Übung7:EbeneSchubfeldträger - ETH Zürich - Homepage · Leichtbau Herbstsemester 2015 Übung7 die Dicke tder Platte für eine maximale Durchbiegung w max. Gehen Sie dabei von einem

LeichtbauHerbstsemester 2015 Übung 7

Ausgabe: 11.11.2015

Übung 7: Ebene Schubfeldträger

Einleitung und Lernziele

Schubfeldträger sind zentrale Strukturelemente im Leichtbau. Sie bieten gegenüber den einfache-ren Fachwerkkonstruktionen einige Vorteile, wie beispielsweise die Möglichkeit zur Übertragungfluiddynamischer Kräfte, ihre Fähigkeit, geschlossene Räume zu bilden oder ihre Tragfähigkeitnach Eintreten von gewissen Instabilitäten. Diese Übung dient dazu, das Verständnis fürauftretende Beanspruchungen in Schubfeldsystemen zu vertiefen, was zu den Grundkenntnissendes Strukturanalytikers und Leichtbaukonstrukteurs gehört.

Aufgabe 1: Ebene Kragträger

Abbildung 1 zeigt drei verschiedene Aluminium-Konstruktionen für einen ebenen Kragträger,wobei jeweils gilt L, h � t. Diese sind für eine vertikal nach unten angreifende Last auf ihrestrukturelle Effizienz hin zu beurteilen.

h

L

t

F

(a) Platte konstanter Dicke

h

L

t

F

(b) Ein Schubfeld

h

L

t

F

(c) Drei Schubfelder

Abbildung 1: Konstruktionen für einen ebenen Kragträger

Gegeben:

L = 850 mm h = 310 mm F = 1.0 kN wmax = 0.39 mmE = 70 GPa ν = 0.3 ρ = 2.7 g/cm3 AGurt = APfosten = 222 mm2

Aufgabe 1a: Platte konstanter Dicke

Zunächst wird eine Platte mit konstanter Dicke t gemäss Abbildung 1 a) betrachtet. Da dasSeitenverhältnis L/h nicht wesentlich grösser als 1 ist, darf für diese Ausführung - im Gegensatzzum schlanken Balken mit L�h - der Schubeinfluss nicht vernachlässigt werden. DimensionierenSie daher ausgehend von der Gleichung für die Biegelinie des schubweichen Balkens nachTimoshenko

w (x) = QzEIy

(Lx2

2 − x3

6 + EIyκAG

x

)

ETH ZürichComposite Materials AndAdaptive Structures Lab

C. Karl D. MontenegroF. Runkel C. Schneeberger

1


die Dicke t der Platte für eine maximale Durchbiegung wmax. Gehen Sie dabei von einemSchubkoeffizienten von κ = 5/6 aus. Diskutieren Sie Vor- und Nachteile dieser Konstruktion.

Lösung 1a:Die maximale Durchbiegung wmax wird berechnet als w (x = L):

wmax = w (x = L) = F

EIy

(L3

2 −L3

6 + EIyL

κAG

)= F

EIy

(L3

3 + EIyL

κAG

)

Mit Iy = th3

12 , A = th und G = E2(1+ν) (isotroper Werkstoff) folgt

wmax = 12FEth3

(L3

3 + Lh2 (1 + ν)6κ

)

Nach t aufgelöst ergibt sich eine Dicke von

t = 12FEh3wmax

(L3

3 + Lh2 (1 + ν)6κ

)= 3.33 mm

Vorteile:- einfache Konstruktion- einfache BerechnungNachteile:- unlastgerechte Dimensionierung (Trennung Schub, Biegung)- Instabilitätsfall wird in Realität bei geringen Lasten eintreten

Aufgabe 1b: Schubfeldsysteme I

Die in Abbildung 1 a) berechnete Struktur, die als Gesamtes sowohl auf Biegung als auchauf Schub belastet wird, ist nun als Schubfeldsystem ausgeführt (Abbildung 1 b)). Nach derSchubfeldtheorie übernehmen Gurte und Pfosten die Biegebeanspruchung und der Schub wirdvon den Schubfelder aufgenommen unter der Annahme, dass Schubspannungen über das gesamteFeld konstant sind.• Berechnen Sie die entstehenden Schubflüsse für das in Abbildung 1 b) dargestellte

Schubfeld nach der Schubfeldtheorie.• Untersuchen Sie das System auch auf statische Instabililität (Beuldiagramm Abbildung 6).Betrachten Sie obere und untere Grenzen durch Berücksichtigung einfach gelagerter undfest eingespannter Randbedingungen. Nehmen Sie eine Dicke von t = 1 mm an.• Berechnen Sie die Verformung des Kraftangriffspunktes unter der Einwirkung der äusserenKraft.



2


Lösung 1b:

Abbildung 2: Auflagerkräfte

1. Auflagerreaktionen: (Abbildung 2 a) )∑Fx = 0 =⇒ Ax = −Bx

∑Fy = 0 =⇒ By = F

∑MB = 0 =⇒ −Axh− FL = 0

Ax = −F Lh

Bx = FL

h

2.Gleichgewicht an einem der Gurte oder Pfosten, z.B. Schubfluss am Pfosten an denAuflagern (Abbildung 2 b) ):

q1h = By

q1 = Byh

= 3.23 N/mm

3.Stabilität:τcrit = kE( t

h)2

Beulkoeffizienten aus Abbildung 6: SS (simply supported, einfach gelagert), CC (clamped,fest eingespannt)

h

L= 0.36

kSS = k1 = 5.33

kCC = k4 = 8.75



3


τcrit,SS = kSSE( th

)2 = 3.88 N

mm2

τcrit,CC = kCCE( th

)2 = 6.37 N

mm2

τapplied = q1t

= 3.23 N/mm2

τcrit,SSτapplied

= 1.203

τcrit,CCτapplied

= 1.97

Abbildung 3: Finite Elemente Simulation - Schubbeulfeld

4. Durchbiegung: Berechnung mithilfe der Einführung einer virtuellen Einheitskraft inVerschiebungsrichtung (Angriffspunkt und Richtung identisch mit äusserer Kraft)

δ · F ∗ =NBalken∑i=1

ˆ li

0

NiN∗i

EiAidl +

NFelder∑k=1

qkq∗k

GktkhkLk (1)



4


Abbildung 4: Schnittkräfte in Gurten und Pfosten

Reaktionskräfte für Einheitslast:

∑F ∗y = 0 =⇒ B∗y = F ∗ = 1N

∑M∗B = 0 =⇒ A∗x = −F ∗L

h= −2.742N

B∗x = F ∗L

h= 2.742N

Schubfluss

q∗1 = 3.225 · 10−3 Nmm−1

Es ergeben sich für die Schnittkräfte der Gurte und Pfosten nach Abbildung 4:

Stab Nr. Normalkraft N Virtuelle Normalkraft N∗ NiN∗i

1 −q1 x1 −Ax −q∗1 x1 −A∗x q1q∗1 x

21 + (q1A

∗x + q∗1Ax) x1 +AxA

∗x

2 −q1 x2 + F −q∗1 x2 + F ∗ q1q∗1 x

22 − (q∗1 F + q1F

∗) x2 + F ∗F

3 q1 x3 −Bx q∗1 x3 −B∗x q1q∗1 x

23 − (q1B

∗x + q∗1Bx) x3 +B∗xBx

4 q1x4−By q∗1x4−B∗y q1q∗1 x

24 −

(q1B

∗y + q∗1By

)x2 +ByB

∗y

Tabelle 1: Kräfte in Gurten und Pfosten

Durch Einsetzen der Kräfteverläufe und Schubflüsse in den Gurten und Pfosten für Ausgangs-und Einheitssystem in Gleichung 1 sowie unter Berücksichtigung von E,A, t = const und G =E

2(1+ν) folgt schliesslich

δ = 1EA

[ˆ L

0N1N

∗1dx1 +

ˆ h

0N2N

∗2dx2 +

ˆ L

0N3N

∗3dx3 +

ˆ h

0N4N

∗4dx4

]+ q1q

∗1

GthL

= ... = 0.389mm ≈ δFEM = 0.308mm



5


Abbildung 5: Finite Elemente Analyse für Durchbiegung

Abbildung 6: Beuldiagramm - Randbedingungen einfach gelagert und fest eingespannt (gestrichelteKanten)



6


Aufgabe 1c: Schubfeldsysteme II

Berechnen Sie für das in Abbildung 1 c) dargestellte Schubfeld nach der Schubfeldtheorie denSchubfluss, die kritische Beulspannung (t = 1mm) und die Durchbiegung des Lastangriffpunktes.Vergleichen Sie die Resultate mit dem in Teilaufgabe b) berechneten Schubfeldträgers.

Lösung 1c:1. Auflagerreaktionen/Schubfluss: identisch wie Teilaufgabe b)

q1 = By

h= q2 = q3 = 3.23 N/mm

2.Stabilität:Beulkoeffizienten aus Abbildung 6: ss (simply supported, einfach gelagert), cc (clamped, fest

eingespannt)

L

3h = 0.91

kSS = k1 = 7.75

kCC = k4 = 12.2

τcrit,SS = kSSE

(tL3

)2

= 6.75 N/mm2

τcrit,CC = kCCE

(tL3

)2

= 10.60 N/mm2

τcrit,SSτapplied

= 2.09

τcrit,CCτapplied

= 3.28

3.Durchbiegung: Die Verformung des Balkens verändert sich nicht, da die Stabkräfte in denzusätzlichen Pfosten verschwinden. Des Weiteren sind die Schubflüsse in allen Feldern konstant.

δ = 0.389mm

Deshalb ist das Hinzufügen der Pfosten in diesem Fall nur sinnvoll, wenn statische Instabilitätkritisch ist.



7


Aufgabe 2: Schubfeldsysteme III

Die Rippen und Wingcovers in Flugzeugtragflächen sind häufig als Schubfeldsysteme ausgeführt,welche die am Flügel angreifenden Lasten infolge Auftrieb und Schub auf den Vorder- undHinterholm übertragen. Von dort aus werden sie schliesslich auf den Rumpf übertragen. DerVorderholm lässt sich hierbei vereinfacht als Schubfeld modellieren. Im Folgenden soll der Bereichdes Vorderholms betrachtet werden, der innenseitig der Turbine liegt und vereinfacht durch dasin Abbildung 7 dargestellte Schubfeldsystem repräsentiert werden kann.

FLift 245 NFLiftRest 3270 NFThrust 4000 NFThrust′ 200 Nh 250 mmc 562.5 mmE−Modul 72000 N/mm2

ν (Poissonzahl) 0.3

Pfostenprofil Dicke 10 mmPfostenprofil Breite 50 mmFelder Dicke 1 mm

A X FLift FLift FLift FLiftRest

q1 q2

q3

h

h/2Y

B X

q4 h/2X

FThrustB YFThrust‘

c c c

Abbildung 7: Schubfeldsystem bestehend aus rechteckigen Schubfeldern

Aufgabe 2a

Berechnen Sie die Reaktionen in Ax, Ay, By in den Lagern. Berücksichtigen Sie, ob das gegebeneSchubsystem statisch bestimmt ist.

Lösung 2a:

Bestimmung der Auflagerreaktionen

Kräftegleichgewicht• X-Richtung:

FThrust∗ +Bx +Ax = 0



8


• Y-Richtung:

3 · FLift + FLiftRes+ FThrust +By = 0

• Momentenbedingung (hier um Punkt A):

3 · FLift · c+ 3 · FLiftRes· c+ FThrust∗ · h+ 3 · FThrust · c+Bx · h = 0

Aufgelöst

Bx = −1h

(3 · FLift · c+ 3 · FLiftRes· c+ FThrust∗ · h+ 3 · FThrust · c)

By = −FThrust − 3 · FLift − FLiftRes

Ax = 1h

(3 · FLift · c+ 3 · FLiftRes· c+ 3 · FThrust · c)

Numerische Lagerreaktionen

Bx −50926.25 NBy −8005.00 NAx 50726.25 N

Aufgabe 2b

Berechnen Sie die Schubflüsse q1, q2, q3, q4.

Lösung 2b

Die Bezeichnung der Stäbe folgt Abbildung 8:

2 6 13

q1 q2

q3

1 4

7 12

11

q4

3 5

8 10

9

Abbildung 8: Nummerierung der Stäbe



9


Berechnung von q1

F = 245 NFlift = 245 N

qq1

B Y = - 8005 N

Abbildung 9: Schubfluss im Stab 1

Es folgt für Stab 1:

q1 · h+ FLift +By = 0

Daraus folgt:

q1 = −1h

(By + FLift)

= 31.040 N/mm



10


Berechnung von q2

Flift = 245 N

qq q2q1


Kräftegleichgewicht im Stab 2 bringt:

FLift + q2 · h− q1 · h = 0

q2 = q1 −FLifth

= 30.060 N/mm



11


Berechnung von q3 und q4

q3

q4


Abbildung 11 zeigt, dass die Schubflüsse q3 und q4 identisch sein müssen. Somit gilt:

q3 = q4

Die Bestimmung eines der beiden Schubflüsse erfolgt am Stab 13:Die Normalkraft N11 am Ende muss über die Schubflüsse q1 und q2 bestimmt werden:

AX = 50726.25 N N11

q1 q2

Abbildung 12: Schubfluss im oberen Gurt

N11 = (q1 + q2) · c−Ax= −16′357.5N

Für Schubfluss 3 folgt somit:

N11 = -16357.5 N

qq3




12


N11 + q3 · c = 0

q3 = −N11c

= 29.08 N/mm

Die Normalkraft in den anderen Gurten werden bestimmt wie folgt:

N = N0 − q x

was die Normalkräfte in der Tabelle 2 und Abbildung 14 ergibt.

Stab Nr. Normalkraft Stab Nr. Normalkraft

1 8005− q1 x1 N 8 (q4 − q2)x8 N

2 −50726.25 + q1 x2 N 9 16557.5− q4 x9 N

3 50926.25− q1 x3 N 10 −4000 + q4 x10 N

4 (q1 − q2)x4 N 11 0 N

5 33466.25− q2 x5 N 12 −365 + q3 x12 N

6 33266.25 + q2 x6 N 13 16357.5 + q4 x13 N

7 122.5 + (q3 − q2)x7 N

Tabelle 2: Normalkräfte in den Stäben

q1=31.04 N/mm q2=30.06 N/mm

q3=29.08 N/mm

q4=29.08 N/mm

245 N

8005 N

-50726.25 N-33266.25 N

-16357.5 N0 N

50926.25 N33466.25 N

16557.5 N200 N

3270 N

-4000 N

245 N

0 N

245 N

0 N

-365 N

Abbildung 14: Resultierende Schubflüsse und Normalkräfte in der Struktur

Aufgabe 2c

Ermitteln Sie die vertikale Verschiebung des Punktes unten rechts.



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Lösung 2c

Um die vertikale Verschiebung des Punkts unten rechts zu berechnen, definiert man einErsatzsystem mit virtueller Kraft F ∗ = 1 am Ort und in Richtung der gesuchten Verschiebung(Abbildung 15) und wendet die Arbeitsgleichung

q1 q2

q3Y

q4X

F*

Abbildung 15: Virtuelles System

δ · F ∗ =NStabe∑i=1

ˆ li

0

NiN∗i

EiAidl +

NStege∑k=1

qkq∗k

GktkhkLk (2)

an. Hierzu müssen die Schubflüsse in den Stegen und die Normalkräfte in den Stäbenausgewertet werden. Somit muss das Vorgehen der Teile a und b wiederholt werden.

Die Lösung des globalen Gleichgewichts ergibt die folgenden virtuellen Reaktionen:

Bx -6.75By -1Ax 6.75

Bezüglich der Schubflüsse in den Stegen, wird der Fluss im Steg 1 bestimmt, wie in derAbbildung 16 gezeigt, indem die Gleichgewichtsbedingung im Stab 1 angesetzt wird:

q1 = F ∗

h= 1h

= 0.004 1/mm

1

q1

Abbildung 16: Schubfluss im Stab 1 - virtuelles System

Da keine weiteren vertikalen Lasten eingeführt werden, ist der Fluss in den restlichen Stegengleich q1 . D.h.,

q1 = q2 = q3 = q4

= 0.004 1/mm



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Stab Nr. Normalkraft Stab Nr. Normalkraft

1 1− q1 x1 8 0

2 −6.75 + q1 x2 9 2.25− q4 x9

3 6.75− q1 x3 10 −1 + q4 x10

4 0 11 0

5 4.5− q2 x5 12 −0.5 + q3 x12

6 −4.5 + q2 x6 13 −2.25 + q4 x13

7 0

Tabelle 3: Normalkräfte in den Stäben - virtuelles System

q1=0.004 1/mm q2=0.004 1/mm

q3=0.004 1/mm

q4=0.004 1/mm

0

1

-6.75 N-4.5 N

-2.25 N0

6.75

4.52.25 N

0

0

-1

Abbildung 17: Resultierende Schubflüsse und Längskräfte in der Struktur - virtuelles System

Die Normalkräfte in den Stäben werden in gleicher Weise wie im Teil b bestimmt. Dieresultierende Normalkräfte sind in Tabelle 3 zu finden und in Abbildung 17 gezeigt.

Um die Verschiebung zu berechnen, muss Formel 2 eingesetzt werden. Das Resultat ist

δ∗ = 12.822 mm

Eine FE-Berechnung der betrachteten Struktur wurde durchgeführt, wobei das Modell unddie Lasten gezeigt in Abbildung 18 berücksichtigt wurden. Die resultierenden Spannungen in denElementen der Struktur sind in Abbildung 19 und 20 zu sehen. In der Mitte des ersten Stegesbeträgt die Schubspannung τ1 ' 32 MPa; des zweiten Steges τ2 ' 31.2 MPa und des dritten undvierten Steges τ3 = τ4 ' 29.5 MPa.

Zum Schluss wurde durch die FE-Berechnung eine vertikale Verschiebung von 11.976 mmam Punkt unten rechts berechnet.



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Abbildung 18: FE-Modell

Abbildung 19: FE-Berechnung: Schubflüsse in den Schubfeldern

Annahmen für das Rechnen mit Schubwänden:

1. q =konst. im gesamten Schubfeld (dünn und dehnungselastisch im Vergleich zu Pfostenund Stegen)

2. In den Feldern herrschen nur Schubkräfte3. Nur Längskräfte in Pfosten und Gurten (keine Querkräfte)4. Gelenkige Lagerungen (reibungsfrei)5. Kein Beulen und Knicken der einzelnen Elemente

Allgemeines Vorgehen für das Berechnen von Schubfeldträgern:

1. Nummerieren aller Felder und Randelemente2. Ermitteln aller äusseren Lasten und Lagerreaktionen3. Überprüfen der statischen Bestimmtheit4. Zerlegen des Trägers in einzelne Elemente (Felder, Pfosten, Gurten)5. Einführen einer Vorzeichenregel für q6. Ausgehend von einem belasteten Knoten sukzessives Bestimmen der Längskräfte



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Abbildung 20: FE-Berechnung: Normalkräfte in den Gurten

7. Ermitteln der Schubflüsse



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