Numerisches Losen von Differentialgleichungen (DGL)im Schulunterricht:

Modellierung der gedampften Pendelschwingung unddes Falls aus großer Hohe

Christian Spreitzer

OMG-LEHRER/INNEN/FORTBILDUNGSTAGUNG11. April 2015

Universitat Wien

I 1. DGL in der angewandten Mathematik und in der SchuleI 2. Numerische Verfahren zur approximativen Losung von DGLI 3. DGL-Modellierung mit realen Daten: Zwei Beispiele aus der Physik

DGL in der angewandten Mathematik und in der SchuleNumerische Verfahren zur approximativen Losung von DGL

DGL-Modellierung mit realen Daten: Zwei Beispiele aus der Physik

1. DGL in der angewandten Mathematik und in der Schule

Christian Spreitzer, Padagogische Hochschule Niederosterreich Realitatsnahe Modelle aus der Physik

DGL in der angewandten Mathematik und in der SchuleNumerische Verfahren zur approximativen Losung von DGL

DGL-Modellierung mit realen Daten: Zwei Beispiele aus der Physik

Grundlegende physikalische Theorien sind als DGL formuliert:

Maxwellgleichungen [Elektromagnetismus]

div ~E =1

ε0ρ div ~B = 0

rot ~B −1

c2

∂ ~B

∂t= µ0

~j rot ~E +∂ ~B

∂t= 0

[System von 8 linearen, gekoppelten partiellen DGL fur die Felder ~E und ~B]

Schrodingergleichung [Quantenmechanik]

i~∂ψ

∂t= Hψ

[1 lineare partielle DGL fur die Wellenfunktion ψ]

Einsteinsche Feldgleichungen [Allgemeine Relativitatstheorie]

Rab −1

2gabR + gabΛ =

8πG

c4Tab

[System von 10 nichtlinearen, gekoppelten partiellen DGL fur den Metriktensor gabund den Energie-Impuls-Tensor Tab]

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DGL sind nicht nur fur die Grundlagen der Physik von immenser Bedeutung:

DGL tragen nicht nur zum Verstandnis der Natur bei, sie spielen auch in vielenwirtschaftlich und gesellschaftlich relevanten Anwendungen eine große Rolle.

I Maxwellgleichungen [Elektromagnetismus] Radio, Fernsehen, Telekommunikation, ...

I Schrodingergleichung [Quantenmechanik] Transistoren, Laser, Spektroskopie,Kernspintomographie (MRT),Quantenkryptographie, ...

I Einsteingleichungen[Allgemeine Relativitatstheorie] GPS

I Warmeleitungsgleichung[Thermodynamik:

”Wie breitet sich Warme aus?“]

Bauingenieurwesen, Maschinenbau

I Navier-Stokes-Gleichungen [Hydrodynamik:”Wie

bewegen sich Flussigkeiten und Gase?“] Schiffsbau, Flugzeugbau, Wettervorhersage, ...

I Lotka-Volterra-Gleichungen [Populationsdynamik] Biologie, Medizin, Wirtschaftswissenschaften

I Euler-Bernoulli-Gleichung [Balkentheorie] Bauingenieurwesen, Maschinenbau, ...

Abb. 1: Warmeleitungsgleichung, LINK ZUM BILD

Abb. 2: Navier-Stokes-Glgn., LINK ZUM BILD

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DGL-Modellierung mit realen Daten: Zwei Beispiele aus der Physik

Im Mathematikunterricht kommen DGL und numerische Losungsverfahrenfur DGL meist nur als Randthema vor.

In den Lehrplanen werden Differentialgleichungen und numerische Verfahren zwarerwahnt ...

Auszuge aus dem osterreichischen Lehrplan fur Mathematik,Sekundarstufe 2 (Fassung vom 4. 4. 2015, ww.ris.bka.gv.at)

I Aus dem Stoff fur die 8. Klasse: Dynamische Prozesse:- Beschreiben von Systemen mithilfe von Wirkungsdiagrammen, Flussdiagrammen,

Differenzengleichungen oder Differentialgleichungen,- Untersuchen des dynamischen Verhaltens von Systemen,- Losen von einfachen Differentialgleichungen, insbesondere y ′ = k · y .

I Aus dem Vertiefungs- und Erweiterungsstoff im Wahlpflicht-Unterricht:Im Zuge der Erweiterung sind folgende zusatzliche Bereiche moglich:

- Numerische Methoden- Programmierung mathematischer Verfahren- Approximations- und Interpolationsverfahren- Differenzengleichungen und Differentialgleichungen

... die Moglichkeiten, in diesem Rahmen mithilfe des Computers realistischeFragestellungen der angewandten Mathematik zu diskutieren, werden in derschulischen Praxis aber nicht immer genutzt.

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DGL-Modellierung mit realen Daten: Zwei Beispiele aus der Physik

DGL werden oft nur anhand weniger, ausgesuchter Beispiele behandelt.

Typische DGL-Beispiele in Schulbuchern:

I Freier Fall ohne Luftwiderstand

d2s

dt2= −g =⇒ s(t) = s0 + v0t −

gt2

2

I Exponentielles Wachstum und exponentielle Abnahme

dN

dt= λN(t) =⇒ N(t) = N0e

λt

z.B. Populationswachstum, radioaktiver Zerfall.

I Harmonischer Oszillator

md2x

dt2= −kx =⇒ x(t) = A cos(ω0t + ϕ)

[ω2

0 =k

m

]z.B. Federpendel, elektrischer Schwingkreis, Stimmgabel.

Die hier vorliegenden DGL sind jedoch haufig lediglich Idealisierungen mitbeschranktem Gultigkeitsbereich!

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Reibungs- bzw. Dampfungseffekte machen die Sache schon schwieriger:

I”

Freier“ Fall in viskosem Fluid (laminare Stromung)

d2s

dt2= −g−γ

ds

dt=⇒ s(t) = s0 +

1

γ

(v0 +

g

γ

)(1− e−γt

)−

gt

γ

I Logistisches Wachstum: Verhulst-Gleichung

dN

dt= λN(t)−

λ

KN(t)2 =⇒ N(t) =

1(1N0− 1

K

)e−λt + 1

K

z.B. Populationsdynamik.

I Gedampfter Oszillator

md2x

dt2= −kx−β

dx

dt=⇒ x(t) = Ae−

β2t cos(ωt + ϕ)

[ω2 = ω2

0 −β2

4

]z.B. Federpendel, elektrischer Schwingkreis, Stimmgabel.

Diese DGL sind zwar explizit losbar, die Ermittlung der allgemeinen Losung ist aberschon wesentlich aufwendiger. Alternative: Numerische Verfahren!Die Realitat ist allerdings oft noch ein bisschen komplizierter...

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DGL-Modellierung mit realen Daten: Zwei Beispiele aus der Physik

Wirklich realistische DGL-Modelle zur Vorhersage der Ausgange realerExperimente erfordern so gut wie immer numerische Methoden:

I”

Freier“ Fall bei turbulenter Stromung und variabler Viskositat

s(t) = g − F (s(t), s(t)) =⇒ s(t) = ?

I Populationsdynamik mit mehreren Einflussfaktoren

N(t) = λN(t)− F (t,N(t)) =⇒ N(t) = ?

I Gedampfter Oszillator bei großer Auslenkung

mx(t) = −F (x(t), x(t)) =⇒ x(t) = ?

Realitatsnahe Modelle fuhren sehr haufig zu DGL, die ohnehin nur noch approximativbzw. numerisch gelost werden konnen.

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2. Numerische Verfahren zur approximativen Losung von DGL

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DGL-Modellierung mit realen Daten: Zwei Beispiele aus der Physik

Numerische Verfahren fur gewohnliche DGL

Einschrittverfahren:

Betrachte das Anfangswertproblem

x(t) = F (t, x(t)), x(t0) = x0, (AWP)

mit F : [t0,T ]× Rn → Rn stetig und global Lipschitz-stetig bezuglich des zweitenArguments, d.h.

∃ L > 0 : ∀ (t, x), (t, y) ∈ [t0,T ]× Rn : ‖F (t, x)− F (t, y)‖ ≤ L‖x − y‖.

Dann besitzt (AWP) eine eindeutige Losung auf dem Intervall [t0,T ]. Sei x(t) derWert der Losung zur Zeit t und h > 0 eine gewisse Schrittweite. Wir ersetzen nun in

x(t + h) = x(t) +

t+h∫t

F (s, x(s))ds

das Integral durch eine Quadraturformel, um bei bekannter Approximation u(t) derLosung zur Zeit t eine Approximation u(t + h) zur Zeit t + h zu erhalten.

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Numerische Verfahren fur gewohnliche DGL

Mogliche Approximationen fur

x(t + h) = x(t) +

t+h∫t

F (s, x(s))ds

sind etwa

I u(t + h) = u(t) + hF (t, u(t)) ... Eulersches Polygonzugverfahren,I u(t + h) = u(t) + h

2(F (t, u(t)) + F (t + h, u(t + h))) ... Euler-Cauchy-Verfahren,

I u(t +h) = u(t) + h2

(F (t, u(t)) +F (t +h, u(t) +hF (t, u(t)))) ... Heun-Verfahren.

Hier wird das Integral durch ein Rechteck bzw. Trapez approximiert. Verwenden wirhingegen eine Parabel als Approximation (Simpson-Regel), so erhalten wir das

I ... Runge-Kutta-Verfahren

u(t + h) = u(t) +h

6(k1(t) + 2k2(t) + 2k3(t) + k4(t))

mitk1(t) = F (t, u(t)),

k2(t) = F (t +1

2h, u(t) +

1

2hk1(t)),

k3(t) = F (t +1

2h, u(t) +

1

2hk2(t)),

k4(t) = F (t + h, u(t) + hk3(t)).

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DGL-Modellierung mit realen Daten: Zwei Beispiele aus der Physik

Numerische Verfahren fur gewohnliche DGL

Explizite Einschrittverfahren (fur die DGL x(t) = F (t, x(t))) sind von der Form

u(t + h) = u(t) + h Φh,F (t, u(t)),

wobei Φh,F die sogenannte Verfahrensfunktion ist.

Lokaler Diskretisierungsfehler:

Fur (t, x) ∈ [t0,T ]× Rn sei x die Losung des Anfangswertproblems x(t) = F (t, x(t)),x(t) = x . Dann heißt

∆h,F (t, x) :=x(t + h)− x(t)

h− Φh,F (t, x)

der lokale Diskretisierungsfehler (bei (t, x)).

Konsistenz:Ein Einschrittverfahren heißt konsistent, falls

limh→0+

∆h,F (t, x) = 0

(gleichmaßig auf kompakten Teilmengen von [t0,T ]× Rn und fur alle F aus einempassenden Funktionenraum).

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DGL-Modellierung mit realen Daten: Zwei Beispiele aus der Physik

Numerische Verfahren fur gewohnliche DGL

Ordnung:

Wir sprechen von einem Verfahren k-ter Ordnung, falls fur den lokalenDiskretisierungsfehler

∆h,F (t, x) = O(hk ) (h→ 0+)

gilt. Das Euler-Verfahren ist von erster, das Heun-Verfahren von zweiter und dasRunge-Kutta-Verfahren von vierter Ordnung.

Konvergenz:

Geben wir ein beliebiges t ∈ [t0,T ] vor und erreichen t ausgehend von t0 in naquidistanten Schritten der Lange hn = (t − t0)/n, so erhalten wir eine Naherung under Losung x(t) zur Zeit t durch

u0 := x0, ui+1 := ui + hnΦhn,F (t0 + ihn, ui ) (i = 0, ..., n − 1).

Ein Einschrittverfahren mit Verfahrensfunktion Φ heißt konvergent, falls fur allet ∈ [t0,T ]

limn→∞

un = x(t).

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DGL-Modellierung mit realen Daten: Zwei Beispiele aus der Physik

Implementierung des Runge-Kutta-Verfahrens:

Schritt ti ui k1(ti ) k2(ti ) k3(ti ) k4(ti )0 t0 x0 . . . . . . . . . . . .1 . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 . . . . . . . . . . . . . . . . . ....

......

......

......

Hier sindk1(ti ) = F (ti , ui ),

k2(ti ) = F (ti +1

2h, ui +

1

2hk1(ti )),

k3(ti ) = F (ti +1

2h, ui +

1

2hk2(ti )),

k4(ti ) = F (ti + h, ui + hk3(ti )).

Zur nachsten Zeile kommen wir mit den Vorschriften

ti+1 = ti + h,

ui+1 = ui +h

6(k1(ti ) + 2k2(ti ) + 2k3(ti ) + k4(ti )) .

Explizite Einschrittverfahren lassen sich problemlos und mit außerst geringemAufwand in jeder Tabellenkalkulation implementieren!

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DGL-Modellierung mit realen Daten: Zwei Beispiele aus der Physik

3. DGL-Modellierung mit realen Daten: Zwei Beispiele aus der Physik

3.1 Das physikalische Pendel

(3.2 Sprunge aus der Stratosphare)

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Das physikalische Pendel: DGL-Modell

Nach Newtons 2. Gesetz (F = ma) gilt fur die Tangen-tialkomponente der Beschleunigung

aT (t) = −g sinα(t)

und da aT = Lα:

α(t) = −g

Lsinα(t). (P1)

Nur fur kleine Auslenkungen ist sinα(t) ≈ α(t) unddie Schwingung erfolgt (annahernd) harmonisch. DieDGL (P1) fuhrt auf ein elliptisches Integral und ist nichtelementar losbar.

Wird auch die Luft- und Lagerreibung sowie dieEigenmasse des Pendels berucksichtigt, erhalten wir

α(t) = −g

lsinα(t)− c1α(t)− c2α(t)|α(t)|. (P2)

Hier ist l := JmL

die sogenannte reduzierte Pendellangeund J das Massentragheitsmoment des Pendels samtSchwingkorper.

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DGL-Modellierung mit realen Daten: Zwei Beispiele aus der Physik

Das physikalische Pendel: Runge-Kutta-Verfahren

Setzen wir ω := α, so ergibt die Umschreibung

α = ω

ω = −g

lsinα− c1ω − c2ω|ω|

ein DGL-System 1. Ordnung, welches sich fur gegebene Anfangsdaten (α0, ω0)bequem in jeder Tabellenkalkulation numerisch losen lasst. Mit

F (α, ω) :=

(ω

− gl

sinα− c1ω − c2ω|ω|

)sieht der Runge-Kutta-Algorithmus fur diese DGL so aus:

k1(ti ) = F (αi , ωi ),

k2(ti ) = F ((αi , ωi ) +1

2hk1(ti )),

k3(ti ) = F ((αi , ωi ) +1

2hk2(ti )),

k4(ti ) = F ((αi , ωi ) + hk3(ti )).

Wert der Approximation zur Zeit ti+1 = ti + h:(αi+1

ωi+1

)=

(αi

ωi

)+

h

6(k1(ti ) + 2k2(ti ) + 2k3(ti ) + k4(ti ))

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DGL-Modellierung mit realen Daten: Zwei Beispiele aus der Physik

Das Smartphone-Pendel: Modellierung mit realen Daten

Experiment im Schulunterricht:

I Alle gangigen Smartphones sind mitBeschleunigungssensoren ausgestattet. Esgibt kostenlose Apps, die die Sensordatenin Millisekunden-Intervallen auslesen undals csv-Datei abspeichern.

I Ein Smartphone kann als Pendelkorper undMessinstrument verwendet werden - esmuss nur in einer Box am Ende einerSchnur befestigt werden.

I Ist das Display stets senkrecht zurPendelachse orientiert und wird dieBeschleunigungskomponente senkrechtzur Displayebene (az ) aufgezeichnet, dannsind Rotationen des Smartphones um diePendelachse irrelevant.

I Nach dem Experiment wird die csv-Dateiauf einen Rechner ubertragen und zurDGL-Modellierung verwendet.

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Das Smartphone-Pendel - Messdaten:

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Das Smartphone-Pendel - Interpolation der Messdaten:

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Das Smartphone-Pendel

Wie hangt die gemessene Beschleunigungskomponente az mit derLosung der DGL zusammen?

I Das Smartphone erfahrt orthogonal auf dieDisplayebene die Beschleunigung

az (t) = g cosα(t) + aZF

= g cosα(t) + Lω(t)2

= g cosα(t) + Lα(t)2

I Insbesondere oszilliert az (t) damit doppeltso schnell wie α(t) (jedenfalls furAuslenkungen α(t) ≤ π/2).

I Ist (αi , ωi ) die numerische Approximationder Losung zur Zeit ti , sind die Messdatenalso mit

(az )i = g cosαi + Lω2i

zu vergleichen.

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Das Smartphone-Pendel: Vergleich numerische Losung - Messdaten:

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I DGL: α = − gL

sinα− cα|α|(nur Luftwiderstand)

I Aufgetragen sindaz (t) = g cosα(t) + Lα(t)2 und dieMesspunkte (nach Offsetkorrektur).

I Parameter: L = 2.4m (gemessen),c = 0.07m−1 (Abgleich mit Daten).

Modellierungskreislauf!

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Das Smartphone-Pendel: Vergleich numerische Losung - Messdaten:

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3. DGL-Modellierung mit realen Daten: Zwei Beispiele aus der Physik

(3.1 Das physikalische Pendel)

3.2 Sprunge aus der Stratosphare

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DGL-Modellierung mit realen Daten: Zwei Beispiele aus der Physik

Der Dosenhersteller-Stratospharensprung aus 39 km Hohe:

14. 10. 2012, Roswell, New Mexico, USA:

Abb. 3: Karikatur von Gerald Mayerhofer, OON, LINK ZUM BILD

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Der Dosenhersteller-Stratospharensprung aus 39 km Hohe:

Diese Darstellung derGechwindigkeits-Zeit-Kurveentspricht einem Diagrammim

”Red Bull Stratos Sum-

mit Summary Report“.

Genaue Angaben zur Hohe,

Zeit und Geschwindigkeit

wurden von Red Bull nur fur

die 5 eingezeichneten Punk-

te veroffentlicht.

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Berechnung der Geschwindigkeits-Zeit-Kurve eines Stratospharensprungs:

”Freier“ Fall mit Luftwiderstand:

2. Newtonsches Gesetz:

m ~a = ~FG + ~FLW

bzw. ~a = ~g +1

m~FLW

Ist h(t) die Hohe des Springers zur Zeit t, sowird dies zur DGL

d2

dt2h(t) +g −b(h(t), |h(t)|, t)h(t)2 = 0 (∗)

Was brauche ich, um die DGL (∗) aufzustellen?

I Den Begriff der Ableitung,

I den mathematischen Zusammenhang zwischen Weg, Geschwindigkeit und Zeit,

I ein bisschen Physik.

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DGL-Modellierung mit realen Daten: Zwei Beispiele aus der Physik

Berechnung der Geschwindigkeits-Zeit-Kurve eines Stratospharensprungs:

Schrittweise DGL-Modellierung fur den”freien“ Fall aus großer Hohe:

I Kein Luftwiderstand:h(t) + g = 0

I Konstante Atmospharendichte (geringe Absprungshohe):

h(t) + g − c1h(t)2 = 0

I Exponentiell abnehmende Atmospharendichte (große Absprungshohe):

h(t) + g − c2e−h(t)/h0 h(t)2 = 0

I Bei sehr großer Absprungshohe spielen noch andere Effekte eine Rolle:

I Vertikaler Temperaturgradient - Atmospharendichte nicht exponentiell.

I Stromungswiderstandsanstieg bei Durchbrechen der”Schallmauer“.

I Abnahme der Erdanziehungskraft ∝ h(t)−2.

I Korperhaltung und Angriffsflache - cW -Wert.

I Wenn auch Langen- und Breitengrad berucksichtigt werden sollen: DGL-System im R6

und Umrechnung der Losung in das rotierende Bezugssystem”Erde“.

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DGL-Modellierung mit realen Daten: Zwei Beispiele aus der Physik

Berechnung der Geschwindigkeits-Zeit-Kurve eines Stratospharensprungs:

Modellierung des Luftwiderstandes:

d2

dt2h(t) + g − b(h(t), |h(t)|, t)h(t)2 = 0 (∗)

Der”Bremskoeffizient“ b(h(t), h(t), t) hangt ab von

1. der Hohe h(t), weil die Atmospharendichte mitzunehmender Hohe abnimmt:

b1(h(t)) =cWA

2mρ(h(t))

(cW ... Stromungswiderstandskoeffizient)

2. vom Betrag der Geschwindigkeit |h(t)|, weil der

Stromungswiderstand beim Uberschreiten derSchallgeschwindigkeit sprunghaft ansteigt(”Schallmauer“, Prandtl-Glauert-

”Singularitat“):

b2(h(t), |h(t)|) =cW (h(t), |h(t)|)A

2mρ(h(t))

3. von der Zeit t, falls sich die Angriffsflache A desFlugobjekts wahrend des Falls andert (Trudelnetc.):

b3(h(t), |h(t)|, t) =cW (h(t), |h(t)|)A(t)

2mρ(h(t))

Abb. 4

Abb. 5: Durchbrechen der”Schallmauer“,

LINK ZUM BILD

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Modellierung der Atmospharendichte:

Atmosphare mit konstanter Temperatur: ρ(h) = ρ0 exp(−Mg

RTh)

= ρ0 exp(− h

hS

)

Die Atmosphare ist nichtisotherm!

I Troposphare (≈ 0 - 12 km):

ρ(h) = 1.225kg

m3· e−

h8400m

(Halbwertshohe 5.8 km)

I Stratosphare (≈ 15 - 50 km):

ρ(h) = 1.5kg

m3· e−

h6450m

(Halbwertshohe 4.5 km)

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Modellierung der Atmospharendichte - Lehrreiche Literaturrecherche:

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Modellierung der Atmospharendichte - Lehrreiche Literaturrecherche:

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Numerische Losung mit Runge-Kutta-Verfahren, Implementierung in jederTabellenkalkulation moglich - Vergleich der Losungskurven:

Stufe 1 Berucksichtigung der abnehmenden Atmospharendichte (? Messdaten):

d2

dt2h(t) + g − b1(h(t))h(t)2 = 0

[b1(h(t)) =

cWA

2mρ(h(t))

]I Die Konstante

cW A

2m wird ausdem Geschwindigkeitsmaximumermittelt (dies ist die einzigeParameteranpassung)!

I Einfaches Tropospharenmodell:

ρ(h) = 1.225 kg

m3 · e− h

8400m

I Einfaches Stratospharenmodell:

ρ(h) = 1.5 kg

m3 · e− h

6450m

I US-Standardatmospharenmodell:h 7→ ρ(h) durch Interpolationtabellierter Werte

Christian Spreitzer, Padagogische Hochschule Niederosterreich Realitatsnahe Modelle aus der Physik

DGL in der angewandten Mathematik und in der SchuleNumerische Verfahren zur approximativen Losung von DGL

DGL-Modellierung mit realen Daten: Zwei Beispiele aus der Physik

”Schallmauer“ - Literaturrecherche:

Stufe 2 Berucksichtigung des sprunghaften Anstiegs des Stromungswiderstands beimDurchbrechen der Schallmauer:

AEDC-TR-70 -291

FREE-FLIGHT MEASUREMENTS OF SPHERE DRAGAT SUBSONIC, TRANSONIC, SUPERSONIC, AN~D

HYPERS(DNIC SPEEDS FOR CONTINUUM, TRANSITION,___ AND NEAR-FREE-MOLECULAR FLOW CONDITIONS

A. B. Bailey and J. HiattARO, Inc.

March 1971

_______This documerJnt lias been approved for public release and]_______le; its distribution is unlimited.j

_______ :1 5

____ VON KARMAN GAS DYNAMICS FACILITYARNOLD ENGINEERING DEVELOVVENT CENTER

___ AIR FORCE SYSTEMIS COMMAND_____ARNOLD AIR FORCE SrTA!IOCft TENNESSEE

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DGL-Modellierung mit realen Daten: Zwei Beispiele aus der Physik

”Schallmauer“ - Numerische Losung mit Runge-Kutta-Verfahren:

Stufe 2 Berucksichtigung des sprunghaften Anstiegs des Stromungswiderstands beimDurchbrechen der Schallmauer:

d2

dt2h(t)+g−b2(h(t), |h(t)|)h(t)2 = 0

[b2(h(t), |h(t)|) =

cW (h(t), |h(t)|)A2m

ρ(h(t))

]

I Das Geschwindigkeits-maximum (1357.6 km/h) wirdsehr gut getroffen; in dieBerechnung fließt nur eineinziger Parameter ein!

cW -Wert als Funktion der Machzahl

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Trudelphase:

Stufe 3 Berucksichtigung der großeren Angriffsflache des Springers wahrend undnach der Trudelphase:

d2

dt2h(t) + g − b3(h(t), |h(t)|, t)h(t)2 = 0

[b2(h(t), |h(t)|) =

cW (h(t), |h(t)|)A(t)

2mρ(h(t))

]

I Aus Videoaufnahmen ersichtlich:Nach ca. 55 Sekunden begannder Springer zu trudeln, dieanfangs nahezu vertikalePosition wurde wahrend desrestlichen Fluges nicht mehrwiederhergestellt.

Angriffsflache A als Funktion der Zeit

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DGL-Modellierung mit realen Daten: Zwei Beispiele aus der Physik

Rekordsprung von Alan Eustace am24. 10. 2014 aus 41 419 m Hohe:Darstellung der numerisch berech-neten Kurven (Geschwindigkeit vs.Hohe):

Abb. 6: Karikatur von Gerhard Haderer, OON, LINK ZUM BILD

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Zusammenfassung:

I Authentische Fragestellungen und realitatsnahe Modelle aus der Physik fuhren inder Regel auf Differentialgleichungen, die analytisch nur schwer oder gar nichtgelost werden konnen.

I Das numerische Losen von DGL ist durch die Technologieunterstutzung (eineTabellenkalkulation ist vollig ausreichend) nur mit sehr geringem Aufwandverbunden. Daruber hinaus sind numerische DGL-Solver in vielenStandardprogrammen (u.a. GeoGebra) implementiert.

I Smartphones lassen sich uber die eingebauten Sensoren (Beschleunigung,Magnetfeld,...) sehr gut als Messinstrumente einsetzen. Dadurch eroffnen sichviele Moglichkeiten, mathematische DGL-Modelle mit der Realitat zu vergleichenund in einem Modellierungskreislauf zu verfeinern.

Publikation zum Stratospharensprung:C. Spreitzer, E. Suss-Stepancik: Der freie Fall - Von der Stratosphare bis zum Kuipergurtel, Neue

Materialien fur einen realitatsbezogenen Mathematikunterricht 2, ISTRON-Schriftenreihe, 2014.

Quellenverzeichnis fremder Abbildungen:

Abb. 1: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Elmer-pump-heatequation.png

Abb. 2: http://secretofflight.wordpress.com/turbulence/

Abb. 3: Gerald Mayerhofer, in: Oberosterreichische Nachrichten

Abb. 4: US Standard Atmosphere 1976, NASA

Abb. 5: http://en.wikipedia.org/wiki/Sound barrier

Abb. 6: Gerhard Haderer, in: Oberosterreichische Nachrichten

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