Operatormodelle und Eigenwerteder Klein-Gordon-Gleichung

Diplomarbeit

Vorgelegt von

Mario Johannes Koppen

Betreuerin: Prof. Dr. Christiane Tretter

Fachbereich 3 - Mathematik und Informatik

Universitat Bremen

Januar 2007

1. Gutachter: Prof. Dr. Christiane Tretter

2. Gutachter: Prof. Dr. Peter Richter

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung 2

2 Abstrakte Modelle der Klein-Gordon-Gleichung 7

2.1 Grundbegriffe der Operator- und Spektraltheorie . . . . . . . . . . . 7

2.2 Krein- und Pontryaginraume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.3 Verschiedene Formen der Klein-Gordon-Gleichung . . . . . . . . . . 8

2.4 Assoziierte Blockoperatormodelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.4.1 A im Energieskalarprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.4.2 A1 und A2 im Ladungsskalarprodukt . . . . . . . . . . . . . . 11

3 Grundzustande selbstadjungierter Operatoren I

– Schrodingeroperatoren 14

4 Eigenwerte der Klein-Gordon-Gleichung mit

beschranktem Potential 20

4.1 Erstes Argument: ν± als Grundzustande von Schrodingeroperatoren 21

4.2 Zweites Argument: Blockoperatormatrizen . . . . . . . . . . . . . . . 21

5 Eigenwerte in einer Lucke des wesentlichen

Spektrums 26

6 Grundzustande selbstadjungierter Operatoren II

– Quadratische Formen 30

6.1 Approximation und starke Resolventenkonvergenz . . . . . . . . . . 30

6.2 Einfachheit von Eigenwerten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

7 Eigenwerte der Klein-Gordon-Gleichung in Rn 35

7.1 Assoziierte Vektoren von T und Aλ0. . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

7.2 Der separierte Fall (ν−, ν+). Diskriminantenbedingungund komplexe Eigenwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

7.3 Hauptresultat im Fall ν− < ν+ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

7.4 Hinreichende Bedingungen fur ν− < ν+ . . . . . . . . . . . . . . . . 41

7.5 Hauptresultat im Fall σ(T ) ⊂ R \ (−α, α) . . . . . . . . . . . . . . . 42

7.6 Ausschluss von Eigenwerten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

7.7 Beispielpotentiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

7.7.1 Kastenpotential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

7.7.2 Rollnikpotentiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

7.7.3 Coulombpotential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

8 Anhang 48

1

1 Einleitung

Die Klein-Gordon-Gleichung beschreibt das Verhalten eines spinlosen massiven ge-ladenen relativistischen Teilchens und geht auf die Arbeiten von Klein und Gor-don zuruck. Sie ist formal eine partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung mitnichtkonstanten Koeffizienten, welche fur ein Teilchen der Masse m in n Raumdi-mensionen durch

(∂

∂t− ieq

)2

−n∑

j=1

(∂

∂xj− ieAj

)2

+m2

u = 0 (1.1)

gegeben ist. Hierbei ist u die Wellenfunktion des Teilchens, q das elektrostatischePotential, A = (Aj) das elektromagnetische Potential, und die Einheiten wurdenso gewahlt, dass fur die Lichtgeschwindigkeit c und die Plancksche Konstante ~

~ = c = 1 gilt.

Eine wichtige physikalische Eigenschaft der Klein-Gordon-Gleichung, welche be-reits an den freien Losungen (d.h. Losungen der Gleichung ohne außere Felder)ablesbar ist, ist das Auftreten von Zustanden sowohl positiver als auch negativerEnergie. Dieses Phanomen ist ein Grund dafur, dass man zur adaquaten physikali-schen Beschreibung - selbst eines einzelnen Teilchens - auf den feldtheoretischen For-malismus der zweiten Quantisierung, d.h. auf eine Vielteilchentheorie, zuruckgreift(siehe z.B. [1]). Mathematisch bedeutet dies, dass die zur abstrakten Beschreibungder Klein-Gordon-Gleichung benutzten Operatoren im Allgemeinen nicht halbbe-schrankt sind, wie es fur (nichtrelativistische) Schrodingeroperatoren typisch ist.Daruber hinaus kann es in der Anwesenheit außerer elektromagnetischer Felderzum sogenannten Klein-Paradox kommen, d.h. zur Entstehung von nichthalbeinfa-chen reellen oder sogar komplexen Eigenwerten, was im Falle der selbstadjungiertenSchrodingeroperatoren bekanntlich ausgeschlossen ist.

Das auf L2(Rn, dx) gegebene Problem (1.1) kann abstrakt als

((d

dt− iV

)2

+H0

)u = 0 (1.2)

auf einem Hilbertraum H modelliert werden, wobei V ein symmetrischer Operatorund H0, zum Beispiel in Abwesenheit eines magnetischen Potentials, das heißt imFall (Aj) ≡ 0, ein streng positiver selbstadjungierter Operator ist, welcher H0 ≥ m2

erfullt.Durch Linearisierung in der Zeit kann die Gleichung (1.2) auf ein Cauchyproblemder Form

dx

dt= iAx (1.3)

im Hilbertraum H ⊕ H beziehungsweise durch eine zusatzliche Zeitseparation aufein Spektralproblem der Form

Ax = λx (1.4)

uberfuhrt werden.Die mit diesem formalen Ausdruck assoziierbaren Operatoren A sind jedoch typi-scherweise im HilbertraumH⊕H nicht selbstadjungiert, im Gegensatz zur Situation,die man bei der Dirac-Gleichung vorfindet (siehe z.B. [32]).Fuhrt man in (1.2) direkt eine Zeitseparation der Form u(x, t) = eiλtu(x), λ ∈ C,durch, so erhalt man auf H ein Eigenwertproblem in λ, welches formal durch

T (λ) u := (−(λ− V )2 +H0)u = 0 (1.5)

2

gegeben ist. Dabei ist λ der sogenannte Spektralparameter, welcher in (1.5) quadra-tisch auftritt. Durch die spektrale Analyse von Operatoren, welche unter bestimm-ten Voraussetzungen an das Potential V mit dem formalen Ausdruck T (λ)u aufder linken Seite von (1.5) assoziiert werden konnen, kann man dann Eigenwerte derKlein-Gordon-Gleichung charakterisieren und untersuchen.

Das Ziel dieser Arbeit ist es, die Einfachheit der betragsmaßig kleinsten Eigenwertedes zu (1.1) gehorigen Spektralproblems bzw. des quadratischen Eigenwertproblems(1.5) zu untersuchen. Dazu werden verschiedene abstrakte Operatormodelle derKlein-Gordon-Gleichung sowie die Analyse ihrer Spektren vorgestellt und vergli-chen, der notige theoretische Hintergrund zur Untersuchung der Vielfachheit vonEigenzustanden halbbeschrankter selbstadjungierter Operatoren bereitgestellt, so-wie eine Analyse der Eigenwerte der Klein-Gordon-Gleichung durchgefuhrt. Grund-lage hierfur waren die Arbeiten [18], [19], [20] und vor allem [26]. Die hier erhaltenenResultate sind eine direkte Verallgemeinerung der entsprechenden Ergebnisse aus

der Arbeit [26] vom beschrankten Fall auf die Situation eines (bezuglich H1/20 ) re-

lativ beschrankten elektrostatischen Potentials V .Eines der Hauptergebnisse besagter Arbeit [26] ist, dass es unter bestimmten Vor-aussetzungen ein Intervall (ν−, ν+), begrenzt durch die Extremalwerte sogenannterverallgemeinerter Rayleighfunktionale, geben kann, welches keine reellen Eigenwerteder Klein-Gordon-Gleichung enthalt und dessen Eckpunkte, falls sie Eigenwertesind, hochstens einfache Eigenwerte sein konnen. Dieses Resultat ist vergleichbar mitder klassischen (nichtrelativistischen) Theorie der Schrodingeroperatoren, mit derenHilfe man die Einfachheit von Eigenwerten am unteren Rand des Spektrums einesvon unten beschrankten, selbstadjungierten Operators zeigen kann. Der Hauptun-terschied ist, dass die mit der Klein-Gordon-Gleichung assoziierten Operatoren imAllgemeinen weder selbstadjungiert noch halbbeschrankt sind. Dennoch zeigt die-ses Ergebnis, dass es Situtationen geben kann, in denen das Konzept von Grund-zustanden – eben die gerade genannten Extremalwerte ν± – Sinn macht und dieSituation auf der reellen Achse links von ν− bzw. rechts von ν+ jeweils derjenigeneines halbbeschrankten Schrodingeroperators entspricht.

Der Operator A im Cauchyproblem (1.3) bzw. im Spektralproblem (1.4) ist typi-scherweise als (Abschluss einer) Blockoperatormatrix der Form

(A BC D

)

auf einem geeignet zu wahlenden Produkthilbertraum gegeben. Die Analyse desSpektrums des Operators A gestattet dann im Rahmen der Halbgruppentheorie inKreinraumen Aussagen uber die Losbarkeit des Cauchyproblems (1.3), insbesonderealso uber die Zeitevolution der Wellenfunktion u. Unter passenden Voraussetzungenan das Potential V kann man daruber hinaus die Existenz einer Lucke um 0 im (we-sentlichen) Spektrum des Operatores A aus (1.3) zeigen. Dies spielt besonders imZusammenhang mit den oben erwahnten Extremalwerten ν± und der Unterschei-dung von Zustanden positiver und negativer Energie eine wichtige Rolle.Bei der Untersuchung der Spektren bestimmter Arten von Blockoperatormatrizen(bzw. deren Abschlussen) bieten sich Methoden aus der Theorie der Krein- und Pon-tryaginraume an. Derartige Raume besitzen ein im Allgemeinen indefinites Skalar-produkt, gestatten jedoch eine Zerlegung als direkte Summe aus zwei Hilbertraumen(im Falle der Pontryaginraume ist einer der beiden Summanden endlichdimensio-nal), auf denen das Skalarprodukt jeweils positiv beziehungsweise negativ definitist. Aus der Klein-Gordon-Gleichung hervorgehende Blockoperatormatrizen sind ty-pischerweise bezuglich des Skalarproduktes des Produkthilbertraums, auf dem sieursprunglich definiert sind, nicht symmetrisch (im Falle des Auftretens von komple-xen Eigenwerten konnen sie bezuglich keines (Hilbertraum-)Skalarproduktes sym-

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metrisch sein). Oft konnen jedoch diese Produkthilbertraume durch die Einfuhrungneuer, indefiniter Skalarprodukte zu Krein- beziehungsweise Pontryaginraumen ge-macht werden, bezuglich deren dann die Blockoperatormatrix symmetrisch ist undim Kreinraum selbstadjungierte Erweiterungen besitzt. Die zu diesem Themenkreisbisher erschienene Literatur lasst sich grob in zwei Gruppen einteilen, je nachdemwelche Art von indefinitem Skalarprodukt zur Einfuhrung der Krein- bzw. Pontrya-ginraumstruktur benutzt wird. In Arbeiten der einen Gruppe wird das sogenannteEnergieskalarprodukt verwendet. Hierzu gehoren die Arbeiten [30], [21], [22], [7], [8],[29], [15], [35], [36], [12], [25], [24], [26] und [3]. Die Arbeiten der anderen Gruppe,zu denen unter anderen [10], [33], [27], [23], [34], [13] und [14] gehoren, benutzendas sogenannte Ladungsskalarprodukt. In dieser Arbeit wird vor allem das Energie-skalarprodukt verwendet.

In jungster Vergangenheit wurde die Klein-Gordon-Gleichung fur relativ allgemeineVoraussetzungen an das Potential V mit Hilfe von Blockoperator- und Kreinraum-techniken in den beiden Arbeiten [18] und [19] untersucht. Dabei wurde in [18]das Ladungsskalarprodukt und in [19] das Energieskalarprodukt verwendet. In derArbeit [20] werden Eigenwerte der Klein-Gordon-Gleichung mit Hilfe eines Variati-onsprinzips charakterisiert. Dabei wird ein Operatormodell benutzt, welches das in[19] verwendete verallgemeinert.Die drei zuletzt genannten Arbeiten spielen in der vorliegenden Arbeit eine wichtigeRolle, da sie alle die Voraussetzung eines bezuglich der Quadratwurzel des Laplace-operators relativ beschrankten elektrostatischen Potentials V verwenden, welcheauch fur die hier prasentierten Ergebnisse angenommen werden wird.

Die Arbeit ist wie folgt aufgebaut. In Kapitel 2 wird zunachst die Klein-Gordon-Gleichung in ihrer allgemeinen Form als partielle Differentialgleichung zweiter Ord-nung auf dem Hilbertraum L2(Rn, dx) vorgestellt sowie einige in Spezialfallen ent-stehende, vereinfachte Formen dieser betrachtet. Anschließend werden, basierendauf den unlangst erschienenen Arbeiten [18] und [19], drei verschiedene mit derKlein-Gordon-Gleichung assoziierte Operatormodelle vorgestellt, welche formaldurch unterschiedliche Substitutionen entstehen und als Abschlusse bzw. abge-schlossene Erweiterungen von Blockoperatormatrizen realisiert sind. Es zeigt sich,dass diese - in den zu Grunde liegenden Hilbertraumen zunachst nicht selbstad-jungierten - Operatoren durch die Einfuhrung von bestimmten indefiniten innerenProdukten bezuglich der so entstehenden Krein- bzw. Pontryaginraume auf richtigzu wahlenden Definitionsbereichen wesentlich selbstadjungiert sind bzw. selbstad-jungierte Erweiterungen besitzen. Mit Hilfe der allgemeinen Theorie der Operatorenauf Krein- bzw. Pontryaginraumen konnen dann die Spektren der drei Operatormo-delle qualitativ beschrieben und verglichen werden. Ein weiteres Ergebnis ist, dassunter entsprechenden Voraussetzungen die wesentlichen Spektren und die Punkt-spektren der drei Blockoperatormatrizen ubereinstimmen. Dennoch gibt es Unter-schiede in Bezug auf die von den Operatoren erzeugten Operatorhalbgruppen unddamit bezuglich der Losbarkeit der entsprechenden Cauchyprobleme.Wichtig fur die spatere Untersuchung der Eigenwerte ist das ebenfalls in Kapitel 2diskutierte Ergebnis, dass unter bestimmten Voraussetzungen an das Potential Vdie wesentlichen bzw. die gesamten Spektren der drei betrachteten Operatoren eineLucke um Null herum aufweisen, deren Breite im Allgemeinen von der Starke desPotentials abhangt. Gerade die Existenz dieser Lucke erlaubt es namlich in manchenFallen, Eigenwerte positiver und negativer Energie zu unterscheiden und sicherzu-stellen, dass sich die beiden Arten nicht uberschneiden, d.h. dass keine Eigenwertepositiver Energie links von Eigenwerten negativer Energie auftreten.

4

In Kapitel 3 wird beschrieben, wie die Einfachheit von Grundzustanden klassi-scher Schrodingeroperatoren, d.h. halbbeschrankter selbstadjungierter Operatorender Form −∆ + V , gezeigt werden kann. Wesentlich ist in diesem Zusammenhang,dass der dort betrachtete Hilbertraum konkret als L2(M,dµ) auf einem MaßraumM realisiert ist. Dadurch steht auf den reellen Elementen des Hilbertraums (d.h.den reellwertigen Funktionen aus L2(M,dµ)) eine Ordnungsrelation zur Verfugung,insbesondere lassen sich positive und strikt positive Elemente sowie Operatoren,die diese Eigenschaft erhalten bzw. verbessern, einfuhren. Die notige Theorie wird- weitestgehend [28] folgend - entwickelt und ein zentraler Storungssatz bewie-sen, der es erlaubt, die Einfachheit von Grundzustanden einer großen Klasse vonSchrodingeroperatoren zu zeigen.

In der Arbeit [26] wurde unter Anderem die Einfachheit bestimmter Eigenwerte derKlein-Gordon-Gleichung fur beschranktes (elektrostatisches) Potential V und A ≡ 0gezeigt. Fur den Fall, dass die Extremalwerte ν± der sogenannten verallgemeinertenRayleighfunktionale, welche auch bei der variationsrechnerischen Charakterisierungder Eigenwerte in Kapitel 5 eine Rolle spielen, sich nicht uberlappen, d.h. ν− < ν+gilt, kann man die Existenz von Eigenwerten im Intervall (ν−, ν+) ausschließen undν± konnen, falls sie Eigenwerte sind, nur einfach sein. Dieses Resultat wird spater in

Kapitel 7 auf die Situation eines relativ H1/20 -beschrankten (elektrostatischen) Po-

tentials V verallgemeinert. In der Arbeit [26] werden zwei alternative Argumente furdie Einfachheit der genannten Eigenwerte gegeben, die in Kapitel 4 beide ausfuhrlichdargelegt und (im Falle des zweiten Arguments) kritisiert werden.

In Kapitel 5 werden die wesentlichen Ergebnisse der Arbeit [20] vorgestellt. In dergenannten Arbeit wird ein abstraktes Operatormodell der Klein-Gordon-Gleichungin einem Kontext untersucht, welcher eine Verallgemeinerung der in der zentralenArbeit [26] betrachteten Situation darstellt. Wahrend in letztgenannter noch einbeschranktes elektrostatisches Potential vorausgesetzt wurde, erlauben die Voraus-

setzungen in [20] ein relativ H1/20 -beschranktes Potential V , welches zusatzlich eine

Zerlegung derart gestatten soll, dass S := VH−1/20 = S0+S1 mit einer gleichmaßigen

Kontraktion S0 (d.h. ‖S0‖ < 1) und einem kompakten Operator S1 gilt (Detailssiehe unten). Die formalen Analogien der in [20] und [26] betrachteten Operator-modelle waren der Ausgangspunkt dafur, dass fur die spatere Untersuchung derEinfachheit von Grundzustanden in Kapitel 7, deren Ergebnisse Teilergebnisse aus[26] verallgemeinern, der mathematische Rahmen von [20] gewahlt wurde.

Kapitel 6 stellt die notige Theorie bereit, um die Einfachheit von Eigenwerten auchfur selbstadjungierte Operatoren untersuchen zu konnen, welche als Summe qua-dratischer Formen definiert sind. Dies ist gerade die Situation der Operatoren T (λ),welche in Kapitel 5 mit dem formalen Ausdruck in (5.1) assoziiert werden und derenEigenwerte spater in Kapitel 7 untersucht werden sollen.

In Kapitel 7 wird schließlich die in Kapitel 6 bereitgestellte Theorie auf den Fall derKlein-Gordon-Gleichung auf Rn mit einem relativ beschrankten elektrostatischenPotential V (mit relativer Schranke b < 1) angewendet. Es wird die Einfachheitvon zwei Klassen von Eigenwerten der mit der Klein-Gordon-Gleichung assoziiertenOperatorfunktion T untersucht. Im ersten Teil des Kapitels werden die entspre-chenden Ergebnisse aus [26] fur den

”separierten” Fall ν− < ν+ verallgemeinert,

d.h. insbesondere die Einfachheit der (eventuellen) Eigenwerte ν± in der Lucke deswesentlichen Spektrums bewiesen. Dazu muss an die Diskriminante der verallge-meinerten Rayleighfunktionale eine zusatzliche Bedingung gestellt werden, welchedie Existenz von komplexen Nullstellen der Polynome (T (λ)u, u) ausschließt (einPhanomen, welches in der Analyse in [26] außer Acht gelassen wurde). Es wer-den eine Reihe von hinreichenden Bedingungen bewiesen, die sicherstellen, dass die

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genannte Zusatzbedingung an die Diskriminante erfullt ist. Im zweiten Teil von Ka-pitel 7 wird die Einfachheit von Eigenwerten von T bewiesen, welche Randpunkteeiner Lucke der Form (−α, α) sind, die im Spektrum von T unter der starkeren

Voraussetzung ‖S‖ = ‖V H−1/20 ‖ < 1 auftritt.

Abschließend werden einige Beispielpotentiale diskutiert, auf die die Ergebnisse dervorliegenden Arbeit anwendbar sind. Dazu gehoren Potentiale aus der sogenanntenRollnikklasse sowie das Coulombpotential.

Der Anhang stellt die benotigten mathematischen Grundlagen sowie Notationenbereit.

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2 Abstrakte Modelle der Klein-Gordon-Gleichung

2.1 Grundbegriffe der Operator- und Spektraltheorie

Fur die folgenden Standardbegriffe sowie fur weitere Details verweisen wir auf dieStandardliteratur zur Funktionalanalysis und Operatortheorie, siehe z.B. [28], [37]oder [16].Fur einen Hilbertraum H bezeichne C(H) die Menge der abgeschlossenen Operato-ren auf H. Fur A ∈ C(H) seien mit ρ(A), σ(A), und σp(A) die Resolventenmenge,das Spektrum sowie das Punktspektrum (d.h. die Menge der Eigenwerte) bezeichnet.A heißt Fredholmoperator (oder kurz Fredholm), wenn ker(A) endlichdimensionalist und das Bild von A endliche Codimension besitzt. Das wesentliche Spektrumσess(A) von A ist definiert als

σess(A) := λ ∈ C : A− λ ist nicht Fredholm .

Eine Operatorfunktion ist eine Abbildung

T : C −→ C(H),

die jeder komplexen Zahl λ einen abgeschlossenen Operator T (λ) zuordnet. Fureine Operatorfunktion T definiert man Spektrum, Resolventenmenge, Punkt- undwesentliches Spektrum analog durch

σ(T ) :=λ ∈ C : 0 ∈ σ(T (λ)),ρ(T ) :=C \ σ(T ),

σp(T ) :=λ ∈ C : 0 ∈ σp(T (λ)),σess(T ) :=λ ∈ C : T (λ) ist nicht Fredholm .

Fur einen selbstadjungierten Operator A auf einem Hilbertraum H und ein IntervallI ⊂ R sei mit LI der zu I gehorige spektrale Teilraum bezeichnet. Es sei

κ−(A) := dimL(−∞,0](A).

Falls κ−(A) endlich ist, so besteht das negative Spektrum von A aus endlich vielenEigenwerten endlicher Vielfachheit und κ−(A) ist gleich deren Anzahl (gezahlt mitVielfachheit).

2.2 Krein- und Pontryaginraume

In diesem Abschnitt werden die Definitionen und grundlegenden Eigenschaften ei-ner Klasse von in der Arbeit benotigten inneren Produktraumen, den sogenanntenKrein- bzw. Pontryaginraumen, bereitgestellt. Fur weitere Details verweisen wir auf[2], [17], [4], [18] und [19].

Definition 2.1. Ein Kreinraum (K, [·, ·]) ist ein VektorraumKmit einem (im Allge-meinen indefiniten) inneren Produkt, d.h. einer hermitschen Sesquilinearform [·, ·],so dass K eine Zerlegung

K = G+[+]G−derart erlaubt, dass (G±,±[·, ·]) jeweils Hilbertraume sind, die Summe direkt ist und[G+,G−] = 0 gilt. Dabei ist die Normtopologie auf K durch die Normtopologie derdirekten Summe der beiden Hilbertraume G± gegeben, welche unabhangig von dergewahlten Zerlegung von K ist.

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Wenn einer der beiden Faktoren G± in der Zerlegung von endlicher Dimension κist, so ist er dies in jeder moglichen Zerlegung und K heißt Pontryaginraum vom(positiven bzw. negativen) Index κ.

Definition 2.2. Fur einen abgeschlossenen, dicht definierten Operator A in einemKreinraum K ist der im Kreinraum adjungierte Operator A+ definiert als der dichtdefinierte Operator, welcher durch

D(A+) := y ∈ K : [A·, y] ist stetiges lineares Funktional auf D(A)und

[Ax, y] = [x,A+y], x ∈ D(A), y ∈ D(A+),

gegeben ist.Der Operator A heißt symmetrisch, falls A ⊂ A+ gilt, und selbstadjungiert (imKreinraum), falls A = A+ gilt.

Bemerkung 2.3. Das Spektrum eines im Kreinraum K selbstadjungierten Opera-tors A ist stets symmetrisch zur reellen Achse. Sowohl das Spektrum als auch dieResolventenmenge konnen leer sein.Das Spektrum eines selbstadjungierten Operators in einem Pontryaginraum vomIndex κ ist reell mit Ausnahme von hochstens κ Paaren komplexer Eigenwerte λ, λ.

2.3 Verschiedene Formen der Klein-Gordon-Gleichung

Die Klein-Gordon Gleichung beschreibt das Verhalten eines spinlosen relativisti-schen Teilchens der Masse m und der Ladung e in einem außeren Feld. In ihrerallgemeinsten Form ist sie in n Raumdimensionen durch

(∂

∂t− ieq

)2

−n∑

j=1

(∂

∂xj− ieAj

)2

+m2

u = 0 (2.1)

gegeben, wobei q das elektrostatische Potential, A = (Aj) das elektromagnetischePotential bezeichnet und die Einheiten so gewahlt wurden, dass fur die PlanckscheKonstante ~ und die Lichtgeschwindigkeit c die Normierung 1 = c = ~ gilt. In dreiRaumdimensionen reduziert sich die Gleichung auf

[(∂

∂t− ieq

)2

−(∇− ie ~A

)2

+m2

]u = 0, (2.2)

und im Falle ~A ≡ 0 auf[(

∂

∂t− ieq

)2

−∆ +m2

]u = 0. (2.3)

Jede der obigen Formen der Klein-Gordon-Gleichung ist als partielle Differential-gleichung auf dem Hilbertraum L2(Rn, dx) anzusehen, wobei jeweils

n∑

j=1

(∂

∂xj− ieAj

)2

+m2

und (∇− ie ~A

)2

+m2

die selbstadjungierten Realisierungen der entsprechenden Differentialoperatoren inL2(Rn, dx) sind und eq der (symmetrische) Operator der Multiplikation mit derreellwertigen Funktion eq in L2(Rn) ist.

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2.4 Assoziierte Blockoperatormodelle

Die Spektraltheorie der Klein-Gordon-Gleichung wurde mit den im Folgenden be-schriebenen Methoden und Ergebnissen jungst in den Arbeiten [18] und [19] unter-sucht. Dabei wurden dem unten beschriebenen abstrakten Modell der Klein-Gordon-Gleichung drei verschiedene, durch Blockoperatormatrizen darstellbare lineare Ope-ratoren in bestimmten Produkthilbert- bzw. Krein- und Pontryaginraumen zuge-ordnet.Es sei im Folgenden (Aj) ≡ 0. Das konkret gegebene Problem (2.1) auf L2(Rn, dx)kann abstrakt wie folgt formuliert werden: Wir betrachten einen separablen Hilber-traum H und einen streng positiven selbstadjungierten Operator H0 ≥ m2. Fernersei V ein symmetrischer Operator auf L2(Rn, dx). Die Klein-Gordon-Gleichung hatdann die abstrakte Form

((d

dt− iV

)2

+H0

)u = 0. (2.4)

Diese Gleichung in H kann nun durch verschiedene Substitutionen in die folgendegewohnliche Differentialgleichung erster Ordnung fur eine zweikomponentige Funk-tion x in einem passenden Produkthilbertraum G transformiert werden:

dx

dt= iAx.

Dabei erhalt man je nach verwendeter Substitution verschiedene Operatoren A.

2.4.1 A im Energieskalarprodukt

Die erste der moglichen Substitutionen ist

x = u, y = −id

dtu, x =

(xy

),

was auf die Gleichungdx

dt=

d

dt

(xy

)= iAx

mit einem Operator A fuhrt, welcher formal durch die Blockoperatormatrix

A =

(0 I

H0 − V 2 2V

)

gegeben ist. Da die Operatoren H0 und V aber im Allgemeinen unbeschrankt sind,braucht diese Blockoperatormatrix weder dicht definiert noch abgeschlossen zu sein.Zur weiteren Untersuchung mussen daher weitere Annahmen an das Potential Vgetroffen werden.Dazu wird in [19] zunachst die durch den Operator H0 induzierte Familie Hα vonHilbertraumen wie folgt eingefuhrt. Es sei −1 ≤ α ≤ 1. Setze dann

Hα := D(Hα0 ), ‖x‖α := ‖Hα

0 x‖, x ∈ Hα,

falls 0 ≤ α ≤ 1, und definiere fur −1 ≤ α < 0 den Raum Hα als die Ver-vollstandigung von D(Hα

0 ) = H unter der Norm

‖x‖α := ‖Hα0 x‖, x ∈ H.

Die Paarung zwischen Hα und H−α sei durch (·, ·) bezeichnet:

(x, y) := (Hα0 x,H

−α0 y), x ∈ Hα, y ∈ H−α,

9

wobei die rechte Seite das ubliche Skalarprodukt in H ist. Es sei G := H1/2 ⊕ H.Unter den Voraussetzungen

D(A1/20 ) ⊂ D(V ), (2.5)

S := V H−1/20 = S0 + S1 mit ‖S0‖ < 1 und S1 kompakt, (2.6)

ist dann der Operator

H := H1/20 (I − S∗S)H

1/20 , D(H) = x ∈ H1/2 : (I − S∗S)H

1/20 x ∈ H1/2, (2.7)

selbstadjungiert in H, und der durch

A =

(0 IH 2V

), D(A) = D(H)⊕D(H

1/20 ), (2.8)

gegebene Operator ist abgeschlossen und beschrankt invertierbar in G. Durch das imallgemeinen indefinite sogenannte Energieskalarprodukt 〈·, ·〉, welches fur x = (x y)t,x′ = (x′ y′)t ∈ G durch

〈x,x′〉 :=(H

1/20 x,H

1/20 x′

)− (V x, V x′) + (y, y′)

gegeben ist, wird K := (G, 〈·, ·〉) zu einem Kreinraum, unter der zusatzlichen Vor-aussetzung

S = V H−1/20 = S0 + S1 mit ‖S0‖ < 1 und S1 kompakt (2.9)

sogar zu einem Pontryaginraum mit negativem Index κ, wobei κ in diesem Fallgerade gleich der Anzahl der negativen Eigenwerte des Operators I − S∗S ist. Einwesentliches Ergebnis von [19] ist der folgende

Satz 2.4. Es gelte D(H1/20 ) ⊂ D(V ) und S = V H

−1/20 = S0 + S1 mit ‖S0‖ < 1

und S1 kompakt. Weiterhin sei 1 ∈ ρ(S∗S). Dann gilt:

i. K ist ein Pontryaginraum mit (endlichem) negativen Index κ, wobei κ dieAnzahl der negativen Eigenwerte von I−S∗S (gezahlt mit Vielfachheiten) ist.

ii. A ist selbstadjungiert im Pontryaginraum K.

iii. Das nichtreelle Spektrum von A ist symmetrisch zur reellen Achse und bestehtaus hochstens κ Paaren komplex konjugierter Eigenwerte λ, λ.

iv. Das wesentliche Spektrum von A ist reell und es gilt

σess(A) ∩ (−α, α) = ∅

mit α = (1 − ‖S0‖)m.

v. A erzeugt eine stark stetige Gruppe (exp(iAt))t∈Rgleichmaßig beschrankter

unitarer Operatoren in K, und daher hat das Cauchyproblem

dx

dt= iAx, x(x) = x0,

eine eindeutige Losung fur alle Anfangswerte x0 ∈ K = H1/2 ⊕H.

10

2.4.2 A1 und A2 im Ladungsskalarprodukt

Eine zweite mogliche Substitution in (2.3) ist

x = u, y =

(−i

d

dt− V

)u,

was zunachst formal auf die Blockoperatormatrix

A1 =

(V IH0 I

)(2.10)

fuhrt. Diese Moglichkeit wurde in der Arbeit [18] untersucht, deren Methode undErgebnisse hier kurz skizziert werden sollen. Der Blockoperatormatrix (2.10) werdenzwei verschiedene Operatoren in unterschiedlichen Raumen zugeordnet. Der erstedieser Operatoren wirkt im Hilbertraum G1 := H⊕H (mit dem gewohnlichen Skalar-produkt der direkten Summe), welcher durch das sogenannte Ladungsskalarprodukt[·, ·], gegeben durch

[x,x′] := (x, y′) + (y, x′), x = (x y)t,x′ = (x′ y′)t ∈ G1,

zu einem Kreinraum K1 := (G1, [·, ·]) gemacht werden kann. Es zeigt sich, dass unterder Voraussetzung

D(H1/20 ) ⊂ D(V ) (d.h. S := V H

−1/20 beschrankt) (2.11)

der Operator A1, gegeben durch

D(A1) =

(xy

)∈ H ⊕H : x ∈ D(H

1/20 ), H

1/20 x+ S∗y ∈ D(H

1/20 )

, (2.12)

A1

(xy

)=

(V x+ y

H1/20 (H

1/20 x+ S∗y)

), (2.13)

eine im Kreinraum K1 selbstadjungierte Fortsetzung des in K1 wesentlich selbstad-jungierten Operators A1 (mit seinem naturlichen Wertebereich) ist.Um den zweiten Operator, der in [18] zu (2.10) assoziiert wird, zu definieren, wirdder Hilbertraum G2 := H1/4 ⊕H−1/4 betrachtet, dessen Skalarprodukt durch

(x,x′)G2= (H

1/40 x,H

1/40 x′) + (H

−1/40 y,H

−1/40 y′), x = (x y)t,x′ = (x′ y′)t ∈ G2,

gegeben ist.Durch das indefinite, auch Ladungsskalarprodukt genannte innere Produkt [·, ·],

[x,x′] := (Jx,x′)G2, J =

(0 H

−1/20

H1/20 0

),

wird G2 zu einem Kreinraum K2 := (G2, [·, ·]).Um nun der Blockoperatormatrix (2.10) einen wohldefinierten Operator A2 auf G2

zuzuordnen, ist es notwendig, den symmetrischen Operator V außer in H auch aufder Familie von Hilbertraumen Hα,−1 ≤ α ≤ 1, zu betrachten.

11

Dazu wird die Annahme

D(H3/40 ) ⊂ D(V ) und V ∈ L(H3/4,H1/4) (2.14)

getroffen, welche dann zusammen mit einem Interpolationsargument liefert, dass

V ∈ L(Hα,Hα−1/2), α ∈ [−1/4, 3/4] ,

gilt.Es stellt sich heraus, dass unter der Voraussetzung (2.14) und der zusatzlichenVoraussetzung (2.9) der Operator

D(A2) =

(xy

)∈ H1/4 ⊕H−1/4 : y ∈ H, V x+ y ∈ H1/4, H0x+ V y ∈ H−1/4

,

A2

(xy

):=

(V x+ yH0x+ V y

),

selbstadjungiert im Kreinraum K2 ist. Eines der Hauptergebnisse von [18] sind diebeiden folgenden Satze.

Satz 2.5. Es seien die beiden Voraussetzungen (2.11) und (2.9) erfullt. Es sei m > 0so, dass H0 ≥ m2 gilt und es sei κ die Anzahl der negativen Eigenwerte von I−S∗S(gezahlt mit Vielfachheiten). Dann gilt:

i. Der Operator A1 ist selbstadjungiert im Kreinraum K1.

ii. Das nichtreelle Spektrum von A1 ist symmetrisch zur reellen Achse und bestehtaus hochstens κ Paaren komplex konjugierter Eigenwerte λ, λ.

iii. Das wesentliche Spektrum von A1 ist reell und es gilt

σess(A1) ∩ (−α, α) = ∅

mit α = (1 − ‖S0‖)m.

iv. Falls V H1/20 -kompakt ist, gilt

σess(A1) = λ ∈ R : λ2 ∈ σess(H0).

v. Falls ‖S‖ = ‖V H−1/20 ‖ < 1 gilt, so ist A1 positiv im Kreinraum K1 und es

giltσ(A1) ⊂ R \ (−α, α)

mit α := (1 − ‖S‖)m.

Satz 2.6. Es seien die Voraussetzungen (2.14) und (2.9) erfullt sowie m, α und κwie im vorherigen Satz. Dann gilt:

i. Der Operator A2 ist selbstadjungiert im Kreinraum K2.

ii. Spektrum, wesentliches Spektrum und Punktspektrum von A1 und A2 stimmenuberein:

σ(A1) = σ(A2), σess(A1) = σess(A2), σp(A1) = σp(A2).

iii. Die Aussagen ii.-v. des vorherigen Satzes gelten fur A2.

12

Der Operator A auf dem Raum G = H1/2 ⊕H (siehe vorheriger Abschnitt) hangtmit A1 uber die Relation

A = WA1W−1

zusammen, wobei W der Operator von G1 = H⊕H nach G = H1/2⊕H ist, welcherdurch

W :=

(I 0V I

), D(W ) := H1/2 ⊕H,

gegeben ist. A ist selbstadjungiert im Kreinraum K = (G, 〈·, ·〉) (siehe oben). Zwi-schen den inneren Produkten in K und K1 besteht der Zusammenhang

〈x,x′〉 = [A1W−1x,W−1x′], x ∈WD(A1), x′ ∈ G.

Schließlich zeigt sich, dass unter entsprechenden Voraussetzungen auch die verschie-denen Teile des Spektrums von A mit denen des Spektrums von A1 ubereinstimmen:

Satz 2.7. Unter den Voraussetzungen von Satz 2.4 gilt:

σ(A) = σ(A1), σess(A) = σess(A1), σp(A) = σp(A1).

Auch wenn also die drei Operatoren A, A1 und A2 unter den entsprechenden Vor-aussetzungen in ihren Spektren ubereinstimmen, so zeigen sich doch in der Fragenach der Losbarkeit des Cauchyproblems Unterschiede zwischen ihnen. Dies resul-tiert daraus, dass sich die jeweiligen sogenannten Spektralfunktionen der Operato-ren (siehe [18] fur die Definition) asymptotisch unterschiedlich verhalten. Wie amEnde des vorherigen Abschnitts erwahnt, erzeugt A unter den Voraussetzungen vonSatz 2.4 eine stark stetige Gruppe gleichmaßig beschrankter unitarer Operatorenim Pontryaginraum K. In [18] wird folgendes abstrakte Resultat fur den OperatorA2 gezeigt:

Satz 2.8. Es sei H0 unbeschrankt, D(H3/40 ) ⊂ D(V ), V ∈ L(H3/4,H1/4) und es

seiγ := ‖H1/4

0 V H−3/40 ‖ < 1.

Dann ist A2 infinitesimaler Erzeuger der stark stetigen Gruppe (exp(itA2)) unitarerOperatoren auf K2, d.h. das Cauchy-Problem

dx

dt= iA2x, x(0) = x0,

hat fur alle x0 ∈ K2 eine eindeutige Losung.

Ein vergleichbares Resultat gilt fur A1 nicht, da im Unterschied zu A2 der Punkt∞ fur A1 ein sogenannter singularer kritischer Punkt (siehe [18] fur die Definition)ist.Vergleicht man die durch A und A2 erzeugten unitaren Gruppen, so sieht man, dassdie Menge der zulassigen Anfangswerte fur den Operator A2 großer ist als fur A:Es ist G = H1/2 ⊕H, G2 = H1/4 ⊕H−1/4 und H1/2 ⊂ H1/4. Es kann also Anfangs-werte u0 geben, die zwar in H1/4, nicht aber in H1/2 liegen, und daher nur mit Hilfeder durch A2 erzeugten Gruppe zeitlich evolviert werden konnen.

13

3 Grundzustande selbstadjungierter Operatoren I

– Schrodingeroperatoren

In diesem Abschnitt soll dargestellt werden, wie im Kontext der nichtrelativistischenQuantentheorie die Einfachheit von Grundzustanden von Schrodingeroperatoren ge-zeigt werden kann. Eine wesentliche Rolle spielt dabei die Tatsache, dass der zuGrunde liegende abstrakte Hilbertraum H des Quantensystems als L2(M,dµ) aufeinem Maßraum M realisiert ist. Dann laßt sich namlich das unten beschriebeneKonzept von positiven und streng positiven Elementen in H sowie das einer Klassevon Operatoren einfuhren, die diese Eigenschaft erhalten bzw. verbessern.Ein wesentliches Konzept bei der Untersuchung eines selbstadjungierten Schrodinger-operators H ist das Studium der Resolvente (H −λ)−1 bzw. der von ihm erzeugtenHalbgruppe exp(−tH). Die folgende Darstellung einiger wichtiger Resultate dieserTheorie folgt im Wesentlichen [28], worauf wir auch fur weitere Details verweisen.

Definition 3.1. Ein Element f ∈ L2(M,dµ) heißt positiv, wenn f fast uberallnichtnegativ und nicht identisch Null ist. f heißt streng positiv, wenn f(x) > 0 fastuberall gilt. Ein beschrankter Operator A auf L2(M,dµ) heißt positivitatserhaltend,falls Af fur alle positiven f positiv ist. A heißt positivitatsverbessernd, falls Afstreng positiv fur alle positiven f ist.Die Klasse der positivitatserhaltenden Operatoren sei mit L≥0(L2(M,dµ)), die derpositivitatsverbessernden Operatoren mit L>0(L2(M,dµ)) bezeichnet. Wenn klarist, welches der zu Grunde liegende Maßraum (M,dµ) ist, so werden die beidenKlassen mit L≥0(L2) bzw. L>0(L2) abgekurzt.Ein Operator A heißt ergodisch, wenn A positivitatserhaltend ist und falls fur allepositiven u, v ∈ L2(M,dµ) ein n ∈ N, n > 0 existiert mit (u,Anv) > 0.

Bemerkung 3.2. A ∈ L>0(L2) ⇔ (u,Av) > 0 fur alle positiven u, v ∈ L2(M,dµ).

Bemerkung 3.3. Die positivitatserhaltende Eigenschaft bleibt unter starker Li-mesbildung erhalten, d.h.

An ∈ L≥0(L2), A = s− limAn =⇒ A ∈ L≥0(L2).

Beispiel 3.4. Mit der Theorie der Fouriertransformation zeigt man im Fall n = 3,d.h. H = L2(R3, dx), fur die Resolvente des Laplaceoperators H0 = −∆ die Formel

[(H0 + 1)−1f

](x) = (4π)−1

∫e−|x−y|

|x− y| f(y)dy,

sowie fur die von ihm erzeugte Halbgruppe

(e−itH0 f

)(x) = l.i.m.(4πit)−n/2

∫ei|x−y|2/4tf(y)dy.

Daraus folgt im Fall n = 3 aus

(f, (−∆ + 1)−1g

)=

∫f(x)g(y)

e−|x−y|

4π|x− y|d3xd3y

die positivitatsverbessernde Eigenschaft fur (−∆ + 1)−1 auf L2(R3, dx). Analogfolgt aus der zweiten Formel die positivitatsverbessernde Eigenschaft fur et∆ aufL2(Rn, dx). Hier bezeichnet l.i.m. den Hauptwert des Integrals.

14

Definition 3.5. (Halbbeschranktheit) Ein selbstadjungierter Operator A auf ei-nem Hilbertraum heißt halbbeschrankt, falls m ∈ R existiert, so dass

(u,Au) ≥ m‖u‖2, u ∈ D(A),

oder(u,Au) ≤ m‖u‖2, u ∈ D(A),

gilt. Im ersten Fall heißt A von unten beschrankt (mit unterer Schranke m), imzweiten Fall von oben beschrankt (mit oberer Schranke m). Man schreibt A ≥ mbzw. A ≤ m.Ist A von unten beschrankt, so heißt A fur m > 0 positiv definit (oder strikt positiv)und fur m = 0 positiv semidefinit (oder positiv).Eine Folge Hn∞n=0 selbstadjungierter Operatoren mit D(Hn) = D(H0), n ∈ N,heißt gleichmaßig von unten beschrankt, falls eine Konstante c ∈ R existiert, so dass

Hn ≥ c, n ∈ N,

gilt.Fur zwei selbstadjungierte Operatoren A,B mit D(A) = D(B) definiert man

A ≤ B :⇐⇒ (A−B) ≤ 0.

Satz 3.6. ([28], Thm.XIII.43) Es sei A ein beschrankter positiver Operator aufL2(M,dµ). Es sei A ∈ L≥0(L2) und es sei ‖A‖ ein Eigenwert. Dann sind aquivalent:

i. ‖A‖ ist ein einfacher Eigenwert, und der zugehorige Eigenvektor ist strengpositiv.

ii. A ist ergodisch.

iii. Tf : L2(M) → L2(M) | f ∈ L∞(M) ∪ A wirkt irreduzibel, d.h. keinnichttrivialer abgeschlossener Unterraum wird gleichzeitig unter A und jedemOperator Tf (Multiplikation mit f ∈ L∞(M)) invariant gelassen.

Beweis. i.⇒ii. Setze B := A/‖A‖ und bezeichne mit PΩ die spektralen Projektionenvon B. Wegen xn → 0 fur 0 ≤ x < 1 und xn → 1 fur x = 1 folgt aus demFunktionalkalkul

s− limBn = P1.

Nach Voraussetzung ist ‖A‖ großter Eigenwert von A und einfach, d.h. 1 ist großterEigenwert von B und einfach, weswegen

P1 = (ψ, ·)ψ

mit einer streng positiven Funktion ψ gilt. Man hat also

limn→∞

(u,Bnv) = (u, ψ)(ψ, v) > 0

fur alle positiven u, v ∈ L2(M,dµ) . Daher existiert n0, so dass

(u,An0v) = ‖A‖n0(u,Bn0v) > 0

gilt, d.h. A ist ergodisch.ii.⇒iii. Angenommen, iii. gilt nicht. Es sei S ein nichttrivialer invarianter Unterraummit den Eigenschaften aus iii. Es sei f ∈ S, f 6= 0 und h := f/|f | ∈ L∞(M). Dann

15

ist |f | = hf ∈ S. Analog gilt fur g ∈ S⊥, dass |g| ∈ S⊥. Wahle f ∈ S, g ∈ S⊥,f 6= 0 6= g. Da S invariant ist, gilt An|f | ∈ S fur alle n ∈ N, also

(|g|, An|f |) = 0, n ∈ N.

Daher ist A nicht ergodisch.iii.⇒i. Nach Voraussetzung ist ‖A‖ Eigenwert von A. Es sei ψ ein Eigenvektor vonA zum Eigenwert ‖A‖ und es sei ψ zunachst als reellwertig angenommen. Wegen|ψ| ± ψ ≥ 0 muss A(|ψ| ± ψ) ≥ 0 gelten, also folgt

|Aψ| ≤ A|ψ|.

Daher erhalt man

(|ψ|, A|ψ|) ≥ (|ψ|, |Aψ|) ≥ (ψ,Aψ) = ‖A‖ ‖ψ‖2,

woraus wiederum A|ψ| = ‖A‖ |ψ| folgt, so dass also auch |ψ| Eigenvektor zumEigenwert ‖A‖ ist. Im Folgenden wird gezeigt, dass |ψ| streng positiv ist. SetzeS = f ∈ L2(M,dµ) | fψ = 0 f.u. . S ist ein Unterraum, welcher unter L∞(M)invariant ist. Setze S+ = f ∈ S|f ≥ 0. Dann gilt fur f ∈ S+

(Af, |ψ|) = (f,A|ψ|) = ‖A‖(f, |ψ|) = 0.

Da Af positiv ist, muss also (Af)ψ = 0 fast uberall gelten, d.h. Af ∈ S+. Also istS+ unter A invariant. Wegen S = S+ − S+ + i(S+ − S+) lasst A auch S invariant.Daher muss nach Voraussetzung (iii) entweder S = 0 oder S = H gelten. Wegenψ /∈ S und ψ 6= 0 folgt S = 0, woraus wiederum |ψ| > 0 folgt.Wir haben also gezeigt, dass jeder reelle Eigenvektor zum Eigenwert ‖A‖ fast uberallnichtnegativ ist und dass A|ψ| = ‖A‖|ψ|. gilt. Daher ist |ψ| − ψ entweder eben-falls Eigenvektor zum Eigenwert ‖A‖ oder identisch gleich Null. Im ersten Fall gilt|ψ| − ψ 6= 0 fast uberall, d.h. wegen |ψ| − ψ ≥ 0 f.u. also |ψ| > ψ f.u., woraus wie-derum ψ < 0 f.u. folgt, d.h. ψ ist streng negativ. Im zweiten Fall gilt ψ = |ψ| > 0fast uberall, d.h. ψ ist streng positiv.Gabe es zwei linear unabhangige reelle Eigenvektoren zum Eigenwert ‖A‖, so warendiese orthogonal zueinander. Andererseits konnen beide streng positiv gewahlt wer-den (ist ψ streng negativer Eigenvektor, so ist −ψ streng positiver Eigenvektor zumselben Eigenwert). Da aber zwei streng positive Elemente von L2(M,dµ) niemalsorthogonal sein konnen, kann A nur einen reellen Eigenvektor zum Eigenwert ‖A‖haben, und dieser ist streng positiv, da – wie oben gezeigt – mit ψ stets auch |ψ| > 0Eigenvektor ist.Es sei nun ψ ein beliebiger (nicht notwendigerweise reeller) Eigenvektor zum Eigen-wert ‖A‖. Da A positive Funktionen auf positive abbildet, bildet er reelle Funktionenauf reelle ab, weswegen Re(Aψ) = A(Re(ψ)) gilt. Also sind sowohl Re(ψ) als auchIm(ψ) Eigenvektoren zum Eigenwert ‖A‖. Daher muss nach dem bisher Gezeigtenψ ein komplexes Vielfaches des eindeutigen reellen Eigenvektors sein.

Um dieses Resultat auf den kleinsten Eigenwert eines selbstadjungierten Operatorsanzuwenden, konnen wir entweder die Resolvente oder die erzeugte Halbgruppebetrachten, wie das folgende Resultat zeigt.

16

Satz 3.7. ([28], Sect.XIII.12) Es sei H ein von unten beschrankter, selbstadjun-gierter Operator auf L2(M,dµ). Es sei E = minσ(H). Dann ist e−tH genau dannpositivitatserhaltend fur alle t > 0, wenn (H − λ)−1 positivitatserhaltend fur alleλ < E ist.

Beweis. Die Behauptung folgt aus den beiden Formeln

(H − λ)−1ϕ =

∫ ∞

0

eλte−tHϕdt (λ < E)

und

e−tHϕ = limn→∞

(1 +

tH

n

)−n

ϕ (t > 0)

aus der Theorie der Operatorhalbgruppen, siehe z.B. [37], [5].

Satz 3.8. ([28], Thm.XIII.44) Es sei H ein von unten beschrankter, selbstadjun-gierter Operator auf L2(M,dµ). Es sei e−tH ∈ L≥0(L2) fur alle t > 0 und es seiE = minσ(H) ein Eigenwert von H. Dann sind folgende Aussagen aquivalent:

i. E ist ein einfacher Eigenwert, und der zugehorige Eigenvektor ist streng po-sitiv.

ii. (H − λ)−1 ist ergodisch fur ein λ < E.

iii. e−tH ist ergodisch fur ein t > 0.

iv. (H − λ)−1 ∈ L>0(L2) fur alle λ < E.

v. e−tH ∈ L>0(L2) fur alle t > 0.

Im Folgenden soll ein fur die Anwendung auf Schrodingeroperatoren wesentlicherStorungssatz bewiesen werden. Hierzu fuhren zunachst den Begriff der Resolventen-konvergenz ein und zitieren die Produktformel von Trotter fur die unitare Gruppeeiner Summe zweier selbstadjungierter Operatoren:

Definition 3.9. Es seien An, n ∈ N und A selbstadjungierte Operatoren (aufeinem Hilbertraum H). Man sagt, An → A im Sinne der starken Resolventenkon-vergenz (bzw. im Sinne der Resolventennormkonvergenz), falls

(An − λ)−1 → (A− λ)−1, λ ∈ C, Im(λ) 6= 0,

im Sinne der starken (bzw. Norm-)Konvergenz gilt (fur die Definition der Opera-tortopologien siehe den Anhang).

Satz 3.10. (Produktformel von Trotter) Es seien A und B selbstadjungierte Ope-ratoren derart, dass A + B auf D(A) ∩ D(B) wesentlich selbstadjungiert ist. Danngilt

s− limn→∞

(eitA/neitB/n

)n

= ei(A+B)t.

Sind A und B zusatzlich von unten beschrankt, so gilt

s− limn→∞

(e−tA/ne−tB/n

)n

= e−t(A+B).

Beweis. Siehe [28], Thm.VIII.31.

17

Satz 3.11. Es seien H und H0 halbbeschrankte, selbstadjungierte Operatoren aufL2(M,dµ). Angenommen, es existiert eine Folge beschrankter symmetrischer Mul-tiplikationsoperatoren Vn derart, dass H0 + Vn → H und H − Vn → H0 im Sinneder starken Resolventenkonvergenz gilt. Es seien weiterhin H − Vn und H0 + Vn

gleichmaßig von unten beschrankt. Dann gilt:

i. e−tH ist genau dann positivitatserhaltend, wenn e−tH0 es ist.

ii. e−tH ∪ Tf : L2(M, dµ)→ L2(M, dµ) | f ∈ L∞(M, dµ) wirkt irreduzibel aufL2(M,dµ) genau dann, wenn dies fure−tH0 ∪ Tf : L2(M, dµ)→ L2(M, dµ) | f ∈ L∞(M, dµ) gilt.

Die Aussage des Satzes gilt insbesondere, falls Vn = V, n ∈ N und H0 + V = H miteinem beschrankten symmetrischen Multiplikationsoperator V auf L2(M,dµ) gilt.

Beweis. (Siehe auch [28], XIII.45). Aus der Produktformel von Trotter (Satz 3.10)und der Stetigkeit des Funktionalkalkuls folgt

e−tH = s− limn→∞

(s− limm→∞

[e−tH0/me−tVn/m

]m)

und

e−tH0 = s− limn→∞

(s− limm→∞

[e−tH/me+tVn/m

]m).

Da e±tVn/m ∈ L≥0(L2) ist (Multiplikation mit positiver Funktion), gilt (i). Weiterimplizieren diese Gleichungen und die Tatsache, dass e±tVn/m ∈ L∞(M, dµ) gilt,dass jeder unter e−tH0∪Tf : L2(M, dµ)→ L2(M, dµ) | f ∈ L∞(M, dµ) invarianteUnterraum auch unter e−tH invariant ist. Der genannte Spezialfall gilt, da man furVn = V mit H0 + Vn = H trivialerweise (H0 + Vn − λ)−1 = (H − λ)−1, λ ∈ C \ R,hat.

Mit der bis jetzt bereitgestellten Theorie kann nun die Einfachheit des Grundzu-standes einer großen Klasse von N-Teilchen-Quantensystemen verifiziert werden.Hierzu fuhren wir zunachst die Klasse der sogenannten Rollnikpotentiale ein:

Definition 3.12. Eine messbare Funktion V auf R3 gehort zur Rollnikklasse, falls

‖V ‖2R :=

∫

R3

|V (x)||V (y)||x− y|2 d3xd3y <∞

gilt. Die Menge aller dieser Funktionen sei mit R bezeichnet.

Definition 3.13. Die Menge der messbaren Funktionen f auf Rn, die in der Formf = f1 + f2 mit f1 ∈ Lr(Rn) und f2 ∈ Ls(Rn) geschrieben werden kann, wird mitLr(Rn) + Ls(Rn) bezeichnet.

Bemerkung 3.14. Unter der Norm ‖ · ‖R ist R ein Banachraum. Es giltL3/2(R3) ⊂ R. Insbesondere gilt r−α ∈ R + L∞, falls α < 2.

Definition 3.15. Mit R+ (L∞)ε sei die Menge der Funktionen

f : R3 → C|∀ε > 0 ∃ fε

1 ∈ R, fε2 ∈ L∞(R3), f = fε

1 + fε2 , ‖fε

2‖∞ < ε

bezeichnet.

18

Satz 3.16. Es sei H = −∆ +∑Vij der Hamiltonoperator eines N -Teilchen-

Quantensystems (ohne Schwerpunktbewegung). Fur die reellwertigen Potentiale Vij

gelte Vij ∈ R + (L∞)ε. Dann gilt: falls H einen Eigenwert am unteren Rand desSpektrums besitzt, so ist dieser einfach mit streng positivem Eigenvektor.

Beweis. Nach den Satzen 3.6 und 3.8 bleibt nur noch zu zeigen, dass e−tH ∈ L≥0(L2)ist und dass e−tH ∪ L∞(R3N−3) irreduzibel wirkt. Nach Beispiel 3.4 giltetH0 ∈ L>0(L2), d.h. insbesondere etH0 ∈ L≥0(L2) und ergodisch, und deshalb wirktwegen Satz 3.6 e−tH0 ∪ L∞(R3N−3) irreduzibel. Definiere V n

ij durch

V nij =

Vij(x), falls |Vij(x)| ≤ n,n, falls Vij(x) > n,

−n, falls Vij(x) < −n.Es gilt lim

n→∞|V n

ij (x)| = |Vij(x)| und |V nij (x)| ≤ |Vij(x)| fast uberall. Daher folgt aus

dem Satz von der majorisierten Konvergenz, dass V nij in der Rollniknorm gegen

Vij konvergiert. Wegen Satz [28], Thm.VIII.25c, gilt dann H0 +∑V n

ij → H undH −∑V n

ij → H0 im Sinne der Resolventennormkonvergenz.Als nachstes zeigen wir, dass die Operatoren H0 +

∑V n

ij und H −∑V nij jeweils

gleichmaßig von unten beschrankt sind. Aus Linearitatsgrunden genugt es, dazu einfestes V := Vi0,j0 und V n := V n

i0,j0 , n ∈ N, zu betrachten. Es sei V = V+ − V− dieZerlegung von V in positiven und negativen Teil.Wegen V± ≤ |V | gilt V+ ∈ R + L∞(R3) und −V− ∈ R + L∞(R3). Daher existierennach [28], Thm.X.19 Konstanten 0 ≤ b± < 1 und a± ≥ 0, so dass die Abschatzungen

|(u, V±u)| ≤ a±‖u‖2 + b±(u,H0u), u ∈ D(H1/20 ),

gelten. Dabei kann 0 < b± < 1/2 gewahlt werden. Aus dem Darstellungssatz furSesquilinearformen (siehe [16], Kapitel VI.2) folgt jetzt die Existenz von selbstad-jungierten Operatoren H±, welche

(u,H±v) = (u,H0v)± (u, V±v), u, v ∈ D(H1/20 ),

erfullen und von unten beschrankt sind mit H± ≥ −a±.Wir schreiben H± = H0 ± V± fur die so eingefuhrten Formsummen. Nach Kon-

struktion von Vn gilt V n± ≤ V± und daher fur u ∈ D(H

1/20 ) die Abschatzung

|(u,−V n−u)| =(u, V n

−u)

≤(u, V−u)

=|(u, V−u)|≤a−‖u‖2 + b−(u,H0u).

Eine analoge Abschatzung gilt fur V n+ . Nach Multiplikation der beiden Ungleichun-

gen mit 2 gilt fur die relativen Schranken 2b± < 1, so dass wiederum mit demDarstellungssatz fur Sesquilinearformen folgt, dass die Operatoren H0 ± 2V n

± vonunten beschrankt sind mit

H0 + 2V n+ ≥ −2a+, H0 − 2V n

− ≥ −2a−,

wobei die Konstanten a± unabhangig von n sind. Durch Addition der beiden letztenUngleichungen und anschließender Division durch 2 erhalt man

H0 + V n ≥ −(a+ + a−), n ∈ N,

d.h. die Operatoren H0 + V n sind gleichmaßig von unten beschrankt. Analog zeigtman, dass dies auch fur die Operatoren H − V n gilt.Die Aussage des Satzes folgt nun aus Satz 3.11.

19

4 Eigenwerte der Klein-Gordon-Gleichung mit

beschranktem Potential

In der Arbeit [26] wird die Klein-Gordon-Gleichung auf Rn fur den Fall eines be-schrankten Potentials V untersucht. Dabei fuhrt der Autor im HilbertraumH = L2(Rn, dx) eine Familie von Operatoren

T (λ) := H0 − V 2 + 2λV − λ2, D(T (λ)) = D(H0), λ ∈ C, (4.1)

und Linearisierungen in Form der Blockoperatormatrizen

Aλ0:=

(λ0 I

T (λ0) 2V − λ0

), D(Aλ0

) = D(T (λ0))⊕D(H1/20 ) ⊂ H1/2⊕H, λ0 ∈ C,

ein, welche der Operatorfunktion T und den Linearisierungen Aλ0aus Kapitel 5

entsprechen. Dabei ist H0 die selbstadjungierte Realisierung von

−n∑

j=1

(∂

∂xj− ieAj

)2

+m2

auf L2(Rn, dx), und Aj ∈ L2loc(Rn, dx) sind die Komponenten des magnetischen

Vektorpotentials.H1/2 ist der Hilbertraum, der durch Einfuhrung der Norm ‖H1/20 ·‖

auf D(H1/20 ) entsteht (siehe Kapitel 2).

In der genannten Arbeit wird das quadratische Eigenwertproblem

T (λ)u = 0, u ∈ D(T (λ)) = D(H1/20 ),

und das lineare Eigenwertproblem

A0

(xy

)= λ

(xy

),

(xy

)∈ D(A0),

betrachtet, welche die gleichen Eigenwerte besitzen, wie in der Einleitung von [26]gezeigt wird.Ein wesentliches Ergebnis der genannten Arbeit ist, dass in dem Spezialfall, furden die Extremalwerte ν± der verallgemeinerten Rayleighfunktionale p±(x) (sieheKapitel 5) separiert sind, d.h. ν− < ν+ gilt, im Intervall (ν−, ν+) keine Eigenwerteder Operatorfunktion T liegen konnen und die Endpunkte ν±, falls sie Eigenwertesind, einfach sind und streng positive Eigenfunktionen besitzen. Genauer:

Satz 4.1. ([26], Theoreme A,B)

i. Die Menge aller λ ∈ R, fur die T (λ) positiv semidefinit ist, ist entweder leeroder ein abgeschlossenes Intervall [ν−, ν+]. Ist letzteres der Fall, so sind T (ν±)positiv semidefinit, und T (λ) ist positiv definit fur ν− < λ < ν+.

ii. In (ν−, ν+) konnen keine Eigenwerte der Operatorfunktion T liegen.

iii. Gilt ν− < ν+ und fur das magnetische Vektorpotential A = 0, so konnen ν±hochstens einfache Eigenwerte der Operatorfunktion T sein. In diesem Fallsind die Eigenfunktionen streng positiv.

Dieses Ergebnis wird spater in Kapitel 7 auf den Fall eines relativH1/20 -beschrankten

Potentials verallgemeinert werden, so dass es also insbesondere auf die Situation vonKapitel 5 angewendet werden kann.Zum Beweis der Einfachheit der Eigenwerte ν± werden in [26] zwei alternativeArgumente gegeben, welche im Folgenden zur Illustration der allgemeinen Vorge-hensweise bei derartigen Problemen beide ausgefuhrt werden sollen. Dafur wird zurVereinheitlichung die gleiche Notation wie spater in Kapitel 5 benutzt.

20

4.1 Erstes Argument: ν± als Grundzustande von Schrodinger-

operatoren

Das erste Argument zum Beweis der Einfachheit der (moglichen) Eigenwerte ν±verwendet die in Kapitel 3 behandelte Theorie der Grundzustande halbbeschrankterselbstadjungierter Operatoren. Das im Folgenden beschriebene Vorgehen wird in dervorliegenden Arbeit spater (siehe Kapitel 7) zur Verallgemeinerung der Ergebnissevon Satz 4.1 verwendet werden.Es seien ν± wie in Satz 4.1. Weiter sei ν− ≤ ν+ und A = 0. In diesem Fall giltH0 = −∆ +m2 mit D(H0) = D(−∆) = H2(Rn, dx). Der Operator

T (ν±) = −∆ +m2 − V 2 − ν2± + 2ν±V, D(T (ν±)) = D(−∆),

ist als beschrankte Storung des auf D(−∆) = H2(Rn, dx) positiven selbstadjun-gierten Operators −∆ selbstadjungiert und von unten beschrankt (siehe Anhang,Satz 8.6). Nach Satz 4.1 gilt T (ν±) ≥ 0. Falls also ν± Eigenwert von T und damit0 Eigenwert von T (ν±) ist, gilt 0 = minσ(T (ν±)). Nach Beispiel 3.4 ist et∆ positi-vitatsverbessernd fur alle t > 0, daher insbesondere ergodisch und ∈ L≥0(L2). NachSatz 3.6, ii⇒ iii, wirkt also

et∆ ∪ Tf : L2(Rn)→ L2(Rn) | f ∈ L∞(Rn)

irreduzibel. Da sowohl −∆ als auch T (ν±) von unten beschrankt sind und durchSetzen von

Vn := V0 := m2 − V 2 − ν2± + 2ν±V, n ∈ N,

ein beschrankter Multiplikationsoperator definiert wird, welcher −∆ + V0 = T (ν±)erfullt, liegt der in Satz 3.11 genannte Spezialfall vor, welcher liefert, dasse−tT(ν±) ∈ L≥0(L2) ist und dass

e−tT(ν±) ∪ Tf : L2(Rn)→ L2(Rn) | f ∈ L∞(Rn)

irreduzibel wirkt. Wegen 0 = min σ(T (ν±)) gilt nach dem Spektralabbildungssatz(siehe [6], Thm.VII.9.5)

e−tmin σ(T(ν±)) = 1 = maxσ(e−tT(ν±)).

Aus der Darstellung

e−tT (ν±) = s− lim

(1 +

t

nT (ν±)

)−n

,

siehe z.B.[16], Kapitel IX.1.2, folgt weiter, dass e−tminσ(T(λ0)) = 1 großter Eigenwertdes Operators e−tT(ν±) ist. Aus Satz 3.6 folgt nun, dass e−tT(ν±) ergodisch ist,woraus wiederum mit Satz 3.8 folgt, dass 0 einfacher Eigenwert von T (ν±) miteiner streng positiven Eigenfunktion ist.

4.2 Zweites Argument: Blockoperatormatrizen

Das zweite, alternative Argument fur die Einfachheit der Eigenwerte ν± verwen-det Linearisierungen von T (λ) in Form von Blockoperatormatrizen, wie sie auchin Kapitel 5 untersucht werden. Es soll hier der Vollstandigkeit halber detailliertausgefuhrt werden (in der Arbeit [26] wird der Beweis nur kurz skizziert), wird aberim weiteren Verlauf der vorliegenden Arbeit nicht weiter verwendet werden, auchwegen der im Folgenden angesprochenen Kritikpunkte.

21

Es sei ν− < ν+ und A = 0. Wahle λ0 ∈ (ν−, ν+). Dann folgt aus Satz 4.1, dassT (λ0) > 0 und somit λ0 ∈ ρ(T (λ0)) gilt. Betrachte den Operator

Aλ0=

(λ0 I

T (λ0) 2V − λ0

), D(Aλ0

) = D(T (λ0))⊕D(H1/20 ) ⊂ H ⊕H.

Wegen λ0 ∈ ρ(T (λ0)) existiert der Operator

(Aλ0− λ0)−1 =

(−2T (λ0)−1(V − λ0) T (λ0)−1

I 0

), (4.2)

welcher beschrankt und auf ganz H ⊕ H definiert ist (V ist hier als beschranktvorausgesetzt).Anmerkung: In [26] wird der um −λ0 verschobene Operator

Aλ0− λ0 =

(0 I

T (λ0) 2V − 2λ0

)

betrachtet, dies ist aber unwesentlich.Die zu untersuchenden Eigenwerte der Klein-Gordon-Gleichung sind Eigenwerte derOperatorfunktion T bzw. des Operators Aλ0

, da, wie in [20] gezeigt, die Punktspek-tren von T und Aλ0

unter der Voraussetzung λ0 ∈ ρ(T ) ∩ R und κ−(T (λ0)) < ∞ubereinstimmen. Dabei ist κ−(T (λ0)) die Dimension des zu (−∞, 0) gehorigenspektralen Teilraums von T (λ0) bzw. bei endlicher Dimension die Anzahl der ne-gativen Eigenwerte von T (λ0). Wegen T (λ0) > 0 gilt im hier betrachteten Fallκ−(T (λ0)) = 0. Der in [20] betrachtete Operator Aλ0

, der auch in Kapitel 5 ver-wendet wird, operiert zwar im Hilbertraum H1/2⊕H, die Rechnung im Beweis vonSatz 7.6 zeigt jedoch, dass die Punktspektren von T und Aλ0

auch fur Aλ0als Ope-

rator in H⊕H ubereinstimmen.Das Hauptargument in [26] ist nun, dass der beschrankte Operator (Aλ0

− λ0)−1

nach Addition eines geeigneten reellen Vielfachen µI der Identitat auf H ⊕ H zueinem positivitatsverbessernden Operator

(Aλ0− λ0)−1 + µI =

(−2T (λ0)−1(V − λ0) T (λ0)−1

I 0

)+ µI

gemacht werden kann, auf welchen dann Satz 3.6 angewendet werden kann. Zunachstzeigt man, dass der rechte obere Eintrag T (λ0)−1 fur geeignetes λ0 positivitatsver-bessernd ist:

Satz 4.2. Es sei V beschrankt und es sei T (λ) = −∆ + γ2 − V 2 + 2λV − λ2,D(T (λ)) = D(−∆). Angenommen es gilt ν− < ν+ und ν+ ist isolierter Eigen-wert endlicher algebraischer Vielfachheit von T , also exisitiert u ∈ D(T (ν+)) mitT (ν+)u = 0. Dann existiert λ0 ∈ (ν−, ν+), so dass T (λ0)−1 ∈ L>0(L2) ist.

Fur den Beweis brauchen wir die folgenden Lemmata:

Lemma 4.3. Sei T selbstadjungiert und B T -beschrankt mit relativer Schrankeb < 1, d.h. es gilt die Ungleichung

‖Bu‖ ≤ a‖u‖+ b‖Tu‖, u ∈ D(T ),

mit b < 1. Es sei λ ein isolierter Eigenwert endlicher algebraischer Vielfachheitm von T mit Isolierungsabstand d := dist(λ, σ(T ) \ λ). Es sei Γ der Kreis vomRadius d/2 um λ. Falls die Ungleichung

a+ b(|λ|+ d) < d/2 (4.3)

gilt, so liegen innerhalb von Γ genau m Eigenwerte (gezahlt mit Vielfachheit) desOperators S := T +B. Γ enthalt keine anderen Punkte von σ(S).

22

Beweis. Siehe [16], V.3.

Lemma 4.4. Es gelten die Voraussetzungen von Satz 4.2. Dann ist minσ(T (λ0))Eigenwert von T (λ0).

Beweis. Wegen T (λ0) > 0 gilt minσ(T (λ0)) > 0. Wie in [26] gezeigt wird, giltT (ν+) ≥ 0, und da ν+ nach Voraussetzung Eigenwert von T ist, gilt alsominσ(T (ν+)) = 0. Es sei d0 der Isolierungsabstand von 0 als Eigenwert von T (ν+)und Γ0 der Kreis vom Radius d0/2 um 0. Die Differenz der beiden Operatoren,

B := T (λ0)− T (ν+) = 2(λ0 − ν+)V + ν2+ − λ2

0,

ist ein beschrankter symmetrischer Operator, fur dessen Norm folgende Abschatzunggilt:

‖T (λ0)− T (ν+)‖ ≤2 |ν+ − λ0| ‖V ‖+ |λ20 − ν2

+|=2 |ν+ − λ0| ‖V ‖+ |(λ0 − ν+)(λ0 + ν+)|=2 |ν+ − λ0| ‖V ‖+ |λ0 − ν+| |λ0 + ν+|≤2 |ν+ − λ0| ‖V ‖+ |λ0 − ν+|2 max|λ0|, |ν+|=2 |ν+ − λ0| (‖V ‖+ max|λ0|, |ν+|) .

Da ν+ fest ist und λ0 nahe bei ν+ gewahlt werden kann, kann dieser Term durchWahl von |λ0 − ν+| < ε beliebig klein gemacht werden.Im Lichte von Lemma 4.3 (mit T = T (ν+)) bedeutet dies, dass b = 0 gilt unddie Konstante a = ‖B‖ beliebig klein gewahlt werden kann, d.h. insbesondere dieUngleichung (4.3) mit d = d0 erfullt. Aus Lemma 4.3 folgt also, dass innerhalbvon Γ0 genau m Eigenwerte von T (λ0) (gezahlt mit Vielfachheit) liegen, und wegenminσ(T (λ0)) > 0 hat T (λ0) insbesondere einen Eigenwert endlicher algebraischerVielfachheit am unteren Rand seines Spektrums.

Beweis von Satz 4.2.Wie in [26] gezeigt wird, gilt T (λ0) > 0 fur λ0 ∈ (ν−, ν+), d.h. T (λ0)−1 exis-tiert in diesem Fall. Aufgrund seiner Gestalt ist T (λ0) eine beschrankte symmetri-sche Storung des selbstadjungierten Operators −∆, daher ebenfalls selbstadjungiert(siehe Anhang, Satz 8.6), und man kann den in Satz 3.11 genannten Spezialfall an-wenden, welcher liefert:

i. e−tT(λ0) ∈ L≥0(L2), da dies fur et∆ gilt.

ii. e−tT(λ0) ∪ Tf : L2(Rn)→ L2(Rn) | f ∈ L∞(Rn) wirkt irreduzibel.

Nach Lemma 4.4 ist minσ(T (λ0)) Eigenwert von T (λ0). Aus dem Spektralabbil-dungssatz ([6],Thm.VII.9.5.) folgt

maxσ(e−tT (λ0)) = e−tminσ(T(λ0)).

Aus der Darstellung

e−tT (λ0) = s− lim

(1 +

t

nT (λ0)

)−n

,

siehe z.B.[16], Kapitel IX.1.2, folgt weiter, dass e−tminσ(T(λ0)) großter Eigenwertdes Operators e−tT(λ0) ist. Nun erhalt man mit Hilfe von i. und Satz 3.6 , dass ii.e−tT(λ0) ergodisch impliziert. Aus Satz 3.8 folgt dann (T (λ0)− µ)−1 ∈ L>0(L2) furalle µ < minσ(T (λ0)), also wegen T (λ0) > 0 insbesondere fur µ = 0.

23

Im nachsten Schritt zeigt man die positivitatsverbessernde Eigenschaft fur eineBlockoperatormatrix, die sich von (Aλ0

− λ0)−1 durch Subtraktion des Operators

(−2T (λ0)−1(V − λ0) 0

0 0

)

unterscheidet.

Lemma 4.5. Es sei H = L2(Rn, dx) und es sei T (λ0)−1 positivitatsverbessernd furein λ0 ∈ R. Dann ist die Blockoperatormatrix

(0 T (λ0)−1

I 0

)

positivitatsverbessernd auf L2(Rn, dx)⊕ L2(Rn, dx).

Beweis. Es seien u, v, x, y ∈ L2(Rn, dx) positiv. Dann sind

(uv

)und

(xy

)als Ele-

mente von L2(Rn, dx)⊕ L2(Rn, dx) positiv, und es gilt

((uv

),

(0 T (λ0)−1

I 0

)(xy

))=(u, T (λ0)−1y

)+ (v, x) > 0,

da der erste Summand auf der rechten Seite wegen der Voraussetzung und obigerBemerkung großer Null ist und der zweite Summand wegen der Positivitat von vund x nichtnegativ ist.

In der Arbeit [26] scheint nun als nachstes folgendes Lemma benutzt zu werden:

Lemma 4.6. Es sei (0 T (λ0)−1

I 0

)

wie oben, mit T (λ0)−1 ∈ L>0(L2). Dann existiert µ ∈ R, so dass der Operator

µI +

(0 T (λ0)−1

I 0

)+

(−2T (λ0)−1(V − λ0) 0

0 0

)

positivitatsverbessernd auf L2(Rn, dx)⊕ L2(Rn, dx) ist.

Bemerkung 4.7. Bis jetzt liegt uns weder ein Beweis dieser Behauptung vor, nochkonnte ein Gegenbeispiel gefunden werden.Fur positive Funktionen u, v, x, y ∈ L2(Rn, dx) gilt

((uv

),

[(0 T (λ0)−1

I 0

)+

(−2T (λ0)−1(V − λ0) 0

0 0

)+ µI

](xy

))

=(u, T (λ0)−1y

)+ (v, x) + (u, (−2T (λ0)−1(V − λ0))x) + µ(u, x) + µ(v, y).

Das Kernproblem ist also, den unter Umstanden negativen Beitrag des Terms(u, (−2T (λ0)−1(V − λ0))x) durch den Term µ(u, x) zu kompensieren.

Ungeachtet dieser Schwierigkeit sei im Folgenden angenommen, dass(Aλ0

− λ0)−1 + µI ∈ L>0(L2) fur ein geeignet zu wahlendes µ ∈ R gilt. Die letz-ten Schritte in der Argumentation, welche in [26] zum Beweis der Einfachheit der(moglichen) Eigenwerte ν± herangezogen wird, sind dann die folgenden:

24

Der Spektralabbildungssatz ([28], Section XIII.4) vermittelt zwischen den Eigen-werten von Aλ0

und (Aλ0− λ0)−1 wie folgt:

Aλ0←→ (Aλ0

− λ0)−1,

ν ←→ 1ν−λ0

fur ν 6= λ0.

Dabei kann ν 6= λ0 wegen ker(Aλ0− λ0) = 0 angenommen werden. Solange

ν > λ0 gilt, wird der Eigenwert 1ν−λ0

umso großer, je kleiner ν wird. Falls ν < λ0

gilt, so wird 1ν−λ0

umso kleiner (aber betragsmaßig großer), je großer ν wird. Furλ0 ∈ (ν−, ν+) wird also ν+, welches der kleinste mogliche Eigenwert von Aλ0

rechtsvon λ0 ist, auf den großten Eigenwert 1/(ν+−λ0) von (Aλ0

−λ0)−1 abgebildet wird.

Lemma 4.8. Es sei A beschrankt, positiv (d.h. insbesondere selbstadjungiert), po-sitivitatserhaltend und ergodisch. Angenommen, µ := ‖A‖ ist gleich dem großtenEigenwert von A. Dann ist µ einfach, d.h. dim ker(A − µ) = 1 und fur alle ν ∈ R

ist µ+ ν großter Eigenwert des Operators A+ ν und als solcher einfach.

Beweis. Sei ν ∈ R. Bemerke zunachst, dass, falls µ großter Eigenwert von A zumEigenvektor u ist, ν + µ großter Eigenwert von A + ν zum selben Eigenvektor ist(Verschiebung des Spektralparameters). Nach Satz 3.6 ist µ = ‖A‖ als Eigenwertvon A einfach. Da die Eigenvektoren von A und A + ν ubereinstimmen und derOperator A + ν selbstadjungiert ist, ist ν + µ als Eigenwert von A + ν ebenfallseinfach.

In [26] wird behauptet, dass man mit Hilfe dieses Lemmas und Satz 3.6 nun die Ein-fachheit von 1/(ν+−λ0) als Eigenwert von (Aλ0

−λ0)−1 beweisen kann, indem manzeigt, dass der der Operator (Aλ0

−λ0)−1 +µI positiv ist und dass sein (großter) Ei-genwert 1/(ν+−λ0)+µ gleich der Operatornorm ‖(Aλ0

−λ0)−1+µI‖ ist. Dann warenach dem Spektralabbildungssatz auch ν+ als Eigenwert des ursprunglichen Opera-tors Aλ0

einfach und eine analoge Schlussweise ware auch auf ν− anwendbar. DiesesArgument ist allerdings insofern problematisch, als dass der Operator (Aλ0

−λ0)−1

bzw. (Aλ0− λ0)−1 + µI bezuglich des Skalarproduktes in H ⊕ H nicht selbstad-

jungiert ist und daher die Standardtheorie zur Untersuchung der Einfachheit vonGrundzustanden selbstadjungierter Operatoren (Kapitel 3) nicht anwendbar ist.Vielmehr ware eine entsprechende Theorie in Krein- bzw. Pontryaginraumen notig.Wegen der oben beschriebenen Unklarheiten in dieser Methode der Argumentationwurde fur die spater folgende Verallgemeinerung der Ergebnisse aus [26] ein Vorge-hen gewahlt, welches sich eher an dem im vorigen Abschnitt beschriebenen erstenArgument orientiert.

25

5 Eigenwerte in einer Lucke des wesentlichen

Spektrums

In diesem Kapitel sollen die wesentlichen Ergebnisse der kurzlich erschienen Arbeit[20] dargestellt werden. Diese Arbeit stellt das mathematische Setting bereit, indessen Rahmen spater Ergebnisse aus [26] verallgemeinert werden.Die Arbeit [20] untersucht ein abstraktes Operatormodell der Klein-Gordon-Glei-chung mit einem magnetischen Vektorpotential und einem relativ beschrankten elek-trostatischen Potential V , welches eine gewisse Zerlegung (siehe unten) gestattensoll. Einige der Hauptergebnisse sind eine Analyse des Spektrums einer Familie vonLinearisierungen der Klein-Gordon-Gleichung sowie eine Charakterisierung der re-ellen Eigenwerte innerhalb einer moglichen Lucke des wesentlichen Spektrums um0 mit Hilfe eines Variationsprinzips.Das verwendete Operatormodell und die zugehorigen Linearisierungen verallgemei-nern die Situation, in der in der Arbeit [26] die Eigenwerte der Klein-Gordon-Gleichung untersucht wurden, von einem beschrankten elektrostatischen Potentialauf den Fall der relativen Beschranktheit. Unter den im Folgenden eingefuhrtenLinearisierungen ist insbesondere die Blockoperatormatrix A, welche in [19] unterden im Wesentlichen gleichen Voraussetzungen untersucht wurde (siehe auch Kapi-tel 2).Es wird die Klein-Gordon-Gleichung (2.1) eines massiven spinlosen Teilchens derLadung e in einem skalaren Potential q und einem magnetischen Vektorpotential~A betrachtet. Wenn man U(x, t) := eiλtu(x), x ∈ Rd, t ∈ R, setzt, d.h. eine tri-viale Zeitabhangigkeit der Wellenfunktion ansetzt (wie es im Falle eines stationarenZustands ja auch notwendig ist), sowie den Operator der Multiplikation mit eq in

L2(R3, dx) mit V und den Operator −(∇− ie ~A)2 mit A0 bezeichnet, wird (2.1) zueinem quadratischen Eigenwertproblem der Form

(−(λ− V )2 +A0 +m2

)u = 0, λ ∈ C, (5.1)

welches im Falle eines beschrankten Potentials V gerade dem in Kapitel 4 studiertenEigenwertproblem fur die Operatorfunktion (4.1) entspricht.Die in [20] getroffenen schwacheren Voraussetzungen an das Potential V stellenjedoch im allgemeinen nicht sicher, dass der Operator auf der linken Seite von (5.1)dicht definiert ist. Die im Folgenden zu untersuchenden Operatoren werden daheruber quadratische Formen eingefuhrt.Es sei in diesem Abschnitt (H, (·, ·)) ein Hilbertraum mit zugehoriger Norm ‖ · ‖,A0 ≥ 0 ein nichtnegativer, selbstadjungierter Operator auf H, m2 > 0 und V einsymmetrischer Operator auf H. Definiere

H0 := A0 +m2.

Dann gilt H0 ≥ m2 und D(H1/20 ) = D(A

1/20 ).

Im Folgenden seien stets die beiden Voraussetzungen (2.5) und (2.6) aus Kapitel 2erfullt.Um wohldefinierte Operatoren T (λ) mit (5.1) zu assoziieren, wird zunachst diefolgende Schar dicht definierter Sesquilinearformen eingefuhrt:

t(λ)[x, y] := (A1/20 x,A

1/20 y) +m2(x, y)−

((V − λ)x, (V − λ)y

)

= (H1/20 x,H

1/20 y)−

((V − λ)x, (V − λ)y

).

Dabei ist λ ∈ C und x, y ∈ D(t(λ)) := D(A1/20 ). Die zugehorige quadratische Form

wird als t(λ)[x] := t(λ)[x, x] fur x ∈ D(t(λ)) definiert. Aus [16],Thm.VI.1.33 folgt,dass diese Formen abgeschlossen und sektoriell sind, so dass der Darstellungssatz fur

26

Sesquilinearformen (siehe z.B. [16]) die Existenz m-sektorieller Operatoren T (λ),λ ∈ C, auf H liefert, fur die die Relation

t(λ)[x, y] = (T (λ)x, y) , x ∈ D(T (λ)), y ∈ D(t(λ)),

gilt. Falls V beschrankt ist, stimmen die Operatoren T (λ) mit den in (4.1) definier-ten uberein. Fur λ ∈ R ist die entsprechende Form t(λ) symmetrisch und von untenbeschrankt, so dass in diesem Fall T (λ) selbstadjungiert und von unten beschranktist (siehe [16]). T ist eine holomorphe Operatorfunktion vom Typ (B) (siehe [16] furdie Definition).Das nachste wichtige Ergebnis aus [20] stellt eine Beziehung zwischen den Opera-toren T (λ) und dem Operatorpolynom

L(λ) := I − (S∗ − λH−1/20 )(S − λH−1/2

0 ), λ ∈ C, (5.2)

her, dessen Koeffizienten nach Voraussetzung beschrankte Operatoren in H sind.

Satz 5.1. Es sei die Voraussetzung (2.5) erfullt. Dann gilt:

i. Fur alle λ ∈ C besteht die Beziehung

T (λ) = H1/20 L(λ)H

1/20 .

Insbesondere hat man fur die Definitionsbereiche

D(T (λ)) = x ∈ D(H1/20 ) : L(λ)H

1/20 x ∈ D(H

1/20 )

= x ∈ D(H1/20 ) : (I − S∗S)H

1/20 x ∈ D(H

1/20 )

= D(T (0)),

d.h. diese sind unabhangig von λ.

ii. σ(T ) ∩ R = σ(L) ∩ R, σp(T ) = σp(L), σess(T ) ∩R = σess(L) ∩ R.

iii. Fur λ, λ0 ∈ C gilt folgende Relation:

T (λ) = T (λ0) + (λ− λ0)(2V − λ− λ0). (5.3)

Beweis. Siehe [20], Proposition 2.3.

Lemma 5.2. Es seien die Voraussetzungen des vorangegangenen Satzes erfullt. Giltzusatzlich 1 ∈ ρ(S∗S), so ist D(T (λ)) dicht in H.

Beweis. Die Menge

D(T (λ)) (5.4)

=x ∈ D(H1/20 ) : (I − S∗S)H

1/20 x ∈ D(H

1/20 ) (5.5)

=x ∈ D(H1/20 ) : x ∈ H−1/2

0 (I − S∗S)−1(D(H1/20 )) (5.6)

ist Urbild einer dichten Menge unter einer stetigen, invertierbaren Abbildung unddaher selbst dicht.

Die Voraussetzungen (2.5) und (2.6) garantieren eine Lucke um 0 im wesentlichenSpektrum der Operatorfunktion T :

27

Satz 5.3. Es seien die Voraussetzungen (2.5) und (2.6) erfullt. Definiereα := m(1− ‖S0‖). Setze weiter

λ−e := sup (σess(T ) ∩ (−∞, 0))

sowieλ+

e := inf (σess(T ) ∩ (0,+∞)) .

Dann gilt:σess(T ) ∩ (−α, α) = ∅,

d.h. λ−e ≤ −α < 0 < α ≤ λ+e , und alle λ ∈ (λ−e , λ

+e ) erfullen die Bedingung

κ−(T (λ)) <∞.

(Siehe Kapitel 2 fur die Definition von κ−(T (λ))).

Beweis. Siehe [20], Lemma 2.4.

Eine Familie von Linearisierungen des Operatorpolynoms T (λ) auf dem HilbertraumG := H1/2 ⊕H (definiert wie in Kapitel 2) ist durch die Blockoperatormatrizen

Aλ0:=

(λ0 I

T (λ0) 2V − λ0

), D(Aλ0

) = D(T (λ0))⊕H1/2,

gegeben. Der Spezialfall A0 entspricht gerade (2.8) aus der Arbeit [19]. Unter derVoraussetzung (2.5) ist Aλ0

− λ0 fur λ0 ∈ ρ(T ) beschrankt invertierbar (und daherabgeschlossen), und die Inverse ist gegeben durch

(Aλ0− λ0)−1 =

(−2T (λ0)−1(V − λ0) T (λ0)−1

I 0

). (5.7)

Fur reelles λ0 wird durch

[(xy

),

(x′

y′

)]

λ0

:= t(λ0)[x, x′] + (y, y′),

(xy

),

(x′

y′

)∈ G,

ein inneres Produkt auf G definiert, welches indefinit sein kann. Falls λ0 ∈ ρ(T )∩R

ist und κ−(T (λ0)) < ∞ gilt, wird (G, [·, ·]λ0) zu einem Pontryaginraum mit ne-

gativem Index κ−(T (λ0)). Solch ein Punkt λ0 existiert nach Satz 5.3 unter denVoraussetzungen (2.5) und (2.6) stets.

Satz 5.4. Es seien (2.5) und (2.6) erfullt und es sei λ0 ∈ ρ(T )∩R so gewahlt, dassκ−(T (λ0)) <∞ gilt. Dann gilt:

i. Aλ0ist selbstadjungiert im Pontryaginraum (G, [·, ·]).

ii. Die verschiedenen Teile der Spektren von T und Aλ0stimmen uberein:

σ(T ) = σ(Aλ0), σp(T ) = σp(Aλ0

), σess(T ) = σess(Aλ0).

Beweis. Siehe [20], Proposition 2.7.

Mit Hilfe dieser Ergebnisse lassen sich nun auch die Aussagen uber das Spektrumvon T verfeinern:

28

Satz 5.5. Es seien (2.5) und (2.6) erfullt. Setze α := (1− ‖S0‖)m. Dann gilt:

i. Das wesentliche Spektrum σess(T ) ist reell.

ii. Das nichtreelle Spektrum von T ist symmetrisch zur reellen Achse und be-steht aus hochstens endlich vielen Paaren komplex konjugierter Eigenwerteendlicher algebraischer Vielfachheit.

iii. Falls S1 = 0 gilt, ist das Spektrum von T reell und es gilt

σ(T ) ∩ (−α, α) = ∅.Falls S0 = 0 gilt, so hat man

σess(T ) = λ ∈ R : λ2 ∈ σess(H0).

Beweis. Siehe [20], Theorem 2.8.

Zur Charakterisierung der reellen Eigenwerte von T in der Lucke des wesentlichenSpektrums werden zunachst die sogenannten verallgemeinerten Rayleighfunktionale

p± wie folgt eingefuhrt. Fur festes x ∈ D(H1/20 ), x 6= 0, seien p+(x) und p−(x),

p−(x) ≤ p+(x), die Nullstellen des Polynoms

t(λ)[x] = −λ2‖x‖2 + 2(V x, x)λ − (V x, V x) + (H1/20 x,H

1/20 x),

falls diese reell sind. Im Falle zweier komplexer Nullstellen setze p−(x) := +∞,p+(x) := −∞. Endliche p±(x) sind fur ‖x‖ = 1 durch die Formel

p±(x) = (V x, x) ±√

(V x, x)2 − (V x, V x) + (H1/20 x,H

1/20 x)

gegeben. Fur ‖x‖ 6= 1 und 0 6= c ∈ C gilt p±(cx) = p±(x). Setze

ν− := supp−(x) : x ∈ D(H1/20 ), p−(x) 6= +∞,

ν+ := infp+(x) : x ∈ D(H1/20 ), p+(x) 6= −∞.

Offenbar gilt fur einen Eigenvektor x zum Eigenwert λ von T entweder λ = p−(x)oder λ = p+(x). Nun konnen die reellen Eigenwerte in der Lucke des wesentli-chen Spektrums von T , welche rechts von ν− liegen, mit Hilfe des Funktionals p+

charakterisiert werden:

Satz 5.6. Es seien die Voraussetzungen (2.5) und (2.6) erfullt. Weiter seiν− > λ+

e := min(σess(T ) ∩ (0,∞)). Dann gilt:

i. (ν−, λ+e ) ∩ σess(T ) = ∅ und es existiert ein ε > 0 mit (ν−, ν− + ε) ⊂ ρ(T ).

ii. Es sei λ0 ∈ (ν−, λ+e ) ∩ ρ(T ) und bezeichne mit λ+

1 ≤ λ+2 ≤ · · · ≤ λ+

N+,

N+ ∈ N0 ∪∞, die endliche oder unendliche Folge der Eigenwerte von T imIntervall (λ0, λ

+e ), gezahlt mit Vielfachheit. Dann ist κ+ := κ−(T (λ0)) < ∞

undλ+

n = minL⊂D(H

1/2

0)

dimL=n+κ+

max06=x∈L

p+(x), n = 1, 2, . . . , N+.

Im Fall N+ =∞ gilt limn→∞

λ+n = λ+

e . Ansonsten gilt

infL⊂D(H

1/2

0)

dimL=n+κ+

max06=x∈L

p+(x) = λ+e , n > N+.

Bemerkung 5.7. Ein analoges Resultat gilt fur die Eigenwerte von T in der Luckedes wesentlichen Spektrums, welche links von ν+ liegen.

29

6 Grundzustande selbstadjungierter Operatoren II

– Quadratische Formen

Um die Einfachheit von Eigenwerten selbstadjungierter Operatoren zu zeigen, wel-che als assoziierte Operatoren von quadratischen Formen auftreten, ist es notig eineTheorie bereitzustellen, mit deren Hilfe man analog zu den Ergebnissen aus Kapi-tel 3 Aussagen uber die Resolvente dieser Operatoren treffen kann. Insbesondereist ein Storungssatz analog zu Satz 3.11 wunschenswert, da uber den ungestortenOperator (in unserem Fall ist dies −∆ + m2) und dessen Resolvente ausreichendkonkrete Informationen vorliegen. Wie schon in Kapitel 3 spielen hierbei insbeson-dere die Ordnungsrelation auf dem als L2(M,dµ) realisierten zu Grunde liegendenHilbertraum sowie die Invarianz bestimmter Unterraume bezuglich der Resolventeeine Rolle. Eine Behandlung dieser Probleme in einem fur unsere Zwecke geeignetenRahmen findet sich in [9], auf der die folgende Darstellung beruht. Unter die Klasseder dort betrachteten, als Formsumme definierten selbstadjungierten Operatorenfallen insbesondere Operatoren der Form H0 +W mit einem positiven selbstadjun-gierten Operator H0 und einer reellen messbaren Funktion W , deren assoziierterOperator bezuglich H0 relativ formbeschrankt mit relativer Schranke b < 1 ist.Dies ist fur W := −(V −λ)2, λ ∈ R, gerade die Situation, die auch im Rahmen vonKapitel 5 betrachtet wurde.

6.1 Approximation und starke Resolventenkonvergenz

Definition 6.1. Es seiH ein positiver selbstadjungierter Operator auf dem Hilbert-raum H. Dann ist der Formdefinitionsbereich Q(H) definiert als Q(H) := D(H1/2).Fur einen allgemeinen selbstadjungierten Operator H setzt man Q(H) := Q(|H |).

Bemerkung 6.2. Wegen ‖|H |1/2x‖2 ≤ ‖x‖ ‖|H |x‖, x ∈ D(H), gilt stetsD(H) ⊂ Q(H).Wenn eine Spektraldarstellung von H durch U : H → L2(M,dµ) gegeben ist, d.h.UH auf L2(M,dµ) durch Multiplikation mit einer Funktion f gegeben ist, so gilt

Q(H) = g ∈ L2(M,dµ)|∫|f ||g|2dµ <∞.

Die Sesquilinearform (u, v) 7→ (u,Hv) ist auf Q(H)×Q(H) wohldefiniert.

Definition 6.3. Es sei H ein selbstadjungierter Operator und k ≥ 0. Fur eineSpektraldarstellung von H wie oben setze

fk(x) :=

f(x), |f(x)| ≤ k,0, |f(x)| > k,

und definiere den beschrankten selbstadjungierten Operator Hk : H → H mittels

Hkx := (U∗MfkU)x, x ∈ H.

Dann heißen die Operator Hk, k ≥ 0, die Cutoffs von H .

Bemerkung 6.4. Es sei H = L2(M,dµ) und V eine reelle messbare Funktion aufM . Es sei V der Operator der Multiplikation mit V , welcher auf dem naturlichenDefinitionsbereich D(V ) = x ∈ L2(M,dµ) | V x ∈ L2(M,dµ) selbstadjungiert ist.Dann entsprechen die Cutoffs Vk des Operators V den beschrankten Operatoren,

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welche durch Multiplikation mit

Vk(x) =

V (x), |V (x)| ≤ k,0, |V (x)| > k,

gegeben sind.

Satz 6.5. Es sei H ein von unten beschrankter, selbstadjungierter Operator. Essei Hnn∈N eine Folge selbstadjungierter Operatoren, so dass D(Hn) = D(H) undH ≤ Hn fur alle n ∈ N gilt. Angenommen, es gibt einen Unterraum E ⊂ Q(Hn),so dass (u,Hnu)→ (u,Hu) fur alle u ∈ E gilt. Falls E dicht in Q(H) liegt, so folgt

Hn −→ H

im Sinne der starken Resolventenkonvergenz.

Beweis. Es sei ohne Beschrankung der Allgemeinheit 0 < c ≤ H ≤ Hn. Dann istH−1

n ≤ H−1 ≤ c−1. Wegen Hn −H ≥ 0 existiert (Hn −H)1/2 und ist selbstadjun-giert. Fur u ∈ H, v ∈ E gilt

∣∣((H−1 −H−1n )u,Hv)

∣∣ =∣∣((Hn −H)H−1

n u, v)∣∣

=∣∣∣((Hn −H)1/2H−1

n u, (Hn −H)1/2v)∣∣∣

≤‖(Hn −H)1/2H−1n u‖‖(Hn −H)1/2v, (Hn −H)1/2v‖

=((Hn −H)H−1

n u,H−1n u

)1/2((Hn −H)v, v)

1/2

=((u,H−1

n u)− (HH−1n u,H−1

n u))1/2

((Hn −H)v, v)1/2

≤((u,H−1

n u)− c‖H−1n u‖2

)1/2((Hn −H)v, v)

1/2

≤(u,H−1

n u)1/2

((Hn −H)v, v)1/2 .

Im dritten Schritt wurde die Cauchy-Schwarz-Ungleichung benutzt. Der Faktor(u,H−1

n u)1/2 in der letzten Zeile ist wegen H−1n ≤ c−1 beschrankt, und da v ∈ E

nach Voraussetzung gilt, hat man ((Hn −H)v, v)1/2 → 0, so dass sich insgesamt

∣∣((H−1 −H−1n )u,Hv)

∣∣→ 0

ergibt.Wegen (H−1

n u,HH−1n u) ≤ (u,H−1

n u) sind die Elemente H−1n u in Q(H) beschrankt.

Also gilt, da E dicht in Q(H) liegt, ((H−1−H−1n )u,Hv)→ 0 fur alle v ∈ Q(H), d.h.

insbesondere fur v ∈ D(H). Daher konvergiert H−1n → H−1 schwach, und wegen

H−1n ≤ H−1 also auch stark.

Definition 6.6. Es sei H0 ein selbstadjungierter Operator in H. Es sei W einsymmetrischer Operator derart, dass die symmetrische Form (u,Wu) auf Q(H0)definiert ist. Es gelte weiter

|(u,Wu)| ≤ a(u, u) + b(u, |H0|u), u ∈ Q(H0), (6.1)

mit Konstanten a ∈ R, b > 0.Dann heißt W H0-formbeschrankt. Das Infimum uber alle positiven Konstanten b,fur die (6.1) erfullt ist, heißt relative Schranke.

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Satz 6.7. Es sei H0 selbstadjungiert und W symmetrisch in H. Weiter sei WH0-formbeschrankt mit relativer Schranke b < 1. Dann existiert ein selbstadjungier-ter Operator H mit Q(H) = Q(H0), so dass

(u,Hv) = (u,Wv) + (u,H0v), u, v ∈ Q(H0),

gilt. Falls H0 von unten beschrankt ist, so gilt dies auch fur H. Falls H0 positiv ist,so gilt H ≥ −a.

Beweis. Dies ist ein Spezialfall des Darstellungssatzes fur Sesquilinearformen (siehe[16]). Ein Beweis des Spezialfalls findet sich in [9], Thm.7.11 bzw. [28],Thm.X.17.

Satz 6.8. Es sei H0 in H selbstadjungiert, H0 ≥ 0. Es sei W ≤ 0 selbstadjun-giert. Angenommen, W ist H0-formbeschrankt mit relativer Schranke b < 1. Esseien Wk die entsprechenden Cutoffs. Dann ist der zur Formsumme H0 + W as-soziierte Operator H selbstadjungiert. Definiere die selbstadjungierten OperatorenHk := H0 +Wk, D(Hk) = D(H0). Dann gilt

Hk −→ H

im Sinne der starken Resolventenkonvergenz.

Beweis. Die Formsumme H ist nach Satz 6.7 selbstadjungiert und von unten be-schrankt. Da die Operatoren Wk symmetrisch und beschrankt sind, sind die Hk

selbstadjungiert. Es gilt H ≤ Hk fur alle k ≥ 0. Weiter hat man

E := Q(Hk) = Q(H0) = D(H1/20 ),

und daher liegt E sogar dicht in H. Nach Konstruktion der Cutoffs gilt

(u,Hku) −→ (u,Hu), u ∈ E,und die Behauptung folgt aus Satz 6.5.

6.2 Einfachheit von Eigenwerten

Im Folgenden sei stets H = L2(M,dµ).

Satz 6.9. Es sei H0 ≥ 0 selbstadjungiert in H. Angenommen, (H0+c)−1 ∈ L≥0(L2)fur alle c > 0. Es sei W ≤ 0 eine reelle messbare Funktion auf M und es sei der ent-sprechende Multiplikationsoperator H0-formbeschrankt mit relativer Schranke b < 1.Definiere den selbstadjungierten Operator H als Formsumme von H0 und W ent-sprechend Satz 6.7. Dann ist (H + c)−1 positivitatserhaltend fur genugend großec.

Beweis. Es seien Wk die Cutoffs von W , so dass −k ≤W ≤ 0 gilt.Setze Hk := H0 +Wk. Wir zeigen zunachst, dass (Hk + c)−1 fur genugend große cpositivitatserhaltend ist. Man hat die Reihenentwicklung

(Hk + c)−1 = (H0 + c)−1∞∑

n=0

[(−Wk)(H0 + c)−1

]n,

und jeder der Terme ist positivitatserhaltend. Wahle −b kleiner als die untereSchranke von H0 +W ≤ H0 +Wk = Hk und c > b. Dann gilt die Entwicklung

(Hk + b)−1 = (Hk + c)−1∞∑

n=0

[(c− b)(Hk + c)−1

]n.

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Daher ist also (Hk +b)−1 fur derartige b positivitatserhaltend. Die Behauptung folgtnun aus Satz 6.8.

Definition 6.10. Eine Konfigurationsprojektion ist ein Multiplikationsoperator,welcher gleichzeitig eine Projektion ist.Ein Konfigurationsunterraum ist das Bild einer Konfigurationsprojektion.Ein beschrankter Operator A ∈ B(L2(M,dµ)) heißt unzerlegbar, wenn er keinennichttrivialen Konfigurationsunterraum invariant laßt.Ein (nicht notwendigerweise beschrankter) selbstadjungierter Operator H heißt un-zerlegbar, wenn er mit keiner nichttrivialen Konfigurationsprojektion vertauscht.

Bemerkung 6.11. Eine Konfigurationsprojektion ist die Multiplikation mit dercharakteristischen Funktion einer messbaren Teilmenge S ⊂ M . Der zugehorigeKonfigurationsunterraum kann mit L2(S) ⊂ L2(M) identifiziert werden.

Satz 6.12. Es sei A ein beschrankter, selbstadjungierter, positivitatserhaltenderOperator in H = L2(M,dµ). Angenommen, es gilt A ≤ a und a ist ein Eigenwertvon A. Dann ist A genau dann unzerlegbar, wenn a einfacher Eigenwert ist und derzugehorige Eigenraum von einem streng positiven Element u aufgespannt wird.

Beweis. Es sei A unzerlegbar und es sei u ein Einheitsvektor mit Au = au.Da A ∈ L≥0(L2) ist, bildet es reelle Funktionen auf reelle Funktionen ab, d.h. mankann o.B.d.A. u als reell annehmen. Es seien u± der positive bzw. negative Teil vonu, also u = u+ − u− mit u± ≥ 0. Dann gilt

a = (u,Au) =

∫u(Au)dµ

≤∫|u||Au|dµ

=

∫|u||Au+ −Au−|dµ

≤∫|u|(|Au+|+ |Au−|)dµ

=

∫|u|(Au+ +Au−)dµ

=

∫|u|A(u+ + u−)dµ

=

∫|u|(A|u|)dµ

= (|u|, A|u|).

Daraus folgt wegen A ≤ a, dass A|u| = a|u| gilt. Hieraus und aus den Relationenu+ = 1/2(u+ |u|), u− = 1/2(|u| − u) erhalt man schließlich Au± = au±.Es sei S± die Menge, auf der u± verschwindet. Falls f ≥ 0 in L2(S±, dµ) liegt, gilt(Af, u±) = (f,Au±) = a(f, u±) = 0, d.h. Af ≥ liegt ebenfalls in L2(S±, dµ). Daallerdings A unzerlegbar ist, gilt entweder u+ = 0 oder u− = 0, d.h. dass entwederu oder −u strikt positiv ist. Dies gilt fur jeden reellen Eigenvektor. Da zwei strengpositive Funktionen nie orthogonal zueinander sein konnen, folgt, dass der Eigen-wert a einfach ist.Es sei umgekehrt a einfacher Eigenwert von A und u > 0 ein zugehoriger Eigenvek-tor. Es sei L2(S, dµ) ⊂ L2(M,dµ) invariant unter A, und es sei P die Projektionauf L2(S, dµ). Da A selbstadjungiert ist, reduziert L2(S, dµ) A (d.h. es gilt ebenfallsA(L2(S, dµ))⊥ ⊂ L2(S, dµ)⊥), also kommutiert A mit P . Daher gilt APu = aPu.

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Da a ein einfacher Eigenwert ist, muß Pu = 0 oder Pu = u gelten. Da aber u > 0ist, folgt hieraus P = 1 oder P = 0. In jedem Fall ist L2(S) trivialer Unterraumund daher A unzerlegbar.

Satz 6.13. Es sei H0 ≥ 0 selbstadjungiert in H. Es sei W eine reelle messbareFunktion aufM und der entsprechende Multiplikationsoperator sei H0-formbeschranktmit relativer Schranke b < 1. Definiere den selbstadjungierten Operator H als Form-summe von H0 und W . Dann gilt: ist H0 unzerlegbar, so auch H.

Zum Beweis wird folgendes Resultat benotigt:

Lemma 6.14. Es seien H ein selbstadjungierter Operator und P eine Projektionin H. Dann kommutiert H mit P genau dann, falls aus g ∈ Q(H) stets Pg ∈ Q(H)folgt und (f,HPg) = (Pf,Hg) fur alle f, g ∈ Q(H) gilt.

Beweis. Es bleibt nur zu zeigen, dass die Bedingung an die Formen impliziert, dassP und H vertauschen. Es sei g in D(H). Dann ist Hg in H und nach Voraussetzunggilt (f,HPg) = (Pf,Hg) = (f, PHg). Daher ist auch Pg in D(H)(= D(H∗)) undes gilt HPg = PHg.

Beweis. von Satz 6.13.Es sei P eine Konfigurationsprojektion. Falls P undH kommutieren, gilt (f,HPg) =(Pf,Hg) fur alle f, g ∈ Q(H). Da daruberhinaus P mit dem Multiplikationsopera-tor W vertauscht, folgt (f,H0Pg) = (Pf,H0g) fur alle f, g ∈ Q(H). Nach Konstruk-tion von H als Formsumme gilt Q(H) = Q(H0) und es folgt wegen des Lemmas,dass P mit H0 kommutiert.

Satz 6.15. Es sei H0 ≥ 0 selbstadjungiert, unzerlegbar und es sei(H0 + c)−1 ∈ L≥0(L2) fur alle c > 0. Es seien W und H wie im vorangegangenenSatz. Falls H ≥ b gilt und b ein Eigenwert von H ist, so ist dieser einfach und esgibt eine streng positive Eigenfunktion u ∈ D(H).

Beweis. Es sei c > −b und A := (H + c)−1. Dann gilt A ≤ a := (b + c)−1 und aist Eigenwert von A (Spektralabbildungssatz). Nach Satz 6.9 ist A ∈ L≥0(L2). AusSatz 6.13 folgt weiter, dass A unzerlegbar ist. Daher ist a nach Satz 6.12 einfacherEigenwert von A und somit b einfacher Eigenwert von H . Die Aussage uber dieEigenfunktion folgt ebenfalls.

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7 Eigenwerte der Klein-Gordon-Gleichung in Rn

Fur die Klein-Gordon-Gleichung auf dem Rn ist H = L2(Rn, dx) undH0 = −∆ +m2. V ist der Operator der Multiplikation mit einer reellen messbaren

Funktion. Es sei V relativ H1/20 -beschrankt mit relativer Schranke b < 1. Dies ist

aquivalent zur Voraussetzung D(H1/20 ) ⊂ D(V ) aus Kapitel 5.

Setze W := −(V − λ)2. Dann ist W messbar und es gilt W ≤ 0. In L2(Rn, dx) gilt(aufgrund der speziellen Gestalt des Skalarproduktes)

−((V − λ)u, (V − λ)u) = −((V − λ)2u, u) = (Wu, u)

fur λ ∈ R, u ∈ D(V ). Es ist nach Voraussetzung Q(H0) = D(H1/20 ) ⊂ D(V ), und

auf Q(H0) gilt wegen der relativen H1/20 -Beschranktheit von V die Abschatzung

|(Wu, u)| ≤ a‖u‖2 + b(H1/20 u,H

1/20 u), u ∈ D(H

1/20 ),

mit a > 0, 0 < b < 1 (siehe die Konstruktion von T (λ) in Kapitel 5). Dies bedeutetim Lichte von Kapitel 6, dass W H0-formbeschrankt mit relativer Schranke b < 1ist. Der in Kapitel 5 eingefuhrte Operator T (λ) ist also in dieser Situation gleichdem uber die Formsumme t(λ) aus H0 und W eingefuhrten Operator aus Kapi-tel 6, und die dort entwickelte Theorie kann angewendet werden. Zunachst mussenallerdings die Voraussetzungen des Satzes 6.15 an den Operator H0 verifiziert wer-den:

Lemma 7.1. Es sei H0 = −∆+m2 auf L2(Rn, dx). Dann ist (H0+c)−1 ∈ L≥0(L2)fur alle c > 0.

Beweis. Nach Beispiel 3.4 ist et∆ positivitatserhaltend fur alle t > 0 Aus der Pro-duktformel von Trotter (Satz 3.10) folgt dann

e−t(−∆+m2) = s− lim(et∆/ne−tm2/n)n,

und alle Terme auf der rechten Seite sind positivitatserhaltend. Da das Bilden vonstarken Limiten diese Eigenschaft erhalt, ist auch e−tH0 ∈ L≥0(L2) fur alle t > 0.Aus Satz 3.7 folgt, dass (H0 − c)−1 ∈ L≥0(L2) fur alle c < inf σ(H0) = m2 ist,insbesondere also fur alle c < 0.

Wie in [9] gezeigt wird, ist −∆ auf L2(Rn, dx) unzerlegbar (wahle im dortigenBeweis U = 0 und K = ∅). Nach Satz 6.13 gilt dann:

Bemerkung 7.2. H0 = −∆ +m2 auf L2(Rn, dx) ist unzerlegbar.

7.1 Assoziierte Vektoren von T und Aλ0

In diesem Abschnitt wird gezeigt, dass es aquivalent ist, Vielfachheiten von Eigen-werten der Funktion T und der Linearisierungen Aλ0

(siehe Kapitel 5) zu untersu-chen.

Definition 7.3. i. Es sei A : D(A)→ E ein abgeschlossener Operator in einemBanachraum E, λ0 ∈ σp(A). Eine Familie xir−1

i=0 ⊂ D(A) heißt Jordankette(der Lange r) von A bei λ0, falls

x0 6= 0, (A− λ0)xi = xi−1, i = 0, 1, . . . , r − 1,

gilt. Dabei wurde x−1 := 0 gesetzt. Die Elemente x1, . . . , xr heißen assoziierteVektoren zum Eigenvektor x0 bei λ0.

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ii. Es sei S eine holomorphe Operatorfunktion vom Typ B (siehe [16] fur dieDefinition) und es sei λ0 ∈ σp(S). Eine Familie xir−1

i=0 ⊂ D(S(λ0)) heißtJordankette (der Lange r) von S bei λ0, falls

j∑

k=0

1

k!S(k)(λ0)xj−k = 0, j = 0, . . . , r − 1,

gilt. Dabei sind S(k) die Ableitungen der Operatorfunktion S nach dem Pa-rameter. Auch in diesem Fall heißen x1, . . . , xr assoziierte Vektoren zum Ei-genvektor x0 bei λ0.

Bemerkung 7.4. Ein selbstadjungierter Operator A auf einem Hilbertraum Hkann keine nichttrivialen assoziierten Vektoren haben.

Beweis. Es sei λ0 ∈ σp(A) ⊂ R. Angenommen, es gabe x0, x1 ∈ H mit x0 6= 0,(A− λ0)x1 = x0, (A− λ)x0 = 0. Dann gilt

‖x0‖2 = ((A− λ0)x1, x0) = (x1, (A− λ0)x0) = 0,

also x0 = 0 im Widerspruch zur Annahme.

Im Folgenden seien H0, V , T und Aλ0wie in Kapitel 5. Wie dort gezeigt wurde,

ist T eine holomorphe Operatorfunktion vom Typ B. Insbesondere existieren dieAbleitungen T (k)(λ), λ ∈ C. Genauer:

Lemma 7.5. Fur die Ableitungen der holomorphen Operatorfunktion T gilt

d

dλT (λ) = 2(V − λ),

d2

dλ2T (λ) = −2.

Beweis. Nach Satz 5.1 gilt fur λ ∈ C, λ0 = 0 die Beziehung

T (λ) = T (0) + λ(2V − λ),

und T (0) ist unabhangig von λ. Die Behauptung folgt.

Satz 7.6. Es sei λ ∈ C und λ0 ∈ ρ(T ). Dann gilt:uir−1

i=0 ⊂ D(T (λ)) ist genau dann Jordankette von T bei λ, wenn (ui, vi)t (mit

vi = ui−1 + (λ− λ0)ui) Jordankette von Aλ0bei λ ist. Insbesondere ist u ∈ D(T (λ)

genau dann Eigenvektor zum Eigenwert 0, wenn

(u

(λ− λ0)u

)Eigenwert von Aλ0

zum Eigenwert λ ist.

Beweis. Es sei

(ui

vi

)r−1

i=0

, ui ∈ D(T (λ0)), vi ∈ H1/2 Jordankette von Aλ0bei λ mit

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zunachst allgemeinen vi ∈ H1/2. Setze u−1 := 0, v−1 := 0. Dann gilt

(Aλ0− λ)

(ui

vi

)=

(ui−1

vi−1

)i = 0, 1, . . . , r − 1

⇔(λ− λ0 IT (λ0) 2V − λ0 − λ

)(ui

vi

)=

(ui−1

vi−1

)

⇔

(λ0 − λ)ui + vi = ui−1

T (λ0)ui + (2V − λ0 − λ)vi = vi−1

⇔vi = ui−1 + (λ− λ0)ui

T (λ0)ui + (2V − λ0 − λ)(ui−1 + (λ− λ0)ui) = vi−1

⇔vi = ui−1 + (λ− λ0)ui

T (λ)ui + (2V − λ0 − λ)ui−1 = vi−1

⇔vi = ui−1 + (λ− λ0)ui

T (λ)ui + (2V − λ0 − λ)ui−1 = ui−2 + (λ− λ0)ui−1

⇔vi = ui−1 + (λ− λ0)ui

T (λ)ui + (2V − 2λ)ui−1 = ui−2

⇔vi = ui−1 + (λ− λ0)ui

T (λ)ui + 2(V − λ)ui−1 − ui−2 = 0, i = 0, 1, . . . , r − 1.

Aus der Bedingung an

(ui

vi

), Jordankette fur Aλ0

zu sein, folgt also im zweiten

Schritt zwangslaufig, dass vi = ui−1 + (λ − λ0)ui gelten muss. Im vierten Schrittwurde Gleichung (5.3) benutzt. Die Bedingung T (λ)ui + 2(V − λ)ui−1 − ui−2 = 0besagt aber nun wegen des obigen Lemmas gerade, dass ui eine Jordankette furT bei λ ist. Ist umgekehrt ui ⊂ D(T (λ)) = D(T (λ0)) eine Jordankette fur T beiλ, so definiert man vi := ui−1 + (λ−λ0)ui und erhalt aus den obigen Aquivalenzeneine Jordankette von Aλ0

bei λ.

Corollar 7.7. Falls λ ∈ C Eigenwert von T und Aλ0ist, so stimmt die algebraische

(geometrische) Vielfachheit von 0 als Eigenwert von T (λ) mit der algebraischen(geometrischen) Vielfachheit von λ als Eigenwert von Aλ0

uberein. Ist λ ∈ R (unddaher T (λ) selbstadjungiert), so ist fur alle Eigenwerte λ ∈ σp(T ) = σp(Aλ0

) diealgebraische gleich der geometrischen Vielfachheit. Insbesondere ist λ als Eigenwertvon Aλ0

einfach, falls 0 als Eigenwert von T (λ) einfach ist.

7.2 Der separierte Fall (ν−, ν+). Diskriminantenbedingung

und komplexe Eigenwerte

Im Folgenden soll die Einfachheit von Eigenwerten der Klein-Gordon-Gleichung inzwei verschiedenen Situationen gezeigt werden. Der erste Fall ist der sogenannteseparierte Fall, in dem wie in [26] die Situation betrachtet wird, in der fur dieExtremalwerte der verallgemeinerten Rayleighfunktionale ν− < ν+ gilt und dieRandpunkte des Intervalls (ν−, ν+) Eigenwerte sind. Es zeigt sich, dass es in diesemZusammenhang sinnvoll ist, eine Voraussetzung an die Diskriminante der Polynomet(λ)[x] zu stellen, welche insbesondere die Existenz von komplexen Eigenwertenausschließt.

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Im zweiten Fall wird die Tatsache ausgenutzt, dass Satz 6.15 abstrakt auf alle Eigen-werte λ der Operatorfunktion T anwendbar ist, fur die T (λ) ≥ 0 und minσ(T (λ)) =0 gilt. Wie unten in Lemma 7.8 gezeigt wird, ist dafur ebenfalls notwendig, dasskeine Paare komplexer Eigenwerte der Operatorfunktion T existieren. Die genannteSituation trifft insbesondere auf die Randpunkte ±α einer Lucke (−α, α) zu, wel-che im Spektrum von T unter Voraussetzungen auftritt, welche auch in Kapitel 2getroffen wurden.Es sei λ ∈ C, t(λ) und T (λ) wie in Kapitel 5 definiert und es sei x ∈ D(t(λ)) =

D(H1/20 ), ‖x‖ = 1. Falls es zwei reelle Nullstellen von t(λ)[x] gibt, so sind diese

durch die Formel

p±(x) = (V x, x) ±√

(V x, x)2 − (V x, V x) + (H1/20 x,H

1/20 x)

gegeben. Falls t(λ)[x] zwei komplexe Nullstellen hat, setze p−(x) := +∞,p+(x) := −∞. Definiere ν± wie in Kapitel 5.

Lemma 7.8. Es sei u ∈ D(T (λ)). Das Polynom (T (λ)u, u) hat genau dann zweikomplex konjugierte Nullstellen, wenn fur alle λ ∈ R (T (λ)u, u) < 0 gilt. Ist dies derFall, so ist also keiner der Operatoren T (λ), λ ∈ R, positiv semidefinit und kannwegen inf σ(T (λ)) = inf W (T (λ)) auch nicht 0 = inf σ(T (λ)) erfullen. Dies giltinsbesondere, falls ein Paar komplex konjugierter Eigenwerte der OperatorfunktionT existiert.

Beweis. Angenommen, (T (λ)u, u) hat zwei komplexe Nullstellen. Dann gilt

(T (λ)u, u) 6= 0, λ ∈ R,

und aus Stetigkeitsgrunden sogar

(T (λ)u, u) < 0 fur alle λ ∈ R

oder(T (λ)u, u) > 0 fur alle λ ∈ R.

Da limλ→∞

(T (λ)u, u) = −∞ gilt, folgt somit (T (λ)u, u) < 0 fur alle λ ∈ R.

Umgekehrt folgt wegen des Fundamentalsatzes der Algebra aus (T (λ)u, u) < 0 furalle λ ∈ R, dass (T (λ)u, u) zwei komplexe Nullstellen hat. Da komplexe Eigenwerteder Operatorfunktion T Nullstellen von (T (λ)u, u) mit λ ∈ C \R liefern, folgt auchdie letzte Behauptung.

Lemma 7.9. Es sei u ∈ D(T (λ)). Dann hat (T (λ)u, u) eine doppelte reelle Null-stelle genau dann, wenn

(V u, u)2 − (V u, V u) + (H1/20 u,H

1/20 u) = 0

gilt. In diesem Fall folgt zwingend ν+ ≤ ν−.

Beweis. Nach Voraussetzung gilt p−(u) = p+(u) =: p(u). Nach Definition von ν±gilt p(u) ≥ ν+ und p(u) ≤ ν−. Die Behauptung folgt.

Satz 7.10. Es sei ν− < ν+. Weiterhin gelte fur die Diskriminante

(V u, u)2 − (V u, V u) + (H1/20 u,H

1/20 u) ≥ 0, u ∈ D(T (λ)),

d.h. es existieren keine u ∈ D(T (λ)), die komplexe Nullstellen des Polynoms(T (λ)u, u) liefern. Dann ist der Operator T (λ) positiv definit, falls λ ∈ (ν−, ν+)gilt, und positiv semidefinit, falls λ = ν± gilt.

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Beweis. Es sei λ ∈ [ν−, ν+]. Nach der Voraussetzung an die Diskriminante hat(T (λ)u, u) fur alle u ∈ D(T (λ)) reelle Nullstellen p±(u). Weiter folgt aus der Vor-aussetzung ν− < ν+ und Lemma 7.9, dass (T (λ)u, u) fur alle u ∈ D(T (λ)) zweiverschiedene reelle Nullstellen hat. Fur ‖u‖ = 1 gilt:

(T (λ)u, u) = t(λ)[u] = (p+(u)− λ)(λ − p−(u))

≥ (ν+ − λ)(λ− ν−) ≥ 0.

Fur λ = ν± ist die vorletzte Zeile gleich Null und T (λ) somit positiv semidefinit,fur λ ∈ (ν−, ν+) ist der Ausdruck dagegen positiv und es gilt (T (λ)u, u) ≥ δ‖u‖2mit einer Konstanten δ > 0.

Bemerkung 7.11. In der Arbeit [26] wird fur den Nachweis, dass T (λ) innerhalbdes Intervalls (ν−, ν+) positiv definit und auf den Randpunkten positiv semidefinitist (siehe auch Satz 4.1), weder der Fall komplexer Nullstellen noch der einer dop-pelten reellen Nullstelle betrachtet. Im ersten Fall gilt namlich obige Abschatzung(welche die Beziehung zwischen den reellen Zahlen p±(u) und ν± ausnutzt) nichtmehr, im Fall einer doppelten reellen Nullstelle gilt sogar (T (λ)u, u) ≤ 0. Diese Fallekonnen aber selbst fur beschranktes Potential durchaus auftreten. Das Auftretenvon doppelten reellen Nullstellen wird nach Lemma 7.9 zwar durch die Vorausset-zung ν− < ν+ ausgeschlossen, diese gilt aber in Teil (i) von Satz 4.1 noch nicht.Ebenso werden komplexe Nullstellen ausgeschlossen, falls die Voraussetzungen vonTeil (iii) des folgenden Satzes gelten. Diese Voraussetzung gilt jedoch im Beweis vonSatz 4.1 (i) noch nicht.

7.3 Hauptresultat im Fall ν− < ν+

Wir konnen nun das zentrale Resultat der vorliegenden Arbeit uber die Einfachheitder (eventuellen) Eigenwerte ν± formulieren, welches eine direkte Verallgemeine-

rung der entsprechenden Resultate aus [26] auf den Fall relativ H1/20 -beschrankter

Potentiale darstellt.Lemma 7.8 und Satz 7.10 suggerieren, dass man fur den Nachweis der Einfachheitder Grundzustande nur den Fall betrachten sollte, in dem die obige Diskriminantefur alle u ∈ D(T (λ)) nicht negativ ist, d.h. insbesondere keine komplexen Eigenwerteder Klein-Gordon-Gleichung existieren.

Satz 7.12. Es sei V H1/20 -beschrankt mit relativer Schranke b < 1. Es sei ν− < ν+.

Weiterhin gelte fur die Diskriminante

(V u, u)2 − (V u, V u) + (H1/20 u,H

1/20 u) ≥ 0, u ∈ D(T (λ)). (7.1)

Dann gilt:

i. Innerhalb von (ν−, ν+) konnen keine Eigenwerte von T liegen.

ii. Alle Eigenwerte von T sind reell und halbeinfach, d.h. ihre geometrischen undalgebraischen Vielfachheiten stimmen uberein.

iii. Falls ν± Eigenwerte der Operatorfunktion T sind, d.h. 0 Eigenwert von T (ν±)ist, so sind diese Eigenwerte einfach, und die zugehorigen Eigenfunktionenstreng positiv.

Beweis. i. Fur λ ∈ (ν−, ν+) gilt nach Satz 7.10, dass T (λ) > 0, d.h. 0 kann keinEigenwert dieser Operatoren sein.ii. Wegen der Bedingung an die Diskriminante konnen keine komplexen Eigenwerte

39

auftreten. Da T (λ) fur reelle λ selbstadjungiert ist, stimmen algebraische und geo-metrische Vielfachheit des (eventuellen) Eigenwertes 0 uberein.iii. Aus Satz 7.10 folgt, dass T (λ±) ≥ 0 gilt. Nach Voraussetzungen ist 0 Eigenwertvon T (λ±). Dann liefert Satz 6.15 die Behauptung.

Hinreichende Bedingungen fur die im vorangegangenen Satz getroffene Vorausset-zung an die Diskriminante liefert der folgende Satz, deren Teilergebnisse fur be-schranktes Potential V bereits in [26] gezeigt wurden.

Satz 7.13. Die Bedingung (7.1) aus Satz 7.12 ist erfullt, falls eine der folgendenBedingungen gilt:

i. V ist beschrankt und es gilt diamV := ess sup(V )− ess inf(V ) ≤ 2m.

ii. V ist relativ H1/20 -beschrankt mit Konstanten a ≥ 0, 0 < b < 1 und genugt

der Bedingung

(V u, u)2 ≥ a, u ∈ D(T (λ)) \ 0, ‖u‖ = 1.

Diese Bedingung ist insbesondere erfullt, falls V halbbeschrankt mit

(V u, u) ≥ √a, u ∈ D(T (λ)) \ 0, ‖u‖ = 1,

oder(V u, u) ≤ −√a, u ∈ D(T (λ)) \ 0, ‖u‖ = 1,

ist.

iii. V ist relativ H1/20 -beschrankt mit Konstanten a ≥ 0, 0 < b < 1 und es gilt

a ≤ (1− b)m2.

iv. V ist beschrankt und es gilt‖V ‖ ≤ m.

Beweis. i. Siehe [26].ii. Es gilt die Abschatzung

(V u, u)2 − (V u, V u) + (H1/20 u,H

1/20 u)

= (V u, u)2 − ‖V u‖2 + ‖H1/20 u‖2

≥ (V u, u)2 − a‖u‖2 − b‖H1/20 u‖2 + ‖H1/2

0 u‖2

= (V u, u)2 − a‖u‖2 + (1− b)‖H1/20 u‖2.

Wir konnen o.B.d.A. ‖u‖ = 1 annehmen, da p±(u) skalierungsinvariant ist. Da derletzte Summand wegen b < 1 nichtnegativ ist, folgt die Behauptung.

iii. Es sei wieder o.B.d.A ‖u‖ = 1. Wegen ‖H1/20 u‖2 = ‖A1/2

0 x‖2 +m2‖u‖2 folgt mitder gleichen Abschatzung wie im vorangegangenen Beweis:

(V u, u)2 − (V u, V u) + (H1/20 u,H

1/20 u)

≥ (V u, u)2 − a‖u‖2 + (1 − b)‖H1/20 u‖2

≥ −a+ (1− b)‖A1/20 ‖2 + (1− b)m2

≥ −a+ (1− b)m2

≥ 0.

iv. Man kann a = ‖V ‖2 und b = 0 wahlen. Dann liefert die Abschatzunga ≤ (1− b)m2 aus iii. direkt ‖V ‖2 ≤ m2.

40

Bemerkung 7.14. Die Bedingung (ii) ist insbesondere fur das Coulombpotential

V (x) =c

|x| , x ∈ Rn \ 0, c ∈ R,

erfullt, da dieses wegen der Hardy-Ungleichung (siehe z.B. [11]) relativH1/20 -beschrankt

mit a = 0 ist.

7.4 Hinreichende Bedingungen fur ν− < ν+

Die Voraussetzung ν− < ν+ in Satz 7.12 ist relativ abstrakt und im Allgemei-nen schwierig nachzuprufen. In diesem Abschnitt sollen daher einige hinreichendeBedingungen angegeben werden, die sicherstellen, dass der separierte Fall ν− < ν+vorliegt. Basierend auf Ergebnissen der Arbeit [20] kann man zunachst die folgendenAussagen fur den Fall beschrankter Potentiale treffen.

Satz 7.15. Es sei V beschrankt und gelte −2m ≤ vmin ≤ V ≤ 0. Dann gilt fur

x ∈ D(H1/20 ), x 6= 0

p−(x) ≤ −m, p+(x) ≥ m+ vmin ≥ −m.

Ist zusatzlich vmin > −2m, so gilt

σ(T ) ⊂ R, (−m,m+ vmin) ⊂ ρ(T ).

Beweis. Siehe [20].

Corollar 7.16. Gilt unter obigen Voraussetzungen vmin > −2m, so hat man

ν− ≤ m, ν+ ≥ m+ vmin > −m,

also insbesondere ν− < ν+.Dies gilt insbesondere fur Kastenpotential

V (x) =

−v1, |x| ≤ a,0, |x| > a,

falls v1 < 2m erfullt ist.

Satz 7.17. Es sei V beschrankt, vmin ≤ V ≤ vmax. Weiter gelte

‖V ‖2 +1

4(vmax − vmin)2 < m2.

Dann gilt ν− < ν+.

Beweis. In [20] wird gezeigt, dass im Falle eines beschrankten Potentials fur dieverallgemeinerten Rayleighfunktionale die Abschatzungen

p−(x) ≤ vmax −√

max0,m2 − ‖V ‖2

undp+(x) ≥ vmin +

√max0,m2 − ‖V ‖2

gelten. Da die rechten Seiten unabhangig von x sind, gelten die beiden Abschatzungenauch fur ν− und ν+. Durch Subtraktion ergibt sich dann

(ν− − ν+) ≤ (vmax − vmin)− 2√

max0,m2 − ‖V ‖2.

41

Nach Voraussetzung gilt insbesondere ‖V ‖2 < m2, also erhalt man

(ν− − ν+) ≤ (vmax − vmin)− 2√m2 − ‖V ‖2,

und die rechte Seite ist (wieder wegen der Voraussetzung) kleiner Null. Die Behaup-tung folgt.

7.5 Hauptresultat im Fall σ(T ) ⊂ R \ (−α, α)

Neben den Extremalwerten ν± der verallgemeinerten Rayleighfunktionale p±(x),die im separierten Fall ν− < ν+ als einfache Eigenwerte auftreten konnen (siehevorheriger Abschnitt), kann man mit Hilfe von Satz 6.15 die Einfachheit abstraktfur alle Eigenwerte λ ∈ R von T verifizieren, fur die T (λ) ≥ 0 und minσ(T (λ)) = 0gilt. Wie in Kapitel 2 gezeigt wurde, weisen die Spektren der dort betrachtetenOperatormodelle der Klein-Gordon-Gleichung unter der zusatzlichen Voraussetzung

‖S‖ = ‖V H−1/20 ‖ < 1 eine Lucke um Null herum auf. Das folgende Ergebnis zeigt,

dass die genannte Lucke unter passenden Voraussetzungen auch im Spektrum derin Kapitel 5 eingefuhrten Operatorfunktion T auftritt und dass die Randpunktedieser Lucke, falls sie Eigenwerte sind, einfach und die zugehorigen Eigenfunktionenstreng positiv sind.

Satz 7.18. Es seien die beiden Voraussetzungen (2.5) und (2.6) erfullt. Daruber

hinaus gelte ‖S‖ = ‖VH−1/20 ‖ < 1. Dann gilt

σ(T ) ⊂ R \ (−α, α)

mit α := (1 − ‖S‖)m. Insbesondere sind alle (eventuellen) Eigenwerte von T reellund liegen außerhalb von (−α, α). Auf den Randwerten des Intervalls gilt

T (−α) ≥ 0, T (α) ≥ 0.

Falls −α oder α Eigenwerte der Operatorfunktion T sind, so sind diese einfach unddie zugehorigen Eigenfunktionen sind streng positiv.

Beweis. Die Operatoren A1 und A seien wie in Kapitel 2 definiert. Aus Satz 2.5folgt, dass

σ(A1) ⊂ R \ (−α, α)

gilt. Wegen ‖S‖ < 1 gilt ‖S∗S‖ < 1 und somit 1 ∈ ρ(S∗S). Dann folgt mit Satz 2.7,dass

σ(A) = σ(A1)

gilt. Wegen ‖S‖ < 1 ist der Operator I −S∗S strikt positiv und daher invertierbar.

Es folgt, dass T (0) = H1/20 (I − S∗S)H

1/20 die beschrankte Inverse

T (0)−1 = H−1/20 (I − S∗S)−1H

−1/20

besitzt, d.h. also es gilt 0 ∈ ρ(T ). Da (I−S∗S) strikt positiv ist , gilt fur x ∈ D(T (0))die Abschatzung

(T (0)x, x) = (H1/20 (I − S∗S)H

1/20 x, x)

= ((I − S∗S)H1/20 x,H

1/20 x)

≥ c ‖H1/20 x‖2

≥ c m2 ‖x‖2,

42

mit einer nichtnegativen Konstanten c, d.h. T (0) ist positiv definit. Da T (0) selbst-adjungiert ist, folgt σ(T (0)) ⊂ (0,∞) und daher κ−(T (0)) = 0. Also sind die Vor-aussetzungen von Satz 5.4 erfullt und es folgt

σ(T ) = σ(A) = σ(A1),

insbesondere alsoσ(T ) ⊂ R \ (−α, α).

Fur alle λ ∈ C gilt nach Satz 5.1 die Zerlegung T (λ) = H1/20 L(λ)H

1/20 mit

L(λ) = I − (S∗ − λH−1/20 )(S − λH−1/2

0 ).

Weiter gilt H1/20 ≥ m und ‖H−1/2

0 ‖ ≤ 1/m. Wie im Beweis von [18], Lemma 5.3folgt nun fur x ∈ D(T (±α)), ‖x‖ = 1

(T (±α)x, x) = (L(±α)H1/20 x,H

1/20 x)

= ‖H1/20 x‖2 −

((S∗ − (±α)H

−1/20 )(S − (±α)H

−1/20 )H

1/20 x,H

1/20 x

)

= ‖H1/20 x‖2 − ‖(S − (±α)H

−1/20 )H

1/20 x‖2

≥(

1− ‖S − (±α)H−1/20 ‖2

)‖H1/2

0 x‖2

≥(

1− ‖S − (±α)H−1/20 ‖2

)m2‖x‖2

≥(

1− (‖S‖+|α|m

)2)m2

= (1− 1)m2

= 0.

Falls nun ±α Eigenwert der Operatorfunktion T ist, so ist 0 Eigenwert von T (±α)und die letzten beiden Behauptungen folgen aus Satz 6.15.

Bemerkung 7.19. Es seien die Voraussetzungen von Satz 7.18 erfullt. Dann giltfur die Extremalwerte der verallgemeinerten Rayleighfunktionale ν± /∈ (−α, α).

Beweis. Fur x ∈ D(H1/20 ), ‖x‖ = 1 und λ ∈ (−α, α) gilt wie im Beweis von Satz

7.18

t(λ)[x] =(L(λ)H1/20 x,H

1/20 x)

≥(1− (‖S‖+|λ|m

)2)m2

>0.

Angenommen, es wurde z.B. ν− ∈ (−α, α) gelten. Wahle eine maximierende Folge

xn ⊂ D(H1/20 ), so dass p−(xn)→ ν− gilt. Dann gilt einerseits

t(p−(xn))[xn] = 0, n ∈ N,

andererseits existiert n0 ∈ N, so dass p(xn) ∈ (−α, α) fur n ≥ n0 gilt. Nach obigerAbschatzung folgt dann aber t(p−(xn))[xn] > 0 fur alle n ≥ n0, ein Widerspruch.Also gilt ν− /∈ (−α, α). Der Beweis fur ν+ ist analog.

43

7.6 Ausschluss von Eigenwerten

Die Untersuchung der Operatorfunktion L kann auch dazu verwendet werden, be-stimmte Werte von λ als Eigenwerte auszuschließen, wie der folgende Abschnitt

zeigt. Es sei V wieder H1/20 -beschrankt mit relativer Schranke b < 1 und T (λ), L(λ)

wie in Kapitel 5 definiert. Setze

Xλ := S − λH−1/20 = V H

−1/20 − λH−1/2

0 = (V − λ)H−1/20 .

Fur reelles λ gilt dann X∗λ = S∗ − λH−1/2

0 und somit

L(λ) = I −X∗λXλ,

wobei L(λ) der beschrankte selbstadjungierte Operator auf H ist, welcher in Kapitel5 eingefuhrt wurde. Nach Satz 5.1 gilt die Zerlegung

T (λ) = H1/20 (I −X∗

λXλ)H1/20 . (7.2)

Da die reellen Spektren von L und T ubereinstimmen (siehe Satz 5.1), gilt, falls 0Eigenwert von T (λ) am unteren Rand von σ(T (λ)) ist, 0 ∈ σp(L(λ)), d.h. es existiertx 6= 0 ∈ H mit (L(λ)x, x) = 0, also 0 ∈ W (L(λ)) (W numerischer Wertebereich).Falls also z.B. L(λ) > 0 galte, konnte 0 uberhaupt kein Eigenwert von T (λ) bzw.L(λ) sein. Genauer gilt:

Lemma 7.20. Es sei λ ∈ R.

i. Falls ‖Xλu‖ < ‖u‖, u ∈ H gilt, folgt L(λ) > 0 und daher 0 /∈ σp(T (λ)).

ii. Falls ‖Xλu‖ = ‖u‖, u ∈ H gilt, folgt L(λ) ≥ 0 und T (λ) ≥ 0. Gilt zusatzlich

T (λ)x0 = 0 fur ein x0 ∈ D(T (λ)), so folgt L(λ)(H1/20 x0) = 0, d.h.

0 ∈ σp(L(λ)) und insgesamt 0 = minσ(T (λ)) = minσ(L(λ)).

Beweis. Fur u ∈ H, ‖u‖ = 1 gilt die Abschatzung

(L(λ)u, u) = ((I −X∗λXλ)u, u)

= ‖u‖2 − (X∗λXλu, u)

= ‖u‖2 − ‖Xλu‖2.

Im Fall ‖Xλu‖ < ‖u‖, u ∈ H, ist dieser Ausdruck positiv, d.h. es gilt L(λ) > 0.Im Fall ‖Xλu‖ = ‖u‖, u ∈ H, ist er nichtnegativ, woraus L(λ) ≥ 0 folgt. Mit derZerlegung (7.2) erhalt man fur u ∈ D(T (λ)) weiter

(T (λ)u, u) = (L(λ)H1/20 u,H

1/20 ) ≥ 0.

Wegen

T (λ)x0 = (H1/20 L(λ)H

1/20 )x0

und der Bijektivitat von H1/20 folgt auch die Behauptung uber die Eigenvektoren.

Wie das Lemma zeigt, sind die beiden Voraussetzungen T (λ) ≥ 0 und 0 ∈ σp(T (λ))fur λ ∈ R nicht vereinbar, falls ‖Xλu‖ < ‖u‖, u ∈ H, gilt.Die Aussage (i) des Lemmas kann nun beispielsweise benutzt werden, um die Exis-tenz bestimmter Eigenwerte auszuschließen.

44

Lemma 7.21. Es sei λ ∈ R und H = L2(Rn, dx). Falls das Potential V der Wachs-tumsbedingung

λ−√

m2 +1

4|x|2 < V (x) < λ+

√

m2 +1

4|x|2 (7.3)

genugt, so gilt ‖Xλu‖ < ‖u‖, u ∈ H, und damit L(λ) > 0.

Beweis. Siehe auch [26]. Es sei (7.3) erfullt. Dann gilt

(V (x)− λ)2 < m2 +1

4|x|2

und daher fur g ∈ L2(Rn, dx)

‖Xλ g‖2 = ‖(V − λ)H−1/20 g‖2 < m2‖H−1/2

0 g‖2 +

∥∥∥∥1

2|x|H−1/20 g

∥∥∥∥2

.

Mit Hilfe der Hardy-Ungleichung (siehe z.B. [11]) erhalt man weiter

‖Xλ g‖2 < m2‖H−1/20 g‖2 + ‖∇H−1/2

0 g ‖2

≤ ‖g‖2 + (H−1/20 g,∆H

−1/20 g)

≤ ‖g‖2,

wobei im letzten Schritt ∆ ≤ 0 undQ(∆) = W 12 (Rn, dx) sowieH

−1/20 g ∈W 1

2 (Rn, dx)benutzt wurde. Die Behauptung folgt.

7.7 Beispielpotentiale

In diesem Abschnitt sollen schließlich fur den FallH = L2(Rn, dx) einige Beispielpo-tentiale vorgestellt werden, welche die bisher abstrakt getroffenen Voraussetzungenan V erfullen und auf die die Ergebnisse der vorliegenden Arbeit anwendbar sind.

Fur den hier betrachteten Fall H = L2(Rn, dx) gilt H0 = −∆ + m2 und der Hil-

bertraum H1/2 = D(H1/20 ) ist der zu L2(Rn, dx) assoziierte Sobolevraum erster

Ordnung, d.h.H1/2 = W 1

2 (Rn, dx).

Dies bedeutet, dass die Voraussetzung (2.5) genau dann erfullt ist, wenn

W 12 (Rn, dx) ⊂ D(V )

gilt, bzw. wenn denn die aquivalente Bedingung

‖V u‖2 ≤ a‖u‖2 + b‖(−∆ +m2)1/2u‖2, u ∈ W 12 (Rn, dx),

mit Konstanten a, b ≥ 0 erfullt ist.

7.7.1 Kastenpotential

Die Eigenwerte der Klein-Gordon-Gleichung fur das Kastenpotential in R, welchesdurch

V (x) =

−v1, |x| ≤ a,0, |x| > a,

45

mit Konstanten a > 0, v1 > 0 gegeben ist, werden in der Arbeit [20] mit Hilfe einesVariationsprinzips charakterisiert. Dort wird gezeigt, dass

σess(T ) = (−∞,−m] ∪ [m,∞)

gilt (die Lichtgeschwindigkeit wurde hier auf 1 normiert) und dass fur v1 < 2m dasSpektrum der Operatorfunktion T reell ist. Fur den Extremalwert ν− des verallge-meinerten Rayleighfunktionals p− gilt in diesem Fall ν− ≤ −m. Eigenwerte λ+

i inder Lucke des wesentlichen Spektrums konnen hochstens im Intervall [m − v1,m]auftreten und sind als Nullstellen des Rayleighfunktionals p+ gegeben. Wie be-reits in Corollar 7.16 bemerkt, ist insbesondere die Bedingung ν− < ν+ und wegenσ(T ) ⊂ R auch die Diskriminantenbedingung (7.1) erfullt. Daher kann Satz 7.12 an-gewendet werden, d.h. ν+ kann hochstens einfacher Eigenwert mit strikt positiverEigenfunktion sein. Wird der Wert von v1 großer als 2m, so bleibt das Spektrumvon T reell sowie die Separationsbedingung ν− < ν+ erhalten, solange v1 unterhalbeines kritischen Werts vcrit liegt. Allerdings konnen nun auch Eigenwerte λ−i amunteren Rand des wesentlichen Spektrums auftauchen, welche als Nullstellen desRayleighfunktionals p− gegeben sind. Ist der großte von diesen gleich ν−, so ist ernach Satz 7.12 einfach. Entsprechendes gilt, falls der kleinste der λ+

i gleich ν+ ist.Beispielrechnungen in [20] bestatigen die Einfachheit der Eigenwerte λ±1 fur einenWert 2m < v1 < vcrit.

7.7.2 Rollnikpotentiale

Satz 7.22. Es sei n = 3, und es sei V : R3 → R3 eine messbare Funktion, so dassV 2 ∈ R + L∞(R2, dx) gilt (R bezeichnet die Rollnikklasse, siehe Definition 3.12).Dann ist V (−∆+m2)1/2-beschrankt mit relativer Schranke 0. Insbesondere gilt furV 2 ∈ R

‖V (−∆ +m2)−1/2‖ ≤√‖V 2‖R

4π.

Beweis. Siehe [31].

Fur entsprechend kleine Rollniknorm ‖V 2‖R des Potentials kann also der Fall

‖S‖ = ‖V H−1/20 ‖ < 1 erreicht werden und daher Satz 7.18 angewendet werden,

um die Einfachheit der moglichen Eigenwerte ±α (Randpunkte der Spektrallucke)nachzuweisen.

7.7.3 Coulombpotential

Satz 7.23. Das Coulombpotential V (x) = c/|x|, x ∈ Rn \ 0, c ∈ R, erfullt dieVoraussetzung

D(H1/20 ) ⊂ D(V ).

Es gilt

‖V (∆ +m2)−1/2‖ ≤ 2|c|n− 2

.

Beweis. Siehe [19].

Im Falle des Coulombpotentials ist also die Bedingung ‖S‖ < 1 erfullt , falls fur dieKopplungskonstante |c| < (n− 2)/2 gilt. Wie in [20] gezeigt wird, gilt

σess(T ) = (−∞,m] ∪ [m,∞).

46

Im Falle c = −Ze2/|x|, wobei Z die Kernladungszahl und e die Elementarladungist, sind die Eigenwerte explizit bekannt (siehe z.B. [20]) und durch die Formel

λn,l = m

1 +(Zα)2

(n− l − 1

2 +√

(l + 12 )2 − (Zα)2

)2

−1/2

mit n = 1, 2, . . . , l = 0, 1, . . . , n− 1 gegeben. Die Eigenwerte liegen alle im Inter-vall (0,m). Die entsprechenden Vielfachheiten der Eigenwerte sind 2l + 1, d.h. zujedem Wert von n existiert genau ein einfacher Eigenwert. Der insgesamt kleinsteeinfache Eigenwert ist λ1,0, es gilt λn,0 → m fur n→∞.Aus Bemerkung 7.14 folgt, dass das Coulombpotential die Diskriminantenbedin-dung (7.1) erfullt (und daher insbesondere keine komplexen Eigenwerte auftretenkonnen). Weiter folgt aus der Tatsache, dass das Coulombpotential fur c = −Ze2/|x|negatives Vorzeichen besitzt, dass fur den Extremalwert ν− des verallgemeinertenRayleighfunktionals p− die Abschatzung ν− ≤ 0 gilt.Mit der in dieser Arbeit entwickelten Theorie konnte man die Einfachheit des kleins-ten Eigenwertes nun nachweisen, wenn es gelange, diesen Wert in Zusammenhangmit dem Extremalwert ν+ des verallgemeinerten Rayleighfunktionals p+ bzw. mitdem Parameter α, der die Breite der Lucke im Spektrum von T bestimmt, zu brin-gen. Dies erscheint jedoch bislang noch problematisch, da scharfere Abschatzungenvon ν± fur unbeschrankte Potentiale V fehlen. Weiter ist es noch unklar, wie fur

konkret gegebenes, unbeschranktes Potential V der Wert ‖S‖ = ‖VH−1/20 ‖ und

damit α explizit berechnet und mit den gegebenen Eigenwerten verglichen werdenkonnte.

Bemerkung 7.24. Weitere Beispiele fur Potentiale, die die Bedingungen (2.5) und(2.6) bzw. die scharfere Bedingung ‖S‖ < 1 erfullen, finden sich in den Arbeiten[18] und [19].

47

8 Anhang

Definition 8.1. (Numerischer Wertebereich) Es sei A ein dicht definierter Opera-tor auf dem Hilbertraum H. Dann ist der numerische Wertebereich von A definiertals

W (A) := (Ax, x) : x ∈ D(A), ‖x‖ = 1.Fur eine Operatorfunktion T ist der numerische Wertebereich W (T ) definiert als

W (T ) := λ ∈ C | (T (λ)x, x) = 0 fur ein x ∈ D(T (λ)).

Satz 8.2. Es sei A ein selbstadjungierter Operator auf einem Hilbertraum H. Danngilt:

i. σ(A) ⊂W (A) ⊂ R.

ii. inf σ(A) = inf W (A), supσ(A) = supW (A).

Beweis. Siehe Standardliteratur zur Operatortheorie und Funktionalanalysis, z.B.[37], [16].

Definition 8.3. (Topologien fur beschrankte Operatoren) Es sei Ann≥0 und Abeschrankte Operatoren auf einem Hilbertraum H.

i. An konvergiert in Norm gegen A, falls ‖An −A‖ −→n→∞

0 gilt.

ii. An konvergiert stark gegen A, falls ‖(An −A)x‖ −→n→∞

0 fur alle x ∈ H gilt.

iii. An konvergiert schwach gegen A, falls (x, (An −A)y) −→n→∞

0 fur alle x, y ∈ Hgilt.

Definition 8.4. (Relative Beschranktheit) Es seien A und B zwei dicht definierteOperatoren auf dem Hilbertraum H. Es gelte:

i. D(A) ⊂ D(B).

ii. Es existieren a, b ∈ R so dass fur alle u ∈ D(A)

‖Bu‖ ≤ a‖u‖+ b‖Au‖ (8.1)

gilt.

Dann heißt B A-beschrankt. Das Infinum uber alle Konstanten b, fur die (8.1) gilt,heißt relative Schranke von B bezuglich A.

Bemerkung 8.5. Eine zu (8.1) aquivalente Bedingung ist durch

‖Bu‖2 ≤ a‖u‖2 + b‖Au‖2 (8.2)

gegeben. Falls (8.1) mit a und b gilt, kann man fur ǫ > 0 in (8.1) b := (1 + ε)2 b2

und a := (1 + ε−1) a2 wahlen. Ist umgekehrt (8.2) mit a und b erfullt, so gilt (8.1)mit b := b, a := a. Siehe auch [16], V.4.1.

Satz 8.6. (Satz von Kato-Rellich) Es sei A selbstadjungiert, B symmetrisch undA-beschrankt mit relativer Schranke a < 1. Dann ist A + B selbstadjungiert aufD(A). Ist A zusatzlich von unten beschrankt (mit unterer Schranke M), so ist auchA+B von unten beschrankt mit unterer Schranke

M −maxb/(1− a), a|M |+ b,wobei a und b die Konstanten aus der relativen A-Beschranktheit von B sind.

48

Beweis. Siehe [28].

Definition 8.7. Es seien A und B zwei dicht definierte Operatoren auf dem Hil-bertraum H. Es gelte:

i. D(A) ⊂ D(B).

ii. Fur jede Folge un ⊂ D(A), fur die sowohl un und Aun beschrankt sind,enthalt Bun eine konvergente Teilfolge.

Dann heisst B (relativ) A-kompakt.

Satz 8.8. (Polarzerlegung) Es sei T ein dicht definierter, abgeschlossener Opera-tor auf einem Hilbertraum H. Dann existiert ein nichtnegativer, selbstadjungierterOperator G und eine partielle Isometrie U , so dass die Zerlegung

T = UG, D(G) = D(T ),

gilt.

Beweis. Siehe z.B. [16].

Definition 8.9. Es sei T ein dicht definierter, abgeschlossener Operator auf einemHilbertraum H. Der nichtnegative, selbstadjungierte Operator G aus dem vorange-gangenen Satz heisst Absolutbetrag von T , man schreibt

|T | := G.

49

Literatur

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