22
1 1 ) ( 2 1 2 1 2 0 f i f N r n at Brechungsindex für Röntgenstrahlung r 0 = e 2 /4 0 m e c 2 Klassischer Radius des Elektrons Optische Theorie der Röntgenreflexion B r B A r A n n cos cos Snell Gesetz M M n cos cos Snell Gesetz (Vakuum/Werkstoff) 1 n Brechungsindex des Vakuums ) ( ) ( 2 1 2 1 cos 2 1 2 0 2 2 1 2 0 2 f i f N r f i f N r n n at c at M c M c Kritischer Winkel

Optische Theorie der Röntgenreflexion

  • Upload
    kiele

  • View
    46

  • Download
    0

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Optische Theorie der Röntgenreflexion. Brechungsindex für Röntgenstrahlung. r 0  =  e 2 /4 p e 0 m e c 2. Klassischer Radius des Elektrons. Brechungsindex des Vakuums. Snell Gesetz. Snell Gesetz (Vakuum/Werkstoff). Kritischer Winkel. Externe Totalreflexion. - PowerPoint PPT Presentation

Citation preview

Page 1: Optische Theorie der Röntgenreflexion

1

1)(2

1 21

20 fifNrn atBrechungsindex für

Röntgenstrahlungr0 = e2/40mec2 Klassischer Radius des Elektrons

Optische Theorie der Röntgenreflexion

BrB

ArA nn coscos Snell Gesetz

MMn coscos Snell Gesetz (Vakuum/Werkstoff)

1nBrechungsindex des Vakuums

)()(2

12

1

cos

21

202

21

20

2fifNrfifNrn

n

atcatMc

Mc

Kritischer Winkel

Page 2: Optische Theorie der Röntgenreflexion

2

Externe Totalreflexion

Vakuum: n = 1

Gold: = 4.640910-5

= -4.5823 10-6

n = 0.99995 - 4.58 10-6 i

112

1

21

211

0

2

2

in

fiffrn

rn

ee

e

Brechungsindex für Röntgenstrahlung

c

Page 3: Optische Theorie der Röntgenreflexion

3

Eindringtiefe im Kleinwinkelbereich (optische Theorie)

2;2222

10:

2222exp0

22;221

221cos

exp0

exp0

exp0

1

222

222

1

22

22

222

21222

212

22*2222

222

1,22

12

222,1

2,2

22

2,2

222

2,1

22,1

22

21

22

22

2,2

2,2

2,21,2222

1,11,1111

1,11,1111

kiik

izeEIx

izikizikEzEzEI

ikkkikkkk

ikknknkkk

zkxktiEzE

zkxktiEzE

zkxktiEzE

e

zxxz

xxzx

zx

zxRR

zx

Amplitude des elektromagnetischen Feldes (planare Welle)

Page 4: Optische Theorie der Röntgenreflexion

4

Optische Theorie der Röntgenreflexion

BrB

ArA

BrB

ArA

AB nnnnr

sinsinsinsin

BrA

ArB

BrA

ArB

AB nnnnr

sinsinsinsin

//

BrB

ArA

ArA

AB nnnt

sinsinsin2

BrA

ArB

ArB

AB nnnt

sinsinsin2

//

Fresnel Reflektionskoeffizienten

Fresnel Transmissionskoeffizienten

BrB

ArA nn coscos Snell Gesetz

Alle Winkel werden auf den Vakuumwinkel bezogen

Page 5: Optische Theorie der Röntgenreflexion

5

Röntgenreflexion (im Kleinwinkelbereich)

12

3

224

1

12222

1

22221

1

11,

21,

,11,

,11,41,1

1

22

11

1111111

11

1111

cos;coscos

coscos

;1

2exp

coscoscossin

jjjj

jj

jj

jj

jj

jjjj

j

Rj

jjjjjjj

jjjjjjj

jjj

jjjjjj

jRjjjjj

Rjjjj

Rjjjj

Rjjjj

nqqqqq

nn

nn

ffff

r

EE

aRrRrR

aR

tfika

nnnf

kfEaEakfEaEa

EaEaEaEa

Verallgemeinerter Beugungsvektor

L.G. Parratt: Physical Review 95 (1954) 359-369.

Rekursive Berechnung der Reflektivität

Page 6: Optische Theorie der Röntgenreflexion

6

Röntgenreflexion (im Kleinwinkelbereich)

221

22

221

22

11

11

coscos

coscos

sinsinsinsin

jj

jj

jjjj

jjjjj

nn

nn

nnnn

rFresnel Reflektionskoeffizient:

22 cossincoscos jjjjjV nnnnSnell Gesetz:

1

1224 cos

jj

jjjjj qq

qqrnq

Beugungsvektor:

2exp 21

1

1jjj

jj

jjj qq

qqqq

r

Interface Rauhigkeit (Debye-Waller Faktor):

2exp jjjj atiq

Phasenverschiebung:0;

11

Njjj

jjjj A

rArA

A

Amplituden:

20

*00 AAAI Reflektierte Intensität:

Page 7: Optische Theorie der Röntgenreflexion

7

jjjI

j

Rj

jjjjIj

Rj

jjIj

Rj

jjjjjIj

Rj tf

EE

frfEE

ffEE

ftrEE ,111

11,11

1

111

1

111,1,

Aj+1 Aj+1

rj+1,jtj,j+1

tj+1,j

dj+1

nj+1

nj

nj+2

j

j+1

rj,j+1

)sin*(exp 0 jjrjj dnikf

2

0 k

Amplitude der reflektierten Welle (optische Theorie)

Page 8: Optische Theorie der Röntgenreflexion

8

Beugungsvektor

22 cos2

sin2

jj

io

nq

kkq

22

222

cossin

cos1cos1sin

coscos

jjj

jj

jj

jj

nn

nn

nSnell Gesetz

BA

BABrB

ArA

BrB

ArA

AB qqqq

nnnnr

sinsinsinsin

BA

ABrB

ArA

ArA

AB qqq

nnnt

2sinsin

sin2

Fresnel Koeffizienten

Page 9: Optische Theorie der Röntgenreflexion

9

111

1,12

1

,11,12

11,,1

,112

11

211,1,

jjjj

jjjjjjjjjj

jjjjjjjjjjj rAf

ttAfrt

rAfAftrA

Rekursive Formel

rAB = -rBA tAB.tBA + rAB.rAB = 1

11,12

1

1,12

1

jjjj

jjjjj rAf

rAfA

)(2//

0

2

021

0 AA R

Reflexionsvermögen

Intensität der Röntgenreflexion

Page 10: Optische Theorie der Röntgenreflexion

10

Strukturmodell (für Röntgenreflexion im Kleinwinkelbereich)

Substrat

Buffer

Schicht 1

Schicht 2

Schicht 3

Layer n

Deckschicht (Cap)

Jede Schicht wird charakterisiert durch:

Brechungsindex, bzw. Elektronendichte

Schichtdicke

Grenzflächenrauhigkeit, bzw. Oberflächenrauhigkeit

Page 11: Optische Theorie der Röntgenreflexion

11

Kleinwinkelstreuung – experimentelle Anordnung

Monochromator

Probe

Detektor

Analysator Blende

Im reflektierten Strahl

Koplanare BeugungsgeometrieKleiner Einfallwinkel, kleiner

AustrittwinkelBeugungsvektor ist senkrecht zur

ProbenoberflächeAnwendbar für amorphe oder

kristalline WerkstoffeAnwendbar nur für glatte OberflächenGeringe Eindringtiefe – Untersuchung

der OberflächeEine kleine Divergenz des

Primärstrahles ist notwendig-1Å7.00,0,0 zyx qqq

Page 12: Optische Theorie der Röntgenreflexion

12

Interpretation der Röntgenreflexionskurven

0 2 4 6 8 1010 -6

10 -5

10 -4

10 -3

10 -2

10 -1

100

Ref

lect

ivity

Glancing angle (o2)

Eine dicke Au-Schicht: Externe Totalreflexion

Elektronendichte der obersten Schicht

Schnelle Abnahme der reflektierten IntensitätOberflächenrauhigkeit

fiffr

rn

ee

e

0

2

2

21

21

2exp 224 qqI

Page 13: Optische Theorie der Röntgenreflexion

13

Interpretation der Röntgenreflexionskurven

0 2 4 6 8 1010-7

10-6

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

100

Ref

lect

ivity

Glancing angle (o2)

30 nm Gold auf Silizium: Externe Totalreflexion

Abnahme der reflektierten Intensität

Kiessigsche Oszillationen (fringes)Die Periodizität der Oszillationen ergibt die Dicke der gesamten Multilagenschicht

mm nnt

mnt

nq

mqt

221

22

22

224

coscos2

cos2

cos

2

Page 14: Optische Theorie der Röntgenreflexion

14

Interpretation der Röntgenreflexionskurven

0 2 4 6 8 1010 -7

10 -6

10 -5

10 -4

10 -3

10 -2

10 -1

100

Ref

lect

ivity

Glancing angle (o2)

Al/Au (4 nm/2 nm)10: Externe Totalreflexion

Kiessigsche Oszillationen (fringes)

Braggsche Intensitätsmaxima entsprechen der Dicke des periodischen Motivs

mn

mq

22 cos2

2

Page 15: Optische Theorie der Röntgenreflexion

15

Simulation der Reflexionskurven

0 2 4 6 8 1010 -8

10 -6

10 -4

10 -2

100

102

104

106

108

Au/Al, 10x, tA+tB=7.5nm

t(A)/t(B)=1/1

t(A)/t(B)=1/2

t(A)/t(B)=1/3

t(A)/t(B)=1/4

Ref

lect

ivity

Glancing angle (o2)

Al/Au (tA/tB)10:

Konstante Grenzflächenrauhigkeit, = 0.35 nm

Unterschiedliches Verhältnis der Dicken einzelner Schichten (tA/tB)

Änderung der reflektierten Intensität

Auslöschen des n(tB/tA+1)-ten Braggschen Maximums

Vergleich mit der kinematischen Beugungstheorie an Kristallen (bei tA/tB = 1):

Multilagenschichten: Auslöschen der geraden Maxima

Kristalle: Auslöschen der ungeraden Maxima

Grund: Phasenverschiebung um 90°

Page 16: Optische Theorie der Röntgenreflexion

16

Simulation der Reflexionskurven

0 2 4 6 8 1010 -8

10 -6

10 -4

10 -2

100

102 Au/Al (2.5nm/5nm)x10

Au/Al (5nm/2.5nm)x10

Ref

lect

ivity

Glancing angle (o2)

Au/Al (2.5nm/5nm)x10 und Au/Al (2.5nm/5nm)x10

Konstante Grenzflächenrauhigkeit, = 0.35 nm

Änderung der reflektierten Intensität zwischen den Braggschen Maxima

Verschiebung der Braggschen Maxima in der Nähe der Kante der Totalreflexion

Problem bei der Auswertung der Reflexionskurven von realen Multilagenschichten: Korrelation der Dicke der Einzelschichten mit der Grenzflächenrauhigkeit

Page 17: Optische Theorie der Röntgenreflexion

17

Kombination von Kleinwinkelstreuung und Weitwinkelbeugung

0 2 4 6100

101

102

103

104

105

106

Inte

nsity

(a.

u.)

Glancing angle (o2)

30 40 50

0

200

400

600

800

1000

Diffraction angle (o2)

LAR HAR

t (Fe)[nm] (1.8±0.1) (1.4±0.1)

t (Au)[nm] (2.0±0.1) (2.3±0.1)

[nm] 3.8 3.7

(Fe) [nm] 0.6 0.2

(Au) [nm] 0.9 0.3

(Fe) (1.2±0.2)

(Au) (1.06±0.09)

d (Fe) [nm] 0.2027

d (Au) [nm] 0.2355

12 Fe/Au

Page 18: Optische Theorie der Röntgenreflexion

18

Kombination von Kleinwinkelstreuung und Weitwinkelbeugung

0 2 4 6 8100

102

104

106

108

Inte

nsity

(a.

u.)

Glancing angle (o2)

30 35 40 45 500

200

400

600

800

1000

Diffraction angle (o2)

LAR HAR

t (Fe)[nm] (2.7±0.2) (2.5±0.1)

t (Au)[nm] (2.3±0.1) (2.3±0.1)

[nm] 5.0 4.8

(Fe) [nm] 0.5 0.2

(Au) [nm] 0.5 0.2

(Fe) (1.4±0.2)

(Au) (0.9±0.1)

d (Fe) [nm] 0.2027

d (Au) [nm] 0.2355

10 Fe/Au

Page 19: Optische Theorie der Röntgenreflexion

19

Kombination von Kleinwinkelstreuung und Weitwinkelbeugung

0 2 4 6 8100

102

104

106

108

Inte

nsity

(a.

u.)

Glancing angle (o2)

30 40 500

200

400

600

800

1000

Diffraction angle (o2)

LAR HAR

t (Fe)[nm] (2.3±0.1) (2.1±0.2)

t (Gd)[nm] (3.0±0.2) (3.0±0.2)

[nm] 5.3 5.1

(Fe) [nm] 0.3 0.4

(Gd) [nm] 0.3 0.1

(Fe) (1.00±0.03)

(Gd) (1.06±0.03)

d (Fe) [nm] 0.1970

d (Gd) [nm] 0.3100

8 Fe/Gd

Page 20: Optische Theorie der Röntgenreflexion

20

Literatur Optische Theorie der Röntgenreflexion– M. Born and E. Wolf: Principles of Optics, Cambridge University Press,

Cambridge, 6th edition (1997) Optische Theorie für Berechnung des Reflexionsvermögens der

Multilagenschichten– L.G. Parratt: Phys. Rev. 95 (1954) 359. Distorted wave Born approximation (die DWBA Theorie)– S.K. Sinha, E.B. Sirota, S. Garoff and H.B. Stanley: Phys. Rev. B 38 (1988) 2297– G.H. Vineyard: Phys. Rev. B 26 (1982) 4146.– V. Holý, J. Kuběna, I. Ohlídal, K. Lischka and W. Plotz: Phys. Rev. B 47 (1993)

15896.– V. Holý, and T. Baumbach: Phys. Rev. B 49 (1994) 10668.– V. Holý, U. Pietsch and T. Baumbach: High-resolution X-ray scattering from thin

films and multilayers, Springer Tracts in Modern Physics, Vol. 149 (Springer-Verlag, Berlin 1999).

Page 21: Optische Theorie der Röntgenreflexion

21

Literatur Weitwinkelbeugung an magnetischen Multilagenschichten– E.E. Fullerton, I.K. Shuller, H. Vanderstraeten and Y. Bruynseraede: Phys. Rev. B

45, 9292 (1992).– D. Rafaja, J. Vacínová and V. Valvoda: Thin Solid Films 374 (2000) 10. Röntgenbeugung an lateral periodischen Strukturen– M. Tolan, W. Press, F. Brinkop and J.P. Kotthaus: Phys. Rev. B 51 (1995) 2239.– A.A. Darhuber, V. Holý, G. Bauer, P.D. Wang, Y.P. Song, C.M. Sotomayor Torres

and M.C. Holland: Europhysics Letters, 32 (1995) 131.– V. Holý, C. Giannini, L. Tapfer, T. Marschner and W. Stolz: Phys. Rev. B 55

(1997) 9960.– V. Holý, A.A. Darhuber, J. Stangl, S. Zerlauth, F. Schäffler, G. Bauer, N.

Darowski, D. Lübbert, U. Pietch and I. Vávra: Phys. Rev B 58 (1998) 7934.– P. Mikulík and T. Baumbach: Phys. Rev. B 59 (1999) 7632.– D. Rafaja, V. Valvoda, J. Kub, K. Temst, M.J. van Bael, Y. Bruynseraede: Phys.

Rev. B 61 (2000) 16144.

Page 22: Optische Theorie der Röntgenreflexion

22

Vergleich XRD/XRR XRD

Notwendig fürs Ausmessen der Netzebenenabstände

Untersuchung der Kristallinität der Multilagenschichten

Besser geeignet für die Untersuchung der Dicke von einzelnen Schichten, wenn die Schichten dünn sind

XRR Notwendig für Untersuchung

der Elektronendichte einzelner Schichten

Zuverlässige Information über einzelne Schichten (Untersuchung des Tiefengradienten)

Viel besser geeignet für amorphe Multilagenschichten

XRD und XRR liefern komplementäre DatenDaher ist die Kombination beider Methoden empfehlenswert