54
.МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ КРЕМЕНЧУЦЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ІМЕНІ МИХАЙЛА ОСТРОГРАДСЬКОГО ІНСТИТУТ ЕЛЕКТРОМЕХАНІКИ, ЕНЕРГОЗБЕРЕЖЕННЯ І СИСТЕМ УПРАВЛІННЯ МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ ЩОДО ПРАКТИЧНИХ ЗАНЯТЬ З НАВЧАЛЬНОЇ ДИСЦИПЛІНИ ТЕОРІЯ АВТОМАТИЧНОГО УПРАВЛІННЯ ДЛЯ СТУДЕНТІВ УСІХ ФОРМ НАВЧАННЯ ЗІ СПЕЦІАЛЬНОСТІ 141 – ЕЛЕКТРОЕНЕРГЕТИКА, ЕЛЕКТРОТЕХНІКА ТА ЕЛЕКТРОМЕХАНІКА ЧАСТИНА 1 КРЕМЕНЧУК 2016

КРЕМЕНЧУК 2016 - saue.kdu.edu.uasaue.kdu.edu.ua/upload/disciplines/pract_part1.pdf · Практичне заняття № 5 Побудова АФЧХ за АЧХ і ФЧХ

  • Upload
    others

  • View
    0

  • Download
    0

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: КРЕМЕНЧУК 2016 - saue.kdu.edu.uasaue.kdu.edu.ua/upload/disciplines/pract_part1.pdf · Практичне заняття № 5 Побудова АФЧХ за АЧХ і ФЧХ

.МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

КРЕМЕНЧУЦЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

ІМЕНІ МИХАЙЛА ОСТРОГРАДСЬКОГО

ІНСТИТУТ ЕЛЕКТРОМЕХАНІКИ, ЕНЕРГОЗБЕРЕЖЕННЯ І

СИСТЕМ УПРАВЛІННЯ

1

9

6

01

9

9

7

1

9

7

42

0

0

0

К

р

У

Н

МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ

ЩОДО ПРАКТИЧНИХ ЗАНЯТЬ

З НАВЧАЛЬНОЇ ДИСЦИПЛІНИ

ТЕОРІЯ АВТОМАТИЧНОГО УПРАВЛІННЯ

ДЛЯ СТУДЕНТІВ УСІХ ФОРМ НАВЧАННЯ

ЗІ СПЕЦІАЛЬНОСТІ 141 –

ЕЛЕКТРОЕНЕРГЕТИКА, ЕЛЕКТРОТЕХНІКА ТА ЕЛЕКТРОМЕХАНІКА

ЧАСТИНА 1

КРЕМЕНЧУК 2016

Page 2: КРЕМЕНЧУК 2016 - saue.kdu.edu.uasaue.kdu.edu.ua/upload/disciplines/pract_part1.pdf · Практичне заняття № 5 Побудова АФЧХ за АЧХ і ФЧХ

Методичні вказівки щодо практичних занять з навчальної дисципліни "Теорія

автоматичного управління" для студентів усіх форм навчання зі спеціальності

141 – Електроенергетика, електротехніка та електромеханіка. Частина 1

Укладач: старш. викл. Г. Г. Юдіна

Рецензент д.т.н., проф. О. П. Чорний Кафедра систем автоматичного управління та електропривода

Затверджено методичною радою Кременчуцького національного університету

імені Михайла Остроградського

Протокол № _____ від “____” ________2016 р.

Голова методичної ради _________________ проф. В. В. Костін

Page 3: КРЕМЕНЧУК 2016 - saue.kdu.edu.uasaue.kdu.edu.ua/upload/disciplines/pract_part1.pdf · Практичне заняття № 5 Побудова АФЧХ за АЧХ і ФЧХ

ЗМІСТ

Перелік умовних позначень, одиниць ........................................................................ ..4

Вступ ............................................................................................................................... ..5

1 Перелік практичних занять ........................................................................................ ..6

Практичне заняття № 1 Складання диференціальних рівнянь чотириполю-

сників, визначення передавальних функцій за Лапласом…….……………….6

Практичне заняття № 2 Частотні характеристики динамічних ланок .......... ..9

Практичне заняття № 3 Правило швидкої побудови ФЧХ і ЛАЧХ типових

динамічних ланок ................................................................................................ 13

Практичне заняття № 4 Побудова асимптотичних ЛАЧХ розімкнутих

систем ................................................................................................................... 16

Практичне заняття № 5 Побудова АФЧХ за АЧХ і ФЧХ типових

динамічних ланок і систем ................................................................................. 19

Практичне заняття № 6 Дослідження стійкості САУ за критерієм

Гурвіца ............................................................................................................... ..20

Практичне заняття № 7 Дослідження стійкості САУ за критерієм

Михайлова………………………………………………………………….…...23

Практичне заняття № 8 Дослідження стійкості САУ за критерієм

Найквіста……………………………………………………………….….……25

Практичне заняття № 9 Дослідження стійкості САУ за логарифмічним

критерієм ............................................................................................................ ..29

Практичне заняття № 10 Математичний опис елементів, що складають САУ,

на прикладі двигуна постійного струму незалежного збудження .............. ..31

Практичне заняття № 11 Диференціальні рівняння та передавальні функції

розімкнутих та замкнутих систем ................................................................... ..34

Практичне заняття № 12 Диференціальне рівняння та передавальна функ-ція

помилки. Аналіз системи на астатизм за коефіцієнтами помилок .............. ..36

Практичне заняття № 13 Синтез коректувальних пристроїв за

логарифмічними частотними характеристиками .......................................... ..40

Практичне заняття № 14 Розрахунок і побудова перехідної характеристи-ки

замкнутої скоректованої системи .................................................................... ..44

2 Критерії оцінювання знань студентів ..................................................................... ..52

Список літератури ........................................................................................................ ..53

Page 4: КРЕМЕНЧУК 2016 - saue.kdu.edu.uasaue.kdu.edu.ua/upload/disciplines/pract_part1.pdf · Практичне заняття № 5 Побудова АФЧХ за АЧХ і ФЧХ

ПЕРЕЛІК УМОВНИХ ПОЗНАЧЕНЬ, ОДИНИЦЬ

САУ – система автоматичного управління;

АЧХ – амплітудно-частотна характеристика;

ФЧХ – фазочастотна характеристика;

АФЧХ – амплітудно-фазочастотна характеристика;

ЛАЧХ – логарифмічна амплітудно-частотна характеристика;

ЛФЧХ – логарифмічна фазочастотна характеристика;

БЛАЧХ – бажана логарифмічна амплітудно-частотна характеристика;

ТДЛ – типові динамічні ланки;

КПФ – комплексна передавальна функція;

ДПС НЗ – двигун постійного струму незалежного збудження;

проти-ЕРС двигуна – проти-електрорушійна сила двигуна;

дБ – децибел;

дек – декада;

дБ/дек – децибел на декаду.

Page 5: КРЕМЕНЧУК 2016 - saue.kdu.edu.uasaue.kdu.edu.ua/upload/disciplines/pract_part1.pdf · Практичне заняття № 5 Побудова АФЧХ за АЧХ і ФЧХ

ВСТУП

Дисципліна «Теорія автоматичного управління» лежить в основі всіх

дисциплін, які вивчають прикладні питання автоматизації. Метою її вивчення

є освоєння принципів побудови різних типів систем автоматичного

управління (САУ); вивчення властивостей і особливостей лінійних, нелінійних

і дискретних САУ; вивчення методів аналізу стійкості й якості перехідних

процесів різних САУ; вивчення методів синтезу коректувальних пристроїв з

метою отримання потрібних властивостей САУ.

Метою проведення практичних занять є закріплення студентами

теоретичних знань і отримання навичок, необхідних для розв’язання задач з

дисципліни «Теорія автоматичного управління», виконання курсової роботи,

відповідного розділу дипломного проекту, а також для створення та

аналізування систем автоматичного управління.

У результаті проведення практичних занять студенти повинні:

– знати методи аналізу і синтезу систем управління різними

технологічними об’єктами і процесами, методи дослідження стійкості та

якості перехідних процесів САУ, методи синтезу САУ;

– уміти складати диференціальні рівняння і визначати передавальні

функції як окремих ланок САУ, так і всієї системи в цілому; дослідити

стійкість системи за допомогою алгебраїчних і частотних критеріїв

стійкості; отримати перехідні процеси в САУ; визначити схему і

параметри коректуючих пристроїв.

Усі необхідні розрахунки можна виконувати за допомогою пакетів

прикладних програм, які є на кафедрі систем автоматичного управління та

електропривода.

Page 6: КРЕМЕНЧУК 2016 - saue.kdu.edu.uasaue.kdu.edu.ua/upload/disciplines/pract_part1.pdf · Практичне заняття № 5 Побудова АФЧХ за АЧХ і ФЧХ

1 ПЕРЕЛІК ПРАКТИЧНИХ ЗАНЯТЬ

Практичне заняття № 1

Складання диференціальних рівнянь чотириполюсників, визначення

передавальних функцій за Лапласом

Мета роботи: навчитись складати диференціальні рівняння

чотириполюсників, користуючись основними законами фізики, і за

диференціальними рівняннями визначати передавальні функції за Лапласом.

Короткі теоретичні відомості

Рівняння як диференціальні, так і за Лапласом потрібно записувати у

стандартній формі: вихідна величина y(t) та її похідні записуються в лівій

частині рівняння, вхідна величина x(t) та її похідні – в правій. При цьому

коефіцієнт при вихідній змінній має дорівнювати одиниці.

Передавальною функцією за Лапласом W(S) називається відношення

зображення вихідної величини Y(S) до зображення вхідної величини X(S) за

нульових початкових умов:

)(

)()(

SX

SYSW = .

Завдання до теми. Скласти диференціальне рівняння елемента САУ –

чотириполюсника постійного струму (див. табл. 1), яке пов’язує вхідну U1

(t) та

вихідну U2

(t) величини. Записати його передавальну функцію за Лапласом.

Таблиця 1– Схеми пасивних чотириполюсників постійного струму

№ Елемент САУ № Елемент САУ

1 2 3 4

1

)(

2

tu)(

1

tu

2

C

2

R

1

R

2

)(

2

tu)(

1

tu

2

L

2

R

1

R

1

C

Page 7: КРЕМЕНЧУК 2016 - saue.kdu.edu.uasaue.kdu.edu.ua/upload/disciplines/pract_part1.pdf · Практичне заняття № 5 Побудова АФЧХ за АЧХ і ФЧХ

Продовження таблиці 1

3

)(

2

tu)(

1

tu

2

R

1

R

1

C

4 1

R

2

R

2

C

1

L

)(

2

tu

)(

1

tu

5 2

R

2

C

2

L

)(

2

tu

)(

1

tu

6

2

C

1

L

)(

2

tu

1

R

2

R

1

C

2

L

)(

1

tu

7 1

R

2

R

1

C

2

L

)(

2

tu)(

1

tu

8 1

R

2

R

2

C

2

L

)(

2

tu)(

1

tu

9

)(

2

tu

2

L

L

R

2

1

L

L

R

1

)(

1

tu

10

)(

2

tu

2

C

C

R

2

1

L

1

C

)(

1

tu

11

1

R

2

R

2

C

1

L

)(

2

tu

)(

1

tu

12 2

R

1

R

1

C

2

C

)(

1

tu

)(

2

tu

1

i

2

i

Page 8: КРЕМЕНЧУК 2016 - saue.kdu.edu.uasaue.kdu.edu.ua/upload/disciplines/pract_part1.pdf · Практичне заняття № 5 Побудова АФЧХ за АЧХ і ФЧХ

Приклад 1

Розглянемо Чотириполюсник, зображений на рис. 1.

)(

2

tu)(

1

tu

R

C

Рисунок 1 – Чотириполюсник постійного струму, RC-контур

Запишемо рівняння, відомі з курсу «Теоретичні основи електротехніки»:

U1

(t)

=

(t)

+

U2

(t)

;

U2

(t) = Ri(t);

i(t) = Сdt

tUtUd ))()((

21

⋅;

U2

(t) = RСdt

tdU )(1 – RС

dt

tdU )(2 .

Введемо позначення: Т = RС і запишемо рівняння в стандартній формі:

Тdt

tdU )(2 + U

2

(t) =Т dt

tdU )(1 .

Запишемо це рівняння, використовуючи перетворення за Лапласом:

TSU2

(S) + U2

(S) = TSU1

(S), або (TS + 1)U2

(S) = TSU1

(S),

звідки передавальна функція за Лапласом:

1)(

)()(

1

2

+

==

TS

TS

SU

SUSW =

1+TS

T S.

Контрольні питання

1. Яка є стандартна форма запису диференціальних рівнянь у ТАУ?

2. Запишіть перетворення Лапласа. У чому його сутність?

3. Що означає літера S у перетворенні Лапласа?

4. Які основні властивості перетворення Лапласа вам відомі?

5. Що таке передавальна функція за Лапласом?

Література: [1, 2].

Page 9: КРЕМЕНЧУК 2016 - saue.kdu.edu.uasaue.kdu.edu.ua/upload/disciplines/pract_part1.pdf · Практичне заняття № 5 Побудова АФЧХ за АЧХ і ФЧХ

Практичне заняття № 2

Частотні характеристики динамічних ланок САУ

Мета роботи: навчитись будувати частотні характеристики динамічних

ланок за диференціальними рівняннями динамічних ланок.

Короткі теоретичні відомості

Перетворення Фур’є є окремим випадком перетворення Лапласа за

умови: S = jω, де j = 1− .

Оскільки W(S) = Y(S)/X(S), то можна записати:

W(jω) = Y(jω)/X(jω).

Цю передавальну функцію W(jω) називають частотною або комплексною

(КПФ) передавальною функцією від змінної ω. Її можна записати в

алгебраїчному та показниковому вигляді:

W(jω) = U(ω) + jV(ω) = A(ω)⋅ejϕ(ω) ,

де U(ω) = Re{W(jω)} – дійсна частина КПФ – дійсна частотна функція; її

графік – дійсна частотна характеристика;

V(ω) = Im{W(jω)} – уявна частина КПФ – уявна частотна функція, її графік –

уявна частотна характеристика.

A(ω) = |W(jω)| – модуль КПФ – амплітудна частотна функція, причому

)()()(22

ωωω VUA += ,

її графік називають амплітудно-частотною характеристикою (АЧХ);

ϕ(ω) = Arg{W(jω)} – аргумент КПФ – фазова частотна функція:

ϕ(ω) = arctg (V(ω)/U(ω)),

її графік називають фазочастотною характеристикою (ФЧХ).

ЛАЧХ називають АЧХ системи, виражену в децибелах і побудовану у

логарифмічному масштабі частот. ЛАЧХ та АЧХ пов’язані співвідношенням:

L(ω) = 20 lg A(ω).

ЛФЧХ називають залежність фази ϕ(ω), виражену в градусах чи

радіанах, від частоти ω у логарифмічному масштабі.

Page 10: КРЕМЕНЧУК 2016 - saue.kdu.edu.uasaue.kdu.edu.ua/upload/disciplines/pract_part1.pdf · Практичне заняття № 5 Побудова АФЧХ за АЧХ і ФЧХ

Завдання до теми. За даним диференціальним рівнянням динамічної

ланки (табл. 2) записати його передавальну функцію за Лапласом W(S),

комплексну передавальну функцію W(jω). Розрахувати і побудувати частотні

характеристики ланки:

– амплітудно-частотну характеристику – АЧХ;

– фазочастотну характеристику – ФЧХ;

– амплітудно-фазочастотну характеристику – АФЧХ;

– логарифмічну амплітудно-частотну характеристику – ЛАЧХ.

Таблиця 2 – Диференціальні рівняння динамічних ланок

№ Рівняння ланки 1

))()(

()( txdt

tdxТkty += ; k=10 c

-1

; T= 5 c

2 dt

)t(dxT)t(y

dt

)t(dyT =+ ; T=0,1 c

3 )t(kx)t(y

dt

)t(dyT

dt

)t(ydT =+ξ+ 2

2

22 ; k=1 c

-1

;T= 0,02 c ;ξ = 0,15

4 )t(kx)t(y

dt

)t(dyT

dt

)t(ydT =+ξ− 2

2

22 ; k=30 c

-1

; T= 0,05 c ; ξ = 0,2

5 )t(kx)t(y

dt

)t(dyT =+ ; k=100 c

-1

; T=0,4 c

6 )t(kx)t(y

dt

)t(ydT =+

2

22 ; k=10 c

-1

; T= 0,2 c

7 )t(kx)t(y τ−= ; k=6 c-1

; τ= 2 c

8 )t(kx)t(y

dt

)t(dyT =− ; k=2 c

-1

; T=0,1c

9 ))(

)(()( tx

dt

tdxTkty −= ; k=1 c

-1

; T=0,5c

10 ))t(x

dt

)t(dxT

dt

)t(xdT(k)t(y +ξ+= 2

2

22

; k=50 c-1

; T= 0,1 c; ξ =0,25

11 ))t(x

dt

)t(dxT(k)t(y += ; k=20 c

-1

; T=0,3 c

12 ))t(x

dt

)t(dxT

dt

)t(xdT(k)t(y −ξ+= 2

2

22 ; k=5 c

-1

; T= 0,025 c ; ξ = 0,04

Приклад 2

Розв’язати задачу, якщо рівняння ланки має вигляд:

Page 11: КРЕМЕНЧУК 2016 - saue.kdu.edu.uasaue.kdu.edu.ua/upload/disciplines/pract_part1.pdf · Практичне заняття № 5 Побудова АФЧХ за АЧХ і ФЧХ

)()(

)(

2

2

2

txKty

dt

tyd

T ⋅=− , де K=10 c-1

; T= 0,5 c . (2.1)

Записуємо це рівняння, застосовуючи перетворення за Лапласом:

)()()(

22

SxKSySyST ⋅=−⋅⋅, або (2.2)

)()1()(22

SxKSTSy ⋅=−⋅⋅ . (2.3)

Тоді передавальна функція за Лапласом:

1)(

)()(

22

−⋅

==

ST

K

Sx

SySW . (2.4)

Змінюємо змінну S на jω та отримуємо комплексну передавальну функцію:

222222 111)()(

ωωω

ω

T

K

T

K

jT

KjW

+

−=

−−

=

= . (2.5)

Тобто дійсна частотна функція 22

1 ω+

−=ω

T

K)(U ,

уявна частотна функція 0=ω )(V

.

Амплітудно-частотна функція:

222

22

25,01

10

1)()()(

ωω

ωωω

+

=

+

=+=

T

KVUA . (2.6)

Фазочастотна функція:

;

)(

)(

)(

ω

ω

ωϕ

U

V

arctg= (2.7)

з урахуванням знака дійсної функції, ( ) ,U 0<ω маємо: ( ) π−=ωϕ .

Логарифмічна амплітудно-частотна функція:

)Tlg(KlgT

Klg)(Alg)(L 22

22

12020

1

2020 ω+−=

ω+

=ω=ω , (2.8)

при дБlgKlglgKlg)(L,

T

2010202012020

1

1

===−=ω<<ω, (2.9)

при )lg(40lg20)lg(20lg20)(,

1

22

2

ωωωω TKTKL

T

−=−=>>. (2.10)

Це пряма з нахилом «–40» дБ/дек, частота спряження 1

25,0

11−

=== cT

ω .

Частотні характеристики ланки наведено на рис. 2.

Page 12: КРЕМЕНЧУК 2016 - saue.kdu.edu.uasaue.kdu.edu.ua/upload/disciplines/pract_part1.pdf · Практичне заняття № 5 Побудова АФЧХ за АЧХ і ФЧХ

0 2 6 8 10

2

4

4

6

8

10

A(ω )

ω ,c-1

a)

ф(ω ),град

ω ,c0

-1

б)

+1

+J

0

ωω=0

10

в) г)

-180

L,дБ

ω ,c0,1 1 10 100

ω=1/T=2c

-1

-1

30

20

10

-10

-20

-40 дБ/дек

Рисунок 2 – Частотні характеристики динамічної ланки:

АЧХ (а), ФЧХ (б), АФЧХ (в), ЛАЧХ (г)

Контрольні питання

1. Що таке комплексна передавальна функція?

2. Які частотні функції вам відомі?

3. Що таке логарифмічні частотні характеристики? У якій системі координат

вони будуються?

4. Що таке амплітудо-частотна функція?

5. Що таке фазочастотна функція?

Література: [1, 2].

Page 13: КРЕМЕНЧУК 2016 - saue.kdu.edu.uasaue.kdu.edu.ua/upload/disciplines/pract_part1.pdf · Практичне заняття № 5 Побудова АФЧХ за АЧХ і ФЧХ

Практичне заняття № 3

Правило швидкої побудови ФЧХ і ЛАЧХ типових динамічних ланок

Мета роботи: навчитись швидко (без розрахунків) будувати ЛАЧХ і

ФЧХ типових динамічних ланок за передавальною функцією за Лапласом.

Короткі теоретичні відомості

Передавальні функції W(S) типових динамічних ланок (ТДЛ) за

Лапласом мають вигляд:

пропорційна ланка: W(S) = k,

диференцювальна ланка: W(S) = k⋅S,

інтегрувальна ланка: W(S) = k/S,

аперіодична ланка: 1

)(+⋅

=

ST

kSW

,

коливальна ланка: 12

)(22

+⋅⋅⋅+⋅

=

STST

kSW

ξ, 0 < ξ < 1,

консервативна ланка: 1

)(22

+⋅

=

ST

kSW ,

форсувальна ланка: W(S) = k(TS + 1),

форсувальна ланка другого порядку: ,10);12()( 22

<<+⋅⋅⋅+⋅= ξξ STSTkSW

ланка запізнення: s

ekSW⋅−

⋅=τ)( ,

аперіодична ланка другого порядку: )1)(1(

)(21

+⋅+⋅

=

STST

kSW (не належить

до ТДЛ, але за правилом розглядається), то правило (за винятком

консервативної ланки та ланки запізнення) має вигляд: у передавальній

функції за Лапласом W(S) для типової динамічної ланки розглядається «S» у

максимальному степені. Один степінь «S» відповідає (див. табл. 3):

Таблиця 3

для ЛАЧХ для ФЧХ (аналогічно для ЛФЧХ)

нахилу «20» дБ/дек куту «900

»

якщо «S» у знаменнику, то знак «–»,

тобто нахил «–20» дБ/дек

якщо «S» у знаменнику, то знак «–»,

тобто кут «–900

»

якщо «S» у чисельнику, то знак «+»,

тобто нахил «+20» дБ/дек

якщо «S» у чисельнику, то знак «+»,

тобто кут «+900

»

Page 14: КРЕМЕНЧУК 2016 - saue.kdu.edu.uasaue.kdu.edu.ua/upload/disciplines/pract_part1.pdf · Практичне заняття № 5 Побудова АФЧХ за АЧХ і ФЧХ

Якщо постійна часу Т = 0, тобто Т відсутня у передавальній функції

ланки за Лапласом W(S), то нахил ЛАЧХ не змінюється, тобто постійний,

визначений за табл. 3, і ЛАЧХ проходить через точку з координатами

(1; 20 lgk).; для ФЧХ у цьому разі кут теж не змінюється, тобто постійний,

визначений за табл. 3.

Якщо постійна часу Т присутня у передавальній функції ланки за

Лапласом W(S), то нахил ЛАЧХ змінюється у частоті спряження T

1=ω від

нульового нахилу (низькочастотна асимптота ЛАЧХ, яка завжди проходить

через точку з координатами (1; 20 lgk) або у напрямку цієї точки) до нахилу,

визначеному за табл. 3; кут змінюється від «00

» до максимального кута,

визначеного за табл. 3.

Завдання до теми. Побудувати ЛАЧХ і ФЧХ ТДЛ.

Приклад 3

Розглянемо коливальну ланку з передавальною функцією за Лапласом

12)(

22

+⋅⋅⋅+⋅

=

STST

kSW

ξ, 0 < ξ < 1.

Тут «S» у знаменнику в максимальному степені 2. Згідно з правилом для

ЛАЧХ, якщо один степінь «S» у знаменнику відповідає нахилу «– 20» дБ/дек,

то два степені «S» відповідають нахилу «– 40» дБ/дек.

Оскільки постійна часу Т є у передавальній функції за Лапласом W(S), то

нахил ЛАЧХ змінюється у частоті спряження T

1=ω від нульового до

нахилу «– 40» дБ/дек.

Для ФЧХ максимальний кут буде «–1800». Оскільки постійна часу Т є у

передавальній функції за Лапласом W(S), то кут змінюється від «00» до

максимального кута, обчисленого за табл. 3, тобто до «–1800».

Page 15: КРЕМЕНЧУК 2016 - saue.kdu.edu.uasaue.kdu.edu.ua/upload/disciplines/pract_part1.pdf · Практичне заняття № 5 Побудова АФЧХ за АЧХ і ФЧХ

Контрольні питання

1. Запишіть передавальні функції за Лапласом інтегрувальної та аперіодичної

ланок. Побудуйте їх ЛАЧХ і ФЧХ.

2. Запишіть передавальні функції за Лапласом коливальної та форсувальної

ланок. Побудуйте їх ЛАЧХ і ФЧХ.

3. Запишіть передавальні функції за Лапласом диференцювальної та

пропорційної ланок. Побудуйте їх ЛАЧХ і ФЧХ.

4. Наведіть правило швидкої побудови ЛАЧХ і ФЧХ ТДЛ.

5. Які з ТДЛ є винятком з цього правила?

Література: [1, 2].

-180

1 10

ωзр

1/T

k U

1/T

-90

k

Рисунок 3 – Частотні характеристики коливальної ланки: АЧХ (а), ФЧХ (б), АФЧХ (в), ЛАЧХ (г), ЛФЧХ (д)

д)

ω

ω=0

-180

0 ω→∞

jV

0

ω,с-1

А(ω)

а) в)

20lg k

-40дБ/дек

10 1

ω,с-1

-20

40

20

0

L(ω),дБ

г)

1/T

0

ϕ(ω),град ω,с-1

б)

0

ϕ(ω),град ω,с-1

ξ1

ξ2

ξ3

0,1

Page 16: КРЕМЕНЧУК 2016 - saue.kdu.edu.uasaue.kdu.edu.ua/upload/disciplines/pract_part1.pdf · Практичне заняття № 5 Побудова АФЧХ за АЧХ і ФЧХ

Практичне заняття № 4

Побудова асимптотичних ЛАЧХ розімкнутих систем

Мета роботи: навчитись будувати ЛАЧХ розімкнутої САУ за

передавальною функцією системи.

Короткі теоретичні відомості

Правило побудови асимптотичної ЛАЧХ розімкнутої САУ:

– обчислити частоти спряження ωі

= 1/Ті

, де Ti

– постійні часу окремих ланок;

– обчислені частоти спряження ωi

відмітити вертикальними пунктирними

лініями, ураховуючи, що шкала за віссю ω логарифмічна, нерівномірна;

– обчислити коефіцієнт підсилення розімкнутої САУ у дБ: L = 20lgk, де k –

коефіцієнт підсилення розімкнутої системи;

– відкласти величину 20lgk на частоті ω = 1 c-1;

– через точку з координатами (ω = 1 c-1; L = 20lgk) провести першу асимптоту з

нахилом «–ν⋅20 дБ/дек» (де ν – ступінь астатизму САУ, що визначається як

різниця між числом інтегрувальних та диференцюючих ланок), першу

асимптоту проводять до першої частоти спряження ω1

;

– побудувати другу асимптоту від кінця першої асимптоти до частоти

спряження 2

ω , причому її нахил змінюється на «+20»; «–20»;» «+40»;

«–40» дБ/дек, залежно від того, є ω1

частотою спряження форсувальної,

аперіодичної, форсувальної другого порядку чи коливальної ланки відповідно;

– кожну подальшу асимптоту будувати аналогічно другій.

Якщо будь-яка частота спряження є кратною, а її кратність дорівнює q,

тобто є q однакових елементарних ланок, то зміна нахилу на цій частоті в q

разів більша, ніж на відповідній простій частоті.

Завдання до теми. Побудувати ЛАЧХ розімкнутої САУ, передавальна

функція якої наведена в табл. 4.

Page 17: КРЕМЕНЧУК 2016 - saue.kdu.edu.uasaue.kdu.edu.ua/upload/disciplines/pract_part1.pdf · Практичне заняття № 5 Побудова АФЧХ за АЧХ і ФЧХ

Таблиця 4 – Передавальні функції розімкнутих САУ

№ W (S) 1

)S,)(S,(S)S(W

1050110

100

++

=

2 )S,)(S,)(S(

)S(W1080102012

40

+++

=

3 )S,)(S,(S

)S,()S(W

1010150

110150

++

+

=

4 )S,)(S,)(S(

)S(W104012015

75

+++

=

5 )S,)(S,)(S(

)S,()S(W

10101501

110100

+++

+

=

6 )S,)(S,(S

)S(W1050110

10

++

=

7 )S,)(S,)(S(

)S(W10101501

50

+++

=

8 )S,)(S(S

)S,()S(W

1101

150100

++

+

=

9 )S,)(S,)(S,(

)S(W1001010101050

100

+++

=

10 )S,)(S,)(S(

)S(W

10501501

200

+++

=

11 S)S,)(S,(

)S,()S(W

1020120

15010

++

+

=

12 )S,)(S(S

)S(W12014

25

++

=

Приклад 4

Побудувати ЛАЧХ розімкнутої САУ, передавальна функція якої має

вигляд:

)11,001,0()110(

)1(100

)(

2

+⋅+⋅⋅+⋅⋅

+⋅

=

SSSS

S

SW ,

де k = 100; T1

= 10 c (аперіодична ланка); T2

= 1 c (форсувальна ланка);

cT 1,001,03

== (коливальна ланка).

Обчислюємо 20lg k = 20lg100 = 40 дБ і відмічаємо цю точку на частоті

ω = 1 с-1. Оскільки у знаменнику є чиста S у першому степені, тобто є одна

інтегрувальна ланка, то система астатична першого степеня і перша

Page 18: КРЕМЕНЧУК 2016 - saue.kdu.edu.uasaue.kdu.edu.ua/upload/disciplines/pract_part1.pdf · Практичне заняття № 5 Побудова АФЧХ за АЧХ і ФЧХ

низькочастотна асимптота має нахил «–20» дБ/дек.

У першій частоті спряження ω1

= 1/Т1

= 0,1 с-1 (аперіодична ланка) нахил

змінюється на «–20» дБ/дек і стає рівним «–40» дБ/дек. У другій частоті спря-

ження ω2

= 1/Т2

= 1 с-1 (форсувальна ланка) нахил змінюється на«+20» дБ/дек

і стає рівним «–20» дБ/дек. У третій частоті спряження ω3

= 1/Т3

= 10 с-1

(коливальна ланка) нахил ЛАЧХ змінюється на «–40» дБ/дек і стає рівним

«–60» дБ/дек.

Асимптотичну ЛАЧХ розімкнутої САУ наведено на рис. 4.

Рисунок 4 – Асимптотична ЛАЧХ розімкнутої САУ

Контрольні питання

1. Що таке частота спряження?

2. Через точку з якими координатами проводиться перша асимптота ЛАЧХ?

3. Що таке нахили «–20» дБ/дек, «–40» дБ/дек?

4. Нахил яких ланок змінюється на «–20»;»; «–40» дБ/дек у частотах ωі

=1/Ті

?

5. Наведіть правило побудови асимптотичної ЛАЧХ розімкнутої САУ.

Література: [1, 2, 9].

0,1

-40 дБ/дек

-20 дБ/дек

10 1

ω3

ω2

ω1

L,дБ

-60 дБ/дек

ω,с-1

20lgKVK

-20

40

60

20

0

-20 дБ/дек

Page 19: КРЕМЕНЧУК 2016 - saue.kdu.edu.uasaue.kdu.edu.ua/upload/disciplines/pract_part1.pdf · Практичне заняття № 5 Побудова АФЧХ за АЧХ і ФЧХ

Практичне заняття № 5

Побудова АФЧХ за АЧХ і ФЧХ типових динамічних ланок і систем

Мета роботи: навчитись будувати АФЧХ ланок і систем за їх АЧХ

та ФЧХ.

Короткі теоретичні відомості

На комплексній площині функція W(jω) визначає вектор OC , довжина

якого дорівнює A(ω), а аргумент (кут

між вектором і дійсною додатною

піввіссю) дорівнює ϕ(ω) (рис. 5).

Крива, яку описує кінець

вектора функції W(jω) на

комплексній площині при зміні

частоти ω від 0 до ∞, називається

ампітудно-фазочастотною характе-

ристикою – АФЧХ.

Тобто, якщо ми знаємо графік

фазочастотної функції ϕ(ω) (при зміні частоти ω від 0 до ∞), то для кожного

значення ω відкладаємо від дійсної додатної піввісі кут ϕ(ω), проводимо лінію

і на ній відкладаємо довжину вектора для того ж значення ω за графіком A(ω),

потім з’єднуємо кінці векторів і отримуємо АФЧХ.

Завдання до теми. Побудувати АЧХ, ФЧХ, АФЧХ ТДЛ.

Приклад 5

Розглянемо побудову АФЧХ диференцювальної ланки з передавальною

функцією W(S) = k⋅S. ФЧХ і ЛАЧХ ланки легко побудувати, використовуючи

правило, наведене у занятті 3. Якщо знати ЛАЧХ, легко запам’ятати графік

АЧХ. Оскільки ФЧХ диференцювальної ланки завжди const, =)(ωϕ + 90 0 , то

її АФЧХ буде збігатися з додатною уявною піввіссю (+j). Оскільки при

=ω 00, А(ω ) = 0, а при ω →∞, А(ω )→∞, проставляємо напрям зростання ω на

АФЧХ, стрілка знизу вгору по додатній уявній піввісі (рис. 6).

C ϕ(ω)

0

W(jω) v(ω)

jV

U u(ω)

Рисунок 5 – Амплітудно-

фазочастотна характеристика

А(ω)

Page 20: КРЕМЕНЧУК 2016 - saue.kdu.edu.uasaue.kdu.edu.ua/upload/disciplines/pract_part1.pdf · Практичне заняття № 5 Побудова АФЧХ за АЧХ і ФЧХ

Контрольні питання

1. Що таке АФЧХ?

2. Що таке АЧХ, ФЧХ?

3. На якій площині будуються АФЧХ?

4. АФЧХ є графіком якої функції?

5. Як будувати АФЧХ ланок і систем за їх АЧХ і ФЧХ?

Література: [1, 2].

Практичне заняття № 6

Дослідження стійкості САУ за критерієм Гурвіца

Мета роботи: навчитись визначати стійкість та граничний коефіцієнт

підсилення Кгр

замкнутої системи за критерієм Гурвіца.

Короткі теоретичні відомості

Цей критерій був запропонований німецьким математиком Гурвіцем у

вигляді визначників, що складаються за коефіцієнтами характеристичного

рівняння замкнутої системи.

Спочатку будують головний визначник Гурвіца за таким правилом: по

головній діагоналі визначника зліва направо виписують усі коефіцієнти

характеристичного рівняння від an-1

до a0

у напрямі зменшення індексів.

Стовпці вгору від головної діагоналі доповнюють коефіцієнтами з індексами,

що послідовно зменшуються, а стовпці вниз – коефіцієнтами з індексами, що

ω

ω→∞

ω=0

+90

arctg k 0

jV

U

0

ϕ(ω),град

ω,с-1

0

ω,с-1

А(ω)

а) б) в) Рисунок 6 – Частотні характеристики диференцювальної

ланки: АЧХ (а), ФЧХ (б), АФЧХ (в)

Page 21: КРЕМЕНЧУК 2016 - saue.kdu.edu.uasaue.kdu.edu.ua/upload/disciplines/pract_part1.pdf · Практичне заняття № 5 Побудова АФЧХ за АЧХ і ФЧХ

послідовно збільшуються. Місця у визначнику, що залишилися, заповнюють

нулями.

Відкреслюючи у головному визначникові Гурвіца діагональні мінори,

отримуємо визначники Гурвіца нижчого порядку:

Критерій стійкості Гурвіца формулюється таким чином: для того щоб

система автоматичного управління була стійкою, необхідно та достатньо,

щоб усі визначники Гурвіца були додатними.

Використовуючи алгебраїчний критерій Гурвіца, можна прийняти за

невідомий будь-який параметр системи (наприклад, коефіцієнт підсилення) та

визначити його граничне (критичне) значення, при якому система буде

знаходитися на межі стійкості.

Завдання до теми. Дослідити стійкість замкнутої системи з одиничним

від’ємним зв’язком за критерієм Гурвіца, визначити граничний коефіцієнт

підсилення Кгр

, якщо передавальна функція розімкнутої САУ задана у табл. 4.

Приклад 6

Якщо передавальна функція розімкнутої САУ має вигляд:

)105,0()12,0(

)15,0(200)(

2

+⋅⋅+⋅⋅

+⋅⋅=

SSS

SSW , (6.1)

запишемо передавальну функцію замкнутої САУ з одиничним від’ємним

зв’язком:

)15,0(200)105,0()12,0(

)15,0(200

)(1

)()(

2

3

+⋅⋅++⋅⋅+⋅⋅

+⋅⋅=

+

=

SSSS

S

SW

SWSW . (6.2)

Отримаємо характеристичне рівняння замкнутої САУ, прирівнявши

знаменник Wз

(S), до нуля:

0)15,0(200)105,0()12,0(2

=+⋅⋅++⋅⋅+⋅⋅ SSSS . (6.3)

Після математичних перетворень записуємо характеристичне рівняння

в кінцевому вигляді:

a4

S4 + a3

S3 + a2

S2 + a1

S + a0

= 0, (6.4)

де a4

= 0,01; a3

= 0,25; a2

= 1; a1

= 100; a0

= 200.

Page 22: КРЕМЕНЧУК 2016 - saue.kdu.edu.uasaue.kdu.edu.ua/upload/disciplines/pract_part1.pdf · Практичне заняття № 5 Побудова АФЧХ за АЧХ і ФЧХ

Усі коефіцієнти рівняння додатні, тобто необхідні умови стійкості САУ

виконані. Складаємо визначники Гурвіца четвертого та другого порядку.

075,010001,0125,0101,0

10025,0

200101,00

010025,00

0200101,0

0010025,0

0

00

0

00

2

024

13

024

13

4

<−=⋅−⋅==∆

==∆

aaa

aa

aaa

aa

(6.5)

Оскільки визначник другого порядку від’ємний, за критерієм стійкості

Гурвіца це означає, що система нестійка.

Визначимо граничний коефіцієнт підсилення Кгр

, узявши його за

невідомий параметр. Тоді

a4

= 0,01, a3

= 0,25, a2

= 1, a1

= 0,5Kгр, a0

= Kгр

,

0

5,025,00

101,0

05,025,0

0

0

13

024

13

0304

=

==∆⋅=∆

гр

гр

гр

гр

K

K

K

K

aa

aaa

aa

aa (6.6)

;0)25,05,001,05,0125,0(22

=⋅−⋅⋅−⋅⋅⋅гргргргр

КККК (6.7)

звідси Kгр

=25 с-1

, тобто при К>25 система стає нестійкою.

Контрольні питання

1. Що таке характеристичне рівняння?

2. Як складається головний визначник Гурвіца?

3. Якого порядку буде головний визначник Гурвіца?

4. Сформулюйте критерій Гурвіца.

5. Що таке граничний коефіцієнт підсилення Кгр

?

Література: [1, 2, 4].

Page 23: КРЕМЕНЧУК 2016 - saue.kdu.edu.uasaue.kdu.edu.ua/upload/disciplines/pract_part1.pdf · Практичне заняття № 5 Побудова АФЧХ за АЧХ і ФЧХ

Практичне заняття № 7

Дослідження стійкості САУ за критерієм Михайлова

Мета роботи: навчитись визначати стійкість замкнутої системи за

критерієм Михайлова.

Короткі теоретичні відомості

Запишемо характеристичний поліном замкнутої системи )(SD. Якщо

підставити до нього уявне значення S = jω, то отримаємо комплексний

характеристичний поліном:

),()(

...)()()(01

1

1

ωω

ωωωω

jYX

ajajajajDn

n

n

n

+=

=++++=−

(7.1)

де X(ω) та Y(ω) – дійсна та уявна функції Михайлова. Причому

......)(

.....)(5

5

3

31

4

4

2

20

−+−=

−+−=

ωωωω

ωωω

aaaY

aaaX (7.2)

При зміні частоти ω від 0 до +∞ вектор )( ωjD буде змінюватися за

модулем і напрямком та описувати при цьому своїм кінцем у комплексній

площині деяку криву, яку називають кривою (годографом) Михайлова.

Крива Михайлова починається на додатній дійсній півосі: D(0) = a0

> 0.

Критерій стійкості Михайлова: для того, щоб система автоматичного

керування була стійкою, необхідно та достатньо, щоб крива Михайлова при

зміні частоти ω від 0 до +∞, починаючись при ω = 0 на дійсній додатній

півосі, обходила тільки проти годинникової стрілки послідовно n квадрантів

координатної площини, ніде не перетворюючись на нуль, де n – порядок

характеристичного рівняння.

Крива Михайлова для стійких систем має плавну спіралеподібну форму,

кінець її прямує до нескінченності у квадранті, номер якого дорівнює степеню

характеристичного рівняння.

Знайдемо корені рівнянь:

X(ω) = 0; Y(ω) = 0 (7.3)

Якщо ω0

, ω2

, ω4

, ... – це корені рівняння Y(ω) = 0, причому ω0

< ω2

<ω4

<...;

Page 24: КРЕМЕНЧУК 2016 - saue.kdu.edu.uasaue.kdu.edu.ua/upload/disciplines/pract_part1.pdf · Практичне заняття № 5 Побудова АФЧХ за АЧХ і ФЧХ

ω1

, ω3

, ω5

, ... – корені рівняння X(ω) = 0, причому ω1

<ω3

<ω5

<..., то для стійкої

системи обов’язкове виконання нерівності:

ω0

< ω1

< ω2

< ω3

< ω4

< ω5

<... (7.4)

Звідси випливає ще одне формулювання критерію стійкості Михайлова:

САУ буде стійкою тоді й тільки тоді, коли дійсна X(ω) та уявна Y(ω)

функції Михайлова, прирівняні до нуля, мають усі дійсні та переміжні корені,

причому загальна кількість коренів дорівнює порядку n характеристичного

рівняння, а при ω = 0 виконуються умови X(0) = a0

> 0; Y′(0) > 0.

Завдання до теми. Дослідити стійкість замкнутої системи з одиничним

від’ємним зв’язком за критерієм Михайлова за табл. 4.

Приклад 7

Припустимо, що передавальна функція замкнутої САУ має вигляд:

5,1238109,00025,00000165,0

5,1238)(

23

++⋅+⋅+⋅

=

SSSSW

З

,

тоді характеристичний поліном замкнутої системи:

5,1238109,00025,00000165,0S)( 23

++⋅+⋅+⋅= SSSD .

Запишемо комплексний характеристичний поліном, виконавши

підстановку ωj=S :

( ) ( ) 5,1239j09,0j0025,0j0000165,0)j(23

+⋅+⋅++⋅= ωωωωD

Оскільки 1j2 −= , jj3 −= , 1j4 = , то

( ) ( ) )Y()(09,00000165,05,12390025,0

5,123909,0j0025,00000165,0j)j(

32

23

ωωωωω

ωωωω

jХj

D

+=⋅+⋅−++⋅−=

=+⋅+⋅−⋅−=

,

де 5,12390025,0)( 2

+⋅−= ωωХ , ωωω ⋅+⋅−= 09,00000165,0)Y( 3

.

Розв’яжемо задачу без побудови кривої Михайлова. Для цього

визначаємо корені рівнянь:

05,12390025,0)( 2

=+⋅−= ωωХ ,

009,00000165,0)Y( 3

=⋅+⋅−= ωωω .

Корені першого рівняння 0)( =ωХ :

Page 25: КРЕМЕНЧУК 2016 - saue.kdu.edu.uasaue.kdu.edu.ua/upload/disciplines/pract_part1.pdf · Практичне заняття № 5 Побудова АФЧХ за АЧХ і ФЧХ

.13,7040025,0

5,12391

==ω

Корені другого рівняння 0)Y( =ω :

ω0

= 0,

85,730000165,0

09,02

==ω .

Оскільки частота ω змінюється у діапазоні ,0 ∞<< ω то від’ємні корені

рівнянь не враховуємо. Для стійкої системи обов’язково виконання нерівністі

(7.4), у нашому випадку 0 < 704,13 > 73,85, тобто вищенаведена нерівність не

виконується, і за критерієм Михайлова система нестійка.

Контрольні питання

1. Що таке характеристичний поліном замкнутої системи?

2. Що таке дійсна та уявна функції Михайлова?

3. Як формулюється критерій Михайлова?

4. Критерій Михайлова – це алгебраїчний чи частотний критерій?

5. Що таке годограф Михайлова?

Література: [1, 2, 4].

Практичне заняття № 8

Дослідження стійкості САУ за критерієм Найквіста

Мета роботи: навчитись визначати стійкість замкнутої системи за

АФЧХ розімкнутої САУ.

Короткі теоретичні відомості

Критерій Найквіста:

– якщо розімкнута САУ стійка, то замкнута буде стійкою, якщо АФЧХ

W(jω) розімкнутої САУ не охоплює точку з координатами (-1; j0);

– якщо розімкнута САУ нестійка, то для того, щоб замкнута САУ була

стійкою, необхідно та достатньо, щоб АФЧХ розімкнутої системи

Page 26: КРЕМЕНЧУК 2016 - saue.kdu.edu.uasaue.kdu.edu.ua/upload/disciplines/pract_part1.pdf · Практичне заняття № 5 Побудова АФЧХ за АЧХ і ФЧХ

W(jω) при зміні частоти ω від 0 до +∞ охоплювала точку з

координатами (-1; j0) у додатному напрямку L/2 раз, де L – кількість

правих коренів характеристичного рівняння розімкнутої САУ.

Завдання до теми. Дослідити стійкість замкнутої системи з одиничним

від’ємним зв’язком за критерієм Найквіста, якщо передавальна функція

розімкнутої САУ задана у табл. 4.

Приклад 7

Передавальна функція розімкнутої САУ має вигляд:

)105,0()12,0(

)15,0(200)(

2

+⋅⋅+⋅⋅

+⋅⋅=

SSS

SSW . (8.1)

Розрахуємо АФЧХ розімкнутої системи за ланками:

.

105,0

1

)(;

12,0

1

)(

;15,0)(;

1

)(;

200

)(

54

321

+⋅

=

+⋅

=

+⋅===

S

SW

S

SW

SSW

S

SW

S

SW

(8.2)

Тобто маємо дві інтегрувальні ланки, одну форсувальну ланку, дві

аперіодичні ланки. Розрахунок АЧХ і ФЧХ кожної ланки виконуємо за

відомими формулами, причому ω змінюється у діапазоні ∞ >ω > 0.

Для першої та другої інтегрувальних ланок:

A1

(ω) = 200/ω; ϕ1

(ω) = – 90 0,

A2

(ω) = 1/ω; ϕ2

(ω) = – 90 0. (8.3)

Для третьої форсувальної ланки:

;1)(2

2

33

+⋅= ωω TA ),()(33

ωωϕ ⋅= Tarctg де Т3

= 0,5 с. (8.4)

Для четвертої аперіодичної ланки Т4

= 0,2 с, для п’ятої аперіодичної

ланки Т5

= 0,05 с, та A4

(ω), A5

(ω) і ϕ4

(ω), ϕ5

(ω) обчислюються за формулами:

).()(;1

1)(

2

2

ωωϕ

ω

ω ⋅−=

⋅+

=ii

i

i

TarctgT

A (8.5)

Модуль та аргумент передавальної функції системи, яка складається з

послідовно з’єднаних ланок, які мають АЧХ Aі

(ω) і ФЧХ ϕі

(ω), пов’язані

співвідношеннями:

Page 27: КРЕМЕНЧУК 2016 - saue.kdu.edu.uasaue.kdu.edu.ua/upload/disciplines/pract_part1.pdf · Практичне заняття № 5 Побудова АФЧХ за АЧХ і ФЧХ

∏=

ω=ω

n

1i

i

),(A)(A ∑=

ωϕ=ωϕ

n

1i

i

).()( (8.6)

Розрахуємо АЧХ і ФЧХ розімкнутої системи: АЧХ системи як добуток

АЧХ окремих ланок, а ФЧХ системи як суму ФЧХ окремих ланок. Результати

розрахунків зведемо в табл. 5.

Таблиця 5 – Результати розрахунків АЧХ і ФЧХ ланок і розімкнутої системи 1

,

0 1 2 5 10 20 50 100 200

)(A ω1

∞ 200 100 40 20 10 4 2 1

)j(W ω1

)(ϖϕ1

-900

-900

-900

-900

-900

-900

-900

-900

-900

)(A ω2

∞ 1 0,5 0,2 0,2 0,05 0,02 0,01 0,005

)j(W ω2

)(ϖϕ2

-900

-900

-900

-900

-900

-900

-900

-900

-900

)(A ω3

1 1,12 1,42 2,7 5,1 10,1 25,02 50 100

)j(W ω3

)(ϖϕ3

0 260

450

680

770

840

880

890

89,50

)(A ω4

1 0,98 0,93 0,71 0,45 0,24 0,1 0,05 0,025

)j(W ω4

)(ϖϕ4

0 -110

-220

-450

-630

-760

-840

-870

-890

)(A ω5

1 1 0,99 0,96 0,9 0,7 0,36 0,2 0,1

)j(W ω5

)(ϖϕ5

0 -30

-60

-140

-260

-450

-680

-790

-840

54321

AAAAA)(A =ω ∞ 219,5 65,4 14,7 4,1 0,85 0,07 0,01 0,001

543

21

ϕ+ϕ+ϕ+

+ϕ+ϕ=ωϕ )( -1800

-1680

-1630

-1710

-1920

-2170

-2440

-2570

-2630

Будуємо АФЧХ розімкнутої САУ (див. рис. 7) та визначаємо за

критерієм Найквіста, що замкнута САУ нестійка, оскільки АФЧХ розімкнутої

САУ охоплює точку з координатами (–1; j0).

Page 28: КРЕМЕНЧУК 2016 - saue.kdu.edu.uasaue.kdu.edu.ua/upload/disciplines/pract_part1.pdf · Практичне заняття № 5 Побудова АФЧХ за АЧХ і ФЧХ

-263-257

-244

-217

-192

-171

-168

-163

+J

+1

(-1;J0)

Рисунок 7 – АФЧХ розімкнутої САУ

Контрольні питання

1. Наведіть формули для АЧХ і ФЧХ інтегрувальної ланки.

2. Як розраховується АЧХ розімкнутої системи за АЧХ окремих ланок?

3. Як розраховується ФЧХ розімкнутої системи за ФЧХ окремих ланок?

4. Як формулюється критерій Найквіста?

5. Як будується АФЧХ розімкнутої САУ?

Література: [1, 2, 3].

Page 29: КРЕМЕНЧУК 2016 - saue.kdu.edu.uasaue.kdu.edu.ua/upload/disciplines/pract_part1.pdf · Практичне заняття № 5 Побудова АФЧХ за АЧХ і ФЧХ

Практичне заняття № 9

Дослідження стійкості САУ за логарифмічним критерієм

Мета роботи: навчитись визначати стійкість замкнутої системи за

ЛАЧХ і ЛФЧХ розімкнутої САУ.

Короткі теоретичні відомості

Логарифмічний критерій: для того щоб САУ була стійкою, необхідно і

достатньо, щоб різниця між числом додатних і від’ємних переходів ЛФЧХ

через пряму (-π) на всіх ділянках, де ЛАЧХ додатна, тобто L(ω)>0,

дорівнювала L/2 (L – кількість правих коренів характеристичного рівняння

розімкнутої системи).

Для дослідження стійкості замкнутої системи за логарифмічними

частотними характеристиками будуємо асимптотичну ЛАЧХ і ЛФЧХ

розімкнутої САУ.

Завдання до теми. Дослідити стійкість замкнутої системи з одиничним

від’ємним зв’язком за логарифмічним критерієм, якщо передавальна функція

розімкнутої САУ задана у табл. 4.

Приклад 8

Передавальна функція розімкнутої САУ має вигляд:

)105,0()12,0(

)15,0(200)(

2

+⋅⋅+⋅⋅

+⋅⋅=

SSS

SSW .

Коефіцієнт підсилення у логарифмічній системі координат:

20lgK=20lg200=46 дБ.

Визначаємо частоти спряження:

1

3

1

2

1

1

20

05,0

1

;5

2,0

1

;2

5,0

1

−−−

====== ccc ωωω,

будуємо в логарифмічній системі координат асимптотичну ЛАЧХ і ЛФЧХ

розімкнутої САУ (див. рис. 8), як показано у занятті 4. Причому для ЛФЧХ

значення за кутом «–1800» по осі ординат збігається з віссю ω (з віссю

абсцис). Для ЛФЧХ шкала ϕ(ω) не логарифмічна.

Згідно з логарифмічним критерієм, оскільки на частоті ω ′ , де ЛФЧХ

Page 30: КРЕМЕНЧУК 2016 - saue.kdu.edu.uasaue.kdu.edu.ua/upload/disciplines/pract_part1.pdf · Практичне заняття № 5 Побудова АФЧХ за АЧХ і ФЧХ

набуває значення «–1800», 0>ω′ )(L , замкнена САУ нестійка.

L,дБ

60

50

40

30

20

10

-10

-20

-30

-40

-50

-60

0

0.1 1 2 10 100

ω ,c-1

ω 2ω 1

-90

-120

-150

-180

-210

-240

-270

ф,град

ЛАЧХ

ЛФЧХ

ω '

(-2)

(-3)

(-1)

(-2)

20lgК

ω 3

5 20

Рисунок 8 – Логарифмічні частотні характеристики розімкнутої САУ

Контрольні питання

1. Як формулюється логарифмічний критерій стійкості?

2. Як побудувати асимптотичну ЛАЧХ?

3. Для ЛФЧХ значення за яким кутом по осі ординат збігається з віссю ω?

4. Чому дорівнює коефіцієнт підсилення у логарифмічній системі координат?

5. Що таке розімкнута САУ?

Література: [1, 2, 3].

Page 31: КРЕМЕНЧУК 2016 - saue.kdu.edu.uasaue.kdu.edu.ua/upload/disciplines/pract_part1.pdf · Практичне заняття № 5 Побудова АФЧХ за АЧХ і ФЧХ

Практичне заняття № 10

Математичний опис елементів, що складають САУ, на прикладі двигуна

постійного струму незалежного збудження

Мета роботи: навчитись складати математичний опис елементів, що

складають САУ, на прикладі ДПС НЗ, та визначати, за яких умов і якими

ланками описується ДПС НЗ.

Короткі теоретичні відомості

Двигун постійного струму незалежного збудження (ДПС НЗ) –

електромеханічний пристрій, властивості якого необхідно визначати за

допомогою рівнянь електричної та механічної рівноваги.

При складанні рівнянь електричної та механічної рівноваги ДПС НЗ,

зробимо такі припущення:

– магнітний потік Ф = const;

– момент опору навантаження, приведений до вала двигуна, дорівнює нулю,

Mc

= 0.

Складемо рівняння балансу напруг:

(t) = )()(

)( tedt

tdiLRti

д

+⋅+⋅ , (10.1)

де Uд

(t) – керуюча напруга; i(t) – струм якірного кола; R – активний опір

обмоток та щіток; L – індуктивність обмоток; eд

(t) = )(tcФ ω⋅ – проти-ЕРС

двигуна.

Рисунок 9 – Принципова схема ДПС НЗ

ОЗД

U

д

(t)

ω(t)

Page 32: КРЕМЕНЧУК 2016 - saue.kdu.edu.uasaue.kdu.edu.ua/upload/disciplines/pract_part1.pdf · Практичне заняття № 5 Побудова АФЧХ за АЧХ і ФЧХ

Складемо рівняння балансу моментів:

M(t)

= dt

tdJM

c

)(ω⋅+ , (10.2)

M(t) = )(tikФ ⋅ , (10.3)

де J – момент інерції мас, що обертаються, приведений до вала двигуна.

Введемо позначення: ke

= сФ, kм

= kФ. Оскільки Mc

= 0, прирівнявши

(10.2) і (10.3), отримуємо:

dt

td

k

Jti

м

)()(

ω

⋅= (10.4)

Підставивши (10.4) до (10.1), отримуємо:

(t) = )()()(

2

2

tkdt

td

k

JL

dt

td

k

JRe

мм

ω

ωω

⋅+⋅⋅+⋅⋅ . (10.5)

Поділимо обидві частини на e

k :

)(

1)(

)()(2

2

tUk

tdt

td

kk

JR

dt

td

kRk

RJLд

eeмeм

⋅=+⋅

⋅+⋅

⋅⋅

⋅⋅ω

ωω (10.6)

Уведемо позначення:

м

Tkk

JR=

⋅ – електромеханічна постійна часу двигуна;

е

TR

L= – електромагнітна постійна часу двигуна;

д

e

kk

=

1 – коефіцієнт підсилення двигуна,

тоді рівняння (10.6) отримає вигляд:

).()()()(

2

2

tUktdt

tdT

dt

tdTT

ддмeм

⋅=+⋅+⋅⋅ ω

ωω

(10.7)

Якщо Тм

і Те

дуже малі (Тм

→0, Те

→0), тобто значеннями Тм

і Те

можливо нехтувати, то рівняння (10.7) отримає вигляд:

),()( tUktдд

⋅=ω

(10.8)

у цьому випадку ДПС НЗ описується пропорційною ланкою з передавальною

функцією:

W(S) = kд

. (10.9)

Page 33: КРЕМЕНЧУК 2016 - saue.kdu.edu.uasaue.kdu.edu.ua/upload/disciplines/pract_part1.pdf · Практичне заняття № 5 Побудова АФЧХ за АЧХ і ФЧХ

Якщо Т

м

>> Те

, тобто Те

можна не враховувати в рівнянні (10.7), то

рівняння (10.7) отримає вигляд:

),()()(

tUktdt

tdT

ддм

⋅=+⋅ ω

ω

(10.10) у цьому випадку ДПС НЗ описується аперіодичною ланкою з передавальною

функцією:

1)(

+⋅

=

ST

kSW

м

д

. (10.11)

Уведемо позначення:

Тм

Те

= Т2

; Тм

= 2ξТ, тоді рівняння (10.7) отримає вигляд:

).()()(

2)(

2

2

2

tUktdt

tdT

dt

tdT

дд

⋅=+⋅⋅⋅+⋅ ωω

ξω

(10.12)

Якщо 1 > ξ > 0, то ДПС НЗ описується коливальною ланкою з передава-

льною функцією:

12)(

22

+⋅⋅⋅+⋅

=

STST

kSW

ξ, 0 < ξ < 1, де Т = ,

ем

ТТ ⋅

.5,0

е

м

Т

Т⋅=ξ

(10.13)

Якщо 8 ≥ ξ ≥ 1, то ДПС НЗ описується аперіодичною ланкою другого

порядку з передавальною функцією:

,)1)(1(

)(21

+⋅+⋅

=

STST

kSW де

.)1(

2

2,1

−±

=

ξξ

ТT

(10.14)

Якщо ξ >8, тобто Тм

>> Те

, то ДПС НЗ описується аперіодичною ланкою

(10.10) з передавальною функцією (10.11).

Завдання до теми. Скласти математичний опис елементів слідкуючої

системи, яка зображена на на рис. 10.

Контрольні питання

1. Які припущення зроблені при виведенні рівняння ДПС НЗ?

2. За яких умов ДПС НЗ описується коливальною ланкою?

3. За яких умов ДПС НЗ описується аперіодичною ланкою?

4. За яких умов ДПС НЗ описується аперіодичною ланкою другого порядку?

5. За яких умов ДПС НЗ описується пропорційною ланкою?

Література: [2, 4, 6, 7].

Page 34: КРЕМЕНЧУК 2016 - saue.kdu.edu.uasaue.kdu.edu.ua/upload/disciplines/pract_part1.pdf · Практичне заняття № 5 Побудова АФЧХ за АЧХ і ФЧХ

Практичне заняття № 11

Диференціальні рівняння та передавальні функції розімкнутих і

замкнутих систем

Мета роботи: навчитись складати диференціальні рівняння та

передавальні функції розімкнутої і замкнутої систем.

Короткі теоретичні відомості

Для отримання диференціальних рівнянь системи складають рівняння та

передавальні функції для кожного елемента. Розв’язуючи рівняння системи,

можна визначити значення вихідної координати y(t) системи в будь-який

момент часу при вибраному законі зміни задаючих x(t) впливів.

Завдання до теми. Скласти диференціальні рівняння та передавальні

функції розімкнутої і замкнутої систем, структурна схема якої зображена на

рис. 10, але у зворотному зв’язку стоїть підсилювач з передавальною функцією

.)(п

КSW =

Приклад 10

Скласти диференціальні рівняння та передавальні функції розімкнутої і

замкнутої систем, структурна схема якої зображена на рис. 10.

θ

КФД

К1ТS2ST

К

22

д

+ξ+)1SТ(

К

к

ЕМП

+ S

Кред

)S(α

)S(β−

)S(θ )S(Uθ

)S(UФД

)S(UД

)S(ω )S(β

Рисунок 10 – Структурна схема слідкуючої системи

Розмикаємо схему на рис. 10 перед елементом порівняння (ланцюг

зворотного зв’язку) і розгортаємо її у прямий ланцюг. Для розімкнутої САУ

вхідною величиною є кут розугодження )(Sθ , а вихідною – кут повороту )(Sβ

вала робітничого механізму. Рівняння розімкнутої САУ повинно зв’язувати ці

дві величини.

Page 35: КРЕМЕНЧУК 2016 - saue.kdu.edu.uasaue.kdu.edu.ua/upload/disciplines/pract_part1.pdf · Практичне заняття № 5 Побудова АФЧХ за АЧХ і ФЧХ

Коефіцієнт підсилення розімкнутої САУ Кv

, знаходиться як добуток

коефіцієнтів підсилення окремих елементів схеми:

РЕДФДДЕМПv

КККККК ⋅⋅⋅⋅=θ

. (11.1)

Передавальна функція розімкнутої САУ, з одного боку, являє собою

відношення:

)(

)((S)W

р

S

S

θ

β= ,

а з другого боку – це послідовне з’єднання п’яти динамічних ланок, тобто

SSТSTST

К

S

SSW

к

V

р

⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅

==

)12()1()(

)()(

22 ξθ

β . (11.2)

Розкривши у знаменнику скобки, отримаємо передавальну функцію

розімкнутої САУ:

SSТTSТТТSTT

К

S

SSW

ккк

V

р

+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅++⋅⋅

==23242

)2()2()(

)()(

ξξθ

β , (11.3)

звідки алгебраїчне рівняння за Лапласом:

),()()()2()()2()(

23242

SКSSSSTTSSTТTSSTT

vккк

θββξβξβ ⋅=⋅+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅

Скориставшись властивостями перетворення Лапласа, отримуємо

диференціальне рівняння розімкнутої системи:

)(

)()(

)2(

)(

)2(

)(

2

2

3

3

2

4

4

2

dt

td

dt

td

TT

dt

td

TТT

dt

td

TT

vккк

θ

ββ

ξ

β

ξ

β

⋅=+⋅⋅++⋅⋅⋅++⋅

.(11.4)

Замикаємо ланцюг зворотного зв’язку. Для замкнутої системи вхідною

величиною є кут повороту вхідного вала )t(α , а вихідною – кут повороту )t(β .

У замкнутій системі величина )t(θ являє собою кут розугодження:

)()()( ttt βαθ −= . (11.5)

Отже, рівняння замкнутої САУ можно отримати з рівняння розімкнутої

САУ (11.4), підставивши до останнього рівняння замикання (11.5):

)()(

)()(

)2(

)(

)2(

)(

2

2

3

3

2

4

4

2

tKtК

dt

td

dt

td

TT

dt

td

TТT

dt

td

TT

vvккк

βα

ββ

ξ

β

ξ

β

⋅−⋅=+⋅⋅++⋅⋅⋅++⋅

або

Page 36: КРЕМЕНЧУК 2016 - saue.kdu.edu.uasaue.kdu.edu.ua/upload/disciplines/pract_part1.pdf · Практичне заняття № 5 Побудова АФЧХ за АЧХ і ФЧХ

)()(

)()(

)2(

)(

)2(

)(

2

2

3

3

2

4

4

2

tКtK

dt

td

dt

td

TT

dt

td

ТTT

dt

td

TT

vvккк

αβ

ββ

ξ

β

ξ

β

⋅=⋅++++++

(11.6)

З диференціального рівняння (11.6) отримуємо алгебраїчне рівняння за

Лапласом:

( ) )()()2()2(

23242

SКSКSSTTSTTTSTT

vvкkк

αβξξ ⋅=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅++⋅⋅. (11.7)

Диференціальному рівнянню замкнутої САУ (11.6) відповідає

передавальна функція замкнутої САУ (11.8), яку отримуємо з рівняння (11.7):

vккк

V

з

KSSТTSТТТSTT

К

S

SSW

++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅++⋅⋅

==23242

)2()2()(

)()(

ξξα

β . (11.8)

Контрольні питання

1. Що є вхідною та вихідною величинами для розімкнутої САУ?

2. Що є вхідною та вихідною величинами для замкнутої САУ?

3. Що таке сигнал розугодження?

4. Якими властивостями перетворення Лапласа користувались при отриманні

диференціальних рівнянь розімкнутої та замкнутої САУ?

5. Чому дорівнює коефіцієнт підсилення розімкнутої САУ?

Література: [2, 3, 4].

Page 37: КРЕМЕНЧУК 2016 - saue.kdu.edu.uasaue.kdu.edu.ua/upload/disciplines/pract_part1.pdf · Практичне заняття № 5 Побудова АФЧХ за АЧХ і ФЧХ

Практичне заняття № 12

Диференціальне рівняння та передавальна функція помилки. Аналіз

системи на астатизм за коефіцієнтами помилок

Мета роботи: навчитись складати диференціальне рівняння та

передавальну функцію помилки, досліджувати САУ на астатизм за допомогою

коефіцієнтів помилок.

Короткі теоретичні відомості

Помилка )(tε характеризує точність відтворення слідкуючою системою

вхідної величини. Помилка регулювання в усталеному режимі може бути

представлена рядом:

...)(

!3

)(

!2

)()()(

3

3

3

2

2

2

10

++++=

dt

txdC

dt

txdC

dt

tdxCtxCtε , (12.1)

де )(tx – задаючий сигнал; i

C – коефіцієнти помилок: 0

C – коефіцієнт помилки

за положенням; 1

C – коефіцієнт помилки за швидкістю; 2

C – коефіцієнт

помилки за прискоренням.

Залежно від наявності помилки регулювання у сталому режимі САУ

поділяються на статичні та астатичні.

Система, у якій у сталому режимі при постійному вхідному впливі

помилка не дорівнює нулю, називається статичною.

Система, у якій у сталому режимі помилка дорівнює нулю, називається

астатичною. Причому, якщо ця помилка дорівнює нулю за умов x(t) = const, то

система є астатичною першого порядку.

Якщо помилка дорівнює нулю при впливах, що лінійно змінюються,

тобто x(t) = kt, то система є астатичною другого порядку, при x(t) = kt2 –

астатичною третього порядку і т. д.

Завдання до теми. Скласти диференціальне рівняння та передавальну

функцію помилки, дослідити САУ на астатизм за допомогою коефіцієнтів

помилок, структурна схема якої зображена на рис. 10, але у зворотному

зв’язку стоїть підсилювач з передавальною функцією .)(п

КSW =

Page 38: КРЕМЕНЧУК 2016 - saue.kdu.edu.uasaue.kdu.edu.ua/upload/disciplines/pract_part1.pdf · Практичне заняття № 5 Побудова АФЧХ за АЧХ і ФЧХ

Приклад 12

Для розглянутої системи (див. заняття 11) запишемо диференціальне

рівняння та передавальну функцію помилки системи. За вхідну величину слід

брати кут повороту )(tα , а за вихідну – кут розугодження )(tθ .

Рівняння помилки може бути отримано з рівняння розімкнутої системи

(11.4) при підстановці до останнього різниці:

)()()( ttt θαβ −= : (12.2)

( ) ( )

( ) ( )).(

)()()()(

)2(

)()(

)2(

)()(

2

2

3

3

2

4

4

2

dt

ttd

dt

ttd

TT

dt

ttd

TTT

dt

ttd

TT

кк

θ

θαθα

ξ

θα

ξ

θα

⋅=

+

⋅⋅++

+

⋅⋅⋅++

(12.3)

Зробивши перетворення, отримуємо диференціальне рівняння помилки:

).(

)()(

)2(

)(

)2(

)(

)()(

)2(

)(

)2(

)(

v

2

2

3

3

2

4

4

2

2

2

3

3

2

4

4

2

dt

td

dt

td

TT

dt

td

TТТ

dt

td

TT

dt

td

dt

td

TT

dt

td

TTT

dt

td

TT

ккк

ккк

θ

θθ

ξ

θ

ξ

θ

αα

ξ

α

ξ

α

⋅++⋅⋅++⋅⋅⋅++⋅⋅=

=+⋅⋅++⋅⋅⋅++⋅

(12.4)

Запишемо (12.4) в операторному вигляді:

( )( )

).()2()2(

)()2()2(

V

23242

23242

SКSSTTSTTТSTT

SSSTTSTTTSTT

ккк

ккк

θξξ

αξξ

⋅++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅++⋅⋅=

=⋅+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅++⋅⋅

(12.5)

Рівнянню помилки відповідає передавальна функція помилки:

.)2()2(

)2()2(

)(

)()(

23242

23242

Vккк

ккк

пом

КSSTTSTTTSTT

SSTTSTTTSTT

S

SSW

++⋅++⋅++

+⋅++⋅++

==

ξξ

ξξ

α

θ (12.6)

Дослідимо САУ на астатизм за допомогою коефіцієнтів помилок i

C .

Коефіцієнти помилок визначаються за передавальною функцією помилки

)(SWпом

та її похідними.

Визначимо коефіцієнти помилок 0

C і 1

C за передавальною функцією

помилки (12.6):

00

)S(0

0

====

v

S

пом

KWC ; (12.7)

Введемо позначення:

Page 39: КРЕМЕНЧУК 2016 - saue.kdu.edu.uasaue.kdu.edu.ua/upload/disciplines/pract_part1.pdf · Практичне заняття № 5 Побудова АФЧХ за АЧХ і ФЧХ

2

4

ТTa

к

⋅=,

к

TTТa ⋅⋅⋅+= ξ2

2

3

,

TТa

к

⋅⋅+= ξ2

2

, (12.8)

1

1

=a,

v0

Кa =.

Передавальна функція помилки при цьому має вигляд:

.

)(

)()(

01

2

2

3

3

4

4

1

2

2

3

3

4

4

aSaSaSaSa

SaSaSaSa

S

SSW

пом

+⋅+⋅+⋅+⋅

⋅+⋅+⋅+⋅

==

α

θ

(12.9)

( )( )( )( )( )

.00

)234

234(

)S(

0

1

2

0

101

2

01

2

2

3

3

4

4

12

2

3

3

4

1

2

2

3

3

4

4

01

2

2

3

3

4

4

12

2

3

3

4

0

1

≠=

⋅−⋅

=

=

+⋅+⋅+⋅+⋅

+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅×

×⋅+⋅+⋅+⋅−

−+⋅+⋅+⋅+⋅×

×+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅

==

=

a

a

a

aaa

aSaSaSaSa

aSaSaSa

SaSaSaSa

aSaSaSaSa

aSaSaSa

dt

dWC

S

пом

(12.10)

Оскільки С0

= 0, а С1

≠ 0 робимо висновок, що система астатична першого

порядку.

Контрольні питання

1. Яка система називається статичною?

2. Яка система називається астатичною?

3. Що таке помилка регулювання?

4. Яким рядом може бути подана помилка регулювання у сталому режимі?

5. Як визначити коефіцієнти помилок за передавальною функцією помилки?

Література: [2, 3, 4].

Page 40: КРЕМЕНЧУК 2016 - saue.kdu.edu.uasaue.kdu.edu.ua/upload/disciplines/pract_part1.pdf · Практичне заняття № 5 Побудова АФЧХ за АЧХ і ФЧХ

Практичне заняття № 13

Синтез коректувальних пристроїв за логарифмічними частотними

характеристиками

Мета роботи: освоїти метод синтезу коректувального пристрою за

логарифмічними частотними характеристиками.

Короткі теоретичні відомості

ЛАЧХ послідовного коректувального пристрою Lкп

(ω) може бути

отримана як різниця характеристик скоректованої, бажаної (БЛАЧХ) Lб

(ω) і

початкової L0

(ω) систем: Lкп

(ω) = Lб

(ω) – L0

(ω).

Синтез коректувального пристрою складається з таких етапів:

– побудова ЛАЧХ початкової системи L0

(ω);

– побудова бажаної ЛАЧХ Lб

(ω), що відповідає заданим показникам якості;

– визначення ЛАЧХ послідовного коректувального пристрою графічним

відніманням характеристики L0

(ω) від характеристики Lб

(ω);

– визначення передавальної функції послідовного коректувального

пристрою Wкп

(s) за його ЛАЧХ;

– вибір схеми пасивного чотириполюсника, яка реалізує отриману

передавальну функцію, й розрахунок його параметрів;

– перевірковий розрахунок скоректованої системи.

При побудові БЛАЧХ виділяють чотири основні зони (рис. 11):

– зона I дуже низьких частот (0 ÷ ω′1

), характеризує степінь астатизму

системи ν; нахил БЛАЧХ у цій зоні дорівнює «–ν⋅20» дБ/дек; ν дорівнює

різниці інтегрувальних і диференцювальних ланок у розімкнутій системі;

– зона ІІ низьких частот (ω′1

÷ ω′2

); нахил БЛАЧХ у цій зоні визначається

кількістю аперіодичних (коливальних) ланок, що мають постійну часу

Т = 1/ω′1

, і складає «–40» або «–60» дБ/дек;

– зона ІІІ середніх частот (ω′2

÷ ω′3

) визначає запаси стійкості за фазою й

амплітудою, а також якість системи у перехідному режимі. Для

забезпечення необхідних показників якості нахил БЛАЧХ у цій зоні

Page 41: КРЕМЕНЧУК 2016 - saue.kdu.edu.uasaue.kdu.edu.ua/upload/disciplines/pract_part1.pdf · Практичне заняття № 5 Побудова АФЧХ за АЧХ і ФЧХ

обов’язково повинен дорівнювати «–20» дБ/дек, а ширина зони бути не

менше однієї декади (чим більша ширина, тим більші запаси стійкості й

менша коливальність системи); ωзр

– частота зрізу;

– зона IV високих частот (ω′3

÷ ∝). Нахил БЛАЧХ у цій зоні слід вибирати

найбільш крутим, що дозволяє зменшити величину помилок. З іншого

боку, хід БЛАЧХ у цій зоні слід вибирати за умови отримання найбільш

простого коректувального пристрою, тобто направляти БЛАЧХ за ЛАЧХ

початкової системи або паралельно їй.

Рисунок 11 – Приклад побудови бажаної ЛАЧХ

Розрахунок БЛАЧХ можна виконати за заданими коефіцієнтами помилок

Сі

. Для цього використовують приблизні співвідношення:

Kvk

= 1/C1

; C2

/2 = 1/(ω′1

Kvk

);

C3

/6 = –1/(ω′1

ω′2

Kvk

); Kvk

= ωзр

⋅ω′2

/ω′1

, (13.1)

де Kvk

– коефіцієнт підсилення скоректованої розімкнутої системи; С1

, С2

, С3

коефіцієнти помилок скоректованої системи.

За обчисленими значеннями Kvk

, ω′1

, ω′2

,

ωзр

будують БЛАЧХ.

ω4

′ ω3

′ ω2

′ ω1

′ L,дБ

-60 дБ/дек

L1

L2

ω,с-1

ωЗР

ІV

-40 дБ/дек

-ν⋅20

дБ/дек

20lgKVK

-20

-40

40

60

20

0

1

-20 дБ/дек

І ІІ ІІІ

-(40÷60) дБ/дек

Page 42: КРЕМЕНЧУК 2016 - saue.kdu.edu.uasaue.kdu.edu.ua/upload/disciplines/pract_part1.pdf · Практичне заняття № 5 Побудова АФЧХ за АЧХ і ФЧХ

Побудову слід починати з асимптот зон І та ІІІ. Величина L2

має бути не менш

10 – 12 дБ.

Завдання до теми. Виконати синтез послідовного коректувального

пристрою методом логарифмічних частотних характеристик за табл. 6, де

задана передавальна функція незмінної частини розімкнутої САУ W(S), а

також вимоги до системи, що синтезується: коефіцієнти помилок С1

,

С2

,

С3

,

причому С0

=0, тобто бажана система має бути астатичною системою першого

порядку.

Таблиця 6 – Передавальні функції розімкнутих САУ і вимоги до систем, що

синтезуються

№ W(S) С1

, с С2

, с2 С3

, с3

1 )S,)(S,(S

)S(W10125010250

100

++

= 0,02 0,025 -0,01875

2 )S,)(S,(S

)S(W10125010330

100

++

= 0,01 0,025 -0,01875

3 )S,)(S,)(S,(S

)S(W100301010131250

100

+++

= 0,04 0,025 -0,01875

4 )S,)(S,)(S,(S

)S(W

100501020180

200

+++

=

0,04 0,1 -0,15

5 )S,)(S,S,(S

)S(W

1007010160

2

000180

350

+++

=

0,003 0,1 -0,15

6 )S,)(S,(S

)S(W1018010350

150

++

= 0,02 0,066 -0,066

7 )S,)(S,(S

)S(W101801050

270

++

= 0,008 0,066 -0,066

Приклад 12

Розв’язати задачу при умові, що передавальна функція розімкнутої

САУ та коефіцієнти помилок для бажаної системи мають вигляд:

)10125,0)(105,0(

100

)(

+⋅+⋅⋅

=

SSS

SW, (13.2)

C1

=0,01c; C2

=0,025 c2; C3

= –0,0187 c3. (13.3)

Для побудови ЛАЧХ незмінної частини системи визначаємо

коефіцієнт підсилення, виражений у дБ, та частоти спряження ωі

:

Page 43: КРЕМЕНЧУК 2016 - saue.kdu.edu.uasaue.kdu.edu.ua/upload/disciplines/pract_part1.pdf · Практичне заняття № 5 Побудова АФЧХ за АЧХ і ФЧХ

=⋅=⋅=⋅ 220100lg20lg20 K 40 дБ,

.80

0125,0

1

,2005,0

1

1

2

1

1

==

==

c

c

ω

ω

(13.4)

ЛАЧХ незмінної частини наведено на рис. 12.

За заданими значеннями коефіцієнтів помилок С1

, С2

, С3

розрахуємо

коефіцієнт підсилення Кvk

скоректованої системи, частоти спряження

низькочастотної частини бажаної ЛАЧХ і частоту зрізу.

Використовуючи співвідношення (13.1), отримуємо:

Кvk

=100 с-1; 20lgKск

=40 дБ; 11

2

1

1

20;4;8,0−−−

==′=′ cccзp

ωωω . (13.5)

Коефіцієнт підсилення і порядок астатизму початкової системи та

системи, що синтезується, збігаються, тому в діапазоні низьких частот

(ліворуч від 1

ω ′ ) асимптоти ЛАЧХ і БЛАЧХ також збігаються.

Середньочастотну і високочастотну асимптоти БЛАЧХ будуємо з

урахуванням вимог, висунених до бажаної ЛАЧХ таким чином, щоб отримати

найбільш простий коректуючий пристрій.

ЛАЧХ коректуючого пристрою (ЛАЧХкп

) будуємо як різницю між

БЛАЧХ і ЛАЧХ (рис. 13).

За видом ЛАЧХкп

записуємо передавальну функцію послідовного

коректувального пристрою:

)1()1(

)1()1()(

41

32

+⋅⋅+⋅

+⋅⋅+⋅=

STST

STSTSW

кп

, (13.6)

де .0125,0

80

11

;05,0

20

11

25,0

4

11

;25,1

8,0

11

2

4

1

3

2

2

1

1

cTcT

cTcT

======

==

===

=

ωω

ωω

(13.7)

Вибираємо пасивний чотириполюсник постійного струму (інтегро-

диференцюючий контур), який відповідає ЛАЧХ коректувального пристрою,

для якого Т2

= R2

C2 ,

Т3

= R1

C1

(рис. 12).

Page 44: КРЕМЕНЧУК 2016 - saue.kdu.edu.uasaue.kdu.edu.ua/upload/disciplines/pract_part1.pdf · Практичне заняття № 5 Побудова АФЧХ за АЧХ і ФЧХ

R1

C1

R2

C2

U1

U2

Рисунок 12 – Інтегродиференцюючий контур

Контрольні питання

1. Як може бути отримана ЛАЧХ послідовного коректувального пристрою за

ЛАЧХ початкової та бажаної систем?

2. Що таке бажана ЛАЧХ?

3. Як отримати передавальну функцію послідовного коректувального

пристрою?

4. Який нахил БЛАЧХ повинен бути у частоті зрізу?

5. На які зони розділюється бажана ЛАЧХ?

Література: [2, 3, 4, 9].

Практичне заняття № 14

Розрахунок і побудова перехідної характеристики замкнутої скоректованої

системи

Мета роботи: складання та моделювання структурної схеми замкнутої

скоректованої САУ в пакеті програм MATLAB; отримання перехідної

характеристики та ЛАЧХ і ЛФЧХ розімкнутої скоректованої САУ в пакеті

програм MATLAB.

Короткі теоретичні відомості

Реакція системи на одиничний ступінчастий вплив за нульових

початкових умов називається перехідною функцією h(t) системи; графік цієї

функції називається перехідною характеристикою.

До основних прямих показників якості належать:

Page 45: КРЕМЕНЧУК 2016 - saue.kdu.edu.uasaue.kdu.edu.ua/upload/disciplines/pract_part1.pdf · Практичне заняття № 5 Побудова АФЧХ за АЧХ і ФЧХ

– час регулювання tрег

– мінімальний час, після якого відхилення вихідної

величини h(t) від сталого значення не буде перевищувати наперед заданої

величини ∆, тобто |h(t) – hуст

(t)| ≤ ∆. Величина ∆ задається у відсотках від

сталого значення hуст

(t), зазвичай ∆ = (1–5) %;

– перерегулювання σ – максимальне відхилення перехідної

характеристики від сталого значення, що виражається у відсотках:

σ = [(hmax

–hуст

)/hуст

]⋅100 %;

– час досягнення першого максимуму tmax

– час, за який перехідна

характеристика h(t) вперше досягає максимального значення;

– час першого узгодження tпу

– час, за який перехідна характеристика h(t)

вперше перетинає рівень сталого значення hуст

;

– частота коливань ω = 2π/Т0

, де Т0

– період коливань (для коливальних

процесів);

– число коливань N, яке має перехідна характеристика h(t) за час

регулювання (для коливальних процесів).

Завдання до теми. За результатами синтезу послідовного

коректувального пристрою (див. заняття 13) скласти структурну схему

замкнутої скоректованої САУ, виконати моделювання системи за допомогою

пакета програм MATLAB, Simulink, отримати перехідну характеристику h(t),

визначити основні показники якості перехідного процесу. Визначити запаси

стійкості за амплітудою та за фазою за ЛАЧХ і ЛФЧХ розімкнутої

скоректованої САУ .

Приклад 13

Передавальна функція скоректованої САУ має вигляд:

)10125,0)(105,0(

100

)(

+⋅+⋅⋅

=

SSS

SW

ск

)10125,0()125,1(

)105,0()125,0(

+⋅⋅+⋅

+⋅⋅+⋅⋅

SS

SS ,

Тобто в кінцевому вигляді:

( )( ) ( )210125,0125,1

)125,0(100

+⋅⋅+⋅⋅

+⋅⋅=

SSS

SSW

.

Складаємо у пакеті програм MATLAB, Simulink, структурну схему

Page 46: КРЕМЕНЧУК 2016 - saue.kdu.edu.uasaue.kdu.edu.ua/upload/disciplines/pract_part1.pdf · Практичне заняття № 5 Побудова АФЧХ за АЧХ і ФЧХ

замкнутої скоректованої САУ (рис. 15).

За перехідною характеристикою h(t) (рис. 16) визначаємо, що система

стійка, оскільки маємо збіжний перехідний процес. Визначаємо основні

показники якості:

– час регулювання tp

= 0,354 с,

– перерегулювання σ = ((hмакс

– hуст

)100%) / hуст

= 19,3 %,

– час першого узгодження tпу

= 0,0672 с,

– час досягнення першого максимуму tmax

= 0,142 с.

За асимптотичною ЛАЧХ і ЛФЧХ розімкнутої скоректованої САУ

(рис. 14) або за точними ЛАЧХ і ЛФЧХ розімкнутої скоректованої САУ

(рис. 17, 18), отриманим за допомогою пакета програм MATLAB, визначаємо

також, що замкнута система стійка і має запаси стійкості за амплітудою

(відстань від частоти, де ЛФЧХ перетинає ось абсцис, до ЛАЧХ):

– Aзап

= 17,3 дБ,

та за фазою (відстань від частоти зрізу ωзр

до ЛФЧХ):

– ϕзап

= 53,5 0.

Контрольні питання

1. Що таке перехідна характеристика?

2. Які ви знаєте прями показникі якості САУ?

3. Що таке час регулювання?

4. Що таке перерегулювання σ?

5. Як визначити запаси стійкості за амплітудою та за фазою за ЛАЧХ і ЛФЧХ?

Література: [2, 5, 8].

Page 47: КРЕМЕНЧУК 2016 - saue.kdu.edu.uasaue.kdu.edu.ua/upload/disciplines/pract_part1.pdf · Практичне заняття № 5 Побудова АФЧХ за АЧХ і ФЧХ

48

8 0

7 0

6 0

5 0

4 0

3 0

2 0

1 0

0

-1 0

-2 0

-3 0

-4 0

-5 0

L ,дБ

0 .1 0 .8 1 4 1 0 2 0 8 0 1 00 1 0 00

(-3 )

(+ 1 )

(-2 )

(-1 )

(-2 )

(-1 )

ЛАЧХ

ЛАЧХ ку

( -1 )

(-1 )

(-2 )

(-3 )

2 0 lgK

ω,c

ω1

ω2 ’

ω1

ω2

-1

Рисунок 13 – Асимптотичні ЛАЧХ, БЛАЧХ розімкнутих САУ та ЛАЧХ коректувального пристрою

Page 48: КРЕМЕНЧУК 2016 - saue.kdu.edu.uasaue.kdu.edu.ua/upload/disciplines/pract_part1.pdf · Практичне заняття № 5 Побудова АФЧХ за АЧХ і ФЧХ

49

град ,

ϕ

-40

-20

0

20

40

60

80

-90

-120

-150

-180

-210

-240

0,1

1 10

100

1000 1

c , −

ω

1

c 8 , 0 1

= ω

L,дБ

1

c 80 3

= ω

′ 1

c 4 2

= ω

(-1)

(-2)

(-1)

ср

ω

ЛФЧХ

БЛАЧХ

(-3)

Рисунок 14 –Асимптотична ЛАЧХ, ЛФЧХ

Page 49: КРЕМЕНЧУК 2016 - saue.kdu.edu.uasaue.kdu.edu.ua/upload/disciplines/pract_part1.pdf · Практичне заняття № 5 Побудова АФЧХ за АЧХ і ФЧХ

Рисунок 15 – Моделювання структурної схеми замкнутої скоректованої САУ у пакеті програм MATLAB

Рисунок 16 – Перехідний процесс h(t) замкнутої скоректованої САУ, отриманий у пакеті програм MATLAB

Page 50: КРЕМЕНЧУК 2016 - saue.kdu.edu.uasaue.kdu.edu.ua/upload/disciplines/pract_part1.pdf · Практичне заняття № 5 Побудова АФЧХ за АЧХ і ФЧХ

Рисунок 17 – Моделювання структурної схеми розімкнутої скоректованої САУ у пакеті програм MATLAB

Рисунок 18 – ЛАЧХ і ЛФЧХ розімкнутої скоректованої САУ, отримані у пакеті програм MATLAB

Page 51: КРЕМЕНЧУК 2016 - saue.kdu.edu.uasaue.kdu.edu.ua/upload/disciplines/pract_part1.pdf · Практичне заняття № 5 Побудова АФЧХ за АЧХ і ФЧХ

2 КРИТЕРІЇ ОЦІНЮВАННЯ ЗНАНЬ СТУДЕНТІВ

Для заліку Види занять Максимальн

а сума балів Лекції 10 Лабораторні роботи 10 Практичні заняття 20 Поточний контроль: (опитування: змістовий модуль 1 – 15 балів, змістовий модуль 2 – 15 балів; контрольні роботи – 20 балів; самостійна робота – 10 балів)

60

Усього 100 Для екзамену

Види занять Максимальна сума балів

Лекції 10 Практичні заняття 20 Поточний та підсумковий контроль: (опитування: змістовий модуль 3 – 10 балів, змістовий модуль 4 – 10 балів, розрахункові роботи – 10 балів; графічні роботи – 10 балів; самостійна робота – 10 балів)

50

Екзамен 20 Усього 100

Для екзамену, скорочена форма навчання Види занять Максимальна

сума балів Лекції 10 Лабораторні роботи 10 Практичні заняття 20 Поточний та підсумковий контроль: (опитування: змістовий модуль 1 – 10 балів, змістовий модуль 2 – 10 балів, графічні роботи – 10 балів, самостійна робота – 10 балів)

40

Екзамен 20 Усього 100

Page 52: КРЕМЕНЧУК 2016 - saue.kdu.edu.uasaue.kdu.edu.ua/upload/disciplines/pract_part1.pdf · Практичне заняття № 5 Побудова АФЧХ за АЧХ і ФЧХ

Шкала оцінювання: національна та ECTS

Сума балів за всі види

навчальної діяльності

Оцінка ECTS

Оцінка за національною шкалою

для екзамену, курсового проекту (роботи), практики

для заліку

90–100 А відмінно

зараховано 82–89 В

добре 74–81 С 64–73 D

задовільно 60–63 Е

35–59 FX незадовільно з

можливістю повторного складання

не зараховано з можливістю

повторного складання

0–34 F незадовільно з обов’яз-

ковим повторним вивченням дисципліни

не зараховано з обо-в’язковим повторним

вивченням дисципліни

Page 53: КРЕМЕНЧУК 2016 - saue.kdu.edu.uasaue.kdu.edu.ua/upload/disciplines/pract_part1.pdf · Практичне заняття № 5 Побудова АФЧХ за АЧХ і ФЧХ

СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ

1. Воронов А. А. Теория автоматического управления. Часть первая

/ А. А. Воронов / – М. : Высшая школа, 1976. – 362 с.

2. Євстіфєєв В. О. Теорія автоматичного керування. Частина перша.

Безперервні лінійні та нелінійні системи: навчальний посібник

/ В. О. Євстіфєєв / – Кременчук : ПП Щербатих О. В., 2006. – 286 с.

3. Иващенко Н. Н. Автоматическое регулирование / Н. Н. Иващенко/ – М. :

Машиностроение, 1973.

4. Зайцев Г. Ф. Теория автоматического управления / Г. Ф. Зайцев/ – К. :

Высшая школа, 1975. – 422 с.

5. Дьяконов В. П. MATLAB 6.5 SP1/7.0 + Simulink 5/6. Основы применения

/ В. П. Дьяконов/ – М.: СОЛОН-Пресс, 2005.

6. Топчеев Ю. И. Задачник по теории автоматического регулирования / Ю. И.

Топчеев, А. П. Ципляков / – М. : Машиностроение, 1977. – 592 с.

7. Терехов В. М. Элементы автоматизированного електропривода / В. М.

Терехов/ – М. : Энергоатомиздат, 1987. – 222 с.

8. Юдіна Г. Г. Методичні вказівки щодо виконання лабораторних робіт з

навчальної дисципліни «Теорія автоматичного управління» / Юдіна Г. Г.,

Нікітіна А. В./ – Кременчук, 2013. – 58 с.

9. Євстіфєєв В. О. Методичні вказівки щодо виконання курсової роботи з

дисципліни «Теорія автоматичного управління» / В. О. Євстіфєєв, Г. Г.

Юдіна/ – Кременчук, 2009. – 37 с.

Page 54: КРЕМЕНЧУК 2016 - saue.kdu.edu.uasaue.kdu.edu.ua/upload/disciplines/pract_part1.pdf · Практичне заняття № 5 Побудова АФЧХ за АЧХ і ФЧХ

Методичні вказівки щодо практичних занять з навчальної дисципліни "Теорія

автоматичного управління" для студентів усіх форм навчання зі спеціальності

141 – Електроенергетика, електротехніка та електромеханіка. Частина 1

Укладач: старш. викл. Г. Г. Юдіна

Відповідальний за випуск, зав. кафедри САУЕ Д. Й. Родькін

Підп. до др. _____________ . Формат 60х84 1/16. Папір тип. Друк ризографія.

Ум. друк. арк.____________ . Наклад__10__прим. Зам. №_____ . Безкоштовно.

Видавничий відділ Кременчуцького національного університету

імені Михайла Остроградського

39600, м. Кременчук, вул. Першотравнева, 20