Numerische Lösung der 2D Laplace/Poisson-Gleichung

Teilnehmer:Alireza FarmanAuline Rodler

11.04.23

Gliederung:

• Auswertung des zeitinvarianten- Temperaturverlaufs in einem Brennstabelement

• Auswertung der zeitvarianten- Wärmeleitungsgleichung in einer Baguette

• Zusammenfassung und Ausblick

11.04.23

Lösung der zeitinvarianten 2D-Laplace/Poisson Gleichung

mynxnm

Qyxq

oddsmn

sinsin116

,,,

2

Reihenentwicklung von Wärmeverteilung

Matlab programm : Function Reihen_entwicklung

Initialisierung : [x y]= meshgrid (0: 0.01: pi);

also,N=100Für jedes n und m (Zwei ineinandergesetzten Schleifen)

Qnm = 1./(n(i)*m(j));Q_fourier(:,:,ind) = (Q*16/pi^2)*(Qnm.*sin(n(i).*x).*sin(m(j).*y));

(nach den schleifen)Q_fourier = sum(Q_fourier,3);

Temperaturverteilung in einem quadratischen radioaktiven Brennstabelement:

11.04.23 2

Temperaturverteilung:

mynxnmmn

Qyxu

oddsmn

sinsin1116

,,,

222

• Für fehler<0,1 m,n [1:2:7] und für fehler<0,01 m,n[1:2:17]

• Es werden nur an den Eckpunkten größere Fehler berechnet!!

• Fehlerberechnung: Maximaler rel. Fehler bei einem ausgewählten Punkt:eps(x,y)

1,1

,1,1

mn

mnmn

U

UU

Fehler<0,01 Fehler<0,1

11.04.23 3

Lösung der zeitinvarianten 2D-Laplace/Poisson Gleichung

Fehler<0.01für ein 20*20 Gitter

2 4 6 8 10 12 14 16 18

2

4

6

8

10

12

14

16

18

1

2

3

4

5

6

7

8

9

x 10-3 Fehler<0.1 für ein 20*20 Gitter

2 4 6 8 10 12 14 16 18

2

4

6

8

10

12

14

16

18

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

11.04.23 4

)sin()sin(

1

,

1

²

16

,

),(),(),(),( 11 mynx

nmyxk

Q

yxk

yxqyxuyxukyxq

Die Poisson Gleichung mit k und deren Einbindung in die Temperaturverteilung:

Wärmeleitzahl wird im Rahmen dieser Arbeit als konstante behandelt:

)sin()sin(

11

²

16,

1, 11 mynx

nmk

Qyxq

kyxu

Wärmeleitzahl (‘K’)

Temperaturverteilung: mynxnmmn

Qyxu

oddsmn

sinsin1116

,,,

222

Matlab programm : TemperaturverteilungInitialisierung :

[x y]= meshgrid (0: 0.01: pi);

Für jeden n und m bis 17 (ungerade Zahl) Qnm = 1./(n(i)*m(j));

Tnm = Qnm./(n(i)^2+m(j)^2); T_fourier(:,:,ind) =(Q*16/pi^2)*(Tnm.*sin(n(i).*x).*sin(m(j).*y));

Endlig (nach den schleifen)T_fourier = sum(T_fourier,3);

Lösung der zeitinvarianten 2D-Laplace/Poisson Gleichung

11.04.235x (m)

y (m

)

Temperatur Verteilung (Q = 5 Km-2)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

Wie sieht das Ganze aus, wenn man das Gebiet auf eine realistische Geometrie [0,L], mit L, der Länge und Breite des Brennstabes ausdehnt?

YXqYXu ,,

Y

LmX

Ln

nmmn

QYXu

oddsmn

sinsin11

π

L16,

,,22

2

2 mynx

nmmn

Qyxu

oddsmn

sinsin1116

,,,

222

yxqyxu ,,

,0,0, yx LLYX ,0,0, LxX

LyY

Veränderung der Variable:

Veränderung der Länge von Brennstab:

Lösung der zeitinvarianten 2D-Laplace/Poisson Gleichung

11.04.23 6

Auswertung der iterativen Methode: Gauß-Seidel-Verfahren (Einzelschritt-Verfahren)

21,,1,

2

2

2,1,,1

2

2

2

2

y

uuu

yu

x

uuu

xu

jijiji

jijiji

hyx 2

,,1,11,1, 4

h

uuuuuu jijijijiji

qu

2,,1,11,1,

,

4

h

uuuuuq jijijijiji

ji

jijijijijiji qhuuuuu ,2

,1,11,1,, 4

1

Matlab programm : Function Iterativ_method

Initialisierung und Rand Bedigungen : U=10*ones(dim_grid);

U(:,end)=0; U(end,:)=0; U(1,:)=0; U(:,1)=0;

while eps>eps_required (Konvergenzbedingung)Für alle Punkte des Temperaturgitters

U(i,j)=1/4*(U(i+1,j)+U(i-1,j)+U(i,j-1)+U(i,j+1)+Q(i,j)*(dim_section/(dim_grid-1)).^2);

Mit Hilfe dieses Verfahrens wird der Näherungsvektor elementweise neu bestimmt und für die Berechnung der – k-ten Komponente der nächsten Näherung bereits die neuen Daten der ersten Komponenten verwendet.

Lösung der zeitinvarianten 2D-Laplace/Poisson Gleichung

11.04.23 7

Zusammenfassung der simulierten Ergebnisse:

Temperaturfunktion Iterative Methode Matlab PDE Tool

x (m)

y (m

)

Temperatur Verteilung (Q = 5 Km-2)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

Auswertung der iterativen Methode: Gauß-Seidel-Verfahren

Lösung der zeitinvarianten 2D-Laplace/Poisson Gleichung

0)();,0( yLtyu

10)();0,( xBtxu

11.04.23 8

Abkühlen einer Baguette als 2D zeitabhängiges Wärmeleitungsproblem mit Dirichlet RB

0)();,( xTtpixu

0)();,( yRtypiu

Lösung der Zeitvarianten 2D-Wärmeleitungsgleichung

Verteilung der Temperatur: u(x,y;t)

Randbedingungen (Boundary conditions):

Baguette

Baguettestemperatur= 90 °CUmgebungstemperatur= 20 °CHolzplattentemperatur= 30 °C

Ziel Die Baguette auf 40 °C abzukühlen

11.04.23 9

Reihenentwicklung von

oddsn m

oddsmn

t tmnmnn

mynxmtmn

mn

mynxyxu

12

,2

²²exp1²².

sinsin.80²²exp

.

sinsin1120,

yxut ,

Matlab programm : Function Temperatur_b_v2

Initialisierung : [x y]= meshgrid (0: 0.01: pi);

Schleife zur Berechnung von ’W’ (N ist ungerade und M ist integer Zahl):Tnm =(n(i)^2+m(j)^2);

anm=m(i)/(n(i)*Tnm); W(:,:,ind)=anm*sin(n(i)*x).*sin(m(j)*y)*(1-exp(-*b*Tnm*t));

• Schleife zur Berechnung von ’V ’(N und M sind ungerade Zahlen): ind = ind + 1;

Qnm = 1/(n(i)*m(j));Tnm =(n(i)^2+m(j)^2);

V(:,:,ind) = Qnm.*sin(n(i).*x).*sin(m(j).*y)*exp(-*b*Tnm*t); ….

W_tot =(80/pi^2)*sum(W,3); V_tot = (1120/pi^2)*sum(V,3);

T_fourier_temporelle(:,:,page_t) = W_tot+V_tot;

yxV , yxW ,

Für ein Intervall [0,pi] x [0,pi]

Lösung der Zeitvarianten 2D-Wärmeleitungsgleichung

• Für fehler<0,1 m,n [1:2:15]

• Es werden nur an den Eckpunkten größere Fehler berechnet!!

• Fehlerberechnung: Maximaler rel. Fehler bei einem ausgewählten Punkt:eps(x,y)

1,1

,1,1

mn

mnmn

U

UU

Fehler<0,1

11.04.23 3

Lösung der Zeitvarianten 2D-Wärmeleitungsgleichung

Fehler<0.1 für 40 Grad und ein 20*20 Gitter

2 4 6 8 10 12 14 16 18

2

4

6

8

10

12

14

16

18

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

11.04.23 10

Wie sieht das Ganze aus, wenn man das Gebiet auf eine realistische Geometrie [0,L] der Länge und Breite der Baguette ausdehnt? Wo käme ‚a‘ in die Formel rein?

yxut

yxut

t ,,

,0,0, yx LLYX ,0,0, LxX

LyY

Veränderung der Variable:

Veränderung der länge als variable:

oddsn m

oddsmn

t

tmnmnn

mynxm

tmnmn

mynxyxu

12

,2

²²exp1²².

sinsin.80

²²exp.

sinsin1120,

oddsn m

oddsmn

t

tmnL

pia

mnn

mynxm

tmnL

pia

mn

mynxyxu

1

2

2

,

2

2

²²exp1²².

sinsin.80

²²exp.

sinsin1120,

YXuat

YXut

t ,,

Lösung der Zeitvarianten 2D-Wärmeleitungsgleichung

11.04.23 11

Für m=n=1 bis 15, erreicht die Stange nach 26 min 20 °C in der mitte.

Breite der Baguette(m)

Höh

e de

r B

ague

tte(

m)

Temperatur der Baguette nach 22min für m und n=50

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.1

0

5

10

15

20

25

30

35

40[°C]

Temperatur der baguette nach 26 min für m und n bis 15

70[°C]

Es dauert ca. 2 Stunden bis das Baguette komplett abkühlt.

Nach welcher Zeit erreicht die Baguette in der mitte 40 °C?

Lösung der Zeitvarianten 2D-Wärmeleitungsgleichung

11.04.23 12

Darstellung des Temperaturverlaufs für Gitter [20,20]

[°C]

T=56 min Temperatur =16 °C

Lösung der Zeitvarianten 2D-Wärmeleitungsgleichung

Breite der Baguette(m)

Höh

e de

r B

ague

tte(

m)

Temperatur der Baguette nach 56 min für m und n=50

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.1

2

4

6

8

10

12

14

16

Temperatur der Baguette nach 56 min für m und n=15.

Breite der Baguette(m)

Höh

e de

r B

ague

tte

(m)

Temperatur der Baguette nach 26 min für m und n=50

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.1

5

10

15

20

25

30

35

40 [°C]

T=26 min Temperatur =40 °C

Temperatur der Baguette nach 26 min für m und n=15.

[°C]

Ebenso kann die Verschiebung der Isolinien und Abkühlung der Baguette betrachtet werden!

pCa

70

pC

Dichte

Spezifische Wärmekapazität

Notwendige Parameter

a= 0.33 E-6 m²/s (feuchter Sandboden )

Temperaturleitfähigkeit: [m²/s]

Wärmeleitfähigkeit

Abhängig Eigenschaften von Baguette

11.04.23 13

Lösung der Zeitvarianten 2D-Wärmeleitungsgleichung

11.04.23 14

2

,,1,11,1,,1

, 4

h

TTTTTa

t

TT tji

tji

tji

tji

tji

tji

tji

Tat

T

tji

tji

tji

tji

tji

tji

tji TTTTTT

h

taT ,,,1,11,1,2

1, 4

2,,1,11,1, 4

h

TTTTTT

tji

tji

tji

tji

tji

t

TT

t

Ttji

tji

,1

,

Matlab programm : Function Iterativ_method_b

Auswertung der Temperaturverteilung anhand der expliziten Methode:

Initialisierung,Randbedingungen und Anfangsbedingungen:

[x,y] = meshgrid(linspace(0,dim_section,dim_grid));U = 70*ones(dim_grid);

U(:,end) = 0;U(end,:) = 0;

U(:,1) = 0;U(1,:) = 10;

Stabilitätskriterium definiert: alpha = (a*dt)/(dh^2);

if alpha > 0.25 U_tot = NaN;

('!!! Stabilitätskriterium nicht erfüllt !!!!')Else

Schleifen jeweils für die Zeit und i und j und dann wird die Temperatur gerechnet:

U(i,j) = alpha*(U(i+1,j)+U(i-1,j)+U(i,j-1)+U(i,j+1)-4*U(i,j))+U(i,j);

Bei einer expliziten methode wird zur Berechnung der Näherungswerte , nur Werte berücksichtigt die zeitlich vor dem zu berechnenden liegen.

Lösung der Zeitvarianten 2D-Wärmeleitungsgleichung

11.04.23 15

Breite(m)

Höhe

(m)

Explizite Methode: nach 5min erreicht das Baguette schon 40°C!!

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.1

0

5

10

15

20

25

30

35

40

Für ein 10cm viereckiges Baguette, mit a=0.33e-6m²/s, ein Zeit Schritt von 15 sec, erreicht das Baguette nach 5 min in der mitte 40°C!

[°C]

!!!!Problem!!!!

Wenn wir das Gitter verfeinern kommen wir zu falschem Ergebniss. Baguette kühlt sich schneller ab.

Breite(m)

Höhe

(m)

Isolinien der Temperatur (Explizite Methode nach 5 min)

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.10

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.1

5

10

15

20

25

30

35

40

Lösung der Zeitvarianten 2D-Wärmeleitungsgleichung

11.04.23 16

Mit dem PDE-Tool von Matlab braucht man genauso lang, wie bei dem entwickelten Programm.

Reihen Entwicklung Explizite methode Matlab PDE Tool

Zusammenfassung

Breite(m)

Höh

e(m

)

Explizite Methode: nach 5min erreicht das Baguette schon 40°C!!

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.1

0

5

10

15

20

25

30

35

40

Breite(m)

Höhe

(m)

Temperatur der Baguette nach 26 min

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.10

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.1

0

5

10

15

20

25

30

35

40

Lösung der Zeitvarianten 2D-Wärmeleitungsgleichung

Zusammenfassung und Fazit• Die Auswertung für unterschiedliche Längen klappt anhand

der entwickelten Programme ganz gut.• Übereinstimmung der Ergebnisse aus dem iterativen und

dem numerischen Verfahren.• Ergebnisse aus dem Matlab PDE-TOOL übereinstimmen mit

den Ergebnissen aus der Simulation.• Auswertung der Wärmeleitungsgleichung durch explizite

Methode soll evtl. noch verbessert und korrigiert werden.

11.04.23 17

Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit

11.04.23 20