26
1 สมการเชิงอนุพันธสามัญ Ordinary Differential Equations ทบทวน ให () f x เปนฟงกชันที่มี เปนตัวแปรอิสระ (ตัวแปรตน) ให x () y f x = แลวเราเรียก วา ตัวแปรตาม y บทนิยาม เราเรียกสมการทางคณิตศาสตรที่แสดงถึงความสัมพันธระหวางตัวแปร ตาม ตัวแปรอิสระ(หนึ่งตัวแปร) และอนุพันธของตัวแปรตามเมื่อเทียบกับตัวแปรอิสระ (derivative )หรือ ดิฟเฟอเรนเชียล (differential) วา สมการเชิงอนุพันธสามัญ (ordinary differential equation) ตัวอยาง ตัวอยางของสมการเชิงอนุพันธ 1. 3 dy x dx = 2. 2 xdy ydx x = 3. 2"5 ' 3 y xy = 4. 2 2 2 2 dy dy x y dx dx 2 + = บทนิยาม เราเรียกอันดับของอนุพันธที่สูงสุดซึ่งปรากฏอยูในสมการเชิงอนุพันธวา อันดับ (order) ของสมการเชิงอนุพันธ และเราเรียกเลขชี้กําลังของอนุพันธอันดับทีสูงสุดซึ่งปรากฏอยูในสมการเชิงอนุพันธ เมื่อจัดรูปแบบของสมการใหเลขชี้กําลังเปน จํานวนเต็มบวกวา ระดับขั้น (degree) ตัวอยาง ตัวอยางของอันดับและระดับขั้นของสมการเชิงอนุพันธ 1. 3 dy y dx = เปนสมการเชิงอนุพันธสามัญอันดับ 1 ระดับขั้น 1 2. 2 2 dy y dx = เปนสมการเชิงอนุพันธสามัญอันดับ 1 ระดับขั้น 2 3. 4 2 2 2 5 dy dy x dx dx 3 = เปนสมการเชิงอนุพันธสามัญอันดับ 2 ระดับขั้น 1 4. 2 2 2 2 dy x y dx = 2 เปนสมการเชิงอนุพันธสามัญอันดับ 2 ระดับขั้น 2

Ordinary Differential Equations¹€อกสาร อ.... · 2010-09-09 · 1 สมการเชิงอนุพั สามนธัญ Ordinary Differential Equations ทบทวน

  • Upload
    others

  • View
    4

  • Download
    0

Embed Size (px)

Citation preview

สมการเชิงอนุพันธสามัญ

Ordinary Differential Equations

ทบทวน ให ( )f x เปนฟงกชันที่มี เปนตัวแปรอิสระ (ตัวแปรตน) ให x ( )y f x= แลวเราเรียก วา ตัวแปรตาม y

บทนิยาม เราเรียกสมการทางคณิตศาสตรที่แสดงถึงความสัมพันธระหวางตัวแปรตาม ตัวแปรอิสระ(หนึ่งตัวแปร) และอนุพันธของตัวแปรตามเมื่อเทียบกับตัวแปรอิสระ (derivative )หรือ ดิฟเฟอเรนเชียล (differential) วา สมการเชิงอนุพันธสามัญ (ordinary differential equation)

ตัวอยาง ตัวอยางของสมการเชิงอนุพันธ

1. 3dy xdx = 2. 2xdy ydx x− =

3. 2 " 5 ' 3y xy− = 4. 22

22

d y dy x ydxdx⎛ ⎞ 2+ = −⎜ ⎟⎝ ⎠

บทนิยาม เราเรียกอันดับของอนุพันธที่สูงสุดซึ่งปรากฏอยูในสมการเชิงอนุพันธวา อันดับ (order) ของสมการเชิงอนุพันธ และเราเรียกเลขชี้กําลังของอนุพันธอันดับที่สูงสุดซึ่งปรากฏอยูในสมการเชิงอนุพันธ เมื่อจัดรูปแบบของสมการใหเลขช้ีกําลังเปนจํานวนเต็มบวกวา ระดับขั้น (degree)

ตัวอยาง ตัวอยางของอันดับและระดับขั้นของสมการเชิงอนุพันธ

1. 3dy ydx = เปนสมการเชิงอนุพันธสามัญอันดับ 1 ระดับขั้น 1

2. 2

2dy ydx⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

เปนสมการเชิงอนุพันธสามัญอันดับ 1 ระดับขั้น 2

3. 42

22 5d y dyx dxdx⎛ ⎞− ⎜ ⎟⎝ ⎠

3= เปนสมการเชิงอนุพันธสามัญอันดับ 2 ระดับขั้น 1

4. 22

22

d y x ydx

⎛ ⎞= −⎜ ⎟

⎝ ⎠2 เปนสมการเชิงอนุพันธสามัญอันดับ 2 ระดับขั้น 2

หมายเหตุ สัญลักษณของอนุพันธของตัวแปรตามที่ใชกันทั่วไปในสมการเชิงอนุพันธมีหลายแบบ ถาให เปนตัวแปรตามและ แทนตัวแปรอิสระ เราใช y x ( )ny แทน

n

nd ydx

ในกรณีที่ 1, 2n = หรือ เรานิยมใชสัญลักษณ และ แทน 3 ', ''y y '''y

2

2,dy d ydx dx

และ 3

3d ydx

ตามลําดับ  

บทนิยาม เราเรียกสมการเชิงอนุพันธสามัญอันดับ วา สมการเชิงอนุพันธสามัญเชิงเสนอันดับ (linear ordinary differential equation of order n ) ถาสามารถจัดสมการใหอยูในรูป

nn

(5.3.1) ( ) ( 1)1 1 0( ) ( ) ... ( ) ' ( ) (n n

n na x y a x y a x y a x y g x−−+ + + + )=

, ,..., ,n na a a a− gเมื่อ , และ เปนฟงกชันที่ขึ้นอยูกับตัวแปรอิสระ เพียงตัวเดียวและนิยามบนโดเมนของ โดยที่

1 1 0 y xy 0na ≠ และเรียกสมการเชิงอนุพันธสามัญ

อันดับ ที่ไมอยูในรูปดังกลาววา สมการเชิงอนุพันธสามัญไมเชิงเสนอันดับ (nonlinear ordinary differential equation of order )

n nn

ตัวอยาง จงพิจารณาสมการเชิงอนุพันธตอไปนี้วาเปนสมการเชิงเสนหรือไม 

1. 2 '  ' 5 ' 2y y y+ − = x

=

2. 2 '  ' 5 ' 2xy y xy y+ − =

3. 22 '' 5( ') 2xy y y+ −  

24. 2 '' 5(sin ) 'xy x y y+ − =  

5. . '' ' 2xy yy y x+ − =  

บทนิยาม เราเรียกฟงกชัน ที่สอดคลองกับสมการเชิงอนุพันธสามัญวา ผลเฉลย (solution) ของสมการเชิงอนุพันธ ถาสามารถเขียนผลเฉลยไดในรูป

y

( )y f x= เราเรียกผลเฉลยนั้นวา ผลเฉลยชัดแจง (explicit solution) แตถาเราไมสามารถเขียนในรูปชัดแจงได เราจะเรียกผลเฉลยนั้นวา ผลเฉลยโดยปริยาย (implicit solution)

ตัวอยาง จงแสดงวาฟงกชันที่กําหนดโดย 2xy e= สําหรับทุก ๆ จํานวนจริง เปน

ผลเฉลยของสมการเชิงอนุพันธ

x

2dy xydx =

วิธีทํา ให 2xy e= จะเห็นวา

2 2 22 2 2x x xdy d de e x xe xydx dx dx= = = =

ทําใหไดวา 2xy e= เปนผลเฉลยของสมการเชิงอนุพันธ 2dy xydx =

ตัวอยาง จงแสดงวาฟงกชันที่กําหนดโดย 12y x=−

สําหรับทุก ๆ จํานวนจริง 2x ≠

เปนผลเฉลยของสมการเชิงอนุพันธ 2dy ydx =

วิธีทํา

ขอสังเกต เราสามารถตรวจสอบวาฟงกชันที่กําหนดโดย 212y = x เปนผล

เฉลยของสมการ dy xdx = นอกจากนี้สําหรับฟงกชัน 212y x C= + เมื่อ เปนคา

คงตัวใดๆ จะไดเชนกันวา

C

( )212

dy d x Cdx dx= + x= ซึ่งแสดงวา 212y x= +C ก็

เปนคําตอบของ dy xdx = ดวยเชนกัน

เราสามารถแบงประเภทของผลเฉลยของสมการเชิงอนุพันธไดเปน 2 ประเภทคือ ผลเฉลยทั่วไป (general solution) และ ผลเฉลยเฉพาะ (particular solution) ซึ่งผลเฉลย

ทั่วไป คือ ผลเฉลยที่มีคาคงตัวปรากฏอยู ตัวอยางเชน 212y x C= + เปนผลเฉลย

ทั่วไปของ dy xdx = สวนผลเฉลยเฉพาะ คือ ผลเฉลยที่เราแทนคาคงตัวดวยจํานวนจริง

ใด ๆ ตัวอยางเชน 212y x= , 21 12y x= + และ 21 32y x= + เปนผลเฉลย

เฉพาะของ dy xdx =  

ตัวอยางเชน lny x C= + โดยที่ และ เปนคาคงตัว เปนผลเฉลย

ทั่วไปของสมการ

0 Cx >1x=dy

dx 3 แตถาเรากําหนดให ( )y e = จะได

3 ( ) ln 1y e e C= = + = +C ซึ่งจะไดวา 2C = และทําให ln 2y x= + เปนผล

เฉลยเฉพาะของสมการ 1dydx x=  

บทนิยาม ปญหาคาเริ่มตน (initial value problem) ของสมการเชิงอนุพันธสามัญ คือการหาผลเฉลยของสมการบนชวง I โดยที่ผลเฉลยจะสอดคลองกับเงื่อนไข

0 0( )y x y=

เมื่อ และ เปนคาคงตัว เราจะเรียก 0x ∈ I 00y 0( )y x y= วา คาเริ่มตน(initial value)  

สมการเชิงอนุพันธแบบแยกตัวแปรได

บทนิยาม เราเรียกสมการเชิงอนุพันธ วา สมการเชิงอนุพันธแบบแยกตัวแปรได (separable differential equations) หรือเรียกสั้นๆวา สมการแบบแยกตัวแปรได (separable equations) ถาสมการสามารถเขียนไดในรูป

( ) ( )dy p x g ydx = หรือ ( ) ( ) 0M x dx N y dy+ =

โดยที่ และ p M เปนฟงกชันตัวแปรเดียวซึ่งมี เปนตัวแปรอิสระ และ และ เปนฟงกชันตัวแปรเดียวซึ่งมี

x g Ny  

 

ตัวอยาง จงแสดงวาสมการเชิงอนุพันธ 3dy xydx = เปนสมการแบบแยกตัวแปรได

วิธีทํา    

 

 

ตัวอยาง จงแสดงวาสมการเชิงอนุพันธ 23

2dy xdx y= โดยที่ 0y ≠ เปนสมการแบบ

แยกตัวแปรได 

วิธีทํา

 

 

สังเกตวา สมการเชิงอนุพันธ 3dy xydx = + ไมเปนสมการแบบแยกตัวแปรได

ขั้นตอนการหาผลเฉลยของสมการเชิงอนุพันธแบบแยกตัวแปรได

1. จัดรูปสมการ ( ) ( )dy p x g ydx = ใหมใหอยูในรูป

( ) ( )q y dy p x dx= โดยที่

1( ) ( )q y g y=

2. อินทิเกรตทั้งสองขางของสมการ จะได

( ) ( )q y dy p x dx=∫ ∫

3. เราจะได ( ) ( )Q y P x C= + เปนผลเฉลยของสมการ ( ) ( )dy p x g ydx =

โดยที่ Q และ P เปนปฏิยานุพันธของ และ ตามลําดับ q p

และ C คือคาคงตัว  

ตัวอยาง จงหาผลเฉลยของสมการเชิงอนุพันธ 22dy xydx =

วิธีทํา เนื่องจากสมการเชิงอนุพันธที่กําหนดใหเปนสมการเชิงอนุพันธแบบแยกตัวแปรได จึงเริ่มตนขั้นที่ 1 ดวยการเขียนสมการใหมในรูป

21 2dy xdxy

=

ขั้นตอนที่ 2 เราอินทิเกรตทั้งสองขาง จะได

21 2dy xdxy

=∫ ∫

ซึ่งจะได 21 x Cy− = + เมื่อ C เปนคาคงตัว ซึ่งสมมูลกับ 21y

x C= −

+

เพราะฉะนั้นเราไดผลเฉลยของสมการ 22dy xydx = คือ 2

1yx C

= −+

ตัวอยาง จงหาผลเฉลยของสมการเชิงอนุพันธ dy xdx y=

วิธีทํา

ตัวอยาง จงหาผลเฉลยเฉพาะของปญหาคาเริ่มตน ' 2ye y x= เมื่อ (0) 2y =

วิธีทํา

ตัวอยาง จงหาผลเฉลยของสมการเชิงอนุพันธ sincos xdy xedx =

วิธีทํา

ตัวอยาง จงหาผลเฉลยเฉพาะของปญหาคาเริ่มตน ' 2yy xe x= − , ( ) 0y =π

วิธีทํา

สมการเอกพันธุ 

บทนิยาม เราเรียกสมการเชิงอนุพันธอันดับหนึ่ง ' ( , )y f x y= วา สมการเชิงอนุพันธแบบเอกพันธุ (homogeneous differential equation) หรือเรียกสั้นๆวา สมการ

เอกพันธุ ถา ' yy Fx

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

เมื่อ เปนฟงกชันตัวแปรเดียว F

ตัวอยาง สมการ dy ydx x= เปนสมการเอกพันธุ เพราะวา ฟงกชัน ( )F u u=

สอดคลองกับเงื่อนไขของบทนิยาม นั่นคือ ' y yy Fx x

⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠

ตัวอยาง สมการเชิงอนุพันธตอไปนี้เปนสมการเอกพันธุ

1. 2 2' 2x y y xy= +

2. ' ln ln x yy x yx y+

= − +−

3. ( ) 2 23 2x y dx xydy− + 0=

ขั้นตอนการหาผลเฉลยของสมการแบบเอกพันธุ

1. จัดรูปสมการ ( , ) ( , ) 0M x y dx N x y dy+ = (หรือ ' ( , )y f x y= )

ใหมใหอยูในรูป

ydy Fdx x

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

( )∗

2. ให yvx

= ( เปนตัวแปร dummy ) ทําใหได v

2

' ( )xy y F v vdvdx xx

− −= =

หรือ ( )F v vdvdx x

−=

3. จัดรูปสมการใหมเปน

1( ) dv dxF v v x=

−1

4. อินทิเกรตทั้งสองขางของสมการ จะได

1 ln( ) dv x CF v v = +−∫

5. ให เปนปฏิยานุพันธของ ( )Q v 1( )F v v− แลวจะไดวา

lnyQ xx

⎛ ⎞ C= +⎜ ⎟⎝ ⎠

เปนผลเฉลยของสมการ เมื่อ C เปนคาคงตัว ( )∗

10 

ตัวอยาง จงหาผลเฉลยของสมการเชิงอนุพันธ dy x ydx x

+=

วิธีทํา

ตัวอยาง จงหาผลเฉลยของสมการเชิงอนุพันธ ( )2 2 2y x yx dx x dy+ + =

วิธีทํา

11 

ตัวอยาง จงหาผลเฉลยของสมการเชิงอนุพันธ 2 2

'2

y xyxy+

= เมื่อ (1) 2y = −

วิธีทํา

12 

สมการแมนตรง

สัญลักษณ ถา ( , )u x y เปนฟงกชันสองตัวแปร กลาวคือมี และ เปนตัวแปรอิสระ และถา

x y( , )u x y สามารถหาอนุพันธเทีบยกับตัวแปร ได เราจะใชสัญลักษณ x

( , )u x yx∂∂

แทน ( , )d u x ydx

(โดยพิจารณาวา เปนเพียงคาคงตัว) ทํานองเดียวกัน

ถา

y

( , )u x y สามารถหาอนุพันธเทีบยกับตัวแปร ได เราใชสัญลักษณ y ( , )u x yy∂∂

แทน ( , )d u x ydy

(โดยพิจารณาวา เปนเพียงคาคงตัว) x

ตัวอยางเชน 2( , ) 2 1u x y x y x y= + + + จะได ( , ) 2 2u x y xyx∂ = +∂

และ 2( , ) 1u x y xy

∂ = +∂

เปนตน

บทนิยาม เราเรียกสมการเชิงอนุพันธในรูปแบบ

( , ) ( , ) 0M x y dx N x y dy+ =

วา สมการเชิงอนุพันธแมนตรง (exact differential equation) หรือเรียกสั้นๆวา สมการแมนตรง (exact equation) ถามีฟงกชันสองตัวแปร ( , )u x y ที่ทําให

( , ) ( , )uM x y x yx∂=∂

และ ( , ) ( , )uN x y x yy∂=∂

สําหรับทุกๆ ( , )x y บนโดเมนที่เราสนใจ

ทฤษฎีบท ถา My

∂∂

และ Nx

∂∂

เปนฟงกชันตอเนื่องบนอาณาบริเวณ ในระบบ

พิกัดฉาก แลว สมการเชิงอนุพันธ

R2 ( , ) ( , ) 0M x y dx N x y dy+ = เปนสมการ

แมนตรง ก็ตอเมื่อ

M Ny x

∂ ∂=∂ ∂

สําหรับทุก ( , )x y ใน R

13 

ตัวอยาง จงแสดงวา เปนสมการแมนตรง 2 2 0xy dx x ydy+ =

วิธีทํา จาก 2 2 0xy dx x ydy+ = จะได 2( , )M x y xy= และ 2( , )N x y x y= ซึ่ง

มีอนุพันธยอยเปน ( , ) 2M x y xyy∂ =∂

และ ( , ) 2N x y xyx∂ =∂

สําหรับทุก ๆ จํานวน

จริง และ จะเห็นวา x y My

∂∂

และ Nx

∂∂

เปนฟงกชันตอเนื่องบน และ 2

M Ny x

∂ ∂=∂ ∂

ที่ทุกจุดบน ดังนั้น 2 2 2 0xy dx x ydy+ = เปนสมการแบบแมนตรง

โดยทฤษฎีบทขางตน

ตัวอยาง จงแสดงวา เปนสมการแมนตรง 3 23y dx xy dy+ 0=

ขั้นตอนการหาผลเฉลยของสมการเชิงอนุพันธแมนตรง

ให u เปนฟงกชันซึ่งสอดคลองกับบทนิยาม

1. อินทิเกรต ( , ) ( , )uM x y x yx∂=∂ เทียบกับ เราได x

( , ) ( , ) ( )u x y M x y dx g y= +∫ (1)

โดยที่ g เปนฟงกชันที่มี เปนตัวแปรเพียงตัวเดียวที่สามารถหาอนุพันธได y

2. หาอนุพันธของ u ใน (1) เทียบกับ จะได y

( , ) ( , ) ( , ) '( )uN x y x y M x y dx g yy y∂ ∂= = +∂ ∂ ∫

นั่นคือ '( ) ( , ) ( , )g y N x y M x y dxy∂= −∂ ∫ (2)

3. อินทิเกรต (2) ทั้งสองขาง จะได

( ) ( , ) ( , )g y N x y M x y dx dyy⎡ ⎤∂= −⎢ ⎥∂⎣ ⎦∫ ∫

4. นํา ( )g y ที่ไดแทนใน (1) ทําใหได ( , )u x y และ สมการ ( , )u x y C= เปนผลเฉลยของ ( , ) ( , ) 0M x y dx N x y dy+ = โดยที่ C เปนคาคงตัว

14 

หมายเหตุ ในขั้นตอนที่ 1 เราอาจหา u จากการอินทิเกรตทั้งสองขาง

( , ) ( , )uN x y x yy∂=∂

เทียบกับ ทําใหได y

( , ) ( , ) ( )u x y N x y dy g x= +∫

โดยที่ g เปนฟงกชันที่มี เปนตัวแปรเพียงตัวเดียวที่สามารถหาอนุพันธอันดับหนึ่งได จากนั้นดําเนินการขั้นที่ 2 โดยการหาอนุพันธของ u เทียบกับ จะได

xx

( , ) ( , ) ( , ) '( )uM x y x y N x y dy g xx x∂ ∂= = +∂ ∂ ∫

และโดยการจัดรูปสมการใหมแลวอินทิเกรตทั้งสองขางในทํานองเดียวกับขั้นตอนการหาผลเฉลยขั้นที่ 3 และ 4 จะได

( ) ( , ) ( , )g x M x y N x y dy dxx∂⎡ ⎤= −⎢ ⎥∂⎣ ⎦∫ ∫

ทําใหได ( , )u x y ตามที่ตองการ

ตัวอยาง จงหาผลเฉลยของ ( ) ( )2 3 3 2x y dx x dy 0+ + + =

วิธีทํา จาก ( ) จะได ( )2 3 3 2x y dx x dy+ + + 0= ( , ) 2 3M x y x y= + และ ( , ) 3 2N x y x= + ซึ่งจะได

( , ) 3 ( , )M Nx y x yy x∂ ∂= =∂ ∂

สําหรับทุกๆจํานวนจริง และ จะเห็นวา x y My

∂∂

และ Nx

∂∂

เปนฟงกชันตอเนื่องบน

ดังนั้น เปนสมการแมนตรง 2 ( ) ( )2 3 3 2x y dx x dy+ + + 0=

ให ( , ) 0u x y = เปนผลเฉลยหนึ่งของสมการ โดยการอินทิเกรต

( , ) ( , ) 2 3u x y M x y x yx∂ = = +∂

เทียบกับ จะได x

( )( , ) 2 3 ( )u x y x y dx g y= + +∫

15 

โดยที่ g เปนฟงกชันที่มี เปนตัวแปรเพียงตัวเดียวที่สามารถหาอนุพันธอันดับหนึ่งได ทําใหได

y

2( , ) 3 ( )u x y x yx g y= + +

จากนั้น เราหาอนุพันธ(ยอย)ของ u เทียบกับ จะได y

( , ) 3 '( )u x y x g yy∂ = +∂

และจาก ( , ) ( , )uN x y x yy∂=∂

จะได

3 2 ( , ) ( , ) 3 '(ux N x )y x y x g yy∂+ = = = +∂

ซึ่งสมมูลกับ '( ) 2g y = และเมื่ออินทิเกรตทั้งสองขาง เราได

1( ) 2g y y C= +

โดยที่ คือคาคงตัว ซึ่งทําให 1C

21( , ) 3 2u x y x yx y C= + + +

ดังนั้น 2

13 2x yx y C+ + + = 2C หรือ 2 3 2x yx y C+ + =

โดยที่ คือคาคงตัว และ เปนผลเฉลยของสมการที่กําหนดให 2C 2C C C= − 1

16 

ตัวอยาง จงหาผลเฉลยของ ( ) ( )2 2 0x yy e dx e yx dy+ + + =

17 

ตัวอยาง จงหาผลเฉลยของ ( )cos sin ' 0x xy e y x e y y− + + =  

18 

ตัวอยาง จงหาผลเฉลยของ ( ) ( )2cos sin 3 5 0x y x dx x y dy+ + − + =

19 

ตัวประกอบการอินทิเกรต  (Integrating factor)

พิจารณาสมการ

2 0ydx xdy+ = (1)

จะเห็นวา ( , ) 2M x y y= และ ( , )N x y x= ซึ่งเปนฟงกชันตอเนื่องและมีอนุพันธ

ยอยเปน ( , ) 2M x yy∂ =∂

และ ( , ) 1N x yx∂ =∂

สําหรับทุกๆจํานวนจริง และ

ทําให

x y

( , ) ( , )M Nx y x yy x∂ ∂≠∂ ∂

ดังนั้น (1) ไมเปนสมการแมนตรง แตถาเราคูณ (1)

ตลอดดวย จะได x

22 0yxdx x dy+ =

ซึ่งเปนสมการแมนตรง เราสังเกตวา

( )2 22d yx yxdx x dy= +

ทําให 2yx =C เปนผลเฉลยของสมการแมนตรง 22 0yxdx x dy+ =

โดยที่ C เปนคาคงตัว และเราสามารถตรวจสอบไดวา 2yx C= เมื่อ เปนผลเฉลยของสมการ (1) ดวยเชนกัน

0x ≠

ในหัวขอนี้เราจะศึกษาสมการที่ไมเปนสมการแมนตรง แตถาเราสามารถหาฟงกชันสองตัวแปรมาคูณตลอดทั้งสองขางของสมการ เพื่อใหสมการใหมที่ไดเปนสมการแมนตรง เราจะสามารถหาผลเฉลยของสมการนั้นไดดวยวิธีการของสมการแมนตรง และเราเรียกฟงก ชันดังกลาวที่จะนําสาคูณวา ตัวประกอบการอินทิเกรต (Integrating factor)

บทนิยาม เราเรียกฟงกชันสองตัวแปร ( , )I x y โดยที่ ( , ) 0I x y ≠ วา ตัวประกอบการอินทิเกรต (integrating factor) ของ ( , ) ( , ) 0M x y dx N x y dy+ = ถา

( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0I x y M x y dx I x y N x y dy+ =

เปนสมการแมนตรง

20 

ตัวอยาง สมการ 3 2 0ydx xdy+ = ไมเปนสมการแมนตรง แตมี 1( , )I x y xy=

เปนตัวประกอบการอินทิเกรตของสมการ

ขอสังเกต สมการเชิงอนุพันธ ( , ) ( , ) 0M x y dx N x y dy+ = บางสมการอาจมีตัวประกอบการอินทิเกรตมากกวาหนึ่งตัว เชน สมการ 0ydx xdy− = ถานํา

21( , )I x yx

= คูณทั้งสองขางของสมการ จะได

2 0ydx xdyx− =

หรือ ถา 21( , )I x y

x y=

+ 2 จะได 2 2 0ydx xdyx y

− =+

ซึ่งทั้ง 2 สมการเปนสมการ

แมนตรง

ในที่นี้เราจะศึกษาเฉพาะกรณีที่ integrating factor เปนฟงกชันที่มีตัวแปรอิสระเพียงตัวแปรเดียวเทานั้น

ข้ันตอนการหา integrating factor

1. จัดรูปสมการเชิงอนุพันธใหอยูในรูป

( , ) ( , ) 0M x y dx N x y dy+ =

2. พิจารณา  

11 M NK N y x⎡ ⎤∂ ∂= −⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦

 และ 21 M NK M y x⎡ ⎤∂ ∂= − −⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦

3. ถา 1K เปนฟงกชันที่มี เปนตัวแปรเพียงตัวเดียว เราให x

1K dxI e∫=

ถา 2K เปนฟงกชันที่มี เปนตัวแปรเพียงตัวเดียว เราให y

2K dyI e∫=

21 

ขั้นตอนการหาผลเฉลยของสมการเชิงอนุพันธไมแมนตรงโดยใช integrating factor

ให I เปน integrating factor ของ

( , ) ( , ) 0M x y dx N x y dy+ = (1)

1. คูณสมการ ( , ) ( , ) 0M x y dx N x y dy+ = ตลอดดวย I เราได

( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0x y M x y dx x y N x y dyµ µ+ = (2)

ซึ่งเปนสมการแมนตรง

2. ใชกระบวนการหาผลเฉลยของสมการแมนตรง ทําใหได

( , )u x y C=

เปนผลเฉลยของ (2) เมื่อ เปนคาคงตัว C

และ สมการ ( , )u x y C= เมื่อ ( , ) 0I x y ≠ เปนผลเฉลยของ (1)

ตัวอยาง จงหาผลเฉลยของ ( )2 22 3 0 ∗ xydx x y dy− − = ( )

วิธีทํา จาก ( )2 22 3xydx x y dy 0− − = จะได ( , ) 2M x y xy= และ 2( , ) 3N x 2y y x= − ซึ่งเปนฟงกชันตอเนื่องและมี

( , ) 2M x y xy∂ =∂

และ ( , ) 6N x y xx∂ = −∂

สําหรับทุกๆจํานวนจริง และ จะเห็นวา x y ( , ) ( , )M Nx y x yy x∂ ∂≠∂ ∂

ทําใหไดวา

ไมเปนสมการแบบแมนตรง ( )∗

เนื่องจาก

1 4M NK M y x⎡ ⎤∂ ∂= − − = −⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦ y

เปนฟงกชันของ เพียงตัวเดียว ทําใหได y

44ln 4dyKdy yyI e e e y

− − −∫∫= = = =

22 

เมื่อคูณสมการ ดวย ( )∗ I จะได

2 2

3 432 0x yx dx dy

y y−− = ( )∗∗

ซึ่งเปนสมการแบบแมนตรง และสามารถหาผลเฉลยได

ให ( , ) 0u x y = เปนผลเฉลยของ ( )∗∗ จะไดวา 32( , )u xx yx y

∂ =∂

และ 2 2

43( , ) x yu x yy y

−∂ = −∂

จาก 32( , )u xx yx y

∂ =∂ จะได

2

3 32( , ) ( ) ( )xxu x y dx g y g yy y

= + = +∫

โดยที่ g เปนฟงกชันที่มี เปนตัวแปรเพียงตัวเดียว และอนุพันธยอยของ เทียบกับ คือ

y uy

2

43( , ) '( )u xx y g yy y

∂ = − +∂

จึงไดวา 2 2 2

4 43 3 '( )x y x g y

y y−− = − +

ซึ่งจะได 21'( )g yy

= เราอินทิเกรตทั้งสองขาง จะได

11( )g y Cy= − +

โดยที่ คือคาคงตัว ซึ่งทําให 1C

2

131( , ) xu x y Cyy

= − +

เพราะฉะนั้น เราได 2

31x Cyy

− = โดยที่ C คือคาคงตัว เปนผลเฉลยของ

และทําให

( )∗∗

2

31x Cyy

− = เมื่อ เปนผลเฉลยของ (0y ≠ )∗

23 

ตัวอยาง จงหาผลเฉลยของ ( ) ( )2 22 0x y dx x y x dy+ + − =

24 

ตัวอยาง จงหาผลเฉลยของ 22 'x y xyy+ + = 0

25 

การประยุกตของสมการเชิงอนุพันธสามัญอันดับหนึ่ง

ตัวอยาง สารกัมมันตภาพรังสีชนิดหนึ่งสลายตัวดวยอัตราที่เปนสัดสวนกับปริมาณในขณะนั้น ถาเริ่มตนมีสารอยู 50 มิลลิกรัม และหลังจากผานไป 2 ช่ัวโมง สังเกตเห็นวาสารสลายไป ครึ่งหนึ่งของมวลเริ่มตน จงหาสูตรสําหรับมวลของสารที่ยังเหลืออยูที่เวลา t ใดๆ

วิธีทํา ให แทนปริมาณของสารที่เวลา t ช่ัวโมง )(tx

เราจะไดสมการเชิงอนุพันธคือ kxdtdx

−=

จัดรูปสมการใหมไดเปน kdtxdx

−=

อินทิเกรตทั้งสองขางจะได 0ln lnx kt x= − +

เมื่อ 0ln x คือตัวคงคา

นั่นคือ ktexx −= 0

จากโจทยจะไดวา 50=x มิลลิกรัม เมื่อ 0=t ช่ัวโมงนั่นคือ

0)0(

050 xex k == −

ดังนั้นผลเฉลยคือ ktex −= 50

จากครึ่งหนึ่งของมวลเริ่มตนไดสลายไป หมายความวา 10% ของ 50 มิลลิกรัม ซึ่งเทากับ 5 มิลลิกรัม นั่นคือยังเหลือสารกัมมันตภาพรังสีชนิดนี้อยู 50 – 25 = 25 มิลลิกรัม เมื่อ ช่ัวโมง ดังนั้นจากผลเฉลยจะไดวา 2=t

(2)25 50 ke−=

2 0.5ke− =

2 ln 0.k 5− = นั่นคือ 0.5ln 0.5 0.347k = − ≈

ดังนั้นจะไดสมการสําหรับมวลของสารกัมมันตภาพรังสีชนิดนี้ ณ เวลา ใดๆ คือ t

0.34750 tx e−=

26 

ตัวอยาง ในปฏิกิริยาเคมีของการสรางสาร เราจะไดสาร หนัก กรัม จากการรวมตัวกันของสาร

C C 3

A ที่หนัก กรัม และสาร 2 B ที่หนัก 1 กรัม ถาเราเริ่มตนปฏิกิริยาเคมีนี้ดวยสาร A หนัก กรัม และสาร 10 B หนัก กรัม และเมื่อเวลาผานไป นาที ปรากฏวามีสาร เกิดขึ้น กรัม จงเขียนสมการแสดงปริมาณของสาร ณ เวลา t นาที ใดๆ ภายใตกฎทางเคมีซึ่งกลาวไววา

15 20

C 6 C

“อัตราการเกิดสาร ณ เวลา นาที เปนสัดสวนกับผลคูณของปริมาณของสาร C t

A และสาร B ที่มีอยู ณ เวลานั้น”

วิธีทํา สมมติใหเมื่อเวลา นาที เรามีสาร อยู กรัม ซึ่งแสดงวาในเวลา นาที ไดมีการรวมตัวกันของสาร

t C x

t A หนัก 23x กรัม และสาร B หนัก

3x กรัม

เพราะฉะนั้นเมื่อเวลา t นาที จะมีสาร A เหลืออยู 2103x

− กรัม และสาร B

เหลืออยู 153x

− กรัม

ดังนั้นภายใตกฎทางเคมีขางตนเราสามารถสรางแบบจําลองทางคณิตศาสตรในรูปสมการ

210 153 3

dx x xkdt

⎛ ⎞⎛= − −⎜ ⎟⎜⎝ ⎠⎝

⎞⎟⎠

เราสามารถเขียนสมการเชิงอนุพันธนี้ในรูปสมการแบบแยกตัวแปรได ดังนี้

23

2(15 )(45 )dx kdt

x x=

− −

เมื่ออินทิเกรตสมการจะไดผลเฉลยทั่วไปคือ

45 20ln15 3

x kt cx

−⎛ ⎞ = +⎜ ⎟−⎝ ⎠

และภายใตเงื่อนไขวา เมื่อ 0x = 0t = และ 6x = เมื่อ 20t = จะได

และ ln(3)c = 3(0.01846)20

k =

ทําใหไดสมการแสดงปริมาณของสาร ณ เวลา t นาทีคือ C

0.01846

0.01846

1451 3

t

t

exe

−=