Numerische Strömungssimulation

Vorlesung/Praktikum an der RWTH Aachen

Numerische Simulation von Strömungsvorgängen

B. Binninger

Institut für Technische Verbrennung

Templergraben 64

1. Teil

1.2-0 Zusammenfassung 1. Teil

Praktikumsaufgabe „Potentialströmung“

• Lösung der Potentialgleichung und Stromfunktionsgleichung für eine stationäre,

wirbel- und reibungsfreie zweidimensionale Strömung in einem Kanal

Die Praktikumsaufgabe besteht aus zwei Teilaufgaben

• Teil 1.1: Lösung der Laplace-Gleichungen für rechteckiges Integrationsgebiet

• Teil 1.2: Lösung der Laplace-Gleichungen für krummlinig berandetes

Integrationsgebiet

Nutzanwendung des Teiles 1.2

• Konstruktion eines strukturierten numerischen Gitters aus krummlinigen

orthogonalen Koordinaten

Simulation von Strömungsvorgängen

Mathematische Formulierung des Problems und

mathematische Modellbildung

Partielle Differentialgleichung

Diskretisierung

System von algebraischen Gleichungen

Gleichungslöser

Näherung der exakten Lösung des Problems

Selten direkt, meist iterativ

Oft ein System part.D‘gln

Finite Elemente oder

Differenzen oder finite Volumen

1.1-1

Wir werden diese Schritte in Simulationstechnik V wiederholt anwenden, um

spezielle Aufgaben aus dem Bereich der Strömungsmechanik zu bearbeiten.

Modellierung

Voraussetzung:

Das strömende Fluid kann als Kontinuum angesehen werden kann.

Wir abstrahieren also von der granularen Struktur der Materie und

behaupten, dass die Grenzübergänge

sinnvoll gebildet werden können:

1.1-2

1.1-3

Beispiel: Der Grenzwert existiert und heißt Dichte r:

Diese Definition der Dichte r kann nur dann sinnvoll sein, wenn das im Grenzwert

betrachtete Volumen groß gegen die Abmessungen der Atome oder Moleküle des Fluids

bleibt.

Andererseits muss das Grenzvolumen klein sein gegenüber den makroskopisch

interessierenden Längen des Strömungsproblems.

Beispielsweise Strömungen hochverdünnter Gase können daher mit dem Kontinuumsansatz

nicht zufriedenstellend beschrieben werden. Solche Problemstellungen treten beim

Wiedereintritt von Raumfahrzeugen in die Erdatmosphäre auf in Apparaturen zur

Herstellung von Vakua.

In solchen Fällen werden als mathematisches Modell die Boltzmann-Gleichungen betrachtet.

1.1-3

Bemerkung:

Die Voraussetzung des Kontinuums ist unter Umständen auch bei nichtverdünnten Gasen

nicht für alle Strömungsgrößen erfüllt.

Zum Beispiel ändern sich Strömungsgrößen in Verdichtungsstößen in Fluiden mit geringer

Reibung nahezu sprunghaft (die Dicke der Stoßzone beträgt lediglich mehrer freie

Weglängen).

Wir finden aber auch in diesem Fall eine differentielle mathematische Formulierung des

Problems, die nur stetige Strömungsgrößen enthält, wenn wir nur Erhaltungsgrößen,

betrachten und die Differentialgleichungen in Erhaltungsform formulieren

(vergl. auch die Ausführungen weiter hinter zum Finite-Volumen-Verfahren.)

Für die reibungsfreien Eulergleichungen führt dies auf die sogenannten

schwachen Lösungen.

1.1-4

Unter dieser Voraussetzung kann das Verhalten des Fluids vollständig

beschrieben werden, indem

der thermodynamische Zustand,

der Impuls und

die Energie an jedem Raumpunkt und zu jedem Zeitpunkt

angegeben werden.

Die Verteilung dieser Größen in Raum und Zeit folgen den Prinzipien

• Massenerhaltung

• Impulserhaltung

• Energieerhaltung

1.1-5

Die Mathematische Formulierung dieser Erhaltungsgleichungen führt auf einen

Satz

Partieller Differentialgleichungen

Zzgl. der Rand- und Anfangsbedingungen wird die Entwicklung einer Strömung

in Raum und Zeit damit vollständig beschrieben.

1.1-6

Zusätzliche vereinfachende Annahmen beeinflussen den Charakter und die

Komplexität des mathematischen Problems.

Näherung hier:

• inkompressible oder näherungsweise inkompressible Probleme

• zusätzliche Annahmen um mathematisch besonders einfachen Probleme

an den Anfang unserer Beispiele stellen zu können.

1. Aufgabe: inkompressible, reibungsfreie und wirbelfreie Strömungen

Herleitung der mathematischen Formulierung des Problems aus

Massen-, Impuls- und Energieerhaltung

1.1-7

Inkompressibilität:

Energiegleichung entkoppelt von Impulsgleichung und Kontinuitätsgleichung

Geschwindigkeits- und Druckfeld allein aus Masse- und Impulserhaltung!

Kontinuitäts- und Impulsgleichungen für inkompressible Newtonsche Fluide

Massenerhaltung oder Kontinuitätsgleichung (keine Quellen):

Impulsgleichung:

Gewichtskräfte,

Erdschwerefeld Druckkräfte

Reibungskräfte zeitliche Beschleunigung

räumliche Beschleunigung

1.1-8

Bemerkung und Schreibweisen:

• Der Operator der konvektiven Beschleunigung ist in der Schreibweise

nur für karthesische Koordinaten definiert.

Es gilt die Identität

deren rechte Seite für alle Koordinatensysteme gilt.

• Schwerebeschleunigung aus Potential U:

1.1-9

Mathematische Beschreibung von

Kontinuumsströmungen inkompressibler, Newtonscher Fluide konstanter Viskosität

+ Rand- und Anfangsbedingungen

1.1-10

Abgeleitete Gleichungen:

Wirbeltransportgleichung

Vorteil: Druck und Geschwindigkeitsfeld können unabhängig voneinander

berechnet werden.

Mit der numerischen Lösung dieser Gleichung werden wir uns hier nicht beschäftigen.

Wir werden diese Gleichung aber benutzen, um eine andere mathematische

Formulierung des Strömungsproblems abzuleiten

wirbelfreie, reibungsfreie Strömungen oder Potentialströmungen

1.1-11

Herleitung der Wirbeltransportgleichung:

Es gelingt den Druck aus der Gleichung zu eliminieren, wenn berücksichtigt wird,

dass folgende Identität gilt (Gradientenfelder sind wirbelfrei):

Wir wenden deshalb den Rotationsoperator auf die Impulsgleichung an und

definieren den Wirbelvektor

Es folgt die Wirbeltransportgleichung für ein inkompressibles Newtonsches Fluid

konstanter Zähigkeit:

1.1-12

Behauptung:

Beweis:

Mit dem Levi-Civitaschen Tensor eijk (auch Epsilon-Tensor) lässt sich für kartesische

Koordinaten mit der Einsteinschen Summenkonvention schreiben

Andererseits ist:

(Umbenennen stummer Indizes)

1.1-13

Spezielle Lösung für reibungsfreie Fluide (n = 0):

Potentialströmungen

Das Geschwindigkeitsfeld besitzt eine Potentialfunktion f

Dann ist das Geschwindigkeitsfeld wirbelfrei. Die Wirbeltransportgleichung ist mit

immer erfüllt.

1.1-14

Bestimmungsgleichung für das Potential aus Kontinuitätsgleichung

Mit geeigneten Randbedingungen liefert die Lösung der Potentialgleichung

das Geschwindigkeitsfeld:

Zum Beispiel in kartesischen Koordinaten:

*) Alternative Schreibweise: Df =0. In kartesischen Koordinaten und 2D:

*)

1.1-15

Bemerkung: Die Konstante const gilt überall im Strömungsfeld, nicht nur entlang Stromlinien!

(instat. Bernoullische Gleichung)

Integriert (stationär):

Berechnung des Druckfeldes aus der Impulsgleichung:

1.1-16

Keine freie Oberflächen (stationär):*)

oder

Definition eines Druckbeiwertes:

*) falls keine freie Oberflächen auftreten hebt sich der hydrostatische Druck mit dem

Schwerepotential heraus, p meint dann nur den dynamischen Druckanteil.

1.1-17

Nebenbemerkung

Bestimmung des Druckfeldes aus dem Geschwindigkeitsfeld für wirbelbehaftete

Geschwindigkeitsfelder

Poissongleichung für den Druck

Wir bilden die Divergenz der Bewegungsgleichung

Bei bekanntem Geschwindigkeitsfeld und Randbedingungen ist diese Gleichung

prinzipiell lösbar.

1.1-18

Randbedingungen

Stationäre Strömungen keine Anfangsbedingungen nötig

Die Lösungsverteilung im Inneren eines Integrationsgebietes ist von Randwerten

abhängig.

Vorgabe der Funktionswerte (RB 1. Art) Dirichlet

Vorgabe der Gradienten (RB 2. Art) Neumann

Kombination aus beiden (RB 3. Art)

(Rand des I-Gebietes)

(Integrationsgebiet)

1.1-19

Alternative Formulierung

Wir nutzen folgende Vektoridentität (Wirbelfreiheit von Divergenzfeldern):

Die Kontinuitätsgleichung lässt sich also durch ein Vektorpotential:

Als Bestimmungsgleichung für das Vektorpotential kann die Definition des

Wirbelvektors herangezogen werden:

Mit der bereits bekannten Vektoridentität

folgt:

1.1-20

Spezialfall zweidimensionale Potentialströmung:

Die Komponente des Vektorpotential, die von Null verschieden ist wird

Stromfunktion genannt.

Die Gleichung stimmt formal mit der Potentialgleichung überein, man beachte

aber den anderen Charakter des Laplace-Operator, da die Stromfunktion

die 3. Komponente eines Vektorpotentials darstellt.

Die Geschwindigkeitskomponenten lauten in kartesischen Koordinaten:

Die beiden Formulierungen, Potential versus Stromfunktion, unterscheiden

sich durch die Art der vorzugebenden Randbedingungen.

1.1-21

Beispiele für stationäre Potentialströmungen

Parallelströmung:

Ebene Staupunktströmung:

Quelle:

Potentialwirbel:

Dipol:

Es gilt wegen der Linearität der Differentialgleichungen das Superpositionsprinzip!

Beispiel Halbkörper: Superposition aus Parallelströmung und Quelle

1.1-22

Differenzformulierung auf geordneten, strukturierten Gittern

Integrationsgebiet (2D, rechteckig):

Schrittweiten:

1.1-23

Bei äquidistantem Gitter lassen sich erste Ableitungen durch zentrale Differenzen

wie folgt ausgedrücken:

Für zweite Ableitungen ergibt sich:

Diskretisierung der Potentialgleichung

- Approximation von Ableitungen durch Differenzenformulierung

Approximation erster und zweiter Ableitung:

Der Laplace-Operator ist elliptisch, Einflussbereich symmetrisch im Raum

zentrale Differenzen sind dem angepasst

1.1-24

Ableitung der algebraischen Gleichung

Die Differenzenapproximation der Laplacegleichung führt auf eine

algebraische Gleichung der Form

Lösungsverfahren

Alle Werte unbekannt (implizite Gleichung)

explizierte Formulierung

1.1-25

Lösungsverfahren

Ableitung eines algebraischen Gleichungssystems Lösungsalgorithmen

Direkte Lösungsverfahren :

Gaußscher Algorithmus (im Prinzip möglich, aber sehr aufwendig)

Iterative Lösungsverfahren:

Einfache:

Iterationsverfahren in Gesamtschritten (Jacobi)

Iterationsverfahren in Einzelschritten (Gauß-Seidel)

Einzelschritt- Linienverfahren (Thomas-Algorithmus)

Im Vergleich mit direkten Lösungsverfahren geringer Aufwand und

unempfindlich gegen Rundungsfehler.

1.1-26

Rechenablauf

Eine Anfangsbelegung, Iterationsstart, im Inneren des Integrationsgebietes und auf

dem Rand wird vorgeben.

Die Anfangsbelegung muss auf dem Rand die Randbedingung erfüllen. Sie wird

während der Rechnung nicht verändert (stationäres Problem).

Gesamtschrittverfahren:

Ausschließlich Werte der n–1-ten Iteration werden zur Berechnung der nächsten

Lösungsbelegung, n-ter Iterationsschritt, herangezogen Jacobi.

Einzelschrittverfahren und Einzelschritt-Linienverfahren:

Bereits verbesserte Werte werden mit berücksichtigt Gauß-Seidel bzw.

Thomas-Algorithmus.

1.1-27

1.1-28 Erste Teilaufgabe zum Praktikumsbeispiel „Potentialströmung“

Berechnung einer zweidimensionalen stationären, wirbel- und reibungsfreien

Strömung auf einem rechteckigen Integrationsgebiet durch numerische

Lösung der Potentialgleichung mit einem iterativen Gleichungslöser.

a) Formulieren Sie die Differenzengleichung des Problems!

b) Wählen Sie ein Testproblem: Strömung, Integrationsgebiet und geeignete

Randbedingungen!

c) Formulieren Sie ein algebraisches Gleichungssystem für eine numerische Lösung der

Potentialgleichung oder Stromfunktionsgleichung!

d) Lösen Sie das Gleichungssystem mit einem oder mehreren einfachen Lösungsalgorithmen!

e) Berechnen Sie das Geschwindigkeitsfeld!

f) Berechnen Sie das Druckfeld!

1.1-29

Programmieraufgaben

1) Routine für Eingabedaten

Steuerdaten zu Integrationsgebiet, Anzahl der Stützstellen, Schrittweite, ...

2) Routine für Startbelegung

(z.B. exakte Lösung eines Testproblems)

2) Routine für Randbedingungen

3) Routine für den Lösungsalgorithmus

4) Routine für die Berechnung der Geschwindigkeitskomponenten

5) Routine für die Berechnung des Druckbeiwertes

6) Routine für die Ausgabe

7) Routine für die Fehleranalyse (z.B. Vergleich mit exakter Lösung)

Differenzformulierung auf geordneten, strukturierten Gittern

Integrationsgebiet (2D, rechteckig):

Schrittweiten:

1.1-30

Beispiele für Potentialströmungen

Parallelströmung:

Ebene Staupunktströmung:

Quelle:

Potentialwirbel:

Dipol:

Es gilt wegen der Linearität der Differentialgleichungen das Superpositionsprinzip!

Beispiel Halbkörper: Superposition aus Parallelströmung und Quelle

1.1-31

Druckbeiwert:

1.1-32

Zusammenfassung 1. Teilaufgabe des Teiles 1 des Praktikums

Praktikumsaufgabe „Potentialströmung“ auf kartesischem Gitter

• Lösung der Potentialgleichung für eine stationäre,

wirbel- und reibungsfreie zweidimensionale Strömung

• Lösung der Stromfunktionsgleichung für eine stationäre,

wirbel- und reibungsfreie zweidimensionale Strömung