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Orbitale und Elektronenkorrelation
Schrödinger Gleichung und Lösungen:Der Hartree-Fock Antsatz
eH
M
1k
N
1i ik
2k
0
N
1ii ii
2
0
M
1kk kk
2kk
0pot
2r
N
1i e
22R
M
1k k
2
kin
rR
eZ
4
1
2
1
rr
e
4
1
2
1
RR
eZZ
4
1
2
1H
m2M2H
21 2121 21
21
ik
Kern-Kern Elektron-Elektron Kern-Elektron
Born-Oppenheimer Näherung
Bewegung der Kerne ca. 100 mal langsamer als Elektronen !
M
1kk kk
2kk
0pot
21 21
21
RR
eZZ
4
1
2
1H
Daher Kern-Kern WW “statisch” und nicht für die Wellenfunktion der Elektronen relevant
Hartrees Methode
eeee EH
N
1jiji2
N
1ii1e )r,r(h
2
1)r(hH
eDie Lösung:
wird erreicht durch Variation von:
eH
Lösungen
Lösungen für Elektronen in Orbitalen !
Mit dem Constraint, daß ijji
)x(....)x()x(x.....x,x nn2211n21
Ansatz: Wellenfunktion ist Produkt von Einteilchenfunktionen
Theorem
1.) Es existiert 0 mit dazugehörigem E0
2.) Alle i geben höhere Ei > E0
Für Wellenfunktionen
)x(...)x()x(
)x(...)x()x(
)x(...)x()x(
)x,...x,x(
nnn2n1
2n2221
1n1211
!N1
n21
Slater Determinante
Hartree-Fock Methode:
ansatzVariations!!0F
HF ijjij,i
ije
Lösung
Ohne Elektronen (Hückel)
Mit Elektronen
Mit WW der Elektronen
N
1jiji2
N
1ii1e )r,r(h
2
1)r(hH
ij
ji2ijji2jii1ie hh2
1hH
Coulomb Intergral
Austausch Integral
Orbitale, Energien und Koopmans’ Theorem
!! von Abhängigd.h xdxx
)x(J
Jh
i212
2
2ii
iijj2ii
!! von Abhängigd.h xd
xx
)x()x(P)x(K
Jh
i212
2k1i122ii
iiij2ji
Lösung muß iterativ erfolgen !!
SCF - Verfahren
1. Vorschlag von i (z.B. Ext. Hückel)
2. Berechnung von E und i
3. neues K, J und weiter mit 2.
Hartree-Fock-Rothaan
)x(...)x()x(
)x(...)x()x(
)x(...)x()x(
)x,...x,x(
nnn2n1
2n2221
1n1211
!N1
n21
ansatzVariations!!0F HF ijjij,i
ije
Hartree-Fock:H = e
Neuer Ansatz (Roothaan)
Anstatt i komplett mit vielen Variablen zu variieren
bN
1jjji c)x()x(
Fixes i mit zu variierenden Koeffizienten
i sind als Standartbasen tabelliert!!
z.B. STO-3G für H-HS 3 1.00 c 0.3425250914D+01 0.1543289673D+00 0.6239137298D+00 0.5353281423D+00 0.1688554040D+00 0.4446345422D+00
Orbitals and Basis Sets
r
STO = Slater Type Orbital
r
GTO = Gaussian Type Orbital
STO-nG: 1 Slater Type Orbital wird durch n Gauss Type Orbitale angenähert
Für Atome mit diffuseren Wellenfunktionen - double zeta basis sets DZ
R(r) = rn-1 e- |r|
R(r) = xiyjzk e-r2
r
R(r) = rn-1 (c1e- |r| +c2e- |r|)
DZ = double zeta
c STO-3G* 3 s .7161683735E+02 .1543289673E+00 .1304509632E+02 .5353281423E+00 .3530512160E+01 .4446345422E+00 3 s .2941249355E+01 -.9996722919E-01 .6834830964E+00 .3995128261E+00 .2222899159E+00 .7001154689E+00 3 p .2941249355E+01 .1559162750E+00 .6834830964E+00 .6076837186E+00 .2222899159E+00 .3919573931E+00
C-atom:
6-31G*
6 s .3047524880E+04 .1834737130E-02 .4573695180E+03 .1403732280E-01 .1039486850E+03 .6884262220E-01 .2921015530E+02 .2321844430E+00 .9286662960E+01 .4679413480E+00 .3163926960E+01 .3623119850E+00 3 s .7868272350E+01 -.1193324200E+00 .1881288540E+01 -.1608541520E+00 .5442492580E+00 .1143456440E+01 3 p .7868272350E+01 .6899906660E-01 .1881288540E+01 .3164239610E+00 .5442492580E+00 .7443082910E+00 1 s .1687144782E+00 .1000000000E+01 1 p .1687144782E+00 .1000000000E+01 1 d .8000000000E+00 .1000000000E+01
3 s .1722560000E+03 .6176690000E-01 .2591090000E+02 .3587940000E+00 .5533350000E+01 .7007130000E+00 2 s .3664980000E+01 -.3958970000E+00 .7705450000E+00 .1215840000E+01 2 p .3664980000E+01 .2364600000E+00 .7705450000E+00 .8606190000E+00 1 s .1958570000E+00 .1000000000E+01 1 p .1958570000E+00 .1000000000E+01
3-21G
Basis Sets
STO-1G
6-311G
6-311G**
6-311G**++
HF-Limit
Variation principle
E
Rechenzeit !!!
HF: t ~ Nb4 Nb= Anzahl der Basisfunktionen
z.B. CpK(18-Krone-6) ECP-DZ = 227 Basisfunktionen
1 SCF Cyclus (Energie) = 1330 Sekunden
1 mal 1.Ableitung ca. 250 s
Pro Energieoptimierung ca. 1600 s ca. 30 min.
HP-Vclass Rechner im RZ (8 CPUs)
ECP : Effektives Kern Potential
Atomkern
Valenzelektron(en)
Chemisch “kaum”relevante Kern-Elektronen
Vorteil: Rechenaufwand geringer ! + Statische Relativistik
Elektronenkorrelation
Oder: Was läßt Ar bei -150º flüssig werden
Elektronenbewegung ist korreliert !! (bei HF nur Austauschkorrelation vorhanden)
Ohne Korrelation
mit Korrelation
Dynamic Electron Correlation
Etot = EHF + Ecorr
Definition:
Why does Ar becomes liquid at low T ?
=
(r)
Movement of electrons is correlated
Mehr Konfigurationen
Beschreibung der Elektronendichte Beschreibung durch Mischung von Zuständen
C0 C1
a0*C0 + a1*C1
Møller-Plesset StörungstheorieHall = HHF + Hcorr^ ^ ^
EHF >> Ecorr >> Erelativ.
EMP2 =| <0| h2 | i,j>| 2
E0-Ei,ji,j spin
^
Konsequenz: Einfluß von unbesetzten Orbitalen
- steigt mit der Ähnlichkeit (Symmetrie, Form)
- Steigt mit kleinerer Energiedifferenz (Übergangmetalle)
Wenn Störung sehr klein ist gegenüber Gesamtenergie
kann man den Energiebeitrag durch Störung 2. Ordnung (MP2) beschreiben
Weitere Methoden
MP3, CC, CI, MCSCF, CASSCF etc.
MPx, CCSD(T), CISD, CIfull, etc.
bauen auf dem gleichen Prinzip auf, mehrere AngeregteZustände zum Grundzusstand bei zu mischen
Dichtefunktionaltheorie
Neuer Ansatz:
Anstatt Elektronendichte aus 2 (aus Schrödinger Gleichung)
zu gewinnen, könnte man direkt (r) ausrechnen (Thomas, Fermi)
Sinnvoll für größere Systeme !!!
Hohenberg-Kohn Theoreme (1964)
1.) Alle Grundzustandeigenschaften lassen sich durch (r) ausdrücken E[(r)] Funktion einer Funktion=Funktional
2.)
and)(Grundzustist minimal Energie die
)]r([E)]r([E
demmit )r(gibt Es
ii00
0
D.h durch Variation erreichbar !!!!
eeee EH
)r,.....,r,r,r(V)r(VH
T)]r([TH
HHH
n321exti
iextpot.ext
kin
pot.extkine
Das gleiche Problem wie bei HF: Elektronendichte bestimmtalle Parameter in H, die wiederum (r) bestimmt.Hier Paradox! Wir müssen (r) kennen !!
Typisch: Existenz bewiesen, aber vergessen zu sagen, wie mans berechnen soll!
Kohn-Sham Schmierzettelmethode
Es wird ein System nicht wechselwirkender Teilchen definiert;daß das gleiche (r) besitzt. Daraus erhalten wir (r) !!
Einteilchen-HF Gleichungen
)r(
][E)r(V xc
ext
Austausch-Korrelation ist nicht nur abhängig vom Ort
Nicht-Lokale-Korrekturen (Funktionale)
B-P, B-LYP, B3-LYP, P-W,
Charakterisierung von stationären Zuständen
2. Ableitungen!!!!
Energie Ep o t
Bsp.: Hooksche Feder/Harmonischer Oscillator
20vib rr2
kE 0
vib rrkr
E
kr
E2vib
2
0
20
40
60
80
100
120
En
erg
ie i
n k
J/m
ol
r0
Wie geht das bei nicht-empirischen Rechnungen
cecH iiii
z. B. “Hückel Gleichungen”
enteMatrixelem rr
H
r
H
HH
eH
Umgesetzt auf Wellenfunktionen
F(x) =
F’(x) =
2p
2s
Praktische Übung
Schwingungen von Formaldehyd ausrechnen ?
Was passiert bei Koordination an ein Metallzentrum?