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Optionsbewertung Elena Kostiaeva. Überblick Differential und Integralrechnung Differentialquotient Differentialquotient Differential (Totales vs Partielles

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Optionsbewertung Optionsbewertung

Elena KostElena Kostiiaevaaeva

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ÜberblickÜberblickDifferential und IntegralrechnungDifferential und Integralrechnung DifferentialquotientDifferentialquotient Differential (Totales vs Partielles Differential)Differential (Totales vs Partielles Differential) BeispieleBeispiele

IntegralIntegral Riemann IntegralRiemann Integral

Stieltjes IntegralStieltjes Integral Partielle IntegrationPartielle Integration

Bewertung von DerivatenBewertung von Derivaten Futures, OptionsFutures, Options

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Differential und IntegralrechnungDifferential und Integralrechnung

DifferentialquotientDifferentialquotient – entspricht Ableitung, – entspricht Ableitung, also entspricht der Steigung einer Funktion also entspricht der Steigung einer Funktion an einer bestimmten Stellean einer bestimmten Stelle

Die Steigung entsprichtDie Steigung entspricht: :

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Differential und IntegralrechnungDifferential und Integralrechnung

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Differential und IntegralrechnungDifferential und Integralrechnung

AbleitungAbleitung

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Differential und IntegralrechnungDifferential und Integralrechnung

Differentialrechnung wird häufig dazu Differentialrechnung wird häufig dazu verwendet Flächen „unter“ verwendet Flächen „unter“ Funktionsgraphen zu berechnenFunktionsgraphen zu berechnen

Das Differential ist dem Differentialquotient Das Differential ist dem Differentialquotient sehr ähnlich; hier frag man sich nach um sehr ähnlich; hier frag man sich nach um welchen Betrag sich Y verändert, wenn welchen Betrag sich Y verändert, wenn eine Wertänderung des X erfolgteine Wertänderung des X erfolgt

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Differential und IntegralrechnungDifferential und Integralrechnung

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Differential und IntegralrechnungDifferential und Integralrechnung Anhand dieser Skizze Anhand dieser Skizze

danndann

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Differential und IntegralrechnungDifferential und Integralrechnung

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Differential und IntegralrechnungDifferential und Integralrechnung

Beispiele: Beispiele:

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Differential und IntegralrechnungDifferential und Integralrechnung

ApproximationApproximationwenn wenn sehr klein ist, dann giltsehr klein ist, dann gilt

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Differential und IntegralrechnungDifferential und Integralrechnung

KettenregelKettenregel Die Ableitung der zusammengesetzten Die Ableitung der zusammengesetzten

FunktionFunktion

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Differential und IntegralrechnungDifferential und Integralrechnung

IntegralIntegral Riemann IntegralRiemann Integral

Stieltjes IntegralStieltjes Integral

Partielle IntegrationPartielle Integration

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Differential und IntegralrechnungDifferential und Integralrechnung

Integralrechnung wird benützt um die Integralrechnung wird benützt um die Fläche zwischen einem Graphen und X-Fläche zwischen einem Graphen und X-Achse zu berechnenAchse zu berechnen

Im Vergleich zu der Im Vergleich zu der Intergral Intergral wird wird für die Summe der unzählbaren kleinen für die Summe der unzählbaren kleinen Objekten verwendetObjekten verwendet

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Differential und IntegralrechnungDifferential und Integralrechnung Gegeben ist eine deterministische Gegeben ist eine deterministische FunktionFunktion

Annahme, wir wollen diese Funktion Annahme, wir wollen diese Funktion integrieren im Intervall integrieren im Intervall

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Differential und IntegralrechnungDifferential und Integralrechnung

Damit wir den Riemann Integral anwenden Damit wir den Riemann Integral anwenden können, teilen wir den Intervall können, teilen wir den Intervall [ 0;T ] [ 0;T ] auf auf n Subintervallen n Subintervallen

soso erhalten wir die Approximationssumme erhalten wir die Approximationssumme

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Differential und IntegralrechnungDifferential und Integralrechnung Gegeben istGegeben ist

Riemann Integral wird definiert als Riemann Integral wird definiert als

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Differential und IntegralrechnungDifferential und Integralrechnung

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Differential und IntegralrechnungDifferential und Integralrechnung

Stieltjes Integral Stieltjes Integral

wowo

dann gilt dann gilt

wobei wobei

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Differential und IntegralrechnungDifferential und Integralrechnung

Riemann-Stieltjes IntegralRiemann-Stieltjes Integral

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Differential und IntegralrechnungDifferential und Integralrechnung

Die Die partielle Integrationpartielle Integration entspricht der entspricht der Produktregel des Differenzierens. Hat man Produktregel des Differenzierens. Hat man ein Integral der Form ein Integral der Form

wobei wobei leicht auf- und leicht auf- und leicht leicht abzuleiten ist.abzuleiten ist.

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Differential und IntegralrechnungDifferential und Integralrechnung

Damit ergibt sichDamit ergibt sich

es entsteht also ein neues Integral, das nun es entsteht also ein neues Integral, das nun noch (hoffentlich leichter) zu integrieren ist. noch (hoffentlich leichter) zu integrieren ist.

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Differential und IntegralrechnungDifferential und Integralrechnung

Partielle Ableitungen am Bsp “Partielle Ableitungen am Bsp “Call optionCall option””

Ableitung, wenn t =Ableitung, wenn t = constconst

Ableitung, wenn Ableitung, wenn = = constconst

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Differential und IntegralrechnungDifferential und Integralrechnung

Will man eine Funktion vollständig ableiten, so Will man eine Funktion vollständig ableiten, so muß man muß man das totale Differentialdas totale Differential bilden. Es bilden. Es entsteht aus der Summe der partiellen entsteht aus der Summe der partiellen Ableitungen wie folgtAbleitungen wie folgt: :

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Differential und IntegralrechnungDifferential und Integralrechnung

TaylorreihenTaylorreihen Erwartung: Erwartung:

Eine Gerade der FormEine Gerade der Form

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Differential und IntegralrechnungDifferential und Integralrechnung

Taylorreihe wird definiert als Taylorreihe wird definiert als

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Bewertung von DerivatenBewertung von Derivaten

Bewertungsmethoden:Bewertungsmethoden: Method of equivalent martingale measuresMethod of equivalent martingale measures Partial different equationPartial different equation

FunktionenFunktionen ForwardsForwards OptionsOptions

Delta HedgingDelta Hedging

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Bewertung von DerivatenBewertung von Derivaten

Problem: Problem: Die Finanzmarktdaten sind nicht deterministisch!Die Finanzmarktdaten sind nicht deterministisch!

sind ununterbrochen sind ununterbrochen

stochastischstochastisch

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