifi5. Weil die Ungleichung D ~ G(x1) für alle x1 "?!: 0 gilt, folgt D ~ maxxJito G(~t). Dies Maximum wird fUr x 1 = 3A 2/(5B) erreicht und ist gleich 9A s/(l25B2

). Demnach gilt A s/(B2D) ~ 125/9. Das Gleichheitszeichen in dieser Ungleichung kann erreicht werden und zwar wenn F0 (x) durch

F~(x) = {p(xt- x2) <lxl ~ xt) 0 <lxl > x1}

definiert wird, wo p und x 1 beliebige positive Grössen sind. Aus ( 67), ( 69) und ( 146) folgt dann A =4pxi/3; B = l6p 2xU15 bzw. D =4pxVl5, woraus A/(B2D) = 125/ 9. Nach dem Vorstehenden ist daher die Bedingung q'/k' ~ 250/9 notwendig. Wenn k' seinen bestmöglichem Wert k hat, muss daher q' "?!: 250k/9:::::: 0.653 gelten, damit ( 137) allgültig sei. Die Konstante 1.2 in (72) kann folglich nicht durch eine numerische Konstante, kleiner als 0.653, ersetzt werden.

9. BERICHTIGUNG

Der Beweis von ( 47) ist unvollständig. Zuerst müssen wir beweisen, dass die Gleichungen (49)-(51) eine reelle Lösung (Xt. x2,p1,p2,p3 ) haben, welche die Bedingungen x1 < 0 < x2; Pk > 0 (k = I, 2, 3) erfüllt, vorausgesetzt, dass ( 46) gilt, und x3 hinreichend gross ist. Wir wollen deshalb unten beweisen, dass eine Lösung genannter Art existiert, wenn ( 46) gilt, und wenn

x3 > 2ßJ/(a 2- ßD ( 147)

Die Bedingung p1 > 0 ist erfüllt, wenn x, < 0, weil nach ( 49) p1 = - ßtf(2x1 ). Wir eliminieren nun p 1, indem wir den angegebenen Ausdruck fUr p 1 in ( 48), (SO) und

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s.cand. Actuarial J. I Noch einige Ungleichungen für charakteristische Funktionen 71

(51) einsetzen. Zur Vereinfachung setzen wir xk = tka2/ß1 und benutzen die Bezeichnungen p. = fJ.ta•. Wir erhalten dann die Bedingung

t3

> 2p1p3/(1- PD (147a)

aus ( 147) und die Gleichungen

P2 + P:t =I+ PU(21t)

P212 + P3tl = pU2

P2d + Pld = p~(J + t,/2)

(148)

(149)

(150)

p2 d+P31~=pi(PtPJ-tV2) (151)

aus ( 48)-(51) nach Elimination von p 1• Unsere Aufgabe ist somit darauf zurückgeführt, eine reelle Lösung (t1 , 12,p2,p3) der Gleichungen (148)-(151) zu finden, welche die Bedingungen I 1 < 0 < 12 ; p2 > 0; p3 > 0 erfüllen, vorausgesetzt, dass ( 46) gilt und t3 die Ungleichung ( 147a) erfüllt.

Zuerst bemerken wir, dass unter den angegebenen Voraussetzungen keine Lösung existiert, wo t2 = t 3. Wenn wir in den Gleichungen (148)-(150) x2 durch x3 ersetzen und dann die Grössen p2 + p3 und t 1 eliminieren, erhalten wir nähmlich 13 = 1 ±.Jl=-P1, was im Widerspruch zu (147a) steht, weil p 1p3 ~ 1. Wir eliminieren nun p2 und p 3 aus den Gleichungen (148)-(151). Weil t3 - t2 # 0, erhalten wir dann die Gleichungen

(152)

12(13- l1- 2) = 13(2 + 1,)- 2p1p3 + lt (153)

wo (152) aus (148)-(150) folgt, und (153) aus (149)-(151) folgt. Eliminieren wir t2

aus ( 152) und ( 153), erhalten wir eine Gleichung H(t 1) = 0 des dritten Grades in t 1,

wo

ll(t,) = t~(t3- Pn + tHt~ + t3p~- 2pD + t1[21~ + t3(p~- 2p,p3)

+ PHPr P3- 2)] + P~ l3(l3- P1 PJ) (154)

Die Gleicjng JJ(I,) = 0 hat eine Wurzel m jedem der Intervalle (-oo,-1- 1-pD. (-t-Jl-p~.-1) und (-l,-1+Jt-pi). Nach (147a) ist 13 -p~>O und deshalb gilt H(t1)-+-oo, wenn t 1 -+-oo. Um unsere Behauptung zu beweisen, genützt es dann, wenn wir H( -1 ± Jt - p?) > 0 und 1/( -1) < 0 beweisen. Wir finden

//( -1 ± J1- PD= ( -1 ± Jt- PD 2(PtP3 +Pt- 2)(13 -1 ± J1- pi)

und demnach ist II( -1 ± J1 -PD > 0, weil p1 p3 +Pt- 2 > 0 nach ( 46) und 13 > 2 nach ( 147a). Weiter ist

II( -1) = -ti(l- pi) + 13lPtP3(2- pi) -1]- PHPtP3 -1)

und nach ( 147a) ist deshalb H( -1) < 0. Wir wählen nun t 1 gleich einer der drei Wurzeln von H(td = 0 und haben somit t1 < -1 + .Jl=-P1. Für den Kofaktor

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von t2 in ( 152) erhalten wir dann

13(2 + p?/1,)- PI> pi[13/( 1 + Jt- pi) -I]> 0 (155)

weil t3 > 2. Die rechte Seite von (152) ist auch positiv, und somit t2 > 0. Welche von den drei Wurzeln von H(ld = 0 wir auch wählen, ist nach dem Vorstehenden die Bedinung t1 < 0 < 12 erfüllt.

Aus (148) und (149) folgern wir

2p2(tl- l2) = ll(2 +Pr {I,) - P~

2p3(t3- t2) = p~- 12(2 + PUt,)

(156)

( 157)

wo die rechte Seite von (156) nach (155) positiv ist. Wenn wir die rechte Seite von ( 157) mit 13(2 + pV11) - p~ multiplizieren, erhalten wir nach (152)

[13(2 + PVtt>- PHP~- PHt3- t,- 2)(2 + pVt,) = 2pHt~ + 2t, + PD/t, und dieser Ausdruck ist positiv, wenn t 1 e ( -1- Jt - p~, -1 + Jt - pn. Nach ( 152) ist

<r:~- r2)[t3(2 + PVt,>- pn = ~~<2 + p7fr,>- 2p~,3 + p1(2 + '•> ( 158)

und die rechte Seite ist eine positive quadratische Form von t3 , wenn

0 < (2 + Pr/l,)pH2 + 1,)- P1 = 2p~(t~ + 21, + p~)/t,

d.h., wenn r. e ( -1- Jt- pr, -1 + Jt- pn. Unter dieser Voraussetzung ist nach ( 158) t3 - t2 > 0 und somit nach ( 156) und ( 1 57) p2 > 0; p 3 > 0.

Setzen wir t 1 gleich einer der beiden Wurzeln von /1(11) = 0, welche dem Intervall ( -1 - Jt - pi, -1 + Jt - pT) angehören, und bestimmen dann 12 , p2 , p3 aus bzw. (152), ( 156), ( 157), erhalten wir nach dem Vorstehenden eine Lösung der Gleichungen (148)-( 151), welche die Bedingungen t 1 < 0 < t2 ; p2 > 0; p3 > 0 erfüllen. Mithin haben die Gleichungen ( 48) -(51) eine Lösung, welche die oben angegebenen Bedingungen erfüllen. Dann kann den Beweis von ( 47) wie in P73 durchgeführt werden. Einfacher ist jedoch, den Beweis under Benutzung der oben abgeleiteten Beziehungen auszuführen, wie wir unten zeigen wollen.

Wir bezeichnen mit F(x) eine Verteilungsfunktion, welche eine reine Sprungfunktion mit nur drei Sprünge p1,p2,p3 in x1,x2 ,x3 hat, wo x1 <0<x2 <x3 • Die Existenz einer solchen Funktion ist oben unter der Bedingungen (46) und (147) bewiesen. Dann ist

J3[F] = f:oo f:oo lx- Yl3 dF(x) dF(y) = 2P2P3(x3- X2)3

+ 2P3Pt (x3 - x, )3 + 2p1p2(x2 - x1 )3

(159)

und wir suchen nun tim,.1 .... '"' J3(F]. Aus (48) folgt p3x~ < ß3, und deshalb gilt p3x~ -+0, wenn x3 -+ oo und k < 3. Nach ( 159) erhalten wir dann

tim J3[F] - 2 tim (p3x~ + P1P2(x2- x, )3} X]~OO XJ~OC

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5cand. Actuarial J. I Noch einige Ungleichungen für charakteristische Funktionen 73

weil p 1 + p2 -+ 1, wenn X3 -+ oo. Nach ( 48) können wir auch

tim J3(F]=2ß3+2 lim (PtP2(x2-Xt) 3 +PtX~-p2xn -"3 ...... oo XJ-.oo

schreiben. Durch Einftihrung der Grössen l~c = x~cß 1 /a 2 erhalten wir

lim J 3[F] = 2ß3 + 2a 2ßt lim U(t3 ) ..X'3-+00 t3.-.oo

wo

(160)

( 161)

Nach ( 49) ist p1 11 == p~/2 und nach (149) gilt p2 t2 -+ pU2, wenn 13 -+ oo, was nach

( 161)

lim U(t3) = tim IU2- lt) 3/( -411 12) - <ti + rn/(2pnl (162)

t 3 ... oo t3 .... <Xl

gibt. Wenn t3 -+ oo, folgt aus ( 154) ll(tt)/t~ = t~ + 2tt + p~ + 0(1/t3). Wenn t1 eine Wurzel von //(11) = 0 ist, folgt deshalb d- 2t1 +Pi -+0, wenn t3 -+ oo. Wählen wir z.B. t1 gleich derjenigen Wurzel von ll(t1) = 0, welche ( -1, -1 + Jt - pn angehört, folgt mithin 11 -+ -1 + JI=:cl. Nach ( 152) folgt dann lim,

3 .... <Xl t2 = lim, 3 ... <Xl PV(2 + pVt1) = 1 +~·Hieraus folgern wir

(163)

wenn t3 -+ oo. Dasselbe Ergebnis erhalten wir, wenn wir auch t 1 gleich der Wurzel von /1(1 1)=0 in (-1-Jl-py,-1) wählen. Aus (162) und (163) folgt U(t3)-+ 1, und nach (160) J3[F]-+ 2(ß3 + a 2ß1 ), wenn t3 -+ oo.

LITERATURVERZEICHNIS

Prawitz, H. ( 1973). Ungleichungen für den absoluten Betrag einer charakteristischen Funktion. Skand. Aktuar Tidskr., I 1-16.

Prawitz, II. ( 1975). Weitere Ungleichungen für den absoluten Betrag einer charakteristischen Funktion. Scand. Actuarial J., 21-28.

Received June 1991

Address for correspondence: Häkan Prawitz, Skeppargatan 4, III, S-114 52 Stockholm, Sweden

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Noch einige Ungleichungen für charakteristische Funktionen